2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第3讲课后作业理(含解析)

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2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式课后作业理

3．5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式[重点保分两级优选练]A 级一、选择题1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A解析原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.故选A.2.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°·sin17°， ∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.故选C.3．已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( ) A ．－73 B.73 C.57 D ．1答案 D解析由题意知tan α＝2，tan β＝－13.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1.故选D.4．(2017·云南一检)cos π9·c os 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116 C.116 D.18答案 A解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9 ＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.故选A.5．(2017·衡水中学二调)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案 D 解析 3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin 10°－30°12sin20°＝－2sin 20°12sin20°＝－4.故选D.6．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛ π4－⎭⎪⎫β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，由0<α<π2，得π4<α＋π4<3π4，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223. 由－π2<β<0，得π4<π4－β2<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，代入上式，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝539，故选C.7．(2018·长春模拟)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 答案 A 解析 sin2αsin2β＝sin[α＋β＋α－β]sin[α＋β－α－β]＝sin α＋βcos α－β＋cos α＋βsin α－βsin α＋βcos α－β－cos α＋βsin α－β＝tan α＋β＋tan α－βtan α＋β－tan α－β＝13.故选A.8．(2017·山西八校联考)若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是( )A ．－12B ．－32 C.22 D.12答案 D解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ( 2x ＋φ＋π3 )，∴将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象．∵该图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，对称中心在函数图象上，∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋φ＋π3＝0，解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π6，k ∈Z . ∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是12.故选D.9．(2018·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 答案 A解析由题意知，－2cos B cos C ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.故选A.10．(2018·河北模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ等于( )A.23B.43C.34D.32 答案 D解析由sin θ－cos θ＝－144，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.故选D.二、填空题11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.答案 13解析 ∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13.∴cos 2α－sin 2β＝13.12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．答案－3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.13．(2017·江苏模拟)已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________.答案π3解析因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2，又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π.由π3<α<π2，知2π3<α＋β<π，所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12，又0<β<π，所以β＝π3.14．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．答案－142解析 ∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝ 1＋34＝72， ∴cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α ＝－2(sin α＋cos α)＝－142. B 级三、解答题15．(2017·合肥质检)已知a ＝(sin x ，3cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)若方程f (x )＝13在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解 (1)f (x )＝a ·b ＋32＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，－cos x )＋32＝sin x ·cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由条件知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝13>0，设x 1<x 2，则0<x 1<5π12<x 2<2π3，易知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于直线x ＝5π12对称，则x 1＋x 2＝5π6， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝13.16．(2017·黄冈质检)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a的取值范围．解 (1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2x cos 7π6－cos2x sin 7π6 ＝1＋32sin2x ＋12cos2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数f (x )的最大值为2时x 的取值集合为x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)由题意，f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12.∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1.∴当且仅当b ＝c ＝1时，取等号．又由b ＋c >a 得a <2.所以a 的取值范围是[1,2)．17．(2017·青岛诊断)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋3a cos B ＝3c .(1)求角A 的大小；(2)已知函数f (x )＝λcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋A 2－3(λ>0，ω>0)的最大值为2，将y ＝f (x )的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的32倍后便得到函数y ＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )的最小正周期为π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解 (1)∵a sin B ＋3a cos B ＝3c ， ∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin C . ∵C ＝π－(A ＋B )，∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin(A ＋B ) ＝3(sin A cos B ＋cos A sin B )．即sin A sin B ＝3cos A sin B .∵sin B ≠0，∴tan A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由A ＝π3，得f (x )＝λcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－3＝λ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π32－3＝λ2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋λ2－3，∴λ－3＝2，λ＝5.∴f (x )＝5cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－3＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3－12，从而g (x )＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43ωx ＋π3－12，∴2π43ω＝π，得ω＝32， ∴f (x )＝52cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－12.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，π3≤3x ＋π3≤11π6，∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3≤32，从而－3≤f (x )≤53－24，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，53－24.18．(2017·江西南昌三校模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小值是－32，求实数λ的值．解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x－cos x )(sin x ＋cos x )＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3 ＝－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－λ2－1－2λ2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1. ①当λ<0时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝0时，F (x )取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝λ时，F (x )取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝－12(舍)或λ＝12；③当λ>1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，F (x )取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1矛盾．综上所述，λ＝12.。

高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件文

xcos
x＋1(x∈R)，当函数
y
取
最大值时，求自变量 x 的集合．
12/11/2021
【解】 (1)①因为 tanπ4＋α＝11－＋ttaann αα＝12，
(2)因为 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝1t－ant（anα（－αβ－）β＋）ttaannββ
＝1＋12－12×17 17＝13>0，所以
π 0<α<2.
又因为 tan 2α＝1－2tatannα2α＝1－2×31312＝34>0，
12/11/2021
所以 0<2α<π2，所以 tan(2α－β)＝1t＋anta2nα－2αttaannββ＝1－34＋34×17 17＝1. 因为 tan β＝－17<0，所以π2<β<π，－π<2α－β<0，所以 2α－β＝－34π.
所以 0<α＋β<π3或23π<α＋β<π；
又由 cos α＝17<12且 α 为锐角得π3<α<π2，
所以23π<α＋β<π，
于是 cos(α＋β)＝－1114，sin α＝4 7 3，故 cos β＝12.
12/11/2021
3．在△ABC 中，tan A＋tan B＋ 3＝ 3tan A·tan B，则 C π
12/11/2021
2cos 1.
10°－sin sin 70°
20°的值是___3_____．
[解析] 原式＝2cos（30°－sin207°0°）－sin 20°
＝2（cos
30°·cos
20°＋sin 30°·sin sin 70°
20°）－sin

2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象与性质讲义理含解析

高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形：第3讲三角函数的图象与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1．概念辨析(1)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( )(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．( )(3)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( )(4)三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．小题热身(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A ．4π B．2π C．π D.π2答案 C解析函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.(2)函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间是________．答案 [2k π－π，2k π](k ∈Z )解析 y ＝1－2cos x 的单调递减区间就是y ＝cos x 的单调递增区间，即[2k π－π，2k π](k ∈Z )．(3)函数y ＝3－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________.答案 55π4＋2k π(k ∈Z ) 解析函数y ＝3－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝3π2＋2k π，即x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )．(4)cos23°，sin68°，cos97°从小到大的顺序是________．答案 cos97°<cos23°<sin68°解析 sin68°＝sin(90°－22°)＝cos22°. 因为余弦函数y ＝cos x 在[0，π]上是单调递减的，且22°<23°<97°，所以cos97°<cos23°<cos22°. 即cos97°<cos23°<sin68°.题型一三角函数的定义域和值域1．函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π6 B ．[x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－π12 C ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π6k ∈Z D ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋π6k ∈Z答案 D解析由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π6，k ∈Z ，所以函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋π6，k ∈Z . 2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3.3．(2018·长沙质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1解析令t ＝sin x －cos x ，则t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4∈[－2，2]．由(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x 得 sin x cos x ＝12(1－t 2)，所以y ＝t ＋12(1－t 2)，t ∈[－2，2]的值域即为所求．因为y ＝t ＋12(1－t 2)＝－12(t －1)2＋1，当t ＝－2时，y min ＝－12－2，当t ＝1时，y max ＝1，所以原函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数最值或值域的三种求法1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R 答案 C 解析由cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π解析因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，由函数y ＝sin x 的图象和性质可知，π2≤a ＋π6≤7π6，解得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.3．函数y ＝－cos 2x ＋3cos x －1的最大值为________．答案 1解析由题意可得y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋54，－1≤cos x ≤1，所以当cos x ＝1时，y max ＝1.题型二三角函数的单调性1．(2018·乌鲁木齐一模)已知π3为函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的零点，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z ) 答案 C解析由于π3为函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的零点，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，解得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．2．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]答案 A解析由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，当k ＝0时，由⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，求得12≤ω≤54.3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎥⎤π2，π解析如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.条件探究1 将举例说明1中的函数改为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3，求其单调减区间．解由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．条件探究2 若举例说明1中函数的定义域改为[0，π]，求其单调递增区间．解记A ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，B ＝[0，π]．观察数轴可知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，π 所以函数y ＝f (x )，x ∈[0，π]的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，π.求三角函数单调区间的两种方法(1)复合函数法(2)图象法画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.1．在下列给出的函数中，以π为周期且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数的是( ) A ．y ＝cos x2B ．y ＝cos(－2x )C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4答案 B解析 y ＝cos x2的周期为4π，不符合要求．y ＝cos(－2x )＝cos2x ，令t ＝2x ，t ＝2x在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，y ＝cos t 在t ∈(0，π)上为减函数，所以y ＝cos(－2x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数，符合要求．同理可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上先增后减，y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数．2．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π3，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <a <b解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＝2sin10π21，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3，因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2，所以sin π3<sin 10π21<sin π2，即c <a <b . 题型三三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 三角函数的周期性1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．π D．2π 答案 C解析由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin xcos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x cos x ＝12sin2x ，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C. 角度2 三角函数的奇偶性2．(2018·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.答案5π6解析因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.角度3 三角函数图象的对称性 3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x ＝π6对称答案 B解析当x ＝0时，y ＝2sin π3＝3，所以A ，C 错误；当x ＝－π6时，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋π3＝0，所以B 正确；当x ＝π6时，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π3＝3，所以D 错误．1.周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．2．函数具有奇偶性的充要条件函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )． 3．与三角函数有关的图象的对称性问题对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断.1．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π答案 C解析 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误；由2x －π3＝k π2得x ＝k π4＋π6(k ∈Z )，得函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4＋π6，0，k ∈Z ，故C 正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期为π2，D 错误． 2．(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )答案 D解析由y ＝sin x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，可以排除A ，C ；当x ＝π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π22＝sin π24≠1，排除B ，故选D. 3．(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________．答案 22解析因为f (x ＋4)＝f (x )，函数的周期为4，所以f (15)＝f (－1)，f (－1)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f [f (15)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 高频考点三角函数的图象与性质考点分析纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以掌握此类题型的解法，并在高考中拿全分．[典例1] (2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是 ( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减答案 D解析因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误．故选D.[典例2] (2018·北京高考)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．答案 23解析结合余弦函数的图象得π4ω－π6＝2k π，k ∈Z ，解得ω＝8k ＋23，k ∈Z .又∵ω>0，∴当k ＝0时，ω取得最小值，最小值为23. 方法指导函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(原理：诱导公式、y ＝A sin ωx 为奇函数、y ＝A cos ωx ＋b 为偶函数)(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小正周期为T ＝2πω. (3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π，k ∈Z 得单调递增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z 得单调递减区间．(原理：复合函数同增异减)(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得x .利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，求得其对称轴．(原理：对称中心、对称轴处函数值的特点)注意：明确推导以上结论的原理，可以类似推出y ＝A cos(ωx ＋φ)、y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质.。

《第3讲三角函数的图像与性质》

【反思归纳】 (1)三角函数定义域的求法 ①应用正切函数 y＝tan x 的定义域求函数 y＝Atan(ωx＋φ)的定义域． ②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域． (2)简单三角不等式的解法 ①利用三角函数的图象求解． ②利用三角函数线求解．
【即时训练】 (1)函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x的定义域为 ________．
2020届高考第一轮复习理科数学
第三章三角函数、解三角形
第3讲三角函数的图像与性质
（第三课时）
三角函数的周期性、奇偶性、对称性(多维探究)
角度一三角函数的周期性
例 3. (1)(2018 潍坊模拟)下列函数中，最小正周期为 π，且图象关于直线
x＝π3对称的是( B )
(A)y＝sin2x－π3
故 y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－ 2≤t≤ 2)，从而知： f(－1)≤y≤f( 2)，即－1≤y≤ 2＋12. 即函数的值域为[－1， 2＋12]．
(2)y＝2cos(π3＋x)＋2cos x
＝
π 3cos
x－2sin
π 3sin
x＋2cos
x
＝3cos x－ 3sin x
＝2
【答案】 (1)[－32，3] (2) 1 (3)[－12－ 2，1]
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则 () A．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 3 B．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 4 C．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3 D．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4 2.求下列函数的值域： (1)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x；(2)y＝2cos(π3＋x)＋2cos x. (《金榜题名》第 54 页典例 2 【即时训练】)

