非局部条件下脉冲微分方程的适度解
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Ｆｅ ｂ．２０１ ０
非 局 部 条 件 下 脉 冲 微 分 方 程 的 适 度 解
嵇 绍 春 ，李 刚
（ ．淮 阴 工 学 院 数 理 学 院 ，江 苏 淮 安 ２ ３ ０ ；２ １ ２ ０ ３ ．扬 州 大 学 数学 科 学学 院 ，江苏 扬 州 ２ ５ ０ ） ２ ０ ２
摘 要 ： 论 非 局 部 条 件 下 脉 冲微 分 方 程 适 度 解 的存 在 性 ， 过 考 察 分 段 连 续 函 数 空 间 ＰＣ（０ ６ ； 上 讨 通 Ｅ ，］ Ｘ） 非 紧测 度 的 性 质 ， 用 Ｈａ ｓ ｏｆ 紧 测 度 和 不 动 点 的 方 法 给 出 非 紧 半 群 条 件 下 适 度 解 存 在 的 充 分 条 件 ， 利 ｕｄ ｆ 非
改 进 和推 广 了 这 一 领 域 的相 关 结 果 ． 关 键 词 ： 冲微 分 方 程 ； 局 部 条 件 ；Ｈａ ｓ ｏ ｆ 紧测 度 ； 动 点 ； 度 解 脉 非 ｕｄ ｆ非 不 适
中 图分 类 号 ：Ｏ ５ １ １ ．５ ７ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ ７—８ ４ ２ １ ） １—０ １ ２ Ｘ（ ０ ０ ０ ０ ３—０ ４
（ ２） （ ３）
Ａｘ（ ） ，（ ＋ ０） ．（ ） ｔ 一 ７ ｔ ２ 一 ７ ｔ 一 （ ｔ ） ２ ｚ（ ），ｋ＝ ｌ， … ， ； ＝ ２， ＝ Ⅲ
其中 Ａ是 Ｂ ｎｃ ａ ａ ｈ空 间 ｘ 上 的 Ｃ。 半群 Ｔ（） ￡ ０ 的 无 穷 小 生 成 元 ， ：Ｏ ６ ×ｘ— ｘ，Ｉ ∈Ｃ（ ｔ （≥ ） ［ ，］ Ｘ，
义 范数 ｌ １ — ｓ ｐ∈ １ （）ｌ， 易验 证 （ Ｃ（ ｏ ６ ； ，ｌ ｌ ） １ １ ｕ ，Ｊ｛ ｌ 容 “ Ｐ Ｅ ，］ ｘ） ｌ・ｌ 是一 个 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空间 ． （ ０ ６ ； ｃ ［ ，］ ｘ） 示 定 义 在 ［ ，］上 取 值 于 ｘ 的 连 续 函 数 按 范 数 ｌ ｌ 表 ０６ Ｉ Ｉ— ｓ ｐ ｌ （）ｌ， ｕ ｛ｌ ￡ ｊ ｔ∈ Ｅ ，］ ｏ ６ ｝构 成 的 Ｂｎｃ ａ ａ ｈ空 间． Ｅ ，］ ｘ）是从 ［ ，］到 ｘ 的 Ｂ ｃ ｎ ｒ 积 函数 全 体构 成 的空 间 ， Ｌ （０６ ； ０６ ｏｈ ｅ 可 范数 为 ｌ厂ｆ ＝ ｌ Ｉ ＝ － ＝
厂 Ｉ 『 ￡ｉ ｒ ｌ （）ｌ ｔ ｂ ｄ
．
Ｊ０
定 义 １ 如 果 函数 ∈ Ｐ Ｅ ，］ ｘ） Ｃ（ｏ『 ； 满足 积 分方 程 ｚ ｆ Ｔ（）ｇ（ ） ） （）一 ￡（ ｚ ＋ ） ｌ ｔ ） （， ＋ Ｔ（— ， ｓ
ｚｓ ｄ＋∑ 。 Ｔｔ ） ￡ ） ∈Ｅ， ，一１ ， ｍ 则称 （） ）ｓ （ （（）， ｏ ］ｋ ， …，， 是方 １～（ 的 解． 一 ￡ ６ ２ 程（ ） ３ 适度 ）
