2019届高三数学一轮复习培优讲义含课时作业：第7章第2讲空间几何体的表面积和体积

第2讲空间几何体的表面积和体积

板块一知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．

考点2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

考点3柱、锥、台和球的表面积和体积

[必会结论]

1.与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．

2.几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

[考点自测]

1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个

圆柱的侧面积是2πS .( )

(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面

上，则该球的表面积为3πa 2.( )

(3)若一个球的体积为43π，则它的表面积为12π.( )

(4)将圆心角为2π3，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的

表面积等于4π.( )

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√

2．[2018·长春模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画

出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )

A.323

B ．64 C.3233

D.643

答案 D

解析 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出

发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为13×4×4×4＝643.故选

D.

3．[2018·合肥模拟]某空间几何体的三视图如图所示，则该几何

体的表面积为( )

A.12＋4 2

B.18＋8 2

C.28

D.20＋8 2

答案 D

解析 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三

棱柱，如图．则该几何体的表面积为S ＝2×12×2×2＋4×2×2＋22

×4＝20＋8 2.故选D.

4.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，

已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )

A.2

B ．4＋2 2 C.4＋4 2

D ．6＋4 2

答案 C

解析 由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角

三角形的斜边长为2，腰长为2，棱柱的高为2，所以其侧面积S ＝2×2＋22×2＝4＋4 2.故选C.

5.[2017·全国卷Ⅱ]长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在

球O 的球面上，则球O 的表面积为________．

答案 14π

解析 ∵长方体的顶点都在球O 的球面上，

∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．

设球的半径为R ，

则2R ＝32＋22＋12＝14.

∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1422＝14π. 6.[2017·山东高考]由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的

三视图如下，则该几何体的体积为________．

答案 2＋π2

解析 该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个

底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，

∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.

板块二 典例探究·考向突破

考向 几何体的表面积

例1 (1)[2017·全国卷Ⅰ]某多面体的三视图如图所示，其中正视

图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )

A.10 B ．12 C ．14 D ．16

解析 观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而

成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形

的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12×(2

＋4)×2＝12.故选B.

(2)[2016·全国卷Ⅱ]下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三

视图，则该几何体的表面积为( )

A ．20π

B ．24π

C ．28π

D ．32π

答案 C

解析 由三视图可得圆锥的母线长为22＋(23)2＝4，∴S 圆锥侧＝

π×2×4＝8π.又S 圆柱侧＝2π×2×4＝16π，S 圆柱底＝4π，∴该几何体的表

面积为8π＋16π＋4π＝28π.故选C.

空间几何体表面积的求法

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几何体的直观图．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

【变式训练1】[2015·安徽高考]一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()

A．1＋ 3 B．1＋2 2 C．2＋ 3 D．2 2

答案 C

解析由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面ABD⊥平面BCD，△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形，AB＝AD＝BC ＝CD＝ 2.取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥CO，AO＝CO ＝1.由勾股定理得AC＝2，因此△ABC与△ACD为全等的正三角形，

由三角形面积公式得S△ABC＝S△ACD＝

3

2，S△ABD＝S△BCD＝1，所以四面

体的表面积为2＋ 3.故选C.