高中数学正弦函数的性质

正弦函数的性质

一、 教学目标：

1、 知识与技能

（1）进一步熟悉单位圆中的正弦线；（2）理解正弦诱导公式的推导过程；（3）掌握正弦诱导公式的运用；（4）能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；（5）理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；（6）能熟练运用正弦函数的性质解题。 2、 过程与方法

通过正弦线表示α,－α,π－α,π＋α,2π－α,从而体会各正弦线之间的关系；或从正弦函数的图像中找出α,－α,π－α,π＋α,2π－α，让学生从中发现正弦函数的诱导公式；通过正弦函数在R 上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。 3、 情感态度与价值观

通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点

重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。

难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。 三、学法与教学用具

在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式；通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用；在正弦函数的图像中，直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认识；理解掌握正弦函数的性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。

教学用具:投影机、三角板

第一课时 正弦函数诱导公式 一、教学思路

【创设情境，揭示课题】

在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2k π＋α)＝sin α (k∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值。如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。

【探究新知】

1． 复习：（公式1）sin(360︒k +α) = sin α

2． 对于任一0︒到360︒的角，有四种可能（其中α为不大于90︒的非负角）

[

[

[

⎪⎪⎪⎪⎨⎧β∈βα-β∈βα+β∈βα-β∈βα=β为第四象限角

），当为第三象限角），

当为第二象限角

），

当为第一象限角，当

36027036027018018018090180)

900 （以下设α为任意角）

3． 公式2：

设α的终边与单位圆交于点P(x ,y )，则180︒+α终边与单位圆交于点P’(-x ,-y )，由正弦线可知： sin(180︒+α) = -sin α

4．公式3：

同样可得： P (,-y )

sin(-α) = -sin α,

5． 公式4：由公式2和公式3可得：

sin(180︒-α) = sin[180︒+(-α)] = -sin(-α) = sin α,

同理可得： sin(180︒-α) = sin α, 6．公式5：sin(360︒-α) = -sin α 【巩固深化，发展思维】 1． 例题讲评 例1． 求下列函数值

（1）sin(－1650︒)； （2）sin(－150︒15’)； (3)sin(－

4

7

π) 解：（1）sin(－1650︒)＝－sin1650︒＝－sin(4×360︒＋210︒)＝－sin210︒ ＝－sin(180︒＋30︒)＝sin 30︒＝

2

1

(2) sin(－150︒15’)＝－sin150︒15’＝－sin(180︒－29︒45’) ＝－sin29︒45’＝－0.4962 (3) sin(－

47π)＝sin(－2π＋4π)＝sin 4

π

＝22

例2．化简：

()()()()()

πααπαπαπαπ---+-+-sin 3sin sin 3sin 2sin

解：（略，见教材P24）

2． 学生练习

教材P24练习1、2、3 二、归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、课后反思

第二课时 正弦函数的性质 一、教学思路

【创设情境，揭示课题】 同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y ＝sinx 在R 上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它

让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题： （1） 正弦函数的定义域是什么？ （2） 正弦函数的值域是什么？ （3） 它的最值情况如何？

（4） 它的正负值区间如何分？ （5） ƒ(x)＝0的解集是多少？ 师生一起归纳得出：

1． 定义域：y=sinx 的定义域为R

2． 值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y ＝sinx 的值域为[-1，1] 3．最值：1︒对于y ＝sinx 当且仅当x ＝2k π＋

2

π

,k ∈Z 时 y max ＝1 当且仅当时x ＝2k π－

2

π

, k ∈Z 时 y min ＝－1 2︒当2k π＜x ＜(2k+1)π (k ∈Z)时 y ＝sinx ＞0 当(2k-1)π＜x ＜2k π (k ∈Z)时 y ＝sinx ＜0

4．周期性：（观察图象） 1︒正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2︒规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3︒这个规律由诱导公式sin(2k π＋x)＝sinx 也可以说明 结论：y ＝sinx 的最小正周期为2π 5.奇偶性

sin(－x)

6

．单调性 增区间为

2

π＋[－2k

π， 2

π＋2k

π]（k∈Z），其值从－1增至1； 减区间为[

2

π

＋2k π， 23π＋2k π]（k∈Z），其值从1减至－1。

【巩固深化，发展思维】 1． 例题讲评

例1．利用五点法画出函数y ＝sinx －1的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。 解：（略，见教材P26） 2．课堂练习

教材P27的练习1、2、3

二、归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、布置作业：习题1—4第3、4、5、6、7题． 四、课后反思