2015年福建省泉州市安溪八中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

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2014-2015学年福建省泉州市安溪八中高二上学期数学期中试卷带解析(理科)

2014-2015学年福建省泉州市安溪八中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）下面的语句是命题的是（）A．指数函数是增函数吗？B．空集是任何集合的子集C．x＞2 D．画一个圆2．（5分）在等差数列3，7，11 …中，第5项为（）A．15 B．18 C．19 D．233．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+），那么a4的值为（）A．4 B．8 C．15 D．314．（5分）已知x＞1，则y=x的最小值为（）A．1 B．2 C．2 D．35．（5分）下列命题正确的是（）A．若a＞b，则B．若a•c2＞b•c2，则a＞bC．若a＞b，则a•c2＞b•c2D．若a＞b＞0，c＞d，则a•c＞b•d6．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥07．（5分）已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．128．（5分）正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若S3=3，S9=39，则S6为（）A．21 B．18 C．15 D．129．（5分）已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．10．（5分）已知数列A：a1，a2，…，a n（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③若数列A具有性质P，则a1=0；④若数列a 1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性质P，则a1+a3=2a2，其中真命题有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在题中横线上．11．（4分）1和4的等差中项为．12．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，已知a2+b2﹣c2=ab，则∠C=．13．（4分）在等差数列{a n}中，a3+a9=27﹣a6，S n表示数列{a n}的前n项和，则S11=．14．（4分）在△ABC中，a=2，b=2，C=45°，则A=．15．（4分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b ＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．17．（13分）三角形ABC中，BC=7，AB=3，且．（Ⅰ）求AC；（Ⅱ）求∠A．18．（13分）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile．货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：（Ⅰ）A处与D处之间的距离；（Ⅱ）灯塔C与D处之间的距离．19．（13分）已知p：x∈A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，q：x∈B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[1，3]，求实数m的值；（2）若p是¬q的充分条件，求实数m的取值范围．20．（14分）△ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为a、b、c，有下列两个条件：（1）a、b、c成等差数列；（2）a、b、c成等比数列，现给出三个结论：（1）；（2）；（3）．请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之．（I）组建的命题为：已知求证：①②（II）证明：21．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足（q是常数且q＞0，q≠1，）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当时，试证明a1+a2+…+a n＜；（3）设函数f（x）=log q x，b n=f（a1）+f（a2）+…+f（a n），是否存在正整数m，使对任意n∈N*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．2014-2015学年福建省泉州市安溪八中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）下面的语句是命题的是（）A．指数函数是增函数吗？B．空集是任何集合的子集C．x＞2 D．画一个圆【解答】解：能够判断真假的陈述句是命题．选项A不是陈述句，所以A不是命题；选项B，是陈述句也能够判断真假，所以B是命题．选项C，不能判断真假，不是命题；选项D，不是陈述句，不是命题．故选：B．2．（5分）在等差数列3，7，11 …中，第5项为（）A．15 B．18 C．19 D．23【解答】解：因为等差数列3，7，11 …，公差为4，所以数列的第5项：a5=a1+（5﹣1）×4=3+16=19．故选：C．3．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+），那么a4的值为（）A．4 B．8 C．15 D．31【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+），∴a2=2a1+1=2+1=3，a3=2a2+1=6+1=7，a4=2a3+1=14+1=15．故选：C．4．（5分）已知x＞1，则y=x的最小值为（）A．1 B．2 C．2 D．3【解答】解：∵x＞1，∴=．当且仅当，即x=2时取等号故选：D．5．（5分）下列命题正确的是（）A．若a＞b，则B．若a•c2＞b•c2，则a＞bC．若a＞b，则a•c2＞b•c2D．若a＞b＞0，c＞d，则a•c＞b•d【解答】解：A．取a＞0＞b，则不成立，不正确；B．∵a•c2＞b•c2，∴a＞b，正确；C．若c=0时，虽然a＞b，但是a•c2=b•c2=0，故C不正确；D．若5＞2＞0，﹣1＞﹣2，但是5×（﹣1）＜2×（﹣2），故D不一定成立．故选：B．6．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A为真命题；“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故B为真命题；若p∧q为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故C为假命题；命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则非p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故D为真命题；故选：C．7．（5分）已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．12【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选：B．8．（5分）正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若S3=3，S9=39，则S6为（）A．21 B．18 C．15 D．12【解答】解：正项等比数列{a n}中，设S6=x，∵S3=3，S9=39，∴（x﹣3）2=3×（39﹣x），解得x=12，或x=﹣9（舍）．故S6为12．故选：D．9．（5分）已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．【解答】解：由题得，又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=﹣3∴b2（a2﹣a1）=﹣8．故选：B．10．（5分）已知数列A：a1，a2，…，a n（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③若数列A具有性质P，则a1=0；④若数列a1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性质P，则a1+a3=2a2，其中真命题有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵对任意i，j（1≤i≤j≤n），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是该数列中的项，①数列0，1，3中，a2+a3=1+3=4和a3﹣a2=3﹣1=2都不是该数列中的数，故①不正确；②数列0，2，4，6，a j+a i与a j﹣a i（1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，并且a4﹣a3=2是该数列中的项，故②正确；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n﹣a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④∵数列a1，a2，a3具有性质P，0≤a1＜a2＜a3∴a1+a3与a3﹣a1至少有一个是该数列中的一项，且a1=0，1°若a1+a3是该数列中的一项，则a1+a3=a3，∴a1=0，易知a2+a3不是该数列的项∴a3﹣a2=a2，∴a1+a3=2a22°若a3﹣a1是该数列中的一项，则a3﹣a1=a1或a2或a3①若a3﹣a1=a3同1°，②若a3﹣a1=a2，则a3=a2，与a2＜a3矛盾，③a 3﹣a1=a1，则a3=2a1综上a1+a3=2a2，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在题中横线上．11．（4分）1和4的等差中项为．【解答】解：1和4的等差中项为：=．故答案为：．12．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，已知a2+b2﹣c2=ab，则∠C=45°．【解答】解：∵a2+b2﹣c2=ab∴根据余弦定理得：cosC===，又C为三角形的内角，则∠C=45°．故答案为：45°13．（4分）在等差数列{a n}中，a3+a9=27﹣a6，S n表示数列{a n}的前n项和，则S11=99．【解答】解：由题意得，a3+a9=27﹣a6，根据等差数列的性质得，2a6=27﹣a6，解得a6=9，所以S11==11a6=99，故答案为：99．14．（4分）在△ABC中，a=2，b=2，C=45°，则A=45°．【解答】解：∵在△ABC中，，∴由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcosC=4+8﹣2×2×2×cos45°=4，可得c=2由此可得cosA===∵A是三角形的内角，∴A=45°故答案为：45°15．（4分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b ＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为4．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（1，4），由图易得目标函数在（1，4）取最大值8，即8=ab+4，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故答案为：4三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．【解答】解：（1）∵{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0，∴，解得a1=﹣10，d=2，∴a n=﹣10+（n﹣1）×2=2n﹣12．（2）∵等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3=﹣10﹣8﹣6=﹣24，∴q===﹣3，∴{b n}的前n项和公式：S n==2﹣2（﹣3）n．17．（13分）三角形ABC中，BC=7，AB=3，且．（Ⅰ）求AC；（Ⅱ）求∠A．【解答】解：（Ⅰ）由AB=3，根据正弦定理得：（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：，所以∠A=120°．（12分）18．（13分）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile．货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：（Ⅰ）A处与D处之间的距离；（Ⅱ）灯塔C与D处之间的距离．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°由正弦定理得（Ⅱ）在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=．所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．19．（13分）已知p：x∈A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，q：x∈B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[1，3]，求实数m的值；（2）若p是¬q的充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣3≤x≤m+3}．（1）∵A∩B=[1，3]∴∴，∴m=4；（2）∵p是¬q的充分条件，∴A⊆∁R B，而C R B={x|x＜m﹣3，或x＞m+3}∴m﹣3＞3，或m+3＜﹣1，∴m＞6，或m＜﹣4．20．（14分）△ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为a、b、c，有下列两个条件：（1）a、b、c成等差数列；（2）a、b、c成等比数列，现给出三个结论：（1）；（2）；（3）．请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之．（I）组建的命题为：已知a、b、c成等差数列求证：①0＜B≤②；（II）证明：【解答】解：（I）可以组建命题：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：①0＜B≤②；（II）①∵a、b、c成等差数列∴2b=a+c，∴b=≥且B∈（0，π），∴0＜B≤②==故答案为：a、b、c成等差数列，0＜B≤，．21．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足（q是常数且q＞0，q≠1，）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当时，试证明a1+a2+…+a n＜；（3）设函数f（x）=log q x，b n=f（a1）+f（a2）+…+f（a n），是否存在正整数m，使对任意n∈N*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣1﹣1）（2分）⇒（2分）又由S1=a1=（a1﹣1）得a1=q（3分）∴数列a n是首项a1=q、公比为q的等比数列，∴a n=q•q n﹣1=q n（5分）（2）（7分）=（9分）（3）b n=log q a1+log q a2+log q a n=log q（a1a2a n）=（9分）∴=（11分）∴，即∵n=1时，∴m≤3（14分）∵m是正整数，∴m的值为1，2，3．（16分）。

