2017_18学年高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1.1实数指数幂及其运算学案
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3_1_1 实数指数幂及其运算课件 新人教B版
1 1 5 ( x y )( x y 4 6 1 mm 2 m
1 2
)
m
1 2
快乐体验：
1.
81 16
3 4
的值是(
8 B. 27
)
3 C. 2
D. 3 2
8 A. 27
2.
3
1 2
2
2
化简得（ ）
1 3
A. 2
0
B. 2
C. 2
若x a，则x叫a的立方根（或三次方根）
3
a只有一个立方根
若x a，则x叫a的n次方根。
n
方根
若存在实数x，使x n a（a R，n 1，n N ）， 则x叫a的n次方根。 开方运算
偶次方根 奇次方根
n
实 a0 n a 数 a a 0 不存在
a 根式
a3
的结果是（ ） D. a 1
小结
1：运算性质：
（ 1 ）a a
a
（2）（a ）偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数， 负数的偶次方根无意义，零的任何次方根为零
2
2 3 3
1 4 3
3 4
（b ） ⑤（a b ）（a b ） （a ） a b
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 2
1 2 2
⑥（a b ） a b 2a b
1 2
1 2 2
1 2
1 2
例2.化简下列各式
(1)
5x
1 2
2 3
y
1 2 1 3 1 6
(2)
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算教学素材 新人教B版必修1
3.1.1 实数指数幂及其运算教学建议1.讲授新课时可先复习初中学过的整数指数幂的概念及运算.对于指数幂a n ,当指数n 扩大到有理数时,要注意底数a 的变化范围.如当n=0时,底数a≠0,当n 为负整数指数时,底数a≠0;当n 为分数时,底数a>0.同时注意使学生通过练习掌握根式的运算顺序,先把根式化成分数指数幂,再根据幂的运算性质进行计算.注意符号的确定和检验.遵循以下原则:在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,零的奇次方根是0;在实数范围内,正数的偶次方根是两个绝对值相等且符号相反的数,零的偶次方根是0,负数的偶次方根无意义.2.讲授本节内容要结合对比法,揭示其内涵与外延及其与旧概念的联系.运用有理指数幂运算性质进行化简、求值.要掌握解题技巧,如凑完全平方、录求同底幂等方法.让学生注意幂的运算性质的掌握,切实理解和熟练掌握并明确区分公式:n n a )(=a(n∈N *且n>1);与n n a =⎩⎨⎧.|,|,,为偶数为奇数n a n a 备用习题1.由实数x,-x,｜x ｜,2x ,-33x 所组成的集合,最多有个________元素.( ) A.2 B.3 C.4 D.5解析：(1)对x,-x,｜x ｜没有仔细确定,由2x =｜x ｜,33x -=-x 知无论x>0,x<0都只有两个元素,x=0时有一个元素.所以最多有2个元素,故选A.答案：A2.若m=(2+3)-1,n=(2-3)-1,则(m+1)-2+(n+1)-2的值是( ) A.1 B.41 C.22 D.32 解析：m=(2+3)-1=2-3, n=(2-3)-1=2+3.∴(m+1)-2+(n+1)-2=(3-3)-2+(3+3)-2 =2222)33()33()33()33(+--++=3624=32. 故选D.答案：D 3.x y y x xyy x yx ++++2=________.解析：原式=y x y x +++)(2y x xy xy + =y x y x +++yx xy +2+y x y x ++2)( =y x +. 答案：y x +4.设x 3+x -3=2,求x+x1的值. 解析：这里首先应把x+x1看作一个整体去寻求与已知条件的联系,再利用乘法公式把已知表示成关于x+x1的方程,解此方程即可. 由乘法公式x 3+x -3=(x+x 1)(x 2+21x-1), 又x 2+21x =(x+x 1)2-2. 故x 3+x -3=(x+x 1)［(x+x 1)2-3］,令x+x1=m,则方程变形为m(m 2-3)=2. 解方程得m=-1或m=2.若m=-1,则有x+x 1=-1, 此时方程无解,故m=-1舍去.∴m=2,即x+x 1=2.。
2017-2018学年高一数学人教B版必修1课件：3-1-1实数指
)
答案:D
【做一做 3-2】 计算: 2 3 ×
3
1.5 ×
6
12.
解: 2 3 ×
1 1 1 + + 32 3 6
3
1.5 ×
6
12 = 2 ×
1 32
×
3 2
1 3
×
1 (3×22)6
=2
1- +
1 1 3 3
×
= 2×3=6.
1
2
3
4
4.无理指数幂 教材中通过实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义. 一般地,无理指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数. 另外,我们要熟记经常要用的公式: (1)a-b=( ������ − ������ )( ������ + ������ )(a>0,b>0);
(2)a± 2 ������������ + ������ = ( ������ ± ������ )2(a>0,b>0).
1
2
3
4
②在实数范围内,正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反
的数,零的偶次方根是零,负数的偶次方根没有意义.设 a≥0,n 是大于 1 的偶数 ,则 a 的 n 次方根是 ± (4)根ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的性质:
������
������. 其中 ������叫做a 的 n 次算术根.
������
①( ������ ������)n=a(n>1,且 n∈N+);
5 4
1
2
3
4
【做一做 2-2】 计算 (-8) + ( 2- 3)2= .
3
3
3.1.1实数指数幂及其运算
23 2
a ( a 0) 当n为偶数时 a a a ( a 0)
n
当n为偶数时：
4
4
24 2
( 2 ) 4 2 2
例1
( 2 ) 2 ( 7 ) 2 ＝7 ( 3)3 ( a 1) 3 ＝a-1
∵根指数2为偶数
∵根指数3为奇数
（2）当n为奇数时
解
；(2)(0.064)
－
2 3
125 (1) 27
－ 2 3
2 3
5 ＝33
2 3
5 25 2 ＝3 ＝9.
