高一上学期期中考试数学试题
2024学年福建省厦门双十中学高一上学期期中数学试题及答案
福建省厦门双十中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学（时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，则（ ）A. A B= B. A B ⋂=∅C. A BD. B A2. 设,,R a b c ∈，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A. 22a b > B.11a b< C. 22a b > D. 22ac bc >3. 已知函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，则a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 1或2D. 04. “2log 2x <”是“13x <<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ）A. B.C. D.6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是36536511% 1.01+=（）；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是36536511%0.99-=（）.一年后“进步”的是“退步”的3653653651.01 1.0114810.990.99=≈（倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A. 20B. 21C. 22D. 237. 已知130.9a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A a c b<< B. b c a << C. b a c << D. c b a<<8. 已知定义域为()0,∞+函数()f x 满足对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()1221211x f x x f x x x ->-，且()32f =，则不等式()1f x x <-的解集为（ ）A. (),2-∞ B. ()0,2 C. ()0,3 D. ()2,3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的有（ ）A. 命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 否定是R x ∀∈，2220xx++>.的的B. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件C. 奇函数()f x 和偶函数()g x 的定义域都是R ，则函数()()()=h x f g x 为偶函数>”是“x y >”的必要条件10. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的（ ）A.114ab ≥ B.122a b+≥ C.2≥ D. 228a b +≥11. 双曲余弦函数e e ch 2x xx -+=常出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程等，其图象如图．已知函数()2e e 122023x x f x x -+=+，则满足)()2ff a <+的整数a 的取值可以是（ ）A. －1B. 0C. 1D. 212. 已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，当[]0,2x ∈时，()[](]242,0,142,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x >，()()2f x mf x =-（m 为非零常数）．则下列说法正确的是（ ）A. 当2m =时，()5.52f =B. 当12m =时，()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点C. 若对任意的[)12,0,x x ∈+∞，都有()()124f x f x -≤，则1m ≤D. 当01m <<，n +∈N 时，()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数)311x fx +=-，则43f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．14. 已知集合{}22,1,0,1,2,{|ln(34)}A B x y x x =--==--，则A B = ______．15. 求值：31114log 1032631190.027log 2811log 2-⎛⎫+-++= ⎪+⎝⎭______．16. 已知正数x ，y ，z 满足222321x y z ++=，则1zs xyz+=的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{|(3)(2)0}B x x x =--≥.（1）当a =1时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）设a >0，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18. 已知函数()22(11)1xf x x x =-<<-．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 的单调性并证明．19. 已知函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，且()26f =．（1）求()0f ，判断函数()()2g x f x =-奇偶性，并证明你的结论；（2）若对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，且当(]0,4x ∈时，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 取值范围．20. 已知实数a 满足123a ≤，1log 32a ≤．（1）求实数a 的取值范围；（2）若1a >，()()()()ln 1ln 12R aa f x mx x a x m =++---∈，且12f a ⎛⎫=⎪⎝⎭，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．21. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 130km /h v =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1112Q t v ∆=⨯（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 223010v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力的的22222,1t v Q t ⨯∆=+已知该运动员初始体力为010000,Q kJ =不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?22. 已知函数()()9230xx mf x m +=-⋅>．（1）当1m =时，求不等式()27f x ≤的解集；（2）若210x x >>且212x x m =，试比较()1f x 与()2f x 的大小关系；（3）令()()()g x f x f x =+-，若()y g x =在R 上的最小值为11-，求m 的值．福建省厦门双十中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学（时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，则（ ）A. A B =B. A B ⋂=∅C. A BD. B A【答案】D 【解析】【详解】根据集合相等的概念，集合交集运算法则，集合包含关系等知识点直接判断求解.【分析】因为集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，所以A B ≠，{}2,3A B ⋂=， B 是A 的真子集，所以A,B,C 错误，D 正确.故选：D2. 设,,R a b c ∈，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A. 22a b > B.11a b< C. 22a b > D. 22ac bc >【答案】C 【解析】【分析】利用特殊值举反例排除即可得到答案.【详解】对于A ，若0,1a b ==-，则22＜a b ，故A 错误；对于B ，若1,1a b ==-，则11a b＞，故B 错误；对于C ，由于2x y =在R 上单调递增，所以a b >时，22a b >，故C 正确；对于D ，若0c =，则22ac bc =，故D 错误.故选：C3. 已知函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，则a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 1或2D. 0【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数()00f =得到a 值再用定义法验证即可.【详解】因为函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，定义域为(),-∞+∞，所以()()()0210f a a =--=，解得1a =或2a =，当1a =时，()()221f x xx =-，则()()()221f x x x f x -=--≠-，不满足题意；当2a =时，()()221f x x x =+，则()()()221f x x x f x -=-+=-，满足题意.所以a 的值是2.故选：B4. “2log 2x <”是“13x <<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念和对数函数相关概念求解即可.【详解】由22log 2log 4x <=，解得04＜＜x ，由“04＜＜x ”是“13x <<”的必要不充分条件，所以“2log 2x <”是“13x <<”的必要不充分条件.故选：B5. 在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ）的A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数()0ay xx =≥，与()log 0a y x x =>，答案A 没有幂函数图像，答案B.()0ay x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合，答案C ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合，答案D ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是36536511% 1.01+=（）；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是36536511%0.99-=（）.一年后“进步”的是“退步”的3653653651.01 1.0114810.990.99=≈（倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A. 20 B. 21C. 22D. 23【答案】D 【解析】【分析】根据题意可列出方程10000(10.2) 1.2x x ⨯-=，求解即可，【详解】设经过x 天“进步“的值是“退步”的值的10000倍,则10000(10.2) 1.2x x ⨯-=，即1.2(100000.8x=，1.20.8lg10000log 10000231.2lg3lg20.1761lg l 4443g 20.8x ∴====≈≈-,故选：D ．7. 已知130.9a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A. a c b <<B. b c a <<C. b a c <<D. c b a<<【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数的单调性和对数运算法则计算即可.【详解】由题意得，3227311121log 9log 322233c ===⨯=；因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10.90.5111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜＜，由于0.510.73⎛⎫=⎪⎝⎭，所以10.73b ＜＜；因为0.9x y =在R 上单调递减，所以1130.90.90.9a ==.所以c b a <<.故选：D8. 已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()1221211x f x x f x x x ->-，且()32f =，则不等式()1f x x <-的解集为（ ）A. (),2-∞ B. ()0,2 C. ()0,3 D. ()2,3【答案】C 【解析】【分析】将()()1221211x f x x f x x x ->-变为()()2121110f x f x x x ++->，结合构造函数())1(),(0f x xg x x +=>，即可判断()g x 的单调性，由此将不等式()1f x x <-可化为()(3)g x g <，结合函数单调性，即可得答案.【详解】由题意知对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，不妨设12x x <，则210x x ->，由()()1221211x f x x f x x x ->-得()()12212110x f x x f x x x -->-，即()()21122121110f x f x x x x x x x ⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦>-，结合21120,0x x x x ->>得()()2121110f x f x x x ++->，即()()212111f x f x x x ++>，设())1(),(0f x xg x x +=>，则该函数在()0,∞+上单调递增，且()3(3)113f g =+=，则()1f x x <-即()11f x x+<，即()(3)g x g <，故03x <<，即不等式()1f x x <-的解集为()0,3，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的有（ ）A. 命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 的否定是R x ∀∈，2220x x ++>B. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件C. 奇函数()f x 和偶函数()g x 的定义域都是R ，则函数()()()=h x f gx 为偶函数>”是“x y >”的必要条件【答案】BC 【解析】【详解】根据含有一个量词命题的否定可判断A ；判断“0m <”和“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”之间的逻辑关系可判断B ；根据函数奇偶性定义判断C ；判断>”和“x y >”的推出关系可的判断D.【分析】对于A ，命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 的否定是R x ∀∈，2220x x ++≥，A 错误；对于B ，当0m <时，对于220x x m -+=有440m ∆=->，即方程有两个不等实根，设为12,x x ，则120x x m =<，即12,x x 一正一负；当220x x m -+=有一正一负根时，只需满足120x x <，即0m <，即“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，B 正确；对于C ，由题意知()h x 的定义域为R ，由()(),()()f x f x g x g x -=--=可得()()()(())()h x f g x f g x h x -=-==，即函数()()()=h x f g x 为偶函数，C 正确；对于D >0x y >≥，反之，当x y >，比如0x y >>故>”是“x y >”的充分条件，D 错误，故选：BC 10. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的（ ）A. 114ab ≥B. 122a b +≥C. 2≥D. 228a b +≥【答案】AD【解析】【分析】运用基本不等式和特殊值法判断各个选项即可.【详解】对于A 和C ，因为0a >，0b >，所以4a b +=≥2≤，当且仅当2a b ==时等号成立，故04ab ≤＜，则114ab ≥，故A 正确，C 错误；对于B ，代入2a b ==，12131222a b +=+=＜，故B 错误；对于D ，()22282a b a b++≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，故D 正确.故选：AD11. 双曲余弦函数e e ch 2x xx -+=常出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程等，其图象如图．已知函数()2e e 122023x x f x x -+=+，则满足)()2f f a <+的整数a 的取值可以是（ ）A. －1B. 0C. 1D. 2【答案】BCD【解析】【分析】判断函数()2e e 122023x x f x x -+=+的奇偶性以及单调性，则由)()2f f a <+可得||2|a <+，将各选项中的数代入验证，即可得答案.【详解】由题意知()2e e 122023x x f x x -+=+的定义域为R ，()2e e 1()22)0(23x x f x f x x -+-==+-，即()f x 为偶函数，又0x >时，e 1x >，令e ,(1)x t t =>，且e x t =在(0,)+∞上单调递增，函数1y t t=+(1,)+∞上单调递增，故e e 2x xy -+=在(0,)+∞上单调递增，则()2e e 122023x x f x x -+=+在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，故由)()2f f a <+得|||2|a <+，将各选项中的数代入验证，0，1，2适合，在故选：BCD12. 已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，当[]0,2x ∈时，()[](]242,0,142,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x >，()()2f x mf x =-（m 为非零常数）．则下列说法正确的是（ ）A. 当2m =时，()5.52f =B. 当12m =时，()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点C. 若对任意的[)12,0,x x ∈+∞，都有()()124f x f x -≤，则1m ≤D. 当01m <<，n +∈N 时，()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -【答案】BCD【解析】【分析】化简得到()()22f x f x +=，进而求得则()5.54f =，可判定A 错误；当12m =时，作出函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象，结合图象，可判定B 正确；根据题意得出函数()f x 的值域对m 进行分类讨论，可判定C 正确；由()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数可判定D 正确.【详解】当2m =时，函数()()22f x f x =-可转化为()()22f x f x +=，则()()()()()5.5 3.522 3.521.524 1.5414f f f f =+==+==⨯=，所以A 错误；当12m =时，函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象，如图所示，可得函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点，所以B 正确；对于C 中，依题意，max min ()()4f x f x -<，当[]0,2x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2；当1m >时，若[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，若(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2m ；若6(4],x ∈时，函数()f x 的值域为20,2m ⎡⎤⎣⎦， ；随着x 依次取值，值域将变成[0,)+∞，不符合题意，若1m <-时，若[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，若(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]2,0m ；max min ()()224f x f x m -³->，不符合题意，所以C 正确；对于D ，当[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，当(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2m ；当6(4],x ∈时，函数()f x 的值域为20,2m ⎡⎤⎣⎦……，当(24],22x n n ∈--时，函数()f x 的值域为20,2n m-⎡⎤⎣⎦，当(22,2]x n n ∈-时，函数()f x 的值域为10,2n m -⎡⎤⎣⎦当(2,22]x n n ∈+时，函数()f x 的值域为0,2n m ⎡⎤⎣⎦，若01m <<，12222n n m m m -<<<<，由图象可知，()y f x =的图象与直线12n y m -=在区间[]0,2，(2,4]，……，],(2242n n --上均有2个交点，在(22],2n n -上有一个交点，在(2,)n +∞上无交点，所以()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -，所以D 正确.故选：BCD.【点睛】本题解题关键是准确作出函数的图象，数形结合可得判断B ,D ，利用()()22f x f x +=迭代可判断A ，对于C ，分1m >和1m <-两种情况讨论可判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数)311x fx +=-，则43f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】72-## 3.5-【解析】【分析】根据题意，令19x =，准确运算，即可求解.【详解】由函数)311x f x ++=-，令19x =，可得13479()1)13219f f +=+==--.故答案为：72-.14 已知集合{}22,1,0,1,2,{|ln(34)}A B x y x x =--==--，则A B = ______．【答案】{}2-【解析】【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合B ，结合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式234(4)(1)0x x x x --=-+>，解得1x <-或>4x ，即{|1B x x =<-或4}x >，因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}2A B =-I .故答案为：{}2-.15. 求值：31114log 1032631190.027log 2811log 2-⎛⎫+-++= ⎪+⎝⎭______．【答案】8【解析】【分析】根据指对幂运算法则进行计算即可.【详解】由题意得，391log 10log 1029019==，1413181⎛⎫ =⎝=⎪⎭，3130.02710-==，66663311l 1og 2log 2log 2log 1log 2log 63+=+=+=+，所以原式110101833=+-+=.故答案为：816. 已知正数x ，y ，z 满足222321x y z ++=，则1z s xyz+=的最小值为______．【答案】【解析】【分析】先代换1z +，结合基本不等式求解可得答案..【详解】因为222321x y z ++=，所以()()22232111z z x y z +=-=-+；易知1z <，所以221132z zx y +=-+；所以()221321xyz z z x y s xyz ++==-，由()114z z -≤，当且仅当12z =时取等号，可得()22432s y x y x +≥=≥，当且仅当228323x y ==，即x y ==时，取到最小值.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{|(3)(2)0}B x x x =--≥.（1）当a =1时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）设a >0，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|23A B x x =≤< ，{}|13A B x x ⋃=<≤；（2）12a <<.【解析】【分析】(1)化简集合A ，B ，再利用交集、并集的定义直接计算得解.(2)由“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件可得集合B A ，再利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.【小问1详解】当a =1时，{}{}|(1)(30)|13A x x x x x -<=<-=<，{|()()}{|23}320B x x x x x =≤-≤≤=-，所以{}|23A B x x =≤< ，{}|13A B x x ⋃=<≤.【小问2详解】因为a >0，则{}|3A x a x a =<<，由(1)知，{|23}B x x =≤≤，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，于是得B A ，则有233a a <⎧⎨>⎩，解得12a <<，所以实数a 的取值范围是12a <<.18. 已知函数()22(11)1x f x x x =-<<-．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 的单调性并证明．【答案】（1）()f x 是奇函数，理由见解析（2）()f x 在(1,1)-上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；（2）根据函数单调性定义进行证明.【小问1详解】()f x 是奇函数，理由如下：函数()22(11)1x f x x x =-<<-，则定义域关于原点对称，因为()()221x f x f x x --==--，所以()f x 是奇函数；【小问2详解】任取1211x x -<<<，则22121211221222221212222222()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=---- 1221211221222212122()2()2(1)()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+-+-==----，因为1211x x -<<<，所以2212211210,0,10,10x x x x x x +>->-<-<，所以12())0(f x f x ->，所以()f x 在(1,1)-上单调递减.19. 已知函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，且()26f =．（1）求()0f ，判断函数()()2g x f x =-的奇偶性，并证明你的结论；（2）若对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，且当(]0,4x ∈时，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()02f =，函数()()2g x f x =-是奇函数，证明见解析（2）(],0-∞【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求得()02f =，利用奇函数定义和已知条件即可证明函数()()2g x f x =-奇偶性；（2）根据条件得到函数()f x 单调性，再结合题中条件将原不等式化简，将恒成立问题转化为最值问题进而求解.【小问1详解】因为函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，所以令0y =，得到()()()20f x f x f =+-，所以()02f =；函数()()2g x f x =-定义域为(),-∞+∞，因为()()()()()()()422020g x g x f x f x f x f x f +-=+--=+---=-=⎡⎤⎣⎦，所以函数()()2g x f x =-奇函数【小问2详解】因为对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，所以函数()f x 在(),-∞+∞单调递增，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，即()126f x f m x ⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭，即()()122f x f m f x ⎛⎫+--≥⎪⎝⎭，即()12f x m f x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，所以12x m x +-≥，所以12m x x≤+-对(]0,4x ∈恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，所以min12220m x x ⎛⎫≤+-=-= ⎪⎝⎭，即实数m 的取值范围为(],0-∞20. 已知实数a 满足123a ≤，1log 32a ≤．（1）求实数a 的取值范围；（2）若1a >，()()()()ln 1ln 12R a a f x mx x a x m =++---∈，且12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）(0,1){9} 是（2）-13【解析】【分析】（1）根据指数幂的含义以及对数函数的单调性分别求得a 的取值范围，综合可得答案；（2）由题意确定a 的值，化简()f x ，由12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得919()9ln 322m =+-，再由911(9ln 222f m ⎛⎫-=-- -⎪⎝⎭，两式相加即可求得答案.【小问1详解】由123a ≤可得09a ≤≤，当01a <<时，由1log 32a ≤得12log 3log a a a ≤，则123,09a a ≤∴<≤，故01a <<；当1a >时，由1log 32a ≤得12log 3log a a a ≤，则123,9a a ≥∴≥，故9a ≥；综合可得实数a 的取值范围(0,1){9} ；【小问2详解】由题意知1a >，则9a =，则()()()99ln 19ln 12f x mx x x =++---，需满足11x -<<，则()919ln 21x f x mx x+=+--，故由12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭得919(9ln 322m =+-，则9119ln 3222f m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1194,1322f f ⎛⎫⎛⎫-+=-∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.21. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 130km /h v =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1112Q t v ∆=⨯（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 223010v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力22222,1t v Q t ⨯∆=+已知该运动员初始体力为010000,Q kJ =不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?【答案】（1）()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩（2）2t =时有最小值，最小值为5200kJ .【解析】【分析】（1）先写出速度v 关于时间t 的函数，进而求出剩余体力Q 关于时间t 的函数；（2）分01t <≤和14t <≤两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度v 关于时间t 的函数()()30,0130101,14t v t t t <≤⎧=⎨--<≤⎩，代入1ΔQ 与2ΔQ 公式可得()()()1000060230,016012301016400,1411t t Q t t t t t -⋅⋅⨯<≤⎧⎪=⎡⎤-⋅--⎨⎣⎦-<≤⎪-+⎩解得()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩；【小问2详解】①稳定阶段中()Q t 单调递减，此过程中()Q t 最小值()()min 16400kJ Q t Q ==；②疲劳阶段()48004001200(14)Q t t t t =++<≤，则有()480040012004005200kJ Q t t t =++≥+=，当且仅当48001200t t=，即2t =时，“=”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ ，由于52006400<，因此，在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ .22. 已知函数()()9230x x m f x m +=-⋅>．（1）当1m =时，求不等式()27f x ≤的解集；（2）若210x x >>且212x x m =，试比较()1f x 与()2f x 的大小关系；（3）令()()()g x f x f x =+-，若()y g x =在R 上的最小值为11-，求m 的值．【答案】（1）(,2]-∞；（2）()()12f x f x <；（3）1.【解析】【分析】（1）把1m =代入，结合一元二次不等式及指数函数单调性求解不等式即得.（2）利用差值比较法，结合基本不等式判断出两者的大小关系.（3）利用换元法化简()g x 的解析式，对3m 进行分类讨论，结合二次函数的性质求得m 的值.【小问1详解】当1m =时，函数123()92)633(x x x x f x +=-⋅-=⋅，不等式()27f x ≤化为2(3)63270x x -⋅-≤，即(33)(39)0x x +-≤，解得39x ≤，则2x ≤，所以不等式()27f x ≤的解集为(,2]-∞.【小问2详解】依题意，()()112212923923x x m x x mf x f x ++-⋅⋅-=-+()()()12121233332333x x x x x x m =+--⋅-()()1212333323x x x x m =-+-⋅，由210x x >>，得12330x x -<，又212x x m =，则123323x x m +>=>==⋅，因此()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <.【小问3详解】令3x t =，0t >，则()()221323,9232mm x m x f x t t f x t t--=-⋅⋅-=-⋅=-⋅，于是()()()g x f x f x =+-2213232mmt t t t =-⋅⋅+-⋅2211()23(m t t t t =+-⋅⋅+211()23()2m t t t t =+-⋅⋅+-221(3)23m m t t=+---，而12t t+≥=，当且仅当1t t =，即1t =，0x =时取等号，当32m ≤，即3log 2m ≤时，则当12t t +=时，()y g x =取得最小值313443211,log 4m m -⋅-=-=，矛盾；当32m >，即3log 2m >时，则当13m t t+=时，()y g x =取得最小值22311m --=-，解得1m =，则1m =，所以m 的值是1.【点睛】思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可.。
河南省南阳市六校2023-2024学年高一上学期期中考试 数学含解析
2023—2024学年（上）南阳六校高一年级期中考试数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}33,2A x x B x x =-<<=<-，则()A B =R ð（）A ．(]2,3-B ．[]2,3-C ．[)2,3-D ．()2,3-2．已知,a b ∈R ，则下列选项中，使0a b +<成立的一个充分不必要条件是（）A ．0a >且0b >B ．0a <且0b <C ．0a >且0b <D ．0a <且0b >3．若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),1-∞-，则关于x 的不等式20ax bx +>的解集为（）A ．()(),01,-∞+∞ B ．()(),10,-∞-+∞ C ．()1,0-D ．()0,14．已知幂函数()()21af x a a x =--在区间()0,+∞上单调递增，则函数()()11x ag x bb +=->的图象过定点（）A ．()2,0-B ．()0,2-C ．()2,0D ．()0,25．已知函数()f x 的定义域为(]0,4，则函数()()21xf g x x =-的定义域为（）A ．()(]0,11,2B ．(]1,16C ．()(],11,2-∞ D ．()(]0,11,166．设1231log 9,,23a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A ．c a b<<B ．a c b<<C ．b c a <<D ．c b a<<7．已知函数()2f x x x x =-+，则（）A ．()f x 是偶函数，且在区间(),1-∞-和()1,+∞上单调递减B ．()f x 是偶函数，且在区间()(),11,-∞-+∞ 上单调递减C ．()f x 是奇函数，且在区间()(),11,-∞-+∞ 上单调递减D ．()f x 是奇函数，且在区间(),1-∞-和()1,+∞上单调递减8．已知函数()12131xf x x+=-+，则使得()()21f x f x <+成立的x 的取值范围是（）A ．11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,1,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭ D ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知0a b <<，则（）A ．22a b>B ．2ab b>C ．11a b<D ．11a b a>+10．下列各组中两个函数是同一函数的是（）A ．()f x =()2g x =B ．()f x x =和()g x =C ．()3112x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭和()3112t g t +⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()211x f x x -=+和()1g x x =-11．若函数2xy =的图象上存在不同的两点,A B 到直线l 的距离均为1，则l 的解析式可以是（）A ．2x =-B ．1y =C ．1y =-D ．y x=12．已知236ab==，则（）A ．ab a b=+B ．4a b +>C ．48a b<D ．22log log 2a b +>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合(){}(){}22,,,,25A x y x y B x y xy =∈=+=N ，则A B 中元素的个数为______．14．已知函数()3212x f x x =-+在区间[]2023,2023-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=______．15．若函数()11ax f x x -=-在区间()1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．16．已知函数()2,0,2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩则满足()()11f x f x +->的x 的取值范围是______．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）计算：（Ⅰ）20.5310910310.0122162716π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）()223343log 48log 18log 2log 3log 16⨯+-+⨯．18．（12分）已知集合{}{}222760,210,0A x x x B x x x m m =-+≤≤=-+->．（Ⅰ）若1m =，求A B ；（Ⅱ）若x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，求m 的取值范围．19．（12分）已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象经过点()4,4．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）比较()2f -与()()22f m m m -∈R 的大小；（Ⅲ）求函数()()133x g x a x -=-≤≤的值域．20．（12分）（Ⅰ）若关于x 的不等式260mx mx m ++-<的解集非空，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若[]2,1x ∀∈-，不等式22mx mx m -<-+恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资200万元，每个城市都至少要投资70万元，由前期市场调研可知：在甲城市的收益P （单位：万元）与投入a （单位：万元）满足8P =-，在乙城市的收益Q （单位：万元）与投入a （单位：万元）满足134Q a =+．（Ⅰ）当在甲城市投资125万元时，求该公司的总收益；（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？22．（12分）已知定义域为R 的函数()133x x nf x m++=+是奇函数．（Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）判断()f x 的单调性并用定义证明；（Ⅲ）若当1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2210f kxf x +->恒成立，求实数k 的取值范围．2023-2024学年（上）南阳六校高一年级期中考试数学・答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案C 命题意图本题考查集合的表示与运算．解析由题意可得{}2B x x =≥-R ð，所以(){}23A B x x =-≤<R ð．2．答案B 命题意图本题考查充分条件与必要条件的应用．解析选项A ，C ，D 都既不是充分条件也不是必要条件，对于B ，由0a <且0b <可得0a b +<，反过来推不出，所以B 符合条件．3．答案D 命题意图本题考查不等式的解法．解析由于关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),1-∞-，所以0,0,a ab <⎧⎨--=⎩则有b a =-且0a <，则20ax bx +>等价于0b x x a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得01x <<，即不等式20ax bx +>的解集为()0,1．4．答案A 命题意图本题考查幂函数和指数函数的性质．解析因为()()21a f x a a x =--是幂函数，所以211a a --=，解得2a =或1a =-．当2a =时，()2f x x=在()0,+∞上单调递增，当1a =-时，()1f x x=在()0,+∞上单调递减，故2a =．此时()21x g x b +=-，当2x =-时，()20g -=，即()g x 的图保过定点()2,0-．5．答案C 命题意图本题考查函数的定义域．解析要使函数()g x 有意义，则024,10,x x ⎧<≤⎨-≠⎩故1x <或12x <≤，所以()g x 的定义域为()(],11,2-∞ ．6．答案A 命题意图本题考查指数和对数的运算．解析因为1233123,2,log 92log 3232b c a -⎛⎫==>===== ⎪⎝⎭，所以c a b <<．7．答案D 命题意图本题考查函数的奇偶性和单调性．解析由题意得()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩画出函数()f x 的大致图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，单调递减区间是()(),1,1,-∞-+∞．8．答案C 命题意图本题考查偶函数的性质和不等式的解法．解析易知函数()f x 的定义域为R ，且()f x 为偶函数．当0x ≥时，()12131xf x x+=-+，易知此时()f x 单调递增，所以()()()()2121f x f x fx f x <+⇒<+，所以21x x <+，解得1x <-或13x >-．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．答案ABD 命题意图本题考查不等式的性质．解析由0a b <<，得a b >，则22a b >，A 成立；由a b <两边同时乘以b ，不等号反向，得2ab b >，B 成立；由a b <两边同时除以ab ，得11b a<，C 不成立；由0a b <<可得0a b a +<<，同除以()a b a +，可得11a b a>+，D 成立．10．答案BC 命题意图本题考查函数的概念．解析A ，D 中函数的定义域不同．11．答案AD 命题意图本题考查函数的图象与性质．解析分别作出相应的图象，如图：对于A ，容易看出2xy =的图象上存在两点13,8⎛⎫- ⎪⎝⎭与11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线2x =-的距离均为1，故A 正确；对于B ，2xy =的图象在直线1y =上方的部分仅存在一点()1,2到直线1y =的距离为1，在直线1y =下方的部分满足01y <<，到直线1y =的距离均小于1，故不存在符合条件的两点，故B 错误；对于C ，因为20xy =>，故其图象上所有点到直线1y =-的距离均大于1，故C 错误；对于D ，利用几何知识可以算得点()0,1到直线y x =的距离为212<，由指数函数的图象可知，在点()0,1的两边各存在一点到直线y x =的距离为1，故D 正确．12．答案ABD 命题意图本题考查指数的运算性质．解析对于A ，因为236ab==，所以()()26,36baabba ==，所以26,36ab b ab a ==，所以2366ab ab b a⋅=⋅，所以66aba b +=，所以ab a b =+，故A 正确；对于B ，因为2ab a b ab =+≥，又a b ≠，所以2ab ab >4ab >，所以4a b ab +=>，故B 正确；对于C ，因为23ab=，所以2242398aab b b ===>，故C 错误；对于D ，设()222log log log a b ab t +==，则24ab '=>，所以2t >，故D 正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案4命题意图本题考查集合的概念和运算．解析因为2222250534=+=+，所以满足2225x y +=的自然数对有()()()()0,5,5,0,3,4,4,3，即A B中的元素有4个．14．答案2-命题意图本题考查奇函数的概念．解析设函数()322x g x x =+，则()g x 的最大值为1M +，最小值为1m +，容易判断()g x 是奇函数，所以()()110M m +++=，所以2M m +=-．15．答案()1,+∞命题意图本题考查函数的单调性．解析函数()1111ax a f x a x x --==+--，由()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减，得10a ->，解得1a >．16．答案()1,-+∞命题意图本题考查分段函数和不等式的解法．解析由题意知，当1x >时，1221xx -+>恒成立；当01x <≤时，2121x x +-+>恒成立；当0x ≤时，由2121x x ++-+>，解得1x >-，所以10x -<≤．综上，x 的取值范围是()1,-+∞．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查指数和对数的运算性质．解析（Ⅰ）原式12232516432160.012716-⎛⎫⎛⎫=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭593100241616=++-+100=．（Ⅱ）原式()2232234318log 22log log 3log 42⎡⎤=⨯++⨯⎢⎥⎣⎦()82343log 2log 9log 32log 4=++⨯82212=++=．18．命题意图本题考查集合的运算、充分条件与必要条件的判断．解析由2760x x -+≤得16x ≤≤，故{}16A x x =≤≤，由22210x x m -+-=得121,1x m x m =-=+，因为0m >，故{}11m x m x B -≤≤+=．（Ⅰ）若1m =，则{}02B x x =≤≤，所以{}12A B x x =≤≤ ．（Ⅱ）若x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，则A B Ü，则有11,16,m m -≤⎧⎨+≥⎩解得5m ≥，此时满足A B Ü，所以m 的取值范围是[)5,+∞．19．命题意图本题考查指数函数的性质，函数与不等式的综合．解析（Ⅰ）因为()xf x a =的图象经过点()4,4，所以44a =，又0a >且1a ≠，所以a =1>，所以()xf x =在R 上单调递增．又因为()2222(1)10m m m ---=-+>，所以222m m ->-，所以()()222f f m m -<-．（Ⅲ）当33x -≤≤时，014x ≤-≤，所以1042)x -≤≤，即114x -≤≤，所以()g x 的值域为[]1,4．20．命题意图本题考查一元二次不等式与二次函数．解析（Ⅰ）当0m =时，显然60-<，满足题意；若0m <，显然满足题意；若0m >，则需()2Δ460m m m =-->，解得08m <<．综上，实数m 的取值范围是(),8-∞．（Ⅱ）由题可知，当[]2,1x ∈-时，()2120m x x -+-<恒成立．因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()2120m x x -+-<等价于221m x x <-+．因为222211324y x x x ==-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭在区间[]2,1-上的最小值为27，所以只需27m <即可，所以实数m 的取值范围是2,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．21．命题意图本题考查函数模型的应用和二次函数的性质．解析（Ⅰ）当在甲城市投资125万元时，在乙城市投资75万元，所以总收益为1875363.754-+⨯+=（万元）．（Ⅱ）设在甲城市投资x 万元，则在乙城市投资()200x -万元，总收益为()()11820034544f x x x =-+-+=-+，依题意得70,20070,x x ≥⎧⎨-≥⎩解得70130x ≤≤．故()()145701304f x x x =-++≤≤．令t =，则t ∈，所以2145,4y t t =-++∈，因为该二次函数的图象开口向下，且对称轴t =，所以当t =，即80x =时，y 取得最大值65，所以当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大，且最大总收益为65万元．22．命题意图本题考查函数的综合问题．解析（Ⅰ）因为()f x 在定义域R 上是奇函数，所以()00f =，所以1n =-．又由()()11f f -=-，可得3m =，经检验知，当3,1m n ==-时，原函数是奇函数．（Ⅱ）由（I ）知()()131121,333331x x x f x f x +-==-⋅++在R 上是增函数．证明：任取12,x x ∈R ，设12x x <，则()()2112211211212113331333133131x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅--⋅=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()211223333131x x x x ⎡⎤-⎢⎥=++⎢⎥⎣⎦，因为12x x <，所以21330x x ->，又()()1231310x x++>，所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以函数()f x 在R 上是增函数．（Ⅲ）因为()f x 是奇函数，所以不等式()()2210f kx f x +->等价于()()()22112f kx f x f x >--=-，因为()f x 在R 上是增函数，所以212kx x >-，即对任意1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有212xk x ->成立．设()2212112x g x x x x -⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭，令11,,32t t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则有()212,,32g t t t t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，所以()max max ()()33g x g t g ===，。
