2017届二轮复习四海八荒易错集专题14直线和圆文专题卷(全国通用)

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2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题14 直线与圆文

专题14 直线与圆文【考向解读】考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现. 【命题热点突破一】直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例1、【2016高考新课标3理数】已知直线l ：30mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.【答案】4【变式探究】(1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12 B.12或－6C ．－12或12D ．0或12【答案】 (1)C (2)B【特别提醒】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．【变式探究】已知A (3,1)，B (－1,2)两点，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( ) A ．y ＝2x ＋4 B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0 【答案】 C【解析】由题意可知，直线AC 和直线BC 关于直线y ＝x ＋1对称．设点B (－1,2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为B ′(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0＋1＝－1，y 0＋22＝x 0－12＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0，即B ′(1,0)．因为B ′(1,0)在直线AC上，所以直线AC 的斜率为k ＝1－03－1＝12，所以直线AC 的方程为y －1＝12(x －3)，即x －2y －1＝0.故C 正确．【命题热点突破二】圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E 2)为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．例2、【2016高考新课标2理数】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（）（A ）43-（B ）34- （C （D ）2 【答案】A【变式探究】(1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4(2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x ＋1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝4D ．x 2＋(y ＋1)2＝4【答案】 (1)D (2)B【解析】 (1)因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，所以选D.(2)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a >－2，半径为r ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＋32＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.故选B.【特别提醒】解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【变式探究】(1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________________． (2)已知直线l 的方程是x ＋y －6＝0，A ，B 是直线l 上的两点，且△OAB 是正三角形(O 为坐标原点)，则△OAB 外接圆的方程是____________________．【答案】 (1)(x －2)2＋(y －1)2＝10 (2)(x －2)2＋(y －2)2＝8(2)设△OAB 的外心为C ，连接OC ，则易知OC ⊥AB ，延长OC 交AB 于点D ，则|OD |＝32，且△AOB 外接圆的半径R ＝|OC |＝23|OD |＝2 2.又直线OC 的方程是y ＝x ，容易求得圆心C 的坐标为(2,2)，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8.【命题热点突破三】直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切； (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切； (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3、【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。

高考数学(四海八荒易错集)专题14 直线和圆理

专题14 直线和圆1．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离答案 B解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，2．已知点A (2，3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．[34，2]B ．(－∞，34]∪[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1,2] 答案 B解析直线kx －y ＋1－k ＝0恒过点P (1,1)，k PA ＝3－12－1＝2，k PB ＝－2－1－3－1＝34；若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，结合图象(图略)得k ≤34或k ≥2，故选B.3．若方程(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x ，y )都满足不等式y ≥33x ，则θ的取值范围是( ) A ．[π6，7π6]B ．[5π12，13π12]C ．[π2，π]D ．[π3，π]答案 D解析根据题意可得，方程(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x ，y )都满足不等式y ≥33x ，表示方程(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1(0≤θ<2π)在y ＝33x 的左上方(包括相切)，∴⎩⎪⎨⎪⎧|2sin θ－33×2cos θ|1＋13≥1，2sin θ>33×2cos θ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6≥12，∵0≤θ<2π，∴θ∈[π3，π]，故选D.4．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取得最小值时，过点P 引圆(x －12)2＋(y ＋14)2＝12的切线，则此切线段的长度为________．答案62解析由题意可知，5．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是______________．半径是________．答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．6．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.7．已知以点C (t ，2t)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． (1)证明由题意知圆C 过原点O ，且|OC |2＝t 2＋4t 2.则圆C 的方程为(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .故S △OAB ＝12|OA |×|OB |＝12×|2t |×|4t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x ，线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意，应舍去．综上，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.易错起源1、直线的方程及应用例1、(1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5D ．1或2(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12B.12或－6 C ．－12或12D ．0或12答案 (1)C (2)B【变式探究】已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．6 D ．1或2答案 D解析由l1⊥l2，则a(3－a)－2＝0，即a＝1或a＝2，选D.【名师点睛】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．【锦囊妙计，战胜自我】1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.易错起源2、圆的方程及应用例2、(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( )A．(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y±3)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y±3)2＝4(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x ＋1)2＋y 2＝4C ．x 2＋(y －1)2＝4D ．x 2＋(y ＋1)2＝4答案 (1)D (2)B所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.故选B.【变式探究】(1)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．(2)两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和点M (－3,2)，且圆心在直线y ＝12x 上，则圆C 的标准方程为______________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254(2)(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34解析 (1)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52.得该圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.【名师点睛】解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【锦囊妙计，战胜自我】 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E 2)为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．易错起源3、直线与圆、圆与圆的位置关系例3、(1)已知直线2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R)恒过定点P ，若点P 平分圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的弦MN ，则弦MN 所在直线的方程是( ) A ．x ＋y －5＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x －y －1＝0D ．x －y ＋1＝0(2)已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．3 B.212C ．22D ．2答案 (1)A (2)D解析 (1)对于直线方程2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R)，取y ＝3，则必有x ＝2，所以该直线恒过定点P (2,3)．设圆心是C ，则易知C (1,2)，所以k CP ＝3－22－1＝1，由垂径定理知CP ⊥MN ，所以kMN ＝－1. 又弦MN 过点P (2,3)，故弦MN 所在直线的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.【变式探究】(1)若直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12D ．2或12(2)已知在平面直角坐标系中，点A (22，0)，B (0,1)到直线l 的距离分别为1,2，则这样的直线l 共有________条．答案 (1)D (2)3【名师点睛】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．【锦囊妙计，战胜自我】1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r 2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d>r1＋r2⇔两圆外离；(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；(3)|r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆相交；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．1．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( )A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0答案A解析由于直线PA的倾斜角为45°，且|PA|＝|PB|，故直线PB的倾斜角为135°，又由题意知P(2,3)，∴直线PB的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.故选A.2．设a∈R，则“a＝－1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋5＝0平行的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，5a ＋1≠0，即a ＝±1，故a ＝－1是两直线平行的充分而不必要条件．故选A.3．过P (2,0)的直线l 被圆(x －2)2＋(y －3)2＝9截得的线段长为2时，直线l 的斜率为( )A ．±24B ．±22C ．±1D ．±33 答案 A4．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x －y ＋2＝0D ．x ＋y ＋2＝0 答案 C解析圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，圆心C 的坐标为(－2,2)．直线l 过OC 的中点(－1,1)，且垂直于直线OC ，易知k OC ＝－1，故直线l 的斜率为1，直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.故选C.5．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4B.17－1 C ．6－22 D.17答案 A解析两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C 1′C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.6．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋1＝0，l 1∥l 2，则a 的值为________，直线l 1与l 2间的距离为________．答案－1 2解析 ∵l 1∥l 2，∴a ·1＝－1·1⇒a ＝－1，此时l 1：x ＋y －1＝0，∴l 1，l 2之间的距离为|1－－1|2＝ 2.7．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－2x ＋y 2＝0上的动点，则△ABC 面积的最小值是________．答案 3－28．已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝______. 答案 4解析设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，AB ＝23，所以OM ＝3，解得m ＝－33，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0,23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4.9．已知点A (3,3)，B (5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1,2)． ①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB .而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，10．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解 (1)由题设可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.。

