大学高数考试卷及问题详解
高等数学试题详解及答案
高等数学试题详解及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. πD. -1答案：B3. 函数F(x)=∫(0 to x) t^2 dt的不定积分是：A. (1/3)x^3 + CB. (1/2)x^2 + CC. x^3 + CD. x^2 + C答案：A4. 无穷小量α与无穷小量β，若α是β的高阶无穷小，则：A. α/β→0B. α/β→∞C. α/β→1D. α/β→常数答案：A5. 曲线y=x^3-3x+2在x=1处的切线斜率是：A. -2B. 0C. 2D. 1答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 若函数f(x)的二阶导数为f''(x)=6x，那么f'(x)=______。
答案：3x^2 + C2. 函数y=e^x的反函数是______。
答案：ln(x)3. 定积分∫(0 to 1) x dx的值是______。
答案：1/24. 函数y=ln(x)的导数是______。
答案：1/x5. 曲线y=x^2在点(1,1)处的法线方程是______。
答案：y=-x+2三、解答题（每题10分，共30分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1或x=2/3。
通过二阶导数f''(x)=6x-6，可以判断x=1为极大值点，x=2/3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx。
答案：根据积分公式，∫sin(x) dx = -cos(x) + C，所以∫(0 toπ/2) sin(x) dx = [-cos(x)](0 to π/2) = -cos(π/2) + cos(0)= 1。
高校数学试题及答案解析
高校数学试题及答案解析一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义是：当自变量x趋近于某一点时，函数值f(x)趋近于某个确定的值A，则称A是f(x)当x趋近于该点时的极限。
以下哪个选项是正确的极限定义？A. ∃ε>0，∀δ>0，|f(x)-A|<δ，当0<|x-x0|<δB. ∃δ>0，∀ε>0，|f(x)-A|<ε，当0<|x-x0|<δC. ∀ε>0，∃δ>0，|f(x)-A|<ε，当0<|x-x0|<δD. ∀δ>0，∃ε>0，|f(x)-A|<ε，当0<|x-x0|<δ答案：C2. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 以下哪个积分是发散的？A. ∫(1/x) dx 从1到∞B. ∫(x^2) dx 从0到1C. ∫(e^x) dx 从-∞到0D. ∫(sin(x)/x) dx 从0到∞答案：A4. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 0]C. [2 0; 0 2]D. [1 1; 1 1]答案：C5. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(1/n^2) 从n=1到∞B. ∑(1/n) 从n=1到∞C. ∑((-1)^n/n) 从n=1到∞D. ∑(1/2^n) 从n=1到∞答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的导数是______。
答案：3x^2 - 37. 函数f(x) = e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C8. 矩阵A = [1 2; 3 4]的行列式是______。
答案：-29. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的周期是______。
大一高数试题及答案解析
大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为_________√１－ｘ2_______________。
２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。
ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。
x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。
_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。
0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。
ｄｘ3ｘｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ａn发散，则级数∑ａn _______________。
n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）①Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数②Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1①０②１③２④３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ───── ＝ｐ，则级数∑ａn（）n→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（）①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0 ｘ3 0１①０②１③ ── ④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝（）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0①０②１③ ∞ ④ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）①设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ②设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───ｐｄｙ∞ ∞１９．设幂级数∑ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（）D ｘ1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。
高数期末考试题及答案大全
高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求其在 \(x=1\) 处的切线方程。
答案：首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
在 \(x=1\) 处，导数值为 \(f'(1) = -1\)，函数值为 \(f(1) = 0\)。
切线方程为 \(y - 0 = -1(x - 1)\)，即 \(y = -x + 1\)。
试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 \(x = \tan(\theta)\)，\(dx = \sec^2(\theta) d\theta\)。
则 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta\)。
利用二倍角公式，\(\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}\)。
