2012-2013学年下期期末考试高二数学理科试卷

合集下载

河南省郑州市2012-2013学年高二下学期期末考试理科数学试题(有答案)(高清扫描版)

因为
a a 2 4a a a 2 4a 0 ，令 t ，则 t 0 ， 2 2
所以当 0 x t 时 g ( x) 0 ，当 x t 时 g ( x) 0 ，即函数 g ( x) 的减区间为 (0, t ) ，增区间为 (t , ) ，又因为当 x 0, x 时均有 g ( x) ，所以 g ( x) 0 有唯一解 g (t ) 0 ，注意到 g (t ) 0 ，所以 ---------8 分
2 3
2 3
2 3
2 3
20 , 27
所以所求概率为
20 .-------4 分 27
⑵由题意可知，的所有可能取值为 0,10, 20, 25, 40 , 用 Ai (i 1, 2,3) 表示事件“第 i 次击中目标” ，则 P ( 0) P ( X 0)
1 3
-------10 分
m 2 0 ，即 m 8 为所求. 4
18．解：⑴随机抽查这个班的一名学生，共有 50 种不同的抽查方法，其中积极参加班级工作的学生有 18＋6＝24 人，即有 24 种不同的抽法，由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是 P 1
24 12 . 50 25 19 . 50
t 2 2at 2a ln t 0, 2 t at a 0,
3
1 ， 27
2 2 1 2 P( 10) P( X 1) C3 (1 ) 2 ， 3 3 9 2 1 2 4 ， P( 20) P( A1 A2 A3 ) 3 3 3 27 8 ， P( 25) P( X 2) P( 20) 27

2013下高二理科答案

2013年下学期期终考试试卷高二数学参考答案(理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．ＤＣＡＤＣＡＡＤ二、填空题: 本大题共7小题，每小题5分，共35分．9. 50 10. 2,220x R x x ∀∈+-p 11．-1 12. 3 13. [2,1]- 14. 1 15．252，2 三、16. (本题满分12分)解:⑴由3()2f x x x =+-，得2()31f x x '=+ (2分) 设000(,)P x y由20314x += 得01x =- (01x =舍去) ，从而04y =- ∴切点P 0的坐标为(1,4)--(4分) ⑵Q 2()()1g x f x x ax -=-+ (6分) ∴对任意的x R ∈，()g x ＞()f x 恒成立21x ax ⇔-+＞０恒成立240a ⇔∆=-p (11分) 实数a 的取值范围是(2,2)-(12分)17. (本题满分12分)设底面长为x ｍ,宽为y ｍ,水池的总造价为z 元．(1分)依题意可得240000720()z x y =++(6分)由容积为34800m ，可得 34800xy = 即1600xy =∴240000720()z x y =++240000720≥+⨯ 即297600z ≥(10分)当且仅当40x y ==时，等号成立．(11分)所以，将水池的地面设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．(12分)18. (本题满分12分) 解：(１)由231545,18a a a a ⋅=+= 得111()(2)452418a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩ (4分) 解得114a d =⎧⎨=⎩(5分) ∴43n a n =-(6分)(2)由(１)可得22n S n n =- （7分）12()2n n n n S b n c n c-==++ 因{}n b 为等差数列⇔存在常数,A B 使得n b An B =+易得存在如下两个常数c ，使得数列{}n b 也为等差数列：12c =-，2n b n =，数列{}n b 是公差为２，首项为２的等差数列；(10分) 0c =时，21n b n =-，数列{}n b 是公差为２，首项为１的等差数列.(12分)或求出123,,b b b 分别为1615,,123c c c+++ 由123,,b b b 成等差数列得66152123c c c ⨯=++++ 解得0c =和12c =- 再验证当0c =和12c =-时，{}n b 为等差数列． 19. (本题满分13分)解：如图建立空间直角坐标系，点Ｄ为坐标原点．（１分）(１) 证明：连接ＡＣ，ＡＣ与ＢＤ于点Ｇ，连ＥＧ．依题意得Ａ(２，０，０)，Ｐ(０，０，２)，Ｅ(０，１，１)因底面是正方形，所以点Ｇ的坐标为(１，１，０)，且(2,0,2),(1,0,1)PA EG =-=-u u u r u u u r所以2PA EG =u u u r u u u r ，即//PA EG而EG ⊂平面EBD ，且PA ⊄平面EBD因此，//PA 平面EBD ．(4分) (２)依题意得Ｂ(２，２，０)，(2,2,2)PB =-u u u r ，又(0,1,1)DE =u u u r 故 0220PB DE •=+-=u u u r u u u r 所以PB DE ⊥由已知EF PB ⊥，且EF DE E =I所以PB ⊥平面EFD (7分)(２) 已知EF PB ⊥，由(２)可知PB DF ⊥，故EFD ∠是二面角C PB D --的平面角．（9分）设点Ｆ的坐标为(,,)x y z ，则(,,2)PF x y z =-u u u r因为PF k PB =u u u r u u u r 所以(,,2)(2,2,2)x y z k k k -=-，即2,2,22x k y k z k ===-因为0PB DF •=u u u r u u u r 所以(2,2,2)(2,2,22)44440k k k k k k -•-=+-+=所以13k =，点Ｆ的坐标为224(,,)333 又点Ｅ的坐标为(０，１，１) 所以211(,,)333FE =--u u u r G因为211224(,,)(,,)1cos 2||||FE FD EFD FE FD --•---•∠===u u u r u u u r u u u r u u u r （12分）所以60,EFD ∠=︒即二面角C PB D --的大小60︒．(13分)20. (本题满分13分)(１)由已知得4== (2分)解得5,3a b == (3分) 所以椭圆1C 的方程为221:1259x y C +=，双曲线2C 的渐近线方程为350x y -=和350x y +=．(5分) (２)设点Ｐ的坐标为00(,)x y ，因点Ｍ是线段AP 的中点，所以点005(,)22x y M - （6分）由点Ｐ、点Ｍ分别在双线线2C 、椭圆1C 上得220022001259(5)142549x y x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⨯⨯⎩ （８分）解得0010x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ (注意到000,0x y f f )(9分)所以点Ｐ的坐标为，点Ｍ的坐标为5(2，由椭圆的对称性得点Ｎ的坐标为5(,22-(10分) 因为点Ｂ的坐标为(5,0)，所以直线ＰＢ的分斜率5PB k =，直线ＢＮ的斜率5BN k = 所以PB BN k k =（12分）所以P 、B 、N 三点共线(13分)21. (本题满分13分)解：(１) 当2a =时，2()(2)x f x x x e =-+，2()(2)xf x x e '∴=-+ (１分) 由()f x '＞０，解得x p p ．∴函数()f x的单调递增区间是(．(３分.)(2)若函数()f x 在Ｒ上单调递增，则2()[(2)]0x f x x a x a e '∴=-+-+≥对x R ∈都成立，因0x e f2(2)0x a x a ∴---≤对x R ∈都成立．而240a ∆=+f ，故函数函数()f x 在Ｒ上不可能单调递增．(５分)若函数()f x 在Ｒ上单调递减，则2()[(2)]0x f x x a x a e '∴=-+-+≤对x R ∈都成立，因0x e f 2(2)0x a x a ∴---≥对x R ∈都成立．240a ∴∆=+≤，这是不可能．即函数()f x 在Ｒ上不可能单调递减．(７分)综上所述，函数()f x 在Ｒ上不可能是单调函数．(８分)(3) Q 函数()f x 在(1,1)-上单调递增， 2()[(2)]0x f x x a x a e '∴=-+-+≥对(1,1)x ∀-恒成立．(９分) ∴2(2)0x a x a -+-+≥对(1,1)x ∀-恒成立即221111x x a x x x +≥=+-++对(1,1)x ∀-恒成立．(１０分) 令11,1y x x =+-+，则2110(1)y x '=++f ，∴11,1y x x =+-+在(1,1)-上单调递增． ∴13(11)112y +-=+p 32a ∴≥ (１３分)。

2012-2013学年下期第一次月考试卷高二数学(理科)

2012-2013学年下期第一次月考试卷高二数学（理科）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设函数0()f x x 在可导，则000()(3)limt f x t f x t t→+--=（）A ．'0()f x B ．'02()f x - C ．'04()f x D ．不能确定 2．一物体的运动方程为s ＝2t sin t ＋t ，则它的速度方程 s ′为( )A ．v ＝2sin t ＋2t cos t ＋1B ．v ＝2sin t ＋2t cos tC ．v ＝2sin tD ．v ＝2sin t ＋2cos t ＋13．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 4.设函数f （x ）={ EMBED Equation.DSMT4 |2x+lnx 则（） A ．x=为f(x)的极大值点 B ．x=为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 5．函数的极大值是A. －B. 1C.D.6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．57．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x <0时，f ′(x )g (x ) ＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)8．积分dxx421等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 9．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为（）10．已知三次函数f (x )＝13|x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 11．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为，则其表面积最小时，底面边长为（）．Ａ．Ｂ．Ｃ． D ． 12.设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－ f (x )g ′(x )<0，则当 a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．) 13.曲线在点处的切线方程为___________________xyO图xyOAxyOBxy OC yODx14.若函数f (x )＝ax 2－1x |的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是___.15．已知二次函数的图象如图所示,则它与x 轴所围成封闭图形的面积为_______16.设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则 a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)求函数的极大值和极小值。