2015年福建省泉州市南安一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2014-2015学年福建省泉州市南安一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i2．（5分）已知向量=（1，1），=（3，m），∥（+），则m=（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．33．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．34．（5分）设a=log32，b=ln2，c=5，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b5．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x ≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.56．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“a=2”是“函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件C．若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则￢P：∀n∈N，2n≤1000D．命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是真命题7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的个数（）①若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β；②若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α；③若m⊥β，m⊂α，则α⊥β；④若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．（5分）已知函数y=f（x）对任意的x满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A．f（0）＞f（） B．f（0）＜2f（）C．f（﹣）D．f（）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（4分）设数列{a n}是等差数列，a1+a2+a3=﹣24，a19=26，则此数列{a n}前20项和等于．12．（4分）如图，已知幂函数y=x a的图象过点P（2，4），则图中阴影部分的面积等于．13．（4分）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则角A为．14．（4分）已知，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是．15．（4分）已知P是函数y=f（x）（x∈[m，n]）图象上的任意一点，M，N该图象的两个端点，点Q满足=，•=0（其中0＜λ＜1，为x轴上的单位向量），若||≤T （T为常数）在区间[m，n]上恒成立，则称y=f（x）在区间[m，n]上具有“T级线性逼近”．现有函数：①y=x+1；②y=；③y=x2；④y=x3．则在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数的是（填写符合题意的所有序号）．三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n﹣n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．17．（13分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．18．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x+m的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最大值；（Ⅱ）若f（）=，α∈（0，），求sinα的值．19．（13分）已知=（sinx，2cosx），=（2cosx，﹣cosx），函数f（x）=﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0，求b+c 的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g （x2）的最小值．【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）已知矩阵A=（）的两个特征值为6和1，（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）求矩阵A﹣1．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为=1，（Ⅰ）写出圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求半径r的值．【选修4-5：不等式选讲】23．选修4﹣2：矩阵与变换若a，b，c为正实数且满足a+2b+3c=6，（1）求abc的最大值；（2）求++的最大值．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．2．（5分）已知向量=（1，1），=（3，m），∥（+），则m=（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【解答】解：因为向量=（1，1），，所以=（4，1+m）；又，所以1×（1+m）﹣1×4=0，解得m=3．故选：D．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选：D．4．（5分）设a=log32，b=ln2，c=5，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵1=lne＞b=ln2＞a=log32＞log31=0，，∴a＜b＜c．故选：A．5．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x ≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x），∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．故选：B．6．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“a=2”是“函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件C．若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则￢P：∀n∈N，2n≤1000D．命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是真命题【解答】解：因为命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，所以A正确；由a=2能得到函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数，反之，函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数，a不一定大于2，所以“a=2”是“函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，所以选项B正确；命题P：∃n∈N，2n＞1000，的否定为￢P：∀n∈N，2n≤1000，所以选项C正确；因为当x＜0时恒有2x＞3x，所以命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”为假命题，所以D不正确．故选：D．7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→﹣∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D，故选：C．8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：∵选项只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故ω=3，又函数的图象的第二个点是（，0）∴3×φ=π于是，∴函数的图形要向右平移个单位，故选：B．9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的个数（）①若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β；②若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α；③若m⊥β，m⊂α，则α⊥β；④若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①若m⊥α，m∥n，n∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；②若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m∥α，故②正确；③若m⊥β，m⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故③正确；④若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故④错误．故选：D．10．（5分）已知函数y=f（x）对任意的x满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A．f（0）＞f（） B．f（0）＜2f（）C．f（﹣）D．f（）【解答】解：构造函数g（x）=，则g′（x）==，∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，∵g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜f（），故A错误，∵g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜2f（）．故B正确．∵g（﹣）＜g（﹣），即＜，∴f（﹣）＜f（﹣），故C错误．∵g（）＞g（），即＞，∴f（）＞f（），故D错误，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（4分）设数列{a n}是等差数列，a1+a2+a3=﹣24，a19=26，则此数列{a n}前20项和等于180．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a2+a3=3a2=﹣24，即a2=﹣8，故a2+a19=﹣8+26=18，由等差数列的求和公式可得：数列{a n}前20项和S20==10（a1+a20）=10（a2+a19）=10×18=180．故答案为：18012．（4分）如图，已知幂函数y=x a的图象过点P（2，4），则图中阴影部分的面积等于．【解答】解：∵幂函数y=x a的图象过点P（2，4），∴4=2a，∴a=2∴幂函数为y=x2，∴阴影部分的面积等于x2dx==故选答案为．13．（4分）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则角A为30°．【解答】解：∵三角形面积为2，BC=a=2，C=60°，=absinC=×2×b×=2，即b=4，∴S△ABC∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+16﹣8=12，即c=2，∴由正弦定理=得：sinA===，∵a＜c，∴A＜C，∴A=30°．故答案为：30°14．（4分）已知，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是m．【解答】解：若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立成立只需f（x）min≥g（x）min，∵x1∈[0，2]，f（x）=x2∈[0，4]，即f（x）min=0x2∈[1，2]，g（x）=∈[，]∴g（x）min=∴0∴m故答案为：m15．（4分）已知P是函数y=f（x）（x∈[m，n]）图象上的任意一点，M，N该图象的两个端点，点Q满足=，•=0（其中0＜λ＜1，为x轴上的单位向量），若||≤T （T为常数）在区间[m，n]上恒成立，则称y=f（x）在区间[m，n]上具有“T级线性逼近”．现有函数：①y=x+1；②y=；③y=x2；④y=x3．则在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数的是①②③（填写符合题意的所有序号）．【解答】解：①M（1，2），N（2，3），设，μ∈[0，1]，则P（1+μ，2+μ）．∵点Q满足=，•=0（其中0＜λ＜1，为x轴上的单位向量），∴Q（1+λ，2+λ），∴μ﹣λ=0．∴=，∴||≤在区间[1，2]上恒成立，即y=x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数．同理可得②③在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n﹣n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=2a n﹣1，令n=1，解得a1=1．（2分）∵S n=2a n﹣1，∴…（3分）两式相减得a n=2a n﹣1，…（5分）∴{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，…（6分）∴．…（7分）（Ⅱ）解：∵b n=a n﹣n，，…（8分）=（20+21+…+2n﹣1）﹣（1+2+…+n）…（10分）=…（13分）（说明：等比求和正确得（2分），等差求和正确得1分）17．（13分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接A1C，交C1A于E，则E为A1C的中点，又点D是BC 的中点，所以DE∥A1B，…（3分）又DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，故A1B∥平面ADC1．…（5分）（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C1（0，2，4），…（6分）=（0，2，0）是平面ABA1的一个法向量，…（7分）设平面ADC1的法向量=（x，y，z）．∵=（1，1，0），=（0，2，4），∴．取z=1，得y=﹣2，x=2∴平面ADC1的法向量=（2，﹣2，1），…（9分）平面ADC1与ABA1所成的二面角为θ，∴|cosθ|=||=．…（11分）从而sinθ=，即平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为…（13分）18．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x+m的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最大值；（Ⅱ）若f（）=，α∈（0，），求sinα的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x﹣cos2x﹣1+m，∴f（）=sin﹣cos﹣1+m=m﹣1=0，即m=1，∴f（x）=sin（2x﹣），∴当2x﹣=+2kπ，即x=+kπ，k∈Z时，f（x）取最大值；（Ⅱ）f（）=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=，∵α∈（0，），∴α﹣∈（﹣，），∴cos（α﹣）==，∴sinα=sin[（α﹣）+]=[sin（α﹣）+cos（α﹣）]=×（+）=．19．（13分）已知=（sinx，2cosx），=（2cosx，﹣cosx），函数f（x）=﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0，求b+c 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得==．…（2分）故f（x）的最小正周期为π，…（3分）由（k∈Z）得对称轴的方程为．…（4分）（Ⅱ）由f（A）=0得，即，∵，∴，∴，…（6分）由正弦定理得=…（8分）∵，∴，∴，∴b+c的取值范围为（1，2]．…（10分）20．（14分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g （x2）的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则h′（t）=﹣＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，∴0＜t≤，h（t）≥h（）=﹣2ln2，故所求的最小值为﹣2ln2．【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）已知矩阵A=（）的两个特征值为6和1，（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）求矩阵A﹣1．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴矩阵A的特征多项式为：=λ2﹣（b+3）λ+3b﹣2a．∵矩阵的两个特征值为6和1，∴1和6是方程f（λ）=0的两个根．即：λ2﹣（b+3）λ+3b﹣2a=0．∴由韦达定理有，∴．（Ⅱ）∵A=，∴detA=3×4﹣2×3=6，∴A﹣1==．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为=1，（Ⅰ）写出圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求半径r的值．【解答】解：（Ⅰ）由圆C 的参数方程为（θ为参数，r ＞0），利用sin 2θ+cos 2θ=1可得圆C 的普通方程为：，由直线l 的极坐标方程为=1，展开为=1，∴直线l 的直角坐标方程为：x +y ﹣=0．（Ⅱ）圆C 的圆心C到l 的距离d==2，圆C 上的点到l 的距离的最大值为d +r=3． ∴r=1．【选修4-5：不等式选讲】23．选修4﹣2：矩阵与变换若a ，b ，c 为正实数且满足a +2b +3c=6，（1）求abc 的最大值；（2）求++的最大值．【解答】解：（1）∵6=a +2b +3c ≥3，∴abc ≤当且仅当a=2b=3c 即a=2，b=1，c=时等号成立， ∴abc 的最大值为；（2）由柯西不等式，∵×1+×1+×1≤=3，当且仅当a +1=2b +1=3c +1即a=2，b=1，c=时等号成立， ∴++的最大值为3．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

福建省泉州市安溪县2015届中考数学模拟试卷(解析版)