2
；
(2)(0.064) 4
＝[(0.4) ]
3 － 3
(3)
4
1 25 ＝0.4 ＝ 2＝ . 0.4 4
－2
256 － 3；(4) 2401
(3)a
m n
1 n
m n
1 a
m n
(a 0, m, n N *,且n 1)
(4)有理指数幂的运算法则：
α＋β a ①a a ＝_____ (a>0，α，β∈Q)；
α β
aαβ (a>0，α，β∈Q)； ②(aα)β＝_____
α α a b (a>0，b>0，α∈Q)． ③(ab) ＝_____
＝
n
am 中，为什么必
n
m
m n
＝ a 不一定成立，如(－2)
n
m
3 2
＝ －23 无
2
意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
例2（用根式表示下列各式）
(1)a
2 3
a
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算》_1
3.1.1 实数指数幂及其运算（一）一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解n次方根和根式的概念；（2）理解分数指数幂的概念；（3）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（4）掌握分数指数幂的运算性质；2．过程与方法：（1）通过与初中所学的知识进行类比，掌握n次方根及根式的概念.（2）正确运用根式运算性质进行运算，体验分类讨论思想的应用.（3）通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点1．教学重点：（1）根式概念的理解与运算性质（2）分数指数幂概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：根式概念、分数指数幂概念的理解三．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2．教具：多媒体四．教学过程（一）复习提问：知识点一：整数指数幂的概念及性质初中学习的整数指数幂及其运算性质 知识点二 n 次方根、n 次根式提问：若x2＝3，这样的x 有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若 33=x ，这样的x 有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零. （二）新课讲解1类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念.n 次方根：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊，当n为偶数时，a 的n表示，如果是负数，用叫做根式.n 为奇数时，a 的n表示，其中n 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？,,:,,n a n a n a n ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数 的次方根有一个为正数为偶数 的次方根有两个为n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n0=举例：16的次方根为2±，275-的27-的4次方根不存在. 小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况. 例1 求下列各式的值:(1)33)8(-;(2)2)10(-;(3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a >b ).活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数.解：(1)33)8(-=－8; (2)2)10(-=10; (3)44)3(π-=π－3; (4)2)(b a -=a －b (a >b ).点评：不注意n 的奇偶性对式子n na 的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用.问题：n na =a 与(n a )n =a （n ＞1，n ∈N ）哪一个是恒等式，为什么?请举例说明.活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n 次方根的定义.通过归纳，得出问题结果，对a 是正数和零，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下.再对a 是负数，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论. 解答：①（n a ）n =a （n ＞1，n ∈N ）.如果x n =a （n ＞1，且n ∈N ）有意义，则无论n 是奇数或偶数，x =n a 一定是它的一个n 次方根，所以（n a ）n =a 恒成立.例如：（43）4=3，33)5(-=－5.②nna =⎩⎨⎧.|,|,,为偶数当为奇数当n a n a当n 为奇数时，a ∈R ，n na =a 恒成立.例如：552=2，55)2(-=－2.当n 为偶数时，a ∈R ，a n ≥0，n n a 表示正的n 次方根或0，所以如果a ≥0，那么n n a =a .例如443=3，40=0；如果a ＜0，那么n n a =|a |=－a ，如2(-3)=23=3.即（n a ）n =a （n ＞1，n ∈N ）是恒等式，n n a =a （n ＞1，n ∈N ）是有条件的. 点评：实质上是对n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.2．观察以下式子，并总结出规律：＞0① ②③小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）a 1025a a ===842a a ===1234a a ===1025a a ===23(0)a a ==>12(0)b b ==>54(0)c c ==>*(0,,1)m na a n N n =>∈>*0,,)m na a m n N =>∈*1(0,,)m nm naa m n N a-=>∈111(0)n mm m maa a a a =⋅⋅⋅⋅>(0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈（2） （3）一般来说，无理数指数幂是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：例2求值:①8;②25③()－5;④().活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23，25写成52，写成2－1，写成()4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①8=(23)=2=22=4; ②25=(52)=5=5－1=; ③()－5=(2－1)－5=2－1×(－5)=32; ④()=()=()－3=.点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解.在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如8===4.例3用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·;a 2·;(a >0).()(0,,)r S rsa a a r s Q =>∈()(0,0,)rr ra b a b Q b r Q ⋅=>>∈(0,)pa a p >是一个无理数(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈()(0,)r r r ab a b a r R ⋅=>∈3221-21811643-218116323232323⨯21-21-)21(2-⨯5121811643-32)43(4-⨯3282732328364a 32a 3a a活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结. 解：a 3·=a 3·a =a=a ;a 2·=a 2·a =a=a ;=(a ·a )=(a )=a .点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数.例4计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a b )(－6a b )÷(－3a b ); （2）(m n)8.活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤. 解：（1）原式=［2×(－6)÷(－3)］a b=4ab 0=4a ;（2）(m n)8=(m )8(n)8=mn=m 2n －3=.点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法.有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用.（三）归纳小结：a 21213+2732a 32232+383a a 31213421323221213161654183-612132-+653121-+4183-4183-841⨯883⨯-32nm1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,n 为偶数时，x =2．掌握两个公式：(0),||(0)n a a n n a a a ≥⎧==⎨-<⎩为奇数时为偶数时3.(1)无理指数幂的意义.一般地，无理数指数幂a α（a >0，α是无理数）是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质:对任意的实数r ，s ，均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r +s (a >0，r ，s ∈R ). ②(a r )s =a rs (a >0，r ，s ∈R ). ③(a ·b )r =a r b r (a >0，b >0，r ∈R ). (3)逼近的思想，体会无限接近的含义. 五．作业课本P 60习题2.1 B 组 2.作业：P 69习题2.1 A 组 第1题。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.1.1 有理指数幂及其运算学习导航学
3.1.1 有理指数幂及其运算1.整数指数正整数指数幂的定义:在初中我们学习了a n=个n a a a ∙∙∙(n∈N *). 其中，a n 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数,并规定a 1=a. 在上述定义中，n 必须是整数，所以这样的幂叫做正整数指数幂. 正整数指数幂的运算满足如下法则：(1)a m ·a n =a m+n;(2)(a m )n=a mn,n m aa =a m-n(m>n,a≠0);(3)(ab)m =a m b m.如此规定零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂.并且正整数指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立. 并且我们规定: a 0=1(a≠0),a -n=n a1(a≠0,n∈N *). 2.分数指数 （1）根式①方根的概念：我们知道，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根（quadratic root ）;如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根（cubic root ）.一般地，如果一个实数x 满足x n =a(n>1且n∈N *)，那么x 叫做a 的n 次方根（nthroot ）. 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.此时，a 的n 次方根只有一个，记为x=n a ；当n 是偶数时，正数的n 次实数方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a 的正的n 次实数方根用符号n a 表示，负的n 次实数方根用符号n a -表示.正的n 次实数方根与负的n (a>0).由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n 0=0. ②根式的概念式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）. ③根式的性质当n 是奇数时，n a n =a ；当n 是偶数时，n a n=|a|=a,⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a（2）分数指数幂①正数a 的正分数指数幂我们规定：a nm =n m a (a>0,m 、n∈N *,n>1).