统计学第三章多元回归分析详解演示文稿
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多元统计分析回归分析
03
多元线性回归分析
多元线性回归模型的建立
确定自变量和因变量
01
在建立多元线性回归模型时，首先需要明确哪些变量是自变量
（解释变量），哪些是因变量（响应变量）。
确定模型形式
02
根据研究目的和数据特征，选择合适的多元线性回归模型形式，
如线性、多项式、逻辑回归等。
确定模型参数
03
根据选择的模型形式，确定模型中的参数，如回归系数、截距
04
多元非线性回归分析
多元非线性回归模型的建立
确定因变量和自变量
首先需要确定回归分析中的因变量和自变量， 并收集相关数据。
确定模型形式
根据理论或经验，选择合适的非线性函数形式 来表示自变量与因变量之间的关系。
确定模型参数
根据数据，使用适当的方法确定模型中的参数。
多元非线性回归模型的参数估计
01
详细描述
在社会调查中，回归分析可以帮助研究者了解不同因素对人类行为的影响，例如 教育程度、收入、性别等因素对个人幸福感的影响。通过回归分析，可以揭示变 量之间的关联和因果关系，为政策制定和社会干预提供科学依据。
生物医学数据的回归分析
总结词
生物医学数据的回归分析是多元统计分析在生命科学领域的应用，用于研究生物标志物和疾病之间的 关系。
详细描述
在经济领域，回归分析被广泛应用于股票价格、通货膨胀率 、GDP等经济指标的分析和预测。通过建立回归模型，可以 分析不同经济变量之间的因果关系，为政策制定者和投资者 提供决策依据。
社会调查数据的回归分析
总结词
社会调查数据的回归分析是多元统计分析在社会科学领域的应用，用于研究社会 现象和人类行为。
特点
多元统计分析具有多维性、复杂性和实用性。它可以处理多个变量之间的交互 作用和综合效应，广泛应用于各个领域，如经济学、社会学、生物学等。
商务统计学课件-多元线性回归分析实例应用
6.80
13.65
14.25
27
8.27
6.50
13.70
13.65
28
7.67
5.75
13.75
13.75
29
7.93
5.80
13.80
13.85
30
9.26
6.80
13.70
14.25
销售周期
1
销售价格/元
其他公司平均销售价格
/元
多元线性回归分析应用
多元线性回归分析应用
解
Y 表示牙膏销售量，X 1 表示广告费用，X 2表示销售价格， X 3
个自变量之间的线性相关程度很高，回归方程的拟合效果较好。
一元线性回归分析应用
解
广告费用的回归系数检验 t1 3.981 ，对应的 P 0.000491 0.05
销售价格的回归系数检验 t2 3.696 ，对应的 P 0.001028 0.05
其它公司平均销售价格的回归系数检验
…
14
1551.3
125.0
45.8
29.1
15
1601.2
137.8
51.7
24.6
16
2311.7
175.6
67.2
27.5
17
2126.7
155.2
65.0
26.5
18
2256.5
174.3
65.4
26.8
万元
表示其他公司平均销售价格。建立销售额的样本线性回归方程如
下：
Yˆi 15.044 0.501X 1i 2.358 X 2i 1.612 X 3i
一元线性回归分析应用
回归分析应用PPT课件
回归分析的应用场景
A
经济预测
通过分析历史数据，预测未来的经济趋势，如 股票价格、GDP等。
市场营销
通过研究消费者行为和购买历史，预测未 来的销售趋势和客户行为。
B
C
医学研究
研究疾病与风险因素之间的关系，预测疾病 的发生概率。
科学研究
在各种科学领域中，如生物学、物理学、化 学等，回归分析被广泛应用于探索变量之间 的关系和预测结果。
06 回归分析的局限性
多重共线性问题
总结词
多重共线性问题是指自变量之间存在高 度相关关系，导致回归系数不稳定，影 响模型预测精度。
VS
详细描述
在回归分析中，如果多个自变量之间存在 高度相关关系，会导致回归系数的不稳定 性，使得模型预测精度降低。这种情况在 数据量较小或者自变量较多的情况下更容 易出现。为了解决这个问题，可以采用减 少自变量数量、使用主成分分析等方法。
预测能力评估
使用模型进行预测，并比较预 测值与实际观测值之间的误差
，评估模型的预测能力。
03 多元线性回归分析
多元线性回归模型
01
确定因变量和自变 量
在多元线性回归模型中，因变量 是我们要预测的变量，而自变量 是影响因变量的因素。
02
建立数学模型
03
模型参数解释
