河北省石家庄市第二中学、唐山市第一中学等2019-2020学年高一数学上学期联考试题
【数学】河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试试题 (解析版)
联系电话：4000-916-716河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题卷Ⅰ（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.设全集U =R ，()(){}310A x x x =-->，{}2B x x =<，则()⋂=UCA B （ ）A. {}12x x ≤<B. {}12x x <<C.{}2x x <D.{}1x x ≥【答案】A 【解析】()()310x x -->,3x ∴>或1x <即{}31A x x x =><或，[1,3]UCA ∴=，()⋂=U C A B {}12x x ≤<故选：A2.函数()22log 3x f x x =+-的零点所在区间( )A.()0,1 B.()1,2 C . ()2,3 D.()3,4【答案】B【解析】由题意，可得函数在定义域上为增函数，()212log 1310f =+-=-<，()2222log 235320f =+-=-=>，所以()()120f f <，根据零点存在性定理，()f x 的零点所在区间为()1,2故选B ．3.函数2(2)y x a x =+-在区间(4,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2a ≤- B. 2a ≥- C. 6a ≤- D. 6a ≥-【答案】D【解析】函数2(2)y x a x =+-的对称轴方程为22a x -=，联系电话：4000-916-716函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以242a-≤，解得6a ≥-.故选:D.4.若扇形的圆心角120α=︒，弦长12cm AB =，则弧长l =（ ）cmA.B.C.4π3 D. 8π3【答案】B【解析】设扇形的半径为r，依题意06sin 60r ==，弧长2ππ33l r ==. 故选:B.5.将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( )A. B.C. 0D. 4π-【答案】B【解析】得到的偶函数解析式为πsin 2sin 28π4y x x ϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，显然.4πϕ= 6.已知函数()22log ,041,0x x x x f x x -+>⎧=⎨-≤⎩若()3f a ＝，则()2f a －＝( ) A. －1516B. 3C. －6364或3D. －1516或3【答案】A联系电话：4000-916-716【解析】当0a >时，若()3f a ＝，则2log 32a a a +=⇒=；当0a ≤时，若()3f a ＝，则24133a a --=⇒=，不满足0a ≤舍去．于是，可得2a =.故()02152)160(41f a f -=-=--＝.故本题选A.7.在ABC 中，3CD BD =，O 为AD 的中点，若AO AB AC λμ=+，则λμ⋅=（ ）A.34-B. 316-C. 34 D. 316【答案】B【解析】133,33,22AC CD BD AD A ACD AB AD AB =-=-=-+，O 为AD 的中点，11344=2A B AD AC A O -+=，133,,4416λμλμ∴=-=⋅=-.故选:B.8.已知定义在R 上奇函数()f x 满足()()20f x f x +=+，且当[0,1]x ∈时，()21=log ()f x x +，则下列不等式正确的是( )A. ()()2log 756()f f f -<<B.()()2log 7()65f f f -<<C.()()25log (76)f f f <<- D.()()256o )l g 7(f f f -<<【答案】C 【解析】由()()++2=0f x f x ，得()()=+2f x f x -，所以()+4()f x f x =，()f x 的周期4T =.又()()f x f x -=-，且有()()20=0=f f -，所以()()2551log 2==1()==f f f -----，()()620f f ==.又22log 73<<，所以20log 721<-<，即270log 14<<，的联系电话：4000-916-716因为[0,1]x ∈时，()2()[]log 10,1f x x +∈=，所以()222log 7log 727()(log )4f f f =--=-222277log (log 1)log (log )42=-+=- 又271log 22<<，所以2270log (log )12<<，所以2271log (log )02-<-<，所以2(5)(log 7)(6)f f f -<<.故选：C.9.若sin 25α=，sin()βα-=，且π[,π]4α∈，3π[π,]2β∈，则αβ+的值是（） A. 9π4 B. 7π4 C. 5π4或7π4 D. 5π4或9π4【答案】B【解析】π[4α∈，π]，[πβ∈，3π]2，π2[2α∴∈，2π]，又10sin 22α<=<，5π2(6α∴∈，π)，即5π(12α∈，π)2， π(2βα∴-∈，13π)12，cos2α∴==；又sin()βα-=，π(2βα∴-∈，π)，cos()βα∴-==，联系电话：4000-916-716=又5π(12α∈，π)2，[πβ∈，3π]2， 17π()(12αβ∴+∈，2π)，7π4αβ∴+=. 故选B10.已知函数2(),xf x e x =+且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（ ） A. 13,,24⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. 130,,24⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】因为()2xf x e x =+，所以()()f x f x -=,() f x 为偶函数，因为当0x >时，()f x 单调递增，所以()()321f a f a ->-等价于()()321f a f a ->-，即321a a ->-，2223912421,810304a a a a a a a -+>-+-+>∴>或12a<，选A.11.若cos()4θ+，则sin 2θ=（ ）A. 13 B. 14C.14-D. 13-【答案】C【解析】2(cos sin )cos()4θθθ==+=+，联系电话：4000-916-716cos sin θθ+=，两边平方可得31+sin 24θ=， 1sin 24θ∴=-.故选:C.12.已知函数()2cos()1(0,||)2f x x ωϕωϕπ=++><，其图象与直线3y =相邻两个交点的距离为23π，若()1f x >对任意(,)126x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是（ ） A. [,]66ππ-B. [,0]4-πC. [,]312ππ-D. [0,]4π【答案】B【解析】函数()f x 图象与直线3y =相邻两个交点的距离为23π，所以周期22,33T ωωππ==∴=， ()1f x >对任意(,)126x ππ∈-恒成立， 即cos(3)0x ϕ+>，(,)126x ππ∈-恒成立，,3,1264222x x ϕππππππ-<<-<<-<<, 33442x ϕϕϕπππ-<-+<+<+<π, 4222ϕϕ⎧-+≥-⎪⎪∴⎨⎪+π≤ππ⎩π⎪，解得04ϕπ-≤≤.故选:B.卷Ⅱ（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.联系电话：4000-916-71613.函数y =的定义域为________. 【答案】(1,0)(0,3]-【解析】函数有意义需22301011x x x x ⎧-++≥⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得10x -<<或03x <≤；函数的定义域为(1,0)(0,3]-.故答案为:(1,0)(0,3]-.14.已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=________.【答案】4π【解析】由图像可得2,,244T T ωωππ==π=∴=， 58x =π函数取得最小值， 所以532(),2()424k k k k ϕϕπππ+=π+∈=π+∈Z Z ， ππ||,24ϕϕ<∴=. 故答案为:4π.联系电话：4000-916-71615.设25a bm ==，若112a b +=，则m =_____．【答案】【解析】 试题分析：2525log ,log a b m a m b m ==⇒==⇒211log 2log 5log 10210m m m m a b+=+==⇒=m ⇒= 16.设函数22(sin 1)()sin 1x f x x +=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________. 【答案】2【解析】22222(sin 1)sin 12sin 2sin ()1sin 1sin 1sin 1x x x xf x x x x +++===++++, 22sin ()sin 1x g x x =+，22sin ()()sin 1x g x g x x --==-+，()g x 为奇函数，max min ()()0g x g x +=，max min 1()1()2M m g x g x +=+++=.故答案为:2三、解答题：（本大题共6小题，17题10分，其它题12分，共70分.） 17.已知角α的终边在直线y =上.（1）求tan α，并写出α与终边相同的角的集合S ；（2）求值cos()cos()2αα++π+. 解：（1）∵角α的终边在直线y =上，∴tan α=α终边相同的角的集合2{|22,}33S k k k αααππ==π+=π-∈Z 或，联系电话：4000-916-716即2{|,}3S k k ααπ==π+∈Z ；（2）cos()cos()2αα=++π+4===18.已知函数2()1cos 2sin ,f x x x x x R =+-∈，（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）用“五点作图法”作出()f x 在[0,]π上的图象；（要求先列表后作图）（3）若把()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ，求()g x 在区间π[,0]2-上的最小值和最大值.解：（1）2π()1cos 2sin 2cos22sin(2)6f x x x x x x x =+-=+=+，由πππ2π22π()262k x k k -+≤+≤+∈Z ， 解得ππππ()36k x k k -+≤≤+∈Z ()f x 的单调增区间[,k ππππ]36k -+，k ∈Z ；（2）[0,π]x ∈，ππ132[,]666πx +∈，列表如下：联系电话：4000-916-716（3）()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ，所以π()2sin(2)6g x x =-，ππ130,226π6π6x x -≤≤-≤-≤-， 当πππ2,626x x -=-=-时，()g x 取得最小值为2-，当π13ππ2,662x x -=-=-时，()g x 取得最大值为1， 所以函数()g x 的最小值为2-，最大值为1.19.已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a +-+=+是奇函数. （1）求a ，b 的值，并用定义证明其单调性；（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 解：（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即1012bb a -+=⇒=+，∴12()2xx b f x a +-=+，又由(1)(1)f f -=-知211122221a a a --=-⇒=++，所以2a =，1b =，经检验2a =，1b =时，121()22x x f x +-=+是奇函数，联系电话：4000-916-71611211()22221x x x f x +-==-+++，则12,x x ∀∈R ，且12x x <，则211212121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++ ∵12x x <，∴1222x x <，∴12()()f x f x >，∴()f x 在R 上是单调递减； （2）因为()f x 奇函数，所以22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于 222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因为()f x 为减函数，由上式可得：2222t t k t ->-，即对一切t R ∈有：2320t t k -->，从而判别式141203k k ∆=+<⇒<-，所以k 的取值范围是1(,)3-∞-. 20.美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为(0)ay kx x =>，其图像如图所示.是联系电话：4000-916-716（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，用()f x 表示公司所过利润，当x 为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润A =芯片毛收入B +芯片毛收入-研发耗费资金）解：（1）设投入资金x 千万元，则生产A 芯片的毛收入π(0)4y x =>； 将()1,1 ()4,2代入a y kx =，得1,42,a k k =⎧⎨⨯=⎩ 1,1,2k a =⎧⎪∴⎨=⎪⎩所以，生产B芯片的毛收入0)y x =>.（2）由4x >16x >；由4x=16x =；由4x<016x <<.所以，当投入资金大于千16万元时，生产A 芯片的毛收入大； 当投入资金等于16千万元时，生产A 、B 芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元，生产B 芯片的毛收入大.（3）公司投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，则投入()40x -千万元资金生产A 芯片.公司所获利润()4024xf x -=+=)21294-+2=，即4x =千万元时，公司所获利润最大.最大利润9千万元.联系电话：4000-916-71621.已知函数3(()log 91)xf x kx =+-是偶函数.（1）求实数k值；（2）当0x ≥时，函数()()g x f x x a =--存在零点，求实数a 的取值范围； （3）设函数3()log (?32)x h x m m =-，若函数()f x 与()h x 的图像只有一个公共点，求实数m 的取值范围.解 ：（1）因为()()3log 91x f x kx=+-是R 上的偶函数，所以()()11f f =-，即()()1133log 91log 91k k-+-=++解得1k =，经检验：当1k =时，满足题意. （2）因为1k =，所以()()3log 91x f x x=+-因为0x ≥时，()()3log 912x g x x a =+--存在零点，即关于x 的方程()3log 912x a x=+-有解，令()()3log 912x x x ϕ=+-，则()33911log log 199x x x x ϕ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭因为0x ≥，所以(]111,29x +∈，所以()(]30,log 2x ϕ∈，所以，实数a 的取值范围是(]30,log 2.（3）因为函数()f x 与()h x 的图像只有一个公共点，所以关于x 的方程()()33log 32log 91xxm m x •-=+-有且只有一个解，所以·3233x x xm m --=+ 令3(0)xt t =>，得()21210m t mt ---=（*），记()()2121t m t mt ζ=---，①当1m =时，方程（*）的解为12t =-，不满足题意，舍去；的联系电话：4000-916-716②当1m >时，函数()m t 图像开口向上，又因为图像恒过点()0,1-，方程（*）有一正一负两实根，所以1m >符合题意；③当1m <时，()()22410m m ∆=-+-=且()2021mm -->-时，解得m =，方程（*）有两个相等的正实根，所以m =满足题意.综上，m 的取值范围是{}112m m ⎧-⎪⋃⎨⎪⎪⎩⎭. 22.如图，在半径为2，圆心角为2π的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP ，其中M 、N 两点分别在半径OA 、OB 上，P 、Q 两点在弧AB 上，且OM ON =，//MN PQ .（1）若M 、N 分别是OA 、OB 中点，求四边形MNQP 面积的最大值； （2）2PQ =，求四边形MNQP 面积的最大值. 解：（1）连接OP 、OQ ，则四边形MNQP 为梯形， 设(0,)4AOP BOQ θπ∠=∠=∈，则22POQ θπ∠=-，且此时1OM ON ==，四边形MNQP 面积2111132sin 2sin 22sin(2)4sin 2sin 222222S θθθθθπ=⨯+⨯+⨯⨯--=-++，∴1sin 4θ=，S 取最大值74；联系电话：4000-916-716（2）设(0,2)OM ON x ==∈，由2PQ =可知3POQ π∠=，12AOQ BOP π∠=∠=，314sinsin()122πππ=-=∴四边形MNQP 面积221122S x x x =+=-+∴x ，S取最大值为.。
河北省唐山市第一中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题及答案
河北省唐山市第一中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若函数2x y m =+的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≥B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≤-2．下列函数中，以π为最小正周期且在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减的是（ ）A ．sin 2y x =B ．cos y x =C ．tan y x =D ．cos 2xy =3．设()2ln 2ln 30x x --=的两根是α、β，则log log αββα+=（ ） A ．310-B ．310C ．103-D ．1034．设1234a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln1.5b =，3423c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a c b <<D ．b<c<a5．已知函数()f x 在区间()0,3上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若()00f >，()()()1230f f f <，则下列命题不正确的是（ ） A ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间()0,1和()1,2内 B ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间()1,2和()2,3内 C ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间()0,1和()2,3内 D ．函数()f x 的两个零点不可能同时在区间()1,2内6．函数6cos y x =与=y x 在()0,π上的图象相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，则MON △的面积为（ ）A ．2πB C D ．3π27．已知函数()cos()cos(2)f x x x αα=+++为奇函数，则α的值可能为（ ）． A ．0B ．6πC ．4π D ．3π 8．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，()1xf x =-⎝⎭，则在区间()0,2022内关于x 的方程2022()log (2)0f x x -+=解的个数为（ ） A ．1009B ．1010C ．1011D ．1012二、多选题 9．已知函数()f x =()()sin sin f f αα--的化简的结果可能是（ ） A ．2tan α-B ．2tan αC ．2cos αD ．2cos α-10．（多选）已知函数()12e ,023,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，则()f x 的单调区间有（ ）A ．(),1-∞-B ．()0,∞+C ．()1,1-D ．()1,+∞11．已知22sin(3)cos(5)()3cos sin 22f παπααππαα-+=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =为奇函数 B ．6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值大于零C ．若tan 2α=，则2()5f α=D ．若12()25f α，()0,απ∈，则7sin cos 5αα-=12．（多选）已知函数()2()ln 1f x x bx b =--+，下列说法正确的有（ ）A ．当1b =时，函数()f x 的定义域为RB ．当1b =时，函数()f x 的值域为RC ．函数()f x 有最小值的充要条件为：2440b b +-<D ．()f x 是偶函数的充要条件是0b =三、填空题13．函数111242xx y -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[]2,1x ∈-的值域为______.14．已知函数()2()log 32a f x x ax a =-+-在区间()1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______.15．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若2AB =，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为______.四、解答题16．已知函数()22xf x x =+，则不等式()2cos 3f x <在[]0,2π上的解集为______.17．(1)3=，求33221122a a a a --++的值；(2)计算：2552lg4lg log 5log 48++⋅.18．已知函数()()33x f x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数. (1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-. 19．已知函数1()sin 223πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值.20．自2020年1月以来，新冠肺炎疫情仍在世界许多国家肆虐，并且出现了传播能力强，传染速度更快的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戌”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．2022年8月，奥密克戎BA ．5．1．3变异毒株再次入侵海南，为了更清楚了解该变异毒株，某科研机构对该变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T 进行一次记录，用x 表示经过单位时间的个数，用y 表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：若该变异毒株的数量y （单位：万个）与经过()*x x N ∈个单位时间T 的关系有两个函数模型()20y Ax B A =+≠与()0,1xy ka k a =>>可供选择．(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于十亿个．（参考数据：2.449，lg 20.301,lg60.778≈≈）21．设函数()21x xa t f x a -+=(0a >且1a ≠)是定义在R 上的奇函数.（1）若()10f >，求使不等式()()2220f x x f x k -+->对x ∈R 恒成立的实数k 的取值范围；（2）设函数()f x 的图像过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，函数()()()log 1a g x f x =+.若对于任意的[]12,0,1x x ∈，都有()()12g x g x M -≤，求M 的最小值. 22．已知函数()log sin 4a f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（0a >，且1a ≠）满足1(4)(2)2f f =-.(1)求a 的值；(2)求证：()f x 在定义域内有且只有一个零点0x ，且02sin 40522x x π⎛⎫⎪⎝⎭+<.参考答案：1．D【分析】先根据指数函数性质得函数2x y m =+过点(0,1)m +,再根据题意列不等式，解得结果.【详解】指数函数2x y =过点(0,1),则函数2x y m =+过点(0,1)m +, 若图像不经过第二象限,则10m +≤, 即1m ≤-, 故选：D【点睛】本题考查指数函数图象及其应用，考查数形结合思想方法，属基础题. 2．B【分析】根据三角函数的最小正周期、单调性对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A 选项，对于函数sin 2y x =，由π02x <<得02πx <<， 所以sin 2y x =不满足“区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减”，A 选项错误.B 选项，对于函数cos y x =，根据函数cos y x =的图象可知，函数的最小正周期为π， 且函数在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，符合题意，B 选项正确.C 选项，对于函数tan y x =，其在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，不符合题意，C 选项错误.D 选项，对于函数cos 2xy =，最小正周期2π4π12T ==，不符合题意，D 选项错误.故选：B 3．C【分析】求得,αβ，结合对数运算求得正确答案.【详解】由()()()2ln 2ln 3ln 3ln 10x x x x --=-+=得ln 3x =或ln 1x =-，解得3e x =或1e x -=，不妨设31e ,e αβ-==， 所以3113e e 110log log log e log e 333αββα--+=+=--=-. 故选：C 4．D【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解.【详解】因为1124390416a ⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3144280327c ⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0981627116>>>， 又因为14y x =在()0,∞+上单调递增，所以11144498111627162⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12a c >>， 因为9 2.25e 4=<，所以123e 2<，又因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，所以123ln ln e 2<，即1ln1.52b =<，综上：b<c<a . 故选：D. 5．C【分析】对于A ，令()10f <，()20f >，()30f >，即可判断； 对于B ，令()10f >，()20f <，()30f >，即可判断；对于C ，假设函数()f x 的两个零点分别在区间()0,1和()2,3内，得到与()()()1230f f f <矛盾的结论，即可判断；对于D ，假设函数()f x 的两个零点都在区间()1,2内，则会得与()()()1230f f f <矛盾的结论，即可判断.【详解】对于A ，由()00f >，()()()1230f f f <，令()10f <，()20f >，()30f >，则可得函数()f x 的两个零点可以分别在区间()0,1和()1,2内，故正确；对于B ，由()00f >，()()()1230f f f <，令()10f >，()20f <，()30f >，则可得函数()f x 的两个零点可以分别在区间()1,2和()2,3内，故正确；对于C ，由()00f >，且函数()f x 的两个零点分别在区间()0,1和()2,3内，则必有()10f <，()20f <，()30f >与()()()1230f f f <矛盾，故错误；对于D ，如果函数()f x 的两个零点都在区间()1,2内，又因为()00f >，则必有()10f >，()20f >，进而有()30f >，与()()()1230f f f <矛盾，所以函数()f x 的两个零点不可能同时在区间()1,2内，故正确. 故选：C. 6．D【分析】通过解三角方程求得,M N 的坐标，从而求得MON △的面积. 