2012-2013学年第一学期期末高二数学（理科）试题及答案

2012-2013学年第⼀学期期末⾼⼆数学（理科）试题及答案⾼⼆数学（理科）试题第1页共4页试卷类型：A肇庆市中⼩学教学质量评估2012—2013学年第⼀学期统⼀检测题⾼⼆数学（理科）注意事项：1. 答卷前，考⽣务必⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔将⾃⼰的班别、姓名、考号填写在答题卷的密封线内.2. 选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答题卷上对应题⽬的答案标号涂⿊；如需要改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. ⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题⽬指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案⽆效.参考公式：球的体积公式：334R V π=，球的表⾯积公式：24R S π=，其中R 为球的半径⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，满分40分. 在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1．命题“若x >5，则x >0”的否命题是A ．若x ≤5，则x ≤0B ．若x ≤0，则x ≤5C ．若x >5，则x ≤0D ．若x >0，则x >5 2．若a ∈R ，则“a =1”是“（a -1）（a +3）=0”的A ．充要条件B ．充分⽽不必要条件C ．必要⽽不充分条件D ．既不充分⼜不必要条件3．双曲线125422=-y x 的渐近线⽅程是 A ．x y 425±= B ．x y 254±= C ．x y 25±= D ．x y 52±= 4．已知直线l 1经过两点（-1，-2）、（-1，4），直线l 2经过两点（2，1）、（x ，6），且l 1// l 2，则x =A ．4B ．1C ．-2D ．2 5．已知p 、q 是两个命题，若“?（p ∨q ）”是真命题，则A ．p 、q 都是真命题B ．p 、q 都是假命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是真命题且q 是假命题⾼⼆数学（理科）试题第2页共4页6．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离⼼率为22，则双曲线12222=-by a x 的离⼼率为A ．26 B ．332 C ．2 D ． 37．将长⽅体截去⼀个四棱锥，得到的⼏何体如图所⽰，则该⼏何体的侧视图为8．已知M 是抛物线)0(22>=p px y 上的点，若M 到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M 的横坐标为A ．1B ．1或4C ．1或5D ．4或5⼆、填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，满分30分. 9．已知命题p ：?x ∈R ，322=+x x ，则?P 是▲ .10．空间四边形OABC 中，=，=，=，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N为BC 的中点，则= ▲ .11．抛物线24x y -=，则它的焦点坐标为▲ .12．圆锥轴截⾯是等腰直⾓三⾓形，其底⾯积为10，则它的侧⾯积为▲ .13．直线)1(-=x k y 与双曲线422=-y x 没有公共点，则k 的取值范围是▲ .14．如图，半径为2的圆O 中，∠AOB =90?，D 为OB 的中点，AD 的延长线交圆O 于点E ，则线段DE 的长为▲ .三、解答题：本⼤题共6⼩题，满分80分. 解答须写出⽂字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本⼩题满分12分）三⾓形的三个顶点是A （4，0），B （6，7），C （0，3）. （1）求BC 边上的⾼所在直线的⽅程；（2）求BC 边上的中线所在直线的⽅程；（3）求BC 边的垂直平分线的⽅程.ABCDABDE⾼⼆数学（理科）试题第3页共4页16．（本⼩题满分13分）⼀个长、宽、⾼分别是80cm 、60cm 、55cm 的⽔槽中有⽔200000cm 3，现放⼊⼀个直径为50cm 的⽊球，且⽊球的三分之⼆在⽔中，三分之⼀在⽔上，那么⽔是否会从⽔槽中流出？17．（本⼩题满分13分）如图，四棱锥P —ABCD 的底⾯为正⽅形，侧棱P A ⊥平⾯ABCD ，且P A =AD =2，E 、F 、H 分别是线段P A 、PD 、AB 的中点. （1）求证：PD ⊥平⾯AHF ；（2）求证：平⾯PBC //平⾯EFH .18．（本⼩题满分14分）设⽅程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表⽰⼀个圆. （1）求m 的取值范围；（2）m 取何值时，圆的半径最⼤？并求出最⼤半径；（3）求圆⼼的轨迹⽅程.⾼⼆数学（理科）试题第4页共4页19．（本⼩题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，H 是正⽅形AA 1B 1B 的中⼼，221=AA ，C 1H ⊥平⾯AA 1B 1B ，且51=H C .（1）求异⾯直线AC 与A 1B 1所成⾓的余弦值；（2）求⼆⾯⾓A —A 1C 1—B 1的正弦值；（3）设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平⾯AA 1B 1B 内，且MN ⊥平⾯A 1B 1C 1，求线段BM 的长.20．（本⼩题满分14分）已知点P 是圆F 1：16)3(22=++y x 上任意⼀点，点F 2与点F 1关于原点对称. 线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点．（1）求点M 的轨迹C 的⽅程；（2）设轨迹C 与x 轴的两个左右交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意⼀点，KH ⊥x 轴，H 为垂⾜，延长HK 到点Q 使得HK =KQ ，连结AQ 延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．⾼⼆数学（理科）试题第5页共4页2012—2013学年第⼀学期统⼀检测题⾼⼆数学（理科）参考答案及评分标准⼀、选择题⼆、填空题9．?x ∈R ，322≠+x x 10．212132++-11．（0，161-） 12．210 13．),332()332,(+∞--∞ 14．553三、解答题 15．（本⼩题满分12分）解：（1）BC 边所在的直线的斜率320637=--=k ，（2分）因为BC 边上的⾼与BC 垂直，所以BC 边上的⾼所在直线的斜率为23-. （3分）⼜BC 边上的⾼经过点A （4，0），所以BC 边上的⾼所在的直线⽅程为)4(230--=-x y ，即01223=-+y x . （5分）（2）由已知得，BC 边中点E 的坐标是（3，5）. （7分）⼜A （4，0），所以直线AE 的⽅程为430540--=--x y ，即0205=-+y x . （9分）（3）由（1）得，BC 边所在的直线的斜率32=k ，所以BC 边的垂直平分线的斜率为23-，（10分）由（2）得，BC 边中点E 的坐标是（3，5），所以BC 边的垂直平分线的⽅程是)3(235--=-x y ，即01923=-+y x . （12分）16．（本⼩题满分13分）解：⽔槽的容积为264000556080=??=⽔槽V （cm 3）（4分）因为⽊球的三分之⼆在⽔中，所以⽊球在⽔中部分的体积为πππ9125000)250(983432331=?=?=R V （cm 3），（8分）所以⽔槽中⽔的体积与⽊球在⽔中部分的体积之和为⾼⼆数学（理科）试题第6页共260000491250002000009125000200000=πV （cm 3），（12分）所以V17．（本⼩题满分13分）证明：（1）因为AP =AD ，且F 为PD 的中点，所以PD ⊥AF . （1分）因为P A ⊥平⾯ABCD ，且AH ?平⾯ABCD ，所以AH ⊥P A ；（2分）因为ABCD 为正⽅形，所以AH ⊥AD ；（3分）⼜P A ∩AD =A ，所以AH ⊥平⾯P AD . （4分）因为PD ?平⾯P AD ，所以AH ⊥PD . （5分）⼜AH ∩AF =A ，所以PD ⊥平⾯AHF . （6分）（2）因为E 、H 分别是线段P A 、AB 的中点，所以EH //PB . （7分）⼜PB ?平⾯PBC ，EH ?平⾯PBC ，所以EH //平⾯PBC . （8分）因为E 、F 分别是线段P A 、PD 的中点，所以EF //AD ，（9分）因为ABCD 为正⽅形，所以AD //BC ，所以EF //BC ，（10分）⼜BC ?平⾯PBC ，EF ?平⾯PBC ，所以EF //平⾯PBC . （11分）因为EF ∩EH =E ，且EF ?平⾯EFH ，EH ?平⾯EFH ，所以平⾯PBC //平⾯EFH . （13分）18．（本⼩题满分14分）解：（1）由0422>-+F E D 得：0)916(4)41(4)3(44222>+--++m m m ，（2分）化简得：01672<--m m ，解得171<<-m . （4分）所以m 的取值范围是（71-，1）（5分）（2）因为圆的半径716)73(71674212222+--=++-=-+=m m m F E D r ，（7分）所以，当73=m 时，圆的半径最⼤，最⼤半径为774max =r . （9分）（3）设圆⼼C （x ，y ），则-=+=, 14,32m y m x 消去m 得，1)3(42--=x y . （12分）因为171<<-m ，所以4720<--=x y （4720<19．（本⼩题满分14分）解：如图所⽰，以B 为原点，建⽴空间直⾓坐标⾼⼆数学（理科）试题第7页共4页系，依题意得，A （22，0，0），B （0，0，0）， C （2，2-，5），)0,22,22(1A ， )0,22,0(1B ，)5,2,2(1C . （2分）（1）易得，)5,2,2(--=，)0,0,22(11-=B A ，（3分）所以322234||||,cos 111111==>=32. （5分）（2）易得，)0,22,0(1=，)5,2,2(11--=C A . （6分）设平⾯AA 1C 1的法向量),,(z y x =，则=?=?.0,0111C A AA m即=+--=.0522,022z y x y 不妨令5=x ，可得)2,0,5(=m . （7分）设平⾯A 1B 1C 1的法向量),,(z y x =，则=?=?. 0,01111B A C A n即=-=+--.022,0522x z y x 不妨令5=y ，可得)2,5,0(=. （8分）于是，72772||||,cos ==>==<，所以⼆⾯⾓A —A 1C 1—B 1的正弦值为753. （10分）（3）由N 为棱B 1C 1的中点得，)25,223,22(N .设M （a ，b ，0），则)25,223,22(b a --=，（11分）由MN ⊥平⾯A 1B 1C 1，得=?=?.0,01111C A MN B A即=?+-?-+-?-=-?-.0525)2()223()22()22(,0)22()22(b a a （12分）⾼⼆数学（理科）试题第8页共4页解得==.42,22b a 故)0,42,22(M （13分）因此41008121||=++=，即线段BM 的长为410. （14分）20．（本⼩题满分14分）解：（1）由题意得，())12,F F （1分）圆1F 的半径为4，且2||||MF MP = （2分）从⽽12112||||||||4||MF MF MF MP F F +=+=>= （3分）所以点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中长轴24a =，焦距2c =则短半轴1b =，（4分）椭圆⽅程为：2214x y += （5分）（2）设()00,K x y ，则220014x y +=．因为HK KQ =，所以()00,2Q x y ，所以2OQ =，（6分）所以Q 点在以O 为圆⼼，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．（7分）⼜()2,0A -，所以直线AQ 的⽅程为()00222y y x x =++．（8分）令2x =，得0082,2y D x ??+．（9分）⼜()2,0B ，N 为DB 的中点，所以0042,2y N x ??+．（10分）所以()00,2OQ x y =，000022,2x y NQ x x ??=- ?+?．（11分）所以()()()()2200000000000000004242222222x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -?=-+?=-+=-++++ ()()0000220x x x x =-+-=．（13分）所以OQ NQ ⊥．故直线QN 与圆O 相切. （14分）。

