多元约束线性回归中异常值检验_唐年胜
回归分析中的异常值处理方法(Ⅱ)
在回归分析中，异常值是一个常见的问题。
异常值指的是与其他观测值明显不同的观测值，它们可能是由于测量误差、数据录入错误或者真实情况下的特殊情况所致。
在进行回归分析时，异常值可能会对模型的准确性和稳健性产生不利影响。
因此，处理异常值是回归分析中的一个重要环节。
一种常见的处理异常值的方法是通过观察数据分布的方式来检测异常值。
观察数据的分布可以通过绘制散点图、直方图或者箱线图来实现。
这些图形可以帮助我们直观地发现数据中的异常值。
在观察数据分布时，我们可以寻找与其他数据明显不同的数据点，这些数据点很可能就是异常值。
除了通过观察数据分布来检测异常值之外，我们还可以利用统计方法来辅助检测异常值。
统计方法包括计算数据的均值、标准差、四分位数等指标，然后根据这些指标来确定异常值的阈值。
一般来说，超过均值加减3倍标准差的数据点可以被认为是异常值，同样，四分位数也可以用来确定异常值的阈值。
一旦我们检测到异常值，我们需要考虑如何处理这些异常值。
处理异常值的方法有很多种，常见的方法包括删除异常值、替换异常值和使用鲁棒回归等。
删除异常值是最直接的方法，但是可能会导致数据的丢失，从而降低模型的准确性。
替换异常值可以通过将异常值替换为均值、中位数或者邻近数值来实现，这样可以保留数据的完整性，但是可能会引入额外的误差。
使用鲁棒回归可以通过采用对异常值不敏感的估计方法来实现，从而提高模型的稳健性。
除了上述方法之外，我们还可以尝试通过利用异常值来构建新特征的方式来处理异常值。
有时候，异常值可能包含了一些特殊的信息，通过将异常值作为新特征来加入模型中，可以提高模型的预测能力。
总的来说，处理异常值是回归分析中一个重要的环节。
通过观察数据分布、利用统计方法来检测异常值，然后选择合适的方法来处理异常值，可以帮助我们提高模型的准确性和稳健性。
在处理异常值时，需要综合考虑数据的完整性、准确性以及模型的预测能力，选择合适的方法来处理异常值。
希望本文的介绍可以帮助读者更好地处理回归分析中的异常值问题。
回归分析中的异常值处理方法(Ⅰ)
回归分析是统计学中一种常用的数据分析方法，通过建立自变量和因变量之间的数学关系模型，来预测或解释因变量的变化。
然而，在进行回归分析时，异常值的存在往往会对模型的建立和结果的准确性产生负面影响。
因此，如何有效处理异常值成为回归分析中的一个重要问题。
本文将围绕回归分析中的异常值处理方法展开讨论。
一、异常值的定义及影响异常值通常指在一组数据中与其他数据明显不同的值，它可能是由于测量误差、实验操作失误或者数据记录错误所造成的。
在回归分析中，异常值的存在会导致模型的拟合不准确，降低预测的准确性，甚至使得模型产生偏差。
因此，及时有效地处理异常值对于回归分析的结果具有重要意义。
二、异常值的识别方法在回归分析中，识别异常值是首要任务。
常用的识别方法包括基于统计学原理的方法和基于图形分析的方法。
基于统计学原理的方法主要包括箱线图、Z得分和学生化残差等方法，通过设定阈值或者计算得分来判断是否为异常值。
而基于图形分析的方法则是通过绘制散点图、残差图等图形来直观地观察数据的分布情况，从而识别异常值。
三、异常值的处理方法一旦识别出异常值，就需要对其进行处理。
常见的异常值处理方法包括删除、替换和转换。
删除异常值是最直接的方法，但可能会使得样本量减少，降低模型的稳健性。
替换异常值则是用其他数值代替异常值，可以选择用平均数、中位数或者最近邻值等进行替换，但需要注意替换后对模型结果的影响。
另外，转换异常值也是一种处理方法，可以对异常值进行变换，使其更接近于正常数据分布，如对数变换、平方根变换等。
四、异常值处理实例分析以某城市房价与面积的回归分析为例，假设样本数据中存在异常值。
首先，通过绘制散点图或者残差图来识别异常值，然后可以根据具体情况选择合适的处理方法。
如果异常值较少且对模型影响较大，可以考虑删除异常值；如果异常值较多或者无法确定其来源，可以考虑替换异常值；如果异常值分布较为集中，可以考虑对异常值进行转换。
五、结论回归分析中的异常值处理是一个复杂而重要的问题，需要根据具体情况选择合适的处理方法。
多元线性回归模型检验
多元线性回归模型检验引言多元线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究两个或多个自变量对目标变量的影响。
在应用多元线性回归前，我们需要确保所建立的模型符合一定的假设，并进行模型检验，以保证结果的可靠性和准确性。
本文将介绍多元线性回归模型的几个常见检验方法，并通过实例进行说明。
一、多元线性回归模型多元线性回归模型的一般形式可以表示为：$$Y = \\beta_0 + \\beta_1X_1 + \\beta_2X_2 + \\ldots + \\beta_pX_p +\\varepsilon$$其中，Y为目标变量，$X_1,X_2,\\ldots,X_p$为自变量，$\\beta_0,\\beta_1,\\beta_2,\\ldots,\\beta_p$为模型的回归系数，$\\varepsilon$为误差项。
多元线性回归模型的目标是通过调整回归系数，使得模型预测值和实际观测值之间的误差最小化。
二、多元线性回归模型检验在进行多元线性回归分析时，我们需要对所建立的模型进行检验，以验证假设是否成立。
常用的多元线性回归模型检验方法包括：1. 假设检验多元线性回归模型的假设包括：线性关系假设、误差项独立同分布假设、误差项方差齐性假设和误差项正态分布假设。
我们可以通过假设检验来验证这些假设的成立情况。
•线性关系假设检验：通过F检验或t检验对回归系数的显著性进行检验，以确定自变量与目标变量之间是否存在线性关系。
•误差项独立同分布假设检验：通过Durbin-Watson检验、Ljung-Box 检验等统计检验，判断误差项是否具有自相关性。
•误差项方差齐性假设检验：通过Cochrane-Orcutt检验、White检验等统计检验，判断误差项的方差是否齐性。
•误差项正态分布假设检验：通过残差的正态概率图和Shapiro-Wilk 检验等方法，检验误差项是否满足正态分布假设。
2. 多重共线性检验多重共线性是指在多元线性回归模型中，自变量之间存在高度相关性的情况。
多元线性回归模型的各种检验方法
对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββΛΛ22110 （1）的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。
特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。
如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。
具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。
