《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题二

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2021年考研数学二真题及答案

2021年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每题4分，共32分。

以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)以下反常积分中收敛的是 (A)∫√x+∞2xx (B)∫xxx+∞2xx(C)∫1xxxx+∞2xx (D) ∫xx x+∞2xx 【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，别离判定敛散性即可取得正确答案。

综上所述，此题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数x (x )=lim x →0(1+xxx x x )x 2x在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去中断点 (C)有跳跃中断点 (D)有无穷中断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有x(x)=limx→0(1+xxx xx)x2x=x lim x→0x 2x(1+xxx xx−1)=e x limx→0xxxxx=x x(x≠0),x(x)在x=0处无概念，且limx→0x(x)=limx→0x x=1,因此x=0是x(x)的可去中断点，选B。

综上所述，此题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、持续—两个重要极限(3)设函数x(x)={x αcos1xβ,x>0，0,x≤0(α>0,x>0).假设x′(x)在x=0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2(D)0<x−β≤2【答案】A【解析】易求出x′(x)={xx α−1cos1xβ+βxα−β−1sin1xβ,x>0，0,x≤0再有x+′(0)=limx→0+x(x)−x(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，x−′(0)=0于是，x′(0)存在⟺α>1，现在x′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，x′(x)在x=0持续⟺α−β>1。

2021-2022年部分高校高等代数考研真题

A
=
1 0 2
−1 1 3
−1 0 1
2 0 −1
1 −2 −2 −1
求 A 的包含 ε1 的最小的不变子空间.
3 1 −1 3. 求 A = −1 3 1 的若尔当标准形及有理标准形.
022
二、证明题.
1. 已知向量组 α1, α2, · · · , αr 线性无关, 且可由向量组 β1, β2, · · · , βs 线性表出, 证明: 存在某个向量 βj (1 ≤ j ≤ s), 使得向量组 βj, α2, · · · , αr 线性无关.
1 2
1 1
c −2 0
112
(1) 若 A 有特征值 4, 1, −2 , 求 a, b, c. (2) 设 α = (1, k, 1)T 是 B−1 的一个特征向量, 求 k .
五、(15 分) 设 A, B 都是 n 阶实对称矩阵, 且 A 正定, 证明: AB 的特征值都是实数.
六、(15 分) 设 σ 是 n 维线性空间 V 上的一个线性变换, 证明: σ 的秩 +σ 的零度 = n.
1
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
一、填空题 (每题 3 分)
1. 2n 级排列 13 · · · (2n − 1)(2n)(2n − 2) · · · 42 的逆序数为
.
2. 设 4 阶方阵 A, B 的伴随矩阵为 A∗, B∗, 且它们的秩为 r(A) = 3, r(B) =
1
2x1 3x1
+ 3x2 + 5x2
+ (a + 2)x3 + 4x4 = b + 3 + x3 + (a + 8)x4 = 5

2021年考研数学二真题及答案解析

解：(A)
本题考是线性有关性鉴定问题,可以用定义解.
若1,2,…,s线性有关,则存在不全为0数c1,c2,…,cs使得
c11+c22+…+css=0,
用A左乘等式两边,得
c1A1+c2A2+…+csAs=0,
于是A1,A2,…,As线性有关.
如果用秩来解,则更加简朴明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:
（A）（B）
（C）（D）【】
（8）设是奇函数，除外到处持续，是其第一类间断点，则是
（A）持续奇函数.（B）持续偶函数
（C）在间断奇函数（D）在间断偶函数.【】
（9）设函数可微，，则等于
（A） .（B）
（C）（D）【】
（10）函数满足一种微分方程是
（A）（B）
（C）（D）
B+1=A①
C+B+ =0②
③
式②-③得
代入①得
代入②得
（16）求
解：原式=
（17）设区域
计算二重积分
解：用极坐标系
（18）设数列满足，
证明：（1）存在，并求极限
（2）计算
证：（1）
单调减少有下界
根据准则1，存在
在两边取极限得
因此
（2）原式
离散散不能直接用洛必达法则
先考虑
用洛必达法则
（19）证明：当时，
0 0 0 0 0
得同解方程组
x1=2-2x3+4x4，
x2=-3+x3-5x4，
求出一种特解(2,-3,0,0)T和AX=0基本解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程组通解：(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T，c1,c2任意.