2015年福建省泉州市安溪县中考数学模拟试卷一、选择题每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答．1．计算：（﹣2）0=（）A．﹣2 B．2 C．1 D．02．下列式子运算正确的是（）A．a6÷a2=a4B．a2+a3=a5C．（a+1）2=a2+1 D．3a﹣2a=13．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．下列图形中，是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B．C．D．5．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）A．B．C．D．6．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度数为（）A．70°B．35°C．30°D．20°7．若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题在答题卡上相应题目的答题区域内作答．8．一种原子的直径为0.00026微米，则数据0.00026用科学记数法表示为．9．分解因式：3x2﹣12=．10．a3•a2=．11．如图，P是反比例函数y=图象上一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积S△POA=．12．某种商品的标价为200元，按标价的八折出售，这时仍可盈利25%，则这种商品的进价是元．13．正多边形的一个外角是36°，则边数n=．14．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠2=35°，则∠1=°．15．若点（3﹣x，x﹣1）在第二象限，则x的取值范围是．16．如图，△ABC的3个顶点都在5×5的网格（2015•安溪县模拟）如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BA，P是CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R．则：（1）DE=；（2）PQ+PR=．三、解答题（共89分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答．18．计算：2sin60°﹣（﹣3）2+|﹣2|﹣（﹣1）2015．19．先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=﹣3．20．如图，已知AF=BE，∠A=∠B，AC=BD，求证：∠F=∠E．21．某校组织了九年级学生英语口语模拟测试，现从中随机抽取部分学生的口语模拟测试成绩统计如下．根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中的圆心角a=°；（2）统计表中样本容量m=；（3）已知该校九年级共有400名学生，如果口语成绩达28分以上（含28分）为优秀，请估计该校九年级学生口语成绩达到优秀的总人数．22．城区学校组织“书香谜缘”灯谜竞猜比赛．某校拟从3名男生（以A1、A2、A3表示）和2名女生（以B1、B2表示）中选取3人组队参赛．（1）若从5位备选学生中随机选取1人担任队长，则选取到男生的概率是；（2）若已知男生A1选取为队长，在其余4人中选取2人作为队员，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出选取的两队员恰好是1男1女的概率．23．某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知3件甲种玩具的进价与2件乙种玩具的进价的和为142元，2件甲种玩具的进价与4件乙种玩具的进价的和为164元．（1）求每件甲、乙两种玩具的进价分别是多少？（2）如果购进甲种玩具超过10件，超出部分可以享受7折优惠．超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过10件，试帮助超市判断购进哪种玩具省钱．24．如图，A n系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，A n纸对裁后可以得到两张A n+1纸．（1）填空：A1纸面积是A2纸面积的倍，A2纸周长是A4纸周长的倍；（2）根据A n系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）25．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为2，求出△BCD的面积；（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为A（12，0），C（0，4），点D为OA边的中点，连接BD．（1）直接写出：点D的坐标：；tan∠BDA=；（2）试判定以A点为圆心，以3为半径的⊙A与直线BD有多少个公共点？（3）如图2，若点M从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→A→B运动，同时点N从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿O→C→B→A运动，当点M，N相遇时运动即停止，设运动时间为t（秒），求使得△MON为直角三角形时所有t值和取值范围．2015年福建省泉州市安溪县中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答．1．计算：（﹣2）0=（）A．﹣2 B．2 C．1 D．0【考点】零指数幂．【分析】根据任何非0数的0次幂等于1进行计算即可．【解答】解：：（﹣2）0=1．故选：C．【点评】本题主要考查了零指数幂的运算，掌握任何非0数的0次幂等于1是解题的关键．2．下列式子运算正确的是（）A．a6÷a2=a4B．a2+a3=a5C．（a+1）2=a2+1 D．3a﹣2a=1【考点】同底数幂的除法；合并同类项；完全平方公式．【分析】根据同底数幂的除法、同类项和完全平方公式判断即可．【解答】解：A、a6÷a2=a4，正确；B、a2与a3不是同类项不能合并，错误；C、（a+1）2=a2+2a+1，错误；D、3a﹣2a=a，错误；故选A．【点评】此题考查同底数幂的除法、同类项和完全平方公式，关键是根据法则进行计算．3．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差；算术平均数．【专题】常规题型．【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的同学参赛．【解答】解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙．故选：B．【点评】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．4．下列图形中，是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．【解答】解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．5．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，那么=；由AE：ED=2：1可设ED=k，得到AE=2k，BC=3k；得到=，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴=，设ED=k，则AE=2k，BC=3k；∴==，故选A．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出△DEF∽△BCF是解题的关键．6．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度数为（）A．70°B．35°C．30°D．20°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】由于直径AB⊥CD，由垂径定理知B是的中点，进而可根据等弧所对的圆心角和圆周角的数量关系求得∠A的度数．【解答】解：∵直径AB⊥CD，∴B是的中点；∴∠A=∠BOC=35°；故选B．【点评】此题主要考查的是垂径定理和圆周角定理的综合应用，理解等弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决问题的关键．7．若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】一次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题；存在型．【分析】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．【解答】解：∵a+b+c=0，且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定），∵a＜0，∴函数y=cx+a的图象与y轴负半轴相交，∵c＞0，∴函数y=cx+a的图象经过第一、三、四象限．故选C．【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出a、c的正负情况是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题在答题卡上相应题目的答题区域内作答．8．一种原子的直径为0.00026微米，则数据0.00026用科学记数法表示为 2.6×10﹣4．【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00026=2.6×10﹣4．故答案为：2.6×10﹣4．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．分解因式：3x2﹣12=3（x﹣2）（x+2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2）．故答案为：3（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．10．a3•a2=a5．【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n=a m+n．【解答】解：a3•a2=a3+2=a5．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握性质是解题的关键．11．如图，P是反比例函数y=图象上一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积S△POA=3．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】设出点P的坐标，△OAP的面积等于点P的横纵坐标的积的一半，把相关数值代入即可．【解答】解：设点P的坐标为（x，y）．∵P（x，y）在反比例函数y=的图象上，∴xy=6，∴△OPM的面积S△POA=xy=3，故答案为：3．【点评】题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．12．某种商品的标价为200元，按标价的八折出售，这时仍可盈利25%，则这种商品的进价是128元．【考点】一元一次方程的应用．【分析】设每件的进价为x元，根据八折出售可获利25%，根据：进价=标价×8折﹣获利，可得出方程：200×80%﹣25%x=x，解出即可．【解答】解：设每件的进价为x元，由题意得：200×80%=x（1+25%），解得：x=128，故答案为：128．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，关键是仔细审题，根据等量关系：进价=标价×8折﹣获利，利用方程思想解答．13．正多边形的一个外角是36°，则边数n=10．【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解答】解：360°÷36°=10．所以这个正多边形是正十边形．故答案为：10．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．14．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠2=35°，则∠1=55°．【考点】平行线的性质．【分析】如图，由平行线的性质可求得∠3，再由垂直和平角的定义可求得∠1．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2=∠3=35°，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠1=180°﹣∠ABC﹣∠3=180°﹣90°﹣35°=55°，故答案为：55．【点评】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质求得∠3的大小是解题的关键．15．若点（3﹣x，x﹣1）在第二象限，则x的取值范围是x＞3．【考点】点的坐标；解一元一次不等式组．【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．【解答】解：∵点（3﹣x，x﹣1）在第二象限，∴，解不等式①得，x＞3，解不等式②得，x＞1，所以不等式组的解集是x＞3．故答案为：x＞3．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．16．如图，△ABC的3个顶点都在5×5的网格（2015•安溪县模拟）如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BA，P是CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R．则：（1）DE=；（2）PQ+PR=．【考点】正方形的性质．【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理得出BD=，进而解答即可；（2）连接BP，过C作CM⊥BD，利用面积法求解，PQ+PR的值等于C点到BE的距离，即正方形对角线的一半．【解答】解：（1）∵边长为1的正方形ABCD，∴DB=，∴DE=﹣1；（2）连接BP，过C作CM⊥BD，如图所示：∵BC=BE，∴S△BCE=S△BPE+S△BPC=BC×PQ+BE×PR=BC×（PQ+PR）=BE×CM，∴PQ+PR=CM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，CD=BC=1，∠CBD=∠CDB=45°，∴BD=，∵BC=CD，CM⊥BD，∴M为BD中点，∴CM=BD=，即PQ+PR值是．故答案为：；．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法求解是解决问题的关键．三、解答题（共89分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答．18．计算：2sin60°﹣（﹣3）2+|﹣2|﹣（﹣1）2015．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=2×﹣9+2﹣﹣（﹣1）=﹣6．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=﹣3．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】计算题．【分析】原式利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2﹣4﹣x2﹣2x﹣1=﹣2x﹣5，当x=﹣3时，原式=6﹣5=1．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．如图，已知AF=BE，∠A=∠B，AC=BD，求证：∠F=∠E．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】利用SAS得出全等三角形，进而利用全等三角形的性质得出答案．【解答】证明：∵AC=BD，∴AD=BC，在△ADE和△BCF中∵，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴∠F=∠E．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据AC=BD，得出对应线段AD=BC，是解题关键．21．某校组织了九年级学生英语口语模拟测试，现从中随机抽取部分学生的口语模拟测试成绩统计如下．根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中的圆心角a=36°；（2）统计表中样本容量m=10；（3）已知该校九年级共有400名学生，如果口语成绩达28分以上（含28分）为优秀，请估计该校九年级学生口语成绩达到优秀的总人数．【考点】扇形统计图；用样本估计总体．【分析】（1）根据得分是26分的有8人，所占的百分比是16%即可求得总人数，则利用360°乘以得分是30分的人数所占的比例即可求解；（2）然后根据百分比的意义求得得分是27分的人数，进而求得m的值；（3）利用总人数400乘以对应的比例即可求解．【解答】解：（1）抽取的总人数是：8÷16%=50（人），则a=360×=36°，故答案是：36；（2）得分是27分的人数是50×24%=12（人），m=50﹣8﹣12﹣15﹣5=10．故答案是：10；（3）该校九年级学生口语成绩达到优秀的总人数是：400×=240（人）．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．城区学校组织“书香谜缘”灯谜竞猜比赛．某校拟从3名男生（以A1、A2、A3表示）和2名女生（以B1、B2表示）中选取3人组队参赛．（1）若从5位备选学生中随机选取1人担任队长，则选取到男生的概率是；（2）若已知男生A1选取为队长，在其余4人中选取2人作为队员，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出选取的两队员恰好是1男1女的概率．【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）先画出树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选取的两队员恰好是1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）从5位备选学生中随机选取1人担任队长，选取到男生的概率=；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中选取的两队员恰好是1男1女的结果数为8，所以选取的两队员恰好是1男1女的概率==．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．23．某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知3件甲种玩具的进价与2件乙种玩具的进价的和为142元，2件甲种玩具的进价与4件乙种玩具的进价的和为164元．（1）求每件甲、乙两种玩具的进价分别是多少？（2）如果购进甲种玩具超过10件，超出部分可以享受7折优惠．超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过10件，试帮助超市判断购进哪种玩具省钱．【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，根据“3件甲种玩具的进价与2件乙种玩具的进价的和为142元，2件甲种玩具的进价与4件乙种玩具的进价的和为164元”列出方程组解决问题；（2）设购进玩具z件（z＞10），分别表示出甲种和乙种玩具消费，建立不等式解决问题．【解答】解：（1）设甲种玩具的进价是x元，乙种玩具的进价是y元，由题意得：，解得：．答：甲种玩具的进价是30元，乙种玩具的进价是26元；（2）设购进玩具z件（z＞10），则乙种玩具消费26z元，甲种玩具消费10×30+（z﹣10）×30×0.7元，①当26z=10×30+（z﹣10）×30×0.7，解得z=30．所以当购进玩具正好30件，选择购其中一种即可；②当26z＞10×30+（z﹣10）×30×0.7，解得z＞30．所以当购进玩具超过30件，选择购甲种玩具省钱；③当26z＜10×30+（z﹣10）×30×0.7，解得z＜30．所以当购进玩具少于30件，多于10件，选择购乙种玩具省钱．【点评】此题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，关键是理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程和不等式．24．如图，A n系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，A n纸对裁后可以得到两张A n+1纸．（1）填空：A1纸面积是A2纸面积的2倍，A2纸周长是A4纸周长的2倍；（2）根据A n系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）【考点】相似多边形的性质．【分析】（1）根据A1纸对裁后可以得到两张A2纸即可得出A1纸面积是A2纸面积2倍；设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，由此可得出结论；（2）设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，求出的值即可；（3）A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半得出A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量，找出规律即可得出结论．【解答】解：（1）∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸，∴A1纸面积是A2纸面积2倍；∵设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，∴A2纸周长是A4纸周长的2倍．故答案为：2，2；（2）∵设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，∴=，即=，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1；（3）∵A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半，∴A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量为a，同理，A3纸的重量是a克，∴A8纸张的重量是（）7a克．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例是解答此题的关键．25．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为2，求出△BCD的面积；（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）本题需先根据直线过B，C两点，求得B，C的坐标，然后根据的东西是即可得出抛物线的解析式．（2）把D的横坐标代入抛物线的解析式求得纵坐标，求得四边形OBDC是梯形，可直接根据三角形面积公式求得；（3）本题首先判断出存在，首先设点P的横坐标为m，则P的纵坐标为﹣m2+m+2，再分两种情况进行讨论：当==时和当==时，得出△APQ∽△BCO，△APQ∽△CBO，分别求出点P的坐标即可．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+2分别与x轴、y轴相交于点B、C，∴B（3，0），C（0，2），将A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+bx+c得，，解得．故此抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．（2）∵点D在抛物线上，且横坐标为2，∴y=﹣×22+×2+2=2，∴D（2，2），∵C（0，2），∴CD∥AB，∴四边形OBDC是梯形，∴S△BCD=CD•OC=×2×2=2；（2）存在．如图，设点P的横坐标为m，则P的纵坐标为﹣m2+m+2，AQ=m+1，PQ=﹣m2+m+2，又∵∠COB=∠PQA=90°，∴①当==时，△APQ∽△BCO，即2（m+1）=3（﹣m2+m+2）解得：m1=2，m2=﹣1（舍去），则P（2，2），②当==时，△APQ∽△CBO，即3（m+1）=2（﹣m2+m+2），解得：m1=﹣1（不合题意，舍去），m2=，则P（，）．故符合条件的点P的坐标为P（2，2）或（，）．【点评】本题考查了抛物线解析式的求法，相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形．26．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为A（12，0），C（0，4），点D为OA边的中点，连接BD．（1）直接写出：点D的坐标：（6，0）；tan∠BDA=；（2）试判定以A点为圆心，以3为半径的⊙A与直线BD有多少个公共点？（3）如图2，若点M从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→A→B运动，同时点N从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿O→C→B→A运动，当点M，N相遇时运动即停止，设运动时间为t（秒），求使得△MON为直角三角形时所有t值和取值范围．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据点A和点C的坐标可确定出OA，OC的长，由点D是OA的中点可求得点D的坐标和AD的长，最后根据锐角三角函数的定义求解即可；（2）如图1所示，过点A作AE垂直BD，垂足为E，由勾股定理求得BD的长，然后由三角形的面积不变可求得AE的长，然后根据d和r的关系可判断出直线DB和圆A的关系，从而可知交点的个数；（3）如图2、3、4所示，由△MON为直角三角形可求得t的值和t的取值范围．【解答】解：（1）∵点A和点C的坐标分别为（12，0）和（0，4），∴OA=12，CO=4．∵四边形OABC为矩形，∴OA=BC=12，OC=AB=4．∵点D为OA的中点，∴点D的坐标为（6，0），AD=．∴tan∠BDA=．故答案为：（6，0）；．（2）如图1所示，过点A作AE垂直BD，垂足为E．在Rt△ABD中，DB==2．由三角形的面积公式可知：，即．解得：AE=．∵AE＞3，即d＞r，∴直线BD与⊙A相离．∴直线BD与⊙A没有公共点．（3）①如图2所示：∵OC=4，DA=6，∴点N从O到C需要4s，点M从D到A需要2s．∴0＜t≤2时，点N在OC上，点M在DA上．∴当0＜t≤2时，△AOM为直角三角形．②如图3所示：当MN⊥OC时，△MON是直角三角形．∵MN⊥OC，∴∠MNO=90°．∴∠MNO=∠NOA=∠OAM．∴四边形OAMN为矩形．∴ON=AM．∴t=3t﹣6．解得：t=3．∴当t=3s时，△AOM为直角三角形．③如图4所示：当点N与点C重合时，△NOM为直角三角形．∵ON=OC=4，∴3t=4．∴t=综上所述，当0＜t≤2时或t=3时或t=时，△NOM为直角三角形．【点评】本题主要考查的是矩形的性质、锐角三角函数的定义、直线和圆的位置关系、勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．。