通过最小二乘法等估计方法，建 立因变量与自变量之间的线性关 系式。
回归分析可以帮助我们理解数据的内在规律，预测未来的趋势，并优化决 策。
回归分析的分类
01
一元回归分析
研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
02
多元回归分析
研究多个自变量和一个因变量之间的关系。
03
线性和非线性回归分析
多元回归分析
i =1
n
利用微积分的极值法， 利用微积分的极值法，得
n ˆ ˆ ˆ ˆ −2∑ ( yi − β 0 − β 1 xi 1 − β 2 xi 2 − L − β p xip ) = 0 i =1 n ˆ ˆ ˆ ˆ −2∑ ( yi − β 0 − β 1 xi 1 − β 2 xi 2 − L − β p xip ) xi 1 = 0 i =1 LLLLLL n ˆ ˆ ˆ ˆ −2∑ ( yi − β 0 − β 1 xi 1 − β 2 xi 2 − L − β p xip ) xip = 0 i =1
(7.2)
写成矩阵形式为 其中， 其中，
Y = X1 , y2 ,L , yn )
ε = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n )
T
β = ( β 0 , β 1 ,L , β p )
T
1 x11 1 x21 X= M M 1 xn1
x12 L x22 M xn 2
ˆ 的最小二乘估计。 这里 β i ( i = 0,1,L , p ) 是 β i ( i = 0,1,L , p) 的最小二乘估计。上 述方程经整理后， 述方程经整理后，得到矩阵形式表示的正规方程组
( X T X )−1 存在时，即得回归参数的最小二乘估计为 存在时， 当 ˆ β = ( X T X ) −1 X T Y 7.4） （7.4） ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 为经验回归方程。 称 Y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x2 + L + β p x p 为经验回归方程。
如果按研究方法来划分，回归分析研究的大致范围如下： 如果按研究方法来划分，回归分析研究的大致范围如下： 一元线性回归 线性回归 多元线性回归 多元多重回归 如何从数据推断回归模型基本假设的合理性 回归诊断 当基本假设不成立时如何对数据进行修正 判断回归方程拟合的效果 选择回归函数的形式 回归变量的选择 自变量选择的标准 回归分析 逐步回归分析方法 岭回归 参数估计方法的改进 主成分回归 偏最小二乘法 一元非线性回归 非线性回归 分段回归 多元非线性回归 自变量含定性变量的情况 含有定性变量的回归 因变量是定性变量的情况
n
利用微积分的极值法， 利用微积分的极值法，得
n ˆ ˆ ˆ ˆ −2∑ ( yi − β 0 − β 1 xi 1 − β 2 xi 2 − L − β p xip ) = 0 i =1 n ˆ ˆ ˆ ˆ −2∑ ( yi − β 0 − β 1 xi 1 − β 2 xi 2 − L − β p xip ) xi 1 = 0 i =1 LLLLLL n ˆ ˆ ˆ ˆ −2∑ ( yi − β 0 − β 1 xi 1 − β 2 xi 2 − L − β p xip ) xip = 0 i =1
(7.2)
写成矩阵形式为 其中， 其中，
Y = X1 , y2 ,L , yn )
ε = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n )
T
β = ( β 0 , β 1 ,L , β p )
T
1 x11 1 x21 X= M M 1 xn1
x12 L x22 M xn 2
ˆ 的最小二乘估计。 这里 β i ( i = 0,1,L , p ) 是 β i ( i = 0,1,L , p) 的最小二乘估计。上 述方程经整理后， 述方程经整理后，得到矩阵形式表示的正规方程组
( X T X )−1 存在时，即得回归参数的最小二乘估计为 存在时， 当 ˆ β = ( X T X ) −1 X T Y 7.4） （7.4） ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 为经验回归方程。 称 Y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x2 + L + β p x p 为经验回归方程。
