不等式本章练测必修5人教B版

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高中数学 3.2 均值不等式例题与探究素材新人教B版必修5

3.2 均值不等式典题精讲例1 已知a 、b 、c 是正实数，求证：cabb ac a bc ++≥a+b+c. 思路分析：由于要证的不等式两边都是三项,而我们掌握的均值不等式只有两项,所以可以考虑多次使用均值不等式.证明：∵a、b 、c 是正实数， ∴b ac a bc b ac a bc •≥+2=2c （当且仅当bac a bc =，即a=b 时，取等号）， a c ab b ac c ab b ac 22=•≥+（当且仅当c ab b ac =，即b=c 时，取等号）， a bc c ab a bc c ab •≥+2=2b （当且仅当cab a bc =，即a=c 时，取等号）. 上面3个不等式相加,得c abb ac a bc •+•+•222≥2a+2b+2c（当且仅当a=b=c 时，取等号）. ∴c ab b ac a bc ++≥a+b+c. 绿色通道：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，直接推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，其逻辑关系是A ⇒B 1⇒B 2⇒B 3⇒…⇒B n-1⇒B n ⇒B. （条件）−−−−−−−−→−必要条件逐步探求不等式成立的（结论）其思路是“由因导果”，即从“已知”，推向已知的“性质”，从而逐步推向“未知”. 变式训练已知a,b,c 都是正实数，且a+b+c=1. 求证：33232323≤+++++c b a .思路分析：本题可看成求左边式子的最大值，把左边配成积的形式，同时对等号成立的条件进行估计.证明:23)23(3)23(++≤•+a a ,同理,23)23(3)23(++≤•+b b ,23)23(3)23(++≤•+c c ,三个不等式相加，得3)23(3)23(3)23(•++•++•+b b a ≤296)(3++++c b a .整理，得33232323≤+++++c b a （当且仅当a=b=c=31时,等号成立）.例2 x ＜23时，求函数y=x+328-x 的最大值. 思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·328-x 并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧进行变形.可以变为y=21（2x-3）+328-x +23,再求最值.解：y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23， ∵当x ＜23时，3-2x ＞0，∴x x x x 2382232238223-•-≥-+-=4，当且仅当x x 238223-=-，即x=-21时,取等号. 于是y≤-4+23=25-，故函数有最大值25-. 绿色通道：本题的关键是根据分母,对整式变形，从而凑出定值，同时要兼顾到正数的前提，当然本题也可作一个代换，如令3-2x=t ，则t ＞0，把y 转化为关于t 的函数，再求最值就显得简洁明了.变式训练1 已知x ＞0，y ＞0且5x+7y=20，求xy 的最大值.思路分析：要注意均值不等式的正用和逆用，利用均值不等式求最值需三个条件：①正；②定；③相等.解：xy=351·5x·7y≤720)275(3512=+•y x . 当且仅当5x=7y ，即x=2，y=710时取等号.∴xy 的最大值为720.变式训练2 若正数a ，b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是_____________. 思路分析：本题的条件中同时存在和与积的形式,而所求的为积的范围，所以保留积的式子，把积放在不等式中去考察，方法是均值不等式放缩.或者利用函数法来解决.方法一：由ab=a+b+3≥ab 2+3（等号成立条件为a=b ），整理,得ab-ab 2-3≥0，（ab -3）（ab +1）≥0.∴ab ≥3，∴ab≥9. 方法二：由ab=a+b+3，可得b=13-+a a （a ＞0，b ＞0），∴a＞1，又ab=a·13-+a a =［（a-1）+1］13-+a a =（a+3）+13-+a a =a-1+4+9514)1(2514)1(141=+--≥+-+-=-+-a a a a a a ,等号成立条件为a-1=14-a ，即a=3. 答案：［9，+∞)例3 求y=xx sin 22sin +（0＜x ＜π）的最小值. 思路分析：在运用基本不等式求最值时，经常会出现不满足“正数、定值、等号”的情形，这就要求通过分类、换元、凑配等方法与技巧，使问题转化为符合基本不等式的模型，对于等号取不到的情形，常要讨论函数的单调性，再作出判断.本题的关键是等号取不到时，通过代换，转化为研究新的函数的单调性，再求得原来函数的最值. 解：∵0＜x ＜π，∴0＜sinx≤1.设t=2sin x，t∈（0，21］，则sinx=2t ，∴y=t+t 1（0＜t≤21）.可证明函数y=t+t 1,当t∈（0，21］时为减函数.∴当t=21，即2sin x =21，sinx=1，x=2π时，y 有最小值2+21=25.∴y min =25.黑色陷阱：本题易忽略等号成立的条件,而得出错误的解法和答案:∵0＜x ＜π，∴0＜sinx≤1.∴y=xx x x sin 22sin 2sin 22sin •≥+=2.∴y min =2. 变式训练已知函数f （x ）=xax x ++22，x∈［1，+∞).（1）当a=21时，求函数f （x ）的最小值；（2）若对任意x∈［1，+∞)，f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围.思路分析：把均值不等式与函数结合，是求函数最值的有效途径，（1）中当等号不成立时，通过研究函数的单调性求最小值.（2）中恒成立问题可转化为函数的最值问题，注意合理转化.（1）解：当a=21时，f （x ）=221++xx ， ∵f（x ）在区间［1，+∞）上为增函数， ∴f（x ）在区间［1，+∞）上的最小值为f （1）=27. （2）解法一：在区间［1，+∞）上，f （x ）=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2+2x+a ＞0恒成立.设y=x 2+2x+a ，则y=x 2+2x+a=（x+1）2+a-1在x∈［1，+∞）上递增， ∴当x=1时，y min =3+a.于是只需3+a ＞0时，函数f （x ）恒成立，故a ＞-3.解法二：f （x ）=2++xax ，x∈［1，+∞），当a≥0时，函数f （x ）的值恒为正，当a ＜0时，函数f （x ）递增，故当x=1时，f （x ）min =3+a ，于是只需3+a ＞0时，函数f （x ）＞0恒成立，故a ＞-3.解法三：在区间［1，+∞)上,f （x ）=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2+2x+a ＞0恒成立⇒a ＞-x 2-2x 恒成立. 又∵x∈［1，+∞),∴a 应大于u=-x 2-2x ，x∈［1，+∞)的最大值,∴a＞-（x+1）2+1，x=1时u 取得最大值-3， ∴a＞-3.例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元? 思路分析：利用均值不等式解决有关的应用题主要是建立数学模型,构造函数及定值,然后求最值,这里主要是建立造价的函数表达式.解：设水池底面一边的长度为x m ，另一边的长度为d m ，则d=x34800. 又设水池总造价为y 元.根据题意，得y=150×34800+120（2×3x+2×3×x 34800） =240 000+720（x+x 1600）≥240 000+720×2x·x1600=297 600，当且仅当x=x1600，即x=40时，y 取得最小值297 600.答:水池底面一边长40 m 时,总造价最低为297 600元.绿色通道：实际应用问题的求解方法：①建立目标函数；②求目标函数的最值.注意根据条件和要求的结论设变量.还要注意求最值时的三个条件.如果等号成立的条件不成立，则应该从函数的性质入手，考虑函数的单调性.变式训练设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ＜1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左、右各留5 cm 的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［32,43］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？思路分析：建立数学模型，把问题转化为函数的最值问题来解决，主要是用均值不等式及函数的性质相结合求函数最小值.解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4 840,设纸张面积为S cm 2,则S=(x+16)(λx+10)=λx 2+(16λ+10)x+160,将x=λ1022代入上式,得S=5000+)58(1044λλ+,当λλ58=,即λ=85(85＜1)时,S 取得最小值.此时高x=λ4840=88 cm,宽λx=85×88=55 cm. 如果λ∈［32,43］,可设32≤λ1＜λ2≤43,则由S 的表达式,得 S(λ1)-S(λ2)=)58)((1044)5858(104421212211λλλλλλλλ--=--+.又853221>≥λλ,故2158λλ-＞0. ∴S(λ1)-S(λ2)＜0.∴S(λ)在区间［32,43］内单调递增. 从而对于λ∈［32,43］,当λ=32时，S(λ)取得最小值.答：画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［32,43］,当λ=32时，所用纸张面积最小.问题探究问题某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第n 层楼时，环境不满意程度为n8.则此人应选第几层楼？导思：解本题的关键是基本不等式的应用. 探究：设不满意程度为y.由题意知，y=n+n8. ∵n+24828=⨯≥nn n . 当且仅当n=n8,即n=22时取等号. 但考虑到n ∈N +，∴n≈2×1.414=2.828≈3. 答：此人应选3楼，不满意度最低.。

