高中数学正弦函数的性质
高一数学正弦型函数知识点
高一数学正弦型函数知识点正弦型函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
正弦型函数可以描述周期性变化的现象，如声音的波动、电流的变化等。
在本文中，我们将讨论正弦型函数的基本概念、性质和应用。
一、正弦型函数的定义和性质正弦型函数是指形式为y = A*sin(Bx + C)的函数，其中A、B、C为常数。
A代表振幅，B代表周期，C代表初相位。
1. 振幅（Amplitude）：指正弦函数在一周期内的最大偏离量，通常用A表示。
振幅可以决定正弦函数图像上下的波动范围。
2. 周期（Period）：指正弦函数的一个完整波动所需的水平距离，通常用T表示，T = 2π/B。
周期越小，图像波动得越快。
3. 初相位（Phase Shift）：指正弦函数图像在x轴上的左右平移量，通常用C表示。
初相位决定了图像的水平位置。
二、正弦型函数图像的特点正弦型函数的图像呈现典型的波动形态，具有以下几个特点：1. 对称性：正弦函数是关于y轴对称的，即满足f(x) = -f(-x)。
2. 周期性：正弦函数的图像是周期性重复的，即满足f(x + T) = f(x)，其中T为周期。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x) = -f(x)。
奇函数的图像关于原点对称。
4. 零点：正弦函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标值。
正弦函数的零点通常位于一周期的中心或边界。
三、正弦型函数的应用正弦型函数在数学和物理等领域有着广泛的应用，下面我们就来看几个具体的例子。
1. 声音波动：正弦型函数可以描述声音的波动，比如我们常见的音乐声音。
声音是由空气分子的周期性振动产生的，并可以通过正弦函数进行描述。
2. 电流变化：正弦型函数可以描述交流电的变化规律。
交流电的电压和电流都呈现周期性的正弦变化，采用正弦函数可以方便地描述电流变化和计算电路中的电压和电流。
3. 振动现象：正弦函数还可以描述弹簧振子、摆线钟等物理现象。
这些物理系统都有一个周期性的振动过程，借助正弦函数可以准确地描述振动的变化。
正弦函数的性质及其应用
正弦函数的性质及其应用正弦函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和物理等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍正弦函数的性质，并探讨其在不同领域的应用。
一、正弦函数的定义及基本性质正弦函数可以用一个周期为2π的函数来描述，其定义如下：f(x) = A*sin(Bx+C)+D其中A、B、C和D是常数，A代表振幅，B代表周期，C代表相位差，D代表纵向平移。
1. 周期性：正弦函数的周期为2π，即在每个周期内，其函数值会重复。
2. 对称性：正弦函数关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即-f(x) = f(-x)。
4. 增减性：正弦函数在[0,π/2]上是增函数，在[π/2,π]上是减函数，在[π,3π/2]上是减函数，在[3π/2,2π]上是增函数。
5. 最值：正弦函数的最大值为A+D，最小值为-D-A。
二、正弦函数的应用1. 波动现象：正弦函数是描述波动现象的重要工具，例如光的传播、声音的传播等。
正弦函数可以用来描述波的振幅、频率、波长等特性。
2. 信号处理：正弦函数在信号处理中有着重要的应用，例如在频谱分析中，可以将任意周期信号分解为多个正弦函数的叠加。
3. 调和运动：调和运动是指物体按正弦函数规律进行振动的运动形式。
例如弹簧振子、摆锤等的运动可以用正弦函数来描述。
4. 电力工程：交流电路中的电流、电压变化可以用正弦函数来描述。
正弦函数在电力传输、变压器等领域有着广泛的应用。
5. 声音合成：正弦函数可以用来合成各种音调的声音，例如音乐合成器就是利用正弦函数的不同频率和振幅生成各种音调。
6. 数学建模：正弦函数可以用来对一些自然现象和社会现象进行数学建模，例如天气变化、经济波动等。
三、总结正弦函数作为一种基本的周期函数，在数学和物理领域具有重要的应用价值。
本文介绍了正弦函数的定义及基本性质，并探讨了其在波动现象、信号处理、调和运动、电力工程、声音合成和数学建模等领域的应用。
高中数学的归纳三角函数的性质与应用总结
高中数学的归纳三角函数的性质与应用总结三角函数是高中数学中一个重要且广泛应用的概念。
在学习三角函数时，我们常常需要通过归纳推理来得到三角函数的性质，并将其应用于解决实际问题。
本文将对高中数学中涉及归纳三角函数性质与应用的知识进行总结。
一、三角函数的性质1. 正弦函数的性质：正弦函数（sinx）是一种周期函数，其周期为2π。
在一个周期内，正弦函数的取值范围为[-1, 1]。
当x为整数倍的π时，sinx的取值最大（1或-1）；当x为半整数倍的π时，sinx的取值最小（0）。
2. 余弦函数的性质：余弦函数（cosx）也是一种周期函数，其周期同样为2π。
同样地，在一个周期内，余弦函数的取值范围也为[-1, 1]。
