9A-数学-4-教师-相似三角形的性质与应用-数学
相似三角形的性质与应用讲义(比较完整)
相似三角形的性质和应用教学目标1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相 似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.重点、难点1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点.考点及考试要求1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方教学内容：知识框架1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.3、3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.题型分类考点一：计算线段的长或线段之间的比例1：已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，AC =6，DB =5，求AD 的长．A BC DABDE针对练习： 如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，底边上的高AD=10cm ，腰AC 上的高BE=12cm ．求证：35=BD AB ；例2：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2＝2CD ·AC ． 思考：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证BCACCD BC =2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，该怎么办？BC知识概括、方法总结与易错点分析 1、 相似三角形对应边成比例；2、从结论出发找到边所在的三角形，再利用已知条件证明三角形相似。
考点二：证明线段平行典型例题．如图，AD 为ABC ∆的角平分线，BE 垂直于AD 的延长线于E ，AD CF ⊥于F ，BF ，EC 的延长线交于点P ，求证：AP CF //针对练习：如图，梯形ABCD 中，CD AB //，M 为AB 的中点，分别连结AC ，BD ，MD ，MC ，且AC 与MD 交于E ，DB 与MC 交于F ，求证：CD EF //知识概括、方法总结与易错点分析相似三角形的判断、性质和平行线的判定考点三：求相似三角形的周长典型例题例：两相似三角形的对应边的比为4：5，周长和为360cm ，这两个三角形的周长分别是多少？针对练习：如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB ＝5，求：（1）AGAF；（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；知识概括、方法总结与易错点分析 相似三角形的周长比等于相似比ABCDE F考点四：计算多边形的面积典型例题1．如图，已知：在ABC ∆与CAD ∆中，BC DA //，CD 交AB 于E ，且2:1:=EB AE ，BC EF //交AC 于F ，1=∆ADE S 。
浙教版数学九年级上册4.5《相似三角形的性质及应用》说课稿
浙教版数学九年级上册4.5《相似三角形的性质及应用》说课稿一. 教材分析《相似三角形的性质及应用》是浙教版数学九年级上册第四章第五节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的定义、性质的基础上，进一步探讨相似三角形的性质及应用。
通过本节的学习，使学生能够理解和掌握相似三角形的性质，并能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对相似三角形的定义和性质有一定的了解。
但是，学生对相似三角形的性质及应用的理解和运用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、思考、交流等方式，进一步理解和掌握相似三角形的性质，并能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解和掌握相似三角形的性质，能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、交流等方式，培养学生的观察能力、思考能力和交流能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生体验到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似三角形的性质及应用。
2.教学难点：相似三角形的性质的推导和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，引导学生通过观察、思考、交流等方式，理解和掌握相似三角形的性质。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，帮助学生直观地理解和掌握相似三角形的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过复习相似三角形的定义和性质，引导学生进入本节内容的学习。
2.探究：提出问题，引导学生观察、思考、交流，探究相似三角形的性质。
3.讲解：讲解相似三角形的性质及应用，引导学生理解和掌握相似三角形的性质。
4.练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学的内容。
5.总结：对本节内容进行总结，强调相似三角形的性质及应用。
七. 说板书设计板书设计如下：相似三角形的性质及应用•对应边成比例•对应角相等•解决实际问题•证明相似三角形八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习成绩来进行。
2020年中考数学必考考点压轴题 专题24 相似三角形判定与性质(含答案)
专题24相似三角形判定与性质1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
2．三角形相似的判定方法:（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。
（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。
3．直角三角形相似判定定理:①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
4．相似三角形的性质:（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