ｘ） ｋ ， ， ， ， ＰＣ Ｅ ，］ ｘ）＋ ， 一１ ２ … ｇ： （ ｏ ６ ； — ｘ． 脉 冲微 分方 程 可 以描述 物体 在 连续 发展 状 态下 某些 时 刻发 生跃 变 的过 程 ，近 年 来 已引 起 人们 的
广 泛关 注 和研 究． ０世 纪 ９ 【 ２ 。 ０年 代初 ， 为古 典 Ｃ ｕ ｈ 作 ａ ｃ ｙ问题 （ ０ 一 。 的推 广 ， 局 部 问 题在 一 （ ） ） 非 些 物理 问题 的促 进 下得 到 了发 展 ，Ｂ Ｚ ＷＳ ［ 在 非 局 部 问 题 的研 究 中做 了前 期 工 作 ． 虑 半 线 ＹＳ Ｅ ＫＩ ４ 考 性 微分 方程 解 的存 在性 和可 控 性 ， Ｉ Ｌ ＡＮＧ 等 在 紧半 群条 件下 讨论 了适 度解 的存在 性 ， 张进 Ⅲ 、 绍 ６嵇 ］ 春 等利 用非 紧测度 讨论 了等度 连续 半 群条 件 下半 线性 微分 方 程 的适 度 解 ．对具 有 非局 部 条 件 的脉
结 果．
１ 预 备 知 识
设 （ ｌ ｌ 是 Ｂ ｎｃ Ｘ，ｊ・ １ ） ａ ａｈ空间 ， 方便 讨论 ， 为 引入下 列 记号 ： Ｊ— Ｅ ，］ Ｊ ＝ ｏ ｔ］ 一 （ ， ｏ ６ ， 。＝ ＝Ｅ ， ，Ｊ ￡ ｔ１， ☆ ］ 走一 １ ２ … ， ， 一 ｛女 １其 中 ０＜ ｔ ＜ ｔ ＜ … ＜ ｔ ＋ ，， Ａ ｔ） ， １ ２ ＜ ＋ １— ６ Ｃ（ ｏ ６ ； ．Ｐ Ｅ ，］ ｘ）一 ｛ Ｅ ， ：ｏ ６ ］一 Ｘ： “∈ Ｃ（ ＼ Ｘ） “ ｔ ）一 ｌ Ｊ Ａ； ， （ ７ ｉ ｍ ： （） “ ） （ ）一 ｌ “￡ 一 （ ， ｉ ｍ “ ￡ 彳 在 ， （） ｋ一 １ ２ … ， ｝定 ，， ，
第 ｌ ３卷 第 ｌ期 ２１ ０ ０年 ２月
扬 州 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｚ ｕ Ｕ ｎ ｖ ｒ ｉｙ （ ｔ ｒ １Ｓ ｉｎ ｅ Ｅｄ ｔｏ ） ｏ ｒ ａ ｆＹａ ｇ ｈｏ ｉ ｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｃ ｅ ｃ ｉｉ ｎ
Ｖｏ【 １ ＿ ３ ＮＯ．１
冲微 分 方 程 的 研 究 目前 还 相 对 较 少 ， 半 群 和 脉 冲 函 数 的 紧 性 也 有 较 高 要 求 ． 研 究 拟 考 虑 在 半 群 失 对 本
去 紧性 的条 件 下方 程 （ ） （ ） １ ～ ３ 的解 ， 同时对 脉 冲函数 的限 制适 当放 宽 ， 而改 进 了文 献 ［ — ］ 从 ８ ９ 的相 关
本 文 主要讨 论 一 阶脉 冲微 分方 程在 非局 部 条件 下 的初 值 问题 ：
２ （ ） Ａ （ ） ／ 一 ２ ￡＋
．
Leabharlann Baidu
厂 ｔ ｔ） ∈Ｅ ，］ ≠ ｔ， 一１ ２ … ， （， ） ，ｔ ｏ ６ ， ｋ ， ， Ⅲ； （
