导数中的零点问题(学生版)

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导数的零点问题及恒成立问题(学生版)

导数的零点问题与恒成立问题

1.已知函数f(x)=ln x+ax+1.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)对任意x>0，xe2x≥f(x)恒成立，求实数a的最大值.

已知函数f x =a ln x +2 -x a ∈R .

(1)讨论f (x )的单调性和最值；

(2)若关于x 的方程e x =2m -1m ln m

x +2

(m >0)有两个不等的实数根x 1,x 2，

求证：e x 1

+e x 2

已知f x =sin n x ，g x =ln x +me x (n 为正整数，m ∈R )．

(1)当n =1时，设函数h x

=x 2-1-2f x ，x ∈0,π ，证明：h x 有且仅有1个零点；

(2)当n =2时，证明：f x 2

+g x <x +m e x -1．

4.已知函数f x =e x-a ln x,a∈R.

(1)当a=0时，若曲线y=f x 与直线y=kx相切于点P，求点P的坐标；

(2)当a=e时，证明：f x ≥e；

(3)若对任意x∈0,+∞

，不等式f x >a ln a恒成立，请直接写出a的取值范围.

已知函数f x =x -a ln x ,a ∈R

(1)请讨论函数f x 的单调性

(2)当x ∈1e ,+∞ 时，若e x ≥λ

x ln ln x +x +1 +1 恒成立，求实数λ的取值范围

6.已知函数f x =ax2-1

ln x，其图象在x=e处的切线过点2e,2e

．

(1)求a的值；

(2)讨论f x 的单调性；

(3)若λ>0，关于x的不等式λxf x ≤e2λx-1在区间[1,+∞)上恒成立，求λ的取值范围．

第06讲利用导数研究函数的零点(方程的根) (精讲+精练)(学生版)

第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）

(精讲+精练）

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：课前自我评估测试

第三部分：典型例题剖析

高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数

高频考点二：证明唯一零点问题

高频考点三：根据零点情况求参数

①利用最值（极值）研究函数零点问题

②利用数形结合法研究函数的零点问题

③构造函数研究函数零点问题

第四部分：高考真题感悟

第五部分：第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）

1、函数的零点

（1）函数零点的定义：对于函数()

y f x

=，把使(

f x=的实数x叫做函数()

y f x

=的零点．

（2）三个等价关系

方程0

)

f有实数根⇔函数)

y=的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数)

y=有零点．

2、函数零点的判定

如果函数()

y f x

=在区间[,]

a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0

f a f b

⋅<，那么函数()

y f x

在区间(,)

a b内有零点，即存在(,)

c a b

∈，使得()0

f c=，这个c也就是()0

f x=的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．

注意：单调性+存在零点=唯一零点

1．（2022·全国·高二）已知函数()

f x的定义域为[]

-，，部分对应值如下表：

()

f x的导函数()

y f x

='的图象如图所示，

则下列关于函数()

f x的命题：

① 函数()

y f x

=是周期函数；

② 函数()

f x在[]

02，是减函数；

③ 如果当[]1,

x t

∈-时，()

f x的最大值是2，那么t的最大值为4；

④ 当12

导数与函数零点问题解题方法归纳

导函数零点问题

一．方法综述

导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题.

二．解题策略

类型一察“言”观“色”，“猜”出零点

【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()()

21e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若函数()()

21e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x

f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得；（2）依题意可得()()21e x

g x m x =+'-，当0m 函数在定义域上单调递增，不满足条件；

当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m ，01m <<三种情况讨论可得.

【解析】（1）因为()()21x f x x ax e =++，所以()()221e x

f x x a x a ⎡⎤=+++⎣⎦'+，即()()()11e x

f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-.

①当0a =时，()()21e 0x f x x =+'，当且仅当1x =-时，等号成立.

利用导数研究零点问题及方程的根的问题(学生版)

利用导数研究零点问题及方程的根的问题

1.已知函数f x =x cos x +

14x 2，f ′x 为f x 的导函数．(1)若x ∈0,π2 ,f x ≥mx 2成立，求m 的取值范围；(2)证明：函数g x =f ′x +cos x 在0,

π2 上存在唯一零点．

2.已知函数f x =e x+a

e x

-a-1

x-2a∈R

(1)求函数f(x)的单调区间.

