计算方法实验题
计算方法 试题A 答案
计算方法试题A 答案大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005级试A 卷答案课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分标准分 42 8 15 15 15 5 / / / / 100 得 分一、填空（每一空2分，共42分）1．为了减少运算次数，应将表达式.543242161718141311681x x x x x x x x -+---++- 改写为()()()()()()()1816011314181716-+++---+-x x x x x x x x x ；2．给定3个求积节点：00=x ，5.01=x 和12=x ，则用复化梯形公式计算积分dx e x ⎰-102求得的近似值为()15.02141--++e e ， 用Simpson 公式求得的近似值为()15.04161--++e e 。
1． 设函数()1,0,1)(3-∈S x s ，若当1-<x 时，满足0)(=x s ，则其可表示为()()33323111)(+++-+++=x c x c x c x s 。
4．已知12)2(,6)1(,0)0(===f f f ,则=]1,0[f 6 ,=]2,1,0[f 0 ，逼近)(x f 的Newton 插值多项式为x 6。
5．用于求()01=--=x e x f x 的根0=x 的具有平方收敛的Newton 迭代公式为：1121---⨯-=+k k x k x k k e x e x x 。
姓名： 学号：院系：班级： 授课教师：张宏伟装订线6．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000101000-A ，则A 的Jordan 标准型是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100000或⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000010；7．设A 是n 阶正规矩阵，则=2A ()A ρ；8．求解一阶常微分方程初值问题t u t t u +-=')1()(2，00)(u t u =的向后（隐式）Euler 法的显式化的格式为：()211111+++-++=n n n n t h ht u u 。
用有效数字的运算法则计算下列各题
用有效数字的运算法则计算下列各题有效数字是指用来表示测量结果的数字，它们反映了测量结果的精度和不确定性。
在科学和工程领域，有效数字的运算法则是非常重要的。
下面，我们将通过以下几个问题来探讨有效数字的运算法则。
1. 问题描述：在化学实验中，测得溶液的体积为25.0毫升，浓度为0.125 mol/L。
求出溶质的物质的量。
解决方法：根据有效数字的运算法则，我们首先要确定各个数据的有效数字个数。
25.0毫升的有效数字为3个，0.125 mol/L的有效数字为3个。
在这两个数中，小数点后面的0都是有效数字。
我们可以得到如下运算：\[物质的量=25.0毫升×0.125 mol/L=3.125 mol\]根据有效数字运算法则，我们要保留最少有效数字个数的位数。
在这个例子中，25.0毫升有3个有效数字，0.125 mol/L有3个有效数字，因此结果应该保留3个有效数字。
最终结果为3.13 mol。
2. 问题描述：某学生用螺线测微米螺距，所测得一周期的长度为0.43毫米，问相邻两径向测量点的距离应用有效数字的规则应取几位？解决方法：在这个问题中，测得的周期长度为0.43毫米。
有效数字的个数为2个。
根据有效数字的运算法则，我们应该保留最少有效数字个数的位数，所以相邻两径向测量点的距离应该取2位有效数字。
这样可以保证我们的测量结果更加准确。
通过以上两个问题的探讨，我们可以总结出使用有效数字的运算法则在科学实验和工程测量中的重要性。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来灵活运用有效数字的运算法则，以保证实验数据和测量结果的准确性和可靠性。
个人观点：有效数字的运算法则在科学研究和工程领域中具有非常重要的作用，它可以帮助我们准确地进行实验数据的处理和结果的分析，为科学研究和工程实践提供可靠的支持。
我们在进行实验和测量时，一定要严格遵守有效数字的运算法则，以保证我们的科研成果和工程成果的准确性和可靠性。
总结回顾：通过本文的讨论，我们了解了在科学和工程领域中使用有效数字的运算法则的重要性。
计算方法实验报告习题2(浙大版)
计算方法实验报告实验名称： 实验2 列主元素消去法解方程组 1 引言工程实际问题中，线型方程的系数矩阵一般为低阶稠密矩阵和大型稀疏矩阵。
用高斯消去法解Ax =b 时，可能出现)(k kk a 很小，用作除数会导致中间结果矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，使结果不可靠；采用选主元素的三角分解法可以避免此类问题。
高斯消去法的消去过程，实质上是将A 分解为两个三角矩阵的乘积A =LU ，并求解Ly =b 的过程。