2023-2024学年成都七中高一数学上学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年成都七中高一数学上学期期中考试卷（试卷满分150分．考试用时120分钟）2023.11一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}Z 03A x x =∈<<的一个子集是（）A ．{}0,1B ．{}02x x <<C ．{}03x x <<D ．∅2．若()(){}230A x x x =+-<，{}2B x x =>，则A B = （）A ．{}23x x <<B ．{}2x x >-C ．{}23x x -<<D ．∅3．一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为21305h t t =-．该函数定义域为（）A ．()0,∞+B ．(]0,845C ．[]0,26D ．[]0,8454．函数()221f x x =-（[]2,6x ∈）的最大值为（）A ．2B ．23C ．25D ．2355．幂函数()y f x =的图象过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则此函数的解析式为（）A ．()12f x x-=（0x >）B ．()18f x x =C ．()72f x x =-D ．()2132f x x =6．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()()2f x x x =+，则函数()f x 的单调递增区间是（）A ．(),1-∞和()1,-+∞B ．(),-∞+∞C ．(),1-∞-和()1,+∞D ．()1,-+∞7．已知函数()2328f x kx kx =++，对一切实数x ，函数()f x 的值恒为正，则实数k 的取值范围是（）A ．()0,3B ．(]0,3C ．[]0,3D ．[)0,38．实数a ，b 满足3ab a b =++，则以下结论错误的是（）A ．a b +取值范围是][(),26,∞∞--⋃+B ．ab 取值范围是][(),19,-∞+∞C ．2+a b 取值范围是[(),32342,-∞-++∞D ．()1a b-取值范围是R二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．以下运算结果等于2的是（）A ()2π4-B ．202320232C ．332--D ()22-10．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列四个命题中为假命题的是（）A ．若a b >，0c ≠，则ac bc>B ．若22ac bc >，则a b>C ．若0a b <<，则22a ab b >>D ．若0a b >>，cd >，则ac bd>11．设集合()(){}20,R A x x x a a =-+=∈，6N 21B x x ⎧⎫=∈≥⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋃的元素个数可以是（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个12．若(){}2max 23,32g x x x =--，(){}2max 23,32h x x x =+-，()()(){}min ,f x g x h x =，其中{}max ,,x y z 表示x ，y ，z 中的最大者，{}min ,,x y z 表示x ，y ，z 中的最小者，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 为偶函数B ．当[]1,3x ∈时，有()f x x≤C ．不等式()1f f x ⎡⎤≤⎣⎦的解集为221,,122⎡⎡⎤--⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦ D ．当[][]3,22,3x ∈--⋃时，有()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．已知函数()3,14,1x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()2f a =，则=a .14．若0ab >，则42b a b a b -+的最小值为．15．若3x a +<成立的一个充分不必要条件是23x <<，则实数a 的取值范围为.16．若函数()y f x =在区间[],a b 上同时满足：①()f x 在区间[],a b 上是单调函数，②当[],x a b ∈时，函数()f x 的值域为[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间，若函数()212f x x x m =-+存在“保值”区间，则实数m 的取值范围.四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合{}7A x a x =≤<（a ∈R ），{}210B x x =<<．(1)若3a =，求A B ⋃和()B A ⋂R ð；(2)若A B ⊆，求a 的取值范围．18．已知函数()3f x x x =-+（0x >）.(1)解不等式()2f x <；(2)判断函数在()0,∞+上的单调性，并用定义法证明.19．在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产x 台（1x ≥，*N x ∈）这种设备的收入函数为()221640R x x x =++（单位千万元），其成本函数为()4010C x x x =+（单位千万元）.（以下问题请注意定义域）(1)求收入函数()R x 的最小值；(2)求成本函数()C x 的边际函数()MC x 的最大值；(3)求生产x 台光刻机的这种设备的的利润()z x 的最小值.20．已知函数()21ax f x x bx =++为定义在R 上的奇函数，且()112f =．(1)求()f x 的解析式；(2)设()()g x f x =，（ⅰ）画出函数()g x 的大致图像，并求当()25g x =时x 的值；（ⅱ）若()()12g m g +<-，求m 的取值范围．21．已知函数()231f x x =-+．(1)求证：()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭；(2)若函数()y h x =，满足()()22h a x h x b-+=，则函数()h x 的图象关于点(),M a b 对称．设函数()()31g x f x x =+-，（ⅰ）求()g x 图象的对称中心(),a b ；（ⅱ）求1234045S 2023202320232023g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．22．已知幂函数()()22233mf x m m x -=-+⋅在R 上单调递增.(1)求()f x 的函数解析式；(2)设()()()()231g x kf x k f x =+-+，若()g x 的零点至少有一个在原点右侧，求实数k 的取值范围；(3)若()()213h x f x =-，()()213h x h x =-，()()323h x h x =-，若()()31h x h x =，求满足条件的x 的取值范围.1．D【分析】先化简集合A ，结合选项可得答案.【详解】因为{}{}Z 031,2A x x =∈<<=，所以A 的子集有∅，{}{}{}1,2,1,2；故选：D.2．A【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合A ，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为()(){}{}23023A x x x x x =+-<=-<<，又{}2B x x =>，所以A B ={}23x x <<.故选：A 3．C【分析】根据实际意义分析即可.【详解】由题意可知，炮弹发射后共飞行了26s ，所以026t ≤≤，即函数21305h t t =-的定义域为[]0,26.故选：C 4．B【分析】根据函数的单调性求解函数的最值即可.【详解】因为函数21y x =-在[]2,6上单调递增，所以根据单调性的性质知：函数()221f x x =-在[]2,6上单调递减，所以当2x =时，函数()221f x x =-取到最大值为()2222213f ==-.故答案为：B 5．A【分析】设出幂函数解析式，将点的坐标代入即可求解.【详解】设幂函数()af x x =，将点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入a y x =得142a =，所以12a =-.所以幂函数的解析式为()12f x x-=，要使函数()12f x x-=有意义，则0x >，故函数的解析式为()12f x x-=（0x >）.故选：A.6．B【分析】根据函数解析式判断出()f x 在[)0.+∞上单调递增，且()00f =，再由函数奇偶性即可判断函数在定义域R 内的单调性.【详解】因为0x ≥时，()()()2211f x x x x =+=+-，所以()f x 在[)0.+∞上单调递增，且()00f =，又函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，所以数()f x 在(),-∞+∞上都是单调递增.故选：B 7．D【详解】由题意可得对任意的x ∈R ，23208kx kx ++>恒成立，当0k =时，308>恒成立，符合题意；当0k ≠时，则有2Δ30k k k >⎧⎨=-<⎩，解得03k <<,综上可得，实数k 的取值范围是0k ≤<3.故选：D【分析】由题意可得对任意的x ∈R ，23208kx kx ++>恒成立，当0k =时显然成立，当0k ≠时，则根据二次函数的图象与性质，列不等式求解即可.8．D【分析】利用条件得出411b a =+-，结合选项逐个求解可得答案.【详解】由()()114a b --=，得411b a =+-（1a ≠），对于A ，()4411211a b a a a a +=++=-++--，当10a ->时，()41224261a a -++≥=-，当且仅当3a =时取到等号；当10a -<时，由4141a a -+≥-得()4124221a a -++≤-+=--，当且仅当1a =-时取到等号；所以a b +取值范围是][(),26,∞∞--⋃+，A 正确．对于B ，3ab a b =++，由A 可得ab 取值范围是][(),19,-∞+∞ ，B 正确．对于C ，()88221311a b a a a a +=++=-++--，当10a ->时，()8132834231a a -++≥=-，当且仅当122a =+当10a -<时，由81421a a -+≥-得()8134231a a -++≤--，当且仅当122a =-时取到等号；C 正确．对于D ，()11434a b a a -=-+=+≠，从而D 错误．故选：D 9．BCD【分析】根据根式运算化简各项即可.【详解】对于A ()2π4π44π-=-=-，不合题意；对于B ，2023202322=，符合题意；对于C ，()33222-=--=，符合题意；对于D ()2222-=-=，符合题意.故选：BCD 10．AD【分析】利用特殊值判断A 、D ，根据不等式的性质判断B 、C.【详解】对于A ，当1c =-时，满足条件a b >，0c ≠，但是ac bc <，所以A 为假命题；对于B ，因为22ac bc >，所以0c ≠，所以20c >，所以a b >成立，所以B 为真命题；对于C ，因为0a b <<，所以2a ab >且2ab b >，所以22a ab b >>，所以C 为真命题；对于D ，当2a =，1b =，1c =-，2d =-时，满足条件0a b >>，c d >，但是ac bd =，所以D 为假命题．故选：AD ．11．AB【分析】先化简两个集合，再求A B ⋃.【详解】{}6N 22,3,41B x x ⎧⎫=∈≥=⎨⎬-⎩⎭；当2a =-时，{}2A =，所以{}2,3,4A B = ，此时A B ⋃的元素个数是3；当2a ≠-时，{}2,A a =-，所以{},2,3,4A B a =- ，此时A B ⋃的元素个数是4；故选：AB12．ABD【分析】根据图象判断函数奇偶性判断A ，根据不等式变形判断B ，根据复合不等式的解法求解判断C ，根据复合函数不等式及B 选项判断D.【详解】若22332x x -=-，解得0x =或1x =，结合二次函数和一次函数知()223,0132,01x x x g x x x ⎧-=⎨-≤≤⎩或，若22332x x +=-，解得0x =或=1x -，结合二次函数和一次函数知()223,1032,10x x x h x x x ⎧+-=⎨--≤≤⎩或，所以()()(){}min ,f x g x h x =223,132,1123,1x x x x x x ⎧+<-⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，画出()f x的图象，如图：结合图象及()()f x f x -=知()f x 为偶函数，故选项A 正确；当[]1,3x ∈时，2430x x -+≤，即231290x x -+≤，所以224129x x x -+≤，所以23x x-<，所以()f x x≤成立，故选项B 正确；对于C ，令()f x t=，则()1f t ≤，当1t <-时，231t +≤，解得21t -≤<-，当11t -≤≤时，2321t -≤，解得1t ≤-或1t ≥，又11t -≤≤，所以1t =±，当1t >时，231t -≤，解得12t <≤，综上12t ≤≤，故()12f x ≤≤，当1x <-时，1232x ≤+≤，解得 2.52x -≤≤-，当11x -≤≤时，21322x ≤-≤，解得212x ≤≤或212t -≤≤-，当1x >时，1232x ≤-≤，解得2 2.5x ≤≤，综上，不等式()1f f x ⎡⎤≤⎣⎦的解集为[][]221,,12,2.5 2.5,222x ⎡⎤⎡⎤∈---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，错误；对于D ，当[]2,3x ∈，令()[]231,3m f x x ==-∈，结合偶函数的性质，当[][]3,22,3x ∈--⋃时，()[]1,3m f x =∈，则()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦等价于()0f m m -≤，结合选项B ，当[][]3,22,3x ∈--⋃时，有()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦成立，正确.故答案：ABD【点睛】关键点点睛：对于复合函数不等式，换元法，先解内层不等式，再解外层不等式，注意前提条件对解的影响.13．1-或2【分析】根据给定分段函数，分类代入求解即可.【详解】当1a ≤时，()32f a a =+=，解得1a =-，当1a >时，()42f a a ==，解得2a =，综上，=a 1-或2.故答案为：1-或2.14．2【分析】利用基本不等式即可得解.【详解】因为0ab >，所以42442222b a b b a b aa b a b a b -+=+-≥⋅-=，当且仅当4b aa b =，即2a b =时，等号成立，所以42b a b a b -+的最小值为2.故答案为：2.15．50a -≤≤【分析】先利用绝对值的几何意义化简不等式，再根据充分不必要条件列不等式求解即可.【详解】3x a +<等价于33a x a --<<-，因为3x a +<成立的一个充分不必要条件是23x <<，所以3233a a --≤⎧⎨-≥⎩，解得50a -≤≤，所以实数a 的取值范围为50a -≤≤.故答案为：50a -≤≤16．59117,,16161616⎡⎫⎡⎫--⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ 【分析】由二次函数的性质可得函数()212f x x x m =-+单调区间，分类讨论结合二次函数根的分布分别求解，最后再求并集即得答案.【详解】函数()212f x x x m =-+在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，若[]1,,4a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，则14b a >≥，由()f a a =，()f b b =，可知()f x x =在1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有两个不等根.设()()232g x f x x x x m =-=-+，所以9Δ404314411304168m g m ⎧=->⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎛⎫=-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则916516m m ⎧<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，∴591616m ≤<.若[]1,,4a b ⎛⎤⊆-∞ ⎥⎝⎦，则14a b <≤，由()212f a a a m b =-+=，()212f b b b m a=-+=，两式相减可得221122a b a b b a --+=-，知12a b ++=，从而21122a a m a -+=--，即21122a a m +++=，同理可得211022b b m +++=，设()21122h x x x m =+++，所以7Δ40411441111041682m h m ⎧=-->⎪⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫=+++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则7161116m m ⎧<-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，所以1171616m -≤<-.综上，m 范围是59117,,16161616⎡⎫⎡⎫--⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ .故答案为：59117,16161616⎡⎫⎡⎫--⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ 【点睛】方法点睛：对于一元二次函数零点分布（一元二次方程根的分布）求解参数问题，往往要分析下面几个因素：1、二次项系数符号；2、判别式；3、对称轴的位置；4、区间端点值的符号，结合图象列不等式求解即可.17．(1)()2,10A B = ，()()[)2,37,10B A ⋂=⋃R ð(2)()2,+∞．【分析】（1）根据集合的交并补定义直接运算即可；（2）分A =∅和A ≠∅两种情况，根据包含关系讨论即可.【详解】（1）若3a =，则[)3,7A =，又()2,10B =，则()2,10A B = ，因为()[),37,A ∞∞=-⋃+R ð，所以()()[)2,37,10B A ⋂=⋃R ð．（2）（ⅰ）当7a ≥，此时A =∅，满足A B ⊆；（ⅱ）当7a <时，A ≠∅，因为A B ⊆，所以2a >，故27a <<，综上，2a >．∴a 的取值范围是()2,+∞．18．(1)()1,+∞(2)()f x 在()0,∞+上单调递减，证明见解析【分析】（1）把分式不等式转化为一元二次不等式求解即可；（2）先判断函数的单调性，再利用单调性的定义证明即可.【详解】（1）因为()3f x x x =-+（0x >），由()2f x <，可得2230x x x --+<.又0x >，不等式转化为()()013x x -+>，且0x >，解得1x >.所以原不等式的解集为()1,+∞.（2）()y f x =在()0,∞+上单调递减.证明：设2x ∀，()10,x ∞∈+，且12x x <.则()()()21121221123331f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭，由210x x >>，可知120x x -<，且12310x x +>，所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <.所以()f x 在()0,∞+上单调递减.19．(1)48千万元(2)()max 869MC x =(3)()min 7z x =（千万元）【分析】（1）利用基本不等式求解函数最小值即可.（2）求出边际函数()MC x 的解析式，然后利用函数的单调性求解最值.（3）求出利润函数()z x 的解析式，根据二次函数的性质求解最值.【详解】（1）∵()221640R x x x =++，110x ≤≤，*N x ∈.∴()221624048R x x x ≥⋅=，当且仅当2216x x =，即2x =时等号成立.∴当2x =时，()min 48R x =（千万元）.（2）()()()1MC x C x C x =+-，19x ≤≤，*N x ∈.∴()()()404040101101011MC x x x x x x x =++--=-++，19x ≤≤，*N x ∈.由函数单调性可知：()MC x 在19x ≤≤，*N x ∈单调递增，∴当9x =时，()max 4086101099MC x =-=⨯.（3）()()()22216404440101032z x R x C x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=++-+=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()2457z x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，19x ≤≤，*N x ∈.当45x x +=时，即2540x x --=，解得4x =或1x =，∴当4x =或1x =时，()min 7z x =（千万元）.20．(1)()21xf x x =+(2)（ⅰ）作图见解析，12x =-，212x =-，312x =，42x =；（ⅱ）311322m m m m ⎧⎫><--<<-⎨⎬⎩⎭或或【分析】（1）根据题意，由函数的奇偶性，代入计算，即可得到结果；（2）（ⅰ）由函数()g x 为偶函数，画出图像即可；（ⅱ）根据题意，由函数的奇偶性化简，即可求解不等式.【详解】（1）∵()()f x f x -=-，可知22x bx c x c bx -+=++．∴20bx =，解得0b =．∵()112f =，则122a =，∴1a =，∴()21x f x x =+．（2）由()()g x g x -=可知()g x 为偶函数，∴()22,0,1,0.1x x x g x x x x ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪+⎩，利用描点法可得图像，由()25g x =，解得12x =-，212x =-，312x =，42x =．（ⅱ）由已知可得()()12g m g +<，∴12m +>，或112m +<，∴12m +>，或12m +<-，或11122m -<+<．解得1m >，或3m <-，或3122m -<<-．∴m 的取值范围是311322m m m m ⎧⎫><--<<-⎨⎬⎩⎭或或．21．(1)证明见解析；(2)（ⅰ）()1,2-；（ⅱ）8090-.【分析】（1）作差，然后配方即可证明；（2）（ⅰ）根据()()22g a x g x b -+=，由等式两边多项式相应系数相等可得；（ⅱ）根据对称性，倒序相加即可求解.【详解】（1）∵()231f x x =-+，∴()()()()2122212211213131312222f x f x x x x x f x x +++⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-+--++-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭()22222211221213333330442224x x x x x x x x =---++=-≥，∴()()121222f x f xx x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭．（2）（ⅰ）∵()()33213g x f x x x x =+-=-，设()g x 的对称中心为(),a b ，则()()22g a x g x b -+=，即()()323223232a x a x x x b ---+-=．整理得()()22326612128122a x a a x a a b -+-+-=，∴232660121208122a a a a a b -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩解得1,2.a b =⎧⎨=-⎩．∴()g x 图象的对称中心为()1,2-，（ⅱ）由（ⅰ）得()()24g x g x -+=-，∵12340452023202320232023S g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又有40454044404312023202320232023S g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加得244045S =-⨯，∴8090S =-．22．(1)()f x x =(2)(],1-∞(3)6,6⎡⎣【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性即可求解解析式；（2）由（1）得()()231g x kx k x =+-+，分类讨论研究函数的零点即可求解；（3）由题意223333x x -=---，令23x t -=，分类讨论去掉绝对值即可求解.【详解】（1）由()2331m m -+=，解得2m =或1m =，当2m =时，()2f x x -=不合题意；当1m =时，()f x x =满足条件，所以()f x x =.（2）设()()231g x kx k x =+-+，（ⅰ）若0k =，则13x =满足条件；（ⅱ）若0k <，由()010g =>，易知满足条件；．（ⅲ）若0k >，由()010g =>，可知两根同号，则2Δ1090302k k k k ⎧=-+≥⎪⎨-->⎪⎩，解得1903k k k ≤≥⎧⎨<<⎩或，∴01k <≤，综上，1k ≤.所以k 的取值范围是(],1-∞.（3）()213h x x =-，()2233h x x =--，()23333h x x =---，由()()31h x h x =得223333x x -=---，令23x t -=，3t ≥-，则33t t =--.（ⅰ）若6t ≥，则6t t =-，此时无解；（ⅱ）若36t ≤<，则6t t =-，从而6t t =-，解得3t =，此时26x =；（ⅲ）若03t ≤<，则t t =-，则03t ≤<，即2033x ≤-<，解得236x ≤<；（ⅳ）若30t -≤<，则t t -=，则30t -≤<，即2330x -≤-<，解得203x ≤<；综上，26x ≤，即66x ≤≤所以x 的取值范围是6,6⎡-⎣.【点睛】关键点点睛：对于一元二次函数型零点问题，要注意根据函数类型讨论，结合一元二次函数图象与性质分析零点分布，注意讨论的完整性.。
天津市2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题含答案
2023～2024学年度第一学期期中联考高一数学（答案在最后）本试卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（共9题，每题5分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1A x x =>，{}15B x x =-<<，则A B = （）A.{}15x x -<<B.{}15x x <<C.{}1x x >- D.{}1x x >【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}1A x x =>，{}15B x x =-<<，则{}15A B x x ⋂=<<.故选：B.2.设:0p x >，:13q x <<，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】因为{}0x x >{}13x x <<，因此，p 是q 的必要不充分条件.故选：B.3.不等式25240x x +-<的解集是（）A.{8x x <-或}3x >B.{3x x <-或}8x >C.{}38x x -<< D.{}83x x -<<【答案】D 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】因为()()2524380x x x x +-=-⋅+<，所以83x -<<，即不等式25240x x +-<的解集是{}83x x -<<.故选：D.4.已知0.91.213, 1.2,3a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A.a c b <<B.c b a<< C.c<a<bD.b<c<a【答案】D 【解析】【分析】运用介值法及指数函数单调性比较大小即可.【详解】因为01.21b ==，0.90.9133c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，又因为3x y =在R 上单调递增，1.20.90>>，所以 1.20.903331>>=，即a c b >>.故选：D.5.函数2(21)31f x x x +=-+，则(3)f =（）A.1- B.1C.2- D.2【答案】A 【解析】【分析】由解析式代入计算函数值即可.【详解】设213x +=，得1x =，则(3)1311f =-+=-.故选：A.6.设()f x 为R 上的奇函数，且当0x <时，()31f x x =-，则()()04f f +=（）A.11B.11- C.13D.13-【答案】C 【解析】【分析】由()f x 为R 上的奇函数可得()00f =，()()44f f =--，代入计算即可求解.【详解】因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，()()44f f =--，又当0x <时，()31f x x =-，所以()()()4443113f f =--=--⨯-=，所以()()0401313f f +=+=.故选：C.7.已知幂函数()f x x α=的图象过点15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()(3)()g x x f x =-在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A.-1B.-2C.-4D.-8【答案】D 【解析】【分析】先求出幂函数的解析式，从而得出()g x 的表达式，然后再求()g x 的最小值.【详解】因为幂函数()f x x α=的图像过点15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以155α=，得1α=-，所以1()f x x =，则3()(3)()1g x x f x x =-=-显然在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以所求最小值为11983g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.故选：D8.设(),0,a b ∈+∞，则下面的不等式不正确的是（）A.2b a a b+≥ B.1122a b a b+≥++C.222a b ab +≥ D.22b a a ba b+≥+【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的性质以及基本不等式，结合特例法逐项判定，即可求解.【详解】对于A ，(),0,a b ∈+∞，由2b a a b +≥=，当且仅当a b =时，等号成立，正确；对于B ，取1a b ==，1121122213a b a b+=+=<+=+=+，不正确；对于C ，由222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，正确；对于D ，由不等式33222()()0a b a b ab a b a b +--=+-≥，可得3322a b a b ab +≥+，当且仅当a b =时，等号成立，两边同除ab ，可得22b a a b a b+≥+成立，正确；故选：B9.已知函数()32e 1xf x x =-+，则不等式()()212f x f x +->-的解集为（）A.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()1,+∞ C.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(),1-∞【答案】A 【解析】【分析】由题意可得()()2f x f x -+=-，问题转化为()()21f x f x ->-，再判断函数()f x 的单调性，利用单调性求解即可得解.【详解】()32e 1x f x x =-+ ，()()33222e 1e 1x xf x x x -∴-=--=-+-++，()()2f x f x ∴-+=-，所以不等式()()212f x f x +->-可转化为()()21f x f x ->-，又3y x =在R 上单调递增，e x y =在R 上单调递增，进而2e 1xy =-+在R 上单调递增，所以函数()f x 在R 上单调递增，21x x ∴->-，解得13x >，所以原不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：A.二、填空题（共6题，每题5分，满分30分，将答案填写在答案卡上）10.命题p ：01x ∃≥，2000x x -<，则命题p 的否定为______.【答案】1x ∀≥，20x x -≥，【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：命题p ：01x ∃≥，2000x x -<的否定为1x ∀≥，20x x -≥.故答案为：1x ∀≥，20x x -≥11.函数()()01x f x x+=的定义域为______.【答案】()(]1,00,2- 【解析】【分析】根据解析式有意义列不等式组求解可得.【详解】由题可知220100x x x x ⎧-++≥⎪+≠⎨⎪≠⎩，解得12x -<≤且0x ≠，所以()f x 的定义域为()(]1,00,2- .故答案为：()(]1,00,2- 12.已知:13p x -<<，:12q x m -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_______.【答案】()1,+∞【解析】【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，则{}13x x -<<{}12x x m -<<+，所以，23m +>，解得1m >.因此，实数m 的取值范围是()1,+∞.故答案为：()1,+∞.13.已知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数=a ______.【答案】1-或2.【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解.【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即21510,2a a a +--==（舍去），或152a =（舍去）；当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===，综上1a =-或2a =.故答案为:1-或2.【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.14.已知0a >，0b >，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为______.【答案】4【解析】【分析】根据题意，将原式化为2822a b a b+++，再由基本不等式，即可得到结果.【详解】因为0a >，0b >，且1ab =，所以1188284222222ab ab a b a b a b a b a b a b +++=++=+≥==+++，当且仅当2822a b a b +=+时，即212a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩或212a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时，等号成立，所以11822a b a b+++的最小值为4.故答案为：415.已知函数()()()()214112x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】21,112⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据分段函数的单调性列式求解.【详解】对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 在R 上为减函数，可得21002142a a aa a ⎧⎪-<⎪>⎨⎪⎪-+≥⎩，解得21112a ≤<，所以实数a 的取值范围为21,112⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：21,112⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题（共5题，满分75分.必要的文字说明，解答过程和演算步骤不能省略）16.（1）计算()1122013342⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）计算7log 23log lg 25lg 47+++.【答案】（1）52-.（2）112.【解析】【分析】（1）利用实数指数幂的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【详解】（1）原式11232221315221412222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯+=-+=-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）原式()32333311log 32lg 52lg 222lg 5lg 222lg102222222=+++=+++=++=++=.17.已知集合{}2135A x a x a =-≤≤+，{}320B x x =≤≤.（1）当2a =时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）求能使A B A = 成立的a 的取值范围.【答案】（1）{}311A B x x ⋂=≤≤，{}320A B x x ⋃=≤≤.（2）6a <-或25a ≤≤.【解析】【分析】（1）利用交集、并集运算求解即可；（2）由A B A = 得A B ⊆，分类讨论列不等式组求解即可.【小问1详解】当2a =时，{}311A x x =≤≤，又{}320B x x =≤≤，所以{}311A B x x ⋂=≤≤，{}320A B x x ⋃=≤≤.【小问2详解】因为A B A = ，所以A B ⊆，又集合{}2135A x a x a =-≤≤+，{}320B x x =≤≤，当A =∅时，2135a a ->+，即6a <-，这时A B ⊆.当A ≠∅时，有21352133520a a a a -≤+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，解得25a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为6a <-或25a ≤≤.18.设函数()21f x mx mx =--.（1）若对于一切实数(),0x f x <恒成立，求m 的取值范围；（2）解不等式()()21221f x m x x m <-+--.【答案】18.(]4,0-19.答案见解析.【解析】【分析】（1）分成二次项系数为0和不为0两种情况，当二次项系数不为0时满足开口向下且Δ0<；（2）因式分解后对参数m 分类讨论即可.【小问1详解】①若0m =，此时10-<恒成立；②若0m ≠，要使得210mx mx --<恒成立，则2Δ40m m m <⎧⎨=+<⎩，解得40m -<<，所以(]4,0m ∈-；【小问2详解】()2211221mx mx m x x m --<-+--，即()2220x m x m -++<，即()()20x x m --<，若m>2，则解集为()2,m ；若2m =，此时不等式无解；若2m <，则解集为()m,219.已知函数()321x af x =-+是定义域在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性并证明；（3）若对任意的[]1,2t ∈-，不等式()()2220f t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）6（2）()f x 在(),-∞+∞上是增函数，证明见解析（3）()6,+∞【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性得(0)302af =-=，解得a 的值；最后代入验证；（2）根据指数函数的单调性可直接下结论，然后利用单调性的定义证明；（3）根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为222k t t >+-对于[1,2]t ∈-恒成立，再根据恒成立转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果.【小问1详解】函数()321xaf x =-+是定义域在R 上的奇函数，由(0)302a f =-=，得6a =，即有()()321632121x x x f x -=-=++，下面检验：()()()()()()32132123122121212x xxx xx xxf x fx ------⋅--====-+++⋅，且定义域为R 关于原点对称，所以()f x 为奇函数，故符合；【小问2详解】()f x 在(),-∞+∞上是增函数.证明如下：设任意12x x <，()()()()()12121212622663321212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，由于12x x <，则12022x x <<，即有()()()121262202121x x x x -<++，则有()()12f x f x <，故()f x 在(),-∞+∞上是增函数；【小问3详解】因为对任意的[]1,2t ∈-，不等式()()2220f t f t k -+-<恒成立，所以2(2)(2)f t f t k -<--对于[]1,2t ∈-恒成立，因为()f x 是定义域在R 上的奇函数，所以2(2)(2)f t f k t -<-对于[]1,2t ∈-恒成立，又()f x 在R 上是增函数，所以222t k t -<-，即222k t t >+-对于[1,2]t ∈-恒成立，而函数()222g t t t =+-在[]1,2-上的最大值为()26g =，所以6k >，所以实数k 的取值范围为()6,+∞.20.已知函数()f x 的定义域为R ，并且满足下列条件：①()11f -=；②对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+；③当0x >时，()0f x <.（1）证明：()f x 为奇函数.（2）解不等式()()2222f x x f x +-->-.（3）若()255f x m mt ≤--对任意的[]1,1x ∈-，[]1,1t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）()4,1-（3）(][),66,-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）用赋值法先求出()0f ，再令y x =-即可得证；（2）先证明函数在R 上是减函数，再求得()22f =-，最后将不等式()()2222f x x f x +-->-转化为2340x x +-<求解即可；（3）将题意转化为2560m mt -->，[]1,1t ∈-恒成立即可.【小问1详解】由题意函数()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称，令0x y ==，则(00)(0)(0)2(0)f f f f +=+=，故(0)0f =.令y x =-，则()()()0f x x f x f x -=+-=，故()()f x f x -=-.故()f x 为奇函数.【小问2详解】任取12,R x x ∈，且12x x >.由题意120x x ->，()120f x x -<，()()()()1121122f x f x x x f x x f x =-+=-+，故()()()12120f x f x f x x -=-<，即()()12f x f x <，又12x x >，故()f x 在R 上为减函数.因为()11f -=，所以()11f =-，()()211112f f =+=--=-，故()()2222f x x f x +-->-即()()()2222f x x f x f ++->，即2222x x x ++-<，化简可得2340x x +-<，解得()4,1x ∈-.【小问3详解】由（2）知()f x 在[]1,1-上为减函数，故()f x 在[]1,1-上最大值为()11f -=.要使()255f x m mt ≤--对任意的[]1,1x ∈-，[]1,1t ∈-恒成立，则2551m mt --≥，即2560mt m -+-≥对任意[]1,1t ∈-恒成立.又256y mt m =-+-是关于t 的一次函数，故只需()2251605160m m m m ⎧-⨯-+-≥⎨-⨯+-≥⎩，。
人教版高一数学上学期期中考试试题及详细答案解析全文
人教版高一数学上学期期中考试数学试题（满分150分时间120分钟）一、单选题（12小题，每题5分）。
1.已知集合(){}{}0222>==-==x ,y x B ,x x lg y x A x,是实数集，则（）A.B.C.D.以上都不对2.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）A.2xy = B.xy -=2C.2-=x y D.3xy -=3.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.2xy =和()2x y =B.()12-=x lg y 和()()11-++=x lg x lg y C.2x log y a =和xlog y a 2= D.x y =和xa alog y =4.已知3110220230...c ,b ,.log a ===，则c ,b ,a 的大小关系是（）A.cb a << B.b ac << C.bc a << D.ac b <<5.在同一直角坐标系中，函数()()()x log x g ,x x x f a a=≥=0的图像可能是（）A. B. C. D.6.若132=log x ，则x x 93+的值为（）A.3B.C.6D.7.函数()x x x f 31+-=的单调递增区间是（）A.B.C.D.8.某同学求函数()62-+=x x ln x f 零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则方程062=-+x x ln 的近似解（精确度0.1）可取为（）A.2.52B.2.625C.2.66D.2.759.函数()xx lg x f 1-=的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,10)C.(10,100)D.(100，＋∞)10.已知函数()2211xxx f -+=，则有()A.()x f 是奇函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 B.()x f 是奇函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛1C.()x f 是偶函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 D.()x f 是偶函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛111.如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系，大致是（）A. B. C. D.12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=0621100x ,x x x ,x lg x f ，若a ，b ，c 均不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc的取值范围是A.（1，10）B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24)二、填空题（4小题，每题5分）13.若对数函数()x f 与幂函数()x g 的图象相交于一点（2，4）,则()()=+44g f ________.14.对于函数f (x )的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③()()02121>--x x x f x f .当f (x )＝e x 时，上述结论中正确结论的序号是______.15.已知3102==b,lg a ，用a,b 表示=306log _____________.16.设全集{}654321,,,,,U =,用U 的子集可表示由10,组成的6位字符串,如：{}42表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．（1）若，则M C U 表示6位字符串为_____________．（2）若,集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为____个．三、解答题。
