高等数学下册配套习题册

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高等数学教材配套作业

高等数学教材配套作业一、微分和导数在高等数学中，微分和导数是重要的概念。

微分描述的是函数在某一点的局部变化情况，而导数则表示函数在某一点的变化率。

为了帮助同学们更好地理解微分和导数，以下是一些配套作业题目：1. 求下列函数的导数：a) f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3b) g(x) = 3sin(2x) + 4cos(x)c) h(x) = ln(3x^2 + 2x + 1)2. 计算下列函数在给定点的导数：a) f(x) = x^2 + 3x - 2, 当 x = 2b) g(x) = e^x - 2x, 当 x = 0c) h(x) = tan(x) - 1/x, 当x = π/43. 求下列函数的高阶导数：a) f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 1b) g(x) = e^xsin(x)c) h(x) = ln(x^2 + 2x + 1)二、积分和定积分积分是求函数的反导数，而定积分则是确定函数在给定区间上的面积。

学习积分和定积分需要通过练习来加深理解，以下是一些配套作业题目：1. 计算下列函数的不定积分：a) ∫(2x^3 + 5x^2 - 4x + 3) dxb) ∫(3sin(2x) + 4cos(x)) dxc) ∫(ln(3x^2 + 2x + 1)) dx2. 计算下列定积分：a) ∫[0, 2] (x^2 + 3x - 2) dxb) ∫[0, π] (sin(x) + cos(x)) dxc) ∫[1, e] (1/x) dx3. 求下列函数的定积分：a) ∫[0, 1] (4x^3 - 2x^2 + 5x - 1) dxb) ∫[0, π/2] (e^xsin(x)) dxc) ∫[1, 2] (ln(x^2 + 2x + 1)) dx三、微分方程微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程，对于解微分方程需要掌握一系列技巧和方法。

以下是一些配套作业题目：1. 求解下列常微分方程：a) y' = 2xb) y' = e^xc) y'' + y = 02. 求下列常微分方程的特解：a) y' = 3sin(x) + 4cos(x), y(0) = 1b) y' + 2y = e^x, y(0) = 0c) y'' - 4y' + 4y = x^2, y(0) = 1, y'(0) = 23. 解下列二阶常系数齐次微分方程：a) y'' - 4y' + 4y = 0b) y'' + 2y' + y = 0c) y'' - 9y = 0通过完成以上作业题目，同学们能够更好地掌握微分和导数、积分和定积分以及微分方程的相关知识。

高等数学下课后习题及答案

高等数学下课后习题及答案
《高等数学下课后习题及答案》
在学习高等数学的过程中，课堂上的知识点讲解只是一个方面，更重要的是通过课后习题的练习来加深对知识的理解和掌握。

下面我们将介绍一些高等数学下课后习题及答案，希望能够帮助大家更好地学习和掌握这门学科。

1. 求下列函数的极限：
(a) lim(x→0) (sinx/x)
(b) lim(x→∞) (1+1/x)^x
答案：
(a) lim(x→0) (sinx/x) = 1
(b) lim(x→∞) (1+1/x)^x = e
2. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。

答案：
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
令f'(x) = 0，解得x=1或x=2
再求f''(x)，得f''(1) = 6，f''(2) = 6
所以x=1或x=2时，f(x)取极小值。

3. 求曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x的渐近线方程。

答案：
当x→±∞时，y→±∞
所以y = x^3 - 3x^2 + 2x没有水平渐近线
当x→±∞时，y = x^3 - 3x^2 + 2x与y = x^3相似
所以y = x^3是y = x^3 - 3x^2 + 2x的斜渐近线。

以上就是一些高等数学下课后习题及答案的介绍，希望能够对大家的学习有所帮助。

在学习过程中，多做习题，多总结规律，相信大家一定能够掌握好这门学科。

高数练习册(下)答案

第1节
1．（1）发散；（2）收敛, 1 . 2．（1）发散；（2）收敛， 3 ；（3）发散；（4）发散.
.
4. 4 (x2 2 y2 1)d 36
D
2.（1）
1
x
dx f (x, y)dy
3
dx
1 (3x)
2 f (x, y)dy ，
1
dy
32y f (x, y)dx ；
0
0
1
0
0
y
r
r2 x2
r
r2 y2
（2） dx
r
0
f (x, y)dy ， dy
f (x, y)dx ；
高等数学(理工科)标准化作业 I-2 参考答案
第七章多元函数微分学及其应用第1节
1. (1) D (x, y, z) | z2 x2 y2, x2 y2 0 ； (2) D (x, y) | x 0, y x, x2 y2 1 .
2. f (x, y) x2 (1 y) y 1 .
2.
dz
(1,1)
2 dx 5
2 dy 5
2 (dx dy) . 5
3.
z
z
dz ( , ) 4
x
dx
( , ) 4
y
dy
( , ) 4
第4节
2 (4 7 ). 8
4. 略.
1. ea x sin x .
2. 略.
3. zx ye x2 y2 1, zy xe x2 y2
4. 略.
16
z 1 1
16
,
x 1+ 9 y 1 1 z 1 0 .
16
16
3. x y 2z 22 0 . 2

高等数学同济第七版下册习题与答案完整版

高等数学同济第七版下册习题与答案完整版引言在学习高等数学课程中，习题是提高理解和掌握知识的重要方式。

然而，有时候我们在学习的过程中可能会遇到一些难题，不知道如何解答。

为了帮助同学们更好地学习和掌握高等数学知识，我们整理了高等数学同济第七版下册的习题与答案完整版，供大家参考。

第一章无穷级数习题1.11.讨论级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 +2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 的敛散性。