如果按研究方法来划分，回归分析研究的大致范围如下： 如果按研究方法来划分，回归分析研究的大致范围如下： 一元线性回归 线性回归 多元线性回归 多元多重回归 如何从数据推断回归模型基本假设的合理性 回归诊断 当基本假设不成立时如何对数据进行修正 判断回归方程拟合的效果 选择回归函数的形式 回归变量的选择 自变量选择的标准 回归分析 逐步回归分析方法 岭回归 参数估计方法的改进 主成分回归 偏最小二乘法 一元非线性回归 非线性回归 分段回归 多元非线性回归 自变量含定性变量的情况 含有定性变量的回归 因变量是定性变量的情况
医学统计学课件：回归分析
线性回归模型的预测
利用模型进行预测
根据建立的模型，可以利用自变量值预测因变量值。
预测精度评估
通过比较预测值与真实值的差异，评估模型的预测精度。
预测范围扩展
如果仅有一个样本的数据，则可以利用该样本建立模型并预测其他 类似样本的数据。
03
逻辑回归分析
逻辑回归模型的建立
01
确定自变量和因变量
02
数据的概率化
04
多元线性回归分析
多元线性回归模型的建立
确定自变量和因变量
根据研究目的和已有的知识，确定影响因变量的自变量。
数据预处理
对数据进行清理、缩放和标准化等预处理，以提高模型的准确性和稳定性。
模型拟合
使用最小二乘法等数学优化方法，拟合出多元线性回归模型。
多元线性回归模型的评估
01
02
03
残差分析
观察残差是否符合假设， 如正态分布、独立同分布 等。
偏最小二乘回归分析
总结词
偏最小二乘回归分析是一种广泛应用的回归方法，它 通过构建两个投影矩阵，将自变量和因变量同时进行 线性投影，以解决传统最小二乘法在处理具有多重共 线性的自变量时的不足。
详细描述
偏最小二乘回归分析通过迭代的方式，分别计算自变 量和因变量的投影矩阵，从而对数据进行最佳投影， 以获得更准确的回归系数估计。这种方法能够有效地 处理具有多重共线性的自变量，提高回归模型的精度 和预测能力。在医学领域，偏最小二乘回归分析可以 应用于研究多个生物标志物对某种疾病的影响，以及 疾病的诊断和预测。
通过对手术患者的康复情况、生存率等指标进行数据分析， 评估手术效果及并发症风险。
评估药物疗效
通过对比药物治疗前后的生化指标、症状改善情况等数据， 评估药物治疗效果及不良反应发生风险。
医学统计学课件：回归分析
假设检验
03
信息提取
从回归模型中提取有意义的自变量组合和系数，为研究提供新的思路和方向。
多元回归模型的应用
01
预测
利用已建立的多元回归模型，预测新数据或未来数据的因变量值。
02
分类
结合回归模型和分类算法，将因变量进行分类，实现对数据的深度挖掘。
05
其他回归分析方法
总结词
岭回归分析是一种用于处理共线性数据的线性回归方法，通过引入一个惩罚项来改善模型的稳定性和预测精度。
通过线性回归模型，可以估计自变量对因变量的影响程度和方向。
在线性回归模型中，可以考察自变量之间的交互作用，以及自变量与因变量的交互作用。
03
逻辑回归分析
逻辑回归模型的建立
确定自变量和因变量
首先需要确定影响因变量哪些因素作为自变量，并明确因变量和自变量的关系。
数据的正态性检验
对各变量进行正态性检验，以确保数据满足正态分布的要求。
逻辑回归模型的检验
逻辑回归模型的应用
分层分析
根据预测结果，将研究对象分成不同的层，针对不同层进行差异性分析。
风险评估
根据预测结果，对研究对象进行风险评估，以更好地进行临床决策。
预测
利用训练好的模型，输入自变量的值，得到预测的概率值。
04
多元回归分析
多元回归模型的建立
确定自变量
根据研究目的和已有知识，选择与因变量相关的多个自变量。
线性回归分析
假设自变量和因变量之间存在非线性关系，通过建立非线性回归模型来预测因变量的取值。
非线性回归分析
回归分析的分类
回归分析的基本步骤
数据清洗
对收集到的数据进行清洗，包括处理缺失值、异常值、重复数据等。
03
信息提取
从回归模型中提取有意义的自变量组合和系数，为研究提供新的思路和方向。
多元回归模型的应用
01
预测
利用已建立的多元回归模型，预测新数据或未来数据的因变量值。
02
分类
结合回归模型和分类算法，将因变量进行分类，实现对数据的深度挖掘。
05
其他回归分析方法
总结词
岭回归分析是一种用于处理共线性数据的线性回归方法，通过引入一个惩罚项来改善模型的稳定性和预测精度。
通过线性回归模型，可以估计自变量对因变量的影响程度和方向。