②正数a 的负分数指数幂 anm -=nm a1=nma 1(a>0,m 、n∈N *,n>1).③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （3）有理数指数幂的运算性质 ①a r ·a s =a r+s(a>0,r 、s∈Q );②(a r )s =a rs(a>0,r 、s∈Q );③(ab)r =a r b r(a>0,b>0,r∈Q ). （4）无理数指数幂教材中通过实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义.一般地，无理数指数幂a α(a>0,α是无理数)是一个确定的实数. 高手笔记1.对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比，有利于我们正确地理解n 次方根的概念以及n 次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化.2.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式,如a32b 、2-ba都不是最简形式.应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系不可颠倒. 3.经常要用的公式:（1）a-b ＝（b a -）（b a +）(a>0,b>0)；（2）a±2ab ＋b ＝（a ±b ）2(a>0,b>0)；（3）a±b＝（3a ±3b ）（32322b ab a + ）(a>0,b>0). 4.npmp a =n m a （a≥0）,其中的a≥0十分重要，无此条件则公式不成立.例如62)8(-≠38-.5.分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全一样.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 名师解惑1.为什么正数的偶次方根有两个并且互为相反数，而负数没有偶次方根？在以前学习的正整数指数幂中运算法则a m ÷a n =a m-n中为什么会限定m>n ？剖析：（1）根据方根定义，若x 是a(a>0)的n 次方根（n 为偶数），则x n =a ，这时（-x ）n=a ，即-x 也是a(a>0)的n 次方根.假设x 是a(a<0)的n 次方根（n 为偶数）,则x n=a.因为x n ≥0，若a<0，则x n=a 不成立，且与方根定义矛盾.（2）因为是正整数指数幂，如果没有m>n 的限定,m-n 可能等于0或者m-n<0.为了取消m>n 的限制，才定义了0次幂和负整数指数幂.这样m 、n 的大小就任意了，这样有可能产生负整数，也就把正整数指数幂扩充到了整数指数幂.2.引入分数指数幂之后，任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？在分数指数幂a nm中为什么限定a>0？剖析：（1）引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即n a =a n1，这时被开方数a 即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然a n1是a nm 当m=1时的特例.（2）分数指数幂的意义来源于根式，而要使n a m对任意的n∈N *且n>1都有意义，必须限定a>0，否则,当a=0时，若m=0或nm为分母是偶数的负分数，a n m没有意义；当a<0时，若m 为奇数，n 为偶数，a nm 没有意义.（3）我们可以从一实例看看为什么会加上这个限制条件，如-3=327-=(-27)31=(-27)62=62)27(-=6729=3.为什么会出现-3=3这种情况？看看错在了哪里？因为这里的-3＜0,在(-27)31=(-27)62中发生的错误，分数的分子、分母扩大相同的倍数分数值不变，有这个性质，必须限制条件“a>0”或“a>0,b>0”. 讲练互动【例题1】计算：（1）（27125）32-；（2）0.00832-；（3）（240181）43-；（4）（2a+1）0； （5）［65-（53）-1］-1.分析:在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时〔如（1）（2）（3）〕，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便.在幂的运算中，对于形如m 0的式子，要注意对底数m 是否为零进行讨论，因为只有在m≠0时，m 0才有意义；而对于形如（a b ）-n 的式子，我们一般是先变形为（ba ）n，然后再进行运算.解：（1）（27125)32-=（3335）32-=2235--=2253=259.（2）0.00832-=（0.23）32-=0.2-2=（51）-2=52=25. （3）（240181）43-=（4473）43-=3373--=3337=27343.（4）（2a+1）0=⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠.21,,21,1a a 无意义（5）［65-（53）-1］-1=（6535-）-1=（65-）-1=56-.绿色通道在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则.熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键. 变式训练 1.计算：（1）（-383）32-＋（0.002）21--10（5-2）-1＋（32-）0=__________.（2）（41）2121432231)(1.0)4(---b a ab =____________.解析：（1）原式＝（-1）32-（827）32-＋（5001）21-2510--＋1＝［（23）3］32-＋（102×5）21-10（5+2）＋1＝916712051051094-=+--+; （2）原式＝24232323223211044+--⨯b a =b b 25125121=. 答案：(1)9167- (2)b 251【例题2】化简322234)210()323(27622----+-的结果是( ) A.35B.-3C.3D.9 解析：先将式子中的根式逐个化简，后进行运算. 原式＝31132126)311(278323+-=---+-+6=9. 答案：D绿色通道对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则是先算根号内的，后进行根式运算.在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如3a ，若a ＞0，则3a ＞0，若a ＜0，则3a ＜0；但对根指数为偶数的根式，只有当a≥0时，对a 才有意义. 变式训练2.化简：(1)432981⨯=____________;（2）3131421413223)(ba b a ab b a -(a>0,b>0)=____________.解析：（1）原式＝421322)9(9⨯＝431299⨯＝4379＝67127413739)9(==；（2）原式＝3131221323123)(ba ab b a b a -=3123113116123--++-+b a=ab -1.答案：（1）367 （2）ab -1【例题3】已知a=278-，b=7117，求333131343233232793ba a ba ab ab a -÷-++的值. 分析:化简、求值一类问题，往往是先将被求代数式化简，然后再代入已知字母的值，求得代数式的值.解：∵a≠0，∴原式=)27()3(331231313123b a a b b a a -++×3131313ab a -.又∵a -27b≠0，∴原式=)27()3()(32331331b a a b a --=a32-=32)278(--=2)32(--=（23-）2=49. 黑色陷阱本题容易直接将a 、b 的值代入，后化简，因为运算烦琐，不容易做出正确的结果,所以在解决问题时，一定要先审题，比较一下各种思路的优劣，然后再动手做题,这样才能养成良好的思维习惯. 变式训练3.已知a=-1，b=7163，求)21(483323323134abbab a a b a a -÷++-×3a =___________. 解析：原式=313131132313131231312)2(2)()8(a ba ab b a a b a a ⨯-⨯++-=331331313131)2()()8(b a b a a--++=a.∵a=-1,∴原式=a=-1. 答案：-14.已知x+y=12,xy=9且x<y,且21212121yx y x +-=________.解析：∵x+y=12,xy=9且x<y ， ∴x>0,y>0,x -y<0.∴x -y=2)(y x --=xy y x 4)(2-+-=94122⨯--=36-,x 21y 21=9xy ==3.∴原式＝))(())((2121212121212121y x y x y x y x -+--=36321222121-⨯-=-+-y x y y x x =33-. 答案：33-。
2018版高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1.1 实数指数幂及其运算(一)学案 新人教B版必修1
3．1.1 实数指数幂及其运算(一)学习目标 1.理解正整指数幂的含义，掌握正整指数幂的运算法则.2.了解根式与方根的概念.3.掌握根式的性质，并能进行简单的根式运算．知识点一整数指数思考1 n个相同因数a相乘的结果怎么表示？这个结果叫什么？思考2 零指数幂和负整指数幂是如何规定的？梳理整数指数幂的概念及性质(1)有关幂的概念a n＝a·a·…·a，a n叫做a的________，a叫做幂的________，n叫做幂的________，n∈N ＋，n个并规定a1＝a.(2)零指数幂与负整指数幂规定：a0＝____(a≠0)，a－n＝______(a≠0，n∈N＋)．(3)整数指数幂的运算法则a m·a n＝______.(a m)n＝______.a m＝______(m＞n，a≠0)．(ab)m＝______.a n知识点二n次方根、n次根式思考若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？梳理根式的概念(1)a的n次方根定义如果存在实数x，使得______，那么x叫做a的n次方根，其中a∈R，n>1，且n∈N＋. (2)a的n次方根的表示(3)根式当n a有意义的时候，______叫做根式，这里n叫做______，a叫做被开方数．知识点三根式的性质思考我们已经知道若x2＝3，则x＝±3，那么(3)2等于什么？32呢？－2呢？梳理一般地，有(1)n0＝____(n∈N＋，且n>1)．(2)(na)n＝____(n∈N＋，且n>1)．(3)na n＝a(n为大于1的奇数)．(4)na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧aa(n为大于1的偶数)．类型一根式的意义例1 求使等式a－a2－＝(3－a)a＋3成立的实数a的取值范围．反思与感悟对于n a，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；(2)只要n a有意义，n a必不为负．跟踪训练1 若a2－2a＋1＝a－1，求a的取值范围．类型二 利用根式的性质化简或求值例2 化简： (1)4－π4； (2)a －b 2(a >b )； (3)(a －1)2＋－a 2＋3－a 3.反思与感悟 n 为奇数时，⎝⎛⎭⎫n a n ＝n a n ＝a ，a 为任意实数；n 为偶数时，a ≥0，⎝⎛⎭⎫n a n 才有意义，且⎝⎛⎭⎫n a n ＝a ；而a 为任意实数n a n 均有意义，且n a n ＝|a |.跟踪训练2 求下列各式的值： (1)7－7； (2)4a －4(a ≤1)；(3)3a 3＋4－a 4.类型三有限制条件的根式的化简例3 设－3<x<3，求x2－2x＋1－x2＋6x＋9的值．引申探究例3中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？反思与感悟n为偶数时，na n先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．跟踪训练3 已知x∈[1,2]，化简(4x－1)4＋6x2－4x＋3＝________.1．已知x5＝6，则x等于( )A. 6B.56 C．－56 D．±562．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )A.4m2 B.3m C.6m D.5－m3．(42)4运算的结果是( )A．2 B．－2 C．±2 D．不确定4.3－8的值是( )A．2 B．－2 C．±2 D．－85．化简－2x2(2x>1)的结果是( ) A．1－2x B．0C．2x－1 D．(1－2x)21．如果x n ＝a ，n 为奇数时，x ＝n a ，n 为偶数时，x ＝±n a (a >0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.2．掌握两个公式：(1)(n a )n ＝a ；(2)n 为奇数，n a n ＝a ，n 为偶数，n a n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≥0，－a ， a <0.。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.1.1 实数指数幂及其运算学案 新人教B版必修1-新人教B