积分变为 \(\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C\)。
高等数学试题及答案解析
高等数学试题及答案解析一、选择题1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[0, 5]上的最大值是：A. 3B. 5C. 7D. 9答案：D解析：首先求导f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0得到x = 2，这是函数的极值点。
计算f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1。
接下来检查区间端点，f(0) = 3，f(5) = 5^2 - 4*5 + 3 = 9。
因此，最大值为f(5) = 9。
2. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)答案：A解析：根据导数的基本公式，sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)。
因此，f'(x) = cos(x) - sin(x)。
二、填空题1. 求不定积分∫(2x + 1)dx = __________。
答案：x^2 + x + C解析：根据不定积分的基本公式，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n ≠ -1。
将n = 1代入公式，得到∫(2x + 1)dx = ∫2x dx + ∫1 dx = x^2 + x + C。
2. 若y = ln(x)，则dy/dx = __________。
答案：1/x解析：对自然对数函数求导，根据对数函数的导数公式，ln(x)的导数是1/x。
三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2的极值点。
答案：极值点为x = 3。
解析：首先求导f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 3。
计算二阶导数f''(x) = 6x - 12，代入x = 1得到f''(1) = -6 < 0，说明x = 1是极大值点；代入x = 3得到f''(3) = 18 > 0，说明x = 3是极小值点。
大学高数考试题及答案详解
大学高数考试题及答案详解# 大学高数考试题及答案详解一、选择题1. 题目：函数 \( f(x) = x^2 \) 在区间 \( [0, 1] \) 上的定积分是：- A. \( \frac{1}{3} \)- B. \( \frac{1}{2} \)- C. \( \frac{3}{4} \)- D. \( \frac{2}{3} \)答案： C详解：根据定积分的计算公式，\( \int_{0}^{1} x^2 dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \)。
因此，正确答案为 C。
2. 题目：极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是： - A. 1- B. 0- C. \( \frac{1}{2} \)- D. \( \infty \)答案： A详解：利用极限的性质和三角函数的极限，我们有 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。
因此，正确答案为 A。
二、填空题1. 题目：如果 \( \int_{a}^{b} f(x) dx = 4 \)，那么\( \int_{a}^{b} 2f(x) dx = \) ________。
答案： 8详解：根据定积分的性质，如果 \( c \) 是一个常数，那么\( \int_{a}^{b} cf(x) dx = c \int_{a}^{b} f(x) dx \)。
因此，\( \int_{a}^{b} 2f(x) dx = 2 \int_{a}^{b} f(x) dx = 2 \times 4 = 8 \)。
2. 题目：函数 \( g(x) = e^x \) 的导数是 \( g'(x) = \)________。
大学高数必考试题及答案
大学高数必考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处的导数为0D. f(x)在x=a处的导数不存在答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B3. 以下哪个选项不是微分方程：A. dy/dx = yB. d^2y/dx^2 + y = 0C. ∫y dx = x^2 + CD. dy/dx + y = x答案：C4. 若级数∑(1/n^2)收敛，则下列级数中也收敛的是：A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^3)C. ∑(1/n^1.5)D. ∑(1/n^0.5)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)=______。
答案：3x^2-32. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为______。
答案：23. 函数y=ln(x)的不定积分为______。
答案：xln(x)-x+C4. 微分方程dy/dx+2y=x的通解为______。
答案：y=(1/3)e^(-2x)(x+Ce^(2x))三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值和最小值。
答案：首先求导数f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2。
在区间[1,3]上，f'(x)在x=2处由负变正，因此x=2是极小值点，f(2)=3-4+3=2。
检查端点值，f(1)=1^2-4+3=0，f(3)=3^2-4*3+3=0。
因此，最小值为0，最大值为2。
2. 求由曲线y=x^2与直线x=1和x轴所围成的面积。
答案：由曲线y=x^2，直线x=1和x轴围成的面积可以通过积分求得。
积分区间为[0,1]，被积函数为y=x^2。
《高等数学》考试试卷A卷及答案解析
《高等数学》考试试卷A 卷及答案解析一．填空题（共24分，每小题3分）1．设函数x y z =，则__________________________=dz .2．方程333z e xyz e -=确定()y x z z ,=，则__________________=∂∂x z. 3. 曲线t t x sin -=，t y cos 1-=，2sin 2tz =在π=t 处切线方程为_________________________________________.4. 函数2u x y z =+在点(2,1,0)M 处最大的方向导数为__________________.5. 交换二次积分222(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，得__________________=I .6.设平面曲线)10(:2≤≤=x x y L ，则曲线积分__________________=⎰ds x L.7. 幂级数∑∞=12n n n x n的收敛域是 ________________________.8. 微分方程022=+'-''y y y 的通解为___________________________.二、选择题（共12分，每小题3分）1. 设曲面2232y x z +=在点)5 , 1 , 1(M 处的切平面方程为064=+-+λz y x ，则λ=（ ）.(A) 15- (B) 0 (C) 5- (D) 52. 