2012-2013学年度第二学期高二期末(理科答案)6月28日

石家庄市2012～2013学年度第二学期期末考试试卷高二数学（理科）参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5.ABDAC 6-10.CABCC 11-12. DA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．16314．29- 15． 72 16.20116042三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）当0=a 时，x e x x f ⋅=2)(，x e x x x f ⋅+=')2()(2，………………2分e f 3)1(='，所以，当0=a 时，曲线)(x f y =在点1(，))1(f 处的切线的斜率为e 3………………4分（II ）当1=a 时，xe x x xf )1()(2--=，x x x e x x e x x e x x f )2)(1()1()12()(2+-=--+-='………………6分所以当x 变化时，)(x f '、)(x f 的变化情况如下表：x-∞(，)2-2-2(-，)111(，)∞+)(x f '+ 0 — 0 + )(x f↗极大值↘极小值↗……………8分所以，)(x f 的极大值为25)2(e f =-，极小值为e f -=)1(………………10分 18．解：(Ⅰ)因为按性别比例分层抽样，所以抽取男生38152515=⨯+位，抽取女生58152525=⨯+位所以男、女生分别抽取抽取3位和5位才符合抽样要求………………5分（Ⅱ）因为99.01.238.31727)()())((81812281≈⨯≈----=∑∑∑===i j jii i iy yx xy y x xr ，……………6分所以物理成绩y 与数学成绩x 之间有较强的线性相关关系，……………8分根据所给的数据，可以计算得出72.01014727)())((ˆ81281≈≈---=∑∑==i ii i ix xy y x xb，……………10分 56.287772.084ˆˆ=⨯-=-=x b y a，……………11分所以y 与x 的回归直线方程为ˆ0.7228.56yx =+.………………12分 19．解：（I ）设事件C 表示“这3人中恰有2人是低碳族” ……………1分384.02.08.0)(223=⨯⨯=C C P ………………4分答：甲、乙、丙这3人中恰有2人是低碳族的概率是384.0 ……………5分（II ）设A 小区有x 人，两周后非低碳族的概率32.0)2.01(5.02=-⨯⨯=xx P ，故低碳族的概率是68.032.01=-=P ……………8分随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是68.0，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，故X ～25(B ，)68.0，……………10分所以，1768.025)(=⨯=X E ………………12分 20．解：（I ）当1=n 时，1112a S a -==，∴11=a 当2=n 时，222122a S a a -⨯==+，∴232=a 当3=n 时， 3332132a S a a a -⨯==++，∴473=a 当4=n 时，44432142a S a a a a -⨯==+++，∴8154=a 由此猜想1212--=n n n a (∈n N *)．………………5分（II ）证明：（i ）当n ＝1时，左边＝a 1＝1，右边＝21－120＝1，左边＝右边，结论成立．……6分（ii ）假设1(≥=k k n 且∈k N *)时，结论成立，即1212--=k k k a ，……………8分那么1+=k n 时，111122)1(2++++-+=+--+=-=k k k k k k k a a a k a k S S a ，∴k k a a +=+221，∴kk k k k k a a 2122212222111-=-+=+=+-+， ∴1+=k n 时，结论成立，……………11分由（i ）（ii ）可知，猜想1212--=n n n a 成立．………………12分21．（Ⅰ）解：因为22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++333.820302525)5101520(502≈⨯⨯⨯⨯-⨯=，……2分又8.3337.879>,……………4分所以，我们有99.5%的把握认为患心肺疾病是与性别有关系的． ………………6分（Ⅱ）解：ξ的所有可能取值：0，1，2，3 ……………7分37310357(0)12024C P C ξ====；12373106321(1)12040C C P C ξ⋅====； 2137310217(2)12040C C P C ξ⋅====；333101(3)120C P C ξ===； ……………9分分布列如下：ξ0 1 2 3P724 2140 740 1120……………10分则721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 所以，ξ的数学期望为9()10E ξ=………………12分22．解：（I ）xax x ax x f 1212)(2-=-='，……………1分由于0(∈x ，)∞+，所以当0≤a 时，0)(<'x f ，∴)(x f 在0(，)∞+上是减函数……………3分当0>a 时，xax ax a x f )21)(21(2)(-+='当x 变化时，)(x f '、)(x f 的变化情况如下表：x0(，)21aa21a21(，)∞+)(x f ' — 0+ )(x f↘极小值↗则)(x f 在0(，)21a上是减函数，在a21(，)∞+上是增函数；……………5分综上所述，当0≤a 时，)(x f 的单调递减区间是0(，)∞+当0>a 时，)(x f 的单调递减区间是0(，)22a a ，单调递增区间是aa22(，)∞+…………6分（II ）当221e a >时，e aa<22，由（I ）知)(x f 在0(，)21a上是减函数，在a21(，)∞+上是增函数，所以，)(1x f 的最小值是211()ln(2)222a f a a =+，则)(2x f 的最小值为1ln(2)a +………8分又因为xa x a x g 1212)(=⋅='，在0(，]e 上0)(>'x g ，所以)(x g 在0(，]e 上单调递增，所以)(2x g 在0(，]e 上的最大值是()4ln(2)g e a =--，……………10分故由题设知2(1ln(2))(4ln(2))71.2a a a e +---<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得2212e a e <<，故a 的取值范围是221(e，)2e ………………12分附加题：（以下是选修系列四三选一的内容,各校可根据本校的情况，酌情选择此题）【几何证明选讲】解：（I ）连接DE ，根据题意在△ADE和△ACB 中， AD ×AB =mn =AE ×AC ，即ABAEAC AD =，又∠DAE =∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB ，因此∠ADE =∠ACB 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．………………5分（Ⅱ）若m =6，n =8，方程0162=+-mn x x 的两根为12,421==x x ，故AD =4，AB =12. 取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH. 由于90=∠A ，故GH ∥AB ， HF ∥AC . HF =AG =7，DF =4 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为65………………10分【坐标系与参数方程】解：（I ）由1l 的参数方程可知：1123y m k x -==- ，2:344l x y += ，234k ∴=- 直线12l l 与垂直，121k k ∴=- 4m ∴= ………………5分（II ）曲线C 的直角坐标方程为22194x y += ，将直线1l 的参数方程为2314x t y t=+⎧⎨=+⎩代入得： 2180120110t t +-= ，由参数t 的几何意义得：12552536MA MB t t ==………10分【不等式选讲】解：（I ）由a x f ≤)(得2121ax a +≤≤-，因为解集为}10|{≤≤x x ，所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-121021a a，解得1=a ………………5分（II ）由函数mx x m x f x f x g +++-=+++=|12||12|1)1()(1)(的定义域为R 知，对任意实数x 有0|12||12|≠+++-m x x 恒成立由于2|2121||12||12|=++-≥++-x x x x ，所以2->m 即m 的取值范围是2(-，)∞+………………10分。

2012-2013第二学期五校联考高二理科数学试卷和答案

2012-2013学年度下学期期末考试五校联考高二年级数学（理科）试题 2013年7月试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和学号填写在第II 卷和答题卡上，并在答题卡上用2B 铅笔将相应的信息点涂黑。

不按要求填涂的，答卷无效。

2、单项选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3、非单项选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将第II 卷及答题卡一并交回。

第一部分选择题（共40分）一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目要求。

） 1、已知全集U R =，集合{}5,4,3,2,1,0=M 和{}Z n n x x N ∈==,2的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、设,a b R ∈,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数bi a -为纯虚数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =（）A ．7B ．15C ．20D ．254、下列函数中,既是奇函数又在()+∞,0上单调递增的是（）A ．2x y =B ．x y sin =C ．x y =D ．3x y =5、如图2所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为（）A ．6B ．9C ．12D ．186、设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 且54cos ,5,6===A b a ，则=B （） A ．6π B ．3πC ．6π或65πD ．3π或32π7、执行如图3所示的程序框图（in C 为组合数）,如果输入5=n ，则输出的S 的值是（）A ．16B ．32C ．64D ．1288、对于正整数b a ,（b a <）.定义)()3)(2)((!ka b a b a b a b b a -⋅⋅⋅---=,其中k 是满足ka b >的最大整数，则=!20!1864（） A ．1 B ．427 C ．215 D ．415 第二部分非选择题（共110分）二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分．） (一)必做题(9～13题)9、函数)32lg()(2++-=x x x f 的定义域为 .10、某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取名学生.11、已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为10 ，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的离心率为 .12、设,x y 满足约束条件:,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩;则2z x y =-的最小值为 .13、设0a >.若曲线y =与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ,则a = .（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分） 14、(坐标系与参数方程选讲选做题) 直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .15、(几何证明选讲选做题) 如图4,AB 为圆O 的直径，BC 为圆O 的切线，且3=BC ，连接CO CA ,分别交圆O 于E D ,，且1=CE ，则=CD _______.三、解答题（本大题共6小题，共80分，要写出详细的解答过程或证明过程） 16、（本小题满分12分）已知函数),0,0)(6cos()(R x A x A x f ∈>>-=ωπω的最大值为2，最小正周期为π. （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）若41)12(=+παf ，)0,2(πα-∈，求αsin 的值.17、（本小题满分12分）甲、乙两班各15名同学参加数学竞赛，甲班同学的成绩茎叶图如图5所示，其中茎为十位数,叶为个位数；乙班同学的成绩频率分布直方图如图6所示, 其中成绩分组区间是:[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100．（Ⅰ）根据图5计算甲班同学成绩的均值；（Ⅱ）计算图6中x 的值；（Ⅲ）从甲、乙两班成绩在90分以上（含90分）的同学中随机选取2人，记ξ为抽到乙班同学的人数，求ξ的分布列和数学期望．图418、(本小题满分14分) 如图7，平面图形ABCDEFG 由一个等腰直角三角形和两个正方形组成，其中1===CD BC AB ，现将该平面图形分别沿BG 和CF 折叠，使ABG ∆和正方形CDEF 所在平面都与平面BCFG 垂直，再分别连接GE AD AE ,,，得到如图8所示的空间图形．（Ⅰ）求证：⊥AE 平面CDG ；（Ⅱ）求二面角G AE C --的余弦值．19、(本小题满分14分) 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n n S S a a +=12对一切正整数n 都成立.（Ⅰ）求1a ,2a 的值；（Ⅱ）若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++121log )2(n a n a 的前n 项和为nT ，求证：43<n T .20、(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点，焦点()0,a 在直线022=--y x 上，圆M 的方程为012822=+-+x y x ,圆心为M . （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过抛物线C 上的动点P 作圆M 的两条切线，切点为B A ,，求四边形AMBP 的面积的最小值；（Ⅲ）直线1l 经过圆M 的圆心，与抛物线C 交于F E ,两点，直线2l 经过EF 的中点，且与y 轴交于点),0(b .若直线1l 与2l 的倾斜角互补，求b 的取值范围.21、 (本小题满分14分) 已知函数221)(x bx ae x f x+-=在点)1,0(处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若kx x f x h +'=)()(，设)(k g 是)(x h 在[]1,0上的最小值，求)(k g 的表达式，并探讨)(k g 在)2,(--e 上的单调性.图8图72012-2013学年度下学期期末考试五校联考高二年级数学（理科）答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

江苏省苏州市2012-2013学年高二下学期期末考试数学理试卷(解析版)