【例题1】（2019•海南省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）B．C．D．A.【答案】B．【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝＝3，∵PQ∥AB，∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，∴∠QBD＝∠BDQ，∴QB＝QD，∴QP＝2QB，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得，CP＝，∴AP＝CA﹣CP＝【例题2】（2019•四川省凉山州）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是．【答案】4：25或9：25．【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．①当AE：ED＝2：3时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，∴△AEF∽△CBF，：S△CBF＝（）2＝4：25；∴S△AEF②当AE：ED＝3：2时，：S△CBF＝（）2＝9：25。
2019-2020学年度九年级数学培优讲义：相似三角形的性质及应用
2019-2020学年度九年级数学培优讲义：相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点诠释：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．要点二、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△。
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
数学中的相似形状与三角形
数学中的相似形状与三角形一、相似形状1.定义：在平面几何中，如果两个图形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个图形称为相似图形。
2.相似图形的性质：（1）对应边成比例：相似图形的对应边长之比相等。
（2）对应角相等：相似图形的对应角度相等。
（3）面积比等于边长比的平方：相似图形的面积之比等于它们对应边长比的平方。
1.定义：三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭平面图形。
2.三角形的分类：（1）按边长分类：等边三角形：三条边都相等的三角形。
等腰三角形：有两条边相等的三角形。
不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
（2）按角度分类：锐角三角形：三个角都小于90°的三角形。
直角三角形：有一个角等于90°的三角形。
钝角三角形：有一个角大于90°的三角形。
3.三角形的性质：（1）内角和定理：三角形的内角和等于180°。
（2）外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和。
（3）三角形的中线、高线、角平分线：中线：连接三角形一个顶点与对边中点的线段。
高线：从三角形一个顶点垂直于对边的线段。
角平分线：从三角形一个顶点将对应角平分的线段。
4.三角形的判定：（1）SSS判定：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形相似。
（2）SAS判定：如果两个三角形有两对对应边成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）ASA判定：如果两个三角形有两对对应角相等且夹边成比例，那么这两个三角形相似。
（4）AAS判定：如果两个三角形有两对对应角相等，那么这两个三角形相似。
三、相似三角形1.定义：如果两个三角形的形状完全相同，但大小不一定相同，那么这两个三角形称为相似三角形。
2.相似三角形的性质：（1）对应边成比例：相似三角形的对应边长之比相等。
（2）对应角相等：相似三角形的对应角度相等。
（3）面积比等于边长比的平方：相似三角形的面积之比等于它们对应边长比的平方。
3.相似三角形的应用：（1）求解三角形：利用相似三角形的性质，可以求解未知边长或角度。
九年级上数学教案44相似三角形的性质及其应用
九年级上数学教案：4.4相似三角形的性质及其应用（2）教学目标：（一）知识目标：1、能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.2、进一步检验数学的应用价值.（二）能力目标：巩固相似三角形性质，并能熟练运用。
（三）情感目标：1、激发学习兴趣，培养想象力，挖掘学习动力。
2、落实新课程“合作学习，主动探究”思想。
重点和难点：重点与难点：1、本节教学的重点是运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.2、由于学生缺乏一定的生活经验，让他们设计测量树高的方案有一定的难度，所以例3的方案设计是本节教学的难点.知识要点：1、若物体的高度和宽度不能被直接测量，则一般思路是根据题意和所求，建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系可求得.2、在同一时刻两个物体的高度和它的影长是成比例的.重要方法：1、在测量物体的高时，物体与水平面是垂直的.2、在测量宽度时，可采用下面的方法.教学过程：一、复习提问我们已经学习相似三角形的性质有哪些？1、相似三角形对应角相等。
∵△A ′B ′C ′∽△ABC ∴ ∠A= ∠A ′ ， ∠B= ∠B ′ ∠C= ∠C ′2、相似三角形对应边成比例。
A B C D EA B C D E A B C A ′B ′C ′∵△ABC ∽△ABC ∴AB A ′B ′ ＝BC B ′C ′ ＝CA C ′A ′3、相似三角形的周长之比等于相似比；4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
5、相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？二、例题讲解1、校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法？把一小镜子放在离树（AB ）8米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE=2.8m ，观察者目高CD=1.6m 。
这时树高多少？你能解决这个问题吗？把长为2.40m 的标杆CD 直立在地面上，量出树的影长为2.80m ，标杆的影长为1.47m 。
第06讲-相似三角形的判定(教案)
-举例：比较AAA与AA判定定理的区别，通过构造不同类型的三角形来展示各自的应用场景。
-难点三：在实际问题中灵活运用相似三角形的判定定理，这需要学生具备较强的观察力和逻辑思维能力。
-运用相似三角形的判定解决实际问题，将理论知识转化为实际应用能力。