函数),(y x f 在点),(y x 处可微是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（ ）. (A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件3. 设曲线L 是单位圆周122=+y x 按逆时针方向，则下列曲线积分不等于零的是（ ）.(A) ds y L⎰ (B) ds x L⎰ (C) dx y xdy L⎰+ (D) ⎰+-L y x ydxxdy 224. 下列级数中收敛的是（ ）.(A) ∑∞=122n n n (B) ∑∞=+12n n n(C) ∑∞=+1)2121(n n n (D) ∑∞=133n n n三、解答题：(共59分)1.（7分）求二元函数()3132,23---=y x xy y x f 的极值. 2. （7分）设函数2,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()v u f ,具有二阶连续偏导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂2 , .3．（7分）计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2，其中D 是由圆周422=+y x 与y 轴所围成的右半区域.4．（7分）将函数())1ln(x x f +=展成1-x 的幂级数，并写出可展区间5．（7分）计算曲面积分(2)I xy x y z dS ∑=+++⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.6. （8分） 求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解.7． （8分）计算曲线积分()()y d y xy dx yx x I L⎰+-+-=2322其中L 为曲线22x x y -=从)0,2(A 到)0,0(O 的弧段.8．（8分）利用高斯公式计算曲面积分()()d xdy x z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-+++=33332,其中∑为由上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.四．（5分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数, 且()()f x f x α'<, 其中01α<<. 任取实数0a , 定义1ln (),1,2,3n n a f a n -==.证明：级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.《高等数学》考试试卷A 卷答案一、填空题（共24分，每小题3分） 1. dy xy ydx y dz x x 1ln -+= 2. 3z z yzx e xy ∂=∂- 3.2022-=-=-z y x π4.5. 2(,)xI dx f x y dy =⎰⎰6.()11127. )21, 21[- 8. )sin cos (21x c x c e y x +=二、选择题（共12分，每小题3分） 1. C 2. B 3. D 4. D 三、解答题（共64分） 1. （7分）解： 令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=022022y x f x y f yx 得驻点⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==22y x 2 分 x f xx 2-=，2=xy f ，2-=yy f 4 分 在（0，0）处， 2 , 2 , 0-===C B A04 2<-=-B AC ， ∴（0，0）为非极值点. 5 分在（2，2）处 2 , 2 , 04-==<-=C B A04 2>=-B AC ∴ 1)2 , 2(=f 为函数),(y x f 的极大值. 7 分2.（7分） 解：2121f xy f yx z '+'=∂∂ 3分)21(212f xy f yy y x z '+'∂∂=∂∂∂ ])([ 22])([11222212221221112x f yx f xy f x x f y x f y f y ''+-''+'+''+-''+'-= 223122113212221f y x f y x f yx f x f y ''+''-''-'+'-= 7 分3. （7分） 解：⎰⎰⎰⎰--=224 0222y Dxdx dy y dxdy xy3分⎰--=2 2 22)4(21dy y y 5 分 1564)4(2 0 42=-=⎰dy y y 7 分4. （7分）解：1(1)ln(1)1n n n x x n ∞+=-+=+∑ 11≤<-x 1 分)211ln(2ln )]1(2ln[)1ln(-++=⋅-+=+x x x 3分10)21(1)1(2ln +∞=∑-+-+=n n n x n∑∞=++-+-+=011)1(2)1()1(2ln n n n nx n 6分 1211≤-<-x ⇒ 31≤<-x 7分5.（7分）解：:1z x y ∑=--dS ∴== 2分(2DI xy ∴=+⎰⎰4分1102xDdx xydy dxdy -=+⎰5分()13202xx x dx =-++6分12=7分6.（8分）解 （1）先求微分方程023=+'-''y y y 的通解Y特征方程 0232=+-r r 即 0)1)(2(=--r r ，21=r ，12=rx x e c e c Y 221+= 3 分（2）求原方程的一个特解*y 2 =λ 是特征方程的根，故设 x x e bx ax e b ax x y 222)()(+=+=*5分令bx ax x Q +=2)(，则b ax x Q +='2)(，a x Q 2)(=''将)(x Q '，)(x Q ''代入方程x x Q p x Q ='++'')()2()(λ 得 x b ax a =++22则 ⎩⎨⎧=+=1212b a a ， 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==021b a ， x xe y 221=*7 分 所求通解 x x x xe e c e c y 222121++= 8 分7.（8分） 解：⎰++-+-OAL dy y xy dx yx x )2()(322dxdy x y dxdy y Px Q DD)()(22⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂= 3 分 ⎰⎰⋅=θd ρd cos 2 0220 ρρθπ5 分⎰==20 443cos 4ππθθd 6 分dy y xy dx yx x I OA ⎰+-+--=)2()(43322π 7 分2434320-=-=⎰ππxdx 8 分8. （8分） 解：由高斯公式dV z y x I )333(222⎰⎰⎰Ω++= 3 分2244 03 sin d d r dr ππθφφ=⎰⎰⎰ 6 分192(152π=- 8 分9.（5分）解：对任意设2n ≥,由拉格朗日中值定理，有111212121'()ln ()ln (),()n n n n n n n n n n f a a f a f a a a a a f ξαξ----------=-=-<-2 分其中1n ξ-介于1n a -与2n a -之间. 于是有11101,2,.n n n a a a a n α---<-=3分又级数1101n n a a α∞-=-∑收敛, 由比较审敛法知级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.5分。
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、1 B;2 C; 3 D;4 A.
