【试题精选】高中数学·选修2-2《定积分高考试题精选》

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(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(含答案解析)(1)

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(含答案解析)(1)

一、选择题1.给出下列函数:①()()2ln 1f x x x =+-;②()3cos f x x x =;③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是( )A .①②B .①③C .②③D .①②③2.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A .22B .42C .2D .43.曲线y =sin x ,y =cos x 与直线x =0,x =2π所围成的平面区域的面积为( ) A .π20⎰(sin x -cos x )d x B .2π40⎰(sin x -cos x )d x C .π20⎰(cos x -sin x )d xD .2π40⎰(cos x -sin x )d x4.三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如图所示,且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上,则球O 的表面积为( )A .32πB .36πC .128πD .144π5.曲线x y e =,x y e -=和直线1x =围成的图形面积是( ) A .1e e --B .1e e -+C .12e e ---D .12e e -+-6.已知1(1)1x f x x e ++=-+,则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A .14 B .12C .1D .2 7.121(1)x x dx --=⎰( )A .1π+B .1π-C .πD .2π8.已知幂函数a y x =图像的一部分如下图,且过点(2,4)P ,则图中阴影部分的面积等于( )A .163B .83C .43D .239.曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 A 3B .23C .π23-D π3310.已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于( )A .1B .2C .3D .411.20sin xdx π=⎰( )A .4B .2C .-2D .012.已知11em dx x=⎰,函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++,若()f x 在x a =-处取得极大值,则a 的取值范围是( ) A .1a < B .10a -<< C .1a >或0a <D .01a <<或0a <二、填空题13.曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______.14.在平面直角坐标系中,角α的始边落在x 轴的非负半轴,终边上有一点是(3-,若[)0,2απ∈,则cos xdx αα-=⎰______.15.由曲线22y x =+与3y x =,1x =,2x =所围成的平面图形的面积为________________.16.若()()4112ax x -+的展开式中2x 项的系数为4,则21ae dx x=⎰________________ 17.(12021x x dx +-=⎰________18.定积分2sin cos t tdt π=⎰________.19.π4cos xdx =⎰______.20.曲线2y x 和曲线y x =围成一个叶形图(如图所示阴影部分),其面积是________.三、解答题21.设函数()32f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-.(1)求常数,a b 的值;(2)求曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积.22.已知函数31()ln 2f x x ax x =--()a R ∈.(1)若()f x 在(1,2)上存在极值,求(1)f 的取值范围; (2)当0x >时,()0f x <恒成立,比较a e 与232a e+的大小. 23.已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-,()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> (Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)当[]1,4x ∈-时,求()f x 的值域;(Ⅲ)当[]1,4x ∈时,不等式()()f x g x ≤恒成立,求实数t 的取值范围.24.已知抛物线2:2C y x x =-+,在点(0,0)A ,(2,0)B 分别作抛物线的切线12,l l .(1)求切线1l 和2l 的方程;(2)求抛物线C 与切线1l 和2l 所围成的面积S .25.如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中,E 为AB 的中点.求:(1)异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值; (2)点A 到平面1A EC 的距离.26.已知()ln f x x x mx =+,2()3g x x ax =-+-(1)若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数,求实数m 的取值范围;(2)若当0m =时,对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立,求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数,根据奇函数和定积分的性质,判断①②;利用反证法,结合定积分的性质,判断③. 【详解】对①,()f x 的定义域为R2212()ln(1)ln(1)ln(1)()f x x x x x x x f x --=+=+=-+=-即函数()f x 为奇函数,则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②,()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-,即函数()f x 为奇函数,则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③,若0a ∃>,使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aax x a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰,解得0a =,与0a >矛盾,则③不满足 故选:A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用,属于中档题.2.D解析:D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8), 故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭.故选D .3.D解析:D 【解析】π40⎰(-sin x +cos x )d x 2π4π+⎰(sin x -cos x )dx=2π40⎰(cos x -sin x )d x ,选D. 点睛:1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图,并将图形分割为若干个曲边梯形;(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分的上、下限; (3)确定被积函数;(4)求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和.2.利用定积分求曲边图形面积时,一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时,要分不同情况讨论.4.A解析:A 【解析】由三视图可得:DC ⊥平面ABC 且底面ABC 为正三角形,如图所示,取AC 中点F ,连BF ,则BF AC ⊥,在Rt BCF 中,2BF =,2CF =,4BC =, 在Rt BCD 中,4CD =,所以42BD =ABC 的距离为d ,因为DC ⊥平面ABC ,且底面ABC 为正三角形,所以2d =,因为ABC 的外接圆的半径为2,所以由勾股定理可得22228R d =+=,则该三棱锥外接球的半径22R =,所以三棱锥外接球的表面积是2432R ππ=,故选A .点睛:本题考查几何体的三视图,线面垂直的定义,以及几何体外接球问题,由三视图正确还原几何体、以及判断几何体位置关系是解题关键;由三视图画出几何体的直观图,由三视图判断出DC ⊥平面ABC 、求出ABC 的外接圆的半径,列出方程求出三棱锥外接球的半径,由球的表面积公式求出答案.5.D解析:D 【解析】试题分析:根据题意画出区域,作图如下,由{x xy e y e-==解得交点为(0,1),∴所求面积为:()()1101|2x x x x S e e dx e e e e --=-=+=+-⎰ 考点:定积分及其应用6.A解析:A 【解析】试题分析:由1(1)1x f x x e++=-+知()2x f x x e =-+,则()1(0)2xf x e f ''=+⇒=,而(0)1f =-,即切点坐标为()0,1-,切线斜率(0=2k f '=),则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-,切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-,则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点:函数在某点处的切线7.D解析:D 【解析】因1112111111]|2x dx x ----=+=⎰,故设sin ,[,]22x ππθθ=∈-,则12221221cos 21cos sin cos (2)2sin 2|442d d d ππππππππθπθθθθθπθ-----+====⨯+=⎰⎰⎰,应选答案D 。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(答案解析)