回带过程就是求解上三角方程组Ux =y 。
所以在实际的运算中，矩阵L 和U 可以直接计算出，而不需要任何中间步骤，从而在计算过程中将高斯消去法的步骤进行了进一步的简略，大大提高了运算速度，这就是三角分解法。
采用选主元的方式与列主元高斯消去法一样，也是为了避免除数过小，从而保证了计算的精确度。
2 实验目的和要求通过列主元素消去法求解线性方程组，实现P A =LU 。
要求计算解x ，L ，U ，整形数组IP (i )，(i =1,2,…,)（记录主行信息）。
3 算法原理与流程图（1）原理将A 分解为两个三角矩阵的乘积A =LU 。
对方程组的增广矩阵[]b A A ,=经过k-1步分解后，可变成如下形式：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→-------------n nnnjnkk n n n i in ij ik k i i i k kn kj kk k k k k k n k j k k k k k k k n j k k n j k k b a a a l l l b a a a l l l b a a a l l l y u u u u l l y u u u u u l y u u u u u u A1,211,211,211,1,1,11,12,11,122221,2222111,1,11,11211第k 步分解，为了避免用绝对值很小的数kku 作除数，引进量1111 (,1,,;1,2,,) ()/ (1,2,,;1,2,,)k kj kj km mj m k ik ik im mk kk m u a l u j k k n k n l a l u u i k k n k n -=-=⎧=-=+=⎪⎪⎨⎪=-=++=⎪⎩∑∑11(,1,,)k i ik im mkm s a l u i k k n -==-=+∑，于是有kk u =ks 。
计算方法习题 (1)
《计算方法》练习题一练习题第1套参考答案 一、填空题 1．Λ14159.3=π的近似值，准确数位是（ 210- ）。
2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （))((!2)(b x a x f --''ξ ）。
3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （52）。
4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。
5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。
二、单选题1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。
A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ）． Ａ．2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速．Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）.A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o 三、计算题1．求矛盾方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2423212121x x x x x x 的最小二乘解。
22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ϕ，由0,021=∂∂=∂∂x x ϕϕ得：⎩⎨⎧=+=+9629232121x x x x ，解得149,71821==x x 。
2．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰211dx x，并估计误差。
⎰≈++++≈21697.0]217868581[81x dx ， 9611612)(2=⨯≤M x R 。
3．用列主元消元法解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++426453426352321321321x x x x x x x x x 。
(完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版)
2002-2003第一学期一．计算及推导（5*8）1．已知* 3.141,x x π==，试确定*x 近似x 的有效数字位数。
2．有效数***1233.105,0.001,0.100x x x =-==，试确定***123x x x ++的相对误差限。
3．已知3()0.50.12f x x x =++，试计算差商[]0,1,2,3f 4．给出拟合三点(0,1),(1,0)A B ==和(1,1)C =的直线方程。