二、1 2 3 0; 4 0.
三、1解原式 6分
2 解 2分
4分
3解原式 3分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2分
1分
4 解令 则2分
5 1分
6 1分
1分
1分
7 两边求导得 2分
8 1分
1分
2分
9 解 2分
10 4分
11 解原式= = 6分
四、1解令 则 3分
= 2分
2分
1分
2 解 3分
-----------3
3．求摆线 在 处的切线的方程.
解：切点为 -------2
-------2
切线方程为 即 . -------2
4.设 ，则 .
5．设 ，求 .
解： ---------2
--------------2
= ------------2
故 =
四．应用题（每小题9分，3题共27分）
1．求由曲线 与该曲线过坐标原点的切线及 轴所围图形的面积.
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题（共12分）
1．（3分） 平面上过点 ，且在任意一点 处的切线斜率为 的曲线方程为.
2. （3分） .
3. （3分） =.
4. （3分） 的极大值为.
三、计算题（共42分）
1.（6分）求
2.（6分）设 求
3.（6分）求不定积分
4.（6分）求 其中
(D)(D)若可积函数 为奇函数,则 也为奇函数.
4.设 ,则 是 的（C）.
(A)连续点;(B)可去间断点;
(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.
高数考试题库及答案解析
高数考试题库及答案解析一、选择题1. 函数f(x)=x^2-3x+2在区间[1,4]上的最大值是：A. 0B. 3C. 6D. 7答案：D解析：首先求导f'(x)=2x-3，令f'(x)=0，解得x=3/2。
在区间[1,4]上，f'(x)在x<3/2时为负，x>3/2时为正，说明f(x)在x=3/2处取得极小值。
计算f(3/2)=-1/4，再计算区间端点f(1)=0和f(4)=6，可知最大值为f(4)=6。
2. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f'(x)的表达式为：A. cos(x)-sin(x)B. cos(x)+sin(x)C. sin(x)-cos(x)D. sin(x)+cos(x)答案：A解析：根据导数的运算法则，f'(x)=[sin(x)]'+[cos(x)]'=cos(x)-sin(x)。
二、填空题1. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(2,0)处的切线斜率为______。
答案：-12解析：首先求导y'=3x^2-12x+9，将x=2代入y'得到切线斜率为-12。
2. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为______。
答案：1/3解析：根据定积分的计算公式，∫(0,1) x^2 dx = [x^3/3](0,1) = 1/3。
三、解答题1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：函数f(x)的单调增区间为(1,3)，单调减区间为(-∞,1)和(3,+∞)。
解析：首先求导f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0解得x=1,3。
根据导数符号变化，可得单调区间。
2. 求曲线y=x^2-4x+3与直线y=2x平行的切线方程。
答案：切线方程为：x-y-1=0。
解析：曲线y=x^2-4x+3的导数为y'=2x-4，令y'=2得到x=3，此时切点坐标为(3,2)。
大学高数必考试题及答案
大学高数必考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)答案：C2. 二阶常系数线性微分方程 y'' - 4y' + 4y = 0 的特征方程是什么？A. r^2 - 4r + 4 = 0B. r^2 - 4r + 3 = 0C. r^2 - 4r + 5 = 0D. r^2 - 4r + 6 = 0答案：A3. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 在区间 (2, 5) 上是增函数还是减函数？A. 增函数B. 减函数答案：A4. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 求不定式 0/0 的极限B. 求不定式∞/∞ 的极限C. 求定值 1/2 的极限D. 求定值 3 的极限答案：A5. 曲线 y = x^2 与直线 y = 2x 在点 (1, 2) 处的切线斜率分别为k1 和 k2，那么 k1 - k2 的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B6. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑((-1)^n)/nB. ∑n^2C. ∑1/nD. ∑(1/n^2)答案：D7. 函数F(x) = ∫(1, x) e^t dt 的原函数是什么？A. e^x - 1B. e^xC. e^x + 1D. e^x - e答案：A8. 以下哪个选项是泰勒公式的余项公式？A. R_n(x) = f^(n+1)(ξ)/(n+1)! * (x-a)^(n+1)B. R_n(x) = f^(n+1)(ξ)/(n+1) * (x-a)^(n+1)C. R_n(x) = f^(n)(ξ)/n! * (x-a)^nD. R_n(x) = f^(n)(ξ)/(n-1)! * (x-a)^(n-1)答案：A9. 以下哪个选项是多元函数偏导数的定义？A. ∂f/∂x = lim(h->0) (f(x+h, y) - f(x, y))/hB. ∂f/∂y = lim(h->0) (f(x, y+h) - f(x, y))/hC. ∂f/∂x = lim(h->0) (f(x, y+h) - f(x, y))/hD. ∂f/∂y = lim(h->0) (f(x+h, y) - f(x, y))/h答案：A10. 以下哪个选项是格林公式的应用条件？A. 区域 D 是单连通的B. 区域 D 是多连通的C. 曲线 C 是封闭的D. 曲线 C 是不封闭的答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 在 x = 1 处取极值，则其一阶导数 f'(x) 在 x = 1 处的值为 _______。