高二数学必修5(人教B版)第三章同步检测3-4

3.4 不等式的实际应用基础巩固一、选择题1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元[答案] A[解析] 设每个涨价x 元，则利润y ＝(x ＋10)(400－20x )＝－20x 2＋200x ＋4000，∴当x ＝20040＝5时，y 取得最大值．故每个售价为95元时利润最大．2．在面积为S (S 为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r 时，扇形周长最小，这时θ、r 的值分别是( )A ．θ＝1，r ＝SB ．θ＝2，r ＝4S C ．θ＝2，r ＝3S D ．θ＝2，r ＝S[答案] D[解析] S ＝12θr 2⇒θ＝2Sr2，又扇形周长P ＝2r ＋θr ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋S r ≥4S ，当P 最小时，r ＝Sr ⇒r ＝S ，此时θ＝2.3．设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是()A．(38－373)m3B．16m3C．42m3D．14m3[答案] B[解析]设长方体长为a m，高为h m，则有2a＋2(2h)＋2(ah)＝32，即a＋2h＋ah＝16，∴16≥22ah＋ah，即(ah)2＋22·ah－16≤0，解得0<ah≤22，∴ah≤8，∴V＝2ah≤16.4．做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是() A．4.6m B．4.8mC．5m D．5.2m[答案] C[解析]设直角三角形两直角边长分别为x，y，则12xy＝1，即xy＝2.周长l＝x＋y＋x2＋y2≥2xy＋2xy＝(1＋2)×2≈4.83，当且仅当x＝y时取等号．考虑到实际问题，故选C.二、填空题5．光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[答案]11[解析]设至少需要经过这样的n块玻璃板，则，(1－110)n<13，即n·lg910<lg13∴n>lg 1 3lg 910＝－lg32lg3－1＝－0.47712×0.4771－1≈10.45.又∵n∈N＋，∴n＝11.6．建造一个容积为8m3，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为__________元．[答案]1760[解析]设水池的底面长、宽分别为x m，y m，则2xy＝8，xy＝4.水池造价为z元．则z＝120xy＋2(2x＋2y)×80＝480＋320(x＋y)≥480＋320×4＝1760.三、解答题7．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．计算：(1)仓库底面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？[解析](1)设正面铁栅长x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝yx.由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.∵x>0，y>0，∴4x＋9y≥24x·9y＝12xy.∴6S ＋S ≤160，即(S )2＋6S －160≤0. ∴0<S ≤10，∴0<S ≤100. 故S 的最大允许值为100m 2.(2)当S ＝100m 2时，4x ＝9y ，且xy ＝100. 解之得x ＝15(m)，y ＝203(m)．答：仓库面积S 的最大允许值是100m 2，此时正面铁栅长15m. 8．某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售的收入函数为R (x )＝5x －12x 2(万元)，(0≤x ≤5)，其中x 是产品生产并售出的数量．(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数．(2)年产量为多少时，企业所得利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本．(不赔钱)? [解析] (1)设利润为y .则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧R (x )－0.5－0.25x (0≤x ≤5)R (5)－0.5－0.25x (x ＞5)，∴y ＝⎩⎨⎧－12x 2＋4.75 x －0.5(0≤x ≤5)12－0.25x (x ＞5).(2)y ＝－12(x －4.75)2＋10.78125∴x ＝4.75时即年产量为475台时企业所得利润最大．(3)要使企业不亏本，须y ＞0即⎩⎨⎧0≤x ＜5－12x 2＋4.75 x －0.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧12－0.25x ＞0x ≥5. 2．65＜x ＜5或5≤x ＜48，即2.65＜x ＜48. ∴年产量在265台至4800台时，企业才会不亏本．能力提升一、选择题1．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是( )A ．计算机行业好于化工行业B ．建筑行业好于物流行业C ．机械行业最紧张D ．营销行业比贸易行业紧张 [答案] B[解析] 就业情况＝应聘人数招聘人数，计算机就业形式＝215830124620＞1，化工业就业形式＝应聘人数70436＜6528070436＜1，则A 不合适．同理，建筑行业就业形式＝应聘人数76516＜6528076516＜1，物流业就业形式＝74570招聘人数＞7457070436＞1.2．某公司从2006年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：基础工资的25%，到2008年底这位职工的工龄至少是() A．2年B．3年C．4年D．5年[答案] C[解析]设这位职工工龄至少为x年，400x＋1600＞10000·(1＋10%)2×25%，即400x＋1600＞3025，即x＞3.5625，所以至少为4年．二、填空题3．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是__________．[答案]100＜x＜400[解析]由题意可列式5%<7%×200＋4%×x 200＋x <6%，即5<1400＋4x 200＋x <6解得100<x <400.4．周长为2的直角三角形的面积的最大值为________． [答案] 3－2 2[解析] 设直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，则直角三角形的面积S ＝12ab .由已知，得a ＋b ＋c ＝2，∴a ＋b ＋a 2＋b 2＝2， ∴2＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝(2＋2)ab ， ∴ab ≤22＋2＝2－2，∴ab ≤(2－2)2＝6－42， ∴S ＝12ab ≤3－22，当且仅当a ＝b ＝2－2时，S 取最大值3－2 2.三、解答题5．假设国家收购某种农副产品的价格是120元/担，其中征税标准是每100元征税8元(叫做税率是8个百分点，即8%)，计划收购m 万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购量可增加2x 个百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定x 的取值范围．[解析] 税率降低后是(8－x )%，收购量为m (1＋2x %)万担，税收为120m(1＋2x %)(8－x )%万元，原来的税收为120m·8%万元．根据题意可得120m(1＋2x %)(8－x )%≥120m·8%·78% 即x 2＋42x －88≤0解之得－44≤x ≤2，又x ＞0，∴0＜x ≤2 ∴x 的取值范围是(0,2]．6.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积8cm 2.问x 、y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)[解析] 由题意得xy ＋14x 2＝8，∴y ＝8－x 24x ＝8x －x4(0＜x ＜42)．于是，框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2(22x ) ＝(32＋2)x ＋16x ≥46＋4 2. 当(32＋2)x ＝16x ，即x ＝8－42时等号成立．此时，x ≈2.343，y ＝22≈2.828.故当x 为2.343m ，y 为2.828m 时，用料最省．7．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？[解析] 由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f(n)，则f(n)＝50n－[12＋16＋…＋(8＋4n)]－98＝40n－2n2－98.(1)由f(n)>0得，n2－20n＋49<0，∴10－51<n<10＋51，又∵n∈N，∴n＝3,4， (17)即从第3年开始获利；(2)①年平均收入＝f(n)n＝40－2(n＋49n)≤40－2×14＝12，当且仅当n＝7时，渔船总收益为12×7＋26＝110(万元)．②f(n)＝－2(n－10)2＋102.因此当n＝10时，f(n)max＝102，总收益为102＋8＝110万元，但7<10，所以第一种方案更合算．。

人教B版必修5第三章不等式统考题

不等式历年统考题1.不等式2(24)60x m m y --++>表示的平面区域是以直线2(24)60x m m y --++= 为界的两个平面区域中的一个，且点(1,1)在这个区域内，则实数m 的取值范围是（）A.(,1)(3,)-∞-+∞B. (,1][3,)-∞-+∞C.[1,3]-D. (1,3)-2.已知 x 、y 为正实数，且lg 2lg8lg 4xy+=，则 13x y+ 的最小值是（）A.4B.8C.12D.163.已知b a ,为实数，则“0>+b a 且0>ab ”是“0>a 且0>b ”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要4.函数),0(32)(2<+-=x xx x x f 取得最大值为（） A.232-- B.322- C.232- D.232+ 5.已知y x ,满足5030x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则y x z 24+=的最小值为（） A.6- B.6 C.5 D.5-6.实数1a <是11a>的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7.设,x y 满足约束条件2602600,0.x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥≥⎩,则目标函数3z x y =+的最大值是（）A. 8B. 6C. 5D.38.已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=,若存在两项n m a a ,12a =, 则nm 41+的最小值为（） A.23 B. 52 C. 92 D.949.若关于x 的不等式24x x mx -+>的解集为}{|02x x <<，则实数m 的值为（）A.2-B. 2C. 6-D.610.已知点(,)P x y 满足条件0290y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则y x z 3-=的最小值为（）A.9B.6-C. -9D. 611.已知等比数列123,,a a a 的和为定值3(0)m m >，且公比为(0)q q >，令123t a a a =，则t 的取值范围为（） A.3(0,]m B. 3[,)m +∞C.30,()3m ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 3(),3m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.关于x 的不等式0>+b ax 的解集为)1,(-∞，则关于x 的不等式02>+-x abx 的解集为．13.不等式6|2||12|≤--+x x 的解集为14.不等式|1|2x x +>的解集为．15.不等式211x x -≥+的解集为．16.已知命题P :不等式01)3(2>+--x m mx 的解集为R ；命题Q :方程0132=++mx x 有两个不相等的负根．若P Q ∨是真命题，P Q ∧是假命题，求实数m 的取值范围．18.已知命题p ：方程2227510x mx m +++=的两个实数根中一个比2大，一个比2小；命题q ：关于x的不等式()2310mx m x -+-≤对于任意实数x 均成立.若q p ∨为真，求实数m 的取值范围.17.（满分12分）若a 为实数，解关于x 的不等式02)2(2<--+x a ax19．（ 12分）已知函数bax x x f +=2)((,a b 为常数）且方程()60f x x --=有两个实根12x =, 23x =.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（理）（Ⅱ）设12k >，解关于x 的不等式：(21)()1k x kf x x +->-. （文）（Ⅱ）设12k <，解关于x 的不等式：2221()1x kx f x x -+>-20．（本小题满分12分）设a 为正实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--. （Ⅰ）若(0)1f ≤-，求a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的最小值；(Ⅲ) 若(,)x a ∈+∞，求不等式()1f x ≥的解集.21．（本小题满分12分）已知函数2()2(22)f x x ax a =--+ （Ⅰ）解关于x 的不等式()f x x >；（Ⅱ）若()30f x +≥在区间(1,)-+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.。