当x为整数倍的π时，cosx的取值最小（-1或1）；当x为半整数倍的π时，cosx的取值最大（0）。
3. 正切函数的性质：正切函数（tanx）是一个平移的奇函数。
它的定义域是所有不是π的整数倍的实数，其值域是整个实数集。
在其中一个周期内，tanx的取值范围为(-∞, +∞)。
当x为半整数倍的π时，tanx的取值为零。
4. 扇形坐标系的性质：在扇形坐标系中，以一定半径R沿正方向绕圆心转动的射线，与极坐标轴的夹角θ称为极角。
该射线与一个固定半径r的圆交于一点P，P的坐标可表示为(r,θ)。
其中，r为点P到极坐标原点的距离。
在极坐标系中，点的坐标表示方式更加灵活，易于描述各种曲线。
二、归纳三角函数的应用1. 解决三角方程：在求解三角方程时，我们常常需要运用三角函数的性质来简化等式，进而求得方程的解。
通过将方程变形，利用三角函数的周期性、奇偶性等性质，我们可以推导出方程的根，并验证解的正确性。
2. 研究周期现象：三角函数的周期性特征使其在研究周期现象时非常有用。
周期性现象的变化规律可以通过三角函数来描述，例如天体运动、电信号波动等。
通过归纳总结三角函数的周期性性质，我们可以准确地分析周期现象的规律。
3. 分析物理问题：在物理问题中，三角函数常常被用来描述运动、波动、旋转等现象。
演示文稿高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质课件北师大版必修4201802234153
周期性 是周期函数，周期为 2kπ(k∈Z，k≠0)，2π是它的最小正周期
奇偶性
奇函数，图像关于原点对称
单调性 对称轴
在区间_[_－__π2_＋__2_k_π_，__π2_＋__2_k_π_] (k∈Z)上是增加的； 在区间_[_π2_＋__2_k_π_，__32_π_＋__2_k_π_] (k∈Z)上是减少的
从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.
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解答
反思与感悟
(1)比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区
间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较.
(2)比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin( ±βπ2)后，再依据单调性来进行
∴f(x)＝2sin2x＋2sin x－12，x∈[π6，56π]的值域为[1，72].
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解答
第二十九页，共37页。
当堂训练
1.函数 f(x)＝sinx＋π6的一个递减区间是
A.－π2，π2
B.[－π，0]
C.－23π，23π
√D.π2，23π
解析 由π2≤x＋π6≤32π， 解得π3≤x≤43π.故选 D.
思考1
对于x∈R，sin(－x)＝－sin x，这说明正弦函数具有怎样的性质？
答案 奇偶性.
第五页，共37页。
答案
思考2
正弦函数取得最大值、最小值时x的值是什么？
答案 对于正弦函数y＝sin x，x∈R有： 当且仅当 x＝π2＋2kπ，k∈Z 时，取得最大值 1； 当且仅当 x＝－π2＋2kπ，k∈Z 时，取得最小值－1.
高中数学：三角函数
高中数学：三角函数三角函数是高中数学中重要的一个章节，也是很多同学感觉比较困难的部分之一。
它是研究角和角的函数关系的一门数学分支。
在高中数学中，我们主要学习正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，以及它们之间的性质和基本解析式。
一、正弦函数1. 正弦函数的概念在直角三角形中，对于角A（不等于90°），其对边与斜边的比值称为正弦，即sinA = 对边/斜边。
在坐标系中，以一单位长度的线段在y轴上向上方向旋转，端点所在直线与x轴正半轴正向的夹角的正弦值为y，即y=sinα。
2. 正弦函数的性质（1）定义域：D={α | α∈R}。
（2）值域：[-1, 1]。
（3）奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-α)=-sinα。
（4）周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(α+2π)=sinα。
（5）单调性：在[0, π]上，正弦函数单调递增，在[π, 2π]上单调递减。
3. 正弦函数的图像练习题：1. 求sin 120°和sin (-45°)的值。
2. 若α∈[0, 2π]，求证：sin(π-α)=sinα。
3. 若cosα=4/5，α∈[0, π/2]，求sinα的值。
4. 已知sinα=-1/5，α∈[π/2, π]，求cosα的值。
5. 求证：sin(π/2-α)=cosα。
参考答案：1. sin 120°=sin(120°-360°)=sin(-240°)=-sin240°=-√3/2；sin(-45°)=-sin45°=-1/√2。