【详解】依题意，0πx <<，则sin 0x >由6cos x x =，得6cos x =26cos x x =，()261sin x x -.2sin 0x x +-=，()2sin 20x x +=，解得sin x =π3M x =或2π3N x =（不妨设M N x x <），所以π2π6cos3,6cos 333M N y y ====-， 所以π2π,3,,333M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段MN 中点坐标为π,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1π3π32222MON S ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：D7．D【详解】取x =0，f (0)=cos α+cos2α， 对于选项A ，()0cos0cos00f =+≠， 对于选项B ，()0cos cos 063f ππ=+≠， 对于选项C ，()0cos cos 042f ππ=+≠，对于选项D ，()20coscos033f ππ=+=， 只有D 选项符合奇函数的性质． 故选：D. 8．B【分析】将在区间()0,2022内关于x 的方程2022()log (2)0f x x -+=解的个数，转化为2022()log (2)f x x =+的交点个数，根据已知条件可得函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且周期为4，画出在区间[]2,10-的函数图像，数形结合即可求出交点个数.【详解】解：已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[]2,0x ∈-时，()1xf x =-⎝⎭，则2(2)11f --=-=⎝⎭，0(0)10f =-=⎝⎭， 又()()22f x f x +=-，则()()()()()()2222x f f x f x f x =++--=+=即()()4f x f x =+，可知函数()f x 的周期为4，值域为[]0,1，求在区间()0,2022内关于x 的方程2022()log (2)0f x x -+=解的个数，即为求2022()log (2)f x x =+的交点个数，令2022()log (2)g x x =+，有2022(1)log (12)0g -=-+=，2022(2020)log (20202)1g =+=，由以上分析，画出函数()f x 和()g x 在区间[]22-,的大致图像，如下图所示，可得在区间()0,2有一个交点，区间()2,4有一个交点，以此类推， 所以在区间(]0,2020有202010102=个交点， 在区间()2020,2022内，()1g x >，与函数()f x 无交点，所以在区间()0,2022内关于x 的方程2022()log (2)0f x x -+=解的个数为1010， 故选：B. 9．AB【分析】由题意可得sin [1,1)α∈-，根据同解的平方关系可得1sin (sin )|cos |f ααα+=，1sin (sin )|cos |f ααα--=，于是有()()sin sin f f αα--=2sin |cos |αα，再分cos 0α>，cos 0α<去绝对值即可得答案.【详解】解：因为()f x = 所以1<1x ≤-，即函数()f x 的定义域为：[1,1)-，所以1sin (sin )|cos |f ααα+==，1sin (sin )|cos |f ααα--，所以()()sin sin f f αα--=1sin |cos |αα+-1sin |cos |αα-=2tan ,cos 02sin 2tan ,cos 0cos αααααα>⎧=⎨-<⎩.故选：AB. 10．ACD【分析】化简()f x 的解析式，结合指数函数、二次函数的知识求得正确答案.【详解】()12e ,023,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩()112e ,1e ,0114,0x x x x x x --+⎧≥⎪⎪=<<⎨⎪-++≤⎪⎩， 所以()f x 在区间()1,+∞、(),1-∞-上单调递增； 在区间()()1,0,0,1-上单调递减. 由于01e e +=，()20143e -++=>， 所以()f x 在区间()1,1-上单调递减. 故选：ACD 11．AD【分析】利用诱导公式化简得()sin cos f ααα=-，可求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，根据奇函数的定义即可判断()y f x =是否为奇函数，构造齐次式方程，代入tan 2α=，即可求出()f α的值，利用同角三角函数的平方关系，即可求出7sin cos 5αα-=±，再根据三角函数值的正负，即可求出结果. 【详解】解：()2222sin cos sin(3)cos(5)()sin cos 3sin cos cos sin 22f ααπαπααααππαααα⋅--+===-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()sin cos f x x x =-，()y f x =的定义域为R ，(0)sin 0cos00f =-=，且()()()sin()cos()sin cos sin cos f x x x x x x x f x -=---=--==-，()y f x ∴=为奇函数，A 选项正确；πππ1()sin cos 06662f =-=-=，B 选项错误；2222sin cos tan 22()sin cos sin cos tan 1215f ααααααααα---=-====-+++，C 选项错误；若12()sin cos 25f ααα=-=， 则()2221249sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 122525αααααααα-=+-=-=+⨯=，即7sin cos 5αα-=±，()0,απ∈，sin 0α∴>，而12sin cos 025αα-=>，cos 0α∴<， 则7sin cos 5αα-=，D 选项正确； 故选：AD. 12．BCD【分析】结合对数函数的性质、充要条件、偶函数等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】当1b =时，()()2ln f x x x =-，由()210x x x x -=->解得0x <或1x >，所以()f x 的定义域为{|0x x <或}1x >，A 选项错误.由于2x x -的范围是()0,∞+，所以()()2ln f x x x =-的值域为R ，B 选项正确.由于2221124b b x bx b x b ⎛⎫--+=---+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 有最小值⇔2104b b --+>，整理得2440b b +-<，C 选项正确.由于偶函数的图象关于y 轴对称，若函数()f x 是偶函数，则0,02bb ==；若0b =，()()2ln 1f x x =+，定义域为R ，且()()()2ln 1f x x f x -=+=，即()f x 为偶函数，所以()f x 是偶函数的充要条件是0b =，D 选项正确. 故选：BCD 13．[]1,10【分析】利用换元法，结合指数函数、二次函数的知识求得正确答案.【详解】令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由于21x -≤≤，所以11,422xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则()221221142y t t t t ⎛⎫=-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭，根据二次函数的性质可知，当1t =时，min 1y =；当4t =时，max 10y =，所以函数111242x x y -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[]2,1x ∈-的值域为[]1,10.故答案为：[]1,10 14．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性即可得解.【详解】令()232g x x ax a =-+-，则()g x 开口向上，对称轴为2a x =， 因为()()2()log 32log a a f x x a g x x a =-+-=在()1,+∞上单调递减，所以()g x 在()1,+∞上只有一个单调区间，则()g x 在()1,+∞上单调递增， 故12a≤，即2a ≤， 又由对数函数的定义域可知()0g x >在()1,+∞上恒成立，则()()10g x g >≥， 即211320a a -⨯+-≥，故12a ≥， 又因为()()log a g x f x =在()1,+∞上单调递减，()g x 在()1,+∞上单调递增， 所以log a y x =在()0,∞+上单调递减，故01a <<， 综上：112a ≤<，即1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故答案为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.15．2π-【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相 加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可. 【详解】解：过A 作AD BC ⊥于D ，ABC 是等边三角形， 2AB AC BC ∴===，60BAC ABC ACB ︒∠=∠=∠=，AD BC ⊥，1BD CD ∴==，AD =11222ABCSBC AD ∴=⋅=⨯= 扇形BAC 的面积260π22π3603S ⨯==，∴莱洛三角形的面积为：23223ππ⨯--故答案为：2π-. 16．π2π4π5π,,3333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据函数的奇偶性和单调性，列出不等式，解之即可.【详解】因为2()2xf x x =+的定义域为R ，定义域关于原点对称，又22()2()2()x xf x x x f x --=+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，当0x >时，函数2()2x f x x =+在(0,)+∞上单调递增，且(1)3f =， 所以函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 又因为不等式()2cos 3f x <，也即()2cos (1)f x f <， 所以2cos 1x <，则11cos 22x -<<，因为[0,2π]x ∈，所以π2π4π5π,,3333x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：π2π4π5π,,3333⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.17．(1)6 (2)3【分析】（1）根据指数与根式的互化，以及指数的运算法则，即可求值； （2）根据对数的运算和换底公式，即可求解.【详解】（13=，即11223a a -+=， 311322327a a -⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭，即()2111111331111222222222223273a a a a a a a a a a a a ------⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎭⎛⎫++=+++⎝⎝⎝⎭+ ⎪⎭， 所以3311222227327918a aa a --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭++，则332211221863a a a a--+==+. （2）解：原式22222log 455lg 4lg log 5lg 16log 48log 58⎛⎫⎛⎫=++⋅=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22lg10log 2123=+=+=. 18．(1)2k =-，3b = (2)答案见解析【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，即可得解；（2）分1a >和01a <<两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解.【详解】（1）解：因为()()33xf x k a b =++-(0a >，且1a ≠)是指数函数，所以31k +=，30b -=， 所以2k =-，3b =；（2）解：由（1）得()xf x a =(0a >，且1a ≠)，①当1a >时，()xf x a =在R 上单调递增，则由()()2743f x f x ->-， 可得2743x x ->-，解得<2x -；①当01a <<时，()xf x a =在R 上单调递减，则由()()2743f x f x ->-， 可得2743x x -<-，解得2x >-，综上可知，当1a >时，原不等式的解集为(),2-∞-； 当01a <<时，原不等式的解集为()2,-+∞.19．(1)最小正周期为π，单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)最小值为12-，此时π12x =-.【分析】（1）利用三角函数最小正周期公式求得()f x 的最小正周期；利用整体代入法求得()f x 的单调递增区间.（2）根据三角函数最值的求法求得()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值以及此时对应的x 的值.【详解】（1）依题意，1()sin 223πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以最小正周期2ππ2T ==；由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得1212k x k π5ππ-≤≤π+，Z k ∈， 所以()f x 在区间π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈上单调递增.（2）ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π5ππ2,366x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1π11sin 2,2324x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-，由ππ232x -=-可求得此时π12x =-.20．(1)函数()0,1xy ka k a =>>更合适，解析式为2xy =⋅(2)14【分析】（1）将2x =，10y =和4x =，50y =分别代入两种模型求解解析式，再根据6x =的值，即可判断；（2）设至少需要x个单位时间，则2100000x≥，再结合对数函数的公式，即可求解．【详解】（1）若选()20y px q p =+>，将2x =，10y =和4x =，50y =代入可得，4101650p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得103103p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故2101033y x =-， 将6x =代入2101033y x =-，250y ≠，不符合题意， 若选()0,1xy ka k a =>>，将2x =，10y =和4x =，50y =代入可得，241050ka ka ⎧=⎨=⎩，解得2k a =⎧⎪⎨=⎪⎩2xy =⋅，将6x =代入2xy =⋅可得250y =，符合题意，综上所述，选择函数()0,1xy ka k a =>>更合适，解析式为2xy =⋅.（2）设至少需要x 个单位时间，则2100000x≥，即50000x≥，两边同时取对数可得，lg 54x +，则()442213.4411lg51lg 222x ≥+=+≈-，①*x ∈N ，①x 的最小值为14，故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于十亿个． 21．（1）112k <-；（2）最小值为25log 2. 【解析】（1）根据()f x 是奇函数可求得2t =，由()10f >可得1a >，继而判断()f x 是增函数，将不等式化为()()222f x x f k x ->-，利用单调性可得230x x k -->对x ∈R 恒成立，即可求解；（2）由点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭求得2a =，可判断()g x 在[]0,1x ∈上单调递增，进而可得()()max min M g x g x ≥-，求出()g x 的最大最小值即可.【详解】解：（1）①()f x 是定义在R 上的奇函数， ①()00f =，①20-=t ，解得2t =，则()21x x a f x a -=，此时()()2211x x x xx xf a a a a x f a ax ------===--=，满足题意， 而()()2220f x x f x k -+->等价于()()()2222f x x f x k f k x ->--=-，若()10f >，则210a a->，结合0a >且1a ≠，解得1a >， 则()()2111x xx x a f x a a a a-==->为增函数，结合()()222f x x f k x ->-，可得222x x k x ->-，根据题意，230x x k -->对x ∈R 恒成立， 则1120k ∆=+<，解得112k <-； （2）①函数()f x 的图像过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，①()21312a f a -==， 解得1a =-(不符，舍去)或2a =， ①()21log 212x x g x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，1212x x y -=+在[]0,1x ∈上单调递增，∴()g x 在[]0,1x ∈上单调递增，①对于任意的[]12,0,1x x ∈，都有()()12g x g x M -≤，且()g x 在区间[]0,1上恒有()0g x >，①()()max min M g x g x ≥-， 则()()min 00g x g ==，()()2max 51log 2g x g ==， 则2255log 0log 22M ≥-=，即M 的最小值为25log 2. 【点睛】本题考查利用奇偶性解不等式，解题的关键是判断出函数的单调性，利用奇函数的性质将不等式化为()()222f x x f k x ->-，利用单调性求解.22．(1)4a =； (2)证明见解析.【分析】（1）由题可得1log 4log 22a a =+，即求； （2）分类讨论结合对数函数的性质、正弦函数的性质及零点存在定理可得函数()f x 在定义域内有且只有一个零点0x ，利用对数的运算可得02sin 400012x x x x π+=+，再利用对勾函数的性质即得.【详解】（1）因为1(4)(2)2f f =-， 所以1log 4sin log 2sin22a a ππ+=+-，即1log 4log 22a a =+， 解得4a =.（2）由题意可知函数4()log sin4f x x x π=+的图象在(0,)+∞上连续不断.①当2(]0,x ∈时，因为4log y x =与sin 4y x π=在(0,2]上单调递增，所以()f x 在(0,2]上单调递增.又因为4111log sin sin sin sin 0,(1)sin022882864f f πππππ⎛⎫=+=-=-<=> ⎪⎝⎭，所以1(1)02f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭.根据函数零点存在定理，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =，所以()f x 在(0,2]上有且只有一个零点0x . ①当(2,4]x ∈时，4log 0,sin 04x x π>≥，所以4()log sin04f x x x π=+>，所以()f x 在(2,4]上没有零点. ①当(4,)x ∈+∞时，4log 1,sin 14x x π>≥-，所以4()log sin04f x x x π=+>，所以()f x 在(4,)+∞上没有零点.综上所述，()f x 在定义域(0,)+∞上有且只有一个零点0x . 因为()0400log sin 04f x x x π=+=，即040sinlog 4x x π=-.所以0402sin log 4000001124,,12x x x x x x x π-⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭， 又因为1y x x =+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以00115222x x +<+=，即02sin 40522x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭+<. 【点睛】关键点点睛：对x 分类讨论时，①当2(]0,x ∈时，函数4log y x =与sin4y x π=在(0,2]上单调递增，结合零点存在定理可得函数有且只有一个零点；①当(2,4]x ∈时()0f x >，函数()f x 没有零点；①当(4,)x ∈+∞时()0f x >，函数()f x 没有零点.。
河北省唐山市第一中学2024-2025学年高三第一学期开学考试政治试卷
唐山市第一中学2024-2025学年高三第一学期开学考试政治试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．农村集体产权制度改革有利于促进乡村治理主体权利关系的优化，使组织与个人的关系更加明晰，提升农民参与基层治理的意识与能力，丰富基层协商民主的有效实现形式，促进乡风文明，对提升乡村治理水平具有重要意义。
材料体现了()①农村生产关系的变革推动了生产力的发展②生产方式的变革决定农村社会面貌的变化③上层建筑服务于先进经济基础推动社会进步④经济基础的巩固完善推动上层建筑的完善A．①②B．①③C．②④D．③④2．科学社会主义是人类历史上的伟大创造，也是人类自我解放的伟大觉醒。
如果说科学社会主义跌宕起伏的发展历程，好比一部气势恢宏的交响乐，中国特色社会主义就是这部交响乐的华彩乐章。
中国特色社会主义，既坚持了科学社会主义基本原则，又赋予其鲜明的中国特色。
中国特色社会主义，“特色”在哪里？下列认识正确的是（）①实践特色：中国共产党团结带领全国人民在改革开放的实践中开创伟大事业②理论特色：在理论创新的基础上扎实推进当代中国实践③民族特色：根植于中国大地，全面继承和弘扬中华民族传统文化④时代特色：紧跟时代步伐、把准时代脉搏、回应时代关切A．①③B．①④C．②③D．②④3．2023年9月22日，国务院国资委研究中心在第六届中国企业论坛上发布了《中央企业高质量发展报告(2023)》。
报告重点总结了2022年中央企业在推进高质量发展方面的举措和成效。
2022年，368家境内中央企业控股上市公司共实现营收24.49万亿元，净利润1.08万亿元，同比增速分别达10.62%、9.71%。
河北省唐山市第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
唐山二中2019-2020学年度第一学期高一期中考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()R A B =I ð（ ）A. ()1,3B. (]1,3C. [)3,+∞D. ()3,+∞ 【答案】C【解析】【分析】先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R ð的范围,最后根据交集的含义计算()R A B ⋂ð的结果.【详解】因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,R A =-∞-⋃+∞ð, 又因为()1,B =+∞,所以()[)3,R A B =+∞I ð.故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解. 2.已知函数()()2231m m f x m m x +-=--是幂函数，且()0,x ∈+∞时，()f x 是递减的，则m 的值为（ ）A. -1B. 2C. -1或2D. 3 【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义求出m 的值，代入检验即可．【详解】由题意得：211m m --=，解得：2m =或1m =-，2m =时，()3f x x =，递增，不合题意，1m =-时，()3f x x -=，递减，符合题意.故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义和单调性问题，要求仔细审题，认真计算，属基础题． 3.已知()()()log 110,1a f x x a a =+->≠，则此函数恒过定点是（ ）A. ()1,0B. ()0,1C. ()0,1-D. ()1,1- 【答案】C【解析】【分析】令11x +=，求得自变量的值代入求y 即可求得答案．【详解】由11x +=得：0x =，此时()1f x =-，∴()()()log 110,1a f x x a a =+->≠恒过定点()0,1-.故选：C ．【点睛】本题考查对数函数的过定点问题，令对数型函数的真数为1，求得自变量的值是关键，属基础题．4.函数()21f x +的图象可由()21f x -的图象经过怎样的变换得到（ ）A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位 【答案】C【解析】【分析】根据函数的图象的变换规律，把函数()21f x -的图象向左平移1个单位可得函数()()21121f x f x +-=+⎡⎤⎣⎦的图象，从而得出结论．【详解】把函数()21f x -的图象向左平移1个单位可得函数()()21121f x f x +-=+⎡⎤⎣⎦的图象.故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的图象的变换规律，注意仔细审题，属基础题．5.分段函数()32,0log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足()1f x =的x 值为（ ）A. 0B. 3C. 0或3D. 13【答案】C【解析】【分析】 对x 分类讨论，当0x ≤时，21x -=，当0x >时，3log 1x =，分别求解，即可得到满足()1f x =的x 的值．【详解】()32,0log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，依题意有，①当0x ≤时，()2xf x -=，∵()1f x =，∴21x -=，∴0x =； ②当0x >时，()3log f x x =，∵()1f x =，∴3log 1x =，∴3x =．综合①②，满足()1f x =的x 的值为0或3．故选：C ．【点睛】本题考查了分段函数的解析式，分段函数的取值问题．对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．主要考查了根据函数值求变量的取值，解题的关键是判断该用哪段解析式进行求解．属基础题．6.下列各组函数中，表示相同函数的是（ ）A. ()f x x =与()2x g x x= B. ()f x x =与()g x =C. ()f x =与()g x =D. ()0f x x =与()1g x =【答案】B【解析】【分析】逐项分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【详解】选项A 中，()g x x =，函数的定义域为{}|0x x ≠，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；选项B 中，()g x x =，两个函数的定义域和对应法则相同，是相同函数；选项C 中，由210x -≥得1x ≥或1x ≤-；由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩得11x x ≥-⎧⎨≥⎩，得1x ≥，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；选项D 中，()f x 的定义域为{}|0x x ≠，两个函数的定义域不相同，不是相同函数． 故选：B ．【点睛】本题主要考查相同函数的概念，分别判断函数的定义域和对应法则是解决本题的关键，属基础题．7.已知13log 4a =，4log 5b =，0.40.5c =，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. c b a <<【答案】B【解析】【分析】 容易得出13log 40<，4log 51>，0.400.51<<，从而可得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】∵1133log 4log 10<=，44log 5log 41>=，0.4000.50.51<<=， ∴a c b <<．故选：B ． 【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性及其应用，注意仔细审题，属基础题. 8.函数()log 1a f x x =+在()1,0-上增函数，则()f x 在(),1-∞-上是（ ）A. 函数值由负到正且增函数B. 函数值恒为正且为减函数C. 函数值由正到负且为减函数D. 没有单调性【答案】C【解析】【分析】由已知分析出外函数的单调性，进而可得()f x 在(),1-∞-上单调性和符号． 