5．推导中矩形求积公式''31()()()()()224b aa b f x dx b a f f b a η+=-+-⎰ 6．试证明插值型求积公式()()nbi i ai f x dx A f x =≈∑⎰的代数精确度至少是n 次。
7．已知非线性方程()x f x =在区间[],a b内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代公式。
8．用三角分解法求解线性方程组123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦要用二次插值多项式计算(0.63891)f 的近似值，试选择合适的插值节点进行计算，并说明所选用节点依据。
（保留5位有效数字）（12分） 三． 已知方程ln 0x x +=在(0,1)内有一实根α（1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似0(0,1)x ∈迭代法都收敛，并证明其收敛性。
（2）00.5x =试用构造的迭代公式计算α的近似值n x ，要求3110n n x x ---≤。
四． 设有方程组112233131232a x b a x b a x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦当参数a 满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。
写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。
（12分） 五．用欧拉预估校正法求解初值问题 '2 (00.2)(0)1x y y x y y ⎧=-≤≤⎪⎨⎪=⎩ 取h=0.1，小数点后保留5位。
计算方法习题库
第一章例1、已知近似数*x 有两位有效数字，试求其相对误差限。
有两位有效数字，试求其相对误差限。
解：1a 是1到9之间的数字，%510211021)(1)12(1=´£´£---a x r e 例2、 以下误差公式不正确的是（以下误差公式不正确的是（ ）A ．)()(2121x d x d x x d -»-）（ B ．)()(2121x d x d x x d +»+）（C ．)()()(211221x d x x d x x x d +»× D ．)()(2121x d x d x x d -»）（答案：D 例3 ln2=0.69314718ln2=0.69314718……，精确到10－3的近似值是多少？的近似值是多少？解：精确到103＝0.001，即绝对误差限是e ＝0.0005， 故至少要保留小数点后三位才可以。
ln2»0.693 例4 8030.0,001.2-==y x 设是由真值**y x 和经四舍五入得到的近似值，试估计y x +的误差限________．解：由四舍五入易知3105.0)(-´£x d ，4105.0)(-´£x d ，由误差传播估计式从而有，由误差传播估计式从而有 31055.0)()()()()(-´£+£+»+y d x d y d x d y x d第二章例1：通过点),(0y x ， ),(11y x ， ),(22y x 所作的插值多项式是所作的插值多项式是( ) ( )(A) (A) 二次的二次的二次的 (B) (B) (B) 一次的一次的一次的 (C) (C) (C) 不超过二次的不超过二次的不超过二次的 (D) (D) (D) 大于二次的大于二次的大于二次的答案：(C) 例2：函数)(x f 在节点543,,x x x 处的二阶差商)(],,[543¹x x x f(A)],,[435x x x f (B) 3535)()(x x x f x f --(C)535443],[],[x x x x f x x f -- (D)534534],[],[x x x x f x x f --答案：(B)w x )(x 12)3(252132-- ，k x k f (x k ) 一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商 三阶差商三阶差商 四阶差商四阶差商 0 0.40 0.410 75 1 0.55 0.578 15 1.116 00 2 0.65 0.696 75 1.168 00 0.280 00 3 0.80 0.888 11 1.275 73 0.358 93 0.197 33 4 0.90 1.201 52 1.384 10 0.433 48 0.213 00 0.031 34 计算公式为：计算公式为：一阶差商一阶差商 )3,2,1,0()()(],[111=--=+++k x x x f x f x x f k k k k k k二阶差商二阶差商 )2,1,0(],[],[],,[221121=--=++++++k x x x x f x x f x x x f k k k k k k k k k +--+-+=)55.0)(40.0(28000.0)40.0(11600.141075.0)(3x x x x N)65.0)(55.0)(40.0(19733.0---x x x由于)(x f y =形式未知，显然不能通过余项定理来估计误差，可采用牛顿插值的余项形式来估计：)80.0)(65.0)(55.0)(40.0](,80.0,65.0,55.0,40.0[)(3----=x x x x x f x R 插值点85.0=x ，03134.0]90.0,80.0,65.0,55.0,40.0[],80.0,65.0,55.0,40.0[=»f x f （假设四阶差商变化不大）从而有误差估计：)80.085.0)(65.085.0)(55.085.0)(40.085.0(03134.0)(3----»x R例8：已知函数y =f (x )的观察数据为的观察数据为x k－2 0 4 5 y k5 1 －3 1 试构造f (x )的拉格朗日多项式P n (x )，并计算f (－1)。