（ 一 ｇ（ ） ｚ０， Ｏ） ＋
（） １
非 局 部 条 件 下 脉 冲 微 分 方 程 的 适 度 解
嵇 绍 春 ，李 刚
（ ．淮 阴 工 学 院 数 理 学 院 ，江 苏 淮 安 ２ ３ ０ ；２ １ ２ ０ ３ ．扬 州 大 学 数学 科 学学 院 ，江苏 扬 州 ２ ５ ０ ） ２ ０ ２
摘 要 ： 论 非 局 部 条 件 下 脉 冲微 分 方 程 适 度 解 的存 在 性 ， 过 考 察 分 段 连 续 函 数 空 间 ＰＣ（０ ６ ； 上 讨 通 Ｅ ，］ Ｘ） 非 紧测 度 的 性 质 ， 用 Ｈａ ｓ ｏｆ 紧 测 度 和 不 动 点 的 方 法 给 出 非 紧 半 群 条 件 下 适 度 解 存 在 的 充 分 条 件 ， 利 ｕｄ ｆ 非
改 进 和推 广 了 这 一 领 域 的相 关 结 果 ． 关 键 词 ： 冲微 分 方 程 ； 局 部 条 件 ；Ｈａ ｓ ｏ ｆ 紧测 度 ； 动 点 ； 度 解 脉 非 ｕｄ ｆ非 不 适
中 图分 类 号 ：Ｏ ５ １ １ ．５ ７ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ ７—８ ４ ２ １ ） １—０ １ ２ Ｘ（ ０ ０ ０ ０ ３—０ ４
（ ２） （ ３）
Ａｘ（ ） ，（ ＋ ０） ．（ ） ｔ 一 ７ ｔ ２ 一 ７ ｔ 一 （ ｔ ） ２ ｚ（ ），ｋ＝ ｌ， … ， ； ＝ ２， ＝ Ⅲ
其中 Ａ是 Ｂ ｎｃ ａ ａ ｈ空 间 ｘ 上 的 Ｃ。 半群 Ｔ（） ￡ ０ 的 无 穷 小 生 成 元 ， ：Ｏ ６ ×ｘ— ｘ，Ｉ ∈Ｃ（ ｔ （≥ ） ［ ，］ Ｘ，
义 范数 ｌ １ — ｓ ｐ∈ １ （）ｌ， 易验 证 （ Ｃ（ ｏ ６ ； ，ｌ ｌ ） １ １ ｕ ，Ｊ｛ ｌ 容 “ Ｐ Ｅ ，］ ｘ） ｌ・ｌ 是一 个 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空间 ． （ ０ ６ ； ｃ ［ ，］ ｘ） 示 定 义 在 ［ ，］上 取 值 于 ｘ 的 连 续 函 数 按 范 数 ｌ ｌ 表 ０６ Ｉ Ｉ— ｓ ｐ ｌ （）ｌ， ｕ ｛ｌ ￡ ｊ ｔ∈ Ｅ ，］ ｏ ６ ｝构 成 的 Ｂｎｃ ａ ａ ｈ空 间． Ｅ ，］ ｘ）是从 ［ ，］到 ｘ 的 Ｂ ｃ ｎ ｒ 积 函数 全 体构 成 的空 间 ， Ｌ （０６ ； ０６ ｏｈ ｅ 可 范数 为 ｌ厂ｆ ＝ ｌ Ｉ ＝ － ＝
厂 Ｉ 『 ￡ｉ ｒ ｌ （）ｌ ｔ ｂ ｄ
．
Ｊ０
定 义 １ 如 果 函数 ∈ Ｐ Ｅ ，］ ｘ） Ｃ（ｏ『 ； 满足 积 分方 程 ｚ ｆ Ｔ（）ｇ（ ） ） （）一 ￡（ ｚ ＋ ） ｌ ｔ ） （， ＋ Ｔ（— ， ｓ
ｚｓ ｄ＋∑ 。 Ｔｔ ） ￡ ） ∈Ｅ， ，一１ ， ｍ 则称 （） ）ｓ （ （（）， ｏ ］ｋ ， …，， 是方 １～（ 的 解． 一 ￡ ６ ２ 程（ ） ３ 适度 ）