2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.3三角函数的图象与性质课后作业理

3．3 三角函数的图象与性质[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 A解析依题意得3cos ⎝⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.故选A.2．已知函数y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，则实数ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0 B ．[－3,0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D ．(0,3]答案 C解析由于y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，所以ω>0，且π3ω≤π2，则0<ω≤32.故选C. 3．(2017·成都调研)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－3，选A.4．(2017·长沙模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递增答案 A解析由条件，知ω＝2.因为f (x )是偶函数，且|φ|<π2，所以φ＝π4，这时f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x . 因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减．故选A. 5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称答案 D解析由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确．故选D.6．(2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，则函数f (x )的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π8，2k π＋5π8(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案 D解析由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ＝0，则2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝－3π4＋k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ＝π4，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则由π2＋2k π≤2x＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z ，故选D.7．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 C解析由y ＝sin πx 3可得T ＝6，则由图象可知5T4≤t ，即152≤t ， ∴t min ＝8.故选C.8．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 A解析将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象左移π6个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，且|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32，选A.9．若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C解析解法一：(特值法)取M ＝2，ω＝1，φ＝0画图象即得答案．解法二：T ＝2πω，g (x )＝M cos(ωx ＋φ)＝M sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2＝M sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2ω＋φ，∴g (x )的图象是由f (x )的图象向左平移π2ω⎝ ⎛⎭⎪⎫即T 4得到的．由b －a ＝T 2，可知，g (x )的图象由f (x )的图象向左平移b －a2得到的．∴得到g (x )图象如图所示．选C.10．(2018·新疆质检)已知函数f (x )＝|sin x |·cos x ，给出下列五个结论： ①f ⎝⎛⎭⎪⎫2018π3＝－34； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增； ④函数f (x )的周期为π； ⑤f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称．其中正确的结论是( )A ．①⑤B ．①②⑤C ．②④D ．②⑤ 答案 A 解析 ①f ⎝⎛⎭⎪⎫2018π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2018π3·cos 2018π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34，∴①正确； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 2，当x 1＝0，x 2＝π2时也成立，∴②不正确； ③∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )＝|sin x |cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π4≤x <0，12sin2x ，0≤x ≤π4，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上不是单调函数，∴③不正确； ④∵f (x ＋π)≠f (x )，∴函数f (x )的周期不是π，∴④不正确； ⑤∵f (x )＝|sin x |cos x＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π＋2k π<x <2k π，12sin2x ，2k π≤x <π＋2k π，k ∈Z ，∴结合图象可知f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称，∴⑤正确．故选A. 二、填空题11．设函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.答案2π3解析由题意得f ′(x )＝3cos(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3是奇函数，因此φ＋π3＝k π(其中k ∈Z )，φ＝k π－π3.又0<φ<π，所以φ＝2π3.12．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫π2<φ<π的图象，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.答案 12解析注意到函数的两条相邻对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.13．(2017·绵阳模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________.答案－2解析 ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，∴φ＝π2，f (x )＝－4sin ωx .A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则12·2πω＝1，∴ω＝π，f (x )＝－4sinπx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2. 14．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称； ③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数； ④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数．所有正确结论的编号为________．答案 ②④解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2.又其图象关于直线x ＝π12对称，得π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π3.∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，∴函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称．所以②正确．解不等式－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，所以④正确．三、解答题15．已知函数f (x )＝2sin x ＋1.(1)设ω为大于0的常数，若f (ωx )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上单调递增，求实数ω的取值范围；解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－cos 2x ＋cos x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋94.∵cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝12，即x ＝2k π±π3(k ∈Z )时，f (x )max ＝94.(2)依题意sin 2x ＋a cos x ＋a ≤1，即sin 2x ＋a (cos x ＋1)≤1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，0≤cos x ≤1，则1≤cos x ＋1≤2，∴a ≤ cos 2x cos x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．令t ＝cos x ＋1，则1≤t ≤2，∴a ≤t －12t＝t 2－2t ＋1t ＝t ＋1t －2对任意1≤t ≤2恒成立，于是a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2min .又∵t ＋1t －2≥0，当且仅当t ＝1，即x ＝π2时取等号，∴a ≤0.。

(新课标)2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3-6简单的三角恒等变换课时规范练理

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3—6 简单的三角恒等变换课时规范练（授课提示：对应学生用书第71页)A组基础对点练1．（2017·简阳市期末）已知cos α＝错误!，α∈错误!,则cos错误!等于（ B ）A。

错误!B．－错误!C.错误!D．－错误!解析：α∈错误!，∴错误!∈错误!,则cos错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!。

2．(2016·高考山东卷)函数f(x)＝（错误!sin x＋cos x）·（错误!cos x－sin x）的最小正周期是( B )A.错误!B．πC。

错误!D．2π3．(2017·开封模拟）设a＝错误!cos 6°－错误!sin 6°，b＝错误!，c＝错误!,则( C ）A．c〈b〈a B．a〈b<cC．a〈c〈b D．b<c<a4．（2018·高考全国卷Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B（2，b），且cos 2α＝23，则|a－b|＝（ B ）A。

(新课标)2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3_3三角函数的图象与性质课件理新人教A版

[2kπ，2kπ＋π]为减； [2kπ－π，2kπ]为增
kπ－π2， kπ＋π2为增
＋32π为减
对称中心
(kπ，0)
对称轴 x＝kπ＋π2
kπ＋π2，0 x＝kπ
k2π，0
3.周期函数 (1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫作周期函数，非零常数T 叫作Biblioteka ＋sin θcos θ＝( )
A．2
B．－2
C．1
D．－1
[解析] (1)由 y＝sinx＋3 φ是偶函数知φ3＝π2＋kπ，k∈Z，即 φ＝32π＋3kπ，k∈Z，又 ∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π. (2)f(x)＝sin 2x＋ 3cos 2x＝2sin2x＋π3，令 2x＋π3＝π2＋kπ，解得 x＝1π2＋k2π，k∈Z.
上的性质(如单调性、最大值和最小查三角函数性质时，常与三角恒等变换
值，图象与x轴的交点等)，理解正切函结合，加强数形结合思想、函数与方程
数在区间－π2，π2内的单调性.
思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.
[基础梳理] 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)， ___3_2π_，__－__1___，(2π，0)．余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，π2，0， (π，－1) ，32π，0，(2π，1)．
[三基自测] 1．(必修 4·1.4 练习改编)函数 y＝12sin x，x∈[－π，π]的单调性是( ) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2和π2，π上都是减函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D．在π2，π和－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数答案：B

2023版高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β)). (2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β)). (3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β)). (4)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β)). (5)tan(α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ(T(α－β)). (6)tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ(T(α＋β)).
可得 3sin 18°(1－sin 18°)(1＋sin 18°)－(sin 18°－1)· (sin218°－sin 18°－1)＝0，
可得(1－sin 18°)[3sin 18°(1＋sin 18°)＋sin218°－sin 18° －1]＝0，
可得 3sin 18°(1＋sin 18°)＋sin218°－sin 18°－1＝0，可得 4sin218°＋2sin 18°－1＝0，解得 sin 18°＝－22＋×24 5＝ 54－1(负值舍去).
题组三真题展现
4.(2021 年全国乙)cos21π2－cos251π2＝(
)
1
3
2
A.2
B. 3
C. 2
3 D. 2
答案：D
5.(2021 年新高考Ⅰ)若 tan
θ＝－2，则sinsinθθ1＋＋csoins
2θ θ
＝( )
A.－65
B.－25
2 C.5
6 D.5
答案：C
考点一公式的直接应用 [例 1](1)(2020 年全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且 3cos 2α－ 8cos α＝5，则 sin α＝( )