2. sin(π-α)=sinπcosα-cosπsinα=-sinα。
3. sinα=3/5。
4. cosα=-√24/5。
5. sin(π/2-α)=cosα。
二、余弦函数1. 余弦函数的概念在直角三角形中，对于角A（不等于90°），其邻边与斜边的比值称为余弦，即cosA = 邻边/斜边。
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的三角函数，它们的图像和性质十分重要。
本
文将初步介绍正弦函数和余弦函数的性质（单调性）。
一、正弦函数
正弦函数的标准式为 y = sin x，表示角度 x 所对应的正弦值。
正弦函数的周期为
2π，即sin(x + 2π) = sin x。
正弦函数的图像如下：
从图中可以发现，正弦函数在定义域上是周期性的、振动的。
而其振动情况是单调递增，即在每个周期内都是由最小值逐渐增加到最大值，然后再回落到最小值。
例如，当x ∈ [0,π/2] 时，sin x 在该区间中的值是单调递增的。
当x ∈ [π/2,π] 时，sin x 在该区间中的值是单调递减的。
当x ∈ [π,3π/2] 时，sin x 在该区间中的值是单调递增的。
当x ∈ [3π/2,2π] 时，sin x 在该区间中的值是单调递减的。
总结来说，正弦函数在一个周期内是单调递增-单调递减的交替变化。
每个周期的最
大值为 1，最小值为 -1。
当x = kπ （k∈Z）时，正弦函数的值为 0。
总结
在高中数学中，我们需要掌握正弦函数、余弦函数的相关性质，特别是它们的单调性。
正弦函数在一个周期内是单调递增-单调递减的交替变化；余弦函数在一个周期内是单调
递减-单调递增的交替变化。
掌握这些性质可以更好地理解和运用三角函数。
高中数学-必修二7.1正弦函数的图像与性质-知识点
1 高中数学-必修二7.1正弦函数的图像与性质-知识点1、正弦函数：y=sinx ，x ∈R 。
函数图像作图的基本方法是：描点法，步骤是：①列表，②描点，③连线。
正弦函数利用“ 五点法 ”画图， （0，0） （π/2，1） （π，0） （3π/2，-1） （2π，0）2、在单位圆中，①正弦线：PM = sin α；②余弦线：OM = cos α；③正切线：AT = tan α。
3、函数的图像变换除了 平移 变换外，还有 对称 变换，一般地，函数f(-x)与f(x)图像关于 y 轴 对称；函数-f(x)与f(x)图像关于 x 轴 对称；函数-f(-x)与f(x)图像关于 原点 对称；函数f(x )的图像，y 轴右侧 部分与f(x)的图像 相同 ，y 轴左侧部分与自己右侧部分关于 y 轴 对称；将f(x)图像x 轴上方 部分不变 ， x 轴下方 部分 翻折 到 x 轴上方 可得)(f x 的图像。
4、解三角不等式sinx ＞a （a ＜1）的方法：①作出直线 y=a ， y=sinx 的图像；②确定sinx=a 的 值 ；③选取一个 合适区间 写出sinx ＞a 的解集，要尽量使解集为一个 连续区间 。
5、对于函数f(x)，如果恒有f(x+T)=f(x) ，T ≠0，则f(x)是以 T 为周期的周期函数。
在所有周期中的最小正数，叫做最小正周期 ，正弦函数的最小正周期是2π。
①对于y=Asin （ωx+φ），ω≠0，T= ωπ2 ；②对于形如y=x Asin ω的周期情况，常结合图像 来解决，通常，周期是减半的，即T= ωπ。
6、抽象函数的周期：①若有f( x+a )=f(x) 或f( x-a ) =f(x) ，则周期为a ；②若有f( x+a )= f(x-a)或f( x+2a )=f(x)或f( x+a )=-f(x)或f(x+a)=)(f 1x 或f(x+a)= )(f 1x - ，则周期为2a 。
高中数学三角函数的性质及相关题目解析
高中数学三角函数的性质及相关题目解析一、三角函数的基本性质三角函数是高中数学中重要的概念之一，它包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在解析三角函数题目之前，我们首先来了解一下三角函数的基本性质。
1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
3. 正负性：在单位圆上，正弦函数的值在[-1,1]之间取值；余弦函数的值也在[-1,1]之间取值；正切函数的值在整个实数轴上取值。
二、三角函数的相关题目解析1. 题目一：已知sinθ=1/2，求cosθ的值。
解析：根据三角函数的基本性质，我们可以利用三角函数的定义来解决这个问题。
已知sinθ=1/2，代入sinθ=y/r，其中y为θ对应的直角三角形的对边，r为斜边的长度。
假设y=1，r=2，则根据勾股定理，可以求得斜边的长度为√5。
根据余弦函数的定义cosθ=x/r，其中x为θ对应的直角三角形的邻边，r为斜边的长度。
代入已知条件，可以求得cosθ=√3/2。
2. 题目二：已知cosθ=-1/2，求sinθ的值。
解析：同样地，根据三角函数的定义，我们可以利用已知条件来求解。
已知cosθ=-1/2，代入cosθ=x/r，其中x为θ对应的直角三角形的邻边，r为斜边的长度。