高中数学第三章不等式 3.3 一元二次不等式及其解法同步训练新人教B版必修5-新人教B版高二必

3.3一元二次不等式及其解法5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知2a+1＜0，关于x 的不等式x 2-4ax-5a 2＞0的解集是( ) A.{x|x ＞5a 或x ＜-a} B.{x|x ＜5a 或x ＞-a} C.{x|-a ＜x ＜5a} D.{x|5a ＜x ＜-a} 解析：x 2-4ax-5a 2＞0⇒（x-5a ）（x+a ）＞0.∵a＜21-，∴5a＜-a.∴x＞-a 或x ＜5a.故选B.答案：B2.不等式x 2-x-2＜0的解集是___________.解析：原不等式可以变化为(x+1)(x-2)＜0,可知方程x 2-x-2=0的解为-1和2,所以,解集为:{x|-1＜x ＜2}. 答案：{x|-1＜x ＜2}3.不等式423--x x≤1的解集是___________.解析：423--x x ≤1,即423--x x -1≤0,4237--x x≤0.因为两实数的积与商是同号的,所以上述不等式同解于如下的不等式组:⎩⎨⎧≤--≠-.0)2)(37(,042x x x即⎪⎩⎪⎨⎧≥--≠.0)2)(37(,2x x x 所以,原不等式的解集为{x|x ＜2或x≥37}. 答案：{x|x ＜2或x≥37} 4.)1(-x x ＜0的解集为____________.解析：根据条件有⎩⎨⎧<->.01,0x x 即0＜x ＜1,解集为:{x|0＜x ＜1}.答案：{x|0＜x ＜1}10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|31-＜x ＜2}，则不等式cx 2+bx+a ＜0的解集为( ) A.{x|-3＜x ＜21} B.{x|x ＜-3或x ＞21}C.{x|-2＜x ＜31}D.{x|x ＜-2或x ＞31}解法一：ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|31-＜x ＜2}⇔3x 2-5x-2＜0⇔-3x 2+5x+2＞0.设a=-3k ，b=5k ，c=2k （k ＞0），则cx 2+bx+a ＜0⇔2kx 2+5kx-3k ＜0⇔2x 2+5x-3＜0⇔-3＜x ＜21，故选A.解法二：由题意知a ＜0，且a b -=（31-）+2，a c =（31-）×2，即a b =35-，a c =32-，而cx 2+bx+a ＜0⇔a c x 2+a b x+1＞0⇔32-x 235-x+1＞0⇔2x 2+5x-3＜0⇔-3＜x ＜21，所以应该选A.答案：A2.下列不等式中,解集是R 的是( )A.x 2+2x+1＞0 B.2x ＞0C.(31)x +1＞0 D.xx 121<- 解析：因为x 2+2x+1=(x+1)2≥0,所以A 不正确,又2x =|x|≥0,所以B 也不正确,而(31)x＞0,所以(31)x+1＞1＞0(x∈R ). 答案：C3.不等式21-+x x ＞0的解集是______________. 解析：21-+x x ＞0⇔（x+1）（x-2）＞0⇔x ＜-1或x ＞2.答案：{x|x ＜-1或x ＞2} 4.解下列不等式(1)x 2-x-2＞0(2)-2x 2+x+3＞0解:(1)∵Δ＞0，对应方程x 2-x-2=0的根分别为-1，2.∴不等式x 2-x-2＞0的解集：{x|x ＜-1 或x ＞2};(2)原不等式可以变为2x 2-x-3＜0. ∴对应方程2x 2-x-3=0的根分别为-1，23. ∴原不等式的解集为{x|-1＜x ＜23}. 5.解关于x 的不等式(m+3)x 2+2mx+m-2＞0(m∈R ).解:(1)当m+3=0,即m=-3时,原不等式可化为-6x-3-2＞0,即x ＜65-; (2)当m+3＞0,即m ＞-3时,Δ=4m 2-4(m+3)(m-2)=4(6-m). 当Δ≥0,即-3＜m≤6时,原不等式的解为:x ＜36+---m m m 或x ＞36+-+-m mm ;当Δ＜0,即m ＞6时,原不等式的解集为R ; (3)当m+3＜0,即m ＜-3时,Δ=4(6-m)＞0所以,解为:36+-+-m m m ＜x ＜36+---m mm .综上所述,当m ＜-3时,不等式的解集为:{x|36+-+-m m m ＜x ＜36+---m mm };m=-3时,不等式的解集为{x|x ＜65-};当-3＜m≤6时,不等式的解集为{x|x ＜36+---m m m }或x ＞36+-+-m mm .6.已知a ＞1，P ：a （x-2）+1＞0，Q ：（x-1）2＞a （x-2）+1.试寻求使得P 、Q 都成立的x 的集合.解:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧>--->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++-->⇒⎩⎨⎧+->->+-0)2)((1202)2(121)2()1(01)2(22x a x a x a x a x a x x a x x a 若1＜a ＜2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->,2,12a x x ax 或而a-（2-a 1）=a+a 1-2＞0，所以a ＞2-a 1.故x∈{x|x＞2或2-a1＜x ＜a}. 若a=2，则有x∈{x|x＞21且x≠2}. 若a ＞2，则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12x a x ax 或故x∈{x|x＞a 或2-a1＜x ＜2}. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.函数f （x ）=⎩⎨⎧≤->,1,1,1,x x x 则不等式xf （x ）-x≤2的解集为( )A.［-2，2］B.［-2，-1］∪［1，2］C.［1，2］D.［-1，2］解法一：（排除法）∵x=0时，xf （x ）-x=0≤2成立，而B 、C 中均不含有0，故排除B 、C.只需验证x=-2即可，当x=-2时，xf （x ）-x=（-2）·（-1）+2=4＞2，∴排除A 而选D.解法二：（直接法）①当x ＞1时，xf （x ）-x≤2可化为x 2-x≤2，即x 2-x-2≤0，解得-1≤x≤2.又x ＞1，∴1＜x≤2.②当x≤1时，xf （x ）-x≤2可化为-2x≤2，∴x≥-1.此时有-1≤x≤1，故适合原不等式的解集为①②两部分的并集，为［-1，2］. 答案：D2.不等式11-x ＞x+1的解集为( ) A.{x|x ＜-3} B.{x|x ＞1} C.{x|x ＜2-|∪{x|1＜x ＜2}D.{x|34＜x ＜2} 解析：原不等式可以化为11-x -(x+1)＞0,即122--x x ＞0,即(x+2)(x 2-)(x-1)＜0,由高次不等式的标根法可得C 正确.答案：C3.已知集合M={x|x 2-3x-28≤0},N={x|x 2-x-6＞0}，则M∩N 为( ) A.{x|-4≤x＜-2或3＜x≤7} B.{x|-4＜x≤-2或3≤x＜7} C.{x|x≤-2或x ＞3} D.{x|x ＜-2或x≥3}解析：M={x|-4≤x≤7},N={x|x＜-2或x ＞3},再把M 、N 两个集合对应的范围在数轴上表示出来即可看出答案. 答案：A4.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为x=1，图象与x 轴的两个交点中，一个交点的横坐标x 1∈（2，3），则有( )A.a-b-c ＞0B.a+b+c ＜0C.a+c ＜bD.3b ＜2c解析：由题意知另一交点必在（-1，0）之间，且f （-1）＞0，即a-b+c ＞0（*）.又知ab2-=1，得a=2b -，代入（*）式得21-b-b+c ＞0，即3b ＜2c.故选D. 答案：D5.若x 1、x 2是方程x 2-2kx+1-k 2=0的两个实根，则x 12+x 22的最小值是( ) A.-2 B.0 C.1 D.2解析：由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-==+≥---=∆)3(1)2(2)1()1(4)2(2212122kx x kx x k k ∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=4k 2-2（1-k 2）=6k 2-2.由①式得k 2≥21， ∴6k 2-2≥6×21-2=1.∴x 12+x 22的最小值为1. 答案：C2x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6-4-6-6-46则不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是___________________.解析：根据所给数表中函数的单调性可以看出a ＞0,且方程ax 2+bx+c=0的两个解分别为-2和3.答案：(-∞,-2)∪(3,+∞)7.某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第二至第二十层，每层1人，而电梯只允许停1次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假定乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走1层的不满意度为2，所有人的不满意度的和为S ，为使S 最小，电梯应当停在第_______________层. 解析：设电梯停在第x 层（2≤x≤20），则 S=［1+2+…+（x-3）+（x-2）］×1+［1+2+…+（19-x ）+（20-x ）］×2 =2)20(12)2(2)2(1x x x -+⨯++-+×（20-x ） =)2485421()685(2342128523222-+-=+-x x x .∵x 取正整数，∴取x=14即可. 答案：148.据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都受到影响（见右图）.从现在小时__________后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为__________.解析：设风暴中心坐标为（a ，b ），则a=3002，所以22)2300(b +＜450，即-150＜b ＜150.而20300),122(215201502300-=-=15.所以经过215（22-1）小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时. 答案：215(22-1) 15小时9.已知函数f(x)=bax x +2（a ，b 为常数）且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式： f(x)＜xkx k --+2)1(.解:（1）将x 1=3,x 2=4分别代入方程b ax x +2-x+12=0得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+.8416,939ba ba解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 所以f(x)=x x -22(x≠2).（2）不等式即为x k x k x x --+<-2)1(22,可化为xk x k x -++-2)1(2＜0, 即(x-2)(x-1)(x-k)＞0.①当1＜k ＜2，解集为x∈(1,k)∪(2+∞).②当k=2时，不等式为(x-2)2(x-1)＞0解集为x∈(1,2)∪(2,+∞). ③当k ＞2时，解集为x∈(1,2)∪(k,+∞). 10.若不等式23+>ax x 的解集为（4，b ），求实数a 、b 的值. 解法一：（换元法）设u=x （u≥0），则原不等式可化为u ＞232+au ，即au 2-u+23＜0. ∵原不等式的解集为（4，b ），∴方程au 2-u+23=0的两根分别为2、b . 由韦达定理知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+.232,12a b ab解得⎪⎩⎪⎨⎧==.36,81b a解法二：（图象法）设y 1=x ，y 2=23+ax （x≥0），其图象如上图所示，不等式x ＞ax+23的解是当y 1=x 的图象在y 2=ax+23（x≥0）的图象上方时相应的x 的取值范围.由于不等式的解集为（4，b ），故方程x =ax+23有一个解x=4，将x=4代入得2344+=a ，∴a=81，再求方程x =2381+x 的另一个解得x=36，即b=36.。

【高中数学新人教B版必修5】第三章《不等式》测试

《不等式》专项训练1．设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是（） A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ 2．不等式b ax >的解集不可能是（）A ．φB ．RC ．),(+∞a bD ．),(ab --∞ 3．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a -的值等于（） A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．104．不等式||x x x <的解集是（） A ．{|01}x x < 5．若011<<ba ，则下列结论不正确的是（） A ．22b a +ba ab D ．||||||b a b a +>+6．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为（）A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f =C ．)()(x g x f <D ．随x 值变化而变化 7．下列各式中最小值是2的是（）A ．y x ＋x yB ．4522++x x C ．tan x ＋cot x D ． xx -+228．如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,则a 的取值范围是（）A ． }8|{<a aB ． }8|{>a aC ． }8|{≥a aD ． }8|{≤a a9．若+∈R b a ,，则b a 11+与b a +1的大小关系是． 10．函数121lg +-=x xy 的定义域是．11．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．12．已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，, 则不等式3)2(≤+x f 的解集___ _ ____．13．已知()f x 是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，(2)0f =，则不等式()0xf x <的解集是___ _ ____． 14．解不等式：21582≥+-x x x15．已知1<a ，解关于x 的不等式12>-x ax．16．已知0=++c b a ，求证：0≤++ca bc ab ．17．对任意]1,1[-∈a ，函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=的值恒大于零，求x 的取值范围．18．已知函数b ax x x f ++=2)(．（1）若对任意的实数x ，都有a x x f +≥2)(，求b 的取值范围；（2）当]1,1[-∈x 时，)(x f 的最大值为M ，求证：1+≥b M ；参考答案一、选择题1．C ； 2．D ； 3．C ； 4．C ； 5．D ； 6．A ； 7．D ； 8．A ．二、填空题 9．b a b a +>+111； 10．)21,1(-； 11． 20 ； 12． ]1,(-∞；13． {|20,}x x -<<或0<x<2 三、解答题14．解：原不等式等价于：0158301720158301720215822222≤+-+-⇔≥+--+-⇔≥-+-x x x x x x x x x x x3250)5)(3()52)(6(<≤⇔≤----⇔x x x x x 或65≤<x ∴原不等式的解集为]6,5()3,25[15．解：不等式12>-x ax 可化为022)1(>-+-x x a ． ∵1<a ，∴01<-a ，则原不等式可化为0212<---x a x ，故当10<<a 时，原不等式的解集为}122|{ax x -<<；当0=a 时，原不等式的解集为φ；当0<a 时，原不等式的解集为}212|{<<-x ax ． 16．证明：法一（综合法）0=++c b a ， 0)(2=++∴c b a展开并移项得：02222≤++-=++c b a ca bc ab 0≤++∴ca bc ab法二（分析法）要证0≤++ca bc ab ，0=++c b a ，故只要证2)(c b a ca bc ab ++≤++ 即证0222≥+++++ca bc ab c b a ，也就是证0])()()[(21222≥+++++a c c b b a ，而此式显然成立，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立．法三：0=++c b a ，b a c +=-∴222223()()[()]024b b ab bc ca ab b a c ab a b a b ab a ∴++=++=-+=---=-++≤ 0≤++∴ca bc ab法四：,222ab b a ≥+ bc c b 222≥+，ca a c 222≥+ ∴由三式相加得：ca bc ab c b a ++≥++222两边同时加上)(2ca bc ab ++得：)(3)(2ca bc ab c b a ++≥++ 0=++c b a ， ∴0≤++ca bc ab17．解：设22)2()2(24)4()(-+-=-+-+=x a x a x a x a g ，则)(a g 的图象为一直线，在]1,1[-∈a 上恒大于0，故有⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(g g ，即⎩⎨⎧>+->+-02306522x x x x ，解得：1<x 或3>x ∴x 的取值范围是),3()1,(+∞⋃-∞18．解：（1）对任意的R x ∈，都有⇔+≥a x x f 2)(对任意的R x ∈，0)()2(2≥-+-+a b x a x 0)(4)2(2≤---=∆⇔a b a)(1412R a b a b ∈≥⇔+≥⇔ ∴),1[+∞∈b ．（2）证明：∵,1)1(M b a f ≤++=,1)1(M b a f ≤+-=-∴222+≥b M ，即1+≥b M ．（3）证明：由210<<a 得，0241<-<-a ∴)(x f 在]2,1[a --上是减函数，在]1,2[a-上是增函数．∴当1||≤x 时,)(x f 在2ax -=时取得最小值42a b -，在1=x 时取得最大值b a ++1．故对任意的]1,1[-∈x ，.1414111|)(|22a b a a b b a x f -≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤++⇔≤。