(完整)高三专题复习：直线与圆知识点及经典例题(含答案),推荐文档

专题：圆的方程、直线和圆的位置关系知识要点】圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆一）圆的标准方程形如：（x a ）2 （y b ）2 r 2 这个方程叫做圆的标准方程。

王新敞说明： 1、若圆心在坐标原点上，这时 a b 0 ，则圆的方程就是 x 2 y 2 r 2。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要 a,b,r 三个量确定了且 r >0，圆的方程就给定了。

圆的一般方程的特点：（i ） x 2和y 2 的系数相同，不等于零；（ii ）没有 xy 这样的二次项。

三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（1）相离 --- 求距离；2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断 : 当 d>r 时，直线与圆相离；当 d ＝r 时，直线与圆相切 ;当 d<r 时，直线与圆相交。

代数方法主要步骤：就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件王新敞确定 a,b,r ，可以根据 3 个条件，利用待定系数法来解决。

将圆的标准方程(x a)2 (y 的方程都可以写成: x 2 2 y Dx问题：形如x 22 y Dx Ey将方程x 22yDx Ey F （1）当 D 2 E 24F 0时，方程D 2E 24F 为半径的圆。

心以2（2）当 D 2 E 24F 0时，方程点（ D , E)22（3）当 D2E 24F 0时，方程圆的一般方程的定义：当 D 2 E 22 2 2 r ,展开可得 x y 2ax 2by 222a b r 0 。

可见，任何一个圆0 的方程的曲线是不是圆？ 0左边配方得：（x 与标准方程比较，y 2 Dx Eyy 2 Dx Ey 20 时，方程 x 2 D 2 E D 2)2 (y E 2)D 2E 2 4F )2方程 x 2 y 2 Dx Ey F 0 只有实数解，解为 x0表示以（ D, E）为圆22DE2,y 2, 所以表示一个F 0 没有实数解，因而它不表示任何图形。

2017届高三文科数学二轮复习：第1部分专题5 突破点11 直线与圆含解析

专题五平面解析几何建知识网络明内在联系高考点拨]平面解析几何是高考的重点内容，常以“两小一大”呈现，两小题主要考查直线与圆的位置关系．双曲线的图象和性质(有时考查抛物线的图象和性质)，一大题常考查以椭圆(或抛物线)为背景的图象和性质问题．基于上述分析，本专题将从“直线与圆”“圆锥曲线的定义、方程、几何性质”“圆锥曲线中的综合问题”三条主线引领复习和提升．突破点11直线与圆提炼1圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(2)圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F ＞0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．提炼2 求解直线与圆相关问题的两个关键点 (1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理．(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2，弦长公式|AB |＝2r 2－d 2(弦心距d )．提炼3 求距离最值问题的本质 (1)圆外一点P 到圆C 上的点距离的最大值为|PC |＋r ，最小值为|PC |－r ，其中r 为圆的半径．(2)圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ，最小距离是d －r ，其中d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径．(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦．回访1 圆的方程1．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎨⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]2．(2014·山东高考)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为______________________．(x －2)2＋(y －1)2＝4 设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.]回访2 直线与圆的相关问题3．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43 B.－34 C. 3D.2A 由圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.] 4．(2016·全国乙卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]热点题型1 圆的方程题型分析：求圆的方程是高考考查的重点内容，常用的方法是待定系数法或几何法．(1)(2016·黄山一模)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为________．(2)(2016·郑州二模)已知⊙M 的圆心在第一象限，过原点O 被x 轴截得的弦长为6，且与直线3x ＋y ＝0相切，则圆M 的标准方程为________．(1)x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 (2)(x －3)2＋(y －1)2＝10 (1)因为圆C 关于y 轴对称，所以圆C 的圆心C 在y 轴上，可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2. 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33.所以圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.(2)法一：设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(a ＞0，b ＞0，r ＞0)，由题意知⎩⎨⎧b 2＋9＝r 2，|3a ＋b |32＋12＝r ，a 2＋b 2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝10，故⊙M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.法二：因为圆M 过原点，故可设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，又被x 轴截得的弦长为6且圆心在第一象限，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 22＝32，故D ＝－6，与3x ＋y ＝0相切，则－E 2－D2＝13，即E ＝13D ＝－2，因此所求方程为x 2＋y 2－6x －2y ＝0.故⊙M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.]求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．变式训练1] (1)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝4 B.(x ＋1)2＋y 2＝4 C.x 2＋(y －1)2＝4D.x 2＋(y ＋1)2＝4(2)(2016·长春一模)抛物线y 2＝4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ，B 两点，其准线与x 轴的交点为M ，则过M ，A ，B 三点的圆的标准方程为________．(1)B (2)(x －1)2＋y 2＝4 (1)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2，半径为r ，得⎩⎨⎧(a ＋2)2＋(3)2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎨⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. 故选B.(2)由题意知，A (1,2)，B (1，－2)，M (－1,0)，△AMB 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则线段AB 是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.]热点题型2 直线与圆、圆与圆的位置关系题型分析：直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的热点内容，解决的方法主要有几何法和代数法．(1)(2016·全国丙卷)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.4 如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. 在Rt △BOD 中， ∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线，∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.](2)(2016·开封一模)如图13-1，已知圆G：(x－2)2＋y2＝r2是椭圆x216＋y2＝1的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点．(1)求圆G的半径r；(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G 相切．图13-1解](1)设B(2＋r，y0)，过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H.由GDAD＝HBAH得r36－r2＝y06＋r，即y0＝r6＋r6－r，①2分而B(2＋r，y0)在椭圆上，y20＝1－(2＋r)216＝12－4r－r216＝－(r－2)(r＋6)16，②3分由①②式得15r2＋8r－12＝0，解得r＝23或r＝－65(舍去).5分(2)证明：设过点M(0,1)与圆(x－2)2＋y2＝49相切的直线方程为y＝kx＋1，③则23＝|2k＋1|1＋k2，即32k2＋36k＋5＝0，④解得k1＝－9＋4116，k2＝－9－4116.将③代入x216＋y2＝1得(16k2＋1)x2＋32kx＝0，则异于零的解为x＝－32k16k2＋1.8分设F(x1，k1x1＋1)，E(x2，k2x2＋1)，则x1＝－32k116k21＋1，x2＝－32k216k22＋1，9分则直线FE的斜率为k EF＝k2x2－k1x1x2－x1＝k1＋k21－16k1k2＝34，于是直线FE的方程为y＋32k2116k21＋1－1＝34⎝⎛⎭⎪⎫x＋32k116k21＋1.即y＝34x－73，则圆心(2,0)到直线FE的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－731＋916＝23，故结论成立.12分1．直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算．2．弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2r2－d2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l＝1＋k2|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解．变式训练2](1)(2016·哈尔滨一模)设直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程为________.【导学号：85952047】y ＝x ＋1 直线l 恒过定点M (0,1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，易知点M (0,1)在圆C 的内部，依题意当l ⊥CM 时直线l 被圆C 截得的弦最短，于是k ·1－00－1＝－1，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.](2)(2016·泉州一模)已知点M (－1,0)，N (1,0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．①求曲线E 的方程；②已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解] ①设曲线E 上任意一点坐标为(x ，y )，由题意，(x ＋1)2＋y 2＝3(x －1)2＋y 2，2分整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求.4分②由题知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1,0)，设曲线E 的圆心为E ，则E (2,0)，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：y ＝x －2，设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22.7分由圆的几何性质，|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝⎛⎭⎪⎫t －222＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，解得t ＝0，或t ＝3，11分所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.12分。