(完整)高等数学考试题库(附答案)
高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。
2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。
3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。
6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。
7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。
8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。
9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。
10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。
11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。
12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。
13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。
18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。
20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷及答案详解一、选择题1. 该题为微分求导题，考察对基本微分法则的掌握。
解答：根据指数函数的求导法则，对指数函数f(x)进行求导，得到f'(x)=3x^2。
将x=2代入f'(x)，得到f'(2)=3×2^2=12。
因此，选项C为正确答案。
2. 该题为函数极值题，考察对函数极值点的判断和求解。
解答：首先计算函数f(x)的导函数f'(x)。
根据导数定理，函数在极值点处的导数为0。
将f'(x)=2x-3=0，求解得到x=3/2。
接下来通过二阶导数的符号判断极值类型。
计算f''(x)=2，由此可知二阶导数恒为正，故x=3/2是函数f(x)的极小值点。
因此，选项A为正确答案。
3. 该题为定积分计算题，考察对定积分的理解和计算。
解答：根据定积分的定义，将被积函数f(x)=2x在区间[1,3]上进行积分，即∫(1->3) 2x dx。
对函数f(x)进行不定积分，得到F(x)=x^2+C。
将上限3代入不定积分结果，再减去下限1代入不定积分结果，得到∫(1->3) 2x dx=F(3)-F(1)=(3)^2+C-(1)^2+C=9+C-1-C=8。
因此，选项B为正确答案。
4. 该题为二重积分计算题，考察对二重积分的理解和计算。
解答：首先对被积函数f(x,y)=x+2y进行内积分，得到f_1(y)=xy+2y^2/2=x(y+y^2)。
接下来对内积分结果进行外积分，即对f_1(y)在区间[0,1]上积分，得到∫(0->1) x(y+y^2) dy。
先对y进行积分，得到∫(0->1) (xy+xy^2) dy=x/2 + x/3=5x/6。
因此，选项C为正确答案。
二、填空题1. 该题为极限计算题，考察对极限的求解。
解答：将x趋近于无穷大时，分子和分母的最高次项均为x^4，根据极限的最高次项的性质，可以将该极限简化为计算3/(-2)= -3/2。
大学高数考试题及答案
大学高数考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 4答案：A2. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率为（）。
A. 1B. 3C. 9D. 27答案：C3. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B4. 函数y=ln(x)的不定积分为（）。
A. x^2B. 1/xC. x*ln(x)D. x*ln(x) + x答案：D二、填空题（每题5分，共20分）5. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的值为______。
答案：06. 曲线y=x^2-4x+3与x轴的交点坐标为______。
答案：(1,0), (3,0)7. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值为______。
答案：08. 定积分∫(0到1) x dx的值为______。
答案：1/2三、解答题（每题15分，共40分）9. 求函数f(x)=2x^3-6x^2+5x+1在区间[0,2]上的最大值和最小值。
答案：首先求导数f'(x)=6x^2-12x+5。
令f'(x)=0，解得x=1或x=5/6。
计算f(0)=1，f(1)=0，f(2)=9，f(5/6)=-1/24。