3.4《不等式的实际应用》课时作业(人教B版必修5)

3.4不等式的实际应用一、选择题(每题5分，共20分)1．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处【解析】设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x，运输费用y 2＝k 2x 把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x 即x ＝5时等号成立．【答案】 A2．银行计划将某资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户，为了使银行年利润不小于给M 、N 总投资的10%而又不大于总投资的15%，则给储户的回扣率最小值为( )A ．5%B ．10%C ．15%D ．20% 【解析】设给储户的回扣率为x ，由题意：⎩⎪⎨⎪⎧0.4×0.1＋0.6×0.35－x ≥0.10.4×0.1＋0.6×0.35－x ≤0.15，解得0.1≤x ≤0.15，故x 的最小值是0.1＝10%.【答案】 B3．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为止，一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1 000天D ．1 200天【解析】日平均耗资为3 2000＋n ·12·⎝⎛⎭⎫5＋n ＋4910n＝3 2000n ＋n 20＋9920≥2 3 2000n ·n 20＋9920＝80＋9920，当且仅当3 2000n ＝n 20，即n ＝800时取等号．【答案】 B4．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为( )A ．85 cm 2B ．610 cm 2C ．355 cm 2D ．20 cm 2【解析】设三角形各边长为x 、y 、z ，且x 、y 、z ∈N ＋，则x ＋y ＋z ＝20.由于在周长一定的三角形中，各边长越接近的三角形面积越大，于是当三边长为7 cm 、7 cm 、6 cm 时面积最大，则S △＝12×6×72－32＝610(cm 2)，故选B.【答案】 B二、填空题(每题5分，共10分)5．建造一个容积为8 m 2，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．【解析】设池底长x m ，则宽4xm ，总造价y ＝(4x ＋16x)×80＋4×120 ≥24x ·16x×80＋480＝1 760，当且仅当4x ＝16x即x ＝2时等号成立．【答案】 1 7606．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价格24 000元，为了减少耕地损失，决定以每年损失耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值范围是____．【解析】由题意得(20－52t )×2 4000×t %≥9 000，化简得t 2－8t ＋15≤0解得3≤t ≤5.【答案】 3≤t ≤5三、解答题(每题10分，共20分)7．某工厂建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1 200元/m 2，房屋侧面的造价为800元/m 2，屋顶的造价为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用，则建造此小房的最低总造价是多少元？【解析】设房子的长为x m ，宽为y m ，总造价为t 元，则xy ＝12.t ＝3x ·1 200＋3y ·800·2＋5 800＝1 200(3x ＋4y )＋5 800≥1 200·212xy ＋5 800＝34600(当且仅当3x ＝4y 时取等号)．故最低总造价是34 600元．8．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于(v 20)2 km ，那么这批物资全部安全到达灾区，最少需要多少小时？【解析】第一辆汽车到达用400v h ，由题意每隔(v 20)2v h 到达一辆汽车， ∴400v ＋25×(v 20)2v ＝400v ＋v 16≥2400v ×v 16＝10(h)，当且仅当400v ＝v 16，v ＝80 km/h 时取等号． ∴每辆汽车以80 km/h 的速度行驶，最少需10 h 这批物资全部安全到达灾区．9．(10分)工厂对某种原料的全年需要量是Q 吨．为保证生产，又节省开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后可立即购买．已知每次订购费用是a 元．又年保管费用率是p ，它与每次购进的数量(x 吨)及全年保管费(S 元)之间的关系是S ＝12px .问全年订购多少次才能使订购费与保管费用之和最少？并求这个最少费用的和(为简便计算，不必讨论订购次数是否为整数)．【解析】设每次购进的数量为x 吨，则全年定购费用＝a ·Q x ，全年保管费S ＝12px ，定购费与保管费之和y ＝a ·Q x ＋12px . 由于a ·Q x ＋12px ≥212paQ ＝2paQ ，当且仅当a ·Q x ＝12px ，即x ＝2aQp p时取等号，即最优批量订购数为x 0＝2aQp p(吨)，最小费用数为y min ＝2paQ (元)，全年最佳定购次数n ＝Q x 0＝2paQ 2a(次)．故全年订购2paQ 2a次，才能使全年的订购费用与保管费用之和最少，最少费用为2paQ 元．高$考じ试(题╬库。

高中数学人教B版必修5分层测评试题19不等式的实际应用含解析

＜6%，
x＋ 200
解得 x 的范围是 (100,400)．
【答案】 (100,400) 8．如图 3-4-4，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 72 dm2(图中阴影部分 )，上下空白各宽 2 dm，左右空白各宽 1 dm，则四周空白部分面积的最小值是 ______dm2.
3
图 3-4-4
学业分层测评 (十九 ) 不等式的实际应用
(建议用时： 45 分钟 )
[ 学业达标 ]
一、选择题
1．某出版社，如果以每本 2.50 元的价格发行一种图书，可发行 80 000 本．如
果一本书的定价每升高 0.1 元，发行量就减少 2 000 本，那么要使收入不低于 200
000 元，这种书的最高定价应当是 ( )
物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站 10 km 处建仓库，则土
地费用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应
建在离车站 ( )

A ．5 km 处
B．4 km 处
C．3 km 处
D.2 km 处
【解析】
设仓库建在离车站
x km 处，则土地费用
k1 y1＝ x (k1≠0)，运输费
图 3-4-6 (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米，则 DN 的长应在什么范围内？ (2)当 DN 的长度为多少时，矩形花坛 AMPN 的面积最小？并求出最小值 .【导学号： 33300101】【解】 (1)设 DN 的长为 x(x＞ 0)米，则|AN|＝(x＋2)米． ∵||DANN||＝ ||DAMC||，
耗，决定按销售收入的
t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少

高中数学必修五第三章《不等式》单元测试题含答案

高中数学必修五第三章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下四个命题：①若a >b ，则1a <1b； ②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >|b |，则a >b ； ④若a >b ，则a 2>b 2. 其中正确的是( )A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0D ．a 2－b 2<03．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x >1}，P ＝{x |x 2>1}，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝PB ．PMC ．MP D ．∁U M ∩P ＝∅4．设集合A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x －1x －4<0}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)5．在下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x ＋2x ＋1(x >0)C ．y ＝sin x ＋csc x ，x ∈(0，π2)D ．y ＝7x ＋7－x6．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(12，1)C ．(0，12)D ．(1，＋∞)7．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域内运动，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]8．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的区域为( )9．f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )<0，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，－4) C ．(－4,0)D ．(－4,0]10．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≥0组成的平面区域的面积为( )A ．2B ．1C．4 D.1 211．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是( )A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－312．设a>0，b>0.若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为( )A．8 B．4C．1 D.1 4二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．14．函数y＝13－2x－x2的定义域是________．15．如下图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各2 dm，左右空白各1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.16．已知当x >0时，不等式x 2－mx ＋4>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}． (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．18．(12分)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．19．(12分)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .20．(12分)某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工时最少？21．(12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y＝144v(v>0)．v2－58v＋1 225(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？22．(12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)和g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．(1)试解释f(0)＝10，g(0)＝20的实际意义；(2)设f (x )＝14x ＋10，g (x )＝x ＋20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？高中数学必修五第三章单元测试题《不等式》参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下四个命题：①若a >b ，则1a <1b； ②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >|b |，则a >b ； ④若a >b ，则a 2>b 2. 其中正确的是( )A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③答案 B2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0 D ．a 2－b 2<0 答案 C解析由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a 0，故选C.3．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x >1}，P ＝{x |x 2>1}，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝PB ．P MC ．MP D ．∁U M ∩P ＝∅答案 C4．设集合A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x －1x －4<0}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)答案 B解析 ∵x －1x －4<0⇔(x －1)(x －4)<0，∴1<x <4，即B ＝{x |1<x <4}，∴A ∩B ＝(3,4)，故选B.5．在下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x ＋2x ＋1(x >0) C ．y ＝sin x ＋csc x ，x ∈(0，π2)D ．y ＝7x ＋7－x 答案 D解析 y ＝x 2＋2x 的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；y ＝x ＋2x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1>2(x >0)；y ＝sin x ＋csc x ＝sin x ＋1sin x>2(0<sin x <1)；y ＝7x ＋7－x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)．6．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(12，1)C ．(0，12)D ．(1，＋∞)答案 B7．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域内运动，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]答案 C解析画可行域如图：当直线y ＝x －z 过A 点时，z min ＝－1. 当直线y ＝x －z 过B 点时，z max ＝2. ∴z ∈[－1,2]．8．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的区域为( )答案 C9．f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )<0，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，－4) C ．(－4,0) D ．(－4,0]答案 D10．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≥0组成的平面区域的面积为( )A ．2B ．1C ．4D.12答案 D 11．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3答案 D 12．设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8B ．4C ．1D.14 答案 B解析 3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14. ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．答案 (23，＋∞) 14．函数y ＝13－2x －x2的定义域是________．答案 {x |－3<x <1}15．如下图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各2 dm ，左右空白各1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是________dm 2.答案 56解析设阴影部分的高为x dm ，宽为72xdm ，则四周空白部分面积是y dm 2，由题意，得y ＝(x ＋4)(72x ＋2)－72＝8＋2(x ＋144x )≥8＋2×2x ×144x ＝56.16．已知当x >0时，不等式x 2－mx ＋4>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，4)解析由题意得当x >0时，恒有m <x ＋4x 成立．设f (x )＝x ＋4x，x >0，则有f (x )＝x ＋4x ≥2x ×4x ＝4，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．所以f (x )＝x ＋4x ，x >0的最小值是4.所以实数m 的取值范围是(－∞，4)．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．答案 (1)(2，＋∞) (2)[1,2]18．(12分)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．答案 16解析由于x >0，y >0，1x ＋9y＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋9y )＝y x ＋9x y＋10 ≥2y x ·9x y ＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y 时，等号成立，又由于1x ＋9y＝1. 所以当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.19．(12分)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .证明 ∵a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1－a ＝b ＋c ≥2bc >0，1－b ＝a ＋c ≥2ac >0，1－c ＝a ＋b ≥2ab >0.∴(1－a )(1－b )(1－c )≥2bc ·2ac ·2ab ＝8abc .∴原不等式成立．20．(12分)某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工时最少？解析设A 厂工作x 小时，B 厂工作y 小时，总工作时数为t 小时，则目标函数t ＝x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≥40，2x ＋y ≥20，x ≥0，y ≥0.可行域如图所示，而符合题意的解为此内的整点，于是问题变为要在此可行域内，找出整点(x ，y )，使t ＝x ＋y 的值最小．由图知当直线l ：y ＝－x ＋t 过Q 点时，纵截距t 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝40，2x ＋y ＝20，得Q (4,12)．答：A 厂工作4小时，B 厂工作12小时，可使所费的总工时最少．21．(12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝144v v 2－58v ＋1 225(v >0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？思路分析 (1)利用基本不等式求最大车流量，(2)转化为解不等式．解析 (1)依题意，有y ＝144v ＋1 225v－58≤1442 1 225－58＝12，当且仅当v ＝1 225v，即v ＝35时等号成立， ∴y max ＝12，即当汽车的平均速度v 为35千米/时，车流量最大为12.(2)由题意，得y ＝144v v 2－58v ＋1225>9. ∵v 2－58v ＋1225＝(v －29)2＋384>0，∴144v >9(v 2－58v ＋1225)．∴v 2－74v ＋1225<0.解得25<v <49.即汽车的平均速度应在(25,49)内．22．(12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f (x )和g (x )，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f (x )万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g (x )万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．(1)试解释f (0)＝10，g (0)＝20的实际意义；(2)设f (x )＝14x ＋10，g (x )＝x ＋20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？解析 (1)f (0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g (0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．(2)设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥f x ＝14x ＋10， ①x ≥g y ＝y ＋20， ②成立，双方均无失败的风险．由①②得y ≥14(y ＋20)＋10⇒4y －y －60≥0， ∴(y －4)(4y ＋15)≥0.∵4y ＋15>0，∴y ≥4.∴y ≥16.∴x ≥y ＋20≥4＋20＝24.∴x min ＝24，y min ＝16.即要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元．。