3．1．1 实数指数幂及其运算1．了解实数指数幂的意义．2．理解有理指数幂的含义．3．掌握幂的运算．1．整数指数幂(1)正整数指数幂的运算法则①a m·a n＝a m＋n；②(a m)n＝a mn；③a ma n＝a m－n(m>n，a≠0)；④(ab)m＝a m b m．(2)零指数幂和负整数指数幂①a0＝1(a≠0)；②a－n＝1a n(a≠0，n∈N＋)．2．分数指数幂(1)n次方根的概念①a的n次方根：如果存在实数x，使得x n＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)，则x叫做a的n 次方根．求a的n次方根，叫做把a开n次方，称作开方运算．②a的n次方根的分类(n>1，n∈N＋)当n是偶数时，若a>0，则a的偶次方根有两个Ｗ.它们互为相反数，分别表示为na，－naＷ.若a<0，负数的偶次方根在实数范围内不存在.当n是奇数时，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为na．当a＝0 时，a的n次方根为 0，记作0．③正数a的n次算术根正数a的正n次方根叫做a的n次算术根．(2)根式①当n a 有意义的时候，na 叫做根式，n 叫做根指数． ②根式性质(na )n＝a (n >1 且 n ∈N ＋)；nan＝⎩⎪⎨⎪⎧a （n 为奇数且n >1，n ∈N ＋），|a |（n 为偶数且n >1，n ∈N ＋）. (3)分数指数幂①a 1n ＝na (a >0，n ∈N ＋)；②a mn ＝n a m(a >0，m 、n ∈N ＋，且 m n为既约分数)；③a －mn ＝1a m n(a >0，m 、n ∈N ＋，且 mn为既约分数)．3．有理指数幂的运算法则 设a >0，b >0，α，β∈Q ，则有 (1)a αa β＝aα＋β；(2)(a α)β＝aαβ；(3)(ab )α＝a αb α．[注意] 有理指数幂还可以推广到无理指数幂．1．已知a >0，m ，n 为整数，则下列各式中正确的是( )A ．a m÷a n＝a mnB ．a n ·a m ＝a m ·nC ．(a n )m ＝a m ＋nD ．1÷a n＝a0－n答案：D2．下列等式中一定成立的有( )① 36a 3＝2a ；②3－2＝ 6（－2）2；③－342＝ 4（－3）4×2． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选A ．36a 3＝36·a ≠2a ；3－2<0，而6（－2）2>0；－342<0，而4（－3）4×2>0．3．把根式a a 化成分数指数幂是( ) A ．(－a )32 B ．－(－a )32 C ．－a 32 D ．a 32答案：D4．求481×923的值．解：481×923＝(34×913)14＝3×316＝376＝363．根式与分数指数幂的互化(1)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是________(只填序号)． ①－x ＝(－x )12(x ＞0)；②6y 2＝y 13(y ＜0)；③x －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)；④x －13＝－3x (x ≠0)． (2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中a ＞0，b ＞0)． ①3a ·4a ； ②a a a ； ③(3a )2·ab 3．【解】 (1)对于①，－x ＝－x 12，故①错误；对于②，当y ＜0时，6y 2＞0，y 13＜0，故②错误；对于③，x －34＝14x 3＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)，故③正确；对于④，x －13＝13x，故④错误．综上，填③．(2)①3a ·4a ＝a 13·a 14＝a 712；②原式＝a 12·a 14·a 18＝a 78；③原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 132·a 12·b 32＝a 76b 32．根式与分数指数幂互化的方法及思路(1)方法：根指数分数指数的分母， 被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理指数幂的运算性质解题．[注意] 如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．1．设a ＞0，则a 2a ·3a 2表示成分数指数幂是( )A ．a 12 B ．a 56 C ．a 76 D ．a 32解析：选C ．a 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝a 2a 53＝a 2a 53×12＝a 2·a －56＝a 2－56＝a 76．2．把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式： (1)(a －b )－34(a ＞b )；(2) 5（ab ）2；(3) 3（x －1）5；(4)13a 2；(5)(a －b )37．解：(1)(a －b )－34＝14（a －b ）3；(2) 5（ab ）2＝(ab )25；(3) 3（x －1）5＝(x －1)53；(4)13a 2＝a －23；(5)(a －b )37＝7（a －b ）3．利用指数幂的运算性质化简、求值计算或化简： (1)a 3b 2(2ab －1)3；(2)(0．064)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0．75＋|－0．01|12；(3)3a 92·a －3÷3a －7·3a 13(a >0)．【解】 (1)原式＝a 3b 223a 3b －3＝8a 6b －1．(2)原式＝(0．43)－13－1＋(－2)－4＋2－3＋(0．12)12＝(0．4)－1－1＋116＋18＋0．1＝14380．(3)原式＝[a 13×92·a 13×(－32)]÷[a 12×(－73)·a 12×133]＝a 96－36＋76－136＝a 0＝1．利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．计算：(1)(－1．8)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2·3⎝ ⎛⎭⎪⎫3382－10.01＋93；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）30.1－2·（a 3b －3）12(a ＞0，b ＞0)．解：(1)原式＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫27823－10＋932 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫322－10＋27＝29－10＝19． (2)原式＝412·0．12·23·a 32·b －32a 32·b －32＝2×1100×8＝425．条件求值问题已知x 12＋x －12＝3，求2x －1＋x ＋3的值．【解】 因为x 12＋x －12＝3， 所以(x 12＋x －12)2＝9，所以(x 12)2＋2x 12·x －12＋(x －12)2＝9， 所以x ＋2＋x －1＝9， 所以x ＋x －1＝7， 所以原式＝27＋3＝15．1．若将本例条件“x 12＋x －12＝3”改为“x 12－x －12＝1”，如何求值？ 解：将x 12－x －12＝1两边平方， 得x ＋x －1－2＝1，所以x ＋x －1＝3， 则2x ＋x －1＋3＝23＋3＝13．2．在本例条件下，如何求x 2＋x －2的值？解：将x 12＋x －12＝3两边平方可得x ＋x －1＋2＝9，则x ＋x －1＝7，两边再平方，得x 2＋x －2＋2＝49，所以x 2＋x －2＝47．条件求值问题的解法(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．已知a ＋a －1＝5，求下列各式的值：(1)a 2＋a －2；(2)a 12－a －12；(3)a 3＋a －3．解：(1)法一：由a ＋a －1＝5两边平方得：a 2＋2aa －1＋a －2＝25，即a 2＋a －2＝23．法二：a 2＋a －2＝a 2＋2aa －1＋a －2－2aa －1＝(a ＋a －1)2－2＝25－2＝23．(2)因为(a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2＝5－2＝3． 所以|a 12－a －12|＝3，所以a 12－a －12＝±3． (3)a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2－aa －1＋a －2) ＝(a ＋a －1)(a 2＋2aa －1＋a －2－3) ＝(a ＋a －1)[(a ＋a －1)2－3] ＝5×(25－3)＝110．1．将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键．2．正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用，只是底数的范围缩小为a >0．3．对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则是先算根号内的，后进行根式运算．在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如3a ，若a >0，则3a >0，若a <0，则3a <0；但对根指数为偶数的根式，只有当a ≥0时，对a 才有意义．4．在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有负指数幂又有分母的形式．如a 32b 、ab－2都不是最简形式．应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系，不可颠倒．在根式运算中，经常会遇到开方和乘方两种运算并存的情况，特别要注意两者的运算顺序是否可换，何时可换．如对ma n，仅当a ≥0时，ma n＝(ma )n恒成立，若a <0，则不一定成立．在进行分数指数幂的运算时，要注意底数是否大于零，否则运算过程容易出现错误．例如：化简(－1)13＝(－1)26＝6（－1）2＝1．这个过程就是错误的，应改为(－1)13＝3－1＝－1．1．5a －2可化为( )A ．a －25 B ．a 52C ．a 25D ．－a 52答案：A2．当(1x－1)0有意义时，x 的取值范围是( )A ．{x |x ≠1}B ．{x |x ≠0}C ．{x |x ≠0，1}D ．以上答案都不对答案：C3．当m <n 时， （m －n ）2＝________． 答案：n －m4．(m 34·n －23)6＝________．(m ，n >0)解析：(m 34·n －23)6＝(m 34)6(n －23)6＝m 92·n －4． 答案：m 92·n －4[A 基础达标]1．下列说法正确的个数是( ) ①49的平方根为7； ②na n＝a (a ≥0)；③⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 5＝a 5b 15； ④6（－3）2＝(－3)13． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A ．49的平方根是±7，①错；②显然正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 5＝a 5b －5，③错；6（－3）2＝313，④错．故选A ．2．化简－x3x的结果是( )A ．－－xB ．xC ．－xD ．－x 解析：选A ．由题意知x ＜0，则－x3x＝－－x3x 2＝－－x ．3．化简(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得( ) A ．－32b 2B ．32b 2C ．－32b 73D ．32b 73解析：选A ．