ｘ） ｋ ， ， ， ， ＰＣ Ｅ ，］ ｘ）＋ ， 一１ ２ … ｇ： （ ｏ ６ ； — ｘ． 脉 冲微 分方 程 可 以描述 物体 在 连续 发展 状 态下 某些 时 刻发 生跃 变 的过 程 ，近 年 来 已引 起 人们 的
广 泛关 注 和研 究． ０世 纪 ９ 【 ２ 。 ０年 代初 ， 为古 典 Ｃ ｕ ｈ 作 ａ ｃ ｙ问题 （ ０ 一 。 的推 广 ， 局 部 问 题在 一 （ ） ） 非 些 物理 问题 的促 进 下得 到 了发 展 ，Ｂ Ｚ ＷＳ ［ 在 非 局 部 问 题 的研 究 中做 了前 期 工 作 ． 虑 半 线 ＹＳ Ｅ ＫＩ ４ 考 性 微分 方程 解 的存 在性 和可 控 性 ， Ｉ Ｌ ＡＮＧ 等 在 紧半 群条 件下 讨论 了适 度解 的存在 性 ， 张进 Ⅲ 、 绍 ６嵇 ］ 春 等利 用非 紧测度 讨论 了等度 连续 半 群条 件 下半 线性 微分 方 程 的适 度 解 ．对具 有 非局 部 条 件 的脉
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１ 预 备 知 识
设 （ ｌ ｌ 是 Ｂ ｎｃ Ｘ，ｊ・ １ ） ａ ａｈ空间 ， 方便 讨论 ， 为 引入下 列 记号 ： Ｊ— Ｅ ，］ Ｊ ＝ ｏ ｔ］ 一 （ ， ｏ ６ ， 。＝ ＝Ｅ ， ，Ｊ ￡ ｔ１， ☆ ］ 走一 １ ２ … ， ， 一 ｛女 １其 中 ０＜ ｔ ＜ ｔ ＜ … ＜ ｔ ＋ ，， Ａ ｔ） ， １ ２ ＜ ＋ １— ６ Ｃ（ ｏ ６ ； ．Ｐ Ｅ ，］ ｘ）一 ｛ Ｅ ， ：ｏ ６ ］一 Ｘ： “∈ Ｃ（ ＼ Ｘ） “ ｔ ）一 ｌ Ｊ Ａ； ， （ ７ ｉ ｍ ： （） “ ） （ ）一 ｌ “￡ 一 （ ， ｉ ｍ “ ￡ 彳 在 ， （） ｋ一 １ ２ … ， ｝定 ，， ，
第 ｌ ３卷 第 ｌ期 ２１ ０ ０年 ２月
扬 州 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｚ ｕ Ｕ ｎ ｖ ｒ ｉｙ （ ｔ ｒ １Ｓ ｉｎ ｅ Ｅｄ ｔｏ ） ｏ ｒ ａ ｆＹａ ｇ ｈｏ ｉ ｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｃ ｅ ｃ ｉｉ ｎ
Ｖｏ【 １ ＿ ３ ＮＯ．１
冲微 分 方 程 的 研 究 目前 还 相 对 较 少 ， 半 群 和 脉 冲 函 数 的 紧 性 也 有 较 高 要 求 ． 研 究 拟 考 虑 在 半 群 失 对 本
去 紧性 的条 件 下方 程 （ ） （ ） １ ～ ３ 的解 ， 同时对 脉 冲函数 的限 制适 当放 宽 ， 而改 进 了文 献 ［ — ］ 从 ８ ９ 的相 关
本 文 主要讨 论 一 阶脉 冲微 分方 程在 非局 部 条件 下 的初 值 问题 ：
２ （ ） Ａ （ ） ／ 一 ２ ￡＋
．
Leabharlann Baidu
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（） １