2021考研数学2真题答案解析

2021考研数学2真题答案解析今年的考研数学2真题中，涵盖了多个重要的数学知识点，考察了考生的综合分析和解题能力。

本文将对其中的几道典型题目进行解析，帮助考生更全面地了解考试内容。

第一道题目是关于极限计算的。

题目给出了一个数列的表达式，要求求出其极限值。

首先，我们可以将数列的通项公式进行简化，使用数学性质进行变形。

然后，利用极限的性质，适当选择极限运算法则，对表达式进行转化。

最后，将变形后的极限表达式带入给定的数值中，计算出极限值。

通过解析这道题目，我们能够掌握极限计算的方法和技巧。

第二道题目是关于微分方程的。

题目给出了一个一阶线性非齐次微分方程，要求求解其通解。

首先，我们需要确定微分方程的类型，并根据已知条件进行分类讨论。

然后，可以利用微分方程的基本性质和定义，将一阶线性非齐次微分方程化简成更简洁的形式。

接着，可以采用合适的解法，如常数变易法等，求解微分方程的通解。

最后，将通解带入初始条件，确定特解。

通过解析这道题目，我们能够理解微分方程的基本概念和解题方法。

第三道题目是关于概率统计的。

题目给出了一个随机变量的概率密度函数，要求求出该随机变量的数学期望。

首先，我们需要对概率密度函数进行分析，确定其可积性和可导性等性质。

然后，可以利用概率统计的基本定义和性质，对随机变量的数学期望进行计算。

需要注意的是，有时候可能需要进行一些积分运算和变量替换等操作。

通过解析这道题目，我们能够掌握概率统计的基本概念和计算方法。

通过以上的题目解析，我们可以发现考研数学2真题的内容涵盖了数学的多个领域，如极限、微分方程和概率统计等。

在解题过程中，我们需要充分运用数学知识，灵活运用解题方法，注重细节和逻辑推理。

同时，我们还需要对数学概念和知识进行深入理解，注重平时的积累和实践训练。

只有通过不断地学习和练习，我们才能更好地应对考试，取得满意的成绩。

最后，希望考生们在备考期间能够充分利用时间和资源，合理安排学习计划，注重理论与实践相结合。

高等代数考研2021考研真题北京大学考研真题二

高等代数考研2021考研真题北京大学考研真题二高等代数作为考研数学科目中的重点内容之一，对于考生来说是一个关键的考察点。

本文将以2021年北京大学考研真题二为基础，讨论高等代数相关知识点，帮助考生更好地备考。

1. 选择题题目一：设A是一个n阶方阵，若λ是A的特征值，那么下面哪个命题是错误的？A. λ是A的特征值，则λ²是A²的特征值。

B. λ是A²的特征值，则λ是A的特征值。

C. λ是A的特征值，则λ⁻¹是A⁻¹的特征值。

D. λ是A⁻¹的特征值，则λ⁻¹是A的特征值。

解析：对于矩阵A的特征值λ和特征向量x，有A×x=λ×x。

因此，对于任意非零实数k和非零向量x，有A(kx) = kA(x)，即特征值与矩阵的乘法具有线性关系。

因此，选项A是正确的，选项B是错误的。

选项C和D中提到了矩阵的逆，根据矩阵特征值的定义，如果λ是矩阵A的特征值，则A⁻¹的特征值是λ⁻¹。

因此，选项C是错误的，选项D是正确的。

综上所述，选项B是错误的命题。

2. 解答题题目二：已知复数z满足|z|=2，求z+z⁻¹的实部和虚部。

解答：设z=a+bi，其中a和b为实数。

根据复数的模定义，有|z|=√(a²+b²)=2，可以得到一个方程，a²+b²=4。

根据复数的乘法性质，可以得到z⁻¹的表达式为z⁻¹=1/z=(a-ib)/((a+ib)(a-ib))=(a-ib)/(a²+b²)=a/(a²+b²)-i(b/(a²+b²))。

将z+z⁻¹展开并分别提取实部和虚部，得到：实部：Re(z+z⁻¹)=a+a/(a²+b²)=a(a²+b²)/(a²+b²)+a/(a²+b²)=(a³+2a)/(a²+b²)。

2021年考研(数学二)真题试卷 (含答案解析)

