高二数学上学期《直线方程》专题辅导

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高二数学上第七章直线和圆的方程： 7.2直线的方程(一)教案

7.2 直线的方程一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，直线上一点和直线的斜率或直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程问题1：直线L过点(1,2) ,斜率为3，那么直线L上任一点满足什么条件？你能得出直线L的方程吗？问题2：假设直线L经过点P1(x1, y1), 且斜率为k，那么L的方程是什么？(一)点斜式直线l的斜率是k，并且经过点P1 (x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．练习1：课本第39~40页1，2(二)斜截式直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k ≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k 和b 的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y 轴上的截距．练习2：课本第40页 3例1、求过点(2, -1)且倾斜角为直线x-3y+4=0 的倾斜角的2倍的直线方程。

直线与方程复习题-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线与方程复习题一、知识梳理：1距离公式(1)在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为：|AB |＝__________．（2）线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则x=_______________; y=_______________;(3)点到直线的距离公式：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝．(4)两条平行直线间的距离公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝____________________．2．直线的斜率(1)直线的倾斜角与斜率：___________(2)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝．(3)直线的一般式为0Ax By C ++=,则该直线的斜率k =____________3．直线的方程(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距．(2)直线方程的主要形式：①点斜式：斜截式：①一般式：截距式：4．两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1①l 2①____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________．(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1①l 2①____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________．5．两条直线的交点坐标：两条直线的交点坐标即方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.的解。

2022-2023学年人教版高二上学期数学精讲精练2-2 直线的方程(精讲)(解析版)

2.2 直线的方程（精讲）考点一直线的方程式【例1-1】（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)过点()3,2- (2)过点()3,0-，与x 轴垂直； (3)斜率为4-，在y 轴上的截距为7； (4)斜率为3，在x 轴上的截距为2-； (5)过点()1,8-，()4,2-； (6)过点()2,0，()0,3-．【答案】360y --=；(2)30x +=；(3)470x y +-=；(4)360x y -+=；(5)260x y +-=； (6)3260x y --=.【解析】(1)因为直线过点()3,2-，所以直线方程为：23)360y x y +=-⇒--=；(2)因为直线过点()3,0-，与x 轴垂直，所以直线方程为：330x x =-⇒+=；(3)因为直线的斜率为4-，在y 轴上的截距为7，所以直线方程为：47470y x x y =-+⇒+-=； (4)因为直线的斜率为3，所以设直线的方程为：3y x b =+，又因为直线在x 轴上的截距为2-，所以03(2)6b b =⨯-+⇒=，所以直线的方程为：36360y x x y =+⇒-+=； (5)因为直线过点()1,8-，()4,2-，所以直线的方程为：8(1)2608(2)14y x x y ---=⇒+-=----；(6)因为直线过点()2,0，()0,3-，所以直线方程为：1326023x yx y +=⇒--=-. 【例1-2】（2022·重庆）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3）， (1)求AB 边所在的直线方程； (2)求AB 边的高所在直线方程.【答案】(1)6110x y -+=(2)6220x y +-= 【解析】(1)因为A （-1，5）、B （-2，-1），所以由两点式方程可得511521y x -+=---+，化为一般式可得：6110x y -+=； (2)直线AB 的斜率为51612+=-+. 所以由垂直关系可得AB 边高线的斜率为16-，故AB 边的高所在直线方程为()1346y x -=--,化为一般式可得：6220x y +-=. 【例1-3】（2022·江苏）设m 为实数，若直线l 的方程为()130mx m y +-+=，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 在y 轴上的截距为6； (2)直线l 的斜率为2； (3)直线l 垂直于x 轴； (4)直线l 经过点()1,3．【答案】(1)12(2)23(3)1(4)0【解析】(1)因为直线l 在y 轴上的截距为6，所以直线l 一定经过点()0,6，则6630m -+=，解得12m =. (2)当1m =时，斜率不存在，不合题意；当1m ≠时，把直线方程化为斜截式311mx y m m -=---，因为斜率为2，所以21mm -=-，解得23m =.(3)因为直线l 垂直于x 轴，所以直线的斜率不存在，所以10m -=，即1m =. (4)因为直线l 经过点()1,3，所以()3130m m +-+=，解得0m =. 【一隅三反】1．（2022·全国·高二专题练习）根据所给条件求直线方程.(1)直线过点()1,2A ，倾斜角α的正弦值为35；(2)直线过点()1,3A ，且在两坐标轴上的截距之和为8； (3)直线过点()2,4A ，()2,8-B .【答案】(1)3450x y -+=或34110x y +-=(2)360x y +-=或40x y +-=(3)60x y +-=【解析】(1)3sin 5α=，3tan 4α∴==±k ，则直线方程为()3214y x -=±-，即3450x y -+=或34110x y +-=.(2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，可设直线方程为18x y m m+=-，代入点()1,3A ，可得1318m m+=-，解得2m =或4m =，所以所求直线方程为126x y+=或144x y +=，即所求直线方程为360x y +-=或40x y +-=. (3)直线斜率()48122k -==---，则所求直线方程为()42y x -=--，整理得60x y +-=.2．（2022·全国·高二课时练习）已知三角形的三个顶点的坐标分别是()3,8A ､()3,2B -､()3,0C -. (1)求BC 边所在直线的方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)330x y ++=(2)310x y --= 【解析】(1)因为()3,2B -､()3,0C -，所以()21333BC k -==---，所以直线BC 的方程为()133y x =-+，即330x y ++=； (2)因为()3,8A ，()3,2B -､()3,0C -，所以BC 的中点为()0,1D -，所以()81330AD k --==-，所以中线AD 的方程为13y x +=，即310x y --=；考点二直线过定点【例2】（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）不论k 为何值，直线20kx y k ++-=恒过定点（）A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2【答案】B【解析】20kx y k ++-=，可化为(1)20k x y ++-=，则过定点(1,2)-故选：B 【一隅三反】1．（2022·全国·高二）无论k 为何实数，直线212()()(0)8k x k y k +---=+恒过一个定点，这个定点是（） A ．(0,0) B ．(2,3) C ．(3,2) D ．(2,3)-【答案】B【解析】原方程可化为()()21280x y k x y -++-=-，由直线恒过定点可知，210280x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点(2,3)故选：B 2．（2021·广东佛山·高二期中）直线l ：()12310k x ky k +++-=经过定点A ，则A 的纵坐标为（） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】由()12310k x ky k +++-=，得()2310k x y x +++-=，令10230x x y -=⎧⎨++=⎩，得2y =-.故选：A3．（2022·全国·高二单元测试）对于任意m 、n ∈R ，直线(2)()()0m n x m n y m n ++++-=必过定点______．【答案】(2,3)-【解析】由原方程可得(21)(1)0m x y n x y ++++-=对于任意m 、n ∈R 成立，由21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩，故直线(2)()()0m n x m n y m n ++++-=必过定点(2,3)-.故答案为：(2,3)-考点三直线所过象限【例3】（2022·江苏·高二单元测试）如果AB >0且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第（）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】C【解析】因AB >0且BC <0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率20A AB k B B =-=-<，纵截距20C BCb B B=-=->，所以直线Ax ＋By ＋C ＝0必过第一、二、四象限，不经过第三象限.故选：C 【一隅三反】1．（2022·全国·高二单元测试）直线方程为(32)80m x y +++=，若直线不过第二象限，则实数m 的取值范围是______．【答案】23m ≤-【解析】(32)80m x y +++=不过第二象限,(32)0m ∴-+≥，解得23m ≤-，故答案为：23m ≤-2．（2022·全国·高二课时练习）若0ac <，0bc <，则直线0ax by c 不通过第______象限．【答案】三【解析】直线0ax by c 可化为a c y x b b =--，即2ac c y x bc bc =--因为0ac bc -<，20c bc->，所以直线0ax by c 的斜率为负，纵截距为正即直线0ax by c 通过第一、二、四象限，不通过第三象限.故答案为：三3．（2022·江苏·高二）（多选）已知直线l 的方程是0Ax By C ++=，则下列说法中正确的是（） A ．若0A B C ⋅⋅≠，则直线l 不过原点 B ．若0A B ⋅>，则直线l 必过第四象限 C ．若直线l 不过第四象限，则一定有0A B ⋅< D ．若0A B ⋅<且0A C ⋅>，则直线l 不过第四象限【答案】ABD【解析】对A ，若0A B C ⋅⋅≠，则,,A B C 都不等于0，当0x y ==时，000A B C ⋅+⋅+≠，所以直线l 不过原点，故A 正确；对B ，若0A B ⋅>，则直线斜率0AB-<，则直线一定过第二四象限，故B 正确；对C ，若直线l 不过第四象限，若有直线过第一二象限时，此时0A =，则0A B ⋅=，故C 错误；对D ，若0A B ⋅<且0A C ⋅>，则0,0A CB A->-<，所以直线的斜率大于0，在x 轴上截距小于0，所以直线经过第一二三象限，不经过第四象限，故D 正确. 故选：ABD.考点四直线与坐标轴围成的三角形面积【例4】（2022·湖北省武汉市青山区教育局高二期末）已知直线方程为()21y k x +=+．(1)若直线的倾斜角为135，求k 的值；(2)若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程．【答案】(1)1k =-；(2)AOB 面积的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y ++=. 【解析】(1)由题意可得()tan135tan 18045tan 451k ==-=-=-. (2)在直线AB 的方程中，令0y =可得2k x k -=，即点2,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭，令0x =可得2y k =-，即点()0,2B k -，由已知可得2020kk k -⎧<⎪⎨⎪-<⎩，解得0k <，所以，()()()2212114142442222AOBk k S k k k k k k k --⎛⎫⎡⎤=-⋅=-⋅=-+-=-++ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦△1442⎡⎤≥=⎢⎥⎣⎦，当且仅当2k =-时，等号成立，此时直线的方程为()221y x +=-+，即240x y ++=. 【一隅三反】1．（2021·河北省盐山中学高二期中）已知直线l 过点()1,2P -. （1）若直线l 在两坐标轴上截距和为零，求l 方程；（2）设直线l 的斜率0k >，直线l 与两坐标轴交点别为AB 、，求AOB 面积最小值. 【答案】（1）20x y +=或30x y -+=；（2）4【解析】解：（1）因为直线l 在两坐标轴上截距和为零，所以直线l 斜率存在且不为0，故不妨设斜率为k ，则直线l 方程为()21y k x -=+，所以直线在,x y 坐标轴上截距分别为21k--，2k +，所以2120k k--++=，整理得220k k +-=，解得2k =-或1k = 所以直线l 方程为20x y +=或30x y -+=. （2）由（1）知()21,0,0,2A B k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因为0k >，所以AOB 面积为()1214112444222S k k k k ⎛⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4k k=，即2k =时等号成立，所以AOB 面积最小值42．（2022·广东）已知直线l ：()20kx y k k R ---=∈．（1）若直线不经过第二象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴正半轴于A ，交y 轴负半轴于B ，AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．【答案】（1）[)0+∞，；（2）S 的最小值为4，直线l 的方程为240x y --=．【解析】（1）解：由方程可知：0k ≠时，直线在x 轴与y 轴上的截距分别为：2kk+，2k --．直线不经过第二象限，2020kk k +⎧≥⎪∴⎨⎪--≤⎩，解得0.k >当0k =时，直线变为2y =-满足题意．综上可得：k 的取值范围是[)0+∞，；（2）解：由直线l 的方程可得20k A k +⎛⎫⎪⎝⎭，，()02B k --，．由题意可得2020kk k +⎧>⎪⎨⎪--<⎩，解得0k >．()21121(2)141·24224 4.22222k k S OA OB k k k k k ++⎛⎫∴=⋅=⋅--=⋅=++≥⨯+= ⎪⎝⎭当且仅当2k =时取等号．S ∴的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y --=．3．（2021·全国·高二课时练习）已知直线l 过点()1,2. （1）当直线l 在两坐标轴上的截距相等时，求直线l 方程；（2）若直线l 交x 轴正半轴，y 轴正半轴分别于A ，B 两点，求AOB 面积的最小值. 【答案】（1）2y x =或30x y +-=；（2）最小值为4. 【解析】（1）当直线的截距为0时，则2y x = 当截距不为0时，设直线l 的方程为1x ya a+=，把点()1,2代入可得121a a+=，解得3a =，故直线l 的方程为2y x =或30x y +-=.（2）设直线l 的方程为()10,0x y a b a b +=>>，把点P 代入可得121a b+=，则121a b =+≥8ab ≥，当12a b =，即2a =，4b =时取“=”故118422AOBSab =≥⨯=，所以AOB 面积的最小值为4.考点五直线的综合运用【例5】（2022·云南普洱·高二期末）（多选）已知直线12:(1)20,:(1)10l a x ay l ax a y +++=+--=，则（） A ．1l 恒过点(2,2) B ．若12//l l，则a =C ．若12l l ⊥，则1a =± D ．当01a ≤≤时，2l 不经过第三象限【答案】BD【解析】直线1:(1)20l a x ay +++=，则()20a x y x +++=，由020x y x +=⎧⎨+=⎩，得2,2x y =-=，所以1l 恒过定点(2,2)-，所以A 错误；由12//l l 可得：1211a a a a +=≠--，所以a =B 正确；由12l l ⊥可得：(1)(1)0a a a a ++-=，0a =，所以C 错误；由2:(1)10l ax a y +--=，当1a =时，2:1l x =，不过第三象限；当1a ≠时，21:11a l y x a a =+--，不过第三象限，只需要01101aa a ⎧≤⎪⎪-⎨⎪≥⎪-⎩，解得01a ≤<，所以a 的取值范围为01a ≤≤，所以D 正确；故选：BD. 【一隅三反】1．（2022·全国·高二专题练习）（多选）下列有关直线()10：+-=∈l x my m R 的说法中不正确的是（） A ．直线l 的斜率为m - B ．直线l 的斜率为1m-C ．直线l 过定点()0,1D ．直线l 过定点()1,0【答案】ABC【解析】当0m ≠时，直线l 的方程可变为()11y x m =-－，其斜率为1m-，过定点()1,0，当0m =时，直线l 的方程变为1x =，其斜率不存在，过点()1,0，故AB 不正确，D 正确，将点()0,1代入直线方程得10-=m ，故只有当1m =时直线才会过点()01，，即C 不正确，故选：ABC ．2．（2022·江苏·高二）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=相交于点(,P P A B 与不重合），则PAB △面积的最大值是（）A B ．5 C ．D ．52 【答案】D【解析】由题意直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=可变为(1)30m x y --+=，所以该直线过定点()1,3B ，所以2221310AB =+=，又()110m m ⨯+⨯-=，所以直线0x my +=与直线30mx y m --+=互相垂直，所以22210PA PB AB +==，所以22102PA PB PA PB =+≥⋅即5PA PB ⋅≤，当且仅当=PA PB , 所以，1522PAB S PA PB =⋅≤，即PAB △面积的最大值是52. 故选：D.3．（2022·全国·高二）已知直线l 过点()3,4P ，且与坐标轴分别相交于点A ､B ，若OAB 的面积为24，其中O 为坐标原点，则这样的直线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【解析由题知直线的斜率存在，且不过原点，所以设直线l 方程为()34y k x =-+，43k ≠，所以直线l 与x 轴交点坐标为43,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 与y 轴交点坐标为34k -+ 所以OAB 面积为()14334242k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，即1624948k k --=，所以1624948k k --=或1624948k k--=-, 解方程1624948k k --=，即()2292416340k k k ++=+=，解得43k =-，解方程1624948k k --=-，即2972160k k -+=，解得4k = 所以这样的直线有3条.故选：C.。

