第六章-变异指标
第六章 离散程度的测度
x)
n 1 (10 8.5) (5 8.5) (8 8.5)
2 2 2
6 1
8.3
s
8.3 2.88
第四节 相对离散程度：离源自文库系数
• • 一、离散系数(coefficient of variation)定义： 指标准差与其相应的均值之比。
对数据相对离散程度的测度 消除了数据水平高低和计量单位的影响 用于对不同组别数据离散程度的比较
（二）计算公式
未分组数据
n
xi x n
Md
i 1
M
组距式分组数据
k
i
x fi
Md
i 1
n
例三：
某电脑公司销售量数据平均差计算表 按销售量分组 140—150 150—160 160—170 170—180 180—190 190—200 200—210 210—220 220—230 230—240 合计 组中值(Mi) 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 — 频数(fi) 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 120
Vr
200 112 200 112 200
1
0.44 44%
在所调查的200人当中，关注非商品广告的人数 占44%，异众比率还是比较大。因此，用“商品 广告”来反映城市居民对广告关注的一般趋势， 其代表性不是很好
第六章 变异度指标讲解
二、四分位差
1、四分位差是四分位数中间两个分位之差。 四位差Q=第三个四分位数Q3—第一个四分位数Q1 实质上是两端各去掉四分之一的数据以后的极差，表示占全
部数据一半的中间数据的离散程度。四分位差越大，表示数 据离散程度越大。
2、适用条件：四分位差是一种顺序统计量，适用于定序数 据和定量数据。尤其是当用中位数来测度数据集中趋势时。
三、平均差
1、平均差是总体各单位标志值对其算术平数的离 差绝对值的算术平均数。反映各个数据与其均值的 平均差距，通常以A.D表示。计算公式为：
未分组数据
已分组数据
n
| xi x | A.D i1
n
nFra Baidu bibliotek
| xi x | fi A.D i1
n
fi
i 1
平均差含义清晰，能全面地反映数据的离散程度。 但取离差绝对值进行平均，数学处理上不够方便， 在数学性质上也不是最优的。
计算月工资水平的平均差
月工资X 800 1000 1200 1500 2000 2500 合计
员工数f 5 10 20 7 5
3
50
计算月工资水平的平均差
月工资X 800 1000 1200 1500 2000 2500 合计
员工数f 5 10 20 7 5 3 50
X X
第六章 变异指标
一,变异指标的概念(P132)及作用(P132-134) 二,变异指标的种类及计算方法
全距 四分位差 平均差 (一)全距
标准差
变异系数
最大变量值与最小变量值之差
优点:计算简便,意义明确 优点:计算简便, 不足: 不足:不能全面反映各单位标志值的变异情况
( 二 )平
涵 义
均
差
是总体各单位标志值对算术平均数的 离差绝对值的算术平均数. 离差绝对值的算术平均数. 根据总体单位所有标志值来计算差异程度 根据总体单位所有标志值来计算差异程度 以算术平均数为计算的标准 以算术平均数为计算的标准 对离差取绝对值 对离差取绝对值 简单平均差公式:
2
x
8 12 14 15 16 合 计
f
11 14 7 6 2 40
xf
88 168 98 90 32 476
x2 f
704 2016 1372 1350 512 5954
1,计算工人平均日产量:
340 ∑ xf x = 40 f ∑ 乙班: 乙班: x = 476 40 2,计算日产量的标准差:
2
σ= x x
2
()
2
=
∑
n
x
2
∑ x n
2
或
=
∑ ∑
x2 f f
∑ xf ∑f
变异指标练习题
第六章变异指标（一）填空题
1.平均指标说明分布数列中变量值的（），而标志变异指标则说明变量值的（）。
2.标志变动度与平均数的代表性成（）。
3.全距是总体中单位标志值的（）与（）之差。
4.全距受（）的影响最大。
5.是非标志的平均数为（），标准差为（）。
7.标准差系数是（）与（）之比，其计算公式为（）。