选择题---为题目类型1.当x→0时，（A）低阶无穷小（B）等价无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等价无穷小2.函数f(x)＝（A）连续且取极大值（B）连续且取极小值（C）可导且导数为0（D）可导且导数不为03.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm／s，－3cm／s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为( )（A）125πcm3／s，40πcm2／s（B）125πcm3／s，－40πcm2／s（C）－100πcm3／s，40πcm2／s（D）－100πcm3／s，－40πcm2／s4.设函数f(x)＝ax－b㏑x(a＞0)有两个零点，则b/a的取值范围是( )（A）(e，+∞)（B）(0，e)（C）(0，1/e)（D）(1/e，+∞)5.设函数f(x)＝secx在x＝0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则( )（A）a＝1，b＝－1/2（B）a＝1，b＝1/2（C）a＝0，b＝－1/2（D）a＝0，b＝1/26.设函数f(x，y)可微，且f(x+1，e x)＝x(x+1)2，f(x，x2)＝2x2㏑x，则df(1，1)＝( )（A）dx+dy（B）dx－dy（C）dy（D）－dy7.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，则∫01f(x)dx＝( )（A）（B）（C）（D）8.二次型f(x1，x2，x3)＝(x1+x2)2+(x2+x3)2－(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为( )（A）2，0（B）1，1（C）2，1（D）1，29.设3阶矩阵A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)，若向量组α1，α2，α3可以由向量组β1，β2线性表出，则( )（A）Ax＝0的解均为Bx＝0的解（B）A T x＝0的解均为B T x＝0的解（C）Bx＝0的解均为Ax＝0的解（D）B T x＝0的解均为A T＝0的解10.已知矩阵A＝，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ 为对角矩阵，则P、Q可以分别取( )（A）（B）（C）（D）填空题---为题目类型11.12.设函数y＝y(x)由参数方程确定，则13.设函数z＝z(x，y)由方程(x+1)z+y㏑z－arctan(2xy)＝1确定，则14.已知函数f(t)＝15.微分方程y"'－y＝0的通解y＝________．16.多项式f(x)＝解答题---为题目类型17.求极限18.已知f(x)＝19.f(x)满足y＝y(x)(x>0)是微分方程xy′－6y＝﹣6满足y(20.求y(x).21.P为曲线y＝y(x)上的一点，曲线y＝y(x)在点P的法线在y轴上的截距为I P，为使I P最小，求P的坐标．23.曲线(x2+y2)2＝x2－y2(x≥0，y≥0)与x轴围成的区域为D，求24.设矩阵A＝选择题---为题目类型1.当x→0时，（A）低阶无穷小（B）等价无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等价无穷小【正确答案】C【试题解析】2.函数f(x)＝（A）连续且取极大值（B）连续且取极小值（C）可导且导数为0（D）可导且导数不为0【正确答案】D【试题解析】＝1＝f(0)，故f(x)在x＝0处连续．又f′(0)＝3.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm／s，－3cm／s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为( )（A）125πcm3／s，40πcm2／s（B）125πcm3／s，－40πcm2／s（C）－100πcm3／s，40πcm2／s（D）－100πcm3／s，－40πcm2／s【正确答案】C【试题解析】设圆柱体底面半径是R，高为h，则R′＝2，h′＝－3．体积V＝πR2h、表面积S＝2πRh+2πR2，故V′＝2πR·R′h+R2πh′，S′＝2πR′h+2πRh′+4πR·R′，即V′|R＝10,h＝5＝﹣100π，S′|R＝10,h＝5＝40π．4.设函数f(x)＝ax－b㏑x(a＞0)有两个零点，则b/a的取值范围是( )（A）(e，+∞)（B）(0，e)（C）(0，1/e)（D）(1/e，+∞)【正确答案】A【试题解析】f(x)＝ax－b㏑x的定义域为x>0，则f′(x)＝a－．令f′(x)＝0，有x＝．欲使函数f(x)在(0，)，(，+∞)有两个零点，必有f()<0，即b－b㏑()＜0．从而有5.设函数f(x)＝secx在x＝0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则( )（A）a＝1，b＝－1/2（B）a＝1，b＝1/2（C）a＝0，b＝－1/2（D）a＝0，b＝1/2【正确答案】D【试题解析】设，f(x)＝secx，则f(x)在x＝0处的二阶泰勒展式为f(x)＝f(0)+f′(0)x+6.设函数f(x，y)可微，且f(x+1，e x)＝x(x+1)2，f(x，x2)＝2x2㏑x，则df(1，1)＝( )（A）dx+dy（B）dx－dy（C）dy（D）－dy【正确答案】C【试题解析】函数f(x，y)可微，且f(x+1，e x)＝x(x+1)2，则f′1+e x f′2＝(x+1)2+2x(x+1)．令x＝0，则有f′1(1，1)+f′2(1，1)＝1．①由f(x，x2)＝2x2㏑x，则f′1+f′2·2x＝4x㏑x+2x．令x＝1，则有f′1(1，1)+2f′2(1，1)＝2．②结合①式，②式可得：f′2(1，1)＝1，f′1(1，1)＝0．故df(1，1)＝f′1(1，1)dx+f′2(1，1)dy＝dy．7.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，则∫01f(x)dx＝( )（A）（B）（C）（D）【正确答案】B【试题解析】f(x)在[0，1]上连续，故∫01f(x)dx存在．将[0，1]平均n等分：[0，1]＝，取各区间中点ξk＝k/n－1/2n. 故8.二次型f(x1，x2，x3)＝(x1+x2)2+(x2+x3)2－(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为( ) （A）2，0（B）1，1（C）2，1（D）1，2【正确答案】B【试题解析】作变换，记A＝，则|A|＝0，故变换不可逆．二次型展开得：f(x1，x2，x3)＝x22+2x1x2+x22+2x2x3+2x1x3，故二次型矩阵为B＝，|λE－B|＝9.设3阶矩阵A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)，若向量组α1，α2，α3可以由向量组β1，β2线性表出，则( )（A）Ax＝0的解均为Bx＝0的解（B）A T x＝0的解均为B T x＝0的解（C）Bx＝0的解均为Ax＝0的解（D）B T x＝0的解均为A T＝0的解【正确答案】D【试题解析】由条件知(α1，α2，α3)＝(β1，β2，β3)P，即A＝BP．故A T＝P T B T．从而B T x＝0的解是A T x＝0的解．10.已知矩阵A＝，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ 为对角矩阵，则P、Q可以分别取( )（A）（B）（C）（D）【正确答案】C【试题解析】代入验证：A．PAQ＝为非对角矩阵；B．PAQ＝为非对角矩阵；C．PAQ＝为对角矩阵；D．PAQ＝填空题---为题目类型11.【正确答案】【试题解析】12.设函数y＝y(x)由参数方程确定，则【正确答案】2/3【试题解析】由x＝2e t+t+1可知，＝2e t+1；由y＝4(t－1)e t+t2可知，＝4te t+2t，故. 令t＝0，则13.设函数z＝z(x，y)由方程(x+1)z+y㏑z－arctan(2xy)＝1确定，则【正确答案】1【试题解析】将y＝2代入，得(x+1)z+2㏑z－arctan4x＝1．对x求导得：z+(x+1)将x＝0代入，得z＝1，故14.已知函数f(t)＝【正确答案】【试题解析】15.微分方程y"'－y＝0的通解y＝________．【正确答案】y＝C1e x+【试题解析】特征方程为λ3－1＝(λ－1)(λ2+λ+1)＝0，则特征根λ1＝1，λ2＝，λ3，故方程通解为y＝C1e x+16.多项式f(x)＝【正确答案】-5【试题解析】f(x)＝解答题---为题目类型17.求极限【正确答案】18.已知f(x)＝【正确答案】(I)f(x)＝当x≥0时，f′(x)＝1－，f″(x)＝＞0；当－1＜x＜0时，f′(x)＝－1，f″(x)＝＜0；当x＜－1时，f″(x)＝－＞0．故当x∈(0，+∞)时，曲线y＝f(x)是凹的，x∈(－1，0)时，曲线y＝f(x)是凸的；当x ∈(－∞，－1)时，曲线y＝f(x)是凹的．(Ⅱ)1°当x＝－1时，无定义，且f(x)＝－∞，故x＝-1为垂直渐近线．2°由f(x)＝+∞，f(x)＝+∞，故f(x)无水平渐近线．3°由＝－1，故y＝x－1为正向渐近线，由19.f(x)满足【正确答案】y＝y(x)(x>0)是微分方程xy′－6y＝﹣6满足y(【正确答案】20.求y(x).【正确答案】原方程整理为y′＝y－，故通解为y＝＝Cx6+1．由y(√3)＝10，知C＝，故特解为y＝21.P为曲线y＝y(x)上的一点，曲线y＝y(x)在点P的法线在y轴上的截距为I P，为使I P最小，求P的坐标．【正确答案】设P点坐标为(x，1+x6)，则过P点的法线方程为：Y－(1+x6)＝－(X －x)．令X＝0，得Y＝I p＝+x6+1．由Y′(x)＝23.曲线(x2+y2)2＝x2－y2(x≥0，y≥0)与x轴围成的区域为D，求【正确答案】曲线(x2+y2)2＝x2－y2(x≥0，y≥0)的极坐标方程为r＝区域D＝{(θ，r)|0≤θ≤π/4，0≤r≤}. 引入极坐标x＝rcosθ，y＝rsinθ，24.设矩阵A＝【正确答案】由|λE－A|＝＝(λ－b)(λ－1)(λ－3)＝0，得特征值λ1＝1，λ2＝3，λ3＝b．由题设矩阵A仅有两个不同特征值，故b＝1或b＝3．1°若b＝1．因为A 可相似对角化，所以r(A－E)＝1，故a＝1．(A－E)X＝0的基础解系为ξ1＝(1，－1，0)T，ξ2＝(0，0，1)T．(A－3E)X＝0的基础解系为ξ3＝(1，1，1)T，取P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝，则P－1AP＝. 2°若b＝3，因为A可相似对角化，所以r(A－3E)＝1，故a＝－1．(A －E)X＝0的基础解系为ξ1＝(－1，1，1)T，(A－3E)X＝0的基础解系为ξ2＝(0，0，1)T，ξ3＝(1，1，0)T，取P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝，则P－1AP＝。