2.求级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的和。

答案1.首先，我们将这个级数进行比较审敛法。

考虑到n3+2n的最高次项为n3，而(2n2+3n−4)2的最高次项为(2n2)2=4n4，因此我们可以得到 $\\frac{n^3 +2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2} < \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$。

根据比较审敛法的基本原理，只需讨论 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$ 的敛散性。

根据级数的性质，我们可以分别求前两项、前三项的和，并观察和的变化规律。

经过计算，可得前两项的和为 $\\frac{1}{16}$，前三项的和为 $\\frac{5}{96}$。

观察可以发现，当 n 的值逐渐增大时，和逐渐减小，并且趋于一个有限值。

因此，根据比较审敛法，原级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 也收敛。

2.我们可以使用交错级数的性质求解这个问题。

根据交错级数的性质，交错级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n^p}$ 的和为 $S = \\ln 2$，其中n=1。

对于这个问题，我们可以发现，级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的形式和交错级数一样，只是n=2。

高数下册练习题

高等数学（第二册）练习题1一、选择题1、函数()y x f z ,=在()0,0y x 处的偏导数x z 、y z 存在是函数()y x f z ,=在该点连续的（）A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2、微分方程x e y y y y x 342=-'-''是（）A. 二阶线性微分方程 B.二阶齐次微分方程C.二阶非齐次线性微分方程 D.二阶非齐次非线性微分方程3、下列说法中不正确的是（）A. 若0=⋅b a ，则向量b a ,垂直 B. 若0 =⨯b a ，则向量b a,平行C. 若平面π过x 轴，则平面π方程的形式为：0=++D Cz ByD. 若平面垂直与x 轴，则平面方程的形式为0=+D x ；4、设⎪⎭⎫⎝⎛+=x y xF xy z ，其中()u F 为可微函数，则=∂∂+∂∂y z yx z x ( ) A.xz y + B. xy z + C. yz x + D.xy z - 5、设二重积分()⎰⎰=+Ddxdy y x 2（）其中D 是区域(){}20,11,≤≤≤≤-y x y x A.5 B.6 C.7 D.86、无穷级数()∑∞=-113n nn n x 的收敛半径（） A. 3 B. 0.3 C. 32 D. 31 7、若∑∞=-1)5(n n nx a在x=3处收敛，则它在x=-3处（） A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 不能确定二、填空题1.二阶齐次线性微分方程0106=+'+''y y y 的通解是__________； 2、函数xy e z =的全微分_______________ 3、交换二次积分I 的积分次序，=I ()=⎰⎰--dy y x f dx x 21011,_____________ ； 4、过点()2,0,1-且与平面012752=+-+z y x 垂直的直线方程__________ ；5、以点()2,3,1-为球心，2为半径的球面方程_________________ ；6、函数x e y =的麦克劳林级数_____________________________ 。

中北大学高等数学(下)习题册答案

1. 第五章向量代数与空间解析几何5.2向量及其线性运算 r 1 r 2 r 2r不存在 e a -i - j -k 3. 3 3 3ox 轴 :<34 ；o y 轴阳；oz 轴： uuu ruuu (1)P rj ；AB 1; ⑵i ； ⑶ AB r dur°A B 2( 1,1方向角：一 2 3 3 ‘45.3数量积向量积 *混合积 2 : 26 3(1) J — (2)—3 3 2(1) a b 3 ； a b (5,1,7）； 11b 5a 7c 2. 4. 2； 5. ⑷1. 5 2u 3v 5. x y 2z 46.x z2 05.5空间直线及其方程1.x 3 y 2z 1421x 1 2tx 1y 1 z 1 ，丄2.——；y 1 t213z 1 3t35 2 23.J3 3,34.x3 y 2 z 13915.6 曲面及其方程4. 2x 3y z 6 0 1. （1）球面（2）椭圆抛物面（3）椭球面(2) 18 ；(10,2,14)(3) 238 ；(4) 5 r 3(5) (5,1,7) (6) 0 3. 24.405. B (18,17, 17)2. 5.4平面及其方程1. 3x 7 y 5z 4 02. x 3y 2z 03. x 26y 3z 3 0 或 x 26y 3z 30 .（4）单叶双曲面（5）双曲抛物面22. yz 2 5x3. z 22 2y z2c4.(略)5.7空间曲线及其方程1.x 8cost,y 4-2 si nt,z4 2 si nt21 2 2 1 22x 4(y -) 1 2x 4(z 一)12. 2 2z 0y 0y z 1(0 y 1) x 03. H : x 2 2x C: zy 2 1 012 •见课件13.提示：从第一条直线上的点 1, 1,0到第二 2 2 4. 5x 3y 综合练习题五1.C C A D C2. 1 .192 3•提示：先证明 AB与再证条直线上任意点2 t, 12t,1 t 的距离为d ,取d 的最小值即为两条平行直线之间的距离14.直线方程为x 33 y 12第六章多元函数微分学6.1多元函数的基本概念与B 夹角的.2 4. x 1.( 1)x 2 1y 2 1 4x .(2)2y2x y 2 15. 1, y 24; x 2z(3) x1 2 2y1,3J x2. xy 2y 26.提示: 设所求平面方程为5y z 2 0,3. (1) D :定出 2。