高二数学上学期直线的方程《直线方程》专题辅导

《直线方程》专题辅导内容提要：本文是从知识要点、典型题型和解题技巧、一题多解、错解分析等方面，对《有向线段、定比分点》、《直线方程》进行专题复习，期望对高三的同学有所帮助。

知识要点：有向线段的数量和长度、两点间的距离、线段的定比分点、线段的中点坐标公式、三角形的重心坐标公式、直线的斜率、直线方程的几种形式。

典型题型和解题技巧一、有向线段、定比分点１．两点间距离公式的应用例１已知：1)(2+=x x f ，求证：|||)()(|b a b f a f -≤- 证明：如图１，设Ａ，Ｂ坐标分别为（１，a ）和 (1,b) 则||1)(|,|1)(22BO b b f AO a a f =+==+= |a –b|=|AB|.当b a ≠时，则三角形ＡＯＢ中，由||AO|-|BO||<|AB| 得｜f(a)-f(b)|<|a-b| 当a = b 时，|OA|=|OB| ,|a-b|=0, 故有｜f(a)-f(b)|=|a-b| 综上所述，得|||)()(|b a b f a f -≤-２．定比分点公式的应用（１）公式的“逆用”例２如图２，已知两点Ａ（４，１）和Ｂ（－１，３），求线段ＡＢ和y 轴交点Ｍ的坐标。

解：设点Ｍ的坐标为（０,y 0）,且λ=MBAM ，则，由定比分点公式得 4,1)1(40=∴+-+=λλλ,于是513413410=+⨯+=y ，即点M 的坐标是)513,0(M 。

（２）注意利用平面几何知识例3 如图3，已知A （5，-1）， B （-1，7），C （1，2），求的中A ABC ∠∆ 平分线AD 的长。

解：10)17()51(||22==++=AB5)12()15(||22=++-=AC 则由,2||||||||===AC AB CD BD λ 设点D （x 0,y 0）,则31211210=+⨯+-=x ，311212270=+⨯+=y即)311,31(D ，于是3214)3111()315(||22=--+-=AD说明：本例运用了三角形角平分线的性质：若AD 是ABC ∆的内角平分线，则|AB|：|AC|=|BD|：|CD|，在学习解析几何时，要尽可能地挖掘出所给图形的几何性质，以简化解题。

高二数学第七章《直线和圆的方程》同步辅导教材

高二数学第七章《直线和圆的方程》同步辅导教材一、知识结构二、学习指导1、本章让学生初步接触解析几何的基本思想，即在坐标系这个工具之下，理解形与数（方程）的对应关系。

从形到数，给出了两个最基本图形直线和圆对应的方程，在此基础上，将图形的几何位置关系研究通过数的知识来解决，如两条直线平行及垂直的关系，反映在它们对应的方程的系数关系上。

从数到形，在二元一次方程（等量关系）的基础上，介绍了二元一次不等式的几何意义，并用这个几何意义解决一类二元函数的最值问题。

以形助数的思想，既可以理解为解析几何的运用（方程的几何意义是曲线），又可以理解为是对解析几何的补充。

从而说明了数和形之间是辩证统一的。

2、倾斜角和斜率是描述直线方向的两个重要参数。

倾斜角是区间角[0，π），倾斜角与斜率之间是正切函数的关系，斜率k∈（-∞，+∞）。

直线方程的五种形式中，点斜式、斜截式、两点式、截距式都具有明确的几何意义，从几何条件看，主要是两种条件：两点及点斜。

直线方程的一般式偏重于数，说明什么的二元方程与直线对应。

求直线方程主要用待定系数法，关键是选择适当的形式，若选择k作为参数，应注意其不存在的情形。

含参数的直线方程为直线系，直线系的特征无非是两种：平行直线系与旋转直线系。

3、在二元一次方程与直线对应的基础上，借助于分类讨论的思想，课本介绍了二元一次不等式的几何意义，利用它可以解决用数的方法（单调性及基本不等式）所不能解决的一类二元函数问题。

