16-17版： 2.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用(创新设计)

第2课时 指数函数及其性质的应用
[学习目标] 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题．
知识点一 指数型复合函数y ＝a f (x )(a >0且a ≠1)的单调性
(1)复合函数y ＝f (g (x ))的单调性：当y ＝f (x )与u ＝g (x )有相同的单调性时，函数y ＝f (g (x ))单调_____，当y ＝f (x )与u ＝g (x )的单调性相反时，函数y ＝f (g (x ))单调_____，简称为_____．
(2)当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有______的单调性；当0＜a ＜1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性______．
知识点二 指数型函数y ＝k ·a x (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)模型
1．指数增长模型
设原有量为N ，每次的增长率为p ，经过x 次增长，该量增长到y ，则y ＝N (1＋p )x (x ∈N )．
2．指数减少模型
设原有量为N ，每次的减少率为p ，经过x 次减少，该量减少到y ，则y ＝N (1－p )x (x ∈N )．
题型一 利用指数型函数的单调性比较大小
例1 比较下列各组中两个值的大小：
(1)1.72.5,1.73；(2)0.6
－1.2,0.6－1.5；(3)2.3－0.28,0.67－3.1.
反思与感悟 1.对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数的单调性来判断．
2．对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数图象的变化规律来判断．
3．对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，应通过中间值来比较．
4．对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值0,1进行分组，再比较各组数的大小． 跟踪训练1 比较下列各题中的两个值的大小：
(1)0.8
－0.1，0.8－0.2；(2)(13)23-，23
5-；(3)3－x,0.5－x (－1<x <0)．
题型二 利用指数型函数的单调性解不等式
例2 (1)解不等式(12
)3x －1≤2； (2)已知23+1-x
x a <a x ＋6(a >0，a ≠1)，求x 的取值范围．
反思与感悟 1.利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
2．解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f (x )>a
g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1. 跟踪训练2 (1)不等式4x <42－3x 的解集是________．
(2)设0<a <1，关于x 的不等式223+7-x
x a >222-3+x x a 的解集是________.
题型三 指数型函数的单调性 例3 判断f (x )＝2213-⎛⎫ ⎪⎝⎭
x x 的单调性，并求其值域．
反思与感悟 1.关于指数型函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a ＞1还是0＜a ＜1；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．
2．求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f [φ(x )]的单调性．
跟踪训练3 求函数y ＝222-+x
x 的单调区间.
题型四 指数型函数的综合应用
例4 已知定义在R 上的函数f (x )＝a ＋14x ＋1
是奇函数． (1)求a 的值；
(2)判断f (x )的单调性(不需要写出理由)；
(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．
跟踪训练4 设a ＞0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数． (1)求a 的值；
(2)求证f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
利用图象解决复合函数的单调性
例5 已知f (x )＝x 2＋1，g (x )＝|(12
)x －1|，求f (g (x ))的单调区间． 解 由已知，得f (g (x ))＝|(12
)x －1|2＋1， 则f (g (x ))可以看作u ＝|(12
)x －1|与f (u )＝u 2＋1的复合函数． 因为u ≥0，所以f (u )是增函数．
所以f (g (x ))的单调递增区间就是u ＝|(12)x －1|的单调递增区间，f (g (x ))的单调递减区间就是u ＝|(12
)x －1|的单调递减区间．
作出函数u ＝|(12
)x －1|的图象，如图所示，
可知u ＝|(12
)x －1|的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)， 所以f (g (x ))的单调递增区间为[0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0]．
反思与感悟 求复合函数y ＝f (g (x ))的单调区间时，如果内函数y ＝g (x )的图象容易画出，那么就可以通过图象求出这个函数的单调区间，从而简化解题过程．
跟踪训练5 已知函数y ＝(12
)|x ＋2|. (1)作出图象；
(2)由图象指出其单调区间；
(3)由图象指出，当x 取什么值时，函数有最大值或最小值．
1．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．c ＞b ＞a
D ．c ＞a ＞b
2．若⎝⎛⎭⎫122a ＋1＜⎝⎛⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝
⎛⎭⎫－∞，12 3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 的单调递增区间为( )
A ．(－∞，＋∞)
B ．(0，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．(0,1) 4．已知a ＝5－12
，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为_____． 5．已知函数f (x )＝a －12x ＋1
，若f (x )为奇函数，则a ＝________.。