2023-2024学年常州中学高一数学上学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年常州中学高一数学上学期期中考试卷2023-11（试卷总分为150分，考试时间为120分钟.）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若{}{}{}1,2,3,4,1,2,2,3U M N ===，则()U M N ð是（）A ．{}4B ．{}2,4C ．{}1,3,4D ．{}1,2,32．下列函数中，值域为()0,∞+的偶函数是（）A．y =B ．y x=C ．1y x=D ．21y x =3．设x ∈R ，则“23x ->”是“2560x x -->”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知奇函数()f x 在R 上单调递增，若()31f =，则满足()120f x -≤-≤的x 取值范围是（）A ．[]1,0-B ．[]1,2-C ．[]1,2D ．[]1,35．设R A ⊆，且A ≠∅，从A 到R 的两个函数分别为()()21,35f x x g x x =+=+，若对于A 中的任意一个x ，都有()()f xg x =，则集合A 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．无穷多6．已知函数()225,1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的堿函数，则实数a 的取值范围是（）A ．0a >B ．01a <≤C ．12a ≤<D ．12a ≤≤7．若0ab >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．11b b a a +>+B ．11a b a b +>+C ．a b a b b a +>+D ．22a b a a b b +>+8．已知函数()()221R f x x ax a =-+∈，若非空集合(){}()(){}0,1A x f x B x f f x=≤=≤∣∣，满足A B =，则实数a 的取值范围是（）A．11⎡⎤--⎣⎦B．1⎡⎤-⎣⎦C．⎡⎣D．1,1⎡⎣二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．关于x 的方程2210mx x ++=有两个实数解的一个充分条件是（）A ．1m ≤-B ．10m -<<C ．01m ≤<D ．m 1≥10．若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（）A ．ab 有最大值14B．11a b +有最小值4D ．22a b+有最大值1211．已知集合{}1,1A =-，非空集合{}3210B x x ax bx =++-=∣，下列条件能够使得B A ⊆的是（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．3,3a b ==-D ．3,3a b =-=12．已知函数()2211x xf x x x +=++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在()1,+∞上单调递增B ．()f x 值域为][(),22,∞∞--⋃+C ．当0x >时，恒有()f x x>成立D ．若12120,0,x x x x >>≠，且()()12f x f x =，则122x x +>三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．由命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，求得m 的取值范围是(,)a +∞，则实数a 的值是.14．已知函数()21,,2x c f x xx x c x ⎧-≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若()f x 的值域为[]22-,，则实数c 的值是.15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，第三天售出14种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有5种，则该网店这三天售出的商品最少有种.16．已知一块直角梯形状铁皮ABCD ，其中//AD ,90,1,3BC A AB BC AD ∠=︒===，现欲截取一块以CD 为一底的梯形铁皮CDEF ，点,E F 分别在,AD AB 上，记梯形CDEF 的面积为1S ，剩余部分的面积为2S ，则21S S 的最小值是.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知二次函数()()21,f x ax bx a b =++∈R 的最小值为4a -.(1)若()51f -=，求a 的值；(2)设关于x 的方程()0f x =的两个根分别为12,x x ，求12x x -的值.18．已知全集U =R ，集合()(){}210,203x A x B x x a x a x -⎧⎫=≤=---≤⎨⎬-⎩⎭∣∣.(1)当12a =时，求()U A B ð；(2)若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()332f x x x =-+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)①用定义证明函数()f x 在()0,1上是单调递减函数；②判断函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，请直接写出结果；(3)根据你对该函数的理解，在坐标系中直接作出函数()()R f x x ∈的图象.20．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”，经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系；()()253,0250,251x x W x xx x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）30x 元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x （单位：元）(1)求()f x 的解析式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？21．已知函数()()f xg x =(1)求函数()f x 的定义域和值域：(2)若a 为非零实数，设函数()()()h x f x ag x =+的最大值为()m a .①求()m a ；②确定满足()1m a m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的实数a ，直接写出所有a 的值组成的集合.22．已知函数()()3R af x x a x =-+∈.(1)求关于x 的不等式()()2221f x f x -->的解集，(2)若对任意的正实数a ，存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f x m ≥，求实数m 的取值范围.1．A【分析】根据给定条件求出M N ⋃，再求()U M N ð即可得解.【详解】因{}1,2M =，{}2,3N =，则{1,2,3}M N = ，而{}1,2,3,4U =，所以(){4}U M N ⋃=ð.故选：A.2．D【分析】利用函数奇偶性的判断与值域的求法，逐一分析判断各选项即可.【详解】对于A ，因为y =的定义域为[)0+∞,，所以此函数不是偶函数，故A 错误；对于B ，因为y x =≥，即y x=的值域为[)0+∞,，故B 错误；对于C ，当=1x -时，11y x ==-，显然值域不为()0,∞+，故C 错误；对于D ，因为()21y f x x ==的定义域为()(),00,∞-+∞U ，且21y x =>，又()()()2211f x f x x x -===-，所以21y x =是值域为()0,∞+的偶函数，故D 正确.故选：D.3．B【分析】先化简“23x ->”和“2560x x -->”，再利用充分必要条件的定义分析判断即可得解.【详解】因为23x ->等价于1x <-或5x >，2560x x -->等价于1x <-或6x >，而{1x x <-或}5x >{1x x <-或}6x >，所以23x ->⇐2560x x -->，故“23x ->”是“2560x x -->”的必要而不充分条件.故选：B.4．B 【分析】利用()f x 的奇偶性可得()31f -=-，()00f =，再结合()f x 的单调性得到320x -≤-≤，从而得解．【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，()31f =，则()()331f f -=-=-，()00f =，所以()120f x -≤-≤可化()()()320f f x f -≤-≤，又函数()f x 在R 上单调递增，所以320x -≤-≤，解得12x -≤≤.故选：B ．5．C【分析】令2135x x +=+．解得1x =-或4x =，进而可列举出满足条件的集合A ，从而得解．【详解】因为()()21,35f x xg x x =+=+，令2135x x +=+，解得1x =-或4x =，故由题意可知{}1,4A ⊆-，且A ≠∅，则当{1}A =-，{4}A =，{}1,4A =-时，满足条件.故选：C.6．D【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】易知二次函数225y x ax =-+的对称轴为x a =，因为函数25,1(),1x ax x f x ax x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，所以1125a a a a ≥⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩，解得12a ≤≤.故选：D.7．C【分析】利用作差比较法及不等式的性质逐项判断即可求解.【详解】对于A ，()111b b b a a a a a +--=++，因为0a b >>，所以0,10b a a -<+>，所以()1b aa a -<+，即101b b a a +-<+，于是有11b b a a +<+故A 错误；对于B ，因为()()222211111a b ab a b a b b ab a a b a b a b ab ab --+++--⎛⎫+-+=-== ⎪⎝⎭，因为0a b >>，所以0,0a b ab ->>，但ab 与1的大小不确定，故不一定成立，故B 错误；对于C ，因为2222a b ab a ab b a b a ab b a b b a b a ab +++--⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭()()a b ab a b ab -++=，因为0a b >>，所以0,0,0a b ab ab a b ->>++>，所以()()0a b ab a b ab -++>，即0a b a b b a ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，于是有a b a b b a +>+，故C 正确；对于D ，因为()()()()()()222222a b b a a b b a b a a b a a b b b a b b a b +-+-++-==+++，因为0a b >>，所以0,0,20b a b a a b -<+>+>，所以()()()02b a b a b a b -+<+，即202a b a a b b +-<+，于是有22a b aa b b +<+，故D 错误.故选：C.8．A【分析】不妨设()1f x ≤的解集为[,]m n ，从而得(){}n B x m f x ≤=≤∣，进而得到0n =且min ()0m f x ≤≤，又m ，()n m n ≤为方程()1f x =的两个根，可得2m a =，由此得到关于a 的不等式组，解之即可得解.．【详解】因为()221f x x ax =-+，不妨设()1f x ≤的解集为[,]m n ，则由()()1f f x ≤得()m f x n≤≤，所以()(){}(){}1n B f x f f x x m x =≤=≤≤∣∣，又(){}0A x f x =≤∣，A B =≠∅，所以0n =且min ()0m f x ≤<，因为()1f x ≤的解集为[,]m n ，所以,m n 是()1f x =，即2211x ax -+=的两个根，故2m n a +=，即2m a =，此时由0m n <=，得20a <，则a<0，因为()221f x x ax =-+，显然2440a ∆=+>，且()f x开口向上，对称轴为x a =，所以()()222min 211f a a a a f x =-+=-+=，则2210a a ≤-+≤，又a<0，解得11a ≤≤-，即11a ⎡⎤∈--⎣⎦.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于假设()1f x ≤的解集为[,]m n ，进而得到0n =且min ()0m f x ≤<，从而得解.9．AB【分析】利用二次方程的性质，结合充分条件的性质即可得解.【详解】因为2210mx x ++=有两个实数解，当0m =时，210x +=，显然不满足题意；当0m ≠时，440m ∆=->，得1m <；综上，1m <且0m ≠，即2210mx x ++=有两个实数解等价于1m <且0m ≠，即0m <或01m <<，要使得选项中m 的范围是题设条件的充分条件，则选项中m 的范围对应的集合是{0m m <或}01m <<的子集，经检验，AB 满足要求，CD 不满足要求.故选：AB.10．ABC【分析】由已知结合基本不等式一一判断计算可得．【详解】解：因为正实数a ，b 满足1a b +=，由基本不等式可得21()24a b ab += ，当且仅当a b =时取等号，故A 正确；因为2112a b a b =++=+++=，当且仅当a b =时取等号，，故B 正确；1114a b a b ab ab ++== ，当且仅当a b =时取等号，即11a b +有最小值4，故C 正确；222()212a b a b ab ab +=+-=-，由A 可知14ab ≤，所以2212a b +≥即22a b+有最小值12，当且仅当a b =时取等号，故D 错误；故选：ABC ．11．ABD【分析】利用因式分解求三次方程的根化简集合B ，再利用集合关系即可判断.【详解】对于A ，方程3210x x x +--=，因式分解得()()2110x x -+=，解得1x =-或1x =，所以{}1,1B =-，满足B A ⊆，故A 正确；对于B ，方程3210x x x -+-=，因式分解得()()2110x x -+=，解得1x =，所以{}1B =，满足B A ⊆，故B 正确；对于C ，方程323310x xx +-=-，因式分解得()()21410x x x -++=，解得1x =或2x =-，所以{1,22B =--，不满足B A ⊆，故C 错误；对于D ，方程323310x x x -+-=，因式分解得()310x -=，解得1x =，所以{}1B =，满足B A ⊆，故D 正确；故选：ABD.12．ACD【分析】先判断()f x 的奇偶性，再在,()0x ∈+∞上，令211x t x x x +==+研究其单调性和值域，再判断()f x 的区间单调性和值域判断AB ；利用解析式推出1()()f f x x =，根据已知得到211x x =，再应用基本不等式判断C ；特殊值法，将2x =代入判断D.【详解】对于AB ，因为()2211x xf x x x +=++，则由解析式知()f x 的定义域为{|0}x x ≠，又2222()11()()()11x x x x f x f x x x x x ⎛⎫-+-+-=+=-+=- ⎪--++⎝⎭，所以()f x 为奇函数，当,()0x ∈+∞时，由对勾函数性质知：1t x x =+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且值域为[2,)t ∈+∞，而1y t t =+在[2,)t ∈+∞上递增，所以()f x 在(0,1)x ∈上单调递减，在(1,)x ∈+∞上单调递增，且5(),2f x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，由奇函数的对称性知：()f x 在(,1)x ∈-∞-上单调递增，在(1,0)x ∈-上单调递减，且5(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎝⎦，所以()f x 值域为55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ，故A 正确，B 错误；对于C ，当0x >时，()22211011x x x f x x x x x x x +-=+-=+>++恒成立，所以恒有()f x x>成立，故C 正确；对于D ，由222211111()1111x x x x f f x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎛⎫⎝⎭=+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为12120,0,x x x x >>≠，且12()()f x f x =，所以211x x =，故121112x x x x +=+≥=，当且仅当11x =时等号成立，而11x =时，211x x ==，故等号不成立，所以122x x +>，故D 正确；故选：ACD.【点睛】关键点睛：对于D 选项，根据解析式推导出1()f f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而得到211x x =为关键.13．1【分析】根据命题的否定为真，转化为二次不等式恒成立，利用判别式求解.【详解】因为命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，所以命题“R x ∀∈，220x x m ++>”是真命题，故2240m ∆=-<，即1m >，故1a =.故答案为：114．12-##0.5-【分析】先由反比例函数的性质分析得0c <，再由二次函数的性质确定c 的取值范围，从而结合函数图像即可得解.【详解】因为()21,,2x c f x xx x c x ⎧-≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，当0c >时，当0x c <≤时，1(1),x c f x ⎛⎤-∈-∞- ⎝=⎥⎦，不合题意；当0c =时，当0x <时，()(0,)1x f x ∈-=+∞，不合题意；所以0c <，当x c ≤时，110x c <-≤-，即()10,f x c ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，当2c x <≤时，()221124f x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭=-开口向下，对称轴为12x =，当2x =时，()2242f =-=-，令()2f c =-，即22c c -=-，解得1c =-或2c =（舍去），令()0f c =，即20c c -=，解得0c =或1c =，作出()f x 的大致图象，如图，因为()f x 的值域为[]22-,，所以12c -=，解得12c =-，经检验，满足题意.故答案为：12-.15．27【分析】先分析得前两天共售出的商品种类，再考虑第三天售出商品种类的情况，根据题意即可得解.【详解】由题意，第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种，所以第一天售出但第二天未售出的商品有17314-=种，第二天售出但第一天未售出的商品有13310-=种，所以前两天共售出的商品有1410327++=种，第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种，所以第三天售出但第二天未售出的商品有1459-=种，因为914<，所以这9种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品时，该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值为27.故答案为：27.16．725##0.28【分析】利用直角梯形的几何性质，求出()211232x x S =-++，从而可得21S S 的表达式，结合函数的单调性，即可得解.【详解】依题意，作CG AD ⊥于G，则2,1GD AD BC CG AB =-===，则CD =由题意知//EF CD ，则FEA D ∠=∠，而1tan 2CG D GD ∠==，sin D =；故1tan 2FEA ∠=，设(01)AF x x =<<，则2AE x =，故EF =，作EH CD ⊥于H，则)sin 32EH ED D x =⋅-，故)()()()()2111132132232522S x x x x x =⋅-=+-=-++，则()()()2221111312321222x S x x x =⨯+⨯--++=-+，故22212321S x x x S x --=+++，令223t x x =-++，则223x x t -=-+，因为01x <<，故252,8t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则213141S t S t t -++==-+，而41y t =-+在252,8⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故41y t =-+的最小值为47125258-+=，即21S S 的最小值为725.故答案为：725.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合梯形的几何性质表示出相关线段长，求出梯形CDEF 的面积表达式，即可求解答案.17．(1)49(2)4【分析】（1）利用二次函数的性质得到42b f aa ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合()51f -=得到关于,a b 的方程组，解之即可得解；（2）利用韦达定理，结合（1）中结论与完全平方公式即可得解.【详解】（1）因为二次函数()()21,f x ax bx a b =++∈R 的最小值为4a -，所以0a >，则()f x 开口向上，对称轴为2b x a =-，所以42b f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即21422b b a b a a a ⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22164b a a =+，因为()51f -=，即()()21155a b -++-⨯=，则5b a =，将5b a =代入22164b a a =+，得2225164a a a =+，解得49a =或0a =（舍去），所以49a =.（2）因为()0f x =，即210ax bx ++=的两个根分别为12,x x ，所以2121,b x x a a x x +=-=，所以()()22222222114144b b a x x x a a x x a x -⎛⎫-+=--⨯=⎪⎝⎭=-，由（1）可知22164b a a =+，即22164a b a =-，所以()221221616a x x a =-=，故124x x -=.18．(1)934x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭(2)(]{},11-∞-⋃【分析】（1）分别解出集合A 与集合B ，然后求得U B ð，进而求得()U AB ð的值；（2）由题意得A 是B 的真子集，由此列不等式组，解不等式组可求得a 的取值范围.【详解】（1）因为{}10|133x A x x x x -⎧⎫=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭∣，当12a =时,1190|22944B x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎧⎫=--≤=≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭∣，则{1|2U B x x =<ð或94x ⎫>⎬⎭，所以()934UB A x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭ð.（2）因为{}()(){}2|13,|20A x xB x x a x a =≤<=---≤，又()22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，所以22a a +>，由()()220x a x a ---≤得22a x a ≤≤+，所以{}2|2B x a x a =≤≤+，因为x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，所以A B ,所以2123a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得1a ≤-或1a =，所以实数a 的取值范围为(]{},11-∞-⋃.19．(1)3332,0()0,032,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪--<⎩(2)①证明见解析；②()f x 在[)1,+∞上单调递增(3)图像见解析【分析】（1）利用函数奇偶性，结合题设条件即可求得()f x 的解析式；（2）①利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证；②在①的基本上继续判断即可；（3）利用（1）与（2）中的结论，结合()f x 的单调性与奇偶性即可作图.【详解】（1）因为当0x >时，()332f x x x =-+，所以当0x <时，0x ->，则()()()333232f x x x x x -=---+=-++，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()332f x f x x x =--=--，且()00f =，所以3332,0()0,032,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪--<⎩.（2）①设1201x x <<<，则3111()32f x x x =-+，3222()32f x x x =-+，所以3322121122121122()()(32)(32)()(3)f x f x x x x x x x x x x x -=-+--+=-++-，因为1201x x <<<，所以120x x -<，且22112201,01,01x x x x <<<<<<，则22112230x x x x ++-<，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，故()f x 在()0,1上是单调递减函数．②()f x 在[)1,+∞上单调递增，理由如下：当121x x >≥时，120x x ->，22112230x x x x ++->，则12()()f x f x >，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增.（3）由（2）知，()f x 在()0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，且()10f =，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在()1,0-上单调递减，在(],1-∞-上单调递增，且()()110f f -=-=，所以()f x的图象如图，.20．(1)()210040300,021000100040,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪+⎩(2)当施用肥料为4千克时，该水果单株最大利润，最大利润为640元【分析】（1）根据题意，利用销售额减去成本投入可得出利润解析式；（2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可得解.【详解】（1）依题意，当02x ≤≤时，()()203010f x W x x x=--()2220534010040300x x x x =⨯+-=-+；当25x <≤时，()()203010f x W x x x=--5010001000204040100040111x x x x x x x x =⨯-=-=--+++；所以()210040300,021000100040,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪+⎩；（2）当02x ≤≤时，()221100403001002965f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，此时由二次函数的性质可知()()max 21004402300620f x f ==⨯-⨯+=；当25x <≤时，()()10001000100040104040111f x x x x x =--=--+++1040640≤-，当且仅当()10004011x x =++，即4x =时，等号成立；综上，当施用肥料为4千克时，该水果单株最大利润，最大利润为640元.21．(1)定义域为[]0,2；值域为2⎤⎦(2)①12,02121(),22222a a a m a a a a a ⎧+≥-≠⎪⎪⎪=---<<-⎨⎪≤且；②{}212⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）根据根式的概念可得()f x 定义域，再计算()22f x =+求解可得()f x 值域；（2）①令2t ⎤=⎦，设函数()22a F t t t a =-++，2t ⎤∈⎦，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可；②分类讨论a 的取值范围，结合()m a 的解析式即可得解.【详解】（1）因为()f x =，所以020x x ≥⎧⎨-≥⎩，则[]0,2x ∈，又()222f x x x ==+-+2=+当[]0,2x ∈时，()[]2110,1x --+∈，所以()[]22,4f x ∈，又()0f x ≥，所以()2f x ⎤∈⎦；（2）依题意，得()h x =令2t ⎤=⎦，则22222t t -=+=，令()22222t a F t t a t t a -=+⋅=+-，2t ⎤∈⎦，当0a >时，此时二次函数对称轴10t a =-<<()()max 2F t F =2a =+.当a<0时，此时对称轴10t a =->，当12a -≥，即102a -≤<时，开口向下，则()()max 2F t F =2a=+；12a <-<，即2122a -<<-，对称轴1t a =-，开口向下，则()max 1F t F a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12a a =--，当1a -≤22a ≤-时，开口向下，()max Ft F=综上，12,0211(),22222a a a m a a a a a ⎧+≥-≠⎪⎪⎪=---<<-⎨⎪≤且.②当0a >时，1a >，则122a a +=+，解得1a =或1a =-（舍去）；当102a -≤<时，12a≤-，则2a +=2a （舍去）；当2122a -<<-时，12a -<<12a a --=2a =（舍去）；当a ≤≤时，1a ≤≤，则()1m a m a ⎛⎫== ⎪⎝⎭；当2a -<<1122a <<-12a a =--，解得a =（舍去）；当2a ≤-时，1102a -≤<12a =+，解得212a =--（舍去）；综上，1a =或22a ≤≤，即{}1a ⎡∈⎢⎣⎦ .【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握分类讨论的方法，利用二次函数的性质，结合轴动区间定即可得解.22．(1)答案见解析(2)3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）依题意化简不等式得()()22320ax x x -+>，从而分类讨论即可得解；（2）由题意可得()ax 0m f x m ≥，然后分704a <≤，744a <<和4a ≥三种情况讨论()y f x =的最大值，从而可求得结果.【详解】（1）因为()()3R af x x a x =-+∈，所以由()()2221f x f x -->，得()23223122a a x x x x ⎡⎤-+---+>⎢⎥-⎣⎦，化简得2022a a x x ->-，即()()32022a x x x +>-，即()()22320ax x x -+>，当0a =时，该不等式无解，当0a >时，不等式化为()()22320x x x -+>，解得203x -<<或2x >，当a<0时，不等式化为()()22320x x x -+<，解得23x <-或02x <<，综上，当0a =时，()()2221f x f x -->的解集为∅，当0a >时，()()2221f x f x -->的解集为()2,02,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ ，当a<0时，()()2221f x f x -->的解集为()2,0,23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ .（2）因为对任意的正实数a ，存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f x m ≥，所以()ax 0m f x m ≥，易知当0a >时，()3af x x x =-+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1()max ,12f x f f ⎧⎫⎛⎫≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，且()112f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为()117232,14222f a a f a⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，所以()172,1422f a f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当720240a a ⎧-≥⎪⎨⎪-≥⎩，即704a <≤时，max ()4f x a =-，因为704a <≤，所以9444a ≤-<，所以94m ≤；当720240a a ⎧-<⎪⎨⎪->⎩，即744a <<时，令7242a a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，得52a =，所以()153max ,14222f f ⎧⎫⎛⎫≥-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，故32m ≤；当720240a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≤⎩，即4a ≥时，所以max 77()2222f x a a =-=-，因为4a ≥，所以79222a -≥，所以92m ≤；综上，32m ≤，所以m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦.【点睛】关键点睛：本题第2小题的解决关键在于分类讨论()1,12f f ⎛⎫⎪⎝⎭的正负情况，从而确定()0maxf x ，由此得解.。
高一上学期期中考试数学试卷
阜阳一中2027届高一上学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟试卷总分：150分）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}(){}2,128t A xx B t t =≤=≤≤∈Z ∣∣，则A B = （）A ．[]1,3-B ．{}0,1C ．0,2D ．{}0,1,22．命题“[]1,3x ∀∈-，2320x x -+-≤”的否定为（）A ．[]1,3x ∃∈-，0232>-+-x xB ．[]1,3x ∃∈-，2320x x -+-≤C ．[]1,3x ∀∈-，0232>-+-x x D ．[]1,3x ∃∉-，0232>-+-x x 3．“幂函数()()211m f x m m x -=--在()0,∞+单调递减”是“1m =-”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若22a bc c>，则a b >C ．若a b >，则12a b -<-D ．若a b >，则22ac bc >5．函数e e ex xxy --=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．若实数a ，b ，c 满足632=⋅=⋅c b a a ，则下列不等关系中不可能成立的是（）A ．c a b<<B ．b c a<<C ．a c b<<D ．a b c<<7．已知函数()f x 的定义域为()()()R,33,63f x f x f -=+=，且(]12,,3x x ∀∈-∞，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-，则不等式()263f x x x +->的解集为（）A ．{|1x x <-或>7B ．{}17x x -<<C ．{|0x x <或}6x >D ．{}06x x <<8．从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数()f x =+来刻画，满足关于x 的方程()f x b =恰有三个不同的实数根123,,x x x ，且123x x x b <<=（其中,(0,)a b ∈+∞），则b 的值为（）A ．8081-B ．169C ．8081D ．20881二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数1()13xf x =+，则（）A ．31(log 4)5f =B ．()f x 的值域为(,1)-∞C ．()f x 是R 上的减函数D ．函数()f x 图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，对称10．已知0a >，0b >，3a b +=，则（）A ．ab 的最大值为94B C ．3b ba b++的最小值为4D ．2211a b a b +++的最小值为9511．若()f x 定义域为I ，对任意1x I ∈，存在唯一2x I ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称()f x 在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（）A ．1()f x x=是倒数函数B ．1()g x x x=+是倒数函数C ．若21()2x h x x --=+在3,2m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是倒数函数，则23m =-D ．若存在0m >，使得2()21(R)s x ax x a =+-∈在定义域[0,]m 上是倒数函数，则1a <-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数()y f x =的定义域为[]0,4，则函数()02y x +=-的定义域是.13．函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是.14．设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知集合{}24A x x =-≤≤，{}322mx B x -=<.（1）当1m =时，求A B ⋂，()A C B U ；（2）当0m >，A B B = 时，求实数m 的取值范围.16．（15分）已知函数()()222,f x ax a x a =-++∈R .(1)对任意[]2,3a ∈，函数()10f x a >-恒成立，求实数x 的取值范围；(2)当a ∈R 时，求不等式()0f x ≥的解集.17．（15分）某文旅公司设计文创作品，批量生产并在旅游景区进行售卖．经市场调研发现，若在旅游季在文创作品的原材料上多投入x 万元()115x ≤≤，文创作品的销售量可增加m 千个，其中14.4,18,120.8,815,xx m x x x ⎧≤<⎪=+⎨⎪-≤≤⎩每千个的销售价格为38m m-万元，另外每生产1千个产品还需要投入其他成本0.5万元．(1)求该文旅公司在旅游季增加的利润y 与x （单位：万元）之间的函数关系；(2)当x 为多少万元时，该公司在旅游季增加的利润最大？最大为多少万元？18．（17分）已知函数21()21x xf x -=+定义域为(1,1)-，函数1()421x xg x m m +=+⋅+-．(1)解不等式(21)(32)0f x f x -+-<；(2)若存在两个不等的实数a ，b 使得()()0f a f b +=，且()()0g a g b +≥，求实数m 的取值范围．19．（17分）已知函数()y f x =与()y g x =的定义域均为D ，若对任意的()1212x x D x x ∈≠､都有()()()()1212g x g x f x f x -<-成立，则称函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L 函数”.(1)若()43,()2,R f x x g x x D =+==，判断函数()y g x =是否是函数()y f x =在D 上的“L 函数”，并说明理由；(2)若2()21,(),[0,)f x x g x D =-=+∞，函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L 函数”，求实数m的取值范围；(3)比较a b +和,R a b a b +∈（）的大小，并证明：若()[],0,2f x x D ==，函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L 函数”，且()()02g g =，则对任意的()1212x x D x x ∈≠､都有()()121g x g x -<阜阳一中2027届高一上学期期中考试数学试题参考答案：1．D【详解】{}{}|2=22A x x xx =≤-≤≤∣，由指数函数的性质可得(){}{}1280,1,2,3t B t t =≤≤∈=Z ∣，所以{}{}{}220,1,2,30,1,2A B xx ⋂=-≤≤⋂=∣.故选：D.2．A【详解】根据全称量词命题的否定形式可知：命题“[]1,3x ∀∈-，2320x x -+-≤”的否定为“[]1,3x ∃∈-，2320x x -+->”，故选：A 3．B【详解】若()f x 为幂函数，则211m m --=，解得1m =-或2m =，因当1m =-时，()2f x x -=在()0,∞+上单调递减，符合题意；当2m =时，()f x x =在()0,∞+上单调递增，不合题意.故由“幂函数()()211m f x m m x -=--在()0,∞+单调递减”当且仅当“1m =-”成立，即“幂函数()()211m f x m m x -=--在()0,∞+单调递减”是“1m =-”的充要条件．故选：B.3．B【分析】ACD 选项可以根据排除法解决，B 选项根据不等式的性质判断.【详解】A 选项，取0,1a b ==-，满足a b >，但是22a b <，A 选项错误；B 选项，显然0c ≠，则20c >，根据不等式的性质，不等式22a bc c>两边同时乘以2c 可得，a b >，B 选项正确；C 选项，取0,1a b ==-，11a -=-，23b -=-，此时12a b ->-，C 选项错误；D 选项，若0c =，则22ac bc =，D 选项错误.故选：B 5．A【详解】e e ()ex xxf x --=定义域为R ，且e e ()()ex xxf x f x ---==-，则原函数为奇函数.排除B.再取特殊值1112e e 1(1)11e e f --==-<，且为正数.排除D.当0x >时，2e e 1()11e ex x xx f x --==-<，x 越大函数值越接近1，排除C.故选：A.6．D【详解】由已知得623b ca==，易知0a >，设直线l ：6y a=，作出2x y =，3x y =，直线l 图象，如图：当61a>时，06a <<，0c b <<，当601a<<时，6a >，0b c <<，所以a b c <<不可能成立，故选:D.7．D【分析】根据函数的对称性、单调性、图象等知识求得不等式的解集.【详解】依题意，函数()f x 的定义域为()()R,33f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，(]12,,3x x ∞∀∈-，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在区间(],3-∞上单调递增，则()f x 在区间()3,∞+上单调递减，对于不等式()263f x x x +->，即()()236f x x >--，设()()236g x x =--，()g x 的开口向上，对称轴为直线3x =，()()063g g ==，()()()()6333303f f f f =+=-==，由此画出()f x 的大致图象、()g x 的图象如下图所示，由图可知()()f x g x >的解集为{}|06x x <<.故选：D8．B【详解】因为()()2f x a f x +=+==-，所以()f x 关于x a =对称，所以()f x b =的根应成对出现，又因为x 的方程()f x b =恰有三个不同的实数根123,,x x x 且123x x x b <<=，所以该方程的一个根是a ，得1232,,x x b a a x b ==-=，且a b ≠，所以()()f a b f b b⎧===⎪⎨=+=⎪⎩，由()f a b ==得24b a =，当20b a -≥，即2042b b -⨯≥，即02b <≤时，()f b b =+=，①2242b b b -⨯===-，②由①-②得32b =，解得169b =，所以6481a =；当20b a -<，即2042b b -⨯<，即2b >时，()f b b =+=，③222422b bb b ⨯-===-，④由③-④得22b=+，即)220=，解得4b =，此时244b a b ===，不合题意，舍去，综上，6416,819a b ==.故选：B.9．ACD【详解】33log 4111(log 4)14513f ===++，所以选项A 正确；13x y =+的值域是(1,)+∞，故1()13xf x =+的值域是(0,1)，所以选项B 错误；13x y =+恒正且在R 上递增，故113xy =+是R 上的减函数，所以选项C 正确；由于1113()()113131313xx x x xf x f x -+-=+=+=++++，所以选项D 正确．故选：ACD 10．ACD 【详解】A 选项，0a >，0b >，()2944a b ab +≤=，当且仅当32a b ==时，等号成立，A 正确；B 选项，233a b =+++，>B 错误.C 选项，3224b b b a b b b a a b a b a b ++++=+=++≥=，当且仅当b aa b =，即32a b ==时，等号成立，C 正确；D 选项，()()()()2222121111121111a b a b b a b a a b +++=+++-++-++++114111111111a b a b a b =+++++-=++++++，其中0a >，0b >，3a b +=，故11155a b +++=，所以()()11511111121155111515a b a b b b a b a a ++++⎛⎫+⎛⎫+=+ ⎪+=++ ⎭⎪⎝+++⎝++⎭2455≥+=，故22119111115a b a b a b +=++≥++++，当且仅当()()115151a b b a ++=++，即32a b ==时，等号成立，D 正确.故选：ACD 11．ACD【详解】由题意对任意1x I ∈，存在唯一2x I ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称()f x 在定义域上是“倒数函数”，则()f x 在定义域上是“倒数函数”当且仅当对任意1x I ∈，存在唯一2x I ∈，使得()()121f x f x =；即当且仅当()f x 的值域是()()11f x f x =的值域的子集，定义()f x 的值域、()()11f x f x =的值域分别为1,f f R R ，所以()f x 在定义域上是“倒数函数”当且仅当1f f R R ⊆；对于A ，1()f x x=的值域为()(),00,f R ∞∞=-⋃+，而()()11,0f x x x f x ==≠的值域为()()1,00,f R ∞∞=-⋃+，显然满足1f f R R ⊆，故A 正确；对于B ，由对勾函数性质可得，1()g x x x=+的值域为(][),22,g R ∞∞=--⋃+，而()()11g x g x =的值域为111,00,22g R ⎡⎫⎛⎤=-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，不满足1g g R R ⊆，故B 错误；对于C ，由题意21()2x h x x --=+在3,2m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是倒数函数，首先当3,2x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()223213()2222x x h x x x x -++--===-++++单调递减，此时21,42h m R m --⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，由倒数函数定义可知，21,42h m R m --⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦不包含0，即2102m m -->+（1）；从而()()11h x h x =在3,2x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的值域为112,421h m R m +⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，由题意12112,4,2421h h m m R R m m --+⎡⎤⎡⎤=⊆=⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦，所以要满足题意，还需满足211242421m m m m --⎧≥⎪⎪+⎨+⎪≥⎪--⎩（2）；只需（1）（2）式子同时成立即可，所以当且仅当2421m m +=--，解得23m =-，故C 正确；对于D ，必要性：情形一：当0a >时，2()21(R)s x ax x a =+-∈在定义域()[0,],0m m >上单调递增，则()1,s R s m ⎡⎤=-⎣⎦，若2()21(R)s x ax x a =+-∈在定义域[0,]m 上是倒数函数，首先()0s m <，此时()()11s x s x =的值域为()11,1s R s m ⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，同时注意到()()111,,1s s R s m R s m ⎡⎤⎡⎤=-⊆=-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦不成立，故0a >不符合题意；情形二：当0a =时，()21s x x =-在定义域()[0,],0m m >上单调递增，则()1,s R s m ⎡⎤=-⎣⎦，若2()21(R)s x ax x a =+-∈在定义域[0,]m 上是倒数函数，首先()0s m <，此时()()11s x s x =的值域为()11,1s R s m ⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，同时注意到()()111,,1s s R s m R s m ⎡⎤⎡⎤=-⊆=-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦不成立，故0a =不符合题意；情形三：当0a <时，注意到2()21(R)s x ax x a =+-∈的对称轴为10x a=->，则()20f f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（i ）当20m a<≤-时，()()min 01s x s ==-，由二次函数性质可知存在0[0,]x m ∈使得()()0max s x s x =，即此时()01,s R s x ⎡⎤=-⎣⎦，若2()21(R)s x ax x a =+-∈在定义域[0,]m 上是倒数函数，首先()00s x <，此时()()11s x s x =的值域为()101,1s R s x ⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，同时注意到()()10011,,1s s R s x R s x ⎡⎤⎡⎤=-⊆=-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦不成立，故20m a <≤-不符合题意；（ii ）当20m a>->时，由二次函数性质可知()()()2minmax1121,1s x s m am m s x s a a ⎛⎫==+-=-=-- ⎪⎝⎭，即此时()1,s R s m s a ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，注意到()01s s R =-∈，若2()21(R)s x ax x a =+-∈在定义域[0,]m 上是倒数函数，首先1110s a a ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，其次结合0a <，可得a 应该满足1a <-；充分性：1a ∀<-，有11110s a a ⎛⎫-<-=--< ⎪⎝⎭，20m a∃>->，使得()22211222111021am am m am m s m am m <-⇒<-⇒+-<-⇒-<=<+-，这表明当1a <-时，存在0m >，使得2()21(R)s x ax x a =+-∈在定义域[0,]m 上是倒数函数，故D 正确.