作为这类二元函数的模型，课本介绍了《运筹学》中的重要分支简单线性规划，体现了学实用数字的新教材理念。

4、圆是一种简单的图形，通过圆的学习，一方面体会曲线和方程的对应关系，另一方面通过在圆的解题过程中大量运用圆的几何性质，揭示了数与形的紧密联系。

5、本章主要方法：坐标法，待定系数法，配方法，向量法；本章主要思想方法：数形结合，消元思想，分类讨论。

三、典型例题例1、点A（1，0）到直线l的距离为2，点B（-4，0）到l的距离为3，求l的条数。

高考数学专题《直线与直线方程》习题含答案解析

专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x −ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（） A BC ．D 【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-===故选C. 3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （）． A ．过点)2-B C ．倾斜角为60° D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解【详解】点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l 的斜率tan k θ=60°，故B ，C 正确；由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误．故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（）． A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =- 【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误. 【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在，当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m 或m =B 选项正确；直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误；当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在，当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-，令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确．故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0° 【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确；对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确；对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误；对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确．故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______. 【答案】32- 43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距. 【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43. 故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y = 【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可. 【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒，又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2，所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =．故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________．【答案】-4； 2 【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案. 【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //， 334a -∴=，解得4a =-； ∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d == .故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________. 【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34. 因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=，所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310=.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|P A |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________．【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围. 【详解】因为||AB ==||||PA PB += 由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1），画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3，所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解. 【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=，又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取“=”，练提升由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,)2N ，那么||MN 的最小值为（） A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3），所以动点M 在以PQ5,2= 圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=，所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，，则直线方程为：故选4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线l θ1sin()22l 20y --=40y +-=0x -=360y 122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-2 3πθ=tan θ=1y x -=40y +-=B30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+=+=+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________. 【答案】240x y -+= (0,1)- 【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行，所以设方程为()201x y n n -+=≠，因为直线过点(2,1)M -，代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程；（2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24 【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ==，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+，则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=. 7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1) 求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ； (2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程．【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2. 【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求. 【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2），即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意，综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，4,B n 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值；（2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式. 【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+ 【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4），把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8，所以反比例函数解析式为8y x=，把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2；（2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上，所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ，所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==，在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==，而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1，所以144m n-+=，而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2，则A （2，4），B （﹣4，﹣2），设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -. （1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2）不存在这样的直线；理由见解析．【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2=，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=．（2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，OP =而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB 是等腰直角三角形，||AB =动直线l 过点(1,1)P 与AOB 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标；（2）试写出表示AMN 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标； (2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMNS的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解. 【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k+=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭. (2)当1k 时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭， 1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭. 当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，当1k 时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+. 综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（）. A ．1或3 B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当练真题k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5，故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>，则角θ是第四象限角，故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=．故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（） A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d ==，故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1，由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0，故ba-≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（12，12），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b13 =．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b13＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于12，即1122NMB y⋅⋅=，即111212b a ba a+⎛⎫⨯+⋅=⎪+⎝⎭，可得a212bb=-＞0，求得b12＜，故有13＜b12＜．③若点M在点A的左侧，则b13＜，由点M的横坐标ba--＜1，求得b＞a．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=，即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ．两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞12-，故有1b 13＜．综上可得b 的取值范围应是1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线【答案】①③⑤ 【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线为：，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得：即直线经过整点直线经过无穷多个整点，③正确；x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --∴l④令直线为：，则不过整点，④错误； ⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤l 1132y x =+ll y =()0,0。

高二上数学知识点直线方程

高二上数学知识点直线方程直线方程是高二数学学习中的一大重点知识。

掌握直线的基本性质和直线方程的求解方法，对于解决与直线相关的问题至关重要。

本文将系统地介绍高二上学期数学中关于直线方程的知识点。

一、直线的基本性质在研究直线方程之前，我们首先需要了解直线的基本性质。

直线由无数个点组成，其中任意两点可以确定一条直线。

直线还具有斜率和截距两个重要的特征。

1. 斜率（k）：斜率是直线的一个重要性质，表示直线的倾斜程度。

斜率的计算公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)，其中两点为直线上的任意两个点。

2. 截距（b）：截距是直线与纵坐标轴相交的位置。

直线与纵坐标轴的交点的坐标为(0, b)，其中 b 为截距的值。

二、直线方程的求解方法在学习直线方程的求解方法之前，我们先介绍两种常见的直线方程形式：一般式和斜截式。

1. 一般式：一般式直线方程的形式为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 是常数，A、B 不同时都为 0。

2. 斜截式：斜截式直线方程的形式为 y = kx + b，其中 k 为斜率，b 为截距。

接下来，我们将介绍三种常见的方法来求解直线方程。

1. 两点法：两点法是一种常用的求解直线方程的方法，可以通过已知直线上的两个点来求解直线方程。

假设已知一直线上的两个点为 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，则可以使用斜率公式来求解斜率 k，并将其中一个点的坐标代入斜截式方程求解截距 b，最终得到直线方程。

2. 斜率截距法：斜率截距法是一种简便的求解直线方程的方法。

已知直线的斜率 k 和截距 b，可以直接将它们代入斜截式方程 y = kx + b 中，即可得到直线方程。

3. 点斜式法：点斜式法是一种通过已知直线上的一个点和斜率来求解直线方程的方法。

已知直线上的一个点为 A(x1, y1)，直线的斜率为 k，可以使用斜率公式将斜率和坐标代入斜截式方程，进而得到直线方程。

三、直线方程的应用直线方程在数学中具有广泛的应用价值，能够解决与直线相关的各类问题。

2022-2023学年人教版高二上学期数学精讲精练2-2 直线的方程(精练)(解析版)

2.2 直线的方程（精练）1 直线的点斜式1．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=平行的直线方程是（） A ．20x y -= B ．250x y +-=C ．230x y --=D ．240x y +-=【答案】A【解析】因为所求直线与直线l 平行，所以设所求直线方程为：()2403x y m m -+=≠，又所求直线过点()2,1A ，代入可得22410m ⨯-⨯+=，解得0m =，所以所求直线为240x y -=，即20x y -=. 故选：A2．（2022·湖南岳阳·高二期末）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（） A ．20x y -= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．240x y +-=【答案】B【解析】由题意可知，设所求直线的方程为420x y m ++=，将点()2,1A 代入直线方程420x y m ++=中，得42210m ⨯+⨯+=，解得10m =-，所以所求直线的方程为42100x y +-=，即250x y +-=. 故选：B.3．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线l 的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l 的方程为（）A ．y =B ．2y =-C ．1y =+D ．3y =+【答案】C【解析】由题意知：直线l l 的方程为1y +.故选：C.4．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知直线l 过点(2,3)且与直线:250m x y -+=平行，则直线l 的方程为（） A ．270x y +-=B ．210x y --=C ．240x y -+=D ．210x y -+=【答案】C【解析】因为直线l 与直线:250m x y -+=平行，所以直线l 的斜率为12，又直线l 过点(2,3)，所以直线l 的方程为()1322y x -=-，即240x y -+=，故选：C. 5．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线l 经过点()2,3-，且倾斜角45α=，则直线l 的方程为（） A ．10x y +-= B ．50x y -+=C ．10x y ++=D ．50x y --=【答案】B【解析】因为直线l 的倾斜角45α=，所以直线l 的斜率为1，又直线l 经过点()2,3-，所以直线l 的方程为32yx ，即50x y -+=，故选：B6．（2022·江苏·高二课时练习）过点(P -且与直线20x +=的夹角为3π的直线方程是（）A ．)2y x =+B ．2x =-C ．)2=+y xD ．)2=+y x 或2x =- 【答案】D【解析】根据一般方程20x +=可得y =，所以斜率为k =6πθ=，和该直线夹角为3π的直线的倾斜角为2π或56π，根据直线过点(P -，所以该直线方程为2x =-或2)y x =+.故选：D 7．（2022·江苏·高二）经过点A (0，－3)且斜率为2的直线方程为（） A ．230x y --= B ．230x y ++=C ．260x y --=D ．260x y ++=【答案】A【解析】因为直线经过点(0,3)A -且斜率为2，所以直线的方程为32(0)y x +=-，即230x y --=，故选：A ．8．（2022·江苏·高二）已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （） A ．1 B ．1-C ．2-或1D ．2或1【答案】D【解析】当0a =时，直线2y =，此时不符合题意，应舍去；当2a =时，直线:20l x y +=，在x 轴与y 轴上的截距均为0，符合题意；当0a ≠且2a ≠，由直线:20l ax y a +-+=可得：横截距为2aa-，纵截距为2a -. 由22aa a-=-，解得：1a =.故a 的值是2或1.故选：D 9．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）已知直线l 过点()2,1，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线l 有（）条 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】设直线l 过原点，则l 的方程为y kx = ，将点（2,1）坐标代入，得12k =，即l 的方程为12y x = ；若直线l 不过原点，设其为1x ya b+= ，将点（2,1）坐标代入，得2b a ab +=……① ，由于,a b a b ==± ，分别代入①，解得3,1a b a b ===-= ，即直线l 的方程为3x y += ，1x y -= ；共有3条；故选：C.10．（2022·江苏·高二课时练习）已知三角形的三个顶点(2,1),(3,3),(0,4)A B C --. (1)求BC 边所在直线的方程； (2)求BC 边上的高所在直线方程； (3)求BC 边的中垂线所在直线方程.【答案】(1)3120x y -+=；(2)350x y ++=；(3)310x y ++=. 【解析】(1)利用点斜式可得BC 直线方程为403430y x --=---，整理可得3120x y -+=； (2)由341303BC k -==--，所以BC 边上的高所在直线的斜率3-，所以BC 边上的高所在直线方程为3(2)1y x =-++，整理可得350x y ++=； (3)由,B C 中点为37(,)22-，由（2）知BC 边的垂直平分线的斜率3-，所以BC 边的垂直平分线为31y x =--，整理可得310x y ++=.11．（2022·江苏·高二课时练习）分别求满足下列条件的直线的方程：(1)过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行； (2)过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直； (3)过点()5,4，且与x 轴垂直；(4)过点()2,3C -，且平行于过两点()1,2M 和()1,5N --的直线．【答案】(1)4140x y +-=(2)230x y --=(3)50x -=(4)72200x y --= 【解析】(1)由题意设直线方程为40x y m ++=，因为直线过点()3,2A ，所以4320m ⨯++=，得14m =-，所以所求直线方程为4140x y +-=(2)由题意设直线方程为20x y n -+=，因为直线过点()3,0B ，所以300n -+=，得3n =-，所以所求直线方程为230x y --=(3)因为直线过点()5,4，且与x 轴垂直，所以所求直线方程为50x -= (4)由题意可知所求直线的斜率为527112k --==--，所以直线方程为()7322y x +=-，即72200x y --= 2 直线过定点1．（2021·重庆市石柱中学校高二阶段练习）直线l ：()240a x y a ++--=恒过的定点坐标为____________. 【答案】()1,2【解析】由()240a x y a ++--=可得(1)240a x x y -++-=，由10240x x y -=⎧⎨+-=⎩可得12x y =⎧⎨=⎩，所以该直线恒过的定点(1,2).故答案为：(1,2).2．（2022·四川）直线(1)y k x =-过定点 _________________. 【答案】()1,0【解析】直线(1)y k x =-，令10x -=，得1,0x y ==，所以直线(1)y k x =-过定点()1,0，故答案为：()1,0. 3．（2022·全国·高二课时练习）设直线()23260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为________. 【答案】(0,2)【解析】由直线方程()23260x k y k +--+=，可化简为(236)(2)0x y k y -++-=，又由236020x y y -+=⎧⎨-=⎩，解得0,2x y ==，即直线恒经过定点(0,2)P .故答案为：(0,2).4．（2022·安徽·高二开学考试）直线()()():21132R l m x m y m m +++=+∈经过的定点坐标是___________. 【答案】()1,1【解析】把直线l 的方程改写成：()()2230x y m x y +-++-=，令20230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点()1,1.故答案为：（1,1）.5．（2021·重庆·铜梁中学校）直线()()():211107l m x m y m m R +++=+∈经过的定点坐标是______．【答案】(3,4)【解析】把直线l 的方程改写成：(7)(210)0x y m x y +-++-=，由方程组702100x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：34x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点(3,4)，故答案为：(3,4)6．（2021·全国·高二专题练习）已知直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数）过定点P ，则点P 的坐标为____．【答案】(0,6)-【解析】直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数），即(36)(6)0x y x y λ--+++=，则36060x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得6x y =⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点(0,6)P -，故答案为：(0,6)-． 3 直线所过象限1．（2022·陕西渭南）如果0AB >且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由0AB >且0BC <，可得,A B 同号，,B C 异号，所以,A C 也是异号；令0x =，得0C y B=->；令0y =，得0Cx A =->；所以直线0Ax By C ++=不经过第三象限. 故选：C.2．（2021·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，过点(2,0)-且倾斜角为135︒的直线不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】∵直线的倾斜角为135︒，则直线的斜率1k =-∵直线的方程：()2y x =-+即2y x =--直线不经过第一象限．故选：A ． 3．（2022·江苏·高二课时练习）设k 为实数，若直线:13l y k x不经过第四象限，则k 的取值范围为______．【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】直线:13l y kx 经过定点)，当0k =时，此时直线:1l y =，符合要求；当0k ≠时，直线:13l y kxk ，要想不经过第四象限，则满足010k >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得：0k <≤，综上：0k ≤≤故答案为：⎡⎢⎣⎦4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线2(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【答案】[]2,4【解析】当2a =时，直线方程为0x =，不过第二象限，满足题意；当20a -≠即2a ≠时，直线方程可化为()142y x a a =+--．由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩，解得24a <≤．综上可得，实数a 的取值范围是24a ≤≤，即[]2,4a ∈．4 直线与坐标轴围成的三角形面积1（2022·江苏·高二）过点(1,1)P 作直线l ，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l 有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】由题意设直线l 的方程为1x y a b +=，直线过(1,1)P ，则111a b+=，直线与坐标轴的交点为()(),0,0,a b , 又142S ab ==，8ab =±， 111a b a abb ++==，a b ab +=，8ab =时，8a b +=，由88a b ab +=⎧⎨=⎩，得44a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩44a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩8ab =-时，8a b +=-，由88a b ab +=-⎧⎨=-⎩，得44a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩或44a b ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩，所以直线l 共有4条．故选：D ．2．（2021·湖南·长郡中学高二阶段练习）过点()1,3的直线分别交x 轴正半轴和y 轴正半轴于点A 、B ，则AOB （O 为原点）面积的最小值为________.【答案】6【解析】设点(),0A a 、()0,B b ，其中0a >且0b >，则直线AB 的方程为1x ya b+=，由已知可得131a b +=，由基本不等式可得131a b +=≥12ab ≥，当且仅当2a =，6b =时，等号成立，故162AOB S ab =≥△. 故答案为：6.3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l 的方程为：()()()212430m x m y m ++-+-=． (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程．【答案】(1)证明见解析 (2)240x y ++=【解析】(1)证明：原方程整理得：()23240x y m x y --+++=．由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩，可得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴不论m 为何值，直线必过定点()1,2M --(2)解：设直线1l 的方程为()12(0)y k x k =+-<．令20k y x k-==-，，令02x y k ==-，．()121412444222k S k k k k ⎛⎫-⎡⎤∴=-=-++≥= ⎪⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎝⎭．当且仅当4k k-=-，即2k =-时，三角形面积最小．则1l 的方程为240x y ++=．4．（2022·江苏·高二）已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，求： (1)直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程； (2)直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程．【答案】(1)6；360x y +-=.(2)4+1=. 【解析】(1)设直线:1x yl a b +=(0,0)a b >>，则131a b+=，所以131a b =+≥12ab ≥，当且仅当2,6a b ==时，等号成立，所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积1112622ab ≥⨯=，所以直线l 与坐标轴围成面积的最小值为6，此时直线:126x yl +=，即360x y +-=.(2)设直线:1x yl a b +=(0,0)a b >>，则131a b+=，所以13()()a b a b a b +=++=3444b a a b ++≥+=+当且仅当1a =33b 时，等号成立.此时直线l 1=. 5 直线的综合运用1．（2022·江苏·高二课时练习）不论实数m 为怎样的实数，直线()1(21)5m x m y m -+-=-（） A ．互相平行B ．都经过一个定点C ．其中某一条直线与另两条直线垂直D ．其中不可能存在两条直线互相垂直【答案】B【解析】直线方程整理为：(21)50m x y x y +---+=，由21050x y x y +-=⎧⎨--+=⎩，得94x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点(9,4)-，不可能有平行的两条直线，存在两条相互垂直的直线，但不可能有一条直线与其中两条垂直．故选：B ．2．（2021·江苏·常州市第一中学高二期中）（多选）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确的是（）A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90°B ．对任意的k ，直线2l 恒过定点C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合D ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点【答案】BD【解析】对A ，当0k =时，2:0l x =，符合倾斜角为90°，故A 错误；对B ，2:(1)(1)0l k x ky k k x y x +++=+++=，解100x y x ++=⎧⎨=⎩可得01x y =⎧⎨=-⎩，故2l 过定点(0,1)-，故B 正确；对C ，当12k =-时，21111:(1)02222l x y x y --=--=，显然与1:10l x y --=重合，故C 错误；对D ，2l 过定点(0,1)-，而(0,1)-也在1:10l x y --=上，故对任意的k ，1l 与2l 都有公共点，故D 正确；故选：BD3．（2022·江苏·高二课时练习）（多选）已知直线l 过点(P ，且与x 轴和y 轴围成一个内角为6π的直角三角形，则满足条件的直线l 的方程可以是（）A ．)1y x -B ．)1y x -=-C ．)1y x -D ．)1y x -【答案】ABC【解析】由题意，直线l 的倾斜角可以是6π或3π或56π或23π，所以直线l 的斜率6tanπk ==或tan 3k π=5tan 6k π==2tan 3k π==所以直线l 的方程可以为1)y x -或1)y x -或 1)y x -或1)y x -，由1)y x -，整理得y =，此时直线过原点，无法与x 轴和y 轴围成直角三角形. 故选：ABC.。

