第十二章 无穷级数_1 常数项级数的概念与性质
12.1 常数项级数的概念和性质
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
结论 若级数的一般项un 不趋于0 (n )，则 un 必发散. n1
15
注意
lim
n
un
0并非级数收敛的充分条件.
但
s2n
sn
1 n 1
1 n2
1 n3
1 n 1， 2n 2n 2
矛盾，所以假设不真，故，调和级数发散.
16
例 5 判断下列级数的敛散性，若收敛求其和.
n 1 n 2
1 2
1
n
1 1
1 2
n
1
2
lim
n
sn
1，故，该级数收敛，其和为 1 .
4
4
19
三、柯西审敛原理(选学)
定理(柯西收敛原理) 级数 un 收敛 n1
0，正整数 N，当n N 时，对任意正整数 p，恒有
un+1+un+2 + un+p .
例
解
6
利用柯西审敛原理判定级数 对任意的正整数 p，
n0
的敛散性.
aqn
(a 0)
解：(1)若 q 1，则部分和
sn a aq aq2
aqn1 a aqn 1 q
当
q
1时，由于 lim qn n
0，从而
lim
n
sn
a， 1 q
因此，该级数收敛，且其和s a . 1 q
当
q
1时，由于lim qn n
，从而
lim
n
sn
，故，该级数发散.
8
n0
例 2 判断下列级数的敛散性
高等数学(复旦大学版)第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。
教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。
级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。
定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。
高等数学第12章：无穷级数
n n1
n 1
而
lim
n
sn
lim (1
n
1) n 1
1
此级数收敛，和为 1.
二、收敛级数的基本性质
性质1 若级数 n1收un敛于和s，n则1k它un的各项同
乘以一个常数k所得的级数
也收敛，
且其和为ks.
性质2 如果级数 、un 分别vn
收敛于 s和 n 1
n 1
即
un u1 u2 un s
调和级数
1是发散的
;
n1n
p 级数n1n1p也发散 .
(2)当p 1时，
1
n 1n
p
1
(
1 2p
1 3p
)
(
1 4p
1 5p
1 6p
1 7p)
1
( 8
p
1 15 p
)
它的各项均不大于级数
1
(
1 2p
1 2p
)
(
1 4p
1 4p
1 4p
1 4p
)
(81p
1 8p
)
的对应项.
后一级数是几何级数，公比q
则有：若 发vn散，则
n 1
也 发un 散;
n 1
且当 n 时N，有
un kvn (k 0)
成立，
则有：若 收vn 敛，则
n 1
也收un敛.
n 1
例2 判定p-级数
1
n 1n
p
1
1 2p
1 3p
1 np
的敛散性.常数 p>0.
解 (1)设p 1时,
Q 1 1 , 由比较判别法知 , np n
第十二章常数项级数的概念和性质
例 2 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn
n0
的收敛性.
(a 0)
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn 1q
a aqn , 1q 1q
当q 1时,
lim qn 0
n
lim
n
sn
a 1
q
当q 1时,
lim qn
即 sn s 误差为 Rn
即
级数收敛
lim
n
Rn
0
例 1 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1 13 35
1
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
例 1 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性
13 35
(2n 1) (2n 1)
sn
1 (1 2
1 2n
), 1
lim
n
sn
lim 1 (1 1 ) n 2 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
正十二边形的面积 a1 a2
正3 2n形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 L an L
2).
1 3
3 3 3 10 100 1000
3 10n
2、概念
第十二章 第1节 常数项级数的概念和性质
∑
n=1
若它按某一规律加括弧 , 例如设为
显然, 新级数的部分和序列 σ m ( m = 1 , 2 ,L) 为原级数 部分和序列 Sn ( n = 1 , 2 ,L) 的一个子序列. 因此必有 用反证法可证 lim σ m = lim Sn = S
m→∞ n→∞
( u1 + u2 ) + ( u3 + u4 + u5 ) +L
2
n−1
a 当 q < 1时, 由于 lim q = 0 , 从而 lim Sn = n→∞ n→∞ 1− q a ; 因此级数收敛 , 其和为 1− q n 当 q > 1时, 由于 lim q = ∞ , 从而 lim Sn = ∞ , 因此 n→∞
n
a − a qn = 1− q
级数发散 .