高等数学同济第七版下册习题与答案完整版

高等数学同济第七版下册习题与答案完整版引言《高等数学同济第七版下册》是同济大学数学系编写的一本面向高等数学教育的教材。

本书作为高等数学的下册，涵盖了积分学、无穷级数、多元函数微分学等重要内容。

为了帮助学生更好地理解和学习这些知识点，本文档整理了该教材下册的所有习题及其答案，以供学生参考和练习。

目录•第一章积分学•第二章无穷级数•第三章多元函数微分学第一章积分学积分学是高等数学的重要分支，它研究函数的积分与定积分等相关概念和性质。

本章的习题主要围绕定积分、不定积分和定积分的应用展开。

习题11.计算定积分 $\\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) dx$。

答案：$\\frac{2}{3}$2.计算不定积分 $\\int (x^3 - 2x^2 + x - 1) dx$。

答案：$\\frac{1}{4}x^4 - \\frac{2}{3}x^3 + \\frac{1}{2}x^2 - x + C$习题21.计算定积分 $\\int_1^e \\frac{dx}{x}$。

答案：12.计算不定积分 $\\int \\frac{1}{x} dx$。

答案：$\\ln|x| + C$…第二章无穷级数无穷级数是数列求和的一种常见方法，它在数学和物理等领域中有广泛的应用。

本章的习题主要涉及级数的概念、级数的性质和级数的求和等内容。

习题11.判断级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^2}$ 的敛散性。

答案：该级数收敛。

2.计算级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{1}{2^n}$ 的和。

答案：该级数的和为2。

…习题21.判断级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n!}{n^n}$ 的敛散性。

答案：该级数收敛。

2.计算级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} \\frac{1}{n}$ 的和。

华南理工大学高数(下)习题册答案汇总

第七章多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+；（2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤；（3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是全平面；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限`（1）00x y →→；解：000031lim 6x t t y t →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦））由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在 !4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.；作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25；（2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12；（3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. ￥2．设2exy u =，证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x.证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y ∂∂-==∂∂ 所以222223*********x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭—2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =，证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数；解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+(当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,limlim 00y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量）z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦；（6）zyx u )(=,则d u =()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.;3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()2201sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====--又()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==）所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y +≠=-+++()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在，故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----； |（2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--；（3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂；解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦~()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂；证：因为222212,z xyf z y f x f y f f''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=-4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂.解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题*（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y --；（2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .$解：由已知()2222222602460dz xdx ydy dz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩ ()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dxy yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u u u P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂--5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin x zf y =满足方程22222e x z zz x y∂∂+=∂∂，求()f u . 】解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂()()()()222cos ,cos (sin )x xx z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是@cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l 的方向导数是23；（6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-5l =⎨⎩，{3,3}zl∂=-⋅=∂ )z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)； !（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩；（4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-；（5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩，法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z =&{}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z ab ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z ngradz n n ∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. —证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。

高数第七版下册练习题

高数第七版下册练习题一、选择题（每题2分，共20分）1. 已知函数 $ f(x) = 3x^2 + 2x - 5 $, 求导数 $ f'(x) $ 为：A. $ 6x + 2 $B. $ 3x + 2 $C. $ 6x^2 + 2 $D. $ 3x^2 + 1 $2. 曲线 $ y = x^3 - 2x^2 + x $ 在 $ x = 1 $ 处的切线斜率为：A. 0B. 1C. 2D. -13. 若 $ \int_0^1 x^2 dx $ 等于 $ \frac{1}{3} $，则下列哪个积分等于 $ \frac{1}{4} $？A. $ \int_0^1 x^3 dx $B. $ \int_0^1 x^4 dx $C. $ \int_0^1 x^5 dx $D. $ \int_0^1 x^6 dx $4. 函数 $ y = e^x $ 的 $ n $ 阶导数 $ y^{(n)} $ 为：A. $ e^x $B. $ n \cdot e^x $C. $ n! \cdot e^x $D. $ n \cdot x \cdot e^x $5. 已知 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $，求$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} $ 的值为：A. 2B. 1C. 0D. 4二、填空题（每题3分，共15分）6. 若 $ f(x) = \ln(x) $, 则 $ f''(x) = \frac{1}{x^2} $ 当$ x $ 大于 _______。

7. 函数 $ y = \sin(x) $ 的 $ n $ 阶导数 $ y^{(n)} $ 当$ n $ 为奇数时，其表达式为 _______。

8. 若 $ \int_1^e x^{-1} dx = 1 $，则 $ \int_1^e x dx $ 等于 _______。

烟台大学高数下练习册答案

烟台大学高数下练习册答案1.下列关系式中一定成立的是()A.cos(α-β)=cos α-cos βB.cos(α-β)C.cos(π2-α)=sin αD.cos(π2+α)=sin α答案： C2.sin α=35，α∈π2，π，则cosπ4-α的值()A.-25B.-210C.- D.-725解析：由sin α=35，α∈π2，π，得cos α=-45，∴cosπ4-α=cos π4cosα+sin π4sin α=22×(-45)+22×35=-210.答案： B3.cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°的值()A.22 B.6-24C.32 D.12解析：cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°=cos 80°cos 35°+cos(90°-80°)cos(90°-35°)=cos 80°cos 35°+sin 80°sin 35°=cos(80°-35°)=cos45°=22.答案： A4.若sin(π+θ)=-35，θ就是第二象限角，sinπ2+φ=-255，φ就是第三象限角，则cos(θ-φ)的.值就是()A.-55 B.55C. D.5解析：∵sin(π+θ)=-35，∴sin θ=35，θ是第二象限角，∴cos θ=-45.∵sinπ2+φ=-255，∴cos φ=-255，φ是第三象限角，∴sin φ=-55，∴cos(θ-φ)=cos θcos φ+sin θsin φ=-45×-255+35×-55=55.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5.若cos(α-β)=13，则(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=________.解析：原式=2+2(sin αsin β+cos αcos β)=2+2cos(α-β)=83.答案： 836.已知cos(π3-α)=18，则cos α+3sin α的值为________.解析：∵cos(π3-α)=cos π3cos α+sin π3sin α=12cos α+32sin α=12(cos α+3sin α)=18.∴cos α+3sin α=14.答案： 14三、答疑题(每小题10分后，共20分后)7.已知sin α=-35，α∈32π，2π，求cos π4-α的值.解析：∵sin α=-35，α∈32π，2π.∴cos α=1-sin2α=1-?-35?2=45.∴cosπ4-α=cos π4cos α+sin π4sin α=22×45+22×-35=210.8.未知a=(cos α，sin β)，b=(cos β，sin α)，0。