实用计算方法习题1解答
习题11.1 举例说明用计算机解决实际问题的过程。
解：实际问题: 某公司计划生产Ⅰ，Ⅱ两种家电产品。
已知生产一件产品需占用设备A ，B 的时数及需要的调试时间、每天可用于生产这两种家电的设备的时数及调试时间和出售一件产品的获利情况（如表1-1所示）。
问该公司每天生产两种家电各多少件时获利最大？表1-1 生产信息表求解过程：第一步：建立数学模型设制造Ⅰ，Ⅱ产品数量为x 1，x 2.则利润z=2x 1+x 2问题：在现有设备、调试时数的限制下，如何确定产量1x ，2x .可使利润最大？ 可用数学语言表述如下： 目标函数：z max =21x +2x 约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤)4(0,)3(5)2(2426)1(1552121212x x x x x x x 以上数学描述即问题的数学模型称为线性规划。
第二步：构造解线性规划的算法选择求解线性规划的单纯形法如本教材7.3.4单纯形法的实现算法。
第三步：编写程序（即用计算机语言描述算法）选择C 语言作为编程语言，编写程序如本教材7.4单纯形法例程。
第四步：编辑、调试、编译和运行程序，获得计算结果 选择VC6.0环境下建立和运行程序，操作过程如本教材附录。
第五步：分析计算结果对计算结果的正确性进行分析。
1.2 指出下列各数具有几位有效数字：2.0004 －0.00200 9000.00解： 因为x 1＝2.0004＝0.20004×101，绝对误差限0.000 05＝0.5×101―5，即m ＝1，l ＝5，故x 1＝2.0004有5位有效数字。
相对误差限x 2＝－0.00200， 有3位有效数字。
设备A 的限制 设备B 的限制 调试能力限制 非负约束x 3＝9000.00，有6位有效数字。
1.3 一个算法步骤如下：第一步：令S 的值为0，i 的值为5；第二步：如果i ≤8则执行第三步，否则执行第六步； 第三步：计算S+i 的值，并将结果代替S 的值； 第四步：用i+2的值代替i ； 第五步：转去执行第二步； 第六步：输出S 。
计算方法习题集及答案
得：
当方法为零稳定时 ，从而 ，故方法是二阶收敛的。
6．给出题(6.5)题中 时的公式的绝对稳定域.
解：
6.5中当 时，即为方法
其相应的差分方程的多项式为
令 ，
即方法的绝对稳定域为
7．指出Heun方法
0
0
0
0
1/3
1/3
0
0
2/3
0
2/3
0
1/4
0
3/4
的相容阶，并给出由该方法以步长h计算初值问题(6.45)的步骤.
即
取 。即
满足上述条件的多步方法即为一类三步四阶显示方法，令 可得
方法即为
3．形如
的k阶方法称为Gear方法，试确定一个三步Gear方法，并给出其截断误差主项。
解：线性k步公式为
由Gear法的定义知，三步Gear法满足
方法为 阶，故有
得：
取 得
得三步Gear方法：
其中
4．试用显式Euler法及改进的Euler法
证明：
且
即 为 的二阶零点
设
令
易知
又
由微分中值定理（Rolle定理） ，使得
进而 有三个零点， 有两个零点， 有一个零点，
即 使得
得
8.设 是Lagrange基函数，则 。
9.求一个次数不超过4次的多项式 ，使它满足
，并写出其余项表达式。
10.求一个四次插值多项式 ，使 时， ；而 时， ，并写出插值余项的表达式。
练习
班级
学号
姓名
1.试构造迭代收敛的公式求解下列方程：
（1） ; (2) 。
解：
（1）迭代公式 ， 公式收敛
k
数值计算方法上机实验题
数值计算方法上机实验实验内容：1.要求:分别用复化梯形法,复化Simpson 法和 Romberg 公式计算.2．给定积分dx e x⎰31和dx x ⎰311 ,分别用下列方法计算积分值要求准确到510- ,并比较分析计算时间. 1）变步长梯形法; 2）变步长 Simpson 法; 3) Romberg 方法.算法描述：1、复合梯形法：⎰=tdt t a t V 0)()( ))()(2)((211∑-=++=n k k n b f x f a f hT输入 被积函数数据点t,a. 输出 积分值.n T复合Simpson 法：⎰=tdt t a t V 0)()( ))()(2)(4)((6101121∑∑---=++++=n k n k k k n b f x f x f a f hS输入 被积函数f(x),积分区间[a,b]和n 输出 复合Simpson 积分值n S步1 .);()(;a x b f a f S nab h n ⇐-⇐-⇐ 步2 对n k ,,2,1 =执行).