假设x=-1，r=2，则根据勾股定理，可以求得斜边的长度为√5。
根据正弦函数的定义sinθ=y/r，其中y为θ对应的直角三角形的对边，r为斜边的长度。
代入已知条件，可以求得sinθ=√3/2。
3. 题目三：已知tanθ=1，求θ的值。
解析：根据正切函数的定义tanθ=y/x，其中y为θ对应的直角三角形的对边，x 为邻边。
已知tanθ=1，代入已知条件，可以得到y=x。
根据勾股定理，可以得到斜边的长度为√2。
根据三角函数的定义，我们可以得到sinθ=y/r=1/√2，cosθ=x/r=1/√2。
高中数学必修正弦定理
采用更精确的数据处理算法，减少数据计算过程 中的误差。
03 完善理论模型
不断改进理论模型，使其更接近实际情况，减少 模型误差。
计算技巧总结与提高
熟练掌握正弦定理的 公式和推导过程，理
解其物理意义。
学会利用图形辅助计 算，将抽象问题具体 化，降低计算难度。
掌握一些常用的数学 方法和技巧，如代数 运算、三角函数性质 等，以便在解决问题 时能够灵活运用。
实际问题中应用举例
在测量问题中，如已知两地之间的距离和方位角，可利用正弦定理求出第三地相对 于前两地的位置。
在航海、地理等领域中，正弦定理可用于计算两点之间的最短距离（即大圆航线） 。
在物理问题中，如已知物体的位移和速度方向之间的夹角，可利用正弦定理求出物 体的合速度。
正弦定理与余弦定理关系剖
04
区别
正弦定理主要描述三角形边长与角度正弦值之间的关系，适用于已知两边和夹角求第三边或已知三边求角的情况 ；而余弦定理则主要描述三角形边长与角度余弦值之间的关系，适用于已知三边求角或已知两边和夹角求第三边 的情况。
综合运用举例
已知三角形的两边长a、b和夹角C，求第三边c的长度。此时可以先利用余弦定理求出c²的 值，再开方得到c的长度。
不同方法间联系与比较
几何法与向量法联系
几何法和向量法都是基于图形和向量的性质进行推导，两种方法在某些步骤上 可以相互转化。
解析法与几何法、向量法比较
解析法更注重数学公式的推导和计算，而几何法和向量法则更侧重于图形和向 量的直观性质。在实际应用中，可以根据问题的具体特点选择合适的方法进行 证明。
正弦定理在解三角形中应用
析
余弦定理基本概念及表达式
余弦定理定义
三角函数最全知识点总结
三角函数最全知识点总结三角函数是高中数学中的重要内容，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
下面将对这些三角函数的定义、性质以及常用的解题方法进行总结。
一、正弦函数（sin）：1. 定义：在单位圆上，任选一点P与x轴正方向的夹角为θ，P点的纵坐标y即为θ的正弦值，记作sinθ。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
2. 周期性：sin(θ+2π)=sinθ，sin(θ+π)=-sinθ。
其中π为圆周率。
3. 奇偶性：sin(-θ)=-sinθ，即正弦函数关于原点对称。
4. 正负性：当θ为锐角时，sinθ>0；当θ为钝角时，sinθ<0。
5. 值域变化：当θ从0增加到π/2时，sinθ从0增加到1，然后再从1减小到0。
二、余弦函数（cos）：1. 定义：在单位圆上，任选一点P与x轴正方向的夹角为θ，P点的横坐标x即为θ的余弦值，记作cosθ。
余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
2. 周期性：cos(θ+2π)=cosθ，cos(θ+π)=-cosθ。
3. 奇偶性：cos(-θ)=cosθ，即余弦函数关于y轴对称。
4. 正负性：当θ为锐角时，cosθ>0；当θ为钝角时，cosθ<0。
5. 值域变化：当θ从0增加到π/2时，cosθ从1减小到0。
三、正切函数（tan）：1. 定义：正切值tanθ等于θ的正弦值除以θ的余弦值，即tanθ=sinθ/cosθ。
正切函数的定义域为实数集，值域为实数集。
2. 周期性：tan(θ+π)=tanθ。
3. 奇偶性：tan(-θ)=-tanθ，即正切函数关于原点对称。
4. 正负性：当θ为锐角时，tanθ>0；当θ为钝角时，tanθ<0。
四、反三角函数：1. 反正弦函数：定义域为[-1,1]，值域为[-π/2，π/2]。
记作arcsin x或sin⁻¹x。
2. 反余弦函数：定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
高中数学教案：正弦函数图像的性质与应用
高中数学教案：正弦函数图像的性质与应用一、正弦函数图像的性质正弦函数是高中数学中一个重要的函数，学习正弦函数的图像的性质和应用，能够帮助学生更好地理解数学概念和解决实际问题。
本文将讨论正弦函数图像的周期、幅值、对称轴和零点，以及正弦函数在实际应用中的一些例子和应用。
1.1 周期性正弦函数的图像是一个周期函数，它的周期是2π。
也就是说，正弦函数的图像在横轴上每2π个单位长度上重复一次。
这一特性使得我们可以在一定的范围内研究正弦函数的性质，然后将其扩展到整个数轴上。
1.2 幅值和对称轴正弦函数的图像在纵轴方向上波动，振幅表示纵轴方向的最大偏移量。