2012～2013学年苏州市高二期末调研测试数学（理科） 2013．6数学Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．命题“,x ∀∈R sin 1x ≤”的否定是“ ▲ ”．2．抛物线y 2 = 4x 的准线方程为 ▲ ．解：∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=-1．故答案为x=-1． 3．设复数22i(1i)z +=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是 ▲ ．4． “1x <”是 “2log 0x <”的 ▲ 条件．(在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)解：由log 2x ＜0，解得0＜x ＜1，所以“x ＜1”是“log 2x ＜0”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分． 5． 61()2x x-的二项展开式中的常数项是 ▲ （用数字作答）．6．若定义在R 上的函数()f x 的导函数为()24f x x '=-，则函数(1)f x -的单调递减区间是 ▲ ．7．口袋中有形状、大小都相同的2只白球和1只黑球，先摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则“两次摸出的球颜色不相同”的概率是▲．8．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的对角线AC1的长为6，且AC1与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积为▲．9．某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有▲种选法（用数字作答）．10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂β，n⊂α，则m∥n；②若α∥β，m⊥β，n∥α，则m⊥n；③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；④若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n．上面命题中，所有真命题．．．的序号为▲ ．11．过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，若AB =2a，则双曲线22221x y a b-=的离心率为 ▲ ．12．已知圆221:()(1)1C x a y a -+--=和圆2222:(1)2C x y a -+=有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．定义函数(),(),(),()K f x f x K f x K f x K >⎧=⎨⎩≤（K 为给定常数），已知函数225()3ln 2f x x x x =-，若对于任意的(0,)x ∈+∞，恒有()K f x K =，则实数K 的取值范围为 ▲ ．14．在下图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：则第 ▲ 行中有三个连续位置上的数之比是3︰4︰5．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB = 2，且F 是CD 的中点．第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 … …FEDCBA（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求四面体BCEF的体积．已知点M 到双曲线221169x y -=的左、右焦点的距离之比为2︰3．（1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹上有且仅有三个点到直线y = x + m 的距离为4，求实数m 的值．17．（本小题满分14分）如图，在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB = 4，AD = 2，A 1A = 2，点F 是棱BC 的中点，点E 在棱C 1D 1上，且D 1E = λ EC 1（λ为实数）．（1）求二面角D 1 - AC - D 的余弦值；（2）当λ =13时，求直线EF 与平面D 1AC 所成角的正弦值的大小；（3）求证：直线EF 与直线EA 不可能垂直．18．（本小题满分16分）有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为23．小华先抛掷这三枚硬币，然后小红再抛掷这三枚硬币．（1）求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率；（2）若用ξ表示小华抛得正面的个数，求ξ的分布列和数学期望；（3）求小华和小红抛得正面个数相同（包括0个）的概率．1111FEDC BA D CB A（第17题）已知函数3211()(1)323a f x x a x x =-++-．（1）若函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程为90x y b -+=，求实数a ，b 的值；（2）若0a ≤，求()f x 的单调减区间；（3）对一切实数a ∈(0,1)，求f (x )的极小值的最大值．20．（本小题满分16分）如图，点A （- a ，0），B （23，43）是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的两点，直线AB 与y 轴交于点C （0，1）．（1）求椭圆的方程；（2）过点C 任意作一条直线PQ 与椭圆相交于P ，Q ，求PQ 的取值范围．2012～2013学年苏州市高二期末调研测试数学Ⅰ（理科）参考答案 2013．6（第20题）yxO QP CB A一、填空题1．x ∃∈R ，sin 1x > 2．x = -1 3．-1 4．必要不充分 5． 52-6．（-∞，3） 7．498．2 9．310 10．②③11．52 12．24a <-或24a > 13．233[e ,)2+∞ 14．62二、解答题15．证明：（1）取EC 中点G ，连BG ，GF ．∵F 是CD 的中点，∴FG ∥DE ，且FG =12DE ．又∵AB ∥DE ，且AB =12DE ．∴四边形ABGF 为平行四边形．……… 3分∴AF ∥BG ．又BG ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ．（条件每少一个扣1分，最多扣2分）∴AF ∥平面BCE ． …………5分（2）∵AB ⊥ 平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥ AF ．∵AB ∥DE ，∴AF ⊥ DE ． ………… 6分又∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥ CD ． ………… 7分 ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥ DE ，BG ⊥ CD ． ………… 8分 ∵CD ∩ DE = D ，∴BG ⊥平面CDE ． ………… 9分（直接用AF ∥BG ，AF ⊥平面CDE ，而得到BG ⊥平面CDE ．扣1分） ∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ； ……………11分（3）四面体BCEF 的体积13CFE V S BG ∆=⋅1111312332323CF DE AF =⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⋅=． ……………14分16．解：（1）双曲线221169x y -=的左、右焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ．………1分设点(,)M x y ，则1223MF MF =，即2222(5)23(5)x y x y++=-+． ……………3分化简得点M 的轨迹方程为2226250x y x +++=． ……………7分（2）点M 的轨迹方程即为22(13)144x y ++=，它表示以(13,0)-为圆心，12为半径的圆． ……………9分因为圆上有且仅有三点到直线y = x + m 的距离为4，所以圆心到直线y = x + m 的距离为8，即|13|811m -+=+． ……………12分解得 1382m =±． ……………14分G FEDC BA17．解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -．则(2,0,0),(0,4,0),A C 1(0,0,2),D1(2,0,2)D A =-，1(0,4,2)D C =-． ………… 2分设平面1D AC 的法向量为(,,)x y z =n ，则110,0D A D C ⋅=⋅=n n ．即,2x z z y ==．令1y =，则2x z ==．∴平面1D AC 的一个法向量(2,1,2)=n ．…… 4分又平面DAC 的一个法向量为(0,0,1)=m ．故22cos ,||133⋅〈〉===⋅⨯m n m n m |n |，即二面角1D AC D --的余弦值为23． ……… 6分（2）当λ =13时，E （0，1，2），F （1，4，0），(1,3,2)EF =-．所以114cos ,42||||143EF EF EF ⋅〈〉===⋅⨯n n n ． ……………9分因为 cos ,0EF 〈〉>n ，所以,EF 〈〉n 为锐角，从而直线EF 与平面1D AC 所成角的正弦值的大小为1442． ……………10分（3）假设EF EA ⊥，则0EF EA ⋅=．∵4(0,,2),(1,4,0)1E F λλ+，∴4(2,,2)1EA λλ=--+，4(1,4,2)1EF λλ=--+． ……………12分∴442(4)4011λλλλ--+=++．化简得23230λλ-+=．该方程无解，所以假设不成立，即直线EF 不可能与直线EA 不可能垂直．……14分18．解：（1）设A 表示事件“小华抛得一个正面两个反面”，B 表示事件“小红抛得两个正面一个反面”，则P （A ）=1111121()22232233⨯⨯⨯+⨯⨯=， …………2分P （B ）=1121115()222322312⨯⨯⨯+⨯⨯=， …………4分则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为P （AB ）= P （A ）P （B ）=15531236⨯=． …………6分（2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，且1111(0)22312P ξ==⨯⨯=；1(1)3P ξ==；5(2)12P ξ==；1121(3)2236P ξ==⨯⨯=．x （第17题） A EB CDFA 1B 1C 1D 1yz所求随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3P112 13 512 16…………10分数学期望11515()01231231263E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分（3）设C 表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”，则所求概率为2222()(0)(1)(2)(3)P C P P P P ξξξξ==+=+=+=2222115123()()()()12312672=+++=．所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为2372． ………… 16分19．解：（1）2()(1)1()f x ax a x a '=-++∈R ， ………… 1分由(2)9f '=，得a = 5． ………… 2分∴3251()333f x x x x =-+-．则(2)3f =．则（2，3）在直线90x y b -+=上．∴b = -15． ………… 4分（2）① 若0a =，221111()(1)2326f x x x x =-+-=--+，∴()f x 的单调减区间为（1，+∞）． ………… 6分 ② 若0a <，则21()(1)1()(1),,f x ax a x a x x x a'=-++=--∈R令()0f x '<，得1()(1)0x x a -->．∴1x a<，或x ˃ 1． ………… 9分∴()f x 的单调减区间为1(,)a -∞，（1，+∞）． ………… 10分（3）1()(1)()f x a x x a '=--，0 ˃ a ˃ 1，列表：x（-∞，1） 1（1，1a ） 1a（1a，+∞） ()f x '+ 0 - 0 +()f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗………… 12分∴f (x ) 的极小值为32111111()(1)323a f a a a a a=⋅-++-22111111131()6236224a a a =-⋅+⋅-=--+． ………… 14分当23a =时，函数f (x ) 的极小值f (1a )取得最大值为124． ………… 16分20．解：（1）由B （23，43），C （0，1），得直线BC 方程为112y x =+．………… 2分令y = 0，得x = -2，∴a = 2． ………… 3分将B （23，43）代入椭圆方程，得24169914b +=．∴b 2 = 2．椭圆方程为22142x y +=． ………… 5分（2）① 当PQ 与x 轴垂直时，PQ = 22； ………… 6分② 当PQ 与x 轴不垂直时，不妨设直线PQ ：y = kx + 1（k ≥0），代入椭圆方程x 2 + 2y 2 - 4 = 0，得x 2 + 2(kx + 1)2 - 4 = 0．即 (2k 2 + 1) x 2 + 4kx - 2 = 0． ………… 8分设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则 21,2228221k k x k -±+=+．则 | x 1 - x 2 | = 2228221k k ++．PQ = 222282121k k k ++⋅+． ………… 10分 2242222242428(1)(41)45188(1)(21)441441k k k k k PQ k k k k k ++++==⋅=⋅++++++=2218(1)144k k ⋅+++． ………… 12分 ∵2222114244k k k k+⋅=≥，在k =22时取等号， ………… 14分 ∴PQ 2 = 2218(1)144k k⋅+++∈（8，9]．则PQ ∈(22,3]． ………… 15分由①，②得PQ 的取值范围是[22,3]． ………… 16分数学Ⅱ（理科附加题）参考答案A 1 证明：如图，连结BP ，∵AB = AC ，AD 是BC 边的中线， ∴AD 是此等腰三角形的一条对称轴． ∴ABP ACP ∠=∠． ………… 2分 ∵BF ∥AC ，∠F = ∠ACP ．∴∠F = ∠ABP ． ………… 5分又BPF EPB ∠=∠，∴BPF ∆∽EPB ∆． ………… 8分所以BP PF PE BP =，即2BP PE PF =⋅． ∵BP = CP ，∴CP 2 = PE ·PF ． ……… 10分A 2 证明：（1）连结ED ．∵AF 为切线，∴∠FAB = ∠ACB ．………… 2分 ∵BD AC ⊥，CE AB ⊥， ∴90AEF BDC ∠=∠=．∴F DBC ∠=∠． ………… 5分（2）∵BD AC ⊥，CE AB ⊥，∴,,,D E B C 四点共圆．则DEC DBC ∠=∠．又F DBC ∠=∠，∴DEC F ∠=∠．则DE ∥AF ． ……………8分 ∴AD FE DC EC =，即AD EC DC FE ⋅=⋅． ……… 10分DBCAFECD B APEFB 1 解：由题设得010*********MN -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 2分设直线210x y -+=上任意一点(,)x y 在矩阵MN 对应的变换作用下变为(,)x y ''，则 1001x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 5分即x x y y '⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦，∴,.x x y y '=⎧⎨'=-⎩………… 8分∵点(,)x y 在直线210x y -+=上，∴2()10x y ''--+=，即210x y ''++=．∴曲线F 的方程为210x y ++=． ………… 10分B 2 解：（1）由题意得1112011a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 2分即122a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴12,2.a b +=⎧⎨=⎩则1,2a b ==． ………… 5分（2）由（1）得矩阵M 1102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵M 的特征多项式为()()11()1202f λλλλλ--==---，矩阵M 的另一个特征值是1．代入二元一次方程组()()10020x y x y λλ--=⎧⎪⎨⋅+-=⎪⎩，解得0y =，于是M 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ………… 8分∴α =11210⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．∴M 10α = M10101011111026222110101024⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⋅= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭．………… 10分C 1解：圆C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=． ………… 2分圆心(1,0)C ，直线l 的直角坐标方程为40x y --=． ………… 5分所以过点C 与直线l 垂直的直线的方程为10x y +-=． ………… 8分化为极坐标方程得cos sin 10ρθρθ+-=，即2cos()42πρθ-=．………… 10分C 2 解：（1）直线l 的普通方程0x y m --=，椭圆C 的普通方程为2213x y +=； …………………… 2分（2）设椭圆C 上一点P 的坐标为[)()(3cos ,sin )0,2αααπ∈，∵m ˃ 2，∴点P 到直线l 的距离2cos 3cos sin 622m m d πααα⎛⎫+- ⎪--⎝⎭==2cos 622m πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==． ∴2cos 226m πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． …………………… 5分∵椭圆C 上有且只有1个点到直线l 的距离为2，∴关于α的方程2cos 226m πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[)0,2π上有且只有一个解．∴222m =+或222m =-+． …………………… 8分若222m =+，满足2m >，此时116πα=，点P 的坐标是31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；若2222m =-+<，不合题意．综上，实数m 的值为222+，该点的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．……………10分D 1证明：（1）当2n =时，因为0x ≠，()2211212x x x x +=++>+，即n = 2时不等式成立； ……… 2分（2）假设n = k （2,*k k ∈N ≥）时不等式成立，即有()11kx kx +>+，则当1n k =+时，()()()()()111111k kx x x x kx ++=++>++ ……… 5分()2111x kx kx k x =+++>++． ……… 8分即当1n k =+时，不等式也成立．综合（1）（2）可知，原不等式成立． ……… 10分D 2（1）证明：由柯西不等式得()()222222222222149123a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅++=++⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦………… 2分212336a b c ab c ⎛⎫⋅+⋅+⋅= ⎪⎝⎭≥．∵2221a b c ++=，∴22214936a b c++≥． …………………… 5分（2）解：由（1）得236m m +-≤．当m ≥2时，m + m - 2≤36，∴m ≤19；当02m <<时，m + 2 - m ≤36，恒成立；当m ≤0时，- m + 2 - m ≤36，∴m ≥-17． …………………… 8分综上，实数m 的取值范围是[-17，19]． …………………… 10分。

