2016-2017学年湖南师大附中高二(下)期中数学试卷(文科)

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湖南省师大附中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试卷

湖南师大附中2017－2018学年度高二第二学期期中考试数学(文科)时量：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x|－1<x<3}，B ＝{x|x<1}，则A ∩(∁U B)＝ A ．{x|1<x<3} B ．{x|1≤x<3} C ．{x|1<x ≤3} D ．{x|1≤x ≤3}2．如图是某个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的表面积等于A ．12B ．8C ．4＋4 3D ．4 33．把“二进制”数1 011 001(2)化为“五进制”数是 A ．224(5) B ．234(5) C ．324(5) D ．423(5)4．函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x>0的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝x －2y 的最小值为A ．0B ．－1C ．－32D ．－26．以下函数既是奇函数又在区间()0，1上是增函数的是A ．y ＝x 12B ．y ＝1xC ．y ＝||x －1D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x7．若平面向量a ＝(1, x)和b ＝(2x ＋3，－x)互相平行，其中x ∈R .则||a －b ＝ A ．－2或0 B ．2 5 C ．2或2 5 D ．2或108．设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P ⎝⎛⎭⎫12，32，则f(θ)＝A ．2 B. 3 C ．1 D.329．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均为正数，则1m ＋2n的最小值为A ．2B ．4C ．8D ．1610．王先生订了一份《潇湘晨报》，送报人在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，王先生离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，则王先生在离开家之前能得到报纸的概率是A.12B.56C.34D.7811．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，B ＝60°，则AC ＝________．12．若S n 为等比数列{a n }的前n 项的和，8a 2＋a 5＝0，则S 6S 3＝________.13．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为________________．14．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧（3－a ）x －a ，（x<1），log a x ，（x ≥1）是(－∞，＋∞)上的增函数，则a 的取值范围是________．15．已知下列四个结论：①棱长为2的正方体外接球的体积为43π；②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；③直线x －3y ＋1＝0被圆(x －1)2＋y 2＝4截得的弦长为23；④将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象．其中正确的结论是________．三、解答题：(本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16．(本小题满分6分)已知数列{a n }是等差数列，其中a 1＝25，a 4＝16. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值．17．(本小题满分8分)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300)分组的频率分布直方图如图．(Ⅰ)求直方图中x 的值；(Ⅱ)求月平均用电量的众数和中位数；(Ⅲ)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？18.(本小题满分8分)已知函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数f(x)在区间x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．19．(本小题满分8分)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，△PAB 为等边三角形，二面角P －AB－C 的平面角的余弦值为33，点E ，F 分别为PA ，PB 的中点．(Ⅰ)求证：DE⊥PA；(Ⅱ)求异面直线DE与AF的夹角的余弦值．20.(本小题满分10分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝1－3x.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)当x∈[2，8]时，不等式f(log22x)＋f(5－alog2x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．第Ⅱ卷一、选择题：(本大题共2个小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)21．若关于x的不等式x2＋ax－2<0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为A．(－∞，1) B．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)22．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB 的面积为A ．2 2 B.322 C. 2 D.22二、填空题：(共一个小题，每题5分，将答案填在答题纸上．)23．已知数列{}a n ，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1（a n ＋2）（a n ＋3），设数列{}b n 的前n 和为T n .(1)数列{}a n 的通项公式为____________；(2)数列{}b n 的前n 和T n 等于______________．三、解答题：(共3个小题，总分35分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 24．(本小题满分11分)某校计划面向高一年级1 200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类、自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．(Ⅰ)分别计算抽取的样本中男生、女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类的学生人数；(Ⅱ)根据抽取的180名学生的调查结果，完成以下2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过附：K 2＝n （ad －bc ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.25.(本小题满分12分)在△ABC 中，B(－5，0)、C(5，0)，AB 、AC 边上的中线长CN 与BM 之和为9. (Ⅰ)设动点G 为△ABC 的重心，求证：||GB ＋||GC 为定值，并求该动点G 的轨迹方程； (Ⅱ)设P 为(Ⅰ)中所求轨迹上任意一点，求cos ∠BPC 的最小值．26.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x ＋ax ，a ∈R . (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)的两个零点为x 1，x 2且x 2x 1≥e 2，求证：(x 1－x 2)f′(x 1＋x 2)>65.湖南师大附中2017－2018学年度高二第二学期期中考试数学(文科)参考答案第Ⅰ卷11.7 12．－713.()x ＋32＋()y ＋12＝114.⎣⎡⎭⎫32，3 15．①③ 三、解答题 16．【解析】(Ⅰ)∵{a n }是等差数列，其中a 1＝25，a 4＝16， ∴由a 4＝a 1＋3d ，得16＝25＋3d ，解得d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝25－3(n －1)＝28－3n.(3分)(Ⅱ)由a n <0，得28－3n<0，解得n>283，∴a 1>a 2>…>a 9>0>a 10>a 11>…，故n ＝9时，S n 取得最大值．(6分) 17．【解析】(Ⅰ)由直方图的性质可得(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1，解方程可得x ＝0.007 5，∴直方图中x 的值为0.007 5.(2分)(Ⅱ)月平均用电量的众数是220＋2402＝230，(3分)∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5， ∴月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5可得a ＝224， ∴月平均用电量的中位数为224.(5分)(Ⅲ)月平均用电量为[220，240)的用户有0.012 5×20×100＝25，月平均用电量为[240，260)的用户有0.007 5×20×100＝15，月平均用电量为[260，280)的用户有0.005×20×100＝10，月平均用电量为[280，300)的用户有0.002 5×20×100＝5，∴抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，(7分)∴月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×15＝5户．(8分)18．【解析】(Ⅰ)由题意可知，A ＝2， 3T 4＝9π12，得T ＝π，解得ω＝2.(2分) f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝2，即2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝－π6，故f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(5分)(Ⅱ)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，故f(x)min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－1，f(x)max ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＝2.(8分)19．【解析】(Ⅰ)作PO ⊥底面ABCD ，垂足为O.取AB 的中点M ，连接PM ，则AB ⊥PM ，连接OM ，则AB ⊥平面POM ，从而AB ⊥OM ，所以∠PMO 为二面角P －AB －C 的平面角．由已知cos ∠PMO ＝33.设正方形ABCD 的边长为2，因为△PAB 为等边三角形，则PM ＝ 3.在Rt △POM 中，OM ＝PMcos ∠PMO ＝1，从而PO ＝2，且点O 为正方形ABCD 的中心，所以OD ＝ 2.在Rt △POD 中，PD ＝PO 2＋OD 2＝2，所以PD ＝AD.因为点E 为PA 的中点，则DE ⊥PA.(4分)(Ⅱ)连接EF ，则EF 綊12AB.取CD 的中点N ，则DN 綊12AB ，所以EF 綊DN.连接NF ，则四边形EFND 为平行四边形，从而NF 綊DE ，所以∠AFN 为异面直线DE 与AF 的夹角．因为△PAD 和△PAB 都是边长为2的正三角形，则DE ＝AF ＝3，从而NF ＝ 3.又AN ＝AD 2＋DN 2＝5，在△AFN 中，由余弦定理，得cos ∠AFN ＝3＋3－52×3＝16，故异面直线DE 与AF 的夹角的余弦值为16.(8分)20．【解析】当x<0时，－x>0，f(－x)＝1－3－x ，又f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝－1＋3－x .(3分) 当x ＝0时，f(0)＝0，故f(x)＝⎩⎨⎧1－3x，x ≥0，－1＋3－x ，x<0，(3分) (2)f(log 22x)＋f(5－a log 2x)≥0得f(log 22x)≥－f(5－alog 2x)． ∵f(x)是奇函数， ∴f(log 22x)≥f(alog 2x －5)．又f(x)是减函数，所以log 22x －alog 2x ＋5≤0，x ∈[2，8]恒成立．令t ＝log 2x ，x ∈[2，8]，则t ∈[1，3]，得t 2－at ＋5≤0对t ∈[1，3]恒成立．(6分)解法一：令g(t)＝t 2－at ＋5，t ∈[1，3]，[g(t)]max ＝max{g(1)，g(3)}≤0， ∴⎩⎨⎧g （1）≤0，g （3）≤0，解得a ≥6. 解法二：t 2－at ＋5≤0a ≥t ＋5t，t ∈[1，3]恒成立，∴g(t)＝t ＋5t在[1，5]上单调递减，在[5，3]上单调递增，∴g(x)max ＝g(1)＝6， ∴a ≥6.(10分)第Ⅱ卷一、选择题21．A 【解析】因为x ∈[1，4]，则不等式x 2＋ax －2<0可化为：a<2－x 2x ＝2x－x ，设f ()x ＝2x －x ，x ∈[]1，4，由题意得只需a<[]f ()x max，因为函数f ()x 为区间[1，4]上的减函数，所以[]f ()x max＝f ()1＝1，所以选A.22．B 【解析】由题意设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF|＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty 消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4，∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322，故选B.二、填空题23．(1)2n －1 (2)12－12n ＋1【解析】(1)∵a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2)，∴数列{}a n ＋1是以2为首项，2为公比的等比数列，所以∴a n ＋1＝2×2n －1，∴a n ＝2n －1.(2分)(2)因为b n ＝a n ＋1（a n ＋2）（a n ＋3）＝2n（2n ＋1）（2n ＋2）＝2n －1（2n ＋1）（2n －1＋1）＝12n －1＋1－12n ＋1， ∴T n ＝⎝⎛⎭⎫120＋1－121＋1＋⎝⎛⎭⎫121＋1－122＋1＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋1－12n ＋1＝12－12n ＋1. ∴T n ＝12－12n ＋1.(5分)三、解答题 24．【解析】(Ⅰ)由条件知，抽取的男生有105人，女生有180－105＝75(人)．(1分)男生选择社会科学类的频率为45105＝37，女生选择社会科学类的频率为4575＝35.(3分)由题意，知男生总数为1 200×105180＝700，(4分)女生总数为1 200×75180＝500，(5分)所以估计选择社会科学类的人数为700×37＋500×35＝600.(6分)(Ⅱ)(9分)则K 2＝180×（60×45－30×45）2105×75×90×90＝367≈5.1429>5.024，(10分)所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能认为科类的选择与性别有关．(11分)25．【解析】(Ⅰ)设AB 、AC 的中点分别为M 、N(如右图所示)，则据题意||GB ＋||GC ＝23()||BM ＋||CN ＝23×9＝6(定值)．(2分)即动点G 到两定点B 、C 的距离之和为定值6，6>||BC ＝25， ∴G 点轨迹为以B 、C 为焦点的椭圆．(3分)不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1()a>b>0，则2a ＝6，2c ＝25，即a ＝3，c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝32－()52＝4，(5分)所以G 点的轨迹方程为x 29＋y 24＝1.(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知，点P 在椭圆上(如上图所示)，由椭圆定义可得||PB ＋||PC ＝6(定值)，||BC ＝25，由余弦定理可得：cos ∠BPC ＝||PB 2＋||PC 2－||BC 22||PB ·||PC ＝()||PB ＋||PC 2－2||PB ·||PC －202||PB ·||PC ＝62－20－2||PB ·||PC 2||PB ·||PC ＝162||PB ·||PC －1.(8分)显然当||PB ·||PC 取得最大值时cos ∠BPC 最小．(9分) 根据基本不等式得||PB ·||PC ≤||PB ＋||PC 2＝62＝3||PB ·||PC ≤9. 即||PB ·||PC 的最大值为9，所以cos ∠BPC 的最小值为162×9－1＝89－1＝－19.(12分)26．【解析】(Ⅰ)函数f(x)＝ln x ＋ax ，a ∈R 的定义域为{}x|x>0，则f′(x)＝1x＋a.当a ≥0时，f ′(x)>0，∴f(x)在()0，＋∞上单调递增；当a<0时，由f′(x)＝1x ＋a>0，得0<x<－1a ，∴f(x)在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增；由f′(x)＝1x ＋a<0，得x>－1a，∴f(x)在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减．(4分) (Ⅱ)由题意，得ln x 1＋ax 1＝0，ln x 2＋ax 2＝0， ∴ln x 2－ln x 1＝a(x 1－x 2)．(5分)∴(x 1－x 2)f′(x 1＋x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1x 1＋x 2＋a ＝x 1－x 2x 1＋x 2＋a(x 1－x 2)＝x 1－x 2x 1＋x 2＋ln x 2x 1＝1－x 2x 11＋x 2x 1＋ln x 2x 1.(7分)11 令x 2x 1＝t ≥e 2，令φ(t)＝1－t 1＋t ＋ln t ，则φ′(t)＝t 2＋1t （1＋t ）2>0. ∴φ(t)在[)e 2，＋∞上单调递增，(10分)∴φ(t)≥φ(e 2)＝1＋2e 2＋1>1＋232＋1＝65，即(x 1－x 2)f′(x 1＋x 2)>65.(12分)。