高中数学教案直线方程

高中数学教案直线方程
教学目标：
1. 理解直线的定义及直线方程的含义；
2. 掌握利用点斜式、截距式和一般式求解直线方程的方法；
3. 能够应用直线方程解决实际问题。

教学重点：
1. 点斜式、截距式和一般式的直线方程求解方法；
2. 直线方程应用题的解决能力。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过引入一个真实的例子引出直线的概念及方程的含义，让学生了解直线方程的基本概念。

二、讲解直线方程的表示方法（10分钟）
1. 点斜式：y - y1 = k(x - x1)；
2. 截距式：x/a + y/b = 1；
3. 一般式：Ax + By + C = 0。

三、练习及拓展（15分钟）
教师通过一些练习题让学生巩固以上三种表示方式的求解方法，并引导学生拓展到更复杂的题目中。

四、综合应用（15分钟）
教师出一些应用题，要求学生利用所学的知识解决实际问题，如求两直线的交点等。

五、总结（5分钟）
教师对本节课所学内容进行总结，强调重点，巩固学生的知识。

六、作业布置（5分钟）
布置相应的作业，用以巩固所学知识。

教学反思：
通过本节课的学习，学生可以掌握直线方程的基本概念及解题方法，从而提高解决实际问题的能力。

同时，教师要注意引导学生理解概念，注重实际应用，使学生学以致用。

专题：直线方程中的对称问题2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2
2
点 M 在直线 3x 2 y 6 0 上，将 (*) 式代入，得 3( y 2) 2( x 2) 6 0 ，
化简得 2 x 3 y 4 0 ，即为 l1 关于 l2 对称的直线方程．故选：C
光的反射问题
入射光线经过点A，被直线L反射，反射光线经过点B，点A关于直
对称问题
学习目标
• 1.明确常见的三类对称问题的实质，掌握其解题方法
• 2.会利用点关于直线对称的思想处理光的反射问题
几类常见的对称问题
点关于点的对称
点关于直线的对称
直线关于直线的对称
自学指导（6min）
1.点1 1 , 1 关于点(, )的对称点为2 2 , 2 ，这三个点的
第二步：在 l1 上任找一点（非交点）Q( x1 ，y1 ) ，求出关于直线对称的点Q( x2 ，y2 )
第三步：利用两点式写出 l3 方程
2、当 l1 与 l 平行时：对称直线与已知直线平行.
两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。
题型四
三直线关于直线的对称问题
点关于点的对称
点关于直线的对称
直线关于直线的对称
光的反射问题
·－＝－1，
a 3

a
b

8×2＋6×2＝25，
a＝4，
解得
b＝3，
∴A的坐标为(4,3).
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线的方程为y＝3.
光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
课堂小结
对称问题

上海高二数学平面直角坐标系中的直线专题

上海高二数学平面直角坐标系中的直线专题一、概述在高二数学学习中，平面直角坐标系中的直线是一个重要的基础知识点。

通过学习直线的相关内容，可以帮助学生深入理解数学中的几何关系，提高数学分析和解决问题的能力。

上海高二数学的教学大纲中，对平面直角坐标系中的直线进行了系统的布置和安排，包括直线的方程、性质、斜率、截距等内容。

本文将对上海高二数学中关于平面直角坐标系中的直线专题进行全面的介绍和总结。

二、直线的方程1. 直线的一般方程直线的一般方程可以写为Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数且A和B不同时为0。

在平面直角坐标系中，直线的一般方程对应于一条直线，通过解一般方程可以得到直线的斜率和截距，进而分析直线的特性和性质。

2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程可以写为y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。

斜截式方程是直线方程的一种常见形式，通过斜截式方程可以方便地分析直线的斜率和截距，从而得出直线的特性和性质。

3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以写为y-y₁=k(x-x₁)，其中(k为斜率，(x₁，y₁)为直线上的一点。

点斜式方程是直线方程的一种便利形式，通过点斜式方程可以轻松求出直线的斜率和经过的点，进而分析直线的特性和性质。

三、直线的性质1. 相交直线两条不平行的直线在平面直角坐标系中相交于一点，通过分析相交直线的斜率和截距可以得出它们的相交关系和交点的坐标。

2. 平行直线平行直线具有相同的斜率但不同的截距，在平面直角坐标系中平行直线之间的距离可以通过截距的差值来表达。

通过研究平行直线的性质可以帮助学生更好地理解直线在坐标系中的位置关系。

3. 垂直直线垂直直线的斜率之间满足互为倒数的关系，两条直线的斜率之积为-1。

通过研究垂直直线的特性，可以帮助学生理解直线之间的垂直关系，从而在几何分析中有更深入的应用。

四、直线的应用1. 直线的方程与图像通过直线的方程可以得到直线在平面直角坐标系中的图像，通过分析直线的方程可以得出它在坐标系中的位置和特性，帮助学生更好地理解直线和几何关系。