t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。
什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。
我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21ΛΛ=。
这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。
（2） 条件期望值为0。
给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。
多元线性回归模型的各种检验方法
多元线性回归模型的各种检验方法多元线性回归模型是常用于数据分析和预测的方法，它可以用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
然而，仅仅使用多元线性回归模型进行参数估计是不够的，我们还需要对模型进行各种检验以确保模型的可靠性和有效性。
下面将介绍一些常用的多元线性回归模型的检验方法。
首先是模型的整体显著性检验。
在多元线性回归模型中，我们希望知道所构建的模型是否能够显著解释因变量的变异。
常见的整体显著性检验方法有F检验和显著性检查表。
F检验是通过比较回归模型的回归平方和和残差平方和的比值来对模型的整体显著性进行检验。
若F值大于一定的临界值，则可以拒绝原假设，即模型具有整体显著性。
通常，临界值是根据置信水平和自由度来确定的。
显著性检查表是一种常用的汇总表格，它可以提供关于回归模型的显著性水平、标准误差、置信区间和显著性因素的信息。
通过查找显著性检查表，我们可以评估模型的显著性。
其次是模型的参数估计检验。
在多元线性回归模型中，我们希望知道每个自变量对因变量的影响是否显著。
通常使用t检验来对模型的参数估计进行检验。
t检验是通过对模型的回归系数进行检验来评估自变量的影响是否显著。
与F检验类似，t检验也是基于假设检验原理，通过比较t值和临界值来决定是否拒绝原假设。
通常，临界值可以通过t分布表或计算机软件来获取。
另外，我们还可以使用相关系数来评估模型的拟合程度。
相关系数可以用来衡量自变量与因变量之间的线性关系强度，常见的相关系数包括Pearson相关系数和Spearman相关系数。
Pearson相关系数适用于自变量和因变量都是连续变量的情况，它衡量的是两个变量之间的线性关系强度。
取值范围为-1到1，绝对值越接近1表示关系越强。
Spearman相关系数适用于自变量和因变量至少有一个是有序变量或者都是有序变量的情况，它衡量的是两个变量之间的单调关系强度。
取值范围也是-1到1，绝对值越接近1表示关系越强。
最后，我们还可以使用残差分析来评估模型的拟合程度和误差分布。
回归分析中的异常值处理方法(八)
回归分析是一种用于探究变量之间关系的统计分析方法。
在进行回归分析时，我们常常会遇到异常值的问题。
异常值是指与其他观测值有显著差异的特殊观测值，它可能会对回归分析的结果产生影响。
因此，处理异常值是进行回归分析时必须重视的问题。
本文将从检测异常值的方法、异常值的处理原则以及常用的异常值处理方法等方面展开探讨。
异常值的检测方法在进行回归分析前，首先需要对数据进行异常值的检测。
常见的异常值检测方法包括离群值检测、箱线图检测、Cook's距离检测等。
离群值检测是一种基于数据分布的异常值检测方法，它通过计算观测值与均值的偏离程度来判断是否为异常值。
离群值检测方法的优点是简单易行，但缺点是对数据分布的假设较为严格。
箱线图检测是一种直观的异常值检测方法，通过绘制箱线图，可以清晰地看出数据的分布情况，从而判断是否存在异常值。
箱线图检测方法的优点是直观易懂，但缺点是对数据量较大时不够直观。
Cook's距离检测是一种基于回归分析残差的异常值检测方法，它通过计算每个观测值对回归系数的影响程度来判断是否为异常值。
Cook's距离检测方法的优点是能够直接评估异常值对回归结果的影响，但缺点是对多元回归模型的计算较为复杂。
异常值的处理原则在进行异常值处理时，需要遵循一些处理原则。
首先，需要谨慎处理异常值，不可以擅自删除或修改异常值，必须经过充分的分析和论证。
其次，需要考虑异常值对回归结果的影响程度，对于影响较小的异常值可以适当处理，对于影响较大的异常值需要谨慎处理。
最后，需要充分记录异常值的处理过程，以便后续分析和验证。
常用的异常值处理方法针对不同类型的异常值，可以采用不同的处理方法。
常用的异常值处理方法包括删除异常值、修正异常值和转换异常值等。
删除异常值是一种常见的异常值处理方法，它适用于对回归结果影响较大的异常值。
在删除异常值时，需要谨慎选择删除的观测值，不能盲目删除。
另外，删除异常值会导致样本量的减少，可能会影响回归结果的稳定性。
回归分析中的异常值处理方法(五)
回归分析中的异常值处理方法引言回归分析是一种用来探究变量之间关系的统计方法，通过建立一个数学模型来预测一个或多个自变量对因变量的影响。
然而，在实际应用中，由于数据收集和测量误差等原因，数据集中往往会存在异常值，这些异常值可能会对回归分析的结果产生严重影响。
因此，如何有效处理回归分析中的异常值成为一个重要的问题。
异常值的检测在进行回归分析之前，首先需要对数据集进行异常值的检测。
常用的方法包括Z分数法、Cook距离和杠杆统计量。
Z分数法是通过计算每个数据点的Z分数来判断其是否为异常值，Z分数的绝对值大于3通常被认为是异常值。
Cook距离用于检测在回归模型中对模型拟合产生影响的数据点，通常将Cook距离超过特定阈值的数据点视为异常值。
杠杆统计量则用于检测数据点对回归系数的影响程度，通常将杠杆统计量超过(2p/n)的数据点视为异常值，其中p为自变量的个数，n为样本容量。
异常值的处理方法一旦发现异常值，就需要对其进行处理。
常用的异常值处理方法包括删除、替换和转换。
删除异常值是最简单的处理方法，即直接将异常值从数据集中删除。
然而，这种方法可能会导致数据集的样本容量减小，从而影响回归分析的结果。
替换异常值是将异常值用其他数值代替，代替的数值可以是平均数、中位数或者是最近邻数值。
这种方法可以避免样本容量减小的问题，但是会改变数据的原始分布。
转换异常值是通过对异常值进行变换来降低其对结果的影响，常用的方法包括对数变换、幂变换和分位数变换。
这种方法可以保留数据的原始分布，但是需要根据具体情况选择合适的变换方法。
异常值处理的注意事项在处理异常值时，需要注意一些事项。
首先，需要根据具体问题和数据集的特点选择合适的异常值处理方法，没有一种方法适用于所有情况。
其次，需要在处理异常值之前对数据进行深入的探索和分析，了解异常值可能产生的原因。
最后，需要在处理异常值后重新进行回归分析，并对结果进行比较和评估，以确保异常值处理不会对结果产生过大的影响。
(整理)多元线性回归模型的各种检验方法.