(2)若a∈(-∞,2]，求函数f(x)在区间(-∞,2]上的零点个数.

3.设函数f x =x2-ax+2sin x.

(1)若a=1，求曲线y=f x

的斜率为1的切线方程；

(2)若f x 在区间0,2π

上有唯一零点，求实数a的取值范围.

4.已知f x =e x-2x.

(1)求f x 的单调区间；

上无实数解(2)证明：方程f x =cos x在-π2,0

5.已知函数f(x)=e x+sin x-cos x，f (x)为f(x)的导数.

(1)证明：当x≥0时，f (x)≥2；

(2)设g x =f x -2x-1，证明：g(x)有且仅有2个零点.

6.已知函数f x =x2

e x

-a ln x，a≠0．

(1)若a=1e，分析f(x)的单调性；

(2)若f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．

7.已知函数f x =x -2 e x -ax +a ln x a ∈R ．

(1)当a =-1时，求函数f x 的单调区间；

(2)当a <e 时，讨论f x 的零点个数．

8.函数f x =x -2 e x ,g x =13ax 3-12x 2-x +4a sin x +

导数中的隐零点专项训练题(强烈推荐-公式编辑器完美编辑之学生版)

导数压轴题中的“隐零点”问题之专项训练题

1、设函数()2x

f x e ax =--. (Ι)求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值.

变式训练：已知函数()()ln ,f x x x ax a R =+∈.

（Ⅰ）若函数()f x 在)

2,e ⎡+∞⎣上为增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()()()1,,1x f x k x ax x ∀∈+∞>-+-恒成立，求正整数k 的值.

2、已知函数()()ln x

f x e x m =-+. (Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >.

变式训练：已知函数()32213

f x x x ax =

+++在()1,0-上有两个极值点1x 、2x ，且12x x <. (Ι)求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明：()21112f x >.

3、已知a R ∈，函数()2

x f x e ax =+；()g x 是()f x 的导函数. （Ⅰ）当12

a =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，求证：存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈-

⎪⎝⎭，使得()00g x =；（Ⅲ）若存在实数,a b ，使得()f x b ≥恒成立，求a b -的最小值.

变式训练：已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2

x f x f e f x x -'=-+

第11讲拓展四：导数中的隐零点问题 (精讲+精练)(学生版)

第11讲拓展四：导数中的隐零点问题 (精讲

+精练）

第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析

第三部分：第11讲拓展四：导数中的隐零点问题（精练）

1、不含参函数的隐零点问题

已知不含参函数)(x f ，导函数方程0)('=x

f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则有： ①关系式0)('0=x f 成立；②注意确定0x 的合适范围.

2、含参函数的隐零点问题

已知含参函数),(a x f ，其中a 为参数，导函数方程0),('=a x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则有

①有关系式0)('0=x f 成立，该关系式给出了a x ,0的关系；②注意确定0x 的合适范围，往往和a 的范围有关.

3、函数零点的存在性

（1）函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =. ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号

(3)若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一.

导数中两种零点问题解决方法

导数中的零点问题解决方法

解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。一、能直接分离参数的零点题目

此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。

例1.已知函数f(x)=x+a

x,g(x)=ln x，若关于x的方程

(

=f(x)-2e只有

一个实数根，求 a 的值。

解析：g

(

= f (x)-2e ⇒ a =

- x2+2ex ，令 h(x)=

- x2+2ex ，

h'(x)=1-ln x

-2x +2e ，令 h'(x)=0，则 x = e x2

当0 0 ，h(x)单调递增；当x>e时，h' (x) < 0 ，h(x)单调

递减， h(x)max= h(e)=1

e+ e2

注意这里 h(x)的单调性不是硬解出来的，因为你会发现 h'(x)的式子很复杂，但是如

果把 h(x)当成两个函数的和，即m(x)=ln

,n(x)= -x2+2ex，此时 m(x), n(x)的

单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出 h(x)的单调性和极值点。

所以 a =1

e+ e2（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可）

二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题）

这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如 f (x)在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着f (x)在区间(0,1) 上存在极值点。