2015年福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2014-2015学年福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.1．（5分）命题p：∀x∈R，x3+x﹣2≥0的否定是（）A．∀x∈R，x3+x﹣2＜0 B．∃x∈R，x3+x﹣2≥0C．∃x∈R，x3+x﹣2＜0 D．∀x∈R，x3+x﹣2≠02．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P（﹣1，﹣2），则sin2θ 等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．3．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a2014+a2015=96，则a1+a2015的值是（）A．24 B．48 C．96 D．1064．（5分）下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．y=2|x|B．C．y=2x﹣2﹣x D．5．（5分）设b=log32，a=ln2，c=0.5﹣0.01，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a6．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则下列说法不正确的是（）A．ω=2B．f（x）的图象关于点成中心对称C．k（x）=f（﹣）+x在R上单调递增D．已知函数g（x）=cos（ξx+η）图象与f（x）的对称轴完全相同，则ξ=27．（5分）定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意的实数，存在常数使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”，下列“关于t函数”的结论正确的是（）A．f（x）=2不是“关于t函数”B．f（x）=x是一个“关于t函数”C．“关于函数”至少有一个零点D．f（x）=sinπx不是一个“关于t函数”8．（5分）已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（﹣x）﹣x2则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=x B．y=2x﹣1 C．y=3x﹣2 D．y=﹣2x+39．（5分）已知S=•（sin+sin+sin+…+sin），则与S的值最接近的是（）A．0.99818 B．0.9999 C．1.0001 D．2.000210．（5分）若曲线y=与直线y=kx+1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.11．（4分）函数f（x）=的定义域是．12．（4分）tan600°=．13．（4分）若等比数列{a n}的首项a1=81，且a4=（2x）dx，则数列{a n}的公比是．14．（4分）已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A﹣cos2A=，则b+c与2a的大小关系为．（填＜或＞或≤或≥或=）15．（4分）对于函数f（x）=，有下列4个命题：①任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立；②f（x）=2k f（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③对任意x＞0，不等式f（x）≤恒成立，则实数k的取值范围是．④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；则其中所有真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|m﹣3≤x≤m+3，m∈R}．（Ⅰ）若A∪B={x|﹣1≤x≤6}，求实数m的值；（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．17．（13分）设数列{a n}满足a n=3a n﹣1+2（n≥2，n∈N*），且a1=2，b n=log3（a n+1）（Ⅰ）证明：数列{a n+1}为等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．18．（13分）在△ABC中，a2+c2﹣b2=acsinB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a=4，且≤A≤，求边c的取值范围．19．（13分）中国正在成为汽车生产大国，汽车保有量大增，交通拥堵日趋严重．某市有关部门进行了调研，相关数据显示，从上午7点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y=，求从上午7点到中午12点，车辆通过该路段用时最多的时刻．20．（14分）已知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx﹣b（其中b＞0，ω＞0）的最大值为2，直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若f（a）=，求sin（﹣4a）的值；（Ⅲ）对∀a∈R，在区间（a，a+s]上y=f（x）有且只有4个零点，请直接写出满足条件的所有S的值并把上述结论推广到一般情况．（不要求证明）21．（14分）已知f（x）=（x﹣1）e x+1，x∈[0，1]（Ⅰ）证明：f（x）≥0（Ⅱ）若a＜＜b在x∈（0，1）恒成立，求b﹣a的最小值．（Ⅲ）证明：f（x）图象恒在直线y=x﹣的上方．2014-2015学年福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.1．（5分）命题p：∀x∈R，x3+x﹣2≥0的否定是（）A．∀x∈R，x3+x﹣2＜0 B．∃x∈R，x3+x﹣2≥0C．∃x∈R，x3+x﹣2＜0 D．∀x∈R，x3+x﹣2≠0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∀x∈R，x3+x﹣2≥0的否定是：∃x∈R，x3+x﹣2＜0．故选：C．2．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P（﹣1，﹣2），则sin2θ 等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵角θ的终边经过点P（﹣1，﹣2），∴x=﹣1，y=﹣2，r=|OP|=，∴sinθ==，cosθ==，则sin2θ=2sinθcosθ==，故选：D．3．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a2014+a2015=96，则a1+a2015的值是（）A．24 B．48 C．96 D．106【解答】解：由等差数列的性质得，a2+a2014=a1+a2015，代入a1+a2+a2014+a2015=96，解得a1+a2015=48，故选：B．4．（5分）下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．y=2|x|B．C．y=2x﹣2﹣x D．【解答】解：对于A．有f（﹣x）=2|﹣x|=f（x），则为偶函数，不满足条件；对于B．有x，解得x∈R，即定义域关于原点对称，且有f（﹣x）+f（x）=lg（+x）+lg（﹣x）=lg（1+x2﹣x2）=0，即有f（x）为奇函数，则不满足条件；对于C．定义域R关于原点对称，且有f（﹣x）+f（x）=2﹣x﹣2x+2x﹣2﹣x=0，则为奇函数，不满足条件；对于D．定义域R关于原点对称，但f（﹣x）=﹣x≠f（x），且≠﹣f（x），则既不是奇函数，也不是偶函数，满足条件．故选：D．5．（5分）设b=log32，a=ln2，c=0.5﹣0.01，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵a=ln2＞0，ln3＞1，∴b=＜ln2，即b＜a＜1．又b=log32＞log3 =，c=0.5﹣0.01=20.01＞1综上可知：c＞a＞b．故选：B．6．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则下列说法不正确的是（）A．ω=2B．f（x）的图象关于点成中心对称C．k（x）=f（﹣）+x在R上单调递增D．已知函数g（x）=cos（ξx+η）图象与f（x）的对称轴完全相同，则ξ=2【解答】解：根据函数的图象：，所以：T=π，利用，解得：ω=2；当x=时，f（）=1，解得：A=1，Φ=，所以f（x）=sin（2x+）；所以：①A正确②B令2x+=kπ，解得：x=，当k=1时，对称中心为：；③g（x）=cos（ξx+η）图象与f（x）的对称轴完全相同，则ξ=2，由于η不确定．④函数的区间有增有减．故选：C．7．（5分）定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意的实数，存在常数使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”，下列“关于t函数”的结论正确的是（）A．f（x）=2不是“关于t函数”B．f（x）=x是一个“关于t函数”C．“关于函数”至少有一个零点D．f（x）=sinπx不是一个“关于t函数”【解答】解：对于A：f（x）=2时，令t=﹣1，可知f（x﹣1）=﹣（﹣1）f（x）=f（x）=2．故该函数是一个“关于﹣1函数”，所以A错；对于B：对于函数f（x）=x，假设存在t，使得该函数是“关于t函数”，即x+t+tx=0恒成立，即（t﹣1）x+t=0恒成立，因此需满足，无解．所以B错；对于C：因为是“关于函数”，所以f（x+）=﹣f（x）恒成立，不妨取x=x0，且f（x0），所以，所以，故在区间（x0，x0+）必有零点．故C正确．对于D：当t=1时，有sinπ（x+1）=sin（πx+π）=﹣sinπx恒成立．即t=1，所f （x）=sinπx是一个“关于1函数”．故D错误．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（﹣x）﹣x2则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=x B．y=2x﹣1 C．y=3x﹣2 D．y=﹣2x+3【解答】解：∵函数f（x）在R上满足f（x）=2f（﹣x）﹣x2，∴f（﹣x）=2f（x）﹣x2，∴f（x）=x2，∴f′（x）=2x，∴f（1）=1，f′（1）=2，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣1﹣2（x﹣1），即y=2x﹣1．故选：B．9．（5分）已知S=•（sin+sin+sin+…+sin），则与S的值最接近的是（）A．0.99818 B．0.9999 C．1.0001 D．2.0002【解答】解：把区间[0，]平均分成10000份，每一个矩形的宽为，第k高为sin ，则S=•（sin+sin+sin+…+sin）表示这20000个小矩形的面积之和，且这10000个小矩形的面积之和略大于y=sinx与x=0、x=所围成的面积．再根据定积分的定义，y=sinx与x=0、x=所围成的面积为=﹣cosx=1，故S的值略大于1，结合所给的选项，故选：C．10．（5分）若曲线y=与直线y=kx+1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：作出曲线y=的图象如图：直线y=kx+1过定点（0，1），当k=0时，两个函数只有一个交点，不满足条件，当k＞0时，两个函数有2个交点，满足条件，当k＜0时，直线y=kx+1与y=在x＞1相切时，两个函数只有一个交点，此时=kx+1，即kx2+（1﹣k）x﹣2=0，判别式△=（1﹣k）2+8k=0，k2+6k+1=0，解得：k=﹣3+2，或k=﹣3﹣2（舍去），则此时满足﹣3+2＜k＜0，综上满足条件的k的取值范围是（﹣3+2，0）∪（0，+∞），故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.11．（4分）函数f（x）=的定义域是[0，+∞）．【解答】解：由题意可得2x﹣1≥0，解不等式可得x≥0所以函数的定义域是[0，+∞）故答案为：[0，+∞）12．（4分）tan600°=．【解答】解：∵tan600°）=tan60°=．故答案为：．13．（4分）若等比数列{a n}的首项a1=81，且a4=（2x）dx，则数列{a n}的公比是．【解答】解：由已知a4=（2x）dx=x2=3，等比数列{a n}的首项a1=81，所以a4=a1q3=3，解得q=；故答案为：．14．（4分）已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A﹣cos2A=，则b+c与2a的大小关系为≤．（填＜或＞或≤或≥或=）【解答】解：∵锐角△ABC中，sin2A﹣cos2A=﹣cos2A=，即cos2A=﹣，∴2A=120°，即A=60°，设B=60°+x，0≤x＜60°，则有C=60°﹣x，＜cosx≤1，∵sinB+sinC=sin（60°+x）+sin（60°﹣x）=2sin60°cosx=cosx，2sinA=2×=，∴sinB+sinC≤2sinA，由正弦定理化简得：b+c≤2a，故答案为：≤15．（4分）对于函数f（x）=，有下列4个命题：①任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立；②f（x）=2k f（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③对任意x＞0，不等式f（x）≤恒成立，则实数k的取值范围是．④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；则其中所有真命题的序号是①②④．【解答】解：①任取x1、x2∈[0，+∞），当x1、x2∈[0，2]，|f（x1）﹣f（x2）|=|sinπx1﹣sinπx2|≤2，当x∈（2，+∞），f（x）=f（x﹣2）=（）n sinnπ，综上都有任取x1、x2∈[0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，①正确；②∵f（x）=f（x﹣2），∴f（x+2k）=（）k f（x），∴f（x）=2k f（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立，②正确；③对任意x＞0，不等式f（x）≤恒成立，则有k≥xf（x），|f（x）|≤1，当x→∞，xf（x）→∞，则实数k→+∞，∴k的取值范围不是，故③错误．④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞），当x=2时，y=sin2π﹣ln1=0，而f（x）=sinπx是周期为2的类正线曲线；当x＞2时，f（x+2k）=（）k f（x），图象只发生振幅变化，y=ln（x﹣1）为对数函数y=lnx图象向右平移1个单位得到，过定点（2，0），做上述两函数图象可知：当1＜x＜2以及x＞2时两图象各有一交点，则f（x）=有3个零点正确；故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|m﹣3≤x≤m+3，m∈R}．（Ⅰ）若A∪B={x|﹣1≤x≤6}，求实数m的值；（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设得：A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m ﹣3≤x≤m+3，m∈R}．因为A∪B={x|﹣1≤x≤6}，故，即，所以m=3．（Ⅱ）因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，故，即，解得0≤m≤2，经检验①②不会同时成立，所以0≤m≤2．17．（13分）设数列{a n}满足a n=3a n﹣1+2（n≥2，n∈N*），且a1=2，b n=log3（a n+1）（Ⅰ）证明：数列{a n+1}为等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【解答】（1）证明：∵a n=3a n﹣1+2（n≥2，n∈N*），∴a n+1=3（a n+1），﹣1又a1+1=3，∴数列{a n+1}为等比数列．（2）解：∵数列{a n+1}为等比数列，首项为3，公比为3．∴，即a n=3n﹣1．∴b n=log3（a n+1）==n．∴==．∴S n=+…+==．18．（13分）在△ABC中，a2+c2﹣b2=acsinB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a=4，且≤A≤，求边c的取值范围．【解答】解：（1）由余弦定理，可得a2+c2﹣b2=2accosB …（2分）又a2+c2﹣b2=acsinB…（3分）所以可得tanB=…（5分）又∵0＜B＜π，∴B=；…（7分）（2）由正弦定理，…（9分）得c==2+…（11分）又≤A≤，故tanA∈[，]…（12分）∴c∈[4，8]…（13分）19．（13分）中国正在成为汽车生产大国，汽车保有量大增，交通拥堵日趋严重．某市有关部门进行了调研，相关数据显示，从上午7点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y=，求从上午7点到中午12点，车辆通过该路段用时最多的时刻．【解答】解：①当7≤t＜9时，即t﹣＜，y=18sin（），故当t﹣，即t=8时，y有最大值，y max=18；②当9≤t≤10时，y=4t﹣27是增函数，故t=10时，y max=13；③当10＜t≤12时，y=﹣3（t﹣11）2+16，故t=11时，y max=16．综上可知，通过该路段用时最多的时刻为上午8点．20．（14分）已知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx﹣b（其中b＞0，ω＞0）的最大值为2，直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若f（a）=，求sin（﹣4a）的值；（Ⅲ）对∀a∈R，在区间（a，a+s]上y=f（x）有且只有4个零点，请直接写出满足条件的所有S的值并把上述结论推广到一般情况．（不要求证明）【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+bcos2ωx=sin（2ωx+φ），T=2×=π，T==，所以ω=1，解=2得b=，因为b ＞0，所以b=，故f （x ）=sin2x +cos2x=2sin （2x +），由2k π≤2x +≤+2kπ，k ∈Z 得：kπ﹣，k ∉Z ，所以函数f （x ）的单调增区间为[kπ，]，k ∉Z ，（Ⅱ）由f （a ）=得sin （2a +）=，sin （﹣4a ）=sin [﹣2（2a +）]=﹣cos [2（2a +）]=2=﹣．（Ⅲ）s=2π推广：对∀a ∈R ，在区间（a ，a +s ]上y=f （x ）有且只有n （n ∈N *）个零点，则s 的值为．若写：对∀a ∈R ，在区间（a ，a +s ]上y=f （x ）有且只有2n （n ∈N *）个零点，则s 的值为nπ．21．（14分）已知f （x ）=（x ﹣1）e x +1，x ∈[0，1] （Ⅰ）证明：f （x ）≥0 （Ⅱ）若a ＜＜b 在x ∈（0，1）恒成立，求b ﹣a 的最小值．（Ⅲ）证明：f （x ）图象恒在直线y=x ﹣的上方．【解答】解：（Ⅰ）f′（x ）=xe x ≥0 即f （x ）在[0，1]上单调递增．…（2分）所以f （x ）≥f （0）=0，即结论成立．…（3分）（Ⅱ）令g （x ）=，则g′（x ）=≥0，x ∈（0，1）…（4分）所以，当x ∈（0，1）时，g （x ）＜g （1）=e ﹣1，要使＜b ，只需b ≥e ﹣1 …（5分）要使＞a 成立，只需e x ﹣ax ﹣1＞0在x ∈（0，1）恒成立．…（6分）令h （x ）=e x ﹣ax ﹣1x ∈（0，1）则h′（x ）=e x ﹣a ，由x ∈（0，1），e x ∈（1，e ），当a ≤1时，h′（x ）≥0 此时x ∈（0，1），有h （x ）＞h （0）=0成立．所以a ≤1满足条件．当a ≥e 时，h′（x ）≤0，此时x ∈（0，1）有h （x ）＜h （0）=0，不符合题意，舍去．当1＜a ＜e 时，令h′（x ）=0，得x=lna ，可得当x ∈（0，lna ）时，h′（x ）≤0．即x ∈（0，lna ）时，h （x ）＜h （0）=0，不符合题意舍去．综上，a ≤1 …（9分）又b ≥e ﹣1，所以b ﹣a 的最小值为e ﹣2．…（10分）（Ⅲ）由题意只需证f （x ）＞x ﹣，即证（x ﹣1）e x ﹣x +＞0在[0，1]上恒成立．令k （x ）=（x ﹣1）e x ﹣x +，k′（x ）=xe x ﹣1 …（11分） k ″（x ）=（x +1）e x ＞0，即k′（x ）在[0，1]上单调递增．又＜0，k′（1）＞0，所以k′（x ）在[0，1]有唯一的解，记为x 0，且﹣1=0，即…（12分）可得当x ∈（0，x 0）时，k′（x ）≤0，当x ∈（x 0，1）时，k′（x ）≥0，所以只需最小值k （x 0）=（x 0﹣1）﹣x 0+=﹣（） …（13分）易得＜，x 0∈（，1），所以k （x ）＞0．所以结论得证．…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