新课标2012-2013学年高二下学期期末考试数学(理)

2012-2013学年度下学期期末考试高二数学（理）试题【新课标】时量：110分钟满分：150分一、选择题（本题8个小题,共40分）1.“2320x x -+=”是“1x =” 的（）条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要2.已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是（）. A ．,sin 1x R x ∃∈≥ B ．,sin 1x R x ∀∈≥ C ．,sin 1x R x ∃∈> D ．,sin 1x R x ∀∈>3．若函数32()21f x x x =+-，则'(1)f -=（）。

A ．7- B ．1- C ．1 D ．7 4．已知向量)5,3,2(-=与),,4(y x b =平行,则x,y 的值为（） A. 6和-10 B. –6和10 C. –6和-10 D. 6和105.已知曲线C 的方程为210x x y ++-=，则下列各点中在曲线C 上的点是（） A ．(0,1) B ．(-1,3) C ．(1,1) D ．(-1,2)6、已知P 在椭圆2213x y +=上，1F ,2F 是椭圆的焦点，则12||||PF PF +=（）A ．6B ．3CD ． 7、双曲线22149x y -=的渐近线方程是（）A ．32y x =±B ．23y x =± C.94y x =± D ．49y x =± 8．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB. 则y 1y 2等于( )A – 4p 2B 4p 2C – 2p 2D 2p 2 二、填空题：（本题共有7小题，共35分） 9．已知(3,2,5),(1,5,1),a b =-=-则2a b -= .10．函数y xInx =在1x =处的切线方程为 . 11．异面直线m 与n 上的单位向量分别为a ，b , 且12a b ∙=, 则两异面直线m 与n 所成角的大小为________.12．抛物线的标准方程为24y x =，则它的准线方程为。

河南省郑州市2012-2013学年高二下学期期末考试理科数学试题(有答案)(word版)

河南省郑州市2012-2013学年下期期末试题高二数学（理科）第I 卷（选择题，共60分）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知复数11z i=+，则z 在复平面上对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．如果随机变量2~(2,)N ξσ-，且(31)0.4P ξ-≤≤-=，则(1)P ξ≥-=A ．0.7B ．0.6C ．0.3D ．0.23．用反证法证明“若3a b c ++<，则,,a b c 中至少有一个小于1”时，“假设”应为A ．假设,,a b c 至少有一个大于1B ．假设,,a b c 都大于1C ．假设,,a b c 至少有两个大于1D ．假设,,a b c 都不小于14．下列求导正确的是A ．211()'1x x x+=+B ．22log (log )'ex x=C ．3(3)'3log x x e =D ．32(sin 2)'6sin 2x x =5．曲线2x y e =在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A ．292eB ．24eC ．22eD ．2e6．函数32()343x f x x x =+--在[0,2]上的最小值是A ．173-B ．103-C ．4-D ．1-7．甲、乙、丙三位同学独立地解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为111,,234，则有人能够解决这个问题的概率为 A ．1312 B ．34 C ．14D ．1248．某同学为了解秋冬季节用电量（y 度）与气温（x ℃）的关系，曾由下表数据计算出回归直线方程为ˆ260yx =-+，现表中有一个数据被污损，则被污损的数据为 A ．40 B ．39C ．38D ．379．甲同学参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．则甲合格的概率为A ．512B ．21 C ．32 D ．5610．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须都使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数共有A ．18个B ．9个C ．12个D ．24个11．函数10()cos ,02x f x x x π-≤<=⎨≤≤⎪⎩与x 轴围成的封闭图形的面积为A ．14π+ B ．54π C ．54D ．1π+12．已知点P 、Q 分别为函数ln(1)1y x =-+和11x y e -=+图象上的动点，O 为坐标原点，当||PQ 最小时，直线OQ 交函数11x y e-=+的图象于点00(,)R x y （异于Q 点），则0y x = A ．011x -BC ．2D ．3第II 卷（非选择题，共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．袋中有3个白球2个黑球共5个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次仍取到白球的概率是．14．已知i 为虚数单位，则232013i i i i++++= ．。

2012-2013学年高二下学期期末数学(理)试题

2012-2013学年高二下学期期末数学（理）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}{}22S=x|x +2x=0,x R ,T=x|x -2x=0,x R ,S T=∈∈⋂则（）A. }0{B.{}0,2C.{}-2,0D.{}-2,0,2 2．若0<x <y <1，则( )A ．3y<3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4y D. ⎝⎛⎭⎫14x<⎝⎛⎭⎫14y3．12cos log 12sin log 22ππ+的值为（）A.－4B.4C.2D.－24. 已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5．函数f(x)＝log a |x|＋1(0<a<1)的图象大致为( )6．已知向量a ＝(cos α，sin α)， b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.则cos(α－β)的值为( )A..13B.23C.35D.457.已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为( )．A. ]3,1[B. ]1,(-∞C. ]3,(-∞D. ),1[+∞8．设集合A ＝⎣⎡⎭⎫0，12，B ＝⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12（x ∈A ），2（1－x ）（x ∈B ），x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，14B.⎝⎛⎦⎤14，12C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎣⎡⎦⎤0，38 9.在△OAB 中，C 为OA 上的一点，且2,3OC OA D =是BC 的中点，过点A 的直线l ∥OD ，P是直线l 上的动点，12OP OB OC l l =+，则12l l -=（） A. -1 B.23-C. -2D. 25- 10．设偶函数)(x f y =和奇函数)(x g y =的图象如下图所示:集合A ={}0))((=-t x g f x 与集合B ={}0))((=-t x f g x 的元素个数分别为b a ，，若121<<t ，则b a +的值不．可能是( ) A.12 B.13 C.14 D.15二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 ▲ .12．若函数)(0,1,0,)(2x f x x x x x f 则，⎩⎨⎧≤->=的值域是▲ ． 13．计算：002012sin )212cos 4(312tan 3--= ▲ 。

2012-2013学年度第二学期高二数学试题(理科)

