第六章-变异指标

6
8 12 14
11
14 7 6 2
15 16
90
32 476
合 计 40
第四章 综合指标
1、计算工人平均日产量：
340 = 8.5(件) xf x 40 f 乙班: x 476 = 11.9(件) 40 2、计算日产量的标准差：
甲班： x

x f f
2
xf f
3 3
标准差的简捷计算
目的: 避免离差平方和计算过程的出现 变量值平方 的平均数
X X
2

N
2
变量值平均 数的平方
2
简单标准差 加权标准差


X
2
X N

2
X f f
Xf f

2
大象 500kg
1
二班成绩的标准差系数为：
2
表性比二班大。
例：
已知甲乙两个班组工人日产资料如下：
甲 班 日产量 工人数 （件） （人） 5 6 7 10 9 12 10 8 13 4 合计 40 乙 班 日产量 工人数 （件） （人） 8 11 12 14 14 7 15 6 16 2 合计 40
要求：比较一下哪个班组工人的平均日 产量的代表性高？
P Q N1 N0 N
具有某种标志表现的 单位数所占的成数
不具有某种标志表现 的单位数所占的成数
N
N 且有 P Q 1
N

N0
N1 N 0 N 1 N N N
是非标志总体的指标
均 值
XP
Xf f
1 N1 0 N 0 N1 P N N
2 2 2
解：
250 208 950 20 1045900 X 522 .95元 2000 2000
m i 1 i
X X A D f 950 522.95 20 2000
277893 .6 138.95元 2000
全距 分位差
以平均数为比较标准来说明标志的变异情况
平均差
平均差系数
方差
标准差
标准差系数 峰度 偏度
以正态分布为标准说明分配数 列偏离情况的指标
《统计学》第六章
变异指标
第二节
一、全距
全距、分位差和平均差
指所研究的数据中，最大值与最小值之差， 又称极差。
R X max X min
最大变量值或最 最小变量值或最 高组上限或开口 低组下限或开口 组假定上限 组假定下限
即该公司职工月工资的平均差为138.95元。
平均差的特点
优点:不易受极端数值的影响，能综合
反映全部单位标志值的实际差异程度；
缺点:用绝对值的形式消除各标志值与
算术平均数离差的正负值问题，不便于 作数学处理和参与统计分析运算。 一般情况下都是通过计算另一种标志 变异指标——标准差，来反映总体内 部各单位标志值的差异状况
解题过程如下：
甲 日产 量 班 工人 数 xf 乙 班
x
5
f
x2 f
日产 工人 量 数
x
f
xf
88
98 168
x2 f
704 1372
2016 1350 512 5954
7 9
10 13
合计
30 150 10 70 490 12 108 972 8 80 800 4 52 676 40 340 3088
是非标志总体
是非标志 指总体中全部单位只具有“是” 或“否”、“有”或“无”两种 表现形式的标志，又叫交替标志
为研究是非标志总体的数量特征，令
分组 具有某一属性 不具有某一属性 合计 单位数 N1 N0
N
变量值 1 0 —
成数
指是非标志总体中具有某种表现或 不具有某种表现的单位数占全部总 体单位总数的比重
某班三名同学三门课程的成绩如下：
单位：分
课程 语文 数学 英语 总成绩 平均成绩 学生 甲 乙 丙 60 65 55 65 65 65 70 65 75 195 195 195 65 65 65
请比较三名同学学习成绩的差异。
《统计学》第六章
变异指标
第一节 离中趋势
变异指标的基本理论 指总体中各单位标志值背离 分布中心的规模或程度，用 标志变异指标来反映。
《统计学》第六章
变异指标
平均差系数
V AD A D 100﹪ X
《统计学》第六章
变异指标
第三节
一、标准差
标准差和标准差系数
计算公式：
是各个数据与其算术平均数的离差平方 的算术平均数的开平方根，用 来表示； 2 标准差的平方又叫作方差，用 来表示。
⑴ 简单标准差——适用于未分组资料
解：
250 208 950 20 1045900 X 522 .95元 2000 2000