【详解】内函数1t x =+在()1,0-上是增函数，若函数()log 1a f x x =+在()1,0-上是增函数，则外函数log a y t =为增函数；内函数1t x =+在(),1-∞-上是减函数，故()f x 在(),1-∞-上是减函数，又由()20f -=，()f x 在(),1-∞-上是函数值由正到负且为减函数.故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，熟练掌握复合函数单调性“同增异减”的原则是解答的关键，属基础题.9.已知函数()()()2,10,01x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则下列的图象错误的是（ ） A. ()1y f x =-的图象 B. ()y f x =-的图象C. ()y f x =的图象D. ()y f x =的图象【答案】D【解析】【分析】先画出函数()()()2,10,01x x f x x x ⎧--≤≤⎪=<≤的图象，再根据函数的图象特征以及图象的变化规律，判断各个选项的正确性．【详解】当10x -≤≤时，()2f x x =-，表示一条线段，且线段经过()1,2-、()0,0． 当01x <≤时，()f x x由于()1f x -的图象可由()f x 的图象向右平移一个单位得到，故A 正确；由于()f x -的图象可由()f x 的图象关于y 轴对称后得到的，故B 正确；由于()f x 的值域为[]0,2，故()()f x f x =，故()f x 的图象可与()f x 的图象完全相同，故C 正确； 由于()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故当01x <≤时，它的图象和()f x 的图象相同，当10x -≤<时的图象，只要把()f x 在y 轴右侧的图象关于y 轴对称即可得到，且图象过原点，故D 不正确．故选：D.【点睛】本题主要考查函数的图象特征以及图象的变化规律，熟练掌握函数图象的变化规律是解题的关键，属基础题．10.函数lg y x x =+有零点的区间是（ ）A. ()1,2B. 1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()2,3D. (),0-∞【答案】B【解析】【分析】先求函数的定义域，再利用函数的零点存在性定理求解判断即可．【详解】函数lg y x x =+的定义域为()0,∞+，且在定义域()0,∞+上连续递增， 而()0.110.10f =-+<，()1010f =+>，故函数lg y x x =+的零点所在的区间是()0.1,1．故选：B ．【点睛】本题考查了函数的零点存在性定理的应用，注意认真计算，属基础题． 11.已知函数(23)43(1)()(1)x a x a x f x a x +-+≥⎧=⎨<⎩，在(),-∞+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A. 1a >B. 2a <C. 12a <<D. 12a <≤【答案】D【解析】【分析】根据函数恒增，列出不等式组，求解，即可得出结果.【详解】因为函数(23)43(1)()(1)x a x a x f x a x +-+≥⎧=⎨<⎩，在(),-∞+∞上是增函数， 所以有23012343a a a a a +>⎧⎪>⎨⎪+-+≥⎩，解得12a <≤.故选D【点睛】本题主要考查由分段函数单调求参数的问题，只需考虑每一段的单调性，以及结点处的大小即可，属于常考题型.12.已知函数()()21f x x =+，若存在实数a ，使得()24f x a x +≤-对任意的[]2,x t ∈恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 6D. 4 【答案】D【解析】【分析】先由()()21f x x =+和()24f x a x +≤-得()2124x a x ++≤-，化简得()2250x a a +++≤，令()()225g x x a a =+++，利用函数性质将恒成立问题转化为()20g ≤且()0g t ≤，求解t 的范围，最后求出最值．【详解】∵()()21f x x =+，∴()24f x a x +≤-，即为()2124x a x ++≤-， 化简()2250x a a +++≤，设()()225g x x a a =+++，则()g x 的图象为开口向上的抛物线，若对任意的[]2,x t ∈，()0g x ≤恒成立，只需函数在两个端点处的函数值非正即可， 即()22690g a a =++≤，配方得()230a +≤，则30a +=，3a =-， 此时()0g t ≤，即为()()2310g t t =--≤，即131t -≤-≤，解得24t ≤≤， 又∵2t >，∴24t <≤，则t 的最大值为4．故选：D ．【点睛】本题考查恒成立问题的转化，利用二次函数的图象及性质求解不等式恒成立问题，是一种重要的方法，属中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填在Ⅱ卷答题卡上）13.函数y =的定义域是 【答案】2,13⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 试题分析：要使函数有意义，需满足()122log 320032113x x x -≥∴<-≤∴<≤，定义域为2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦考点：函数定义域点评：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围或题目中指定的自变量的范围 14.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()41f x x =-+，写出分段函数()f x 的解析式_____．【答案】()41,00,041,0x x f x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪--<⎩【解析】【分析】根据奇函数的性质即可得到结论．【详解】∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，若0x <，则0x ->， 即当0x ->时，()()41f x x f x -=+=-，即()41f x x =--，则()41,00,041,0x x f x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪--<⎩. 故答案为：()41,00,041,0x x f x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪--<⎩. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的对称性是解决本题的关键，属基础题．15.已知()32,0log ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()()1y f f x =+的零点的个数是____. 【答案】3【解析】【分析】 画出函数()32,0log ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩的图象，借助图象分析函数零点的个数，进而可得答案． 【详解】函数()32,0log ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩的图象如下图所示：结合图象分析：()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，则()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，则()12f x =-或()13f x =； 对于()12f x =-，存在两个解；对于()13f x =，存在1个解， 综上所述，函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数为3个.故答案为：3．【点睛】本题考查的知识点是函数的零点，分段函数的图象，对数函数的图象和性质，以及一次函数的图象和性质，熟练掌握图象的辨析和应用是解题的关键，属中档题． 16.函数()f x 的定义域为A ,若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =,则称()f x 为单函数.例如,函数()1()f x x x R =+∈是单函数.下列命题:①函数2()2()f x x x x R =-∈是单函数;②函数2log ,2,(){2, 2.x x f x x x ≥=-<是单函数; ③若()f x 为单函数,12,x x A ∈且12x x ≠,则12()()f x f x ≠;④若函数()f x 在定义域内某个区间D 上具有单调性,则()f x 一定是单函数.其中真命题是 (写出所有真命题的编号).【答案】③【解析】【详解】试题分析：根据单函数的定义可知如果函数()f x 为单函数，则函数()f x 在其定义域上一定是单调递增或单调递减函数，即该函数为一一对应关系，据此分析可知①不是，因为该二次函数先减后增；②不是，因为该函数是先减后增；显然④的说法也不对，故真命题是③.考点：新定义、函数的单调性，考查学生的分析、理解能力.三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
河北省唐山一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
河北省唐山一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|x −2>0}，B ={x|x ∈N}，则(∁U A)∩B =( )A. {0,1,2}B. {1,2}C. {0,1}D. ⌀2. 已知函数f(x)=3x +x −7的零点为x 0，则x 0所在区间为( )A. [−1,0]B. [−2,−1]C. [1,2]D. [0,1]3. 函数y =−x 2+2x +1在区间[−3,a ]上是增函数，则a 的取值范围是( )A. −3<a ≤1B. −3<a ≤2C. a ≥−3D. −3<a ≤−14. 在半径为8cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( )A.400π3cm B.20π3cm C.200π3cm D.40π3cm5. 将函数y =sin (3x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A. π4B. 3π4C. π8D. −π46. 已知函数f(x)={2x (x ≥2)f(x +1)(x <2)，则f(log 23)=( )A. 6B. 3C. 13D. 167. 在△ABC 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ= ( )A. −12B. 12C. −34D. 348. 定义在R 上的函数f(x)满足：对于任意的x,y ∈R ，总有f(x +y)−[f(x)+f(y)]=2010，则下列说法正确的是( )A. f(x)−1是奇函数B. f(x)+1是奇函数C. f(x)−2010是奇函数D. f(x)+2010是奇函数9. 已知sinα=√1010,sin(α−β)=−√55,α,β∈(0,π2)，则β=( )A. 5π12B. π3C. π4D. π610. 已知函数f(x)=e |x|+x 2，则使得f(x)>f(2x −1)成立的x 的取值范围是( )A. (13,1) B. (−∞,13)∪(1,+∞)C. (−13,13) D. (−∞,−13)∪(13,+∞)11.已知θ∈(0,π)，sin2θ=−2425，则sinθ−cosθ=()A. 75B. −75C. ±75D. 1512.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则f(π)=()A. √3B. −√3C. 1D. −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=√2x2−x−1lg(x+4)的定义域为______ ．14.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π2)部分图象如图，则函数解析式为______．15.已知a=log48,b=log24，则4a=_________；a+b=________16.已知函数f(x)=(x 2−2x)sin(x−1)+x+1在[−1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=________三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(12分)已知角α的终边经过点P(−3,4)．(1)求sin(π−α)+cos(−α)tan(π+α)的值；(2)求sinαcosα+2cos2α的值．18.已知函数f(x)=√3sin2x+2cos2x–1．(1)求f(π4)的值；(2)求函数f(x)的单调增区间．19.已知定义域为R的函数f(x)=2x2x+1⋅a−12是奇函数．(1)求a的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若关于x的不等式f(kx2−kx+k)+f(3−3k)>0的解集为R，求k的取值范围．20.已知美国苹果手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)={400−6x,0<x ≤407400x−40000x2,x >40．(1)写出年利润(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．21. 若函数f(x)=22x +2x a +a +1有零点，求实数a 的取值范围．22. 已知奇函数f(x)在(−∞,0)⋃(0,+∞)上有定义，在(0,+∞)上是增函数，f(1)=0，又知函数g(θ)=sin 2θ+mcosθ−2m ，θ∈[0,π2]，M ={m|g(θ)<0}，集合N ={m|f(g(θ))<0}，求M⋂N ．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查集合的交并补混合运算，属于基础题．求出集合A及其补集，再求(∁U A)∩B即可．解：A={x|x−2>0}={x|x>2}，所以∁U A={x|x≤2}，又B={x|x∈N}，所以(∁U A)∩B={0,1，2}，故选A．2.答案：C解析：本题考查函数零点存在性定理，考查推理能力和计算能力，属于基础题．根据函数f(x)在R上连续，f(1)<0，f(2)>0，从而判断函数的零点x0所在区间为[1,2]．解：∵函数f(x)=3x+x−7在R上连续，又f(1)=−3<0，f(2)=4>0，则f(1)f(2)<0，故函数的零点x0所在区间为[1,2]，故选C．3.答案：A解析：本题考查二次函数的单调性，利用区间与对称轴的关系即可求解，解：因为y=−x2+2x+1开口向下，且对称轴为x=1，所以函数在(−∞,1]单调递增，由已知有：−3<a ≤1． 故选A ．4.答案：D解析：本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题． 直接利用弧长公式即可计算求解． 解：扇形的弧长为l ，圆心角大小为α=5π3，半径为r =8cm ，则 l =rα= 8×5π3=40π3cm ．故选D ．5.答案：C解析：将函数y =sin (3x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到y =sin[3(x +π8)+φ]=sin(3x +3π8+φ)，由于所得函数为偶函数，则f(0)=sin(3π8+φ)=±1，3π8+φ=kπ+π2⇒φ=kπ+π8(k ∈Z)，取k =0得φ=π8... 6.答案：A解析：解：∵函数f(x)={2x (x ≥2)f(x +1)(x <2)，∴f(log 23)=f(log 23+1)=2log 23+1=3×2=6． 故选：A ．由函数性质得f(log 23)=f(log 23+1)=2log 23+1，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7.答案：B解析：本题考查平面向量基本定理的应用，考查数学转化思想方法，是基础题．由已知画出图形，把AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，结合AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求得λ与μ的值，则答案可求． 解：如图，∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，O 为AD 的中点， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12⋅32BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴λ=−14,μ=34， 则λ+μ=12． 故选B ．8.答案：D解析：令x =y =0，则f(0)=−2010，再令y =−x ，则f(x)+f(−x)=−2010−2010，即[f(x)+2010]+[f(−x)+2010]=0，∴f(x)+2010为奇函数．9.答案：C解析：本题考查了同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，属于中档题． 先由同角三角函数的基本关系得出，再由cosβ=cos[α−(α−β)]得出的值，即可得出结果． 解：，，=3√1010×2√55+√1010×(−√55)=√22，)，又β∈(0,π2∴β=π，4故选C．10.答案：A解析：解：x≥0时，f(x)=e x+x2，∴x增大时e x增大，x2增大，即f(x)增大；∴f(x)在[0,+∞)上单调递增；f(x)的定义域为R，且f(−x)=f(x)；∴f(x)为偶函数；∴由f(x)>f(2x−1)得：f(|x|)>f(|2x−1|)∴|x|>|2x−1|；∴x2>(2x−1)2；<x<1；解得13,1)．∴x的取值范围为(13故选：A．根据f(x)解析式可以判断f(x)在[0,+∞)上为增函数，在R上为偶函数，从而由f(x)>f(2x−1)便可得到|x|>|2x−1|，两边平方即可解出该不等式，从而得出x的取值范围．考查指数函数、二次函数的单调性，增函数的定义，偶函数的定义，以及通过两边平方解绝对值不等式的方法．11.答案：A解析：本题目主要考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，属于较易题．由已知可得sinθ>0，cosθ<0，再由sinθ−cosθ=√(sinθ−cosθ)2进行求解．解析：解：∵θ∈(0,π)，sin2θ=−24，即，25∴sinθ>0，cosθ<0，则sinθ−cosθ=√(sinθ−cosθ)2=√1−sin2θ=√1+2425=75． 故选：A ．12.答案：B解析：解：由函数f(x)的图象经过点(0,1)，(2π3,−1)， 所以A =2，T =2π3×2=4π3，所以ω=2π4π3=32，所以1=2sinφ，且|φ|<π， 所以φ=π6；所以f(x)=2sin(32x +π6)f(π)=2sin(32π+π6)=−2cos π6=−√3． 故选：B ．根据函数f(x)的图象与性质，求出f(x)的解析式，再计算f(π)的值． 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．13.答案：{x|−4<x <−3或−3<x ≤−12或x ≥1}解析：解：由{2x 2−x −1≥0x +4>0x +4≠1，解得：−4<x <−3或−3<x ≤−12或x ≥1．∴函数f(x)=√2x 2−x−1lg(x+4)的定义域为{x|−4<x <−3或−3<x ≤−12或x ≥1}．故答案为：{x|−4<x <−3或−3<x ≤−12或x ≥1}．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解． 本题考查函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础的计算题．14.答案：y =2sin(13x −π6)解析：解：根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π2)部分图象，可得A=2，12⋅2πω=7π2−π2，∴ω=13，结合五点法作图可得13⋅π2+φ=0，求得φ=−π6，故函数的解析式为y=2sin(13x−π6)，故答案为：y=2sin(13x−π6)．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．15.答案：8,72解析：本题考查的对数函数的性质与运算，属于基础题．解：因为a=log48,b=log24，根据对数函数的性质，所以4a=8，所以a+b=log48+log24=32+2=72，故答案为8,72．16.答案：4解析：把函数解析式变形，可得f(x)=[(x−1)2−1]sin(x−1)+x−1+2，令g(x)=(x−1)2sin(x−1)−sin(x−1)+(x−1)，结合g(2−x)+g(x)=0，可得g(x)关于(1,0)中心对称，则f(x)在[−1,3]上关于(1,2)中心对称，从而求得M+m的值．本题考查函数在闭区间上的最值，考查函数奇偶性性质的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．解：∵f(x)=(x2−2x)sin(x−1)+x+1=[(x−1)2−1]sin(x−1)+x−1+2，令g(x)=(x−1)2sin(x−1)−sin(x−1)+(x−1)，而g(2−x)=(x−1)2sin(1−x)−sin(1−x)+(1−x)，∴g(2−x)+g(x)=0，则g(x)关于(1,0)中心对称，则f(x)在[−1,3]上关于(1,2)中心对称．∴M +m =4．故答案为：4．17.答案：解：由角α的终边过点P(−3,4)知|OP|=r =5，所以sinα=22=45，cosα=22=−35，tanα=4−3=−43． (1)sin(π−α)+cos(−α)tan(π+α)=sinα+cosαtanα =(45−35)(−43)=−320．(2)sinαcosα+2cos 2α =45×(−35)+2×(−35)2=625．解析：本题主要考查任意角的三角函数、诱导公式，属基础题．根据任意角的三角函数，求出角α的正弦、余弦、正切值；(1)利用诱导公式代入求值即可；(2)直接代入即可．18.答案： 解：(1)函数f(x)=√3sin2x +2cos 2x–1=√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)，∴f(π4)=2sin(π2+π6)=2cos π6=√3． (2)对于函数f(x)=2sin(2x +π6)，令2kπ–π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得kπ–π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，故函数的增区间为[kπ–π3,kπ+π6]，k ∈Z ．解析：本题主要考查三角函数值的求解，以及三角函数的单调区间的求解，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．(1)根据三角函数的表达式，代入即可求f(π4)的值；(2)将三角函数进行化简，利用三角函数的性质即可求函数f(x)的单调递增区间． 19.答案：解：(1)定义域为R 的奇函数，可得f(0)=0，即12⋅a −12=0，可得a =1，经检验，a =1时，f(x)是奇函数；(2)由(1)可得f(x)=2x2x +1−12， 在x ∈R 上任意取两个自变量：x 1，x 2且x 1<x 2，由f(x 2)−f(x 1)=2x 22x 2+1−12−(2x 12x 1+1−12)=2x 2−2x 1(2x 1+1)(2x 2+1)，∵x 1<x 2，∴2x 2>2x 1，∵2x 1+1>1，2x 2+1>1，∴(2x 1+1)(2x 2+1)>1则2x 2−2x 1(2x 1+1)(2x 2+1)>0，即f(x 2)−f(x 1)>0，所以函数f(x)在R 上单调递增；(3)由不等式f(kx 2−kx +k)+f(3−3k)>0，则f(kx 2−kx +k)>−f(3−3k)，根据(1)可知f(x)是奇函数，∴f(kx 2−kx +k)>f(−3+3k)，根据(2)可知f(x)是递增函数，∴kx 2−kx +k >3k −3的解集为R ，即kx 2−kx −2k +3>0对x ∈R 恒成立，当k =0时，3>0对x ∈R 恒成立，当k ≠0时，要使不等式kx 2−kx −2k +3>0对x ∈R 恒成立，则{k >0△<0，即{k >0k 2−4k(−2k +3)<0， 可得：0<k <43，综上可得k 的取值范围[0,43).解析：本题考查不等式的恒成立问题，函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．(1)定义域为R 的奇函数，可得f(0)=0，即可a 的值；(2)利用函数单调性定义证明即可；(3)根据单调性脱去“f ”，转化为二次函数的解集为R ，即可求解k 的取值范围．20.答案：解：(1)设年利润为y万美元，当0<x≤40时，y=x(400−6x)−16x−40=−6x2+384x−40，当x>40时，y=x(7400x −40000x2)−16x−40=−40000x−16x+7360，所以y={−6x2+384x−40,0<x≤40−40000x−16x+7360,x>40．(2)①当0<x≤40时，y=−6(x−32)2+6104，所以当x=32时，y取得最大值6104，②当x>40时，y=−40000x −16x+7360≤−2√40000x⋅16x+7360=5760．当且仅当40000x=16x即x=50时取等号，所以当x=50时，y取得最大值5 760，综合①②知，当年产量为32万部时所获利润最大，最大利润为6104万美元．解析：(1)根据利润公式得出解析式；(2)分段计算最大利润，从而得出结论．本题考查了分段函数模型的应用，函数最值的计算，属于中档题．21.答案：解：f(x)=22x+2x a+a+1=(2x)2+2x a+a+1，△=a2−4(a+1)≥0；解得，a≥2+2√2或a≤2−2√2；若a≤2−2√2，则y=t2+ta+a+1的对称轴x=−a2>0，故数f(x)=22x+2x a+a+1有零点；若a≥2+2√2，则y=a+1<0；故矛盾；综上所述，a≤2−2√2．解析：f(x)=22x+2x a+a+1=(2x)2+2x a+a+1，再由△=a2−4(a+1)≥0得a≥2+2√2或a≤2−2√2；从而讨论对称轴即可．本题考查了函数的零点的位置的判断，属于基础题．22.答案：M⋂N ={m|m >4−2√2}解析：∵奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，∴f(x)在(−∞,0)上也是增函数，又由f(1)=0得f(−1)=−f(1)=0.∴满足{g(θ)<0f(g(θ))<0=f(−1)的条件是{g(θ)<0g(θ)<−1.即g(θ)<−1(θ∈[0,π2])，即sin 2θ+mcosθ−2m <−1，也即−cos 2θ+mcosθ−2m +2<0.令t =cosθ，则t ∈[0,1]，又设δ(t)=−t 2+mt −2m +2,0≤t ≤1.要使δ(t)<0，必须使δ(t)在[0,1]内的最大值小于零.当m 2<0即m <0时，δ(t)max =δ(0)=−2m +2，解不等式组{m <0−2m +2<0，知m ∈Φ.当0≤m 2≤1即0≤m ≤2时，δ(t)max =m 2−8m+84，由m 2−8m+84<0，解得4−2√2≤m ≤4+2√2，故有2≥m ≥4−2√2.当m 2>1即m >2时，δ(t)max =−m +1，解不等式组{m >2−m +1>0，得m >2.综上：M⋂N ={m|m >4−2√2}．。
河北省石家庄市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题