2012—2013学年度第二学期第一次月考高二数学试题（理科）命题人：注：考试时间：80分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共72分）选择题(共12小题，每题6分，共72分，四个选项中只有一个符合要求)1． 2x y =在1=x 处的导数为（）A. 2B.2x ∆+C. x 2D.12、物体运动的方程为3414-=t s ，则当5=t 的瞬时速率为( )A ．5 B. 25 C. 125 D. 625 3、已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则xf x f x 2)1()1(lim-+→=( )A ．2B ．1C ．21 D ．41 4、函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于( ) A ．1B ．4C ．3D ．25、曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为( b )A ．43-=x yB ． 54-=x yC ．34+-=x yD ． 23+-=x y6、函数xxy sin =的导数为（） A.2'sin cos x x x x y += B.2'sin cos x x x x y -=C.2'cos sin x x x x y -=D.2'cos sin xx x x y += 7、下列四个函数，在0=x 处取得极值的函数是（）①3x y = ②12+=x y ③||x y = ④x y 2= A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 8、函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞D ．（0，2）9、函数54)(3++=x x x f 的图象在1=x 处的切线与圆5022=+y x 的位置关系是( )A 相交但不过圆心 B. 相切 C. 过圆心 D. 相离10、曲线23-+=x x y 在点P 0处的切线平行于直线x y 4=，则点P 0的坐标是（）．A ．(0，1)B ．(1，0)C ．(－1,－4)D ． (－1,－4)或（1，0）11、设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是( )12.三次函数x ax x f +=3)(在),(+∞-∞∈x 内是增函数，则（）A. a >0B. a <0C. a =1D. a =31第Ⅱ卷（非选择题，共78分）二、填空题(共3小题，每题6分，共18分把答案填在题中横线上) 13 函数x y 2sin =的导数为___ _ __14、曲线3x y =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 .、已知函数3()f x xax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是___ _ __三、解答题(共3小题，各题均为20分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16、已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2）且在点M （－1，（－1））处的切线方程为076=+-y x . （Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.17、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？18、已知向量b a x f t x b x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围.2012—2013学年度第二学期第一次月考点M（－1，（－1））处的切线方程为0-y+x.6=7（Ⅰ）求函数)y=的解析式；f(x（Ⅱ）求函数)y=的单调区间.(xf17、在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？18（20分）已知向量x),,(,(2若函数在区间=)),11(=t xfxx⋅-=+（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.2012—2013学年度第二学期第一次月考高二数学试题答案（理科）命题人：注：考试时间：80分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共72分）二、填空题(共3小题，每题6分，共18分，把答案填在题中横线上)13 x cos 2 14 3815(,0)-∞三、解答题(共3小题，各题均为20分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f.23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f（Ⅱ）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数.17、设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -== )600(<<x ．23()602x V x x '=- )600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x =0（舍去），x =40，并求得V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 318. 解：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则 .0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若,31)(,23)(,)1,1(,230)(22=-=--≥⇔≥'∴x x g x x x g x x t x f 的图象是对称轴为由于考虑函数上恒成立在区间开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t5≥t t 的取值范围是故。

2012-2013学年度高二下期期末复习理科数学试题(4)

高2014级高二下期末复习数学（理科）试题四姓名满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的． 1、满足条件|z +2i|+|z －2i|=4的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线 B ．两条直线C ．线段 D ．椭圆 2、下面说法正确的是（）A ．命题“01,2≥++∈∃x x R x 使得”的否定是“01,2≥++∈∀x x R x 使得”。

B ．实数22xy x y >>是成立的充要条件。

C ．设,p q 为简单命题，若“q p ∨”为假命题，则“q p ⌝∧⌝”也为假命题。

D ．命题“1cos 0==αα则若，”的逆否命题为真命题。

命题“若x ，y 都是偶数，则x+y 也是偶数”的逆否命题是（）A ．若x+y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x+y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x+y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x+y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数3、已知函数f （x ）=-mx 3+nx 2的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f （x ）在区间[t ，t+1]上单调递减，则实数t 的取值范围是（）A ．（-∞，-2] B ．（-∞，-1] C ．[-2，-1] D ．[-2，+∞）4、用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（）A.36个 B.48个 C.66个 D.72个5、如果命题p (n )对n ＝k 成立(n ∈N*)，则它对n ＝k ＋2也成立，若p (n )对n ＝2成立，则下列结论正确的是( )．A ．p (n )对一切正整数n 都成立B ．p (n )对任何正偶数n 都成立C ．p (n )对任何正奇数n 都成立D ．p (n )对所有大于1的正整数n 都成立6、等比数列{a n }中，a 1=2，a 8=4，f （x ）=x （x-a 1）（x-a 2）…（x-a 8），f'（x ）为函数f （x ）的导函数，则f'（0）=（）A ．0B ．26 C ．29D ．2127、已知a 为常数，若曲线y=ax 2+3x-lnx 存在与直线x+y-1=0垂直的切线，则实数a 的取值范围是（）A ．[-1，+∞） B ．[-1，0） C ．[1，+∞） D ．[1，+∞）A 、123-e B 、12+e C 、2e D 、2e -1 9、已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32（2）设有三个命题：“①0＜21＜1．②函数x x f 21＝ log )(是减函数．③当0＜a ＜1时，函数x x f a log ＝ )(是减函数”．当它们构成三段论时，其“小前提”是 (填序号)．（3）已知命题P ：“对∀x ∈R ，∃m ∈R ，使4x -2x+1+m=0”，若命题┐P 是假命题，则实数m 的取值范围是（4）已知命题p ：|x －8|＜2，q ：x －1x ＋1＞0，r ：x 2－3ax ＋2a 2＜0(a ＞0)．若命题r 是命题p 的必要不充分条件，且r 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是．12、设随机变量ξ服从正态分布N （2，9），若P （ξ＞c+1）=P （ξ＜c-1），则c= ． 14、已知点A 是曲线ρ=2sin θ上任意一点，则点A 到直线ρsin(θ+3π)=4的距离的最小值是． 15、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，直线MN 切⊙O 于点C ，BE ∥MN 交AC 于点E ．若AB=6，BC=4，则AE 的长为． 16、（1）设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是__________．（2）若关于x 的不等式|a|≥|x＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是_____．（3）若不等式2234x y +≥xyk对任意的正数,x y 总成立，则正数k 的取值范围为．（4）设a,b,c,x,y, z 是正数，且a 2+b 2+c 2=10,x 2+y 2+z 2=40, a x+by+cz=20,则a b cx y z++=++三、解答题（共75分。

实验中学2012-2013学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案

山东省实验中学2013届高二期终考试理科数学试卷一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.在复平面内,复数iz +=31对应的点位于（ D ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.直线(1)y k x =+与圆221x y +=的位置关系是（ C ） A.相离 B.相切 C.相交 D.与k 的取值有关 4.函数b x A x f +ϕ+ω=)sin()((0,0,)22A ππωϕ>>-<<的图象如图，则)(x f 的解析式可以为（ D ）A. 3()sin 12f x x π=+B. 1()sin 12f x x =+C. 1()sin 124f x xπ=+D.12sin 21)(+π=x x f 5.正四棱锥P －ABCD 的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为，则此球的表面积为（ B ）A. 18πB. 36π C. 72π D. 9π6．的直线l与双曲线22221x y a b-=交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率为（）A.B. C.D.7．已知函数4()1||2f x x =-+的定义域为[a,b ] (,)a b ,值域为[0,1]，那么满足条件的有序对(,)a b 共有（）A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 9对8.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2009个数是（）A. 3948 B. 3953 C. 3955 D.39589.已知：奇函数)(x f 的定义域为R ，且是以2为周期的周期函数，数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列，则)()()(1021a f a f a f +++ 的值等于（） A 0 B 1 C －１ D 2 10. 如果关于x 的方程213ax x+=有且仅有一个正实数解，那么实数a 的取值范围为（）A. {|0}a a ≤B. {|0a a ≤或2}a =C. {|0}a a ≥D. {|0a a ≥若2}a =-二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.若椭圆2221615x y p+=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为_________． 12.双曲线 22a x －22by ＝1的左右焦点分别为F 1 ﹑F 2，在双曲线上存在点P ，满足︱PF 1︱＝5︱PF 2︱。

2012-2013学年北京市某校高二(下)期末数学试卷(理科)(附答案解析)