(2;2);(4;2x f S S hx x x f S S h x x n n n n +⇐+⇐+⇐+⇐步3 n n S hS ⨯⇐6步4 输出n SRomberg 积分法：根据已知数据对其进行多项式拟合得出p(x);f(x)⇐p(x); 输入 被积函数f(x)，积分区间端点a,b,允许误差ε 输出 Romberg 积分值n R 2 步1 .0;0;0;0));()((2;1111⇐===+⇐-⇐k R C S b f a f hT a b h 步2 反复执行步3→步9. 步3 .2;0h a x S +⇐⇐ 步4 反复执行步5→步6. 步5 ;);(h x x x f S S +⇐+⇐步6 若x ≥b,则退出本层循环. 步7 执行.6316364;1511516;3134;2212212212212C C R S S C T T S S h T T -⇐-⇐-⇐+⇐步8 执行.1;;;;;2;2121212112+⇐⇐⇐⇐⇐⇐-⇐k k R R C C S S T T hh R R e 步9 若e ≤ε且k ≥5,则退出循环. 步10 .22R R n ⇐ 步11 输出.2n R2、变步长梯形算法：功能 求积分⎰ba)(dx x f ，允许误差为ε。
计算方法练习题与答案
练习题一
练习题二
练习题三
练习题四
练习题五
练习题六
练习题七
练习题八
练习题答案
练习题
、是非题
1.x*–12.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限
1210
2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多
3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
2
1x
3.14和3.142作为 的近似值有效数字位数相同
四*、证明题
已知方程f (x)0，试导出求根公式
xk 1xk2[f (xk)]2f (xk) f (xk)
并证明：当x是方程f(x)0的单根时，公式是3阶收敛的。
3．高斯—塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快。
(k 1) (k)
4．||M|| 1是迭代格式x(k1)Mx(k)f收敛的必要条件5*.逐次超松弛迭代法是高斯—赛德尔迭代法的一种加速方法。
方法。
三、选择题
1.解方程组Ax b的迭代格式x（k 1）Mx（k）f收敛的充要条件是（ ）（A）||A|| 1；（B）||M|| 1；
（C）（A）1；（D）（M ）1。
2．幂法的收敛速度与特征值的分布（）
（A）有关；（B）无关；（C）不一定。
3．幂法是用来求矩阵（ ）特征值及特征向量的迭代法。
（A）按模最大；（B）按模最小；
(A).舍入(B).观测(C).模型(D).截断
5．1.41300作为2的近似值，有()位有效数字。
(A)3；(B)4；(C)5；(D)6。
四、计算题
1．3.142，3.141，7分别作为 的近似值，各有几位有效数字？
2． 设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为 多少？
计算方法练习题与答案
练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1.x*–12.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限1 104( )2 。
2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。
( )3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
( )x24.1( ) 用2近似表示cosx产生舍入误差。
5.3.14和3.142作为的近似值有效数字位数相同。
()二、填空题34 9y12231.为了使计算x1x1 x1的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为；2. x *–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限为，相对误差限为；3. 误差的来源是 ；4. 截断误差为；5.设计算法应遵循的原则是。
三、选择题1．x *–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为()。
(A)7； (B)3； (C)不能确定(D)5.2．舍入误差是()产生的误差。
(A) 只取有限位数(B)模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量(D)数学模型准确值与实际值3．用1+x 近似表示e x所产生的误差是()误差。
(A).模型 (B).观测(C).截断(D).舍入* 1 2．用 2 表示自由落体运动距离与时间的关系式(g 为重力加速度)，s t 是在 4s= gt时间t 内的实际距离，则s t s *是（ ）误差。