2020届高考数学一轮复习第3单元三角函数、解三角形听课学案理

第三单元三角函数、解三角形第16讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课前双击巩固1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.(2)分类:按旋转方向分为、和零角;按终边位置分为和轴线角.(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S= .2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad.(2)公式:|=弧长3.任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α= ,cos α= ,tan α=(x≠0).(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-16-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α的、和.图3-16-1常用结论象限角与轴线角(1)象限角(2)轴线角题组一常识题1.[教材改编]终边在射线y=-x(x<0)上的角的集合是.2.[教材改编](1)67°30'= rad;(2)=°.3.[教材改编]半径为120 mm的圆上长为144 mm的弧所对圆心角α的弧度数是.4.[教材改编]若角α的终边经过点P(-1,2),则sin α-cos α+tan α= .题组二常错题◆索引:对角的范围把握不准;由值求角时没有注意角的范围;求三角函数值时没有考虑角的终边所在的象限;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.5.在△ABC中,若sin A=,则A= .6.已知点P(sin α-cos α,tan α)在第二象限,则在[0,2π]内α的取值范围是.7.已知角α的终边落在直线y=-3x上,则-= .8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20 cm,则扇形的面积为cm2.课堂考点探究探究点一角的集合表示及象限角的判定1 (1)设集合M=x x=·180°+45°,k∈Z,N=x x=·180°+45°,k∈Z,那么()A.M=NB.M⊆NC.N⊆MD.M∩N=⌀(2)已知角α的终边在图3-16-2中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则所有角α构成的集合是.图3-16-2[总结反思] 把角表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,即可判断其所在的象限.式题 (1)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β= .(2)若角α的终边在x轴的上方,则是第象限角.探究点二扇形的弧长、面积公式2 (1)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数是.(2)若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是.[总结反思] 应用弧度制解决问题的方法:(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;(2)求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决;(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.式题 (1)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A. B. C.-D.-(2)圆内接矩形的长宽之比为2∶1,若该圆上一段圆弧的长等于该内接矩形的宽,则该圆弧所对圆心角的弧度数为.探究点三三角函数的定义考向1三角函数定义的应用3 (1)[2017·西安一模]函数y=log a(x-3)+2(a>0且a≠1)的图像过定点P,且角α的终边过点P,则sin α+cos α的值为()A. B.C.D.(2)[2017·北京卷]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β= .[总结反思] 三角函数定义主要应用于两方面:(1)已知角的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.(2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.考向2三角函数值的符号判定4 (1)使lg(sin θ·cos θ)+有意义的θ为()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)若角α的终边落在直线y=-x上,则+= .[总结反思] 要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果角不能确定所在象限,那就要进行分类讨论求解.考向3三角函数线的应用5 函数f(x)=+ln sin x-的定义域为.[总结反思] 利用三角函数线解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sin x≥b,cos x≥a,只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围.强化演练1.【考向1】点P从点,-出发,沿单位圆按逆时针方向运动后到达Q点,若α的始边在x轴的正方向上,终边在射线OQ上,则sin α=()A.1B.-1C.D.-2.【考向2】已知角α的终边在第一象限,点P(1-2a,2+3a)是其终边上的一点,若cos α>sin α,则实数a的取值范围是.3.【考向3】满足cos α≤-的角α的集合为.第17讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式课前双击巩固1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:.(2)商数关系:.2.诱导公式-α+α常用结论1.sin(kπ+α)=(-1)k sin α.2.在△ABC中:(1)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C;(2)sin =cos ,cos =sin .题组一常识题1.[教材改编]已知cos α=,且α是第四象限角,则sin α的值为.2.[教材改编]已知=-5,那么tan α的值为.3.[教材改编]已知sin α=,则cos= .4.[教材改编]求值:sin(-1200°)·cos 1290°= .题组二常错题◆索引:平方关系没有考虑角的象限导致出错;扩大角的范围导致出错;不会运用消元的思想;kπ±α形式没有把k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错.5.已知△ABC中,=-,则cos A等于.6.已知cosπ+α=-,且α是第四象限角,则cos(-3π+α)= .7.已知=5,则sin2α-sin αcos α= .8.已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是.课堂考点探究探究点一三角函数的诱导公式1 (1)已知f(α)=,则f=()A. B.C.D.-(2)[2017·邢台一中月考]已知cos(75°+α)=,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是()A. B.C.-D.-[总结反思] (1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.式题 (1)[2017·龙岩六校联考] sin 300°+tan 600°的值是()A.-B.C.-+D.+(2)若sin-α=,则cos+α= .探究点二同角三角函数的基本关系考向1切弦互化2 (1)[2017·亳州三模]已知x∈,π,tan x=-,则cos-x-等于()A. B.-C.-D.(2)[2017·江西重点中学一联]设0<α<π,且sinα+=,则tanα+的值是()A. B.-C. D.-[总结反思] 同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系tan α=和平方关系1=sin2α+cos2α.考向2“1”的变换3 (1)[2017·常德一中期中]已知tan x=2,则2sin2x-sin x cos x+cos2x的值为.(2)[2017·桂林模拟]已知sin x-cos x=,x∈0,,则tan x= .[总结反思] 对于含有sin2x,cos2x,sin x cos x的三角函数求值题,一般可以考虑添加分母1,再将1用“sin2x+cos2x”代替,然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan α的式子,从而求解.考向3和积转换4 若sin α+cos α=-,0<α<π,则sin+α·cos-α的值为.[总结反思] 对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α可以达到转换、知一求二的目的.强化演练1.【考向1】已知cos x+sin x=,x∈(0,π),则tan x等于()A.-B.-C.2D.-22.【考向2】若tan α=2,则4sin2α-3sin αcos α-5cos2α= .3.【考向3】若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为.第18讲三角函数的图像与性质课前双击巩固正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质(下表中k∈Z)x x∈R,且x≠+Z2kπ-,2kπ+上为kπ-,kπ+上为增函数;kπ+,0,0常用结论1.函数y=A sin(ωx+φ)和y=A cos(ωx+φ)的最小正周期T=,函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.3.三角函数中奇函数一般可化为y=A sin ωx或y=A tan ωx的形式,偶函数一般可化为y=A cos ωx+b的形式.题组一常识题1.[教材改编]函数y=2sin(2x-1)的最小正周期是.2.[教材改编]若函数y=A sin x+1(A>0)的最大值是3,则它的最小值是.3.[教材改编]函数y=2cos x在[-π,0]上是函数,在[0,π]上是函数.4.[教材改编]函数f(x)的定义域为[0,1],则f(cos x)的定义域为.题组二常错题◆索引:忽视y=A sin x(或y=A cos x)中A对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视限制条件.5.函数y=1-2cos x的单调递减区间是.6.函数y=cos x tan x的值域是.7.函数y=-cos2x+3cos x-1的最大值为.8.设sin x+sin y=,则M=sin x+sin2y-1的最大值与最小值分别为.课堂考点探究探究点一三角函数的定义域1 (1)函数f(x)=+tan x+的定义域是.(2)函数y=lg(sin x)+的定义域为.[总结反思] 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式(组), 借助三角函数线或三角函数图像来求解.式题 (1)函数y=的定义域为.(2)函数f(x)=-2tan2x+的定义域是.探究点二三角函数的值域或最值2 (1)函数y=2sin-(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A.2-B.0C.-1D.-1-(2)函数y=cos 2x+2cos x的值域是()A.[-1,3]B.C.D.[总结反思] 常见三角函数值域(最值)问题的求解方法:①形如y=a sin x+b cos x+c的三角函数,化为y=A sin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域);②形如y=a sin2x+b sin x+c的三角函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数求值域(最值);③形如y=a sin x cos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可设t=sin x±cos x,化为关于t 的二次函数求值域(最值).式题 (1)函数y=|sin x|+sin x的值域为()A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,0]D.[0,2](2)函数y=cos x-sin x+4sin x cos x的最大值是.探究点三三角函数的性质考向1三角函数的周期性3 (1)[2017·淮北一中期中]函数f(x)=sin3x+的最小正周期是.(2)下列函数中,周期为的偶函数为 ()A.y=sin 4xB.y=cos 2xC.y=tan 2xD.y=sin-4x[总结反思] 对于函数y=A sin(ωx+φ)+k或y=A cos(ωx+φ)+k,其最小正周期T=.考向2三角函数的对称性4 (1)函数y=2sin2x+的图像()A.关于原点对称B.关于点-,0对称C.关于y轴对称D.关于直线x=对称(2)[2017·潍坊三模]若直线x=π和x=π是函数y=cos(ωx+φ)(ω>0)图像的两条相邻对称轴,则φ的一个可能取值为()A.B.C. D.[总结反思] (1)对于函数y=A sin(ωx+φ),其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(2)函数图像的对称性与周期T之间有如下结论:①若函数图像相邻两条对称轴分别为x=a 与x=b,则周期T=2|b-a|;②若函数图像相邻两对称中心分别为(a,0),(b,0),则周期T=2|b-a|;③若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为(a,0)与x=b,则周期T=4|b-a|.考向3三角函数的单调性5 (1)[2017·衡阳八中期中]在下列给出的函数中,以π为周期且在0,上是减函数的是()A.y=cosB.y=cos(-2x)C.y=sinD.y=tan(2)已知ω>0,函数f(x)=cosωx-在,π上单调递减,则ω的取值范围是()A.B.C.D.(0,2][总结反思] (1)形如y=A sin(ωx+φ)的函数的单调性问题,一般是将ωx+φ看成一个整体,再结合图像利用y=sin x的单调性求解;(2)如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性.强化演练1.【考向2】[2017·三明质检]已知函数f(x)=sin(x+φ)-cos(x+φ)|φ|<的图像关于直线x=π对称,则cos 2φ=()A.-B.-C. D.2.【考向1】函数f(x)=2cos2x--1是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数3.【考向2】如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点,0中心对称, 那么|φ|的最小值为()A. B.C. D.4.【考向3】函数f(x)=sin-2x+的单调递减区间为.第19讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用课前双击巩固1.y=A sin(ωx+φ)的有关概念f=2.用五点法画y=A sin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:3.函数y=sin x的图像经变换得到y=A sin(ωx+φ)的图像的步骤图3-19-1题组一常识题1.[教材改编]函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变, 纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.[教材改编]某函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin,则原函数的解析式是.3.[教材改编]若函数f(x)=sin ωx(0<ω<2)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,则ω=.4.[教材改编]已知简谐运动f(x)=2sin x+φ的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为.题组二常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos的图像,只需将函数y=sin 2x的图像向平移个单位长度.6.设ω>0,若函数f(x)=sin cos 在区间上单调递增,则ω的取值范围是.7.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f=f,且f=-3,则实数m= .8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-19-2所示,则φ= .图3-19-2课堂考点探究探究点一函数y=A sin(ωx+φ)的图像变换1 (1)[2016·全国卷Ⅰ]将函数y=2sin2x+的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为()A.y=2sin2x+B.y=2sin2x+C.y=2sin2x-D.y=2sin2x-(2)[2018·安徽江南十校联考]函数y=cos 2x的图像可以由函数y=sin 2x的图像经过平移而得到,这一平移过程可以是()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度[总结反思] 由y=sin x的图像变换到y=A sin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.式题 (1)[2017·雅安三诊]把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移个单位长度,所得图像的函数解析式为() A.y=sin B.y=sinC.y=sinD.y=sin(2)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=cos 3x的图像()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度探究点二函数y=A sin(ωx+φ)的图像与解析式2 (1)[2017·马鞍山三模]已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图像如图3-19-3所示,则φ= .图3-19-3(2)已知函数f(x)=M sin(ωx+φ)M>0,|φ|<的部分图像如图3-19-4所示,其中A(2,3)(点A为图像的一个最高点),B-,0,则函数f(x)= .图3-19-4[总结反思] 利用图像求函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)根据函数图像上的某一特殊点求出φ的值.式题已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-19-5所示,且A,1,B(π,-1),则φ值为.图3-19-5探究点三函数y=A sin(ωx+φ)的图像与性质3 (1)[2017·惠州模拟]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,将函数f(x)的图像向左平移个单位长度后所得图像过点P(0,1),则函数f(x)=sin(ωx+φ) ()A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增(2)[2017·西宁二模]函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图像如图3-19-6所示,A,B分别为最高点与最低点,且|AB|=2,则该函数图像的一条对称轴为()图3-19-6A.x=B.x=-C.x=2D.x=1[总结反思] 求y=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的一般步骤.(1)求A,B.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.(2)求ω.确定函数的周期T,则ω=.(3)求φ.常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.式题 [2017·长安一中质检]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-19-7所示,若f(0)=,且·=-8,B,C分别为最高点与最低点.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若将f(x)的图像向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.图3-19-7探究点四三角函数模型的简单应用4 有一个半径为4 m的水轮(如图3-19-8),水轮的圆心O距离水面2 m,已知水轮逆时针转动,且每分钟转动4圈,当水轮上的点P从水中浮现(即到达图中点P0)时开始计时.(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数;(2)在水轮转动一圈的过程中,有多长时间点P距水面的高度超过4 m.图3-19-8[总结反思] (1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=A sin(ωx+φ)+k中的待定系数.(2)把实际问题“翻译”为函数f(x)所满足的条件,通过数学运算得到相关结论,最后把数学结论“翻译”为实际问题的答案.式题某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的月平均气温为℃.第20讲两角和与差的正弦、余弦和正切课前双击巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S(α±β):sin(α±β)= .(2)公式C(α±β):cos(α±β)=.(3)公式T(α±β):tan(α±β)= .常用结论1.两角和与差的正切公式的变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.二倍角余弦公式的变形:sin2α=,cos2α=.3.一般地,函数f(α)=a sin α+b cos α(a,b为常数)可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ).题组一常识题1.[教材改编] sin 75°的值为 .2.[教材改编] 已知cos α=-,α∈,则sin α+的值是 .3.[教材改编] cos 65°cos 115°-cos 25°·sin 115°= .4.[教材改编] 已知tan α=,tan β=-2,则tan(α-β)的值为 . 题组二常错题◆索引:忽略角的范围,用错公式的结构;用错两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误.5.已知tan +α=,α∈,π,则cos α的值是 .6.化简:sin x-cos x= .7.计算:= .8.若α+β=,则[1+tan(π-α)](1-tan β)的值为 .课堂考点探究探究点一两角和与差的三角函数公式1 (1)若sin(α+β)=2sin(α-β)=,则sin αcos β的值为 ( )A .B .-C. D.-(2)[2017·惠州模拟]已知α∈0,,cosα+=-,则cos α= .[总结反思] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.式题 (1)[2017·德州二模]已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,那么β=()A.B.C. D.(2)[2017·肇庆二模]已知tan α,tan β分别是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根,则tan(α+β)= .探究点二两角和与差公式的逆用与变形2 (1)[2017·常德一中期中]已知sin α+cos β=,sin β-cos α=,则sin(α-β)= .(2)[2017·长沙三模]已知α-β=,tan α-tan β=3,则cos(α+β)的值为. [总结反思] 常见的公式变形:(1)两角正切的和差公式的变形,即tan α±tanβ=tan(α±β)(1∓tan αtan β);(2) a sin α+b cos α=sin(α+φ)tan φ=.式题 (1)[2017·淮北一中期中] sin 42°cos18°-cos 138°cos72°= . (2)(1+tan 20°)(1+tan 21°)(1+tan 24°)(1+tan 25°)= .探究点三角的变换问题3 (1)[2017·宜春四校联考]已知tan(α+β)=,tanβ-=,则的值为()A.B. C.D.(2)[2017·龙岩六校联考]已知<α<,0<β<,cos+α=-,sin+β=,则sin(α+β)的值为.[总结反思] 常见的角变换:±2α=2±α,2α=(α+β)+(α-β),α=+,+α=--α等.式题 (1)已知tan α=,tan(α-β)=-,那么tan(2α-β)的值为 ()A.-B.C.-D.(2)[2017·运城模拟]已知α为锐角,若sinα-=,则cosα-= ()A.B.C.D.第21讲二倍角公式与简单的三角恒等变换课前双击巩固1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin 2α= .(2)公式C2α:cos 2α= = = .(3)公式T2α:tan 2α= .2.常用的部分三角公式(1)1-cos α= ,1+cos α= .(升幂公式)(2)1±sin α= .(升幂公式)(3)sin2α= ,cos2α= ,tan2α= .(降幂公式)(4)sin α=,cos α= ,tan α= .(万能公式)(5)a sin α+b cos α= ,其中sin φ=,cos φ=.(辅助角公式)3.三角恒等变换的基本技巧(1)变换函数名称:使用诱导公式.(2)升幂、降幂:使用倍角公式.(3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tan.(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.常用结论半角公式:sin =±,cos =±,tan =±==.题组一常识题1.[教材改编] sin 15°-cos 15°的值是.2.[教材改编]已知f(x)=sin2x-(x∈R),则f(x)的最小正周期是.3.[教材改编]已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan αtan β的值为.4.[教材改编]已知sin θ=,θ为第二象限角,则sin 2θ的值为.题组二常错题◆索引:求三角函数值时符号的选取(根据求解目标的符号确定);已知三角函数值时求角的范围;a sin α+b cos α=sin(α+φ)中φ值的确定.5.sin 112.5°= .6.已知α,β均为锐角,且tan α=7,tan β=,则α+β= .7.化简sin α-cos α=sin(α+φ)中的φ= .8.已知sin 2α=,2α∈0,,则sin α-cos α= .课堂考点探究探究点一三角函数式的化简1 (1)+=()A.2sin 3B.-2sin 3C.2cos 3D.-2cos 3(2)[2017·重庆一中段考]已知α∈R,则函数f(x)=1-sin2(x+α)+cos(x+α)sin(x+α)的最大值为.[总结反思] (1)化简标准:函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升幂的作用.(3)当角α的终边在直线y=x的上方区域时,sin α>cos α;当角α的终边在直线y=x的下方区域时,sin α<cos α.式题 [2017·合肥一模]已知sin 2α-2=2cos 2α,则sin2α+sin 2α= .探究点二三角函数式的求值考向1给值求值2 (1)[2017·厦门一中模拟]已知cos θ=-,θ∈(π,2π),则sin+cos= .(2)已知cos x-=,则cos2x-+sin2-x的值为()A.-B.C.D.-[总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.考向2给角求值3 求值:=()A.1B.2C.D.[总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.考向3给值求角4 已知<α<π,-π<β<0,tan α=-,tan β=-,求2α+β的值.[总结反思] 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:①已知正切函数值,则选正切函数.②已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是0,,则选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦较好;若角的范围为-,,则选正弦较好.强化演练1.【考向1】[2017·郑州质量预测]已知cosπ-2θ=-,则sin+θ的值等于()A. B.±C.-D.2.【考向3】[2018·六安一中月考]若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,π,β∈π,则α+β的值是()A.B.C.或D.或3.【考向1】[2017·黄冈期末]若=,则tan 2α等于.4.【考向2】[2017·淮北第一中学期中]= .探究点三三角恒等变换的综合应用5 [2017·赣州二模]已知函数f(x)=sin ωx cos ωx-cos2ωx+(ω>0)图像的两条相邻对称轴之间的距离为.(1)求函数y=f(x)图像的对称轴方程;(2)若函数y=f(x)-在(0,π)上的零点为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.[总结反思] (1)求三角函数解析式y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)时要注意φ的取值范围.(2)根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注意开方后三角函数值的符号.式题已知函数f(x)=2sin x(cos x-sin x).(1)求函数f(x)在-,上的值域;(2)在△ABC中,f(C)=0,且sin B=sin A sin C,求tan A的值.第22讲正弦定理和余弦定理课前双击巩固1.正弦定理和余弦定理= =2.在△ABC 中,已知a ,b 和A 时,解的情况如下:3.三角形面积公式(1)S=ah (h 表示边a 上的高);(2)S=bc sin A=ac sin B=ab sin C ;(3)S=r (a+b+c )(r 为三角形的内切圆半径).常用结论1.三角形内角和定理:在△ABC 中,A+B+C=π;变形:=-.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;(3)sin =cos ;(4)cos =sin .3.三角形中的射影定理在△ABC中,a=b cos C+c cos B;b=a cos C+c cos A;c=b cos A+a cos B.题组一常识题1.[教材改编]在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于.2.[教材改编]在△ABC中,已知a=5,b=2,C=30°,则c= .3.[教材改编]在△ABC中,已知a2-c2+b2=ab,则C等于.4.[教材改编]在△ABC中,已知a=3,b=2,cos C=,则△ABC的面积为.题组二常错题◆索引:在△ABC中角与角的正弦的关系;正弦定理求角时解的个数;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系.5.在△ABC中,若sin A=sin B,则A,B的关系为;若sin A>sin B,则A,B的关系为.6.在△ABC中,若A=60°,a=4,b=4,则B等于.7.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c= ,△ABC的面积等于.8.在△ABC中,角A,B,C满足sin A cos C-sin B cos C=0,则三角形的形状为.课堂考点探究探究点一利用正弦﹑余弦定理解三角形1 [2017·成都三诊]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-a=2b cos A.(1)求角B的大小;(2)若b=2,求a+c的最大值.[总结反思] (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.式题 (1)[2017·合肥二模]在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=,则b2+c2的取值范围是()A.(5,6]B.(3,5)C.(3,6]D.[5,6](2)[2017·天津南开区三模]如图3-22-1,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin C的值为.图3-22-1探究点二利用正弦﹑余弦定理判定三角形的形状2 [2017·襄阳五中一模]如图3-22-2所示,图3-22-2在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BAD+∠C=90°,则△ABC的形状是.[总结反思] 判断三角形形状实质上是在缺少部分条件的情况下解三角形,此时三角形的各个元素虽然不能具体确定,但可以确定其中某些元素的等量或者不等量关系,据此对三角形形状作出判断.式题在△ABC中,若sin A=2cos B sin C,则△ABC的形状是.探究点三与三角形面积有关的问题3[2017·山西吕梁一模]已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=-sin A sin B,sin(A-B)=cos(A+B).(1)求角A,B,C;(2)若a=,求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积.[总结反思] (1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入公式得面积;(3)若求面积的最值,一般表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,或结合基本不等式求解.式题△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B).(1)求角C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.第23讲正弦定理和余弦定理的应用课前双击巩固1.仰角和俯角:与目标线在同一铅垂平面内的和目标视线的夹角,目标视线在水平视线的叫仰角,目标视线在水平视线的叫俯角,如图3-23-1(a)所示.2.方位角:指从顺时针转到目标方向线的水平角,如图3-23-1(b)中B点的方位角为α.。