n→∞
推论: 推论 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意:原级数发散,则加括号后不一定发散 例如 注意 ( 级数 1−1+1−1+ L 却发散 . 但 1−1) + (1−1) +L= 0 , 18
三. 级数收敛的必要条件 设收敛级数 S =
n=1
un , 则必有 lim un = 0 ∑
n→∞
un+1 = un
故
enn! nn
e = > 1 (n = 1, 2,L) 1 n (1+ n )
∞ n
un > un−1 >L> u1 = e
从而 lim un ≠ 0 , 这说明级数 发散 . n n→∞ n=1 n
∑
e n!
21
1 (2) ∑ 3 n + 3n2 + 2n n=1 1 1 (n + 2) − n 1 = = 因 n3 + 3n2 + 2n n(n +1)(n + 2) 2 n(n +1)(n + 2) 1 1 1 = − ( n = 1, 2, L) 2 n(n +1) (n +1)(n + 2) n 1 1 n 1 1 Sn = ∑ 3 = ∑ − 2 k + 3k + 2k 2 k=1 k(k +1) (k +1)(k + 2) k =1 1 1 1 进行拆项相消 = − 2 1⋅ 2 (n +1)(n + 2)
考研高数讲解新高等数学下册辅导讲解第十二章
第十二章无穷级数【本章网络构造图】第一节常数项级数概念与性质一、常数项级数收敛与发散给定一个数列将各项依次相加, 简记为，即，称该式为无穷级数，其中第项叫做级数一般项,级数前项与称为级数局部与。
假设存在，那么称无穷级数收敛，并称为级数与,记作；假设不存在，那么称无穷级数发散。
当级数收敛时, 称差值为级数余项。
显然。
【例1】〔93三〕级数与为 .【答案】结论：等比〔几何〕级数：收敛当时发散当时二、收敛级数与假设收敛，那么其与定义为。
三、无穷级数根本性质学习笔记：〔1〕假设级数收敛于，即，那么各项乘以常数所得级数也收敛，其与为。
注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变（2）设有两个收敛级数，，那么级数也收敛, 其与为。
注：该性质说明收敛级数可逐项相加或相减相关结论：〔1〕假设两级数中一个收敛一个发散,那么必发散。
〔2〕假设二级数都发散，不一定发散。
【例】取，，而。
〔3〕在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数敛散性。
〔4〕收敛级数加括弧后所成级数仍收敛于原级数与。
推论：假设加括弧后级数发散，那么原级数必发散。
注：收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛。
【例】，但发散。
【例2】判断级数敛散性：【解析与答案】学习笔记：不存在故原级数发散四、级数收敛必要条件必要条件：假设收敛，那么。
逆否命题：假设级数一般项不趋于0，那么级数必发散。
【例】，其一般项为，当时，不趋于0，因此这个级数发散。
注：并非级数收敛充分条件【例】调与级数，虽然，但是此级数发散。
事实上，假设调与级数收敛于，那么，但，矛盾！所以假设不真。
【例3】判断以下级数敛散性，假设收敛求其与：〔1〕〔2〕【答案】〔1〕发散；〔2〕发散五、两个重要级数：几何级数与p级数敛散性学习笔记：〔1〕几何级数：，当时收敛；当时发散.〔2〕级数(或对数级数)：，当时收敛，当时发散。
【重点小结】1、常数项级数收敛与发散定义2、常数项级数敛散性质3、常数项级数收敛必要条件4、常用两个常数项级数第二节常数项级数审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：假设，那么称为正项级数。
12-1常数项级数的概念和性质
n1
n1
n1
即 收敛级数可以逐项相加与逐项相减．
例6 若级数 an 与 bn 均发散，
n1
n1
则级数 (an bn )是否必发散？ (1987)
n1
解 结论是错误的．
例如级数 ln n 1 及 ln n 1 均发散，
n1
n
n1
n
但级数 [ln n 1 ln n 1] 0 是收敛的．