(A).舍入(B).观测 (C).模型(D).截断5．1.41300作为2的近似值，有()位有效数字。
(A)3； (B)4；(C)5；(D)6。
四、计算题221．3.142，3.141，7分别作为的近似值，各有几位有效数字？2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：1 1 x,|x| 111 dt|x| 1x(1)12x 1 x ，(2)x1t2(3)ex1, |x|1，(4)ln(x21x)x 114．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=2gt2，g为重力加速度。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分,共17分）1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次.2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。
3、已知是三次样条函数,则=( )，=（)，=（）。
4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则（），( ），当时（)。
5、设和节点则和。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为.7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。
8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。
10、设,当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时,这种分解是唯一的。
二、二、选择题（每题2分)1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。
（1)，(2) , （3) ，(4）2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时,公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿—柯特斯求积公式不使用。
（1), （2），（3），(4），3（1)二次; (2)三次；（3）四次；（4）五次4、若用二阶中点公式求解初值问题,试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为( )。
（1）, (2），(3），（4)三、1、（82、（15(1)（1) 试用余项估计其误差。
（2）用的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值.四、1、（15分)方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；（2）对应迭代格式；（3）对应迭代格式。
判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果.2、（8分）已知方程组，其中,（1）（1) 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。
（2）（2) 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径,写出SOR迭代法。
计算方法练习题与答案
2. 求方程 x3 x2 1 0 在 x0 1.5 附近的一个根，将方程改写为下列等价形 式，并建立相应迭代公式。
(1)
x
1
1 x2
xk 1 ，迭代公式
1
1 xk2
；
1
(2)
x3 1 x2 ，迭代公式 xk1
1 xk2
3
；
x2 1
xk1
(3) x 1 ，迭代公式
1 xk 1 ；
xk 1
xk
2[
f
2 f ( xk ( xk )]2
) f (xk ) f ( xk )
f
( xk )
并证明：当 x* 是方程 f (x) 0 的单根时，公式是 3 阶收敛的。
练习题四
一、是非题
3 1 1
A 2 5 3
1．矩阵 1 2 5 具有严格对角优势。
()
3 1 1
A 1 5 3
()
3. 牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次
插值的结果。
(
)
4.
在拉格朗日插值中，插值节点 x0, x1, , xn 必须按顺序排列。 ( )
5. 利用等距节点的牛顿插值公式计算 x0 附近的 f (x) ，用后插公式。 ( )
二、填空题 1. 已知 n 3，则三次插值基函数 l2 (x) =_____________________。
() () ()
1 x2 4. 用 2 近似表示 cosx 产生舍入误差。
()
5. 3.14 和 3.142 作为 的近似值有效数字位数相同。
()
二、填空题
1.