2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3_7正弦定理和余弦定理课时规范练文(含解析)新人教A版

3-7 正弦定理和余弦定理课时规范练 A 组基础对点练1．(2016·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( D )A. 2B. 3 C ．2D.32．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( D ) A ．10 B.9 C ．8D.53．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( B )A ．5 B. 5 C ．2D.1解析：∵钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝c ＝1，BC ＝a ＝2，∴S ＝12ac sin B ＝12，即sin B ＝22，当B 为钝角时，cos B ＝－1－sin 2B ＝－22，利用余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2＋2＝5，即AC ＝5，当B 为锐角时，cos B ＝1－sin 2B ＝22，利用余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2－2＝1，即AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，即△ABC 为直角三角形，不合题意，舍去，则AC ＝ 5.故选B.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( A ) A ．a ＝2b B.b ＝2a C ．A ＝2BD.B ＝2A5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B ，则B ＝( C ) A.π6B.π4C.π3D.π26．(2018·衡阳联考)已知△ABC 的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是( B ) A.23 B.34 C.56D.710解析：设三边长依次是x －1，x ，x ＋1，其中x 是自然数，且x ≥2，令三角形的最小角为A ，则最大角为2A ，由正弦定理，有x －1sin A ＝x ＋1sin 2A ＝x ＋12sin A cos A，∴cos A ＝x ＋1x －，由余弦定理，有cos A ＝x 2＋x ＋2－x －22x x ＋，∴x ＋1x －＝x 2＋x ＋2－x －22x x ＋，即x ＋1x －1＝x 2＋4x x 2＋x ＝x ＋4x ＋1，整理得(x ＋1)2＝(x －1)(x ＋4)，解得x ＝5，三边长为4,5,6，则cos A ＝52＋62－422×5×6＝34.7．(2018·西安模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cosB ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为(D )A ．等腰三角形 B.锐角三角形 C ．直角三角形D.等腰直角三角形解析：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝sin 2A . 因为0<A <π，所以sin A ≠0，所以sin A ＝1. 所以A ＝π2.因为sin 2B ＝sin 2C ，所以由正弦定理得b 2＝c 2. 因为b >0，c >0，所以b ＝c .所以△ABC 是等腰直角三角形．综上所述，故选D.8．(2016·高考北京卷)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝__1__.9．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是__45°，30°，105°__.10．在△ABC 中， A ＝30°，AB ＝4，满足此条件的△ABC 有两解，则BC 边长度的取值范围为__(2,4)__．解析：由正弦定理可得BC sin A ＝ABsin C ，∴BC ＝AB ·sin A sin C ＝2sin C，∵△ABC 有两个解，∴30°＜C ＜150°，且C ≠90°， ∴12＜sin C ＜1， ∴BC ＝2sin C∈(2,4)． 11．已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是152，cos ∠BDC ＝ 104. 解析：如图，取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意知AE ⊥BC ，BF ⊥CD . 在Rt △ABE 中，cos ∠ABE ＝BE AB ＝14， ∴cos ∠DBC ＝－14，sin ∠DBC ＝1－116＝154.∴S △BCD ＝12×BD ×BC ×sin∠DBC ＝152.∵cos ∠DBC ＝1－2sin 2∠DBF ＝－14，且∠DBF 为锐角，∴sin ∠DBF ＝104.在Rt △BDF 中，cos ∠BDF ＝sin ∠DBF ＝104. 综上可得，△BCD 的面积是152，cos ∠BDC ＝104. 12．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解析：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cosC ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2sin 60° ＝2 3.13．△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求sin Bsin C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 解析：(1)由正弦定理，得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin B sin C ＝DC BD ＝12.(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos B ＋12sin B.由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33，即∠B ＝30°. B 组能力提升练1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( A ) A.725 B.－725C ．±725D.2425解析：由C ＝2B ，得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理及8b ＝5c ，得cos B ＝sin C2sin B＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc ，且b ＝3a ，则下列关系一定不成立的是( B ) A ．a ＝c B.b ＝c C ．2a ＝cD.a 2＋b 2＝c 2解析：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，则A ＝30°.又b ＝3a ，由正弦定理得sin B ＝3sin A ＝3sin 30°＝32，所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，△ABC 为直角三角形，且2a ＝c ，可知C ，D 成立；当B ＝120°时，C ＝30°，所以A ＝C ，即a ＝c ，可知A 成立，故选B.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若满足c ＝2，a cos C ＝c sin A 的△ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( D ) A ．(1，2) B.(1，3) C ．(3，2)D.(2，2)解析：因为a cos C ＝c sin A ，由正弦定理得sin A cos C ＝sin C sin A ，易知sin A ≠0，故tan C ＝1，所以C ＝π4.过点B 作AC 边上的高BD (图略)，垂足为D ，则BD ＝22BC ，要使满足条件的△ABC 有两个，则BC >2>22BC ，解得2<BC <2.故选D. 4．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B ·(2－cos C )＝sin 2 C 2＋12，则△ABC 为( D )A ．等边三角形B.钝角三角形C ．锐角非等边三角形 D.等腰直角三角形解析：由2a cos B ＝c ⇒2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ⇒a 2＝b 2，所以a ＝b .因为sin A sin B (2－cos C )＝sin 2 C 2＋12，所以2sin A sin B (2－cos C )－2＋1－2sin 2C2＝0，所以2sin A sin B (2－cos C )－2＋cos C＝0，所以(2－cos C )(2sin A sin B －1)＝0，因为cos C ≠2，所以sin A sin B ＝12，因为a ＝b ，所以sin 2A ＝12，所以A ＝B ＝π4，所以C＝π2，所以△ABC 是等腰直角三角形，故选D. 5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为3 .解析：由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，则△ABC 面积的最大值为 3.6．(2017·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cosC ＋c cos A ，则B ＝π3. 解析：由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ⇒cos B ＝12⇒B ＝π3. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋c b的值为__2__.解析：由题意及正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ＝a 2＋c 2－ac ，即b 2＝(a ＋c )2－3ac ，又b 2＝ac ，所以4b 2＝(a ＋c )2，解得a ＋cb＝2.8．(2018·高考北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝__60°__；ca的取值范围是__(2，＋∞)__．解析：∵S △ABC ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝12ac sin B ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝sin B3，即cos B ＝sin B 3，∴sin B cos B ＝3，∠B ＝π3，则c a ＝sin C sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A ＝32cos A －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·sin A sin A ＝32·1tan A ＋12， ∴∠C 为钝角，∠B ＝π3，∴0<∠A <π6，∴tan A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，1tan A ∈(3，＋∞)，故c a∈(2，＋∞)．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cosC . (1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解析：(1)证明：在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )．由已知，得(1－sin 2B )－cos(A ＋C )＝1－cos A cos C ， ∴－sin 2B －(cos A cosC －sin A sin C )＝－cos A cos C ，化简，得sin 2B ＝sin A sinC . 由正弦定理，得b 2＝ac ， ∴a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4.则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时，等号成立． ∵0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ≤ 1－122＝32， ∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×32＝ 3.即△ABC 的面积的最大值为 3.10．(2018·海口调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )cos C ＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin B sin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理，得(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ，即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ， ∴sin B sin A＝3. (2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.。