（二）单项选择题
1.标志变异指标中易受极端变量值影响的指标有（）。
A、全距
B、标准差
C、平均差
D、平均差系数
2.标准差与平均差的主要区别是（）。
A、计算条件不同
B、计算结果不同
C、数学处理方法不同
D、意义不同
3.标志变异指标中的平均差是（）。
A、各标志值对其算术平均数的平均离差
B、各变量值离差的平均数
C、各变量值对其算术平均数离差的绝对值的绝对值
D、各标志值对其算术平均数离差绝对值的平均数
4.平均差的主要缺点是（）。
A、与标准差相比计算复杂
B、易受极端变量值的影响
C、不符合代数方法的演算
D、计算结果比标准差数值大
5.用是非标志计算平均数，其计算结果为（）。
A、
q
p+
B、
q
p- C、p
-
1
D、
p
6.计算平均差时对每个离差取绝对值是因为（）。
A、离差有正有负
B、计算方便
C、各变量值与其算术平均数离差之和为零
D、便于数学推导
7．标准差是其各变量值对其算数平均数的（）。
A、离差平均数的平方根
B、离差平方平均数的平方根
C、离差平方的平均数
D、离差平均数平方的平方根
8．计算离散系数是为了比较（）。
A、不同分布数列的相对集中程度
B、不同水平的数列的标志变动度的大小
C、相同水平的数列的标志变动度的大小
D、两个数列平均数的绝对离差
《统计基础与方法》习题06
第六章标志变异指标
一、本章重点
1.平均指标描述的是总体的集中趋势，而标志变异指标描述的是总体的离中趋势。它们从两方面来反映总体的分布特征。其作用首先是衡量平均指标代表性大小的一种尺度，其次还可以反映社会经济活动过程的均衡性与协调性，第三是抽样方案设计的基本因素之一。
2.全距、全距系数；四分位差、四分位差系数；平均差、平均差系数是测定标志变异程度的最简便的方法。但由于其数理依据欠科学，在反映标志差异程度方面代表性较差。
3.标准差与标准差系数是反映标志差异程度的主要指标。它比前面介绍的其它指标都科学。标准差就是标志值与其算术平均数离差的平方的算术平均数的平方根。标准差系数是标准差与其算术平均数之比，是反映标志差异程度方面目前最科学的统计指标之一。
4.要掌握是非标志的平均数与标准差的计算。是非标志的最大值是0.25。
二、难点释疑
1.全距、四分位差、平均差、标准差在反映标志变异程度方面各
有优缺点。前者计算简单、反映生动鲜明，但是不准确。标准差比较准确，但计算过程复杂。
2.标准差系数的应用。为了对比和分析不同平均水平总体的标志差异程度，就需要使用标准差系数。它是标志变异的相对指标。它既消除了变量数列差异的影响，也消除了变量数列水平的影响。
三、练习题
（一）填空题
1.平均指标说明分布数列中变量值的（），而标志变异指标则说明变量值的（）。
2.（）反映总体各单位某一数量标志值的共性，也叫集中趋势。（）可以反映他们之间的差异性，也叫（）。
3.标志变异指标是衡量（）的尺度，它还可以表明生产过程的（）或其它经济活动过程的（）。
变异指标和变量指标
变异指标和变量指标
变异指标和变量指标是统计学中两个重要的概念。
变异指标，也称为变异性或离散性，是用于描述一组数据中各数据点之间差异程度的统计指标。它反映了一组数据的分散程度或离散程度。例如，在身高数据中，如果有些人的身高是160cm,有些人的身高是170cm,有些人的身高是180cm,那么这组身高的变异指标就会比较高，说明这些人的身高存在较大的差异。变异指标常用的有极差、四分位数间距、方差、标准差等。
变量指标则是用于描述某个或某些被研究个体特征的指标，这些特征被称为变量。变量的观察值称为变量值。例如，在年龄数据中，“年龄”这个变量可以用来描述每个人的年龄大小，“性别”这个变量可以用来描述每个人的性别。在统计学研究中，研究者会根据研究目的选择相应的变量进行研究。变量的类型有很多，包括分类变量、连续变量、二元变量等。
变异指标和变量指标是统计学中的重要概念，它们在数据分析和研究中扮演着重要的角色。
变异指标是用来描述一组数据中各数据点之间差异程度的统计指标。它可以帮助我们了解数据的离散程度或分散程度。在研究实际问题时，变异指标可以帮助我们更好地理解数据的分布情况，从而更好地分析数据的特征和规律。例如，在研究人口年龄结构时，我们可以使用变异指标来衡量不同年龄段人口分布的差异程度，从而更好地了解人口年龄结构的特征和变化趋势。