北京大学数学系《高等代数》名校考研真题(矩阵)【圣才出品】

E
AB
E
2E AB
E E
AB AB
2E O
E AB
1
[
E
(
AB)2
]
2
2E
O
O
1
[
E
(
AB)2
]
2
知
r(2E) r[1 (E AB)2] n 2
所以
1 [E ( AB)2 ] O 2
因此有（AB）2＝E 即 ABA＝B－1．
4．求证：A＋UV′＝∣A∣＋V′A·U 其中 A 为 n 阶矩阵，U，V 为 n 维列向量．[浙江大
2．设 A 为非零矩阵，但丌必为方阵，证明 AX＝E 有解当且仅当 CA＝0 必有 C＝0，
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其中 E 为单位矩阵．[上海交通大学研] 证明：设 A 为 m×n 矩阵，则如果 AX＝E 有解 Bn×m，即 AB＝Em，有 m≥r（A）≥r（Em）
3．设 A、B 都是 n 阶方阵，E 为 n 阶单位矩阵．证明：ABA＝B－1 的充要条件是 r（E
＋AB）＋r（E－AB）＝n．[厦门大学研]
证明：由 ABA＝B－1 得（AB）2＝E，所以有：
E－（AB）2＝（E＋AB）（E－AB）＝0
故 r（E－AB）＋r（E＋AB）≤n（1）
又 n＝r（2E）＝r[（E－AB）＋（E＋AB）]≤r（E－AB）＋r（E＋AB）（2）
Q
P
Er O
O O
Q
P)
Er O
O O
Er O
O
O
①
B C
令
QXP
D
F
nm

2021年考研数学二真题及答案解析

属于0特性向量:c11+c22，c1,c2不所有为0.
将0单位化,得0=( , , )T.
对1,2作施密特正交化,1=(0,- , )T,2=(- , , )T.
作Q=(0,1,2),则Q是正交矩阵,并且
3 0 0
QTAQ=Q-1AQ= 0 0 0 .
0 0 0
(13)设1,2,…,s所有是n维向量，A是mn矩阵，则（）成立.
(A) 若1,2,…,s线性有关,则A1,A2,…,As线性有关.
(B) 若1,2,…,s线性有关,则A1,A2,…,As线性无关.
(C) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性有关.
(D) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.
数学（二）考研真题及解答
一、填空题
（1）曲线水平渐近线方程为.
（2）设函数在处持续，则 .
（3）广义积分 .
（4）微分方程通解是.
（5）设函数由方程拟定，则 =.
（6）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 =
.
二、选取题
（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处增量，和分别为在点处相应增量和微分，若，则
真题答案解析
一、填空题
（1）曲线水平渐近线方程为
（2）设函数在x=0处持续，则a=
（3）广义积分
（4）微分方程通解是
（5）设函数拟定，则
当x=0时，y=1，
又把方程每一项对x求导，
二、选取题
（7）设函数具有二阶导数，且为自变量x在点x0处增量，，则[A]
（A）（B）
（C）（D）
由严格单调增长
B+1=A①