对于一般的正弦函数 y = A*sin(Bx-C)，A表示幅值，是正弦函数图像在纵轴上的最大值或最小值与x轴的距离之差的一半。
也就是说，正弦函数的中心线（即零线）位于最大值和最小值之间的中间位置。
对称轴是正弦函数图像的一条垂直线，它将图像分为两个对称的部分。
对于一般的正弦函数 y = A*sin(Bx-C)，对称轴的方程为 x = C/B。
也就是说，对称轴的位置跟B有关，B越大，对称轴的位置越靠近原点。
1.3 零点正弦函数的图像在横轴上的零点是指函数值为零的点，也就是正弦函数的解。
对于一般的正弦函数 y = A*sin(Bx-C)，零点的坐标为 (C/B, 0)、(2π/B+C/B, 0)、(4π/B+C/B, 0)、... 以此类推。
正弦函数在横轴上的零点是平衡点，对于很多实际问题的建模和解决都有重要意义。
二、正弦函数图像的应用正弦函数不仅在数学中具有重要性，而且在物理、工程学、音乐等领域也具有广泛的应用。
下面将介绍一些正弦函数在实际应用中的例子和应用。
2.1 摆动正弦函数的周期性使得它非常适合描述摆动的现象。
以钟摆为例，它的运动可以用正弦函数进行建模。
正弦函数的周期是固定的，很好地描述了钟摆的周期性运动。
此外，正弦函数的振幅可以用来表示钟摆摆动的幅度大小。
高中数学课件-第一章 正弦函数的图像与性质
周期函数：f(x+T)=f(x) 最小正周期：所有周期中最小的正数
y 1
4 x
y 1
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
定义域
x∈ R
值域 最值及相应的 x
的集合
周期性 奇偶性
单调性
[-1,1]
x= 2kπ+
π
2
时
ymax=1
x=2kπ-
π
2
时 ymin=-1
周期为T=2π
奇函数
当函当数xx∈ ∈是[[22增kkππ加+- 的ππ22，,,22kkππ++
例2.画出y=1+sinx , x∈[0， ]的简图
解：(2)
x
0
π 2
π
3π 2
2
sinx 0
1
0
-1
0
1sinx 1
2
1
0
1
y. 1.
y 1 sinx,x [0,2π]
.
.
o -1
.
π 2
3π 2
2
x
y sinx,x [0,2π]
3. 作出下列函数的图象
y 3 sin x x [0 , 2 ]
求函数y=2+sinx的最大值、最小值和周期，并求这个函数取 最大值、最小值的x值的集合。
解： ymax 2 sin x max 2 1 3
ymin 2 sin x min 2 (1) 1 周期T 2
使y=2+sinx取得最大值的x的集合是：
x
x
2
2k , k
Z
使y=2+sinx取得最小值的x的集合是：
正弦函数的性质
π
度 为
,k ∈ Z
周 期 的 一 半
变式:求函数 的单调区间. 变式 求函数 y=2sin(-x )的单调区间 的单调区间
解： y = 2 sin(− x) = −2 sin x Q
函数在 [ −
π
2
π
2
+2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 上单调递减 π π ∈
3π 2
π
思考:令 思考 令t=-x,则y=2sint 则
Q
函数在 [
+2kπ, π
+2kπ],k∈Z上单调递增 π ∈
不通过求值，比较大小： 例3 不通过求值，比较大小： (1) sin 20 , sin170 (3) sin(− 23π ) 5 解(2) Q ,
0
0
(2) sin( −
)
π
18
), sin( −
π
10
)
π π π π Q 又 y=sinx 在[− , ]上是增函数 − <− <− < 2 2 2 10 18 2 π π sin( − ) < sin(− ) 方法归纳： 方法归纳：利用
再看正弦函数,由诱导公式 一) 再看正弦函数 由诱导公式(一 由诱导公式
sin( x + 2kπ ) = sin x, k ∈ Z
即自变量x的值每增加或减少 即自变量 的值每增加或减少 值重复出现(函数值不变 函数值不变)! 值重复出现 函数值不变
的整数倍,正弦函数的 2π 的整数倍 正弦函数的
一般地,对于函数 如果存在一个非零常数 一般地 对于函数f(x),如果存在一个非零常数 使得定义域 对于函数 如果存在一个非零常数T,使得定义域 内的每一个 值都满足: 每一个x值都满足 内的每一个 值都满足
高中数学同步教学课件 正弦函数的性质与图像(一)
跟踪训练 2.求函数 y＝－3sin2x＋9sin x＋54的最大值． 解：令 t＝sin x，则 t∈[－1，1]． 二次函数 y＝－3t－322＋8 在 t∈[－1，1]上递增．故原函数当 sin x＝1 时取 最大值，即 ymax＝－3×1－322＋8＝249.
探究三 正弦函数的单调性及应用
由图像可得最小正周期为 π. 【答案】B
(2)判断函数 y＝sinx－1 的奇偶性． 解：定义域为 R.f(－x)＝sin(－x)－1＝－sinx－1， ∴f(－x)≠f(x)且 f(－x)≠－f(x)，∴f(x)为非奇非偶函数．
探究二 正弦函数的最值
例 2.求下列函数的最大值和最小值． (1)y＝ 1－12sin x； (2)y＝3＋2cos2x＋π3； (3)y＝2sin2x＋π3－π6≤x≤π6.