因此，最大值为9，最小值为-1/24。
10. 计算定积分∫(0到π/2) sin x dx。
答案：根据定积分的性质，我们有∫(0到π/2) sin x dx = [-cosx](0到π/2) = 1。
11. 求曲线y=x^2与直线y=2x在第一象限内的交点坐标。
答案：联立方程组x^2=2x，解得x=0或x=2。
因为要求第一象限内的交点，所以x=2，y=4。
交点坐标为(2,4)。
12. 计算级数∑(1到∞) (1/n^2)的和。
答案：这是一个p级数，其中p=2>1，因此级数收敛。
其和为π^2/6。
2023高等数学考卷【答案详解】
2023高等数学考卷（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题2分，共30分）1. 函数f(x) = x^3 3x在x=0处的导数是（）A. 3B. 0C. 3D. 无法确定2. 设函数f(x) = e^x，则f''(0)等于（）A. eB. e^2C. 1D. 03. 下列级数中收敛的是（）A. Σ(1/n)B. Σ(n)C. Σ(1/n^2)D. Σ(n^2)4. 若行列式|A|=6，则|3A|等于（）A. 6B. 18C. 6D. 185. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=0，则A的秩r(A)（）A. r(A)=0B. r(A)=1C. r(A)=2D. r(A)=3二、判断题（每题1分，共20分）6. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在该区间上必有最大值和最小值。
（）7. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处必连续。
（）8. 若向量组α1, α2, , αn线性相关，则其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。
（）9. 若矩阵A为对称矩阵，则A的特征值必定为实数。
（）10. 若f(x)为偶函数，则f'(x)为奇函数。
（）三、填空题（每空1分，共10分）11. 设函数f(x) = x^2 2x + 1，则f'(x) = _______。
12. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，则|A| = _______。
13. 设向量α = (1, 2)，则2α = _______。
14. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = _______。
15. 设积分∫(1/x)dx = _______ + C。
四、简答题（每题10分，共10分）16. 简述罗尔定理的内容及其应用。
17. 简述泰勒公式的基本形式。
五、综合题（1和2两题7分，3和4两题8分，共30分）18. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的极值。
高数联考试题及答案解析
高数联考试题及答案解析一、选择题1. 函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7 \)的导数为：A. \( 6x^2 - 6x + 5 \)B. \( 6x^2 - 5x + 7 \)C. \( 6x^2 - 6x + 7 \)D. \( 6x^3 - 6x^2 + 5 \)答案：A解析：根据导数的运算法则，\( f'(x) = 6x^2 - 6x + 5 \)。
2. 以下哪个级数是收敛的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \)答案：D解析：根据p-级数的收敛性，当p > 1时，级数收敛。
选项D中的级数是一个p-级数，其中p=4，因此收敛。
二、填空题1. 若\( \int_{0}^{1} x^2 dx = a \)，则a的值为______。
答案：\( \frac{1}{3} \)解析：根据定积分的计算公式，\( \int_{0}^{1} x^2 dx =\frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{3} \)。
2. 函数\( y = \ln(x) \)的定义域为______。
答案：\( (0, +\infty) \)解析：自然对数函数的定义域是所有正实数。
三、解答题1. 求函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)的极值点。
答案：极小值点为x=1，极大值点为x=3。
解析：首先求导数\( f'(x) = 3x^2 - 12x + 11 \)，令导数等于0解得\( x = 1 \)或\( x = 3 \)。
然后计算二阶导数\( f''(x) = 6x - 12 \)，对于\( x = 1 \)，\( f''(1) < 0 \)，所以\( x = 1 \)是极大值点；对于\( x = 3 \)，\( f''(3) > 0 \)，所以\( x = 3 \)是极小值点。
高等数学试题及答案详解
高等数学试题及答案详解一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义中，如果函数f(x)在某点x=a的极限存在，则对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