《高等代数》考研北京大学配套2021考研真题库

《高等代数》考研北京大学配套2021考研真题库第一部分名校考研真题第1章多项式一、判断题1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈Pab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有综上所述得P为数域．2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k 重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研] 【答案】错查看答案【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f‴（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）．3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．二、计算题1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．（2）若p≠4，则继续辗转相除，即当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－1即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）这时f（x）的三个根为1，1，－8．2．假设f1（x）与f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］解：设6次单位根分别为由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4个根.由于ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分别将ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得从而f1（－1）＝f2（－1）＝0即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．同理，将ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x－1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．所以（x－1）（x＋1）是f1（x）与f2（x）的一个公因式．又因为f1（x），f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以（f（x），g（x））＝x2－1三、证明题1．设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f（x）＝a0x n＋a1x n－1＋…＋a n－1x＋a n的根，证明：q∣a0，p∣a n[华中科技大学研]证明：因为p/q是f（x）的根，所以（x－p/q）∣f（x），从而（qx－p）∣f（x）．又因为p，q互素，所以qx－p是本原多项式[即多项式的系数没有异于±l的公因子]，且f（x）＝（qx－p）（b n－1x n－1＋…＋b0，b i∈z比较两边系数，得a0＝qb n－1，a n＝－pb0⇒q∣a0，p∣a n2．设f（x）和g（x）是数域P上两个一元多项式，k为给定的正整数．求证：f （x）∣g（x）的充要条件是f k（x）∣g k（x）[浙江大学研]证明：（1）先证必要性．设f（x）∣g（x），则g（x）＝f（x）h（x），其中h （x）∈P（x），两边k次方得g k（x）＝f k（x）h k（x），所以f k（x）∣g k（x）（2）再证充分性．设f k（x）∣g k（x）（i）若f（x）＝g（x）＝0，则f（x）∣g（x）（ii）若f（x），g（x）不全为0，则令d（x）＝（f（x），g（x）），那么f（x）＝d（x）f1（x），g（x）＝d（x）g1（x），且（f1（x），g1（x））＝1①所以f k（x）＝d k（x）f1k（x），g k（x）＝d k（x）g1k（x）因为f k（x）∣g k（x），所以存在h（x）∈P[x]（x），使得g k（x）＝f k（x）·h（x）所以d k（x）g1k（x）＝d k（x）f1k（x）·h（x），两边消去d k（x），得g1k（x）＝f1k（x）·h（x）②由②得f1（x）∣g1k（x），但（f1（x），g1（x））＝1，所以f1（x）∣g1k－1（x）这样继续下去，有f1（x）∣g1（x），但（f1（x），g1（x））＝1故f l（x）＝c，其中c为非零常数．所以f（x）＝d（x）f1（x）＝cd（x）⇒f（x）∣g（x）3．设f（x），g（x）都是P[x]中的非零多项式，且g（x）＝s m（x）g1（x），这里m≥1．又若（s（x），g1（x））＝1，s（x）∣f（x）．证明：不存在f1（x），r（x）∈P[x]，且r（x）≠0，∂（r（x））＜∂（s（x））使①[浙江大学研]证明：用反证法，若存在f1（x），r（x）使①式成立，则用g（x）乘①式两端，得f（x）＝r（x）g1（x）＋f1（x）s（x）②因为s（x）∣f（x），s（x）∣f1（x）s（x），由②式有s（x）∣r（x）g1（x）．但（s（x），g1（x））＝1，所以s（x）∣r（x）．这与∂（r（x））＜∂（s（x））矛盾．4．设f（x）是有理数域上n次[n≥2]多项式，并且它在有理数域上不可约，但知f （x）的一根的倒数也是f（x）的根．证明：f（x）每一根的倒数也是f（x）的根．[南开大学研]证明：设b是f（x）的一根，1/b也是f（x）的根．再设c是f（x）的任一根．下证1/c也是f（x）的根．令g（x）＝f（x）/d，其中d为f（x）的首项系数，不难证明：g（x）与f（x）有相同的根，其中g（x）是首项系数为l的有理系数不可约多项式．设g（x）＝x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0，（a0≠0）．由于b n＋a n－1b n－1＋…＋a1b＋a0＝0①（1/b）n＋a n－1（1/b）n－1＋…＋a1（1/b）＋a0＝0⇒a0b n＋a1b n－1＋…＋a n－1b＋1＝0⇒b n＋（a1/a0）b n－1＋…＋（a n－1/a0）b＋1/ a0＝0 ②由g（x）不可约及①，②两式可得1/a0＝a0，a i/a0＝a n－i（i＝1，2，…，n－1）．故a0＝±1，a i＝±a n－i（i＝1，2，…，n－1）③由③式可知，当f（c）＝0时，有f（c）＝0，且g（1/c）＝0，从而f（1/c）＝0．5．设f（x）是复系数一元多项式，对任意整数n有f（n）都是整数．证明：f（x）的系数都是有理数．举例说明存在不是整系数的多项式，满足对任意整数n，有f （n）是整数．［浙江大学研］证明：设f（x）＝g（x）＋ih（x），g（x），h（x）∈R[x]由于∀n∈Z，f（n）＝g（n）＋ih（n）∈Z，所以h（x）＝0．下证g（x）∈Q[x]．事实上，令g（x）＝a0＋a1x＋…＋a m x m，a m≠0，a i∈R，i＝1，2，…，m则有a0＋a1＋…＋a m＝g（1）∈Z，a0＋a1·2＋…＋a m·2m＝g（2）∈Z，⋮a0＋a1（m＋1）＋…＋a m（m＋1）m＝g（m＋1）∈Z.记则有（a0，a1，…，a m）T＝（g（1），g（2），…，g（m＋1））①又显见∣T∣＝m!（m－1）!…2!1!≠0，由①式得（a0，a1，…，a m）＝（g（1），g（2），…，g（m＋1））T－1这里T－1是有理数域上的矩阵，g（1），g（2），…，g（m＋1）均为整数，所以a0，a1，…，a m∈Q．因此f（x）＝g（x）∈Q[x]．取f（x）＝x2/2－1/2，有f（x）＝（x－n）（x/2＋n/2）＋（n2－1）/2可见存在不是整系数的多项式f（x），对任一整数n，有f（n）＝（n2－1）/2∈Z．。