高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第3讲

第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．已知sin(π2＋α)＝12，－π2<α<0，则cos(α－π3)的值是________．[解析] 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos(α－π3)＝12cos α＋32sin α＝－12.[答案] －122．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ＝________．[解析] 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝35，所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.[答案] －7253．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A ＝________．[解析] tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－－2＋131－（－2）×13＝1.故A ＝π4.[答案] π44．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. [解析] tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan （α＋β）－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan （α＋β）·tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.[答案] 3225．(2018·重庆巴蜀中学期中改编)在△ABC 中，若3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1，则sin 2A ＝________．[解析] 由3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1得tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－33，又因为B ，C 为三角形内角，所以B ＋C ＝150°，A ＝30°，2A ＝60°，所以sin 2A ＝32. [答案]326．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(一))若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，则sin 2α＝________. [解析] cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝－14，则34cos 2α＋14sin 2α＝－14，可得⎩⎨⎧3cos 2α＋sin 2α＝－1，cos 22α＋sin 22α＝1，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，解得cos 2α＝－32，sin 2α＝12. [答案] 127.3tan 12°－3（4cos 212°－2）sin 12°＝________．[解析] 原式＝3sin 12°cos 12°－32（2cos 212°－1）sin 12° ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin （－48°）2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.[答案] －4 38．设θ为第二象限角，若tan (θ＋π4)＝12，则sin θ＋cos θ＝________．[解析] 法一：由θ在第二象限，且tan(θ＋π4)＝12，因而sin(θ＋π4)＝－55，因而sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)＝－105.法二：如果将tan(θ＋π4)＝12利用两角和的正切公式展开，则tan θ＋11－tan θ＝12，求得tanθ＝－13.又因为θ在第二象限，则sin θ＝110，cos θ＝－310，从而sin θ＋cos θ＝－210＝－105. [答案] －1059．(2018·苏锡常镇四市高三调研)已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________．解析：由sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6得2sin α＝33sin α＋3cos α，则(2－33)sin α＝3cos α，tan α＝sin αcos α＝32－33＝－3（2＋33）23，又tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3·tanπ4＝3－11＋3＝2－3，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝－3（2＋33）23＋2－31＋3（2＋33）（2－3）23＝23－4.答案：23－410．若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝________．[解析] 因为0<α<π2，－π2<β<0，所以π4<π4＋α<3π4，π4<π4－β2<π2，所以sin(π4＋α)＝1－19＝223，sin(π4－β2)＝ 1－13＝63，所以cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝539. [答案] 53911．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．[解] 由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R . (1)求f (π6)的值；(2)若sin α＝35，且α∈(π2，π)，求f (α2＋π24)．[解] (1)f (π6)＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝(32)2＋12×32＝3＋34.(2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin(2x ＋π4)，所以f (α2＋π24)＝12＋22sin(α＋π12＋π4)＝12＋22sin(α＋π3)＝12＋22(12sin α＋32cos α)．因为sin α＝35，且α∈(π2，π)，所以cos α＝－45，所以f (α2＋π24)＝12＋22(12×35－32×45)＝10＋32－4620.1．(2018·江苏省四校联考)已知sin 2α＝13，则1tan α－1tan 2α的值为________．[解析] 因为1tan α－1tan 2α＝cos αsin α－cos 2αsin 2α＝sin 2αcos α－cos 2αsin αsin α·sin 2α＝1sin 2α＝3.[答案] 32．化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________．[解析] 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝12（1－sin 22x ）2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .[答案] 12cos 2x3．(2018·江苏省模拟考试)已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．[解析] 由cos(α＋β)＝sin αsin β得sin α＝sin βcos(α＋β)，即sin α＝sin βcosαcos β－sin 2βsin α，所以sin α(1＋sin 2β)＝sin βcos αcos β，可以化为sin αcos α＝sin βcos β1＋sin 2β，即tan α＝sin βcos β1＋sin 2β，也可以化为tan α＝sin βcos β2sin 2β＋cos 2β＝12tan β＋1tan β，因为β为锐角，所以tan β>0，所以tan α＝12tan β＋1tan β≤122tan β·1tan β＝24(当且仅当2tan β＝1tan β，即tan β＝22时取等号)，即tan α的最大值为24. [答案]244．如图所示，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知PA ＝5，PB ＝3，PC ＝1527，设∠APB ＝α，∠APC ＝β，α，β均为锐角，则角β的值为________．[解析] 因为点B 在以PA 为直径的圆周上，所以∠ABP ＝90°，所以cos α＝PB PA ＝35，sin α＝45，tan α＝43.因为cos ∠CPB ＝cos(α－β)＝PB PC ＝31527＝7210，所以sin(α－β)＝210，所以tan(α－β)＝17，tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝1.又β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.[答案] π45．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π2＜α－β＜π2.又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝－43＋310.6．已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． [解] (1)因为f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为[－1，3]． (2)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.又因为α为第二象限角，所以sin α＝223.因为cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）2cos α（cos α－sin α）＝cos α＋sin α2cos α，所以原式＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.。

2020年高考数学第一轮复习-第三单元-三角函数、解三角形(教案含答案)

