惠州市2014---2015学年第一学期高二理科数学期末考试答案 (1.15)

惠州市2014-2015学年第一学期期末考试
高二理科数学试题答案
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.
1.【解析】1
234{}5，，，，中大于3的数有4，5两个，故5
P =，故选C 2.【解析】条件和结论同时否定，故选B
3.【解析】
213139x ==,1
6
x ∴=，故选C 4.【解析】共有7个数，从小到大排在第4的数是84，故选A
5.【解析】全称命题的否定是特称命题，故选A
6.【解析】
1573
713111*********
===∴=（2），，，，故选C 7.【解析】2
AOB AOC OA π
∠∠=
∴⊥，＝面OBC ，,0OA BC OA BC ∴⊥⋅=，故选D
8.【解析】椭圆中c =4a =，2
2
2
4,2b a c b =-==，焦点在y 轴上，故方程为
22
1164
y x +=，故选D
9.【解析】2
401,5200S S
ππ⋅=∴=，故选B
10.【解析】由题意可知，双曲线渐近线的倾斜角范围是0,
3π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，渐近线斜率(k ∈，而
b k a ==222
3c a a -<，故2224c e a =<，所以12e <<，选A 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. 11. 200 12. 60o
13．13 14.12 或5
2
11.【解析】200，0.01102000200⨯⨯= 12.【解析】(1,0,1)(1
cos cos ,2u v θ==
=，60o θ= 13.【解析】x=1,y=1,z =2；x=2,y=3,z =5；x=3,y=5,z =8；x=5,y=8,z =13
14.【解析】设12126,4,5PF k PF k F F k === 若为椭圆 12210,5PF PF a k a k +==∴=，12525,2k F F c k c ==∴=
，1
2
e ∴= 若为双曲线
1222,PF PF a k a k -==∴=，12525,2
k
F F c k c ==∴=
，52e ∴= 三．解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15. 解：（1）由题意，得
5500500600900
n
=++， 20n ∴= …………………………4分 （2）设所选取的人中，有m 人在40岁以下，则
2235
m
=+，解得m=2. 就是40岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作,3,2,1;2,1B B B A A ……6分
则从中任取2人的所有基本事件为
),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(32312121322212312111B B B B B B A A B A B A B A B A B A B A
共10个……………………………………………………………………………8分 其中至少有1人在40岁以下的基本事件为
),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(21322212312111A A B A B A B A B A B A B A 共7个
所以所求事件的概率10
7
=
p …………………………………………12分 16. 解：（1）由题意可知抛物线的焦点在x 轴上，开口向右
24p = 2p ∴= …2分
故焦点坐标为(1,0)，准线为1x =-………4分
（2）由⎩⎨⎧-==4
242x y x y 消去y 得 0452=+-x x ……6分
解出11=x ，42=x ，……8分 于是，21-=y ，42=y ……10分
所以B A ,两点的坐标分别为)4,4(A ，)2,1(-B ……12分 线段AB 的长：53)24()14(||22=++-=
AB ……14分
17.解：（1）由题意可知()110,0,0,(1
,0,2),B (0,1,2)C A （第17题图）
故11(1,0,2),CB (0,1,2)CA ==…………………………3分 设()000,,v x y z =为平面11A B C 的法向量，则
()100000,,(1,0,2)20v CA x y z x z ⋅==+=，…………………………5分 ()100000,,(0,1,2)20v CB x y z y z ⋅==+=…………………………7分
00
022x z y z =-⎧⎨
=-⎩令01z =，则()2,2,1v =--…………………………9分 （2）设直线AC 与平面11A B C 夹角为θ，(1
,0,0)CA =…………………………10分 (1,0,02
sin 3
CA v CA v
θ⋅=
=
=…………………………14分 18. 解：4:6x p ≤｜－｜①
不等式①的解集为[]2,10-……………………………2分
q :[()][()110,(0)]x m x m m ≤>－－－＋
∴不等式②的解集为[]1,1m m －＋……………………………4分 ∵p 是q 的充分不必要条件
∴[][]2,101,1m m -⊂－＋……………………………6分
12110m m -<-⎧∴⎨+>⎩解得3
,9
m m >⎧⎨>⎩……………………………8分
当12m -=-时，3m =，[][][]2,101,12,4m m -⊄=-－＋3m ∴≠；
当110m +=时，9m =，[][][]2,101,18,10m m -⊂=-－＋9m ∴=；……………10分 ∴9,m ≥∴实数m 的取值范围是[9，＋∞)
．……12分 19.建立空间直角坐标系如图(0,0,0)A(1,0,0)(0,0,1)(1,1,0)B C F
设()
()111222M ,y ,z N ,y ,z x x ……1分
Z
y
,,A C M 三点共线，且CM a =，CA =
CM =
即()111,y ,z 1(1,0,1)x -=-
111,0,122x a y z =
==-，(,0,1)22
M a a -……4分
,,B N F 三点共线，且BN a =，BF =
2
BN BF =
即()222,y ,z (1,1,0)2x a =，
222,,0x y z =
==，,0)a ……7分
MN ==
当2
a =
，min 2MN =……9分
（2）当MN 最小时，,M N 为,AC BF 的中点，1111,0,,N ,,02222M ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ x 轴⊥面BCE ，取()1,0,0u =为面BCE 的法向量。

……10分
设()000,y ,z v x =为面BMN 的法向量
()00000z 11,y ,z ,0,02222x v BM x ⎛⎫⋅==+= ⎪⎝⎭，()0000011,y ,z ,,002222x
y v BN x ⎛⎫⋅==+= ⎪⎝⎭
00
0x z y z =-⎧⎨
=⎩，令01z =，()1,1,1v =-，……12分
cos cos ,3
13
v
u v u u v
θ⋅∴==
=
=
⋅，由图可知θ为锐角，故cos θ=……14分
20.（1）由题意，||||||||64QA QB QP QB AB +=+=>=，
根据椭圆的定义，Q 点轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，且2,3==c a ,………………2分
222945b a c =-=-=
∴曲线C 的轨迹方程是15
92
2=+y x .………………4分 （2）先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线l ：m kx y +=，则 由l 与⊙O 相切得
r k m =+2
1|| 即)1(222k r m += ①……………6分
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=159
22y x m
kx y ，消去y 得，0)5(918)95(222=-+++m kmx x k ,
设),(11y x M ，),(22y x N ，则由韦达定理得
2219518k km
x x +-=+，2
22195)5(9k m x x +-=……………8分
)
)((21212121m kx m kx x x y y x x +++=+=⋅
221212)()1(m x x km x x k ++++=
第20题
22
22222951895)5)(1(9m k
m k k m k ++-+-+= 2
2295)1(4514k k m ++-=②……………………10分
由于满足0
90>∠MON ，对此ON OM ⋅095)
1(45142
22<++-=
k k m 结合①式)1(2
2
2
k r m +=可得2
45
14
r <
…………………………………………12分 最后考虑特殊情况：
当满足0
90>∠MON 的那条切线斜率不存在时，切线方程为
.r x ±=代入椭圆方程可得交点的纵坐标9552r y -±=，因0
90>∠MON ，故9
552r r -<，
得到2
45
14
r <
…………………………………………14分。