石家庄市第一中学2019～2020学年第一学期期末考试高一年级数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．3．全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．本试卷满分150分，测试时间120分钟．5．考试范围：必修一：第1章～第3章，必修四：第1章～第3章．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果集合{|42,}S x x n n ==+∈N ，{|42,}T x x k k ==-∈Z ，则（ ）A. S TB. T SC. S T =D. S T ⋂=∅ 2.函数cos(2)6y x π=+的图象的对称轴方程可能是（ ） A. 6x π=- B. 12x π=-C. 6x π=D. 12x π= 3.若点2sin,cos 63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上,则tan α的值为（ ） A. 1B. 1-C. 3D. 3 4.已知向量a r ，b r 满足0a b ⋅=r r ，1a =r ，3b =r ，则a b -=r r （ ）A. 0B. 2C. 22D.10 5.已知函数2(13)2(0)()(3)2(0)a x a x f x a x x -+<⎧=⎨-+≥⎩，在(,)-∞+∞上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ()2,3B. [)1,3C. ()1,3D. []1,36.已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的面积为（ ） .A. 24cmB. 26cmC. 28cmD. 210cm7.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x ∈时，()22,[0,1)2,[1,2]x x x f x x x ⎧-+∈=⎨-∈⎩，则函数()y f x =在[]2,4上的大致图象是（ ） A. B.C. D.8.设函数()(0)1x f x x x =>+，记1()()f x f x =，()21()()f x f f x =，…，1()[()]n n f x f f x +=，则2019()f x 等于（ ） A. 20191x x + B. 2019x x + C. 201920191x x + D. 20191x x+9.定义新运算2()3a b a a b ⊗=+-，若方程)(cos )2x x ⊗=在(0,)x π∈上的解为1x ，2x ，则()12cos x x -的值为（ ）A. B.3 C. 2 D. 110.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足()f f x <的x 取值范围是（ ）A. (3,)+∞B. (,1)(3,)-∞-+∞UC. 3,1(3,)2⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. ()1,3- 11.将函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图像向右平移16个单位长度后得到函数()y g x =的图像.如图是()y g x =的部分图像，其中,A B 是其与x 轴的两个交点，C 是其上的点，||1OA =，且ABC V 是等腰直角三角形.则ω与ϕ的值分别是（ ）A. 2πω=，512πϕ= B. 2πω=，712πϕ= C. 4πω=，524πϕ= D. 4πω=，724πϕ= 12.在ABC V 中，D 为线段AC 的中点，点E 在边BC 上，且12BE EC =，AE 与BD 交于点O ，则AO =u u u r （ ） A. 1124AB AC +u u u r u u u r B. 1144AB AC +u u u r u u u r C. 1142AB AC +u u u r u u u r D. 1122AB AC +u u u r u u u r 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.集合{}6,,,A x y z =，{}1,,,B xy yz xz =，若A B =⊆N ，则x y z ++=________．14.已知单位向量1e u r ，2e u u r 不共线，当()()1212324e e e e -⊥+u r u u r r r 时，1e u r 与2e u u r 的夹角为________． 15.若21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 16.定义函数{}12()min (),()f x f x f x =，表示函数1()f x 与2()f x 较小的函数．设函数1()2x f x =，2()32x p f x -=⋅，p 为正实数，若关于x 的方程()3f x =恰有三个不同的解，则这三个解的和是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合{}|14A x x =<<，{}281|50B x x x =-+<． （1）求集合B 及A B U ；（2）已知集合{}|1C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．18.已知向量1,2a ⎛= ⎝⎭r ，(sin 2,cos 2)b x x =r，设函数()2f x a b =⋅-r r ，x ∈R ． （1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．19.已知函数1()()221x a f x a =+∈+R ． （1）用定义证明函数()f x 在R 上是减函数；（2）探究是否存在实数a ，使得函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由； （3）若1a =-，解不等式()()21240f t f t ++-≤． 20.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD CD ==，3AB =，（Ⅰ）若AC AB BD λ+=u u u r u u u r u u u r，求实数λ的值； （Ⅱ）若AD BC ⊥，求数量积AC BD ⋅u u u r u u u r 值21.已知函数21()cos cos 2f x x x x ωωω=-+(0)>ω，1x ，2x 是函数()f x 的零点，且21x x -的最小值为2π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若13235f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，15521213f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求cos()αβ-值.22.已知函数6()4f x x x =-+． （1）若不等式(ln )ln 0f x a x -≥在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，求a 取值范围； （2）若函数()()22222log 49log 4y f x b x ⎡⎤=++⋅-⎣⎦+恰好有三个零点，求b 的值及该函数的零点．的的。
2022-2023学年河北省唐山市第一中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年河北省唐山市第一中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．设集合{15},{N |||2}M xx N x x =-≤<=∈≤∣，则M N =（ ）A ．{}12xx -≤≤∣ B ．{15}xx -≤<∣ C ．1,0,1,2D ．{}0,1,2【答案】D【分析】求出集合N 的元素，根据集合的交集运算即可求得答案. 【详解】由题意得{N |||2}{0,1,2}N x x =∈≤=， 故{}0,1,2MN =，故选：D2．命题“20,0x x x ∀>-≥”的否定是（ ）A ．20,0x x x ∃≤-< B ．20,0x x x ∀>-<C ．20,0x x x ∃>-≥ D ．20,0x x x ∃>-<【答案】D【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可判断出答案.【详解】命题“20,0x x x ∀>-≥”为全称命题，其否定为特称命题，即20,0x x x ∃>-<，故选：D3．如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（ ） A ．若a b >，则11a b< B ．若a b >，则22ac bc > C ．若a b >，则2211ab a b> D ．若,a b c d >>，则ac bd > 【答案】C【分析】对于A ，B ，D 取反例即可判断结果，根据作差法即可判断C ．【详解】取1,1a b ==-，则11a b>，故A 错； 取0c ，则22ac bc =，故B 错； 由于a b >，所以2222110a bab a b a b --=>，则2211ab a b>，故C 正确； 取2,1,0,2a b c d ==-==-，则0,2ac bd ==，故D 错； 故选：C4．已知集合303x M xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭∣，且{}24120,N x x x M N =--<∣､都是全集R 的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{23}x x -<≤∣B ．{3xx <-∣或6}x ≥ C ．{}32x x -≤≤-∣ D ．{}36xx -≤≤∣ 【答案】A【分析】解不等式后由补集与交集的概念求解【详解】由题意得(,3)(3,)M =-∞-+∞，(2,6)N =-， 图中阴影部分为R(2,3]N M =-，故选：A5．[]2:2,1,0p x x a ∀∈--≥为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(],1-∞D ．(],4-∞【答案】A【分析】根据全称命题为真命题等价转化为不等式恒成立问题，再利用不等式的性质及充分不必要条件的定义即可求解.【详解】由[]22,1,0x x a ∀∈--≥为真命题，等价于2a x ≤在[]2,1-上恒成立，所以()2mina x≤，[]2,1x ∈-即可.设2()f x x =，[]2,1x ∈-，则由二次函数的性质知，对称轴为0x =，开口向上， 所以()f x 在[]2,0-上单调递减，在(]0,1上单调递增.当0x =时，()f x 取得最小值为2(0)00f ==，即0a ≤，所以0a ≤的一个充分不必要条件是(],0-∞的真子集，则1a ≤-满足条件. 故选：A.6．已知全集U =R ，集合(){}40,{22}M x x x N x a x a =-≥=<<+∣∣.若()U N M N ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]0,1B ．[](]0,1,2∞⋃--C ．][(),01,∞∞-⋃+D ．[)2,-+∞【答案】B【分析】解不等式得M ，再由集合间关系列不等式组求解 【详解】由题意得(,0][4,)M =-∞+∞，(0,4)U M =， 而()U N M N ⋂=，则UN M ⊆，①若N =∅，则22a a ≥+，得2a ≤-，②若N ≠∅，则220224a a a a <+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，解得01a ≤≤，综上，a 的取值范围(],2[0,1]∞--， 故选：B7．已知命题“存在{12}x x x ∈-<<∣，使得等式30x m -=成立”是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()3,6- B ．()(),36,-∞-+∞C ．[]3,6-D ．][(),36,-∞-+∞【答案】D【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和否命题真假的关系即可求解.【详解】由已知命题“存在{12}x xx ∈-<<∣，使得等式30x m -=成立”是假命题，等价于“任意的{12}x xx ∈-<<∣，使得等式30x m -≠成立”是真命题，又因为12x -<<，所以336x -<<，要使3x m ≠，则需3m ≤-或6m ≥. 所以实数m 的取值范围为][(),36,-∞-+∞.故选：D.8．已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（ ） A ．2- B ．1 C ．2 D ．8【答案】C【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数1a =，确定2b ≥，然后结合基本不等式得最小值．【详解】2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2240ax bx ++=的两根为m ，4m ，∴44m m a ⋅=，∴1a =，42m b m +=-，则424b m m=-+≥-，即2b ≥， 44244b b a b b +=+≥，当且仅当4b =时取“=”， 故选：C.二、多选题9．设正实数,a b 满足4a b +=，则（ ）A ．19a b+有最小值4 B 2C D ．22a b +有最小值8【答案】AD【分析】利用基本不等式及变形即可求解.【详解】对于A ，()1911919110104444b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当9b aa b =且4a b +=即1,3a b ==时，等号成立，所以19a b+的最小值为4，故A 正确；对于B ，22a b+=，当且仅当2a b ==时，等号成立，最大值为2，故B 不正确；对于C =2a b ==时，等号成立，C 不正确；对于D ，由不等式可得222282a a b b +⎛⎫≥= ⎪⎝⎭+，当且仅当2a b ==时，等号成立，所以22a b +的最小值为8，故D 正确.故选：AD.10．下列结论错误的是（ ）A ．满足{},,a b c A ⊆ {},,,,,a b c d e f 的集合A 的个数是7个B ．“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件C ．设,R a b ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的充分不必要条件D ．不等式11x>的解集为{1}∣<xx 【答案】CD【分析】写出满足{},,a b c A ⊆ {},,,,,a b c d e f 的集合A ，可判断A;根据“1a <”和“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”之间的逻辑推理关系，判断B;根据“0a ≠”和“0ab ≠”之间的逻辑推理关系判断C;求得11x>的解集判断D. 【详解】对于A ，满足{},,a b c A ⊆ {},,,,,a b c d e f 的集合有{},,a b c ，{},,,a b c d ，{},,,a b c e ，{},,,a b c f ，{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,a b c d e a b c d f a b c e f 共7个，A 正确；对于B ，方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的充要条件为140,00a a a ->⎧∴<⎨<⎩， 1a <推不出0a <，但0a <一定有1a <成立，故“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，B 正确； 对于C ，,R a b ∈，当0a ≠时，0b = ，推出0ab =；当0ab ≠时，一定有0a ≠， 故“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，C 错误； 对于D, 不等式11x>的解集为{01}xx <<∣，D 错误， 故选：CD .11．若不等式20ax bx c ++>的解集是()2,1-，则下列选项正确的是（ ） A ．0a < B ．0b <且0c > C ．220a b c ++<D ．不等式20ax cx b -+<的解集是{}R1x x ∈≠-∣ 【答案】ABD【分析】根据一元二次不等式结合一元二次方程以及二次函数的关系判断A ；由根与系数的关系可得到,,a b c 的关系，判断B;根据0a b c ++=以及,,a b c 的关系可判断C;利用,,a b c 的关系化简20ax cx b -+<，继而解不等式可判断D.【详解】因为不等式20ax bx c ++>的解集是()2,1-，则2,1-是方程20ax bx c ++=的两根，且二次函数2y ax bx c =++图象开口向下， 故0a < ，故A 正确；则2121b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，故0,20b a c a =<=-> ，B 正确； 由1是方程20ax bx c ++=的根，可知0a b c ++= ，故2220a b c a b c b c b c a a a ++=++++=+=-=->，C 错误； 不等式20ax cx b -+<即220ax ax a ++<，而0a <， 即2210x x ++>，即2(1)0x +>，故1x ≠-，则不等式20ax cx b -+<的解集是{}R1x x ∈≠-∣，D 正确， 故选：ABD12．已知关于x 的不等式()22120ax a x +-->，其中0a ≤，则该不等式的解集可能是（ ） A ．(),2-∞B ．12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,2,a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】对于含参的不等式结合函数图像分类讨论即可得到答案. 【详解】当0a =时,不等式为20x -->,解集为{2}xx <-∣ 当0a <时,不等式为(2)(1)0x ax +->,令(2)(1)0x ax +-=,解得12x =-,或21x a=, 当102a -<<时,不等式的解集为12xx a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭∣，故D 正确； 当12a =-时,不等式的解集为∅，当12a <-时,不等式的解集为12xx a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，故B 正确. 对照其他选项可以看出AC 错误； 故选：BD.三、填空题13．已知实数,a b 满足12,a b t a b -≤≤≤=-，则实数t 的取值范围是___________.【答案】[]3,0-【分析】根据不等式基本性质求出实数t 的取值范围. 【详解】12a b -≤≤≤，所以0a b -≤，且21b -≤-≤， 所以1212a b --≤-≤+，即33a b -≤-≤， 综上：[]3,0t a b =-∈- 故答案为：[]3,0-14．已知集合{}{}2210x mx x n -+==∣，则m n -=___________. 【答案】0或12-【分析】分0m =和0m ≠，当0m ≠时，利用判别式先求m ，然后解方程可得n . 【详解】由题知，方程2210mx x -+=有唯一实数解n ， 所以，当0m =时，12n =； 当0m ≠时，440m ∆=-=得1m =，由2210x x -+=解得1x =，所以1n =. 所以，11022m n -=-=-或110m n -=-= 故答案为：0或12-15．若关于x 的不等式()2220x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为___________. 【答案】[)(]2,15,6--⋃【分析】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解即可求解.【详解】由()2220x m x m -++<，得()()20x m x --<，当2m =时，不等式的解集为∅，当2m <时，不等式的解集为}{2x m x <<， 当2m >时，不等式的解集为}{2x x m <<，因为不等式的解集中恰有3个整数，所以21m -≤<-或56m <≤， 所以实数m 的取值范围为[)(]2,15,6--⋃. 故答案为：[)(]2,15,6--⋃.四、双空题16．已知集合{}1,2,3,4,5,M A M =⊆，集合A 中所有元素的乘积称为集合A 的“累积值”，且规定：当集合A 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A 的累积值为n .（1）若5n =，则这样的集合A 共有___________个： （2）若n 为偶数，则这样的集合A 共有___________个. 【答案】 2 25【分析】第一空，根据累积值的规定，即可写出答案；第二空，先求集合M 的所有子集个数，再求出当n 为奇数时的A 的个数，即可求得n 为偶数时集合A 的个数. 【详解】（1）根据题意，{}1,2,3,4,5,M A M =⊆，结合“累积值”规定可知， 当5n =时，集合A 可以为{5}或{1,5}共2个；（2）由题意知{}1,2,3,4,5,M A M =⊆，则A 的个数共有1510105132+++++=个； 当n 为奇数时，共有1,3,5,15n =四种情况， 当1n =时，{1}A =；当3n =时，{3}=A 或{1,3}；当5n =时，{5}A =或{1,5}； 当15n =时，{3,5}A =或{1,3,5}；故当n 为偶数时，A 的个数为32725-=个， 故答案为：225；五、解答题17．已知集合611A xx ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}220B x x x m =--<． (1)当3m =时，求()RAB ；(2)若{}14A B x x ⋂=-<<，求实数m 的值． 【答案】(1){|35}x x ≤≤ (2)8m =【分析】（1）化简集合,A B ，根据补集和交集的概念运算可得结果；（2）由B ≠∅求出1m >-，再求出B ，然后根据{}14A B x x ⋂=-<<列式可求出结果. 【详解】(1)由611≥+x 得016x <+≤，得15x -<≤， 所以{|15}A x x =-<≤，当3m =时，由2230x x --<，得13x ， 所以{|13}B x x =-<<， 所以{|1B x x =≤-R 或3}x ≥， 所以()RAB {|35}x x =≤≤.(2)因为{}14A B x x ⋂=-<<， 所以B ≠∅，所以440m ∆=+>，即1m >-，由220x x m --<得2(1)1x m -<+，得11x <<，所以{|11B x x =<+，因为{}14A B x x ⋂=-<<，所以14，11-， 解得8m =.18．已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，求 （1）xy 的最小值； （2）x y +的最小值． 【答案】（1）64；（2）18.【解析】（1）由280x y xy +-=，得到821x y +=，利用基本不等式，即可求解.（2）由280x y xy +-=，得821x y +=，根据8282()()10y x x y x y x y x y+=++=++，结合不等式，即可求解.【详解】（1）由280x y xy +-=，可得821x y+=，又由0,0x y >>，可得821x y =+≥， 当且仅当82x y=，即4x y =时，等号成立，即64xy ≥， 所以xy 的最小值为64.（2）由280x y xy +-=，得821x y+=，因为0,0x y >>，可得8282()()101018y x x y x y x y x y +=++=++≥+， 当且仅当82y xx y=，即12,6x y ==时等号成立， 所以x y +的最小值为18.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 19．设集合A ={x |x 2-3x +2=0}，B ={x |x 2+2（a +1）x +a 2-5=0}. (1)若A ∩B ={2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)-1或-3； (2)(,3]-∞-.【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可； （2）根据集合并集的运算性质进行求解即可；【详解】(1)由x 2-3x +2=0得x =1或x =2，故集合A ={1，2}. 因为A ∩B ={2}，所以2∈B ，将x =2代入B 中的方程， 得a 2+4a +3=0，解得a =-1或a =-3，当a =-1时，B ={x |x 2-4=0}={-2，2}，满足条件； 当a =-3时，B ={x |x 2-4x +4=0}={2}，满足条件， 综上，实数a 的值为-1或-3；(2)对于集合B ，∆=4（a +1）2-4（a 2-5）=8（a +3）. 因为A ∪B =A ，所以B ⊆A .当∆<0，即a <-3时，B 为空集，满足条件； 当∆=0，即a =-3时，B ={2}，满足条件； 当∆>0，即a >-3时，B =A ={1，2}才能满足条件， 则由根与系数的关系，得1+2=-2（a +1），1×2=a 2-5， 解得a =-52，且a 2=7，矛盾.综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-.20．已知命题:R p x ∃∈，使2420mx x -+=为假命题． (1)求实数m 的取值集合B ；(2)设{}32A x a x a =<<+为非空集合，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()2,B =+∞； (2)2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）由条件可得关于x 的方程2420mx x -+=无解，然后分0m =、0m ≠两种情况讨论即可；（2）首先由{}32A x a x a =<<+为非空集合可得1a <，然后由条件可得A B ⊆且A B ≠，然后可建立不等式求解.【详解】(1)因为命题:R p x ∃∈，使2420mx x -+=为假命题，所以关于x 的方程2420mx x -+=无解，当0m =时，2420mx x -+=有解，故0m =时不成立，当0m ≠时，1680m ∆=-<，解得2m >，所以()2,B =+∞(2)因为{}32A x a x a =<<+为非空集合，所以32a a <+，即1a <，因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A B ⊆且A B ≠，所以32a ≥，即23a ≥， 综上：实数a 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 21．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A 企业春节期间加班追产提供[]()0,20x x ∈(万元)的专项补贴.A 企业在收到政府x (万元)补贴后，产量将增加到(2)t x =+(万件).同时A 企业生产t (万件)产品需要投入成本为72(72)t x t ++(万元)，并以每件40(6)t+元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本（1）求A 企业春节期间加班追产所获收益()R x (万元)关于政府补贴x (万元)的函数关系式；（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A 企业春节期间加班追产所获收益最大？【答案】（1）238272()x x R x --=+，[]0,20x ∈；（2）即当政府的专项补贴为4万元时，A 企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元；【解析】（1）依题意得到()R x 的函数解析式；（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解；【详解】解：（1）依题意可知，销售金额()40406622t x t x ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭万元，政府补贴x 万元，成本为()7272727222t x x x t x ++=++++万元； 所以收益()()7272()7222240623822R x x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+++-=-- +⎪⎢⎥+⎦=⎝+++⎭+⎣，[]0,20x ∈ （2）由（1）可知()()2727272()4242238222222R x x x x x x x ---+⎥⎡⎤===⎢++++⎣-+⎦-，[]0,20x ∈其中()4272222x x +≥=++，当且仅当()72222x x +=+，即4x =时取等号，所以()72()42422242182R x x x ⎡⎤=≤+-+-=⎢⎣⎦+⎥， 所以当4x =时，A 企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元；即当政府的专项补贴为4万元时，A 企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元；【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方22．已知不等式2–10mx mx -<．（1）若对x R ∀∈不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若对]13[x ∀∈，不等式恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）(–4]0，（2）1(,)6-∞ 【解析】（1）讨论当0m =时不是二次函数，成立；当0m ≠时为二次函数要使2–10mx mx -<在R 上恒成立，则开口只能向下，∆<0代入计算即可。