高中数学课时跟踪检测(十七)不等式的实际应用新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学试题

课时跟踪检测（十七）不等式的实际应用层级一学业水平达标1．某工人共加工300个零件．在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务．则改进操作方法前，每天至少要加工零件的个数为( )A ．9B ．10C ．8D ．11解析：选A 设每天至少要加工x 零件．由题意得：100x ＋200x ＋15<20，解得x >53或x <－53，设每天至少要加工9个零件． 2.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝nv100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6<s 1<8，14<s 2<17.则n 为( )A ．7B ．5C ．6D ．8解析：选C 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧6<40n 100＋1 600400<8，14<70n 100＋4 900400<17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5<n <10，52<n <9514.又n ∈N ，所以n ＝6.3．某，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本．如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2 000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 设这种书的最高定价应当为x 元，由题意得：[80 000－(x －2.5)×20 000]×x ≥200 000，解得： 52≤x ≤4，所以最高定价为4元．4．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈R)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：选C 由题意知3 000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150.5．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( )A ．500件B ．1 000件C ．2 500件D ．5 000件解析：选B 设每次进x 件费用为y 元，由y ＝10 000×100x ＋x2×2≥21 000 000x·x ＝2 000，当1 000 000x＝x ，x ＝1 000时，y 最小．6．某家庭用14.4万元购买了一辆汽车，使用中维修费用逐年上升，第n 年维修费用约为0.2n 万元，每年其他费用为0.9万元．报废损失最小指的是购车费、维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在________年后报废损失最小．解析：年平均值y ＝14.4＋0.9n ＋0.21＋2＋…＋n n ＝14.4n＋0.1n ＋1≥3.4，当且仅当14.4n＝0.1n ，即n ＝12时，年平均值最小，所以12年后报废损失最小．答案：127．某地每年销售木材约20万m 3，每立方米价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值X 围是________．解析：设按销售收入的t %征收木材税时，税金收入为y 万元，则y ＝2 400⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2)．令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900，解得3≤t ≤5. 答案：[3,5]8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．解析：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，所以一年的总运费与总存储费用之和为⎝⎛⎭⎪⎫1 600x ＋4x 万元，而1 600x ＋4x ≥160，当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小．答案：209．甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100 kg 大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？解：设两次大米的价格分别为a 元/千克，b 元/千克(a ，b >0，a ≠b )，则甲两次购买大米的平均价格是100a ＋b200＝a ＋b2元/千克；乙两次购买大米的平均价格是200100a ＋100b ＝21a ＋1b＝2aba ＋b 元/千克．∵a ＋b2－2aba ＋b ＝a ＋b 2－4ab 2a ＋b ＝a －b 22a ＋b>0，∴a ＋b 2>2aba ＋b. ∴乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．10．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费1.5元；公司B 在用户每次上的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？解：假设一次上网x 小时，则公司A 收取的费用为1.5x 元，公司B 收取的费用为x 35－x20元．若能够保证选择A 比选择B 费用少，则x 35－x20>1.5x (0<x <17)，整理得x 2－5x <0，解得0<x <5，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A 的费用少；超过5小时，选择公司B 的费用少．层级二应试能力达标1．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0<t ≤20，t ∈N)；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t 的X 围为( )A ．[15,20]B ．[10,15]C ．(10,15)D ．(0,10]解析：选B 由日销售金额为(t ＋10)(－t ＋35)≥500，解得10≤t ≤15.2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值X 围是( )A ．[15,30]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]解析：选C 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y40，∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.3．一种产品的年产量情况是第一年为a 件，第二年比第一年增长P 1%，第三年比第二年增长P 2%，且P 1＞0，P 2＞0，P 1＋P 2＝2P ，如果年平均增长x %，则有( )A ．x ＝PB ．x ≤PC ．x ≥PD ．x ＜P解析：选B 设三年后产量为y ，则y ＝a (1＋P 1%)(1＋P 2%)≤a ·⎝⎛⎭⎪⎫1＋P 1%＋1＋P 2%22＝a ·(1＋P %)2.又∵年平均增长x %，则y ＝a (1＋x %)2， ∴a (1＋x %)2≤a (1＋P %)2，∴x ≤P .4．某商店销售某种商品，每件获利20元时，销售量为m 件，为了促销，拟采用每销售1件商品向顾客赠送1件小礼品的办法．试验表明赠送价值为n (n ∈N ＋)元的礼品比赠送价值为n －1元的礼品销售量增加了10%，为了获得最大利润，应赠送的礼品价值为( )A ．9元或10元B ．10元或11元C ．8元或9元D ．8元或10元解析：选A 设礼品价值为n 元时，总利润为a n ，则a n ＝(20－n )m (1＋10%)n＝m (20－n )1.1n(0＜n ＜20，n ∈N ＋)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧20－n·1.1≥21－n ，20－n ≥19－n ·1.1，解得9≤n ≤10.由n ∈N ＋，知n ＝9或n ＝10.故选A.5．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值X 围是________．解析：5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%，解得x 的X 围是(100,400)．答案：(100,400)6．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66，令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0，解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20.答案：207．某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x 台(x 是正整数)，且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输费和保管费共43 600元．现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．解：设每批购入x 台，运输费和保管费共y 元，则需进货3 600x次，每批进货总价值为2 000x元，设全年保管费为2 000kx (k ＞0)元．依题意得，43 600＝2 000×400k ＋3 600400×400，则k ＝120，∴y ＝3 600x ×400＋2 000kx ＝1 440 000x ＋100x ≥21 440 000x×100x ＝24 000，当且仅当1 440 000x＝100x ，即x ＝120时，等号成立．故每批进货120台时，能使资金够用．8．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的X 围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值．解：税率为P %时，销售量为(80－10P )万件，即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %，其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧8080－10P ·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6.故P 的X 围为[2,6]．(2)∵f (P )＝80(80－10P )(2≤P ≤6)为减函数， ∴当P ＝2时，厂家获得最大的销售金额，f (2)＝4 800(万元)．(3)∵0<P <8，g (P )＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．。