福建省安溪第八中学高三数学期中考试卷人教版

福建省安溪第八中学高三数学期中考试卷人教版第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合N M R x x y y N R x x y y M ⋂∈+==∈==+则},,2|{},,|{2等于（）A ．MB ．NC ．RD ．{（2，4），（－1，1）} 2．若a ，b ∈R ，则使|a |+|b|>1成立的一个充分不必要条件是（）A ．|a +b|≥1B ．|a |≥21且|b|≥21C ．b<－1D ．a ≥13．如果直线l 将圆04222=--+y x y x 平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是（）A ．[0，2]B ．[0，1]C ．[0，21]D ．[－21，0]4．已知直线a 和平面α、β，在a a a l ,,,βαβα⊄⊄=⋂α、β内的射影分别为直线b 和c ，则b 、c 的位置关系是（）A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交，平行或异面5．若63)1(63216622106=++++++++=+a a a a x a x a x a a mx 且，则实数m 的值为（） A ．1B ．－1C ．－3D ．1或－36．双曲线12222=-by a x 的右准线与两条渐近线交于A ，B 两点，右焦点为F ，且FA ⊥FB ，则双曲线的离心率为（）A ．332 B ．2C ．3D ．2 7．已知α、β都是第二象限角，且βαcos cos >，则（）A ．α<βB ．βαsin sin >C ．βαtan tan >D ．βαcot cot <8．有一名同学在书写英文单词“error ”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率为（）A ．120119B ．109 C ．2019 D ．21 9．棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 是CC 1上两动点，且PQ=1，则三棱锥P—AQD 的体积为（）A ．8B ．316 C ．3D ．38 10．把曲线14:221=+ky x C 按向量a （1，2）平移后得曲线C 2，曲线C 2有一条准线方程为x =5，则k 的值为（）A ．±3B ．±2C ．3D ．－311．由1，3，5，…，2n －1，…构成数列{}n a ，数列{}n b 满足1,2,21-=≥=n b n a b n b 时当，则b 5等于（）A ．63B ．33C ．17D ．1512．已知函数)10(1)(≠>-=a a ax x f 且，在同一直角坐标系中，|1|1)(--==x a y x f y 与的图象可能是（）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．若A （6，m ）是抛物线px y 22=上的点，F 是抛物线的焦点，且|AF|=10，则此抛物线的焦点到准线的距离为 .14．函数x x y cos sin -=的图象可以看成是由函数x x y cos sin +=的图象向右平移得到的，则平移的最小长度为 .15．一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为 .16．正△ABC 的边长为3，D 、E 分别为BC 边上的三等分点，沿AD ，AE 折起，使B 、C两点重合于点P ，则下列结论：①AP ⊥DE ；②AP 与面PDE 所成的角的正弦值是36；③P 到平面ADE 的距离为36；④AP 与底面ADE 所成的角为.96arccos 其中正确的结论的序号为（把你认为正确的结论序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）高三（1）班，高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛.已知每盘比赛双方胜出的概率均为21. （Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？（Ⅱ）高三（1）班代表队三盘比赛中两胜一负的概率是多少？ 18．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，a R a R x a x OB x OA ,,)(2sin 3,1(),1,cos 2(2∈∈+==是常数），若.OB OA y ⋅=（Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式);(x f （Ⅱ）若]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为2，求a 的值并指出)(x f 的单调区间.19．（本小题满分12分）如图：直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1,底面ABCD 是边长为2a 的菱形，∠BAD=60°，E 为AB 中点，二面角A 1—ED —A 为60°.（Ⅰ）求证：平面A 1ED ⊥平面ABB 1A 1；（Ⅱ）求二面角A 1—ED —C 1的余弦值.20．（本小题满分12分）如图，已知三角形PAQ 顶点P （－3，0），点A 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，.2,0AQ QM AQ PA ==⋅（Ⅰ）当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹E ；（Ⅱ）设直线)1(:+=x k y l 与轨迹E 交于B 、C 两点，点D （1，0），若∠BDC 为钝角，求k 的取值范围. 21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，31=a ，前n 项和1)1)(1(21-++=n n a n S . （Ⅰ）求数列{}n a 的公差d ；（Ⅱ）记11+=n n n a a b ，且数列{}n b 的前n 项和为T n ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，试说明理由. 22．（本小题满分12分）已知函数)(x f 对任意的实数x ，y 都有.1)1(,1)(2)()()(=++++=+f y x y y f x f y x f 且（Ⅰ）若*,N x ∈试求)(x f 的表达式；（Ⅱ）若2*≥∈x N x 且时，不等式)10()7()(+-+≥a x a x f 恒成立，求实数a 的取值范围.[参考答案]一、选择题：1．B 2．C 3．A 4．D 5．D 6．B 7．B 8．C 9．D 10．C 11．C 12．D 二、填空题： 13．8； 14．2π； 15．2512； 16．①②③ 三、解答题： 17．（Ⅰ）)(12223种=⨯A ……6分（Ⅱ）设A={1班第1盘胜} B={1班第2盘胜} C={1班第3盘胜}83818181)()()(=++=++∴C B A P BC A P C AB P ……12分 18．（1）,2sin 3cos 22a x x OB OA y ++=⋅=……2分分单调减区间是的单调增区间是可解得函数分解得由取最大值时解得分分12).](32,6[:).](6,3[:)(9.1,23,3)(,]6,0[6,2626.1)62sin(2)()2(4.12sin 32cos )( Z k k kx Z k k kx x f a a a x f x x a x x f a x x x f ∈++∈+--==++∈==+∴+++=+++=∴πππππππππππ19．（Ⅰ）证明：连结BD ，在菱形ABCD 中：∠BAD=60°，∴△ABD 为正三角形,AB ED AB E ⊥∴,中点为 ……1分在直六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中：平面ABB 1A 1⊥平面ABCD 且交于AB∵ED ⊂面ABCD ∴ED ⊥面ABB 1A 1 ∴平面A 1ED ⊥平面ABB 1A 1……3分（Ⅱ）解：（解法一）由（Ⅰ）知：ED ⊥面ABB 1A 1∵A 1E ⊂面ABB 1A 1 ∴A 1E ⊥ED 直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中：AA 1⊥面ABCD由三垂线定理的逆定理知：AE ⊥ED ，∴∠A 1EA 为二面角A 1—ED —A 的平面角，∴∠A 1EA=60°…4分111111111121//,//:21//,,,DC EF DC AB D C B A ABCD AB EF AB EF F BB ===∴-中在直平行六面体则连中点取∴E 、F 、C 1、D 四点共面……5分分的余弦值为二面角中在分中在中在中在分的平面角为二面角面且面81471472722419474cos :7219434:2743:360sin 260cos :,6,11222112211122111111111111C ED A aa a a a EF A EF A a a a F A F B A Rt aa a EF AE A Rt aE A AA aAEE A AE A Rt C ED A EF A EDEF A ABB EF A ABB ED --∴=⨯⨯-+=∠∆=+=∆=+=∆=⋅===∆--∠∴⊥∴⊂⊥.147,772arccos32772arccos 3772arccos:,.3:)(11111111的余弦值为二面角所以的大小为故二面角求得的平面角为二面角可证得为二面角由已知得解法二C ED A C ED A DC C C ED C DC C A ED A ---=----=∠--∠--ππππ20．解（Ⅰ）)0)(0,(),0)(,0(),,(>=<==b b OQ a a OA y x OM 设b a AQ PA a b AQ a PA 3,0),,(),,3(2=∴=⋅-==又则①……2分⎩⎨⎧-==∴=-=-=ay b x AQQM a b AQ y b x QM 232),,(),,( 又②……4分由①②)0(42≠=⇒x x y ……6分（Ⅱ）),1(),,1(),,(),,(22112211y x DC y x DB y x OC y x OB -=-===设0,0||||cos ,,cos ||||<⋅∴<⋅⋅=∠∴∠∠⋅⋅=⋅DC DB DC DB BDC BDC BDC DC DB DC DB 为钝角 ……8分01)(212121<+++-∴y y x x x x ……③)0(0)42()1(422222≠=+-+⎩⎨⎧+==k k x k x k y x k y x y 得消去由1,24212221=-=+x x k k x x 则……④ y 1y 2=k (x 1+1)·k (x 2+1)=k 2[x 1x 2+(x 1+x 2)+1]……⑤……10分④⑤代入③得0,2222212>∆<<-⇒-<此时k k )22,0()0,22(,0⋃-∴≠的范围是k k ……12分21．（Ⅰ）由已知2,5,1)1)(12(211222212=-=∴=∴-++=+=a a d a a a a S ……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得122)1(3)1(1+=⨯-+=-+=n n d n a a n分的最小值是都成立对一切正整数使存在只要都成立对一切正整数要使分的增函数是而分分1261,,61,61))32(2161(lim lim 10)(,0)521321(21)52131(21861)32(2161)32131(21)32112112112112171515131(216)321121(21)32)(12(11111 M n M T M M n M T n T N n n T n n T T n T n n n n n n n T n n n n a a b n n n n n n n n n n n n n ≤∴≥≤∴=+-=∈∴>+-+=-+-=∴<+-=+-=+-+++----++-+-=∴+-+=++==∴∞→∞→*+++22．解：（Ⅰ）令y =1，则1)1(2)1()()1(++++=+x f x f x f42)()1(+=-+∴x x f x f ……2分412)1()2(,+⨯=-∈∴*f f N x 有时当分54)1(2)1()(432)3()4(422)2()3(+-=--+⨯=-+⨯=-x x f x f f f f f将上面各式相加得：)(33)(2+∈-+=N x x x x f ……7分（Ⅱ）33)(,22-+=≥∈*x x x f x N x 时且当恒成立即恒成立时不等式且即为当恒成立不等式)1(74,)10()7(332,.)10()7()(22-≥+-+-+≥-+≥∈+-+≥∴*x a x x a x a x x x N x a x a x f分故的最小值是分时取即当且仅当又分恒成立14.2,217411)""3141(2214)1(1749174,2222 ≤-+-∴==-=-≥--+-=-+-≥-+-∴≥a x x x x x x x x x x x a x x x x。

福建省安溪八中高三第一学段质量检测(期中)数学(理)试题.pdf

安溪八中2012-2013学年高三年第一学段质量检测数学，，则Ｍ∩Ｎ＝ ( ) Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 2．下列命题中是假命题的是（） A． B． C． D． 3．为了得到函数的图象，可将函数的图象（） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 4. 如图，圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播. 若D是DFE弧与x 轴的交点，设OD=x)，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为(图中阴影部分)，则函数的图象大致是（） 5．已知是上的减函数，那么的取值范围是（） A. B. C. D. 6. 已知实数满足则的最大值是（） A．5 B．-1 C．2 D. 7．设函数，其中是非零向量，则 “函数的图像是一条直线”的充分条件是( ) A 、 B、 C 、 D、 8．已知函数是的导函数，则函数的最大值是（）A、3B、C、D、 9．已知是上的偶函数，若将的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若，则（） A．－1006B．－1 C． D．1 10.已知函数，且关于x的方程有6个不同的实数解，若最小实数解为，则的值为（） A．-3 B．-2 C．0 D．不能确定第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．平面向量，，若与共线，则的值为____________; 12．已知是第二象限角，，则sin2=对一切实数都满足，有3个实根，则这3个实根之和为_____________; 14. 已知，设，则在y轴右侧由函数的图象与轴、直线所围成的封闭图形的面积为 _____ ; 15．设，其中. 若对一切恒成立，则; ② ； ③ 既不是奇函数也不是偶函数； ④ 的单调递增区间是； ⑤ 存在经过点的直线与函数的图象不相交．以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（本小题13分）已知集合,,. 求, ;若,求a的取值范围. （本小题13分）在△ABC中，A，B，C分别是三边a，b，c的对角．设＝(cos，sin)，＝(cos，－sin )，，的夹角为.(Ⅰ)求C的大小；已知c＝，三角形的面积S ＝，求a ＋b的值．（本小题13分）（本小题13分）已知函数时，；当时，。