2019-2020学年河北省石家庄市中学高一上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年河北省石家庄市中学高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．设集合102M x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，{}|31xN x =≥，则M N =（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]0,2C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】先解不等式求出集合M ，N ，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解：由102x <≤得1012x x⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得12x ≥，则1,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭， 由31x ≥得0x ≥，则[)0,N =+∞， ∴MN =1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查分式不等式和指数不等式的解法，属于基础题．2．设3log 0.6a =，0.63b =，30.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】C【解析】取中间值0和1，利用取中间值法比较大小． 【详解】解：∵33log 0.6log 10a =<=，0.631b =>，300.61c <=<， ∴b c a >>， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查比较指数式、对数式的大小，常用取中间值法，属于基础题． 3．函数()()2lg 1f x x =-的单调递减区间为（） A ．(),1-∞- B ．(),0-∞ C ．()0,∞+D ．()1,+∞【答案】A【解析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可． 【详解】解：由210x ->得1x <-，或1x >，则函数的定义域为()(),11,-∞-+∞，又函数21y x =-在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，由复合函数的单调性原则“同增异减”得函数()()2lg 1f x x =-的单调递减区间为(),1-∞-， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域，属于易错的基础题．4．已知向量()3,1AB =，()6,1CD m =-，若//AB CD ，则实数m 的值为（ ） A ．19 B ．3 C ．-1 D ．-17【答案】B【解析】直接根据向量平行的坐标表示计算即可． 【详解】解：∵//AB CD ，()3,1AB =，()6,1CD m =-， ∴()3160m --=，解得3m =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标运算，属于基础题． 5．设tan160k ︒=，则sin160︒=（ ） AB C D【答案】B【解析】根据同角的平方关系与商关系求解即可． 【详解】解：∵tan160k ︒=，则k 0<，∴sin160cos160k ︒=︒，即sin160cos160k︒︒=， 又22cos 160sin 1601︒+︒=，∴222sin 160sin 1601k ︒+︒=，即222sin 1601k k ︒=+， 又160︒为第二象限角，∴sin160︒=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，属于基础题． 6．已知02πα<<，()ln 1cos s α+=，1ln 1cos t α⎛⎫=⎪-⎝⎭，则lnsin α=（ ） A ．s t - B ．s t +C ．()12s t -D ．()12s t +【答案】C 【解析】由02πα<<得sin 0α>，cos 0α>，由1ln 1cos t α⎛⎫=⎪-⎝⎭得()ln 1cos t α-=-，从而有()()ln 1cos ln 1cos αα++-t s =-，根据对数的运算即可求出答案． 【详解】解：∵02πα<<，∴sin 0α>，cos 0α>，∵1ln 1cos t α⎛⎫= ⎪-⎝⎭， ∴()ln 1cos t α-=-， 又()ln 1cos s α+=，∴()()ln 1cos ln 1cos αα++-t s =-，即()()2ln sin 2ln sin s t αα==-，∴lnsin α=()12s t -， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．7．设函数()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中a ，b ，α，β都是非零常数，且满足()120193f =-，则()2020f =（ ）A ．B ．13-C ．13D【答案】C【解析】代入后根据诱导公式即可求出答案． 【详解】 解：由题()2019f ()sin 2019a πα=+()cos 2019b πβ++1sin cos 3a b αβ=--=， ∴1sin cos 3a b αβ+=-， ∴()2020f =()sin 2020a πα+()cos 2020b πβ++1sin cos 3a b αβ=+=-， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题． 8．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到()y g x =图象，则函数()y g x =（ ）A ．关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称【答案】C【解析】先求出函数的解析式，再根据正弦型函数的对称性求解即可． 【详解】解：由题意可得，()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由2,62x k k Z πππ+=+∈得,62k x k Z ππ=+∈，故C 对、D 错；由2,6x k k Z ππ+=∈得,122k x k Z ππ=-+∈，故A 、B 错； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，考查三角函数的对称性，属于基础题． 9．设函数()1,04,0x x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩，则满足()()0f x f x -->的x 的取值范围为（ ）A ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,0,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】()()0f x f x -->()()f x f x ⇔>-，再借助函数图象即可求出答案． 【详解】解：()()0f x f x -->()()f x f x ⇔>-，由对称性可知，函数()f x 和()f x -的图象关于y 轴对称， 在同一直角坐标系中画出函数()f x 和()f x -的图象，由图可知，当11,0,22x ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，函数()f x 的图象在()f x -的图象的上方，即()()f x f x >-， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查根据函数图象的应用，考查数形结合思想，属于基础题．10．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x =+，且当[)2,0x ∈-时，()()22f x x x =-+.若对任意[),x m ∈+∞，都有()89f x ≤，则m 的取值范围是（ ）A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由题意得当[)0,2x ∈时，()()2f x x x =--()211x =--+，根据题意作出函数()f x 的部分图象，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：当[)2,0x ∈-时，()()22f x x x =-+()2212x =-++，又()()22f x f x =+，∴当[)0,2x ∈时，()()2f x x x =--()211x =--+，∴()f x 在[]0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，且()()max 11f x f ==；又()()22f x f x =+，则函数图象每往右平移两个单位，纵坐标变为原来的12倍， 作出其大致图象得，当[)0,2x ∈时，由()()28119f x x =--+=得23x =，或43x =， 由图可知，若对任意[),x m ∈+∞，都有()89f x ≤，则43m ≥， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数的图象变换，考查数形结合思想，属于中档题．二、多选题11．已知定义在区间[],ππ-的函数()2cos f x x x =-，则下列条件中能使()()12f x f x <恒成立的有（ ） A ．120x x π-≤<≤ B ．120x x π≤<≤ C ．12x x >D ．2212x x <【答案】AC【解析】分析得出函数的奇偶性与单调性，再结合性质即可求出答案． 【详解】解：∵()2cos f x x x =-，∴()()()2cos f x x x -=---()2cos x x f x =-=，∴函数()f x 是偶函数，由单调性的性质易知，函数()f x 在[],0π-上单调递增，在[]0,π上单调递减，则要使()()12f x f x <恒成立必须有12x x >，故选：AC ． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题．12．已知04πθ<<，若sin 2m θ=，cos2n θ=且m n ≠，则下列选项中与tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒相等的有（ ）A ．1nm + B ．1m n + C ．1n m -D ．1mn -【答案】AD【解析】由题意得221+=m n ，tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭1tan 1tan θθ-=+，切化弦即可得出结论． 【详解】解：∵sin 2m θ=，cos2n θ=， ∴221+=m n ，∴1m n -1nm=+，∴tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭1tan 1tan θθ-=+cos sin cos sin θθθθ-=+()()()()cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθ--=+-1sin 2cos 2θθ-=1m n -=1nm=+， 故选：AD ． 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查简单的三角恒等变换，属于中档题．三、填空题13．已知函数()(lg f x x =+为奇函数，则a =__________；【答案】1【解析】根据()()f x f x -=-求解出a 的值. 【详解】因为(()()lg lg lg f x x f x ⎛⎫⎛⎫-=-==-=，=0x ≠，所以1a =.【点睛】已知函数为奇函数，可通过定义法：()()f x f x -=-来求解其中参数的值.这里不能直接使用()00f =，因为定义域未知. 14．已知向量a ，b 夹角为30，且2a=，313a b -=，则b =______；【解析】由313a b -=得226cos 913a a b a b b -+=，，代入数据后即可求得答案． 【详解】 解：∵313a b -=，∴()2313a b-=，即226cos 913a a b a b b -+=，， 又a ，b 夹角为30，且2a =，∴24913b b -+=，即232330b b --=，解得3b =，或3b =-（舍去），【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用，属于基础题．15．若()3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上是增函数，则正实数a 的最大值为______；【答案】6π【解析】先求出函数()3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间，再根据题意即可求出答案． 【详解】 解：由22,232k x k k Zπππππ-+≤-≤+∈得，522,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又()3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上是增函数，∴06a π<≤，故答案为：6π．【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调性的应用，属于基础题． 16．已知ABC ∆中，3AB AC ==，D 为边BC 上一点，6AB AD ⋅=，152AC AD ⋅=，则AB AC ⋅的值为______. 【答案】92【解析】以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设(),D x y ，记BAC θ∠=，再根据同角的平方关系以及数量积的坐标运算求解即可． 【详解】解：以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设(),D x y ，则(),AD x y =， ∵3AB AC ==，记BAC θ∠=， ∴()0,0A ，()3,0B ，()3cos ,3sin C θθ， 则()3,0AB =，()3cos ,3sin AC θθ=，∵6AB AD ⋅=，152AC AD ⋅=， ∴36x =，153cos 3sin 2x y θθ+=，∴2x =，52cos sin 2y θθ+=， 又D 为边BC 上一点，∴//BD BC ，则()3cos 33sin 0y θθ-+=，即()sin 1cos y θθ=-， 又()0,θπ∈， ∴sin 1cos y θθ=-∴2sin 2cos 1cos θθθ+-52cos 1cos 2θθ=++=，解得1cos 2θ=， ∴99cos 2AB AC θ⋅==， 故答案为：92．【点睛】本题主要考查数量积的坐标运算，考查同角的平方关系，考查设而不求思想，属于中档题．四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}2|450A x x x =--≤，{}|24B x x =≤≤. （1）求()U A C B ⋂；（2）若集合{}|4,0C x a x a a =≤≤>，满足C A A =，C B B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题{}|15A x x =-≤≤，再根据集合的补集与交集的定义求解即可； （2）由CA A =得C A ⊆，由CB B =得BC ⊆，再根据包含关系求解即可． 【详解】解：（1）由题{}|15A x x =-≤≤，{|2U C B x x =<或}4x >，，(){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）由C A A =得C A ⊆，则145a a ≥-⎧⎨≤⎩，解得514a -≤≤， 由CB B =得BC ⊆，则244a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤， ∴实数a 的取值范围为5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及集合的包含关系，属于基础题．18．已知函数()2cos cos 1x x x f x =+，x ∈R .（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）求0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =的值域. 【答案】（1）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先根据降幂公式以及辅助角公式化简三角函数，令()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z 即可得出答案； （2）由02x π≤≤得72666x πππ≤+≤，由此即可求出答案．【详解】解：2cos cos 1y x x x =++13cos 2222x x =++3sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （1）令()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 所以函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由02x π≤≤得72666x πππ≤+≤，∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 从而函数()y f x =的值域为51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及性质，属于基础题．19．已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，552||=-b a .（1）求cos()αβ-的值； （2）若022ππβα-<<<<，且5sin 13β=-，求sin α的值. 【答案】（1）3cos()5αβ-=（2）3365 【解析】（1）先由条件得2242.5a a b b -⋅+=再利用向量的坐标公式计算代入得解；（2）先计算αβ-和β的三角函数值，再由sin sin[()]ααββ=-+展开结合条件的三角函数可得解. 【详解】 （1）255a b -=，2242.5a ab b ∴-⋅+= 又(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，221a b ∴==，cos cos sin sin cos()a b αβαβαβ⋅=+=-， 3cos().5αβ∴-=（2）022ππβα-<<<<，0.αβπ∴<-< 由（1）得3cos()5αβ-=，4sin()5αβ∴-=，又5sin 13β=-，12cos 13β∴=，sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ∴=-+=-+-=4123533.51351365⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和的展开公式，属于基础题，第二问属于典型的给值求值问题，解题的关键是将未知角通过配凑用已知角表示，进而由三角函数的两角和的展开公式求解即可. 20．已知函数()()1log 011af x a x x -=<<+. （1）求函数()y f x =的定义域；（2）若方程()1log af x x =+有两个不等实根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|1x x <-或}1x >，；（2）{|03a a <<-【解析】（1）解分式不等式101x x ->+即可得出答案；（2）由题意得()2110ax a x +-+=，()1,x ∈+∞，再根据二次方程的根的分布求解即可． 【详解】解：（1）由题意有101x x ->+，解得1x <-或1x >，所以函数()y f x =的定义域为：{|1x x <-或}1x >； （2）由（1）可知方程()log 1a f x x =+中()1,x ∈+∞， 化简1log log 11aa x x x -=++得()2110ax a x +-+=， 即方程()2110ax a x +-+=在区间()1,+∞上有两个不等实根，需满足()1120110a a a a -⎧>⎪⎪∆>⎨⎪+-+>⎪⎩，解得：03a <<-所以实数a的取值范围{|03a a <<-．【点睛】本题主要考查函数的定义域，考查二次方程根的分布，考查数形结合思想，属于中档题．21．经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度1y 与时间t 满足关系式：()1404y t t =-≤≤，服用药物N 后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度2y 与时间t满足关系式：2123,14t y t t≤<=⎨-≤≤⎪⎩.现假定某患者餐后立刻服用药物N ，且血液中微量元素总浓度y 等于1y 与2y 的和. （1）求4小时内血液中微量元素总浓度y 的最高值； （2）若餐后4小时内血液中微量元素总浓度y 不低于4的累积时长不低于两小时，则认定该药物治疗有效，否则调整治疗方案.请你判断是否需要调整治疗方案. 【答案】（1）174；（2）不需要调整治疗方案【解析】（1）由题意得124,0127,14t t y y y t t t ⎧-≤<⎪=+=⎨⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，求出每段的最大值后再比较即可求出答案； （2）分段讨论求出t 的范围即可得出答案． 【详解】解：（1）由题微量元素在血液内的总浓度y 与时间t 的关系为：124,0127,14t t y y y t t t ⎧-+≤<⎪=+=⎨⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩， 当01t <<时，2117424y t ⎫=-=-+⎪⎭，当14t =时取最大值174； 当14t ≤≤时，27y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当t =时取得最大值7-因为1774>-174；（2）当01t ≤<时，44t -+≥，解得01t ≤<；当14t ≤≤时，274t t ⎛⎫-+≥⎪⎝⎭，解得12t ≤≤； 注射药物N 后两小时内血液中微量元素总浓度不低于4，所以不需要调整治疗方案． 【点睛】本题主要考查分段函数的性质及其应用，属于基础题． 22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()2log 21x f x x -=-+.（1）求0x >时，()f x 的解析式；（2）设[]1,2x ∈时，函数()()222f x x g x m m =+⋅-，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为5，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）()()2log 21xf x x =++；（2）存在，7m =-【解析】（1）0x >时，0x -<，()()2log 21xx f x -=--+，再根据()()f x f x =--即可求解；（2）由题意可得()()()22122x x g x m m =++-，令[]22,4xt =∈，令()()212h t t m t m =++-，则函数()h t 在[]2,4上的最小值为5，再分类讨论即可求出答案． 【详解】解：（1）()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x =--， 设0x >，则0x -<，()()()2log 21xf x x x f =⎡⎤---+--⎣=⎦()2log 21x x =++， 即0x >时，()()2log 21xf x x =++；（2）由（1）当[]1,2x ∈时，()()2log 21222x x xm g m x ++=+⋅-()()22122x xm m =++-，令[]22,4x t =∈，()()212h t t m t m =++-，函数()g x 在[]1,2x ∈上的最小值5，即为函数()h t 在[]2,4上的最小值， ①当122m +-<即5m ≥-时，函数()h t 在区间[]2,4上是增函数， 所以()()min 265h t h ==≠，所以m ∈∅，②当1242m +≤-≤即95m -≤≤-时，()min 210154m h t m ---==， 化简得210210m m ++=，解得3m =-或7m =-，所以7m =-，③当142m +->即9m <-时，函数()h t 在区间[]2,4上是减函数， 所以()()min 42205h t h m ==+=，解得152m =-，所以m ∈∅；综上：存在7m =-使得函数()g x 的最小值为5． 【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求解析式，考查函数能成立问题，考查分类讨论思想，属于难题．。
精练03 基本不等式-高一上学期数学期末考点(新教材人教A版必修第一册)
精练03基本不等式1．【内蒙古赤峰市2019-2020学年高一期末】已知0x >，0y >满足22280x y xy y x +--=，则2y x +的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D【答案】C 【详解】由22280x y xy y x +--=知：(2)8xy x y y x +=+，而0x >，0y >∴182y x x y +=+，则21816(2)(2)()101018y x y x y x x y x y +=++=++≥=∴2y x +≥ 故选：C2．【湖北省荆州市2019-2020学年高一期末】若正数x ，y 满足21x y +=，则12x y+的最小值为（ ）A ．4B ．3+C ．8D ．9【答案】C 【详解】解：因为正数x ，y 满足21x y +=，所以()12422248x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当4x y y x =，即11,42x y ==时取等号， 所以12x y+的最小值为8， 故选：C3．【宁夏回族自治区银川一中2019-2020学年高一期末】下列函数的最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<<C ．y =D ．1tan (0)tan 2y x x x π=+<<【详解】 对于A. 1y x x=+,当0x <时，0y <，所以最小值为不是2，A 错误； 对于B. 1sin 0sin 0sin 2y x x x x π⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭，，所以1sin 2sin x x +≥=时， 即sin 1x =，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B 错误.对于C.2y =≥2=，此方程无解，则y 的最小值取不到2，C 错误；对于D,1tan (0)tan?2y x x x π=+<<，因为tan 0x >，所以1tan 2tan x x +≥=， 当且仅当tan 1x =，即4x π=时，y 有最小值2，满足，D 正确；故选：D.4．【江西省南昌市2019-2020学年高一期末】已知a ，0b >，且满足21a ab +=，则3a b +的最小值为（ ）A B C ．D ．【答案】C 【详解】 ∵21a ab +=， ∴1b a a=-．即11332a b a a a a a +=+-=+≥=当且仅当2a =时取等号．∴3a b +的最小值为5．【河北省石家庄市2019-2020学年高一期末】如果x ＞0，y ＞0，且111x y+=，则xy 有（ ） A ．最小值4 B ．最大值4 C ．最大值14D ．最小值14【答案】A 【详解】x ＞0，y ＞0，且111x y+=，又11x y +≥1≤，114xy ≤， 即4xy ≥，当2x y ==时取等号, 则xy 有最小值4， 故选：A6．【贵州省毕节市威宁县2019-2020学年高一期末】已知正实数a ，b 满足1a b +=，则2241a ba b--+的最小值为（ ） A ．11 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【详解】解：因为正实数a ，b ，且1a b +=，所以2241a b a b--+41a b a b =-+- 41()b a a b =+-+ 41()()1b a a b =+⋅+- 44b a a b =++4≥8=当且仅当4b a a b =即223a b ==时，取等号. 所以2241a b a b--+的最小值为8. 故选：C.7．【广东省佛山市禅城区2019-2020学年高一期末】若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）A ．1ab ≤B ≤C ．22a b +≥D ．223a b +≥【答案】A 【详解】对于A ，0a >，0b >，a b ∴+≥12a b+≤=，即1ab ≤，当且仅当1a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，224a b =++=+≤2≤，当且仅当1a b ==时取等号，故B 错误； 对于C ， 不妨设32a =，12b =时，23172244a b =+=<+，故B 错误； 对于D ，()2222422+=+-≥-=a b a b ab ，当且仅当1a b ==时取等号，故D 错误. 故选：A8．【广东省佛山市南海区2019-2020学年高一期末】若函数()()40,0af x x x a x=+>>当且仅当2x =时取得最小值，则实数a 的值为（ ） A ．12 B ．24C ．16D ．36【答案】C 【详解】()4af x x x=+≥24x a =，∴22x ==，解得：16a =， 故选：C.9．【黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2019-2020学年高一期末】已知0,0x y >>，231x y +=，则48x y+的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．D ．【答案】C 【详解】∵00x y >>，，231x y +=，∴232482x y x y ≥+=+= 当且仅当2322x y =即11,46x y ==时，等号成立，所以48x y +的最小值为. 故选：C10．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6【答案】C 【详解】由已知可得31155x y +=，则3194123131234()(34)555555555y x x y x y x y x y +=++=+++≥+=，所以34x y +的最小值5，应选答案C ．11．【山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一期末】若两个正实数,x y 满足112x y+=，且不等式2x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2-B ．()4,1-C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),14,-∞-+∞【答案】C 【解析】正实数x ,y 满足112x y+=， 则()111112222224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当1,y x x y ==+取得最小值2. 由2x y m m +<-有解,可得22m m ->， 解得m >2或m <−1. 本题选择C 选项.12．