湖南师大附中2016--2017学年度高二下学期期中考试数学(文)试题含答案

湖南师大附中2016－2017学年度高二下学期期中考试数学(文)试题时量：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{－1，1}，则集合C ＝{a ＋b |a ∈A ，b ∈B }中元素的个数为A ．2B ．3C ．4D ．52．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设a ＝7－12，b ＝⎝⎛⎭⎫17－13，c ＝log 712，则下列关系中正确的是A ．c <b <aB ．c <a <bC ．a <c <bD ．b <c <a 4．设p ：0＜x ＜2，q ：2x >1，则p 是q 成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．如图所示的程序框图中，输出的S 的值是A ．80B ．100C ．120D ．140 6．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是A B C D7．下列函数的最小正周期为π的是 A ．y ＝cos 2x B ．y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2 C ．y ＝sin x D ．y ＝tan x28．一个空间几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积是A.π3＋2 3B.π3＋ 3 C ．π＋2 3 D.2π3＋ 39．已知直线x ＋y －5＝0与两坐标轴围成的区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤5－x x ≥0y ≥3x 所形成的区域为N ，现在在区域M 中随机放置一点，则该点落在区域N 的概率是A.34B.12 C.14 D.2310．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝A ．2 B.154C.174D.234第Ⅰ卷选择题答题卡11．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2＋2x ＝0相切，则p ＝________．12．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________． 13．已知△ABC 的面积为53，A ＝π6，AB ＝5，则BC ＝________．三、解答题(本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 14．(本小题满分11分)已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N *时，有a n －1－a n －4a n －1a n ＝0.(Ⅰ)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)令b n ＝a n ·a n ＋1，设数列{}b n 的前n 项的和为S n ，证明：S n <120.15.(本小题满分12分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n . (Ⅰ)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值；(Ⅱ)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )·cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．16.(本小题满分12分)传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏．将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图．(Ⅰ)若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有95%注：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .(Ⅱ)若参赛选手共(Ⅲ)在优秀等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在良好等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在选出的6名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为a ，在选出的6名良好等级的选手中任取一名，记其编号为b ，求使得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3x ＋2y ＝2有唯一一组实数解(x ，y )的概率．第Ⅱ卷(共50分)一、选择题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)17．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，||AD →＝1，则AC →·AD →＝A ．2 3B .32C .33D . 3 18．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧（4a －3）x ＋2a －4，x ≤t2x 3－6x ，x>t，无论t 取何值，函数f(x)在R 上总是不单调，则实数a 的取值范围是A ．(－∞，1) B.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，34 19．已知函数f (x )＝x (m ＋e －x )(其中e 为自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数m 的取值范围是A ．(0，e －2)B ．(e －2，＋∞) C ．(0，e 2) D ．(e 2，＋∞)第Ⅱ卷选择题答题卡二、解答题(，证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝2，PD ＝6，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．(Ⅰ)证明：平面EAC ⊥平面PBD ；(Ⅱ)若PD ∥平面EAC ，求三棱锥P －EAD 的体积．21.(本小题满分12分)如图，已知抛物线y 2＝4x ，过点P (2，0)作斜率分别为k 1，k 2的两条直线，与抛物线相交于点A 、B 和C 、D ，且M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(Ⅰ)若k 1＋k 2＝0，AP →＝2PB →，求线段MN 的长； (Ⅱ)若k 1·k 2＝－1，求△PMN 面积的最小值．22.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝ln x －ax 2在x ＝1处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直． (Ⅰ)求函数y ＝f (x )＋xf ′(x )(f ′(x )为f (x )的导函数)的单调区间；(Ⅱ)记函数g (x )＝f (x )＋32x 2－(1＋b )x ，设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g (x )的两个极值点，若b ≥e 2＋1e －1，证明：x 2≥e.参考答案第Ⅰ卷(共100分)1.D 2．B3．B 【解析】由题意得，c ＝log 712<0，又b ＝⎝⎛⎭⎫17－13＝713>7－12＝a>0，所以c<a<b ，故选B .4．A 5．C6．B 【解析】f(x)是偶函数，其定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f(x)在(1，＋∞)上是增函数，选B .7．A8．A 【解析】该几何体为半圆锥和正三棱柱的组合体，故体积为13×12π×12×2＋12×2×3×2＝π3＋23，故选A .9．C 【解析】由线性规划的知识可知，则该点落在区域N 的概率是P ＝12×5×5412×5×5＝14，故选C .10．B 【解析】可知f(x)＋g(x)－2为奇函数，故f(2)＋g(2)－2＋f(－2)＋g(－2)－2＝0，g(2)＝2＝a ，f(2)＋g(2)＝22－2－2＋2＝234，f(2)＝154.本题还可直接求出f(x)，g(x)的表达式后再求解．二、填空题 11．412．－313.13【解析】由三角形的面积公式可得AC ＝43，再由余弦定理可得BC ＝13. 三、解答题 14．【解析】(Ⅰ)由已知a n －1－a n －4a n －1a n ＝0.两边同除以a n ·a n －1得 1a n －1a n －1＝4(n>1，n ∈N *)3分 ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝5为首项，d ＝4为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝4n ＋1，故a n ＝14n ＋1.5分(Ⅱ)由题知：b n ＝14n ＋1·14（n ＋1）＋1＝14⎣⎡⎦⎤14n ＋1－14（n ＋1）＋1，8分∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15－19＋⎝⎛⎭⎫19－113＋…＋⎝⎛⎭⎫14n ＋1－14n ＋5 ＝14⎝⎛⎭⎫15－14n ＋5＝120－14·14n ＋5<120. 故原命题得证.11分15．【解析】(Ⅰ)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，由f (x )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.6分(Ⅱ)因为()2a －c cos B ＝b cos C ，由正弦定理得：()2sin A －sin C cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin ()B ＋C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin ()B ＋C ＝sin A ，且sin A ≠0，所以cos B ＝12，又0<B <π2，所以B ＝π3，则A ＋C ＝23π，A ＝23π－C ，又0<C <π2，则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3，所以32<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1，又因为f ()2A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋12，故函数f ()2A 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤3＋12，32.12分16．【解析】(Ⅰ)K 2＝100×（45×15－10×30）75×25×45×55＝10033≈3.030<3.8414分∴没有95%的把握认为优秀与文化程度有关.5分(Ⅱ)由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为75100＝34.∴所有参赛选手中优秀等级人数约为6×34＝4.5万人.8分(Ⅲ)a 从1，2，3，4，5，6中取，b 从1，2，3，4，5，6中取，故共有36种，要使方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3x ＋2y ＝2有唯一一组实数解，则a b ≠12，共33种情形．故概率P ＝3336＝1112.12分第Ⅱ卷(共50分)一、选择题 17．D 【解析】因为AD ⊥AB ，所以·＝0，则·＝(＋)·＝·＋·＝ 3 ·＝3(－)·＝ 3 2＝3，故选D .18．D 【解析】因三次函数y ＝2x 3－6x 在(1，＋∞)是增函数，若4a －3>0，总存在t ，使得(4a －3)t ＋2a －4≤2t 3－6t ，这样f(x)为增函数，要保证无论t 取何值，函数f(x)在R 上总是不单调，故只需要4a －3≤0，即a ≤34.19．A 【解析】曲线存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，等价于函数f (x )有两个不同的极值点，等价于方程f ′(x )＝0有两个不同的实根．令f ′(x )＝m ＋e －x －x e －x ＝0，得：m ＝x －1e x ，令g (x )＝x －1e x ，则条件等价于直线y ＝m 与曲线y ＝g (x )有两个不同的交点．g ′(x )＝e x －()x －1e x ()e x2＝2－xe x ，当x ＝2时，g ′(x )＝0；当x >2时，g ′(x )<0；当x <2时，g ′(x )>0；从而当x ＝2时有最大值g ()2＝e －2，g (x )在()－∞，2上递增，在()2，＋∞上递减．当x →－∞时，g (x )→－∞；当x →＋∞时，g (x )→0；从而m ∈()0，e－2.故选A.二、解答题 20．【解析】(Ⅰ)∵PD ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，∴AC ⊥PD . ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，又PD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD ，而AC 平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD . 5分(Ⅱ)如图，连接OE ，∵PD ∥平面EAC ，平面EAC ∩平面PBD ＝OE ，∴PD ∥OE . ∵O 是BD 的中点，∴E 是PB 的中点．取AD 的中点H ，连接BH ，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°， ∴BH ⊥AD ，又BH ⊥PD ，AD ∩PD ＝D ， ∴BH ⊥平面P AD ，BH ＝32AB ＝ 3. 则V P －EAD ＝V E －P AD ＝12V B －P AD ＝12×13×S △P AD ×BH＝16×12×2×6×3＝22. 故三棱锥P －EAD 的体积为22.10分 21．【解析】(Ⅰ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨设y 1＞0，则设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －2)，代入y 2＝4x ，可得y 2－4k 1y －8＝0，∴y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－8，∵＝2，∴y 1＝－2y 2，∴y 1＝4，y 2＝－2，∴y M ＝1，∵k 1＋k 2＝0，∴线段AB 和CD 关于x 轴对称，∴线段MN 的长为2；6分 (Ⅱ)∵k 1·k 2＝－1，∴两直线互相垂直，设AB ：x ＝my ＋2，则CD ：x ＝－1m y ＋2，将x ＝my ＋2代入y 2＝4x ，得y 2－4my －8＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8，∴M (2m 2＋2，2m )．同理N ⎝⎛⎭⎫2m 2＋2，－2m ， ∴|PM |＝2|m |·m 2＋1，|PN |＝2m2·m 2＋1， ∴S △PMN ＝12|PM ||PN |＝2|m |(m 2＋1)＝2⎝⎛⎭⎫|m |＋1|m |≥4，当且仅当m ＝±1时取等号， ∴△PMN 面积的最小值为4.12分22．【解析】(Ⅰ)依题意：f ′(x )＝1x －2ax ，f ′(1)＝1－2a ＝－1，可得a ＝1.又y ＝f (x )＋xf ′(x )＝ln x －3x 2＋1，∴y ′＝1x －6x ＝1－6x 2x(x >0)令y ′＝1－6x 2x >0，0<x <66；y ′＝1－6x 2x <0，x >66.故函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，66，单调减区间为⎝⎛⎭⎫66，＋∞.6分 (Ⅱ)依题意：g (x )＝ln x ＋12x 2－(1＋b )x ，g ′(x )＝1x ＋x －(1＋b )＝x 2－（1＋b ）x ＋1x ，因为x 1，x 2是g (x )的两个极值点，故x 1，x 2是方程x 2－(1＋b )x ＋1＝0的两个根，由韦达定理可知，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1＋bx 1x 2＝1；∵x 1<x 2，可知x 2>1，又x 2＋1x 2＝1＋b ≥e ＋1e令h (x )＝x ＋1x ，可证h (x )在(1，＋∞)递增，由h (x 2)≥h (e)，从而可证x 2≥e.13分。