导数与函数零点问题解题方法归纳

导函数零点问题

一、方法综述

导数是研究函数性质的有力工具，其核心是由导数值的正负确定函数的单调性。应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究$f(x)$的单调性，往往需要解方程

$f'(x)=0$。若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专

题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题。

二、解题策略

类型一：察“言”观“色”，“猜”出零点

例1】【2020·福建南平期末】

已知函数$f(x)=x+ax+\frac{1}{e^{2x}}$

1）讨论$f(x)$的单调性；

2）若函数$g(x)=x+\frac{1}{e^{-mx}-1}$在$[-1,+\infty)$有

两个零点，求$m$的取值范围。

分析】

1）首先求出函数的导函数因式分解为

$f'(x)=(x+a+1)(x+1)e^{-2x}$，再对参数$a$分类讨论可得：

①当$a=0$时，$f'(x)=(x+1)e^{-2x}$，当且仅当$x=-1$时，等号成立。故$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$为增函数。

②当$a>0$时，$-10$得$x-1$，由$f'(x)<0$得$-a-1

1$为减函数。

③当$aa+1$，由$f'(x)>0$得$x>-a-1$或$x<-1$，由

$f'(x)<0$得$-1

1,+\infty$为增函数，在$-1,-a-1$为减函数。

综上，当$a=0$时，$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$为增函数；

当$a>0$时，$f(x)$在$(-\infty,-a-1)$，$(-1,+\infty)$为增函数，

导数压轴题中的零点问题(找点技巧和常见模型)

1 2
1 2
y ln x ， y e x 1 1 ， y x 2 x ， y 1
1 ， y x ln x . x
常用的找点技巧
方法一：放缩法。成功关键：在目标区间上找到一个合适的逼近函数.
【示例】证明：当 0 a 分析：极值点为 x
1 时， f x ln x ax 有两个零点. e
4 4 4 a a a f e a 2 a a a 0. 4 ea a2
方法五：局部构造. 成功关键：舍去一些影响计算但是不影响符号判断的项，对剩下的部分进行解方程的操作.
【示例】证明：当 1 a 0 时， f x a ln x 1
2x
a 2 e x x 0 ae 2 x a 2 e x e x 0 ae x a 3 0 e x
2x
3 a 3 x ln 1 ； a a
另一方面： x 0 时， ae
a 2 e x x 0 a 2 e x x 0 x 1 （目测的）
方法四：分析与构造。成功关键：分析零点区间随参数变化的趋势，构造与之相匹配的代数式作为区间端点.
【示例】证明：当 0 a 分析：极值点为 x
2 时， f x a x ln x 有两个零点. e

导数压轴题中的零点问题(找点技巧和常见模型)

导数大题的常用找点技巧和常见模型

湖南邵阳杨歆琪

【引子】（2017年全国新课标1·理·21）已知()()22x

x f x ae a e x =+--.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

解析：（1）()()()()

2'221211x x x x f x ae a e e ae =+--=+- 若0a ≤，则()'0f x <恒成立，所以()f x 在R 上递减；若0a >，令()'0f x =，得11

,ln x e x a a

=. 当1

x a <时，()'0f x <，所以()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝

⎭上递减；

当1ln

x a >时，()'0f x >，所以()f x 在1ln ,a ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

上递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上递减；当0a >时，()f x 在1,ln

a ⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在1ln ,a ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

上递增.

（2）()f x 有两个零点，必须满足()min 0f x <，即0a >，且()min 111ln 1ln 0f x f a a a

⎛

⎫==--< ⎪⎝

⎭. 构造函数()1ln g x x x =--，0x >. 易得()1

'10g x

=--<，所以()1ln g x x x =--单调递减. 又因为()10g =，所以()11111ln 01101g g a a a a a ⎛⎫

-<⇔<⇔>⇔<< ⎪⎝⎭

微专题利用导数研究函数的零点问题

利用导数研究函数的零点问题

内容概览

题型一利用导数探究函数零点的个数题型二利用函数零点问题求参数范围题型三与函数零点有关的证明

[命题分析]函数零点问题在高考中占有很重要的地位,主要涉及判断函数零点的个数或范围.高考常考查基本初等函数、三次函数与复合函数的零点问题,以及函数零点与其他知识的交汇问题,一般作为解答题的压轴题出现.