变量指标则是用来描述某个或某些被研究个体特征的指标。这些特征被称
为变量，它们的观察值称为变量值。变量指标在统计学中被广泛使用，因为它们可以帮助我们更好地了解数据的分布情况和规律。例如，在研究人类行为时，我们可以使用变量指标来描述人的性别、年龄、职业等特征，从而更好地了解人类行为的特征和规律。
第6章变异指标及答案
第6章变异指标及答案
第六章变异指标
⼀、本章重点
1.平均指标描述的是总体的集中趋势，⽽变异指标描述的是总体的离中趋势。它们从两⽅⾯来反映总体的分布特征。其作⽤⾸先是衡量平均指标代表性⼤⼩的⼀种尺度，其次还可以反映社会经济活动过程的均衡性与协调性，第三是抽样⽅案设计的基本因素之⼀。
2.全距、全距系数；四分位差、四分位差系数；平均差、平均差系数是测定标志变异程度的最简便的⽅法。但由于其数理依据⽋科学，在反映标志差异程度⽅⾯代表性较差。
3.标准差与标准差系数是反映标志差异程度的主要指标。它⽐前⾯介绍的其它指标都科学。标准差就是标志值与其算术平均数离差的平⽅的算术平均数的平⽅根。标准差系数是标准差与其算术平均数之⽐，是反映标志差异程度⽅⾯⽬前最科学的统计指标之⼀。
4.要掌握是⾮标志的平均数与标准差的计算。是⾮标志的最⼤值是0.25。
⼆、难点释疑
1.全距、四分位差、平均差、标准差在反映标志变异程度⽅⾯各有优缺点。前者计算简单、反映⽣动鲜明，但是不准确。标准差⽐较准确，但计算过程复杂。
2.标准差系数的应⽤。为了对⽐和分析不同平均⽔平总体的标志差异程度，就需要使⽤标准差系数。它是标志变异的相对指标。它既消除了变量数列差异的影响，也消除了变量数列⽔平的影响。
三、练习题
（⼀）填空题
1.平均指标说明分布数列中变量值的（集中趋势），⽽标志变异指标则说明变量值的（离中趋势）。
2.（平均指标）反映总体各单位某⼀数量标志值的共性，也叫集中趋势。（变异指标）可以反映他们之间的差异性，也叫（离中趋势）。
3.标志变异指标是衡量（平均指标代表性⼤⼩）的尺度，它还可以表明⽣产过程的（均衡性）或其它经济活动过程的（协调性）。
第六章 变异度指标
X A X A X X N N
___
2
___ 2
X A X A N
___
2
X X N X的方差
___
2
方差数学性质(三)
2 i
2
（x x） x
2 i 1 i
n
n
n
i 1
n
( x)
2
2
（xi x ） f i
2 i 1
n
f
i 1
n
xi f i
2 i 1 n
n
i
f
i 1
( x) 2
i
注意：样本方差（通常用 S2 表示）分母应为（n -1）
2 标准差
未分组数据
已分组数据
A.D
i 1
A.D
i 1
| xi x | n
n
| xi x | f i
i 1
n
fi
n
平均差含义清晰，能全面地反映数据的离散程度。 但取离差绝对值进行平均，数学处理上不够方便， 在数学性质上也不是最优的。
计算月工资水平的平均差
月工资X 800 1000 1200 1500 2000 2500 合计 员工数f 5 10 20 7 5 3 50
第六章 变异度指标
数据的分散程度是数据分布的另一个重要特征，它所反映 的是各变量值远离中心值的程度，因此称为离散趋势。
一、变异度指标的概念
——反映总体各标志值间差异程度的综合指标
二、变异度指标的作用
1、衡量平均数代表性 ——变异度指标值越大，平均数的代表性越小。 2、用来研究现象的稳定性和均衡性 3、是统计分析的一个基本指标
三、变异度指标的种类
1、全距和四分位差 2、平均差、标准差和方差 3、偏度和峰度
第二节 变异度指标的计算
一、全距（R）
公式： R =最大值—最小值 优点：计算简便
缺点：易受极端值的影响
举例：5名学生的成绩为50、69、76、88、97
则R=97-50=47
组距数列的全距R＝最高组的上限－最低组的下限 全距反映总体标志值的变动范围，其数值越大， 平均数代表性越小。
200
按日产量分组 （公斤） 20—30 30—40 40—50 50—60
合 计
计算过程： 按日产量分组 工人数f （公斤） 20—30 10 30—40 70 40—50 90 50—60 30 合 计 200 组中 日产总 x xf 值x 量xf 25 250 170 35 2450 490 45 4150 270 55 1650 390 — 8400 1320