高中数学第三章不等式 3.2 均值不等式同步训练新人教B版必修5

3.2 均值不等式5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.对于任意实数a 、b ，下列不等式一定成立的是( )A.a+b≥ab 2B.2ba +≥ab C.a 2+b 2≥2ab D.ba ab +≥2解析：均值不等式要考虑正负情况，这里如果a 、b 不能保证是正值A 、B 、D 都不一定成立，只有C 对任意实数恒成立．也可以采用特殊值代入检验进行排除．答案：C2.已知点P(x,y)在直线x+3y-2=0上，那么代数式3x +27y的最小值是_____________. 解析：根据条件可知x+3y=2,而3x+27y=3x+33y≥233232=+y x =6,当且仅当3x=33y时取等号. 答案：6 3.函数f （x ）=x+x4+3在（-∞，-2］上( ) A.无最大值，有最小值7 B.无最大值，有最小值-1 C.有最大值7，有最小值-1 D.有最大值-1，无最小值解析：∵x≤-2，∴f（x ）=x+x 4+3=-［（-x ）+（x4-）］+3≤)4)((2x x ---+3=-1，当且仅当-x=x4-，即x=-2时取等号. ∴f（x ）有最大值-1，无最小值，故选D. 此外，该题也可利用函数f （x ）=x+x4+3在（-∞，-2］上的单调性求解. 答案：D4.若x ＞3,那么当x=_____________时,y=31-+x x 取最小值_____________. 解析：y=x+31-x =x-3+31-x +3≥31)3(2-⨯-x x +3=5,当且仅当x-3=31-x 即x=4时,y取最小值5.答案：4 510分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a 、b∈R ，且a 2+b 2=4，那么ab( )A.最大值为2，最小值为-2B.最大值为2，但无最小值C.最小值为2，但无最大值D.最大值为2，最小值为0解析：这里没有限制a 、b 的正负,则由a 2+b 2≥2|ab|即|ab|≤2,所以,-2≤ab≤2,可知最大值为2，最小值为-2. 答案：A2.设f （x ）=（21）x ，a 、b∈R +，A=f （2b a +），G=f （ab ），H=f （b a ab +2），K=f （222b a +），则A 、G 、H 、K 的大小关系是( )A.H≤G≤A≤KB.A≤K≤H≤GC.A≤K≤G≤HD.K≤A≤G≤H解析：首先由已知条件可知f （x ）在定义域内是单调递减函数,然后只需取特殊值a=1,b=2代入判断2,2,,222b a b a ab ab b a +++的大小即可. 答案：D 3.已知x=21-+a a （a ＞2），y=22)21(-b （b ＜0），则x 、y 之间的大小关系是( ) A.x ＞y B.x ＜y C.x=y D.不能确定解析：x=（a-2）+21-a +2≥21)2(2-∙-a a +2=4（当且仅当a=3时，取“=”），y=22)21()21(2--<b =4. ∴x＞y. 答案：A4.三个同学对问题“关于x 的不等式x 2+25＋|x 3-5x 2|≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路.甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值.” 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象.”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是______________.解析：由x 2+25+|x 3-5x 2|≥ax,1≤x≤12⇒a≤x+x 25+|x 2-5x|，而x+x25≤x x 252⨯=10，等号当且仅当x=5∈［1,12］时成立；且|x 2-5x|≥0，等号当且仅当x=5∈［1，12］时成立；所以，a≤［x+x25+|x 2-5x|］min =10，等号当且仅当x=5∈［1,12］时成立；故a∈(-∞,10］. 答案：a∈(-∞,10］ 5.已知x 、y∈R +，且yx 91+=1，求x+y 的最小值. 解:∵x＞0，y ＞0，yx 91+=1， ∴x+y=（y x 91+）（x+y ）=yx x y y x x y 92109∙≥+++10=6+10=16，当且仅当y x x y 9=，又y x 91+=1即⎩⎨⎧==12,4y x 时等号成立. 6.已知a ＞0,b ＞0,且a+2b=10,求y=322+++b a 的最大值.解法一:由于a ＞0,b ＞0,且a+2b=10,则有 y=322+++b a ≤30)52(2])32()2[(222=++=+++b a b a .当且仅当a+2=2b+3=215时,即a=211,b=49时,等号成立.所以y=322+++b a 的最大值为30.解法二:由于a ＞0,b ＞0,且则有y 2=(a+2)+(2b+3)+)32)(2(215)32)(2(2+++=++b a b a ≤15+［(a+2)+(2b+3)］=30. 当且仅当a+2=2b+3=215时,即a=211,b=49时,等号成立.又y ＞0,所以,y≤30. 所以y=322+++b a 的最大值为30.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列求最值过程中正确的是( ) A.若0＜x ＜π，则y=sinx+22sin 2sin 2sin 2=∙≥xx x .所以y 的最小值是22 B.若0＜x ＜π，则y=sinx+2222)sin 2sin (sin 22≥+-=xx x .所以y 的最小值是22C.若x ＞0，则y=2+x+x4≥2+x x 42∙=6.所以y 的最小值是6D.若0＜x ＜1，则y=x （4-x ）≤［2)4(x x -+］2=4.所以y 的最大值为4 解析：A 、B 、D 中等号都取不到.A 中需满足sinx=xsin 2，即sinx=2∉（0，1］；B 中由xx sin 2sin =得sinx=2∉（0，1］；D 中由x=4-x 得x=2∉（0，1）.答案：C2.函数y=1222+++x x x (x ＞-1)的图象的最低点的坐标是( )A.（1，2）B.（1，-2）C.（1，1）D.（0，2）解析：求图象的最低点的坐标，即求函数取最小值时的x,y 的值. ∵x＞-1,∴x+1＞0则y=11)1(12222+++=+++x x x x x =(x+1)+11+x ≥11)1(2+∙+x x =2∴当且仅当x+1=11+x ，即x=0或x=-2(舍去)时等式成立. 当x=0时，y=2.即当x=0时,y 取最小值2. 答案：D3.某学生在期中考试中数学、英语两门一好一差，为了在后半学期的月考及期末两次考试中提高英语成绩，他决定重点复习英语，结果两次考试英语成绩每次提高了10%，但数学成绩每次却下降了10%，这时恰好两门都得m 分，这个学生这两门的期末总成绩比期中是( ) A.提高了 B.降低了C.未提未降D.是否提高与m 的值有关解析：设期中数学成绩为x 分，英语为y 分，依题意x （1-10%）2=m ，y （1+10%）2=m ，∴x+y=m （229.011.11+）.∵229.011.11+＞2×99.029.01.11=⨯＞2，∴x+y＞2m. 答案：B4.设x 、y 为正数, 则(x+y)(yx 41+)的最小值为( ) A.6 B.9 C.12 D.15 解析：x ，y 为正数，(x+y)(y x 41+)≥1+4+yx x y 4+≥9，当且仅当y x x y 4=即y=2x 时，原式最小值为9. 答案：B5.函数y=)10(x x -（0＜x ＜10）的最大值为______________. 解析：∵0＜x ＜10,∴10-x ＞0,所以,y=x ·21010xx x -+≤-=5,当且仅当x=10-x 即x=5时等号成立. 答案：56.若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是_____________.解析：令ab =t(t ＞0),由ab=a+b+3≥2ab +3,得t 2≥2t+3,又t ＞0,所以,可得t≥3即ab ≥3,所以ab≥9.答案：ab≥97.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v 千米/时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400千米，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于（20v ）2千米，那么这批物资全部到达灾区，最少需要_____________小时.解析：从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要时间为y=40025400240025400)20(254002v v v v v v v⨯≥+=⨯+=10. 答案：10 8.求函数y=xx x )9)(4(++的最值.解:1）当x ＞0时，y=13+x+x36≥13+x x 362∙=25，当且仅当x=x36即x=6时取等号.所以当x=6时，y min =25. 2）当x ＜0时，-x ＞0，x 36-＞0,(-x)+(x36-)≥)36)((2x x --=12.∴y=13-［(-x)+(x36-)］≤13-12=1. 当且仅当-x=x36-，即x=-6时取等号，所以当x=-6时，y max =13-12=1. 9.已知a ＞b ＞0，求)(162b a b a -+的最小值.解:由a ＞b ＞0，知a-b ＞0，则b(a-b)=()(b a b -)2≤(2b a b -+)2=42a ，∴a 2+)(16b a b -≥222264264a a a a ∙≥+=16，上式中两个“≥”号中的等号当且仅当b=a-b和a 2=264a时成立，即a=22，b=2时，［)(162b a b a -+］min =16. 10.如右图，树顶A 离地面a m ，树上另一点B 离地面b m.在离地面c m 的C 处看此树，离此树多远时视角最大?解:过点C 作CD⊥AB 交AB 延长线于点 D.设∠BCD=α，∠ACB=β，CD=x.在△BCD 中，tan α=xcb -.在△ACD 中，tan （α+β）=xca -=∙-+βαβαtan tan 1tan tan ，则tan β=))((2))((2))((1c b c a b a xc b c a x b a x c b c a x b a x c b x c a x ba ---=--⨯-≤--+-=-⨯-+-,∵在(0，2π)内正切函数是增函数. ∴当且仅当x=xc b c a ))((--，即x=))((c b c a --时，视角最大.。

2019-2020年高中数学人教B版必修5单元提分卷：(9)不等式的实际应用 Word版含答案

单元提分卷（9）不等式的实际应用1、—服装厂生产某种风衣,日产量(单位:件)为 x 时,售价为p 元/件,每天的总成本为R 元,且1602,50030p x R x =-=+,要使获得的日利润不少于1300元,则该厂的日产量 x 的取值范围为( ) A. ()0,45 B. (]0,45 C. (]0,20 D. []20,452、如果一辆汽车每天行驶的路程(单位: km )比原来多19km ,那么在8天内,它行驶的路程S 就超过2200km ;如果它每天行驶的路程比原来少12?km ,那么它行驶同样的路程S 就得花9天多的时间,那么这辆汽车原来每天行驶的路程的取值范围为( )A.(259,260)B.(258,260)C.(257,260)D.(256,260) 3、做一个面积为21m ,形状为直角三角形的铁架框,在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是( ) A. 4.6?m B. 4.8m C. 5m D. 5.2m4、设计用232m 的材料制造某种长方体车厢(无盖),按交通规定车厢宽为2m ,则车厢的最大容积是( )A. (338m - B. 316mC. 3D. 314m5、将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,其销售量就减少20个,为获得最大利润,售价应定在( )A.每个95元B.每个100元C.每个105元D.每个110元6、在面积为S (S 为定值)的扇形中,当扇形中心角为θ,半径为r 时,扇形周长最小,这时θ、r 的值分别是( )A. 1,r θ==B. 2,r θ==C. 2,r θ==D. 2,r θ==7、把长为12cm 的细铁丝截成两段,各自摆成一个正三角形,那么这两个三角形的面积之和的最小值为( )A.22B. 24cmC. 2D. 28、气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n 天的维修保养费为4.910n+元(*)n N ∈,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了( ) A.600天 B.800天 C.1000天 D.1200天 9、某商场2014年中秋节前30天月饼的销售总量(单位:盒) ()f t 与时间(单位: 天)(030)t t <≤的关系大致满足2()1016f t t t =++,则该商场前t 天平均售出(如前10天平均售出的月饼(10)10f )的月饼至少为( ) A.16盒 B.18盒 C.20盒 D.27盒 10、一服装厂生产某种风衣,月生产量(单位:件)为x 时,售价为p 元/件,成本为R 元,且1602p x =-,50030R x =+,要使获得的月利润不少于1300元,则该厂的月产量x 的取值范围为( )A.(0,45)B.(0,45]C.(0,20]D.[20,45]11、某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增加%x ,八月份销售额比七月份增加%x ,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x 的最小值是__________.12、光线透过一块玻璃,其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下,至少需这样的玻璃板__________块.(参考数据: 20.3010,30.4771lg lg ==)13、现有含盐7%的盐水200克,生产含盐5%以上6%以下的盐水,设需要加入含盐4%的盐水 x 克,则 x 的取值范围是__________.14、国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,对烟酒销售征收了附加税.已知4种酒每瓶售价为70元, 不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100元要征收附加税r 元(即税率为%r ),每年的销售量将减少10r 万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,那么r 的取值范围是__________.15、一批救灾物资随26辆汽车从某市以x 千米/小时速度匀速直达灾区,已知两地公路长400千米,为安全起见,两汽车间距不得小于220x ⎛⎫ ⎪⎝⎭千米,则物资全部到灾区,最少需要__________h.17、某小区内有一个矩形花坛ABCD ,现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ,要求点B 在AM 上,点D 在AN 上,且对角线MN 过点C ,如图所示.已知3AB =米, 2AD =米.1.要使矩形AMPN 的面积大于32平方米,则DN 的长应在什么范围内?2.当DN 的长是多少时,矩形花坛AMPN 的面积最小?并求出最小值.18、某建筑工地决定建造一批简易房(房型为长方体,房高为2.5米),前后墙用2.5米高的彩色钢板,两侧用2.5米高的复合钢板,两种钢板的价格都用长度来计算(钢板的高均为2.5米,用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格),每米售价:彩色钢板为450元,复合钢板为200元.房顶用其他材料建造,每平方米的材料费为200元.每套房的材料费控制在32000元以内.1.设房前后墙的长均为 x 米,两侧墙的长均为y 米,每套房所用材料费为P 元,试用 ,x y 表示P .2.当前面墙的长度为多少时,简易房的面积最大? 并求出最大面积. 16现有含盐的食盐水200克,生产需要含盐大于且小于的食盐水,设需要加入含盐的食盐水克,则的范围是。