23
n
n1 n
n
2. 级数的部分和与部分和数列
n
设有级数 un，其前 n 项的和 sn ui
n1
i 1
称为级数的部分和． 它所构成的数列 sn
s1 u1， s2 u1 u2，，sn u1 u2 un，
称为级数的部分和数列．
3. 级数的敛散性
aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的敛散性．
n0
解
当
|
当 q 1 时，sn q | 1时，lim qn
n
a
aq 0，
aq2 lim
n
sn
1
aqn1 a. q
a1 qn 1q
收敛
当综当当上q|qq所|述111时ln时i时m， ，，ssansnqn不 lninm存a当nqa在 n，|aq．| 发a，1ln散i时m,lns收inm(敛s1n于)n.11a发a.q散发.a0散nn为为偶奇数数，
第十二章质
一、常数项级数的概念
1. 常数项级数的定义
设有数列 un：u1，u2，，un，，按其次序求和
u1 u2 u3 un un 称为(常数项)级数．
高数-常数项级数的概念和性质
23
n
证: 当 k≤x ≤ k+1 时，1 1 ,从而
xk
k1 dx
k1 1 dx
1
k x kk
k
于是
sn
n
S n
k 1
1 k
1 1 1 1
23
n
n
k1 dx
2 dx
3 dx
n1 dx
k
k 1
x 1 x 2x
nx
n1 dx 1x
lnx
|n1
1
ln(n
1)
因为 limsn limln（n 1）
9
1 105
2
1 106
6
1 107
无穷多项相加意味着什么？怎样进行这种“相加” 运算？“相加”的结果是什么？
定义1 给定数列 u1, u2 , u3 un 则称
u1 u2 u3 un
为常数项无穷级数 简称级数，记做 un
n1
即： un u1 u2 u3 un
n1
式子中每一项都是常数，称作常数项级数，
S
由极限的运算可知
lim
n
un
lim
n
(
Sn
S n1 )
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
S
S
0.
注意：这个性质的逆命题不正确，即级数 un的通项
n1
的极限为零，并不一定能保证原级数收敛.
例 如：
调和级数
1
n n
的一般项 un
1 n
它满足
lim
n
un
lim
n
1 n
0,
但 1 不收敛. n n
12.1 常数项级数的概念和性质
目录
12.1 常数项级数的概念和性质 12.2 常数项级数的审敛法
第12章 无穷级数
12.3 幂级数 12.4 函数展开成幂级数 12.5 函数的幂级数展开式的应用 12.6 傅立叶级数 12.7 一般周期函数的傅立叶级数
12.1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
二、收敛级数的基本性质
n 1
零，因此该级数是发散的．
12.1 常数项级数的概念和性质
三、思考与练习
1．根据级数收敛与发散的定义判定下列级数 的收敛性： （1）
n 1
n1 n ；
1 （ 2） 1 1 1 1 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1
12.1 常数项级数的概念和性质
n 1
12.1 常数项级数的概念和性质
证
设级数 un 的部分和为 S n ，且 Sn S
n 1
(n ) ，则有
注意：此定理的逆命题不成立．即从
lim un 0 不能得出级数 un 收敛． lim un 0 因此，
n
只是级数 un 收敛的必要条件，而非充分条件．
三、思考与练习
12.1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
举例：计算圆周率 在公元263年，我国著名数学家刘徽首创用半 R 1 时，圆的面积 S ） 径 R 1（这点很巧妙， 的圆的内接正多边形的面积来接近圆的面积从而 计算圆周率的方法，这一方法称为“割圆术”。 刘徽首先计算出圆的内接正六边形的面积，然后 将正多边形的边数屡次加倍，使正多边形的面积 逐渐增大并接近圆的面积 π.