2016-2017年山东师大附中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案

2016-2017学年山东师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z1＝7﹣6i，z2＝4﹣7i，则z1﹣z2＝（）A．3+i B．3﹣i C．11﹣13i D．3﹣13i 2．（5分）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）＝5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i3．（5分）数列{a n}，已知a1＝1，当n≥2时a n＝a n﹣1+2n﹣1，依次计算a2、a3、a4后，猜想a n的表达式是（）A．3n﹣2B．n2C．3n﹣1D．4n﹣34．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．5．（5分）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）6．（5分）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|7．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a10+b10＝（）A．28B．76C．123D．1998．（5分）用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n﹣1＝2n﹣1（n∈N+）”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k+1时，应得到（）A．1+2+22+…+2k﹣2+2k﹣1＝2k+1﹣1B．1+2+22+…+2k+2k+1＝2k﹣1+2k+1C．1+2+22+…+2k﹣1+2k+1＝2k+1﹣1D．1+2+22+…+2k﹣1+2k＝2k+1﹣19．（5分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除10．（5分）若关于x的不等式|x﹣1|+|x+m|＞3的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）C．（﹣4，2）D．[﹣4，1]11．（5分）设a＝，b＝﹣，c＝﹣，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b 12．（5分）我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A．B．C．D．a二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若＝a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b＝．14．（5分）若a＞0，b＞0，且ln（a+b）＝0，则的最小值是．15．（5分）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．16．（5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：b2017是数列{a n}中的第项．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应点为A，点A关于原点O的对称点为B，求：（Ⅰ）点A所在的象限；（Ⅱ）向量对应的复数．18．（12分）设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，若ab＞cd，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）|a﹣b|＜|c﹣d|．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝（﹣1）n（2n﹣1）．（Ⅰ）求S1，S2，S3，S4；（Ⅱ）猜想S n的表达式，并用数学归纳法给出证明．20．（12分）设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．21．（12分）已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|．（Ⅰ）当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．22．（12分）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．2016-2017学年山东师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z1＝7﹣6i，z2＝4﹣7i，则z1﹣z2＝（）A．3+i B．3﹣i C．11﹣13i D．3﹣13i【解答】解：∵z1＝7﹣6i，z2＝4﹣7i，∴z1﹣z2＝（7﹣6i）﹣（4﹣7i）＝3+i．故选：A．2．（5分）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）＝5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i【解答】解：∵（z﹣3）（2﹣i）＝5，∴z﹣3＝＝2+i∴z＝5+i，∴＝5﹣i．故选：D．3．（5分）数列{a n}，已知a1＝1，当n≥2时a n＝a n﹣1+2n﹣1，依次计算a2、a3、a4后，猜想a n的表达式是（）A．3n﹣2B．n2C．3n﹣1D．4n﹣3【解答】解：由题意可得a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2，故选：B．4．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z＝＝＝＝+i，故z的虚部等于，故选：D．5．（5分）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故选：D．6．（5分）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|【解答】解：对于A，取a＝1，b＝﹣1，即知不成立，故错；对于B，取a＝1，b＝﹣1，即知不成立，故错；对于D，取c＝0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+1＞0，由不等式基本性质即知成立，故对；故选：C．7．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a10+b10＝（）A．28B．76C．123D．199【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10＝123，．故选：C．8．（5分）用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n﹣1＝2n﹣1（n∈N+）”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k+1时，应得到（）A．1+2+22+…+2k﹣2+2k﹣1＝2k+1﹣1B．1+2+22+…+2k+2k+1＝2k﹣1+2k+1C．1+2+22+…+2k﹣1+2k+1＝2k+1﹣1D．1+2+22+…+2k﹣1+2k＝2k+1﹣1【解答】解：当n＝k+1时，等式左边为1+2+22+…+2k，等式右边为2k+1﹣1，故选：D．9．（5分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．10．（5分）若关于x的不等式|x﹣1|+|x+m|＞3的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）C．（﹣4，2）D．[﹣4，1]【解答】解：由于|x﹣1|+|x+m|表示数轴上的x对应点到1和﹣m的距离之和，它的最小值等于|1+m|，由题意可得|1+m|＞3，解得m＞2，或m＜﹣4，故选：A．11．（5分）设a＝，b＝﹣，c＝﹣，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【解答】解：＝，．∵，∴，∴b＜c．∵＝4，∴．即c＜a．综上可得：b＜c＜a．故选：D．12．（5分）我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A．B．C．D．a【解答】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF＝a，BO＝AO＝a，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2＝BE2+OE2，把数据代入得到OE＝a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a＝a，故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若＝a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b＝3．【解答】解：＝＝＝，∵＝a+bi，∴，∴，解得a＝0，b＝3，∴a+b＝3．故答案为：3．14．（5分）若a＞0，b＞0，且ln（a+b）＝0，则的最小值是4．【解答】解：∵ln（a+b）＝0，∴a+b＝1∴＝（）（a+b）＝2++≥2+2＝4故答案为：415．（5分）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，8]．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．16．（5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：b2017是数列{a n}中的第5044项．【解答】解：由前四组可以推知a n＝，从而b1＝a4＝10，b2＝a5＝15，b3＝a9＝45，b4＝a10＝55，依次可知，当n＝4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，…时，由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由于b2017是第2017个可被5整除的数，故它出现在数列{a n}按五个一段分组的第1008组的第4个数字，由此知，b2017是数列{a n}中的第1008×5+4＝5044个数．故答案为：5044三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应点为A，点A关于原点O的对称点为B，求：（Ⅰ）点A所在的象限；（Ⅱ）向量对应的复数．【解答】解：（Ⅰ）z＝＝＝1+i，所以＝1﹣i，所以点A（1，﹣1）位于第四象限．…（5分）（Ⅱ）又点A，B关于原点O对称．∴点B的坐标为B（﹣1，1）．因此向量对应的复数为﹣1+i．…（10分）18．（12分）设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，若ab＞cd，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）|a﹣b|＜|c﹣d|．【解答】证明：（Ⅰ）∵（+）2＝a+b+2，（+）2＝c+d+2，a+b＝c+d，ab＞cd，∴（+）2＞（+）2．∴+＞+．（Ⅱ）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd＝（c﹣d）2．∴|a﹣b|＜|c﹣d|．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝（﹣1）n（2n﹣1）．（Ⅰ）求S1，S2，S3，S4；（Ⅱ）猜想S n的表达式，并用数学归纳法给出证明．【解答】解：（1）S1＝﹣1，S2＝﹣1+3＝2，S3＝﹣1+3﹣5＝﹣3，S4＝﹣1+3﹣5+7＝4，（Ⅱ）猜想，证明如下：（1）当n＝1时，由（1）得结论成立；（2）假设当n＝k时，结论成立，即﹣1+3﹣5+7+…+（﹣1）k（2k﹣1）＝（﹣1）k k那么，当n＝k+1时，左边＝﹣1+3﹣5+7+…+（﹣1）k（2k﹣1）+（﹣1）k+1（2k+1）＝（﹣1）k k+（﹣1）k+1（2k+1）＝（﹣1）k+1（﹣k+2k+1）＝（﹣1）k+1（k+1）．故n＝k+1时，结论也成立．由（1）（2）知，﹣1+3﹣5+7+…+（﹣1）n（2n﹣1）＝（﹣1）n n成立．20．（12分）设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．【解答】证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a＝b＝c取得等号）由题设可得（a+b+c）2＝1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，即有3（ab+bc+ca）≤1，则ab+bc+ca≤；（2）+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即有++≥a+b+c．（当且仅当a＝b＝c取得等号）．故++≥1．21．（12分）已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|．（Ⅰ）当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③；解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．22．（12分）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+＝+＝+≤＝2＝4，当且仅当＝即t＝1时取等号，∴所求最大值为4。