在线性回归模型中，可以考察自变量之间的交互作用，以及自变量与因变量的交互作用。
03
逻辑回归分析
逻辑回归模型的建立
确定自变量和因变量
首先需要确定影响因变量哪些因素作为自变量，并明确因变量和自变量的关系。
数据的正态性检验
对各变量进行正态性检验，以确保数据满足正态分布的要求。
逻辑回归模型的检验
逻辑回归模型的应用
分层分析
根据预测结果，将研究对象分成不同的层，针对不同层进行差异性分析。
风险评估
根据预测结果，对研究对象进行风险评估，以更好地进行临床决策。
预测
利用训练好的模型，输入自变量的值，得到预测的概率值。
04
多元回归分析
多元回归模型的建立
确定自变量
根据研究目的和已有知识，选择与因变量相关的多个自变量。
线性回归分析
假设自变量和因变量之间存在非线性关系，通过建立非线性回归模型来预测因变量的取值。
非线性回归分析
回归分析的分类
回归分析的基本步骤
数据清洗
对收集到的数据进行清洗，包括处理缺失值、异常值、重复数据等。
计量经济学-多元线性回归分析
yi ˆ1 x1i ˆ2 x2i ˆk xki ei 其矩阵形式为
i=1,2…n
y xβˆ e
其中 ：
y1
y
y2
yn
x11
x
x12
x 21
x 22
xk1 xk2
x1n x2n xkn
ˆ1
βˆ
ˆ 2
ˆk
在离差形式下，参数旳最小二乘估计成果为
模型中解释变量旳数目为（k）
模型：Yt 1 2t X 2t k X kt ut
也被称为总体回归函数旳随机体现形式。它 旳 非随机体现式为:
E(Yi | X 2i , X 3i , X ki ) 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki
方程表达：各变量X值固定时Y旳平均响应。
0.17033
2.652155 0.0157
R-squared
0.9954 Mean dependent var
928.4909
Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)
βˆ (xx)1 xY
ˆ0 Y ˆ1 X 1 ˆk X k
⃟随机误差项旳方差旳无偏估计
能够证明，随机误差项旳方差旳无偏估计量为
ˆ 2 ei2 ee
nk nk
四、参数估计量旳性质
在满足基本假设旳情况下，其构造参数旳一般
最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有： 线性性、无偏性、有效性。
ˆ1
Байду номын сангаас
Q0
ˆ2
Q
管理统计学多元线性回归分析案例应用步骤解析及操作详解
-0.256331212 0.798244 -38.15618421 29.42862
多重共线性及其产生得问题
多重共线性
(multicollinearity)
1. 回归模型中两个或两个以上得自变量彼此 相关
2. 多重共线性带来得问题有
可能会使回归得结果造成混乱,甚至会把分析 引入歧途
可能对参数估计值得正负号产生影响,特别就 是各回归系数得正负号有可能同我们与其得 正负号相反
E()=0 2. 对于自变量x1,x2,…,xp得所有值,得方差2
都相同 3. 误差项ε就是一个服从正态分布得随机变量
,即ε~N(0,2),且相互独立
多元回归方程
(multiple regression equation)
1. 描述因变量 y 得平均值或期望值如何依赖 于自变量 x1, x2 ,…,xp得方程
2. 由最小二乘法求得 3. 一般形式为
yˆ bˆ0 bˆ1x1 bˆ2x2 bˆ p xp
▪ bˆ0 , bˆ1 , bˆ2 ,, bˆ p就是b0 , b1 , b2 ,, b p
估计值
▪ yˆ 就是 y 得估计值
参数得最小二乘估计
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
Number
Traveled of Deliveries
100
4
50
3
100
4
100
2
50
2
80
2
75
3
65
4
90
3
90
2
Travel Time (hours) 9.3 4.8 8.9 6.5 4.2 6.2 7.4 6.0 7.6 6.1
第三章 多元回归分析 《应用多元统计分析》 ppt课件
n
n
ei2
yi b0 b1xi1 b2 xi2
2
bp xip
i 1
i 1
达到最小。解形如下式的正规方程：
yi (b0 b1xi1 b2 xi 2
bp xip )
0