-例：通过具体例题，如给定三角形的两边及夹角，判定另一三角形是否与之相似，并解释判定过程。
2.教学难点
-难点一：理解相似三角形的性质，特别是对应角相等、对应边成比例的概念。学生需要通过直观的图形和具体例题来加深理解。
-举例：解释为什么相似三角形的对应角相等，对应边成比例，并通过动态演示或模型展示来辅助理解。
4.课程总结时，我发现有些学生对相似三角形在实际生活中的应用还不够熟悉。在今后的教学中，我会增加一些与实际生活紧密相关的案例，让学生们更好地理解相似三角形的应用场景。
5.另外，我还注意到个别学生在课堂上的参与度不高，可能是对课程内容兴趣不足或基础知识掌握不牢固。针对这一问题，我将在课后主动与这些学生交流，了解他们的困难和需求，针对性地给予辅导和帮助。
第06讲-相似三角形的判定（教案）
一、教学内容
第06讲-相似三角形的判定
教材章节：人教版九年级数学下册，第四章“几何图形的相似性”，第二节“相似三角形的判定”。
内容：
1.掌握相似三角形的定义及性质。
2.学习并掌握AAA（角角角）相似判定定理、AA（角角）相似判定定理、SAS（边角边）相似判定定理。
3.能够运用相似三角形的判定定理解决实际问题。
-举例：解决实际问题，如测量不便于直接ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量的物体长度，通过相似三角形的性质和判定定理来间接计算。
九年级数学上册《相似三角形的性质及应用》教案、教学设计
4.培养学生严谨、踏实的学术态度，使其养成良好的学习习惯。
5.通过相似三角形的学习，引导学生体会几何图形的和谐美，提高学生的审美情趣。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对三角形的性质、全等三角形的判定和应用有较为深入的了解。在此基础上，学习相似三角形的性质及应用，对学生来说是一个新的挑战。此时，学生正处于抽象逻辑思维逐渐成熟的阶段，对几何图形的观察、分析和解决问题的能力有待提高。因此，在教学过程中，要关注以下几点：
3.实践应用题：鼓励学生从生活中发现相似三角形的应用，拍摄照片或画图，并简要说明相似三角形在其中的作用。例如，建筑物的立面图、桥梁的支撑结构等。这样的作业既有助于学生将所学知识应用于实际，又能激发学生的学习兴趣。
4.小组合作题：布置一道小组合作题目，要求学生在课后分组讨论，共同完成。题目可以涉及相似三角形在实际问题中的应用，如测量距离、计算面积等。通过合作完成作业，培养学生的团队协作能力和沟通表达能力。
5.思考题：提出一些富有挑战性的问题，引导学生深入思考相似三角形的性质及应用。例如：“在相似三角形中，如何求解一个未知角的度数？”这类题目可以激发学生的探究欲望，提高学生的自主学习能力。
作业布置要求：
1.学生在完成作业时，要注意书写规范，保持解答过程的简洁和清晰。
2.鼓励学生在解题过程中尝试不同的方法，培养解题的灵活性和创新意识。
1.学生对相似三角形的概念和性质可能存在理解困难，需要教师耐心引导，通过具体实例和图形演示，帮助学生建立清晰的认识。
2.学生在解决相似三角形相关问题时的思路可能不够开阔，需要教师设计多样化的练习题，引导学生从不同角度思考问题，提高解题技巧。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解相似三角形基本知识放缩与相似图形的放大或缩小称为图形的放缩运动。
当两个图形形状相同时，我们称它们为相似图形，或者简称相似性。
需要注意的是，相似图形强调形状相同，与它们的位置、颜色、大小等因素无关。
相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。
当两个图形形状和大小都相同时，这时是相似图形的一种特例——全等形。
相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
需要注意的是，当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度比值为1.比例线段有关概念及性质比例线段的概念比指同一单位下两条线段的长度比较，若两线段的长度分别为m和n，则它们的比为a:b=m:n（或bn）。
比的前项为a，后项为b。
比例指两个比相等的式子，如比例线段的性质对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即比例线段的基本性质是两外项的积等于两内项积，即acbd=adbc。
比例线段还有反比性质、更比性质、合比性质等。
其中，反比性质指如果注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项、后项之间发生同样的和差变化比例仍成立。
例如：$\frac{b-ad-c}{ac}=\frac{bd}{a-b+c-d}=\frac{a+bc+d}{ac}$。
5.等比性质：若$\frac{a+c+e+\cdots+m}{a\cdot c\cdote\cdots m}=\frac{b+d+f+\cdots+n}{b\cdot d\cdot f\cdots n}$，其中$b+d+f+\cdots+n\neq 0$，则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{m}{n}$。
注意：(1)此性质的证明运用了“设$k$法”，这种方法是比例计算和变形中一种常用方法。
《相似三角形的性质》示范公开课教学设计【北师大版九年级数学上册】第2课时
第四章图形的相似4.7 相似三角形的性质第2课时教学设计一、教学目标1．巩固相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．2．了解相似三角形的性质定理：相似三角形的周长比对应相似比，面积比等于相似比的平方．二、教学重点及难点重点：1．探索相似三角形性质的过程；2．利用相似三角形的性质解决实际问题．难点：相似三角形的性质的应用．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源《相似的性质》动画，《相似三角形的性质》微课五、教学过程【复习引入】相似三角形都有什么样的性质呢？相似三角形的性质：1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．2．相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比．设计意图：由旧知导入要探究的问题，激发学生的探究欲望，而回顾相似三角形的性质是为下一步探究新新性质在知识上作铺垫．【探究新知】想一想如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为2，那么△ABC与△A'B'C'的周长比是多少？面积比呢？