解：(1)由题意知1－12sin x≥0， 所以－1≤sin x≤1. －1≤sin x≤1，
故当 sin x＝－1 时，ymax＝ 26；
当
sin
x＝1
时，ymin＝
2 2.
(2)因为－1≤cos2x＋π3≤1， 所以 1≤3＋2cos2x＋π3≤5. 故当 cos2x＋π3＝1 时，ymax＝5； 当 cos2x＋π3＝－1 时，ymin＝1.
由图象可知 T＝π. 【答案】(1)A (2)π
(3)解：∵ƒ(x)的最小正周期是 π，
∴ƒ53π＝ƒ53π－2π＝ƒ－π3 ∵ƒ(x)是 R 上的偶函数，
∴ƒ－π3＝ƒ3π＝sinπ3＝
3 2.
∴ƒ53π＝
3 2.
反思感悟 (1)判断函数奇偶性应把握好两个关键点： 关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称. 关键点二：看f (x)与f (－x)的关系. 对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将 函数式化简后再判断.
高中数学1.3.12正弦函数的性质课件新人教B必修4.ppt
例1：设sinx=t－3，x∈R，求t的取值范围。
解：因为－1≤sinx≤1, 所以－1≤t－3≤1, 由此解得2≤t≤4.
例2： 求使下列函数取得最大值的自变量x的
集合，并说出最大值是什么.
(1) y＝sin2x，x∈R;
(2) y=sin(3x+ 4
) －1
解：(1) 令w＝2x，那么x∈R得Z∈R，且使函
数y＝sinw，w∈R，取得最大值的集合是
由｛2wx｜＝ww＝＝22
＋2kπ，k∈Z｝ ＋2kπ，
得x＝
4
＋kπ.
即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的 集合是｛x｜x＝ ＋kπ，k∈Z｝
4
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.
(2) 当3x+ =2k+ 即 x= 2k (kZ)时,
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)
（其中 A0,0,xR）的周期是
T 2
例4：不通过求值，指出下列各式大于0还是
小于0,
(1)sin(－ )－sin(－ )；
18
10
(2)sin(－ 23
5
)－sin(－
17
4
)．
解：(1) ∵
2 10 18 2
且函数y＝sinx，x∈［－ ， ］是增函数
注意：
(1) 周期函数中，x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0，则定义域无上界；T<0则定义域无下 界；
(2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就 不为周期函数（如f (x0+T)f (x0)）；
(3) T往往是多值的（如y=sinx, T=2, 4, … , －2, － 4, …都是周期）周期T中最小的正数 叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最 小正周期）.
高中数学必修1正弦函数的基本性质
高中数学必修1正弦函数的基本性质
正弦函数是高中数学中一个重要的概念，对于理解三角函数以
及解决相关问题非常有帮助。
下面将介绍正弦函数的基本性质。
基本定义
正弦函数是一个周期性函数，以sin(x)表示，其中x是角度。
正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1, 1]，且以2π为一个周期。
奇偶性
正弦函数是一个奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。
这意味着正
弦函数在原点对称。
周期性质
正弦函数的周期是2π，即sin(x + 2π) = sin(x)。
这意味着在一
个周期内，正弦函数的图像是重复的。
对称性
正弦函数以原点为中心，图像关于原点对称。
增减性
正弦函数在一个周期内是先增后减的。
在[0, π]区间内，正弦函数是递增的；在(π, 2π]区间内，正弦函数是递减的。
特殊角
正弦函数在特殊角的取值上有一些特点：
1. 当x = 0时，sin(x) = 0；
2. 当x = π/2时，sin(x) = 1；
3. 当x = π时，sin(x) = 0；
4. 当x = 3π/2时，sin(x) = -1。
这些特殊角可以帮助我们在解决问题时快速计算正弦函数的值。
总结
正弦函数是一个周期性、奇函数，具有对称性和增减性。
了解正弦函数的基本性质对于解决相关的问题非常重要。
以上就是高中数学必修1正弦函数的基本性质的介绍。
如果对于正弦函数还有其他问题或深入了解的需求，请随时向我提问。
高中数学三角函数性质的证明与应用实例
高中数学三角函数性质的证明与应用实例三角函数是高中数学中重要的内容之一，它们具有丰富的性质和广泛的应用。
在学习三角函数时，我们不仅需要了解它们的定义和基本性质，还需要学会运用这些性质解决实际问题。
本文将通过举例，分析和说明三角函数的性质及其应用，帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、三角函数的基本性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都具有一些基本性质。
以正弦函数为例，它满足以下性质：1. 周期性：sin(x+2π)=sin(x)，其中π是圆周率。
这意味着正弦函数在每个周期内的取值是相同的，可以通过这一性质简化计算。
2. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数是奇函数，关于原点对称。
这一性质可以用来简化一些复杂的计算。
3. 反函数：正弦函数的反函数是反正弦函数，记作arcsin(x)或sin^(-1)(x)。