2020年高考数学第一轮复习第三单元三角函数、解三角形1.编写意图三角恒等变换公式是解决三角函数问题的主要工具,本单元把教材中的三角函数和简单三角恒等变换进行了整合.在编写中注意到如下的几个问题:(1)考虑到该部分在高考试题中的考查特点和难度,加强了对基础知识、基本方法的讲解和练习的力度,控制了选题的难度;(2)考虑到三角函数知识的工具性,适当加入了三角函数在各个方面应用的一些题目;(3)在第22讲中强化了正弦定理和余弦定理解三角形的技巧和方法,以基本的选题讲解如何应用这两个定理解三角形,并在第23讲中着重讲解对其的应用,以培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.2.教学建议鉴于该部分知识的重要性,以及该部分在高考中的考查特点是重视基础知识和基本方法,教师在引导学生复习该部分时,要注意如下几个问题:(1)进行考情思路分析,使学生明白该部分在高考中的考查特点是重视基础,在复习中不要追求难题、偏题和怪题,只要把基础题复习透彻即可.(2)由于该部分的选题以基础为主,其中绝大多数问题学生都能独立完成,在教学中要充分发挥学生的主体地位,尽量让学生独立完成包括例题在内的题目,教师的职责在于对方法和规律的总结,在于引导.(3)在复习中要对照考试说明,关注一些公式的导出过程,如“能利用单位圆中的三角函数线推导出π±α,±α的正弦、余弦、正切的诱导公式”“会用向量的数量积推导出两角和差的余弦公式”等.(4)正弦定理、余弦定理是考试说明要求掌握的内容,是最高级别的要求,在复习这两个定理时应该要求学生对照课本掌握这两个定理的证明,然后通过例题讲解和变式训练使学生牢固掌握这两个定理,并能利用其解有关三角形的题目.(5)正弦定理和余弦定理都能实现三角形中边角关系的互化,在三角形的三角函数问题中边角互化是解决问题的基本思想,教师在引导学生复习时,要注重引导学生寻求合理的边角互化的方向.正弦定理、余弦定理本身就是一个方程,在三角形问题中注意引导学生使用方程的思想解题.(6)解三角形的实际应用题也常出现在高考中.解三角形的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角度和距离,通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理,把求解目标纳入到一个新的可解三角形中,再根据正弦定理和余弦定理加以解决,教师在引导学生思考解三角形的实际应用问题时要把这个基本思想教给学生,这是解三角形实际应用问题的本质所在.3.课时安排该部分共8讲,2个小题必刷卷,1个解答必刷卷.每讲建议1课时完成,必刷卷建议1课时完成,建议共9课时完成复习任务.第16讲任意角和弧度制及任意角的三角函数考试说明 1.任意角、弧度制(1)了解任意角的概念和弧度制的概念.(2)能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2014·全国卷Ⅰ]如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图像大致为()A BC D[解析]C根据三角函数的定义,点M(cos x,0),△OPM的面积为|sin x cos x|,在直角三角形OPM 中,根据等积关系得点M到直线OP的距离f(x)=|sin x cos x|=|sin 2x|,且当x=时上述关系也成立,故函数f(x)的图像为选项C中的图像.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)端点(2)正角负角象限角(3){β|β=α+k·360°,k∈Z}2.(1)半径长(2)|α|r3.(1)y x(2)余弦线正弦线正切线对点演练1.{α|α=k·360°+120°,k∈Z}[解析]终边在射线y=-x(x<0)上的最小正角为120°,所以与其终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+120°,k∈Z}.2.(1)π(2)15[解析](1)67°30'=67.5×=(rad);(2)=×°=15°.3.1.2[解析]根据圆心角弧度数的计算公式得,α==1.2.4.[解析]r==,所以sin α==,cos α=-=-,tan α==-2,所以sin α-cos α+tan α=.5.或π[解析]因为0<A<π且sin A=,所以A=或A=π.6.∪[解析]由题意得⇒在[0,2π]内α的取值范围为∪.7.±2[解析]∵角α的终边落在直线y=-3x上,在角α的终边上取一点P(x0,-3x0).当x0<0时,P在第二象限,∴-=-=1+1=2.当x0>0时,P在第四象限,∴-=--=-1-1=-2.8.80π[解析]72°= rad,∴S扇形=αr2=××202=80π(cm2).【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)观察集合M与N即可,关键是比较集合M中的与集合N中的的取值情况;(2)分别写出两块阴影部分对应的角的集合,再求它们的并集.(1)B(2){α|k·180°+45°<α<k·180°+135°,k∈Z}[解析](1)M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=45°·(2k+1),k∈Z,2k+1是奇数;N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=45°·(k+1),k∈Z,k+1是整数.综上知必有M⊆N. (2)由题意可得所求集合为{α|k·360°+45°<α<k·360°+135°,k∈Z}∪{α|k·360°+225°<α<k·360°+315°,k∈Z}={α|k·180°+45°<α<k·180°+135°,k ∈Z}.变式题(1)-30°+k·360°,k∈Z(2)一或三[解析](1)因为角α的终边与-30°角的终边关于直线x+y=0对称,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.(2)∵角α的终边落在x轴的上方,∴k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z,∴k·180°<<90°+k·180°,k∈Z.当k=2n(n∈Z)时,有n·360°<<90°+n·360°,可知为第一象限角;当k=2n+1(n∈Z)时,有n·360°+180°<<270°+n·360°,可知为第三象限角.例2[思路点拨](1)找出弧长与半径,用弧度制公式求解;(2)将面积用半径r表示出来,用二次函数法求最大值,找出面积取得最大值时的弧长和半径,求得圆心角的弧度数.(1)2+2(2)2[解析](1)设圆的半径为r,则圆内接等腰直角三角形的斜边长为2r,一条直角边长为r,所以周长为2r+2r,所以圆弧所对圆心角的弧度数是=2+2.(2)设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=18,即l=18-2r,所以扇形面积S=l·r=(18-2r)·r=-r2+9r,当r=时,S取得最大值,此时l=18-2r=9,所以圆心角的弧度数是==2.变式题(1)C(2)[解析](1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角,故选项A,B不正确;又因为拨快10分钟,故应转过的角的绝对值大小为周角的,即为-×2π=-.(2)设圆的半径为r,则矩形的对角线长为2r,设矩形的宽为x,则(2x)2+x2=(2r)2,所以x=,所以,所求圆心角的弧度数为=.例3[思路点拨](1)依据对数函数的图像特征确定所经过的定点,再利用正弦、余弦函数的定义求解;(2)依据sin α=可设角α终边上的某一符合条件的点,巧用定义求解.(1)D(2)[解析](1)∵函数y=log a(x-3)+2的图像过定点P(4,2),且角α的终边过点P,∴x=4,y=2,r=2,∴sin α=,cos α=,∴sin α+cos α=+=.(2)根据三角函数的定义不妨设角α的终边上一点P(x,1),|OP|=3,因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以角β的终边一定经过点P'(-x,1),|OP'|=3,所以sin β=.例4[思路点拨](1)根据题意列出有关不等式,依据角在不同象限的符号情况进行分析;(2)分别对角在第二和第四象限进行讨论求解.(1)C(2)0[解析](1)由题意知sin θ·cos θ>0且-cos θ≥0,由sin θ·cos θ>0,知θ为第一、三象限角,又由-cos θ≥0,即cos θ≤0知θ为第二、三象限角或θ在x轴的负半轴上,所以可知θ为第三象限角.所以选C.(2)∵角α的终边落在直线y=-x上,∴角α的终边位于第二或第四象限.当角α的终边位于第二象限时,+=+=0;当角α的终边位于第四象限时,+=+=0.∴+=0.例5[思路点拨]利用单位圆上的三角函数线分别作出cos x=及sin x=对应的三角函数线,再结合函数的意义求定义域.x2kπ+≤x<2kπ+,k∈Z[解析]由题意得,自变量x应满足即则如图中阴影部分所示,不等式组的解集为x2kπ+≤x<2kπ+,k∈Z.强化演练1.A[解析]依题意,点Q在y轴正方向上,所以α=+2kπ,k∈Z,所以sin α=1.故选A.2.-<a<-[解析]由cos α>sin α得>,解得a<-.又因为P(1-2a,2+3a)在第一象限,所以解得-<a<.综上知-<a<-.3.α2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z[解析]作出直线x=-,交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为α2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z.【备选理由】例1为角的集合表示;例2为三角函数定义的应用,重点是旋转后点B的坐标的确定;例3为利用三角函数线求解不等式.1[配合例1使用]如图,写出终边落在直线y=x上的角的集合(用弧度制表示).解:在0°~360°范围内,终边落在直线y=x上的角有两个,分别是60°和240°,即在[0,2π)内终边落在该直线上的角是,π.因此,所有与终边相同的角的集合是S=αα=2kπ+,k∈Z,所有与π终边相同的角的集合是T=αα=2kπ+,k∈Z.所以,终边落在直线y=x上的角的集合为S∪T=αα=2kπ+,k∈Z∪αα=2kπ+,k∈Z=αα=2kπ+,k∈Z∪αα=(2k+1)π+,k∈Z=αα=kπ+,k∈Z.2[配合例3使用]已知A(x A,y A)是单位圆(圆心为坐标原点O,半径为1)上任一点,将射线OA 绕点O逆时针旋转到OB,OB交单位圆于点B(x B,y B),已知m>0,若my A-2y B的最大值为3,则m=.[答案]+1[解析]设∠xOA=α,由三角函数的定义,得y A=sin α,y B=sinα+,则my A-2y B=m sinα-2sinα+=(m-1)sin α-cos α,其最大值为=3,又m>0,∴m=+1.3[配合例5使用]在(0,2π)内,使得sin x>cos x成立的x的取值范围是()A.∪B. C.D.∪[解析] C当x ∈,π时,sin x>0,cos x≤0,显然sin x>cos x成立;当x ∈0,时,如图,OA 为x的终边,此时sin x=|MA|,cos x=|OM|,sin x≤cos x;当x ∈,时,如图,OB为x的终边,此时sin x=|NB|,cos x=|ON|,sin x>cos x.同理当x ∈π,时,sin x>cos x;当x ∈,2π时,sinx≤cos x.故选C.第17讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式考试说明 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅲ]若tan α=,则cos2α+2sin 2α=()A.B.C.1D.[解析] A cos2α+2sin 2α====.2.[2013·全国卷Ⅱ]设θ为第二象限角,若tanθ+=,则sin θ+cos θ=. [答案]-[解析]由tan=得=⇒tan θ=-⇒cos θ=-3sin θ,由sin2θ+cos2θ=1⇒10sin2θ=1,θ在第二象限⇒sin θ=,cos θ=-,∴sin θ+cos θ=-.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·北京卷]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=.[答案][解析]由题意可知角α在第一或第二象限,若角α与角β的终边关于y轴对称,则β=2kπ+π-α(k∈Z),所以sin β=sin(π-α)=sin α=.2.[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值是.[答案] 8[解析]方法一:∵sin A=2sin B sin C,sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C,∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B sin C,两边同除以cos B cos C,可得tan B+tan C=2tan B tan C,tan A tan B tan C=-tan(B+C)tan B tan C=-·tan B tan C=,由三角形为锐角三角形得tan B>0,tan C>0,tan A=>0,即tan B tan C-1>0.令tan B tanC-1=t(t>0),则tan A tan B tan C==2t++2≥8,当t=1,即tan B tan C=2时取等号.方法二:同方法一可得tan B+tan C=2tan B tan C,又tan A+tan B+tan C=tan A+(1-tan B tan C)·tan(B+C)=tan A-tan A+tan A tan B tan C=tan A·tan B tan C,所以tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan B tan C≥2⇒tan A tan B tan C≥8,当且仅当tan A=2tan B tan C=4时取等号.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)sin2α+cos2α=1(2)=tan α,α≠kπ+(k∈Z)2.-sin α-sin α-cos α-cos α-sin αtan α-tan α对点演练1.-[解析]由于α是第四象限角,故sin α=-=-.2.-[解析]由=-5,知cos α≠0,等式左边分子分母同时除以cos α可得,=-5,得tan α=-.3.[解析] cos=cos=-cos=sin α=.4.[解析]原式=-sin(120°+3×360°)cos(210°+3×360°)=-sin 120°·cos210°=-sin(180°-60°)·cos(180°+30°)=sin 60°·cos 30°=×=.5.-[解析]∵=-,∴sin A=-cos A,∵A为△ABC的内角,∴sin A>0,∴cos A<0.又sin2A+cos2A=1,∴求得cos A=-.6.-[解析] cosπ+α=sin α=-,且α是第四象限角,所以cos α=,所以cos(-3π+α)=-cos α=-.7.[解析]由=5,知cos α≠0,等式左边分子分母同时除以cos α,得=5,得tan α=2,所以sin2α-sin αcos α===.8.{2,-2}[解析]当k为偶数时,A=+=2;当k为奇数时,A=-=-2.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)根据三角函数的符号和诱导公式求解;(2)整体将α-15°,105°-α转化为含75°+α的角的形式,再利用诱导公式求解.(1)A(2)D[解析](1)f(α)====cos α,则f=cos=.(2)∵cos(75°+α)=,∴sin(α-15°)+cos(105°-α)=sin[(α+75°)-90°]+cos[180°-(α+75°)]=-cos(75°+α)-cos(75°+α)=-.变式题(1)B(2)[解析](1)sin 300°+tan 600°=sin(-60°)+tan 60°=-sin 60°+tan 60°=-+=.故选B.(2)∵sin-α=,∴cos+α=cos--α=sin-α=.例2[思路点拨](1)由tan x=-及平方关系解出sin x,再根据诱导公式求解;(2)把α+看成一个整体,根据基本关系求解.(1)C(2)B[解析](1)∵tan x==-,∴cos x=-sinx,∴sin2x+cos2x=sin2x+sin2x=sin2x=1,∴sin2x=.又x∈,π,∴sinx=,∴cos-x-=cos+x=-sin x=-.(2)∵0<α<π,且sinα+=∈,,∴α+∈,,∴cosα+=-=-,则tanα+==-.例3[思路点拨](1)将待求式看成分母为1的分式结构,再将1用“sin2x+cos2x”代替,由弦直接得到正切,进而求解.(2)利用平方关系得到sin x cos x后,同(1)一样处理,但要注意tan x 的取值.(1)(2)[解析](1)2sin2x-sin x cos x+cos2x===.(2)将sin x-cos x=两边平方并化简可得sin x cos x=,即有==,解得tan x=或tan x=,因为x ∈0,且sin x>cos x,所以tan x=.例4[思路点拨]将已知式子两边平方求出sin αcos α的值,再将待求式化简求解.-[解析]∵sin α+cos α=-,∴sin2α+cos2α+2sin αcos α=,解得sin αcosα=-,∴sin+αcos-α=cos αsin α=-.强化演练1.A[解析]因为cos x+sin x=,又sin2x+cos2x=1,x∈(0,π),解得sin x=,cos x=-,所以tan x=-.故选A.2.1[解析] 4sin2α-3sin αcos α-5cos2α====1.3.1-[解析]由题意知sin θ+cos θ=-,sin θcos θ=,又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以=1+,解得m=1±.又Δ=4m2-16m≥0,所以m≤0或m≥4,所以m=1-.【备选理由】例1是以角α为变量的函数形式,进一步考查利用诱导公式进行化简与求值;例2是考查诱导公式在三角形中的应用,是对听课例1的很好的补充;例3是平方关系及“1”的巧妙代换;例4是考查sin θ+cos θ与sin θ-cos θ之间的转换.1[配合例1使用][2017·中山一中模拟]已知f(α)=.(1)化简f(α);(2)若α=-,求f(α)的值.解:(1)f(α)==-cos α.(2)∵-=-5×2π-,∴f=-cos=-cos-5×2π-=-cos=-,即f(α)=-.2[配合例1使用]在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则该三角形为()A.正三角形B.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形D.钝角三角形[解析] C因为sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以该三角形为等腰三角形或直角三角形.3[配合例3使用][2017·亳州涡阳一中月考]若sin2α+sin α=1,则cos4α+cos2α=.[答案] 1[解析]∵sin2α+sin α=1,∴sin α=cos2α,∴cos4α+cos2α=cos2α(cos2α+1)=sin α(sin α+1)=1.4[配合例4使用]若sin θ+cos θ=,且0≤θ≤π,则sin θ-cos θ的值为. [答案][解析]∵sin θ+cos θ=,∴两边平方得sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,即1+2sin θcos θ=,∴2sin θcos θ=-.又0≤θ≤π,∴sin θ>0,cos θ<0,∴sin θ-cos θ===.第18讲三角函数的图像与性质考试说明 1.能画出函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的图像,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等),理解正切函数在区间-,内的单调性.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin的最小正周期为()A.4πB.2πC.πD.[解析] C函数f(x)=sin的最小正周期为T==π.2.[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤,x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在,单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5[解析] B由已知可得-ω+φ=kπ,k∈Z,ω+φ=mπ+,m∈Z,两式相加,得2φ=(k+m)π+.因为|φ|≤,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±,两式相减得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.因为函数f(x)在区间,单调,所以只要该区间位于函数f(x)图像的两条相邻对称轴之间即可,且-≤×,即ω≤12.(1)当φ=时,f(x)=sinωx+,则kπ-≤ω+且ω+≤kπ+,k∈Z,解得≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,此时ω的最大值为9.(2)当φ=-时,f(x)=sinωx-,则kπ-≤ω-且ω-≤kπ+,k∈Z,解得≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取0,此时ω≤,此时ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.3.[2016·全国卷Ⅱ]若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的对称轴为()A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)[解析] B平移后的图像对应的解析式为y=2sin 2x+,令2=kπ+(k∈Z),得对称轴方程为x=+(k∈Z).4.