2021考研数学二真题及答案

2021考研数学真题及答案解析(数二)数学（二）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）(1)当0x →时，230(1)x t e dt -⎰时7x 的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【答案】C.【解析】因为当0x →时，23670(1)2(1)2x t x e dt x e x '⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰ ，所以23(1)x t e dt -⎰是7x 高阶无穷小，正确答案为C.(2)函数1,0()=1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪⎨⎪=⎩,在0x =处(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.【答案】D.【解析】因为001lim ()=lim 1(0)x x x e f x f x→→-==，故()f x 在0x =处连续；因为200011()(0)11lim =lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x →→→-----==--，故1(0)2f '=，正确答案为D.(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s ，3-cm/s ，当底面半径为10cm ，高为5cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为(A)1253/cm s π，402/cm s π.(B)1253/cm s π，-402/cm s π.(C)-1003/cm s π，402/cm s π.(D)-1003/cm s π，-402/cm s π.【答案】D.【解析】由题意知，2,3,dr dhdt dt==-又2,2,V r h S rh ππ==则22,22,dV dr dh dS dr dh rh r h r dt dt dt dt dt dtππππ=+=+当10,5r h ==时，100,40,dV dSdt dtππ=-=-选D.(4)设函数()ln (0)f x ax b x a =->有两个零点，则ba的取值范围是(A)(,)e +∞.(B)(0,)e .(C)1(0,)e.(D)1(,)e+∞.【答案】A.【解析】令()ln 0f x ax b x =-=，()b f x a x '=-，令()0f x '=有驻点b x a =，ln 0b b b f a b a a a ⎛⎫=⋅-⋅< ⎪⎝⎭，从而ln1b a >，可得be a>，正确答案为A.(5)设函数()sec f x x =在0x =处的2次泰勒多项式为21ax bx ++，则(A)11,.2a b ==-(B)11,.2a b ==(C)10,.2a b ==-(D)10,.2a b ==【答案】D.【解析】由22(0)()(0)(0)()2f f x f f x x o x '''=+++知当()sec f x x =时，2300(0)sec01,(0)(sec tan )0,(0)(sec tan sec )1,x x f f x x f x x x =='''=====+=则221()sec 1().2f x x x o x ==++故选D.(6)设函数(),f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df =(A)dx dy +.(B)dx dy -.(C)dy .(D)dy -.【答案】C.【解析】212(1,)(1,)(1)2(1)xxxf x e e f x e x x x ''+++=+++①2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x''+=+②将00x y =⎧⎨=⎩，11x y =⎧⎨=⎩分别带入①②式有12(1,1)(1,1)1f f ''+=，12(1,1)2(1,1)2f f ''+=联立可得1(1,1)0f '=，2(1,1)1f '=，12(1,1)(1,1)(1,1)df f dx f dy dy ''=+=，故正确答案为C.(7)设函数()f x 在区间[]0,1上连续，则()1f x dx =⎰(A)1211lim22nn k k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.(B)1211lim2nn k k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.(C)2111lim2nn k k f n n→∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.(D)2012lim2nx k k f n n→=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑.【答案】B.【解析】由定积分的定义知，将[0,1]分成n 份，取中间点的函数值，则11211()lim ,2nn k k f x dx f n n→∞=-⎛⎫=∑ ⎪⎝⎭⎰即选B.(8)二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)1,1.(C)2,1.(D)1,2.【答案】B.【解析】22221231223312122313(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++--=+++所以011121110A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故特征多项式为11||121(1)(3)11E A λλλλλλ---=---=+---令上式等于零，故特征值为1-，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B.(9)设3阶矩阵()123,,ααα=A ，()123,,B βββ=，若向量组123,,ααα可以由向量组12,ββ线性表出，则(A)0Ax =的解均为0Bx =的解.(B)0TA x =的解均为0TB x =的解.(C)0Bx =的解均为0Ax =的解.(D)0TB x =的解均为0TA x =的解.【答案】D.【解析】令123123(,,),(,,),A a a a B βββ==由题123,,a a a 可由123,,βββ线性表示，即存在矩阵P ,使得,BP A =则当00TB x =时，000()0.TTTTA x BP x pB x ===恒成立，即选D.(10)已知矩阵101211125-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A 若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使PAQ 为对角矩阵，则P ，Q 可以分别取(A)100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，101013001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)100210321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(C)100210321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，101013001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D)100010131⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】C.【解析】101100101100101100()211010013210013210125001026101000321---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A,E (,)=F P ,则100210321⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭P ;101100013010000000100101010013001001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭F E ΛQ ，则101013001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q .故应选C.二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.）(11)23x x dx +∞--∞=⎰.【答案】1ln 3.【解析】222220113233()3ln 3ln 3x x x x x dx x dx d x +∞+∞+∞----+∞-∞==--=-⋅=⎰⎰⎰.(12)设函数()y y x =由参数方程2214(1)t t x e t y t e t⎧=++⎨=-+⎩确定,则202t d ydx ==.【答案】23.【解析】由4221t t dy te t dx e +=+，得223(442)(21)(42)2(21)t t t t tt d y e te e te t e dx e +++-+=+，将0t =带入得20223t d ydx ==.(13)设函数(,)z z x y =由方程(1)ln arctan(2)1x z y z xy ++-=确定,则(0,2)zx ∂=∂.【答案】1.【解析】方程两边对x 求导得2212(1)014z z y z x y x z x x y ∂∂+++-=∂∂+，将0,2x y ==带入原方程得1z =，再将0,2,1x y z ===带入得1zx∂=∂.(14)已知函数11()t x f t dx dy y =⎰,则2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭.【答案】2ππ【解析】交换积分次序有21()sinty xf t dx y =-⎰，从而211()sin cos cos t y x tf t dx y dyy y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰11cos cos ty dy y ydy y =-21cos t t y ydy=-23332cos cos cos()2t u tf t t du tu t t⎛⎫'=+-⋅-⎝,故2fπ⎛⎫'=⎪⎝⎭2ππ-(15)微分方程0y y-=的通解y=.【答案】12123123cos sin,,,22xxy C e e C C C C C R-⎛⎫=++∈⎪⎪⎝⎭.【解析】由特征方程310λ-=得12,311,22iλλ==-±，故方程通解为12123123cos sin,,,22xxy C e e C C C C C R-⎛⎫=++∈⎪⎪⎝⎭.(16)多项式12121()211211x x xxf xxx-=-中3x项的系数为______________.【答案】-5.【解析】12211211112 121()1121211221211112131211 211x x xx x xxf x x x x x x xxx x xx----==-------所以展开式中含3x项的有33,4x x--，即3x项的系数为-5.三、解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本题满分10分)求极限211lim1sinx txxe dte x→⎛⎫+⎪-⎪-⎪⎝⎭⎰.【答案】12.【解析】2200001sin11lim lim1sin(1)sinx xt tx xx xe dt x e dte x e x→→⎛⎫+--⎪-=⎪--⎪⎝⎭⎰⎰又因为22233001(1())()3x xt e dt t o t dt x x o x=++=++⎰⎰，故原式=3333222111(())(1())()3!3!2limxx x o x x x o x x x o xx→-++++--+=22201()12lim 2x x o x x →+=.(18)(本题满分12分)已知()1x xf x x=+，求()f x 的凹凸性及渐近线.【答案】凹区间(,1)-∞-，()0,+∞，凸区间(1,0)-.斜渐近线是1y x =-，1y x =--.【解析】因为22,01(),01x x xf x x x x⎧>⎪⎪+=⎨-⎪≤⎪+⎩，故0x >，()222()1x x f x x +'=+，()32()1f x x ''=+，0x <，()222()1x x f x x --'=+，()32()1f x x -''=+，所以x (,1)-∞-1-(1,0)-0()0,+∞()f x ''+-+()f x 凹拐点凸拐点凹凹区间(,1)-∞-，()0,+∞，凸区间(1,0)-.1lim1x x xx →-=∞+,1x =-是垂直渐近线.lim 1(1)x x x x x →+∞=+,lim (1) 1.(1)x x x x →+∞-=-+lim 1(1)x x x x x →-∞=-+,lim (1) 1.(1)x x x x →+∞-=-+斜渐近线是1y x =-，1y x =--.(19)(本题满分12分)()f x 满足216x x C =-+,L 为曲线()(49)y f x x =≤≤，L 的弧长为s ，L 绕x 轴旋转一周所形成的曲面的面积为A ,求s 和A .【答案】4259π.113x =-，31221()3f x x x =-，曲线的弧长944223s ===⎰⎰.曲面的侧面积31992244122(3A x xππ==-⎰⎰4259π=.(20)(本题满分12分)函数()y y x =的微分方程66xy y '-=-，满足10y =，(1)求()y x ；(2)P 为曲线()y y x =上的一点，曲线()y y x =在点P 的法线在y 轴上的截距为y I ，为使y I 最小，求P 的坐标.【答案】(1)()61.3x y x =+(2)41,3P ⎛⎫± ⎪⎝⎭时，y I 有最小值11.6【解析】(1)66'y y x x -=-,666()dx dx x x y e e dx C x -⎡⎤⎰⎰∴=-+⎢⎥⎣⎦⎰66611x C Cxx ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭将10y =代入，13C =，()61.3x y x ∴=+(2)设(),P x y ，则过P 点的切线方程为()52Y y x X x -=-，法线方程为()512Y y X x x-=--，令0X =，641132y x Y I x∴==++，偶函数，为此仅考虑()0,+∞令()'55220y I x x =-=， 1.x =()0,1x ∴∈，()'0y I <，()1116y y I I >=；()1,x ∈+∞，()'0y I >，()1116y y I I >=41,3P ⎛⎫∴± ⎪⎝⎭时，y I 有最小值11.6(21)(本题满分12分)曲线22222()(0,0)x y x y x y +=-≥≥与x 轴围成的区域为D ,求Dxydxdy ⎰⎰.【答案】148【解析】340sin cos Dxydxdy d drπθθθ=⎰⎰⎰2401cos 2sin cos 4d πθθθθ=⎰2401cos 2cos 216d πθθ=-⎰4301cos 248πθ=-148=.(22)(本小题满分12分)设矩阵210=1201A a b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭仅有两个不同的特征值.若A 相似于对角矩阵，求a ，b 的值，并求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵.【解析】由210120()(3)(1)01E A b a bλλλλλλλ---=--=---=---当3b =时，由A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则110(3)11010E A a -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭知，1a =-，此时，123λλ==所对应特征向量为12101,001αα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31λ=所对应的特征向量为3111α-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则1331P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭当1b =时，由A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则110()11010E A a --⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，知1a =，此时，121λλ==所对应特征向量为12101,001ββ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33λ=所对应的特征向量为3111α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则1113P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.。