2016-2017年安徽师大附中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案

2016-2017学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（3分）下列语句不是命题的是（）A．﹣3＞4B．0.3是整数C．a＞3D．4是3的约数2．（3分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（3分）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．4．（3分）已知：，，类比上述等式，则：a+t＝（）A．70B．68C．69D．715．（3分）“直线x﹣y﹣k＝0与圆（x﹣1）2+y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（）A．﹣1＜k＜3B．﹣1≤k≤3C．0＜k＜3D．k＜﹣1或k＞3 6．（3分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2B．﹣2C．D．7．（3分）已知变量x，y的一组观测数据如表所示：据此得到的回归方程为＝x+，若＝7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位8．（3分）若函数f（x）＝x2﹣在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，+2）D．9．（3分）已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．或C．D．10．（3分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）11．（3分）已知；，则f（n+1）﹣f（n）＝（）A．B．C．D．12．（3分）对二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y＝f（x）上二、填空题：本大题共4小题：每题4分，共16分．13．（4分）复数i（1+i）的虚部为．14．（4分）在研究吸烟与患有肺病的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患有肺病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则有以下说法：①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人．你认为正确的说法是．（填上你认为正确的所有说法的序号）15．（4分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是．16．（4分）如图是函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的大致图象，则＝．三、解答题：本大题共5小题：共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）已知p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；q：实数x 满足．（1）若a＝1，且p，q均正确，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（8分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．19．（8分）已知函数f（x）＝kx3﹣3x2+1（k≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围．20．（12分）地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．下图1和图2分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（Ⅰ）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？附：．临界值表：21．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y ＝f（x）相切？（只需写出结论）2016-2017学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（3分）下列语句不是命题的是（）A．﹣3＞4B．0.3是整数C．a＞3D．4是3的约数【解答】解：A，B，D都是表示判断一件事情，C无法判断，故选：C．2．（3分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【解答】解：由，得z＝i（1﹣i）＝1+i．故选：B．3．（3分）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选：B．4．（3分）已知：，，类比上述等式，则：a+t＝（）A．70B．68C．69D．71【解答】解：观察下列等式：，照此规律，第7个等式中：a＝8，t＝82﹣1＝63a+t＝71．故选：D．5．（3分）“直线x﹣y﹣k＝0与圆（x﹣1）2+y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（）A．﹣1＜k＜3B．﹣1≤k≤3C．0＜k＜3D．k＜﹣1或k＞3【解答】解：联立直线与圆的方程得：，消去y得：2x2+（﹣2k﹣2）x+k2﹣1＝0，由题意得：△＝（﹣2k﹣2）2﹣8（k2﹣1）＞0，变形得：（k﹣3）（k+1）＜0，解得：﹣1＜k＜3，∵0＜k＜3是﹣1＜k＜3的一个真子集，∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜k＜3．故选：C．6．（3分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2B．﹣2C．D．【解答】解：∵f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，∴f′（x）＝2x+3f′（2）+，令x＝2，则f′（2）＝4+3f′（2）+，即2f′（2）＝﹣，∴f′（2）＝﹣．故选：D．7．（3分）已知变量x，y的一组观测数据如表所示：据此得到的回归方程为＝x+，若＝7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位【解答】解：由表格得＝5，＝0.9，∵回归直线方程为＝bx+7.9，过样本中心，∴5b+7.9＝0.9，即b＝﹣，则方程为＝﹣x+7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就减少1.4个单位，故选：B．8．（3分）若函数f（x）＝x2﹣在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，+2）D．【解答】解：∵f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣＝，f′（x）＞0得，x＞；f′（x）＜0得，0＜x＜；∵函数f（x）定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴0≤k﹣1＜＜k+1，∴1≤k＜．故选：B．9．（3分）已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．或C．D．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，∴命题“∃x∈R，x2﹣2ax+3＜0”是真命题，故△＝4a2﹣12＞0，解得：或，故选：B．10．（3分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：设g（x）＝，则g（x）的导数为：g′（x）＝，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）＝为减函数，又∵g（﹣x）＝＝＝＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）＝＝0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．11．（3分）已知；，则f（n+1）﹣f（n）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴f（n+1）﹣f（n）＝，故选：D．12．（3分）对二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y＝f（x）上【解答】解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）＝ax2+bx+c的导数为f′（x）＝2ax+b，即有f′（1）＝0，即2a+b＝0，①又f（1）＝3，即a+b+c＝3②，又f（2）＝8，即4a+2b+c＝8，③由①②③解得，a＝5，b＝﹣10，c＝8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c＝0，且4a+2b+c＝8，且＝3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c＝0，且2a+b＝0，且4a+2b+c＝8，解得a＝﹣不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c＝0，且2a+b＝0，且＝3，解得a＝﹣不为非零整数，不成立．故选：A．二、填空题：本大题共4小题：每题4分，共16分．13．（4分）复数i（1+i）的虚部为1．【解答】解：复数i（1+i）＝﹣1+i．复数的虚部为：1．故答案为：1．14．（4分）在研究吸烟与患有肺病的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患有肺病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则有以下说法：①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人．你认为正确的说法是②④．（填上你认为正确的所有说法的序号）【解答】解：独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性是存在差异的．①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病，显然错误；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病，根据统计，是正确的；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人，显然错误；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人，也有可能，故正确．故答案为②④．15．（4分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是存在一个能被2整除的数不是偶数．【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题．其否定一定是一个特称命题，结合全称命题的否定方法，我们易得，命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是：存在一个能被2整除的数不是偶数．故答案为：存在一个能被2整除的数不是偶数．16．（4分）如图是函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的大致图象，则＝．【解答】解：由图象知f（x）＝0的根为0，1，2，∴d＝0．∴f（x）＝x3+bx2+cx＝x（x2+bx+c）＝0．∴x2+bx+c＝0的两个根为1和2．∴b＝﹣3，c＝2．∴f（x）＝x3﹣3x2+2x．∴f′（x）＝3x2﹣6x+2．∵x1，x2为3x2﹣6x+2＝0的两根，∴．∴．故填：．三、解答题：本大题共5小题：共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）已知p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；q：实数x 满足．（1）若a＝1，且p，q均正确，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1，（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3，由解得2＜x≤3，∵p，q均正确，∴2＜x＜3，故实数x的取值范围为（2，3），（2）∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∵p为a＜x＜3a，∴，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围（1，2]．18．（8分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．【解答】解：（1）∵f（1）＝1，f（2）＝5，f（3）＝13，f（4）＝25，∴f（2）﹣f（1）＝4＝4×1．f（3）﹣f（2）＝8＝4×2，f（4）﹣f（3）＝12＝4×3，f（5）﹣f（4）＝16＝4×4∴f（5）＝25+4×4＝41．（2）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）＝4n．∴f（2）﹣f（1）＝4×1，f（3）﹣f（2）＝4×2，f（4）﹣f（3）＝4×3，…f（n﹣1）﹣f（n﹣2）＝4•（n﹣2），f（n）﹣f（n﹣1）＝4•（n﹣1）∴f（n）﹣f（1）＝4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]＝2（n﹣1）•n，∴f（n）＝2n2﹣2n+1．19．（8分）已知函数f（x）＝kx3﹣3x2+1（k≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围．【解答】解：（I）当k＝0时，f（x）＝﹣3x2+1∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，单调减区间[0，+∞）．当k＞0时，f'（x）＝3kx2﹣6x＝3kx（x﹣）∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，[，+∞），单调减区间为[0，]．（II）当k＝0时，函数f（x）不存在最小值．当k＞0时，依题意f（）＝﹣+1＞0，即k2＞4，由条件k＞0，所以k的取值范围为（2，+∞）20．（12分）地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．下图1和图2分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（Ⅰ）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？附：．临界值表：【解答】解：（Ⅰ）七年级学生竞赛平均成绩（45×30+55×40+65×20+75×10）÷100＝56（分），八年级学生竞赛平均成绩（45×15+55×35+65×35+75×15）÷100＝60（分）． …（6分）（Ⅱ）…（8分） ∴，∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”． 21．（12分）已知函数f （x ）＝2x 3﹣3x ．（Ⅰ）求f （x ）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y ＝f （x ）相切，求t 的取值范围；（Ⅲ）问过点A （﹣1，2），B （2，10），C （0，2）分别存在几条直线与曲线y ＝f （x ）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f （x ）＝2x 3﹣3x 得f ′（x ）＝6x 2﹣3，令f′（x）＝0得，x＝﹣或x＝，∵f（﹣2）＝﹣10，f（﹣）＝，f（）＝﹣，f（1）＝﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则y0＝2﹣3x0，且切线斜率为k＝6﹣3，∴切线方程为y﹣y0＝（6﹣3）（x﹣x0），∴t﹣y0＝（6﹣3）（1﹣x0），即4﹣6+t+3＝0，设g（x）＝4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）＝12x2﹣12x＝12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：∴g（0）＝t+3是g（x）的极大值，g（1）＝t+1是g（x）的极小值．当g（0）＝t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）＝t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）＝t﹣7＜0，g（2）＝t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切．。

北京师大附中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷(文科) (1)

北京师大附中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合}0)2(|{},11|{>-=<<-=x x x B x x A ，那么A ∩B ＝（） A. }01|{<<-x x B. }21|{<<-x xC. }10|{<<x xD. }20|{><x x x 或2. 设复数z 满足i i z -=+3，则z ＝（） A. i 21+-B. i 21-C. i 23+D. i 23-3. 已知非零实数a ，b 满足b a <，则下列不等式中一定成立的是（） A. 0>+b aB.ba 11>C. 2b ab <D. 033<-b a4. 设12:,21:><<x q x p ，则p 是q 成立的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 若10,0<<>>c b a ，则（） A. c c b a log log < B. b a c c log log <C. cc b a <D. ba c c >6. 下列四个命题：①R x ∈∃0，使032020=++x x ；②命题“0lg ,00>∈∃x R x ”的否定是“0lg ,<∈∀x R x ”；③如果R b a ∈,，且b a >，那么22b a >；④“若βα=，则βαsin sin =”的逆否命题为真命题，其中正确的命题是（） A. ①B. ②C. ③D. ④7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A. 5220+B. 5414+C. 26D. 5212+8. 函数||22x e x y -=在]2,2[-的图像大致为（）二、填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分。