【高中数学新人教B版必修5】3.1.2《不等式的性质》测试

【高中数学新人教B 版必修5】3.1.2《不等式的性质》测试一．选择题：1．已知a 、b 、c 、d 均为实数，有下列命题①若ab>0,bc －ad>0，则a c －bd >0 ②若ab>0，a c －bd >0，则bc －ad>0 ③若bc －ad>0, a c >b d >0，则ab>0．其中真命题的个数是（）Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．32．若a>b>c ，则一定成立的不等式是（）Ａ．a │c │>b │c │ Ｂ．ab>ac Ｃ．a －│c │>b －│c │ Ｄ．a 1 b ，则（）Ａ．a 2>b 2 Ｂ．a b <1 Ｃ．lg(a －b)>0 Ｄ．a )21(b>c ，则下列不等式成立的是（）Ａ．c a -1>c b -1 Ｂ．c a -1<cb -1 Ｃ．ac>bc Ｄ．ac<bc 5．若a<b<0，则下列不等关系中不能成立的是（）Ａ．a 1 >b 1 Ｂ．b a -1>a1 Ｃ．│a │>│b │ Ｄ．a 2>b2 6．若a 、b 为实数，则a>b>0是a 2>b 2的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若1<a 1 <b1，则下列结论中不正确的是（） A ．log b a > log a b B ．│log b a ＋log a b │>2C ．(log a b )2<1 D ．│log b a │＋ │ log a b │>│ log b a ＋ log a b │ 8． “a>b>0” 是“ab< 222b a +”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设a>0，b>0，则不等式－b<x1<a 等价于（） A ．－b 1 < x <0或0<x<a 1 B ．－a 1<x<b1 C ．x<－a 1或x>b 1 D ．x<－b 1或x>a1 二．填空题：10．设a>1，－1<b<0，则a ，b ，－a ，－b ，－ab 按由大到小的顺序排列为_________________．11．以下结论：（1）a>b ⇒│a │>b ；（2）a>b ⇒a 2>b 2；（3）│a │>b ⇒a>b ；（4）a>│b │⇒a>b ，其中正确结论的序号是___________________．12．已知－2π≤α<β≤2π，则2βα-的范围为．三．解答题： 13．已知a>b>0,c>d>0，（1）求证：ac>bd （2）试比较d a 与c b 的大小．14．设f(x)=3ax 2+2bx+c ，若a+b+c=0，f(0)>0，f(1)>0求证：（1）a>0，－2<ab <－1 （2）函数f(x)在（0，1）内有零点．参考答案：1．D 解析：①∵bc －ad>0∴bc>ad 同时除以ab ∵ab>0∴a c >b d ∴ac －bd >0 ②∵a c －b d >0∴a c >bd ∵ab>0同时乘以ab 得bc>ad ∴bc －ad>0 ③ a c >b d >0 ∴a c －b d >0得abad bc ->0又bc －ad>0 ∴ab>0 2． C 解析：A 需要c ≠0，B 需要a>0，D 需要a 、b 、c 同号3．D4．B 解析：∵a-c>b-c>0∴c a -1<cb -1； 5．B 解析：∵a<b<0∴a 1 >b 1；∵a<b<0∴―b>―a>0∴│a │>│b │ ，a 2>b 2 6．A7．D 解析：∵1<a 1 <b1∴0<a<b<1∴0< log a b < log b a <1∴A 、B 、C 正确．∴D 不成立．实际上，D 应该取等号．8．A 解析：ab< 222b a +即a 2＋b 2-2ab>0即(a-b)2>0，只能得到a ≠b 9．D 解析：若x>0，则由x 1<a 知x>a 1；若x<0，则由－b<x 1知x<－b1 二．填空题：10．a>-ab>-b>b>-a 解析：依题意知a>-b>b>-a ，只需考虑-ab ，它是个正数，依题意│b │<－ab<│a │即-b<-ab<a ．11．（1）（4）解析：（1）∵│a │≥a 而a>b ∴│a │>b （2）必须均正（3）如a=-3,b=2（4）∵│b │≥b 而a>│b │∴a>b12．022≤-≤-βαπ解析：∵－2π≤β≤2π∴－2π≤－β≤2π，同向可加性得πβαπ≤-≤-，从而得到结论．三．解答题：13．证明：(1)∵a>b>0,c>d>0∴ac>bc,bc>bd ∴ac>bd(2)∵a>b>0,c>d>0∴d b d a >>0，c b d b >>0∴c b d a >>0 ∴d a >cb 14．证明：（1）∵f(0)>0,f(1)>0∴c>0,3a+2b+c>0再由a+b+c=0,消去b ，得a>c>0；消去c ，得a+b<0,2a+b>0．故－2<a b <－1 （2）抛物线f(x)=3ax 2+2bx+c 的顶点坐标为（a b 3-，a b ac 332-）．∵－2<a b <－1∴32331<-<a b ．由于f(a b 3-)=ab ac 332-=a c a ac 3)(32+-=a ac c a 322-+-<0而f(0)>0，f(1)>0，所以函数f(x)在（0，a b 3-）和（ab 3-，1）内各有一个零点．。

人教B版必修5不等式综合练

不等式综合练习一、选择题1．若log 2x y =-，则x y +的最小值是（）A ． 2233B ．3323 C ．233 D ．3222．,,a b c R +∈，设a b c d S a b c b c d c d a d a b=+++++++++++，则下列判断中正确的是（）A ．01S <，则函数21161x y x x x =+++的最小值为（） A ．16 B ．8C ．4D ．非上述情况 4．设0b a >>，且P =，211Q a b =+，M =， 2a b N +=，R = 则它们的大小关系是（）A ．P Q M N R <<<，则1a a +的最大值为 . 5．若,,x y z 是正数，且满足()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为______。

三、解答题1．设,,a b c R +∈，且a b c +=，求证：222333a b c +>2．已知a b c d >>>，求证：1119a b b c c a a d++≥----3．已知,,a b c R +∈，比较333a b c ++与222a b b c c a ++的大小。

高中数学第三章不等式 3.3 一元二次不等式及其解法练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高

3.3 一元二次不等式及其解法课时过关·能力提升1下列不等式中,解集是R的是()A.x2+2x+1>0B.√x2>0C.(13)x+1>0D.1x -2<1xx2+2x+1=(x+1)2≥0,所以选项A不正确;因为√x2=|x|≥0,所以选项B不正确;选项D中x≠0;因为(13)x>0,所以(13)x+1>1>0,x∈R,故选C.2已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是()A.{x|x>5a或x<-a}B.{x|x<5a或x>-a}C.{x|-a<x<5a}D.{x|5a<x<-a}2-4ax-5a2>0⇒(x-5a)(x+a)>0.∵a<-12,∴5a<-a.∴x>-a或x<5a.故选B.3已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2},则不等式cx2+bx+a<0的解集为()A.{x|-3<x<12} B.{x|x<-3或x>12}C.{x|-2<x<13} D.{x|x<-2或x>13}:ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2}⇔3x2-5x-2<0⇔-3x2+5x+2>0.设a=-3k,b=5k,c=2k(k>0),则cx2+bx+a<0⇔2kx2+5kx-3k<0⇔2x2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A.方法二:由题意知a<0,且-x x =(-13)+2,x x =(-13)×2,即x x =-53,x x =-23,而cx 2+bx+a<0⇔x x x 2+x x x+1>0⇔-23x 2-53x+1>0⇔2x 2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A .4设f (x )={2e x -1,x <2,log 3(x 2-1),x ≥2,则不等式f (x )>2的解集为()A.(1,2)∪(3,+∞)B.(√10,+∞)C.(1,2)∪(√10,+∞)D.(1,2)x<2时,令2e x-1>2,解得1<x<2.当x ≥2时,令log 3(x 2-1)>2,解得x ∈(√10,+∞).故x ∈(1,2)∪(√10,+∞).★5关于x 的方程x 2+(a 2-1)x+a-2=0的一根比1小,且另一根比1大的充要条件是()A.-1<a<1 B .a<-1或a>1 C.-2<a<1D.a<-2或a>1f (x )=x 2+(a 2-1)x+a-2,则它是开口向上的二次函数,方程的根即是函数与x 轴的交点的横坐标,因此只需f (1)<0,即1+a 2-1+a-2<0,故-2<a<1.6已知函数f (x )=√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R ,则实数k 的取值X 围为.2-6kx+(k+8)≥0恒成立,当k=0时,满足. 当k ≠0时,{x >0,x =(-6x )2-4x (x +8)≤0⇒0<k ≤1. ∴0≤k ≤1.7已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0,要使同时满足①和②的所有x 都满足③,则实数m 的取值X 围是.:由{x 2-4x +3<0,x 2-6x +8<0,解得2<x<3.③对于2<x<3恒成立,即m<-2x 2+9x 对x ∈(2,3)恒成立,所以m 只需满足小于函数-2x 2+9x 在区间(2,3)上的最小值,即当x=3时,最小值为9,但取不到最小值.所以m ≤9.方法二:{x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0⇒{1<x <32<x <4⇒2<x<3.设f (x )=2x 2-9x+m.当x ∈(2,3)时,f (x )<0恒成立. 由二次函数的图象与性质,得{x (2)≤0,x (3)≤0,即{8-18+x ≤0,18-27+x ≤0,解得m ≤9.-∞,9]8已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为.f (x )为奇函数,且当x>0时,f (x )=x 2-4x ,所以f (x )={x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0,所以原不等式等价于{x >0,x 2-4x >x 或{x <0,-x 2-4x >x .由此可解得x>5或-5<x<0. 用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).-5,0)∪(5,+∞) ★9定义在(-3,3)内的奇函数f (x ),已知f (x )在其定义域内单调递减,且f (2-a )+f (1-a-a 2)>0,则实数a 的取值X 围是.f (x )为奇函数,∴f (2-a )>-f (1-a-a 2)=f (a 2+a-1). 又f (x )在(-3,3)上单调递减,∴{-3<2-x <3,-3<1-x -x 2<3,2-x <x 2+x -1,即{-1<x <5,-1-√172<x <-1+√172,x >1或x <-3.解得1<a<√17-12, 故实数a 的取值X 围为1<a<√17-12.1,√17-12) 10解关于x 的不等式ax 2-(a+1)x+1<0.当a=0时,原不等式化为-x+1<0,所以不等式的解集是{x|x>1}.(2)当a ≠0时,原不等式可化为a (x-1)(x -1x )<0. 若a<0,则(x-1)(x -1x )>0. 因为1x <1,所以原不等式的解集为{x |x <1x 或x >1};若a>0,原不等式化为(x-1)(x -1x )<0.①当1x <1,即a>1时,不等式的解集为{x |1x<x <1}.②当1x =1,即a=1时,不等式即为(x-1)2<0,显然不等式的解集为⌀. ③当1x>1,即0<a<1时,不等式的解集为{x |1<x <1x}.综上,原不等式的解集如下:当a<0时,解集为{x |x <1x 或x >1}; 当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为{x|1<x<1x};当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为{x|1x<x<1}.11设0<α<β,已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),求不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集.,得a<0,α+β=-xx >0,αβ=xx>0.∴a<0,c<0,b>0,从而a+c-b<0.设(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为α',β',则有α'+β'=2x-xx+x-x =2x+x(x+x)x+xxx+x(x+x)=(x+1)+(x+1) (x+1)(x+1)=1x+1+1x+1,α'β'=xx+x-x =xx+xxx+x(x+x)=1x+1·1x+1.∴(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为1x+1,1 x+1.∵0<α<β,∴1x+1>1x+1>0.∴不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集为(1x+1,1x+1).★12若关于x的不等式4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,某某数m的取值X围.:因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以不等式4x+xx2-2x+3<2同解于4x+m<2x2-4x+6,即2x2-8x+6-m>0.要使原不等式对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0对任意实数x恒成立.所以需要Δ<0,即64-8(6-m)<0.整理并解得m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).方法二:由方法一,知要使4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0恒成立即可.变形为m<2x2-8x+6.设h(x)=2x2-8x+6,要使m<2x2-8x+6恒成立,只要m<h(x)min.而h(x)=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2, 所以h(x)min=-2.所以m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).。