反正弦函数的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。
反正弦函数可以用来求解三角方程和解三角形。
二、三角函数的应用实例三角函数在实际问题中有着广泛的应用，下面通过几个例子来说明。
例1：已知一个直角三角形的斜边长为10，其中一个锐角的对边长为6，求另一个锐角的对边长。
解析：根据勾股定理可得，斜边的平方等于两个锐角的对边长的平方和，即10^2=6^2+x^2。
通过解这个方程可以求得x≈8.49。
例2：一辆汽车从A点出发，以60km/h的速度向东行驶2小时后到达B点，然后改变方向以40km/h的速度向北行驶3小时，到达C点。
求AC的距离和方向角。
解析：根据速度的合成原理，汽车的位移可以表示为AB+BC，其中AB=60km/h×2h=120km，BC=40km/h×3h=120km。
根据余弦定理，AC的平方等于AB的平方加上BC的平方减去2倍AB与BC的乘积的余弦，即AC^2=120^2+120^2-2×120×120×cos(90°)。
正弦函数的知识点高一上册
正弦函数的知识点高一上册正弦函数是初等函数中的一种，是数学中非常重要的一个概念。
在高中数学的课程中，正弦函数的学习是高一上册的重点内容之一。
下面，我们来详细介绍一下正弦函数的知识点。
一、正弦函数的定义和性质1. 正弦函数的定义正弦函数可以用一个周期为2π的周期函数来表示，记作y = sinx。
其中，x表示自变量的取值，y表示因变量的取值，函数定义域为实数集R，值域为[-1, 1]。
2. 正弦函数的图像特点正弦函数的图像是一条波浪线，呈现出周期性变化的特点。
当x为0时，对应的y值为0；当x为π/2时，对应的y值为1；当x为π时，对应的y值为0；当x为3π/2时，对应的y值为-1；当x为2π时，对应的y值再次为0。
这个周期段内的函数图像可以通过这几个特殊点来得到。
二、正弦函数的函数图像与性质1. 正弦函数的图像正弦函数的图像是一条波浪线，具有周期性变化的特点。
在一个周期的长度内，它满足于y = sinx的定义。
2. 正弦函数的性质正弦函数具有以下性质：- 奇函数：y = sinx是一个奇函数，即满足于f(-x) = -f(x)的性质。
- 周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sinx。
- 对称性：正弦函数具有关于y轴和y = 0的对称性，即sin(-x) = -sinx，sin(π-x) = sinx。
三、正弦函数的应用正弦函数在实际生活和科学研究中有广泛的应用。
以下是正弦函数的一些常见应用：1. 天体运动的描述：正弦函数可以用来描述太阳、月亮等天体的运动规律，例如描述它们的升起和落下。
2. 声音和光的传播：正弦函数可以用来描述声音和光的传播过程中的频率、振幅等参数。
3. 交流电的描述：正弦函数可以用来描述交流电的变化过程，例如电压和电流的周期性变化。
4. 振动和波动现象：正弦函数可以用来描述各种振动和波动的变化规律，例如弹簧振子的运动、海浪的涨落等。
四、正弦函数的求解与图像变换1. 正弦函数的求解使用正弦函数进行方程的求解时，常用到正弦函数的性质和相关的三角恒等式，例如sinx = a的解可以通过查表或者使用计算器得到。
正弦函数三要素
正弦函数三要素1. 引言正弦函数是高中数学中的重要概念，它在物理、工程等领域中有着广泛的应用。
理解正弦函数的三要素对于解题和应用都至关重要。
本文将深入探讨正弦函数的三要素，包括幅度、周期和相位差。
2. 正弦函数的基本性质正弦函数是一个周期函数，表示了一种周期性变化的情况。
以下是正弦函数的几个基本性质： - 正弦函数的定义域是整个实数集，值域在[-1, 1]之间。
- 正弦函数以原点(0, 0)为对称轴，关于x轴对称。
- 正弦函数的图像是光滑的曲线，具有连续性。
3. 幅度幅度是指正弦函数图像在垂直方向上的伸缩程度，表示了波动的大小。
幅度用字母A表示，可以理解为波峰和波谷到x轴的距离。
3.1 幅度的影响幅度的变化会导致正弦函数图像的大小发生改变。
当幅度增大时，波动的幅度增大；当幅度减小时，波动的幅度减小。
幅度为负数时，图像在y轴上方波动；幅度为正数时，图像在y轴下方波动。
3.2 幅度的表示幅度可以用具体的数值表示，也可以用函数表达式表示。
例如，正弦函数y =2sinx的幅度为2，y = Asinx的幅度就是A。
4. 周期周期是指正弦函数图像在水平方向上的重复性，表示了波动的频率。
周期用字母T表示，可以理解为两个相邻波峰或波谷之间的距离。
4.1 周期的影响周期的变化会导致正弦函数图像的密集程度发生改变。
当周期增大时，波动的频率降低；当周期减小时，波动的频率增高。
4.2 周期的表示周期可以用具体的数值表示，也可以用函数表达式表示。
例如，正弦函数y =sin2x的周期是π，y = sin(Tx)的周期就是T。
5. 相位差相位差是指正弦函数图像在水平方向上的平移程度，表示了波动的起始位置。
相位差用字母φ表示，可以理解为图像的左右平移距离。
5.1 相位差的影响相位差的变化会导致正弦函数图像在水平方向上发生平移，相位差为正数时，图像向左平移；相位差为负数时，图像向右平移。
5.2 相位差的表示相位差可以用具体的数值表示，也可以用函数表达式表示。
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正弦函数的性质
一、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）进一步熟悉单位圆中的正弦线；（2）理解正弦诱导公式的推导过程；（3）掌握正弦诱导公式的运用；（4）能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；（5）理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；（6）能熟练运用正弦函数的性质解题。
2、 过程与方法