安徽师大附中2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(解析版)(文科)

2016-2017学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．下列语句不是命题的是（）A．﹣3＞4 B．0.3是整数C．a＞3 D．4是3的约数2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A． B．C． D．4．已知：，，类比上述等式，则：a+t=（）A．70 B．68 C．69 D．715．“直线x﹣y﹣k=0与圆（x﹣1）2+y2=2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（）A．﹣1＜k＜3 B．﹣1≤k≤3 C．0＜k＜3 D．k＜﹣1或k＞36．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2 B．﹣2 C．D．7．已知变量x，y的一组观测数据如表所示：据此得到的回归方程为=x+，若=7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位8．若函数f（x）=x2﹣在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，+2）D．9．已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．或C．D．10．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）11．已知；，则f（n+1）﹣f（n）=（）A． B．C．D．12．对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上二、填空题：本大题共4小题：每题4分，共16分．13．（4分）复数i（1+i）的虚部为．14．（4分）在研究吸烟与患有肺病的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患有肺病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则有以下说法：①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人．你认为正确的说法是．（填上你认为正确的所有说法的序号）15．（4分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是．16．（4分）如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于．三、解答题：本大题共5小题：共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）已知p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；q：实数x 满足．（1）若a=1，且p，q均正确，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（8分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f （n ）的解析式．19．（8分）已知函数f （x ）=kx 3﹣3x 2+1（k ≥0）．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数f （x ）的极小值大于0，求k 的取值范围．20．（12分）地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．下图1和图2分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（Ⅰ）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？附：．临界值表：21．（12分）已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）2016-2017学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．下列语句不是命题的是（）A．﹣3＞4 B．0.3是整数C．a＞3 D．4是3的约数【考点】21：四种命题．【分析】命题是表示判断一件事情的语句，根据定义分别判断即可．【解答】解：A，B，D都是表示判断一件事情，C无法判断，故选：C【点评】本题考查了命题的定义，属于基础题．2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得z=i（1﹣i）=1+i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A． B． C． D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B．【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．4．已知：，，类比上述等式，则：a+t=（）A．70 B．68 C．69 D．71【考点】F3：类比推理．【分析】观察所给的等式，第n个式子应该是=（n+1）•，即可写出结果．【解答】解：观察下列等式：，照此规律，第7个等式中：a=8，t=82﹣1=63a+t=71．【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系．5．“直线x﹣y﹣k=0与圆（x﹣1）2+y2=2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（）A．﹣1＜k＜3 B．﹣1≤k≤3 C．0＜k＜3 D．k＜﹣1或k＞3【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】把直线与圆的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，根据直线与圆有两个不同的交点得到此方程有两个不等的实根，即△＞0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，在四个选项中找出解集的一个真子集即为满足题意的充分不必要条件．【解答】解：联立直线与圆的方程得：，消去y得：2x2+（﹣2k﹣2）x+k2﹣1=0，由题意得：△=（﹣2k﹣2）2﹣8（k2﹣1）＞0，变形得：（k﹣3）（k+1）＜0，解得：﹣1＜k＜3，∵0＜k＜3是﹣1＜k＜3的一个真子集，∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜k＜3．故选C．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，以及充分必要条件的判断，要求学生利用方程的思想解决问题．6．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2 B．﹣2 C．D．【考点】64：导数的加法与减法法则．【分析】对等式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，求导数，然后令x=2，即可求出f′（2）【解答】解：∵f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，∴f′（x）=2x+3f′（2）+，令x=2，则f′（2）=4+3f′（2）+，即2f′（2）=﹣，∴f′（2）=﹣．故选：D．【点评】本题主要考查导数的计算，要注意f′（2）是个常数，通过求导构造关于f′（2）的方程是解决本题的关键．7．已知变量x，y的一组观测数据如表所示：据此得到的回归方程为=x+，若=7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据平均数的定义计算出样本中心，求出回归方程，从而求出答案即可．【解答】解：由表格得=5，=0.9，∵回归直线方程为=bx+7.9，过样本中心，∴5b+7.9=0.9，即b=﹣，则方程为=﹣x+7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就减少1.4个单位，故选：B．【点评】本题主要考查回归方程的应用，根据样本中心求出b的值是解决本题的关键．比较基础．8．若函数f（x）=x2﹣在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，+2）D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣=，根据题意可得到，0≤k﹣1＜，从而可得答案．【解答】解：∵f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣=，f′（x）＞0得，x＞；f′（x）＜0得，0＜x＜；∵函数f（x）定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴0≤k﹣1＜＜k+1，∴1≤k＜．故选B．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题意得到0≤k﹣1＜是关键，也是难点所在，属于中档题．9．已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．或C．D．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】若命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则命题“∃x∈R，x2﹣2ax+3＜0”是真命题，即△=4a2﹣12＞0，解得答案．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，∴命题“∃x∈R，x2﹣2ax+3＜0”是真命题，故△=4a2﹣12＞0，解得：或，故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题，二次函数的图象和性质，难度中档．10．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．11．已知；，则f（n+1）﹣f（n）=（）A． B．C．D．【考点】F1：归纳推理．【分析】利用，计算f（n+1）﹣f（n）即可．【解答】解：∵，∴f（n+1）﹣f（n）=，故选：D．【点评】本题考查归纳推理，考查学生的计算能力，正确计算是关键．12．对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上【考点】3W：二次函数的性质．【分析】可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论．【解答】解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不为非零整数，不成立．故选：A．【点评】本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题：每题4分，共16分．13．复数i（1+i）的虚部为1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，即可得到结果．【解答】解：复数i（1+i）=﹣1+i．复数的虚部为：1．故答案为：1．【点评】本题考查复数的基本概念，考查计算能力．14．在研究吸烟与患有肺病的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患有肺病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则有以下说法：①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人．你认为正确的说法是②④．（填上你认为正确的所有说法的序号）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】因为独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性是存在差异的，逐个判断即可．【解答】解：独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性是存在差异的．①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病，显然错误；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病，根据统计，是正确的；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人，显然错误；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人，也有可能，故正确．故答案为②④．【点评】考查了独立性检验的概念和对数学统计的理解．属于基础题型，应牢记．15．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是存在一个能被2整除的数不是偶数．【考点】2J：命题的否定；2H：全称命题．【分析】根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题，根据全称命题的否定方法，我们易得到结论．【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题．其否定一定是一个特称命题，结合全称命题的否定方法，我们易得，命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是：存在一个能被2整除的数不是偶数．故答案为：存在一个能被2整除的数不是偶数．【点评】本题考查的知识点是命题的否定，做为新高考的新增内容，全称命题和特称命题的否定是考查的热点．16．如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于．【考点】62：导数的几何意义．【分析】由图象知f（x）=0的根为0，1，2，求出函数解析式，x1，x2为导函数的两根，可结合根与系数求解．【解答】解：由图象知f（x）=0的根为0，1，2，∴d=0．∴f（x）=x3+bx2+cx=x（x2+bx+c）=0．∴x2+bx+c=0的两个根为1和2．∴b=﹣3，c=2．∴f（x）=x3﹣3x2+2x．∴f′（x）=3x2﹣6x+2．∵x1，x2为3x2﹣6x+2=0的两根，∴∴故填：．【点评】本题考查了识图能力，以及极值与导数的关系．三、解答题：本大题共5小题：共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；q：实数x满足．（1）若a=1，且p，q均正确，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法即可化简命题p，q，命题p与q都为真命题，即可得出．（2）求出￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，即可解出．【解答】解：（1）当a=1，（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3，由解得2＜x≤3，∵p，q均正确，∴2＜x＜3，故实数x的取值范围为（2，3），（2）∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∵p为a＜x＜3a，∴，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围（1，2]．【点评】本题考查了绝对值不等式与一元二次不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．【考点】F1：归纳推理．【分析】（1）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…从而得出f （5）；（2）将（1）总结一般性的规律：f（n+1）与f（n）的关系式，再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即得【解答】解：（1）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，∴f（2）﹣f（1）=4=4×1．f（3）﹣f（2）=8=4×2，f（4）﹣f（3）=12=4×3，f（5）﹣f（4）=16=4×4∴f（5）=25+4×4=41．（2）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．∴f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4•（n﹣2），f（n）﹣f（n﹣1）=4•（n﹣1）∴f（n）﹣f（1）=4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]=2（n﹣1）•n，∴f（n）=2n2﹣2n+1．【点评】本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题．19．已知函数f（x）=kx3﹣3x2+1（k≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先分类讨论，当k=0时是二次函数，单调区间很快求出，当k≠0时利用导数在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，可求得函数的单调区间．（2）讨论k，k=0显然不存在极小值，当k＞0时，根据第一问的单调性可知f （x）的极小值，建立不等关系，求出变量k的范围即可．【解答】解：（I）当k=0时，f（x）=﹣3x2+1∴f （x ）的单调增区间为（﹣∞，0]，单调减区间[0，+∞）．当k ＞0时，f'（x ）=3kx 2﹣6x=3kx （x ﹣）∴f （x ）的单调增区间为（﹣∞，0]，[，+∞），单调减区间为[0，]．（II ）当k=0时，函数f （x ）不存在最小值．当k ＞0时，依题意f （）=﹣+1＞0，即k 2＞4，由条件k ＞0，所以k 的取值范围为（2，+∞）【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性，属于基础题．20．（12分）（2015•衡水模拟）地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．下图1和图2分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（Ⅰ）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？附：．临界值表：【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（I ）根据频率分布直方图估算平均数，是将各组的组中值与频率的积进行累加（II ）根据（I ）中的频率分布直方图求出各组的频数，进而可得列联表，代入公式后求出K 2，与临界值比较后可得结论．【解答】解：（Ⅰ）七年级学生竞赛平均成绩（45×30+55×40+65×20+75×10）÷100=56（分），八年级学生竞赛平均成绩﹙45×15+55×35+65×35+75×15﹚÷100=60（分）． …（6分）（Ⅱ）…（8分） ∴，∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”．【点评】本题考查的知识点是频率分布图，独立性质检验，是统计知识的应用，熟练掌握公式及类型解题步骤是解答的关键．21．（12分）（2014•北京）已知函数f （x ）=2x 3﹣3x ．（Ⅰ）求f （x ）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围；（Ⅲ）问过点A （﹣1，2），B （2，10），C （0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；51：函数的零点；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）利用导数求得极值点比较f（﹣2），f（﹣），f（），f （1）的大小即得结论；（Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，令f′（x）=0得，x=﹣或x=，∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），则y0=2﹣3x0，且切线斜率为k=6﹣3，∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0），∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x0），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题．。