【安徽省宿州市十三所省重点中学2019-2020学年高一期末】已知2m >，0n >，3m n +=，则112m n+-的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【详解】因为2m >，0n >，3m n +=，所以21m n -+=，则()1111222224222n m m n m n m n m n-⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪---⎝⎭， 当且仅当22n m m n -=-且3m n +=，即51,22m n ==时取等号， 故选：B.13．【安徽省宣城市2019-2020学年高一期末】已知m ，0n >，4121m n+=+，则m n +的最小值为（ ） A ．72B ．7C ．8D ．4【答案】A 【详解】 ∵m ，0n >，4121m n+=+， ∴()()4111411911554122122n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫++=+++⨯=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当411n m m n +=+且4121m n+=+，即2m =，32n =时取等号， 故m n +的最小值72.故选：A.14．【湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）2019-2020学年高一期末】已知1x >，0y >，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为（ ） A ．9 B ．10 C ．11D ．726+【答案】B 【详解】1x >，10x ->，又0y >，且1211x y+=-， 2(1)21x y x y ∴+=-++[]12(1)211x y x y ⎛⎫=-+++ ⎪-⎝⎭22(1)61y x x y -=++- 22(1)621y x x y-+⋅-10=， 当且仅当22(1)1y x x y-=-，解得4x =，3y =时等号成立， 故2x y +的最小值为10． 故选：B ．15．【湖南省长沙市长沙县实验中学2019-2020学年高一期末】设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴2211434432?3xy xy x y zx xy y x y y xy x===-++--，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z+-的最大值是1． 故选：D16．【广东省惠州市2019-2020学年高一期末】函数2241y x x =++的最小值为__. 【答案】3 【详解】函数2241y x x =++， 即()224111y x x =++-+1413≥=-=， 当且仅当212+=x ，即1x =±时，取等号， 则函数的最小值为3， 故答案为：3.17．【吉林省长春市实验中学2019-2020学年高一期末】已知32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________.【答案】(),1-∞ 【详解】由于不等式32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则3231x x k -<+⋅-，由基本不等式可得323111x x -+⋅-≥=，当且仅当323x x -=⋅时，即当31log 22x =时，等号成立，所以，1k <，因此，实数k 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.18．【湖南省长沙市雨花区2019-2020学年高一期末】设1x >，则函数151y x x =++-的最小值为_____ 【答案】8【详解】 1x >，∴函数115(1)62(1)68111y x x x x x x =++=-++-+=---，当且仅当2x =时取等号． 因此函数151y x x =++-的最小值为8． 故选：A ．19．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______. 【答案】4 【详解】0a >，0b >，，可得24ab ≥，当且仅当a b =时取等号．)120∴≥，∴2≥1≤-（舍去），4ab ∴≥．故ab 的最小值为4. 故答案为：4．20．【四川省凉山州2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，1a b +=，则1aa b+的最小值为______． 【答案】3 【详解】依题意1113a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=. 当且仅当12a b ==时等号成立. 故答案为：321．【河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一期末】若441x y +=，则x y +的取值范围是____________．【答案】(],1-∞- 【详解】由基本不等式可得1144222x y x y x y +++=+≥=⨯=，10x y ∴++≤，解得1x y +≤-.所以，x y +的取值范围是(],1-∞-. 故答案为：(],1-∞-.22．【安徽省淮南市第一中学2019-2020学年高一期末】已知x ，0y >，且194x y+=，则x y +的最小值________． 【答案】4 【详解】因为x ，0y >，且194x y+=，所以x y +()11919110104444⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝y x x y x y x y 当且仅当9y xx y=，,即1,3x y ==时，取等号， 所以x y +的最小值为4， 故答案为：423．【山西省2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，1a b +=，则161a b+的最小值为__________. 【答案】25 【详解】()1611611617b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭17172425≥+=+⨯= 当且仅当2216a b =，即45a =，15b = 时取等号. 故答案为：2524．【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高一半期考试】设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，12020a a b+取得最小值.【答案】20202019-【详解】由已知有：22212020202020202020a a a a b a b a b a b a a b++=+=++212020≥-+221140392202020202020=-+⨯=， 当且仅当0a <，22020a b a b =时，等号成立. 即222202020192020a a b ⇒=-=. 故答案为：20202019-. 25．【四川省乐山市2019-2020学年高一期末】已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为_____．【答案】10【详解】49abc a b =+4994a b c ab a b+∴==+9410a b c a b a b ++=+++≥=（当且仅当3,2a b ==时，取等号） 故答案为：1026．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：万元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：万元）与x 成正比；若在距离车站2km 处建仓库，则1y 和2y 分别为10万元和1.6万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出这个最小值.【答案】5km 处，最小值为8万元..【详解】解：设仓库建在距离车站km x 处时，两项费用之和为y 万元.根据题意可设1y x λ=，2y x μ=.由题可知，当2x =时，110y =，2 1.6y =，则20λ=，45μ=. 所以()20405y x x x =+>.根据均值不等式可得8y ≥=， 当且仅当2045x x =，即5x =时，上式取等号. 故这家公司应该把仓库建在距离车站5km 处，才能使两项费用之和最小，且最小值为8万元.27．【安徽省池州市2019-2020学年高一期末】已知函数2(4)()x f x x+=(0)x >． （1）解不等式：f （x ）＞503； （2）求函数f （x ）的最小值．【答案】（1）8|03x x ⎧<<⎨⎩或}6x >；（2）16 【详解】 （1）220(4)50()(4)5033x x f x x x x>⎧+⎪=>⇔⎨+>⎪⎩， 208|03264803x x x x x >⎧⎧⇔⇔<<⎨⎨-+>⎩⎩或}6x >. （2）22(4)81616()8816x x x f x x x x x +++===++≥=， 当且仅当16x x =，即4x =时函数2(4)()x f x x+=取得最小值16. 28．【浙江省宁波市慈溪市2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >且3a b +=．（Ⅰ）求11()a b +的最大值及此时a ，b 的值； （Ⅱ）求2231a b a b +++的最小值及此时a ，b 的值．【答案】（Ⅰ）32a b==时，11a b⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值为2-；（Ⅱ）6a=-，3b=-+3+；【详解】解：（Ⅰ）1133224233333333333a b a b b a b aa b a b a b a b a b+++=+=+=+++=，当且仅当33b aa b=且3a b+=，即32a b==时取等号，311423loga b⎛⎫∴+=-⎪⎝⎭即最大值为2-，（Ⅱ）3a b+=，∴223313131(1)121111a ba b a ba b a b a b a b++=++-+=+-++=++++++3113(1)3(2()()332314444(1)4(1)a b b aba b a b b++=+++=+++=+++，当且仅当3(1)44(1)b aa b+=+且3a b+=，即6a=-3b=-+29．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一期末】已知0a>，0b>.（1）求证：()2232a b b a b+≥+；（2）若2a b ab+=，求ab的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b+-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b+≥+.（2）∵0a>，0b>，∴2ab a b=+≥2ab≥1，∴1≥ab.当且仅当1a b==时取等号，此时ab取最小值1.和分析法来一起证明，属于中档题.30．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围；（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．【答案】（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x 米， 因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<； （2）()80016001600 4280828084S x x x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=， 当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立． 因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．。
河北省唐山市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
河北省唐山市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={0,1，2，3，4}，集合A ={1,2，3}，B ={2,4}，则(∁U B)∪A 为( )A. {1,3}B. {2,3，4}C. {0,1，2，3}D. {0,2，3，4}2. sin 315°+sin(−480°)+cos(−330°)的值为( )A. 12B. −12C. −√22D. √223. 已知集合A ={0,1,2}，B ={a,2}，若B ⊆A ，则a =( )A. 0B. 0或1C. 2D. 0或1或24. 已知f (x )={2x −1,x <12f (x −1)+1,x ≥12，则f (14)+f (76)=( )A. −16B. 16C. 56D. −565. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =1x 2B. y =(12)|x|C. y =lg xD. y =|x|−16. 函数f(x)=3x −x 2的零点所在区间是( )．A. (1,2)B. (0,1)C. (−2,−1)D. (−1,0)7. 为了得到函数y =4cos2x 的图象，只需将函数y =4cos(2x +π4)的图象上每一个点( )A. 横坐标向左平动π4个单位长度 B. 横坐标向右平移π4个单位长度 C. 横坐标向左平移π8个单位长度D. 横坐标向右平移π8个单位长度8. 三个数a =30.2，b =0.23，c =log 0.23的大小关系为( )A. c <a <bB. b <a <cC. a <b <cD. c <b <a9. 已知cos(2π3−α)=34，则sin(α−π6)cos(π3−2α)=( )A. 332B. −332C. 316D. −31610. 函数f(x)=−4sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2,x ∈R)的部分图象如图所示，则f(16)的值为( )A. −√2B. √2C. −2√2D. 2√211. 函数f(x)=2x 2−5x +2的零点个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 不确定12. 设，，则( )A. a +b <ab <0B. ab <a +b <0C. a +b <0<abD. ab <0<a +b二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=log 3(3+2x −x 2)的定义域是______ ．14. 已知幂函数y =f(x)的图象过点(2,√2)，则这个函数解析式为______． 15. 已知tan(x +π4)=2，则tanx =______．16. 设函数f(x)=sin(ωx +π3)，其中ω>0.若函数f(x)在[0,2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (Ⅰ)计算：(279)0.5+(0.1)−2+(21027) −23−3π0+3748(Ⅱ)设2a =5b =m ，且1a +1b =2，求m 的值．18. (1)已知角α终边上一点P(−4,3)，求cos(π2+α)sin(−π−α)cos(11π2−α)sin(9π2+α)的值(2)已知cos(π+α)=−12，且α是第四象限角，计算：sin[α+(2n+1)π]+sin[α−(2n+1)π]sin(α+2nπ)⋅cos(α−2nπ)(n ∈Z)．19. 已知函数f(x)=√3sin2x +cos2x(1)当x ∈[0,π2]时，求函数f(x)的单调递增区间 (2)若x ∈[−π6,π3]，求函数f(x)值域．20. 已知函数f(x)的定义域为R ，且对于∀x ∈R ，都有f(−x)=f(x)成立．(1)若x ≥0时，f(x)=(12)x ，求不等式f(x)>14的解集；(2)若f(x +1)是偶函数，且当x ∈[0,1]时，f(x)=2x ，求f(x)在区间[2015,2016]上的解析式．21. 已知y =f(x)是偶函数，定义x ≥0时，f(x)={x(3−x),0≤x ≤3(x −3)(a −x),x >3．(1)求f(−2)；(2)当x<−3时，求f(x)的解析式；(3)设函数y=f(x)在区间[−5,5]上的最大值为g(a)，试求g(a)的表达式．22.若函数f(x)=sin(ax+π)+b(a>0,b>0)的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之间3的距离为π．(1)求a，b的值；(2)求f(x)在[0,π]上的最大值和最小值．4-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．根据补集与并集的定义，计算即可．解：全集U={0,1，2，3，4}，集合A={1,2，3}，B={2,4}，则∁U B={0,1，3}，∴(∁U B)∪A={0,1，2，3}．故选：C．2.答案：C解析：本题考查了诱导公式，特殊角的三角函数值，属于基础题．利用诱导公式化简即可求出答案．解：原式=sin(360°−45°)+sin(−360°−120°)+cos(−360°+30°)=−sin45°−sin60°+cos30°=−√22−√32+√32=−√22．故选C．3.答案：B解析：本题考查集合的基本关系，解决问题的关键是根据子集关系及集合的性质求解对应a值．解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1．4.答案：A解析：本题考查了分段函数的定义域与值域，属于基础题.利用分段函数的解析式，直接求解函数值即可． 解：因为f (x )={2x −1,x <12f (x −1)+1,x ≥12，所以f (14)+f (76)=2×14−1+f (16)+1=12+2×16−1 =−16．故选A ．5.答案：D解析：解：A 中函数y =1x 2是偶函数且在(0,+∞)上单调递减，故A 错误； B 中函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递减，故B 错误； C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增， 故选D ．分别函数的奇偶性、单调性，即可得出结论．本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．6.答案：D解析：本题考查零点存在性定理，属基础题．由函数零点存在性定理对各选项逐一判断，即可得到答案．解：f(1)=3−1=2，f(2)=9−4=5，f(0)=1，f(−1)=13−1=−23， f (−2)=19−4=−359，因为f(−1) f(0)<0，所以函数f(x)=3x −x 2的零点所在区间是(−1,0)，7.答案：D解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．解：将函数y=4cos(2x+π4)的图象上每一个点横坐标向右平移π8个单位长度，可得y=4cos[2(x−π8)+π4]=4cos2x的图象，故选D．8.答案：D解析：解：三个数a=30.2>1，b=0.23∈(0,1)，c=log0.23<0，可得c<b<a．故选：D．求出三个数的范围，然后判断大小即可．本题考查对数值的大小范围，借助取值范围是解题的关键．9.答案：A解析：本题主要考查了三角函数的化简求值，熟练掌握诱导公式和两角和与差的公式是解决此类问题的关键．由cos(2π3−α)=cos(π2+π6−α)=34，由诱导公式知：cos(π2+π6−α)=−sin(π6−α)，即sin(α−π6)=−34．由cos(π3−2α)=cos2(π6−α)=cos2(α−π6)=1−2sin2(α−π6)=1−2×916=−18，∴sin(α−π6)cos(π3−2α)=−34×(−18)=332．故选A．10.答案：C本题考查三角函数图象及性质，属基础题目．根据图象可得T的值，即可得ω，由由五点作图法可得φ的值，即可得f(x)的解析式，即可求解f(16)的值．=6−(−2)=8 ,解：由题意T2，，由五点作图法可得：，又|φ|<π2，，，故选C．11.答案：C解析：解：∵二次函数对应的判别式△=(−5)2−4×2×2=25−16=9>0，∴函数f(x)=2x2−5x+2的零点个数为2个．故选：C．利用二次函数和二次方程之间的关系，判断判别式即可判断函数零点的个数．本题主要考查函数零点的个数的判断，利用判别式是解决本题的关键，比较基础．12.答案：B解析：本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，属于中档题．直接利用对数的运算性质化简即可得答案．解：∵a=log0.20.3=lg0.3，−lg5b=log20.3=lg0.3，lg2，ab=−lg0.3lg2⋅lg0.3lg5=lg0.3⋅lg103lg2lg5，，lg0.3lg2lg5<0，∴ab<a+b<0．故选B．13.答案：{x|−1<x<3}解析：解：由3+2x−x2>0得x2−2x−3<0，解得−1<x<3，故函数的定义域为{x|−1<x<3}，故答案为：{x|−1<x<3}根据对数函数成立的条件解不等式即可．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．14.答案：y=x12(x≥0)解析：解：设f(x)=xα，∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，∴2α=√2∴α=12．这个函数解析式为y=x12(x≥0)．故答案为：y=x12(x≥0)．根据幂函数的概念设f(x)=xα，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式．本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．15.答案：13解析：解：∵已知tan(x +π4)=2，∴tanx+11−tanx =2，解得tanx =13， 故答案为：13．根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得tanx+11−tanx =2，解方程求得tan x 的值． 本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．16.答案： [56,43)解析：本题考查三角函数的性质，属于基本题型． 由，则，再根据函数f(x)在[0,2π]上恰有2个零点即得答案．解：，，又∵函数f(x)在[0,2π]上恰有2个零点，，∴56≤ω<43， 故答案为[56,43)．17.答案：解：(Ⅰ)解：原式=(259) 12+(110)−2+(6427) −23−3+3748=[(53)2] 12+(10−1)−2+[(43)3] −23−3+3748=53+100+916−3+3748=100；(Ⅱ)解、由2a =5b =m ，得a =log 2m ，b =log 5m ， 又1a +1b =2． ∴1log2m+1log 5m=lg2+lg5lgm=1lgm =2，∴m =√10．解析：(Ⅰ)根据指数幂的运算性质进行计算即可．(Ⅱ)根据对数的运算性质进行计算即可；本题考查了对数的运算性质，考查了指数幂的运算性质，是一道基础题．18.答案：(1)解：∵角α终边上一点P(−4,3)，∴x =−4，y =3，r =|OP|=5，sinα=y r =35，cosα=x r =−45，∴cos(π2+α)sin(−π−α)cos(11π2−α)sin(9π2+α)=−sinα⋅sinαcos(π2+α)sin(π2+α)=−sinα⋅sinα−sinα⋅cosα=sinαcosα=−34． (2)解：∵已知cos(π+α)=−cosα=−12，且α是第四象限角，∴cosα=12， ∴sin[α+(2n+1)π]+sin[α−(2n+1)π]sin(α+2nπ)⋅cos(α−2nπ)=−sinα−sinαsinα⋅cosα=−2cosα=−4．解析：(1)本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，再利用诱导公式求得要求式子的值；(2)本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．利用诱导公式求得cosα的值，可得要求式子的值．利用诱导公式求得cosα的值，可得要求式子的值． 19.答案：解：(1)∵函数f(x)=√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)，令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，求得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，可得函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z ．再根据x ∈[0,π2]时，可得函数的增区间为[0,π6].(2)函数f(x)=√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)∵x ∈[−π6,π3]， ∴2x +π6∈[−π6,5π6]， ∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，故当sin(2x +π6)=−12时，g(x)取得最小值为−1；当sin(2x+π6)=1时，g(x)取得最大值为2，故函数g(x)的值域为[−1,2]．解析：(1)当x∈[0,π2]时，利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f(x)的单调递增区间．(2)利用正弦函数的定义域和值域，求得它的值域．本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．20.答案：解：由题意：函数f(x)的定义域为R，且对于∀x∈R，都有f(−x)=f(x)成立．∴f(x)是偶函数．(1)当x≥0时，f(x)=(12)x，那么：x<0时，则−x>0，f(−x)=(12)−x，∵f(−x)=f(x)，故得x<0时，f(x)=(12)−x，∴f(x)在定义域为R上的解析式f(x)=(12)|x|，不等式f(x)>14转化为：(12)|x|>(12)2，∴|x|<2，解得：−2<x<2，∴不等式f(x)>14的解集为{x|−2<x<2}．(2)由f(x+1)是偶函数，可得f(x)是周期为1的函数．即f(x+1)=f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)=2x，∵x∈[2015,2016]上，那么：x−2015∈[0,1]上；∴f(x)=2x−2015；故得f(x)在区间[2015,2016]上的解析式f(x)=2x−2015；解析：(1)由题意求出f(x)在定义域为R 上的解析式，再求解f(x)>14的解集；(2)由f(x +1)是偶函数，可得f(x)是周期为1的函数．当x ∈[0,1]时，f(x)=2x ，可以得出f(x)在区间[2015,2016]上的解析式．本题考查了函数的奇偶性的运用和周期函数解析式的求法．属于基础题． 21.答案：解：(1)因为函数f(x)为偶函数，所以f (−2)=f (2)=2×(3−2)=2;(2)当x <−3时，f(x)=f(−x)=(−x −3)(a +x)=−(x +3)(a +x)，所以，当x <−3时，f(x)的解析式为f(x)=−(x +3)(a +x);(3)因为f(x)是偶函数，所以它在区间[−5,5]上的最大值，即为它在区间[0,5]上的最大值，①当a ≤3时，f(x)在[0,32]上单调递增，在[32,+∞)上单调递减，所以g(a)=f(32)=94，②当3<a ≤7时，f(x)在[0,32]与[3,3+a 2]上单调递增， 在[32,3]与[3+a 2,5]上单调递减，所以此时只需比较f(32)=94与f(3+a 2)=(a−3)24的大小， (A)当3<a ≤6时， f(32)=94≥f(3+a 2)=(a−3)24， 所以g(a)=f(32)=94 ， (B)当6<a ≤7时， f(32)=94<f(3+a 2)=(a−3)24， 所以g(a)=f(3+a 2)=(a−3)24． ③当a >7时，f(x)在[0,32]与[3,5]上单调递增，在[32,3]上单调递减，且f(32)=94<f(5)=2(a −5)，所以g(a)=f(5)=2(a −5)，∴g(a)={ 94,a ≤6(a−3)24,6<a ≤72(a −5),a >7 ．解析：本题主要考查了由函数的奇偶性求函数值，以及函数的解析式，函数的最值问题，属于中档题型．(1)由题意可知f(−2)=f(2)，从而可解．(2)由函数为偶函数，可解．(3)因为f(x)是偶函数，所以它在区间[−5,5]上的最大值即为它在区间[0,5]上的最大值，分类讨论a 即可．22.答案：解：(1)函数f(x)=sin(ax+π3)+b(a>0,b>0)，∵f(x)的图象与x轴相切，可得b=1，图象上相邻两个最高点之同的距离为π．∴周期T=π，即2πa=π，可得：a=2．(2)由(1)可得f(x)=sin(2x+π3)+1．∵x∈[0,π4]，∴2x+π3∈[π3,5π6]，∴当2x+π3=π2时，f(x)取得最大值为2；当2x+π3=5π6时，f(x)取得最小值为32．解析：本题考查三角函数的图象及性质，给定区间最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(1)根据函数f(x)=sin(ax+π3)+b(a>0,b>0)的图象与x轴相切，可得b=1，图象上相邻两个最高点之同的距离为π.即周期T=π，可得a=2(2)根据x在[0,π4]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质，可得最大值和最小值．。
河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
故选：C．
【点睛】本题主要考查比较指数式、对数式的大小，常用取中间值法，属于基础题．
3.函数 的单调递减区间为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可．【详解】解： 得 ，或 ，则函数的定义域为 ，
又函数 上单调递减，在 上单调递增，函数 在 上单调递增，