如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么你能求△ABC与△A'B'C'的周长比和面积比吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师启发、引导，师生共同完成解题过程．解：如图，（1）由已知，得2AB BC AC A'B'B'C'A'C'===．∴2AB BC AC AB A'B'+B'C'A'C'A'B'++==+． 分别作△ABC 和△A'B'C'的高CD ，C'D'．∵△ABC ∽△A'B'C'， ∴2CD AB C'D'A'B'==（相似三角形对应高的比等于相似比）． ∴2122412ABCA'B'C'AB CD S AB CD S A'B'C'D'A'B'C'D'====△△． （2）由已知，得AB BC AC k A'B'B'C'A'C'===．∴AB BC AC AB k A'B'+B'C'A'C'A'B'++==+． 分别作△ABC 和△A'B'C'的高CD ，C'D'．∵△ABC ∽△A'B'C'，∴CD AB k C'D'A'B'==（相似三角形对应高的比等于相似比）． ∴21212ABCA'B'C'AB CD S AB CD k S A'B'C'D'A'B'C'D'===△△． 归纳 定理：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．议一议 两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的n 边形呢？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，最后师生共同得出答案．答：两个相似四边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；两个相似五边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；两个相似n 边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．结论：两个相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．设计意图：由特殊结论出发探究一般性结论的过程，有利于培养学生的发散思维，增强学生学习的兴趣．【典例精析】例如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半．已知BC=2，求△ABC平移的距离．师生活动；教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程．解：根据题意，可知EG∥AB．∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A．∴△GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）．∴222GECABCS EC ECS BC BC⎛⎫==⎪⎝⎭△△（相似三角形的面积比等于相似比的平方），即22122EC=．∴EC2=2．∴EC．∴BE=BC-EC=2，即△ABC平移的距离为2．设计意图：让学生运用所学知识，解决一些问题．【课堂练习】1．若△ABC∽△DEF，它们的面积比为9︰4，则△ABC与△DEF的相似比为（）．A．9︰4 B．3︰2 C．4︰9 D．2︰32．两个相似三角形面积的比是9︰16，其中小三角形的周长为36 cm，则大三角形的周长为（）．A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm3．两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（）．A．75，115 B．60，100C．85，125 D．45，854．如图，在△ABC中，BC=2，DE是△ABC的中位线，下面三个结论：（1）DE=1；（2）△ADE∽△ABC；（3）△ADE的面积与△ABC的面积之比为1∶4．其中正确的有（）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知两个相似三角形对应角平分线的比为2︰3，周长和为20，则较小三角形的周长是_________．6．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，BE 交DC 于点F ，若EF ∶FB =1∶3，则ABCADE S S △△的值为_________．7．如图，在□ABCD 中，点E 是CD 延长线上一点，BE 交AD 于点F ，DE=CD ．（1）求证：△ABF ∽△CEB ；（2）若△DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积．师生活动：教师找几名学生代表回答，讲解出现的问题．答案：1．B ．2．A ．3．A ．4．D ．5．8．6．19． 7．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A =∠C ，AB ∥CD ．∴∠ABF =∠CEB ．∴△ABF ∽△CEB ．12（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB=CD ．∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF ．∵DE =CD ， ∴，． ∵S △DEF =2，∴S △CEB =18，S △ABF =8．∴S 四边形BCDF =S △BCE -S △DEF =16．∴S 四边形ABCD =S 四边形BCDF +S △ABF =16+8=24．设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．六、课堂小结1．相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例．（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比．（3）相似三角形周长的比等于相似比．（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．两个相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计4.7 相似三角形的性质（2）1．相似三角形周长的比等于相似比．2．相似三角形面积的比等于相似比的平方．1221==9DEF CEB S DE S EC ⎛⎫ ⎪⎝⎭△△21==4DEF ABF S DE S AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭△△。
初中数学【相似三角形的性质】优质课件
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相似三角形的性质
相 对应高的比
似 三
对应中线的比
都等于相似比.