湖南师范大学附属中学2016-2017学年高二数学上学期期中试题理

湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试理科数学(必修1～5，选修2－1第1、2章)时量：120分钟满分：100 分(必考试卷Ⅰ)，50分(必考试卷Ⅱ)得分：____________必考试卷Ⅰ(满分100分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某学校为了了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级883名学生中抽取80名进行座谈，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从883人中剔除3人，剩下880人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率是A .111B .80883 C .112D . 无法确定 2．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数，满分为100)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为A .25B .110C .910D .153．已知向量α＝(1，－3)，β＝(4，－2)，若实数λ使得λα＋β与α垂直，则λ＝ A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．24. 平面内，F 1，F 2是两个定点，“动点M 满足|MF 1→|＋|MF 2→|为常数”是“M 的轨迹是椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为A. 2B. 3 C ．2 D ．3 6. 下列命题中正确的有 ①命题x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝3的否定是“对x ∈R ，恒有sin x ＋cos x ≠3”；② “a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的充要条件；③若曲线C 上的所有点的坐标都满足方程f (x ，y )＝0，则称方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程； ④十进制数66化为二进制数是1 000 010(2)． A ．①②③④ B ．①④ C ．②③ D ．③④7. 设a 、b 、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立．．．．．．的是 A ．已知c ⊥α，若c ⊥β，则α∥β B ．已知b β，c 是a 在β内的射影，若b ⊥c ，则b ⊥a C ．已知b β，若b ⊥α，则β⊥α D ．已知bα，cα，若c ∥α，则b ∥c8. 双曲线x 2－y 23＝1位于第一象限内的点P 到该双曲线的右焦点的距离为2，则由双曲线的两焦点及点P 构成的三角形面积S ＝A.15 B ．4 C ．2 3 D ．59．程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 A ．－24 029B ．－24 030C ．－24 031D. －24 03310．已知x ，y ∈[－2，2]，任取x 、y ，则使得(x 2＋y 2－4)x －y ≤0的概率是 A.π2 B.π4 C.π6 D.π8答题卡二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．双曲线x 2a 2－y 29＝1的离心率e ＝54，其两条渐近线方程是________．12．一个多面体内接于一个旋转体，其正视图、左视图及俯视图都是一个圆的正中央含一个正方形，如图，若正方形的边长是1，则该旋转体的表面积是________．13．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的任意一点P 到右焦点F 的距离||PF 均满足||PF 2－2a ||PF ＋c 2≤0，则该椭圆的离心率e 的取值范围为________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．(本小题满分11分)从一批土鸡蛋中，随机抽取n 个得到一个样本，其重量(单位：克)的频数分布表如下：已知从n 个土鸡蛋中随机抽取一个，抽到重量在[)90，95的土鸡蛋的概率为19.(1)求出n ，m 的值及该样本的众数的近似值；(2)用分层抽样的方法从重量在[)80，85和[]95，100的土鸡蛋中共抽取5个，再从这5个土鸡蛋中任取2个，其重量分别是g 1 、g 2，求|g 1－g 2|>10的概率．已知命题p ：方程x 2m －2＋y 2m －5＝1表示双曲线，命题q ：x ∈(0，＋∞)，x 2－mx ＋4≥0恒成立，若p ∨q 是真命题，且綈(p ∧q )也是真命题，求m 的取值范围．已知焦点在x正半轴上，顶点为坐标系原点的抛物线过点A(1，－2)．(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于两点M、N，且△MNO(O为原点)的面积为22，求直线l的方程．必考试卷Ⅱ(满分50分)一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．点P 在以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上运动，点Q 在直线x －y ＋5＝0上运动，则||PF ＋||PQ 的最小值为( )A ．4B ．2 3C ．3 2D ．62．f (x )是定义在R 的以3为周期的奇函数，且f (2)＝0，则函数f (x )在区间[－3，3]内的零点个数的最小值是( )A ．4 B. 5 C. 7 D ．9二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．3．已知实数x ，y 使得x 2＋4y 2－2x ＋8y ＋1＝0，则x ＋2y 的最小值等于________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 4．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C . (1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．已知等差数列{}a n 满足：a 2＝3，a 5－2a 3＋1＝0. (1)求{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足：b n ＝(－1)na n ＋n (n ∈N *)，求{}b n 的前n 项和S n .如图，已知焦点在x 轴上的椭圆x 28＋y 2b 2＝1(b >0)有一个内含圆x 2＋y 2＝83，该圆的垂直于x 轴的切线(左侧)交椭圆于点M ，N ，且OM →⊥ON →(O 为原点)．(1)求b 的值；(2)设内含圆的任意切线l 交椭圆于点A 、B ，求证：OA →⊥OB →，并求|AB →|的取值范围．湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试理科数学参考答案必考试卷Ⅰ一、选择题．1.B2．D 【解析】记其中被污损的数字为x .依题意得甲的5 次综合测评的平均成绩为90，乙的5 次综合测评的平均成绩为15(442＋x )，令15(442＋x )≥90，由此解得x ≥8，即x 的可能取值为8和9，由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为210＝15，选D.3．A 【解析】λα＋β＝(λ＋4，－3λ－2)，代入(λα＋β)·α＝0，解得λ＝－1. 4．B5．C 【解析】f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin x ＋3cos x ，知其最大值为2.6．B 7．C8．A 【解析】由双曲线定义知，三角形三边分别为4，4，2，其面积值为S ＝15. 9．C 【解析】据程序框图，可看做是：已知a 1＝21－2＝－2，a n ＋1＝a n1－a n ，求a 2 016，由已知有1a n ＋1＝1a n －1，求出通项a n ＝－22n －1(或由前几项归纳)，故a 2 016＝－24 031.10．D 【解析】(x 2＋y 2－4)x －y ≤0等价于满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x 2＋y 2－4≤0，即如图中的的阴影部分，故所求概率为阴影部分占正方形的面积比．二、填空题． 11．y ＝±34x12．3π 【解析】原几何体是一个棱长为1的正方体内接于一个球，则球的直径是3，故球的表面积是4π⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π.13.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 【解析】||PF →2－2a ||PF →＋c 2≤0||PF →2－2a ||PF→＋a 2－b 2≤0即a －b ≤||PF →≤a ＋b ，而椭圆中，a －c ≤||PF→≤a ＋c ，故⎩⎪⎨⎪⎧a －c ≥a －b a ＋c ≤a ＋b c ≤b c 2≤a 2－c 2e ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 三、解答题．14．【解析】(1)依题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧m n ＝419n ＝10＋50＋15＋m，从而得m ＝20，n ＝95.(4分)据表知该样本的众数的近似值是87.5.(5分)(2)若采用分层抽样的方法从重量在[80 , 85)和[95 , 100]的土鸡蛋中共抽取5个，则重量在[80 , 85)的个数为1010＋15×5＝2；记为x ，y ，(6分)在[95 , 100]的个数为1510＋15×5＝3；记为a ，b ，c ，(7分)从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个共有(x , a )，(x , b )，(x , c )，(a , b )，(a , c )，(b ,c ) ，(y , a )，(y , b )，(y , c )，(x , y ) 10种情况．(9分)要|g 1－g 2|>10，则必须是“重量在[80 , 85)和[95 , 100]中各有一个”，这样的情况共有(x ,a )，(x ,b )，(x ,c )，(y , a )，(y , b )，(y , c ) 6种．设事件A 表示“抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g 1－g 2|>10”，则P (A )＝610＝35.答：从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g 1－g 2|>10的概率为35.(11分)15．【解析】p 真时有：(m －2)(m －5)<0即2<m <5；(3分)q 真时有： m ≤x 2＋4x ＝x ＋4x ，对x ∈(0，＋∞)恒成立，即m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x min，而x ∈(0，＋∞)时，x ＋4x≥2x ·4x＝4，当x ＝2时取等号．即m ≤4.(7分) 由p ∨q 是真命题，且綈(p ∧q )也是真命题得：p 与q 为一真一假；(9分)当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧2<m <5m >44<m <5；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2或m ≥5m ≤4m ≤2；(11分)综上，所求m 的取值范围是(－∞，2]∪(4，5). (12分)16．【解析】(1)令抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．将点A (1，－2)的坐标代入方程，得p ＝2，故所求抛物线的标准方程为y 2＝4x .(3分)(2)若直线l ⊥x 轴，则M (1，2)，N (1，－2)，此时△MNO 的面积为2，不合题设；(4分) 若直线l 与x 轴不垂直，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l ：y ＝k (x －1) (k ≠0)，将其代入抛物线方程y 2＝4x ，并整理得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2（k 2＋2）k 2x 1x 2＝1.(7分) 于是，||MN ＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4（1＋k 2）k2， (或|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝2（k 2＋2）k 2＋2＝4（1＋k 2）k2) 又原点到直线l 的距离为d ＝||k 1＋k2，(9分)则22＝12||MN ·d ＝12·4（1＋k 2）k 2·||k 1＋k2，解得，k ＝－1或1.综上，所求直线l 的方程为y ＝－x ＋1或y ＝x －1.(12分) (或设直线方程是x ＝my ＋1解之)必考试卷Ⅱ一、选择题．1．C 【解析】||PF ＋||PQ 的最小值为点F (1，0)到直线x －y ＋5＝0的距离d ＝3 2. 2．D 【解析】f (2)＝0f (－2)＝0f (1)＝0f (－1)＝0，f (0)＝0f (3)＝0f (－3)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－32＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0，故至少可得9个零点．二、填空题．3．－22－1 【解析】x 2＋4y 2－2x ＋8y ＋1＝0(x －1)2＋4(y ＋1)2＝4，令⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos θy ＋1＝sin θ，则x ＋2y ＝2cos θ＋2sin θ－1≥－22－1.三、解答题．4．【解析】(1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0sin C ＝cos C ，又cos C ≠0tan C ＝1C ＝π4.(4分)(2)由(1)知B ＝3π4－A .于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6.(6分)由0<A <3π4π6<A ＋π6<11π12，从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6取最大值2.(8分)综上所述，3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.(10分)5．【解析】(1)令等差数列{}a n 的公差为d ，由a 2＝3，a 5－2a 3＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3（a 1＋4d ）－2（a 1＋2d ）＋1＝0，解得a 1＝1，d ＝2,故{}a n 的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(5分)(2)由已知得b n ＝(－1)n(2n －1)＋n ，(6分) 若n 为偶数，结合a n －a n －1＝2，得S n ＝(－a 1＋a 2)＋(－a 3＋a 4)＋…＋(－a n －1＋a n )＋(1＋2＋…＋n )＝2·n 2＋n （n ＋1）2＝n 2＋3n2；(9分)若n 为奇数，则S n ＝S n －1＋b n ＝（n －1）2＋3（n －1）2－(2n －1)＋n ＝n 2－n2.(12分)6．【解析】(1)当MN ⊥x 轴时，MN 的方程是x ＝－83，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，y 1，N ⎝⎛⎭⎪⎫－83，－y 1，由OM →⊥ON →知△MON 是等腰直角三角形，∴|y 1|＝83，即点M ⎝⎛⎭⎪⎫－83，83在椭圆上，代入椭圆方程得b ＝2.(3分) (2)当l ⊥x 轴时，由(1)知OA →⊥OB →，(4分)当l 不与x 轴垂直时，设l 的方程是：y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0，则|m |1＋k2＝833m 2＝8(1＋k 2)．(5分)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 28＋y24＝1(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0, Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)＝323(4k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2x 1x 2＝2m 2－81＋2k2，(7分)x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝（1＋k 2）（2m 2－8）1＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝3m 2－8（1＋k 2）1＋2k2＝0，即OA →⊥OB →.即椭圆的内含圆x 2＋y 2＝83的任意切线l 交椭圆于点A 、B 时总有OA →⊥OB →.(9分)当l ⊥x 轴时，易知|AB |＝283＝463.(10分) 当l 不与x 轴垂直时，|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋k 2）·323（4k 2＋1）（1＋2k 2）2＝463（1＋k 2）·（4k 2＋1）（1＋2k 2）2，设t ＝1＋2k 2∈[1，＋∞)，1t∈(0，1]，则|AB |＝4632t 2＋t －12t 2＝463－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋98. 所以1t ＝12即k ＝±22时，|AB |取最大值23，1t ＝1即k ＝0时|AB |取最小值463，综上|AB |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤463，23.(13分)。