专题1.5 以直线与圆位置关系为背景的填空题-2017年高

专题一压轴填空题【名师综述】直线与圆是高中数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对直线与圆的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式或轨迹相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显直线与圆的交汇价值．类型一以动点轨迹为圆考查直线与圆、圆与圆位置关系典例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是____________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－203，4【名师指点】本题考查了直线与圆的位置关系，以及一元二次不等式的解法，突出了方程思想和解析法，其中方法1是利用方程对应的几何图形解决问题；方法2用代数方法算方程根的个数．本题属于难题．【举一反三】已知点A(0，1)，B(1，0)，C(t ，0)，点D 是直线AC 上的动点，若AD≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为____________．【答案】4【解析】直线AC 的方程为xt ＋y ＝1即x ＋ty －t ＝0，设D(x ，y)，∵ AD ≤2BD 即AD 2≤4BD 2，∴ x 2＋(y －1)2＜4(x －1)2＋y 2]，⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132≥89表示圆外区域及圆周上的点，直线x ＋ty －t ＝0与圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝89相离，⎪⎪⎪⎪⎪⎪43－13t －t 1＋t2≥223，化简得t 2－4t ＋1≥0，解得t≥2＋3或t≤2－ 3.∴ 正整数t 的值的值为4.类型二以圆中直角三角形建立函数关系式或方程或不等式典例2 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2，圆C 2：(x －m)2＋(y ＋m)2＝m 2.若圆C 2上存在点P 满足：过点P 向圆C 1作两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，△ABP 的面积为1，则正数m 的取值范围是__________．【答案】1，3＋23]【名师指点】本题考查了圆的切线的性质、三角函数的运用、圆与圆相交的条件．本题属于难题．【举一反三】已知经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的两个圆C 1，C 2都与直线l 1：y ＝12x ，l 2：y ＝2x 相切，则这两圆的圆心距C 1C 2等于__________．【答案】459【解析】假设圆心所在直线为y ＝kx ，则k －121＋12k ＝2－k1＋2k ，k ＝1.故假设圆C 1：(a －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＝a 25，圆C 2：(b －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＝b 25，圆C 1：36a 2－100a ＋65＝0，圆C 2：36b 2－100b ＋65＝0.∴ a＋b ＝10036，a ×b ＝6536，∴ C 1C 2＝（a －b ）2＋（a －b ）2＝459. 类型三利用数形结合揭示与刻画直线与圆、圆与圆位置关系典例3 已知集合M ＝{(x ，y)|x －3≤y≤x－1}，N ＝{P|PA≥2PB ，A(－1，0)，B(1，0)}，则表示M∩N 的图形面积等于________．【答案】23＋83π【名师指点】本题考查了直线与圆的综合应用以及数形结合的数学思想．本题属于难题．【举一反三】在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(－1，0)，Q(2，1)，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，其中实数a ，b ，c 成等差数列，若点P 在直线l 上的射影为H ，则线段QH 的取值范围是__________．【答案】2，32]【解析】因为a ，b ，c 成等差数列，有2b ＝a ＋c ，即a －2b ＋c ＝0，对比方程ax ＋by ＋c ＝0可知，动直线恒过定点(1，－2)，记为A ，点P(－1，0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为H ，即∠AHP＝90°，所以点H 在以PA 为直径的圆上，该圆的圆心C 为(0，－1)，半径为2，点Q 到圆心的距离QC 为22，所以线段QH 的取值范围是2，32]．【精选名校模拟】1.若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝____________．【答案】18【解析】由直线l 1和直线l 2将圆分成长度相等的四段弧，r ＝22，知：直线l 1和直线l 2之间的距离为4，圆心到直线l 1、直线l 2的距离都为2，可得a ＝22＋1，b ＝1－22，则a 2＋b 2＝18.2.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA →·PB →≤0，则线段EF 长度的最大值是____________．【答案】143.已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为____________．【答案】±14.在平面直角坐标系xOy 中，过点P(－4，0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A 、B 两点．若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为____________．【答案】x ±3y ＋4＝0【解析】由设AB 的中点为H ，连接AC ，HC ，设HC ＝y ，AH ＝x ，则由勾股定理得：22229255x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得x y ==tan ∠HPC=13，则k=±13，直线l 过点P(－4，0)，则直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0.5.在平面直角坐标系xOy 中，点A(1，0)，B(4，0)．若直线x －y ＋m ＝0上存在点P 使得PA ＝12PB ，则实数m 的取值范围是____________．【答案】－22，22]【解析】设点P(x ，x ＋m)，由PA ＝12PB ，得2x 2＋2mx ＋m 2－4＝0，则Δ＝32－4m 2≥0，则实数m 的取值范围是－22，22]．6.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB＝60°，则实数a 的取值范围为____________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22 【解析】设P(x ，y)，sin ∠OPA ＝sin30°＝1x 2＋y2，则x 2＋y 2＝4 ①.又P 在圆M 上，则(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1 ②.由①②得1≤a 2＋（a －4）2≤3，所以4－22≤a ≤4＋22.7.在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为____________．【答案】3648.在平面直角坐标系xOy 中，过点P(－2，0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆(x －a)2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为____________．【答案】4【解析】圆x 2＋y 2＝1半径为1，PO ＝2，则直线PT 的倾斜角为30°，则直线方程为x －3y ＋2＝0，PT ＝3，RS ＝3，圆(x －a)2＋(y －3)2＝3的半径为3，则圆(x －a)2＋(y －3)2＝3的圆心(a ，3)到直线PT 的距离为32，由点到直线距离公式得|a －1|＝3，则正数a ＝4.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a)2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为__________．【答案】3【解析】根据题意，圆M 与以N 为圆心的圆的位置关系是内切或内含．则d MN ≤d ON －1，即1≤d ON －1.所以d ON ≥2恒成立．因为N 在圆M 上运动，所以d ON 的最小值为d OM －1，即d OM －1≥2，所以a 2＋（3－a ）2≥3，解得a≥3，所以a 的最小值为3. 10.已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ为常数)，且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则实数λ的最大值是__________．【答案】－34【解析】建立平面直角坐标系，B(0，0)，A(2，0)，设C(x ，y)，则CA →·CB →＝x(x －2)＋y 2＝λ，则(x －1)2＋y 2＝λ＋1，得（x －1）2＋y 2＝λ＋1，点C 的轨迹是以(1，0)为圆心λ＋1为半径的圆且与x 2＋y 2＝14外离或相切．