[2015·全国卷Ⅰ]函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图3-18-1所示,则f(x)的单调递减区间为()A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z[解析] D由图知=-=1,所以T=2,即=2,所以ω=±π.因为函数f(x)的图像过点,所以当ω=π时,+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z;当ω=-π时,+φ=-+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z.所以f(x)=cos,由2kπ<πx+<π+2kπ,解得2k-<x<2k+,k∈Z,故选D.5.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为.[答案][解析]因为f(x)=2cos x+sin x=sin(x+φ)(其中tan φ=2),所以f(x)max=.6.[2014·全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为. [答案] 1[解析]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ=sin x,故其最大值为1.7.[2013·全国卷Ⅰ]设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=. [答案]-[解析]因为f(x)=sin x-2cos x=sin(x+φ),所以当x+φ=+2kπ(k∈Z),即x=-φ+2kπ(k∈Z)时,y=f(x)取得最大值,则cos θ=cos x=cos=sin φ,由φ∈可得sin φ=-,所以cos θ=-.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]函数y=sin 2x+cos 2x的最小正周期为()A.B.C.πD.2π[解析] C因为y=sin 2x+cos 2x=2sin 2x+cos 2x=2sin2x+,所以其最小正周期T==π,故选C.2.[2016·浙江卷]设函数f(x)=sin2x+b sin x+c,则f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关[解析] B若b=0,则f(x)=sin2x+c=+c=-cos 2x++c的最小正周期是π;若b≠0,则f(x)=sin2x+b sin x+c的最小正周期是2π.故选B.3.[2017·天津卷]设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=[解析] A∵f=2,f=0,∴-=(2m+1),m∈N,解得T=,m∈N.∵f(x)的最小正周期大于2π,∴m=0,∴T=3π,则ω=.由题意得×+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又∵|φ|<π,∴φ=.4.[2016·江苏卷]定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图像与y=cos x的图像的交点个数是.[答案] 7[解析]方法一:令sin 2x=cos x,即2sin x cos x=cos x,解得cos x=0或sin x=,即x=kπ+或x=2kπ+或x=2kπ+π(k∈Z),又x∈[0,3π],故x=,,或x=,,,,共7个解,故两个函数的图像有7个交点.方法二:在同一个坐标系内画出这两个函数的图像,由图像可得交点有7个.5.[2016·天津卷]已知函数f(x)=4tan x sin-x cos x--.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-,上的单调性.解:(1)f(x)的定义域为x x≠+kπ,k∈Z.f(x)=4tan x cos x cos x--=4sin x cos x--=4sin x cos x+sin x-=2sin x cosx+2sin2x-=sin 2x+(1-cos 2x)-=sin 2x-cos 2x=2sin2x-,所以f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是-+2kπ,+2kπ,k∈Z.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.设A=-,,B=x-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,易知A∩B=-,.所以当x∈-,时,f(x)在区间-,上单调递增,在区间-,-上单调递减.【课前双基巩固】知识聚焦1.[-1,1][-1,1]R奇函数偶函数2kπ+,2kπ+[2kπ-π,2kπ](kπ,0)x=kπ对点演练1.π[解析]T===π.2.-1[解析]依题意得A+1=3,所以A=2,所以函数y=2sin x+1的最小值为1-2=-1.3.增减[解析]由余弦函数的单调性,得函数y=2cos x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数.4.2kπ-,2kπ+(k∈Z)[解析]由题意知0≤cos x≤1,∴2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).5.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)[解析]函数y=1-2cos x的单调递减区间即函数y=-cos x的单调递减区间,即函数y=cos x的单调递增区间,为[2kπ-π,2kπ](k∈Z).6.(-1,1)[解析]∵x≠+kπ(k∈Z),y=cos x tan x=sin x,∴y=sin x∈(-1,1),即函数y=cos x tan x的值域是(-1,1).7.1[解析]设t=cos x,则-1≤t≤1,所以y=-t2+3t-1=-t-2+,当t=1时,函数取得最大值1.8.,-[解析]∵sin x+sin y=,∴sin x=-sin y.∵-1≤sin x≤1,∴解得-≤sin y≤1.又M=sin2y-sin y-=sin y-2-,∴当sin y=,sin x=-时,M min=-;当sin y=-,sin x=1时,M max=.故M=sin x+sin2y-1的最大值为,最小值为-.【课堂考点探究】例1[思路点拨]根据偶次根式和对数函数的性质以及正切函数的性质列出关于x的不等式组求解.(1)x0<x≤2,且x≠(2)x2kπ<x≤+2kπ,k∈Z[解析](1)依题意得所以0<x≤2,且x≠kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的定义域是x0<x≤2,且x≠.(2)要使函数有意义,必须满足即即所以2kπ<x≤+2kπ(k∈Z),所以函数的定义域为x2kπ<x≤+2kπ,k∈Z.变式题(1)x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z(2)x x≠+,k∈Z[解析](1)由题意需满足sin x-cos x≥0.y=sin x和y=cos x的部分图像如图所示.在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x的值为,,再结合图像及正弦、余弦函数的周期是2π,可得原函数的定义域为x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.(2)由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,所以f(x)的定义域为x x≠+,k∈Z.例2[思路点拨](1)利用正弦函数的单调性求解;(2)先将解析式化为以cos x为变量的二次函数,再根据二次函数的性质求值域.(1)A(2)B[解析](1)因为0≤x≤9,所以-≤-≤,所以-≤sin x-≤1,则-≤y≤2.所以y max+y min=2-.(2)y=cos 2x+2cos x=2cos2x+2cos x-1=2cos x+2-,因为cos x∈[-1,1],所以原式的值域为-,3.变式题(1)D(2)[解析](1)因为y=|sin x|+sin x=-1≤sin x≤1,所以y∈[0,2],所以函数的值域为[0,2].(2)令t=cos x-sin x,则t=cos x-sin x=cos x+∈[-,],所以t2=1-2sin x cos x,即sin x cos x=,所以y=t+4×=-2t2+t+2=-2t-2+,又t∈[-,],所以当t=时,y取得最大值.例3[思路点拨]依据T=求解最小正周期.(1)(2)D[解析](1)函数f(x)=sin3x+的最小正周期T==.(2)对于A,y=sin 4x,∵ω=4,∴T==,该函数为奇函数,故A不正确;对于B,y=cos 2x,∵ω=2,∴T=π,故B不正确;对于C,y=tan 2x,∵ω=2,∴T=,该函数为奇函数,故C不正确;对于D,y=sin-4x=cos 4x,∵ω=4,∴T==,该函数为偶函数,故D正确.例4[思路点拨](1)把2x+看成整体,利用y=sin x图像的对称性求解;(2)由对称轴确定函数的周期,得出ω,再结合对称轴通过函数图像的最高点或最低点求解.(1)B(2)A[解析](1)∵正弦函数y=sin x的部分图像如图所示,其对称中心必在图像与x轴的交点处,当x=-时,函数值y=2sin-×2+=0,∴函数图像关于点-,0对称.(2)由题意,函数的周期T=2×π-π=2π,∴ω==1,∴y=cos(x+φ).当x=π时,函数取得最大值或最小值,即cos+φ=±1,可得+φ=kπ,k∈Z,∴φ=kπ-π,k∈Z.当k=2时,可得φ=.例5[思路点拨](1)依据周期公式可排除A,其余三项利用y=cos x,y=sin x和y=tan x的单调性分析;(2)把ωx-看成整体,依据y=cos x的单调递减区间求解.(1)B(2)A[解析](1)对于A,y=cos的周期T==4π,故A错误;对于B,y=cos(-2x)=cos 2x的周期为π,且在0,上是减函数,故B正确;对于C,y=sin2x+的周期T==π,当x∈0,时,2x+∈,,故y=sin2x+在0,内不具有单调性,故C错误;对于D,y=tan x-,其周期T=π,当x∈0,时,x-∈-,,故y=tan x-在0,内是增函数,故D错误.(2)由2kπ≤ωx-≤π+2kπ,k∈Z,解得+≤x≤+,k∈Z,∴f(x)的单调递减区间为+,+,k∈Z.又f(x)在,π上单调递减,∴k∈Z,解得+4k≤ω≤+2k,k∈Z.又ω>0,≤=,∴0<ω≤2,∴≤ω≤.强化演练1.C[解析]f(x)=sin(x+φ)-cos(x+φ)=2sin x+φ-,依题意f(π)=±2,即sinπ+φ-=±1,sinφ-=±1,所以φ-=kπ+,k∈Z,又|φ|<,则可取k=-1,得φ=-,所以cos 2φ=cos=.故选C.2.A[解析]因为f(x)=2cos2x--1=cos 2x-=cos2x-=sin 2x,所以最小正周期T==π,f(x)是奇函数,即函数f(x)是最小正周期为π的奇函数.3.A[解析]由题意得3cos2×+φ=3cos+φ+2π=3cos+φ=0,所以+φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为.4.kπ-,kπ+(k∈Z)[解析]已知函数可化为f(x)=-sin2x-,要求函数的单调递减区间,只需求y=sin2x-的单调递增区间.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故所给函数的单调递减区间为kπ-,kπ+(k∈Z).【备选理由】例1考查余弦函数有界性、二次函数在指定区间上的最值问题,需要分类讨论求解,可强化学生对数学思想方法的认识与应用;例2为函数对称性与极值的综合问题;例3为利用三角函数的单调性比较大小问题;例4 为函数不单调求参问题.1[配合例2使用]若函数y=sin2x+a cos x+a-在闭区间上的最大值是1,则实数a=.[答案][解析]y=-++a-.当0≤x≤时,0≤cos x≤1,令t=cos x,0≤t≤1,则y=-++a-,0≤t≤1.①若0≤≤1,即0≤a≤2,则当t=,即cos x=时,y max=+a-=1,解得a=或a=-4(舍去);②若<0,即a<0,则当t=0,即cos x=0时,y max=a-=1,解得a=,由于a<0,故这种情况不存在满足条件的a值;③若>1,即a>2,则当t=1,即cos x=1时,y max=a+a-=1,解得a=,由于<2,故这种情况下不存在满足条件的a值.综上知,a=.2[配合例4使用][2017·武汉部分学校调研]已知函数f(x)=sin x-a cos x图像的一条对称轴为x=π,记函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2,则|x1+x2|的最小值为.[答案][解析]据题意有sinπ-a cosπ=,解得a=1,所以f(x)=sin x-cos x=sin x-,x1,x2为函数的极值点,且|x1+x2|最小,则x1,x2的符号相反,由x-=±,可得x1+x2=-+π=,所以|x1+x2|的最小值为.3[配合例5使用]已知函数f(x)=2cos x+,设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c[解析] A易知函数f(x)在0,上是减函数,所以f>f>f,所以a>b>c.4[配合例5使用][2017·衡阳八中月考]设ω∈N*且ω≤15,则使函数y=sin ωx在区间,上不单调的ω的个数是()A.6B.7C.8D.9[解析] C由ωx=+kπ(k∈Z)得函数y=sin ωx的图像的对称轴为x=+(k∈Z).∵函数y=sinωx在区间,上不单调,∴<+<(k∈Z),解得1.5+3k<ω<2+4k(k∈Z).由题意ω∈N*且ω≤15,∴当k=0时,1.5<ω<2,此时ω没有正整数可取;当k=1时,4.5<ω<6,此时ω可以取5;当k=2时,7.5<ω<10,此时ω可以取8,9;当k=3时,10.5<ω<14,此时ω可以取11,12,13;当k=4时,13.5<ω<18,此时ω可以取14,15.故满足题意的ω有8个,分别为5,8,9,11,12,13,14,15.故选C.第19讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用考试说明 1.了解函数y=A sin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数y=A sin(ωx+φ)的图像,了解参数A,ω,φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤,x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在,单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5[解析] B由已知可得-ω+φ=kπ,k∈Z,ω+φ=mπ+,m∈Z,两式相加,得2φ=(k+m)π+.因为|φ|≤,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±,两式相减得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.因为函数f(x)在区间,单调,所以只要该区间位于函数f(x)图像的两条相邻对称轴之间即可,且-≤×,即ω≤12.(1)当φ=时,f(x)=sinωx+,则kπ-≤ω+且ω+≤kπ+,k∈Z,解得≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,此时ω的最大值为9.(2)当φ=-时,f(x)=sinωx-,则kπ-≤ω-且ω-≤kπ+,k∈Z,解得≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取0,此时ω≤,此时ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.2.[2016·全国卷Ⅱ]若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的对称轴为()A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)[解析] B平移后的图像对应的解析式为y=2sin 2x+,令2=kπ+(k∈Z),得对称轴方程为x=+(k∈Z).3.[2015·全国卷Ⅱ]如图3-19-1,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD 与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为()[解析] B当点P在BC上时,=tan x,=,+=tan x+,即f(x)=tan x+,x∈,由正切函数的性质可知,函数f(x)在上单调递增,所以其最大值为1+,且函数y=f(x)的图像不可能是线段,排除选项A,C.当点P在CD上运动时,我们取P为CD的中点,此时x=,f=2,由于2<1+,即f<f,排除选项D.综上可知,只有选项B中图像符合题意.4.[2016·全国卷Ⅲ]函数y=sin x-cos x的图像可由函数y=sin x+cos x的图像至少向右平移个单位长度得到.[答案][解析]函数y=sin x-cos x=2sin x-的图像可由函数y=sin x+cos x=2sin x+的图像至少向右平移个单位长度得到.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2016·北京卷]将函数y=sin2x-图像上的点P,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图像上,则()A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为[解析] A因为P,t在函数y=sin2x-的图像上,所以t=sin2×-=sin=.因为s>0,y=sin2x-=sin 2x-,所以函数y=sin2x-的图像至少向左平移个单位长度可以得到函数y=sin 2x的图像,所以s的最小值为.2.[2016·四川卷]为了得到函数y=sin2x-的图像,只需把函数y=sin 2x的图像上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度[解析] D由题可知,y=sin=sin 2,则只需把y=sin 2x的图像向右平移个单位长度.【课前双基巩固】知识聚焦1.ωx+φφ2.0π2π3.|φ|对点演练1.y=2sin x[解析]根据函数图像变换法则可得.2.y=sin[解析]函数y=sin的图像向左平移个单位长度后得到y=sin=sin的图像,即此函数的解析式为y=sin x+.3.[解析]由题意知当x=时,函数取得最大值,所以有sin=1,所以=+2kπ(k∈Z),所以ω=+6k(∈Z),又0<ω<2,所以ω=.4.[解析]将点(0,1)代入函数表达式可得2sin φ=1,即sin φ=.∵|φ|<,∴φ=.5.左[解析]y=cos=sin+=sin.故要得到y=sin=sin 2的图像,只需将函数y=sin 2x的图像向左平移个单位长度.6.[解析]f(x)=sincos =sin ωx,ω>0.若函数f(x)在区间上单调递增,则=≥+=,即ω∈.7.-5或-1[解析]由f=f得函数f(x)图像的对称轴为x=.故当x=时,函数取得最大值或最小值,于是有-2+m=-3或2+m=-3,即m=-1或m=-5.8.-[解析]由图像可知,T=4×π-=π,所以ω==2.因为f=sin+φ=1,所以+φ=+2kπ(k ∈Z),即φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)先求出周期,再将y=2sin2x+的图像按规则平移即可;(2)先统一函数的名称,再按照平移规则平移.(1)D(2)C[解析](1)函数y=2sin2x+的周期为=π,将函数y=2sin2x+的图像向右平移个周期,即平移个单位,所得图像对应的函数为y=2sin2x-+=2sin2x-.(2)y=sin 2x=cos2x-=cos 2x-,所以只需将y=sin 2x的图像向左平移个单位长度,即可得到函数y=cos 2x的图像.故选C.变式题(1)A(2)A[解析](1)把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,得到函数y=sin 2x的图像,再把该函数图像向右平移个单位长度,得到函数y=sin 2x-=sin2x-的图像.故选A.(2)因为y=sin 3x+cos 3x=cos3x-,所以将函数y=cos 3x的图像向右平移个单位长度得到函数y=cos 3x-=cos3x-的图像,即函数y=sin 3x+cos 3x的图像.故选A.例2[思路点拨](1)先根据图像求出A,再由图像过(0,-1)和,0,T<<T,-π<φ<0等条件可得到答案;(2)由题意知M=3,T=2+,即可求出ω,再利用最高点求出φ,即可得出结论.(1)-(2)3sin x-[解析](1)由题设图像知,A=2,可得f(x)=2sin(ωx+φ).由函数图像过点(0,-1),可得2sin φ=-1,即sin φ=-,则φ=2kπ-(k∈Z)或φ=2kπ-(k∈Z).因为<<T,所以<T<,所以<ω<①.由函数图像过点,0,得sinω+φ=0,则ω+φ=2kπ+π(k∈Z)②.由①②得φ∈2kπ-π,2kπ-,又-π<φ<0,所以φ=-.(2)由题意得M=3,T=2+,∴T=6=,∴ω=,∴f(x)=3sin x+φ,将A(2,3)代入可得3=3sin+φ,∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=3sin x-.变式题-[解析]根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图像,且A,1,B(π,-1),可得从点A到点B正好经过了半个周期,即×=π-,∴ω=2.再把点A,B的坐标代入函数解析式可得2sin2×+φ=-2sin φ=1,2sin(2×π+φ)=2sin φ=-1,∴sin φ=-,∴φ=2kπ-或φ=2kπ-,k∈Z.再结合“五点作图法”,可得φ=-.。