n 1
u1 u2 u3 un
12.1 常数项级数的概念和性质
敛的（具体解释见课本 253、254 页） 。
2．级数的部分和：级数 un 的前 n 项的和
n 1
sn u1 u2 u3 un ui
i 1
n
称为级数 un 的部分和。
n 1
例： s1 u1 ， s2 u1 u2 ， s3 u1 u2 u3 。
3．级数的收敛与发散：对于级数 un ，
注 2：一般来说，一般项的极限为 0 不能保证级数一定为收敛的，即：
lim un 0 级数 un 收敛
n
n 1
比方说，虽然 lim
1 1 1 1 lim 2 0 ，但是，级数 是发散的，而级数 2 是收 n n n n n 1 n n 1 n
第一节 常数项级数的概念和性质
1．常数项无穷级数：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , ，则称
u
n 1
n
u1 u2 u3 un
为常数项无穷级数，记为 un ，简称为级数，且将数列 u1 , u2 , u3 , , un , 中的第
1 1 2n
1 对部分和 sn 取极限，得： lim sn lim 1 n n n 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 于是，级数 n 是收敛的，且 n 1 2 4 8 2 2 4 8 2
例 3：考虑级数
1 1 1 1 的收敛性。 1 2 2 3 3 4 n(n 1) 1 1 1 ，从而级数的部分和为 n(n 1) n n 1
该级数的一般项为 un
sn
高等数学@12.1 级数概念与性质
n0
（1）当|q|
<1时，收敛，其和为
1
a
q
（2）当|q|≥1时，发散
如：
n0
5 3n
,
收敛
(1)n
n0 2n , 收敛
(2)n
n0
发散
思考(2)：级数 1 1 1 1 1 是否收敛？
n1 n
23
n
S
n
1
1 2
1 3
(1)
lim
n
un
0
则 un 发散。
n1
(2)若加括号后的级数发散， 则原级数必发散。
(3)若级数 un 收敛， vn 发散
n1
n1
则级数 (un vn ) 必发散
n1
(4) 级数 kun与 un 收敛性相同 (k 0)
n1
n1
(5) 级数 un 与 un 收敛性相同。
收敛，则
lnimun
0
（必要条件）
问题
1.若
lim
n
un
0
则 un 发散
n1
2.若
lim
n
un
0
则 un
n1
未必收敛
如 1 n1 n
性质1 若常数k≠0，则级数 un 与 kun 收敛性相同.
n1
n1
证 设 Sn u1 u2 un
1. 级数收敛的性质：
（1）常数 k≠0，级数 un与 kun同敛散。
级数知识点总结
级数知识点总结Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】第十二章 无穷级数一、 常数项级数 1、常数项级数：1)定义和概念：无穷级数： +++++=∑∞=n n nu u u u u 3211部分和：n nk kn u u u u u S ++++==∑= 3211正项级数：∑∞=1n n u ，0≥nu级数收敛：若S S n n =∞→lim 存在，则称级数∑∞=1n n u 收敛，否则称级数∑∞=1n n u 发散2)性质：改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛.两个收敛级数的和差仍收敛.，级数∑∞=1n n a ，∑∞=1n n b 收敛，则∑∞=±1)(n n nb a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性级数∑∞=1n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛；若级数收敛, 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛.必要条件：级数∑∞=1n n u 收敛⇒0lim =∞→n n u .（注意：不是充分条件！唯一判断发散条件）3)审敛法：（条件：均为正项级数 表达式：∑∞=1n n u ，0≥n u ）S S n n =∞→lim 前n 项和存在极限则收敛；∑∞=1n n u 收敛⇔{}n S 有界；比较审敛法：且),3,2,1( =≤nv u n n，若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 发散.比较法的极限形式：)0( l lim +∞<≤=∞→l v unnn ，而∑∞=1n nv 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若0lim >∞→nnn v u 或+∞=∞→nn n v u lim ，而∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散.比值法： l u u nn n =+∞→1lim ，当：1<l 时，级数∑∞=1n n u 收敛；1>l 时，级数∑∞=1n nu 发散；1=l 时，级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.2、 交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：∑∞=-1)1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1=≤+n u u n n ，且0lim =∞→nn u ，则级数∑∞=-1)1(n n n u 收敛。
常数项级数的概念和性质
性质2 也说成：两个收敛级数可以逐项相加或相减.