所以λ＋1≤12，λ的最大值为－34.11.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足OC →＝54OA →＋34OB →，则r 的值为________．【答案】1012.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．【答案】1，5]【解析】圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4上存在两点B ，C ，使得∠BAC＝60°，说明点A(x ， y)到M (1，1)的距离小于等于4，即(x －1)2＋(y －1)2≤16，而y ＝6－x ，得x 2－6x ＋5≤0，即1≤x≤5.点A 横坐标的取值范围为1，5]．13.已知点A(0，2)为圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外一点，圆M 上存在点T 使得∠MAT＝45°，则实数a 的取值范围是________________．【答案】3－1≤a＜1【解析】点A(0，2)在圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外，得4－4a ＞0，则a ＜1.圆M 上存在点T 使得∠MAT＝45°，则AM2≤r ＝2a ，即AM≤2a，(a －2)2＋a 2≤4a 2(a ＞0)，解得3－1≤a.综上，实数a 的取值范围是3－1≤a＜1.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 1，圆O 2均与x 轴相切且圆心O 1，O 2与原点O 共线，O 1，O 2两点的横坐标之积为6，设圆O 1与圆O 2相交于P ，Q 两点，直线l ：2x －y －8＝0，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为____________．【答案】855－ 615.已知直线l 过点P(1，2)且与圆C ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________________．【答案】x －1＝0，3x －4y ＋5＝0【解析】由S △ABC ＝12×2×sin ∠ACB ＝1，sin ∠ACB ＝1，∠ACB ＝90°，则点C(0，0)到直线l 的距离为1，设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)，利用距离公式可得k ＝34，此时直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0，当k 不存在时，x －1＝0满足题意． 16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过A 作圆C 的弦AB ，记线段AB 的中点为M.若OA ＝OM ，则直线AB 的斜率为________．【答案】2【解析】设点B(x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－22，y 02，圆x 2＋(y －1)2＝5与x 轴负半轴的交点A(－2，0)，OA ＝OM ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 022，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 022＝4.又 x 20＋(y 0－1)2＝5，两式相减得y 0＝2x 0＋4.而A(－2，0)也满足y 0＝2x 0＋4，即直线AB 的方程为y 0＝2x 0＋4，则直线AB 的斜率为2.17.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP 、AQ 分别切圆C 于P 、Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22 【解析】设∠PAC＝θ，则PQ ＝2PAsin θ＝2PA·2AC ＝22PA 2AC 2，AC ＝x∈3，＋∞)，则PA 2＝x 2－2，PQ ＝22·x 2－2x 2＝22·1－2x2.∵ x ∈3，＋∞)，∴ PQ ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22. 18.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －6)2＝25，圆C 2：(x －17)2＋(y －30)2＝r 2.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A 、B ，满足PA ＝2AB ，则半径r 的取值范围是______________．【答案】5，55]19.若斜率互为相反数且相交于点P(1，1)的两条直线被圆O ：x 2＋y 2＝4所截得的弦长之比为62，则这两条直线的斜率之积为__________．【答案】－9或－19【解析】设一条直线l 1的斜率为k ，另一条直线l 2斜率为－k.l 1：y －1＝k(x －1)即kx －y ＋(1－k)＝0，圆心O(0，0)到l 1的距离d 1＝|1－k|k 2＋1，同理可得圆心O(0，0)到l 2的距离d 2＝|1＋k|k 2＋1，则24－（1－k ）2k 2＋124－（1＋k ）2k 2＋1＝62，解得k ＝3或13.故两直线的斜率之积为k·(－k)＝－k 2＝－9或－19.20.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A 、B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞ 【解析】以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则C 点到直线l 的距离小于1，即d ＝|k ＋2|k 2＋1≤1，解得k ≤－34.21.在平面直角坐标系xOy 中，过点P(－5，a)作圆x 2＋y 2－2ax ＋2y －1＝0的两条切线，切点分别为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，且y 2－y 1x 2－x 1＋x 1＋x 2－2y 1＋y 2＝0，则实数a 的值为________．【答案】3或－222.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是________．【答案】0，3]【解析】设M(x ，y)，由MA 2＋MO 2＝10，A(0，2)，得x 2＋(y －1)2＝4，而(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，它们有公共点，则1≤a 2＋(a －3)2≤9，解得实数a 的取值范围是0，3]．23.在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________．【答案】(x －1)2＋y 2＝2【解析】mx －y －2－1＝0直线过定点(2，－1)，由图形知：圆过点(2，－1)时，半径最大，此时半径为2，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.24.在直角坐标系xOy 中，已知A(－1，0)、B(0，1)，则满足PA 2－PB 2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为________．【答案】2【解析】设P(x，y)，由PA2－PB2＝4知(x＋1)2＋y2]－x2＋(y－1)2]＝4，整理，得x＋y－2＝0.又圆心(0，0)到直线x＋y－2＝0距离d＝22＝2＜2，因此直线与圆有两个交点，故符合条件的点P有2个．25.在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A、B 两点．若OA⊥OB，则直线l的斜率为__________．【答案】1或723【解析】设直线方程y＝k(x－5)＋3，由OA⊥OB知圆心到直线的距离d＝rsin π4＝2×22＝2，从而|3－5k|1＋k2＝2，解得k＝1或723.26.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A、B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为__________．【答案】3＋23，3＋27)∪(3－27，3－23]【解析】圆C的方程为(x－m)2＋(y－2)2＝32.圆心C(m，2)，半径r＝32＝4 2.S△ABC ＝12r2sin∠ACB＝16sin∠ACB≤16，故当sin∠ACB＝1即∠ACB＝90°时，SABC取得最大值．即当△ACB为等腰直角三角时，面积取到最大值．故此时圆心到动直线的距离d＝r×22＝4，从而d≤PC＜r，即16≤(m－3)2＋4＜32，解得m∈3＋23，3＋27)∪(3－27，3－23]．27.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为 (x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为______________．【答案】(x－1)2＋y2＝128.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是____________．【答案】－22，22]【解析】由题意知原命题等价于直线上存在点P使得PC＝22，从而(PC)min≤22，即圆心C(2，0)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝3k1＋k2≤22，解得－22≤k≤2 2.。