原式＝－6a －4b 134a －4b －53＝－32b 2．4．将⎝⎛⎭⎪⎫x 13·3x －2－85化成分数指数幂为( )A ．x －13 B ．x 415 C ．x －415D ．x 25解析：选B ．原式＝(x 16·x －23×12)－85＝(x 16－13)－85＝x －16×(－85)＝x 415． 5．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m 等于( ) A ．16 B ．10 C ．2D ．81解析：选A ．因为a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)， 所以a ＝m 12，b ＝m 14，a ＝b 2． 由a ＋b ＝6得b 2＋b －6＝0， 解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． 所以m 14＝2，m ＝24＝16．6．[(－5)4]14－150的值是________．解析：[(－5)4]14－150＝(54)14－150＝5－1＝4．答案：47．若a ＞0，则a 34·a －12÷3a 4＝________． 解析：a 34·a －12÷3a 4＝a 14÷a 43＝a 14－43＝a －1312． 答案：a－13128．当2－x 有意义时，化简 x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为________． 解析：由2－x 有意义得x ≤2， 所以x 2－4x ＋4－ x 2－6x ＋9＝|x －2|－|x －3|＝(2－x )－(3－x )＝－1．答案：－19．化简下列各式(式中字母都是正数)：(1)(2a 23b 12)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56)；(2)(m 14n －38)8． 解：(1)(2a 23b 12)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56)＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4ab 0＝4a ． (2)(m 14n －38)8＝(m 14)8(n －38)8＝m 2n －3＝m 2n 3． 10.计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2140.5－0．752＋6－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23； (2)823－(0．5)－3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫8116－34． 解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2140.5－0．752＋6－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32212－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋136×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫233－23 ＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋136×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2＝32－916＋136×94＝1．(2)823－(0．5)－3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫8116－34 ＝(23)23－(2－1)－3＋(3－12)－6×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫324－34 ＝22－23＋33×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＝4－8＋27×827＝4． [B 能力提升]11.设a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a＝( ) A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2 解析：选C.将a 12－a －12＝m 平方得(a 12－a －12)2＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a＝m 2＋2， 所以a 2＋1a＝m 2＋2. 12．若2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y ＝________． 解析：因为2x ＝8y ＋1＝23y ＋3，9y ＝32y ＝3x －9，所以x ＝3y ＋3，①2y ＝x －9，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21，y ＝6， 所以x ＋y ＝27.答案：27 13．化简求值：(1)2×(32×3)6＋(22)43－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫169－12－42×80.25＋(－2 017)0；(2)已知x 12＋x －12＝3，求x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3的值． 解：(1)原式＝2×(213×312)6＋(212×214)43－4×34－214×234＋1＝2×22×33＋2－3－2＋1＝214.(2)由x 12＋x －12＝3得x ＋x －1＝7， x 2＋x －2＝47，又因为x 32＋x －32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －123＝⎝⎛⎭⎪⎫x 12＋x －12(x ＋x －1－1) ＝3×(7－1)＝18，所以原式＝18＋247＋3＝25. 14．(选做题)(1)已知a ＝3，求11＋a 14＋11－a 14＋21＋a 12＋41＋a的值． (2)化简a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a . 解：(1)11＋a 14＋11－a 14＋21＋a 12＋41＋a＝2（1＋a 14）（1－a 14）＋21＋a 12＋41＋a＝21－a 12＋21＋a 12＋41＋a＝4（1－a 12）（1＋a 12）＋41＋a ＝41－a ＋41＋a ＝81－a2＝－1.(2)原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13×a 13 ＝a 13{（a 13）3－[（8b ）13]3}4b 23＋2a 13b 13＋a 23×a 13a 13－2b 13×a 13 ＝a 13（a 13－2b 13）（a 23＋2a 13b 13＋4b 23）4b 23＋2a 13b 13＋a 23×a 13a 13－2b 13×a 13 ＝a 13×a 13×a 13＝a .。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1.1 实数指数幂及其运算学案 新人教B版必修1(1)
3．1.1 实数指数幂及其运算1．理解n次方根及根式的概念．(重点)2．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重点、难点)3．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点)4．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点)[基础·初探]教材整理1 整数指数阅读教材P85～P86“第7行”以上部分，完成下列问题．1．a n＝.a n叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，并规定a1＝a.2．零指数幂与负整数指数幂规定：a0＝1(a≠0)，a－n＝1a n(a≠0，n∈N＋)．3．整数指数幂的运算法则正整数指数幂的运算法则对整数指数幂的运算仍然成立．下列运算中，正确的是( )A．a2·a3＝a6B．(－a2)5＝(－a5)2C．(a－1)0＝0 D．(－a2)5＝－a10【解析】a2·a3＝a5；(－a2)5＝－(a5)2；当a＝1时，(a－1)0无意义；当a≠1时，(a－1)0＝－1.【答案】 D教材整理2 根式阅读教材P86～P87“第6行”以上内容，完成下列问题．1．a的n次方根的意义如果存在实数x，使得x n＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．求a的n次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算．2．根式的意义和性质当n a 有意义时，na 叫做根式，n 叫做根指数． 根式的性质：(1)(na )n＝a (n >1，且n ∈N ＋)；(2)n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，当n 为奇数时，|a |，当n 为偶数时.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n ∈N *时，(n－16)n都有意义．( )(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．( ) (3)na n＝a .( )【解析】 (1)×.当n 是偶数时，(n－16)n没有意义． (2)×.负数没有偶次方根．(3)×.当n 为偶数，a <0时，na n＝－a . 【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理3 实数指数幂阅读教材P 87“第7行”～P 88“例1”以上部分内容，完成下列问题． 1．分数指数幂的意义(1)正数的正分数指数幂的意义：a mn ＝(n a )m ＝n a m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >0，m ，n ∈N ＋，且m n 为既约分数；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理指数幂的运算性质 (1)a αa β＝aα＋β(a >0，α，β∈Q )； (2)(a α)β＝aαβ(a >0，α，β∈Q )；(3)(ab )α＝a αb α(a >0，b >0，α∈Q )． 3．无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－π2＝π－3.( )(2)分数指数幂a mn 可能理解为mn个a 相乘．( )(3)0的任何指数幂都等于0.( ) 【解析】 ∵－π2＝|3－π|＝π－3.∴(1)正确．由分数指数幂的意义知(2)、(3)均错． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×[小组合作型]【导学号：60210072】(1)5－5；(2)4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－π24； (3)x －y2；(4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3<x <3)．【精彩点拨】 根指数是奇数的，直接开出结果，根指数是偶数的，先判断被开方数的底数的符号，如不能唯一确定，可分类表示．【自主解答】 (1)5－5＝－2.(2)∵3－π<0，∴4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－π24＝π－32.(3)x －y2＝|x －y |＝⎩⎪⎨⎪⎧x －y ，x ≥y ，y －x ，x <y .(4)原式＝x －2－x ＋2＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴－4<x －1<2,0<x ＋3<6.当－4<x －1<0，即－3<x <1时，|x －1|－|x ＋3|＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2； 当0≤x －1<2，即1≤x <3时，|x －1|－|x ＋3|＝x －1－(x ＋3)＝－4. ∴x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.1．正确区分na n与(na )n(1)(na )n已暗含了na 有意义，据n 的奇偶性不同可知a 的范围； (2)na n中的a 可以是全体实数，na n的值取决于n 的奇偶性． 2．有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[再练一题]1．