∴ ，解得 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查向量平行的坐标运算，属于基础题．
5.设 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同角的平方关系与商关系求解即可．
【详解】解：∵ ，则 ，
∴ ，即 ，
又 ，
∴ ，即 ，
又 为第二象限角，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，属于基础题．
作出其大致图象得，
当 时，由 得 ，或 ，
由图可知，若对任意 ，都有 ，则 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换，考查数形结合思想，属于中档题．
（二）多项选择题：共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
11.已知定义在区间 的函数 ，则下列条件中能使 恒成立的有（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
代入后根据诱导公式即可求出答案．
【详解】解：由题 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题．
8.将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 图象，则函数 （）
2019-2020学年河北省唐山一中高一上学期期中考试 数学含答案含答案
一．选择题（共12小题，每小题5 分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）1.已知集合A ={x |x 2-2x -3＜0}，集合B ={x |2x +1＞1}，则C B A =（）A. B. C. D. [3,+∞)(3,+∞)(‒∞,‒1]∪[3,+∞)(‒∞,‒1)∪(3,+∞)2.若a =log 20.5，b =20.5，c =0.52，则a ，b ，c 三个数的大小关系是 （ ）A. B. C. D. a <b <c b <c <a a <c <b c <a <b3.函数y =的图象是 （ xln|x||x|）A.B. C. D.A.B. 9.已知函数f （x ）=|lg x |，若0＜a ＜b ，且f （a ）=f （b ），则a +2b 的取值范围是（ ）A. B. C. D. (22,+∞)[22,+∞)(3,+∞)[3,+∞)10.若函数f （x ）=，且满足对任意的实数x 1≠x 2都有＞0成立，{a x ,x ≥1(4‒a 2)x +2,x <1f(x 1)‒f(x 2)x 1‒x 2则实数a 的取值范围是 （ ）A. B. C. D. (1,8)(4,8)[4,8)11.若在区间上递减，则a 的取值范围为 （f(x)=lg (x 2‒2ax +1+a)(‒∞,1]）A. B. C. D. [1,2)[1,2][1,+∞)[2,+∞)12.已知函数f （x ）=则函数g （x ）=f [f （x ）]-1的零点个数为（ ）A. 1 B. 3 C. 4D. 6卷Ⅱ(非选择题 共90分)19.已知函数，且．f (x )=log a (x +1)‒log a (1‒x )a >0a ≠1（1）求的定义域；f (x )（2）判断的奇偶性并予以证明；f (x )（3）当时，求使的的解集．a >1f (x )>0x 20.已知定义域为R 的函数是奇函数．f(x)=‒2x +b2x +1+2（1）求b 的值；（2）判断函数f （x ）的单调性，并用定义证明；（3）当时，f （kx 2）＋f （2x －1）＞0恒成立，求实数k 的取值范围．x ∈[12,3]21.“绿水青山就是金山银山”，随着我国经济的快速发展，国家加大了对环境污染的治理力2.【答案】C解：a =log 20.5＜0，b =20.5＞1，0＜c =0.52＜1，则a ＜c ＜b ，则选：C ．3.【答案】B解：函数y =是奇函数，排除A ，C ；xln|x||x|当x =时，y =ln ＜0，对应点在第四象限，排除D .1212故选B ．4.【答案】B解：由于幂函数在（0，+∞）时是减函数，f(x)=(m 2‒m ‒1)x m 2+m ‒3故有，{m 2‒m ‒1=1m 2＋m ‒3<0解得m =-1，∵函数y =f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （x ）=-f （-x ），∴f （x ）=x （1-），3x 故选D ．8.【答案】D解：∵函数f （x ）为奇函数，若f （1）=-1，则f （-1）=-f （1）=1，又∵函数f （x ）在（-∞，+∞）上单调递减，-1≤f （x -2）≤1，∴f （1）≤f （x -2）≤f （-1），∴-1≤x -2≤1，解得：1≤x ≤3，所以x 的取值范围是[1，3].故选D ．9.【答案】C解：因为f （a ）=f （b ），所以|lg a |=|lg b |，所以a =b （舍去），或，所以a +2b =b =1a a +2a又0＜a ＜b ，所以0＜a ＜1＜b ，令，由“对勾”函数的性质知函数f （a ）在f(a)=a +2a a ∈（0，1）上为减函数，由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上单调递减，又真数x2-2ax+1+a＞0，二次函数u=x2-2ax+1+a在（-∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2-2ax+1+a＞0，则x∈（-∞，1]时，真数x2-2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．由题意，在区间（-∞，1]上，a的取值需令真数x2-2ax+1+a＞0，且函数u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，复合函数单调性遵从同增异减的时，,解得由图象可得当f （x ）=-无解，12（x ）=1有3个解，（x ）=5有1个解，综上所述函数g （x ）=f [f （x ）]-1的零点个数为4，故选C .13.【答案】(1,2)解：设f (x )=x 2-2mx +m 2-1，则f (x )=0的一个零点在(0,1)内，另一零点在(2,3)内．∴，{f(0)>0f(1)<0f(2)<0f(3)>0即，{m 2‒1>0m 2‒2m <0m 2‒4m +3<0m 2‒6m +8>0解得1<m <2．故答案为(1,2).14.【答案】[-1，0）由图象可知0＜g （x ）≤1，则m ＜g （x ）+m ≤1+m ，即m ＜f （x ）≤1+m ，要使函数的图象与x 轴有公共点，y =(12)|1‒x|+m 则，解得-1≤m ＜0．{1+m⩾0m <0故答案为[-1，0）．15.【答案】．(‒∞,‒5]解：∵解：利用函数f （x ）=x 2+mx +4的图象，∵x ∈（1，3）时，不等式x 2+mx +4＜0恒成立，∴，即，{f(1)≤0f(3)≤0{5+m ≤013+3m ≤0解得m -5．≪∴m 的取值范围是．(‒∞,‒5]故答案为：．．(‒∞,‒5]利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立则A ∪B ={x |-2＜x ≤7}， ----（3分）又∁R A ={x |x ＜1或x ＞7}，则（∁R A ）∩B ={x |-2＜x ＜1}； ----（5分）（2）根据题意，若A ∩B =A ，则A ⊆B ，分2种情况讨论：①当A =∅时，有m -1＞2m +3，解可得m ＜-4，----（7分）②当A ≠∅时，若有A ⊆B ，必有，解可得-1＜m ＜，{m ‒1≤2m+3m ‒1＞‒22m +3＜412----（11分）综上可得：m 的取值范围是：（-∞，-4）∪（-1，）．12----（12分）19.【答案】解：（1） ，f(x)=log a (x ＋1)‒log a (1‒x){x +1>0即，‒1+b 2+2=0则b =1，经检验，当b =1时，是奇函数，f (x )=‒2x +12x +1+2所以b =1；----（3分）（2），f (x )=1‒2x 2x +1+2=‒12+12x +1（x ）在R 上是减函数，证明如下：在R 上任取，，且，x 1x 2x 1<x 2则，f (x 2)‒f (x 1)=12x 2+1‒12x 1+1=2x 1‒2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)y =2x x <x即在上恒成立，k <1‒2x x 2=(1x )2‒21x [12,3]令，， t =1x t ∈[13,2]，，g (t )=t 2‒2t t ∈[13,2]因为，g (t )min =g (1)=‒1则k <-1.所以k 的取值范围为. ----（12分）(‒∞,‒1)21.【答案】解：（1）由已知，0.9P 0=P 0⋅e ‒5k ∴，e ‒5k =0.9当时，，t =10P =P 0⋅e‒10k =P 0(e ‒5k )2=0.81P 0故小时后还剩的污染物. ----（5分）10t即两边取自然对数得：，∴，污染物减少需要花。
河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题
……外……内绝密★启用前 河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设全集U =R ，()(){}310A x x x =-->，{}2B x x =<，则()⋂=U C A B （ ）A ．{}12x x ≤<B ．{}12x x <<C ．{}2x x <D ．{}1x x ≥ 2．函数()x 2f x 2log x 3=+-的零点所在区间( ) A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4 3．函数2(2)y x a x =+-在区间(4,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤- B ．2a ≥- C ．6a ≤- D ．6a ≥- 4．若扇形的圆心角120α=︒，弦长12cm AB =，则弧长l =（ ）cm A B C ．43π D ．83π 5．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( ) A ． B ． C ．0 D ．4π- 6．已知函数()22log ,041,0x x x x f x x -+>⎧=⎨-≤⎩若()3f a ＝，则()2f a －＝( ) A ．－15 B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3 7．在ABC V 中，3CD BD =u u u r u u u r ，O 为AD 的中点，若AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ⋅=（ ） A ．34- B ．316-C ．34D ．3168．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +=+，且当[0,1]x ∈时，()21=log ()f x x +，则下列不等式正确的是( )A ．()()2log 756()f f f -<<B ．()()2log 7()65f f f -<<C ．()()25log (76)f f f <<-D ．()()256o )l g 7(f f f -<<9．若sin 25α=，sin()10βα-=，且[,]4παπ∈，3[,]2πβπ∈，则αβ+的值是（）A ．94πB ．74π C ．54π或74πD ．54π或94π10．已知函数2(),x f x e x =+且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13,,24⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．130,,24⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U11cos()4θ+sin 2θ=（）A ．13 B ．14 C ．14- D ．13-12．已知函数()2cos()1(0,||)2f x x ωϕωϕπ=++><，其图象与直线3y =相邻两个交点的距离为23π，若()1f x >对任意(,)126x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）A ．[,]66ππ-B ．[,0]4π-C ．[,]312ππ-D ．[0,]4π第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题…………○…………号：___________…………○…………13．函数y =________. 14．已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=________. 15．设25a b m ==，若112a b +=，则m =_____． 16．设函数22(sin 1)()sin 1x f x x +=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________. 三、解答题 17．已知角α的终边在直线y =上. （1）求tan α，并写出α与终边相同的角的集合S ； （2cos()cos()2αα++π+18．已知函数2()1cos 2sin ,f x x x x x R =+-∈， （1）求函数()f x 的单调增区间； （2）用“五点作图法”作出()f x 在[0,]π上的图象；（要求先列表后作图） （3）若把()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ，求()g x 在区间[,0]2π-上的最小值和最大值. 19．已知定义域为R 的函数，12()2x x b f x a +-+=+是奇函数. （1）求a ，b 的值，并用定义证明其单调性；○…………外…………○………※※题※※ ○…………内…………○………（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 20．美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为(0)a y kx x =>，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，用()f x 表示公司所过利润，当x 为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润A =芯片毛收入B +芯片毛收入-研发耗费资金）21．已知函数3(()log 91)xf x kx =+-是偶函数.（1）求实数k 的值；（2）当0x ≥时，函数()()g x f x x a =--存在零点，求实数a 的取值范围；（3）设函数3()log (?32)x h x m m =-，若函数()f x 与()h x 的图像只有一个公共点，求实数m 的取值范围.22．如图，在半径为2，圆心角为2π的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP ，其中M 、N 两点分别在半径OA 、OB 上，P 、Q 两点在弧AB 上，且OM ON =，//MN PQ .（1）若M 、N 分别是OA 、OB 中点，求四边形MNQP 面积的最大值；（2）2PQ ，求四边形MNQP 面积的最大值.参考答案1．A【解析】【分析】 化简集合{}31A x x x =><或，根据集合的交集、补集运算即可求解.【详解】 ()()310x x -->Q ,3x ∴>或1x < 即{}31A x x x =><或， [1,3]U C A ∴=，()⋂=U C A B {}12x x ≤<故选：A【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，集合的交集，补集，属于容易题.2．B【解析】【分析】通过计算x 1=，x 2=的函数，并判断符号，由零点存在性定理，即可得到答案．【详解】由题意，可得函数在定义域上为增函数，()2f 12log 1310=+-=-<，()22f 22log 235320=+-=-=>，所以()()120f f <，根据零点存在性定理，()f x 的零点所在区间为()1,2故选B ．【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，其中解答中准去计算()()1,2f f 的值，合理利用零点的存在定理是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．3．D【解析】【分析】求出抛物线的对称轴，由题意需区间在对称轴的右侧，列出关于a 的不等式，即可求出结论.【详解】函数2(2)y x a x =+-的对称轴方程为22a x -=， 函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以242a -≤， 解得6a ≥-.故选:D.【点睛】本题考查二次函数的单调性，对于常用的简单函数单调性要熟练掌握，属于基础题. 4．B【解析】【分析】由弦长和圆心角，求出扇形半径，根据扇形弧长公式，即可求解.【详解】设扇形的半径为r ，依题意06sin 60r ==弧长23l r π==. 故选:B. 【点睛】本题考查扇形的弧长，要注意圆心角要化为弧度角，属于基础题.5．B【解析】 得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，显然.4πϕ= 【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦选择合适的ϕ值通过诱导公式把sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦转化为余弦函数是考查的最终目的.6．A【解析】【分析】根据分段函数，对a 进行分类讨论，求出a 的值，最后求出()2f a -的值.【详解】当0a >时，若()3f a ＝，则2log 32a a a +=⇒=；当0a ≤时，若()3f a ＝，则24133a a --=⇒=，不满足0a ≤舍去．于是，可得2a =.故()02152)160(41f a f -=-=--＝.故本题选A. 【点睛】本题考查了已知分段函数的函数值求自变量问题，考查了数学运算能力7．B【解析】【分析】 由已知得12AO AD =u u u r u u u r ，3CD BD =u u u r u u u r 转化为以A 为起点的向量关系，将AD u u u r 用向量,AB AC u u u r u u u r 表示，进而AO u u u r 用,AB AC u u u r u u u r 表示，求出,λμ，即可求出结论.【详解】133,33,22AC CD BD AD A AC D AB AD AB =-=-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， O 为AD 的中点，11344=2A B AD AC A O -+=u u u u r u u u r u u r u u u r ， 133,,4416λμλμ∴=-=⋅=-. 故选:B.【点睛】本题考查向量基本定理，向量的线性运算，属于基础题.8．C【解析】【分析】先通过已知条件推出函数的最小正周期4T =，然后利用函数()f x 的性质计算或估计()2log 7f 、()6f 、(5)f -的值或范围即可比较大小.【详解】由()()++2=0f x f x ，得()()=+2f x f x -，所以()+4()f x f x =，()f x 的周期4T =.又()()f x f x -=-，且有()()20=0=f f -， 所以()()2551log 2==1()==f f f -----，()()620f f ==.又22log 73<<，所以20log 721<-<，即270log 14<<， 因为[0,1]x ∈时，()2()[]log 10,1f x x +∈=，所以()222log 7log 727()(log )4f f f =--=-222277log (log 1)log (log )42=-+=- 又271log 22<<，所以2270log (log )12<<，所以2271log (log )02-<-<， 所以2(5)(log 7)(6)f f f -<<.故选：C.【点睛】本题主要考查根据已知条件推导抽象函数的周期性并利用函数的奇偶性、周期性等性质，再结合函数在指定区间的解析式比较函数值的大小问题，试题综合性强9．B【解析】【分析】 依题意，可求得[4πα∈，]2π，2[2πα∈，]π，进一步可知[2πβα-∈，]π，于是可求得 cos()βα-与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【详解】[4πα∈Q ，]π，[βπ∈，3]2π， 2[2πα∴∈，2]π，又10sin 22α<<， 52(6πα∴∈，)π，即5(12πα∈，)2π，(2πβα∴-∈，13)12π，cos2α∴=；又sin()βα-=， (2πβα∴-∈，)π，cos()βα∴-==cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()(αβαβααβααβα∴+=+-=---=2=又5(12πα∈，)2π，[βπ∈，3]2π， 17()(12παβ∴+∈，2)π，74παβ∴+=. 故选B 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于难题． 10．A 【解析】分析：先确定函数奇偶性与单调性，再利用奇偶性与单调性解不等式.详解：因为()2xf x e x =+，所以()()f x f x -=,()f x 为偶函数， 因为当0x >时，()f x 单调递增，所以()()321f a f a ->-等价于()()321f a f a ->-，即321a a ->-，2223912421,810304a a a a a a a -+>-+-+>∴>或12a <， 选A.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为同一单调区间上(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内. 11．C 【解析】 【分析】2(cos sin )cos()4θθθ=++，可得cos sin θθ+=，两边平方,即可求解. 【详解】2(cos sin )cos()4θθθ==+=+cos sin θθ+=31+sin 24θ=， 1sin 24θ∴=-.故选:C. 【点睛】本题考查三角函数化简求值，涉及到二倍角公式、两角差余弦公式、同角间的三角函数关系，属于中档题. 12．B 【解析】 【分析】函数()f x 的最大值为3，相邻两个最高点的距离等于周期，可得函数周期为23π，求出3ω=，()1f x >，化为cos(3)0x ϕ+>，(,)126x ππ∈-恒成立，求出3x ϕ+，结合余弦函数的图像，即可求解. 【详解】函数()f x 图象与直线3y =相邻两个交点的距离为23π， 所以周期22,33T ππωω==∴=，()1f x >对任意(,)126x ππ∈-恒成立， 即cos(3)0x ϕ+>，(,)126x ππ∈-恒成立， ,3,1264222x x ππππππϕ-<<-<<-<<,33442x πππϕϕϕπ-<-+<+<+<, 4222ππϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪∴⎨⎪+≤⎪⎩，解得04πϕ-≤≤.故选:B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，考查整体转换思想，将问题化归为研究熟悉函数的性质，属于中档题.13．(1,0)(0,3]-U 【解析】 【分析】由解析式满足的条件，列出关于x 的不等式组，即可求解. 【详解】函数有意义需22301011x x x x ⎧-++≥⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得10x -<<或03x <≤； 函数的定义域为(1,0)(0,3]-U . 故答案为:(1,0)(0,3]-U . 【点睛】本题考查函数的定义域，对于函数有意义的限制条件要熟记，属于基础题. 14．4π 【解析】【分析】由图像与x 轴交点的坐标和相邻最低点的坐标，可求出44T π=，求出1,2A ω==，再由最低点的坐标，结合||2ϕπ<，即可求解. 【详解】 由图像可得2,,244T T πππωω===∴=， 58x π=函数取得最小值， 所以532(),2()424k k Z k k Z πππϕπϕπ+=+∈=+∈， ||,24ππϕϕ<∴=Q .故答案为:4π. 【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于基础题. 15．【解析】试题分析：2525log ,log a bm a m b m ==⇒==⇒211log 2log 5log 10210m m m m a b +=+==⇒=m ⇒=考点：指数式与对数式的综合运算． 16．2 【解析】 【分析】22(sin 1)()sin 1x f x x +=+化为22sin ()1sin 1x f x x =++，令22sin ()sin 1x g x x =+，max 1()M g x =+，min 1()m g x =+，()g x 为奇函数，根据奇函数的对称性，max min ()()0g x g x +=，即可求解. 【详解】22222(sin 1)sin 12sin 2sin ()1sin 1sin 1sin 1x x x xf x x x x +++===++++, 22sin ()sin 1x g x x =+，22sin ()()sin 1xg x g x x --==-+， ()g x 为奇函数，max min ()()0g x g x +=，max min 1()1()2M m g x g x +=+++=.故答案为:2 【点睛】本题考查函数最值的和，解题的关键是分离常数，将问题转化为奇函数的最值和，属于中档题.17．（1），2{|,}3k k ααπ=π+∈Z ；（2）4. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得tan α=论；（2）利用诱导公式化简，将所求式子化为关于sin ,cos αα齐一次分式，化弦为切，即可求解. 【详解】（1）∵角α的终边在直线y =上，∴tan α=，与α终边相同的角的集合2{|22,}33S k k k αααππ==π+=π-∈Z 或， 即2{|,}3S k k ααπ==π+∈Z ； （2cos()cos()2αα=++π+4===【点睛】本题考查三角函数的定义，以及终边相同角的集合，考查关于sin ,cos αα齐次分式的求值，属于基础题. 18．（1）[,k ]36k ππππ-+，k Z ∈；（2）图象见解析；（3）最小值为2-，最大值为1.【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式，将()f x 化简为()2sin(2)6f x x π=+，用整体思想结合正弦函数的递增区间，即可求解； （2）由[0,]x π∈，132[,]666x πππ+∈，确定起始值和终止值，按照“五点作图法”步骤做出图像；（3）根据函数图像平移的关系，求出()g x ，利用整体思想转化为正弦函数最值，即可求解. 【详解】（1）2()1cos 2sin 2cos22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+，由222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x 的单调增区间[,k ]36k ππππ-+，k Z ∈；（2）[0,]x π∈，132[,]x πππ+∈，列表如下：（3）()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ， 所以()2sin(2)6g x x π=-，130,22666x x ππππ-≤≤-≤-≤-， 当2,626x x πππ-=-=-时，()g x 取得最小值为2-，当132,662x x πππ-=-=-时，()g x 取得最大值为1， 所以函数()g x 的最小值为2-，最大值为1. 【点睛】本题考查三角函数化简，以及三角函数的单调性、图像，考查图像平移变换后函数的最值，属于中档题.19．（1）2a =，1b =，证明见解析；（2）1(,)3-∞-. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的必要条件得出(0)0f =，(1)(1)f f -=-求出1b =，2a =，再验证()f x 为奇函数；将()f x 分离常数化为11()221x f x =-++，按照单调函数定义，证明()f x 在R 为减函数；（2）由()f x 是奇函数22(2)(2)0f t t f t k -+-<化为22(2)(2)f t t f t k -<-+，结合()f x在R 上是单调递减，不等式等价转化为2320t t k -->，对一切t R ∈恒成立，根据二次函数图像，可得0∆≤，求解，即可得出结论. 【详解】（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即1012bb a-+=⇒=+， ∴12()2xx b f x a +-=+，又由(1)(1)f f -=-知211122221a a a --=-⇒=++， 所以2a =，1b =，经检验2a =，1b =时，121()22x x f x +-=+是奇函数，11211()22221x x x f x +-==-+++， 则12,x x R ∀∈，且12x x <，则211212121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++ ∵12x x <，∴1222x x <，∴12()()f x f x >， ∴()f x 在R 上是单调递减； （2）因为()f x 是奇函数，所以22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因为()f x 为减函数，由上式可得：2222t t k t ->-， 即对一切t R ∈有：2320t t k -->， 从而判别式141203k k ∆=+<⇒<-， 所以k 的取值范围是1(,)3-∞-. 