直线方程高二数学选择性必修第一册)(原卷版)

专题3直线方程目录【题型一】倾斜角.............................................................................................................................1【题型二】斜率.................................................................................................................................2【题型三】直线平行与垂直.............................................................................................................3【题型四】截距式及截距应用.........................................................................................................4【题型五】动直线（含参）...........................................................................................................5【题型六】动直线与距离最值.........................................................................................................6【题型七】动直线:三角函数型（切线型）................................................................................7【题型八】双动直线.........................................................................................................................8【题型九】平行线之间的距离.........................................................................................................8培优第一阶——基础过关练.............................................................................................................9培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................11培优第三阶——培优拔尖练.. (12)【题型一】倾斜角【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）直线5πcos sin 0,0,6x y θθθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭的斜率的取值范围为（）A ．(-∞B ．(2,)+∞C ．(D ．(,2)-∞1.（2021·北京市第十二中学高二阶段练习）直线cos 10x y α--=的倾斜角的取值范围是（）A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．30,424πππ⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.（2021·全国·高二期中）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，若k ⎡⎤∈⎣⎦，则α的取值范围为（）A ．20,,43πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．50,,46πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.（2022·江苏·高二专题练习）若,62ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则直线4cos 670x y α+-=的倾斜角的取值范围是（）A ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【题型二】斜率【典例分析】（2021·全国·高二单元测试）已知四边形OABC 各顶点的坐标分别为(0,0)O ，(2,1)A ，()1,3B ，(1,2)C -，点D 为边OA 的中点，点E 在线段OC 上，且DBE ∆是以角B 为顶角的等腰三角形，记直线EB ，DB 的倾斜角分别为α，β，则sin()αβ+=A ．35-B ．45-C ．35D ．451.（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知点()()2,3,2,1A B --，若直线():12l y k x =--与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是（）A ．1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．()1,5,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭2.（2022·全国·高二课时练习）若直线l 经过点()1,2A ，且在x 轴上的截距的取值范围是（3，5），则其斜率的取值范围是（）A ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭3..（2022·全国·高二课时练习）设集合()3,2,,1y A x y x y R x ⎧⎫-==∈⎨⎬-⎩⎭，(){},4160,,B x y x ay x y R =+-=∈，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为（）A ．()(),44,-∞⋃+∞B ．()(),22,-∞--+∞C ．()()(),22,44,-∞-⋃-⋃+∞D ．()()(),44,22,-∞-⋃-⋃+∞【题型三】直线平行与垂直【典例分析】.（2022·全国·高二单元测试）已知点()1,1A -，()3,5B ，若点A ，B 到直线l 时距离都为2，则直线l 的方程不可能为（）A ．20x y -+-=B ．20x y -++=C ．3y =D ．10x y --=1.（2021·四川绵阳·高二阶段练习（理））已知集合(){},0A x y x ay a =+-=，()(){},2310B x y ax a y =++-=.若AB =∅，则实数=a （）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．3-或12..（2021·安徽·屯溪一中高二期中）已知0a >，0b >，直线1:(4)10l x a y +-+=，2:220l bx y +-=，且12l l ⊥，则2112a a b+++的最小值为（）A ．2B ．4C ．45D ．953.（2021·全国·高二专题练习）已知直线21cos 20l x α+=：，若12l l ⊥，则2l 的倾斜角的取值范围是（）A ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【题型四】截距式及截距应用【典例分析】（2021·全国·高二课时练习）过点()3,4P 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（）A ．4B ．5C ．6D ．71.（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，设函数()(2)3f x k x =-+的图象为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，给出下列四个命题：①存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有一条；②存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有二条；③存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有三条；④存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有四条．其中，所有真命题的序号是．A ．①②③B ．③④C ．②④D ．②③④2.（2022·全国·高二课时练习）过点()1,3作直线l ，若l 经过点(),0a 和()0,b ，且,a b *∈N ，则可作出这样的直线l 的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．多于33.（2022·全国·高三专题练习）已知过定点直线40kx y k -+-=在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）A ．270x y --=B ．270x y -+=C ．260x y +-=D ．260x y +-=【题型五】动直线（含参）【典例分析】2021·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）不论k 为何实数，直线()()()213110k x k y k --+--=恒通过一个定点，这个定点的坐标是（）A ．()5,2B ．()2,3C ．()5,9D ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭1.（2022·全国·高二）无论k 为何实数，直线212()()(0)8k x k y k +---=+恒过一个定点，这个定点是（）A ．(0,0)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,3)-2.（2021·湖北·高二阶段练习）无论m 为何值，直线21y mx m =++所过定点的坐标为（）A ．(2,1)--B ．(2,1)-C ．(2,1)-D ．(2,1)3.已知直线0)2()3(=-++-n y n m x n m 则当m 、n 变化时，直线都通过定点【题型六】动直线与距离最值【典例分析】（2022·江苏·高二单元测试）已知点(2,1)P --和直线:(12)(13)20l x y λλλ++-+-=，则点P 到直线l 的距离的取值范围是（）A ．(B ．⎡⎣C ．(0,D ．0,⎡⎣【变式训练】1.（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）原点到直线l ：()342220x y x y λ+-+++=的距离的最大值为（）A ．25B ．CD 2.（2021·河北·大名县第一中学高三阶段练习）已知点(2,2)P -，直线:(2)(1)460l x y λλλ+-+--=，则点P 到直线l 的距离的取值范围为__________.3.（2021·全国·高二阶段练习）对于任意实数k ，直线()()2120k x k y --＋＋＝与点()22--，的距离为d ，则d 的取值范围是（）A ．0⎡⎣B ．(C ．0⎡⎢⎣⎦D ．0⎛ ⎝⎦【题型七】动直线:三角函数型（切线型）【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）设直线系():cos 2sin 1M x y θθ+-=（02θπ≤≤），则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④M 中所有直线均经过一个定点；⑤不存在定点P 不在M 中的任一条直线上；⑥对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；⑦M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A ．3B ．4C ．5D ．61.（2021·浙江省青田县中学高二期中）在平面直角坐标系xoy 内，点(1,1)M ，集合{}=(,)|cos sin 2,P x y x y R θθθ-=∈，任意的点N P ∈，则||MN 的取值范围是___________.2.（2022·江苏·高二单元测试）已知直线12:10,:10,l ax y l x ay a R -+=++=∈，以下结论不正确的是（）A ．不论a 为何值，1l 与2l 都互相垂直B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -C ．不论a 为何值，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D ．若1l 与2l 交于点M ．则MO3.（2021·吉林·白城一中高二阶段练习）已知集合S ={直线l sin cos |1,x y m nθθ+=其中,m n 是正常数[)0,2θ∈π}，下列结论中正确的是（）A ．当4πθ=时，S 中直线的斜率为n mB ．S 中所有直线均经过同一个定点C ．当m n ≥时，S 中的两条平行线间的距离的最小值为2nD ．S 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面【题型八】双动直线【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）设R m ∈，过定点A 的动直线0x my m ++=和过定点B 的动直线20mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．1.（2021·湖南·益阳平高学校高二期中）设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．B ．C ．3D ．62.（2023·全国·高三专题练习）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=相交于点(,P P A B 与不重合），则PAB △面积的最大值是（）AB ．5C ．D ．523.（2022·全国·高二）过定点A 的直线()0x my m R -=∈与过定点B 的直线()30mx y m m R +-+=∈交于点(),P x y ，则22||PA PB +的值为（）AB ．10C ．D ．20【题型九】平行线之间的距离【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x xc ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A ．1B ，13C ，12D ．11.（2022·全国·高二课时练习）已知(1,0)A 、(4,4)B -，若A 与B 到直线l 的距离都为2，则满足条件的直线l 有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2.（2022·全国·高二课时练习）若P ，Q 分别为直线34120x y +-=与直线6810x y ++=上任意一点，则PQ 的最小值为（）A ．32B ．135C ．2310D ．523.（2022·全国·高二期末）某菱形的一组对边所在的直线方程分别为210x y ++=和230x y ++=，另一组对边所在的直线方程分别为1340x y c -+=和2340x y c -+=，则12c c -=（）A ．B ．C ．2D ．4培优第一阶——基础过关练1.（2022·全国·高二）直线sin 10x y α--=的倾斜角的取值范围是（）A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．30,424πππ⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2..（2021·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））已知两点()3,4A -，()3,2B ，直线l 经过点()2,1P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是______．3.（2021·新疆·兵团第十师北屯高级中学高二期中（文））“2m =-”是“直线1l ：460mx y +-=与直线2l ：30x my +-=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.（2022·江苏·高二课时练习）已知k ∈R ，223b k k =-+，则下列直线的方程不可能是y kx b =+的是（）A ．B ．C ．D ．5.（2022·浙江舟山·高二期末）下列对动直线()()34330m x y m m R ++-+=∈的四种表述不正确的是（）A ．与曲线C ：2220x y +=可能相离，相切，相交B ．恒过定点()3,3-C ．3m =-时，直线斜率是0D ．1m =时，直线的倾斜角是135°6.（2022·浙江省杭州学军中学高二期末）原点到直线()():324220l x y λλλ++++-=的距离的最大值为（）A ．5B ．25C ．D ．5广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知实数,x y 满足cos sin 1x y αα+=，则_______．8.（2021·重庆市万州第二高级中学高二期末）设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．B ．C ．6D ．39.（2021·河北·沧州市一中高二阶段练习）若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 之间的距离为（）A3B C D ．3培优第二阶——能力提升练1.（2018·四川省资阳中学高一阶段练习（理））已知()11αtanαx x 0,2x ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭为直线的倾斜角，且则倾斜角α的取值范围为_________2..（2022·全国·高二）设点(3,5)A -，(2,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．1k ³或3k ≤-B ．31k -≤≤C ．13k -≤≤D ．以上都不对3..（2022·全国·高二课时练习）已知直线420mx y +-=与直线250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,p .则m n p +-等于（）A ．24B ．20C ．4D ．04.（2022·全国·高二专题练习）已知0a b >>0，，直线xy b a+=在x 轴上的截距为1，则9a b +的最小值为（）A ．3B ．6C ．9D ．105.（2022·江苏·高二课时练习）不论实数m 为怎样的实数，直线()1(21)5m x m y m -+-=-（）A ．互相平行B ．都经过一个定点C ．其中某一条直线与另两条直线垂直D ．其中不可能存在两条直线互相垂直6.（2021·江苏·高二专题练习）已知直线:10(00)l Ax By C A B ++-=>>，恒过定点()0m，，若点()22，到直线l 的最大距离为2，则112A C+的最小值为（）A ．14B ．34C ．4D ．927.（2022·全国·高二课时练习）对于直线系:cos (1)sin 2M x y θθ+-=，02θπ≤≤，下列说法错误的有（）．A ．存在定点C 与M 中的所有直线距离相等B ．M 中不存在两条互相平行的直线C ．M 中存在两条互相垂直的直线D ．存在定点P 不在M 中的任意一条直线上8.（2020·湖北省武昌实验中学高一阶段练习）已知m R ∈，动直线1l ：10x my +-=过定点A ，动直线2l ：230mx y m --+=过定点B ，若1l 与2l 交于点P （异于点A ，B ），则PA PB +的最大值为______.9..（2021·湖北·武汉市第十一中学高二阶段练习）若动点()11,M x y ，()22,N x y 分别在直线70x y ++=与直线50x y ++=上移动，则MN 的中点P 到原点的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．培优第三阶——培优拔尖练.1.（2022·全国·高二课时练习）1:1l x =与直线sin cos 1042x y ππααα⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭的夹角是（）A ．αB ．2πα-C ．2πα-D ．πα-2.（2023·全国·高三专题练习）曲线13y =与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是A ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭U B ．,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭3.（2022·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）过坐标原点O 作直线l ：()()2160a x a y ++--=的垂线，垂足为(),H s t ，则22s t +的取值范围是（）A ．0,⎡⎣B ．(0,C ．[]0,8D ．(]0,84.（2022·全国·高二课时练习）已知(1,0)A 、(4,4)B -，若A 与B 到直线l 的距离都为2，则满足条件的直线l 有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5.（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知直线():22l y k x =-+，当k 变化时，点()1,2P -到直线l 的距离的取值范围是（）A ．[)0,∞+B ．[]0,2C ．[]0,3D ．[)0,36.2023·全国·高三专题练习）已知a ，b ，c 三个数成等差数列，直线0bx ay c -+=恒过定点A ，且A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则121m n++的最小值为（）A ．23B ．43C ．2D ．47.（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）直线系:(3)cos sin 2A x y αα-+=，直线系A 中能组成正三角形的面积等于______.8.（2021·江苏·高二专题练习）设m R ∈，过定点A 的动直线()270x m y ++-=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点()P x y ，，则PA PB +的取值范围是（）A ．B ．C ．⎡⎣D ．5⎡⎣9.（2021·全国·高二课时练习）若倾斜角为45°的直线m 被直线1:10l x y +-=与2:30l x y +-=所截得的线段为AB ，则AB 的长为（）A ．1BC D ．2。