对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1）的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。
特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。
如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。
具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。
t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。
什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。
我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。
这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。
（2） 条件期望值为0。
给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。
多元线性回归模型的各种检验方法
对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1） 的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。
特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。
如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。
具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。
t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。
什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。
我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。
这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。
（2） 条件期望值为0。
给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。
应用回归分析唐年胜答案
应用回归分析唐年胜答案1. 1 变量间统计关系和函数关系的区别是什么？答：变量间的统计关系是指变量间具有密切关联而又不能由某一个或某一些变量唯一确定另外一个变量的关系，而变量间的函数关系是指由一个变量唯一确定另外一个变量的确定关系。
1. 2 回归分析与相关分析的联系与区别是什么？答：联系有回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
区别有 a.在回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的特殊地位。
在相关分析中，变量 x 和变量 y 处于平等的地位，即研究变量 y 与变量 x 的密切程度与研究变量 x与变量 y 的密切程度是一回事。
b. 相关分析中所涉及的变量 y 与变量 x 全是随机变量。
而在回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量也可以是非随机的确定变量。
C. 相关分析的研究主要是为了刻画两类变量间线性相关的密切程度。
而回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。
1. 3 回归模型中随机误差项ε的意义是什么？答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究 y 与 x1, x2…. . xp 的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。
1. 4 线性回归模型的基本假设是什么？答：线性回归模型的基本假设有：1. 解释变量 x1. x2…. xp 是非随机的，观测值xi1. xi2…. . xip 是常数。
2. 等方差及不相关的假定条件为{E(εi) =0 i=1, 2….Cov(εi, ε j) =｛σ ^23. 正态分布的假定条件为相互独立。
4. 样本容量的个数要多于解释变量的个数，即 n>p.1. 5 回归变量的设置理论根据是什么？在回归变量设置时应注意哪些问题？答：理论判断某个变量应该作为解释变量，即便是不显著的，如果理论上无法判断那么可以采用统计方法来判断，解释变量和被解释变量存在统计关系。
多元线性回归模型的检验
多元线性回归模型的检验[1]多元性回归模型与一元线性回归模型一样，在得到参数的最小二乘法的估计值之后，也需要进行必要的检验与评价,以决定模型是否可以应用。
1、拟合程度的测定.与一元线性回归中可决系数r2相对应，多元线性回归中也有多重可决系数r2，它是在因变量的总变化中，由回归方程解释的变动（回归平方和）所占的比重，R2越大，回归方各对样本数据点拟合的程度越强，所有自变量与因变量的关系越密切.计算公式为:其中，2。
估计标准误差估计标准误差，即因变量y的实际值与回归方程求出的估计值之间的标准误差，估计标准误差越小，回归方程拟合程度越程.其中，k为多元线性回归方程中的自变量的个数。
3。
回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验，即检验整个回归方程的显著性,或者说评价所有自变量与因变量的线性关系是否密切.能常采用F检验，F统计量的计算公式为：根据给定的显著水平a,自由度(k，n—k-1)查F分布表,得到相应的临界值Fa，若F > Fa，则回归方程具有显著意义,回归效果显著;F 〈Fa,则回归方程无显著意义，回归效果不显著.4.回归系数的显著性检验在一元线性回归中,回归系数显著性检验(t检验）与回归方程的显著性检验（F检验）是等价的，但在多元线性回归中，这个等价不成立.t检验是分别检验回归模型中各个回归系数是否具有显著性，以便使模型中只保留那些对因变量有显著影响的因素。
检验时先计算统计量ti;然后根据给定的显著水平a，自由度n—k—1查t分布表，得临界值ta或ta / 2，t 〉t − a或ta / 2,则回归系数bi与0有显著关异,反之，则与0无显著差异。
统计量t的计算公式为：其中，Cij是多元线性回归方程中求解回归系数矩阵的逆矩阵（x’x）− 1的主对角线上的第j个元素。
对二元线性回归而言,可用下列公式计算:其中,5.多重共线性判别若某个回归系数的t检验通不过,可能是这个系数相对应的自变量对因变量的影平不显著所致，此时，应从回归模型中剔除这个自变量，重新建立更为简单的回归模型或更换自变量。
多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结
多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结常用的参数检验方法包括：回归系数的t检验、回归系数的显著性检验、决定系数（R-square）和方差分析（ANOVA）。
1.回归系数的t检验：回归系数的t检验用于检验回归系数是否显著。
在这里，我们假设零假设为回归系数等于0，备择假设为回归系数不等于0。
如果t值的绝对值大于临界值（通常取2），则拒绝零假设，即认为回归系数显著。
2.回归系数的显著性检验：回归系数的显著性检验用于检验回归系数是否显著不等于0。
一般情况下，我们使用p值来进行显著性检验。
如果p值小于显著性水平（通常取0.05），则拒绝零假设，即认为回归系数显著。
3. 决定系数（R-square）：决定系数用于衡量模型的拟合程度，表示因变量中能被自变量解释的比例。
决定系数的取值范围为0到1，越接近1表示模型的拟合程度越好。
但是，决定系数本身不能代表模型的好坏，因为它不考虑模型中所使用的自变量的数量和质量等因素。
4.方差分析（ANOVA）：方差分析用于检验模型整体的显著性。
方差分析的原假设为自变量对因变量没有影响，备择假设为自变量对因变量有影响。
通过计算方差分析中的F值来进行检验，如果F值大于临界值（通常取4），则拒绝原假设，认为模型整体显著。
在多元回归模型中，参数之间也存在一些相关关系。
1.多重共线性：多重共线性是指自变量之间存在高度相关性。
在多重共线性存在的情况下，模型的参数估计可能不准确，标准误差会增大。
可以通过计算自变量之间的相关系数矩阵来判断是否存在多重共线性，如果相关系数的绝对值大于0.7，则存在多重共线性。
2.自变量之间的相关性：自变量之间的相关性可以影响模型的解释和预测能力。
如果自变量之间存在高度相关性，可能需要对自变量进行筛选或变换，以减少相关性。
3.变量的重要性：通过参数的t检验或显著性检验可以确定回归系数的显著性，从而判断变量的重要性。
如果一些变量的回归系数显著，说明该变量对因变量有显著影响。
回归分析中的异常值处理方法(Ⅲ)
回归分析中的异常值处理方法回归分析是一种用来研究变量之间关系的统计方法，通过建立数学模型来探究自变量和因变量之间的关联程度。
然而，在现实数据中，常常会出现异常值，即与其他观测值明显不同的数值。
这些异常值会对回归分析结果产生影响，因此需要采取相应的异常值处理方法。
1. 数据可视化在进行回归分析之前，首先应对数据进行可视化，以便发现异常值。
常用的可视化方法包括散点图和箱线图。
