解三角形常见题型

绝密★启用前2014-2015学年度???学校8月月考卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．在ABC ∆中，若00120306===B A a ，，，则△ABC 的面积是= ( )． A ．93 Ｂ．9 Ｃ．183 Ｄ．18 【答案】A 【解析】试题分析：在ABC ∆中，030180,120,30=--=∴==B A C B A Θ,ABC ∆∴是等腰三角形，6==a c ，由三角形的面积公式得39236621sin 21=⨯⨯⨯==∆B ac S ABC ． 考点:解三角形．2．[2014·广西模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3bsinA ，则△ABC 的面积等于( ) A.12 B.32 C.1 D.34【答案】A【解析】∵a ＝3bsinA ，∴由正弦定理得sinA ＝3sinBsinA.∴sinB ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12acsinB ＝12×3×13＝12，故选A.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）3．在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r ，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.【答案】16【解析】由tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r得，tantan 26||||cos tan ,||||cos 3cos 6AAB AC A A AB AC A ππ⋅=⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，11221||||sin sin 223636ABC S AB AC A π∆=⋅=⨯⨯==u u u r u u u r .考点：平面向量的数量积、模，三角形的面积.4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则A ＝________，△ABC 的形状为________． 【答案】60° 正三角形【解析】∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac .又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝2222b c a bc ＋-＝2bc bc ＝12，∴A ＝60°.由b 2＝ac ，即a ＝2b c，代入a 2－c 2＝ac －bc ，整理得(b －c )(b 3＋c 3＋cb 2)＝0， ∴b ＝c ，∴△ABC 为正三角形．三、解答题（题型注释）5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ,设S 为△ABC 的面积，且222)S b c a =+-。

（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若6a =，求△ABC 周长的取值范围. 【答案】(1)3π=A ;(2）周长的取值范围是(12,18].【解析】试题分析：（1）在解决三角形的问题中，面积公式B ac A bcC ab S sin 21sin 21sin 21===最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来；（2）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意π=++C B A 这个隐含条件的使用，在求范围时，注意根据题中条件限制角的范围.试题解析：解：（Ⅰ）由题意可知1sin 2cos tan 24bc A bc A A =⇒= 所以π3A =4分 （Ⅱ）法一：由已知：0,0b c >>，6b c a +>= 由余弦定理得：222362cos ()33b c bc b c bc π=+-=+-22231()()()44b c b c b c ≥+-+=+（当且仅当b c =时等号成立）∴（2()436b c +≤⨯，又6b c +>， ∴612b c <+≤， 从而周长的取值范围是(12,18]. 12分法二：由正弦定理得：6sin sin sin 3b c B C π===∴b B =，c C =，2sin )sin sin()3B C B B b c π⎤∴=+=+-⎥⎦+31sin 12cos 22B B B B ⎫⎫=+=+⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭12sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵5666B πππ<+<∴612sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即612b c <+≤（当且仅当3B π=时，等号成立） 从而周长的取值范围是(12,18] 12分 考点：（1）与面积有关的问题；（2）求三角形周长的范围.6．△ABC 的内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，且bc a c b 3222+=+，2cos sin sin 2CB A =． （1）求角A 与角B 的大小；（2）若BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．【答案】（1）6π==B A （2）3sin 21=⨯=C CB AC S 【解析】（1）232cos 222=-+=bc a c b A 6π=⇒A2cos sin sin 2CB A =)cos(1cos 1sin sin 2B AC B A +-=+=⇒ 1)cos(=-⇒B A Z k k B A ∈=-⇒,2π取0=k 得6π==B A（2）设m AC 2=，则m CM =32π=C 由余弦定理C CM AC CM AC AM cos 2222⨯-+=得1=m则△ABC 的面积为3sin 21=⨯=C CB AC S 7．