为了使计算
y
12
3 x 1
计算方法与实习第五版习题答案
e(x1x2x3)e(x1)e(x2)e(x3)
e(x1)e(x2)e(x3) 0.5*10 40.5*10 50.5*10 5 0.6*10 4
绪论
习题1——6：一台10进制的计算机，4位字长， 阶码p∈[-2,3]，可以表示的机器数有多少个？ 给出它的最大数、最小数及距原点最近的非 零数，并求fl(x)的相对误差限。
1) x=1+1/x2 2) x3=1+x2 4) x2=x3-1 3) x2=1/(x-1)
方程求根
解：1)x1
1 x2
(x)
|1’(x)|= | -2
1 x3
|= 2
1 1.53
| x0=1.5 =0.59 <1(收敛)
2)x31x2
| 2’(x)|=|
1 3
(1
x2
2
)3
2x
|
=
|3 2x(1x2)3 2|x01.5
2）迭代计算：
x0=3.0 x4=2.981
x1=2.977 x2=2.982 x3=2.981
∴ x≈2.981
方程求根
xk1xkff((x xkk)) x(kf (x xkk 1 1))
习题2——11：用割线法求方程x3-2x-5=0的根，要
求精确到4位有效数字，取x0=2, x1=2.2。
习题2——1：证明方程1-x-sinx=0在[0,1]中有 且只有1个根，用二分法求误差不大于1/2*10-3 的根需要迭代多少次？
解：1）求单调区间 f’(x)=-1-cosx，可知在(3.14, 0)区间f’(x)<0，单调递减
(完整版)计算方法试题集及答案
复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
计算方法习题第一、二章答案
第一章 误差1 问，，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字分析 利用有效数字的概念可直接得出。
解 π= 592 65… 记x 1=，x 2=，x 3=722.由π- x 1= 59…= 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2= 59…= 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。
由π-722= 59 … 85…= 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。
这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101211021|*||*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n ra x x x x ε3 已知近似数的相对误差限为%，问x*至少有几位有效数字 分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<=a x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于%。
分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由=…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n r a x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a知取n=4即可满足要求。
5 计算76017591-，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。
解 =-76017591 8×10-2-0.131 6×10-2=×10-5结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大，若通分后再计算：56101734.0105768.01760759176017591-⨯=⨯=⨯=- 就得到4位有效数字的结果。
计算方法试题
计算方法考试题（一） 满分70分一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分） 1、将A 分解为U L D A --=，其中),,(2211nn a a a diag D =，若对角阵D非奇异（即),1,0n i a ii =≠，则b Ax =化为b D x U L D x 11)(--++=（1） 若记b D f U L D B 1111),(--=+= （2）则方程组（1）的迭代形式可写作)2,1,0(1)(1)1( =+=+k f x B x k k （3）则（2）、（3）称 【 】(A)、雅可比迭代。
(B)、高斯—塞德尔迭代 (C)、LU 分解 (D)、Cholesky 分解。
2、记*x x e k k -=，若0lim 1≠=+∞→c e e p k k k （其中p 为一正数）称序列}{k x 是 【 】(A)、p 阶收敛； (B)、1阶收敛； (C)、矩阵的算子范数； (D)、p 阶条件数。
3、牛顿切线法的迭代公式为 【 】(A)、)()(1k x f x f x x k k k '-=+ (B)、)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x1)()()1()()()(x xf x f x f k i k i k i ∂∂+=+ (D)、)()()()1(k k k x f x x -=+ 二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分）1、设0)0(f =，16)1(f =，46)2(f =，则一阶差商，二阶差商=]1,2,0[f ，)x (f 的二次牛顿插值多项式为2、 用二分法求方程01x x )x (f 3=-+=在区间]1,0[内的根，进行第一步后根所在的区间为 ，进行第二步后根所在的区间为 。
三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分）1、表中各*x 都是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值。