这个定义说明了极限的什么性质？A. 唯一性B. 有界性C. 局部性D. 连续性答案：A2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分表示的几何意义是什么？A. 曲线y=x^2与x轴围成的面积B. 曲线y=x^2与y轴围成的面积C. 曲线y=x^2与x轴在区间[0,1]上的面积D. 曲线y=x^2与y轴在区间[0,1]上的面积答案：C3. 微分方程dy/dx=2x的通解是？A. y=x^2+CB. y=2x^2+CC. y=x^2+CD. y=x+C答案：A4. 以下哪个函数是奇函数？A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x答案：B5. 函数f(x)=sin(x)的导数是？A. cos(x)B. -sin(x)C. sin(x)D. -cos(x)答案：A6. 函数f(x)=e^x的不定积分是？A. e^x+CB. e^(-x)+CC. -e^x+CD. -e^(-x)+C答案：A7. 以下哪个级数是收敛的？A. 1+1/2+1/4+1/8+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1+2+3+4+...D. 1-1/2+1/3-1/4+1/5-...答案：D8. 函数f(x)=ln(x)的定义域是？A. (-∞,0)B. (0,+∞)C. (-∞,+∞)D. [0,+∞)答案：B9. 函数f(x)=x^3-3x+2的极值点是？A. x=1B. x=-1C. x=2D. x=-2答案：A10. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x)=x^2B. f(x)=sin(x)C. f(x)=ln(x)D. f(x)=e^x答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x)=x^3的二阶导数是________。
高等数学试卷及解析
高等数学试卷及解析高等数学试卷及解析是一份用于评估学生对高等数学知识和技能的测试文件。
这份试卷包含多道数学问题，目的是考察学生在高等数学领域的理解和应用能力。
以下是一份高等数学试卷及解析的示例：题目一：求函数的极限已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，请计算$$\lim_{x\to 2}f(x)$$的值。
解析：将x代入函数f(x)，得到$$f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 9$$。
因此，$$\lim_{x\to 2}f(x)$$的值为9。
题目二：求曲线的切线方程已知曲线C的方程为$$y = x^3 - 2x^2 + 3x - 1$$，求曲线C在点(1, 1)处的切线方程。
解析：首先，求曲线C在点(1, 1)处的斜率。
对方程$$y = x^3 -2x^2 + 3x - 1$$求导，得到$$y' = 3x^2 - 4x + 3$$。
将x = 1代入$$y'$$，得到$$y'(1) = 3(1)^2 - 4(1) + 3 = 2$$。
因此，曲线C在点(1, 1)处的切线的斜率为2。
其次，使用点斜式求得切线方程。
切线方程的斜率为2，过点(1, 1)，代入点斜式方程可得$$y - 1 = 2(x - 1)$$。
化简得到切线方程为$$y = 2x - 1$$。
题目三：求不定积分求$$\int (x^2 + 2x + 1)dx$$。
解析：对每一项进行不定积分，得到$$\int (x^2 + 2x + 1)dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C$$，其中C为常数。
以上是一份高等数学试卷及解析的示例，目的是帮助学生巩固和加深对高等数学知识的理解。
通过解析每道题目，学生可以了解问题的解题思路和方法，进而提升自己的数学能力。
注意：本文档中的题目及解析仅为示例，实际试卷题目和解析内容可能与示例不同。
请根据实际情况进行编写和解答。
高校数学期末考试题及答案
高校数学期末考试题及答案第一题：选择题1. 已知函数 f(x) = 2x^2 + bx + c 的图像关于 x 轴对称，且在点 (1, 3) 处有切线。
则 b 和 c 的值分别是：A) b = -4, c = 1B) b = 4, c = -1C) b = -4, c = -1D) b = 4, c = 1解析：由于函数的图像关于 x 轴对称，所以 c = 0。
切线的存在意味着函数在 (1, 3) 处的导数存在，即 f'(1) 存在。
计算 f'(x)，得到 f'(x) = 4x + b。
代入 x = 1，得到 4 + b = 3，解得 b = -1。
因此，选项 C 正确。
2. 在等差数列 {an} 中，已知 a1 = 5，公差 d = 2。
若 a10 + a12 = 26，则 a16 的值等于：A) 34B) 36C) 38D) 40解析：根据等差数列的性质，可以得到 a10 = a1 + 9d 和 a12 = a1 +11d。
代入已知条件，得到 5 + 9(2) + 5 + 11(2) = 26，简化得到 20 + 24= 26，显然不成立。
因此，选项中没有正确答案。
第二题：计算题1. 计算函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1 在区间 [-1, 2] 上的定积分值。
解析：首先，求该函数的原函数 F(x)。
根据函数的幂次，可以得到F(x) = 1/2x^4 - x^3 + 5/2x^2 - x + C，其中 C 为常数。
然后，根据积分的性质，计算定积分值：∫[-1,2] f(x) dx = [F(x)]|[-1,2]= F(2) - F(-1)= (1/2(2)^4 - (2)^3 + 5/2(2)^2 - 2) - (1/2(-1)^4 - (-1)^3 + 5/2(-1)^2 - (-1))= 12因此，函数在区间 [-1, 2] 上的定积分值为 12。
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A. B. C. D.