散点图可以直观地展示自变量和因变量之间的关系，而箱线图则可以反映数据分布的离散程度，从而帮助发现异常值。
2. 基于标准差的异常值处理方法一种常见的异常值处理方法是基于标准差的方法。
在这种方法中，可以计算出数据的标准差，并将超出某个标准差范围之外的数据视为异常值。
通常情况下，超过3倍标准差的数值可以被认为是异常值。
3. 箱线图识别异常值箱线图是一种用来展示数据分布情况的图表，通过箱线图可以清晰地看出数据的中位数、上下四分位数以及异常值的分布情况。
在箱线图中，异常值通常被定义为小于下四分位数减倍四分位距或大于上四分位数加倍四分位距的数值。
4. 孤立森林算法孤立森林算法是一种基于树的异常值检测方法，通过构建随机森林来识别异常值。
在这种方法中，每个样本都被视为一个孤立点，算法通过测量样本点在树中的分裂次数来判断其异常程度。
孤立森林算法对于高维数据和大规模数据的异常值检测有较好的效果。
5. 基于距离的异常值处理方法基于距离的异常值处理方法是一种常用的异常值检测方法，通过计算数据点之间的距离来判断异常值。
其中，一种常用的方法是基于k近邻的异常值检测方法，通过计算每个数据点与其最近的k个邻居之间的距离来确定异常程度。
6. 局部离群因子局部离群因子是一种用于检测局部异常值的方法，它能够识别局部区域内的异常值而忽略全局分布情况。
局部离群因子的计算基于数据点周围邻居点的密度，从而可以准确地找出局部异常值。
7. 异常值处理的注意事项在进行异常值处理时，需要注意以下几点。
回归分析中的异常值处理方法(六)
回归分析是统计学中常用的一种方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在回归分析中，异常值是一个常见的问题，它们可能会对模型的准确性产生很大的影响。
因此，处理异常值是回归分析中非常重要的一部分。
在本文中，我们将探讨回归分析中的异常值处理方法。
异常值，又称离群值，是指在数据集中与其他观测值明显不同的数值。
异常值可能是由于测量误差、记录错误或者是真实存在的极端情况所导致的。
在进行回归分析时，异常值可能会对拟合的模型产生很大的影响，从而影响到模型的准确性和可靠性。
因此，处理异常值是非常重要的。
首先，一种处理异常值的方法是删除异常值。
这是最直接和简单的方法，但也是最容易引发争议的方法之一。
因为删除异常值可能会导致数据集的缩小，从而影响到模型的拟合和预测。
此外，删除异常值还可能导致数据集的偏倚，从而影响到统计推断的可靠性。
因此，在实际应用中，删除异常值需要谨慎对待，需要考虑到异常值对模型的影响程度以及数据集的大小等因素。
另一种处理异常值的方法是替换异常值。
替换异常值的方法有很多种，比如用中位数、均值或者是最近邻的数值来替换异常值。
这种方法相对于删除异常值来说，可以保持数据集的完整性，同时也可以减小异常值对模型的影响。
但是，替换异常值也需要谨慎操作，要考虑到替换方式对模型的影响以及替换后数据的分布是否发生了改变。
除了删除和替换，还有一种处理异常值的方法是使用鲁棒回归。
鲁棒回归是一种对异常值较为敏感的回归方法，它可以通过对残差进行加权或者使用不同的损失函数来减小异常值对模型的影响。
与传统的最小二乘法相比，鲁棒回归可以更好地抵抗异常值的干扰，从而得到更加稳健的估计结果。
另外，还有一种处理异常值的方法是使用高级统计技术，比如局部敏感度分析和离群值检测算法。
这些方法可以帮助研究人员更好地识别异常值，并对异常值进行针对性的处理。
不过，这些方法通常需要较高的专业知识和技能，因此在实际应用中需要谨慎使用。
在回归分析中处理异常值是一个复杂而又重要的问题。
回归分析中的异常值处理方法(七)
回归分析是统计学中一种常用的分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
然而，在实际应用中，数据往往受到各种因素的影响，包括测量误差、数据录入错误等，这些因素都可能导致回归分析中出现异常值。
异常值的存在会对回归分析结果产生负面影响，因此需要采取相应的方法进行处理。
本文将探讨回归分析中的异常值处理方法。
首先，我们需要了解异常值的概念。
异常值，又称离群值，是指在数据集中明显偏离其他观测值的数值。
异常值可能是由于实际存在的极端情况，也可能是由于测量错误或数据录入错误所导致。
在回归分析中，异常值的存在会对模型的拟合产生扰动，使得参数估计偏离真实值，降低模型的预测能力。
为了处理异常值，我们可以采取以下几种方法。
首先，一种常用的方法是基于统计学的标准来识别异常值。
例如，可以计算数据的均值和标准差，然后将与均值相差超过3倍标准差的观测值标记为异常值。
这种方法简单直观，但对数据分布的偏态和厚尾情况处理能力有限。
其次，我们可以利用箱线图来识别异常值。
箱线图能够直观地显示数据的分布情况，通过观察箱线图的上下边界和离群点来识别异常值。
这种方法对数据分布的偏态和厚尾情况处理能力较强，是一种常用的异常值识别方法。
除了识别异常值，我们还需要考虑如何处理异常值。
一种常用的方法是删除异常值。
当异常值是由于数据录入错误或测量误差导致时，可以考虑将异常值从数据集中删除。
然而，删除异常值可能会导致数据丢失和样本量减小，从而影响模型的稳定性和预测能力。
另一种处理异常值的方法是进行变换。
对于偏态分布和厚尾分布的数据，可以考虑进行对数变换或Box-Cox变换，将数据转化为近似正态分布，从而减小异常值对模型的影响。
这种方法能够有效地提高模型的稳定性和拟合效果。
此外，我们还可以利用鲁棒回归模型来处理异常值。
鲁棒回归模型能够对异常值具有一定的容忍性，通过使用稳健的估计方法，减小异常值对模型参数估计的影响。
这种方法对于含有大量异常值的数据集效果显著，能够提高模型的鲁棒性和预测能力。
多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结
多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结1.F检验：F检验用于判断整个回归模型是否显著，即自变量在一起解释因变量的效果是否显著。
通过计算回归模型的F统计量，然后与F分布进行比较，进行假设检验。
若F统计量显著，则拒绝原假设，即回归模型具有显著的解释效果。
2.t检验：t检验用于判断各个自变量的系数是否显著，即自变量对因变量是否有显著影响。
通过计算各个自变量的t统计量，然后与t分布进行比较，进行假设检验。
若t统计量显著，则拒绝原假设，即该自变量具有显著影响。
3.R方检验：R方是一个衡量回归模型拟合优度的指标，表示因变量的变异能够被自变量解释的比例。
R方的取值范围为0到1，越接近1表示模型对观测数据的拟合程度越好。
可以使用R方来判断模型是否拟合良好，但需要注意过高的R方可能意味着过拟合。
4.回归系数的置信区间：对回归模型的回归系数进行置信区间估计，判断回归系数是否显著。
如果回归系数的置信区间包含零，则不能拒绝原假设，即该回归系数不显著。
相反，如果回归系数的置信区间不包含零，则拒绝原假设，即该回归系数显著。
5. Durbin-Watson检验：Durbin-Watson检验用于检验回归模型自相关性的存在。
自相关性指的是误差项之间存在相关性。
Durbin-Watson检验的统计量为DW值，其取值范围为0到4，DW值接近2表示无自相关性，DW值小于2表示存在正自相关性，DW值大于2表示存在负自相关性。
各种参数检验之间存在一些相关关系1.R方与F检验：R方是回归模型拟合程度的评估指标，而F检验用于判断整个回归模型的显著性。
R方较高时，F统计量一般也较大，说明回归模型的解释效果显著。
2.回归系数与t检验：回归模型的回归系数用于表示自变量对因变量的影响程度，t检验用于判断回归系数是否显著。
当回归系数较大时，其对应的t统计量也较大，说明这个自变量对因变量有显著影响。
3.回归系数与置信区间：回归系数的置信区间反映了回归系数的不确定性。
回归分析中异常值的诊断与处理
回归分析中异常值的诊断与处理1 引言对调查得到的大量原始数据进行加工处理，提取其中有用的信息，即统计整理，是进一步进行统计分析的前提．但是通常的统计整理方法往往都对样本数据有一个前提假设，即样本数据是来自同一个总体，而这个假设有时却不能成立．原因一是由客观因素造成的，如总体条件的突然变化或人们未知的某个因素的突然出现等等；二是由主观方面的因素造成的，即人为的差错如调查人员读错或抄错数据，不小心把另一些不同条件下的样本数据混杂进来．当样本中的个别数据明显的偏离样本中其余数据时，这些数据可能是来自不同的总体，我们称这样的数据为异常数据．若对混有异常数据的样本按常规进行统计整理、分析、推断，往往会得出不符合实际的结论．本文就样本中的异常数据提出了诊断方法和处理方法，并结合实例说明了简单回归中上述方法的具体应用．2 异常值的概念所谓异常值就是在所获统计数据中相对误差较大的观察数据，也称奇异值(Outliers)．狭义地定义异常值就是一批数据中有部分数据与其余数据相比明显不一致的数据，也称离群值．社会经济统计中一切失实数据统称为异常值．由于人为或随机因素的影响，失实的数据随时都有可能出现，因而统计数据中的任何一个都有可能成为异常值，而狭义界定的异常值是指离群值，如果把统计数据按由小到大排列，若有异常值，它必位于其数据的两端，左端称为异常小值，右端的称为异常大值．残差：考虑线性回归模型y X e β=+，()0E e =，()2n Cov e I σ=．()1 其中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y y 21，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---1,11,2211,111111p n n p p x x x x x x X ，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-110p ββββ ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n e e e e 21． 