高等数学下练习册汇总

5、对有限集合 A ，用 p( A) 表示 A 的元素的个数，证明： p( A ∪ B) = p( A) + p(B) − p( A ∩ B)
对 p( A ∪ B ∪ C) 建立类似的公式。
∪ 6、用区间表示集合：
∞ n=1
An
其中
An
= {x
:
−1 +
1 n
≤
x
≤1−
1 }
n
高等数学习题纸
第 1 章极限理论初步
n→∞
xn
−
yn )
=
0 ，则有 lim n→∞
xn
=
lim
n→∞
yn
=
a
（
a
为有
限常数）。
B类
1、设数列 {xn }
∞ n=1
有界，又 lim n→∞
yn
=
0
，证明
lim
n→∞
xn
yn
=
0。
2、举例说明下列陈述作为极限
lim
n→∞
xn
=
a
的定义是不正确的：
1） ∀ε > 0,∃N > 0 ，当 n > N 时，有 xn − a < ε 成立。
（4）若 B ⊂ A ⊂ X ，则 f ( A \ B) = f ( A) \ f (B) 。
高等数学习题纸
2、设函数 f (x), g(x) 在区间 (a,b) 单调增加，证明：函数 φ(x) = max{ f (x), g(x)} ψ(x) = min{ f (x), g(x)} 也在 (a,b) 单调增加。
§1—3 数列极限
A类
1、观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限：

高数下练习册答案

第九章多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、xyz arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→ （0） 2、x y x x y3)2,(),()1(lim+∞→ (6e )四、证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在五、证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。

当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sin lim 22)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。

所以函数在整个xoy 面上连续。

六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=222242244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：§ 2 偏导数1、设z=xyxe xy + ,验证 z x y +=∂∂+∂∂yz y x z x证明：x yx yx ye x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π)3、设yxy xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4、设yz x u =, 求x u ∂∂ ，yu ∂∂ ，z u ∂∂ 解：1-=∂∂y zx y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂5、设222z y x u ++=，证明 : u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222222y x y x yx x y x f )0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→ 连续； 201sin lim )0,0(xf x x →= 不存在， 0000lim )0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)）§ 3 全微分1、单选题（1）（D ）既非充分又非必要条件（2）（B ）偏导数连续，则全微分必存在2、求下列函数的全微分：1）x y e z = )1(2dy x dx xy e dz xy+-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zy x u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz y z y ln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=，求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--=∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx zz y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--5、解：)0,0(01sin )(lim 2222)0,0(),(f yx y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。

高等数学练习册答案(下)

第7章微分方程§7.5 可降阶的高阶微分方程一、填空题答：1. 2121ln arctan C x C x x x y +++-= 2.22121C x x e C y x +--= 3．121C xy C e =+二、求微分方程xy ''+y '=0的通解;y =C 1ln x +C 2 .三、求微分方程y 3 y ''+1=0满足初始条件y |x =1=1, y '|x =1=0的特解: 22x x y -=.§7.6 高阶线性微分方程一、判断题1．设y 1(x)，y 2(x)，y 3(x)是某个二阶齐次线性微分方程的三个解，且y 1(x)，y 2(x)，y 3(x).线性无关，则微分方程的通解为：)()1()()(3212211x y c c x y c x y c y --++= （ √ ） 2．设y 1(x)，y 2(x) 是某个二阶齐次线性微分方程的二个特解，则1122()()y c y x c y x =+ (c 1 ，c 2是任意常数)是该方程的通解。

（ ╳ ） 3．y=c 1x 2+c 2x 2lnx (c 1 ，c 2是任意常数)是方程2340x y xy y '''-+=的通解。

（ √ ）二、选择题答：1.C 2.C 3.C 4.B§7.7 常系数齐次线性微分方程一、判断题 1．方程y y ''-=的解12,x xy e y e -==线性无关。