2. 当 时，与 等价的无穷小量是：( )
A. B. C. D.
3. 设 在 的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( )
A. 存在 B. 存在
C. 存在 D. 存在
4. 函数 在区间 上的最小值是： ( )
A. 0B. 没有 C. 2D.
农林大学2016-2017学年第一学期期中考试
参考答案
一、单项选择题
D B D D A C D
二、填空题（每小题3分，共21分）
1. 1 2．2； 3.7； 4. ；
5. ； 6. ； 7.
三、求下列极限（每小题6分, 共18分）
1. 求极限
解：原式= ……… 3分
……… 4分
……… 6分
2. 求极限
从而可知：
又由 在 点二阶可导可得： ，从而 ……… 6分
七、（本题5分）证明：当 时， ．
证明：令 ，则 ……1分
因为 ，从而 在 时单调递增，……… 3分
从而 ，从而 ……… 5分
八、（本题5分）
设函数 在 上连续，在 可导，且 ， .试证：必存在一点 ，使得 .
证明：因为函数 在 上连续，从而函数 在 上连续，
故在 上有最大值和最小值，分别设为 ，
于是 ，……… 2分
从而由介值定理可得，至少存在一点 ，
使得 ，……… 3分
可验证 在 上满足罗尔定理的条件，
故存在 ，使得 .……… 5分
3.设函数f(x)= 在点x=2处连续，则 .
4.函数 的间断点为.
5. 函数 的单调减区间为.
6. 设函数 ，则 .
7．椭圆曲线 在 相应的点处的切线方程为.
得分
三、求下列极限（每小题6分, 共18分）
1. 求极限
2. 求极限
3. 求极限
四、计算下列导数或微分（每小题分6, 共18分）
1. 设函数 ,求 与 .
5. 函数 在区间 上应用罗尔定理时，所得到的中值 ( )
A. 0B. 1 C. D. 2
6．设函数 处处可导，那么： ( )
A． B． C． D．
7. 设 为函数 的极值点，则下列论述正确的是( )
A． B． C． D．以上都不对
得分
二、填空题（每小题3分，共21分）
1. 极限 =.
2．极限 = .
……… 4分
可知 函数 在 和 上是凹的，在 是凸的，拐点为 . ……… 6分
六、（本题6分）
设函数 在 上二阶可导，函数 ，试确定常数 的值，使得函数 在 点二阶可导.
解：因为 在 点二阶可导，所以， 在 点一阶可导、连续。
由 在 点连续可得： ，从而 ……2分
由 在 点可导可得： ，从而 ……… 4分
农林大学2016-2017学年第一学期期中考试
课程名称：高等数学Ｉ课程类别：必修考试方式：闭卷
注意事项：1、本试卷满分100分。
2、考试时间120分钟。
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
得分
得分
评阅人
一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号。每小题3分，共21分）
解：原式= ……… 2分
= ……… 5分
……… 6分
3. 求极限
解：原式= ……… 2分
= ……… 4分
= ……… 6分
四、计算下列导数或微分（每小题分6, 共18分）
1. 设函数 , 求 与 .
解： ……… 4分
……… 6分
2.设 是由方程 确定的隐函数，求 .
解：方程两边同时对变量 求导并化简可得：
2.设 是由方程 确定的隐函数，求 .
3.计算函数 的一阶导数.
五、（本题6分）求函数 的凹凸区间与拐点.
得分
得分
六、（本题6分）
设函数 在 上二阶可导，函数 ，试确定常数 的值，使得函数 在 点二阶可导.
得分
七、（本题5分）证明：当 时， ．
得分
八、（本题5分）设函数 在 上连续，在 可导，且 ， .试证：必存在一点 ，使得 .
从而得到： ，……… 2分
上式继续对变量 求导可得： ……… 4分
化简上式并带入 可得： ……… 6分
3.计算函数 的一阶导数.
解：两边同时取对数得： ………(2分)
两边同时对 求导得： ………(5分)
从而得 ………(6分)
五、（本题6分）求函数的凹凸区间与拐点.
解：函数的定义域为 ， ，
， 不存在。 ……… 2分