分量形式为011,11i i i p p i y x x e βββ--=++++，n i ，， 1=．()2 定义ˆˆˆey y y X β=-=-为残差向量，其中ˆˆy X β=称为拟合值向量，βˆ为β在模型()1下的最小二乘估计．如果用n x x '',1表示X 的n 个行向量，则称 ˆˆi i i ey x β'=-， n i ，， 1=， 为第i 次试验或观测的残差．对简单回归，12111n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y y 21，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10βββ．则ˆˆiiie y x β'=-，n i ，， 1=，其中()1,i ix x '=．于是，异常值就是在回归分析中，一组数据()i i y x ,'如果它的残差i eˆ较其它组数据的残差大的多，则称此数据为异常值．异常值的出现有主客观的原因．主观上抽样调查技术有问题，疏忽大意记错，或人为的虚报，谎报数据等都可能导致异常数据，这直接影响了统计数据的质量；客观上某些样品由于特定原因在某些变量上的确表现突出，明显超出平均水平，这也可能产生异常值．异常值的存在必将导致相应统计分析误差增大，会对分析结果(平均值与标准差)产生重要影响，会降低测量的精度．如果不预先处理它们，用通常的统计整理方法所得出的结论可靠性差．而异常值的诊断与处理是保证原始数据可靠性，平均值与标准差计算准确性的前提．3 异常值的诊断方法在讨论异常值诊断问题时，通常要假设所得样本观测值在某中意义下遵从一定的分布规律．拿到一批数据，若能从其实际背景中明确看出它服从某中分布形式时，一般的做法是在这种分布假设下，导出能较好反映异常值与正常值差异的统计量，在没有异常值的原假设下作假设检验．以下给出两种检验方法．3.1 F 分布检验法学生化残差：考虑线性回归模型()1，记ˆˆyX β=，称y ˆ为拟合值向量，称其第i 个分量βˆˆi i x y'=为第i 个拟合值，则 ()1ˆy X X X X y Hy -''==，这里()1H X X X X -''=．文献中通常称H 为帽子矩阵．前面已经定义了ˆˆi i i ey x β'=-, n i ，， 1=， 为第i 次试验或观测的残差．将其标准化为iii h e-1ˆσ，再用σˆ代替σ，得到所谓学生化残差ii i i h e r -=1ˆˆσ， n i ， ,1=，这里ii h 为H 的第i 个对角元，pn eni i-=∑=122ˆˆσ．把正态线性回归模型()1改写成分量形式i i i e x y +'=β，()2,0~σN e i ，n i ，， 1=，这里i e ，)1(n i ，， =相互独立．如果第j 组数据()j j y x ,'是一个异常点，那么它的残差就很大．它的残差之所以很大是因为它的均值()j y E 发生了非随机性漂移η．从而()ηβ+'=j j x y E ．这产生了一个新的模型i i ijj j y x e y x e ββη'=+⎧⎪⎨'=++⎪⎩ ()2~0,,i i j e N σ≠ ()3 记[]0,,0,1,0,,0j d '=．将模型()3改写成矩阵的形式j y X d e βη=++， ()I N e 2,0~σ， ()4模型()3和()4称为均值漂移线性回归模型．要判定()j j y x ,'不是异常点，等价于检验假设0=η：H ．引理1 用()i y ，()i X 和()i e 分别表示从Y 、X 和e 剔除第i 行所得到的向量或矩．从线性回归模型()1剔除第i 组数据后，剩余的1-n 组数据的线性回归模型为()()()i i i y X e β=+，()()0i E e =，()()21n i Cov e I σ-=． ()5 将从这个模型求到的β的最小二乘估计记为()i βˆ，则 ()()i iii i x X X h e11ˆˆˆ-'--=ββ． 证明：因为()()()()()()1ˆi i i i i X X X y β-''=． ()6设A 为n n ⨯可逆阵，v u 和均为1⨯n 向量．用恒等式()vA u A v u A A v u A 111111-----'-'+='-有()()()()()()()111111i i i i iiiiX X x x X X X X X X x x X X h -----'''''''=-=+-， ()7这里i x '为X 的第i 行．将上式两边右乘X y '，并利用()()i i i i X y X y y x ''=+以及()6式，有()()()()()()iii i ii i i i h x x X X x X X y -''-'+=--1ˆˆˆ11βββ．()8将()7式右乘i x ，可以得到如下关系式()()()()i iii iix X X h x X X 1111--'-='． 将其代入()8式，得到()()i iii i x X X h e11ˆˆˆ-'--=ββ． 引理2 对均值漂移线性回归模型()4，β和η的最小二乘估计分别为()j ββˆ=*和j jje h ˆ11-=*η，其中()j βˆ为从非均值漂移线性回归模型()1剔除第j 组数据后得到的β的最小二乘估计．()()X X X X h H jj ''==-1，jj h 为H 的第j 个对角元．j eˆ为从模型()2导出的第j 个残差． 证明：显然，j j y y d ='，1='j j d d ．记()12,,,n X x x x '=．则j j x d X ='．于是，根据定义()111j j j j j j X X X Xx X y Xd y d d x y βη-*-*''''⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤==⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦． 根据分块矩阵的逆矩阵公式(见附录1)，以及()j j jj x X X x h 1-''=．()()()()()()()()111111111111111111ˆˆ1111ˆ111ˆˆ11ˆ1j j j jj jj j j jj jjj j j j jj jjj j jj jj j j jjj jj X X X X x x X X X X x h h X y y x X X h h X X x x X X x y h h x y h h X X x e h e h βηββββ----**----⎡⎤'''''+-⎢⎥--'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦''-⎢⎥--⎣⎦⎛⎫'''+- ⎪--⎪= ⎪'-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎛'--=-⎝⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭． 再由引理1知命题得证．现在应用引理来求检验0=η：H 的检验统计量．注意到，对现在的情形，在约束条件0=η下，模型()4就化为模型()1，于是=H RSS 模型()1无约束情形下的残差平方和 y X y y ''-'=βˆ． 而模型()4的无约束残差平方和y d y X y y RSS j '-'-'=**'ηβ． ()9利用引理2得()2ˆˆˆ1ˆˆ111H jj j j j j jj jj jjRSS RSS X y d y e y e e x h h h ββηβ**'''-=-+'=-+=---．这里βˆˆj j j x y e'-=为第j 组数据的残差． 利用*β和*η的具体表达式将()9式作进一步化简：jj j j jjj j h y e h y e y X y y RSS ---+''-'=1ˆ1ˆˆˆβ=()jjj h e p n ---1ˆˆ22σ，其中pn eni i-=∑=122ˆˆσ．根据引理2，所求的检验统计量为()()()()22222111ˆ1ˆ1ˆ1jj jj j jj jH r p n r p n h p n e p n p n h e p n RSS RSSRSS F ----=--------=---=σ． 于是，我们证明了如下事实：定理[]2 对于均值漂移线性回归模型()4，如果假设0=η：H 成立，则()1,122~1------=p n j j j F r p n r p n F ．据此，我们得到如下检验：对给定的()10<<αα，若()()α1,1221-->----=p n jj j F rp n r p n F ，则判定第j 组数据()j j y x ,'为异常点．当然，这种检验会犯“判无为有”的错误，也就是()jjy x ,'可能不是异常点，而被误判为异常点．但我们犯这种错误的概率只有α，事先我们可以把它控制的很小．显然，根据t 分布与F 分布的关系，我们也可以用t 检验法完成上面的检验．若定义()()212211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----==j j j j r p n p n r F t ． 对给定的α，当⎪⎭⎫⎝⎛>--21αp n j t t时，我们拒绝假设0=η：H ．即判定第j 组数据()j j y x ,'为异常点．