2012-2013学年北京市某校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. i 是虚数单位，若复数z 满足z(2−i)=7−i ，则z 等于（） A.1+3i B.1−3i C.3−i D.3+i2. 甲骑自行车从A 地到B 地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第3个路口才首次遇到红灯的概率是（） A.13 B.49C.427D.1273. 函数f(x)=1x 的图象在点（2, f(2)）处的切线方程是（）A.x −4y =0B.x −4y −2=0C.x −2y −1=0D.x +4y −4=04. 从0，1，2，3，4中随机选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数有（） A.9个 B.10个C.11个D.12个5. 设函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +2的导函数为f′(x)，若f′(x)为奇函数，则有（） A.a ≠0，c =0 B.b =0C.a =0，c ≠0D.a 2+c 2=06. 已知一个二次函数的图象如图所示，那么它与x 轴所围成的封闭图形的面积等于（）A.54 B.π2C.43D.327. 4名男生和4名女生随机地排成一行，有且仅有两名男生排在一起的概率是（） A.37B.314C.128D.1568. 已知函数f(x)=(1−ax )e x ，若同时满足条件：①∃x 0∈(0, +∞)，x 0为f(x)的一个极大值点； ②∀x ∈(8, +∞)，f(x)>0．则实数a 的取值范围是（） A.(4, 8] B.[8, +∞) C.(−∞, 0)∪[8, +∞) D.(−∞, 0)∪(4, 8]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．(2√x √x)6的二项展开式中的常数项为________．（用数字作答）如果函数f(x)＝cos x ，那么f(π6)+f ′(π6)=________．已知某随机变量X 的分布列如下(p, q ∈R)：且X 的数学期望E(X)=12，那么X 的方差D(X)=________．已知函数y =x x +a的图象在x =0和x =√3处的切线互相平行，则实数a =________．有5名男医生和3名女医生，现要从中选6名医生组成2个地震医疗小组，要求每个小组有2名男医生和1名女医生，那么有________种不同的组队方法．（用数字作答）设函数f n (x)=x n +x −1，其中n ∈N ∗，且n ≥2，给出下列三个结论： ①函数f 3(x)在区间(12, 1)内不存在零点；②函数f 4(x)在区间(12, 1)内存在唯一零点；③设xn (n >4)为函数f n (x)在区间(12, 1)内的零点，则x n <x n+1．其中所有正确结论的序号为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为13，12，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响．（1）如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；（2）如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率．设函数f(x)=2xx+1，且a 1=12，a n+1=f(a n )，其中n =1，2，3，…．（1）计算a 2，a 3，a 4的值；（2）猜想数列{a n }的通项公式，并用数字归纳法加以证明．已知函数f(x)=e 2x−1−2x ．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）设b ∈R ，求函数f(x)在区间[b, b +1]上的最小值．箱中装有4个白球和m(m ∈N ∗)个黑球．规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量X 为取出的3个球所得分数之和．（1）若P(X =6)=25，求m 的值；（2）当m =3时，求X 的分布列和数字期望E(X)．请先阅读：设平面向量a →=(a 1, a 2)，b →=(b 1, b 2)，且a →与b →的夹角为θ，因为a →⋅b →=|a →||b →|cos θ，所以a →⋅b →≤|a →||b →|．即a 1b 1+a 2b 2≤√a 12+a 22×√b 12+b 22，当且仅当θ=0时，等号成立．（1）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，都有(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3)2≤(a 12+a 22+a 32)(b 12+b 22+b 32)成立；（2）试求函数y =√x +√2x −2+√8−3x 的最大值．已知函数f(x)=12x 2−f′(2)x ，g(x)=ln x −12x 2．（1）求函数f(x)的解析式；（2）若对于任意x ∈(0, +∞)，都有f(x)+g(x)≤a 成立，求实数a 的取值范围；（3）设x 1，x 2>0，a 1，a 2∈[0, 1]，且a 1+a 2=1，求证：x 1a1x 2a2≤a 1x 1+a 2x 2．参考答案与试题解析2012-2013学年北京市某校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】 D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】由题意求出复数z ，再分子分母同乘以2+i 后化简即可．【解答】解：由z(2−i)=7−i 得， z =7−i 2−i=(7−i)(2+i)(2−i)(2+i)=15+5i 5=3+i ，故选D ．2.【答案】 C【考点】n 次独立重复试验的结果【解析】根据由题意可得，甲在前2个路口没有遇到红灯，概率都是23，第三个路口遇到红灯，概率等于13，根据相互独立事件的概率乘法公式求得结果．【解答】解：由题意可得甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13，甲在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是1−13=23，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第3个路口才首次遇到红灯的概率是23×23×13=427，故选C ． 3.【答案】 D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程．【解答】解：求导函数，可得f′(x)=−1x 2∴ f′(2)=−14，f(2)=12∴ 函数f(x)=1x的图象在点（2, f(2)）处的切线方程是y −12=−14(x −2)，即x +4y −4=0故选D ． 4. 【答案】 B【考点】排列、组合的应用【解析】由题意，末尾是0，2，4，分类求出相应的偶数，即可得出结论．【解答】解：由题意，末尾是0，2，4末尾是0时，有4个；末尾是2时，有3个；末尾是4时，有3个，所以共有4+3+3=10个故选B ． 5.【答案】 D【考点】导数的运算函数奇偶性的判断【解析】先求导数f′(x)，由f′(x)为奇函数可知f ′(x)=−f ′(−x)，故3ax 2+c 恒成立恒成立，所以a =c =0，由此得出答案．【解答】解：函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +2的导函数为f′(x)=3ax 2+2bx +c ， ∵ 函数f′(x)=3ax 2+2bx +c 是定义在R 上的奇函数，∴ f ′(x)=−f ′(−x)，即3ax 2+2bx +c =−3ax 2+2bx −c ， ∴ 3ax 2+c 恒成立，a =c =0．即a 2+c 2=0．故选D ． 6. 【答案】 C【考点】定积分【解析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求．【解答】解：根据函数的图象可知二次函数y =f(x)图象过点(−1, 0)，(1, 0)，(0, −1) 从而可知二次函数y =f(x)=x 2−1∴ 它与x 轴所围图形的面积为 ∫(1−1x 2−1)dx =(x 33−x) |−11=43．故选C ．7.【答案】 A【考点】等可能事件的概率【解析】4名男生和4名女生随机地排成一行，总共有A 88种排列方法．由分步计数原理求出有且仅有两名男生排在一起的排法有A 42A 53A 44种，由此求得有且仅有两名男生排在一起的概率．【解答】解：随机排成一行，总共有A 88种排列方法．任意从四个男生中挑选两个男生作为一个整体，有A 42种方法．然后往女生中插空，有A 53种排法，而女生的排法是A 44种方法，故有且仅有两名男生排在一起的排法有A 42A 53A 44种．就可以得到有且仅有两名男生排在一起的到概率为 A 42A 53A 44A 88=37，故选A ． 8.【答案】 A【考点】函数在某点取得极值的条件导数求函数的最值【解析】求导数，由①得到{a 2>0f(0)>0△=a 2−4a >0；由②∀x ∈(8, +∞)，f(x)>0，故只需f(x)在(8, +∞)上的最小值大于0即可，分别解出不等式即可得到实数a 的取值范围为4<a ≤8．【解答】解：由于f(x)=(1−ax )e x ，则f′(x)=(ax 2−ax +1)e x =x 2−ax+ax 2⋅e x令f′(x)=0，则x 1=a−√a 2−4a2，x 2=a+√a 2−4a2故函数f(x)在(−∞, x 1)，(x 2, +∞)上递增，在(x 1, x 2)上递减由于∀x ∈(8, +∞)，f(x)>0，故只需f(x)在(8, +∞)上的最小值大于0即可，当x 2>8，即a >647时，函数f(x)在(8, +∞)上的最小值为f(x 2)=(1−ax2)e x 2>0，此时无解；当x 2≤8，即a ≤647时，函数f(x)在(8, +∞)上的最小值为f(8)=(1−a8)e 8≥0，解得a ≤8．又由∃x 0∈(0, +∞)，x 0为f(x)的一个极大值点，故{a 2>0f(0)>0△=a 2−4a >0解得a >4；故实数a 的取值范围为4<a ≤8 故答案为A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．【答案】160【考点】二项式定理的应用【解析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于(2√x √x)6的二项展开式的通项公式为T r+1=C 6r ⋅(2√x)6−r ⋅(√x)−r =26−r ⋅C 6r ⋅x 3−r ．令3−r =0，求得r =3，故二项展开式中的常数项为 23⋅C 63=160，故答案为160．【答案】√3−12【考点】求函数的值函数的求值导数的运算【解析】根据解析式求出f(π6)和f′(x)，再求出f ′(π6)，代入f(π6)+f ′(π6)求解即可．【解答】由题意知，f(x)＝cos x ， ∴ f(π6)=cos π6=√32，f′(x)＝−sin x ， ∴ f ′(π6)=−sin π6=−12 f(π6)+f ′(π6)=√3−12，【答案】34【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】利用数学期望公式及概率的性质，求出p ，q ，再利用方差公式，即可得到结论．【解答】解：∵ X 的数学期望E(X)=12，∴ {p +q =1p −q =0.5∴ p =34，q =14∴ X 的方差D(X)=(1−12)2×34+(−1−12)2×14=34 故答案为：34【答案】 −1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】由求导公式和法则求出导数，再把x =0、√3代入求出导数值，再根据直线平行的充要条件建立方程求a ．【解答】解：由题意得，y′=x′(x 2+a)−x(x 2+a)′(x 2+a)2=−x 2+a (x 2+a)2，把x =0代入得，y′=1a，把x =√3代入得，y′=−3+a (3+a)2，由题意得，1a =−3+a (3+a)2，解得a =−1．故答案为：−1．【答案】 90【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】从5男3女中先选2男1女，剩下3男2女中再选2男1女，但因为2个地震医疗小组并无区别，故无需排列，最后再除以A 22，即可得到不同的组队方法．【解答】解：由题意，从5男3女中先选2男1女，剩下3男2女中再选2男1女，但因为2个地震医疗小组并无区别，故无需排列，最后再除以A 22，即不同的组队方法有C 52C 31C 32C 21A 22=90（种）故答案为：90 【答案】 ②③ 【考点】命题的真假判断与应用函数的零点【解析】①确定函数的单调性，利用零点存在定理，进行验证； ②确定函数的单调性，利用零点存在定理，进行验证；③函数在(12, 1)上是单调增函数，f n+1(x)<f n (x)，即可得到结论．【解答】解：①f 3(x)=x 3+x −1，∵ f 3′(x)=3x 2+1>0，∴ 函数在R 上是单调增函数，∵ f 3(12)=−38<0，f 3(1)=1>0，∴ 函数f 3(x)在区间(12, 1)内存在零点，即①不正确；②f 4(x)=x 4+x −1，∵ f 4′(x)=4x 3+1，∵ x ∈(12, 1)，∴ f 4′(x)>0，∴ 函数在(12, 1)上是单调增函数，∵ f 4(12)=−716<0，f 4(1)=1>0，∴ 函数f 4(x)在区间(12, 1)内存在零点，即②正确；③f n (x)=x n +x −1，∵ f n ′(x)=nx n−1+1，∵ x ∈(12, 1)，∴ f n ′(x)>0，∴ 函数在(12, 1)上是单调增函数，∵ f n+1(x)−f n (x)=x n (x −1)<0，∴ 函数在(12, 1)上f n+1(x)<f n (x)，∵ x n (n >4)为函数f n (x)在区间(12, 1)内的零点，∴ x n <x n+1，即③正确故答案为：②③三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中的概率为13．（2）解：记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B ．因为甲每次投篮命中的概率为13，所以甲投篮3次，且都没命中的概率为C 30×(1−13)3=827，甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为C 31×13×(1−13)2=49所以P(B)=827+49=2027．