【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数，用奇偶性的必要条件求参数后要跟上验证，考查函数的单调性证明，要注意分离常数简化计算，考查利用函数的性质解不等式，属于中档题, 20．（1）0)y x =>；（2）详见解析；（3）4x =千万元时，公司所获利润最大.最大利润9千万元.【解析】 【分析】（1）将()1,1 ()4,2代入a y kx =，求得,k α的值，即可得到函数的解析式；（2）由题意，根据4x的大小关系，可进行判定，得到答案. （3）设投入x 千万元生产B 芯片，则投入()40x -千万元资金生产A 芯片，列出公司获利的函数关系式，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）设投入资金x 千万元，则生产A 芯片的毛收入(0)4y x π=>；将()1,1 ()4,2代入ay kx =，得1,42,ak k =⎧⎨⨯=⎩ 1,1,2k a =⎧⎪∴⎨=⎪⎩所以，生产B芯片的毛收入0)y x =>.（2）由4x >16x >；由4x=16x =；由4x<016x <<. 所以，当投入资金大于千16万元时，生产A 芯片的毛收入大； 当投入资金等于16千万元时，生产A 、B 芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元，生产B 芯片的毛收入大.（3）公司投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，则投入()40x -千万元资金生产A 芯片.公司所获利润()4024x f x -==)21294-+2=，即4x =千万元时，公司所获利润最大.最大利润9千万元. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案.21．（1）1；（2）3(0,log 2]；（3）{}112m m ⎧-⎪⋃⎨⎪⎪⎩⎭【解析】 【分析】（1）函数()()3log 91xf x kx =+-是偶函数, 所以()()11f f =-得出k 值检验即可；（2）()()3log 91x f x x =+-因为0x ≥时，()()3log 912x g x x a =+--存在零点，即关于x 的方程()3log 912xa x =+-有解，求出()()3log 912xx x ϕ=+-的值域即可；（3）因为函数()f x 与()h x 的图像只有一个公共点，所以关于x 的方程()()33log ?32log 91x x m m x -=+-有且只有一个解，所以·3233x x x m m --=+，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为()()3log 91xf x kx =+-是R 上的偶函数，所以()()11f f =-，即()()1133log 91log 91k k -+-=++解得1k =，经检验：当1k =时，满足题意. （2）因为1k =，所以()()3log 91xf x x =+-因为0x ≥时，()()3log 912xg x x a =+--存在零点，即关于x 的方程()3log 912xa x =+-有解，令()()3log 912xx x ϕ=+-，则()33911log log 199x x xx ϕ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭因为0x ≥，所以(]111,29x +∈，所以()(]30,log 2x ϕ∈， 所以，实数a 的取值范围是(]30,log 2.（3）因为函数()f x 与()h x 的图像只有一个公共点，所以关于x 的方程()()33log ?32log 91xxm m x -=+-有且只有一个解，所以·3233x x x m m --=+令3(0)x t t =>，得()21210m t mt ---= L （*），记()()2121t m t mt ζ=---， ①当1m =时，方程（*）的解为12t =-，不满足题意，舍去； ②当1m >时，函数()m t 图像开口向上，又因为图像恒过点()0,1-，方程（*）有一正一负两实根，所以1m >符合题意；③当1m <时，()()22410m m ∆=-+-=且()2021m m -->-时，解得12m --=，方程（*）有两个相等的正实根，所以m =满足题意.综上，m 的取值范围是{}1m m ⋃⎪⎪⎩⎭. 【点睛】 本题考查了函数的奇偶性，考查了函数与方程零点问题，通常采用变量分离，或者通过换元转化为熟悉的二次方程根的分布问题，属于难题.22．（1）74；（2）22+. 【解析】【分析】（1）连接OP 、OQ ，四边形MNQP 为梯形，四边形MNQP 面积为 POQ NOQ POM MON S S S S ∆∆∆∆++-，设(0,)4AOP BOQ θπ∠=∠=∈，结合1OM ON ==,即可求出面积关于θ的表达式，进而求出最大值；（2）设(0,2)OM ON x ==∈，3POQ π∠=，12AOQ BOP π∠=∠=，四边形面积为212sin 122x x π，利用1234πππ=-用两角差的正弦公式求出sin 12π，即可求出四边形面积的最大值.【详解】（1）连接OP 、OQ ，则四边形MNQP 为梯形，设(0,)4AOP BOQ θπ∠=∠=∈，则22POQ θπ∠=-， 且此时1OM ON ==，四边形MNQP 面积2111132sin 2sin 22sin(2)4sin 2sin 222222S θθθθθπ=⨯+⨯+⨯⨯--=-++， ∴1sin 4θ=，S 取最大值74； （2）设(0,2)OM ON x ==∈，由2PQ =可知3POQ π∠=，12AOQ BOP π∠=∠=，314sin sin()12222πππ=-=-⋅= ∴四边形MNQP 面积221122S x x x ==-+∴x =，S . 【点睛】本题考查四边形的面积，解题的关键要把四边形分割为若干三角形，转化为求三角形面积的和差，利用二次函数的性质解决实际问题，考查计算能力，属于中档题.。
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…4 分 …6 分 …9 分 … 12 分
…4 分
所以只需求 x∈ [ 0 ， 1 ] 的最小值． 当 x∈ [ 0 ，１] 时 ，f (x) ＝４－x－a·2 －x．
1
，１
设 t ＝２－x， t ∈ 2
，则 4 －x ＝t 2 ．
( ) 令
h
(t )
＝f
(x)
，h
(t)
＝t 2－ at ＝
a t－
（ 17 ）解：
（ 16 ）① 5 ；②２
（ Ⅰ ）解：因为
x＝ log 32 ，所以
3 ＝ 2 ，３ ＝ 1 ．则 x
－x
[来源:学&科&网］
2
1
9x－９－ x＋１
9 x －９－ x ＋１
4 － ＋１ 4
19
＝
＝
＝．
3 x＋３－x
3 x ＋３－ x
1
10
2＋
2
（ Ⅱ ）原式＝ ( π－３) × 1 ＋[( 2 ＋ 3 ) ×( 2 － 3 )] 2019
1
2
3
4
5
6
7
8
唐山市 2019 ～ 2020 学年度高一年级第一学期期末考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：
A ADBA
BA
二、填空题：
（ 13 ）( － ∞ ，－５) ∪（1 ，＋ ∞）
（ 14 ） x
3 （ 15 ）
3
三、解答题：
10
2＋x
4
，６
（ Ⅱ ）设 h (x) ＝ ＝ 1 ＋ ，则 h (x) 在 3
单调递减，
x－２
x－２
所以 2≤ h(x)≤ 4，所以－ 2≤ f (x)≤－ 1，
河北省唐山市第二中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
唐山二中2019-2020学年度第一学期高一期中考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()R A B =I ð（ ）A. ()1,3B. (]1,3C. [)3,+∞D. ()3,+∞ 【答案】C【解析】【分析】先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R ð的范围,最后根据交集的含义计算()R A B ⋂ð的结果.【详解】因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,R A =-∞-⋃+∞ð,又因为()1,B =+∞,所以()[)3,R A B =+∞I ð.故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解.2.已知函数()()2231m m f x m m x +-=--是幂函数，且()0,x ∈+∞时，()f x 是递减的，则m 的值为（ ）A. -1B. 2C. -1或2D. 3 【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义求出m 的值，代入检验即可．【详解】由题意得：211m m --=，解得：2m =或1m =-，2m =时，()3f x x =，递增，不合题意，1m =-时，()3f x x -=，递减，符合题意. 故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义和单调性问题，要求仔细审题，认真计算，属基础题．3.已知()()()log 110,1a f x x a a =+->≠，则此函数恒过定点是（ ）A. ()1,0B. ()0,1C. ()0,1-D. ()1,1- 【答案】C【解析】【分析】令11x +=，求得自变量的值代入求y 即可求得答案．【详解】由11x +=得：0x =，此时()1f x =-，∴()()()log 110,1a f x x a a =+->≠恒过定点()0,1-.故选：C ．【点睛】本题考查对数函数的过定点问题，令对数型函数的真数为1，求得自变量的值是关键，属基础题．4.函数()21f x +的图象可由()21f x -的图象经过怎样的变换得到（ ）A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位 【答案】C【解析】【分析】根据函数的图象的变换规律，把函数()21f x -的图象向左平移1个单位可得函数()()21121f x f x +-=+⎡⎤⎣⎦的图象，从而得出结论．【详解】把函数()21f x -的图象向左平移1个单位可得函数()()21121f x f x +-=+⎡⎤⎣⎦的图象.故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的图象的变换规律，注意仔细审题，属基础题．5.分段函数()32,0log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足()1f x =的x 值为（ ）A. 0B. 3C. 0或3D. 13 【答案】C【解析】【分析】对x 分类讨论，当0x ≤时，21x -=，当0x >时，3log 1x =，分别求解，即可得到满足()1f x =的x 的值．【详解】()32,0log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，依题意有，①当0x ≤时，()2xf x -=，∵()1f x =，∴21x -=，∴0x =； ②当0x >时，()3log f x x =，∵()1f x =，∴3log 1x =，∴3x =．综合①②，满足()1f x =的x 的值为0或3．故选：C ．【点睛】本题考查了分段函数的解析式，分段函数的取值问题．对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．主要考查了根据函数值求变量的取值，解题的关键是判断该用哪段解析式进行求解．属基础题．6.下列各组函数中，表示相同函数的是（ ）A. ()f x x =与()2x g x x= B. ()f x x =与()g x =C. ()f x =与()g x =D. ()0f x x =与()1g x =【答案】B【解析】【分析】逐项分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【详解】选项A 中，()g x x =，函数的定义域为{}|0x x ≠，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；选项B 中，()g x x =，两个函数的定义域和对应法则相同，是相同函数；选项C 中，由210x -≥得1x ≥或1x ≤-；由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩得11x x ≥-⎧⎨≥⎩，得1x ≥，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；选项D 中，()f x 的定义域为{}|0x x ≠，两个函数的定义域不相同，不是相同函数． 故选：B ．【点睛】本题主要考查相同函数的概念，分别判断函数的定义域和对应法则是解决本题的关键，属基础题．7.已知13log 4a =，4log 5b =，0.40.5c =，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. c b a <<【答案】B【解析】【分析】 容易得出13log 40<，4log 51>，0.400.51<<，从而可得出a ，b ，c 的大小关系． 详解】∵1133log 4log 10<=，44log 5log 41>=，0.4000.50.51<<=， ∴a c b <<．故选：B ．【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性及其应用，注意仔细审题，属基础题.8.函数()log 1a f x x =+在()1,0-上增函数，则()f x 在(),1-∞-上是（ ）A. 函数值由负到正且增函数B. 函数值恒为正且为减函数C. 函数值由正到负且为减函数D. 没有单调性【答案】C【解析】【分析】由已知分析出外函数的单调性，进而可得()f x 在(),1-∞-上单调性和符号． 【详解】内函数1t x =+在()1,0-上是增函数，若函数()log 1a f x x =+在()1,0-上是增函数，则外函数log a y t =为增函数；内函数1t x =+在(),1-∞-上是减函数，故()f x 在(),1-∞-上是减函数，又由()20f -=，()f x 在(),1-∞-上是函数值由正到负且为减函数.故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，熟练掌握复合函数单调性“同增异减”的原则是解答的关键，属基础题.9.已知函数()()()2,10,01x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则下列的图象错误的是（ ） A. ()1y f x =-的图象 B. ()y f x =-的图象C. ()y f x =的图象D. ()y f x =的图象【答案】D【解析】【分析】先画出函数()()()2,10,01x x f x x x ⎧--≤≤⎪=<≤的图象，再根据函数的图象特征以及图象的变化规律，判断各个选项的正确性．【详解】当10x -≤≤时，()2f x x =-，表示一条线段，且线段经过()1,2-、()0,0． 当01x <≤时，()f x x =，表示一段抛物线，如图所示：由于()1f x -的图象可由()f x 的图象向右平移一个单位得到，故A 正确；由于()f x -的图象可由()f x 的图象关于y 轴对称后得到的，故B 正确；由于()f x 的值域为[]0,2，故()()f x f x =，故()f x 的图象可与()f x 的图象完全相同，故C 正确；由于()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故当01x <≤时，它的图象和()f x 的图象相同，当10x -≤<时的图象，只要把()f x 在y 轴右侧的图象关于y 轴对称即可得到，且图象过原点，故D 不正确．故选：D.【点睛】本题主要考查函数的图象特征以及图象的变化规律，熟练掌握函数图象的变化规律是解题的关键，属基础题．10.函数lg y x x =+有零点的区间是（ ）A. ()1,2B. 1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()2,3D. (),0-∞【答案】B【解析】【分析】先求函数的定义域，再利用函数的零点存在性定理求解判断即可．【详解】函数lg y x x =+的定义域为()0,∞+，且在定义域()0,∞+上连续递增，而()0.110.10f =-+<，()1010f =+>，故函数lg y x x =+的零点所在的区间是()0.1,1．故选：B ．【点睛】本题考查了函数的零点存在性定理的应用，注意认真计算，属基础题．11.已知函数(23)43(1)()(1)x a x a x f x a x +-+≥⎧=⎨<⎩，在(),-∞+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A. 1a >B. 2a <C. 12a <<D. 12a <≤【答案】D【解析】【分析】根据函数恒增，列出不等式组，求解，即可得出结果.【详解】因为函数(23)43(1)()(1)x a x a x f x a x +-+≥⎧=⎨<⎩，在(),-∞+∞上是增函数， 所以有23012343a a a a a +>⎧⎪>⎨⎪+-+≥⎩，解得12a <≤.故选D【点睛】本题主要考查由分段函数单调求参数的问题，只需考虑每一段的单调性，以及结点处的大小即可，属于常考题型.12.已知函数()()21f x x =+，若存在实数a ，使得()24f x a x +≤-对任意的[]2,x t ∈恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 6D. 4 【答案】D【解析】【分析】先由()()21f x x =+和()24f x a x +≤-得()2124x a x ++≤-，化简得()2250x a a +++≤，令()()225g x x a a =+++，利用函数性质将恒成立问题转化为()20g ≤且()0g t ≤，求解t 的范围，最后求出最值．【详解】∵()()21f x x =+，∴()24f x a x +≤-，即为()2124x a x ++≤-， 化简()2250x a a +++≤，设()()225g x x a a =+++，则()g x 的图象为开口向上的抛物线，若对任意的[]2,x t ∈，()0g x ≤恒成立，只需函数在两个端点处的函数值非正即可， 即()22690g a a =++≤，配方得()230a +≤，则30a +=，3a =-， 此时()0g t ≤，即为()()2310g t t =--≤，即131t -≤-≤，解得24t ≤≤， 又∵2t >，∴24t <≤，则t 的最大值为4．故选：D ．【点睛】本题考查恒成立问题的转化，利用二次函数的图象及性质求解不等式恒成立问题，是一种重要的方法，属中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填在Ⅱ卷答题卡上）13.函数y =的定义域是 【答案】2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足()122log 320032113x x x -≥∴<-≤∴<≤，定义域为2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦考点：函数定义域点评：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围或题目中指定的自变量的范围14.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()41f x x =-+，写出分段函数()f x 的解析式_____．【答案】()41,00,041,0x x f x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪--<⎩【解析】【分析】根据奇函数的性质即可得到结论．【详解】∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，若0x <，则0x ->， 即当0x ->时，()()41f x x f x -=+=-，即()41f x x =--，则()41,00,041,0x x f x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.故答案为：()41,00,041,0x x f x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的对称性是解决本题的关键，属基础题．15.已知()32,0log ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()()1y f f x =+的零点的个数是____. 【答案】3【解析】【分析】 画出函数()32,0log ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩的图象，借助图象分析函数零点的个数，进而可得答案． 【详解】函数()32,0log ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩的图象如下图所示：结合图象分析：()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，则()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，则()12f x =-或()13f x =； 对于()12f x =-，存在两个解；对于()13f x =，存在1个解， 综上所述，函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数为3个.故答案为：3．【点睛】本题考查的知识点是函数的零点，分段函数的图象，对数函数的图象和性质，以及一次函数的图象和性质，熟练掌握图象的辨析和应用是解题的关键，属中档题．16.函数()f x 的定义域为A ,若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =,则称()f x 为单函数.例如,函数()1()f x x x R =+∈是单函数.下列命题:①函数2()2()f x x x x R =-∈是单函数; ②函数2log ,2,(){2, 2.x x f x x x ≥=-<是单函数; ③若()f x 为单函数,12,x x A ∈且12x x ≠,则12()()f x f x ≠;④若函数()f x 在定义域内某个区间D 上具有单调性,则()f x 一定是单函数.其中真命题是 (写出所有真命题的编号).【答案】③【解析】【详解】试题分析：根据单函数的定义可知如果函数()f x 为单函数，则函数()f x 在其定义域上一定是单调递增或单调递减函数，即该函数为一一对应关系，据此分析可知①不是，因为该二次函数先减后增；②不是，因为该函数是先减后增；显然④的说法也不对，故真命题是③.考点：新定义、函数的单调性，考查学生的分析、理解能力.三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
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河北省石家庄市第二中学、唐山市第一中学等2019-2020学年高一数
学上学期联考试题
(满分：150分,测试时间：120分钟)
第I 卷(选择题,共60分)
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知U ＝{x|0≤x ≤5,x ∈Z},M ＝{1,4,5},N ＝{0,3,5},则N∩(U ðM)＝
A.{5}
B.{0,3}
C.{0,2,3,5}
D.{0,1,3,4,5}
2.下列四组函数,表示同一函数的是
A.f(x)＝1,g(x)＝x 0
B.21()1,()1x f x x g x x -=+=-
C.f(x)＝2lgx,g(x)＝lgx 2
D.f(x)＝log 22x
,g(x)
3.若5cos()123πα-=,则sin()12
πα+=
A.3
B.23-
C.23
D.5
4.函数y =
A.[1,3/2)
B.(－∞,1]
C.[2/3,1]
D.(2/3,1]
5.给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关；③若sinα＝sinβ,则α与β的终边相同；④若cosθ<0,则θ是第二或第三象限的角。
其中正确的命题个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
6.若121ln ,2
a b e -==,c 满足e －c ＝lnc,则a,b,c 的大小关系为 A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>a>c
7.若2a ＝3b ＝6c ,则111a b c
++= A.0 B.1 C.2 D.3
8.函数y ＝f(x)的图象如图所示,则f(x)可能是
A.xsinx
B.xcosx
C.
sin x x D.cos x x 9.已知θ∈(0,4
π),则12sin()cos πθθ-- A.sinθ＋cosθ B.sinθ－cosθ C.3sinθ－cosθ D.3sinθ＋cosθ
10.已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><
的最小正周期为π,且对任意的x ∈R,恒有f(x)≥－f(6
π)成立,则f(x)图象的一条对称轴是 A.x ＝2π B.x ＝3π C.x ＝4
π D.x ＝23π 11.已知函数f(x)＝4x －a·2x
＋a,在x ∈(0,＋∞)的图像恒在x 轴上方,则实数a 的取值范围是
A.a ≤3
B.a>2
C.0<a<4
D.a<4 12.已知函数2log ,03()sin(),3156x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩
,若存在实数a,使得f(x)＝a 有四个零点x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4,则3421
(1)(1)x x x x --⋅的取值范围是 A.(28,55) B.(27,54) C.(21,45) D.(27,45)
第II 卷(非选择题,共90分)
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
请把正确答案填在答题卡上。
13.31log 36
211216lg ()1003-= 。
14.已知3cos sin 13cos sin 5
x x x x -=+,则sin 2x －3sinxcosx －2cos 2x ＝ 。
15.已知函数21log (3),3()11
1,23a x x f x x ax x ⎧>⎪⎪=⎨⎪-+-≤⎪⎩
是定义在R 上的增函数,则实数a 的取值范围
是 。
16.下列四个命题：
①函数y ＝tanx 是奇函数且在定义域上是单调递增函数； ②函数1()3x y m =-有两个零点,则0<m ≤1；
③函数f(x)＝x·|x|,则f(2x －3)＋f(x －6)>0的解集为{x|x>3}；
④函数2y ＝log 2sinx 的单调递减区间为3(2,2)()22
k k k Z ππππ+
+∈。
其中正确命题的序号为 。
三、解答题：本大题共6小题,共70分.请将解答过程书写在答题卡上,并写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本题满分10分)已知函数()()cos cos 2()3sin tan 2x x f x x x πππ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭=⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭。
(Ⅰ)若角x 的终边经过点(3,－4),求f(x)的值；
(Ⅱ)若1()()28f x f x π⋅+=-,且角x 为第三象限角,求()()2
f x f x π+-的值。
18.(本题满分12分)
设集合{22log (23)A x y x x ==-+++,集合B ＝{x|a －2<x<2a －3}。
(Ⅰ)若a ＝3,求A∩B；
(Ⅱ)若A ∪B ＝A,求实数a 的取值范围。
19.(本题满分12分)已知定义在R 上的函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<2π)的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π,且图象上一个最低点的坐标为(－3
π,－2)。
(Ⅰ)求函数y ＝f(x)的解析式,并求其单调递增区间；
(Ⅱ)若x ∈[0,2
π]时,g(x)＝2a·f(x)－a ＋1的最大值为4,求实数a 的值。
20.(本题满分12分)某银行推出一款短期理财产品,约定如下：
(1)购买金额固定；
(2)购买天数可自由选择,但最短3天,最长不超过10天；
(3)购买天数x(x ∈N *
)与利息y 的关系,可选择下述三种方案中的一种：
方案一：314y x =+；方案二：214
y x =；方案三：x y =。
请你根据以上材料,研究下面两个问题：
(Ⅰ)结合所学的数学知识和方法,用其它方式刻画上述三种方案的函数特征； (Ⅱ)依据你的分析,给出一个最佳理财方案。
21.(本题满分12分)已知定义在R 上的函数f(x)＝a·e －x －e x 为奇函数。
(Ⅰ)求a 的值；
(Ⅱ)用定义证明函数y ＝f(x)的单调性,并解不等式1(1)f x e e +≥-
；
(Ⅲ)设()()2()x f x g x e f x =-
+,当(x ∈-∞时,mg(x)>e 2x －2恒成立,求实数m 的取值范围。
22.(本题满分12分)已知奇函数y ＝f(x)和偶函数y ＝g(x)满足f(x)＋g(x)＝2log 2(1－x)。
(Ⅰ)求函数y ＝f(x)和函数y ＝g(x)的解析式；
(Ⅱ)设函数F(x)＝(x ＋1)·2
f(x)－m ·2g(x),若y ＝F(x)在(0,12
),内有且只有一个零点,求实数m 的取值范围。