故选：ACD.12．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【详解】21y x ax a =-- 在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴2()f x x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，则122a-≤，即1a ≥-，同时需满足1(2)()02f f -->，即1(4)(21)04a a +-<，解得142a -<<，综上可知11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭14．01a ≤≤【详解】解：若0a =时，21,0(){(2),0x f x x x <=-≥，∴min ()0f x =；若0a <时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值，不符合题目要求；若0a >时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递减，2()()1f x f a a >=-+，当x a >时，min 20(02)(){(2)(2)a f x a a <<=-≥∴210a -+≥或2212a a -+≥-（），解得01a <≤，综上可得01a ≤≤；15．（1）{}24A B x x ⋂=-≤<，(){}4≠=x x A C B U ；（2）()0,1.【详解】（1）当1m =时，322mx -<，即322x -<解得31x -<，即4x <，则{}4B x x =< (3){}24A B x x ∴⋂=-≤<，又{}42><=x x x A C U 或(){}4≠=∴x x A C B U ； (8)（2）由322mx -<解得4mx <，又0m > ，4x m∴<，即4{|}B x x m =<，由A B B = 得A B ⊆， (11)44m∴>，1m <，01m ∴<<，即m 的取值范围是()0,1. (13)16．(1)()(),13,∞∞--⋃+(2)答案见解析【详解】（1）依题意，()22210ax a x a -++>-恒成立，()21280xx a x -+⨯-->恒成立，又因为2213124x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭恒大于0，所以()212280x x x -+⨯-->，即()(),13,x ∞∞∈--⋃+. (6)（2）()()()()22212f x ax a x x ax =-++=--，当0a =时，()22f x x =-+，由()0f x ≥，解得1x ≤：当0a ≠时，令()0f x =，解得1221,x x a==.当0a <时，201a<<，即21x x <由()0f x ≥，解得21x a ≤≤；当02a <<时，21>a，即21x x >，解得2x a ≥或1x ≤当2a =时，21a=，由()0f x ≥，解得∈；当2a >时，21a<，即21x x <，由()0f x ≥，解得2x a ≤或1x ≥综上所述：当0a <时，不等式()0f x ≥的解集为2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当0a =时，不等式()0f x ≥的解集为(],1-∞；当02a <<时，不等式()0f x ≥的解集为(]2,1,a ∞∞⎡⎫-⋃+⎪⎢⎣⎭；当2a =时，不等式()0f x ≥的解集为；当2a >时，不等式()0f x ≥的解集为[)2,1,a ∞∞⎛⎤-⋃+ ⎥⎝⎦ (15)17．(1)368,18144 3.5,815xx x y x x x ⎧--≤<⎪=+⎨⎪-≤≤⎩(2)当5x =（万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为17万元.【详解】（1）本季度增加的利润830.5 2.58y m m x m x m ⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭，当18x ≤<时，14.4362.58811x xy x x x x =⨯--=--++，当815x ≤≤时，()2.520.8844 3.5y x x x =---=-，所以该公司增加的利润y 与x （单位：万元）之间的函数关系式为368,18144 3.5,815xx x y x x x ⎧--≤<⎪=+⎨⎪-≤≤⎩； (7)（2）368,18144 3.5,815xx x y x x x ⎧--≤<⎪=+⎨⎪-≤≤⎩，当18x ≤<时，()363682912921711x y x x x x ⎡⎤=--=-++≤-⎢⎥++⎣⎦，当3611x x =++，即5x =时，等号成立， (11)当815x ≤≤时，44 3.5y x =-是减函数，当8x =时，取得最大值16， (13)因为1716>，所以当5x =（万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为17万元 (15)18．(1)1335x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩(2)25+12∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，【详解】（1）函数21()21x x f x -=+定义域为(1,1)-，关于原点对称，212122()1212121x x x x xf x +--===-+++，所以易知，()f x 在(1,1)-上单调递增，因为()2112()2112x xx xf x f x -----===-++，()f x 是奇函数，由(21)(32)0f x f x -+-<可得()(21)(32)23f x f x f x -<--=-，所以121112312123x x x x-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得：1335x <<.故不等式的解集为：1335x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩. (7)（2）由()()0f a f b +=可得()()()f a f b f b =-=-，所以=-b a ，不妨设a b >，则01a <<，因为1()421x x g x m m +=+⋅+-，令122aat =+，则522t <<，所以，11()()()()421421a a a a g a g b g a g a m m m m +--++=+-=+⋅+-++⋅+-211=222222a a a am m ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2210t m t =+-≥， (12)所以222t m t≥-，令()22211=2222111222t h t t t t t ==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭，因为522t <<，所以21152t <<，所以2111112222225t ⎛⎫-<--<- ⎪⎝⎭，所以()25212h t -<<-，所以2512m >-所以实数m 的取值范围为：25+12∞⎛⎫- ⎪⎝⎭ (17)19．(1)是，理由见解析(2)116m ≥(3)||||||a b a b +≥+，证明见解析【详解】（1）对任意的12R x x ∈､，且12x x ≠，()()12122g x g x x x -=-，()()12124f x f x x x -=-.显然有()()()()1212g x g x f x f x -<-，所以函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L 函数”. (3)（2）因为函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L 函数”，所以()()()()1212g x g x f x f x -<-对任意的[)()12120,x x x x ∞∈+≠､恒成立，22122x x <-对任意的[)()12120,x x x x ∞∈+≠､恒成立，22122x x <-对任意的[)()12120,x x x x ∞∈+≠､恒成立，12>对任意的[)()12120,x x x x ∞∈+≠､恒成立，即12≥，解得116m ≥ (8)（3）因为0a b +≥，0a b +≥，所以()2222a b a b ab ab +-+=-.所以当0ab ≥时，()22220a b a b ab ab +-+=-=.当0ab <时，()222240a b a b ab ab ab +-+=-=->.综上：a b +≥a b +. (11)对于[]120,2x x ∈､，不妨设12x x >，（i ）当1201x x <-≤时，因为函数()y g x =是函数()y f x =在[]0,2上的“L 函数”，所以()()1212|1g x g x x x -<-≤∣.此时()()121g x g x -<成立； (13)（ii ）当121x x ->时，由[]120,2x x ∈､得1212x x <-≤，因为()()02g g =，函数()y g x =是函数()y f x =在[]0,2上的“L 函数，所以()()()()()()121220g x g x g x g g g x -=-+-()()()()1220g x g g g x ≤-+-()()12121220221x x x x x x <-+-=-+=--<，此时()()121g x g x -<也成立，综上，()()121g x g x -<恒成立. (17)。
高一(上学期)期中考试数学试卷
高一（上学期）期中考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{,}A x y =，集合{}22,2B x x =，且A B =，则x =_______ 2．已知函数1()4x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 坐标是___________3．定义在R 上的奇函数()y f x =满足(1)(0)f f π+=，则(1)f -=___________．4．方程42log 13x +=的解x =___________．5．若关于x 的方程53=+x a 有负实根，则实数a 的取值范围是___________6．若函数2245y x x =-+的图象按向量a 平移后得到函数22y x =的图象，则向量a 的坐标为________. 7．在如今这个5G 时代，6G 研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G 速率有望达到1Tbps ，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G 数据传输速率有望比5G 快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C 取决于信道宽带W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比．若不改变宽带W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递率C 会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）8．设a 是实数，若1x =是x a >的一个充分条件，则a 的取值范围是__________.9．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且211a q =+，则该数列的各项和的最小值为__________． 10．已知0,0a b >>，且12223a b +=+，则2a b +的最小值为___________. 11．已知a 为奇数且0a >，则关于x 的不等式21a x x x ≤-的解集为___________． 12．设,x y ∈R ，若|||4||||1|5x x y y +-++-≤，则23x y xy -+的取值范围为___________．二、单选题13．设a 、b 、c 表示三条互不重合的直线，α、β表示两个不重合的平面，则使得“//a b ”成立的一个充分条件为（ ）A ．a c ⊥，b c ⊥B ．//a α，//b αC ．//a α，b αβ=，a β⊂D ．b α⊥，//c α，a c ⊥ 14．设集合{}02M x x =≤≤，{}02N y y =≤≤，那么下列四个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A ．①①①①B ．①①①C ．①①D ．①15．设20202021202120222121,2121a b ++==++，则下列说法中正确的是（ ） A ．a b > B ．11a b > C ．222a b +≥ D ．2b a a b+= 16．设C ={复数}，R ={实数}，M ={纯虚数}，全集U C =，则下列结论中正确的是（ ）A ．⋃=R M CB ．⋂=∅C R M C ．C C R M ⋂=D ．⋃=C C M R C三、解答题17．设全集为R ，已知301x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}223B x a x a =-<<+． (1)若1a =，求A B ⋂；(2)若A B ⋃=R ，求实数a 的取值范围．18．若不等式210mx mx +-<对x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x ∈时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）20．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x ，使得00(1)()(1)f x f x f +=+成立． （1）函数1()f x x=是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数2()lg ,1a f x M x =∈+求a 的取值范围； （3）设函数2x y =图像与函数y x =-的图像有交点且横坐标为a ，证明：函数2()2x f x x M =+∈，并求出对应的0x （结果用a 表示出来）．21．设非空集合{}2|(2)10,A x x b x b b R =++++=∈，求集合A 中所有元素的和．参考答案：1．12【分析】根据A ＝B ，得到两个集合的元素相同，然后根据集合元素的特点建立方程即可．【详解】解：因为集合A ：{x ，y }，B ：{2x ，2x 2}，且A ＝B ，当x ＝2x 时，x ＝0，此时A ＝{0，0}，B ＝{0，0}，不成立，舍去．所以x ＝2x 2，y ＝2x 解得x 12=或x ＝0（舍）． 当x 12=时，A ＝{12，1}，B ＝{1，12}满足条件． 所以A ＝{12，1}． 故答案为：12【点睛】本题主要考查集合相等的应用，集合相等，对应元素完全相同．注意进行检验．2．()1,5【分析】根据指数函数的指数为0，求出函数过定点坐标；【详解】解：因为1()4x f x a -=+，令10x -=，即1x =，所以11(1)45f a -=+=，即函数恒过点()1,5P ； 故答案为：()1,53．π-【分析】利用奇函数的性质有(1)(0)(1)0f f f +=--+，结合已知即可求值.【详解】由题意(0)0f =且()()f x f x -=-，则(1)(0)(1)0f f f π+=--+=，则(1)f π-=-.故答案为：π-.4．4【分析】根据对数的定义可得．【详解】由42log 13x +=得4log 1x =，所以4x =．故答案为：4．5．()3,2--【分析】设方程53=+x a 有负实根为00(0)x x <，根据指数函数的性质，得到0051x <<，进而得到031a <+<，即可求解.【详解】设关于x 的方程53=+x a 有负实根为00(0)x x <，根据指数函数的性质，可得0051x <<，所以031a <+<，可得32a -<<，即实数a 的取值范围是()3,2--.故答案为：()3,2--.6．(1,3)--【分析】把函数式2245y x x =-+配方后，根据图象变换知可得．【详解】2245y x x =-+22(1)3x =-+，因此把它向左平移1个单位，再下平移3个单位可得22y x =的图象．①(1,3)a =--．故答案为：(1,3)--．【点睛】本题考查函数图象平移，考查向量的概念．属于基础题．7．2.5##52【分析】设提升前最大信息传递率为1C ，提升后最大信息传递率为2C ， 再根据题意求21CC ，利用指数、对数的运算性质化简即可求解.【详解】设提升前最大信息传递率为1C ，提升后最大信息传递率为2C ，则由题意可知，122log (111)log 12C W W =+=，222log (1499)log 500C W W =+=， 所以()()()()log log log log lo log g C W C W ⨯⨯===⨯⨯223222222122210525500232123 log log log ...log log log ..+++⨯====≈+++23222232222523523232896252232158358倍. 所以最大信息传递率C 会提升到原来的2.5倍.故答案为：2.58．(),1-∞【分析】利用充分条件的定义，将问题转化为{}{}1|x x a ⊆>，由子集的定义求解即可.【详解】解：因为1x =是x a >的一个充分条件，则{}{}1|x x a ⊆>，所以1a <，则a 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.9．)21 【分析】先写出无穷等比数列各项和的表达式，然后利用基本不等式求解即可.【详解】{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，∴{}n a 数列的各项和为()()22111lim lim =11n n n n q q q S q q →+∞→+∞+-+=--，其中()()1,00,1q ∈-， 又11q -<<且0q ≠，012q ∴<-<且10q -≠，()())2211112122=21111q q q q q q ⎡⎤--++⎣⎦∴==-+-≥---，当且仅当211q q-=-，即1q =∴数列{}n a 的各项和的最小值为)21.故答案为：)21 10．8 【分析】根据0,0a b >>，且12223a b +=+，将2a b +转化为()2224a b a b +=++-()13222422a a b b =+⎛⎫+- ⎪+⎝⎤⎦⎭+⎡⎣，利用基本不等式求解. 【详解】因为0,0a b >>，且12223a b +=+， 所以()2224a b a b +=++-，()13222422a a b b =+⎛⎫+- ⎪+⎝⎤⎦⎭+⎡⎣， ()2324244a b a b +⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭,24834⎛ ≥+-= ⎝， 当且仅当()422a b a b+=+,即1,6a b ==时，等号成立， 所以2a b +的最小值为8，故答案为：811．{|1x x ≥或10}2x ≤< 【分析】讨论0x <、102x ≤<、12x >分别求对应解集，最后取并即得结果. 【详解】由题设1(21)02121a a a x x x x x x x ----=≥--，又a 为奇数且0a >，则12,N a k k -=∈， 当0x <时，1210a a x x ---<，210x -<，则021a x x x -<-不满足题设； 当102x ≤<时，021a x x x ≤≤-成立； 当12x >时，不等式等价于1(21)1a x x --≥， 若112x <<时，10,211a x x -<-< ，即1(21)1a x x --<与题设矛盾；若1≥x 时，1,211a x x --≥，满足1(21)1a x x --≥；综上，不等式解集为{|1x x ≥或10}2x ≤<. 故答案为：{|1x x ≥或10}2x ≤< 12．[3,9]-【分析】利用绝对值三角不等式可得|||4||||1|5x x y y +-++-=，即04x ≤≤，01y ≤≤，利用23m x y xy=-+中(,)x y 与{(,)|04,01}x y x y ≤≤≤≤有公共点，讨论3x =或2y =-、3x ≠研究m 的范围即可.【详解】|||4||||4||4|4x x x x x x +-=+-≥+-=，当04x ≤≤时等号成立，|||1||||1||1|1y y y y y y +-=+-≥+-=，当01y ≤≤时等号成立，所以|||4||||1|5x x y y +-++-≥，而|||4||||1|5x x y y +-++-≤，故|||4||||1|5x x y y +-++-=，此时04x ≤≤，01y ≤≤，令23m x y xy =-+中(,)x y ，与{(,)|04,01}x y x y ≤≤≤≤所表示的区域有公共点，当3x =或2y =-时6m =，而3[0,4]x =∈，故6m =满足；当3x ≠时，由62[0,1]3m y x -=-∈-得：6233m x -≤≤-，而04x ≤≤， 若34x <≤时60m ->，此时23(1)x m x ≤≤-，故69<≤m ；若03x ≤<时60m ->，此时233x m x ≥≥-，故36m -≤<；综上，3m -≤≤9.故答案为：[3,9]-【点睛】关键点点睛：利用绝对值三角不等式得|||4||||1|5x x y y +-++-=确定x 、y 的范围，再将问题转化为23m x y xy =-+中(,)x y 与{(,)|04,01}x y x y ≤≤≤≤有公共点求m 的范围即可.13．C【分析】由线线垂直的性质可判断A ，由线面平行的性质可判断B ，由线面平行的性质可判断C ，由线面平行垂直的性质可判断D ．【详解】选项A ：当a c ⊥，b c ⊥时，则//a b 或a 与b 相交或异面，①A 错误，选项B ：当//a α，//b α时，则//a b 或a 与b 相交或异面，①B 错误，选项C ：由线面平行的性质定理，当//a α，a β⊂，b αβ=时，则//a b ，①C 正确，选项D ：当b α⊥，//c α时，①b c ⊥，①a c ⊥，则//a b 或a 与b 相交或异面，①D 错误故选：C14．C【分析】根据函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为{}02M x x =≤≤，对于①中，函数的定义域不是集合M ，所以不能构成集合M 到集合N 的函数关系；对于①中，函数的定义域为集合M ，值域为集合N ，所以可以构成集合M 到集合N 的函数关系； 对于①中，函数的定义域为集合M ，值域为集合N ，所以可以构成集合M 到集合N 的函数关系；对于①中，根据函数的定义，集合M 中的元素在集合N 中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确.故选：C15．A【分析】令()()1111111212112222121212x x x x x f x +++++++===++++，判断函数的单调性，即可判断A ，再根据不等式的性质即可判断BC ，再利用基本不等式即可判断D.【详解】解：令()()1111111212112222121212x x x x x f x +++++++===++++， 因为121x y +=+在R 上递增，且1210x ++>，所以函数()f x 在在R 上递减，所以()()202020210f f >>，即0a b >>，所以11a b<， 故A 正确，B 错误； 因为2020202120212022212101,012121a b ++<=<<=<++， 所以222a b +<，故C 错误；因为2b a a b +≥， 当且仅当b a a b=，即a b =时，取等号，又a b >， 所以2b a a b +>，故D 错误. 故选：A.16．D【分析】注意复数域的构成，对选项逐一分析，可得结果.【详解】因为对于任意复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，当0b =时z 为实数，当0b ≠时z 为虚数，当0,0a b =≠时z 为纯虚数，所以复数包括实数和虚数，纯虚数是特殊的虚数，所以对于A 项，并集中还少不是纯虚数的虚数，对于B 项，交集应该为R ，对于C 项，结果应该为虚数集，只有D 项是满足条件的，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数域的问题，涉及到的知识点有复数的分类，集合的运算，数域简单题目. 17．(1){|13}x x <≤；(2)3a >.【分析】(1)解分式不等式可得集合A ，并求出A ，由1a =得集合B ，再利用交集的定义直接计算作答.(2)由A B =R 可得A B ⊆，再借助集合的包含关系列式计算作答.(1) 解不等式：301x x ->+，即(3)(1)0x x -+>，解得：1x <-或3x >，则{|1A x x =<-或3}x >， 因全集为R ，于是得{|13}A x x =-≤≤，当1a =时，{|15}B x x =<<， 所以{|13}A B x x ⋂=<≤.(2)由(1)知，{|13}A x x =-≤≤，因A B =R ，因此有：A B ⊆，于是得21233a a -<-⎧⎨+>⎩，解得3a >， 所以实数a 的取值范围是：3a >.18．(]4,0-【分析】本题需要对0m =和0m ≠两种情况分别讨论. 当0m =时结论恒成立; 当0m ≠时，使用二次函数的性质分析求解; 最后综合两种情况的结论即可.【详解】由已知可得，当0m =时，10-<成立;当0m ≠时，要使不等式210mx mx +-<对x ∈R 恒成立,则二次函数开口向下, 即0m <,且最大值要小于0, 即和x 轴没有交点, 所以240m m ∆=+<, 解得40m -<<; 综上, m 的取值范围为(]4,0m ∈-.19．（1）20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.【解析】（1）根据题意，分别求得(0,16]x ∈和(16,40]x ∈上的解析式，即可求解； （2）当(0,16]x ∈和(16,40]x ∈时，令()68f x <，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当(0,16]x ∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b =-+<，因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()(12)844f x x =--+， 当(16,40]x ∈时，0.8()log ()80f x x a =++，由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+， 综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684f x x =--+<， 即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟. 20．（1）1()f x M x=∉，答案见解析；（2）3a ⎡∈⎣；（3）证明见解析；01x a =+． 【分析】（1）集合M 中元素的性质，即有()()()0011f x f x f +=+成立，代入函数解析式列出方程，进行求解即可；（2）根据()()()0011f x f x f +=+和对数的运算，求出关于a 的方程，再根据方程有解的条件求出a 的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；（3）利用()()()0011f x f x f +=+和()22x f x x M =+∈，整理出关于0x 的式子，利用2x y =图象与函数y x=-的图象有交点，即对应方程有根，与求出的式子进行比较和证明.【详解】（1）若1(),f x M x=∈在定义域内存在0x ， 则20000111101x x x x =+⇒++=+方程无解，所以1(),f x M x=∉第 11 页 共 11 页 （2）由题意得2()lg 1a f x M x =∈+ 222lg lg +lg (2)22(1)0(+1)112a a a a x ax a x x ∴=⇒-++-=++ 当2a =时，12x =； 当2a ≠时，由0∆≥，得2640a a -+≤，解的)(32,35a ⎡∈+⎣综上，3a ⎡∈⎣； （3）函数2()2,x f x x M =+∈001220000(1)()(1)2(1)23x x f x f x f x x +∴+--=++---00100=22(1)22(1),x x x x -⎡⎤+-=+-⎣⎦又函数2x y =图像与函数y x =-的图像有交点且横坐标为a则010202(1)0x a a x -+=⇒+-=，其中01x a =+00(1)()(1),f x f x f ∴+=+即2()2x f x x M =+∈．【点睛】此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.21．答案见解析【分析】分一元二次方程有相等实根与两个不相等实根讨论，当有相等实根时，直接求解，当有不相等实根时由根与系数关系求解.【详解】当0b =时，解得121x x ==-，{1}A =-，所以A 中所有元素之和为1-，当0b ≠时，22(2)4(1)0b b b ∆=+-+=>，方程2(2)10x b x b ++++=有两个不等的实根，由根与系数的关系知12(2)x x b +=-+，即A 中所有元素之和为2b --，【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，分类讨论的思想，集合的描述法，属于中档题.。
四川省成都市2023-2024学年高一上学期期中数学试题(含答案)
成都2023-2024学年度上期高2026届半期考试数学试题（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.全称量词命题“5,lg 4x x x ∀∈+≠R ”的否定是（）A.x ∃∈R ，5lg 4x x +=B.x ∀∈R ，5lg 4x x +=C.x ∃∈R ，5lg 4x x +≠D.x ∀∉R ，5lg 4x x +≠【答案】A 【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题.【详解】“5,lg 4x x x ∀∈+≠R ”的否定是“x ∃∈R ，5lg 4x x +=”.故选：A .2.下列命题为真命题的是（）A.若33a bc c<，则a b < B.若a b <，则33<ac bc C.若a b <，c d <，则a c b d -<- D.若a c b d -<-，c d <，则a c b d+<+【答案】D 【解析】【分析】举反例可判断选项A 、B 、C ，由不等式的性质可判断选项D.【详解】对于选项A ，当1c =-时，若33a bc c<，则a b >，与a b <矛盾，故选项A 错误；对于选项B ，当0c =时，若a b <，则330ac bc ==，与33<ac bc 矛盾，故选项B 错误；对于选项C ，当56a b ==，，10c d =-=，，满足a b <，c d <，但a c b d -=-，这与a c b d -<-矛盾，故选项C 错误；对于选项D ，因为a c b d -<-，c d <，所以由不等式性质可得：()()a c c b d d -+<-+，即a b <.因为a b <，c d <，由不等式性质可得：a c b d +<+，故选项D 正确.故选：D.3.设函数()ln 26f x x x x =+-，用二分法求方程ln 260x x x +-=在()2,3x ∈内的近似解的过程中，计算得(2)0,(2.5)0,(2.25)0f f f <>>，则下列必有方程的根的区间为（）A.()2.5,3 B.()2.25,2.5 C.()2,2.25 D.不能确定【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在性定理及二分法的相关知识即可判断.【详解】显然函数()ln 26f x x x x =+-在[]2,3x ∈上是连续不断的曲线，由于(2)0,(2.25)0f f <>，所以()()2· 2.250f f <，由零点存在性定理可得：()ln 26f x x x x =+-的零点所在区间为()2,2.25，所以方程ln 260x x x +-=在区间()2,2.25内一定有根.故选：C.4.函数2||3()33x x f x =-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可.【详解】由33011xx x -≠⇒≠⇒≠±，所以该函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，显然关于原点对称，因为()()()22||||333333x x x x f x f x ---===--，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC ，当1x >时，()33=3300xxf x --<⇒<，排除选项B ，故选：D5.若0a >，0b >，则“221a b +≤”是“a b +≤”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据不等式之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【详解】当0a >，0b >，且221a b +≤时，()()22222222a b a b ab a b +=++≤+≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以a b +≤，充分性成立；1a =，14b =，满足0a >，0b >且a b +≤，此时221a b +>，必要性不成立.则“221a b +≤”是“a b +≤”的充分不必要条件.故选：A6.已知当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量y 与死亡年数x 的关系为573012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．不久前，考古学家在某遗址中提取了数百份不同类型的样品，包括木炭、骨头、陶器等，得到了一系列的碳14测年数据，发现生物组织内碳14的含量是死亡前的34．则可以推断，该遗址距离今天大约多少年（参考数据ln 20.7≈，ln 3 1.1≈）（）A.2355B.2455C.2555D.2655【答案】B 【解析】【分析】设该遗址距离今天大约0x 年，则0573005730132412x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据对数的运算性质及换底公式计算即可.【详解】设该遗址距离今天大约0x 年，则0573005730132412x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，即057301324x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以01222234ln 3 1.1log log log 4log 322573043ln 20.7x ===-=-≈-，所以0115730224557x ⎛⎫≈⨯-= ⎪⎝⎭，即该遗址距离今天大约2455年.故选：B .7.已知函数2295,1()1,1a x ax x f x xx -⎧-+≤=⎨+>⎩，是R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A.92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.94,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[]2,4 D.(]9,2,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】依题意，()f x 在R 上单调递减，所以2291229011511a aa a -⎧≥⎪⎪-<⎨⎪-⨯+≥+⎪⎩，解得24a ≤≤，所以a 的取值范围是[]2,4故选：C8.设358log 2,log 3,log 5a b c ===，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】B 【解析】【分析】利用中间值比较大小得到23<a ，2334b <<，34c >，从而得到答案.【详解】333log 22log 20o 33938l g a --=-=<，故23<a ，555log 27log 2522log 30333b --=-=>，555log 81log 12533log 30444b --=-=<，故2334b <<，888log 5log 33log 5054246124c --=-=>，34c >，故a b c <<故选：B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.任何集合都是它自身的真子集B.集合{},,,a b c d 共有16个子集C.集合{}{}42,Z 42,Zx x n n x x n n =+∈==-∈D.集合{}{}22|1,|22,x x a a x x a a a ++=+∈==-+∈N N 【答案】BC 【解析】【分析】根据真子集的性质、子集个数公式，结合集合的描述法逐一判断即可.【详解】A ：根据真子集的定义可知：任何集合都不是它自身的真子集，所以本选项说法不正确；B ：集合{},,,a b c d 中有四个元素，所以它的子集个数为42=16，所以本选项说法正确；C ：因为{}(){}42,Z 412,Z x x n n x x n n =-∈==-+∈，所以{}42,Z x x n n =+∈与{}42,Z x x n n =-∈均表示4的倍数与2的和所组成的集合，所以{}{}42,Z 42,Z x x n n x x n n =+∈==-∈，因此本选项说法正确；D ：对于{}2|22,x x a a a +=-+∈N ，当1a =时，2221x a a =-+=，即{}21|22,x x a a a +∈=-+∈N ，但{}21|1,x x a a +∉=+∈N ，所以两个集合不相等，因此本选项说法不正确.故选：BC.10.已知正实数x ，y 满足1x y +=，则下列不等式成立的有（）A.22x y +≥ B.14≤xy C.124x x y+≥ D.1174xy xy +≥【答案】ABD【解析】【分析】选项A 用基本不等式性质判断即可；选项B 用基本不等式的推论即可；选项C 将1x y +=带入，再用基本不等式判断；D 利用对勾函数的单调性判断.【详解】对A ：因为x ，y为正实数22x y +≥==，当且仅当12x y ==时取等号，所以A 正确；对B ：因为2211224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y ==时取等号，所以B 正确；对C：因为1222111x x y x y x x y x y x y ++=+=++≥+=+2y x x y =时取等号，所以C 错误；对D ：由B 选项可知14≤xy ，令xy t =，则104t <≤，11xy t xy t +=+()1104f t t t t ⎛⎫=+<≤ ⎪⎝⎭因为对勾函数在104t <≤上是减函数，所以()11744f t f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以D 正确；故选：ABD 11.已知()1121xa f x +=+-是奇函数，则（）A.1a = B.()f x 在()(),00,x ∈-∞⋃+∞上单调递减C.()f x 的值域为()(),11,-∞-⋃+∞ D.()()3log 2f x f >的解集为()0,9x ∈【答案】AC 【解析】【分析】由奇函数的定义可判定A 项，利用指数函数的性质可判定B 项，进而可求值域判定C 项，可结合对数函数的性质解不等式判定D 项.【详解】因为函数()1121xa f x +=+-是奇函数，易知2100x x -≠⇒≠，则有()()()()()11211112210212121x x x xa a a f x f x a -+-++-+=+++=+=-+=---，解之得1a =，故A 正确；则()2121xf x =+-，易知当0210x x y >⇒=->且有21xy =-单调递增，故此时()2121x f x =+-单调递减，又由奇函数的性质可知0x <时()f x 也是单调递减，故()f x 在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故B 错误；由上可知0x >时，222100112121xx x ->⇒>⇒+>--，即此时()1f x >，由奇函数的性质可知0x <时，()1f x <-，则函数()f x 的值域为()(),11,-∞-⋃+∞，故C 正确；由上可知()()()33log 20log 21,9f x f x x >⇒<<⇒∈，故D 错误.故选：AC12.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 在区间()0,6上满足()()6f x f x -=，当(]0,3x ∈时，()13log f x x =；当[)6,x ∈+∞时，()21448f x x x =-+-．若直线y m =与函数()f x 的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为()1,2,3,4,5,6i x i =，且123456x x x x x x <<<<<，则下列结论正确的是（）A.122x x +>B.()5648,49x x ∈C.()()34661x x --> D.()()()()1122660,26x f x x f x x f x +++∈⎡⎤⎣⎦ 【答案】ABD 【解析】【分析】先利用函数的对称性和解析式作出函数图象，分别求出直线y m =与函数()f x 的图象的交点的横坐标的范围，运用基本不等式和二次函数的值域依次检验选项即得.【详解】如图，依题意可得13132log ,03()log (6),361448,6x x f x x x x x x ⎧<≤⎪⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+-≥⎪⎪⎩，作出函数()y f x =在(0,)+∞上的图象，设直线1y =与()y f x =的图象分别交于,,,A B C D 四点，显然有1(,1),(3,1),(7,1)3A B D ，由()()6f x f x -=知函数()f x 在区间()0,6上关于直线3x =对称，故可得：17(,1)3C .对于A 选项，由12()()f x f x =可得121133x x <<<<，111233log log x x =-，化简得121=x x ，由基本不等式得：122x x +>=，故A 项正确；对于B 选项，当[)6,x ∈+∞时，由()21448f x x x =-+-可知其对称轴为直线7x =，故562714,x x +=⨯=又因56678x x <<<<，故()25655551414x x x x x x =-=-+25(7)+49x =--在区间()6,7上为增函数，则有564849x x <<，故B 项正确；对于C 选项，由34()()f x f x =可得34356x x <<<<，131433log (6)log (6)x x -=--，化简得1343log [(6)(6)]0x x --=，故有()()34661x x --=，即C 项错误；对于D 选项，依题意，1236()()()(),f x f x f x f x m ===== 且01m <<，故()()()112266126()x f x x f x x f x x x x m +++=+++ ，又因函数()f x 在区间()0,6上关于直线3x =对称，故1423236,x x x x +=+=⨯=又由B 项分析知5614,x x +=于是126661426,x x x +++=++= 故得：()()()()1122660,26x f x x f x x f x +++∈⎡⎤⎣⎦ ，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数与直线y m =的交点横坐标的范围界定，关键在于充分利用绝对值函数与对称函数的图象特征进行作图，运用数形结合的思想进行结论检验.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若定义在[]4,4-上的奇函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调增区间为______．【答案】[]2,4和[]4,2--【解析】【分析】直接根据图象结合奇函数性质得到答案.【详解】根据图象，0x >时函数在[]2,4上单调递增，函数为奇函数，故函数在[]4,2--上也单调递增.故答案为：[]2,4和[]4,2--.14.若()()2log ,0215,0xx x f x f x x >⎧=⎨++≤⎩，则(1)(7)f f --=______．【答案】32【解析】【分析】直接计算得到答案.【详解】()()2log ,0215,0x x x f x f x x >⎧=⎨++≤⎩，则()()2221113(1)(7)147log 14log 7log 22222f f f f --=+-=+-=+=.故答案为：32.15.石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业．为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查．若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件x 元）在1025x <≤时，本次活动售出的件数()42105P x =-，若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为______元．【答案】15【解析】【分析】结合已知条件，求出利润()f x 的解析式，然后结合换元法和基本不等式即可求解.【详解】由题意可知，利润4210(10)()(5)x f x x -=-，1025x <≤，不妨令10(0,15]t x =-∈，则利润44421010()50025(5)10t f x y t t t ===≤+++，当且仅当25t t=时，即5t =时，即15x =时，不等式取等号，故销售价格每件应定为15元.故答案为：15.16.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．那么，函数()323f x x x x =--图象的对称中心是______．【答案】()1,3-【解析】【分析】计算出()()b f x a b f x a +-++--()232662622a x a a a b =-+---，得到3266026220a a a a b -=⎧⎨---=⎩，求出13a b =⎧⎨=-⎩，得到对称中心.【详解】()()bf x a b f x a +-++--()()()()()()3232332x a x a x a x a x a x a b =+-+-++-+--+--+-32232232233336333x ax a x a x ax a x a x ax a x a =+++------+-+223632x ax a x a b-+-+--()232662622a x a a a b =-+---，要想函数()y f x a b =+-为奇函数，只需()2326626220a x a a a b -+---=恒成立，即3266026220a a a a b -=⎧⎨---=⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩，故()323f x x x x =--图象的对称中心为()1,3-故答案为：()1,3-四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）计算2173ln 383log 210e 22lg 527log 10-⎛⎫-⨯--⎪⎝⎭；（2）已知11224x x-+=，求3322x x -+的值．【答案】（1）0（2）52【解析】【分析】（1）结合指数运算及对数运算性质，换底公式即可求解；（2）考察两式间的内在联系，结合立方和公式即可求解.【详解】（1）21723ln 3833log 2101727e22lg 52()(lg 5lg 2)27log 10864-⎛⎫-⨯--=--+ ⎪⎝⎭1791088--==；（2）由11224x x-+=，则112122()216x x x x --+=++=，则114x x -+=，则3322x x-+()11122141352x x x x --⎛⎫=+-+=⨯= ⎪⎝⎭.18.已知全集R U =，集合5|1,{|16}2A x B x x x ⎧⎫=>=<≤⎨⎬-⎩⎭，{1C x x a =≤-∣或21}x a ≥+．（1）求()U A B ∩ð；（2）若()A B C ⊆ ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{31}xx -<≤∣（2）(],2[7,)-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）解出分式不等式，求出集合A ，再利用交集和补集的含义即可得到答案；（2）分R C =和R C ≠讨论即可.【小问1详解】{}5310(3)(2)0{32}22x A x x x x x x x x x +⎧⎫⎧⎫=>=>=+->=-<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭∣∣∣∣{16}B x x =<≤∣，{1U B x x ∴=≤∣ð或6}x >，(){31}U A B x x ∴=-<≤ ∣ð.【小问2详解】{36}A B x x =-<≤ ∣，且()A B C ⊆ ，①R C =，1212a a a -≥+⇒≤-，此时满足()A B C ⊆ ，②R C ≠，2a >-，此时213a +>-，则167-≥⇒≥a a ，此时满足()A B C ⊆ ，综上所述，实数a 的取值范围为(],2[7,)-∞-+∞ .19.在“①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 是奇函数．”这两个条件中选择一个补充在下列的横线上，并作答问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知函数()ln(e )ln(e )f x x k x =++-，且______．（1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 在()0,e 上的单调性，并根据单调性定义证明你的结论．【答案】（1）选择①时，()ln(e )ln(e )f x x x =++-；选择②时，()ln(e )ln(e )f x x x =+--（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义求解参数k ，即可得()f x 的解析式；（2）根据函数单调性的定义证明即可得结论.【小问1详解】选择①：函数()ln(e )ln(e )f x x k x =++-的定义域满足e 0e 0x x +>⎧⎨->⎩，解得e e x -<<，故定义域为()e,e -，若函数()f x 是偶函数，所以()()()()ln e ln e f x x k x f x -=-++=，则()()()()ln e ln e ln e ln e x k x x k x -++=++-，则1k =所以()ln(e )ln(e )f x x x =++-；选择②：函数()ln(e )ln(e )f x x k x =++-的定义域满足e 0e 0x x +>⎧⎨->⎩，解得e e x -<<，故定义域为()e,e -，若函数()f x 是奇函数，所以()()()()ln e ln e f x x k x f x -=-++=-，则()()()()ln e ln e ln e ln e x k x x k x -++=-+--，则1k =-所以()ln(e )ln(e )f x x x =+--；【小问2详解】选择①：函数22()ln(e )ln(e )ln(e )f x x x x =++-=-在()0,e 上单调递减．