答：甲投篮3次，且至多有1次投篮命中的概率为2027．【考点】n 次独立重复试验的结果相互独立事件的概率乘法公式【解析】（1）记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A ，则甲投篮一次且没有命中的概率为1−13=23，同理，乙投篮一次且没有命中的概率为1−12=12，再把这2个概率值相乘，即得所求．（2）记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B ，求出甲投篮3次，且都没命中的概率，再求出甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率，相加即得所求【解答】（1）解：记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A ．因为甲每次投篮命中的概率为13，所以甲投篮一次且没有命中的概率为1−13=23．同理，乙投篮一次且没有命中的概率为1−12=12．所以P(A)=(1−13)×(1−12)=13．答：甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中的概率为13．（2）解：记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B ．因为甲每次投篮命中的概率为13，所以甲投篮3次，且都没命中的概率为C 30×(1−13)3=827，甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为C 31×13×(1−13)2=49所以P(B)=827+49=2027．答：甲投篮3次，且至多有1次投篮命中的概率为2027．【答案】解：（1）由题意，得a n+1=2a n a n +1，因为a 1=12，所以a 2=23，a 3=45，a 4=89．（2）解：由a 1，a 2，a 3，a 4，猜想a n =2n−12n−1+1 以下用数字归纳法证明：对任何的n ∈N ∗，a n =2n−12n−1+1证明：①当n =1时，由已知，左边=12，右边=11+1=12，所以等式成立． ②假设当n =k(k ∈N ∗)时等式成立，即a k =2k−12k−1+1，则n =k +1时，a k+1=2a kak +1=2×2k−12k−1+12k−12k−1+1+1=2k 2k−1+2k−1+1=2k 2k +1=2(k+1)−12(k+1)−1+1．所以当n =k +1时，猜想也成立．根据①和②，可知猜想对于任何n ∈N ∗都成立．【考点】数学归纳法数列递推式【解析】（1）由a n+1=2a nan +1，a 1=12，即可求得a 2，a 3，a 4的值；（2）由a 1，a 2，a 3，a 4，可猜想a n =2n−12+1，用数学归纳法证明，①当n =1时，去证明结论成立；②假设当n =k(k ∈N ∗)时等式成立，去证明当n =k +1时，猜想也成立即可．【解答】解：（1）由题意，得a n+1=2a n a n +1，因为a 1=12，所以a 2=23，a 3=45，a 4=89．（2）解：由a 1，a 2，a 3，a 4，猜想a n =2n−12n−1+1以下用数字归纳法证明：对任何的n ∈N ∗，a n =2n−12n−1+1证明：①当n =1时，由已知，左边=12，右边=11+1=12，所以等式成立． ②假设当n =k(k ∈N ∗)时等式成立，即a k =2k−12k−1+1，则n =k +1时，a k+1=2a k a k +1=2×2k−12k−1+12k−12k−1+1+1=2k2k−1+2k−1+1=2k 2k +1=2(k+1)−12(k+1)−1+1．所以当n =k +1时，猜想也成立．根据①和②，可知猜想对于任何n ∈N ∗都成立．【答案】解：（1）因为f′(x)=2e 2x−1−2．令f′(x)=0，解得x =12．当x 变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)在(−∞,12)上单调递减，在(12，+∞)上单调递增．（2）当b +1≤12时，因为函数f(x)在(b, b +1)上单调递减，所以当x =b +1时，函数f(x)有最小值f(b +1)=e 2b+1−2b −2．当b <12<b +1时，因为函数f(x)在(b,12)上单调递减，在(12，b +1)上单调递增，所以当x =12时，函数f(x)有最小值f(12)=0．当b ≥12时，因为函数f(x)在(b, b +1)上单调递增，所以当x =b 时，函数f(x)有最小值f(b)=e 2b−1−2b ．综上，当b ≤−12时，函数f(x)在[b, b +1]上的最小值为f(b +1)=e 2b+1−2b −2；当−12<b <12时，函数f(x)在[b, b +1]上的最小值为f(12)=0；当b ≥12时，函数f(x)在[b, b +1]上的最小值为f(b)=e 2b−1−2b ．【考点】利用导数研究函数的单调性导数求函数的最值【解析】（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间；（2）分类讨论，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f(x)在区间[b, b +1]上的最小值．【解答】解：（1）因为f′(x)=2e 2x−1−2．令f′(x)=0，解得x =12．当x 变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)在(−∞,12)上单调递减，在(12，+∞)上单调递增．（2）当b +1≤12时，因为函数f(x)在(b, b +1)上单调递减，所以当x =b +1时，函数f(x)有最小值f(b +1)=e 2b+1−2b −2．当b <12<b +1时，因为函数f(x)在(b,12)上单调递减，在(12，b +1)上单调递增，所以当x =12时，函数f(x)有最小值f(12)=0．当b ≥12时，因为函数f(x)在(b, b +1)上单调递增，所以当x =b 时，函数f(x)有最小值f(b)=e 2b−1−2b ．综上，当b ≤−12时，函数f(x)在[b, b +1]上的最小值为f(b +1)=e 2b+1−2b −2；当−12<b <12时，函数f(x)在[b, b +1]上的最小值为f(12)=0；当b ≥12时，函数f(x)在[b, b +1]上的最小值为f(b)=e 2b−1−2b ．【答案】解：（1）由题意得取出的3个球都是白球时，随机变量X =6．所以P(X =6)=C 43C m+43=25，即C m+43=10，解得m =1．（2）由题意得X 的可能取值为3，4，5，6．则P(X =3)=C 33C 73=135，P(X =4)=C 32C 41C 73=1235，P(X =5)=C 31C 42C 73=1835．P(X =6)=C 43C 73=435．X 的分布列为：所以E(X)=3×135+4×1235+5×1835+6×435=337．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）取出的3个球都是白球时，随机变量X =6，利用概率公式，建立方程，即可求m 的值；（2）当m =3时，确定X 的取值，求出相应的概率，即可求X 的分布列和数字期望E(X)．【解答】解：（1）由题意得取出的3个球都是白球时，随机变量X =6．所以P(X =6)=C 43C m+43=25，即C m+43=10，解得m =1．（2）由题意得X 的可能取值为3，4，5，6．则P(X =3)=C 33C 73=135，P(X =4)=C 32C 41C 73=1235，P(X =5)=C 31C 42C 73=1835．P(X =6)=C 43C 73=435．X 的分布列为：所以E(X)=3×135+4×1235+5×1835+6×435=337．【答案】（1）证明：设空间向量a →=(a 1, a 2, a 3)，b →=(b 1, b 2, b 3)，且a →与b →的夹角为θ，因为a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos θ，所以a →⋅b →≤|a →|⋅|b →|，即a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3≤√a 12+a 22+a 32⋅√b 12+b 22+b 32所以(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3)2≤(a 12+a 22+a 32)(b 12+b 22+b 32)，当且仅当θ=0时，等号成立．（2）解：设空间向量a →=(1, 1, 1)，b →=(√x,√2x −2,√8−3x)，且a →与b →的夹角为θ，因为y =√x +√2x −2+√8−3x =a →⋅b →，所以y =√x +√2x −2+√8−3x ≤√12+12+12⋅√x +(2x −2)+(8−3x)，即y ≤√3⋅√6=3√2，当且仅当θ=0（即a →与b →共线，且方向相同）时，等号成立．所以当√x =√2x −2=√8−3x 时，即x =2时，函数y =√x +√2x −2+√8−3x 有最大值y max =3√2．【考点】平面向量的综合题【解析】（1）利用a →⋅b →≤|a →|⋅|b →|，即可证明结论；（2）构造空间向量a →=(1, 1, 1)，b →=(√x,√2x −2,√8−3x)，且a →与b →的夹角为θ，利用（1）的结论，即可得到结论．【解答】（1）证明：设空间向量a →=(a 1, a 2, a 3)，b →=(b 1, b 2, b 3)，且a →与b →的夹角为θ，因为a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos θ，所以a →⋅b →≤|a →|⋅|b →|，即a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3≤√a 12+a 22+a 32⋅√b 12+b 22+b 32所以(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3)2≤(a 12+a 22+a 32)(b 12+b 22+b 32)，当且仅当θ=0时，等号成立．（2）解：设空间向量a →=(1, 1, 1)，b →=(√x,√2x −2,√8−3x)，且a →与b →的夹角为θ，因为y =√x +√2x −2+√8−3x =a →⋅b →，所以y =√x +√2x −2+√8−3x ≤√12+12+12⋅√x +(2x −2)+(8−3x)，即y ≤√3⋅√6=3√2，当且仅当θ=0（即a →与b →共线，且方向相同）时，等号成立．所以当√x =√2x −2=√8−3x 时，即x =2时，函数y =√x +√2x −2+√8−3x 有最大值y max =3√2．【答案】解：（1）因为f(x)=12x 2−f′(2)x ，所以f′(x)=x −f′(2)．令x =2，得f′(2)=1，所以f(x)=12x 2−x ．（2）解：设F(x)=f(x)+g(x)=ln x −x ，则F′(x)=1x −1，令F′(x)=0，解得x =1．当x 变化时，F(x)与F′(x)的变化情况如下表：所以当x =1时，F(x)max因为对于任意x ∈(0, +∞)，都有f(x)+g(x)≤a 成立，所以a ≥−1．（3）证明：由（2），得F(x)=ln x −x ≤−1，即ln x ≤x −1，令x =x 1a 1x 1+a 2x 2，得ln x 1a 1x 1+a 2x 2≤x 1a 1x 1+a 2x 2−1，令x =x 2a1x 1+a 2x 2，得ln x 2a1x 1+a 2x 2≤x 2a1x 1+a 2x 2−1，所以a 1ln x 1a1x 1+a 2x 2+a 2ln x 2a1x 1+a 2x 2≤a 1(x 1a1x 1+a 2x 2−1)+a 2(x 2a1x 1+a 2x 2−1)因为a 1+a 2=1，所以a 1ln x 1a1x 1+a 2x 2+a 2ln x 2a1x 1+a 2x 2≤1−a 1−a 2=0，所以a 1ln x 1−a 1ln (a 1x 1+a 2x 2)+a 2ln x 2−a 2ln (a 1x 1+a 2x 2)≤0，即a 1ln x 1+a 2ln x 2≤(a 1+a 2)ln (a 1x 1+a 2x 2)=ln (a 1x 1+a 2x 2)，所以ln (x 1a 1⋅x 2a2)≤ln (a 1x ′1+a 2x 2)，所以x 1a 1⋅x 2a2≤a 1x 1+a 2x 2【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用函数单调性的性质导数的运算不等式的证明【解析】（1）为了求函数f(x)的解析式，根据题意，即求出其中的f′(2)的值，故只须对函数求导后令x=2即可；（2）设F(x)=f(x)+g(x)，对于任意x∈(0, +∞)，都有f(x)+g(x)≤a成立，只须a≥F(x)max即可，利用导数求函数F(x)的最大值，即可得出实数a的取值范围；（3）由（2），得F(x)=ln x−x≤−1，即ln x≤x−1，再分别令x=x1a1x1+a2x2，x=x2a1x1+a2x2，后利用不等式的性质两式相加，得到一个不等关系式，化简即可证出结论．【解答】解：（1）因为f(x)=12x2−f′(2)x，所以f′(x)=x−f′(2)．令x=2，得f′(2)=1，所以f(x)=12x2−x．（2）解：设F(x)=f(x)+g(x)=ln x−x，则F′(x)=1x−1，令F′(x)=0，解得x=1．当x变化时，F(x)与F′(x)的变化情况如下表：所以当x=1时，F(x)max因为对于任意x∈(0, +∞)，都有f(x)+g(x)≤a成立，所以a≥−1．（3）证明：由（2），得F(x)=ln x−x≤−1，即ln x≤x−1，令x=x1a1x1+a2x2，得ln x1a1x1+a2x2≤x1a1x1+a2x2−1，令x=x2a1x1+a2x2，得ln x2a1x1+a2x2≤x2a1x1+a2x2−1，所以a1ln x1a1x1+a2x2+a2ln x2a1x1+a2x2≤a1(x1a1x1+a2x2−1)+a2(x2a1x1+a2x2−1)因为a1+a2=1，所以a1ln x1a1x1+a2x2+a2ln x2a1x1+a2x2≤1−a1−a2=0，所以a1ln x1−a1ln(a1x1+a2x2)+a2ln x2−a2ln(a1x1+a2x2)≤0，即a1ln x1+a2ln x2≤(a1+a2)ln(a1x1+a2x2)=ln(a1x1+a2x2)，所以ln(x1a1⋅x2a2)≤ln(a1x′1+a2x2)，所以x1a1⋅x2a2≤a1x1+a2x2。