3.2 残差及残差图检验异常值前面定义了βˆˆX y e-=，称为残差向量，其分量形式ˆˆi i i e y x β'=-，()1,,i n =，称为第i 次试验或观测的残差．特别地，对简单回归，()i i x x ，1='，n i ，， 1=．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n i i n i i i x n x y x n y x x y 1221110ˆˆˆˆββββ．所以，()i i i x y e 10ˆˆˆββ+-=，n i ，， 1=． 残差是最重要的一种回归诊断量，它蕴涵了有关模型基本假设的许多重要信息．残差分析就是对残差进行统计处理，从中提炼出这些信息的方法．而残差图就是残差分析中使用的基本工具．所谓残差图就是残差i eˆ对因变量y 或自变量n X X X ，， 21,，或其它导出统计量（如拟合值i yˆ）的点子图，有时候也用残差对时间或对数据序数的点子图．最简单的图，尤其在简单回归中，为残差i eˆ对拟合值i y ˆ的图． 所谓异常数据就是相对于其它观测值来说，具有大的残差的数据点．利用残差及残差图检验异常值的方法是用所给数据计算出残差i eˆ，与其余观测值的残差进行比较，具有大的残差的数据点被怀疑为异常值．然后作出自变量与因变量的散点图，残差i eˆ对拟合值i y ˆ的残差图以及残差i eˆ对自变量i x 的残差图，从图中观察，那些远离大多数观测点的孤立的点有理由被认为是异常点．然后从数据中删除这些点，再次估计回归方程，作出X 与Y 的散点图以及i eˆ对i y ˆ的残差图，计算标准差，与删除前进行比较． 4 提出两种处理方法4.1 采用虚拟变量消除异常值的影响（1） 虚拟变量某类变量（如性别、种族、颜色、宗教、国家、战争、地震等）常常表示某属性是否存在，如男或女，黑种人或白种人，教徒或非教徒，对于这类变量可用“数量化”方法设计人为变量来表示，如用 “0”或“1”，“0”表示不存在某种属性，“1”表示存在该属性．例如：用“1”表示男性，“0”表示女性，或用“1”表示大学毕业，“0”表示没有大学毕业，等等．这样假设的变量，如“0”或“1”称为虚拟变量，也称为类型变量或属性变量，它的主要特点就是将一些可以划分为不同类型或属性的变量用“0”和“1”分别表示，即属于某一类型的变量用“1”表示，不属于这一类型的变量用“0”表示．这里用D 表示虚拟变量．（2） 处理异常值的方法在这里，我们用虚拟变量（0或1）把试验数据划分为两类，属于异常值一类用“1”表示，属于正常值一类用“0”表示．引入虚拟变量D ，建立回归方程：01122221ˆˆˆˆˆp p p Y X X X D βββββ---=+++++， 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y Y 21，111,11212,121,1111p p n n p n x x d x x d X x x d ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，011ˆˆˆˆp ββββ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n d d D d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．特别地，对简单回归，建立回归方程：012ˆˆˆY X D βββ=++， 其中，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y Y 21，1122111n n x d x d Z x d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()0112ˆˆˆˆZ Z Z y ββββ-⎡⎤⎢⎥''==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 利用所给数据，作出回归估计．这样，异常值的影响被虚拟变量D 的系数吸收，从而估计更接近于现实．4.2 剔除异常值的方法对于测定中的异常值的剔除，我们必须持慎重态度，不能贸然从事．否则会出现误删有效数据或保留异常数据的错误．通常处理步骤大致如下：（1）初分析：首先利用所给数据作出回归估计：βˆˆX y=． 其中111,1212,11,1111p p n n p x x xx x x x ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()y X X X p ''=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--1110ˆˆˆˆββββ ．特别地，对简单回归，x y 10ˆˆˆββ+=，其中x y 10ˆˆββ-=，∑∑==--=ni ini ii x n xy x n yx 12211ˆβ，并计算标准差：s =值i yˆ、残差i e ˆ，并列入表．然后作出i x 与i y 的散点图，拟合值i y ˆ与残差i e ˆ的残差图，分析判别出异常值．（2）判别出异常值后，从测量数据中删除异常值，然后利用余下的观测值再次作回归估计，同第一步，计算标准差、拟合值以及残差，作出删除异常数据后的散点图与残差图．（3）对比删除异常值前后的标准差以及残差图．对于单一可疑异常数据，直接按上述步骤进行剔除异常值．对于多个可疑异常值的情况，上述剔除步骤反复逐次进行至无可剔除为止．通常可采用两种方法：向前逐一剔除法（从极大值依次向次大值逐一剔除）和向后逐一剔除法（从可疑的j 个最大值依次从小到大逐一剔除）．5 实例分析5.1 实例一假定某调查数据X 和Y 由表1中给出．表1 数据X 和Y根据表中数据作回归估计，得回归方程：ˆ0.6610.837yx =+．并算得 ()()457.0ˆ112212=---=∑∑==n i ini i iy yy yR ．表2 各组数据的诊断统计量()120.05 3.65t =．从表2最后一列可以看出只有841.96=t 超过这个值，于是我们诊断出第六号数据为异常值．然后引入虚拟变量D ，建立回归方程：D x Y 210ˆˆˆβββ++=，作回归估计．令 βˆZ Y =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=15152211111d x d xd x Z ，()y Z Z Z ''=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1210ˆˆˆˆββββ． 得0ˆ0.303β=-，1ˆ 1.007β=，2ˆ 4.985β=．所以，回归模型为：ˆ0.303 1.007 4.985y x D =-++．并且算得993.02=R ．从2R 的值来看，这个回归方程［见图2中()2］要比未采用虚拟变量所估计的回归方程［见图2中()1］其拟合程度好多了．这是因为异常值的影响被虚拟变量D 的系数吸收，所以比处理前求得的估计值更接近于现实．因此虚拟变量是消除异常值的影响，探求变量之间真正关系的一种有效方法．01234567812345675.2 实例二表3给出了Forbes 数据．表3 Forbes 数据根据表中数据，(气压用100log ⨯的数据)，估计回归方程，算得x y 895.0131.42ˆ+-=．计算出Forbes 数据的拟合值及残差，如表4，进一步作出散点图（图3）、残差i eˆ对拟合值i y ˆ的残差图（图4）．表4 Forbes 数据的拟合值及残差-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.21.41.6比较表中所列的残差，并观察残差图，我们发现序号12的残差比其它的残差大的多．其它残差的绝对值都小于0.35，而第12号数据的残差为1.36．并且从残差图（图4）中观察到第12号数据的跳跃度比较大，远离其它点．由残差及残差图法诊断出第12号数据为异常数据．然后剔除第12号数据．再估计回归方程，重新拟合数据，检查参数估计，拟合值，残差方差的变化．删除第12号数据后，得到回归方程：x y891.0302.41ˆ+-=． 表5 Forbes 数据中删除12号数据后的拟合值及残差图４ Forbes 数据的残差图ˆi yˆi e-2.5-2-1.5-1-0.50.511.522.5表6 删除异常值前后的比较量对删除异常值前后的结果进行对比，我们得到对于删除前后获得的参数估计基本是相同的，所以第12号数据是无关的．但是，第12号数据在标准误差上的影响要显著些．删除后标准误差减小约3.1倍，方差减小约10倍．并且，从删除异常值获得的残差图()图5和散点图（图6）显示出，对余下的16个数据无明显的拟合失败．图5 Forbes 数据中删除12号数据后的残差图ˆi yˆi e6 结束语异常值的诊断与处理问题是一个很有实际意义的问题，是一个逐步研究逐步实践的问题．但迄今为止，还没有一种广泛适用的方法，本文所介绍的方法也是一种尝试，对于异常值的诊断与处理问题的研究还有待于进一步完善．致谢本文在撰写过程中得到了李惠东老师的悉心指导和大力支持．在论文撰写过程中遇到的难点和疑点李老师都给我作了详细的讲解，并提供了许多有参考价值的资料和专业软件，使我学到了很多知识和方法．在此表示深深的敬意与感谢．参考文献[1] 魏立力.概率论与数理统计[M].银川:宁夏人民出版社,1999.[2] 王松桂等.线性模型引论[M].北京:科学出版社,2004.[3] 何平.剔除测量数据中异常值的若干方法[J].数理统计与管理,1995,(1):19-22.[4] 王静龙,梁小筠,等译.应用线性回归[M].北京:中国统计出版社,1998.[5] 刘宗鹤,赵明强译.计量经济学概论[M].北京:农业出版社,1988.