证明：1x ∀,()20,e x ∈，且12x x <，有，有22222221121212(e )(e )()()x x x x x x x x ---=-=+-，由120e x x <<<，得120x x +>，120x x -<，所以1212()()0x x x x +-<，于是222212e e 0x x ->->，所以222221e 01e x x -<<-，所以22222222121221e ()()ln(e )ln(e )ln ln10e xf x f x x x x --=---=<=-，即12()()f x f x >，所以函数22()ln(e )f x x =-在()0,e 上单调递减．选择②：函数e ()ln(e )ln(e )ln e xf x x x x+=+--=-在()0,e 上单调递增．证明：1x ∀,()20,e x ∈，且12x x <，则21211221212121e e (e )(e )(e )(e )2()e e (e )(e )(e )(e )x x x x x x x x x x x x x x +++--+---==------由120e x x <<<，得210x x ->，2e 0x ->，1e 0x ->，所以21212()0(e )(e )x x x x ->--，即2121e e 0e e x x x x ++>>--，于是2211e e 1e e x x x x +->+-，所以2212211211e e e e ()()lnln ln ln10e e e e x x x x f x f x x x x x +++--=-=>=+---，即12()()f x f x <，所以函数e ()lne xf x x+=-在()0,e 上单调递增．20.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20~79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的含量变化规律的“散点图"”如图，该函数近似模型如下：()20.43()49.18,02256.26e14.73,2x a x x f x x -⎧-+≤<⎪=⎨⎪⋅+≥⎩，又已知酒后1小时测得酒精含量值为46.18毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：（1）当02x ≤<时，确定()f x 的表达式；（2）喝1瓶啤酒后多长时间后才可以驾车？（时间以整分钟计算）（附参考数据：ln527 6.27,ln56268.63,ln14737.29===）【答案】（1）23()12()49.182f x x =--+（2）314分钟后【解析】【分析】（1）根据题中条件，建立方程(1)46.18f =，解出即可；（2）根据题意建立不等式，解出即可.【小问1详解】根据题意知，当02x ≤<时，23()()49.182f x a x =-+，所以23(1)(149.1846.182f a =-+=，解得12a =-，所以当02x ≤<，23()12()49.182f x x =--+.【小问2详解】由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精含量小于20mg /百毫升时可以驾车，当02x ≤<时，()20f x >，此时2x ≥，由0.456.26e 14.7320x -⋅+<，得0.4 5.27527e56.265626x-<=，两边取自然对数可得，0.4ln 527ln 5626 6.278.36 2.09x -<-=-=-，所以 2.095.2250.4x >=，又5.225小时=313.5分钟，故喝1瓶啤酒314分钟后才可以驾车.21.已知函数12x y a -=-（0a >，且1a ≠）过定点A ，且点A 在函数()()ln 1f x x m =+-，(R)m ∈的图象上．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若定义在[]1,2上的函数()()ln 2y f x k x =+-恰有一个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()ln 1f x x =-（2）e 2e,42⎛⎤++ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）把定点A 代入函数()f x 的解析式求出m 的值即可；（2）问题等价于()22e g x x kx =-+在[]1,2上恰有一个零点，根据函数零点的定义，结合二次函数的性质进行求解即可；【小问1详解】函数12x y a -=-（0a >，且1a ≠）过定点()1,1A -，函数()()ln 1f x x m =+-(R)m ∈的图象过点()1,1A -，即()ln 111m +-=-，解得0m =，函数()f x 的解析式为()ln 1f x x =-.【小问2详解】函数()()()ln 2ln 1ln 2y f x k x x k x +--==+-定义在[]1,2上，20k x ->在[]1,2上恒成立，可得4k >，令()()2ln 1ln 2ln 210y x k x kx x =-+--=-=，得22e 0xkx -+=，设()22e g x x kx =-+，函数()()ln 2y f x k x =+-在[]1,2上恰有一个零点，等价于()g x 在[]1,2上恰有一个零点，函数()22e g x x kx =-+图像抛物线开口向上，对称轴14kx =>，若()()12e 0282e 0g k g k ⎧=-+=⎪⎨=-+<⎪⎩，无解，不成立；若()()()()122e 82e 0g g k k ⋅=-+-+<，解得e2e 42k +<<+，满足题意；若()24282e 0k g k ⎧≥⎪⎨⎪=-+=⎩，无解，不成立；若()()12e 0124282e 0g k kg k ⎧=-+<⎪⎪<<⎨⎪=-+=⎪⎩，解得e 42k =+，满足题意.所以实数k 的取值范围为e 2e,42⎛⎤++ ⎥⎝⎦.22.若函数()f x 与()g x 满足：对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x g x m =成立，则称()f x 是()g x 在区间D 上的“m 阶伴随函数”；对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x f x m=成立，则称()f x 是区间D 上的“m 阶自伴函数”．（1）判断()22111f x x x =+++是否为区间[]0,4上的“2阶自伴函数”？并说明理由；（2）若函数()32πx f x -=区间1,3b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“1阶自伴函数”，求b 的值；（3）若()2214f x x ax a =-+-是()4log (167)g x x =--在区间[0,2]上的“2阶伴随函数”，求实数a 的取值范围．【答案】（1）不是，理由见解析（2）1b =（3）314a ≤≤【解析】【分析】（1）根据给定的定义，取12x =，判断2()1f x =在[]0,4是否有实数解即可；（2）根据给定的定义，当11,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，用1x 表示2x 并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即可；（3）根据()g x 的单调性求解其在区间[0,2]上的值域，进而将问题转化为()f x 在区间[0，2]上的值域是[]4,1--的子集，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解．【小问1详解】假定函数()22111f x x x =+++是区间[]0,4上的“2阶自伴函数”，则对任意的[]10,4x ∈，总存在唯一的[]20,4x ∈，使()()122f x f x =成立，取10x =，1()2f x =，由12()()2f x f x =，得2()1f x =，则()222221111f x x x =++=+，则()()222221110x x +-++=，进而可得()222131024x ⎡⎤+-+=⎢⎣⎦显然此方程无实数解，所以函数()22111f x x x =+++不是区间[]0,4上的“2阶自伴函数”，【小问2详解】函数()32πx f x -=为区间1,3b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“1阶自伴函数”，则对任意11,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的21,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12()()1f x f x =，即123232ππ1x x --=，进而1243x x +=，得2143x x =-，显然函数2143x x =-在11,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，且当113x =时，21x =，当1x b =时，243x b =-，因此对1,3b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的每一个1x ，在4[,1]3b -内有唯一2x 值与之对应，而21,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以41[,1][,]33b b -⊆，所以14133b b ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得11b b ≥⎧⎨≤⎩，即1b =，所以b 的值是1．【小问3详解】由于41log 67,t x y t =-=分别为定义域内单调递增和单调递减函数，所以函数()4log (167)g x x =--在[0,2]上单调递增，且()()102,22g g =-=-得函数()g x 的值域为12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，由函数()2214f x x ax a =-+-是()4log (167)g x x =--在区间[0,2]上的“2阶伴随函数”可知，对任意的1[0x ∈,2]，总存在唯一的2[0x ∈,2]时，使得12()()2f x g x =成立，于是[]122()4,1()f xg x =∈--，则()2214f x x ax a =-+-在区间上[0,2]的值域是区间[]4,1--的子集，而函数()2214f x x ax a =-+-图象开口向上，对称轴为x a =，显然(0)14f a =-，()258f a =-，()241f a a a =--+，当0a ≤时，()f x 在[0,2]上单调递增，则min max ()(0)4()(2)1f x f f x f =≥-⎧⎨=≤-⎩，即0144581a a a ≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤-⎩，无解；当2a ≥时，()f x 在[0,2]上单调递减，则min max ()(2)4()(0)1f x f f x f =≥-⎧⎨=≤-⎩，即2584141a a a ≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤-⎩，无解；当02a <<时，()f x 在[0,]a 上单调递减，在[a ,2]上单调递增，则()()4(2)101f a f f ≥-⎧⎪≤-⎨⎪≤-⎩，即202581141144a a a a a <<⎧⎪-≤-⎪⎨-≤-⎪⎪-+-≥-⎩，解得314a ≤≤；综上，a 的取值范围是314a ≤≤．。
高一上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高一年级第一学期期中考试数学试卷考试时间120分钟，满分150分。
卷Ⅰ(选择题共60分)一．选择题（共12小题，每小题5 分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）1.已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则C B A= （）A. B. C. D.2.若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（）A. B. C. D.3.函数y=的图象是（）A. B. C. D.4.幂函数在时是减函数，则实数m的值为A. 2或B.C. 2D. 或15.若函数y=f（x）的定义域是（0，4]，则函数g（x）=f（x）+f（x2）的定义域是（）A. B. C. D.6.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.7.已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，，则当x＜0时，f（x）表达式是（）A. B. C. D.8.函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝-1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知函数f（x）=|lg x|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（）A. B. C. D.10.若函数f（x）=，且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.若在区间上递减，则a的取值范围为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=则函数g（x）=f[f（x）]-1的零点个数为（）A. 1B. 3C. 4D. 6卷Ⅱ(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.方程的一根在内，另一根在内，则实数m的取值范围是______．14.若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是______ ．15.当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是______ ．16.已知函数的定义域为D，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，18-22题12分）17.计算下列各式的值：（1）（2）．18.已知集合A={x|m-1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（-x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．19.已知函数，且．（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）当时，求使的的解集．20.已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）当时，f（kx2）＋f（2x－1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．21.“绿水青山就是金山银山”，随着我国经济的快速发展，国家加大了对环境污染的治理力度，某环保部门对其辖区内的一工厂的废气排放进行了监察，发现该厂产生的废气经过过滤排放后，过滤过程中废气的污染物数量千克/升与时间小时间的关系为，如果在前个小时消除了的污染物，（1）小时后还剩百分之几的污染物（2）污染物减少需要花多少时间（精确到小时）参考数据：22.设函数是增函数，对于任意x，都有．求；证明奇函数；解不等式．第一学期期中考试高一年级数学试卷答案1.【答案】A解：因为A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，B={x|2x+1＞1}={x|x＞-1}，则C B A=[3，+∞) ,故选A．2.【答案】C解：a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，则a＜c＜b，则选：C．3.【答案】B解：函数y=是奇函数，排除A，C；当x=时，y=ln＜0，对应点在第四象限，排除D.故选B．4.【答案】B解：由于幂函数在（0，+∞）时是减函数，故有，解得m =-1，故选B．5.【答案】A解：∵函数f(x)的定义域为(0,4],∴由,得,即0＜x≤2,则函数g(x)的定义域为(0,2],故选:A.6.【答案】C解：∵函数f（x）=e x+4x-3在R上连续，且f（0）=e0-3=-2＜0，f（）=+2-3=-1=-e0＞0，∴f（0）f（）＜0，∴函数f（x）=e x+4x-3的零点所在的区间为（0，）.故选C．7.【答案】D解：设x＜0，则-x>0，∵当x≥0时，，∴f（-x）=-x（1+）=-x（1-），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x），∴f（x）=x（1-），故选D．8.【答案】D解：∵函数f（x）为奇函数，若f（1）=-1，则f（-1）=-f（1）=1，又∵函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，-1≤f（x-2）≤1，∴f（1）≤f（x-2）≤f（-1），∴-1≤x-2≤1，解得：1≤x≤3，所以x的取值范围是[1，3].故选D．9.【答案】C解：因为f（a）=f（b），所以|lg a|=|lg b|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．故选C．10.【答案】D解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，∴函数f（x）=在R上单调递增，∴，解得a∈[4，8），故选D．11.【答案】A解：令u=x2-2ax+1+a，则f（u）=lg u，配方得u=x2-2ax+1+a=（x-a）2 -a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上单调递减，又真数x2-2ax+1+a＞0，二次函数u=x2-2ax+1+a在（-∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2-2ax+1+a＞0，则x∈（-∞，1]时，真数x2-2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．由题意，在区间（-∞，1]上，a的取值需令真数x2-2ax+1+a＞0，且函数u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，复合函数单调性遵从同增异减的原则．12.【答案】C解：令f（x）=1，当时，,解得x1=-，x2=1，当时，,解得x3=5，综上f（x）=1解得x1=-，x2=1，x3=5，令g（x）=f[f（x）]-1=0，作出f(x)图象如图所示：由图象可得当f（x）=-无解，f（x）=1有3个解，f（x）=5有1个解，综上所述函数g（x）=f[f（x）]-1的零点个数为4，故选C.13.【答案】(1,2)解：设f(x)=x2-2mx+m2-1，则f(x)=0的一个零点在(0,1)内，另一零点在(2,3)内．∴，即，解得1<m<2．故答案为(1,2).14.【答案】[-1，0）解：作出函数的图象如下图所示，由图象可知0＜g（x）≤1，则m＜g（x）+m≤1+m，即m＜f（x）≤1+m，要使函数的图象与x轴有公共点，则，解得-1≤m＜0．故答15.案为[-1，0）．【答案】．解：∵解：利用函数f（x）=x2+mx+4的图象，∵x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，∴，即，解得m-5．∴m的取值范围是．故答案为：．．利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立的条件，再求解即可．本题考查不等式在定区间上的恒成立问题．利用一元二次函数图象分析求解是解决此类问题的常用方法．16.【答案】[5，+∞）解：函数的定义域为：x≤2，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，令t=≥0，可得2x=4-t2，所以f（t）=5-t2-t，是开口向下的二次函数，t≥0，f（t）≤5，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是：m≥5．故答案为：[5，+∞）．求出函数的定义域，利用换元法结合函数的性质，求解实数m的取值范围．本题考查函数的最值的求法，换元法的应用，函数恒成立体积的应用，是基本知识的考查．17.【答案】解：（1）原式===；-----------（5分）（2）原式===log39-9=2-9=-7．----（10分）18.【答案】解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|-2＜x＜4}，----（1分）则A∪B={x|-2＜x≤7}，----（3分）又∁R A={x|x＜1或x＞7}，则（∁R A）∩B={x|-2＜x＜1}；----（5分）（2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B，分2种情况讨论：①当A=∅时，有m-1＞2m+3，解可得m＜-4，----（7分）②当A≠∅时，若有A⊆B，必有，解可得-1＜m＜，----（11分）综上可得：m的取值范围是：（-∞，-4）∪（-1，）．----（12分）19.【答案】解：（1），若要式子有意义，则,即，所以定义域为. ----（4分）（2）f(x)的定义域为，且所以f(x)是奇函数. ----（8分）（3）又f(x)>0，即，有.当时，上述不等式,解得. ----（12分）20.【答案】解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，即，则b=1，经检验，当b=1时，是奇函数，所以b=1；----（3分）（2），f（x）在R上是减函数，证明如下：在R上任取，，且，则，因为在R上单调递增，且，则，又因为，所以，即，所以f（x）在R上是减函数； ----（7分）（3）因为，所以，而f（x）是奇函数，则，又f（x）在R上是减函数，所以，即在上恒成立，令，，，，因为，则k<-1.所以k的取值范围为. ----（12分）21.【答案】解：（1）由已知，∴，当时，，故小时后还剩的污染物. ----（5分）（2）由已知，即两边取自然对数得：，∴，∴污染物减少需要花32小时. ----（12分）22.【答案】解：（1）由题设，令x=y=0，恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0；----（3分）（2）证明：令y=-x，则由f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数；----（7分）（3）∵，，即，又由已知f（x+y）=f（x）+f（y）得：f（x+x）=2f（x），∴f（x2-3x）＞f（2x），由函数f（x）是增函数，不等式转化为x2-3x＞2x，即x2-5x＞0，∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．----（12分）2019-2020学年第一学期期中考试高一数学试题说明:本试卷分为第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共三个大题，22个小题。
(完整版)高一数学第一学期期中考试试题及答案
A高一数学（必修1）第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U ={0，1，2，3，4}，M ={0，1，2}，N ={2，3}，则（C u M ）∩N =A ．B ．C ．D ．{}4,3,2{}2{}3{}4,3,2,1,02.设集合，，给出如下四个图形，其中能表示从集{}02M x x =≤≤{}02N y y =≤≤合到集合的函数关系的是M NA ．B ．C ．D ．3. 设，用二分法求方程内近似解的过程中()833-+=x x f x()2,10833∈=-+x x x在得，则方程的根落在区间()()()025.1,05.1,01<><f f f A. B. C. D. 不能确定(1,1.25)(1.25,1.5)(1.5,2)4. 二次函数的值域为])5,0[(4)(2∈-=x x x x f A. B. C. D.),4[+∞-]5,0[]5,4[-]0,4[-5. =+--3324log ln 01.0lg 2733e A .14 B .0C .1 D . 66. 在映射，，且，则中B A f →:},|),{(R y x y x B A ∈==),(),(:y x y x y x f +-→A 中的元素在集合B 中的像为)2,1(-A . B .C .D . )3,1(--)3,1()1,3()1,3(-7.三个数，，之间的大小关系为231.0=a 31.0log 2=b 31.02=c A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a8.已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，()y f x=R0x≥2()2f x x x=-0x<函数的解析式为()f xA． B．()(2)f x x x=-+()(2)f x x x=-C． D．()(2)f x x x=--()(2)f x x x=+9.函数与在同一坐标系中的图像只可能是xy a=log(0,1)ay x a a=->≠且A． B． C． D．10.设，则2log2log<<baA. B.10<<<ba10<<<abC . D.1>>ba1>>ab11.函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值54)(2+-=xxxf],0[m范围是A. B.[2,4] C. [0,4] D.),2[+∞]4,2(12.若函数()f x为定义在R上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)f0=，则不等式的解集为)(<xxfA．(2,0)(2,)-+∞B．(,2)(0,2)-∞-C．(,2)(2,)-∞-+∞D．)2,0()0,2(-高一数学（必修1）答题卷题 号一二三总分得 分一、选择题：（本大题小共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.函数，则的值为．⎩⎨⎧≥<--=-)2(2)2(32)(x x x x f x )]3([-f f 14.计算：．=⋅8log 3log 9415.二次函数在区间上是减少的，则实数k 的取值范围为 842--=x kx y ]20,5[．16.给出下列四个命题：①函数与函数表示同一个函数；||x y =2)(x y =②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；③函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到；2)1(3-=x y 23x y =④若函数的定义域为，则函数的定义域为；)(x f ]2,0[)2(x f ]4,0[⑤设函数是在区间上图像连续的函数，且，则方程()x f []b a ,()()0<⋅b f a f 在区间上至少有一实根；()0=x f []b a ,得分评卷人得分评卷人其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）已知全集，集合，，R U ={}1,4>-<=x x x A 或{}213≤-≤-=x x B （1）求、；B A )()(BC A C U U （2）若集合是集合A 的子集，求实数k 的取值范围.{}1212+≤≤-=k x k x M 18. （本题满分12分）已知函数.1212)(+-=x x x f ⑴判断函数的奇偶性，并证明；)(x f ⑵利用函数单调性的定义证明：是其定义域上的增函数.)(x f 19. （本题满分12分）已知二次函数在区间上有最大值，求实数的值2()21f x x ax a =-++-[]0,12a 20. （本题满分12分）函数)1,0)(3(log )(≠>-=a a ax x f a （1）当时，求函数的定义域；2=a )(x f （2）是否存在实数，使函数在递减，并且最大值为1，若存在，求出的值；a )(x f ]2,1[a 若不存在，请说明理由.21. （本题满分13分）广州亚运会纪念章委托某专营店销售，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向广州亚组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则得分评卷人增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为元．x (1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润(元)与每枚纪念章的销售价格(元)y x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格为多少元时，该特许专营店一年内利润(元)最大，并求出x y 最大值．22. （本题满分13分）设是定义在R 上的奇函数，且对任意a 、b ，当时，都有)(x f R ∈0≠+b a .0)()(>++ba b f a f （1）若，试比较与的大小关系；b a >)(a f )(b f （2）若对任意恒成立，求实数k 的取值范围.0)92()329(>-⋅+⋅-k f f xx x ),0[+∞∈x 高一数学参考答案一、选择题：题号123456789101112答案CDBCBDCAABBD二、填空题：13.14. 15. 16. ③⑤8143101,0()0,( -∞三、解答题：17. （1）{}{}32213≤≤-=≤-≤-=x x x x B ………2分，∴{}31≤<=x x B A ………4分{}3,1)()(>≤=x x x B C A C U U 或 ………6分（2）由题意：或， 112>-k 412-<+k ………10分解得：或. 1>k 25-<k ………12分18. （1）为奇函数.)(x f ………1分 的定义域为，,012≠+x∴)(x f R ………2分又 )(121221211212)(x f x f x x x x xx -=+--=+-=+-=--- 为奇函数.)(x f ∴………6分（2）1221)(+-=x x f 任取、，设，1x R x ∈221x x <)1221(1221()()(2121+--+-=-x x x f x f )121121(212+-+=x x )12)(12()22(22121++-=x x x x , 又，022********<-∴<∴<x x x x x x 或 12210,210x x +>+>．在其定义域R 上是增函数.)()(0)()(2121x f x f x f x f <∴<-∴或)(x f ∴………12分19. 函数的对称轴为：，)(x f x a =当时，在上递减，，即； 0<a ()f x ]1,0[2)0(=∴f 1,21-=∴=-a a ………4分当时，在上递增，，即； 1>a ()f x ]1,0[2)1(=∴f 2=a ………8分当时，在递增，在上递减，，即，01a ≤≤()f x ],0[a ]1,[a 2)(=∴a f 212=+-a a 解得：与矛盾；综上：或 251±=a 01a ≤≤1a =-2=a ………12分20. （1）由题意：，，即，)23(log )(2x x f -=023>-∴x 23<x 所以函数的定义域为；)(x f 23,(-∞………4分（2）令，则在上恒正，，在ax u -=3ax u -=3]2,1[1,0≠>a a ax u -=∴3上单调递减，]2,1[，即023>⋅-∴a )23,1()1,0( ∈a ………7分又函数在递减，在上单调递减，，即)(x f ]2,1[ax u -=3 ]2,1[1>∴a )23,1(∈a ………9分又函数在的最大值为1，， )(x f ]2,1[1)1(=∴f 即，1)13(log )1(=⋅-=a f a 23=∴a ………11分与矛盾，不存在. 23=a )23,1(∈a a ∴………12分21. (1)依题意⎩⎨⎧∈<<---∈≤<--+=++N x x x x N x x x x y ,4020),7)](20(1002000[,207),7)](20(4002000[ ∴， ⎪⎩⎪⎨⎧∈<<---∈≤<---=++N x x x N x x x y ,4020],41089)247[(100,207],81)16[(40022………5分定义域为{}407<<∈+x N x ………7分 (2) ∵，⎪⎩⎪⎨⎧∈<<---∈≤<---=++N x x x N x x x y ,402041089247[(100,207],81)16[(40022∴ 当时，则，(元)020x <≤16x =max 32400y =………10分当时，则，(元)2040x <<472x =max 27225y =综上：当时，该特许专营店获得的利润最大为32400元. 16x =………13分22. （1）因为，所以，由题意得：b a >0>-b a ，所以，又是定义在R 上的奇函数，0)()(>--+ba b f a f 0)()(>-+b f a f )(x f ，即.)()(b f b f -=-∴0)()(>-∴b f a f )()(b f a f >………6分（2）由（1）知为R 上的单调递增函数，)(x f ………7分对任意恒成立，0)92()329(>-⋅+⋅-k f f x x x ),0[+∞∈x ，即，)92()329(k f f x x x -⋅->⋅-∴)92()329(x x x k f f ⋅->⋅-………9分，对任意恒成立，x x x k 92329⋅->⋅-∴x x k 3293⋅-⋅<∴),0[+∞∈x 即k 小于函数的最小值. ),0[,3293+∞∈⋅-⋅=x u xx………11分令，则，xt 3=),1[+∞∈t 13131(323329322≥--=-=⋅-⋅=∴t t t u x x .1<∴k (13)。
高一数学上学期期中考试试卷含答案(共5套)
高一年级第一学期数学期中考试卷本试卷共4页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
第一部分 选择题(共60分)一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合{}1,2,3,4A =，{}1,0,2,3B =-，{}12C x R x =∈-≤<，则()A B C =（ ）A ．{}1,1-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,3,42．已知集合A={x∈N|x 2+2x ﹣3≤0}，则集合A 的真子集个数为 （ ）A ．3B ．4C ．31D ．323．下列命题为真命题的是（ ）A ．x Z ∃∈，143x <<B ．x Z ∃∈，1510x +=C ．x R ∀∈，210x -=D ．x R ∀∈，220x x ++>4．设x ∈R ，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()f x =m 的取值范围是（ ）A ．04m <≤B ．01m ≤≤C ．4m ≥D ．04m ≤≤6．已知实数m ， n 满足22m n +=，其中0mn >，则12m n +的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．127．若函数()()g x xf x =的定义域为R ，图象关于原点对称，在(,0)-∞上是减函数，且，()00f =，(2)0=g ，则使得()0f x <的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣2，2）8．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，已知 2.7e ≈，则()2f -、()f e 、()3f -的大小关系为（ ）A ．()()()32f e f f <-<-B ．()()()23f f e f -<<-C ．()()()32f f f e -<-<D ．()()()32f f e f -<<- 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，漏选3分，错选0分，满分20分）9．已知A B ⊆，A C ⊆，{}2,0,1,8B =，{}1,9,3,8C =，则A 可以是（ ）A ．{}1,8B ．{}2,3C ．{}1D ．{}210．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）A ．()f x x =与()g x =B ．()|1|f t t =-与()|1|g x x =-C ．2()f x x =与2()g x x =D ．21()1x f x x +=-与1()1g x x =- 11．已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(,4)-∞C ．若()3f x =，则xD ．()1f x <的解集为(1,1)-12．若函数()22,14,1x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则a 的取值可能是（ ） A ．0B ．1C ．32D ．3第二部分 非选择题(共90分)三、填空题（本大题共3小题，每小题5分, 共15分）13．已知2()1,()1f x x g x x =+=+，则((2))g f =_________.14．设集合22{2,3,1},{,2,1}M a N a a a =+=++-且{}2M N =,则a 值是_________.15．如果函数()2x 23f ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的，则实数a 的取值范围是______．四、双空题（本大题共1小题，第一空3分，第二空2分, 共5分）16．函数()2x f x x =+在区间[]2,4上的最大值为________，最小值为_________五、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知函数()233f x x x =+-A ，()222g x x x =-+的值域为B ． （Ⅰ）求A 、B ； （Ⅱ）求()R AB ．18．（本小题12分）已知集合{|02}A x x =≤≤，{|32}B x a x a =≤≤-.（1）若()U A B R ⋃=，求a 的取值范围； （2）若A B B ≠，求a 的取值范围.19．（本小题12分）已知函数23,[1,2](){3,(2,5]x x f x x x -∈-=-∈． （1）在如图给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；（2）写出()f x 的单调递增区间及值域；（3）求不等式()1f x >的解集．20．（本小题12分）已知函数()f x ＝21ax b x ++是定义在(－1，1)上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在(－1，1)上是增函数；（3）解不等式：(1)()0f t f t -+<.21．（本小题12分）某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()103C x x x =+（万元）．当年产量不小于80千件时，10000()511450C x x x=+-（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．（本小题12分）已知二次函数()f x 满足(1)()21f x f x x +-=-+，且(2)15f =.(1)求函数()f x 的解析式；(2) 令()(22)()g x m x f x =--，求函数()g x 在x ∈[0，2]上的最小值．参考答案1．C【详解】由{}1,2,3,4A =，{}1,0,2,3B =-，则{}1,0,1,2,3,4AB =- 又{}12C x R x =∈-≤<，所以(){}1,0,1AB C =-故选：C2．A 由题集合{}2{|230}{|31}01A x N x x x N x =∈+-≤=∈-≤≤=， ， ∴集合A 的真子集个数为2213-= ．故选A ．【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．D求解不等式判断A ；方程的解判断B ；反例判断C ；二次函数的性质判断D ；【详解】解：143x <<，可得1344x <<，所以不存在x ∈Z ，143x <<，所以A 不正确； 1510x +=，解得115x =-，所以不存在x ∈Z ，1510x +=，所以B 不正确； 0x =，210x -≠，所以x R ∀∈，210x -=不正确，所以C 不正确；x ∈R ，2217720244y x x x ⎛⎫=++=++≥> ⎪⎝⎭，所以D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，考查不等式的解法以及方程的解，属于基础题．4．A【解析】【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】 21121,13x x x -<∴-<-<<<,又1,2()1,3，所以“12x <<”是“21x -<”的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 5．D【解析】试题分析：因为函数()f x =的定义域是一切实数，所以当0m =时，函数1f x 对定义域上的一切实数恒成立；当0m >时，则240m m ∆=-≤，解得04m <≤，综上所述，可知实数m 的取值范围是04m ≤≤，故选D.考点：函数的定义域.6．A【解析】实数m ，n 满足22m n +=，其中0mn >12112141(2)()(4)(44222n m m n m n m n m n ∴+=++=++≥+=,当且仅当422,n m m n m n =+=，即22n m ==时取等号.12m n∴+的最小值是4.所以A 选项是正确的. 点睛:本题主要考查基本不等式求最值，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.解决本题的关键是巧妙地将已知条件22m n +=化为1，即112112(2)1,(2)()22m n m n m n m n+=∴+=++. 7．C【解析】【分析】根据函数的图象关于原点对称，可得知函数()g x 在()0,∞+上是减函数，即可利用其单调性在(,0)-∞和()0,∞+上解不等式即可．【详解】函数()()g x xf x =的定义域为R ，图象关于原点对称，在(,0)-∞上是减函数，且()20g =，所以函数()g x 在()0,∞+上是减函数．当0x =时，()00f =，显然0x =不是()0f x <的解．当()0,x ∈+∞时，()0f x <，即()()0g x xf x =<，而()20g =，所以()()20g x g <=，解得2x >；当(),0x ∈-∞时，()0f x <，即()()0g x xf x =>，而()()220g g -==，所以()()2g x g >-，解得2x <-．综上，()0f x <的x 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选：C.【点睛】本题主要考查利用函数的性质解不等式，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题． 8．D【解析】【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．【详解】因为对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以当12x x <时，12()()f x f x >，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又()f x 是偶函数，所以(3)(3)f f -=，(2)(2)f f -=，因为23e <<，所以(2)()(3)f f e f >>，即(2)()(3)f f e f ->>-．故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，解题方法是利用奇偶性化自变量为同一单调区间，利用单调性比较大小．9．AC【解析】【分析】推导出(){1A B C A ⊆⇒⊆，8}，由此能求出结果．【详解】∵A B ⊆，A C ⊆，()A B C ∴⊆{}2,0,1,8B =，{}1,9,3,8C =，{}1,8A ∴⊆∴结合选项可知A ，C 均满足题意.【点睛】本题考查集合的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．BC【解析】【分析】分别求出四个答案中两个函数的定义域和对应法则是否一致，若定义域和对应法则都一致即是相同函数.【详解】对于A ：()g x x ==，两个函数的对应法则不一致，所以不是相同函数，故选项A 不正确； 对于B ：()|1|f t t =-与()|1|g x x =-定义域和对应关系都相同，所以是相同函数，故选项B 正确； 对于C ：2()f x x =与2()g x x =定义域都是R ，22()g x x x ==，所以两个函数是相同函数，故选项C 正确对于D ：21()1x f x x +=-定义域是{}|1x x ≠±，1()1g x x =-定义域是{}|1x x ≠，两个函数定义域不同，所以不是相等函数，故故选项D 不正确；故选：BC【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为相同函数，判断的依据是两个函数的定义域和对应法则是否一致，属于基础题.11．BC【解析】【分析】根据分段函数的形式可求其定义域和值域，从而判断A 、 B 的正误，再分段求C 、D 中对应的方程的解和不等式的解后可判断C 、D 的正误．【详解】由题意知函数()f x 的定义域为(,2)-∞，故A 错误；当1x ≤-时，()f x 的取值范围是(,1]-∞当12x -<<时，()f x 的取值范围是[0,4)，因此()f x 的值域为(,4)-∞，故B 正确；当1x ≤-时，23x +=，解得1x =（舍去)，当12x -<<时，23x =，解得x =x =，故C 正确；当1x ≤-时，21x +<，解得1x <-，当12x -<<时，21x <，解得-11x -<<，因此()1f x <的解集为(,1)(1,1)-∞--，故D 错误.故选：BC ．【点睛】 本题考查分段函数的性质，对于与分段函数相关的不等式或方程的解的问题，一般用分段讨论的方法，本题属于中档题．12．BC【解析】【分析】根据函数的单调性求出a 的取值范围，即可得到选项.【详解】当1x ≤-时，()22f x x a =-+为增函数， 所以当1x >-时，()4f x ax =+也为增函数，所以0124a a a >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503a <≤. 故选：BC【点睛】此题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，易错点在于忽略掉分段区间端点处的函数值辨析导致产生增根.13【解析】【分析】根据2()1,()f x x g x =+=(2)f ，再求((2))g f .【详解】因为(2)5f =，所以((2))(5)g f g ===【点睛】本题主要考查函数值的求法，属于基础题.14．-2或0【解析】【分析】由{}2M N =,可得{}2N ⊆,即可得到22a a +=或22a +=,分别求解可求出答案.【详解】由题意,{}2N ⊆,①若22a a +=,解得1a =或2a =-,当1a =时,集合M 中,212a +=,不符合集合的互异性,舍去;当2a =-时,{2,3,5},{2,0,1}M N ==-,符合题意.②若22a +=,解得0a =,{2,3,1},{0,2,1}M N ==-,符合题意.综上,a 的值是-2或0.故答案为:-2或0.【点睛】本题考查了交集的性质,考查了集合概念的理解,属于基础题.15．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】【详解】由题意得，当0a =时，函数()23f x x =-，满足题意，当0a ≠时，则0242a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得104a -≤<， 综合得所求实数a 的取值范围为1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 16．23 12【解析】【分析】分离常数，将()f x 变形为212x -+，观察可得其单调性，根据单调性得函数最值. 【详解】 222()1222x x f x x x x +-===-+++，在[2,4]上，若x 越大，则2x +越大，22x 越小，22x -+越大，212x -+越大， 故函数()f x 在[2,4]上是增函数，min 21()(2)222f x f ∴===+， max 42()(4)423f x f ===+， 故答案为23；12. 【点睛】本题考查分式函数的单调性及最值，是基础题. 17．（Ⅰ）332A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，{}1B y y =≥；（Ⅱ）()R 312A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭. 【解析】【分析】（Ⅰ）由函数式有意义求得定义域A ，根据二次函数性质可求得值域B ；（Ⅱ）根据集合运算的定义计算．【详解】（Ⅰ）由()f x =230,30,x x +≥⎧⎨->⎩ 解得332x -≤<． ()()2222111g x x x x =-+=-+≥，所以332A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，{}1B y y =≥．（Ⅱ）{}1B y y =<R ，所以()R 312A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查求函数的定义域与值域，考查集合的综合运算，属于基础题．18．（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭. 【解析】【分析】（1）先计算U A ，再利用数轴即可列出不等式组，解不等式组即可.（2）先求出AB B =时a 的取值范围，再求其补集即可.【详解】 （1）∵{}|02A x x =≤≤，∴{|0U A x x =<或}2x >，若()U A B R ⋃=，则320322a a a a -≥⎧⎪⎨⎪-≥⎩，即12a ≤∴实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. （2）若A B B =，则B A ⊆.当B =∅时，则32-<a a 得1,a >当B ≠∅时，若B A ⊆则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩，得1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，综上故a 的取值范围为1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭， 故AB B ≠时的范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的补集，即1,.2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算，属于中档题.19．（1）见解析（2）()f x 的单调递增区间[1,0],[2,5]-， 值域为[1,3]-；（3）[2)(1,5]-⋃【解析】【分析】（1）要利用描点法分别画出f(x)在区间[-1,2]和(2,5]内的图象.（2）再借助图象可求出其单调递增区间.并且求出值域.（3）由图象可观察出函数值大于1时对应的x 的取值集合.【详解】（1）（2）由图可知()f x 的单调递增区间[1,0],[2,5]-， 值域为[1,3]-；（3）令231x -=，解得2x =2-（舍去）；令31x -=，解得2x =. 结合图象可知的解集为[2)(1,5]-⋃20．