题型一利用导数探究函数零点的个数

[典例1](2022·陇南模拟)已知函数f(x)=r1e-a(a∈R),讨论f(x

)的零点个数.

【解析】令f(x)=r1e-a=0,得a=r1e,

设g(x)=r1e,则g'(x)=e−(r1)e

(e)2=−e,

当x>0时,g'(x)<0,当x<0时,g'(x)>0,

所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(0)=1,而当x>-1时,g(x)>0,当x<-1时,g(x)<0,

g(x)的大致图象如图所示:

所以

①当a>1时,方程g(x)=a无解,

即f(x)没有零点;

②当a=1时,方程g(x)=a有且只有一解,

即f(x)有唯一的零点;

③当0<a<1时,方程g(x)=a有两解,

即f(x)有两个零点;

④当a≤0时,方程g(x)=a有且只有一解,

即f(x)有唯一的零点;

综上,当a>1时,f(x)没有零点;

当a=1或a≤0时,f(x)有唯一的零点;当0<a<1时,f(x)有两个零点.

【方法提炼】

利用导数确定函数零点或方程的根的个数的方法:

专题12 导数中隐零点的应用(学生版).docx

奶茶店学生创业计划书ppt怎么做

第一部分：商业理念

1. 商业定位：

本项目定位为一家专门提供健康美味奶茶的店铺，以迎合年轻人的口味和需求，打造一个

轻松愉快的休闲氛围，成为学生们社交和放松的好去处。

2. 服务宗旨：

我们致力于为顾客提供新鲜、健康、美味、优质的奶茶产品，并秉承“用心服务，做好每

一杯奶茶”的理念，让顾客在品尝美味的同时感受到我们的用心。

3. 创新亮点：

我们将引入自己研发的独特口味和配方，结合市场的热点趋势，推出各具特色的新品，不

断吸引顾客的兴趣和好奇心。

第二部分：市场分析

1. 行业概况：

奶茶在中国市场已经成为一种非常受欢迎的饮品，特别是在年轻人中广受喜爱。根据统计，奶茶消费市场呈逐年增长的趋势。

2. 竞争分析：

目前，奶茶市场竞争激烈，主要有国内知名品牌如喜茶、奈雪等，以及一些地方性的小众

品牌。我们要在这激烈的竞争中找到自己的定位和优势。

3. 顾客需求：

年轻人是奶茶店的主要消费群体，他们更加注重奶茶口感的新颖和健康。我们要根据他们

的需求和口味调整我们的产品。

第三部分：商业模式

1. 产品定位：

我们的主打产品是各类口味的奶茶，包括原味奶茶、水果奶茶、招牌奶茶等，另外还会推

出一些季节限定品，满足顾客的不同口味需求。

2. 价格策略：

价格要有竞争力但又不能太低，我们要根据产品的成本和市场行情进行合理定价，同时推

出一些促销活动和会员福利，吸引顾客。

3. 客户服务：

我们将注重客户服务，提供优质的服务体验，包括热情的招待、舒适的环境和快捷的配送，让顾客感受到我们的诚意和用心。

第四部分：团队搭建

导数中的零点问题(学生版)

专题2.3导数中的零点问题

解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。

一、能直接分离参数的零点题目

此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。

例1.已知函数(),()ln a f x x g x x x =+=，若关于x 的方程2()()2g x f x e x

=-只有一个实数根，求a 的值。注意这里()h x 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现'()h x 的式子很复杂，但是如果把()h x 当成两个函数的和，即2ln (),()2x m x n x x ex x

==-+，此时(),()m x n x 的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出()h x 的单调性和极值点。所以21a e e

=+（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可）二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题）

这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如()f x 在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着()f x 在区间(0,1)上存在极值点。

在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。例2.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是