求值：3－22＋⎝⎛⎭⎫31－23＝________.【解析】3－22＋⎝⎛⎭⎫31－23＝2－2＋()1－2＝2－1＋1－2＝0.【答案】 0【精彩点拨】 对于本题先把根式化为分数指数幂，再利用运算性质求解． 【自主解答】1．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．2．关于式子na m＝a m n 的两点说明：(1)根指数n ↔分数指数的分母；(2)被开方数(式)的指数m ↔分数指数的分子．3．通常规定分数指数幂的底数a ＞0，但像(－a )12＝－a 中的a 则需要a ≤0. 特点提醒：分数指数幂和根式是同一个数的两种不同书写形式．[再练一题]2．化简x ·3x 2x ·6x的结果是( )A.x B ．x C ．1 D ．x 2【解析】 .故选C.【答案】 C(1) ；(2)．【精彩点拨】【自主解答】 (1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(2).利用指数幂的运算性质化简求值的方法1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．[再练一题]3．计算：.【解析】【答案】 12[探究共研型]探究1 把⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 分别展开是什么？【提示】 ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝a ＋1a ＋2，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝a 2＋1a 2＋2.探究2 ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2和⎝⎛⎭⎪⎫a －1a2有什么关系？【提示】 ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋4.已知a 12＋a -12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【精彩点拨】 寻找要求值的式子与条件式a 12＋a -12＝4的联系，进而整体代入求值． 【自主解答】 (1)将a 12＋a -12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14. (2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194.1．在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．2．在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．[再练一题]4．已知a 12－a -12＝5，则a 12＋a -12＝________.【解析】 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122＝a ＋a －1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122＋4＝5＋4＝9，又因为a 12＋a -12>0，所以a 12＋a -12＝3. 【答案】 31．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2a 3＝a 5B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝1 D ．(－a 2)3＝a 6【解析】 a 2a 3＝a2＋3＝a 5；(－a 2)3＝－a 6≠(－a 3)2＝a 6；(a －1)0＝1，若成立，需要满足a ≠1；(－a 2)3＝－a 6，故选A. 【答案】 A2．下列各式中成立的一项是( )【解析】 A 中应为⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m －7；B 中等式左侧为正数，右侧为负数；C 中x ＝y ＝1时不成立；D 正确．【答案】 D3.【解析】 .【答案】 D4．如果x >y >0，则x y y xy y xx ＝________.【解析】 ∵x >y >0，∴x y y x y y x x ＝x y -x ·y y -x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y y -x. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y y -x5．化简下列各式(式中字母均为正数)： (1)b 3a a 6b 6； (2) (结果为分数指数幂)．【解】。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算导学案(
实数指数幂及其运算学习目标：掌握实数指数幂的拓展过程过程中的不变性质。
掌握根式和有理数指数幂的意义注意指数幂的拓展过程中的底数的约束条件 学习重点：实数指数幂的运算和底数的限制条件 学习难点：实数指数幂的运算 学习过程：一、正整数指数幂（复习）：1．()n a n N +∈的意义： n na a aa =⋅2．()n a n N +∈的运算：（1）m n m n a a a +⋅= （2）()m nm na a⋅=（3）(,0)m m n n a a m n a a-=>≠ （4）()m m ma b a b ⋅=⋅二、负整数指数幂（拓展）：规定： 01(0)a a =≠ 1(0)n n a a a-=≠ 三、分数指数：1．复习：问题： 2x a = 3x a = 则x 的取值是什么？ 2．拓展：如果存在实数x ，使得n x a =(,1,)a R n n N +∈>∈，则x 叫做a 的n 次方根； 求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算， 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根。
叫做根式，n 叫做根指数。
3．根式性质：(1) (1,)na n n N +=>∈a n a n ⎧=⎨-⎩，当为正奇数时，当为正偶数时4．分数指数幂（有理指数幂）：（1）正分数指数幂：10)n a a =>0,,,)m nma a n m N n+=>∈且为既约分数 （2）负分数指数幂：1(0,,,)m nm nmaa n m N na-+=>∈且为既约分数 5、有理指数幂运算法则：0,0a b >>，,αβ是有理数 (1) aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅四、无理指数幂：1、0,0a b >>，,αβ是无理数 (1) aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅2、实数指数幂： 0,0a b >>，,αβ是实数(1) aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅五、典型例题：例1、（整数指数幂）化简下列各式：（1）()03.14π- （2）512-⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）()42x - （4）))10922+（5）()32212339a b a b a b-----⋅⋅- （6）()()()()33334411aa a a aa a a----+-++-练习： 一组：（1）57x x （2）232(2)a b --- （3）23(2)()x x -- （4）13()()a ab b- （5）2222(2)()a a a a ---+÷- （6）2222()()x y x y ---÷-二组：（1）若,m n Z ∈，满足5m a =，15n b=，则25m n -=. （2）已知21na=，*()n N ∈，则33n nn na a a a ---=-（3）已知11a a --=，则66a a -+的值为 例2、（根式）求下列各式的值：（1 （2（3（4)a b <练习：求下列各式的值（1）（2（3） 63⋅ （4）若42xa=，求x xxxa a a a--+-例3(3a =-成立的实数a 的取值范围=，求实数a 的取值范围 例4．（有理指数幂）计算下列各式：（1）1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⋅-（2）20.520371037(2)0.1(2)392748π--++-+（3）141030.753327(0.064)()[(2)]16|0.01|8-----+-+--（4）2110323(3)(0.002)2)8----+-+练习：计算下列各式：（1）0212121236253----⨯⨯⨯-； （2）；（3）12113142[(1](111212---+÷ （4）2111333324()3a b a b ---÷-例5．（1）已知0x >，0y >，化简y xy x x y y x（2）已知22()xxa -+=常数，求88x x -+的值练习： （1）设0x >，0y >yyx x --=，求y y x x -+的值小结：1、根式和根式的性质：2、指数幂的拓展：3、实数指数幂的运算律：4、实数指数幂的运算律的应用。
2018版高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1.1 实数指数幂及其运算(二)学案 新人教B版必
3.1.1 实数指数幂及其运算(二)学习目标 1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.掌握用有理指数幂的运算性质化简求值.3.了解无理指数幂的意义．知识点一分数指数思考根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？①5a10＝5a 25＝a2＝a105 (a>0)；②a8＝a 42＝a4＝a 82 (a>0)；③4a12＝4a 34＝a3＝a124 (a>0)．梳理分数指数幂的概念知识点二有理指数幂的运算性质思考我们知道32×33＝32＋3.那么11113232646464+⨯＝成立吗？梳理整数指数幂的运算性质，可以推广到有理指数幂，即：aαaβ＝aα＋β(a>0，α，β∈Q)；(aα)β＝aαβ(a>0，α，β∈Q)；(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α∈Q)．知识点三无理指数幂无理指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的______．有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂．类型一根式与分数指数幂之间的相互转化命题角度1 分数指数幂化根式例1 用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)．(1)25x；(2)53x－.反思与感悟实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围．故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握．跟踪训练1 用根式表示2132x y－(x>0，y>0)．命题角度2 根式化分数指数幂例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a >0，b >0. (1)5a 6；(2)13a 2；(3)4b 3a 2；(4)－a6.反思与感悟 指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后，当a ≤0时，m na 有时有意义，有时无意义．如(－1)13＝3－1＝－1，但(－1)12就不是实数了．为了保证在m n取任何有理数时，m na 都有意义，所以规定a >0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分． 跟踪训练2 把下列根式化成分数指数幂： (1)682；(2)a a (a >0)；(3)b 3·3b 2；(4)13x5x 22.类型二 用指数幂运算公式化简求值 例3 计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)(0.027)23＋(27125)13-－(279)0.5；(2)211511336622(2)(6)(3)a b a b a b ÷－－； (3)111222.m m m m－－＋＋＋反思与感悟 一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．跟踪训练3 (1)化简：(18)13-×(－76)0＋80.25×42＋(32×3)6；(2)化简：21321111362515()()46xyx y x y －－－；－－ (3)已知1122x x －＋＝5，求x 2＋1x的值．