【高中数学新人教B版必修5】3.5.1《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》测试

【高中数学新人教B 版必修5】3.5.1《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》测试一、选择题1．下列命题正确的是（）A ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 或y 的值B ．线性规划中最优解指的是使目标函数的最大值或最小值C ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域D ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解２．如右图所示的阴影部分﹙包括边界﹚对应的二元一次不等式组为 ( )A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤≤≤022010y x x y B ．⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≤02201y x x y C ．⎩⎨⎧≤+-≤≤02210y x y D ．⎩⎨⎧≤+-≤0221y x y ３．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z=2x+4y 的最小值为 ( )A ．5B ．－6C ．10D ．－10４．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种二、填空题５．已知1≤x ≤3, －1≤y ≤4,则3x+2y 的取值范围是。

６．已知10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩且u=x 2+y 2－4x －4y+8，则u 的最小值是．７．非负实数x 、y 满足y x y x y x 3,03042+⎩⎨⎧≤-+≤-+则的最大值为．三、解答题８．求满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>++<++<016340440y x y x x 的整数解（x,y ）９．设f(x)=ax 2＋bx ，且－1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围。

１０.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜. 初、高中的教育周期均为三年.根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？参考答案一、选择题１。

人教B版高中数学必修五不等式单元测试题.doc

不等式单元测试题一、选择题1．,a b 是任意实数，且a b >，则下列结论正确的是（）A.22a b >B.1b a < C.1lg()lg a b a b->- D. 33a b --< 2．若点(,)A x y 在第一象限且在236x y +=上移动，则3322log log x y + （） A 、最大值为1 B 、最小值为1 C 、最大值为2 D 、没有最大、小值3．已知集合S =R ，2{|230},{||2|2}A x x x B t t =--≤=-<，那么集合()S C A B ⋃等于 A ．}30|{≤<x x B ．R C ．}3,0|{<≤x x x 或 D ．{|1,4}x x x <-≥或4．下列各一元二次不等式中，解集为空集的是（）A ．(x +3)(x －1)>0B ．(x +4)(x －1)<0C ．x 2－2x +3<0D ．2x 2－3x －2>0 5．若0＜a ＜1，则不等式（x －a ）(x －1a)>0的解集是（） A ．(a ，1a ) B ．(1a，a ) C ．(－∞，a )∪(1a ，+∞) D ．(－∞，1a )∪(a ，+∞) 6．条件:||p x x >，条件2:q x x ≥，则p q 是的（）A 、充要条件B 、既不充分也不必要条件C 、必要不充分条件D 、充分不必要条件7．如果点p （5,b ）在平行直线6810x y -+=和 3450x y -+= 之间，则 b 应取值的整数值为（）A. 5B. -5C. 4 D . -48．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．99．设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y)的最小值为( )A.6B.9C.12D.1510．不等式212x x <++的解集是（） A 、(3,2)(0,)--+∞U B 、(,3)(2,0)-∞--U C 、(3,0)- D 、(,3)(0,)-∞-+∞U11．已知平面区域D 由以A(1，3)，B(5,2)，C(3,1)为顶点的三角形内部及边界组成，若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z x my =+取得最小值，则m 等于A. －2B. －1C. 1D.412．某工厂的年产值第二年比第一年的增长率为p 1,第三年比第二年的增长率是p 2，而这两年中的年平均增长率为p ，在p 1+p 2为定值的情况下，p 的最大值是（） A.21p p B.221p p + C.221p p D.)1)(1(21p p ++二、填空题13．不等式1-x ax ＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2},那么a 的值为__________. 14．动点P(a ，b)在不等式组20x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩≤0≥≥0表示的平面区域内部及边界上运动，则12--=a b ω的取值范围是_____________．15．已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ,若5M ∉,则实数a 的取值范围是______． 16．已知两个正实数x 、y 满足x +y =4,则使不等式x 1+y4≥m 恒成立的实数m 的取值范围是__________.三、解答题 17. 设全集为R,集合A={x ∣21log (3-x )2-≥},B={x ∣125≥+x },求)(B A C R ⋂． 18.设2()(8),f x ax b x a ab =+---不等式()0f x >的解集是（－3，2）.（1）求()f x ；（2）当函数f （x ）的定义域是[0，1]时，求函数()f x 的值域.19．解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1) 20．央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？ 21．已知函数22(),[1,)x x a f x x x++=∈+∞ (Ⅰ)当12a =时,求函数()f x 的最小值; (Ⅱ)若对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,试求实数a 的取值范围.22．已知集合},0)]13()[2(|{<+--=a x x x A B=},0)1(2|{2<+--a x a x x 其中.1≠a （1）当2=a 时，求B A I ；（2）求使A B ⊆的实数a 的取值范围不等式综合练习参考答案：一、选择题DADCC DCBBA CB二、填空题 13.21 ;14．(,2][2,)-∞-⋃+∞;15．[1,25] ;16.(－∞,49］三、解答题 17. 解：A =[-1,3) , B=(-2,3]＝B A ⋂∴[-1,3) ),3[)1,()C R +∞--∞=Y I B A （18. 解Q 不等式()0f x >的解集是（－3，2）于是不等式()0f x =的解是－3，2(3)0f -=。

人教版数学高二B版必修5单元检测第三章不等式

数学人教B必修5第三章不等式单元检测(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是()．A．若ac＞bc，则a＞bB．若a2＞b2，则a＞bC．若11a b>，则a＜bDa＜b2．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系为()．A．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤N3．不等式x2－2x－5＞2x的解集是()．A．{x|x≥5或x≤－1}B．{x|x＞5或x＜－1}C．{x|－1＜x＜5}D．{x|－1≤x≤5}4．若实数x，y满足不等式组1,1,33,x yx yx y-≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则该约束条件所围成的平面区域的面积是()．A．3 B．2C．2 D．5．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，2|0xB xx-⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则A∩B＝()．A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}6．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是11|23x x⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a＋b的值等于()．A．－10 B．－14 C．10 D．147．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，2) B．[－2,2]C．(－2,2] D．(－∞，－2)8．如果log3M＋log3N≥4，则M＋N的最小值是()．A．4 B．18 C．D．99．当变量x，y满足约束条件,34,y xx yx m≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩时，z＝x－3y的最大值为8，则实数m的值是()．A．－4 B．－3C．－2 D．－110．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是()．A．{x|－1＜x＜0} B．{x|x＜0或1＜x＜2}C．{x|0＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．设x＞0，y＞0且x＋2y＝1，则11x y+的最小值为________．12．设变量x，y满足约束条件3,1,23,x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则目标函数z＝2x＋3y的最小值为________．13．已知()1,0, 0,0, xf xx ≥⎧=⎨<⎩则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．14．要挖一个底面积为432 m2的长方体鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3 m(宽的两端)、4 m(长的两端)的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________，宽为________．15．在R上定义运算：x y＝(1－x)y，若不等式(x＋a)(x－a)＜1对任意实数x 都成立，则a的取值范围是__________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|(12)x2－x－6＜1}，B＝{x|log4(x＋a)＜1}，若A∩B＝，求实数a的取值范围．17．(本小题满分15分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．参考答案1. 答案：D A 中，若c ＜0，则不等式不成立；B 中，若a ，b 均小于0或a ＜0，则不成立；C 中，若a ＞0，b ＜0，则不成立；D 中，一定有a ≥0，b ≥0，平方法则一定成立．也可以取特殊值代入进行检验．2. 答案：A M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34＞0，所以M ＞N .3. 答案：B 不等式化为x 2－4x －5＞0，所以(x －5)(x ＋1)＞0，解得x ＜－1或x ＞5.4. 答案：C 因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故||AB =||AC =故所求面积为122S =⨯=. 5. 答案：B 由于A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}＝{x |－1≤x ≤1}，2|0x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭＝{x |0＜x ≤2}，故A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1}∩{x |0＜x ≤2}＝{x |0＜x ≤1}．6. 答案：B 由题意知，12-，13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，由韦达定理得，11,23112,23b a a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩ 解之，得a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14.7. 答案：C 当a ＝2时，不等式即－4＜0显然成立，当a －2≠0时，需要满足a －2＜0，且Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0⇒－2＜a ＜2，所以－2＜a ≤2.8. 答案：B 由题意知，M ＞0，N ＞0，M ·N ≥81，∴M ＋N≥≥18，当且仅当M ＝N ＝9时等号成立．9. 答案：A 作出可行域，平移直线x －3y ＝0，可知当目标函数经过直线y ＝x 与x ＝m 的交点(m ，m )时，取得最大值，由m －3m ＝8，得m ＝－4.10. 答案：C 由题意可画出偶函数f (x )的图象，如图所示，由f (x －1)＜0，数形结合法可得，－1＜x －1＜1，∴0＜x ＜2.11. 答案：322+ 11112()(2)3322x y x y x y x y y x+=++=++≥+，当且仅当2x y y x=且x ＋2y ＝1，即222y -=，21x =-时，等号成立． 12. 答案：7 z ＝2x ＋3y233z y x =-+，求截距的最小值，画出可行域如图阴影部分所示，可知把直线23y x =-平移到经过点(2,1)时，z 取得最小值，z min ＝2×2＋3×1＝7.13. 答案：{x |x ≤1} 分类讨论：①x ≥0时，f (x )＝1，则不等式变为x ＋x ≤2，∴x ≤1，∴0≤x ≤1；②x ＜0时，f (x )＝0，则不等式变为x ·0＋x ≤2，∴x ≤2，∴x ＜0.综上所述，不等式的解集为{x |x ≤1}．14. 答案：24 m 18 m 设长方体鱼池的底面长为x m ，则宽为432x m ，则占地总面积y ＝(x ＋8)(432x ＋6)＝4328x ⨯＋6x ＋480≥768，当且仅当43286x x⨯=，即x ＝24时取得最小值．则宽为4321824=.15.答案：(12-，32)由题意可得(x＋a)(x－a)＝(1－x－a)(x－a)＜1恒成立，即x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，故1－4(－a2＋a＋1)＜0，解得13 22a-<<.16.答案：分析：首先根据条件解出两个集合中的不等式，然后把集合对应的区间在数轴上表示出来，可以根据数轴判断a满足的条件．解：由(12)x2－x－6＜1，得x2－x－6＞0，∴x＞3或x＜－2.∴A＝{x|x＞3或x＜－2}．由log4(x＋a)＜1，得0＜x＋a＜4，∴B＝{x|－a＜x＜4－a}．∵A∩B＝，∴2, 4 3.aa-≥-⎧⎨-≤⎩∴1≤a≤2即为所求．17.答案：解：(1)设题中比例系数为k，若每批购入x台，则共需分36x批，每批价值为20x元，由题意得f(x)＝36x·4＋k·20x.由x＝4时，f(x)＝52，得161805 k==.∴f(x)＝144x＋4x(0＜x≤36，x∈N＋)．(2)能．理由：由(1)知f(x)＝144x＋4x(0＜x≤36，x∈N＋)，∴144()448f x xx≥⨯=(元)．当且仅当1444xx=，即x＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，就可以使资金够用．。