导数的应用四+零点问题.学生版

第13讲导数的应用四：零点问题

一、三次函数零点问题

经典精讲

【例1】（2017春•腾冲县月考）已知函数y32﹣2x

（Ⅰ）求函数在点（0，0）处的切成方程

（Ⅱ）若函数y32﹣2x的图象与函数y＝k的图象恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．

二、零点个数判断

经典精讲

【例2】（2013•陕西）已知函数f（x）＝e x，x∈R．

（Ⅰ）求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；

（Ⅱ）证明：曲线y＝f（x）与曲线y有唯一公共点．

【例3】（2018春•伊通县期末）已知函数f（x）．

（1）若a＝﹣1，求函数f（x）的极值，并指出是极大值还是极小值；

（2）若a＝1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的下方．

【例4】（2018秋•全国期末）已知函数f（x）＝ax（3a+1）lnx+a，a∈R．（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；

（2）当a＝1时，试判断函数f（x）的零点个数，并说明理由．

三、证明零点个数问题

经典精讲

【例5】（2019•云南一模）已知e是自然对数的底数，函数f（x）与F（x）＝f（x）﹣x的定义域都是（0，+∞）．

（2）求证：函数F（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）．

【例6】（2017秋•保山期末）已知函数．（2）讨论f（x）的单调性；

（3）若函数f（x）在x∈[1，e]上无零点，求a的取值范围．总结：

四、对两个零点的加工处理

经典精讲

【例7】（2017秋•保山期末）已知函数f（x）＝e x﹣ax（a∈R）．

（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线为x+y﹣1＝0，求实数a的值；

导数中的零点问题

题型一：零点的基本解法（两种）

1、已知函数],1[

,ln 2)(22e e

x mx x x x f ∈+-=有两个零点，求实数m 的取值范围.

2、已知函数()()21+-=x a xe x f x (1)若e a =，求函数)(x f 的极值；

(2)若函数)(x f 有两个零点，求实数a 的取值范围．

3、已知函数()()x e a ae x f x x --+=22

（1）讨论()x f 的单调性：

（2）若()x f 有两个零点，求a 的取值范围。

4、已知函数()())0(22

12>-++-=a e x ax ax x f x （1）求函数()x f 的单调区间；

（2）若函数()x f 存在3个零点，求a 的取值范围。

1、曲线3x y =在点()1,1处的切线方程为；过点()1,1处的切线方程

为。

2、已知函数

),()(23R n m nx mx x x f ∈++=．（1）若()x f 在1=x 处取得极大值，求实数m 的取值范围；

（2）若0)1(='f ，且过点)1,0(p 有且只有两条直线与曲线)(x f y =相切，求实数m 的值．

3、已知函数x bx ax x f 3)(2

3-+=在1±=x 处取得极值．

（1）求函数()x f 的解析式；

（2）若过点),1(m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围．

1、已知函数)(36)(23R t t x x x x f ∈++-=.

（1）求函数()x f 的单调区间；

（2）设函数)()(x f x g =有三个不同的极值点，求t 的取值范围．

导数在零点问题中的应用(学案)

利用导数探究函数的零点问题
一：函数的零点定义
1：
f ( x) 的零点方程 f ( x) 0的根函数 y f ( x) 的图象与x轴的交点
的横坐标。
百度文库
函数 y
2：强调函数的零点是一个实数
() x f() x g () x 推广：函数 h 的零点

方程 f( x ) gx ( ) 0的根
数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出
实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.
x ) 2 x 10 x 37 在区间 [2,4] 判断函数 f( 例3、
3 2
上的零点个数
3 2 f ( x ) ax bx x ( x R , a 0 ) 已知函数例4、
且当x=1和x=2时函数取得极值（1）求函数的解析式

) g(x) 的根方程 f (x
函数 y g(x) 与 y f ( x) 的图象的交点的横坐标。
二、利用导数探究函数零点问题
3 2 例1、方程 x 6 x 9 x 1 00
（1）方程有几个根？
6 x 9 x 40 （2）若方程为 x
3 2
那么方程有几个根？
( x ) 3 x m ( 2 x 0 ) （2）若曲线 y f (x) 与 g
有两个不同的交点，求实数m的取值范围

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