∑x 甲组：x = n = 160 5 = 32（件） = 32（件）
第六章 变异度指标
未分组: 计算例1中的各组的方差和标准差,并用简便的方法验 证. 分组资料: 计算例3中的方差和标准差,
表3-3 按零件数分组 105~110 110~115 115~120 120~125 125~130 130~135 135~140 合计 某车间50名工人日加工零件标准差计算表 某车间 名工人日加工零件标准差计算表 组中值(Xi) 组中值( 107.5 112.5 117.5 122.5 127.5 132.5 137.5 — 频数(Fi) 频数( 3 5 8 14 10 6 4 50 (Xi- X )2 246.49 114.49 32.49 0.49 18.49 86.49 204.49 — (Xi- X )2Fi 739.47 572.45 259.92 6.86 184.90 518.94 817.96 3100.5
Var
2 σ
MSD
σ
总体方差和标准差
(计算公式)
方差的计算公式
未分组数据：
标准差的计算公式
未分组数据：
σ2 =
∑(Xi X )
i=1
N
2
N
σ=
( Xi X )2 ∑
i=1
N
N
( Xi X )2 F ∑ i
i=1 K
组距分组数据：
组距分组数据：
2
σ = &
2
第六章 标志变动度
2.加权平均差
当所给资料进行了分组，形成了变量数列 后，平均差要采用加权式来计算。
加权平均差
xx f f
例：某企业100名职工的月消费支出额情况 如下，试计算职工月消费支出额的平均差。
xf 4200 x 420(元) 平均月支出额 某企业100名职工的月消费支出额情况如下： f 100
合计
15 100
550 —
8250 42000
130 —
1950 6600
三标准差
标准差就是各个变量值与其算术平均数的离差 平方的算术平均数的平方根，它是测定标志 变动度最常用的指标，也称为均方差。 标准差计算方法有以下两种： 1.简单标准差
( x x)
n
2
举例
2
2.加权标准差
由于所给资料不同，平均差可分为简单平均差和 加权平均差两种。 1.简单平均差 2.加权平均差
1.简单平均差
当资料未分组时，采用简单平均差的方法 计算。 计算公式为： 简单平均差=
举例
x x n
甲、乙两班组平均工资均为 900元 例：某车间两个班组工人工资如 下
甲班组 xx 600乙班组 甲班组平均差 120 (元) 工资额 离差 离差 离差绝对值 工资额 离差绝对值 n 5 ︳ x － ︳ x x x－ x x－ x ︳x－ x ︳ x
大学统计学复习资料
第一章绪论
统计学：是指人们对客观事物的数量表现、数量关系和数量变化进行描绘和分析的计量活动；简言之，是指对客观事物的数量方面进行核算和分析。
总体：指在某种共性基础上由许多个别事件所组成的整体。
总体单位：构成总体的个别事物。总体和总体单位都是客观存在的食物，是统计学研究的客体。
无限总体：总体单位无限多的总体。
有限总体：总体单位数有限而可数的的总体。
标志：说明总体单位特征的名称。可分为数量标志和品质标志。
变异：总体单位之间品质和数量的差异，即可变标志在在总体各单位之间所表现出来的差异。
数量标志：凡反映总体单位数量特征，需要用数字回答的标志。
品质标志：凡反映总体单位属性（品质）特征，只能用文字来回答问题的标志。可分为不变标志和可变标志。
不变标志：所有总体单位都共同具有的特征。
可变标志：在总体各单位之间必然存在差异的标志。
变量：可变的数量标志。
指标：说明总体数量特征的概念。
第二章统计调查
统计调查误差：指调查所得的统计数字与调查对象的实际数量之间的差异，即调查所得的数量大于或小于调查对象的实际数量之差。
普查：为搜集某种社会经济现象在某时某地的情况而专门组织的一次性全面调查。其特点是涉及面广、工作量大、时间性强、耗费较多、组织工作复杂。
重点抽样：只对总体中为数不多但影响颇大的重点单位进行研究的一种非全面调查。
典型抽样：根据对调查对象的初步了解，有意识地从中挑选有代表性的单位进行研究的一种非全面调查。
第三章统计整理