xi1 yi (b0 b1xi1 b2 xi 2
bp xip ) 0
xip yi (b0 b1xi1 b2 xi 2
二、逐步回归分析
每步都要进行显著 性检验，以便保证 每次引入变量前回 归方程中只包括显 著性变量。这个过 不能 程反复进行，直到 既无不显著变量从 回归方程中剔除， 又无显著变量需要 选入回归方程时为 止。
开始
能否引入 不在方程中的变量
能
引入变量
能否剔除 已在方程中的变量
能
引入变量
不能
筛选结束
二、逐步回归分析
可以进一步证明最小二乘法估计量 b 服从正态分布，
即
b ~ Np1[β, 2(XX)1]
此时，最小二乘估计是一切无偏估计中方差最小的估计。
特别地，有 bj N[ j , 2 cjj ] ( j 0,1, , p )，其中，cjj 表
示矩阵 (XX)1 中第 j 行第 j 列的元素。
二、模型检验
通常来说，模型的设定只是基于定性分析作出的 假设。这种假设是否符合实际，能否得到样本数据 的支持，还需要在求出线性回归方程后，对回归方 程进行显著性检验。多元线性回归方程的显著性检 验与一元线性回归方程的显著性检验思想是一致的， 但也有不同之处。这里我们介绍两种方法，一是回 归方程整体显著性的 检验F ，另一个是回归系数显
从回归模型的简洁性上看，回归方程中包含自变量个数 越小越好。
多元回归及相关(统计学课件)
医学统计学第七章多元线性回归与相关上海交通大学医学院生物统计学教研室张莉娜医学研究统计分析方法生命现象多样性相关性复杂性随机性多元统计分析方法多元回归分析判别分析聚类分析Logistic 回归Cox 回归……事物间的相互联系往往是多方面的，在很多情况下对应变量y 发生影响的自变量往往不止一个。
如:➢人的体重与身高、胸围➢体表面积与身高、体重➢血压值与年龄、性别、劳动强度、饮食习惯、吸烟状况、家族史➢糖尿病人的血糖与胰岛素、糖化血红蛋白、血清总胆固醇、甘油三脂➢……➢多元线性回归的目的就是用一个多元线性回归方程表示多个自变量和1个应变量间的关系。
m m i i x b x b x b x b b y+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=22110ˆ：截距i b : (样本)偏回归系数偏回归系数表示其他自变量固定的情况下，x i 改变一个单位，y 平均改变b 个单位。
0b εββββα+++++++=m m i i x x x x y ΛΛ2211),0(~2σεN i b多元回归分析数据格式P126编号身高(cm)x1体重(kg)x2肺活量(L)y1135.132.0 1.75 3163.646.2 2.75 5156.237.1 2.75 7167.841.5 2.75 9145.033.0 2.50 11165.549.5 3.00 13153.341.0 2.75 15160.547.2 2.25 17147.640.5 2.00 19155.144.7 2.75 21143.031.5 1.75 23160.840.4 2.75 25158.237.5 2.00 27144.534.7 2.25问题：➢身高、体重与肺活量有无线性关系？➢用身高和体重预测肺活量有多高的精度？➢单独用身高、或体重是否也能达到同样效果？➢身高的贡献大，还是体重的贡献大？➢当x 1=150，x 2=30时，=1.8073，表示对所有身高为150cm ，体重为30kg 的13岁男童，估计平均肺活量为1.8073(L)。
统计学《回归分析》课件
（3）计算偏相关系数，分析身高x、体重z 和肺活量y的之间的偏相关关系。
2023/7/20
《《 统统计计学学实》验第 》3第章6章参回数估归分计析
6-13
解： （1）画散点图，观察身高x、体重z和肺活量y 之间的相关关系
2023/7/20
《《 统统计计学学实》验第 》3第章6章参回数估归分计析
6-14
【引例6.0】
（数据文件为example 6.0）某公司经理想 研究公司员工的年薪问题，根据初步分析， 他认为员工的当前年薪y(元)与员工的开始 年薪x1(元)、在公司的工作时间x2(月)、先 前的工作经验x3(月)和受教育年限x4(年)有 关系，他随机抽样调查了36个员工，收集 到以下数据，如表6.1所示。
相关性 身高，cm
体重，kg
肺活量，L
身高(cm)
Pearson 相关性
显著性（双侧）
体重(kg)
N Pearson 相关性
显著性（双侧）
肺活量(L)
N Pearson 相关性
显著性（双侧）
N **. 在 .