通过正弦线表示α,－α,π－α,π＋α,2π－α,从而体会各正弦线之间的关系；或从正弦函数的图像中找出α,－α,π－α,π＋α,2π－α，让学生从中发现正弦函数的诱导公式；通过正弦函数在R 上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。
难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。
三、学法与教学用具
在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式；通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用；在正弦函数的图像中，直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认识；理解掌握正弦函数的性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 正弦函数诱导公式 一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2k π＋α)＝sin α (k∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值。
如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。
这就是我们这一节课要解决的问题。
【探究新知】
1． 复习：（公式1）sin(360︒k +α) = sin α
2． 对于任一0︒到360︒的角，有四种可能（其中α为不大于90︒的非负角）
[
[
[
⎪⎪⎪⎪⎨⎧β∈βα-β∈βα+β∈βα-β∈βα=β为第四象限角
），当为第三象限角），
当为第二象限角
），
当为第一象限角，当
36027036027018018018090180)
900 （以下设α为任意角）
3． 公式2：
设α的终边与单位圆交于点P(x ,y )，则180︒+α终边与单位圆交于点P’(-x ,-y )，由正弦线可知： sin(180︒+α) = -sin α
4．公式3：
同样可得： P (,-y )
sin(-α) = -sin α,
5． 公式4：由公式2和公式3可得：
sin(180︒-α) = sin[180︒+(-α)] = -sin(-α) = sin α,
同理可得： sin(180︒-α) = sin α, 6．公式5：sin(360︒-α) = -sin α 【巩固深化，发展思维】 1． 例题讲评 例1． 求下列函数值
（1）sin(－1650︒)； （2）sin(－150︒15’)； (3)sin(－
4
7
π) 解：（1）sin(－1650︒)＝－sin1650︒＝－sin(4×360︒＋210︒)＝－sin210︒ ＝－sin(180︒＋30︒)＝sin 30︒＝
2
1
(2) sin(－150︒15’)＝－sin150︒15’＝－sin(180︒－29︒45’) ＝－sin29︒45’＝－0.4962 (3) sin(－
47π)＝sin(－2π＋4π)＝sin 4
π
＝22
例2．化简：
()()()()()
πααπαπαπαπ---+-+-sin 3sin sin 3sin 2sin
解：（略，见教材P24）
2． 学生练习
教材P24练习1、2、3 二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、课后反思
第二课时 正弦函数的性质 一、教学思路
【创设情境，揭示课题】 同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y ＝sinx 在R 上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它
让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题： （1） 正弦函数的定义域是什么？ （2） 正弦函数的值域是什么？ （3） 它的最值情况如何？
（4） 它的正负值区间如何分？ （5） ƒ(x)＝0的解集是多少？ 师生一起归纳得出：
1． 定义域：y=sinx 的定义域为R
2． 值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y ＝sinx 的值域为[-1，1] 3．最值：1︒对于y ＝sinx 当且仅当x ＝2k π＋
2
π
,k ∈Z 时 y max ＝1 当且仅当时x ＝2k π－
2
π
, k ∈Z 时 y min ＝－1 2︒当2k π＜x ＜(2k+1)π (k ∈Z)时 y ＝sinx ＞0 当(2k-1)π＜x ＜2k π (k ∈Z)时 y ＝sinx ＜0
4．周期性：（观察图象） 1︒正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2︒规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3︒这个规律由诱导公式sin(2k π＋x)＝sinx 也可以说明 结论：y ＝sinx 的最小正周期为2π 5.奇偶性
sin(－x)
6
．单调性 增区间为
2
π＋[－2k
π， 2
π＋2k
π]（k∈Z），其值从－1增至1； 减区间为[
2
π
＋2k π， 23π＋2k π]（k∈Z），其值从1减至－1。
【巩固深化，发展思维】 1． 例题讲评
例1．利用五点法画出函数y ＝sinx －1的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。
解：（略，见教材P26） 2．课堂练习
教材P27的练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、布置作业：习题1—4第3、4、5、6、7题． 四、课后反思。