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1． (1)在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系如下表，利用最小二乘法拟
合浓度Y 与时间t 的关系，（5分）
t 1 2 3 4 5 6 7 8 Y 4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 9.50 9.70 9.86 t 9 10 11 12 13 14 15 16 Y
10.00
10.20
10.32
10.42
10.50
10.55
10.58
10.60
2．（1）课本第275页实验八：用Euler 方法和四阶经典Runge-Kutta 方法编写求解常微分方
程的初值问题的实验程序，并结合具体的常微分方程求出其满足给定初值的数值解。
（6分）
（2）结合自己所学的常微分方程初值问题的数值解，给出Lorenz 系统和Chen 系统的相平面图形。
（4分）
1.(1)在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系如下表，利用最小二乘法拟合浓度Y 与时间t 的关系，（5分）
t 1 2 3 4 5 6 7 8 Y 4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 9.50 9.70 9.86 t 9 10 11 12 13 14 15 16 Y
10.00
10.20
10.32
10.42
10.50
10.55
10.58
10.60
观察表中数据，总结出y 与t 的的关系，有如下的特征： 1.y 是t 的增函数; 2.当t -> 0+时，y = 0;
3.t -> ∞时，y 趋于一个定值。
根据这些条件，设想y = F( t )是双曲线型的函数：
t
b a y +=1 为了确定a,b ，令
t
x y y 1
,10==
于是可以用x 的线性函数bx a x S +=)(来拟合：拟合数据),(0i i y x 可以由原始数据),(i i y t （i = 1,2...16）计算得出。
这里x x x ==)(,1)(10ϕϕ
可求得1,0,),,(),,(0=k j y j j k ϕϕϕ代入法方程得：
实验题：（共15分）
3
3
10
52886.058435.138073.3108372.138073.316⨯=+⨯=+b a b a 解得
a = 80.6621,
b = 161.6822 从而6822
.1616621.80+=
t t
y
均方误差为：
31
2
1019.1)
(-=⨯=∑m
i i
δ
2．（1）课本第275页实验八：用Euler 方法和四阶经典Runge-Kutta 方法编写求解常微分方
程的初值问题的实验程序，并结合具体的常微分方程求出其满足给定初值的数值解。
（6分）
欧拉方法 1、 实验程序
实现欧拉方法MATLAB 函数文件agui_euler.m
在MA TLAB 命令窗口输入及实验结果及操作界面
四阶经典龙格-库塔方法
1、实验程序
实现四阶经典龙格-库塔方法的MATLAB函数文件agui_RK.m
在MA TLAB命令窗口输入及实验结果及操作界面
结果分析
从上面对欧拉方法、四阶经典龙格—库塔方法的对比分析，可综合得如下表格，以分析其各法的优劣：
n x 欧拉方法n y
四阶经典龙格-库塔方
法n y
精确解
321x y +=
0.0 1 1
1
0.1
1
1.00332229271957 1.00332228354209 0.2 1.00666666666667 1.01315943820070 1.01315940382018 0.3 1.01982398432817 1.02914253543912 1.02914246657151 0.4 1.03905399621061 1.05071767902190 1.05071757449858 0.5 1.06375374284006 1.07721747999927 1.07721734501594 0.6 1.09321128737539 1.10793180836887 1.10793165135089 0.7 1.12668098409497 1.14216492938416 1.14216475918538 0.8 1.16344346839796 1.17927388378047 1.17927370799407 0.9 1.20284455113197 1.21868908341046 1.21868890774198 1.0 1.24431437969683 1.25992122158209
1.25992104989487
误差 0.01561
1.72E-07
从上表比较可知，在计算精度上，四阶经典龙格-库塔方法的误差最小欧拉方法误差则比较大，所以四阶经典龙格-库塔方法得到最佳的精度。
而在计算量上面，相应地，很明显的四阶经典龙格-库塔方法计算量大，欧拉方法计算量小。
我们在实际运用与操作中，可以根据实际情况，选择这2种方法中的其中一种最适合的，追求精度的话，可以使用四阶经典龙格-库塔方法；而欧拉方法更主要的是适用于对的估计上，相应的，精度则有所欠缺。
以上的选择，都取决于具体的情况。
（2）结合自己所学的常微分方程初值问题的数值解，给出Lorenz 系统和Chen 系统的相平面图形。
（4分）
Lorenz 系统模型可以用如下微分方程组描述：
)()()()
()()()()()
())()(()
(t bz t y t x dt
t dz t z t x t y t rx dt t dy t y t x a dt t dx -=--=--= 该方程的初始条件为：
000)0(,)0(,)0(z t z y t y x t x ======
Matlab 程序如下： clear
y = [5;5;10]; t = 6000; h = 0.01; for i = 1:t
a = [-10100; 28 -1 - y[1,t]- 8/3]; f( ; , i) = a* y( ; , i );
y(; , i+1) = y( ; , i) + h * f(; , i);
end;
figure(1)
plot3(y(1, ; ), y(2, ; ),y(3, ; )) view( [1,0,0] )。