16 .650** .006
16
21120 41520 26220 24420 35220 48570 27420 60720 19020 37920 25770 26520 31620 36570 22170 87570 71320 27570
11460 22260 12510 12510 17760 22500 12810 35010 11460 19260 13710 20010 17010 14760 14760 46260 23010 17010
2023/7/20
《《 统统计计学学实》验第 》3第章6章参回数估归分计析
2023/7/20
《《 统统计计学学实》验第 》3第章6章参回数估归分计析
6-13
解： （1）画散点图，观察身高x、体重z和肺活量y 之间的相关关系
2023/7/20
《《 统统计计学学实》验第 》3第章6章参回数估归分计析
6-14
【引例6.0】
（数据文件为example 6.0）某公司经理想 研究公司员工的年薪问题，根据初步分析， 他认为员工的当前年薪y(元)与员工的开始 年薪x1(元)、在公司的工作时间x2(月)、先 前的工作经验x3(月)和受教育年限x4(年)有 关系，他随机抽样调查了36个员工，收集 到以下数据，如表6.1所示。
相关性 身高，cm
体重，kg
肺活量，L
身高(cm)
Pearson 相关性
显著性（双侧）
体重(kg)
N Pearson 相关性
显著性（双侧）
肺活量(L)
N Pearson 相关性
显著性（双侧）
N **. 在 .
16 .650** .006
16
21120 41520 26220 24420 35220 48570 27420 60720 19020 37920 25770 26520 31620 36570 22170 87570 71320 27570
11460 22260 12510 12510 17760 22500 12810 35010 11460 19260 13710 20010 17010 14760 14760 46260 23010 17010
2023/7/20
《《 统统计计学学实》验第 》3第章6章参回数估归分计析
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y b0 b1x1 b2x2 bk xk
b0 ，b1，b2 ，，bk是参数 是被称为误差项的随机变量 y 是x1，x2 ， ，xk 的线性函数加上误差项 包含在y里面但不能被k个自变量的线性关系所解
释的变异性
8
2020/11/20
多元回归模型的基本假定
正态性。误差项ε是一个服从正态分布的随机变量， 且期望值为0，即ε~N(0,2)
父亲身高、母亲身高、性别是不是影响子女身高的主要 因素呢？如果是，子女身高与这些因素之间能否建立一 个线性关系方程，并根据这一方程对身高做出预测？
这就是本章将要讨论的多元线性回归问题
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调查数据
子女 身高 171 174 177 178 180 181 159 169 170 170
用样本统计量 bˆ0，bˆ1，bˆ2， ，bˆk 估计回归方 程中的 参数 b0，b1，b2， ，bk 时得到的方程
由最小二乘法求得 一般形式为
yˆ bˆ0 bˆ1x1 bˆ2x2 bˆk xk
bˆ0，bˆ1，bˆ2， ，bˆk 是 b0，b1，b2， ，bk
估计值
yˆ 是 y 的估计值
x1， x2 ，…，xk的方程 2.多元线性回归方程的形式为
E( y ) = b0+ b1 x1 + b2 x2 +…+ bk xk
b1，b2，，bk称为偏回归系数 bi 表示假定其他变量不变，当 xi 每变动一个单位
时，y 的平均变动值
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估计的多元线性回归方程
(estimated multiple linear regression equation)
y
(xi, yi )
来自残差（随机影响）
}y yˆ
yy
yˆ bˆ0 bˆ1x
}yˆ y 来自回归（系统影响）
y
x
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变差平方和关系
n
n
n
yi y2 yˆi y2 yi yˆ2
i 1
i1
i1
{ { {
总平方和(SST) 自由度：n-1
回归平方(SSR) 自由度：k
统计学第三章多元回归分析详 解演示文稿
优选统计学第三章多元回归分 析
学习目标
多元线性回归模型、回归方程与估计的回归方 程
回归方程的拟合优度与显著性检验 多重共线性问题及其处理 利用回归方程进行预测 虚拟自变量的回归 用Excel和SPSS进行回归分析
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身高受那些因素影响？
残差平方和(SSE) 自由度：n-k-1
平方和关系：SST = SSR + SSE 自由度关系：n-1=k+(n-k-1)
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多重判定系数(multiple coefficient of determination)