类型三 运用指数幂运算公式解方程例4 已知a >0，b >0，且a b＝b a，b ＝9a ，求a 的值．反思与感悟 指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等目的． 跟踪训练4 已知67x ＝27,603y＝81，求3x －4y的值．1．化简823的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 2．2512等于( )A ．25 B.125 C ．5 D.153．用分数指数幂表示a －b3(a >b )为( )A ．(a －b )12B ．(b －a )12C ．(a －b )32D ．(a －b )234．(36a 9)4等于( )A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 25．计算42＋1×22－22的结果是( )A ．32B ．16C ．64D ．1281．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．2．根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算的原则，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．答案精析问题导学知识点一思考当a>0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数．梳理na m1 mn a知识点二思考成立11326464⨯＝64×364＝82×343＝8×4＝32,1152366464+＝＝6645＝656＝25＝32. 知识点三实数题型探究例1 解(1)25x＝5x2.(2)53x－＝13x5.跟踪训练1 解221332121·x y yx－＝＝1x·3y2.例2 解(1)5a6＝6 5. a(2)13a2＝23231.aa－＝(3)4b3a2＝⎝⎛⎭⎪⎫b3a214＝32134424.b a a b－－＝(4)－a6＝a6＝62a＝a3.跟踪训练2 解1776212(2)2. ===313224().a a ====(3)b3·3b2＝b3·21133.b b ＝3591353511.()xx x-======例3 解(1)(0.027)23＋(27125)13-－(279)0.5＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]211115326236a b＋－＋－＝4ab0＝4a.(3)111222.m mm m－－＋＋＋＝1111222221122().m mm mm m---+=++跟踪训练3解(1)原式＝1111131(1)()36623334424481)2(2)(3)2223112.⨯⨯⨯⨯⨯－－＋＋(2＋＝+＋＝(2)21321111362515()()46x yx y x y-----＝5×(－4)×(－65)×2111111()(1)()033226662424.x y x y y⨯－－－－－－－＝＝(3)由x12＋x12－＝5，两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理得x＋x－1＝23，则有x2＋1x＝23. 例4 解方法一∵a>0，b>0，又a b＝b a，()()()11199ab a bb ba b a b a a∴⇒⇒＝＝＝，∴a89＝919⇒a8＝32⇒a＝43.方法二∵a b＝b a，b＝9a，∴a9a＝(9a)a，即(a9)a＝(9a)a，∴a9＝9a，a8＝9，a＝43.跟踪训练4 解由67x＝33，得67＝33x，由603y＝81得603＝34y，∴433y x-＝60367＝9＝32，∴4y －3x ＝2，故3x －4y＝－2.当堂训练1．B 2.D 3.C 4.D 5.B。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算教案 新人
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1 实数指数幂及其运算错误!教学分析在初中,学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义,从而把整数指数推广到分数指数,进而推广到有理数指数幂,再推广到无理指数幂,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)等，同时，充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质．2．掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．3．掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化"的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学、一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理．4．能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2）掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3）运用实数指数幂性质进行化简、求值．教学难点:(1）分数指数幂及根式概念的理解．（2)实数指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题．思路2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题．推进新课错误!提出问题错误!讨论结果:（1）整数指数幂的运算性质:a n＝a·a·a·…·a，a0＝1（a≠0)；00无意义;a－n＝错误!(a≠0）；a m·a n＝a m＋n；（a m）n＝a mn;(a n）m＝a mn；（ab）n＝a n b n.其中n、m∈N＋.(2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根．实质上①错误!＝a错误!，②错误!＝a错误!,③错误!＝a错误!，④错误!＝a错误!结果的a的指数是2，4,3,5分别写成了错误!，错误!,错误!，错误!,形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）．(3)利用（2）的规律,错误!＝5错误!，错误!＝7错误!,错误!＝a错误!,错误!＝x错误!。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数
3.1.1 有理指数幂及其运算课堂探究探究一简单的指数幂运算1．对于既含有分数指数幂，又含有根式的式子，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于计算．如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幂的形式．2．对于计算题的结果，不强求统一用什么形式来表示，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．【典型例题1】计算：(1)2312527-⎛⎫⎪⎝⎭； (2)230.008-；(3)34812401-⎛⎫⎪⎝⎭；(4)(2a＋1)0；(5)115365--⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.思路分析：在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时(如(1)(2)(3))，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便．在幂的运算中，对于形如m0的式子，要注意对底数m是否为零进行讨论，因为只有在m≠0时，m0才有意义；而对于形如nba-⎛⎫⎪⎝⎭的式子，我们一般是先变形为nab⎛⎫⎪⎝⎭，然后再进行运算．解：(1)2312527-⎛⎫⎪⎝⎭＝233353-⎛⎫⎪⎝⎭＝2253--＝2235＝925.(2)230.008-＝()2330.2-＝0.2－2＝215-⎛⎫⎪⎝⎭＝52＝25.(3)34812401-⎛⎫⎪⎝⎭＝344437-⎛⎫⎪⎝⎭＝3337--＝3373＝34327.(4)(2a＋1)0＝1 121.2aa⎧≠-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，无意义，-(5)115365--⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝15563-⎛⎫-⎪⎝⎭＝156-⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－65.探究二 利用根式的性质化简或求值1．n 次方根的个数及符号的确定任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数，0的任何次方根都是0.2．根式化简注意事项(1)解决根式的化简问题，首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．(2)n.【典型例题2】 (1)计算下列各式：①2;； (a >b )．(2)化简下列各式：； ③ ；解：(1)①2＝5.2.＝|－2|＝2.④∵a >b ＝|a －b |＝a －b .463＝233＝132.③132.x 2.()123·a b.探究三 根式与分数指数幂的互化根式与分数指数幂互化的规律1．根指数su u u u r 化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数su u u u r 化为分数指数的分子．2．在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理指数幂的运算性质解题．3．当所求根式含有多重根号时，应先由里向外用分数指数幂的形式写出，然后进行化简．【典型例题3】 (1)5－2115-化为根式形式为__________；b >0)化为分数指数幂的形式为__________；(x ≠0)化为分数指数幂的形式为__________．解析：(1)原式＝21115.(2)原式＝1243b -⎛⎫⎪⎝⎭＝2134b -⨯＝16b -.(3)＝19351x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝351x＝35x-.答案： (2) 16b-(3) 35x-探究四 知值求值问题已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式之间的内在联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，对平方立方等一些常用公式要熟练应用．【典型例题4】 已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，求11221122x y x y-+的值．思路分析：观察已知代数式和所求代数式的特点可知，212x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝x ，212y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝y .于是联想到用完全平方公式，把公式11221122x y x y-+的分子、分母同乘以分母的有理化因式后，分式的分子就变成了用x ＋y ，xy 表示的代数式．解：∵x ＋y ＝12，xy ＝9，∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108.又∵x <y ，∴x－y ＝－.∴11221122x y x y -+＝2112211112222x y x y x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝()()122x y xy x y +--129＝－3. 探究五 易错辨析易错点 忽视运算法则的适用条件而致误 【典型例题5】 化简)12.错解：原式＝()21323π⨯-＝()133π-错因分析：有理指数幂的运算法则必须在幂的底数为正时才能应用，否则易出错．正解：原式＝)12＝()12233π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦＝()21323π⨯-＝()133π-。
高中数学第三章基本初等函数(ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算(一)高一数学
4. x2＋2x＋1＋ y2＋6y＋9＝0，则(x2 017)y＝________.