高二数学上册常考题专练(人教A版2019选修一) 专题05 直线方程重难点题型巩固(解析版)

专题05直线方程重难点题型巩固题型一概念梳理（多选题）1．过点(2,3)P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程为()A ．50x y +-=B ．240x y +-=C ．320x y -=D ．4250x y -+=【解答】解：当直线经过原点时，直线的斜率为32k =，所以直线的方程为32y x =，即320x y -=；当直线不过原点时，设直线的方程为x y a +=，代入点(2,3)P 可得5a =，所以所求直线方程为5x y +=，即50x y +-=．综上可得，所求直线方程为：50x y +-=或320x y -=．故选：AC ．2．已知直线1:10l x my +-=，2:(2)310l m x y -++=，则下列说法正确的是()A ．若12//l l ，则1m =-或3m =B ．若12//l l ，则1m =-C ．若12l l ⊥，则12m =-D ．若12l l ⊥，则12m =【解答】解：已知直线1:10l x my +-=，2:(2)310l m x y -++=，若12//l l ，则13(2)0m m ⨯--=，求得3m =或1m =-，故A 正确，B 不正确．若12l l ⊥，则1(2)30m m ⨯-+⨯=，求得12m =，故C 不正确，D 正确，故选：AD ．3．下列说法正确的是()A ．直线40x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是8B ．过1(x ，1)y ，2(x ，2)y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--C ．直线240x y --=与直线210x y ++=相互垂直D ．经过点(1,2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=【解答】解：直线40x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是14482⨯⨯=，故A 正确；当21x x =或21y y =时，式子112121y y x x y y x x --=--无意义，故B 不正确；线240x y --=与直线210x y ++=的斜率之积为1(2)12⨯-=-，故线240x y --=与直线210x y ++=垂直，故C 正确；经过点(1,2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=或2y x =，故D 错误，故选：AC ．4．已知直线1:0l x ay a +-=和直线2:(23)10l ax a y ---=，下列说法正确的是()A ．2l 始终过定点21(,)33B ．若12//l l ，则1a =或3-C ．若12l l ⊥，则0a =或2D ．当0a >时，1l 始终不过第三象限【解答】解：2:(2)310l a x y y -+-=过点21(,)33，A 正确；当1a =时，1l ，2l 重合，故B 错误；由1(32)0a a a ⨯+⨯-=，得0a =或2，故C 正确；11:1l y x a=-+始终过(0,1)，斜率为负，不会过第三象限，故D 正确．故选：ACD ．5．下列说法正确的是()A ．11y y k x x -=-不能表示过点1(M x ，1)y 且斜率为k 的直线方程B ．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为1x y a b+=C ．直线y kx b =+与y 轴的交点到原点的距离为bD ．过两点1(A x ，12)(y B x ，2)y 的直线方程为212212()()()()0x x y y y y x x -----=【解答】解：11y y k x x -=-表示过点1(M x ，1)y 且斜率为k 的两条射线（以M 为端点，不含点)M 方程，故A 正确；在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为1x ya b+=，但当a 或0b =时，不能用此方程，故B 错误；直线y kx b =+与y 轴的交点到原点的距离为||b ，故C 错误；过两点1(A x ，12)(y B x ，2)y 的直线方程为112121y y x x y y x x --=--（不含A 、B 两点），转化为212212()()()()0x x y y y y x x -----=，故D 正确，故选：AD ．6．下面说法中错误的是()A ．经过定点0(P x ，0)y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示B ．经过定点0(P x ，0)y 的直线都可以用方程00()x x m y y -=-表示C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示E ．经过任意两个不同的点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示【解答】解：当直线的斜率不存在时，经过定点0(P x ，0)y 的直线方程为0x x =，不能写成00()y y k x x -=-的形式，故A 错误．当直线的斜率等于零时，经过定点0(P x ，0)y 的直线方程为0y y =，不能写成00()x x m y y -=-的形式，故B 错误．当直线的斜率不存在时，经过定点(0,)A b 的直线都方程为0x =，不能用方程y kx b =+表示，故C 错误．不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为(0)x a a =≠的形式，故D 错误．经过任意两个不同的点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 的直线，当斜率等于零时，12y y =，12x x ≠，方程为1y y =，能用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示；当直线的斜率不存在时，12y y ≠，12x x =，方程为1x x =，能用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示，故E 正确，故选：ABCD ．题型二直线过定点问题7．已知直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数）过定点P ，则点P 的坐标为(0,6)-．【解答】解：直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数），即(36)(6)0x y x y λ--+++=，该直线经过360x y --=和60x y ++=的交点(0,6)P -，故答案为：(0,6)-．8．设直线l 的方程为(1)10a x y a +++-=，则直线l 经过定点(1,2)-；若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为．【解答】解：直线l 的方程为(1)10a x y a +++-=，即(1)10a x x y -+++=，令10x -=，求得1x =，2y =-，可得该直线l 经过定点(1,2)-．由于直线l 在两坐标轴上的截距相等，若直线l 过原点，方程为2y x =-，即20x y +=．若直线l 不过原点，设它的方程为0x y c ++=，再把点(1,2)-代入，求得1c =，故直线l 的方程为10x y ++=．综上可得，直线l 的方程为20x y +=，或10x y ++=．9．已知直线l 过定点(2,1)A ．（1）若直线l 与直线250x y +-=垂直，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．【解答】解：（1）直线l 与直线250x y +-=垂直，设直线l 的方程20x y c -+=，将定点(2,1)A 代入可得410c -+=，解得3c =-，故直线l 的方程为230x y --=；（2）①当直线经过原点时，可得直线方程为：12y x =，即20x y -=，②当直线不经过原点时，可设直线方程为x y a +=，把点(2,1)代入可得21a +=，解得3a =，可得直线方程为30x y +-=，综上所述：所求的直线方程为：20x y -=或30x y +-=．10．已知直线21:(2)60l m m x my +-+-=与2:230l x y +-=平行，则实数m 的值为()A ．1-B ．2C ．1-或2D ．以上答案均不对【解答】解：直线21:(2)60l m m x my +-+-=与2:230l x y +-=平行，∴226213m m m +--=≠-，解得1m =-，故选：A ．11．已知函数1()3x f x a -=+与直线l 均过定点A ，且直线l 在x ，y 轴上的截距依次为m 和n ．（1）若直线l 在x ，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于B ，C 两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形COB 面积最小时直线l 的方程．【解答】解：（1）因为f （1）4=，所以定点(1,4)A ，因为直线l 在x ，y 轴上的截距相等，当0m n ==时，直线经过原点，设y kx =，又经过点A ，则有4k =，所以直线l 的方程为40x y -=；当0m n =≠时，设直线l 的方程为1x ym n+=，代入点(1,4)A ，解得5m n ==，所以直线的方程为50x y +-=．综上可得，直线l 的方程为40x y -=或50x y +-=．（2）由题意可知直线的斜率必存在，设斜率为k ，则有0k <，设直线l 的方程为4(1)y k x -=-，令0x =，解得4y k =-，令0y =，则41x k=-，所以三角形COB 的面积为14116(4)(1(8)22S k k k k=⨯-⨯-=--+，因为0k <，则0k ->，所以168k k --=，当且16k k-=-，即4k =-时取等号，所以此时直线l 的方程为44(1)y x -=--，即480x y +-=．12．若直线1:1l y kx k =-+与直线2l 关于点(3,3)对称，则直线2l 一定过定点()A ．(3,1)B ．(2,1)C ．(5,5)D ．(0,1)【解答】解：由于直线1:(1)1l y k x =-+恒过定点(1,1)，其关于点(3,3)对称的点为(5,5)，又由于直线1:(1)1l y k x =-+与直线2l 关于点(3,3)对称，∴直线2l 恒过定点(5,5)．故选：C ．题型三最值问题13．点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为()A ．1B 2C D ．2【解答】解：方法一：因为点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离d ===；要求距离的最大值，故需0k >；212k k + ，当且仅当1k =时等号成立，可得d +=，当1k =时等号成立．方法二：由(1)y k x =+可知，直线(1)y k x =+过定点(1,0)B -，记(0,1)A -，则点(0,1)A -到直线(1)y k x =+距离||d AB =．故选：B ．14．在平面直角坐标系中，从点(3,2)P -向直线20kx y k ---=作垂线，垂足为M ，则点(2,4)Q 与点M 的距离||MQ 的最小值是()A ．5-B ．C ．D ．17【解答】解：直线20kx y k ---=过定点(1,2)N -，PM MN ⊥ ，可知点M 是在以PN 为直径的圆22:(1)8C x y ++=上，又(25QC ==，可得：||5min MQ =-，故选：A ．15．已知直线l 过点(2,1)P 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为4．【解答】解：设(,0)A a 、(0B ，b )，0a >，0b >，AB 方程为1x ya b+=，点(2,1)P 代入得211a b +=，8ab ∴（当且仅当4a =，2b =时，等号成立），故三角形OAB 面积142S ab =，故答案为4．16．若a ，b 为正实数，直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直，则ab 的最大值为()A ．32B ．98C ．94D ．324【解答】解：由直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直，所以22(23)0b a +-=，即23a b +=；又a 、b 为正实数，所以2a b +即2292()24a b ab +=，当且仅当34a =，32b =时取“=”；所以ab 的最大值为98．故选：B ．17．过点(1,1)A 的动直线1l 和过点(4,5)B 的动直线2l 交于点P （点P 异于A 、)B ，且12l l ⊥，则||||PA PB ⋅的最大值是()A ．2B ．5C ．52D ．