回归平方和占总平方和的比例 计算公式为
用Excel进行回归
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数据表
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参数的最小二乘估计
(例题分析)
偏回归系数
F检验 t 检验
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第二节 拟合优度和显著性检验
一、回归方程的拟合 二、显著性检验
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一、回归方程的拟合优度
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变差分解
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一、回归模型与回归方程
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多元回归模型 (multiple linear regression model)
一个因变量与两个及两个以上自变量的回归
描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ，…， xk 和误差项 的方程，称为多元回归模型
涉及 k 个自变量的多元线性回归模型可表示为
决定身高的因素是什么？父母遗传、生活环境、体育锻 炼，还是以上各因素的共同作用
2004年12月，中国人民大学国民经济管理系02级的两位 学生，对人大在校生进行了问卷调查。问卷采取随机发 放、当面提问当场收回
调查的样本量为98人，男性55人，女性43人。调查内容 包括被调查者的身高(单位：cm)、性别、其父母身高、 是否经常参加体育锻炼、家庭所在地是在南方还是在北 方等等。部分数据如下页的表所示(1代表男性，0代表女 性)
父亲 身高 165 182 166 178 173 170 171 167 175 172
母亲 身高 157 165 156 160 160 165 150 158 160 162
子女 性别
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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第一节 多元线性回归模型
一、回归模型与回归方程
二、参数的最小二乘估计
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二、 参数的最小二乘估计
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参数的最小二乘估计
使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 达到最小来求得 bˆ0，bˆ1，bˆ2， ，bˆk 。即
n
n
Q(bˆ0 , bˆ1, bˆ2, , bˆk ) ( yi yˆi )2 ei2 最小
i 1
i 1
求解各回归参数的标准方程如下
Q
b0
b0 bˆ0
0
Q
bi
bi bˆi
0
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(i 1，2， ，k)
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参数的最小二乘法(例题分析)
【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行 ，为弄清楚不良贷款形成的原因，抽取了该 银行所属的25家分行2002年的有关业务数 据。试建立不良贷款y与贷款余额x1、累计 应收贷款x2、贷款项目个数x3和固定资产投 资额x4的线性回归方程，并解释各回归系数 的含义
方差齐性。对于自变量x1，x2，…，xk的所有值，
的方差 2都相同
独立性。对于自变量x1，x2，…，xk的一组特定值，
它所对应的与任意一组其他值所对应的不相关
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多元线性回归方程(multiple linear regression equation)
1.描述因变量 y 的平均值或期望值如何依赖于自变量
单位：cm
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父亲 身高
母亲 身高
166
158
171
158
179
168
174
160
173
162
170
160
168
153
168
153
170
167
170Байду номын сангаас
160
1：男
子女 性别
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0：女
子女 身高 155 161 166 170 158 160 160 162 165 168