（1）()21x f x x =+；（2）证明见详解；（3）1|02t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【解析】【分析】(1)由()f x 为奇函数且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求得参数值，即可得到()f x 的解析式； (2)根据定义法取－1＜x 1＜x 2＜1，利用作差法12())0(f x f x -<即得证；(3)利用()f x 的增减性和奇偶性，列不等式求解即可【详解】（1）()f x 在(－1，1)上为奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有(0)012()25f f =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()f x ＝21x x +， 此时2()(),()1x f x f x f x x --==-∴+为奇函数， 故()f x ＝21x x+； （2）证明：任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则12122212()()11x x f x f x x x -=-++12122212()(1)(1)(1)x x x x x x --=++ 而122100,1x x x -<+>，且1211x x -<<，即1210x x ->，∴12())0(f x f x -<，()f x 在(－1，1)上是增函数.（3）(1)()()f t f t f t ，又()f x 在(－1，1)上是增函数∴－1＜t －1＜－t ＜1，解得0＜t ＜12 ∴不等式的解集为1|02t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了利用函数奇偶性求解析式，结合奇函数中(0)0f =的性质，要注意验证；应用定义法证明单调性，注意先假设自变量大小关系再确定函数值的大小关系：函数值随自变量的增大而增大为增函数，反之为减函数；最后利用函数的奇偶性和单调性求解集21．（1）2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）100千件【解析】【分析】（1）根据题意，分080x <<，80x ≥两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果；（2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型.【详解】解（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得： 当080x <<时，2211()(0.051000)102004020033⎛⎫=⨯-+-=-+- ⎪⎝⎭L x x x x x x ． 当80x ≥时，10000()(0.051000)511450200L x x x x ⎛⎫=⨯-+-- ⎪⎝⎭ 100001250⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x x 所以2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当080x <<时，21()(60)10003L x x =--+． 此时，当60x =时，()L x 取得最大值(60)1000L =万元．当80x ≥时，10000()125012502L x x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 12502001050=-=． 此时10000x x=，即100x =时，()L x 取得最大值1050万元． 由于10001050<，答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大， 最大利润为1050万元 【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题，属于常考题型.22．（1）2()215f x x x =-++，（2）min2411,2()15,015,02m m g x m m m -->⎧⎪=-<⎨⎪--≤≤⎩【解析】试题分析：（1）据二次函数的形式设出f （x ）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．（2）函数g （x ）的图象是开口朝上，且以x=m 为对称轴的抛物线，分当m ≤0时，当0＜m ＜2时，当m ≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．试题解析：（1）设二次函数一般式()2f x ax bx c =++（0a ≠），代入条件化简，根据恒等条件得22a =-，1a b +=，解得1a =-，2b =，再根据()215f =，求c .（2）①根据二次函数对称轴必在定义区间外得实数m 的取值范围；②根据对称轴与定义区间位置关系，分三种情况讨论函数最小值取法. 试题解析：（1）设二次函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），则()()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++-++=++=-+∴22a =-，1a b +=，∴1a =-，2b = 又()215f =，∴15c =.∴()2215f x x x =-++（2）①∵()2215f x x x =-++∴()()()222215g x m x f x x mx =--=--.又()g x 在[]0,2x ∈上是单调函数，∴对称轴x m =在区间[]0,2的左侧或右侧，∴0m ≤或2m ≥ ②()2215g x x mx =--，[]0,2x ∈，对称轴x m =，当2m >时，()()min 24415411g x g m m ==--=--； 当0m <时，()()min 015g x g ==-；当02m ≤≤时，()()222min 21515g x g m m m m ==--=--综上所述，()min2411,215,015,02m m g x m m m -->⎧⎪=-<⎨⎪--≤≤⎩广东省深圳市高一上学期期中考试试卷数学试题时间：120分钟 分值：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{1}A x x =<∣，{}31x B x =<∣，则（ ）A ．{0}AB x x =<∣ B ．A B R =C ．{1}A B x x =>∣D ．AB =∅2．已知函数22,3()21,3x x x f x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则[(1)]f f =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则()1f -=（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．34．已知幂函数()f x 的图象过点2,2⎛ ⎝⎭，则()8f 的值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．5．设函数331()f x x x=-，则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,)+∞单调递增 B ．是奇函数，且在(0,)+∞单调递减C ．是偶函数，且在(0,)+∞单调递增D ．是偶函数，且在(0,)+∞单调递减6．已知3log 21x ⋅=，则4x=（ ）A ．4B ．6C ．3log 24D ．97．已知2log 0.3a =，0.12b =， 1.30.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<8．函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．32a -≤≤-C ．2a ≤-D ．0a <二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）A ．()f x x =与()g x =B ．()|1|f t t =-与()|1|g x x =-C．()f x =与 ()g x =-D ．21()1x f x x -=+与()1g x x =-10．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ）A ．1y x=-B ．1y x x=-C ．3y x =D ．||y x x =11．若函数()1(0,1)xf x a b a a =+->≠的图象经过第一、三、四象限，则一定有（ ）A ．1a >B ．01a <<C ．0b >D ．0b <12．下列结论不正确的是（ ）A ．当0x >2≥B ．当0x >2的最小值是2C ．当0x <时，22145x x -+-的最小值是52D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是92三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数3()1f x x =+的定义域为_______． 14．函数32x y a-=+（0a >且1a ≠）恒过定点_______．15．定义运算：,,b a b a b a a b≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()33x xf x -=⊗的值域为_______．16．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又()20f =，则不等式()0xf x <的解集为_______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）计算：（1）1130121( 3.8)0.0022)27---⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭；（2）2lg125lg 2lg500(lg 2)++．18．（本小题满分12分）已知函数1()2x f x x +=-，[3,7]x ∈． （1）判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明；（2）求函数()f x 的最大值和最小值． 19．（本小题满分12分）设集合{}2230A x x x =+-<∣，集合{1}B xx a =+<‖∣． （1）若3a =，求AB ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，2()243f x x x =-++．（1）求()f x 的表达式；（2）画出()f x 的图象，并指出()f x 的单调区间．21．（本小题满分12分）某制造商为拓展业务，计划引进一设备生产一种新型体育器材．通过市场分析，每月需投入固定成本3000元，生产x 台需另投入成本()C x 元，且210400,030()10008049000,30x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，若每台售价800元，且当月生产的体育器材该月内能全部售完．（1）求制造商由该设备所获的月利润()L x 关于月产量x 台的函数关系式；（利润=销售额-成本） （2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．22．（本小题满分12分）设函数()22xxf x k -=⋅-是定义R 上的奇函数． （1）求k 的值；（2）若不等式()21xf x a >⋅-有解，求实数a 的取值范围；（3）设()444()x xg x f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值，并指出取得最小值时的x 的值．高一上学期期中考试数学学科试题参考答案一二、选择题三、填空题 13．(,1)(1,2]-∞--14．()3,3 15．(]0,1 16．(2,0)(0,2)-四、解答题17．解：（1）原式12315002)42016=+-+=-=-；（2）原式3lg5lg 2(lg500lg 2)3lg53lg 23=++=+=．18．解：（1）函数()f x 在区间[]3,7内单调递减，证明如下：在[]3,7上任意取两个数1x 和2x ，且设12x x >，∵()11112x f x x +=-，()22212x f x x +=-， ∴()()()()()21121212123112222x x x x f x f x x x x x -++-=-=----． ∵12,[3,7]x x ∈，12x x >，∴120x ->，220x ->，210x x -<，∴()()()()()2112123022x x f x f x x x --=<--．即()()12f x f x <，由单调函数的定义可知，函数()f x 为[]3,7上的减函数．（2）由单调函数的定义可得max ()(3)4f x f ==，min 8()(7)5f x f ==． 19．解：（1）由2230x x +-<，解得31x -<<，可得：(3,1)A =-．3a =，可得：|3|1x +<，化为：131x -<+<，解得42x -<<-，∴(1,1)B =-． ∴(3,1)AB =-．（2）由||1x a +<，解得11a x a --<<-．∴{11}B xa x a =--<<-∣． ∵p 是q 成立的必要条件，∴1311a a --≥-⎧⎨-≤⎩，解得：02a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]0,2．20．解：（1）根据题意，()f x 是R 上的奇函数，则()00f =，设0x <，则0x ->，则()2243f x x x -=--+，又由()f x 为奇函数，则2()()243f x f x x x =--=+-，则22243,0()0,0243,0x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-+->⎩；（2）根据题意，22243,0()0,0243,0x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-+->⎩，其图象如图：()f x 的单调递增区间为()1,1-，()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，(1,)+∞．21．解：（1）当030x <<时，22()800104003000104003000L x x x x x x =---=-+-；当30x ≥时，1000010000()8008049000300060004L x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭． ∴2104003000,030()1000060004,30x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）当030x <<时，2()10(20)1000L x x =--+，∴当20x =时，max ()(20)1000L x L ==．当30x ≥时，10000()6000460005600L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当100004x x=， 即50x =时，()(50)56001000L x L ==>．当50x =时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为5600元．22．解：（1）因为()22x xf x k -=⋅-是定义域为R 上的奇函数，所以()00f =，所以10k -=， 解得1k =，()22x xf x -=-， 当1k =时，()22()x x f x f x --=-=-，所以()f x 为奇函数，故1k =；（2）()21xf x a >⋅-有解， 所以211122x x a ⎛⎫⎛⎫<-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有解， 所以2max11122x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因为221111*********x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1x =时，等号成立）， 所以54a <； （3）()444()x x g x f x -=+-，即()()44422x x x x g x --=+--，可令22x x t -=-，可得函数t 在[)1,+∞递增，即32t >， 2442x x t -=+-，可得函数2()42h t t t =-+，32t >， 由()g t 的对称轴为322t =>，可得2t =时，()g t 取得最小值2-，此时222x x -=-，解得2log (1x =，则()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，此时2log (1x =．高一第一学期数学期中考试卷第I 卷（选择题)一、单选题（每小题5分）1．已知集合{}40M x x =-<，{}124x N x -=<，则M N =( )A ．(),3-∞B ．()0,3C ．()0,4D ．∅2．已知集合A ＝{}2|log 1x x <，B ＝{}|0x x c <<，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)3．全集U =R ，集合{}|0A x x =<,{}|11B x x =-<<，则阴影部分表示的集合为( )A ．{}|1x x <-B ．{}|1x x <C ．{}|10x x -<<D ．{}|01x x <<4．．函数的零点所在的区间为A ．B ．C ．(D ．5．如果二次函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则a 的取值范围是（）A.5a ≤B.3a ≤-C.3a ≥D.3a ≥-6．设函数()2,x f x x R =∈的反函数是()g x ，则1()2g 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．27．设132()3a =，231()3b =，131()3c =，则()f x 的大小关系是（ ）A.b c a >>B.a b c >>C.c a b >>D.a c b >>8．函数()()215m f x m m x -=--是幂函数，且当()0 x ∈+∞，时，()f x 是增函数，则实数m 等于（ ） A.3或2- B.2- C.3 D.3-或29．函数()2lg 45y x x =--的值域为( )A ．(),-∞+∞B ．()1,5-C ．()5,+∞D ．(),1-∞-10．已知x ，y 为正实数，则（ ）A ．lg lg lg lg 222x y x y +=+B ．lg()lg lg 222x y x y +=C ．lg lg lg lg 222x y x y =+D ．lg()lg lg 222xy x y = 11．已知函数()x x f x a a -=-,若(1)0f <,则当[]2,3x ∈时，不等式()+(4)0f t x f x --<恒成立则实数t 的范围是( )A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞12．已知奇函数x 14()(x 0)23F(x)f (x)(x 0)⎧->⎪=⎨⎪<⎩，则21F(f (log )3= ( ) A ．56- B ．56 C ．1331()2D ．1314()23- 第II 卷（非选择题)二、填空题（每小题5分）13．已知函数ln x y a e =+（0a >，且1a ≠，常数 2.71828...e =为自然对数的底数）的图象恒过定点(,)P m n ，则m n -=______．14．求值：2327( 3.1)()lg 4lg 25ln18--++++=__________ 15．若函数()()()21142x f x a x log =++++为偶函数，则a ＝_______.16．已知函数log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；三、解答题17．（本题满分10分）（1）求值：（log 83+log 169）（log 32+log 916）；（2）若1122a a 2--=，求11122a a a a --++及的值．18．（本题满分12分）函数()log (1)a f x x =-+(3)(01)a log x a +<< （1）求方程()0f x =的解；（2）若函数()f x 的最小值为1-，求a 的值.19．（本题满分12分）已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当时0x ≥，()22f x x x =+. （1）求函数()f x 的解析式；（2）解不等式()2f x x ≥+.20．（本题满分12分）已知二次函数f （x ）满足 (1)()21f x f x x +-=+且(0)1,f =函数()2(0)g x mx m =>（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断函数()()()g x F x f x =，在()0,1上的单调性并加以证明.21．（本题满分12分）已知函数()142x x f x a a +=⋅--.（1）若0a =，解方程()24f x =-；（2）若函数()142x x f x a a +=⋅--在[]1,2上有零点，求实数a 的取值范围.22．（本题满分12分）函数()f x 的定义域为R ，且对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，(Ⅰ)证明()f x 是奇函数；(Ⅱ)证明()f x 在R 上是减函数；(III)若()31f =-,()()321550f x f x ++--<，求x 的取值范围.第一学期高一期中考试卷参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．已知集合，，则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】可以求出集合，，然后进行交集的运算即可．【详解】解：，，．故选：．【点睛】本题考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算。
南通中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题(含答案)
江苏省南通中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.设集合{}02A x x =≤≤，{}1B x x =≤，则A B = （）A.(],1-∞ B.(],2∞- C.[]0,1 D.[]1,22.函数()f x =）A .(,0]-∞ B.[0,)+∞ C.(0,)+∞ D.(,)∞∞-+3.已知0.5log 2a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a b c<< B.b c a<< C.a c b<< D.c b a <<4.已知,,R a b c ∈，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.德国天文学家，数学家开普勒（J.Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A.4329dB.30323dC.60150dD.90670d6.下列可能是函数2||1x x y e-=（e 是自然对数的底数）的图象的是（）A.B.C.D.7.已知函数()2,75,63x x m f x x x m⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.[]0,2 C.[]1,1- D.[]1,2-8.已知0x >，0y >，且2x y xy +=，则211x yx y +++的最小值为（）A.45B.1C.32D.2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A.函数y x α=的图象过原点B.函数y x α=是偶函数C.函数y x α=是单调减函数D.函数y x α=的值域为R 10.下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若0a b <<，则11a b>11.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则满足不等式()()212f t f t +>-的所有整数t 的值为（）A.2- B.1- C.0D.112.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中一定正确的是（）A.()00f = B.()10g =C.()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数D.()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.式子1239log 27+的值是________14.已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21f x g x x x +=-+，则()3g 的值是______.15.已知a ，b 是非零实数，若关于x 的不等式20x ax b -+≥恒成立，则212ba +的最小值是______.16.已知函数()2f x x ax =+-，当1a =时，函数()f x 的值域为______；若函数()f x 的最小值为2，则正实数a 的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集U =R ，集合12644x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}5B x x =>.（1）求U A B ð：（2）若集合{}C x x a =>满足B C B = ，求实数a 的取值范围.18.已知函数()222f x x x a =-+-，()xg x a =（0a >且1a ≠）.（1）若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）若()()20f g =.①求实数a 的值；②设()1t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小.19.已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里/小时）（03v ≤≤）的以下数据：v 0123Q0.71.63.3为描述该超级块艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：32Q av bv cv =++，0.5v Q a =+.（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.20.已知()42135x f x a++=+（0a >且1a ≠）．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数()y f x =图象恒过的定点；（2）若()235f x a>+，求x 的取值范围．21.已知二次函数()()2,f x x ax b a b =++∈R .（1）若()20f -=，且对于x ∈R ，()()11f x f x +=-恒成立，求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的值域为[)1,+∞，关于x 的不等式()f x c <的解集为()(),8m m m +∈R ，求实数c 的值.22.设函数()()0,1xxf x a k aa a -=+⋅>≠是定义域为R 的奇函数.（1）求实数k 值；（2）若()10f <，试判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<对任意实数x 均成立，求实数t 的取值范围.江苏省南通中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}02A x x =≤≤，{}1B x x =≤，则A B = （）A.(],1-∞ B.(],2∞- C.[]0,1 D.[]1,2【答案】C 【解析】【分析】由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A B x x = ≤≤．故选：C ．2.函数()f x =）A.(,0]-∞ B.[0,)+∞ C.(0,)+∞ D.(,)∞∞-+【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合指数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()f x =120x-≥，即21x ≤，解得0x ≤，所以函数()f x 的定义域为(,0]-∞.故选：A.3.已知0.5log 2a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a b c << B.b c a<< C.a cb << D.c b a<<【答案】C 【解析】详解】分析：利用对数函数与指数函数的性质，将a ，b ，c 与0和1比较即可.详解：0.5log 20a=<，0.521b =>；210.54c ==.故a c b <<.故选：C.点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．4.已知,,R a b c ∈，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当a b c ==时，222223,3a b c a ab bc ac a ++=++=，所以222a b c ab bc ac ++=++，当222a b c ab bc ac ++=++时，2220a b c ab bc ac ++---=，所以2222222220a b c ab bc ac ++---=，所以()()()2222222220aab b a ac c b bc c -++-++-+=，所以()()()2220a b a c b c -+-+-=，因为()()()2220,0,0a b a c b c -≥-≥-≥，所以()()()2220a b a c b c -=-=-=，所以a b c ==，所以a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的充要条件，故选：C5.德国天文学家，数学家开普勒（J.Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A.4329dB.30323d C.60150d D.90670d【答案】B 【解析】【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''，2rr '=，结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r ，土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '，由题意知：2r r '=，10753T d '=，所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭，所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=，故选：B.6.下列可能是函数2||1x x y e -=（e 是自然对数的底数）的图象的是（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域和部分区间的函数值确定正确选项.【详解】函数2||1x x y e -=的定义域为R ，所以AB 选项错误.当1x >时，2||10x x y e-=>，所以D 选项错误.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.7.已知函数()2,75,63x x m f x x x m⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.[]0,2 C.[]1,1- D.[]1,2-【答案】D 【解析】【分析】由函数值域为R ，利用指数函数和一次函数函数单调性以及画出函数图像分析即可解决问题.【详解】当x m <时，()7563f x x =+单调递增，所以()7563f x m <+当x m ≥时，()2x f x =单调递增，所以()2m f x ≥，要使得函数值域为R ，则75263m m +≥恒成立，令1275,263m y m y =+=，如图所示：由图可知12,y y 有两个交点，且交点的横坐标分别为121,2m m =-=，所以若要75263m m +≥，则[]1,2m Î-，也即函数()f x 的值域为R 时，则实数m 的取值范围为：[]1,2m Î-，故选：D.8.已知0x>，0y >，且2x y xy +=，则211x yx y +++的最小值为（）A.45B.1C.32D.2【答案】A 【解析】【分析】先根据题意得到112y x +=，从而得到1215y x y x+++=，再根据“1”的妙用及基本不等式即可求解．【详解】由0x>，0y >，2x y xy +=，则112y x +=，则11121125y x y x y x+++++=+=，所以12112112115x y x y y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+++=+⨯+⨯ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭1211112115x y y x x y y x ⎛⎫++=⨯+++⨯++⎝⎭12114221155x y y x x y y x ⎛⎫++≥+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭．当且仅当121211x y y x x y y x ++⨯=⨯++，即2x =，23y =时，等号成立，所以211x y x y +++的最小值为45．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A.函数y x α=的图象过原点B.函数y x α=是偶函数C.函数y x α=是单调减函数D.函数y x α=的值域为R 【答案】AD 【解析】【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，结合幂函数的图象与性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由于幂函数y x α=过点()2,8，所以28α=，解得3α=，所以3y x =.()0,0，满足3y x =，A 选项正确.3y x =是奇函数，所以B 选项错误.3y x =在R 上递增，所以C 选项错误.3y x =值域为R ，所以D 选项正确.故选：AD【点睛】本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.10.下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc > B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若0a b <<，则11a b>【答案】BCD 解析】【分析】根据不等式的性质、差比较法判断出正确答案.【详解】A 选项，若0,0ab c >>=，则22ac bc =，所以A 选项错误.B 选项，若0a b >>，则()()22220,a b a b a b a b -=+->>，所以B 选项正确.C 选项，若0a b <<，0a b -<，则()220,a ab a a b a ab -=->>，()220,ab b b a b ab b -=->>，则22a ab b >>，所以C 选项正确.D 选项，若0a b <<，0b a ->，所以11110,b a a b ab a b--=>>，所以D 选项正确.故选：BCD 11.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则满足不等式()()212f t f t +>-的所有整数t 的值为（）A.2- B.1- C.0 D.1【答案】ABC 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性，不等式转化为21<2t t +-，求解即可.【详解】已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则()f x 在(),0-∞上是单调增函数，由()()212f t f t +>-，得21<2t t +-，即23830t t +-<，解得133t -<<，范围内的整数有2,1,0--.故选：ABC12.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中一定正确的是（）A.()00f = B.()10g =C.()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数D.()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称【答案】AD 【解析】【分析】A.根据()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数判断；B.由()g x 的图像关于直线1x =对称，得到()()11g x g x -=+判断；C.利用奇偶性的定义判断；D.由()()11g x g x -=+，得到()()11f g x f g x 轾轾-=+臌臌判断.【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，所以()00f =，故A 正确；因为()g x 是定义在R 上的函数，且()g x 的图像关于直线1x =对称，所以()()11g x g x -=+，()1g 不一定为0，故B 错误；因为()()()g f x g f x g f x 轾轾轾-=-¹-臌臌臌，故C 错误；因为()()11g x g x -=+，则()()11f g x f g x 轾轾-=+臌臌，所以()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称，故D 正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.式子1239log 27+的值是________【答案】6【解析】【分析】根据指数、对数运算，化简求得表达式的值.【详解】依题意，原式()123233log 3336=+=+=.故答案为：6【点睛】本小题主要考查指数、对数运算，属于基础题.14.已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21f x g x x x +=-+，则()3g 的值是______.【答案】3-【解析】【分析】由()()21f xg x x x +=-+可得()()21f xg x x x -+-=++，从而结合奇偶性根据函数的奇偶性可得()()21f x g x x x -=++，于是解得()g x x =-，即可得所求.【详解】因为()()21f x g x x x +=-+①，所以()()21f xg x x x -+-=++由函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，则()(),()()f x f xg x g x =-=--所以()()21f x g x x x -=++②则①-②可得：()22g x x =-，所以()g x x =-则()33g =-．故答案为：3-．15.已知a ，b 是非零实数，若关于x 的不等式20x ax b -+≥恒成立，则212ba +的最小值是______.【答案】2解析】【分析】由题意得240a b -≤，再利用基本不等式求解即可【详解】因为a ，b 是非零实数，且不等式20x ax b -+≥恒成立，所以20x ax b -+=有两个相等的实数根或无实数根，即240a b ∆=-≤得24a b ≤，2112422b b a b +≥+≥=，当且仅当24142a bb b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩满足条件且同时取等号.故答案为：216.已知函数()2f x x ax =+-，当1a =时，函数()f x 的值域为______；若函数()f x 的最小值为2，则正实数a 的取值范围为______.【答案】①.[)2,+∞②.(]0,1【解析】【分析】(1)1a =代入函数解析式，利用零点分段讨论，去绝对值，根据单调性，求函数的值域.(2)a 为正实数时，利用零点分段讨论，去绝对值，分类讨论函数的单调性，求函数最小值，得到函数最小值为2时a 的取值范围.【详解】(1)当1a =，函数()22,02=2,0222,2x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-≤<⎨⎪-≥⎩，0x <时，()22f x x =-单调递减，有()()02f x f >=；02x ≤<时，()2f x =；2x ≥时，()22f x x =-单调递增，有()()22f x f ≥=，所以当1a =，函数()f x 的值域为[)2,+∞.(2)a 为正实数时，()()()()21,022=12,0212,a x x f x x ax a x x a a x x a ⎧⎪-+<⎪⎪=+--+≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，0x <时，()()21f x a x =-+单调递减，有()()02f x f >=；2x a ≥时，()()12f x a x =+-单调递增，有()22f x f a a⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，20x a ≤<时，()()12f x a x =-+，①若01a <<，函数()()12f x a x =-+单调递增，有a 22<，()22f x a ≤<，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2，符合题意；②若1a =，()2f x =，22a=，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2，符合题意；③若1a >，函数()()12f x a x =-+单调递减，有a 22>，()22f x a <≤，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2a ，a22>，不合题意.综上可知，正实数a 的取值范围为(]0,1.故答案为：[)2,+∞；(]0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集U =R ，集合12644x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}5B x x =>.（1）求U A B ð：（2）若集合{}Cx x a =>满足B C B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|25U A B x x =-<≤ ð（2）5a ≤【解析】【分析】（1）求出集合A 、U B ð，再求交集可得答案；（2）根据B CB = 可得BC ⊆，求出a 的范围即可.【小问1详解】{}{}261264222264x x A x x x x -⎧⎫=≤≤=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|5U B x x =≤ð，所以{}|25U A B x x =-<≤ ð；【小问2详解】若B CB = ，则B ⊆，所以5a ≤，所以实数a 的取值范围为5a ≤.18.已知函数()222f x x x a =-+-，()x g x a =（0a >且1a ≠）.（1）若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）若()()20f g =.①求实数a 的值；②设()1t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小.【答案】（1）(],1-∞（2）12t t <【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可；（2）根据两个函数在()0,1上的值域来比较较1t ，2t 的大小即可.【小问1详解】函数()222f x x x a =-+-，对称轴1x =，所以函数()f x 在(],1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，则211m -≤，1m £，故实数m 的取值范围为(],1-∞.【小问2详解】①()()20f g =，即20242=a a -+-，解得3a =；②当()0,1x ∈时，()()()212232=10,1x x t f x x =-+-∈=-，()()2=31,3x t g x =∈，所以121t t <<，即12t t <.19.已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里/小时）（03v ≤≤）的以下数据：v0123Q 00.7 1.6 3.3为描述该超级块艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：32Q av bv cv =++，0.5v Q a =+.（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.【答案】（1）选择函数模型32Q av bv cv =++；()320.10.20.803Q v v v v =-+≤≤（2）该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使AB 段的航行费用最少为2.1【解析】【分析】（1）对题中所给的函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式；（2）根据题意列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.【小问1详解】若选择函数模型0.5v Q a =+，则该函数在[]0,3v ∈上为单调减函数，这与实验数据相矛盾，所以不选择该函数模型.从而只能选择函数模型32Q av bv cv =++，由实验数据可得：0.7842 1.62793 3.3a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，得0.10.20.8a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故所求函数解析式为()320.10.20.803Q v v v v =-+≤≤.【小问2详解】设超级快艇在AB 段的航行费为y （万元），则所需时间为3v（小时），其中03v ≤≤，结合（1）知()()23230.10.20.8v 0.317y v v v v ⎡⎤=-+=-+⎣⎦，所以当1v =时，y 取最小值为2.1所以当该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使AB 段的航行费用最少为2.120.已知()42135x f x a ++=+（0a >且1a ≠）．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数()y f x =图象恒过的定点；（2）若()235f x a>+，求x 的取值范围．【答案】（1）()7235x f x a +=+，定点()7,8-；（2）见解析.【解析】【分析】（1）令21xt +=，可得出12t x -=，然后利用换元法可求出函数()y f x =的解析式，并利用指数等于零求出函数()y f x =图象所过定点的坐标；（2）由()235f x a>+，可得出722x a a +->，然后分01a <<和1a >两种情况讨论，利用函数x y a =的单调性可解出不等式722x a a +->.【详解】（1）令21x t +=，可得出12t x -=，()174223535t t f t a a -++∴=+=+，()7235x f x a +∴=+，令702x +=，得7x =-，且()07358f a -=+=，因此，函数()y f x =图象恒过的定点坐标为()7,8-；（2）由()235f x a >+，即7223355x a a++>+，可得722x a a +->.当01a <<时，函数x y a =是减函数，则有722x +<-，解得11x <-；当1a >时，函数x y a =是增函数，则有722x +>-，解得11x >-.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，同时也考查了指数型函数图象过定点以及指数不等式的求解，一般在解指数不等式时，需要对底数的取值范围进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.已知二次函数()()2,f x x ax b a b =++∈R .（1）若()20f -=，且对于x ∈R ，()()11f x f x +=-恒成立，求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的值域为[)1,+∞，关于x 的不等式()f x c <的解集为()(),8m m m +∈R ，求实数c 的值.【答案】（1）2a=-，8b =-（2）=17c 【解析】【分析】（1）根据条件得出关于,a b 的方程，解出即可；（2）先由顶点坐标得,a b 关系，则不等式化为2244a x ax c +++<，则,8m m +是对应方程的两根，结合韦达定理即可求.【小问1详解】由()()11f x f x +=-，得22(1)(1)1)1(()a b a bx x x x ++=+-+++-，解得2a =-由()20f -=，得()2420f a b -=-+=，则8b =-.【小问2详解】函数()f x 的值域为[)1,+∞，又其顶点坐标为24(,24a b a --，即2414b a -=，则244a b +=，不等式()f x c <可化为：2244a x ax c +++<，即22404a x ax c +++-<的解集为(),8m m +，即方程22404a x ax c +++-=的两根为12,8x m x m ==+，所以1221244x x a a x x c +=-⎧⎪⎨+⋅=-⎪⎩，可得22121212||()464x x x x x x -=+-⋅=，即224()4()644a a c +---=，解得=17c 22.设函数()()0,1x x f x a k a a a -=+⋅>≠是定义域为R 的奇函数.（1）求实数k 值；（2）若()10f <，试判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<对任意实数x 均成立，求实数t 的取值范围.【答案】22.1k =-23.()f x 在R 上单调递减，证明见解析24.6t >-【解析】【分析】（1）由()00f =求得k 的值.（2）由()10f <求得a 的取值范围，利用函数单调性的定义证得()f x 在R 上单调递减.（3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<，利用分离常数法，结合二次函数的性质求得t 的取值范围.【小问1详解】由于()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()010,1f k k =+==-，此时()x x f x a a -=-，()()x x f x a a f x --=-=-，满足()f x 是奇函数，所以1k =-.【小问2详解】由（1）得()()0,1x x f x a a a a -=->≠，若()()()2111110a a a f a a a a+--=-==<，则01a <<，所以()f x 是减函数，证明如下：任取12x x <，则()()()112212x x x x f x f x a a a a ---=---1221122111x x x x x x x x a a a a a a a a --=-+-=-+-()121212121211x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由于12x x <，01a <<，所以1212,0x x x x a a a a >->，所以()()()()12120,f x f x f x f x ->>，所以()f x 在R 上单调递减.【小问3详解】由（1）得()()0,1x x f x a a a a -=->≠，()f x 是定义在R 上的奇函数，依题意，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<恒成立，即()()119243x x f t f -+-+⋅+<-⋅恒成立，由（2）得()f x 在R 上单调递减，所以119243x x t -+-+⋅+>-⋅，1112143439322x x x x t -+-+-+-+-+=⋅--⋅>()211211122232333x x x x ++-+-+⎛⎫=-+=-+⋅ ⎪⎝⎭恒成立，令13,10,1x t x t +=+≥≥，则对于函数()221y t t t =+≥，函数在[)1,+∞上单调递增，最小值为21213+⨯=，所以()2113232x x ++-+⋅的最大值为236-´=-，所以6t >-.【点睛】根据奇函数的定义求参数，当奇函数在0x =处有定义时，必有()00f =，由这个方程求得参数后，要注意验证函数是否满足奇偶性的定义.求解二次项的函数的最值问题，可以考虑利用换元法，结合二次函数的性质来进行求解.。