福建省泉州市2015届高三上学期期末质量检查数学理含答案(DOC)

泉州市2015届普通中学高中毕业班单科质量检查理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第II 卷第21题为选考题。

本试卷共6页满分150分考试时间 120分钟注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上。

2. 考生作答时，将答案答在答题卷上。

请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

在草稿纸、试题卷上答题无效。

3. 做选考题时，考生应先填写所选答试题的题号。

4. 保持答题卷面清洁，不折叠、不破损。

考试结束后，将本试卷和答题卷一并交回第I 卷（选择题共50分）一、本大题共10小题，每小题 5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则()R A C B ⋂= （）A. [1,0)-B. [1,0]-C. [0,1]D. (,1][2,)-∞⋃+∞2. 设向量(1,2)a = ，(2,1)b =-，则下列结论中不正确的是( )A ． a b a b -=+ B. ()()a b a b -⊥+ C. a b = D. //a b3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( )A. 6n =B. 6n <C. 6n ≤D. 8n ≤4. 若用,m n 表示两条不同的直线，用α表示一个平面，则下列命题正确的是（）A. 若//,m n n α⊂，则//m αB. 若//,,m n αα⊂则//m nC. 若,,m n n α⊥⊂ 则m α⊥D. 若,,m n αα⊥⊂ 则m n ⊥5. 已知直线1:(1)20l m x y -++=，2:8(1)(1)0l x m y m +++-= ，则“3m =”是“12//l l ”的（）A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件６.已知函数(1)f x -是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上是增函数，则函数()f x 的图象可能是（）７. 已知,m n 是满足1m n +=，且使14m n +取得最小值的正实数．若曲线x m y a n -=+ (01)a a >≠且恒过定点M ，则点Ｍ的坐标为（）Ａ．1533（，）Ｂ． 4655（，）Ｃ． 1955（，）Ｄ． 1233（，）８．在平面直角坐标系中，以点-13C （，）为圆心的圆与双曲线22221x y a bΓ-=： (0,0)a b >>的一条渐近线相切，与另一条渐近线相交于,A B 两点．若劣弧AB 所对的圆心角为120︒，则该双曲线的离心率e 等于（）Ａ． 3或82 Ｂ．2或82 Ｃ．2或829Ｄ．9 ９．在梯形ＡＢＣＤ中，//AB CD ．如果分别以下列各选项所给的内容作为已知条件，那么其中不能确定BD 长度的选项是（）Ａ．4,45,30AC ABD ACD =∠=︒∠=︒Ｂ．2,23,45,30AB CD ABD ACD ==∠=︒∠=︒Ｃ．2,23,4,30AB CD AC ACD ===∠=︒Ｄ．23,45,30CD ABD ACD =∠=︒∠=︒１０．已知集合{(,)4},P x y x y =+≤，22Q {(,)()()2,,},x y x a y b a b R =-+-≤∈若Q P ⊆，则23a b +的最大值为（）Ａ．４Ｂ．６Ｃ．８Ｄ．１２第ＩＩ卷（非选择题共１００分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置. 11. 已知i 为虚数单位，则复数421i i +的化简结果为________12. 已知3sin()25πθ+=，3(,2)2θππ∈ 则sin 2θ=___________13. 一个四棱柱的三视图如图所示，则其表面积为____________14. 设()21,f x x =+1()(),f x f x =n 1()(())n f x f f x +=，*n N ∈若()n f x 的图象经过点(,1)n a ，则n a =_____________________15. 已知函数222,1()11,1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，若对任意,x R ∈()10f x x k x----≤恒成立，则实数k 的取值范围是__________________三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项与公差都为1的等差数列.(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 设2n an n b a =+，试求数列{}n b 的前n 项和n T17. （本小题满分13分）已知函数()sin()3cos ,3f x x x π=-+x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若3()2f A =且32a b =试求角B 的大小.18. (本小题满分13分)三棱柱111ABC A B C -中，1CC ABC ⊥平面，D 是AC 的中点，1A D 与1AC 交于点,E F 在线段1AC 上，且12AF FC =，11AA =，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒（1）求证：11;BC AAC C ⊥平面（2）求证：11//;B F A BD 平面（3）求直线BC 与平面1A BD 所成的角的正弦值.19.(本小题满分13分)已知：椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，短半轴长为3。

福建省三校高三上学期期中联考——数学(理)数学(理)

福建省惠安一中、养正中学、安溪一中2015届高三上学期期中联考数学（理）试题满分：150分，考试时间：120分钟命题、审核者：林集伟张开春谢娜娜第Ⅰ卷 (选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置. 1．命题：,的否定是( ) A ．, B ．, C ．, D ．,2. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则等于（）A ．B ．C ．D ． 3．在等差数列中，若122014201596+++=a a a a ，则的值是（） A ． B ． C ． D ．4．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）A ．B ．C ．D ．5．设20.013log ,ln 2,0.5-===a b c ，则（）A ．B ．C ．D ．6．函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如图示，则下列说法不正确的是（）A ．B.的图象关于点成中心对称C. ()x x f x k +⎪⎭⎫⎝⎛-=122π在上单调递增 .已知函数图象与的对称轴完全相同，则7. 定义在实数集上的函数的图像是连续不断的，若对任意的实数，存在常数使得恒成立，则称是一个“关于函数”，下列“关于函数”的结论正确的是（） A ．不是 “关于函数” B ．是一个“关于函数”C ．“关于函数”至少有一个零点D ．不是一个“关于函数” 8．已知函数在上满足则曲线在点处的切线方程是( ) A ． B ． C ． D ． 9．已知2310000(sinsinsin sin )2000020000200002000020000πππππ=++++g L L S ，则与的值最接近的是（）A ．B ．C ．D ．10．若曲线1,1,1,11x e x y x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是( )A ． B．(3(0,)-+⋃+∞C．(,3(0,)-∞--⋃+∞ D ．()()∞+⋃，，0022-3- 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11．函数的定义域为________ 12. _______13. 若等比数列的首项，且，则数列的公比是_______14. 已知锐角是的一个内角,是三角形中各角的对应边,若,则的大小关系为．（填 < 或 > 或或或=）15.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是． ④函数有个零点；则其中所有真命题的序号是．三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16．（本题满分13分）已知},032|{2R x x x x A ∈≤--=,{|33,}B x m x m m R =-≤≤+∈. （Ⅰ）若}61|{≤≤-=⋃x x B A ，求实数的值；（Ⅱ）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．（本题满分13分）设数列满足()*1,223N n n a a n n ∈≥+=-,且)1(log ,231+==n n a b a（Ⅰ）证明:数列为等比数列; （Ⅱ）求数列的前项和.18.（本题满分13分）在中，222sin .a c b B +-=（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，且，求边的取值范围．19.（本题满分13分）中国正在成为汽车生产大国，汽车保有量大增，交通拥堵日趋严重。