252【解答】解：因为12l l ⊥，则PA PB ⊥，所以222||||||25PA PB AB +==，则22||||25||||22PA PB PA PB +⋅=，当且仅当52||||2PA PB ==时取等号，所以||||PA PB ⋅的最大值为252．故选：D ．18．设直线l 的方程为(1)20()a x y a x R +++-=∈．（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的一般式方程；（2）若l 与x 轴正半轴的交点为A ，与y 轴负半轴的交点为B ，求(AOB O ∆为坐标原点）面积的最小值．【解答】解：（1）对于直线l 的方程为(1)20()a x y a x R +++-=∈，当直线l 经过原点时，0020a ++-=，求得2a =，此时它的方程为30x y +=；当直线l 不经过原点时，它的方程即211y a x a a -+=++，由于它两坐标轴上的截距相等，故有11a +=，求得0a =，它的方程为20x y ++=，综上可得，l 的一般式方程为30x y +=，或20x y ++=．（2）l 与x 轴正半轴的交点为A ，与y 轴负半轴的交点为B ，A ∴的横坐标201a a ->+，B 的纵坐标20a -<，求得1a <-．求(AOB O ∆为坐标原点）面积的为2212(2)[3(1)](2)21222(1)a a a a a a a ---++⋅⋅-==+---⋅+29(1)6(1)913362(1)2(1)2a a a a a ++-++==++=-+-+-，当且仅当13a +=-时，取等号，故(AOB O ∆为坐标原点）面积的最小值为6．题型四对称问题19．与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程是()A ．3450x y -+=B ．3450x y --=C ．3450x y +-=D ．3450x y ++=【解答】解：设所求对称直线的点的坐标(,)x y ，关于x 轴的对称点的坐标(,)x y -在已知的直线上，所以所求对称直线方程为：3450x y ++=．故选：D ．20．点(1,2)关于直线20x y +-=的对称点是()A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(0,1)-D ．(2,1)【解答】解：设点(1,2)A 关于直线20x y +-=的对称点是(,)B a b ，则有211122022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得0a =，1b =，故点(1,2)关于直线20x y +-=的对称点是(0,1)．故选：B ．21．已知点(1,2)M -，直线:250l x y +-=，点M 关于直线l 的对称点Q 的坐标是(3,4)．【解答】解：设点(1,2)M -关于直线250x y +-=的对称点Q 的坐标为(,)a b ，则122502221(1)2a b b a -++⎧⨯+-=⎪⎪⎨-⎪=⎪--⎩，解得3a =，4b =，故点(3,4)Q ，故答案为：(3,4)．22．直线210y x -+=关于30y x -+=对称的直线方程是()A ．280x y --=B ．2100x y --=C ．2120x y +-=D ．2100x y +-=【解答】解：因为直线30y x -+=即30x y --=的斜率为1，故有33x y y x =+⎧⎨=-⎩将其代入直线210x y --=即得：(3)2(3)10y x +---=，整理即得280x y --=．故选：A ．23．已知点(2,0)A 与(0,4)B 关于直线0ax y b ++=对称，则a ，b 的值分别为()A ．1，3B ．13,22--C ．2-，0D ．12，52-【解答】解：因为点(2,0)A 与(0,4)B 关于直线0ax y b ++=对称，所以直线AB 与直线0ax y b ++=垂直且线段AB 的中点在直线0ax y b ++=上，直线AB 的斜率为40202-=--，线段AB 的中点为(1,2)，则有2()1120a a b -⋅-=-⎧⎨⋅++=⎩，解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．故选：B ．24．与直线3450x y -+=关于坐标原点对称的直线方程为()A ．3450x y +-=B ．3450x y ++=C ．3450x y -+=D ．3450x y --=【解答】解：设直线3450x y -+=点1(Q x ，1)y 关于点(0,0)M 对称的直线上的点(,)P x y ，所求直线关于点(0,0)M 的对称直线为3450x y -+=，∴由中点坐标公式得102x x +=，102y y +=；解得1x x =-，1y y =-代入直线3450x y -+=，得3()4()50x y ---+=，整理得：3450x y --=，即所求直线方程为：3450x y --=．故选：D ．25．点1(,1)2-关于直线:10l x y -+=对称的点的坐标为3(2,2-．【解答】解：设所求的对称点为(,)m n ，则1(1)21022(1)1112m n n m ⎧+⎪+--+=⎪⎪⎨--⎪⨯=-⎪-⎪⎩，解得232m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故所求对称点的坐标为3(2,)2-．故答案为：3(2,)2-．26．直线210y x -+=关于0y x -=对称的直线方程是()A ．210y x --=B ．210y x +-=C ．210y x ++=D ．210y x ++=【解答】解：直线210y x -+=的图象关于0y x -=对称，可得对称直线方程为：210x y -+=，即可210y x --=．故选：A ．27．直线l 的倾斜角为θ，则直线l 关于直线y x =对称的直线l '的倾斜角不可能为()A ．θB ．2πθ-C ．πθ-D ．32πθ-【解答】解：设直线l '的倾斜角为α，则α，[0θ∈，)π，直线l 和直线l '关于直线y x =对称，则也关于y x =-对称，故2παθ+=或32π，当,44ππθαθ===，故选项A 正确；当0,22ππθαθ===-，故选项B 正确；当353,262πππθαθ===-，故选项D 正确．故选：C ．28．已知直线1:2l y =+，直线2l 与1l 关于直线1y x =-+对称，则直线2l 的斜率为()A ．B C ．2-D ．2【解答】解：联立21y y x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得1x =+，y =，所以直线1l 与直线1y x =-+的交点坐标为(1+，设直线2l 的方程为(1)y k x =+，即1)0kx y k -++，在直线1y x =-+上取点(0,1)，由题设知点(0,1)到直线1l ，2l 的距离相等，所以由点到直线的距离得=，化简得2220k -+=，解得k =或22k =，当k =时，直线2l 为20y -+=，与1l 重合，舍，所以k =．故选：D ．题型五光的反射问题29．一束光线从点(2,9)P射向y轴上一点A，又从点A以y轴为镜面反射到x轴上一点B，最后从点B以x轴为镜面反射，该光线经过点(3,3)Q，则该光线从P点运行到Q点的距离为()A B．13C D．12【解答】解：如图，点(2,9)P关于y轴对称的点为(2,9)P'-，点(3,3)Q关于x轴对称的点为(3,3)Q'-，则该光线从P点运行到Q点的距离为||13P Q''==．故选：B．30．一条经过点(4,2)A-的入射光线l的斜率为2-，若入射光线l经x轴反射后与y轴交于点B，O为坐标原点，则AOB∆的面积为()A．16B．12C．8D．6【解答】解：设直线l与x轴交于点C，因为l的方程为22(4)y x-=-+，所以点C的坐标为(3,0)-，从而反射光线所在直线的方程为2(3)y x=+，易求(0,6)B，所以AOB的面积为164122S=⨯⨯=，故选：B．31．光线沿直线30x y-+=入射到直线220x y-+=后反射，则反射光线所在直线的方程为730x y--=．【解答】解：由30220x yx y-+=⎧⎨-+=⎩得14xy=⎧⎨=⎩，故入射光线与反射轴的交点为(1,4)A，在入射光线上再取一点(0,3)B，则点B关于反射轴220x y-+=的对称点(,)C m n在反射光线上．322022321m n n m +⎧⨯-+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，解得45m =，135n =，根据A 、C 两点的坐标，用两点式求得反射光线的方程为：13454(1)415y x --=--，即730x y --=．故答案为：730x y --=．32．光线沿直线1:250l x y -+=射入，遇直线:3270l x y -+=后反射，求反射光线所在的直线方程．【解答】解：由2503270x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得12x y =-⎧⎨=⎩，故入射光线与反射轴的交点为(1,2)A -，在入射光线上再取一点(5,0)B -，则点B 关于反射轴3270x y -+=的对称点(,)C m n 在反射光线上．53270223125m n n m -⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪+⎩，解得1713m =-，3213n =-，17(13C -，32)13-根据A 、C 两点的坐标，用两点式求得反射光线的方程为：322213171113y x +-=+-+，即292330x y -+=．所求反射光线所在的直线方程为292330x y -+=．33．光线通过点(2,3)A ，在直线:10l x y ++=上反射，反射光线经过点(1,1)B ，则反射光线所在直线方程为()A ．4510x y -+=B ．4590x y +-=C ．5410x y --=D ．5490x y +-=【解答】解：根据光学性质可知点(2,3)A 关于直线10x y ++=的对称点(4,3)A '--在反射光线所在直线上，由两点式可得反射光线所在直线方程为：114131x y --=----，化简得：4510x y -+=．故选：A ．34．已知光线通过点(3,4)M -，被直线:30l x y -+=反射，反射光线通过点(2,6)N ，则反射光线所在直线的方程是66y x =-．【解答】解：光线通过点(3,4)M -，直线:30l x y -+=的对称点(,)x y ，∴413343022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩即10x y =⎧⎨=⎩，(1,0)K ，(2,6)N ，MK ∴的斜率为6，∴反射光线所在直线的方程是66y x =-，故答案为：66y x =-，35．如图，已知(4,0)A -，(4,0)B ，(0,4)C ，(2,0)E -，(2,0)F ，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点），则直线FD 的斜率的取值范围为()A ．(,2)-∞-B ．(4,)+∞C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞【解答】解：(4,0)A - ，(4,0)B ，(0,4)C ，∴直线BC 方程为40x y +-=，直线AC 方程为40x y -+=如图，作F 关于BC 的对称点P ，(2,0)F ，(4,2)P ∴，再作P 关于AC 的对称点M ，则(2,8)M -，连接MA 、ME 交AC 与点N ，则直线ME 方程为2x =-，(2,2)N ∴-连接PN 、PA 分别交BC 为点G 、H ，则直线PN 方程为2y =，直线PA 方程为440x y -+=，(2,2)G ∴，(H 125，8)5连接GF ，HF ，则G ，H 之间即为点D 的变动范围．直线FG 方程为2x =，直线FH 的斜率为8541225=-FD ∴斜率的范围为(4,)+∞故选：B ．36．在等腰直角三角形ABC 中，4AB AC ==，点P 是边AB 边上异于AB 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图），若光线QR 经过ABC ∆的重心，则三角形PQR 周长等于()A ．3B ．3C ．D ．3【解答】解：以AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知(4,0)B ，(0,4)C ，(0,0)A ，则直线BC 的方程为40x y +-=，设(P t ，0)(04)t <<，由对称知识可得点P 关于直线BC 的对称点1P 的坐标为(4,4)t -，点P 关于y 轴的对称点2P 的坐标为(,0)t -，根据反射定理可知12P P 就是光线RQ 所在的直线．由12P P 两点坐标可得直线12P P 的方程为4()4ty x t t-=⋅++，设ABC ∆的重心为G ，易知44(,33G ．因为重心44(,)33G 在光线RQ 上，所以444()343t t t -=++，即2340t t -=，所以0t =或43t =，因为04t <<，所以43t =，即43AP =．所以1284(4,),(,0)33P P -，结合对称关系可知1QP QP =，2RP RP =，所以PQR ∆的周长即线段12P P 的长度，即12P P ==．故选：A ．。