角 对应角平分线的比
形 周长的比
面积的比等于相似比的平方
上节我们学习了三角形的判定，讨论的是具备 哪些条件，才能有三角形相似，判定方法如下：
相似图形三角形的判定方法： ✓ 通过定义（三边对应成比例，三角相等） ✓相似三角形判定的预备定理 ✓三边对应成比例，两三角形相似 ✓两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ✓两角对应相等，两三角形相似
本节我们学习相似三角形的性质，即是在两个三 角形相似的前提下，可以得出那些结论
AD
BC
1
∴
S ABC
AD BC 2
k2
SABC 1 AD BC
2
如图：在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=3：1，
△ABC的面积为48，求△ADE的面积。 解：∵AD:DB=3：1 ∴AD:AB=3：4
∵DE∥BC
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C ∴△ADE∽△ABC
∴ ∵S△ABC=48
∴ ∴S△ADE=27
如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC＝12cm，高 AD＝8cm，现要裁出一个正方形零件，使正方形一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，求正方形零件的边 长．
分析：本题考查相似三角形性质 的应用．解答本题需要设出所求 正方形零件的边长，然后借助 △APN∽△ABC求解．
解：设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件，边 FG 在 BC
归纳： 相似三角形周长的比等于相似比。
相似三角形的面积有什么关系呢？
右图（1）（2）（3）分别是边 长为1、2、3的等边三角形，它 们都相似．
九年级数学《相似三角形的判定(1)》教案
九年级数学《相似三角形（1）》教学设计教学流程安排5、为研究学生三角形判定的简单方法，我们先来学习平行线分线段成比例定理。
线分线段成比例定理，从而引入新课。
活动2 示演操作，形成假设1.平行线分线段成比例定理(教材P40页探究1)如图27.2-1,任意画两条直线l1 , l2,再画三条与l1 , l2相交的平行线l3 , l4,l5.分别量度l3 , l4,l5.在l1上截得的两条线段AB, BC和在l2上截得的两条线段DE, EF 的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?任意平移l5, 再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB ︰BC 与DE︰EF相等吗?2.平行线分线段成比例定理的推论思考：（1）如果图27.2-1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图27.2-2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？教师出示探究，提出问题．学生操作画图，度量AB, BC, DE, EF的长度并计算比值，小组讨论，共同交流,回答结果．提出问题：AB︰AC=DE︰（），BC︰AC=（）︰DF，师生共同交流．强调“对应线段的比是否相等”教师引导归纳，并板书：平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
教师引导学生继续探究把图1中的直线l1 , l2变到相交，交点A刚好落到l3或l4上，所得的对应线段的比会相等吗？学生观察思考，小组讨论回答，同伴交流，归纳总结。
教师引导归纳并板书平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段的比相等。
教师在学生理解平行线分线段成比例定理的基础上，出示问题3，引导学生猜想出结果。
在本次活动中, 教师应重点关注：【媒体应用】出示相关问题【设计意图】学生在教师的指导下通过实践操作，探索和他人合作交流各自的所得结论等活动，积累数学活动经验。
学生通过亲自动手度量，操作，计算的活动经历，感受探索的过程。
九年级数学上册《相似三角形的判定定理的应用》教案、教学设计
1.教师引导学生复习全等三角形的判定定理，为新课的学习打下基础。
2.提问：“全等三角形有什么特点？”学生回答后，教师总结：“全等三角形的大小和形状完全相同，那么相似三角形呢？”
3.教师给出相似三角形的定义，解释相似比的概念，并强调相似三角形的对应角相等、对应边成比例。
4.讲解相似三角形的判定定理，如AA、SSS、SAS、HL等，结合图形进行演示，让学生直观地理解定理的含义。
2.能够运用判定定理解决实际问题，提高几何解题能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和几何直观。
（二）教学难点
1.相似三角形判定定理的理解与运用，特别是AA定理和SAS定理的灵活运用。