2015-2016学年湖南师范大学附属中学高二下学期期中考试数学(理)试题(word)

2015-2016学年湖南师范大学附属中学高二下学期期中考试数学（理）试题（word ）第Ⅰ卷（学业水平摸底考试，满分100分）一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,5,2,5U A B ===，则()U A C B 等于（）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3D ．{}1,32.下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球 D ．三棱锥3.函数()122xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3 4.化简()2sin cos αα+=（）A ．1sin 2α+B ．1sin α-C ．1sin 2α-D ．1sin α+ 5.向量()()1,2,2,1a b =-=，则（）A ．//a bB ．a b ⊥C ．a 与b 的夹角为60°D ．a 与b 的夹角为30°7.下列坐标对应的点中，落在不等式10x y +-<表示的平面区域内是（） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．()1,4- D ．()1,88.在ABC ∆中，已知0120,1,2A b c ===，则a 等于（）A B D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）9.比较大小：2log 5_____2log 3（填“>”或“<”）．10.某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师________人.11.某程序框图如图所示，若输入的,,a b c 值分别为3，4，5，则输出的y 值为________.12.若1a >，则11a a +-的最小值是________．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13.(本小题满分6分) 已知4sin ,052παα=<<，求cos α和sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 14.（本小题满分8分）已知在等差数列{}n a 中，131,3a a =-=．（1）求n a ；（2）令2n an b =，判断数列{}n b 是等差数列还是等比数列，并说明理由．15.（本小题满分8分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中．（1）求证：AC ⊥平面11B BDD ；（2）求三棱锥1B ACB -的体积． 16.（本小题满分8分）已知圆C 经过()3,2A 和()1,6B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点()1,3P -且与圆C 相切，求直线l 的方程． 17.（本小题满分10分）已知函数()()2log 1f x x =+．（1）将函数()f x 的图像上的所有点向右平行移动1个单位得到函数()g x 的图像，写出函数()g x 的表达式；（2）若关于x 的函数()()223y g x mg x =-+在[]1,4上的最小值为2，求m 的值．第Ⅱ卷（共５0分）一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）18.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -= D. 22143x y -=19.甲、乙、丙、丁、戌5人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（） A ．72种 B ．36种 C ．54种 D.24种 20.已知集合()(){},|M x y y f x == ，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①()1,|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；②(){},|sin 1M x y y x ==+；③(){}2,|log M x y y x ==；④(){},|2x M x y y e ==-，其中是“垂直对点集”的序号是（）A ．②④B ．②③C ．①④ D.①②二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 21.若“0,,tan 3x x m π⎡⎤∀∈<⎢⎥⎣⎦”是假命题，则实数m 的最大值为________． 22．已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在C 上，则AN BN +=_________．三、解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）23. （本小题满分12分）现有长分别为123m m m 、、的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同附有不同的编号），从中随机抽取2根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．若X 表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）．（1）求X 的分布列；（2）若()21,1Y X E Y λλ=-++>，求实数λ的取值范围．24. （本小题满分13分）已知函数()()()1ln 10x f x x x++=>．（1）函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）若当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求正整数k 的最大值；（3）求证：()()()223*1!1n n n e n N -+>+∈⎡⎤⎣⎦．参考答案第Ⅰ卷一、选择题 1.D 2. C3. D 【解析】()()2311112332102248f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-<⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 4．A 5．B 6．A 7．A 8．C 二、填空题9. > 10.100 11. 4 12. 3 三、解答题14．【解析】（1）设数列{}n a 的公差是d ，则31231a a d -==-，故()12123n a n n =-+-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由（1）可得2322na n nb -==，所以()21321232242n n n n b b +-+-===是一常数，故数列{}n b 是等比数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 15.【解析】（1）∵1DD ⊥面ABCD ，∴1AC DD ⊥．又∵BD AC ⊥且1,DD BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面11B BDD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）111111113326B ACB B ABC ABC V V S BB AB BC BB --∆===⨯⨯⨯=． 16．【解析】（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--，故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=，解方程组2602x y y x -+=⎧⎨=⎩得24x y =⎧⎨=⎩，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C 的半径r AC ==，故圆C 的方程是()()22245x y -+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y kx -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C 相切，解得2k =或12k =-．所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 17．【解析】（1）()()2log 0g x x x =>；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（2）()()()222223log 2log 3y gx mg x x m x =-+=-+令[]()2log 0,2t x t =∈得()222233y t mt t m m =-+=-+-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ① 若0m <，则223y t mt =-+在[]0,2t ∈上递增，∴当0t =时，min 32y =≠，无解；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ② 若02m ≤≤，则当t m =时，2min 32y m =-=，解得1,1m =-（舍去）， ∴1m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分③ 若2m >，则223y t mt =-+在[]0,2t ∈上递减，∴当2t =时，min 742y m =-=，解得524m =<，不符合条件，舍去；综上可得1m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分第II 卷一、选择题 18. D 19.B 20．A 二、填空题22．12 三、解答题23．【解析】（1）X 可能的取值为2，3，4，5，6．()()2113332299112;3124C C C P X P X C C ======；()()21111333332299114;534C C C C C P X P X C C +======； ()23291612C P X C ===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∴X 的分布列为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（2）()111112345641243412E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∵21Y X λλ=-++，∴()()22141E Y E X λλλλ=-++=-++，∵()1E Y >，∴214104λλλ-++⇒<<． ∴实数λ的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 24.【解析】（1）函数()f x 在区间()0,+∞上是减函数，因为()()()()()221ln 111ln 1101xx x x x f x x x x -++⎡⎤⎣⎦++++'==-<+，所以函数()f x 在区间()0,+∞上是减函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）当0x >时，()()()11ln 11x x k f x k x x+++⎡⎤⎣⎦>⇔>+设函数()()()11ln 1x x g x x+++⎡⎤⎣⎦=，则()()21ln 1x x g x x--+'=，设()()1ln 1h x x x =--+，则()11011x h x x x '=-=>++， ∴()h x 在区间()0,+∞上是增函数又()()21ln 30,32ln 40h h =-<=->所以存在()02,3x ∈，使得()00h x =即()001ln 1x x -=+，从而当()00,x x ∈时，()0g x '<，当()0x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()()()()0min 11ln 1x x g x g x k x+++⎡⎤⎣⎦==>恒成立的最大正整数3k =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）由（2）知：当0x >时，()31f x x >+恒成立，即()1ln 131x x x ++>+，从而()33ln 11211x x x x +>-=-++，令()11x n n =+-得()()311ln 122311n n n n n n ⎛⎫+>-=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭∴()()111ln 12231,ln 2323223⎛⎫⎛⎫⨯>--⨯>-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1111ln 3423,,ln 123341n n n n ⎛⎫⎛⎫⨯>--+>--⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭，将这n 个不等式相加得：()22213ln 1231231232311n n n n n n n ⎛⎫⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯+>---=-+>- ⎪⎣⎦++⎝⎭， ∴()222231231n n n e -⨯⨯⨯⨯⨯+>，∴()()()223*1!1n n n en N -+>+∈⎡⎤⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分。