《解析》福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考2015届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.1．命题p：∀x∈R，x3+x﹣2≥0的否定是( )A．∀x∈R，x3+x﹣2＜0 B．∃x∈R，x3+x﹣2≥0C．∃x∈R，x3+x﹣2＜0 D．∀x∈R，x3+x﹣2≠0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∀x∈R，x3+x﹣2≥0的否定是：∃x∈R，x3+x﹣2＜0．故选：C．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P（﹣1，﹣2），则sin2θ等于( )A．﹣B．﹣C．D．考点：任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，求出sinθ和cosθ的值，可得2sinθcosθ的值．解答：解：∵角θ的终边经过点P（﹣1，﹣2），∴x=﹣1，y=﹣2，r=|OP|=，∴sinθ==，cosθ==，则sin2θ=2sinθcosθ==，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．在等差数列{a n}中，若a1+a2+a2014+a2015=96，则a1+a2015的值是( )A．24 B．48 C．96 D．106考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等差数列性质和题意，即可得出结论．解答：解：由等差数列的性质得，a2+a2014=a1+a2015，代入a1+a2+a2014+a2015=96，解得a1+a2015=48，故选：B．点评：本题考查等差数列性质的应用，考查分析能力，属于基础题．4．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )A．y=2|x|B．C．y=2x﹣2﹣x D．考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数奇偶性的定义，首先观察定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x），与f（x）比较，对选项加以判断即可．解答：解：对于A．有f（﹣x）=2|﹣x|=f（x），则为偶函数，不满足条件；对于B．有x，解得x∈R，即定义域关于原点对称，且有f（﹣x）+f（x）=lg（+x）+lg（﹣x）=lg（1+x2﹣x2）=0，即有f（x）为奇函数，则不满足条件；对于C．定义域R关于原点对称，且有f（﹣x）+f（x）=2﹣x﹣2x+2x﹣2﹣x=0，则为奇函数，不满足条件；对于D．定义域R关于原点对称，但f（﹣x）=﹣x≠f（x），且≠﹣f（x），则既不是奇函数，也不是偶函数，满足条件．故选D．点评：本题考查函数的奇偶性的判断，注意首先观察定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x），与f（x）比较，考查运算能力，属于基础题．5．设b=log32，a=ln2，c=0.5﹣0.01，则( )A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：由于a=ln2＞0，ln3＞1，可得b=＜ln2，即可得到b与a的大小关系．又b=log32＞log3 =，c=＜=．即可得到b与c的大小关系．解答：解：∵a=ln2＞0，ln3＞1，∴b=＜ln2，即b＜a＜1．又b=log32＞log3 =，c=0.5﹣0.01=20.01＞1综上可知：c＞a＞b．故选：B．点评：本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．6．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则下列说法不正确的是( )A．ω=2B．f（x）的图象关于点成中心对称C．k（x）=f（﹣）+x在R上单调递增D．已知函数g（x）=cos（ξx+η）图象与f（x）的对称轴完全相同，则ξ=2考点：正弦函数的图象；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先根据函数的图象求出解析式，进一步利用函数的单调性、周期、对称中心求出结果．解答：解：根据函数的图象：，所以：T=π，利用，解得：ω=2；当x=时，f（）=1，解得：A=1，Φ=，所以f（x）=sin（2x+）；所以：①A正确②B令2x+=kπ，解得：x=，当k=1时，对称中心为：；③g（x）=cos（ξx+η）图象与f（x）的对称轴完全相同，则ξ=2，由于η不确定．④函数的区间有增有减．故选：C点评：本题考查的知识要点：函数解析式的确定，函数的单调性、周期、对称中心的应用．7．定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意的实数，存在常数使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”，下列“关于t函数”的结论正确的是( )A．f（x）=2不是“关于t函数”B．f（x）=x是一个“关于t函数”C．“关于函数”至少有一个零点D．f（x）=sinπx不是一个“关于t函数”考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：根据“关于t函数的概念”可知，只有存在常数t，使得f（t+x）+tf（x）=0恒成立即可．依此逐项求t即可．解答：解：对于A：f（x）=2时，令t=﹣1，可知f（x﹣1）=﹣（﹣1）f（x）=f（x）=2．故该函数是一个“关于﹣1函数”，所以A错；对于B：对于函数f（x）=x，假设存在t，使得该函数是“关于t函数”，即x+t+tx=0恒成立，即（t﹣1）x+t=0恒成立，因此需满足，无解．所以B错；对于C：因为是“关于函数”，所以f（x+）=﹣f（x）恒成立，不妨取x=x0，且f（x0），所以，所以，故在区间（x0，x0+）必有零点．故C正确．对于D：当t=1时，有sinπ（x+1）=sin（πx+π）=﹣sinπx恒成立．即t=1，所f（x）=sinπx是一个“关于1函数”．故D错误．故选C．点评：本题是一个新定义题目，要注意给的定义式是一个恒等式，需要在解题时引起注意．8．已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（﹣x）﹣x2则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是( )A．y=x B．y=2x﹣1 C．y=3x﹣2 D．y=﹣2x+3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先根据函数f（x）在R上满足f（x）=2f（﹣x）﹣x2求出函数f（x）的解析式，然后对函数f（x）进行求导，进而可得到y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．解答：解：∵函数f（x）在R上满足f（x）=2f（﹣x）﹣x2，∴f（﹣x）=2f（x）﹣x2，∴f（x）=x2，∴f′（x）=2x，∴f（1）=1，f′（1）=2，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣1﹣2（x﹣1），即y=2x﹣1．故选B．点评：本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义．函数在某点的导数值等于该点的切线方程的斜率．9．已知S=•（sin+sin+sin+…+sin），则与S的值最接近的是( )A．0.99818 B．0.9999 C．1.0001 D．2.0002考点：正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：把区间平均分成20000份，每一个矩形的宽为，第k个的矩形的高为sin ，则S表示这20000个小矩形的面积之和，且这20000个小矩形的面积之和略大于y=sinx与x=0、x=所围成的面积．再根据定积分的定义求得y=sinx与x=0、x=所围成的面积为1，可得S的值略大于1，结合所给的选项，得出结论．解答：解：把区间平均分成20000份，每一个矩形的宽为，第k高为sin ，则S=•（sin+sin+sin+…+sin）表示这20000个小矩形的面积之和，且这20000个小矩形的面积之和略大于y=sinx与x=0、x=所围成的面积．再根据定积分的定义，y=sinx与x=0、x=所围成的面积为=﹣cosx=1，故S的值略大于1，结合所给的选项，故选：C．点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，定积分的定义，体现了转化的数学思想，属于基础题．10．若曲线y=与直线y=kx+1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )A．B．C．D．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出曲线y=的图象如图：直线y=kx+1过定点（0，1），当k=0时，两个函数只有一个交点，不满足条件，当k＞0时，两个函数有2个交点，满足条件，当k＜0时，直线y=kx+1与y=在x＞1相切时，两个函数只有一个交点，此时=kx+1，即kx2+（1﹣k）x﹣2=0，判别式△=（1﹣k）2+8k=0，k2+6k+1=0，解得：k=﹣3+2，或k=﹣3﹣2（舍去），则此时满足﹣3+2＜k＜0，综上满足条件的k的取值范围是（﹣3+2，0）∪（0，+∞），故选：B．点评：本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及分段函数的性质是解决本题的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11．函数的定义域是12．tan600°=．考点：诱导公式的作用．专题：计算题．分析：用诱导公式将较大的角转化成锐角三角函数进行化简．解答：解：∵tan600°）=tan60°=．故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的诱导公式，诱导公式是数学三角函数中将角度比较大的三角函数利用角的周期性，转换为角度比较小的三角函数13．若等比数列{a n}的首项a1=81，且a4=（2x）dx，则数列{a n}的公比是．考点：定积分；等比数列的通项公式．专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：由已知首先求出a4，且然后通过等比数列的定义求公比．解答：解：由已知a4=（2x）dx=x2=3，等比数列{a n}的首项a1=81，所以a4=a1q3=3，解得q=；故答案为：．点评：本题考查了定积分与等比数列相结合的问题；关键是熟练掌握积分公式以及等比数列的通项公式．14．已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A﹣cos2A=，则b+c与2a的大小关系为≤．（填＜或＞或≤或≥或=）考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理求出cos2A的值，确定出A的度数，设B=60°+x，0≤x＜60°，则有C=60°﹣x，＜cosx≤1，表示出sinB+sinC，求出2sinA的值，即可做出判断．解答：解：∵锐角△ABC中，sin2A﹣cos2A=﹣cos2A=，即cos2A=﹣，∴2A=120°，即A=60°，设B=60°+x，0≤x＜60°，则有C=60°﹣x，＜cosx≤1，∵sinB+sinC=sin（60°+x）+sin（60°﹣x）=2sin60°cosx=cosx，2sinA=2×=，∴sinB+sinC≤2sinA，由正弦定理化简得：b+c≤2a，故答案为：≤点评：此题考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及和差化积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．15．对于函数f（x）=，有下列4个命题：①任取x1、x2∈分析：本题考查三角函数和对数函数的图象及性质，先由题意分析条件函数f（x）定义域为x∈，|f（x1）﹣f（x2）|=|sinπx1﹣sinπx2|≤2，当x∈（2，+∞），f（x）=f（x﹣2）=（）n sinnπ，综上都有任取x1、x2∈得c==2+…又≤A≤，故tanA∈…∴c∈…点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．19．中国正在成为汽车生产大国，汽车保有量大增，交通拥堵日趋严重．某市有关部门进行了调研，相关数据显示，从上午7点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y=，求从上午7点到中午12点，车辆通过该路段用时最多的时刻．考点：分段函数的应用．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用．分析：由分段函数，讨论①当7≤t＜9时，由三角函数的性质，即可得到最大值，②当9≤t≤10时，由一次函数的单调性，可得到最大值，③当10＜t≤12时，由二次函数的性质，即可得到最大值，最后比较即可得到答案．解答：解：①当7≤t＜9时，即t﹣＜，y=18sin（），故当t﹣，即t=8时，y有最大值，y max=18；②当9≤t≤10时，y=4t﹣27是增函数，故t=10时，y max=13；③当10＜t≤12时，y=﹣3（t﹣11）2+16，故t=11时，y max=16．综上可知，通过该路段用时最多的时刻为上午8点．点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数的最值，注意讨论各段的最值，再比较，考查运算能力，20．己知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx﹣b（其中b＞0，ω＞0）的最大值为2，直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若f（a）=，求sin（﹣4a）的值；（Ⅲ）对∀a∈R，在区间（a，a+s]上y=f（x）有且只有4个零点，请直接写出满足条件的所有S的值并把上述结论推广到一般情况．（不要求证明）考点：两角和与差的正弦函数；函数的零点与方程根的关系；正弦函数的对称性．专题：归纳猜想型；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）先化简函数f（x）根据已知求出b的值，从而确定函数f（x）的解析式进而可得单调增区间；（Ⅱ）若f（a）=，可求得sin（2a+）=，从而可求sin（﹣4a）的值；（Ⅲ）由三角函数的图象与性质和已知即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+bcos2ωx=sin（2ωx+φ）T=2×=πT==，所以ω=1解=2得b=，因为b＞0，所以b=，故f（x）=2sin（2x+）由2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z得：kπ﹣，k∉Z所以函数f（x）的单调增区间为，k∉Z（Ⅱ）由f（a）=得sin（2a+）=sin（﹣4a）=sin=﹣cos=2=﹣．（Ⅲ）s=2π推广：对∀a∈R，在区间（a，a+s]上y=f（x）有且只有n（n∈N*）个零点，则s的值为．若写：对∀a∈R，在区间（a，a+s]上y=f（x）有且只有2n（n∈N*）个零点，则s的值为nπ．点评：本题主要考察了三角函数的图象与性质，函数的零点与方程根的关系，正弦函数的对称性，属于中档题．21．已知f（x）=（x﹣1）e x+1，x∈（Ⅰ）证明：f（x）≥0（Ⅱ）若a＜＜b在x∈（0，1）恒成立，求b﹣a的最小值．（Ⅲ）证明：f（x）图象恒在直线y=x﹣的上方．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，即可得出f（x）≥f（0）=0；（Ⅱ）令g（x）=，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值、最小值，即可得出a≤1，b≥e﹣1，即可得出结论；（Ⅲ）由题意可得只需证f（x）＞x﹣，即证（x﹣1）e x﹣x+＞0在上恒成立．令k（x）=（x ﹣1）e x﹣x+，利用导数判断函数的单调性，得出最值，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=xe x≥0 即f（x）在上单调递增．…所以f（x）≥f（0）=0，即结论成立．…（Ⅱ）令g（x）=，则g′（x）=≥0，x∈（0，1）…所以，当x∈（0，1）时，g（x）＜g（1）=e﹣1，要使＜b，只需b≥e﹣1 …要使＞a成立，只需e x﹣ax﹣1＞0在x∈（0，1）恒成立．…令h（x）=e x﹣ax﹣1x∈（0，1）则h′（x）=e x﹣a，由x∈（0，1），e x∈（1，e），当a≤1时，h′（x）≥0 此时x∈（0，1），有h（x）＞h（0）=0成立．所以a≤1满足条件．当a≥e时，h′（x）≤0，此时x∈（0，1）有h（x）＜h（0）=0，不符合题意，舍去．当1＜a＜e时，令h′（x）=0，得x=lna，可得当x∈（0，lna）时，h′（x）≤0．即x∈（0，lna）时，h（x）＜h（0）=0，不符合题意舍去．综上，a≤1 …又b≥e﹣1，所以b﹣a的最小值为e﹣2．…（Ⅲ）由题意只需证f（x）＞x﹣，即证（x﹣1）e x﹣x+＞0在上恒成立．令k（x）=（x﹣1）e x﹣x+，k′（x）=xe x﹣1 …k″（x）=（x+1）e x＞0，即k′（x）在上单调递增．又＜0，k′（1）＞0，所以k′（x）在有唯一的解，记为x0，且﹣1=0，即…可得当x∈（0，x0）时，k′（x）≤0，当x∈（x0，1）时，k′（x）≥0，所以只需最小值k（x0）=（x0﹣1）﹣x0+=﹣（）…易得＜，x0∈（，1），所以k（x）＞0．所以结论得证．…点评：本题主要考查利用导数研究函数的有关性质，判断函数的单调性、求函数的极值、最值等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于难题．。

福建省安溪第八中学高三上学期期中——数学(理)数学理

福建省安溪第八中学 2015届高三上学期期中质量检测数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1.已知集合，集合，则（） A ． B ．C ．D ． 2.函数()2lg 21y x =++的定义域是( ) A.B.C. D.3.等于 ( )A. B. C. D. 4.函数的图像大致是( )5. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（） A ．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移个单位长度 D ．向左平移个单位长度6．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，则不等式的解集为 ( ) A ．(－∞，－2)∪(0,2) B ．(－∞，－2)∪（2，＋∞) C ．（－2,0）∪（2，＋∞) D ．（－2,0)∪(0,2)7.若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(]－∞，4上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ≥3B ．a ≤－3C ．a <5D ．a ≥－3 8．函数f (x )＝A si n (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0) 的部分图像如图1所示，则=( ) A. B. C. D.9.若实数，则函数f （x ）＝2sinx 十acosx 的图象的一条对称轴方程为( )A. B. C. D.10．已知方程,若对任意，都存在唯一的使方程成立；且对任意，都有使方程成立，则的最大值等于（） A ．2 B ． 0 C ．1 D ． -2第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卷相应位置． 11．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________;12．已知函数2cos ,10()310,10x x f x x x π⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩ ，则__________； 13. 已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是___________________．14．函数与轴，直线围成的图形的面积是__________； 15．设()sin2cos2f x a x b x＝＋，其中. 若对一切恒成立，则 ①; ②的图像关于对称； ③的单调递增区间是()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； ④；⑤存在经过点的直线与函数的图象相交．以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）已知函数，求在区间上的最值.17. （本小题满分13分）如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点 P 的坐标为.(Ⅰ)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(Ⅱ)若，求sin(α＋β)．18. （本小题满分13分）已知函数2()2cos cos 1f x x x x =++ （Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数的值域．19. （本小题满分13分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是(亿元)和(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式，,今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x(亿元)，投资这两个项目所获得的总利润为y(亿元)．求:(Ⅰ)y关于x的函数表达式；(Ⅱ)求总利润的最大值．20.（本小题满分14分）在中，角、、的对边分别为、、，若函数为偶函数，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若△的面积为，其外接圆半径为，求△的周长．21．（本小题满分14分）设函数（），．(Ⅰ) 若函数与在点P（1,c）处有相同的切线，求实数的值；(Ⅱ) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；(Ⅲ) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．2014年秋季安溪八中高三年期中质量检测数学试题 (理科)参考答案一、选择题：DADBB CBDCA10．解析：原方程化为：画出此函数的图象，由图象知：对任意y ∈[0，1]，都有x ∈[a ，b]（a ，b ∈Z ）使方程成立，得出：[a ，b]⊂[-2，2]；又对任意 x ∈[a ，b]（a ，b ∈Z ），都存在唯一的y ∈[0，1]使方程成立；得出：[a ，b]可能为[-2，0]， [-2，1]，[0，2]，[-1，2]，[-2，2]五种情况；故a+b 的最大值为：2．二、填空题：11． 12． -1 13. (－∞，－3)∪(6，＋∞) 14． 15．①④⑤ 三、解答题： 16．解:∵∴2()23(3)(1)f x x x x x '=--=-+………………3分 ∴2()230f x x x '=--= 解得或3. ………………5分 x,取值情况列表如下3 + 0 - 0 +极大值极小值………………8分∴5()(1),()(3)93f x f f x f =-===-极大极小.………………10分又(3)9,(6)18,f f -=-= ∴()(6)18,()(3)(3)9f x f f x f f ====-=-最大最小……13分17.解：(Ⅰ)由三角函数定义得cosα＝－35，sinα＝45. ………… 2分∴原式＝2221sin cos cos sin cos ααααα++………… 4分=2()cos sin cos sin cos cos αααααα++＝ ………… 6分 == ………… 7分(Ⅱ)∵，∴α－β＝π2.∴β＝α－π2，………… 9分∴sinβ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝－cosα＝35， cosβ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sinα＝45. ………… 11分∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋c osαsinβ ＝45×45＋⎝⎛⎭⎫－35×35＝725. ………… 13分 18.解：2()2cos cos 1f x x x x =++cos 222x x =++ ………… 4分（Ⅰ）由226222πππππ+≤+≤-k x k ，得，所以的单调递增区间为， ………… 8分（Ⅱ）∵∴∴ ………… 12分∴42)62sin(23≤++≤πx∴函数的值域为 ………… 13分19. 解：(Ⅰ)根据题意，得y=x ∈[0，5]．………… 4分 (Ⅱ)令t=，t ∈［0,］，则x=，………… 7分2211517y t t (t 2).1648168=-++=--+………… 10分因为2∈［0,］，所以当=2时，即x=2时，y 取最大值0.875．………… 12分答：总利润的最大值是0.875亿元．………… 13分20.解：（Ⅰ）∵41)(2-+=mx x x f 是偶函数，∴，即221144x mx x mx +-=--，∴…………………2分又，∴，即，………………4分∴，又∴．……………………6分（Ⅱ）∵△的外接圆半径为，∴根据正弦定理得，2sin 3b π=，．…………8分又1sin 2ABC S ac B ∆==，∴． ……………………10分在△中，根据余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-，即22230cos493a c π+-=， …………12分∴222()264a c a c ac +=++=，∴，∴△的周长等于．……………………………………13分20.解：（Ⅰ）∵，∴，……1分依题意的''(1)(1)(1)(1)f hf ch c⎧=⎪=⎨⎪=⎩即2221a ba cc⎧=⎪=⎨⎪=⎩……3分解得121abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩…………4分（Ⅱ）解法一:不等式的解集中的整数恰有3个，等价于恰有三个整数解，故，令22()(1)21h x a x x=--+，由且，所以函数22()(1)21h x a x x=--+的一个零点在区间，则另一个零点一定在区间，故解之得．…8分…………9分…………10分…………11分…12分下面证明()(0)2eg x x ≤->恒成立．设()ln 2eG x e x =-，则)()e x G x x x '==．所以当时，；当时，．因此时取得最大值，则()(0)2ef x x ≤->成立．………13分故所求“分界线”方程为：． …………14分。