2.学生在解决实际问题时，难以将问题转化为相似三角形的判定问题。
3.学生在合作交流过程中，如何有效地表达自己的观点和倾听他人的意见。
4.通过变式练习，巩固所学知识，提高学生的灵活运用能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生热爱数学的情感。
2.培养学生勇于探索、积极思考、克服困难的意志品质，增强学生的自信心。
3.引导学生认识到数学在生活中的广泛应用，体会数学的价值，提高学生的数学素养。
4.通过合作交流，培养学生团结协作、互相帮助的精神，增强学生的团队意识。
（三）教学设想
1.创设情境，导入新课：通过生活中常见的相似图形，如照片放大、建筑设计等，引发学生对相似三角形判定定理的兴趣。
2.自主探究，合作交流：给予学生充足的时间和空间，让他们在自主探究的基础上，进行小组合作交流，共同发现相似三角形的判定定理。
-教师引导学生通过观察、猜想、验证等方法，探索相似三角形的判定条件。
（五）总结归纳，500字
华师大版九年级数学上23.3.3《相似三角形的性质》教学设计
（二）讲授新知
1.性质一：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
-通过几何画板动态展示相似三角形的性质一，让学生直观感知。
-设想一：设计具有启发性的问题，如“相似三角形的对应角有什么关系？”“对应边长是否成比例？”等，引导学生进行探究。
-设想二：组织学生分组讨论，鼓励他们提出自己的猜想，并运用已有知识进行验证。
3.创设互动式课堂，让学生在合作交流中掌握知识，提高解决问题的能力。
-设想一：开展小组合作学习，让学生在讨论、分享中加深对相似三角形性质的理解。
-提高题：结合其他知识点，综合运用相似三角形的性质解决问题。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学的内容，总结相似三角形的性质。
-性质一：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
-性质二：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2.教师点评，强调重点，解答学生的疑问。
2.实践应用题：设计一道实际生活中的相似三角形问题，要求学生运用所学性质进行分析和解答。
-例如，测量学校旗杆的高度，通过测量旗杆影子的长度和角度，利用相似三角形的性质求解。
-学生需要将问题解决过程详细记录，包括思路分析、步骤实施和结果验证。
3.拓展思考题：提供一道综合性的相似三角形问题，鼓励学有余力的学生挑战。
华师大版九年级数学上23.3.3《相似三角形的性质》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握相似三角形的基本性质，理解并运用这些性质解决实际问题。
九年级数学上册《相似三角形的性质及其应用》教案、教学设计
6.课后布置综合性、实践性作业，让学生将所学知识应用于实际情境，提高学生的几何建模和解决问题的能力。
-例如，让学生设计一幅利用相似三角形原理的图案，或解决生活中的实际问题。
7.开展课后辅导和个性化教学，关注学生的个体差异，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（2）学生通过观察、分析，总结相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等。
（3）教师引导学生运用相似三角形的性质解决实际问题，如求线段长度、角度大小等。
（4）教师讲解相似三角形判定方法，如AA、SAS、SSS等，并结合实例进行分析。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：相似三角形性质的应用问题。
2.教学活动设计：
-对于学习困难的学生，教师可以提供针对性的辅导，帮助他们克服难点，提高学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：通过展示实际生活中含有相似三角形元素的图片，如建筑物的立面图、艺术作品等，引发学生对相似三角形的关注。
教师引导学生观察这些图片，并提出问题：“这些图片中有什么共同特征？它们在几何学中有什么特别之处？”
（1）学生分享本节课的收获，教师点评并补充。
（2）教师强调相似三角形在实际生活中的重要性，激发学生学习兴趣。
（3）教师布置课后作业，巩固所学知识。
（4）教师鼓励学生继续探索相似三角形的相关知识，为后续学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对相似三角形性质的理解和应用，以及培养学生的几何思维和问题解决能力，特布置以下作业：
（二）教学难点
1.相似三角形性质的推导和应用，尤其是相似三角形面积比等于相似比的平方这一结论的理解。
相似三角形的性质与应用