2021考研数学数二真题

2021考研数学数二真题2021年考研数学数二真题涉及多个知识点，包括线性代数、概率论与数理统计、数学分析等。

以下将按照题目的顺序逐个进行解答。

第一题：已知方程组：\[\begin{cases}2x+4y+z=1 \\x+2y+2z=2 \\2x+4y+yz=\lambda\end{cases}\]其中，参数$\lambda$为实数。

要求：1. 当$\lambda$取何值时，方程组存在无穷多个解？2. 在$\lambda$满足条件时，求出方程组的全部解。

解答：首先，将方程组写成增广矩阵的形式：\[\left[\begin{array}{ccc|c}2 & 4 & 1 & 1\\1 &2 & 2 & 2\\2 & 4 & \lambda & 0\\\end{array}\right]\]利用高斯消元法，将矩阵化简为最简形式：\[\left[\begin{array}{ccc|c}1 &2 & 2 & 2\\0 & 0 & 2-\lambda & 1\\0 & 0 & 0 & \lambda-3\\\end{array}\right]\]根据高斯消元法的步骤，我们可以得到这个最简形式。

现在，我们来回答问题。

1. 当且仅当$\lambda-3=0$时，矩阵的秩等于系数矩阵的秩。

因此，$\lambda=3$时，方程组存在无穷多个解。

2. 当$\lambda=3$时，方程组的最简形式变为：\[\left[\begin{array}{ccc|c}1 &2 & 2 & 2\\0 & 0 & -1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\\\end{array}\right]\]我们可以得到以下方程：\[\begin{cases}x+2y+2z=2 \\-z=1\end{cases}\]从第二个方程可以得到$z=-1$。

2021 年全国硕士研究生招生考试数学二真题试卷(打印版)

2021年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题真题讲义一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.是的（）（A）低阶无穷小（B）等价阶无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等价无穷小2.函数在处（）（A）连续且取得极大值（B）连续且取得极小值（C）可导且导数等于零（D）可导且导数不为零3.有一圆柱体，底面半径与高随时间的变化率分别为，，当底面半径为，高为时，圆体的体积与表面积随时间的变化速率为（）（A）（B）（C）（D）4.函数有2个零点，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）5.设函数在处的2次泰勒多项式为，则（）（A）（B）（C）（D）6.设函数可微且，则（）（A）（B）（C）（D）7.设函数在区间上连续，则（）（A）（B）（C）（D）8.二次型的正惯性指数与负惯性指数依次为（）（A）2,0（B）1,1（C）2,1（D）1,29.设3阶矩阵，若向量组可以由向量组线性表示出，则（）（A）的解均为解（B）的解均为解（C）的解均为解（D）的解均为解10.已知矩阵，若三角可逆矩和上三角可逆矩阵，使得为对角矩阵，则、分别取（）（A）（B）（C）（D）二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11.________.12.设函数由参数方程确定，则________.13.设函数由方程确定，则________.14.已知函数，则________.15.微分方程有的通解为________.16.多项式的项的系数为________.三、解答题：17~22小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