1 1 如 级数 ( n n ) 收敛. 3 n 1 2
-11
注释 :
(1) 若级数 un 和 vn 中一个收敛，一个发散，则 (un vn ) 必发散.
n 1 n 1 n 1
(用反证法可证)
(2) 若级数 un 和 vn 均发散，则 (un vn ) 可能收敛，也可能发散.
n
综上，当 q 1，等比级数 a q n 收敛；
n 0
当 q 1，等比级数 a q n 发散.
n 0
-7-
例 2 判断下列级数的敛散性 1 (1) n 1 3 n 1
n 1
4n (2) n 1 n 1 3
1 n1 1 n 解 (1) 原式 ( ) ( ) ， 是等比级数， n 0 3 n 1 3
-3-
★ 级数 un 部分和数列
n 1
当n 依次取1, 2,
, 时，部分和 sn 分别为
s1 u1，
s2 u1 u2，
sn u1 u2 u3
un，
它们构成一个数列sn ，称为级数 un 的部分和数列.
n 1
★ 下面，由级数的部分和数列sn 在 n 时是否存在极限， 引入无穷级数的收敛与发散的概念.
n 1 n 1
所得新级数 c un 也收敛，且其和为 c s.
n 1
说明： 级数的每一项同乘一个非零的常数后，它的收敛性不会改变.
性质 2 若级数 un 和 vn 分别收敛于 s 和，则级数 (un vn )
n 1 n 1 n 1
12.1常数项级数的概念和性质
数的一般项或通项.级数 (1)的前 n项的和
n
sn u1 u2 un ui
(2)
i 1
称为级数(1)的前n项部分和.当 n依次取1,2,3
时,它们构成一个新的数列{sn }, 即
常数项级数的概念
时,它们构成一个新的数列{sn }, 即
常数项级数的概念
时,它们构成一个新的数列{sn }, 即 s1 u1, s2 u1 u2 , , sn u1 u2 un ,
1)
...的收敛性.
解
un
1 n(n
1)
1 n
n
1
1,
sn
1 1 2
1 23
...
1 n(n
1)
1
1 2
1 2
1 3
...
1 n
n
1
1
1
n
1
1
.
所以
lim
n
sn
lim n
1
n
1
1
1,
即题设级数收敛，其和为1.
例 4 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 级数的部分和为
|是用 sn
近似代替 s 所产生的误差.
例1
写出级数
1 2
3 24
2
5 4
6
2
7 46
8
...
的
一般项.
解 分母是偶数的连乘积，而且第一项为偶数，第
二项是两个偶数之积，第三项是三个偶数之积，...，
第 n 项是个 n 偶数之积，故可写成(2n)!!,
而分子为奇数， 故第 n项为2n 1. 于是该级数的
sn
1 2 3 n
12(1)常数项级数的概念和性质
24
性质2 设有两个级数 un与 vn,
n1
n1
若 un s, vn , 则 (un vn ) s .
n1
n1
n1
n
n
n
证 级数的部分和 (ui vi ) ui vi
i 1
i 1
i 1
n
n
n
所以
lim
n
i 1
(ui
vi
)
lim
n
i 1
ui
lim
n
i 1
vi
s 得证.
n1
即
lim
n
sn存在
(不存在)
常数项级数收敛(发散).
13
un u1 u2 u3 un (1)
n1
级数的敛散性它与部分和数列是否有 极限是等价的.
这种等价关系将级数的敛散性，转化为 数列极限是否存在的问题。 它是最基本的级数敛散性的判断方法。
14
un u1 u2 u3 un (1)
a 1q
级数收敛
sn
1
a
q
aqn 1q
当q 1 时,
lim qn n
lim n
sn
级数发散
如果q 1 时
当q 1 时, sn na 级数发散
当q 1 时, 级数变为 a a a a 级数发散
综上
n0
aq
n
当 当
q q
1时,收敛 1时, 发 散
以后会经常用到， 必须记住！
的敛散性.
例
1 2
1 22
1 2n
收敛
1
2
...
100
1 2
1 22
1 2n