解析： x2＋2x＋1＋ y2＋6y＋9＝0， 则 x＋12＋ y＋32＝0， ∴x＝－1，y＝－3， ∴(x2 017)y＝－1. 答案：－1
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知识点三 根式的运算
5．求下列各式的值．
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(4) x2＋2xy＋y2.
解：(1) －1002＝|－100|＝100.
3
6
(2)( 1－ 3)3＝1－ 3. (3) 1－ 36＝|1－ 3|＝ 3－1.
(4) x2＋2xy＋y2＝ x＋y2＝|x＋y|＝x－＋xy－，yx，≥x－ ＜y－，y.
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4
3
11．若 4a2－4a＋1＝ 1－2a，试求实数 a 的值．
(5) π－32＝|π－3|＝π－3.
3
(6) 1＋ 23＋ 1－ 22＝1＋ 2＋ 2－1＝2 2.
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课 后 拔 高 提 能 ( b á ɡ ā o ) 练
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一、选择题
1
1．计算[(－ 2)2]-2的值为( )
A． 2
B．－ 2
| 学习目标|
1．理解有理数指数幂的含义，会用幂的运算性质进行有关 计算；
2．通过本节的学习，了解实数指数幂的意义，进一步体会 “用有理数逼近无理数”的思想.
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基础知识点对点
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3.1.1 实数指数幂及其运算[学习目标] 1.理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幂的意义.[知识链接]1.4的平方根为±2，8的立方根为2.2.23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，2523＝4.[预习导引] 1.基本概念整数指数n 次方根 分数指数a n＝a 0＝1(a ≠0) a －n＝1an (a ≠0)如果存在实数x ，使得x n＝a (a ∈R ，n ＞1且n ∈N ＋)，则x叫做a 的n 次方根，na 叫做把a 开n 次方，称作开方运算.1na ＝na ；nm a ＝na m ；-m na＝1na m(a >0，n ，m ∈N ＋)2.根式的性质(1)(na )n＝a (n ＞1且n ∈N ＋)； (2)nan＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 为奇数且n ＞1，n ∈N ＋，|a | n 为偶数且n ＞1，n ∈N ＋.3.有理指数幂的运算法则若a >0，b >0，则有任意有理数α，β有如下运算法则： (1)a αa β＝aα＋β； (2)(a α)β＝aα·β；(3)(ab )α＝a α·b α. 解决学生疑难点要点一 根式的运算 例1 求下列各式的值： (1)3－23；(2)4－32；(3)83－π8；(4) x 2－2x ＋1－ x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3) 解 (1) 3－23＝－2.(2) 4－32＝432＝ 3.(3)83－π8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝ x －12－ x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|，当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.2.开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.跟踪演练1 化简下列各式： (1)5－25；(2)4－104；(3)4a －b4.解 (1) 5－25＝－2.(2) 4－104＝|－10|＝10.(3)4a －b4＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b a ≥b ，b －aa ＜b .要点二 根式与分数指数幂的互化 例2 将下列根式化成分数指数幂形式： (1) 3a ·4a ； (2)a a a ；(3)3a 2·a 3； (4)(3a )2·ab 3. 解 (1)3a ·4a ＝31a ·41a ＝127a ； (2)原式＝a ·21a ＝a ·21a ·41a ＝21a ·41a ·18b ＝87a ；(3)原式＝32a ·23a ＝613a ；(4)原式＝(31a )2·21a ·23b ＝76a 23b .规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：nma ＝na m和-m na＝1nma ＝1na m，其中字母a 要使式子有意义.跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式： (1) 3a ·6－a (a ＜0)； (2) 3ab2ab3(a ，b ＞0)；(3)22433()b (b ＜0)； (4)13x5x 22(x ≠0).解 (1)原式＝31a ·16()-a＝－13()-a ·16()-a ＝－12()-a (a ＜0)； (2)原式＝ 323232b a ab ⋅57322a b ＝157322()⋅a b ＝56a 76b (a ，b ＞0)； (3)原式＝22433(())-b ＝212343()⨯⨯-b ＝19()-b (b ＜0)； (4)原式＝3154311⨯⋅xx ＝531x＝35-x.要点三 分数指数幂的运算例3 (1)计算：130.064-－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋433[(2)]--＋16－0.75＋|－0.01|12；(2)化简： 3329-a a÷33713-⋅a a (a ＞0).解 (1)原式＝(0.43)31-－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)12＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝[19133232⨯⨯⋅（-）a a]÷[171132323⨯⨯⋅（-）（）aa]＝613676369-+-a＝a 0＝1.规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 跟踪演练3 计算或化简：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－33832-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)323a ·a －3·a－521-·a21-13.解 (1)原式＝(－1)32-⎝ ⎛⎭⎪⎫33832-＋⎝ ⎛⎭⎪⎫150021-－105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27832-＋(500)21－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.(2)原式＝(23a ·32-a )31·[(a －5)21-·(a21-)13]21＝(a 0)31·(52a ·132-a)21＝(a －4)21＝a －2.1.下列各式正确的是( ) A.(3a )3＝a B.(47)4＝－7 C.(5a )5＝|a |D.6a 6＝a答案 A解析 (47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |. 2.a －b2＋5a －b5的值是( )A.0B.2(a －b )C.0或2(a －b )D.a －b答案 C解析 当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0. 3.计算[(－2)2]21的结果是( ) A. 2 B.－ 2 C.22D.－22答案 A解析 [(－2)2]21＝[(2)2]21＝ 2. 4.下列各式运算错误的是( ) A.(－a 2b )2·(－ab 2)3＝－a 7b 8B.(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3C.(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6D.[－(a 3)2·(－b 2)3]3＝a 18b 18. 答案 C解析 直接运用指数幂的运算法则分别计算后选择.对于A ，(－a 2b )2·(－ab 2)3＝a 4b 2·(－a )3b 6＝－a 7·b 8，故正确.对于B ，(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝－a 6b 9÷(－a 3b 6)＝a6－3b 9－6＝a 3b 3，故正确.对于C ，(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6·(－b 6)＝－a 6b 6，故C 项错误.对于D ，易知正确，故选C. 5.221 ＋－402＋12－1－1－5·238＝________.答案 22－3 解析 原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.1.掌握两个公式：(1)(na )n ＝a ；(2)n 为奇数，na n ＝a ，n 为偶数，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a ＜0.2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.。