2019-2020学年度高考数学四海八荒易错集专题14直线和圆文

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高考数学四海八荒易错集专题14直线和圆文______年______月______日____________________部门1．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．相离答案B解析∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2，2．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是( )A．[，2] B．(－∞，]∪[2，＋∞)C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．[1,2]答案B解析直线kx－y＋1－k＝0恒过点P(1,1)，kPA＝＝2，kPB＝＝；若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，结合图象(图略)得k≤或k≥2，故选B.3．若方程(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x，y)都满足不等式y≥x，则θ的取值范围是( ) A．[，] B．[，]C．[，π] D．[，π]答案D解析根据题意可得，方程(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x，y)都满足不等式y≥x，表示方程(x －2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝1(0≤θ<2π)在y＝x的左上方(包括相切)，∴⎩⎪⎨⎪⎧|2sin θ－33×2cos θ|1＋13≥1，2sin θ>33×2cos θ，∴sin≥，∵0≤θ<2π，∴θ∈[，π]，故选D.4．已知点P(x ，y)在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取得最小值时，过点P 引圆(x －)2＋(y ＋)2＝的切线，则此切线段的长度为________．答案 625．已知a ∈R ，方程a2x2＋(a ＋2)y2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是______________．半径是________．答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．6．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x2＋y2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB|＝2，则圆C 的面积为________．答案 4π解析圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，C到直线y＝x＋2a的距离为d＝＝.又由|AB|＝2，得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.7．已知以点C(t，)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．(1)证明由题意知圆C过原点O，且|OC|2＝t2＋.则圆C的方程为(x－t)2＋(y－)2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.故S△OAB＝|OA|×|OB|＝×|2t|×||＝4，即△OAB的面积为定值．(2)解∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，∴OC垂直平分线段MN.线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，应舍去．综上，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.易错起源1、直线的方程及应用例1、(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k －3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )A．1或3 B．1或5C．3或5 D．1或2(2)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )A．0或－ B.或－6C．－或D．0或12答案(1)C (2)B【变式探究】已知直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x －y＋a＝0，若l1⊥l2，则a的值为( )A．1 B．2C．6 D．1或2答案D解析由l1⊥l2，则a(3－a)－2＝0，即a＝1或a＝2，选D.【名师点睛】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．【锦囊妙计，战胜自我】1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝.易错起源2、圆的方程及应用例2、(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( )A．(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y±)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y±)2＝4(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2x－y－4＝0相切，则圆M的方程为( )A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4答案(1)D (2)B解得满足条件的一组解为⎩⎨⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y2＝4.故选B.【变式探究】(1)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．(2)两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和点M(－3,2)，且圆心在直线y ＝x 上，则圆C 的标准方程为______________．答案 (1)2＋y2＝254 (2)(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34 【名师点睛】解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【锦囊妙计，战胜自我】 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b)，半径为r 时，其标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(－，－)为圆心，为半径的圆．易错起源3、直线与圆、圆与圆的位置关系例3、(1)已知直线2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒过定点P，若点P平分圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的弦MN，则弦MN所在直线的方程是( )A．x＋y－5＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0(2)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB 是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k的值为( )A．3 B.212C．2 D．2答案(1)A (2)D解析(1)对于直线方程2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)，取y＝3，则必有x＝2，所以该直线恒过定点P(2,3)．设圆心是C，则易知C(1,2)，所以kCP＝＝1，由垂径定理知CP⊥MN，所以kMN＝－1.又弦MN过点P(2,3)，故弦MN所在直线的方程为y－3＝－(x－2)，【变式探究】(1)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12(2)已知在平面直角坐标系中，点A(2，0)，B(0,1)到直线l的距离分别为1,2，则这样的直线l共有________条．答案(1)D (2)3【名师点睛】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．【锦囊妙计，战胜自我】1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d<r⇔直线与圆相交，d＝r⇔直线与圆相切，d>r⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，方程组消去y，得关于x的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d>r1＋r2⇔两圆外离；(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；(3)|r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆相交；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．1．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( ) A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0答案A解析由于直线PA的倾斜角为45°，且|PA|＝|PB|，故直线PB 的倾斜角为135°，又由题意知P(2,3)，∴直线PB的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.故选A.2．设a∈R，则“a＝－1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行的充要条件为即a＝±1，故a＝－1是两直线平行的充分而不必要条件．故选A.3．过P(2,0)的直线l被圆(x－2)2＋(y－3)2＝9截得的线段长为2时，直线l的斜率为( )A．±B．±22C．±1D．±33答案A4．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l 对称，则直线l的方程是( )A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0答案C解析圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圆心C的坐标为(－2,2)．直线l过OC的中点(－1,1)，且垂直于直线OC，易知kOC＝－1，故直线l的斜率为1，直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.故选C.5．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．5－4 B.－1C．6－2 D.17答案A解析两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.6．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋y＋1＝0，l1∥l2，则a 的值为________，直线l1与l2间的距离为________．答案－1 2解析∵l1∥l2，∴a·1＝－1·1⇒a＝－1，此时l1：x＋y－1＝0，∴l1，l2之间的距离为＝.7．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x2－2x＋y2＝0上的动点，则△ABC面积的最小值是________．答案3－ 28．已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝______.答案4解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2，AB＝2，所以OM＝3，解得m＝－，由解得A(－3，)，B(0,2)，则AC的直线方程为y－＝－(x＋3)，BD的直线方程为y－2＝－x，令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.9．已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程．由两点式得直线l的方程为＝，即x－6y＋11＝0.综上所述，直线l的方程为x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.10．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设可知，直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，。