统计整理：是根据统计研究的目的的要求对统计调查所取得的各项资料进行科学的分组和汇总的工作过程。
统计学课后答案
第一章总论
2. 统计有几种涵义？各种涵义的关系如何？
统计的三种涵义是指统计工作、统计资料及统计学。统计工作是统计的实践活动，统计资料是统计工作的成果，统计学是统计实践活动的科学总结，反过来又指导统计实践。
8. 什么是统计总体、总体单位？总体和单位的关系如何？
统计总体是指客观存在的，在同一性质基础上结合起来的许多个别事物的整体。构成统计总体的每个基本单位或元素称为总体单位。总体和单位的关系：（1）总体是由单位构成的；（2）总体和总体单位不是固定不变的，而是随着统计任务的不同，可以变换位置；（3）统计总体与总体单位是互为存在条件地联结在一起的，没有总体单位，总体也就不存在了。
10. 什么是标志？标志有几种？分别举例说明。
标志是说明总体单位特征的名称。标志有品质标志与数量标志之分。品质标志表示事物的质的特征，是不能用数值表示的，如人的性别、工人的工种等。数量标志表示事物的量的特征，是可以用数值表示的，如人的年龄、企业的产值等。
第二章统计调查
1. 调查对象、调查单位以及填报单位的关系是什么？试举例说明。
调查对象是需要调查的那些社会经济现象的总体。调查单位是调查对象中所要调查的具体单位，是调查项目的直接承担者，它可能是全部总体单位，也可能是其中的一部分。填报单位是负责向上报告调查内容的单位，又称报告单位。
调查对象和调查单位在同一次调查中是包含和被包含的关系。确定调查对象是要划清所要研究的总体界限，确定调查单位是要明确调查标志有谁来承担。填报单位和调查单位有联系也有区别，二者有时一致，有时不一致。
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解题过程如下：
甲 日产 量 班 工人 数 xf 乙 班
x
5
f
x2 f
日产 工人 量 数
x
f
xf
88
98 168
x2 f
704 1372
2016 1350 512 5954
7 9
10 13
合计
30 150 10 70 490 12 108 972 8 80 800 4 52 676 40 340 3088
解：R X max X min 110 10 90 10
计算该公司该季度计划完成程度的全距。 120 80 40 ﹪
全距的特点
优点:计算方法简单、易懂；
缺点: ①易受极端数值的影响，不能全
面反映所有标志值差异大小及分布状况， 准确程度差； ②受个别极端值的影响过于显著， 不 符合稳健性和耐抗性的要求 往往应用于生产过程的质量控制中
1
二班成绩的标准差系数为：
2
表性比二班大。
例：
已知甲乙两个班组工人日产资料如下：
甲 班 日产量 工人数 （件） （人） 5 6 7 10 9 12 10 8 13 4 合计 40 乙 班 日产量 工人数 （件） （人） 8 11 12 14 14 7 15 6 16 2 合计 40
要求：比较一下哪个班组工人的平均日 产量的代表性高？
3 3
标准差的简捷计算
目的: 避免离差平方和计算过程的出现 变量值平方 的平均数
X X
2
N
2
变量值平均 数的平方
2
简单标准差 加权标准差
X
2
X N
2
X f f
Xf f
2
大象 500kg
X fi
2
fi
i 1
第 i 组的变量 第 i 组变量值 总体算术 值或组中值 出现的次数 平均数
【例B】计算下表中某公司职工月工资的标准差。
X 职工人数（人）f 月工资（元） 组中值（元） 250 208 300以下 350 314 300～400 450 382 400～500 550 456 500～600 650 305 600～700 750 237 700～800 850 78 800～900 950 20 900以上 — 2000 合计
6
8 12 14
11
14 7 6 2
15 16
90
32 476
合 计 40
第四章 综合指标
1、计算工人平均日产量：
340 = 8.5(件) xf x 40 f 乙班: x 476 = 11.9(件) 40 2、计算日产量的标准差：
甲班： x
x f f
2
xf f
A D X1 X X N X N
X
i 1
N
i
X
N
源自文库
第 i 个单位 的变量值