湖南师范大学附属高二下学期期中考试文科数学试卷有答案

湖南师范大学附属高二下学期期中考试数学（文）试卷(考试范围：除立体几何与统计概率，选修1－2,4－4外内容)时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U ＝{x ∈N |0＜x ≤8}，集合A ＝{1,2,4,5}，B ＝{3,5,7,8}，则图中阴影部分所表示的集合是A.{1,2,4}B.{3,7,8}C.{1,2,4,6}D.{3,6,7,8}2.已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是A.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B.f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D.f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 3.函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点所在的区间为 A.(4,5) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)4.在三角形ABC 中，A 、B 、C 的对应边分别是a 、b 、c ，若a cos C ＝c cos A ，且a 、b 、c 成等比，则三角形ABC 是A.等边三角形B.直角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形5.在等比数列{a n }中，已知a 3＝12，a 9＝8，则a 5a 6a 7的值为A.±8B.－8C. 8D.646.已知平面向量a ，b 满足|a|＝4，|b|＝3，向量a 与b 的夹角是60°，则|a ＋b |＝ A.13 B.15 C.19 D. 377.已知sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2αcos 2α的值等于 A.32 B.34 C.－32 D. －348.函数y ＝ln cos x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2的图象是9.已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (2－x )成立，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0(其中f ′(x )为f (x )的导数).设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 三者的大小关系是A.a <b <cB.c <a <bC.c <b <aD.b <c <a10.x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数(如[－1.5]＝－2，[0]＝0，[2.3]＝2)，则关于函数f (x )＝x －[x ]，x ∈R 的说法不正确．．．的是 A.函数不具有奇偶性B.x ∈[1,2)时函数是增函数C.函数是周期函数D.若函数g(x)＝f(x)－kx 恰有两个零点，则k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫13，12选择题答题卡二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.11.计算sin 600°＝ .12.已知圆C 的圆心坐标为(0,1)，且与直线2x －y －4＝0相切，则圆C 的标准方程是 .13.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝2，则f (2 015)等于 . 14.下面是一个算法的程序框图，当输入的x 值为5时，则输出的结果是 .15.若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4，(－2<x <14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB ＋OC )·OA ＝ .(其中O 为坐标原点)三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知函数f (x )＝log 2(－4x ＋5·2x ＋1－16). (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[2，log 27]上的值域.17.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x －2sin 2x ＋1(x ∈R ). (1)求函数f ()x 的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB ·AC ＝9，求a 的值.已知数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，且－a 2，S n,2a n ＋1成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n(a n －1)(a n ＋1－1)，求证：数列{b n }的前n 项和T n ∈⎣⎡⎭⎫23，1.19.(本小题满分13分)甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过60千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本与速度v (千米/小时)的平方成正比，已知速度为50千米/小时时每小时可变成本是100元；每小时固定成本为a 元.(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/小时)的函数并标明定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？已知两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积是定值m4(m∈R ，m ≠0).(1)求动点M 的轨迹方程，并指出随m 变化时方程所表示的曲线的形状；(2)若m ＝－3，已知点A (1，t )(t >0)是轨迹M 上的定点，E ，F 是动点M 的轨迹上的两个动点且E ，F ，A 不共线，如果直线AE 的斜率k AE 与直线AF 的斜率k AF 满足k AE ＋k AF ＝0，试探究直线EF 的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.21.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1). (1)求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝f (x )－t 有零点，求t 的最小值；(3)若x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围.高二第二学期期中考试试题数学(文科)参考答案一、选择题1.B 【解析】图中阴影部分所表示的集合是(C U A )∩B ＝{3,7,8}，故选B.2.C 【解析】因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故选C.3.D 【解析】∵f (1)＝ln 1＋1>0，f (2)＝ln 2>0，f (3)＝ln 3－1>0，f (4)＝ln 4－2<0，f (5)<0，选D.4.A 【解析】∵sin A cos C ＝sin C cos A A －C )＝A ＝C a ＝c ，由b 2＝ac ，故a ＝b ＝c ，选A.5.A 【解析】因{a n }为等比数列，则a 26＝a 5·a 7＝a 3·a 9＝4，所以a 6＝±2，a 5·a 6·a 7＝±8，故选A.6.D 【解析】由已知|a|＝4，|b|＝3，a·b ＝|a|·|b |cos θ＝4×3×12＝6.(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋12＋9＝37，||a ＋b ＝37.7.C 【解析】因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝－45，tan α＝－34.所以sin 2αcos 2α＝2tan α＝－32，故选C.8.A 【解析】函数是偶函数排除B 、D ，而ln cos π3＝－ln 2<0，选A.9.B 【解析】由f (x )＝f (2－x )可得，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f (3)＝f (－1).又当x ∈()－∞，1时，(x －1)f ′(x )<0，即f ′(x )>0，则f (x )在()－∞，1上单调递增.所以f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12.即c <a <b ，故选B.10.D 【解析】画出函数f (x )＝x －[x ]的图像如图，据图可知选D. 二、填空题 11.－32 【解析】sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 12.x 2＋(y －1)2＝5 【解析】因为直线2x －y －4＝0与圆C 相切，所以圆C 的半径r ＝|－1－4|5＝ 5. 故圆C 的标准方程是x 2＋(y －1)2＝5. 13.－2 【解析】f (2 015)＝f (4×503＋3)＝f (3)＝－f (－3) ＝－f (－3＋4)＝－f (1)＝－2.14.2 【解析】第一次x ＝5－3＝2，第二次x ＝2－3＝－1，满足x ≤0，计算y ＝0.5－1＝2.15.72 【解析】f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4的周期是16，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4(－2<x <14)的图像仅与x 轴交于点A (6,0)且关于点A 对称，故A 是线段BC 的中点，则(OB ＋OC )·OA ＝2OA2＝72.三、解答题16.【解析】(1)－4x ＋5·2x ＋1－x －2)(2x －xx <3. 即函数f (x )的定义域是(1,3)；6分(2)当x ∈[2，log 27]时2x ∈[4,7]，－4x ＋5·2x ＋1－16＝9－(2x －5)2∈[5,9]，此时 f (x )的值域是[log 25,2log 23].12分17.【解析】f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x －2sin 2x ＋1 ＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π63分 (1)最小正周期：T ＝2π2＝π，4分由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )可解得：k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为：⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )；6分 (2)由f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12可得：2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z ) 所以A ＝π3，8分又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，9分而AB ·AC ＝bc cos A ＝12bc ＝9，∴bc ＝1810分∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝4a 2－54，∴a ＝3 2.12分18.【解析】(1)∵2S n ＝－a 2＋2a n ＋1，∴当n ≥2时，2S n －1＝－a 2＋2a n 2分两式相减得2a n ＝2a n ＋1－2a n ，故a n ＋1＝2a n (n ≥2)，所以a n ＋1a n ＝2.4分又当n ＝1时，2a 1＝－a 2＋2a 2，得a 2＝2a 1，所以n ＝1时也满足a n ＋1a n ＝2∴{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n .6分 (2)∵b n ＝2n (2n －1)·(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1，8分 ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫121－1－122－1＋⎝⎛⎭⎫122－1－123－1＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，10分∵2n ＋1≥4，∴T n ≥1－13＝23，又12n ＋1－1>0，∴T n <1，∴23≤T n ＜1.12分19.【解析】(1)由已知有可变成本＝v 225，全程所用的时间为sv ，3分全程运输成本为y ＝a ·s v ＋125v 2·sv ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25，所求函数及其定义域为y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25，v ∈(0,60].6分(2)y ′＝s ⎝⎛⎭⎫125－a v 2＝v 2－25a 25v 2s ＝(v ＋5a )(v －5a )25v 2s ，v ∈(0,60]8分由题意：s ，a ，v 均为正数，当5a <60即a <144时， y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25在(0,5a ]上单减，在[5a ，60]上单增所以此时当v ＝5a 时，全程运输成本y 最小.11分(或用均值不等式：当5a <60即a <144时，y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25≥2s a 25，当且仅当a v ＝v25，即v ＝5a 时等号成立)当5a ≥60即a ≥144时，当v ∈(0,60]时，y ′<0， y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25在(0,60]上单减， ∴此时当v ＝60时，全程运输成本y 取最小值综上，当a <144时，行驶速度v ＝5a 千米/小时时全程成本最小；当a ≥144时，行驶速度v ＝60千米/小时时全程成本最小.13分 20.【解析】(1)设动点M (x ，y )，依题意有：y x －2·y x ＋2＝m4(m ≠0)整理得x 24－y 2m ＝1 (x ≠±2)，即为动点M 的轨迹方程，3分m >0时轨迹是焦点在x 轴上的双曲线；m ∈(－4,0)时，轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； m ＝－4时，轨迹是圆；m ∈(－∞，－4)时，轨迹是焦点在y 轴上的椭圆. 且点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在曲线上.6分(2)m ＝－3时，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)∵点A (1，t )(t >0)在轨迹M 上，∴14＋t 23＝1解得t ＝32，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，327分设k AE ＝k (k ≠0)，则直线AE 方程为：y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1并整理得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝⎛⎭⎫32－k 2－12＝0设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，∵点A ⎝⎛⎭⎫1，32在动点M 的轨迹上， ∴x E ＝4⎝⎛⎭⎫32－k 2－123＋4k 2 ③，y E ＝kx E ＋32－k ④9分又k AE ＋k AF ＝0得k AF ＝－k ，将③、④式中的k 代换成－k ，可得 x F ＝4⎝⎛⎭⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k 10分 ∴直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x F ＋x E )＋2kx F －x E∵x E ＋x F ＝8k 2－64k 2＋3，x F －x E ＝24k4k 2＋3∴k EF ＝－k ·8k 2－64k 2＋3＋2k24k 4k 2＋3＝－k (8k 2－6)＋2k (4k 2＋3)24k ＝12即直线EF 的斜率为定值，其值为12.13分21.【解析】(1)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a 1分由于0<a <1或a >1，故当x ∈(0，＋∞)时，ln a 与a x －1同号，所以 f ′(x )>0，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.3分 (2)当a >0，a ≠1时，易知f ′(0)＝0，设g (x )＝2x ＋(a x －1)ln a g ′(x )＝2＋a x (ln a )2>0 则f ′(x )在R 上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x ＝05分且x ，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：故f min (x)＝f(0)＝1，即使函数y ＝f(x)－t 有零点的t 的最小值是1.7分 (3)因为1，x 2∈[－1,1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1,1]时，|(f(x))max －(f(x))min |＝(f(x))max －(f(x))min ≥e －18分由(2)知，f(x)在[－1,0]上递减，在[0,1]上递增，所以当x ∈[－1,1]时，(f(x))min ＝f(0)＝1，(f(x))max ＝max {}f(－1)，f(1)，而f(1)－f(－1)＝(a ＋1－ln a)－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a －2ln a ，记g(t)＝t －1t－2ln t(t>0)，因为g′(t)＝1＋1t 2－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t－12≥0(当t ＝1时取等号)，所以g(t)＝t －1t －2ln t 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0，11分也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1) ①当a>1时，由f(1)－f(0)≥e －－ln a ≥e －≥e ， ②当0<a<1时，由f(－1)－f(0)≥e －1a＋ln a ≥e －≤1e，综上知，所求a 的取值范围为a ∈⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[)e ，＋∞.13分。