高三数学二轮复习第一部分重点保分专题检测(十四) 直线与圆文(2021年整理)

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专题检测（十四) 直线与圆一、选择题1．（2016·福建厦门联考）“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3"的( ）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．(2016·全国甲卷）圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝（）A．－错误! B．－错误!C。

错误! D．23．（2016·山西运城二模)已知圆(x－2）2＋（y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝04．圆心在曲线y＝错误!（x>0)上，与直线2x＋y＋1＝0相切,且面积最小的圆的方程为( ）A．（x－2）2＋（y－1)2＝25B．（x－2)2＋(y－1）2＝5C．（x－1）2＋(y－2)2＝25D．(x－1)2＋（y－2）2＝55．(2016·福州模拟)已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为（)A．（－3错误!，3错误!)B．（－∞，－3错误!)∪(3错误!,＋∞)C．（－2错误!，2错误!)D．［－32，3错误! ]6．(2016·河北五校联考)已知点P的坐标(x,y)满足错误!过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB｜的最小值是（)A．2错误! B．4 C。

2017年高考数学(四海八荒易错集)专题14 直线和圆理

专题14 直线和圆1．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离答案 B解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，2．已知点A (2，3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．[34，2]B ．(－∞，34]∪[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1,2]答案 B解析直线kx －y ＋1－k ＝0恒过点P (1,1)，k PA ＝3－12－1＝2，k PB ＝－2－1－3－1＝34；若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，结合图象(图略)得k ≤34或k ≥2，故选B.3．若方程(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x ，y )都满足不等式y ≥33x ，则θ的取值范围是( )A ．[π6，7π6]B ．[5π12，13π12]C ．[π2，π]D ．[π3，π]答案 D解析根据题意可得，方程(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x ，y )都满足不等式y ≥33x ，表示方程(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1(0≤θ<2π)在y ＝33x 的左上方(包括相切)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|2sin θ－33×2cos θ|1＋13≥1，2sin θ>33×2cos θ，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6≥12，∵0≤θ<2π，∴θ∈[π3，π]，故选D. 4．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y取得最小值时，过点P 引圆(x －12)2＋(y ＋14)2＝12的切线，则此切线段的长度为________．答案62解析由题意可知，5．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是______________．半径是________．答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．6．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.7．已知以点C (t ，2t)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． (1)证明由题意知圆C 过原点O ，且|OC |2＝t 2＋4t2.则圆C 的方程为(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .故S △OAB ＝12|OA |×|OB |＝12×|2t |×|4t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x ，线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意，应舍去．综上，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.易错起源1、直线的方程及应用例1、(1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5D ．1或2(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12B.12或－6 C ．－12或12D ．0或12答案 (1)C (2)B【变式探究】已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．6D ．1或2答案 D解析由l 1⊥l 2，则a (3－a )－2＝0，即a ＝1或a ＝2，选D. 【名师点睛】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况； (2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．【锦囊妙计，战胜自我】 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.易错起源2、圆的方程及应用例2、(1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4(2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x ＋1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝4 D ．x 2＋(y ＋1)2＝4答案 (1)D (2)B所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.故选B.【变式探究】(1)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．(2)两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和点M (－3,2)，且圆心在直线y ＝12x 上，则圆C 的标准方程为______________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254(2)(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34解析 (1)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52. 得该圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.【名师点睛】解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【锦囊妙计，战胜自我】1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E 2)为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．易错起源3、直线与圆、圆与圆的位置关系例3、(1)已知直线2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R)恒过定点P ，若点P 平分圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的弦MN ，则弦MN 所在直线的方程是( ) A ．x ＋y －5＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x －y －1＝0D ．x －y ＋1＝0(2)已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( ) A ．3 B.212C ．2 2D ．2答案 (1)A (2)D解析 (1)对于直线方程2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R)，取y ＝3，则必有x ＝2，所以该直线恒过定点P (2,3)．设圆心是C ，则易知C (1,2)，所以k CP ＝3－22－1＝1，由垂径定理知CP ⊥MN ，所以kMN ＝－1. 又弦MN 过点P (2,3)，故弦MN 所在直线的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.【变式探究】(1)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12(2)已知在平面直角坐标系中，点A(22，0)，B(0,1)到直线l的距离分别为1,2，则这样的直线l共有________条．答案(1)D (2)3【名师点睛】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．【锦囊妙计，战胜自我】1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d<r⇔直线与圆相交，d＝r⇔直线与圆相切，d>r⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1) 2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切； (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切； (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．1．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0答案 A解析由于直线PA 的倾斜角为45°，且|PA |＝|PB |，故直线PB 的倾斜角为135°，又由题意知P (2,3)，∴直线PB 的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.故选A.2．设a ∈R ，则“a ＝－1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋5＝0平行”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋5＝0平行的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，5a ＋1≠0，即a ＝±1，故a ＝－1是两直线平行的充分而不必要条件．故选A.3．过P (2,0)的直线l 被圆(x －2)2＋(y －3)2＝9截得的线段长为2时，直线l 的斜率为( ) A ．±24B ．±22C ．±1D ．±33答案 A4．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x －y ＋2＝0 D ．x ＋y ＋2＝0答案 C解析圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，圆心C 的坐标为(－2,2)．直线l 过OC 的中点(－1,1)，且垂直于直线OC ，易知k OC ＝－1，故直线l 的斜率为1，直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.故选C.5．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17答案 A解析两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C 1′C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.6．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋1＝0，l 1∥l 2，则a 的值为________，直线l 1与l 2间的距离为________．答案－12解析 ∵l 1∥l 2，∴a ·1＝－1·1⇒a ＝－1，此时l 1：x ＋y －1＝0， ∴l 1，l 2之间的距离为|1－－2＝ 2.7．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－2x ＋y 2＝0上的动点，则△ABC 面积的最小值是________．答案 3－ 28．已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝______.答案 4解析设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，AB ＝23，所以OM ＝3，解得m ＝－33，由⎩⎨⎧ x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0,23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)， BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4.9．已知点A (3,3)，B (5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1,2)．①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB .而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，10．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解 (1)由题设可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73. 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.。