浙江省金华市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
金华2023学年第一学期期中考试高一数学试题卷（答案在最后）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知{}{}1,2,2,3P Q ==，若{},M x x P x Q =∈∉，则M =（）A.{}1 B.{}2 C.{}3 D.{}1,2,3【答案】A 【解析】【分析】由集合M 中元素的特征，对元素进行判断.【详解】1P ∈且1Q ∉，则1M ∈；2P ∈且2Q ∈，则2M ∉，所以{}1M =.故选：A2.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故选：B.3.已知命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.}{1a a ≤-B.}{13a a -<<C.}{13a a -≤≤ D.}{31a a -<<【答案】B 【解析】【分析】由题意可得21Δ(1)4202a =--⨯⨯<，解不等式即可求出答案.【详解】因为命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以21Δ(1)4202a =--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选：B ．4.若函数()f x 和()g x 分别由下表给出，满足()()2g f x =的x 值是（）x1234()f x 2341x1234()g x 2143A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】从外到内逐步求值．【详解】由()()2g f x =，则()1f x =，则4x =.故选：D5.某同学到长城旅游，他租自行车由宾馆骑行前往长城，前进了a km ，觉得有点累，休息后沿原路返回b km （b a <）.想起“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进.则该同学离起点的距离s 与时间t 的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同确定函数图象即可．【详解】第一段时间，该生骑车为直线方程形式，单调递增．第二段实际休息，此时距离起点的距离不变，此时休息期间为常数，然后原路返回，此时距离减小，为递减函数，然后调转车头继续前进，此时距离逐步增加，所以图象C 合适．故选：C ．6.某食品加工厂生产某种食品，第一个月产量为100kg ，第二个月的增长率为a ，第三个月的增长率为b ，这两个月的平均增长率为x ，（a b x ，，均大于零），则（）A.2a bx += B.2a b x +≤C.2a bx +>D.2a bx +≥【答案】B 【解析】【分析】计算出两种方式增长的第三年的产量，从而构建a b x ，，的等式，再利用基本不等式计算a b x ，，的不等关系.【详解】第二个月的增长率为a ，第三个月的增长率为b ，则第三个月的产量为()()1001+1kg a b +这两个月的平均增长率为x ，则第三个月的产量为()21001kg x +所以()()()21001+11001a b x +=+，计算可得1x +=11122a b a b++++≤=+所以2a bx +≤，当且仅当a b =时取得等号.故选：B.7.已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,x f x x R ≥∈．A.若()f a b ≤，则a b≤ B.若()2b f a ≤，则a b≤C.若()f a b ≥，则a b ≥D.若()2b f a ≥，则a b≥【答案】B 【解析】【详解】可设2(0)(){2(0)x x x f x x -≥=<，则f （x ）满足题意.易知(1)25=5,f =≤-但1＞−5,排除A.(2)4|3|=3f ，=≥但2＜3,排除C.(2)42=221,f -=≥-<，但排除D.故选B.8.用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝()()()()()()()(),,C A C B C A C B C B C A C A C B ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩若A ＝{1，2}，B ＝{x |(x 2＋ax )·(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )等于（）A.1B.3C.5D.7【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得()1C B =或()3C B =，进而讨论a 的范围，确定出()C B ，最后得到答案.【详解】因为()2C A =，*1A B =，所以()1C B =或()3C B =，由20x ax +=，得120,x x a ==-，关于x 的方程220x ax ++=，当=0∆时，即a =±()3C B =，符合题意；当0>∆时，即a <-或a >0，-a 不是方程220x ax ++=的根，故()4C B =，不符合题意；当<0∆时，即a -<<时，方程220x ax ++=无实根，若a =0，则B ={0}，()1C B =，符合题意，若0a -<<或0a <<，则()2C B =，不符合题意.所以{0,S =-，故()3C S =.故选：B .【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当<0∆时，容易遗漏a =0时的情况，注意仔细分析题目.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9.下列结论正确的是（）A.2log 42= B.lg101= C.3log 232= D.ln e 1-=【答案】ABC 【解析】【分析】根据对数的性质，逐项判断即可得出结果.【详解】根据对数的性质可知，2log 42=，lg101=，3log 232=，ln e 1-=-，故ABC 正确；D 错误.故选：ABC.10.下列命题中，正确的是（）A.若22a bc c<，则a b <B.若ac bc >，则a b >C.若a b <，那么11a b>D .已知,a b c d <<，则a c b d+<+【答案】AD 【解析】【分析】根据不等式性质逐项判断，或取特值验证即可.【详解】A 选项：由22a b c c<可知0c ≠，所以20c >，故2222a b c c c c ⨯<⨯，即a b <，A 正确；B 选项：当0c <时，10c<，所以11ac bc c c ⨯<⨯，即a b <，B 错误；C 选项：取2,3a b =-=，满足a b <，但1123<-，即11a b <，C 错误；D 选项：由不等式可加性可知D 正确.故选：AD11.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=⋅⋅⋅，k 、b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（）A.0k <B.储存温度越高保鲜时间越长C.在10℃的保鲜时间是60小时D.在30℃的保鲜时间是15小时【答案】ACD 【解析】【分析】由题意可知120e b =，202030e e e k b k b +==⨯，求得101e 2k=，进而可得0k <，可判断A ；利用单调性可判断B ；计算10e k b +可判断C ；计算30e k b +可判断D.【详解】对于A ，由题可知120e b =，202030e e e k b k b +==⨯，则201e 4k =，故101e 2k=，所以100k <，则0k <，A 正确；对于B ，由A 可知，y kx b =+在R 上是减函数，且e x y =在R 上是增函数，所以e kx b y +=在R 上是减函数，则储存温度越高保鲜时间越短，B 错误；对于C ，由A 可知，10101ee e 120602k bk b +=⨯=⨯=小时，C 正确；对于D ，由A 可知，330301e ee 120152k bkb+⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭小时，D 正确.故选：ACD.12.已知函数()f x 满足对任意,,()()2()2()x y f x y f x y f x f y ∈++-=+R 恒成立，则（）A.(0)0f =B.(3)9(1)1f f =+C.64(1)(8)f f =- D.函数(3)f x -的图象关于直线3x =对称【答案】ACD 【解析】【分析】通过赋值法得到()()0,1f f 等的值，进而得到函数()f x 的性质，逐一判断即可【详解】对于A ：令0x y ==，得(0)(0)2(0)2(0)f f f f +=+，则(0)0f =，所以A 正确；对于B ：令1x y ==，则()()241f f =，令2,1x y ==，得()()()()312221f f f f +=+，即()()391f f =，所以B 错误；对于C ：令0x =，得()()2()f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以()f x 为偶函数，令2x y ==，得()()()()4042161f f f f +==，令4x y ==，得()()()()8044641f f f f +==，又()f x 为偶函数，所以()()()88641f f f -==，C 正确；对于D ：由C 可知()f x 为偶函数，所以()3f x -为()f x 向右平移3个单位得到，此时关于直线3x =对称，D 正确，故选：ACD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若()2log 11x +=，则实数x 的值为________．【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算可得解.【详解】由()2log 11x +=，可得()22log 1log 2x +=，12x ∴+=，解得1x =.故答案为：1.14.已知正实数x ，y 满足：11x y +=，则xy的最大值为______.【答案】14【解析】【分析】利用不等式()214ab a b ≤+，直接计算即可.【详解】2111144x x x y y y ⎛⎫=⨯≤+= ⎪⎝⎭，当且仅当112x y ==，即1,22x y ==时取得等号；故x y 的最大值为14；故答案为：14.15.若1a >，且不等式()40x a x a ⎛-⎫⎪⎝⎭-<的解集中有且仅有四个整数，则a 的取值范围是_______．【答案】(]4,5【解析】【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而求出结果.【详解】不等式()40x a x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭-<，当12a <<时，4a a <，不等式的解集为4,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若不等式解集中有且仅有四个整数，则这四个整数为2,3,4,5，则456a <≤，此时2435a ≤<，与12a <<矛盾；当2a =时，4a a=，不等式的解集为∅，不符合题意；当2a >时，42a a >>，不等式的解集为4,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若不等式解集中有且仅有四个整数，则这四个整数可能为2,3,4,5或1,2,3,4，当这四个整数为2,3,4,5时，则56a <≤且412a≤<，无解，当这四个整数为1,2,3,4时，则401a<<且45a <≤，解得45a <≤，综上可知，实数a 的取值范围是(]4,5．故答案为：(]4,5．16.已知∈a R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是__________【答案】9-，2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】【详解】[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论：①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x=--+=--，函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去；②当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立；③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a <综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设集合2{|320}A x x x =-+=，非空集合()22{|150}B x x a x a =+-+-=.（1）若{2}A B = ，求实数a 的值；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3a =-或1a =（2）{}3a a =-【解析】【分析】（1）由2B ∈，代入后解方程并检验是否满足题意．（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，再根据集合包含关系分类求解．【小问1详解】由题意得{}2320{1,2}A xx x =-+==∣，{2}A B ⋂= ，2B ∴∈222(1)250a a ∴+-⨯+-=即242250a a +-+-=化简得：2230a a +-=(3)(1)0a a +-=解得：3a =-或1a =，检验：当3a =-，{}{}24402B x x x =-+==，满足{2}A B = 当1a =，{}{}2402,2B x x =-==-，满足{2}A B = ，3a ∴=-或1a =【小问2详解】A B A ⋃=，故B A ⊆，①当B 为单元素集，则Δ0=，即()22(1)450a a ---=，得73a =或3a =-，当73a =，23B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭不含题意，舍；当3a =-，{2}B A =⊆符合.②当B 为双元素集，则{,2}1B A ==，则有2121125aa +=-⎧⎨⨯=-⎩，无解，综上：实数a 的取值范围为{}3a a =-18.化简或计算下列各式：（1）411111336642263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）已知lg 2,lg 3a b ==，用a ，b 表示312log 5（3）已知11224a a-+=，求1a a --的值．【答案】（1）553124a b （2）311a b-+（3）±【解析】【分析】(1)由指数幂的运算性质直接求得答案；(2)利用对数的运算性质以及换底公式将312log 5化为lg 2和lg 3表示的形式，则答案可得；(3)先求114a a -+=，再求1122a a --=±，最后利用平方差公式求1a a --的结果.【小问1详解】()4111411111511533663264363421226263=43a b a b a b a b a b +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--÷-= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】()3333333125345122512log log log log log log log 5=-=⨯-=+-10lglg lg 5lg lg 1lg 23lg 2lg 3lg 3lg 3lg 3lg 3lg 3lg 3222211212121-==-+-+-=+-=+，又lg 2,lg 3a b ==，所以31231log 15a b-=+；【小问3详解】211122242a a a a --⎛⎫== ++⎝⎭+⎪，所以114a a -+=，211122212a a a a --⎛⎫=+⎝-⎭-=⎪，所以1122a a --=±，111112222a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫-=± ⎪+ ⎪⎝⎭=-⎭⎝.19.已知函数()()()12,2x f x g x x x a +=-=（1）解不等式()4xf x >；（2）求()f x 在区间[)1,-+∞上的值域；（3）对任意[)11,x ∈-+∞，总存在[)22,x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立，求a 的取值范围【答案】（1）(,1)-∞（2）[1,)+∞（3）34a ≤【解析】【分析】（1）利用指数函数的单调性解不等式即可；（2）根据指数函数的单调性求值域；（3）由题意转化为()g x 的值域包含()f x 的值域，根据二次函数分类讨论求解即可.【小问1详解】由题意，()4xf x >，即可得124x x +>，即22x >，解得1x <，即不等式的解集为(,1)-∞.【小问2详解】因为()12x f x +=为增函数，所以[)1,x ∈-+∞时，110()221f x -+≥==，即函数的值域为[1,)+∞.【小问3详解】由（2）知，任意[)11,x ∈-+∞，总存在[)22,x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立，即()g x 在[)2,+∞上的最小值min ()1g x ≤，对()()2g x x x a =-，①当20a =，即0a =时，2()g x x =在[)2,+∞上单调递增，故2min ()(2)241g x g ===≤不成立；②当20a <，即a<0时，()()2g x x x a =-在[)2,+∞上单调递增，故min ()(2)2(22)1g x g a ==-≤，解得34a ≥，又a<0，故无解；③当20a >，即0a >时，()()2g x x x a =-的对称轴2x a =≤时，()()2g x x x a =-在[)2,+∞上单调递增，故min ()(2)2(22)1g x g a ==-≤，解得34a ≥，故324a ≤≤，当对称轴2x a =>时，2min ()()(2)1g x g a a a a a ==-=-≤成立.综上，34a ≤.20.第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完.当020x <≤时，每万台的年销售收入（万元）与年产量x （万台）满足关系式:1802t x =-;当20x >时，每万台的年销售收入（万元）与年产量x （万台）满足关系式:2000900070. (1)t x x x =+-+（1）写出年利润y （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式（利润=销售收入一成本）;（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大?并求最大利润.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，利用年销售收入减去固定成本及可变成本即可写出利润y （万元）关于年产量x (万台）的函数解析式.（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出020x <≤、20x >上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值.【小问1详解】由题意，当020x <≤时，年收入为(1802)x x -，当20x >时，年收入为2000900070(1)x x x x ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭，故年利润为(1802)8050,0202000900070805020(1)x x x x y x x x x x x ---<≤⎧⎪=⎛⎫⎨+---> ⎪⎪+⎝⎭⎩，，即2210050,0209000101950201x x x y x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪+⎩，.【小问2详解】当020x <≤时，2210050y x x =-+-，由函数图象开口向下，对称轴方程为25x =可知函数单调递增，所以当20x =时，max 1150y =，当20x >时，9000900010195010(1)196021960136011y x x x x ⎡⎤=--+=-+++≤-=⎢++⎣⎦，当且仅当900010(1)1x x +=+时，即29x =时等号成立，因为13601150>，所以当年产量为29万台时，该公司获得年利润最大为1360万元.21.已知幂函数()()212m f x m m x +=-为偶函数．（1）求函数()f x 的解析式．（2）设函数()()()()211g x qf f x q f x ⎡⎤+-⎣⎦=-+，问是否存在实数()0q q <，使得()g x 在区间(],4-∞-上是减函数，且在区间()4,0-上是增函数？若存在，请求出q ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()2f x x=（2）存在，130q =-【解析】【分析】（1）直接根据幂函数的定义结合奇偶性即可得结果；（2）把()f x 作为一个整体，(],4x ∈-∞-时，()[)16,f x ∈+∞，()4,0x ∈-时，()()0,16f x ∈，结合二次函数的单调性可得q 的值．【小问1详解】因为()()212m f x m m x +=-为幂函数，所以221m m -=，解得1m =或12m =-，又因为()()212m f x m m x +=-为偶函数，所以1m =，所以函数()f x 的解析式为()2f x x =.【小问2详解】存在，理由如下：由（1）知()()()()()()()2211211g x qf f x q f x qfx q f x =-+-+=-+-⎡⎣⎦+⎤.由于()20f x x =≥，因而当(],4x ∈-∞-时，()[)216,f x x =∈+∞，此时，函数()g x 单调递减，而函数()t f x =在(],4-∞-上单调递减，则外层函数()2211y qt q t =-+-+在[)16,+∞上单调递增；当()4,0x ∈-时，()()20,16f x x =∈，此时，函数()g x 单调递增，而函数()t f x =在上()4,0-单调递减，则外层函数()2211y qt q t =-+-+在()0,16上单调递减.所以211620q q q -⎧-=⎪-⎨⎪->⎩，即130q =-.所以存在130q =-满足题设条件.22.已知函数()221f x x x ax =--+，（a ∈R ，a 为常数）．（1）讨论函数()y f x =的奇偶性；（2）若函数()y f x =有3个零点，求实数a 的取值范围；（3）记()()f xg x x =，若()y g x =与2y =在()0,∞+有两个互异的交点12,x x ，且12x x >，求证：21432x x a -<-．【答案】（1）见解析（2）10a -<<或01a <<（3）见解析【解析】【分析】（1）利用奇偶函数的定义分析讨论即可；（2）分类讨论11x -<<，1x ≤-或1x ≥时，()f x 的大致图象，结合图象即可得解；（3）分类讨论01x <<与1x ≥时，()g x 的大致图象，从而得到2101,1x x <<>，22122x a x -+=，112a x -+=，从而利用分析法将问题一路转化为证()()22224110x x +-<，由此得解.【小问1详解】（1）()221f x x x ax =--+，定义域为R ，关于原点对称，又()()()22221()1f x x x a x x x ax -=----+-=---，故当0a =时，()()f x f x -=，函数()f x 为偶函数，当0a ≠时，()(),()()f x f x f x f x -≠-≠-，故函数为非奇非偶函数.【小问2详解】因为()221f x x x ax =--+，当210x -<，即11x -<<时，()221f x x ax =-++，此时()f x 开口向下，对称轴为4a x =，且()01f =，当210x -≥，即1x ≤-或1x ≥时，()1f x ax =-，所以当0a >时，()1f x ax =-在(],1-∞-，[)1,+∞上单调递增，且()11f a =-，()11f a -=--，则()f x 的图象如下：显然，当()110f a =-<，即01a <<时，()f x 有3个零点；当a<0时，()1f x ax =-在(],1-∞-，[)1,+∞上单调递减，且()11f a =-，()11f a -=--，则()f x的图象如下：显然，当()110f a -=--<，即10a -<<时，()f x 有3个零点；当0a =时，()221f x x x =--为偶函数，其零点个数必为偶数，不满足题意；综上：10a -<<或01a <<.【小问3详解】因为()221f x x x ax =--+，所以当01x <<时，()212f x x ax =-+，则()()12f x g x x a x x==-+，易知()g x 在()0,1上单调递减，当1x ≥时，()1f x ax =-+，则()()1f x g x a x x==-+，易知()g x 在[)1,+∞上单调递增，因为()y g x =与2y =在()0,∞+有两个互异的交点12,x x ，所以()y g x =与2y =在()0,1与[)1,+∞各有且只有一个交点，又12x x >，所以2101,1x x <<>，且22122x a x -+=，112a x -+=，则22122a x x -=-，112a x -=，故221112x x x -=，即2221211x x x -=，则212221x x x =-，要证21432x x a -<-，即证21221432x x x x -<-，即证2121230x x x +-<，只需证22222312021x x x x +-<-，即证()222222222212130x x x x -+--<，即证42224310x x --<，即证()()22224110x x +-<，因为201x <<，所以2201x <<，则2222410,10x x +>-<，所以()()22224110x x +-<显然成立，证毕.【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是熟练掌握基本初等函数的大致图象，结合图象得到22122x a x -+=，112a x -+=，从而利用分析法将问题转化为单变量不等式，由此得解.。
高一上学期期中数学试题(含参考答案)
高一上学期期中数学试题一、单选题（本大题共8小题）1. 已知集合{}2Z160U x x =∈-≤∣，集合{}2Z 340A x x x =∈--<∣，则UA =（ ）A ．{14xx ≤≤∣或4}x =- B ．{41xx -≤≤-∣或4}x = C ．{}4,3,2,1,4---- D ．{}4,3,2,1----2. 24x =是2x =-的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若,,a b c R ∈，a b >则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b<B ．22a b <C ．a c b c >D ．2211a bc c >++ 4. 设函数()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，若()3f a =，则实数=a （ ）A ．2B ．2-或2C ．4-或2D ．4-5. 幂函数2225()(5)m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则(3)f =（ ）A ．27B ．9C ．19D ．1276. 下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ） A ．4y x = B ．1y x=C ．y =D ．3y x =7. 若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()4,1,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭C ．4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭8. 已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，且满足()()()1,12f xy f x f y f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，则不等式()()232f x f x +-≥-的解集为（ ） A ．[]1,2 B ．][(),12,-∞⋃+∞C ．()()0,12,3D ．][()0,12,3⋃二、多选题（本大题共4小题）9. 已知{}21|A y y x ==+，(){}21|,B x y y x ==+ ，下列关系正确的是（ ）A ．=AB B ．()1,2A ∈C ．1B ∉D ．2A ∈10. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23<<x x ，则下列说法正确的有（ ） A ．0a >B ．0a b c ++<C ．24c a b ++的最小值为6D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1|32x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或11. 下列说法正确的是（ ）A ．偶函数()f x 的定义域为[]21,a a -，则1a =B ．若函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，则f x y =的定义域是(]3,5-C ．奇函数()f x 在[]2,4上单调递增，且最大值为8，最小值为1-，则()()24215f f -+-=-D ．若集合{}2|420A x ax x =-++=中至多有一个元素，则2a ≤-12. 已知定义在R 上的函数()f x 的图像是连续不断的，且满足以下条件：①()()R,x f x f x ∀∈-=；② ()12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=.则下列选项成立的是（ ）A ．()f x 在(),0∞-上单调递减，B ．()()53f f -<C ．若()()12f m f -<，则3m <D ．若()0f x x>，则()()1,01,x ∈-⋃+∞三、填空题（本大题共3小题）13. 已知()y f x =为奇函数，当0x ≥时()()1f x x x =+，则()3f -= ． 14. 已知1x >，则1411y x x =++-的最小值是 ． 15. 已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数，且满足()()()2,01f x f x f +=-=，则()()()()()12320212022f f f f f +++++= .四、双空题（本大题共1小题）16. 已知函数()22,31,3x x x c f x c x x ⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，若0c ，则()f x 的值域是 ；若()f x 的值域是[]1,3-，则实数c 的取值范围是 .五、解答题（本大题共6小题）17. （1）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？（2）根据定义证明函数1y x x=+在区间()1,+∞上单调递增. 18. 已知命题2120p x x a ∀≤≤-≥：，，命题22R +2+2+=0q x x ax a a ∃∈：，. (1)若命题p 的否定为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 为真命题，命题q 为假命题，求实数a 的取值范围.19. 已知函数()f x A ，集合={1<<1+}B x a x a -.(1)当=2a 时，求R A B ⋂（）；(2)若B A ⊆，求a 的取值范围.20. 已知幂函数()22()55m f x m m x -=-+的图象关于点(0,0)对称．(1)求该幂函数()f x 的解析式；(2)设函数()|()|g x f x =，在如图的坐标系中作出函数()g x 的图象； (3)直接写出函数()g x 的单调区间．21. 已知函数()223,R f x x bx b =-+∈. (1)求不等式()24f x b <-的解集；(2)当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.22. 设函数()()22,52(0)1x f x g x ax a a x ==+->+，(1)若对任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈使得()()12f x g x ≥，求实数a 的取值范围； (2)若对任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围.参考答案1. 【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合U 和A ，根据补集的概念即可求得答案.【详解】解不等式2340x x --<得14,{Z 14}{0123}x A x x -<<∴=∈-<<=∣，，，, 由2160x -≤,可得44x -≤≤，{}Z 44{432101234}U x x ∴=∈-≤≤=----∣，，，，，，，，， {}4,3,2,1,4U A ∴=----故选：C. 2. 【答案】B【分析】先解方程24x =，进而判断出.24x =是2x =-的必要不充分条件. 【详解】①当24x =时，则2x =±，∴充分性不成立，②当2x =-时，则24x =，∴必要性成立，∴24x =是2x =-的必要不充分条件. 故选：B. 3. 【答案】D【分析】通过反例1a =，1b ，0c 可排除ABC ；利用不等式的性质可证得D 正确.【详解】若1a =，1b，则1111a b=>=-，221a b ==，则A 、B 错误； 若a b >，0c ，则0a c b c ==，则C 错误；211c +≥，21011c ∴<≤+，又a b >，2211a bc c ∴>++，则D 正确.故选：D. 4. 【答案】B【分析】根据()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，分0a ≤和 0a >讨论求解. 【详解】解：()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，当0a ≤时，13a -+=，则2a =-， 当0a >时，令24a =，则2a =， 故实数2a =-或2， 故选：B. 5. 【答案】A【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数m 的值，得到幂函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，令251m m +-=，即260m m +-=，解得2m =或3m =-，当2m =时，可得函数3()f x x =，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意； 当3m =-时，可得2()f x x -=，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意， 即幂函数3()f x x =，则(3)27f =. 故选：A. 6. 【答案】D【分析】根据幂函数的单调性与奇偶性分析判断.【详解】对于A ：∵()44x x -=，则4y x =是偶函数，故A 错误； 对于B ：∵11=--x x ，则1y x=为奇函数，在()(),0,0,-∞+∞单调递减，但在定义域上不单调，故B 错误；对于C :y =[)0,∞+，在定义域上单调递增，但定义域不关于原点对称，即y =C 错误；对于3D :y x =在定义域R 上单调递增，且33()x x -=-，即3y x =为奇函数，故D 正确； 故选：D. 7. 【答案】B【分析】根据基本不等式，结合不等式有解的性质进行求解即可. 【详解】不等式234y x m m +<-有解，2min 3,0,04y x m m x y <⎛⎫∴+->> ⎪⎝⎭，且141x y +=，144224444y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时取“="，min 44y x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，故234m m ->，即()()1340m m +->，解得1m <-或4,3m >∴实数m 的取值范围是()4,1,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭. 故选：B. 8. 【答案】D【分析】由赋值法得()42f =-，由函数的单调性转化后求解，【详解】由于()()()f xy f x f y =+，令1x y ==得()()121f f =，即()10f =，则()()11122022f f f f ⎛⎫⎛⎫=⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()21f =-， 即有()()4222f f ==-，由于对于0x y <<，都有()()f x f y >，则()f x 在()0,∞+上递减， 不等式()()232f x f x +-≥-即为()()234f x x f ⎡⎤-≥⎣⎦.则20302(3)4x x x x >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，解得01x <≤或23x ≤<，即解集为][()0,12,3⋃. 故选：D9. 【答案】CD【分析】根据集合A 、B 的特征，结合元素与集合的关系进行判断．【详解】∵{}2|1{|1}A y y x y y ==+=是数集；{}2(,)|1B x y y x ==+为点集，∴2A ∈，2B ∉，1B ∉，故A 错误，C 、D 正确；由21y x =+知，=1x 时=2y ，∴(1,2)B ∈,(1,2)A ∉，故B 错误． 故选：CD ． 10. 【答案】BC【分析】由不等式与方程的关系得出02323a b a c a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，从而得到：5b a =-，6c a =，且a<0，再依次对四个选项判断即可得出答案.【详解】不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23<<x x ，02323a b a c a ⎧⎪<⎪⎪∴+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，解得：5b a =-，6c a =，且a<0，故选项A 错误；5620a b c a a a a ++=-+=<，故选项B 正确；()2243641964c a a a b a a ++⎛⎫==-+-≥ ⎪+-⎝⎭， 当且仅当13a =-时等号成立，故选项C 正确；20cx bx a -+<可化为：2650ax ax a ++<，即26510x x ++>，则解集为1123x x x ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或，故选项D 错误；综上所述选项B 、C 正确， 故选：BC. 11. 【答案】BC【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，可判断A 项错误；根据抽象函数定义域的求解法则，以及使得分式根式有意义，可列出不等式组，可判断B 项正确；根据条件可得()21f =-，()48f =，根据奇函数的性质可求得()2f -与()4f -的值，代入即可得出C 项正确；由题意可知，方程2420ax x -++=至多有一个解，对a 是否为0讨论，可得D 项错误.【详解】由偶函数()f x 的定义域为[]21,a a -，可得210a a -+=，解得13a =，A 错；因为函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，所以23x -≤≤，即5215x -≤-≤.所以函数()f x 的定义域为[]5,5-.要使f x y =5530x x -≤≤⎧⎨+>⎩，解得35x -<≤，即y =(]3,5-，B 对；因为，奇函数()f x 在[]2,4上单调递增，且最大值为8，最小值为-1， 则()21f =-，()48f =，根据奇函数的性质可得，()()221f f -=-=，()()448f f -=-=-， 则()()()24228115f f -+-=⨯-+=-，则C 项正确；因为集合{}2420A x ax x =-++=∣中至多有一个元素， 所以方程2420ax x -++=至多有一个解，当0a =时，方程420x +=只有一个解12x =-，符合题意；当0a ≠时，由方程2420ax x -++=至多有一个解，可得Δ1680a =+≤，解得2a ≤-. 所以，0a =或2a ≤-，则D 项错误. 故选：BC. 12. 【答案】AD【分析】由①可得，()f x 为偶函数.由②可得，()f x 在()0,∞+上单调递增.后分析选项可得答案.【详解】由()()()21121221,0,,,0f x f x x x x x x x ∞-∀∈+≠>-得：()f x 在()0,∞+上单调递增，由R x ∀∈，()()f x f x -=得：函数()f x 是R 上的偶函数.对于A 选项，因()f x 在()0,∞+上单调递增，且()f x 为偶函数，则()f x 在(),0∞-上单调递减，故A 正确.对于B ，C 选项，因()f x 为偶函数，则()()f x f x =.又()f x 在()0,∞+上单调递增，则()()()553,f f f -=>故B 错误；()()()()1212f m f f m f -<⇔-<，又函数()f x 的图像是连续不断的，则有12m -<，解得13,m -<<故C 错误；对于D 选项，由()0f x >及()10f -=得：()()11f x f x >⇔>，解得1x <-或1x >，由()0f x <得：()()11f x f x <⇔<，解得11x -<< 则()0f x x>可化为：()00f x x ⎧>⎨>⎩或()00f x x ⎧<⎨<⎩，解得1x >或10x -<<，即()()1,01,x ∈-⋃+∞，故D 正确.故选：AD13. 【答案】－12【分析】利用奇函数的性质()()f x f x -=-即可得到答案. 【详解】因为()y f x =为奇函数，所以()()f x f x -=-， 故()()()3331312f f -=-=-⨯+=-． 故答案为：－12. 14. 【答案】9【分析】将目标式变形，利用基本不等式即可得出其最值． 【详解】1x >，10x ->，()(11414152415911x x x x x ∴++=-++-=--， 当且仅当()1411x x -=-即3=2x 时取等号， 32x ∴=时， 1411y x x =++-取最小值9． 故答案为：9． 15. 【答案】1-【分析】由()()2f x f x +=-知函数是周期为4的周期函数，再结合偶函数可求()()()()1234f f f f ，，，的值，从而可求()()()()()12320212022f f f f f +++++的值.【详解】由()f x 满足()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，即函数是周期为4的周期函数；根据题意，()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数，则有()()11f f -=，又由()f x 满足()()2f x f x +=-，则()()()111f f f -=-=，所以()()110f f =-=，由()()2f x f x +=-，可得()()()()201,310f f f f =-=-=-=， 则()()()()12340f f f f +++=， 所以()()()()()12320212022f f f f f +++++()()()()()()5051234121f f f f f f ⎡⎤=+++++=-⎣⎦. 故答案为：1-.16. 【答案】 [1,)-+∞ 1[,1]3.【分析】作出函数()f x 的图象，根据二次函数与反比例函数的图象与性质，结合图象，即可求解.【详解】由0c 时，函数()22,301,03x x x f x x x⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，当[3,0]x ∈-时，函数()22f x x x =+，可得函数()f x 在[3,1]--上单调递减，在[1,0]-上单调递增， 且()()(3)3,11,00f f f -=-=-=，所以函数的值为[1,3]-； 当(0,3]x ∈时，函数()1f x x =为单调递减函数，其值域为1[,)3+∞， 综上可得，函数()f x 的值域为[1,)-+∞； 作出函数()f x 的图象，如图所示， 若函数()f x 的值域为[1,3]-，当1y =-时，即221x x +=-，解得=1x -， 当3y =时，即223x x +=，解得3x =-或1x =， 当13x=时，可得13x =，结合图象，可得实数c 的取值范围是1[,1]3.故答案为：[1,)-+∞；1[,1]3.17. 【答案】（1）应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元）；（2）证明见解析.【分析】（1）设这批削笔器的销售价格定为()15x x 元/个，解不等式()30152400x x ⎡⎤--⨯⋅>⎣⎦即得解；（2）利用函数单调性的定义证明.【详解】（1）设这批削笔器的销售价格定为()15x x 元/个，由题意得()30152400x x ⎡⎤--⨯⋅>⎣⎦，即2302000,x x -+<方程230200x x -+=的两个实数根为1210,20x x ==，2302000x x ∴-+<解集为{1020}x x <<∣， 又15,1520x x ≥∴≤<，故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元），才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.（2）证明：()12,1,x x ∀∈+∞，且12x x <，有()()()211212121212121212121211111x x x x y y x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由()12,1,x x ∈+∞，得121,1x x >>.所以12121,10x x x x >->. 又由12x x <，得120x x -<.于是()12121210x x x x x x --<，即12y y <. 所以，函数1y x x=+在区间()1,+∞上单调递增. 18. 【答案】(1)(1,)+∞ (2)(0,1]【分析】（1）先求出p ⌝，然后利用其为真命题，求出a 的取值范围即可； （2）由（1）可知，命题p 为真命题时a 的取值范围，然后再求解q 为真命题时a 的取值范围，从而得到q ⌝为真命题时a 的取值范围，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，当12x ≤≤时，214x ≤≤， p ⌝：存在12x ≤≤，20x a -<为真命题，则1a >， 所以实数a 的取值范围是(1,)+∞；（2）由（1）可知，命题p 为真命题时，1a ≤， 命题q 为真命题时，2244(2)0a a a ∆=-+≥，解得0a ≤， 所以q ⌝为真命题时，0a >，所以1>0a a ≤⎧⎨⎩，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围为(0，1]． 19. 【答案】(1){3<1x x -≤-或}34x ≤≤(2){3}aa ≤｜【分析】（1）求出定义域，得到{-34}A xx =<≤｜，进而计算出RB 及()R A B ⋂；（2）分B =∅与B ≠∅，列出不等式，求出a 的取值范围. 【详解】（1）要使函数()f x 40+3>0x x -≥⎧⎨⎩，解得：34x -<≤， 所以集合{-34}A x x =<≤｜. 2a =，∴{}{}=1<<1+=1<<3B x a x a x x --， ∴{=1RB x x ≤-或}3x ≥，∴{=3<1RA B x x ⋂-≤-或}34x ≤≤；（2）B A ⊆，①当B =∅时，11a a -≥+，即0a ≤，满足题意；②当B ≠∅时，由B A ⊆，得1<1+131+4a a a a --≥-≤⎧⎪⎨⎪⎩，解得：03a <≤，综上所述：a 的取值范围为{}3a a ≤.20. 【答案】(1)1()f x x -=(2)作图见解析(3)递增区间是(,0)-∞，递减区间是(0,)+∞【分析】(1)利用幂函数的定义求出m 值，再结合其图象性质即可得解.(2)由(1)求出函数()g x ，再借助反比例函数、对称性作出()g x 的图象.(3)根据(2)中图象特征写出函数()g x 的单调区间.【详解】（1）因幂函数()22()55m f x m m x -=-+，则2551m m -+=，解得1m =或4m =，当1m =时，函数11()f x x x-==定义域是(,0)(0,)-∞+∞，()f x 是奇函数，图象关于原点对称，则1m =，当4m =时，函数2()f x x =是R 上的偶函数，其图象关于y 轴对称，关于原点不对称，所以幂函数()f x 的解析式是1()f x x -=（2）因函数()|()|g x f x =，由(1)知，1()||g x x =，显然()g x 是定义域(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当0x >时，1()g x x =在(0,)+∞上单调递减，其图象是反比例函数1y x =在第一象限的图象，作出函数()g x 第一象限的图象，再将其关于y 翻折即可得()g x 在定义域上的图象，如图，（3）观察(2)中图象得，函数()g x 的递增区间是(,0)-∞，递减区间是(0,)+∞. 21. 【答案】(1){|11}x b x b -<<+(2)答案见解析【分析】（1）根据题意解一元二次不等式即可；（2）分类讨论函数单调区间，找到最小值点，由最小值为1，求出系数b ，再求函数在区间内的最大值.【详解】（1）若()24f x b <-，即22234x bx b -+<-，则()()110x b x b ⎡⎤⎡⎤---+<⎣⎦⎣⎦，∵11b b -<+，所以11b x b -<<+，故不等式()0f x <的解集为{|11}x b x b -<<+.（2）因为()223f x x bx =-+是开口向上，对称轴为x b =的二次函数，①若1b ≤-，则()f x 在[]1,2-上单调递增，∴函数()y f x =的最小值为()1421f b -=+=，解得32b =-， 故函数()y f x =的最大值为()27413f b =-=；②若2b ≥，则()f x 在[]1,2-上单调递减，∴函数()y f x =的最小值为()2741f b =-=，解得32b =（舍去）； ③若12b -<<，则()f x 在[]1,b -上单调递减，在(],2b 上是单调递增，∴函数()y f x =的最小值为()231f b b =-=，解得b =b =（舍去），故函数()y f x =的最大值为()1424f b -=+=+综上所述： 当32b =-时，()f x 的最大值为13；当b =()f x 最大值为4+22. 【答案】(1)5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)根据题意，分别求出两个函数的最小值，将问题等价转化为min min ()()g x f x ≤，解不等式即可求解；(2)根据题意，分别求出两个函数的值域，然后将问题等价转化为()f x 在[0,1]上值域是()g x 在[0,1]上值域的子集，结合集合的包含关系即可求解.【详解】（1）因为()()()2221221214111x x f x x x x x -+⎡⎤===++-⎢⎥+++⎣⎦，利用1y x x =+函数图像性质可知()f x 在[]0,1上单调递增，于是()f x 在0x =处取得最小值，即()min ()00f x f ==，因为()52g x x a α=+-，注意到0a >，则()g x 在[]0,1上单调递增，于是()g x 在0x =处取得最小值，即()min ()052g x g a ==-，由题意可得：520a -≤，即得5,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，所以实数a 的取值范围为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由(1)可知：()f x 在1x =处取得最大值，即()max ()11f x f ==于是当[]0,1x ∈时，()f x 的值域[]0,1A = ()g x 在1x =处取得最大值，即()max ()15g x g a ==- 于是当[]0,1x ∈时，()g x 的值域[]52,5B a a =-- 要使得对任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈使得()()12f x g x = 根据()f x 与()g x 的连续性可知A B ⊆成立 则52051a a -≤⎧⎨-≥⎩，解得5,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以实数a 的取值范围为5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