直线方程综合大题归类高二数学选择性必修第一册)(原卷版)

专题5直线方程综合大题归类目录一、....热点题型归纳【题型一】求直线方程 (1)【题型二】平行线距离 (2)【题型三】解三角形：求边对应的直线方程 (3)【题型四】解三角形三大线：中线对应直线 (3)【题型五】解三角形三大线：高对应直线 (4)【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线 (4)【题型七】最值：面积最值 (5)【题型八】最值：截距与长度 (5)【题型九】叠纸 (6)【题型十】三直线 (7)【题型十一】直线与曲线：韦达定理与求根 (7)【题型十二】直线应用题 (8)培优第一阶——基础过关练 (9)培优第二阶——能力提升练 (10)培优第三阶——培优拔尖练 (11)【题型一】求直线方程【典例分析】（2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD 的顶点()0,2A 和()4,6,C AB 所在直线的方程为240x y +-=.(1)求对角线BD 所在直线方程；(2)已知直线l 过点()2,1P ，与直线AB 的夹角余弦值为5，求直线l 的方程.1.（2022·湖南·长沙一中高二开学考试）已知直线1l 的方程为280x y -+=，直线2l 的方程为4310x y +-=.(1)设直线1l 与2l的交点为P ，求过点P 且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程；(2)设直线3l 的方程为10ax y ++=，若直线3l 与1l ，2l 不能构成三角形，求实数a 的取值的集合.2.（2022·全国·高二专题练习）如图，射线OA OB ，与x 轴正半轴的夹角分别为45︒和30︒，过点()10P ，的直线l 分别交OA ，OB于点A B ，．(1)当线段AB 的中点为P 时，求l 的方程；(2)当线段AB 的中点在直线2x y =上时，求l 的方程【题型二】平行线距离【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l 过点()2,3P ，且被平行直线1l ：3470x y +-=与2l ：3480x y ++=所截取的线段长为l 的方程．【变式训练】1.（2022·江苏·高二专题练习）两平行直线1l ，2l 分别过()1,0A ，()0,5B .(1)1l ，2l 之间的距离为5，求两直线方程；(2)若1l ，2l 之间的距离为d ，求d 的取值范围.2.（2022·全国·高二课时练习）已知直线1l 与2l 的方程分别为7890x y ++=，7830x y +-=，直线l 平行于1l ，直线l 与1l 的距离为1d ，与2l 的距离为2d ，且1212d d =，求直线l 的方程．【题型三】解三角形：求边对应的直线方程【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，顶点A 的坐标为()5,4，直角边BC 所在的直线方程为2360x y +-=，求边AB 和AC 所在的直线方程．1.（2022·全国·高二课时练习）已知在第一象限的ABC 中，()1,1A ，()5,1B ，60A ∠=︒，45B ∠=︒，求：(1)AB 边所在直线的方程；(2)AC 边与BC 边所在直线的方程．2.（2022·江苏·高二专题练习）已知过点(1,1)A 且斜率为(0)m m ->的直线l 与x ，y 轴分别交于P ，Q 两点，分别过点P ，Q 作直线20x y +=的垂线，垂足分别为R ，S ，求四边形PQSR 的面积的最小值．【题型四】解三角形三大线：中线对应直线【典例分析】（2021·江苏·高二专题练习）已知直线1:0l mx y m -+=，2:(1)0l x my m m +-+=，3:(1)(1)0l m x y m +-++=，记122331l l A l l B l l C ⋂=⋂=⋂=，，．（1）当2m =时，求原点关于直线1l 的对称点坐标；（2）在ABC 中，求BC 边上中线长的最小值．1.（2021·湖北·华中师大一附中高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点(),A m n ，()2,1B ，()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的一般方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为()20x y t t R -+=∈，且ABC 的面积为4，求点A 的坐标.2.（2021·广东·湛江二十一中高二期中）已知ABC 的顶点()0,4A ，()6,0B ，边AB 上的中线CM 的方程为10x y --=，边BC 所在直线的方程为27120x y --=(1)求边AB 所在直线的方程，化为一般式；(2)求顶点C 的坐标.【题型五】解三角形三大线：高对应直线【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）已知ABC 的顶点()1,3A ，AB 边上的中线所在的直线方程为10y -=，AC 边上的高所在直线的方程为210x y -+=.分别求AC ，AB 边所在直线的方程.1.（2021·湖北黄冈·高二期中）在ABC 中，()1,1A -，边AC 上的高BE 所在的直线方程为60x y +-=，边AB 上中线CM 所在的直线方程为4560x y -+=.(1)求点C 坐标：(2)求直线BC 的方程.2.（2020·安徽·合肥市第五中学高二期中（理））已知ABC 的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为210x y --=，AC 的边上的高BH 所在直线方程为250x y = --．(1)求顶点C 的坐标；(2)求直线BC 的方程．【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线【典例分析】（2021·全国·高二课时练习）已知ABC 的一个顶点()2,4A -，且B Ð，C ∠的角平分线所在直线的方程依次是20x y +-=，360x y --=，求ABC 的三边所在直线的方程.1.（2021·全国·高二专题练习）在ABC ∆中，已知(1,1)A ，(3,5)B --.(1)若直线l 过点(2,0)M ，且点A ，B 到l 的距离相等，求直线l 的方程；(2)若直线:260m x y --=为角C 的内角平分线，求直线BC 的方程.2.（2020·上海·高二课时练习）已知：ABC 的顶点(2,3)A 和(1,1),--∠B ABC 的角平分线所在直线方程为320x y --=，求边BC 所在直线方程．【题型七】最值：面积最值【典例分析】（2022·江苏南京·高二开学考试）已知直线l ：20kx y k -++=()R k ∈.(1)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程.1.（2022·全国·高二课时练习）在直角坐标系中，已知射线:0(0)OA x y x -=≥，过点()3,1P 作直线分别交射线OA 、x 轴正半轴于点A 、B ．(1)当AB 的中点为P 时，求直线AB 的两点式方程；(2)求△OAB 面积的最小值．2.（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 的方程为()()()120R 1a x y a a a ++--=∈≠-.(1)若直线l 与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，求直线l 的方程；(2)若1a >-，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取得最小值时直线l 的方程.【题型八】最值：截距与长度【典例分析】（2022·河南省叶县高级中学高二阶段练习）一条直线经过点()3,4P ．分别求出满足下列条件的直线方程．(1)与直线250x y -+=垂直；(2)交x 轴、y 轴的正半轴于A ，B 两点，且PA PB ⋅取得最小值．【变式训练】1.（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）在平面直角坐标系中，点()2,3A ，()1,1B ，直线:10l x y ++=.(1)在直线l 上找一点C 使得AC BC +最小，并求这个最小值和点C 的坐标；(2)在直线l 上找一点D 使得AD BD -最大，并求这个最大值和点D 的坐标.2.（2022·全国·高二课时练习）已知()2,1P -．(1)若直线l 过点P ，且原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．(2)是否存在直线l ，使得直线l 过点P ，且原点到直线l 的距离为6？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【题型九】叠纸【典例分析】（2022·全国·高二单元测试）如图，OAB 是一张三角形纸片，∠AOB ＝90°，OA ＝1，OB ＝2，设直线l 与边OA ，AB 分别交于点M ，N ，将△AOB 沿直线l 折叠后，点A 落在边OB 上的点A '处．(1)设OA m '=，试用m 表示点N 到OB 的距离；(2)求点N 到OB 距离的最大值．1.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，边AB ､AD 分别在x 轴､y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上，若折痕所在直线的斜率为k ，则折痕所在的直线方程为__________.2.（2021·安徽·桐城市第八中学高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上．（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程；（2）在（1）的条件下，若108k -≤≤时，求折痕长的取值范围．【题型十】三直线【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）平面上三条直线250x y -+=，10x y ++=，0x ky -=，如果这三条直线将平面划分为六个部分，求实数k 的所有可能的取值．【变式训练】1.（2022·江苏·高二课时练习）已知三条直线12:20(0),:4210l x y a a l x y -+=>-++=和3:10l x y +-=，且1l 与2l 的距离是7510．(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限的点；②点P 到1l 的距离是点P 到2l 的距离的12；③点P 到1l 的距离与点P 到3l 25若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．【题型十一】直线与曲线：韦达定理与求根【典例分析】（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））已知动点P 与两个顶点(0,0)O ，(3,0)A 的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)过点(0,3)B -且斜率为k 的直线l ，交曲线C 于、N 两点，若9OM ON ⋅=，求斜率k 【提分秘籍】基本规律1.直线与曲线有两个交点，则可以连立方程，消去一个变量后的一元二次方程有两个根。