2017届高三文科数学二轮复习：专题限时集训11 直线与圆含解析

专题限时集训(十一) 直线与圆建议A 、B 组各用时：45分钟]A 组高考达标]一、选择题1．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2 B.4 2 C.6 D.210C 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1－1＝0，所以a ＝－1，从而A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝6.]2．(2016·衡水一模)已知圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与抛物线y ＝14x 2的准线相切，则m ＝( )A ．±2 2 B.±3 C. 2 D. 3B 抛物线的准线为y ＝－1，将圆化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝1＋m 24，圆心到准线的距离为1＝1＋m 24⇒m ＝±3.]3．(2016·长春一模)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上运动，则AB 的中点M 到原点的距离最小值为( ) A. 2 B.2 2 C.3 2 D.4 2C 由题意知AB 的中点M 的集合为到直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离相等的直线，则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在的直线方程为：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得，|m＋7|2＝|m＋5|2，解得m＝－6，即l：x＋y－6＝0，再根据点到直线的距离公式得点M到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.]4．(2016·承德二模)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()【导学号：85952048】A．－53或－35 B.－32或－23C.－54或－45 D.－43或－34D由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.又因为光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，所以|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－43或k＝－34，故选D.]5．(2016·湘潭二模)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为()A．1 B.3C.19 D.49A x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1，依题意可得，两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和，则a2＋(2b)2＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以1a2＋1b2＝⎝⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2⎝⎛⎭⎪⎫a2＋4b29＝19⎝⎛⎭⎪⎫5＋a2b2＋4b2a2≥19⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a2b2·4b2a2＝1，当且仅当a2b2＝4b2a2即a＝±2b时取等号，故选A.]二、填空题6．(2016·赤峰高三统考)已知⊙O：x2＋y2＝1，若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是________．(－∞，－1]∪1，＋∞)因为圆心为O(0,0)，半径R＝1.设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形P AOB为正方形，故有PO＝2R＝2，由题意知圆心O到直线y＝kx＋2的距离小于或等于PO＝2，即|2|1＋k2≤2，即1＋k2≥2，解得k≥1或k≤－1.]7．(2016·合肥一模)设点P在直线y＝2x＋1上运动，过点P作圆(x－2)2＋y2＝1的切线，切点为A，则切线长|P A|的最小值是________．2圆心C(2,0)到直线2x－y＋1＝0的距离d＝5，所以|P A|＝|PC|2－1≥d2－1＝2.]8．(2016·哈尔滨二模)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.2由题意可得，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的1 4，则直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为22r＝22，即|a|2＝|b|2＝22，所以a2＋b2＝2.]三、解答题9．(2016·南昌一模)已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．解](1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，则(a－2)2＋(－2a＋1)2＝|a－2a－1|2，2分化简得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2.4分∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.5分(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件.7分②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得|k＋2|1＋k2＝1，解得k＝－34，9分∴直线l的方程为y＝－34x.10分综上所述，直线l 的方程为x ＝0或y ＝－34x .12分10．(2016·洛阳一模)已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程；(2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．解] (1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，2分所以圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，所以|AD |＝23，|AC |＝4，C 点坐标为(－2,6)．在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋(－1)2＝2，得k ＝34. 故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.4分直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0.6分所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.7分(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )，则CD ⊥PD ，即CD →·PD→＝0，所以(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，10分化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.12分B 组名校冲刺]一、选择题1．已知圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，点P (2,2)是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是( )A ．3 5 B.4 5C.57D.67D 依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点P 垂直于直径的弦，所以|AC |＝2×3＝6.因为圆心到BD 的距离为(2－1)2＋(2－1)2＝2，所以|BD |＝232－(2)2＝27.则四边形ABCD 的面积为S ＝12×|AC |×|BD |＝12×6×27＝67.故选D.]2．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A.5B.5C.25D.10B 由题意，知圆心M 的坐标为(－2，－1)，所以－2a －b ＋1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离的平方，而(a －2)2＋(b －2)2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.故选B.]3．命题p ：4＜r ＜7，命题q ：圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C.充要条件D ．既不充分也不必要条件B 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离等于5，所以圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1时，4＜r ＜6，所以p 是q 的必要不充分条件．]4．(2016·兰州二模)已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B.2，22) C.2，＋∞) D.3，22)B 由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |2＜2，由k ＞0，得0＜k ＜2 2.①如图，又由|OA→＋OB →|≥ 33|AB →|，得|OM |≥33|BM |⇒∠MBO ≥π6，因|OB |＝2，所以|OM |≥1，故|k |1＋1≥1⇒k ≥ 2.② 综①②得2≤k ＜2 2.]二、填空题5．已知直线x ＋y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是坐标原点，向量OA→，OB →满足|2OA →－3OB →|＝|2OA →＋3OB →|，则实数a 的值为________. 【导学号：85952049】±2 由|2OA→－3OB →|＝|2OA →＋3OB →|得 OA →·OB→＝0，即OA ⊥OB ，则直线x ＋y －a ＝0过圆x 2＋y 2＝2与x 轴，y 轴正半轴或负半轴的交点，故a ＝±2.]6．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．x 2＋(y －1)2＝10 设所求圆的半径为r ，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，故圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.]三、解答题7．已知半径为2，圆心在直线y ＝－x ＋2上的圆C.(1)当圆C 经过点A (2,2)，且与y 轴相切时，求圆C 的方程；(2)已知E (1,1)，F (1，－3)，若圆C 上存在点Q ，使|QF |2－|QE |2＝32，求圆心的横坐标a 的取值范围．解] (1)∵圆心在直线y ＝－x ＋2上，半径为2，∴可设圆的方程为(x －a )2＋y －(－a ＋2)]2＝4，2分其圆心坐标为(a ，－a ＋2)．∵圆C 经过点A (2,2)，且与y 轴相切，∴有⎩⎨⎧(2－a )2＋[2－(－a ＋2)]2＝4，|a |＝2，解得a ＝2，4分∴圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝4.5分(2)设Q (x ，y )，由|QF |2－|QE |2＝32，得(x －1)2＋(y ＋3)2－(x －1)2＋(y －1)2]＝32，解得y ＝3，∴点Q 在直线y ＝3上.7分又∵点Q 在圆C ：(x －a )2＋y －(－a ＋2)]2＝4上，∴圆C 与直线y ＝3必须有公共点．∵圆C 圆心的纵坐标为－a ＋2，半径为2，∴圆C 与直线y ＝3有公共点的充要条件是1≤－a ＋2≤5，即－3≤a ≤1.10分∴圆心的横坐标a 的取值范围是－3,1].12分8．已知△ABC 的三个顶点A (－1,0)，B (1,0)，C (3,2)，其外接圆为⊙H .(1)若直线l 过点C ，且被⊙H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以点C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求⊙C 的半径r 的取值范围．解] (1)线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0，所以外接圆圆心为H (0,3)，半径为(－1)2＋32＝10，⊙H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10.设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被⊙H 截得的弦长为2，所以d ＝10－1＝3.3分当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；4分当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k (x －3)，则|3k ＋1|1＋k 2＝3，解得k ＝43，直线方程为4x －3y －6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.5分(2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )，因为点M 是线段PN 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2，n ＋y 2，又M ，N 都在半径为r 的⊙C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x －3)2＋(y －2)2＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋y 2－22＝r 2，即⎩⎨⎧ (x －3)2＋(y －2)2＝r 2，(x ＋m －6)2＋(y ＋n －4)2＝4r 2.7分因为该关于x ，y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m,4－n )为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r )2≤(3－6＋m )2＋(2－4＋n )2≤(r ＋2r )2，8分又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对∀m ∈0,1]成立．而f (m )＝10m 2－12m ＋10在0,1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤325，10，故r 2≤325且10≤9r 2.10分又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2＞r 2对∀m ∈0,1]成立，即r 2＜325.故⊙C 的半径r 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，4105.12分。