（ √ ） 2．二阶常系数齐次线性微分方程任意两个解都线性无关。

（ ╳ ） 3．二阶常系数齐次线性微分方程50y y y '''++=无解。

（ ╳ ）二、填空题1、y =C 1e x+C 2e-2x2、 t t e C e C x 252251t +=, 3、 y =e -3x (C 1cos2x +C 2sin2x ).4、 y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x5、y =e 2x sin3x三、选择题答：1.B 2.B 3.A 4.C 5.B四、求下列微分方程(1)求微分方程y ''-4y '=0的通解; y =C 1+C 2e 4x .(2)求微分方程y ''-4y '+5y =0的通解; y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x ). (3)求微分方程y (4)-2y '''+y ''=0的通解; y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x .(4)求微分方程4y ''+4y '+y =0, 满足所给初始条件y |x =0=2, y '|x =0=0的特解; )2(21x e y x+=-.§7.8 常系数非齐次线性微分方程一、填空题答：1、x x xe e C e C y ++=-2211，2、x xe x C x C e y x x 2cos 41)2sin 2cos (21-+=.3、x x x y 2sin 31sin 31cos +-+-= 4、x xx y cos 2sin 21+=二、选择题答：1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D三、求微分方程y ''+3y '+2y =3xe -x 的通解; 原方程的通解为)323(2221x x e e C e C y x x x -++=---四、求微分方程y ''-3y '+2y =5,满足已给初始条件 y |x =0=1, y '|x =0=2的特解; 原方程的通解为25221++=x x e C e C y . 特解为2527521++-=x x e e y .第12章无穷级数§12.1 常数项级数的概念与性质一、判断题答：1. √2. √ 3. ×4. ×5. √ 6. √二、填空题答：1. 1/2、3/8 、5/16 2. [（-1）^(n-1)]*[(n+1)/n] 3. [x^(n/2)]*(1/2*n!) 4. 0三、选择题答：1.C 2.A 3.C 4.C四、判定下列级数的收敛性(1) )12)(12(1 751531311⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n ;级数收敛.(2) 6sin 63sin 62sin 6sin ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ππππn .该级数发散.(3) 31 3131313⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n ; 级数发散.§12.2 常数项级数的审敛法一、判断题答：1. √ 2. × 3. √4.√ 5√6. ×7. √8. √9.√二、填空题答：1.P>1 2. {}n s 有界 3. 绝对收敛 4. 收敛5.1lim 0n n n u u u +=⎧⎨>⎩三、选择题答：1. D 2.C 3.D 4.A 5.C四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性: (1) )12(1 51311⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++n ; 级数发散. (4) 2sin 2sin 2sin 2sin32⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nππππ;级数收敛.五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性:(1) 23 2332232133322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n nn ; 级数发散.(2)∑∞=⋅1!2n n nnn ; 级数收敛.六、用根值审敛法判定下列级数的收敛性: (1)∑∞=+1)12(n n n n ; 级数收敛 (2)∑∞=1)(n n na b , 其中a n →a (n →∞), a n, b , a 均为正数.当b <a 时级数收敛, 当b >a 时级数发散.七、判定下列级数是否收敛？如果是收敛的, 是绝对收敛还是条件收敛？ (1) 4131211⋅⋅⋅+-+-; 此级数是收敛的.条件收敛的. (2)∑∞=---1113)1(n n n n ;解∑∑∞=-∞=--=-111113|3)1(|n n n n n n n .级数收敛, 并且绝对收敛.§12.3 幂级数一、判断题答：1. √ 2. √ 3. √ 4. √ 5. ×二、填空题答：1.[-1/2、1/2] 2. [-1，5) 3. (-1,1) , 11ln 21xx+- 4. 绝对收敛三、选择题答：1.D 2.B3D四、求下列幂级数的收敛域: (1)x +2x 2+3x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +nx n + ⋅ ⋅ ⋅; 收敛域为(-1, 1).（2）∑∞=++-11212)1(n n nn x ; 收敛域为[-1, 1].五、利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数: (1)∑∞=-11n n nx ;()S x 21(11)(1)x x =-<<- .(2)⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++- 12 531253n x x x x n . ()S x 11ln (11)21xx x+=-<<-.提示: 由)0()()(0S x S dx x S x-='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.§12.4 函数展开成幂级数一、判断题答：1. √2. × 3. ×二、填空题 1. 答：1.11ln 2(1)2nn nn x n ∞-=+-∑ ，（-2，2 ] 2. 1111()(4)23n n n n x ∞++=-+∑ ，（-6，-2） 3.)( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-+∞=∑x x n x n n n n n ππ 三、选择题答：1.B 2.C 3.C四、将下列函数展开成x 的幂级数, 并求展开式成立的区间:(1)2sh x x e e x --=; 210sh (21)!n n x x n -∞==-∑, x ∈(-∞, +∞).(2)sin 2x ; 212212s i n (1)(2)!n n nn x x n -∞=⋅=-∑x ∈(-∞, +∞).五、将函数xx f 1)(=展开成(x -3)的幂级数. ∑=<<--=nn n n x x x 0)60( )33()1(311.§12.5 函数的幂级数展开式的应用一、填空题1．利用x arctan 的麦克劳林展开式计算dx xxI ⎰=5.00arctan 时要使误差不超过0.001，则计算I 的近似值时，应取级数的前项和作为近似值。

下册数学练习册卷子的答案

下册数学练习册卷子的答案数学练习册下册答案【选择题】1. A2. C3. B4. D5. E【填空题】6. 2x - 3 = 77. 45°8. √39. 410. 0.25【解答题】11. 解：设该数为x，则有方程 x - 5 = 10。

解此方程得 x = 15。

12. 解：根据勾股定理，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，有 a² + b² = c²。

若 a = 3, b = 4，则c = √(3² + 4²) = 5。

13. 解：设圆的半径为r，根据圆的面积公式A = πr²，若面积为12π，则 r² = 12，解得r = √12 = 2√3。

14. 解：设函数f(x) = ax² + bx + c，已知f(0) = c，f(1) = a +b + c，f(-1) = a - b + c。

根据给定的值，可以列出方程组：a +b +c = 0a -b +c = -12c = 1解此方程组得 a = 1, b = -2, c = 0.5。

15. 解：设该商品的进价为P，标价为S，利润为R。

根据题意，有 R = S - P。

又因为利润率为20%，即 R/P = 0.2。

将两个等式联立，解得 S = 1.25P。

【结束语】以上是数学练习册下册的部分答案，希望对同学们的复习有所帮助。

在解答过程中，要注意审题，理解题目要求，并运用适当的数学公式和解题技巧。

如果遇到难题，不要气馁，多尝试不同的解题思路，相信一定能够找到解决问题的方法。

祝同学们学习进步，成绩优异！。

数学练习册及答案下册卷子

数学练习册及答案下册卷子# 数学练习册及答案下册卷子## 第一章：基础代数### 第一节：整式运算#### 练习题1：计算下列整式的值：1. $ a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $2. $ (x + y)^2 $#### 答案解析：1. 根据公式 $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $，可得$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $。