安溪八中年度高三上学期期中考数学(理科)试题.doc

安溪八中-年度高三上学期期中考数学(理科)试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．复数i z i z -=+=1,321，则21z z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．4(2x 展开式中含3x 系数等于（）A ．6B ．12C ．24D ． 483．22132lim 2x x x x x →-+=+- （） A ．1 B 13-C 1-D 不存在 4 ()f x x x()=⎛⎝ ⎫⎭⎪<≤1212的反函数fx -1()等于（）A ()log 1212x x <≤B -≤<⎛⎝⎫⎭⎪log 21412x x ()log 1224x x <≤D -≤<⎛⎝⎫⎭⎪log 2121x x 5．下列判断错误的是 ( ）A ．命题“若q 则p ”与命题“若p ⌝则q ⌝”互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a<b ”的充要条件 C ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假D ．命题“{1,2}4{1,2}φ⊂∉或”为真（其中φ为空集）6 若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且)2(f =0，则使得)(x f <0的x 的取值范围是 ( )A (-∞,2)B (2,+∞)C (-∞,2)⋃(2,+∞)D (-2,2)7 某产品直径误差()ξ~N 01，（单位：mm ），其总体密度曲线如图所示，图中阴影部分的面积是0 8，从中任取一件产品，该产品的直径误差大b mm 的概率是（）A 0 1B 0 2C 0 25D 0 48 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成角的大小为 ( )A 45ºB 90ºC 60ºD 不能确定9 已知⎩⎨⎧∈+-∈+=]1,0[,1)0,1[,1)(2x x x x x f ，则下列函数的图象中错．误的．．是( )10 二次函数c bx ax x f ++=2)(中，10≠>a a 且，对于任意的R x ∈都有)1()3(x f x f -=-，设])1[(),1(log2log a af n a f m a==，则（） A n m < B n m = C n m > D n m ,的大小关系不确定11 已知函数f(x)=2lg(87)x x -+-在(m,m+1)上是增函数,则m 的取值范围是( )A 3m ≤B 4m ≥C 13m <<D 13m ≤≤12AA 1 P PD 1 DOMD.C.B.A.f (｜x|)的图象f (－x)的图象f (x-1)的图象2121y xO若P(2x ξ<)=1211，则实数x 的取值范围是( ) A ()2,3 B (]2,3 C （4，9] D ()4,9二、填空题：本大题共4小题，共16分，把答案填在题中横线上13若定义在区间[3-a,5]上的函数x x b ax x f 3cos )(3--=是奇函数，则a+b=_______14 设y=)(x f 是二次函数，方程)(x f =0有两个相等的实根，且)(/x f =2x+2 则y=)(x f 的表达式是15 已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f ( x + 2) =)x (f 1)x (f 1-+, 若f ( 1 ) = 2 + 3,则f ( ) =16 定义运算b a *为:()(),⎩⎨⎧>≤=*b a b b a a b a 例如，121=*,则函数f(x)=x x cos sin *的值域为三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分12分）已知}0log )(log {222<-=x x x A ，}012{22>-+-=a ax x x B ，且B A ⊆，求实数a 的取值范围18 （本小题满分12分）编号1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ（1）求随机变量ξ的概率分布；（2）求随机变量ξ的数学期望和方差 19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD//AE ，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F 为CD 中点（1）求证：EF ⊥面BCD ；（2）求面CDE 与面ABDE 所成二面角的余弦值B C D20 (本小题满分12分)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2002年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销ｔ万元之间满足3－x 与ｔ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2002年生产化妆品的设备折旧，维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%“与平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的化妆品正好能销完(Ⅰ)将2002年的利润y (万元)表示为促销费ｔ(万元)的函数； (Ⅱ)该企业2002年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大?(注：利润＝销售收入—生产成本—促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =，21()2g x x a =+（a 为常数），直线l 与函数()f x ()g x 的图像都相切，且l 与函数()f x 图像的切点的横坐标为1（1）求直线l 的方程和a 的值；（2）求函数2(1)()y f x g x =+-的最大值22．（本小题满分14分）已知函数f （x ）=xa ax --+1，a ∈R ．(1)当x ∈[a+1，a+2]时，求f （x ）的取值范围；(2)证明：函数y=f （x ）的图象关于点（a ，－1）成中心对称图形；(3)我们利用函数y=f （x ）构造一个数列{x n }，方法如下：对于给定的定义域中的x 1，令x 2=f （x 1），x 3=f （x 2），…，x n =f （x n1-），… 在上述构造数列的过程中，如果x i （i=2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果x i 不在定义域中，则构造数列的过程停止①如果可以用上述方法构造出一个常数列{x n }，求实数a 的取值范围；②如果取定义域中任一值作为x 1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x n }，求实数a 的值安溪八中-年度高三上学期期中考数学(理科)试题参考答案一、选择题：1-5 DCBBB 6-10 DABDA 11-12 DC二、填空题： 13 8 , 14 f （x ）=x 2+2x+1, 152 , 16 [－1，2] 三、解答题：17 （本小题满分12分）解：由222(log )log 0x x -< 得 20log 1x << 即1<x<2∴}21{<<=x x A ， 3分由22210x ax a -+-<得11x a x a >+<-或∴}11{-<+>=a x a x x B 或 6分2111,≥-≤+∴⊆a a B A 或 10分30≥≤∴a a 或 12分18 （本小题满分12分）（Ⅰ）;611)3(;0)2(;21)1(;312)0(33331333===========A P P A C P A P ξξξξ 4分分（Ⅱ）1613211=⨯+⨯=ξE 9分 .161)13(0)21(21)11(31)01(2222=⋅-+⋅-+⋅-+⋅-=ξD 12分注：可以不列出“P （0)2==ξ”19．（本小题满分12分）解法一（1）证明：取BC 中点G ，连FG ，AG∵AE ⊥面ABC ，BD //AE ，∴BD ⊥面ABC ，又AG ⊂面ABC ，∴BD ⊥AG ，又AC=AB ，G 是BC 中点，∴AG ⊥BC ，∴AG ⊥平面BCD 3分 ∵F 是CD 中点且BD =2，∴FG //BD 且FG =21BD =1， ∴FG //AE又AE =1，∴AE=FG ，故四边形AEFG 是平行四边形，从而EF //AG ∴EF ⊥面BCD 6分（2）解：取AB 中点H ，则H 为C 在平面ABDE 上的射影过C 作CK ⊥DE 于K ，连接KH ，由三垂线定理的逆定理得KH ⊥DE ，∴∠HKC 为二面角C —DE —B 的平面角 8分易知5=EC ，5=DE ，22=CD ，∴EF⊥CD 又由CK S DCE ⨯⨯=⨯⨯=∆52132221，可得=CK 在Rt ΔCHK 中，410sin ==CK CH HKC ，故46cos =HKC ∴面CDE 与面ABDE 4612分解法二:建立空间直角坐标系求解,比照给分20 (本小题满分12分)解：（Ⅰ）由题意：13+=-t k x 将123,21,0+-=∴===t x k x t 代入 2分当年生产x (万件)时，年生产成本＝年生产费用＋固定费用＝32x ＋3＝32（3－12+t ）＋3，当销售x （万件）时，年销售收入＝150%［32（3－2)1t +＋3］＋t 21由题意，生产x 万件化妆品正好销完∴年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费即)1(235982+++-=t t t y （t ≥0） 8分（Ⅱ）∵)13221(50+++-=t t y ≤50－162＝42万件 10分当且仅当13221+=+t t 即t ＝7时，y max ＝42 ∴当促销费定在7万元时，利润增大 12分21．（本小题满分12分）解:（1）因为直线l 与函数()f x 图像的切点的横坐标为1，则此切点为(1,0)P ，又'1()f x x=所以切线l 的斜率'(1)1k f ==，于是切线l 方程为y x =- 3分又()g x x '=，所以切线l 在函数21()2g x x a =+上的切点也为(1,0)P ，从而2a = 6分（2）22211(1)()ln(1)22y f x g x x x =+-=+-+，令20x t =≥，则11()ln(1)22y h t t t ==+-+， 8分从而111()122(1)t h t t t -'=-=++，由1()02(1)t h t t -'=>+，得0t <<所以函数()h t 在区间(0,1)上是增函数，在区间(1,)+∞上是减函数，则max ()(1)ln h t h ==即211(1)()ln 2.x x y f x g x ==-+-当或时，=有最大值 12分22．（本小题满分14分）解:⑴ f(x)=－1－a x -1在[a+1，a+2]上是增函数，又f (a+1)=－2，f (a+2)=－23， ∴ f (x)∈[－2，－23](2)证明：设点P （x 0，y 0）是函数y=f (x)图象上任一点，则y 0=－1－ax -01，点P 关于点（a ，－1）的对称点为'P （2a －x 0，－2－y 0）00000011f (2a x )=11,2112211a x a a x y x a a x ---=-------=-++=----∴ f (2a －x 0)=－2－y 0，即点'P （2a －x 0，－2－y 0）在函数y=f (x)的图象上， ∴所以函数y=f (x)的图象关于点（a ，－1）成中心对称图形（3）①根据题意，只需x ≠a 时，f(x)=x 有解，即x xa ax =--+1有解，即x 2+(1－a)x+1－a=0有不等于a 的解将x=a 代入方程左边，得左边=1，故方程不可能有解x=a 由△≥0时，得a ≤－3或a ≥1，即为所求实数a 的取值范围②根据题意，a xa ax =--+1 在R 中无解，即x ≠a 时，（1+a ）x=a 2+a －1无解由于x=a 不是方程（1+a ）x= a 2+a －1的解，所以对于任意x ∈R ，（1+a ）x= a 2+a －1无解∴a=－1，即为所求a 有值。

福建省福州八中2015届高三数学上学期第三次质检试题理

某某省某某八中2015届高三数学上学期第三次质检试题理1.全集{0,1,2,3}U =，{2}U C M =，则集合M =A ．{1，3}B ．{0，1，3}C ．{0，3}D ．{2}2. 若角α的终边在第二象限且经过点(13)P -，则sin α等于A ．32B ．32-C ．12-D ．123．已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于A.106(13)--- B.103(13)-- C.101(13)9-- D.103(13)-+4．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为3π，则a b +等于A ．1B 2C 3D ．25．下列说法正确的是A ．(0)0f =“”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．“向量,,a b c ，若a b a c ⋅=⋅，则b c =”是真命题C ．210x R x ∀∈+>“，”的否定是200,0x R x ∃∈+<“” D ．“若6a π=，则1sin 2α=”的否命题是“若6a π≠，则1sin 2α≠” 6．在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,若222222c a b ab =++,则ABC ∆是A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形8.已知函数2()f x x ax =-的图像在点(1(1))A f ，处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2014S 的值为 A.20152016 B.20142015 C.20132014 D.201220139．已知函数2sin()cos()22y x x ππ=+-与直线12y =相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M ，，则113M M 等于A ．π6B ．π7C ．π12D ．π1310．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数,a b R ∈满足**(2)(2)()()(),(2)2,(),()2n n n n nf f f a b af b bf a f a n N b n N n ⋅=+==∈=∈ 考察下列结论：①(0)(1)f f =；②()f x 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列。