总体单 位总数
总体算术 平均数
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额 分别为440元、480元、520元、600元、750 元，求该售货小组销售额的平均差。
解：
440 480 520 600 750 2790 X 558 元 5 5 N Xi X 440 558 750 558 i 1 A D N 5 468 93.6元 5
5 5
X
N i 1
i
X
2
N
440 5582 750 5582
5
60080 109.62元 5
即该售货小组销售额的标准差为109.62元。 （比较：其销售额的平均差为93.6元）
⑵ 加权标准差——适用于分组资料
X
m i 1
i m
一、离中趋势的涵义
反映统计数据差异程度的综 合指标，也称为标志变动度
变异指标值越大，平均指标的代表性越小； 反之，平均指标的代表性越大
测定离中趋势的意义
用来衡量和比较平均数代表性的大小；
用来反映社会经济活动过程的均衡性和
节奏性；
用来衡量风险程度。
例如：某车间有两个生产小组，各有7名 工人，各人日产量如下:
A D 100﹪ X
【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差。
月工资（元） 组中值（元） X 250 300以下 350 300～400 450 400～500 550 500～600 650 600～700 750 700～800 850 800～900 950 900以上 — 合计 职工人数（人） f 208 314 382 456 305 237 78 20 2000
X
N i 1
i
X
2
N
第 i 个单位 的变量值
总体单 位总数
总体算术 平均数
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分 别为440元、480元、520元、600元、750元， 求该售货小组销售额的标准差。
解：X 440 480 520 600 750 2790 558元
【例】某年级一、二两班某门课的平均成绩分 别为82分和76分，其成绩的标准差分别为15.6 分和14.8分，比较两班平均成绩代表性的大小。
解： 一班成绩的标准差系数为：
15.6 V 1 100 ﹪ 100 ﹪ 19.02 ﹪ 82 X1 14.8 V 2 100 ﹪ 100 ﹪ 19.47 ﹪ 76 X2 因为 V 1 V 2 ，所以一班平均成绩的代
二、分位差 从变量数列中，剔除了一部分极端值后 计算的类似于极差的指标。
四分位差 十六分位差 八分位差 三十二分位差 十分位差 百分位差
Q3 Q1 Q.D 2
上四 分位 数
下四 分位 数
三、平均差
是各个数据与其算术平均数的离差 绝对值的算术平均数，用 A.D 表示
计算公式：
⑴ 简单平均差——适用于未分组资料
解：
250 208 950 20 1045900 X 522 .95元 2000 2000
250 522.952 208 950 522.952 20
2000 56386595 .01 167.9元 2000
即该公司职工月工资的标准差为167.9元。
《统计学》第六章
变异指标
平均差系数
V AD A D 100﹪ X
《统计学》第六章
变异指标
第三节
一、标准差
标准差和标准差系数
计算公式：
是各个数据与其算术平均数的离差平方 的算术平均数的开平方根，用 来表示； 2 标准差的平方又叫作方差，用 来表示。
⑴ 简单标准差——适用于未分组资料
x大象 3500 kg
可比
免子 0.5kg
x免子 2.5kg
变异系数指标
身高 x身高
可 比
身高的差异水平：cm
用变异系数可以相互比较
体重的差异水平：kg
体重 x体重
二、标准差系数
V
X
100﹪
应用:
用来对比不同水平的同类现象，特别是 不同类现象总体平均数代表性的大小: ——标准差系数小的总体，其平均数的 代表性大；反之，亦然。
（比较：其工资的平均差为138.95元）
标准差的特点
不易受极端数值的影响，能综合反映全
部单位标志值的实际差异程度； 用平方的方法消除各标志值与算术平均 数离差的正负值问题，可方便地用于数 学处理和统计分析运算.