在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为（1）求角B 的大小；（2）若a+c=1,求b 的取值范围 【答案】（1）3B π=（2）112b ≤<【解析】(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即有sin sin cos 0A B A B =因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =ABM C又0B π<<,所以3B π=.(2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-. 因为11,cos 2a c B +==,有22113()24b a =-+. 又01a <<,于是有2114b ≤<,即有112b ≤<.8．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知24sin 4sin sin 222A BA B -+=+ （1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值. 【答案】（1）3π；（2）10. 【解析】试题分析：（1）由二倍角的余弦公式把24sin 4sin sin 222A BA B -+=+降次，再用两个角的和的余弦公式求)cos(B A +，由三角形三内角和定理可求得C cos ，从而求得角C ；（2）根据三角形的面积公式求出边a ，再由余弦定理求c 边.（1）由已知得22sin sin 4)]cos(1[2+=+--B A B A ， 化简得2sin sin 2cos cos 2=+-B A B A ，故22)cos(-=+B A ，所以43π=+B A ，因为π=++C B A ，所以3π=C .（2）因为C ab S sin 21=∆，由6=∆ABC S ，4=b ，3π=C ，所以23=a ，由余弦定理得C ab b a C cos 2222-+=，所以10=c .考点：两个角和差公式、二倍角公式、余弦定理、三角形的面积公式. 9．（12分）（2011•湖北）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC 的周长； （Ⅱ）求cos （A ﹣C ）的值． 【答案】（Ⅰ）5（Ⅱ）【解析】 试题分析：（I ）利用余弦定理表示出c 的平方，把a ，b 及cosC 的值代入求出c 的值，从而求出三角形ABC 的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c 及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A 小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．10．在中，内角所对边长分别为，，．（1）求；（2）若的面积是１，求．【答案】（1）（2）【解析】（1）由，，可得，；，由正弦定理，，则，故，．由，．（2）由的面积是１，可得，得．．11．（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB= b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A 为锐角， 则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a 2=b 2+c 2﹣2bc•cosA，即36=b 2+c 2﹣bc=（b+c ）2﹣3bc=64﹣3bc ， ∴bc=，又sinA=， 则S △ABC =bcsinA=．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan tan B A ＋1＝2ca． （1）求B ； （2）若cos(C ＋6π)＝13，求sinA 的值．【答案】(1)B=3π;（226+1． 【解析】试题分析：(1)根据题意结合题中所给条件，运用切化弦和正弦定理，可化简得得2+1=sinBcosA sinC cosBsinA sinA ，结合两角和差的三角公式可化简得：()2sin A B sinCcosBsinA sinA+=，由三角形内角和为180度，得：2sinC sinC cosBsinA sinA =，即可解得1cosB=2,又因为B ∈ (0，π)，所以B=3π;（2）在第(1)小题已求得：B=3π，即可得：20<C<3π，进而可得：5<C+666πππ<，结合题中所给条件1cos(C+)=63π，可转化为22sin(C+6π角的变换可求得：26+1sinA=sin(B+C)=sin(C+)=sin[(C+)+]=3666πππ． 试题解析：(1)由2+1=tanB c tanA a 及正弦定理，得2+1=sinBcosA sinCcosBsinA sinA， 2分 所以2sinBcosA cosBsinA sinC cosBsinA sinA +=，即()2sin A B sinC cosBsinA sinA +=，则2sinC sinC cosBsinA sinA=． 因为在△ABC 中，sin 0sin 0A C ≠≠，所以1cosB=2． 5分因为B 0)π∈(，，所以B=3π． 7分（2）因为20<C<3π，所以5<C+666πππ<． 因为1cos(C+)=63π，所以2sin(C+)=63π． 10分所以sinA=sin(B+C)=sin(C+)=sin[(C+)+366πππ分 考点：1.解三角形;2.三角变换的运用13．在ABC ∆21cos 2B B =-． （1）求角B 的值； （2）若2,4BC A π==，求ABC ∆的面积．【答案】（1）3B π=；（2）13sin 22ABC S AC BC C ∆=⋅=． 【解析】试题分析：（1）运用正余弦的二倍角公式将21cos 2B B =-化简得到2cos 2sin B B B =，结合0B <<π，进而得到tan B 的值，从中可确定B 的值；（2）先由A B 、•角的大小及BC 的值，结合正弦定理得到sin sin BC BAC A⋅==，进而由三角形的内角和定理算出C ，再由两角和差公式算出sin C 的值，最后由三角形的面积计算公式1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅即可求得ABC ∆的面积．试题解析：（121cos 2B B =-，所以2cos 2sin B B B =因为0B <<π，所以sin 0B >，从而tan B =所以π3B =6分 （2）因为4A π=，π3B =，根据正弦定理得sin sin AC BC B A =所以sin sin BC BAC A⋅==因为512C A B π=π--=，所以5sin sin sin()12464C πππ==+=所以△ABC 的面积1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=分． 