250 522.952 208 950 522.952 20
2000 56386595 .01 167.9元 2000
即该公司职工月工资的标准差为167.9元。
《统计学》第六章
变异指标
【学习目标】通过本章的学习和习题演算，掌握 变异指标的意义和作用；标准差和标准差系数的计算 和应用。了解变异指标的分布特性；极差、平均差和 四分位差的概念、计算公式和特点；分布的偏度与峰 度。 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 变异指标的基本理论 全距、分位差和平均差 标准差和标准差系数 偏度和峰度 变异指标的应用
解：R X max X min 110 10 90 10
计算该公司该季度计划完成程度的全距。 120 80 40 ﹪
全距的特点
优点:计算方法简单、易懂；
缺点: ①易受极端数值的影响，不能全
面反映所有标志值差异大小及分布状况， 准确程度差； ②受个别极端值的影响过于显著， 不 符合稳健性和耐抗性的要求 往往应用于生产过程的质量控制中
A D X1 X X N X N
X
i 1
N
i
X
N
第 i 个单位 的变量值
总体单 位总数
总体算术 平均数
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额 分别为440元、480元、520元、600元、750 元，求该售货小组销售额的平均差。
解：
440 480 520 600 750 2790 X 558 元 5 5 N Xi X 440 558 750 558 i 1 A D N 5 468 93.6元 5
即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。
⑵ 加权平均差——适用于分组资料
A D X 1 X f1 X m X f m f1 f m
X
i 1
m
i
X fi
i
f
i 1
m
第 i 组的变量 值或组中值
平均差系数
V AD
第 i 组变量值 总体算术 平均数 出现的次数

2
甲班: σ = 2.22(件) 乙班: σ = 2.69(件)
3、计算变异系数：


x
2.22 100 % 26.12% 甲班: 8.5 2.69 100 % 22.61% 乙班: 11.9
∵乙班变异系数小于甲班 ∴乙班工人的平均日产量代表性高。
【例】某年级一、二两班某门课的平均成绩分 别为82分和76分，其成绩的标准差分别为15.6 分和14.8分，比较两班平均成绩代表性的大小。
解： 一班成绩的标准差系数为：
15.6 V 1 100 ﹪ 100 ﹪ 19.02 ﹪ 82 X1 14.8 V 2 100 ﹪ 100 ﹪ 19.47 ﹪ 76 X2 因为 V 1 V 2 ，所以一班平均成绩的代
5 5

X
N i 1
i
X

2
N

440 5582 750 5582
5
60080 109.62元 5
即该售货小组销售额的标准差为109.62元。 （比较：其销售额的平均差为93.6元）
⑵ 加权标准差——适用于分组资料

X
m i 1
i m
X fi

2
fi

i 1
第 i 组的变量 第 i 组变量值 总体算术 值或组中值 出现的次数 平均数
【例B】计算下表中某公司职工月工资的标准差。
X 职工人数（人）f 月工资（元） 组中值（元） 250 208 300以下 350 314 300～400 450 382 400～500 550 456 500～600 650 305 600～700 750 237 700～800 850 78 800～900 950 20 900以上 — 2000 合计
一、离中趋势的涵义
反映统计数据差异程度的综 合指标，也称为标志变动度
变异指标值越大，平均指标的代表性越小； 反之，平均指标的代表性越大
测定离中趋势的意义
用来衡量和比较平均数代表性的大小；
用来反映社会经济活动过程的均衡性和
节奏性；
用来衡量风险程度。
例如：某车间有两个生产小组，各有7名 工人，各人日产量如下:
甲组：20，40，60，70，80，100，120
乙组：67，68，69，70，71，72，73
X 甲 X乙 70件
供货计划完成百分比(%) 季度总供 货计划执 行结果 甲 厂 乙 厂 100 100
1月
32 20
2月
34 30