附录1：分块矩阵的逆矩阵：设0>A ，将其分块为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A AA ，则它的逆矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=-⋅--⋅-⋅---⋅---1122111211122112212111111211122*********A A A A A A A A A A A A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----⋅---⋅---⋅-⋅122121************211211221221212111211A A A A A A A A A A A A A ． 这里 121112122122A A A A A -⋅-=，211221211211A A A A A -⋅-=．附录2：SPSS处理实例1数据：1．未用虚拟变量的数据处理：RegressionModel Summary(b)b Dependent Variable: YCoefficients(a)Casewise Diagnostics(a)Case Number Std. Residual Y PredictedValue Residual1 -.516 .90 1.5815 -.68152 -.405 1.80 2.3348 -.53483 -.443 2.00 2.5859 -.58594 -.420 2.70 3.2555 -.55555 -.508 2.50 3.1718 -.67186 3.401 7.50 3.0044 4.49567 -.257 3.00 3.3392 -.33928 -.258 3.50 3.8414 -.34149 -.385 3.50 4.0088 -.508810 -.133 4.00 4.1762 -.176211 -.135 4.50 4.6784 -.178412 -.035 4.80 4.8458 -.045813 .053 5.00 4.9295 .07052．引进虚拟变量后的数据处理：Model Summary(b)b Dependent Variable: YCoefficients(a)Casewise Diagnostics(a)Case Number Std. Residual Y PredictedValue Residual1 .606 .90 .8038 .09622 .569 1.80 1.7097 .09033 -.073 2.00 2.0117 -.01174 -.736 2.70 2.8169 -.11695 -1.362 2.50 2.7162 -.21626 .000 7.50 7.5000 .00007 .519 3.00 2.9176 .08248 -.135 3.50 3.5215 -.02159 -1.403 3.50 3.7228 -.222810 .478 4.00 3.9241 .075911 -.176 4.50 4.5280 -.028012 .445 4.80 4.7293 .070713 1.071 5.00 4.8300 .170014 -1.486 5.50 5.7359 -.235915 1.684 5.50 5.2326 .2674a Dependent Variable: Y附录3：SPSS处理实例2的数据：1．删除前的数据处理：Coefficients(a)a Dependent Variable: YModel Summary(b)a Predictors: (Constant), Xb Dependent Variable: YCasewise Diagnostics(a)Case Number Std. Residual Y PredictedValue Residual1 -.651 131.79 132.0366 -.24662 -.178 131.79 131.8575 -.06753 -.161 135.02 135.0812 -.06124 .056 135.55 135.5289 .02115 .094 136.46 136.4244 .03566 -.111 136.83 136.8721 -.04217 .138 137.82 137.7676 .05248 .141 138.00 137.9466 .05349 -.410 138.06 138.2153 -.155310 -.200 138.05 138.1257 -.075711 -.383 140.04 140.1853 -.145312 3.587 142.44 141.0808 1.359213 .004 145.47 145.4685 .001514 -.851 144.34 144.6626 -.322615 -.642 146.30 146.5431 -.243116 -.205 147.54 147.6176 -.0776a Dependent Variable: Y2．删除后的数据处理：a Dependent Variable: YModel Summary(b)b Dependent Variable: YCasewise Diagnostics(b)Case Number Std. Residual Y PredictedValue Residual Status1 -1.759 131.79 131.9893 -.19932 -.186 131.79 131.8111 -.02113 .013 135.02 135.0185 .00154 .759 135.55 135.4640 .08605 .927 136.46 136.3549 .10516 .261 136.83 136.8004 .02967 1.136 137.82 137.6914 .12868 1.152 138.00 137.8696 .13049 -.679 138.06 138.1369 -.076910 .020 138.05 138.0478 .002211 -.503 140.04 140.0970 -.057012 1.028 145.47 145.3536 .116413 -1.870 144.34 144.5518 -.211814 -1.084 146.30 146.4228 -.122815 .425 147.54 147.4919 .048116 .360 147.80 147.7592 .040817 . . . . M(a)a Missing Caseb Dependent Variable: Y。
回归 统计谬误
回归统计谬误
回归统计谬误是指在回归分析中可能出现的错误或误解。
以下是常见的回归统计谬误：
1. 多重共线性：当自变量之间存在高度相关性时，回归模型的结果可能不可靠。
多重共线性会导致自变量之间的解释效果变得模糊，使得模型的解释能力下降。
2. 异方差性：异方差性指误差项的方差在自变量取值不同的情况下不一致。
如果忽视了异方差性，回归模型的标准误差可能被低估或高估，导致对系数的显著性判断出现错误。
3. 自相关：自相关指误差项之间存在相关性，即误差项不是独立同分布的。
如果忽视了自相关，回归模型的标准误差可能被低估，导致对系数的显著性判断出现错误。
4. 异常值：异常值是指与其他数据点明显不同的观测值。
异常值可能会对回归分析的结果产生显著影响，特别是在较小样本或单一观测值的情况下。
5. 非线性关系：回归模型默认为自变量与因变量之间存在线性关系，但实际情况可能是非线性的。
如果忽略了非线性关系，回归模型的拟合程度可能较差。
6. 样本选择偏差：样本选择偏差是指样本的选择方式与研究问题相
关，导致回归模型的结果不具有普遍性。
样本选择偏差可能导致回归分析结果的误导性。
为避免回归统计谬误，研究者应该在回归分析中仔细考虑数据的质量和特征，并采取适当的方法来处理可能的问题。
此外，使用多种分析方法和进行敏感性分析也可以帮助减少回归统计谬误的影响。
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为已知阵 , 且 rank(A)= q , In 表示 n 阶单位阵 .E 表示矩阵 E 按列拉直后所成随机向量 , E 服从正
态分布 N n×p(0 , V In), 意即 E ～ N np(0 , V In).B 的最小二乘估计(以下简记为 LSE)即为最
佳线性无偏估计(以下简记为 BL UE)为
(30)
2
在给出 λn 的分布之前 , 我们先介绍一个重要的定
理.
定理 3 对于模型(4)有
W2 ～ Wp(n -m +q -k , V) W1 E′I(I -PI +QI(M))-1 EI ～
(3 1)
Wp(k , V)
(3 2)
且二者相互独立 , 因而
|W 2 |/ |W |～ ∧ (p , n -m +q -k , k) (33)
异常值的检验问题近年来一直是统计诊断中 一个比较活跃的研 究课题[ 1] .由于 多元回归分析
已广泛应用于工业 、农业 、经 济 、生物和医学等领
域 , 且在实际问题中 , 由于种种原因 , 人们往往对参
数或多或少有些了解 , 总有一些先验信息 .换句话
说 , 参数常常是带有某种约束的 .因此 , 研究带约束
1 63
= Y -X Bc(I)-D(Y I -XIB c(I)) =E c +X (X′X )-1(I M (X′X′)-1)X′I(I PI +QI(M))-1 EI -D(EI +X I(X′X )-1(I M(X′X)-1)X′I(I -PI + QI(M))-1 EI)
1 62
云南大学学报(自然科学版) 第 22 卷
Y 1 =D′Y , EI =D′Ec , P = X (X′X )-1X′, PI = D′PD , 其余类推 .