【学海导航】高中数学第2轮总复习专题6 第1课时直线与圆课件文

1k2
所以(| 2k1|)2 ( 2)2 1，解得k 1或k 1.
1k2
2
7
专题六
解析几何
第1课时直线与圆
1．直线的倾斜角和斜率：它们都是描述直线的倾斜程度，特别要注意它们之间的对应关系：当a 0时，k 0；当a (0，90)时，k＞0；当a 90时，k不存在；当a (90，180)时，k＜0. 2．直线的方程：直线方程的五种形式从不同角度描述了直线的代数特征．确定一条直线需要两个独立条件，通常用倾斜角、斜率、点、截距等条件来确定，所求出的方程常常用一般式表示．
长公式MN 1k2 x1 x22 4x1x2来解．
变试题过点(0，1)作直线l与圆x2 y2 2x 4y 20 0交于A、B两点，如果 AB 8，则直线l的方程为( ) A．3x 4y 4 0 B．3x 4y 4 0 C．3x 4y 4 0或y 1 0 D．3x 4y 4 0或y 1 0
解得m 1.
2 .(2 0 1 1 湖北卷 )过点 1 ,2 的直线 l被圆 x 2 y 2 2 x
2 y 1 0 截得的弦长为，则直线 l的斜率为
解析：由题意知，直线的斜率存在．设直线的斜率为k，
则直线的方程为y2kx1；圆的圆心坐标为
1,1，半径为1，所以圆心到直线l的距离d | 2k1|，
0互相垂直，则当ab取最小值时，直线3a2x
24b y 50和直线3b2x 2a 1 y 7 0的
位置关系是( ) A ．平行 C ．平行或垂直
B．垂直 D．相交不垂直
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分析:首先根据垂直的充要条件建立方程确定a，b 的关系，然后利用基本不等式确定ab的最小值，并确定出a，b的值，最后再判断另两条直线的位置关

高考生物(四海八荒易错集)专题种群和群落

闪堕市安歇阳光实验学校专题13 种群和群落1．下列对种群特征的描述中，错误的是( )A．某田鼠种群中，雌雄比例约为1∶1B．某市近三年迁入的人口约为31万人，约占总人口的5%C．橡树种子散布能力差，常在母株附近形成集群D．某池塘生物种类繁多，据统计含有150多种生物【答案】D2．研究人员对某林区猕猴种群数量和性别比例进行调查，结果如下图(注：4－12岁为猕猴的生育年龄)。

以下分析正确的是( )A．该林区猕猴种群的年龄组成为稳定型B．调查时猕猴种群数量已经达到环境容纳量C．7～9岁个体中，雄性与雌性的数量比值最低，与雄性因争夺王位和配偶死亡率较高有关D．各年龄组个体数量不变，若性别比例变为1∶1，则猕猴的出生率将升高【答案】C【解析】该林区猕猴种群的幼年个体多，老年个体少，为增长型，A错误；该林区猕猴种群的年龄组成为增长型，还没有达到环境容纳量，B错误；7－9岁个体中，雄性与雌性的数量比值最低，与雄性争夺王位和配偶死亡率较高有关，C正确；各年龄组个体数量不变，若性别比例变为1∶1，雄性争夺王位和配偶会加剧，出生率不一定升高，D错误。

3．下图甲和乙两条曲线代表两种生物数量N t和一年后的种群数量N t＋1之间的关系，直线p表示N t＝N t＋1，下列有关说法不正确的是( )A．对于甲种群而言，B点时其种群数量表现为增长B．东北虎等珍稀濒危动物，容易灭绝，其变化曲线比较类似甲曲线C．乙曲线可表示家鼠等繁殖力强的动物，在种群密度低时也能迅速回升D．对于乙种群而言，F点表示种群增长速率最快时其种群的数量【答案】D4．甲、乙、丙是食性相同的、不同种的蝌蚪，三者之间无相互捕食关系。

某研究小组在4个条件相同的人工池塘中各放入1 200只蝌蚪(甲、乙、丙各400只)和数量不等的同种捕食者，一段时间后，各池塘中3种蝌蚪的存活率如下表：池塘编号捕食者数量/只蝌蚪存活率/%甲乙丙1 0 87 7 402 2 58 30 253 4 42 32 114 8 20 37 10下列推测不合理的是( )A．捕食者主要捕食甲和丙B．蝌蚪的种间竞争结果可能受捕食者影响C．无捕食者时蝌蚪的种间竞争可能导致乙消失D．随着捕食者数量增加，乙可获得的资源减少【答案】D【解析】表中数据显示，随着捕食者数量增加，甲和丙的存活率逐渐降低，乙的存活率逐渐增加，由此说明，捕食者主要捕食甲和丙，蝌蚪的种间竞争受捕食者影响，A、B正确；无捕食者时，乙存活率极低，种间竞争可能导致乙消失，C正确；随着捕食者数量增加，乙存活率增加，获得的资源增加，D错误。

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