高一上学期期中考试数学试卷
高一上学期期中数学试卷一、单选题（每题5分）1.设全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a -5|,9},∁U A={5,7},则a 的值是( )A.2B.8C.-2或8D.2或82.设p :-1≤x<2,q :x<a ,若q 是p 的必要条件,则a 的取值范围是( )A.a ≤-1B.a ≤-1或a ≥2C.a ≥2D.-1≤a<23.已知函数f (x )={2-x 2,x ≤1,x 2+2x -2,x >1,则f (2f (2))的值为( ) A.7136 B.6 C.74 D.1794.关于命题p :“∀x ∈R ,x 2+1≠0”的叙述正确的是( )A.p 的否定:∃x ∈R ,x 2+1≠0B.p 的否定:∀x ∈R ,x 2+1=0C.p 是真命题,p 的否定是假命题D.p 是假命题,p 的否定是真命题5.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)内单调递减的函数是( )A.y=x -2B.y=x -1C.y=x 2D.y=x 136.已知函数f (x -1)是定义在R 上的奇函数,若对于任意两个实数x 1≠x 2,不等式f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0恒成立,则不等式f (x+3)<0的解集为( )A.(-∞,-3)B.(4,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,-4) 7．若对x ＞0，y ＞0有（x +2y ）（）≥m 恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤8 B ．m ＞8 C ．m ＜0 D ．m ≤48．已知0＜a ＜1，关于x 的不等式（x ﹣a ）（x ﹣）＞0的解集为（ ）A ．{x |x ＜a 或x ＞}B ．{a |x ＞a }C ．{x |x ＜或x ＞a } D ．{x |x ＜} 二、多选题（每题5分）9.下列函数是偶函数,且在区间(0,1)内单调递增的是( )A.y=|x|B.y=1-x 2C.y=-1xD.y=2x 2+410.已知2<x<3,2<y<3,则( )A.6<2x+y<9B.2<2x -y<3C.-1<x -y<1D.4<xy<911.下列式子中,可以是x2<1的充分条件的为( )A.x<1B.0<x<1C.-1<x<1D.-1<x<012.已知f (x )为区间(-∞,+∞)上的减函数,且a ∈(0,+∞),则( )A.f (a )>f (2a )B.f (a 2)<f (a )C.f (a 2+1)<f (a )D.f (a 2+a )<f (a ) 三、填空题（共4题，每题5分）13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥=2,522,)(2x x x x x x f ，则=))1((f f . 14.已知函数43)(2++-=x x x f ，则函数)(x f y =的定义域为 .15．A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则实数a 的值构成的集合M ＝16．已知a，b∈R+，且a+b++＝5，则a+b的取值范围是．四、解答题（共70分，17题10分，其他每题12分）17.已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x，2，y2}，且A＝B，求x，y的值．18.已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．(1)若a＝3，求(∁R P)∩Q；(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.已知不等式ax2−3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求a，b的值；(2)m为何值时，ax2+mx+3≥0的解集为R．(3)解不等式ax2−(ac+b)x+bc <0．20.某商城欲在国庆期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量a万件与促销费用x万元满足ax+20a=40x+755，已知a万件该商品的进价元/件．成本为100+30a万元，商品的销售价定为50+300a(1)将该商品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？21.已知函数f(x)=x+2a.x(1)若a=2,证明:函数f(x)在[2,+∞)上单调递增;(2)在满足(1)的条件下,解不等式f(t2+2)+f(-2t2+4t-5)<0.22．李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元.方案二：不收管理费，每度0.58元.L x元与用电量x（度）间的函数关系（1）求方案一收费()（2）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好。
广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(无答案)
深圳市高级中学2024－2025学年第一学期期中考试高一数学试卷说明：1、本试卷满分150分，考试时间为120分钟；2、本试卷分试题卷、答题卷两部分．考试结束，只交答题卷．一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．若（且），则（ ）A. B. C. D.2．命题“，”的否定为（ ）A.，B.，C.，D.，3．设，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4（ ）B.5C.D.255．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D.6．设函数．若，则实数a 的值为（ ）A.4 B.2C. D.7．已知函数，且对任意实数t ，都有，则（ ）A. B. C. D.8．函数的图象如图所示，则关于x 的不等式的解集为（ ）2024m n =0m >1m ≠log 2024m n =log 2024n m =2024log m n =2024log n m=2x ∀>226x +>2x ∃≥226x +>2x ∃≤226x +≤2x ∃≤226x +>2x ∃>226x +≤x ∈R 03x <<11x -<=()f x []1,3()g x =(]1,2(]1,5[]1,2[]1,5()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩()()1f a f a =+1412()2f x x bx c =++()()22f t f t +=-()()()214f f f <<()()()124f f f <<()()()241f f f <<()()()421f f f <<()f x ()10x f x ⋅->A. B.C. D.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．下列说法正确的是（ ）A.若，则 B.若，，则C.若，则 D.若，则10．下列各组函数是同一个函数的是（ ）A.与B.与C.与D.与11．已知函数．设命题p ：“关于x 的不等式解集为空集”，则命题p 的必要条件可以是（ ）A. B. C. D.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．已知幂函数的图象经过点，则________．13．已知函数的单调增区间为________．14．已知a ，b 为正实数，则的最小值为________．四、解答题（本大题共5个大题，共77分．解答应写出相应的文字说明、证明过程和演算步骤）15．（13分）已知集合，．（1）若，求；()(),22,-∞-+∞ ()()(),10,13,-∞-+∞ ()()0,12,+∞ ()()(),20,12,-∞-+∞ a b >1a b>a b >c d >a d b c ->-a b >11a b <22ac bc >a b>()f x x =()g x =()f x x =()g x =()1f x x =-()211x g x x -=+()0f x x =()01g t t =()2224f x x ax a =-+-()()0ff x <4a ≤-5a ≤-6a ≤-7a ≤-()n f x mx k =+11,164⎛⎫⎪⎝⎭23m n k -+=()f x =()f x 2a b a b a b+++{}23180A x x x =--≤{}()232B x m x m m =-≤≤+∈R 0m =A B R ð（2）若，求实数m 的取值范围．16．（15分）已知是定义在上的奇函数．（1）求；（2）求函数在上的值域．17．（15分）国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象．已知某火车站候车厅的候车人数与时间t 相关，时间t （单位：小时）满足，．经测算，当时，候车厅为满厅状态，候车人数为5000人；而当时，候车人数相对于满厅人数有所减少，减少人数与成正比，且6点时候车厅的候车人数为3800人．记候车厅的候车人数为．（1）求，并求11点时候车厅的候车人数；（2）铁路局为体现人性化管理，每整点时会给旅客提供免费面包，面包数量P 满足，则当t 为何值时，需要提供免费面包的数量最少？18．（17分）已知函数．（1）若对，都有，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式．19．（17分）函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知．（1）求，；（2）判断并证明的单调性；（3）解不等式：．B A =∅R ð()130,03x x a f a b b+-=>>+∥R ()f x ()()()3191x x g x f x =⋅++-[]0,1x ∈024t <≤t ∈N 1624t ≤≤016t <<()16t t -()f t ()f t ()3000400f t P t-=+()()()21f x ax a x a =++∈R x ∀∈R ()1f x ≤()1f x <-()f x ()0,+∞x ∀0y >()()1x f f x f y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭1x >()1f x >()22f =()1f ()4f ()f x ()()245f x f x ++-<。
重庆市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
重庆2023—2024年度（上）期中考试高一年级数学试题（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若()(){}1,2,1,3P =，则集合P 中元素的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据集合和元素的概念进行求解.【详解】集合P 中元素为()1,2，()1,3，共2个．故选：B2.命题“x ∀∈R ，2212x x -+≤0”的否定为（）A.x R ∀∉，20212x x -+≤ B.x ∀∈R ，20212x x -+>C.0x ∃∈R ，2002120x x -+> D.0x R ∃∉，2002120x x -+>【答案】C 【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“x ∀∈R ，2212x x -+≤0”是全称量词命题，所以其否定为0x ∃∈R ，2002120x x -+>，故选：C3.已知集合πZ ,π|3A k k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，2ππ|,Z 33k B k ββ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则x A ∈是x B ∈的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】A 【解析】【分析】根据集合之间的包含关系判断即可.【详解】()31ππ|πZ =33,,|Z k A k k k αααα⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，()2π2ππ|,Z =|Z 333k k B k k ββββ⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，31k + 表示3的整数倍加1，2k +表示全体整数，所以x A ∈可以推出x B ∈，x B ∈不可以推出x A ∈，所以x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.故选：A4.若3x >，则26113x x x -+-的最小值为（）A.2B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由基本不等式求最小值．【详解】3x >，则30x ->，22611(3)22(3)333x x x x x x x -+-+==-+≥=---，当且仅当233x x -=-，即3x =+故选：D ．5.已知2:80p m m -<，q ：关于x 的不等式()2+490x m x -+>的解集为R ，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式得到:08p m <<，由不等式解集为R ，利用根的判别式得到210m -<<，结合两集合的包含关系，得到p 是q 的充分不必要条件．【详解】2:8008p m m m -<⇒<<，由关于x 的不等式()2+490x m x -+>的解集为R ，可得()24490m ∆=--⨯<，解之得210m -<<，则由{}08m m <<是{}210m m -<<的真子集，可得p 是q 的充分不必要条件．故选：A6.数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords ，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A.)0,02a ba b +≥>> B.)0,02a b a b +≤>>C.)20,0aba b a b≤>>+ D.)220,0a b a b +≥>>【答案】B 【解析】【分析】通过图形，并因为AD a =，BD b =，所以2a bOC +=，2a b OD -=，从而可以通过勾股定理求得CD ，又因为CD OC ≥，从而可以得到答案.【详解】 ABC 等腰直角三角形，O 为斜边AB 的中点，AD a =，BD b=∴2a bOC +=，2a b OD -= OC AB⊥∴2222222222a b a b a b CD OC OD +-+⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴CD =而CD OC ≥2a b +≥()0,0a b >>，故选项B 正确.故选：B7.已知00a b >>，且1ab ＝，不等式11422ma b a b++≥+恒成立，则正实数m 的取值范围是（）A.m ≥2B.m ≥4C.m ≥6D.m ≥8【答案】D 【解析】【分析】由条件结合基本不等式可求a b +的范围，化简不等式可得()()242a b m a b +≥+-，利用二次函数性质求()()242a b a b ++-的最大值，由此可求m 的取值范围.【详解】不等式11422m a b a b++≥+可化为42a b mab a b ++≥+，又00a b >>，，1ab ＝，所以()()242a b m a b +≥+-，令a b t +=，则242t m t ≥-，因为00a b >>，，1ab ＝，所以2t a b =+≥=，当且仅当1a b ==时等号成立，又已知242t m t ≥-在[)2,+∞上恒成立，所以2max 42t m t ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭因为()()2221148488222t t t t t -=-=--+≤，当且仅当4t =时等号成立，所以m ≥8，当且仅当2a =-2b =+或2a =，2b =时等号成立，所以m 的取值范围是[)8,+∞，故选：D .8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，则不等式()0xf x <的解集为（）A.()(),44,∞∞--⋃+B.()()4,04,-+∞ C.()()4,00,4- D.()4,4-【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合奇函数的性质分析()f x 的符号，进而解不等式()0xf x <.【详解】当0x >时，令()()244f x x x x x =-=-，可知：当04x <<时，()0f x <；当4x >时，()0f x >；又因为()f x 是奇函数，可知：当40x -<<时，()0f x >；当<4x -时，()0f x <；对于不等式()0xf x <，则()00x f x >⎧⎨<⎩或()00x f x <⎧⎨>⎩，可得40x -<<或04x <<，所以不等式()0xf x <的解集为()()4,00,4- .故选：C.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A.2R,10x x x ∀∈-+≥B.Z,Z,243x y x y ∃∈∈+=C.菱形的对角线互相垂直D.任意四边形均有外接圆【答案】AC 【解析】【分析】根据全称量词的定义，逐项判断命题真假即可.【详解】对于A ，“∀”是全称量词，且由于140∆=-<，故对2R,10x x x ∀∈-+≥，为真命题，故A 正确；对于B ，“∃”是存在量词，故B 错误；对于C ，“所有的”是全称量词，所有的菱形的对角线都互相垂直，故C 正确，对于D ，任意四边形不一定有外接圆，对角和为180 的四边形，有外接圆；对角和不是180 的四边形，没有外接圆，故D 错误.故选：AC.10.下列幂函数中满足条件121212()()((0)22x x f x f x f x x ++<<<的函数是（）A.()f x x =B.2()f x x =C.()f x =D.1()f x x=【答案】BD 【解析】【分析】先明确题目中条件对应函数的性质，再根据性质进行判断选择.【详解】由题意可知，当0x >时，满足条件121212()()()(0)22x x f x f x f x x ++<<<的函数()f x 的图象是凹形曲线.对于A ，函数()f x x =的图象是一条直线，故当210x x >>时，1212()()(22x x f x f x f ++=；对于B ，函数2()f x x =的图象是凹形曲线，故当210x x >>时，1212()()(22x x f x f x f ++<；对于C ，函数()f x =的图象是凸形曲线，故当210x x >>时，1212()()(22x x f x f x f ++>；对于D ，在第一象限，函数1()f x x=的图象是一条凹形曲线，故当210x x >>时，1212()()(22x x f x f x f ++<，故选：BD.【点睛】本题考查函数图象与性质，考查综合分析判断能力，属中档题.11.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x >，且满足()21f =，则下列说法正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()21f -=-C.不等式()()232f x f x -->-的解集为()5,-+∞D.()()()()()202320220202220232023f f f f f -+-++++=L L 【答案】AB 【解析】【分析】根据奇函数的定义，并结合条件，即可判断A ；根据奇函数的性质求()2f -的值，即可判断B ；根据单调性的定义，判断函数的单调性，再求解不等式，判断C ；根据奇函数的性质求和，判断D.【详解】对于A 中，令0x y ==，可得()()()()00020f f f f =+=，所以()00f =，令y x =-，得到()()()00f x f x f -+==，即()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，故A 正确；对于B 中，因为()f x 为奇函数，所以()()2=21f f --=-，故B 正确；对于C 中，设1212,,x x x x y x >==，可得()()()1212f x x f x f x -=+-，所以()()()()()121212f x f x f x f x f x x -=+-=-，又因为12x x >，所以120x x ->，所以()120f x x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上单调递增，因为()21f -=-，所以()()()422222f f f -=--=-=-，由()()232f x f x -->-，可得()()()234f x f x f >-+-，所以()()()2347f x f x f x >--=-，所以27x x >-，得到7x >-，所以()()232f x f x -->-的解集为()7,-+∞，所以C 错误；对于D 中，因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以()()()()()()2023202320222022110f f f f f f -+=-+==-+=L ，又()00f =，故()()()()()202320220202220230f f f f f -+-++++=L L ，所以D 错误.故选：AB12.已知0b >,若对任意的()0,x ∈+∞,不等式32330ax x abx b +--≤恒成立.则（）A.a<0B.23a b =C.24a b +的最小值为12D.23a ab a b +++的最小值为6-【答案】ACD 【解析】【分析】先对2333ax x abx b +--进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得30+=,即20,9a a b <=,可得选项A,B 正误;将24a b +中的2a 用9b 代替,再用基本不等式即可得出正误;先将29b a=代入23a ab a b +++中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D 的正误.【详解】因为()()()()223233333ax b ax ax x abx b xx b ax +-++=--=+-,32330ax x abx b +--≤恒成立,即()()230b ax x -+≤恒成立,因为0b >,所以当(x ∈时,20x b -<,则需30ax +≥,当)x ∈+∞时,20x b ->,则需30ax +≤,故当x =时,30ax +=,即30=,所以0a <且239a b =-⇒=,故选项A 正确,选项B 错误;所以294412a b b b +=+≥=,当且仅当94b b =时,即32b =时取等,故选项C 正确;因为222229993333a ab a b a a a a a a a a ⎛⎫+++=+++=+++ ⎪⎝⎭,令33t a a a a ⎛⎫=+=---≤-=- ⎪⎝⎭当且仅当3a a-=-，即a =t ≤-所以22296t a a =++,故22229333333624a a t t t a a ⎛⎫⎛⎫+++=+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以在(,t ∈-∞-上,233324y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭单调递减,即min 1266y =--=-所以236a ab a b +++≥-，故选项D 正确.故选:ACD【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式的应用,属于难题,关于不等式有:2112a b a b+≥≥≥+,,0a b >;(2)柯西不等式:()()()22222a bcd ac bd ++≥+;(3)变换后再用基本不等式:()222222112,2a b a b ab a a a a ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．）13.已知12102α-=，131032β=，则314210βα+=______（填数值）【答案】2【解析】【分析】利用指数幂的运算法则计算出结果.【详解】()()31131113113142513422342242101010=322222βαβα⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：214.若函数()()224,134,1x ax a x f x a x a x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先判断出函数为减函数，再根据分段函数的单调性来列出不等关系，求出结果【详解】因为()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上是减函数，当1x <时，()224f x x ax a =-+，对称轴为x a =，分段函数要满足在R 上单调递减，需要满足1303421a a a a a ≥⎧⎪-<⎨⎪-+≤+⎩，解得：413a ≤≤.故答案为：41,3⎡⎤⎢⎣⎦15.若幂函数()f x 过点()4,2-，则满足不等式()()221f a f a ->-的实数a 的取值范围是______．【答案】()1,1-【解析】【分析】根据幂函数所过点得到()f x 为偶函数，在第一象限过()4,2，从而求出解析式，根据幂函数单调性得到不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】幂函数()f x 的图象过点()4,2-，∴()f x 为偶函数，在第一象限过()4,2；当0x ≥，设()f x x α=，则42α=，解得12α=；∴幂函数()()24R f x xx =∈，由于204>，故()()24R f x x x =∈在[)0+x ∈∞，上单调递增，不等式()()()()221221221f a f a fa f a a a ->-⇔->-⇔->-，平方得2244441a a a a -+>-+，解得11a -<<；所以实数a 的取值范围是()1,1-．故答案为：()1,1-16.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2f x ax b =+，若()()036f f +=，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】72-【解析】【分析】根据函数的奇偶性，先求得,a b ，然后求得12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【详解】因为()1f x +是偶函数，所以()()+11f x f x -=+①，因为()2f x +是奇函数，所以()()+22f x f x -=-+②，令1x =，由①得：()()024f f a b ==+，由②得：()()()3=1f f a b -=-+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a +-+=⇒=，令0x =，由②得：()()()22208f f f b =-⇒=⇒=-，所以当[]1,2x ∈时，()2=28f x x -，11137=1122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：72-四、解答题（本大题共6小题，共70分．请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程．）17.已知集合{34}A xx =-<<∣，集合{133}B x m x m =-<<+∣.（1）当2m =时，求()R ,A B A B ð；（2）若A B ⋂=∅，求m 的取值范围.【答案】（1）{39}A B xx ⋃=-<<∣，(){31}A B x x ⋂=-<≤R ∣ð（2）{5mm ≥∣或2}m ≤-【解析】【分析】（1）根据集合的交并补运算即可求解，（2）分类讨论即可求解.【小问1详解】当2m =时，{19}B xx =<<∣，{39}A B x x ⋃=-<<∣.因为{1B x x =≤R ∣ð或9}x ≥，所以(){31}A B x x ⋂=-<≤R∣ð.【小问2详解】当B =∅时，133m m -≥+，解得2m ≤-.当B ≠∅时，133,333m m m -<+⎧⎨+≤-⎩或133,14,m m m -<+⎧⎨-≥⎩解得5m ≥，即m 的取值范围是{5mm ≥∣或2}m ≤-.18.已知抛物线()235y mx m x n =+--经过点()0,15-.（1）若关于x 的不等式()2350mx m x n +--<的解集为33m n x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求,m n 的值；（2）若0m <，求关于x 的不等式()2350mx m x n +-->的解集.【答案】（1）3,15m n ==（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据不等式的解集结合韦达定理计算求值即可;（2）分35m <-,35m =-,305m -<<三种情况讨论一元二次不等式的解集.【小问1详解】由抛物线()235y mx m x n =+--经过点()0,15-得15n =，因为不等式()2350mx m x n +--<的解集为33m n x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，所以0m >，易得关于x 的一元二次方程()2350mx m x n +--=的两个根分别为,33m n -.由根与系数的关系可得53,33,33m n m m m n n m -⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⋅=-⎪⎩解得3m =或-3（舍去），即3,15m n ==.【小问2详解】不等式()235150mx m x +-->可化为()()350mx x +->.令35m -=，得35m =-.当35m =-时，不等式为2(5)0x -<，无解；当35m <-时，35m -<，解不等式()()350mx x +->得35x m -<<；当305m -<<时，35m ->，解不等式()()350mx x +->得35x m <<-.综上，当35m <-时，原不等式的解集为35x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣；当35m =-时，原不等式的解集为∅；当305m -<<时，原不等式的解集为35x x m ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭∣.19.已知ABC 的三边长为,,a b c ，其中2a =.求证：ABC 为等边三角形的充要条件是()2224b c b c bc +-+=-．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解.【详解】证明：充分性：当2a =时，多项式()2224b c b c bc +-+=-可化为()222b c a b c bc a +-+=-，即222a b c ab ac bc ++=++，所以222222222a b c ab ac bc ++=++，则()()()2220a b b c a c -+-+-=，所以0a b b c a c -=-=-=，即a b c ==，ABC 为等边三角形，即充分性成立；必要性：由ABC 为等边三角形，且2a =，所以2a b c ===，则()2220b c b c +-+=，40bc -=，所以()2224b c b c bc +-+=-，即必要性成立．故ABC 为等边三角形的充要条件是()2224b c b c bc +-+=-．20.如图，现将正方形区域ABCD 规划为居民休闲广场，八边形HGTQPMKL 位于正方形ABCD 的正中心，计划将正方形WUZV 设计为湖景，造价为每平方米20百元；在四个相同的矩形EFUW ，,,IJVW VZON UZRS 上修鹅卵石小道，造价为每平方米2百元；在四个相同的五边形,,,AEHLI DFGTS PQRCO BNMKJ 上种植草坪，造价为每平方米2百元；在四个相同的三角形,,,HLW GTU PQZ KMV 上种植花卉，造价为每平方米5百元.已知阴影部分面积之和为8000平方米，其中,,,,GH TQ MP KL LH GT PQ KM GH PM TQ KL EF =======∥∥的长度最多能达到40米.（1）设总造价为S （单位：百元），HG 长为2x （单位：米），试用x 表示S ；（2）试问该居民休闲广场的最低造价为多少百元？6.6=，结果保留整数）【答案】（1）2280000008616000(020)S x x x =++<≤（2）68800百元【解析】【分析】（1）将各部分分别求造价再求和即可；（2）根据基本不等式求解即可.【小问1详解】方法一：因为2HG x =米，所以HL =米，得HW LW x ==米.根据题意可得四个三角形,,,HLW GTU PQZ KMV 的面积之和为22x 平方米，正方形WUZV 的面积为24x 平方米，四个五边形的面积之和为22228000400000042242x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯-=- ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭平方米，则休闲广场的总造价22224000000204280002252S x x x x ⎛⎫=⨯+⨯+-+⨯ ⎪⎝⎭2280000008616000(020)x x x =++<≤.方法二：设HE y =米，因为2HG x =米，所以HL =米，得HW LW x ==米，根据题意可得阴影部分面积为()2424288x y x x xy x ⋅⋅+⋅⋅=+平方米，则22800081000888000,8x xy x y x x x -+===-，四个三角形,,,HLW GTU PQZ KMV 的面积之和为22x 平方米，正方形WUZV 的面积为24x 平方米，因为正方形ABCD 的面积为()222(42)16164x y x xy y +=++平方米，所以四个五边形的面积之和为222216164800024x xy y x x ++---()22101648000x xy y =++-平方米，所以休闲广场的总造价()222220428000210164800052S x x xy y x =⨯+⨯+⨯++-+⨯22110328x xy y =++2280000008616000(020)x x x =++<≤.【小问2详解】因为228000000861600016000S x x =++≥+1600068800=+=，当且仅当22800000086xx =，即2220x ==<时，等号成立，所以该居民休闲广场的总造价最低为68800百元.21.已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2a f x x x =-+-.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在[2,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2,0,()0,0,2,0.a x x x f x x a x x x ⎧-+-<⎪⎪==⎨⎪⎪-++>⎩（2）4a ≥-【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质计算可得；（2）设12,[2,)x x ∀∈+∞，且12x x <则12())0(f x f x ->，即可得到1210a x x +>⋅恒成立，参变分离得到12a x x >-⋅，即可得解.【小问1详解】当0x =时，由函数()f x 为R 上的奇函数得(0)0f =；当0x >时，0x -<，则()2a f x x x-=--，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()2()a f x x f x x -=--=-，所以()2a f x x x =-++，故2,0,()0,0,2,0.a x x x f x x a x x x ⎧-+-<⎪⎪==⎨⎪⎪-++>⎩【小问2详解】由函数()f x 在[2,)+∞上单调递减，设12,[2,)x x ∀∈+∞，且12x x <，都有12()()f x f x <，即12())0(f x f x ->，即121212()()2(2)a a f x f x x x x x -=-+---+-2112()()a a x x x x =-+-2112()(10a x x x x =-⋅+>⋅.则12,[2,)x x ∀∈+∞，因为12x x <，所以210x x ->，所以1210a x x +>⋅，则12a x x >-⋅，又124x x -⋅<-，所以4a ≥-.22.若在函数()f x 的定义域内存在区间[],a b ，使得()f x 在[],a b 上单调，且函数值的取值范围是[],ma mb （m 是常数），则称函数()f x 具有性质M ．（1）当12m =时，函数()f x =M ?若具有，求出a ，b ；若不具有，说明理由；（2）若定义在()0,2上的函数()45f x x x =+-具有性质M ，求m 的取值范围．【答案】（1）函数()f x =M ，0,4.a b =⎧⎨=⎩（2）19,216⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）首先求出函数的定义域与单调性，依题意可得1212a b ==，解得即可；（2）首先将()f x 写出分段函数，再分[](),0,1a b ⊆和[][),1,2a b ⊆两种情况讨论，结合函数的单调性得到方程组，当[][),1,2a b ⊆时，得到()2451f x m x x x ==-+-在[)1,2上有两个不等实根，再构造函数，结合二次函数的性质求出参数的取值范围.【小问1详解】解：因为()f x =[)0,∞+上单调递增，所以()f x =[],a b上的函数值的取值范围是，即1212a b ==，显然0a b ≤<，所以04a b =⎧⎨=⎩，故函数()f x =M ．【小问2详解】解：()45,014545,12x x x f x x x x x x ⎧+-<<⎪⎪=+-=⎨⎛⎫⎪-+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，因为4y x x=+在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，当[](),0,1a b ⊆时，()f x 单调递减，∴()()f a mb f b ma ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得4545a b a a b b +-=+-，整理得()()50a b a b -+-=，∵5a b +=与[](),0,1a b ⊆矛盾，∴当[](),0,1a b ⊆时，不合题意．当[][),1,2a b ⊆时，()f x 在[)1,2单调递增，∴()()f a ma f b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩，知()f x mx =在[)1,2上有两个不等实根，即()2451f x m x x x==-+-在[)1,2上有两个不等实根，令11,12t x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，()2451h t t t =-+-，由1122h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，59816h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10h =，知19216m <<，。
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高一上学期期中考试数学试题分值：150分 时量：120分钟 第Ⅰ卷 （必考部分 共100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知三个集合B A U ,,及元素间的关系如图所示，则()U B A I ð等于（ C ）A ．{}3 B. }8,7,4,2,1,0{ C. }2,1{ D.}3,2,1{2.下列函数是奇函数的是 （ D ） A ．2()f x x = B. ()2xf x = C.()1f x x =+ D. 3()f x x =3.下列计算正确的是 （ B ） A. 222log 6log 3log 3-= B. 22log 6log 31-= C. 3log 93= D. ()()233log 42log 4-=- 4.函数(21)y ln x =-的定义域为 （ A ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,215.已知集合{0,1}A =，则下列式子表示错误．．的是 （ B ） A 0A ∈ B {1}A ∈ C A ⊆φ D {0,1}A ⊆6．设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间 ( B ） A (1,1.25) B (1.25,1.5) C (1.5,2) D 不能确定7．设525352)52(,)52(,)53(===c b a ，则c b a ,,的大小关系是 （ A ）A ．b c a >> B.c b a >> C.b a c >> D.a c b >> 8.今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是： （ C ）A ．t y 2log = B.t y 21log = C.212-=t y D.22-=t y二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上） 9.函数62)(-=x x f 的零点为 3 ; 10.计算：(1)=⋅2log 3log 32 1 ; =3-π ;11．已知函数2,1()log ,1x e x f x x x ⎧<=⎨≥⎩（）（），则((0))f f = 0 ;12.设{}{}0,01A x x m B x x =<<=<<,且B A ⊆，则m 的取值范围是1;m ≥13.如果函数2()2(1)1f x x a x =-++是偶函数，那么a = -1 ; 14.已知函数1(1)2x f x -+=，则(5)f = 8 .三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题满分8分）已知集合{}22,,U x x x Z =-<<∈{}{}22560,1,A x x x B x x =--===求,,A B A B U I ()U A B I ð.解：由题意得{}{}{}1,6,1,1,1,0,1A B U =-=-=-,{}{}{}1,1,6,1,()0,1U A B A B A B ∴=-=-=U I I ð.16.（本题满分8分）已知函数)0,0(11)(>>-=x a xa x f . （1）求证：)(x f 在),0(+∞上是单调递增函数；(2)若)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，求a 的值.解：（1）证明:设012>>x x ，则0,02112>>-x x x x ，)11()11()()(1212x a x a x f x f ---=-Θ211212110x x x x x x -=-=>,21()(),()f x f x f x ∴>∴在()+∞,0上是单调递增的.（2）()f x Q 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递增，2)2(,21)21(==∴f f ，易得52=a .17.（本题满分8分）已知22()log (1),()log (1)f x x g x x =+=-. （1）求函数()()f x g x -的定义域； （2）求使()()0f x g x ->的x 的取值范围.222222()()log (1)log (1)10-11,10()()()0,log (1)log (1)0log (1)log (1),1>1,0110f x g x x x x x x f x f x g x x x x x x x x x -=+--+>⎧<<⎨->⎩∴->+-->+>-+-∴>-<<解：(1) 由得，解得的定义域是(-1,1).(2）即即，又，故原不等式的解集是（，1）.18.（本题满分10分） 某城市现有人口总数为100万人,如果年自然 增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y （万人）与年份x （年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）. （参考数据:1.0129≈1.113，1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079,lg1.012≈0.005） 解：（1）1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%). 2年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2. 3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2% =100×(1+1.2%)3. x 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)x .(2) 10年后，人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7（万人). (3) 设x 年后该城市人口将达到120万人，即100×(1+1.2%)x =120,所以，大约16年以后，该城市人口将达到120万人.19．（本题满分10分）已知函数(]2()23,0,3f x ax x x =-+∈. (1)当1a =时，求函数()f x 的值域；(2)如果函数()f x 在定义域内有零点，求实数a 的取值范围. 解：（1）当1a =时，22()23(1)2f x x x x =-+=-+， 从而，()f x 的最小值是(1)2f =，最大值是(3)6f =， 即()f x 的值域是[]2,6.(2) 函数()f x 在定义域内有零点,即方程2230ax x -+=在(]0,3x ∈有实根，等价于求函数223x a x -=在(]0,3x ∈上的值域.令()h x =223x x -，则 ()h x =22231132,x x x x -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(]0,3x ∈.再令11,3t x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则2211()32333g t t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，当13t =时，()g t 有最大值13，即13a ≤.第Ⅱ卷 (选考部分 共50分）20.（本题满分12分）已知集合{}{},,lg(),0,,A x xy xy B x y ==,若A=B,求,x y 的值. 解：由A=B 知，lg()0xy =，即1xy =，此时, {}{}0,1,0,,.x x y =所以⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===11,1,1,x xy yx y xy x x 或，解得1 1.x y x y ====-或{}10,1,1,x y ==当时，A=B=与集合元素互异性矛盾，应舍去；1.0121.012120log log 1.2016().100x ==≈年当{}1A=B=-1,0,1x y ==-时，， 故x=y=-1.21．（本题满分12分）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(和一次函数bx x g -=)(， 其中R c b a ∈,,且满足c b a >>，0)1(=f ．（1）证明：函数)(x f 与)(x g 的图象交于不同的两点A ，B ；（2）若函数)()()(x g x f x F -=在[]3,2上的最小值为9，最大值为21，求()F x 的解析式.解：（1）由c bx ax x f ++=2)(与bx x g -=)(得220ax bx c ++=，0)1(=++=c b a f Θ，,0,0a b c a c >>∴><，从而2440b ac ∆=->，即函数)(x f 与)(x g 的图象交于不同两点A ，B. （2）,,c b a b a c >>--=即b a c a --=>，得,2,2<-->abb a 知函数()F x 在[2，3]上为增函数，(2)449,(3)9621F a bc F a b c =++==++=， 又0a b c ++=解得2,1,3,a b c ===-故2()=223F x x x +-.22.（本题满分13分）已知定义域为R 的函数12()22x x b f x +-+=+是奇函数.（1）求b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．解:（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201,().2222xx b b f x +--=⇒=∴=++ （2）由（1）知11211(),22221x x xf x +-==-+++设12x x <,则 211212121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++， 因为函数y=2x在R 上是增函数且12x x <, ∴2122x x ->0，又12(21)(21)xx++>0,∴12()()f x f x ->0即12()()f x f x >. ∴()f x 在(,)-∞+∞上为减函数. 因()f x 是奇函数，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，又因()f x 为减函数，∴2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->， 从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<-23．（本题满分13分）已知定义在区间()+∞,0上的函数)(x f 满足1122()()()x f f x f x x =-，且当1>x 时，0)(<x f . （1） 求)1(f 的值；（2） 判断)(x f 的单调性并予以证明；（3） 若,1)3(-=f 解不等式2log 2f x -（）>. 解:（1）令021>=x x ，代入得0)()()1(11=-=x f x f f ，故0)1(=f . （2）任取),0(,21+∞∈x x ，且21x x >则121>x x ，由于当1>x 时，0)(<x f , 所以0)(21<x x f ,即0)()(21<-x f x f ，因此)()(21x f x f <. 所以函数)(x f 在区间()+∞,0上是单调递减函数. (3) 由)()()(2121x f x f x x f -=得)3()9()39(f f f -=，而1)3(-=f ，所以2)9(-=f . 由函数)(x f 在区间()+∞,0上是单调递减函数，且2(log )(9)f x f >， 得20log 9,1512x x <<∴<<，因此不等式的解集为{}1512x x <<.。