请将答案写在答题纸指定位置上。

17.求极限.18.设函数，求函数的凹凸性及渐近线.19.设函数满足，为曲线.记的长度为，绕轴旋转的旋转曲面的面积为，求和.20.是微方程满足的解.（1）求；（2）设为曲线上的一点，记处法线在轴上的截距为.最小时，求的坐标.21.设由曲线与轴围成，求.22.设矩阵仅有两个不同特征值，若相似于对角矩阵.求，求逆矩阵，使得.。

2021年《高等代数》试题题库

2021年《高等代数》试题题库2021年《高等代数》试题题库一、选择题 1．在里能整除任意多项式的多项式是（）。

．零多项式．零次多项式．本原多项式．不可约多项式 2．设是的一个因式，则（）。

．1 ．2 ．3 ．4 3．以下命题不正确的是（）。

. 若；.集合是数域；.若没有重因式；．设重因式，则重因式 4．整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。

. 充分 . 充分必要 .必要．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。

.如果，那么 .如果，那么 .如果，那么，有 .如果，那么6．对于“命题甲：将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变为；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

.甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；.甲, 乙均成立；．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。

. 奇数次实系数多项式必有实根；. 代数基本定理适用于复数域；．任一数域包含；．在中, 8．设，为的代数余子式, 则=( ) 。

. . . ． 9.行列式中，元素的代数余子式是（）。

．．．． 10．以下乘积中（）是阶行列式中取负号的项。

.；.；．；. 11. 以下乘积中（）是4阶行列式中取负号的项。

.；.；. 12. 设阶矩阵，则正确的为（）。

. . ． . 13. 设为阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列行列式中与等值的是（） . . ． . 14. 设为四阶行列式，且，则（） . . ． . 15. 设为阶方阵，为非零常数，则（） . . ． . 16.设，为数域上的阶方阵，下列等式成立的是（）。

.；. ；．；. 17. 设为阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是（） . . ． . 18.如果，那么矩阵的行列式应该有（）。

.；.；．；. 19.设, 为级方阵, , 则“命题甲：；命题乙：”中正确的是( ) 。

. 甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；．甲, 乙均成立；.甲, 乙均不成立 20.设为阶方阵的伴随矩阵，则（）。

2021年12月217日考研数学二真题+解析

.
(13)设函数 z z(x, y) 由方程 (x 1)z y ln z arctan(2xy) 1 确定,则 z
.
x (0,2)
(14)已知函数 f (t)
t
dx
1
1
sin
y
x y
dy
.则
f
2
.
(15)微分方程 y y 0 的通解 y
.
x x 1 2x
(16)多项式 f (x) 1 x 2 1 中 x3 项的系数为______________. 21 x1
为 5 cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为
(A)125 cm3 / s ，40 cm2 / s .
(B) 125 cm3 / s ， 40 cm2 / s .
(C) 100 cm3 / s ，40 cm2 / s .
(D) 100 cm3 / s ， 40 cm2 / s .
2 1 1 x
三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤.）
(17)(本题满分 10 分)
求极限
lim
x0
1
e
ex t2
0
x 1
dt
1 sin
x
.Байду номын сангаас
(18)(本题满分 12 分)
2
已知
f
(x)
xx 1 x
，求
f
(x)
的凹凸性及渐近线.
x0
x0 x
因为 lim x0
f
(x) f (0) = lim
x0
x0
e
x 1 x x0

2021考研高数2真题

2021考研高数2真题2021考研高数2真题：挑战与应对2021年考研高数2真题的公布，对众多考生而言无疑是一次巨大的挑战。

高数一作为考研数学的重要组成部分，一直以来都是考生们的心头之患。

然而，随着考试形式和内容的不断变化，高数2的难度也逐渐增加，给考生们带来了更大的压力。

本文将从几个方面探讨2021考研高数2真题的特点及应对策略。

首先，2021考研高数2真题在题型上更加注重综合运用能力。

相较于以往的计算题，今年的高数2真题更偏向于理论和应用题。

这要求考生们具备扎实的数学基础知识，并能够将其灵活应用于实际问题中。

因此，考生们在备考过程中需要注重理论的学习和应用能力的培养。

可以通过多做一些综合性的题目，加强对知识点的理解和掌握。

其次，2021考研高数2真题在难度上有所增加。

高数2作为高等数学的延伸，涉及到的知识点更加深入和复杂。

考生们需要掌握更多的定积分、曲线积分、级数等知识，同时还要具备一定的数学推理和证明能力。

因此，备考过程中，考生们需要注重对基础知识的巩固和深入理解，通过大量的练习题提高解题能力和思维灵活性。

另外，2021考研高数2真题在命题风格上更加注重考察考生的综合素质。

除了数学知识的考查，还会结合实际问题进行综合分析和解决。

这要求考生们具备一定的实际问题解决能力和跨学科的综合素质。

因此，备考过程中，考生们需要注重对实际问题的理解和应用，通过多做一些综合性的题目，提高解决实际问题的能力。

此外，2021考研高数2真题的解题思路也值得关注。

在解题过程中，考生们需要注重思维的灵活性和创新性。

有时候，一个问题可能有多种解法，考生们需要善于运用不同的方法和思路解决问题。

因此，在备考过程中，考生们需要注重对解题思路的培养和训练，多尝试不同的解题方法，提高解题的灵活性和创新性。

综上所述，2021考研高数2真题的出现给考生们带来了更大的挑战。

为了应对这一挑战，考生们需要注重数学基础知识的学习和理解，加强应用能力的培养，提高解题思路的灵活性和创新性。