2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第3讲学案理解析版

第3章三角函数、解三角形第3讲A 组基础关1．函数y ＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数答案 A解析因为y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，故选A. 2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析根据题意，有f (x )＝32cos2x ＋52，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，且最大值为f (x )max ＝32＋52＝4.故选B.3．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 答案 B解析由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 4．已知函数f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0 B ．3 C ．－1 D ．－2 答案 A解析因为f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2，即tan b ＋sin b ＝1.所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0.5．(2019·福建六校联考)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A ．2或0B ．0C ．－2或0D ．－2或2 答案 D解析因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )对任意x ∈R 都成立，所以函数f (x )的图象的一个对称轴是直线x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2. 6．(2018·甘肃省河西五市一模)已知函数f (x )＝cos(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<|φ|<π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是奇函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π上单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增答案 B解析因为f (x )＝cos(x ＋φ)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ，又因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是奇函数，所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又0＜|φ|<π2，所以φ＝π4，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π4，f (x )先减后增，故选B.7．(2018·湖南衡阳八中月考)定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如1]( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 答案 D解析画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x的图象(如图中实线所示)．根据三角函数的周期性，只看一个最小正周期(即2π)的情况即可．观察图象可知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22. 8．函数y ＝lg (sin2x )＋9－x 2的定义域为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 解析由⎩⎪⎨⎪⎧sin2x >0，9－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3，所以－3≤x ＜－π2或0<x <π2.所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.9．若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 答案32解析由题设及周期公式得T ＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π3＝32.10．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是________．答案 3解析函数y ＝2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上为减函数，所以函数y ＝2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cosπ，2cos π3，即[－2，1]，所以a ＝－2，b ＝1，所以b －a ＝1－(－2)＝3.B 组能力关1．(2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin2x1－cos x的部分图象大致为( )答案 C解析令f (x )＝sin2x 1－cos x ，∵f (1)＝sin21－cos1>0，f (π)＝sin2π1－cosπ＝0，∴排除A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin2x1－cos x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除B.故选C.2．(2018·皖江最后一卷)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，且f (－π)＝f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则ω的值为( )A.23 B.23或2 C.13 D ．1或13答案 B解析因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，∴T 2≥π2，即T ≥π⇒2πω≥π⇒0<ω≤2，而|0－(－π)|＝π≤T ；若T ＝π，则ω＝2；若T >π，则x ＝－π2是f (x )的一条对称轴，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0是其相邻的对称中心，所以T 4＝π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝3π4，∴T ＝3π⇒ω＝2πT ＝23.3．若函数f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2018)＝________.答案 4035解析 ∵函数f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A2的最大值为3，∴A 2＋1＋A2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos2φ＋1＋1＝2，∴cos2φ＝0，又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π4.故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin π2x ＋2，周期T ＝4，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2017)＋f (2018)＝504×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2) ＝504×8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π2＋2＋(－sinπ＋2)＝4035.4．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.解 (1)f (x )＝32cos2x ＋32sin2x －sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.C 组素养关1．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )，令k ＝0，得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.2．(2018·兰州模拟)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第1讲课后作业理(含解析)

第3章三角函数、解三角形第1讲A 组基础关1.集合{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时上式表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋5π4≤α≤2n π＋3π2，此时上式表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样.2.下列各选项中正确的是( ) A.sin300°>0B ．cos(－305°)<0 C.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3>0D ．sin10<0答案 D解析因为300°＝360°－60°，所以300°是第四象限角，故sin300°<0；因为－305°＝－360°＋55°，所以－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；因为－22π3＝－8π＋2π3所以－22π3是第二象限角，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3<0.因为3π<10<7π2，所以10是第三象限角，所以sin10<0.3.若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A.sin α<tan α<cos α B ．cos α<sin α<tan α C.sin α<cos α<tan α D ．tan α<sin α<cos α答案 C解析作出α的正弦线MP ，余弦线OM 和正切线AT ，如图所示．由图可知MP <OM <AT ，所以sin α<cos α<tan α.4.若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是( )A.重合 B ．关于原点对称 C.关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称答案 C解析 θ与－θ的终边关于x 轴对称，α与θ终边相同，β与－θ终边相同，所以α与β的终边关于x 轴对称.5.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错误；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错误；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错误；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错误．综上可知只有③正确.6.点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 A解析由题意得2π3的终边与单位圆的交点是Q ，由任意角三角函数的定义可知，。