2. 根据平方差公式，$ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $。

### 第二节：一元一次方程#### 练习题2：解下列一元一次方程：1. $ 2x - 5 = 9 $2. $ 3x + 4 = 2x - 1 $#### 答案解析：1. 将方程两边同时加5，得 $ 2x = 14 $，再除以2，得 $ x = 7 $。

2. 将方程两边同时减去2x，得 $ x + 4 = -1 $，再减去4，得$ x = -5 $。

## 第二章：几何基础### 第一节：平面图形#### 练习题3：计算下列图形的面积：1. 一个边长为4cm的正方形。

2. 一个长为6cm，宽为3cm的矩形。

#### 答案解析：1. 正方形的面积公式为 $ A = a^2 $，代入 $ a = 4 $，得$ A = 16 $ 平方厘米。

2. 矩形的面积公式为 $ A = lw $，代入 $ l = 6 $，$ w = 3 $，得 $ A = 18 $ 平方厘米。

### 第二节：立体图形#### 练习题4：计算下列立体图形的体积：1. 一个边长为3cm的正方体。

2. 一个半径为2cm，高为5cm的圆柱。

#### 答案解析：1. 正方体的体积公式为 $ V = a^3 $，代入 $ a = 3 $，得$ V = 27 $ 立方厘米。

南邮《高等数学》同步练习册(下)答案

参考答案与提示第6章常微分方程6.3 高阶线性微分方程6.3.1 高阶线性微分方程解的结构 6.3.2 常系数线性微分方程1、(1) 1)1()1(221+-+-=x C x C y (2) x x e C e C y 3231-+= (3) xe C C y 421+= (4) 12x y C C x e =+（） (5) )23sin 23cos(2121x C x C ey x +=- 2、(1) x C x C C y sin cos 321++=(2) x e x C C y λλ-+==)(,1212时当xxe C e C y )1(2)1(1222,1----+-+=>λλλλλ时当)1sin 1cos (,122212x C x C e y x λλλλ-+-=<-时当3、(1) =*y )(23c bx ax xe x ++(2)=*y ]2sin )(2cos )[(4x d cx x b ax xe x +++(3)=*y )sin cos (x b x a e x +(4) =*y x e dx x b ax Ce x sin )(cos )(++++4、(1) )1(41)(221x e x C C y x +++= (2) 222121()2xx y C C x ex e =++(3) )cos (sin 2121x x e C C y x +-+=- 5、(1) )sin (x x e y x -=- (2) x x y cos 813cos 241+=6.3.3 欧拉方程1、 x x C x C y 212231++= 2、 )sin(ln 21)]ln 3sin()ln 3cos([21x x x C x C x y ++= 6.4 总习题1、 (1) C (2) D2、(1) 052=+'+''y y y (2)]sin )(cos )[(x e dx x b ax x +++3、(1) 43161)(2221+++=-x x e e x C C y (2) x x C x C e y x 2cos 263)23sin 23cos (2121++=-212sin 131+-x (3) 421)2343(2x x xe e x e x y -+++=(4) x xe y x sin 2=4、x xx x f cos 2sin 21)(+=第7章多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1)12(2)sin()cos()xy yexy (3) )2(2x y x e xy -- (4) dy xe dx xe y y ----2)232( (5) dx 2 (6) 0.25e2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln = (2)xy y xy z yx ++=1)1(2 ]1)1[ln()1(xyxy xy xy z y y ++++=3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) t t t 232423-+ (2) xx ex x e 221)1(++ (3) z x yxyf 2)(2或 2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yxf y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4(4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、3232)1(22---z x z z z3、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+''4、(1) )31(2)61(z y z x ++-zx31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223 (4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) }2,2,1{92- 2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 217.7 多元函数极值及其求法 1、极小值：ef 21)21,41(-=--2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z3、338abc 4、359max +=d 359min -=d7.8 总习题 1、(1) 1 (2) ϕϕ''+xy xz y 32 (3) 2221211144f yf y f ''+''+'' (4))2,3,0(512、(1) C (2) B (3) D (4) C (5) A (6) B3、ϕ''+''+'++''+''+'222212111)1(2f xye f e xy f xye f xy f xy xy xydy f xe f x dx f ye f y dz xyxy )()(2121ϕϕ'+'+'+'+'+'=4、v u y v u x e v u ++-+])([22vu v u x y e v u +-++)2(27、2122111)1,21,1(--=-=-z y x 处点 022=-+z y x 处点)1,21,1(-2122111+=-=-z y x 022=++z y x 8、（1）02210221=+++=-++z y x z y x 和 (2) 319、最大值为8，最小值为0第8章重积分8.1 重积分的概念与性质1、214I I =2、⎰⎰⎰⎰+<+DDdxdy y x dxdy y x 2)][ln()ln()1((2)⎰⎰⎰Ω++dv z y x 2222)(≤⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(2223、(1) ππ10036≤≤I (2)33323323ππ≤≤-I 8.2 二重积分的计算法8.2.1 利用直角坐标计算二重积分1、(1) ⎰⎰x xdy y x f dx 240),(或⎰⎰y y dx y x f dy 4402),((2) ⎰⎰--x x dy y x f dx 1110),( 或 ⎰⎰⎰⎰-+-+y y dx y x f dy dx y x f dy 1010101),(),((3)⎰⎰e e ydx y x f dy ),(10(4)⎰⎰+--)1(21)1(2111),(y y dx y x f dy2、(1) 2- (2)49 (3) 213、274、34 8.2.2 利用极坐标计算二重积分1、(1)⎰⎰θπρρθρθρθsin 2020)sin ,cos (R d f d(2)⎰⎰θθθπρρθρθρθcos 1cos sin 402)sin ,cos (d f d (3)⎰⎰R d d 0320ρρθπ(4)⎰⎰RR d f d 0arctan 0)(tan ρρθθ2、(1) 62π (2) 3R π (3) )12ln 2(4-π3、)43(916-π8.3 三重积分的计算法8.3.1 直角坐标系下三重积分的计算法1、(1) ⎰⎰⎰-xy x dz z y x f dy dx 01010),,((2) ⎰⎰⎰++----1004422),,(22y x x xdz z y x f dy dx(3) ⎰⎰⎰-+----222221341412121),,(x yx x xdz z y x f dy dx2、(1)25(2) 0 (3) π72 8.3.2 柱面坐标系下三重积分的计算法1、(1) 2203()d d f dz πρθρρ⎰⎰⎰(2)⎰⎰⎰10102),sin ,cos (dz z f d d θρθρρρθπ2、(1) π8 (2) 127π (3) π3363、π3328.3.3 球面坐标系下三重积分的计算法1、(1) 24cos 223324sin (sin ,cos )d d f r r r dr ππϕθϕϕϕϕ⎰⎰⎰(2)⎰⎰⎰102020,sin sin ,cos sin (sin ϕθθϕϕϕθππr r f d ddr r r 2)cos ϕ2、(1) 8π (2) 554R π (3) π153968 (4)10π8.4 重积分的应用1、π22、)45,0,0(R 3、)34,0(πb4、7965、H R μπ4238.5 总习题1、(1) 0(2)⎰⎰⎰⎰-------+y yy y dx y x f dy dx y x f dy 11101101),(),(222、(1) A (2) B (3) C3、(1) 21-e(2)e e 2183- (3) π80 (4) 482ππ-(5))34(313-πR 6、(1) π1531(2) 1652ln - (3) π3256 (4)548059R π7、)](3[223t hf h t +π 8、1 9、 π2316a10、 (1) )157,0,0(2a (2) 645112a μ第9章曲线积分与曲面积分9.1 曲线积分9.1.1 对弧长的曲线积分1、(1)2 (2) π2、(1)2212155+- (2) 2)42(-+a e a π(3) π 3、)382(222222ππk a k a a ++9.1.2 对坐标的曲线积分1、(1) 1556- (2) 13 (3) π2- (4) 32a π- (5) 142、⎰-+-Lds y x Q x y x P x x )],()1(),(2[29.2 格林公式及其应用 1、(1) π18- (2) 4 2、(1) -2π (2) π2a 3、 42π4、C y x xy y x +-+-4532345、π283a9.3 曲面积分9.3.1 对面积的曲面积分 1、(1) 434R π (2) 2932 (3) R H arctan 2π 2、 3221R π 9.3.2 对坐标的曲面积分 1、(1) π32- (2) 71052R π (3) π232、⎰⎰∑++dS R Q P )5325253( 3、21 9.4 高斯公式通量与散度1、(1) 3V (2) yz x 62-2、(1)π556a (2) 44h π- (3) 4π 3、108π 9.5 斯托克斯公式环流量与旋度1、 (0,0,0)2、(1) 23R π- (2) )(2b a a +-π3、2π9.6 总习题1、(1) a 12 (2) π6- (3))(342224γβαπ++R (4) 02、(1) D (2) A (3) D (4) C3、(1) 22a (2) 18π (3) 34 (4)π162 (5) 322)22(a b a ππ-+ (6) 当R <1时0 当R >1时π(7) π4- 4、21 5、122-+y x6、 (1) )(422222c b a R R +++π(2) 415264a (3) 52029a π (4) 34π (5) 不包围原点0，包围原点时4π7、 -24第10章无穷级数10.1 常数项级数的概念与性质1、(1) 收敛 , 2 (2) 发散2、(1) 发散 (2) 收敛3、(1) 收敛 (2) 发散 (3) 收敛 (4) 发散10.2 常数项级数的审敛法1、(1) 发散 (2) 收敛 (3) 收敛 (4) 收敛(5) 收敛 (6) 当0< a ≤1时发散当a > 1时收敛 2、(1) 收敛 (2) 收敛 (3) 收敛3、(1) 收敛 (2) 发散 (3) 当b < a 时收敛当b > a 时发散4、(1) 条件收敛 (2) 绝对收敛 (3) 绝对收敛 (4) 当0< p ≤1时条件收敛当p > 1时绝对收敛 (5) 条件收敛10.3 幂级数1、(1) R = 1 (-1,1) (2) ),(+∞-∞ (3) 绝对收敛2、(1) ]21,21[- (2) )21,21(-(3) )21,23[-- 3、(1) )1,1(,)1(222-∈-x x x(2) )1,1(,11ln 41arctan 21-∈--++x x x x x 10.4 将函数展开成幂级数1、(1) ∑+∞=-+=122)!2(2)2()1(1cos n nnn x x +∞<<∞-x (2) ∑+∞=--+=++2)1()1()1ln()1(n nnn n x x x x 11≤<-x(3) ∑+∞=---=+1112)1()1(1n n n nx x 11<<-x2、31,)1)(2121()1(34103222<<----=++∑+∞=++x x x x n n n n n 3、53,)1()1(41)1(4ln )3ln(011≤<--+-+=+∑+∞=++x x n x n n n n4、∑∞+=++-++-=0212])!2()3(3)!12()3([)1(21sin n nn n n x n x x ππ+∞<<∞-x10.5 傅里叶级数1、022ππ+24π2、222112()311(1)cos n n f x x nx nπ∞==+=++-∑+∞<<∞-x 3、nx n x n n sin 2)1(11∑∞=--=，),(ππ-∈x 4、正弦级数：h x x nx nnh x f n ≠≤<-=∑+∞=且ππ0,sin cos 1 2)(1 余弦级数：h x x nx nnhh x f n ≠≤≤+=∑+∞=且πππ0,cos sin 2)(1 10.6 一般周期函数的傅里叶级数1、]1,1[)12cos()12(1425)(122-∈---=∑∞=x x n n x f n ππ2、正弦级数：)2,0[,2sin )1(411∈-=∑∞=+x xn n x n n ππ10.7 总习题1、(1) 8 (2) 2 (3) )1ln(x -- )11(<≤-x (4) 2e (5) π43-, π9232-2、(1) B (2) B (3) A (4 )C (5) B3、(1) 发散 (2) 收敛 (3) 当0< a <1时收敛，当a >1时发散，当a =1时，s > 1收敛，0< s ≤1发散4、(1) 绝对收敛 (2)条件收敛5、(1) )1ln(12222x x x +++ )1,1(-∈x (2) 3)1(2x x - )1,1(-∈x 6、 2ln 4385-7、(1) ∑+∞=---=-+11212)1()21ln(n n n n x n x x 2121≤<-x (2) n n n n n x x x )3(])92(21[51)1(3210112---=-+∑+∞=++ 51<<x 8、(1) 24cos 2(21)1n x nx n ππ+∞==--∑),0(π∈x(2) 11sin 22n x nx n π+∞==-∑ ),0(π∈x9、1()sin (0,]21 =n x f x nx x nππ+∞=-=∈∑， 4 π10、提示：在x 0 = 0处展开成一阶泰勒级数第11章复变函数与解析函数11.1 复数及其运算1、(1) 32-， 32 ， 3322i -- ，2， 34π(2) i 1327-- (3) i 8-2、(1) A (2 ) D3、)]43sin()43[cos(2ππ-+-i 4、)12sin 12(cos 2261260πππi e w i -==-)127sin 127(cos 22612761πππi e w i +==)45sin 45(cos 2264562πππi e w i +==11.2 复数函数1、 4122=+v u 2、21- 3、除i z ±=外处处连续 11.3 解析函数1、(1) i z 232+ (2) i i ，，0- .2、(1) A (2) C3、3,1,3-==-=n m li z xy x i y x y z f 32323)3()3()(=-+-= i z z f 23)(='4、仅在x y 32±=上可导，处处不解析11.4 初等函数(1) )24(2ln ππk i ++ ⋅⋅⋅±=,1,0k ， 42ln πi+(2) (2)4k e i ππ-++第12章复变函数的积分12.1 复数函数积分的概念1、(1) i 3266+(2) 32616(3)33i i +=+ 2、 i 6561+- 3、)1(32i +12.2 基本积分定理1、02、03、04、2sin 21π-12.3 基本积分公式1、(1) i π22、 2112---ieie ππ 3、 04、当1>α时等于0 当1<α时等于iie απ-第13章复变函数的级数与留数定理13.1 复变函数项级数1、(1) 22=R (2) 1=R (3)1=R2、(1) D (2) A13.2 泰勒级数1、 (1) 3411()f z z z z ii=+-+1<z(2) ∑+∞=++-=011)(n n n z z f 1<z 2、 ∑+∞=++---=112)2)(3121()1()(n n n n n z z f 32<-z13.3 洛朗级数1、24()43f z z z =---- 0z <<+∞2、∑+∞=+-=22)1()(n n nnz z f +∞<<||2z 3、∑+∞=-=12)(n n nzz f 10<<z4、∑+∞=---=2)1()1()(n n nz z f 110<-<z5、31()(1)(1)nn n f z z +∞+==--∑ 11z <-<+∞ 13.4 留数与留数定理1、(1) 12-，32(2) 2 ，1 2、(1) A (2) B (3) C (4) C 3、(1) i π2 (2) i 2π-复变函数总习题1、(1) 3)12(2arctan 615π-+k ie ⋅⋅⋅=,1,0k (2) 8i -(3) )22(3ln ππ-+k i ⋅⋅⋅±=,1,0k (4))22(ππ+-k e⋅⋅⋅±=,1,0k (5) 1=R 1≤-i z (6) m n -，极2、(1) B (2) C (3) A (4) C3、i 322-4、处处解析 )1()(z e z f z +='5、(1)i π2 (2) !52iπ-(3) 0 (4) i π4- 6、(1) 24()(1)(3)n nn n f z z +∞+==--∑ 4|3|z <-<+∞ (2) 1212()(1)()n n n n f z zz +∞++==-∑＋ +∞<<||1z2016/2017和2017/2018两年期中期末试卷解答附在练习册后面。