本文用较简单的方法讨论了带约束的多元线 性回归模型的数据删除模型和相应的均值漂移模 型的统计量之间的等价性 , 从而推广了文[ 1] 中无 约束情况下的异常值检验的相应结果 .
1 主要结论
定理 1 对于模型(4)和(5)式 , 有 Bca =Bc(I), Eca = Ec(I)
(6)
Wca = W 2 , Vca = Vc(I)
(7)
证明 对于模型(4), 求 B 的 LSE Bc(I)的目
标函数为
(B , Λ)=t r{(Y (I)-X(I)B)′(Y (I )-
max L(B , , V) B , , V >0 , A′B =0
=(2 π)-n2p
1 n
Wca
-n2
exp{-
np 2
}
(27)
当假设(17)式中 H 0 成立时 , 模型(5)式即为模型
(1)式 , 则由多元统计分析理论[ 3] 得模型(1)式的
似然函数的最大值为
Bm, Vax>0 L(B , V)=(2π)-n2p
证明 由 A′B =0 知存在一个 m ×(m -q)
阶列满秩阵 L 使得B =Lθ, A′L =θ.于是模型(1)
式转化为无约束多元线性回归模型
Y = XL θ+E
(2 2)
由此即得 B 的另一 LSE
B c= L [ L′(X′X )L] -1 L′X′Y
(2 3)
比较(2)与(23)式和由 LSE 的唯一性知
H0 :i =0 H 1 :i ≠0
(1 8)
定理 2 对模型(1)和(4)式 , 有
Bc(I)=Bc -(X′X)-1(I -M(X′X)-1)X′I(I -
PI +QI(M))-1EI
(19)
Ec(I)= Ec -HD(I -PI +QI(M))-1 EI
(2 0) W2 = W -E′I(I -PI +QI(M))-1 EI (21)
QI(M ))-1D′H Ec =+E′I(I -PI +QI(M))-1D′HD(I PI +QI(M))-1 EI = W -E′I(I -PI +QI(M))-1 EI .证毕 下面我们来讨论检验假设(17)的似然比检验
问题 . 对模型(5), 由多元统计分析理论[ 3] 知 , 在约
束条件 A′B =0 下 , 似然函数的最大值为
3.楚雄师范高等专科学校 , 云南 楚雄 675000)
摘要 :讨论了带约束的多元线性回归模型中异常值的检验问题 , 证明了带约束的多元数据删除模型与相应 的均值漂移模型的统计 量之间的等价性 , 得到了异常值检验的似然比统计量 及其分布 .
关键词 :多元线性回归 ;约束 ;异常值 ;似然比检验 ;分布 中图分类号 :O 212 .4 文 献标识码 :A 文章编号 :0258 -7971(2000)03-0161-04
A′B =0
的解 .
(11)
对于模型(5), 求 B 的 LSE Bca 的目标函数为 (B , , Λ)=tr{(Y -XB -D )′·
(Y -XB -D )+2 Λ′A′B } (12)
使(12) 式 达 到 最 小 值 的 唯 一 解 即 为 B 的 BL U EBca 线性回归模型(1)式的异常值的检验具有十
分重要的意义 .
考虑多元约束线性回归模型
Y = XB +E , A′B =0 E ～ N n×p(0 , V In)
(1)
式中 :Y n×p =(y1 , … , yn)′为因变量的 n 次观测数 据阵 , X n×m =(x 1 , … , xn)′为自变量的已知设计 阵 , 且 rank(X )= m , B m ×p = (β0 , β1 , … , βm -1)′ 为未知回归系数阵 , En×p =(e1 , …en)′为随机误 差阵 , Vp×p 为未知参数阵 , Am ×q = (a1 , …, am )′
X IL(L′X′XL )-1 L′X′I] -1E I (26)
将(24)代入(26)式即得(19)式 .
由定理 1 和(19)及公式
I +A(I - A)-1 =(I -A)-1
得
Ec(I)= Eca = Y -X Bca -D
第 3 期 唐年胜等 :多元约束线性回归中异常值检验
L [ L′(X′X)L ] -1 L′
=(X′X)-1 -(X′X )-1 M(X′X)-1
(2 4)
将模型(4)转化为无约束多元数据删除模型
Y (I)= X (I)L θ+E
(2 5)
则由文[ 2] p .351 定理 8 .1 得
Bc(I)= Bc -L(L′X′XL )-1 L′X′I[ I -
(3)
其中 H = I - P + Q(M), P 为 X 的 投 影阵 , Q(M) = X (X′X )-1 M(X′X)-1 X′.记 W =
E′cEc , Ec = Y -XBc = HY .
考虑模型(1)式的数据删除模型(4)式和均值
漂移模型(5)式
Y (I)= X(I)B +E(I), A′B = 0 , E(I)～ N (n-k)×p(0 , V In-k);
(4)
Y = XB +D +E , A′B =0 E ～ N n×p(0 , V I n).
(5)
(4)式中 I ={i 1 , …, ik}为被删除数据行的指标集
(k 与 n - m + q 相 比通常 较小), Y (I)(n -k)×p ,
X(I)(n -k)×m , E(I)n-m ×p 分别为 Y , X 及 E 删除 i
X(I)B)+2 Λ′A′B}
(8)
易证
(Y (I)-X (I)B)′(Y (I)-X(I)B)
=(Y -XB)′(Y -XB ) (Y I -XIB)′(Y I -X IB) 因此(8)式变为
(9)
(B , Λ)=t r{(Y -XB)′(Y -XB)-
(Y I -X IB )′(Y I -XIB)+
(X′XB +X′D + A Λ= X′Y (13)
D′XB + = D′Y (14)
A′B = 0 (15)
由(14)式得 = Y I -X IB
(1 6)
将(16)式代 入(13)化简 整理 即得 方程 组(1 1)
式的第一式 , 即是说 Bca 是方程组(11)式的解 , 而 由解的唯一性知 Bca = Bc(I).
∈ I 的行而得到的矩阵 , 设对应于该模型的统计量
分 别 为 Bc(I), Vc(I)和 Ec(I), 并 记 W 2 = E′c(I)Ec(I), 且假定 X′(I)X(I)可逆 .Bc(I)和
Bc 之间的某种距离即可作为数据集{(y′i , x′i), i
∈ I}对于估计量 B c(或 Vc)的影响度量(本文从
云 南 大 学 学 报 (自 然 科 学 版) 2000 , 22 (3):161 ～ 164 Journal of Yunnan University
CN 53 -1045/ N ISSN 0258-7971
多元约束线性回归中异常值检验
唐年胜1, 2 , 王 娅1 , 杨 勇3
(1.云南大学 成人教育学院 , 云南 昆明 650091;2.云南大学 应用统计中心 , 云南 昆明 650091;
由 =Y I -XIB ca , Bca =Bc(I)和(9)式以及 W2 与 Wca 的定义即可得(7)的第一式 .进一步可 得 Vca = V c(I)和 Eca =E c(I).证毕 .
由上面的证明过程知 , 当 A =0 时定理 1 仍然
成立 , 即为文[ 2] 中定理 8 .2 .定理 1 告诉我们 :模 型(4)与(5)式具有完全相同的诊断功能 , 即是说