考点：1．正、余弦的二倍角公式；2．正弦定理；3．三角形的面积计算公式． 14．已知1)4(cos 2)sin (cos 3)(222++--=πx x x x f 的定义域为[2,0π].(1)求)(x f 的最小值.(2)ABC ∆中,ο45=A ,23=b ,边a 的长为函数)(33x f -的最大值,求角B 大小及ABC ∆的面积.【答案】(1)函数)(x f 的最小值(2) ABC ∆的面积1)S =.【解析】试题分析：(1)先化简()f x 的解析式可得: ()2sin(2)3f x x π=+.将23x π+看作一个整体，根据x 的范围求出23x π+的范围，再利用正弦函数的性质便可得函数)(x f 的最小值.(2) 由(1)知函数的最大值，这样，在ABC ∆中，便已知了两边及一边的对角，故首先用正弦定理求出另两个角，再用三角形面积公式可得其面积. 试题解析：(1)先化简()f x 的解析式:()2[1cos(2)]12f x x x π=-+++2sin 2x x =+2sin(2)3x π=+由3432320ππππ≤+≤⇒≤≤x x ，得1)22sin(23≤+≤-πx ， 所以函数)(x f 的最小值3)23(2-=-=，此时2π=x .(2) 由(1)知函数的最大值.ABC ∆中，ο45=A ，23=b ，6=a ，故21645sin 23sin sin ===οa A b B (正弦定理),再由a b <知ο45=<A B ，故ο30=B ，于是οο105180=--=B A C ，从而ABC ∆的面积1sin 1)2S ab C ==. 考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.15．已知向量OP uuu r ＝2cos(),12x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，OQ uuu r ＝sin(),cos 22x x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，定义函数f (x )＝OP uuu r ·OQ uuu r.(1)求函数f (x )的表达式，并指出其最大值和最小值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝1，bc ＝8，求△ABC 的面积S .【答案】（1）f (x )sin (2)4x π-，f (x ).（2）S＝. 【解析】试题分析：（1）由向量的数量积公式及三角函数公式可得f (x ) sin (2)4x π-，由此可得f (x )；(2)由f (A )＝1可求得角A ，再由三角形面积公式S ＝12bc sin A 即可得其面积. 试题解析：（1）f (x ) ＝OP OQ ⋅u u u r u u u r＝(－2sin x ，－1)·(－cos x ，cos 2x )＝sin 2x －cos 2x sin (2)4x π-)∴f (x )(2)∵f (A )＝1，∴sin (2)4A π-＝2. ∴2A －4π＝4π或2A －4π＝34π.∴A ＝4π或A ＝2π.又∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝4π.∵bc ＝8，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×2＝考点：1、三角函数及三角形的面积；2、向量的运算.16．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos2cos 0B B +=． （1）求角B 的值；（2）若b =5a c +=，求ABC ∆的面积．【答案】（1）π3B =；（2）1sin 2S ac B ==.【解析】试题分析：（1）先用倍角公式将cos2cos 0B B +=化简为22cos cos 10B B +-=，从中求解得出cos B ，结合(0,)B π∈，可得到B 的值；（2）由ABC ∆的面积计算公式1sin 2S ac B =可知，要计算面积S ，只须再计算出ac 的值，结合b =5a c +=，可想到利用余弦定理2222cos b a c ac B=+-并转化成22()22cos b a c ac ac B =+--，代入数据进行运算即可得到ac 的值，从而可计算出ABC ∆的面积S .试题解析：（1）由已知得22cos cos 10B B +-=即(2cos 1)(cos 1)0B B -+=．解得1cos 2B =，或cos 1B =- 因为0πB <<，故舍去cos 1B =- 所以π3B =（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-将π3B =，b =2()37a c ac +-= 因为5a c +=，所以6ac =所以△ABC的面积1sin 2S ac B ==. 考点：1.二倍角公式；2.余弦定理；3.三角形的面积计算公式. 17．已知函数 （1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，A 、B 、C 分别为三边所对的角，若，求的最大值.【答案】（1）T π=，函数的单调递增区间为；（2）因此的最大值为【解析】试题分析：（1）将函数()x f的解析式第一、三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，合并后提取2，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出不等式的解集即可得到()x f 的递增区间；（２）由及确定出的()x f 的解析式，变形后利用特殊角的三角函数值求出A 的度数，可得出cos A 的值，再由a 的值，利用余弦定理列出关系式，将a 与cos A 的值代入，利用完全平方公式变形后，再利用基本不等式即可求出b c +的最大值．试题解析：（1）， 3分22()cos cos sin f x x x x x =+-()f x ABC ∆a b c 、、(A)1a f ==b c +(,)()36k k k Z ππππ-++∈b c +(A)1f =22()cos cos sin 2cos2f x x x x x x x =+-=+2sin(2)6x π=+所以函数的最小正周期为. 4分 由得所以函数的单调递增区间为. 6分（2）由可得，又，所以。