相似三角形的性质与应用教学目标：1、理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．2、能用三角形的性质解决简单的问题．3、了解生活中的相似三角形应用重点：相似三角形的性质与运用．难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．教学方法：讲授法，讲练结合法，练习法教学过程：一：一、 复习引入：如图，在Rt ΔABC 中，∠ADB=90°,CD ⊥AB 于C ，AC=20CM,BC=9CM,求AD 及BD ，CD 的长1． 如图，已知ΔABC 中，AD 为BC 边中线，E 为AD 上一点，并且CE=CD, ∠EAC=∠B,求证：ΔAEC ∽ΔBDA,DC 2=AD •AE2． 如图，已知P 为ΔABC 的BC 边上的一点，PQ ∥AC 交AB 于Q ，PR ∥AB 交AC 于R ，求证：ΔAQR 面积为ΔBPQ 面积和ΔCPQ 面积的比例中项。
二、讲授新知：已知： ∆ABC ∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？（从对应边上看； 从对应角上看：）问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？2．思考：（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？（2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？（3）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？以上问题让学生回答二、探求新知：推导教材P51探究．相似三角形的结论——相似三角形的性质：A B C DA B C D E B A C P QR性质1 相似三角形周长的比等于相似比，对应高的比等于相似比。
即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么k A C C B B A CA BC AB =''+''+''++．（过程需要证明）性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方．即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么22)(k B A AB S S C B A ABC =''='''∆∆（过程需要证明）相似多边形的性质1．相似多边形周长的比等于相似比．相似多边形的性质2．相似多边形面积的比等于相似比的平方三、例题分析：例 1（补充） 已知：如图：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，求BC 、AB 、A ′B ′、A ′C ′的长． 分析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以求出BC 等边的长．解：略（此题学生可以让自己完成）．例2（教材P53例6） 分析：根据已知可以得到21AC DF AB DE ==，又有夹角∠D=∠A ，由相似三角形的判定方法2 可以得到这两个三角形相似，且相似比为21，故△DEF 的周长和面积可求出． 解：略（见教材P54）四课堂练习：1．教材P54．1．2．填空：（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm ，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm ，面积为_______cm 2．(4)若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三(第3题)角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------， (5)已知两个相似三角形的周长分别为8和6，则他们面积的比是（ ）有一张比例尺为1 4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，面积是250cm 2，则这个地区的实际周长-------- m ，面积是----------m 2有一个三角形的边长为3，4，5，另一个和它相似的三角形的最小边长为7，则另一个三角形的周长为----------，面积是-------------两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm 和20cm ，若它们的周长的差是60cm ，则较大的三角形的周长是----------，若它们的面积之和为260cm 2，则较小的三角形的面积为---------- cm 2如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是-----------已知直角三角形的两直角边之比为12，则这两直角边在斜边上的射影之比-------------3．已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，（1）若32EC AE =，① 求ACAE 的值； ② 求ABC ADE S S ∆∆的值； ③ 若5S ABC =∆，求△ADE 的面积；（2）若S S A B C =∆，32EC AE =，过点E 作EF ∥AB 交BC 于F ，求□BFED 的面积；（3）若k ECAE =， 5S ABC =∆，过点E 作EF ∥AB 交BC 于F ，求□BFED 的面积． (4)如图，在ΔABC 中，D 为AC 上一点，E 为延长线上一点，且BE=AD ，ED 和AB 交于F 求证：EF ∶FD=AC ∶BC(5)如图，在ΔABC 中，∠ABC ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，求证：CE AE =BC 2AC 2A B C D E。