由同一资料计算的标准差的结果一般要略大于平均差。 证明：当a,b,c≥0时，有 a 2 b2 c 2 a b c
即该公司职工月工资的平均差为138.95元。
平均差的特点
优点:不易受极端数值的影响，能综合
反映全部单位标志值的实际差异程度；
缺点:用绝对值的形式消除各标志值与
算术平均数离差的正负值问题，不便于 作数学处理和参与统计分析运算。 一般情况下都是通过计算另一种标志 变异指标——标准差，来反映总体内 部各单位标志值的差异状况
《统计学》第六章
变异指标
【学习目标】通过本章的学习和习题演算，掌握 变异指标的意义和作用；标准差和标准差系数的计算 和应用。了解变异指标的分布特性；极差、平均差和 四分位差的概念、计算公式和特点；分布的偏度与峰 度。 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 变异指标的基本理论 全距、分位差和平均差 标准差和标准差系数 偏度和峰度 变异指标的应用
【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为 440元、480元、520元、600元、750元，则
R X max X min 750 440 310元
全距系数
V全距 全距 100﹪ X
【例B】某季度某工业公司18个工业企业 产值计划完成情况如下：
计划完成程度 （﹪） 90以下 90～100 100～110 110以上 合计 组中值 企业数 计划产值 （﹪） X （个） （万元） f 85 2 800 95 3 2500 105 10 17200 115 3 4400 — 18 24900
2
甲班: σ = 2.22(件) 乙班: σ = 2.69(件)
3、计算变异系数：
x
2.22 100 % 26.12% 甲班: 8.5 2.69 100 % 22.61% 乙班: 11.9
∵乙班变异系数小于甲班 ∴乙班工人的平均日产量代表性高。
P Q N1 N0 N
具有某种标志表现的 单位数所占的成数
不具有某种标志表现 的单位数所占的成数
N
N 且有 P Q 1
N
N0
N1 N 0 N 1 N N N
是非标志总体的指标
均 值
XP
Xf f
1 N1 0 N 0 N1 P N N
2 2 2
解：
250 208 950 20 1045900 X 522 .95元 2000 2000
m i 1 i
X X A D f
f
250 522.95 208 950 522.95 20 2000
277893 .6 138.95元 2000
某班三名同学三门课程的成绩如下：
单位：分
课程 语文 数学 英语 总成绩 平均成绩 学生 甲 乙 丙 60 65 55 65 65 65 70 65 75 195 195 195 65 65 65
请比较三名同学学习成绩的差异。
《统计学》第六章
变异指标
第一节 离中趋势
变异指标的基本理论 指总体中各单位标志值背离 分布中心的规模或程度，用 标志变异指标来反映。
1 P N1 0 P N 0 标 p 准 N1 N 0 f 差 2 2 Q P P Q PQQ P PQ
(X X ) f
是非标志总体的指标
即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。
⑵ 加权平均差——适用于分组资料
A D X 1 X f1 X m X f m f1 f m
X
i 1
m
i
X fi
i
f
i 1
m
第 i 组的变量 值或组中值
平均差系数
V AD
第 i 组变量值 总体算术 平均数 出现的次数
甲组：20，40，60，70，80，100，120
乙组：67，68，69，70，71，72，73
X 甲 X乙 70件
供货计划完成百分比(%) 季度总供 货计划执 行结果 甲 厂 乙 厂 100 100
1月
32 20
2月
34 30
3月
34 50
钢 厂
二、变异指标的种类
以标志值之间相互比较说明变异情况
是非标志总体
是非标志 指总体中全部单位只具有“是” 或“否”、“有”或“无”两种 表现形式的标志，又叫交替标志
为研究是非标志总体的数量特征，令
分组 具有某一属性 不具有某一属性 合计 单位数 N1 N0
N
变量值 1 0 —
成数
指是非标志总体中具有某种表现或 不具有某种表现的单位数占全部总 体单位总数的比重
全距 分位差
以平均数为比较标准来说明标志的变异情况
平均差
平均差系数
方差
标准差
标准差系数 峰度 偏度
以正态分布为标准说明分配数 列偏离情况的指标
《统计学》第六章
变异指标
第二节
一、全距
全距、分位差和平均差
指所研究的数据中，最大值与最小值之差， 又称极差。
R X max X min
最大变量值或最 最小变量值或最 高组上限或开口 低组下限或开口 组假定上限 组假定下限