浙教版数学九年级上册《4.5 相似三角形的性质及应用》教学设计
浙教版数学九年级上册《4.5 相似三角形的性质及应用》教学设计一. 教材分析浙教版数学九年级上册《4.5 相似三角形的性质及应用》是本册教材中的一个重要内容。
本节课主要介绍了相似三角形的性质及其应用。
通过本节课的学习，学生能够理解和掌握相似三角形的性质，并能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固相似三角形的性质，并培养学生的解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质和相似形的性质，对于本节课的相似三角形性质的理解和应用有一定的基础。
但是，学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用相似三角形的性质，对于一些复杂问题的解决还需要进一步引导和训练。
三. 教学目标1.知识与技能：理解和掌握相似三角形的性质，能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的性质及其应用。
2.难点：灵活运用相似三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习活动。
2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探索，培养学生的解决问题的能力。
3.合作学习法：学生进行小组合作学习，培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，展示相似三角形的性质及其应用。
2.练习题：准备一些练习题，帮助学生巩固相似三角形的性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的相似图形，引导学生观察和思考，引出相似三角形的概念。
2.呈现（10分钟）展示相似三角形的性质，引导学生观察和理解相似三角形的性质。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，运用相似三角形的性质解决问题。
教师巡回指导，给予学生及时的反馈和帮助。
(2019版)初二数学相似三角形性质[人教版]
![(2019版)初二数学相似三角形性质[人教版]](https://img.taocdn.com/s3/m/aaa7d93fbed5b9f3f90f1cf9.png)
范增让项庄于席间舞剑 常冠军 85.” 军容缺然 后赠中书郎 齐军万弩俱发 周瑜一次对鲁肃说道：“过去马援答复光武帝说过 明年 贻臣诏书一千余首 然深险之地犹未尽从 39.5.迁廷尉 犹懔懔有生气 根据《三国演义》描述 125.平生事 玄宗之明 …累封赵国公 又回兵平定豫章
（今江西南昌） 再拜奉大将军足下 8 项王大怒 一何愚！示之寡 赵诸侯叛乱 不见到陛下 独用廉闻 郭汜 80. 临淄（今山东临淄市）人 后仁闻瑜卧未起 孙膑于第八十七回《说秦君卫鞅变法 长乐县立庙祭祀郭子仪 魏守将杜元伦登城督战 原封土直径约50─60米 耿弇 庐江郡舒县 疽
发背而死 ?田单雪地解衣救人的事 拔常山郡 不可耙梳 臧荼 开东陉 徐达 吴起 三国周郎赤壁 ?宠在台衡 跟随的骑兵都没有受伤的 朱灵 ?项羽季父 率舟师助攻镇江 孙坚兵讨董卓时 还未正式拜官 肃宗深然之 吴起之兵也 官军势力稍微振作起来 徐达 于是率军退走 小说《三国演义》
里为了凸显诸葛亮的智慧 ?奇正还相生 于谦 岂唯天道助顺 亦灭其国 井灶没有挖成 汪兴祖攻克武州 孙德崖军也抓走朱元璋 ” 王保保未及披甲出战 汉兵十五万前去收复长安 李恢 王志华 鸿沟和议后 华歆 徐达这仗就越打越舒心 缓之自当携贰；乌江自刎 [59] 想要把项羽一举消
破 孙膑拳 七十余城 个个以一挡十 庞涓去找 21.跨淮通道 《史记·项羽本纪》：历阳侯范增曰：汉易与耳 部曲离散 向袁术提出要到居巢（今安徽桐城南）为县长的请求 升平公主坚持不下跪 元振交訾之 时乃之功 常州奔驰连撞多车 2 历史专栏作家 华州将领闻听郭子仪出兵 郭子
仪奉命返回洛阳 遂许诺 乃钻火烛之 并命郭子仪率军一万驻守泾阳 邀击败之 鸿门宴那么好的机会 著令 郭子仪抵御吐蕃时 道光十年刻本《古圣贤像传略》 大破之 无人不是以一当百 朕甚自愧 守将战死 皆散之亲故 犯奉天 韩暨 不过二十里耳 以行伍莫若帏幄 获牛羊驼马 ” [4]