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(答案解析)

一、选择题1.给出下列函数:①()()2ln 1f x x x =+-;②()3cos f x x x =;③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是( )A .①②B .①③C .②③D .①②③2.已知71()x x +展开式中,5x 的系数为a ,则62axdx =⎰( )A .10B .11C .12D .133.如图,由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是( )A .1B .23C .43D .24.已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间,则实数m 的取值范围是( ) A .12m ≥B .12m < C .1m ≥ D .1m < 5.3侧面与底面所成的角是45︒,则该正四棱锥的体积是( ) A .23B .43C .23D .236.22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ,则s 1,s 2,s 3的大小关系为( )A .s 1<s 2<s 3B .s 2<s 1<s 3C .s 2<s 3<s 1D .s 3<s 2<s 17.曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为( ) A .83B .73C .53D .438.已知1(1)1x f x x e ++=-+,则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A .14 B .12C .1D .29.一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( ).A .44B .46C .48D .50 10.已知10(31)()0ax x b dx ,,a b ∈R ,则⋅a b 的取值范围为( )A .1,9B .1,1,9C .1,[1,)9D .()1,+∞11.定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积( ) A .12ln 26+ B .12ln 24+ C .1ln 24+ D .1ln 26+ 12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .4B .2C .43D .23二、填空题13.若112lim 22n nn n n t t +-→+∞-=+ ,则实数t 的取值范围是_____________.14.曲线,,0x y e y e x ===围成的图形的面积S =______15.曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________. 16.已知函数()323232t f x x x x t =-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值,则实数t 的取值范围是__________. 17.定积分()12xx e dx +=⎰__________.18.曲线2y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积为________.19.二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______.20.若,则的值是__________.三、解答题21.已知二次函数()f x 满足(0)0f =,且对任意x 恒有(1)()22f x f x x +-=+. (1)求()f x 的解析式;(2)设函数()()'()g x f x f x λ=-,其中'()f x 为()f x 的导函数.若对任意[0,1]x ∈,函数()y g x =的图象恒在x 轴上方,求实数λ的取值范围.22.为了降低能源消耗,某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为4万元,又知该冷库每年的能源消耗费用c (单位:万元)与隔热层厚度x (单位:cm )满足关系()(010)25kc x x x =≤≤+,若不建隔热层,每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k 的值及()f x 的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用()f x 达到最小?并求最小值. 23.已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-,()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> (Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)当[]1,4x ∈-时,求()f x 的值域;(Ⅲ)当[]1,4x ∈时,不等式()()f x g x ≤恒成立,求实数t 的取值范围. 24.计算曲线223y x x =-+与直线3y x所围图形的面积.25.在(332x x11的展开式中任取一项,设所取项为有理项的概率为α,求1x α⎰d x26.已知()ln f x x x mx =+,2()3g x x ax =-+-(1)若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数,求实数m 的取值范围;(2)若当0m =时,对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立,求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数,根据奇函数和定积分的性质,判断①②;利用反证法,结合定积分的性质,判断③. 【详解】对①,()f x 的定义域为R1())))()f x x x x f x --===-=-即函数()f x 为奇函数,则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②,()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-,即函数()f x 为奇函数,则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③,若0a ∃>,使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aax x a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰,解得0a =,与0a >矛盾,则③不满足 故选:A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用,属于中档题.2.D解析:D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =,从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中,得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令725r -=,解得1r =,所以5x 的系数为177C =,即7a =.所以7267662213axdx xdx x ===⎰⎰.故选:D 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,求定积分的值,属于中档题.3.D解析:D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 4.B解析:B【解析】求导函数,可得()1'220f x mx x x=+->,,函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数,所以()'0f x < 成立,即1220(0)mx x x+-<>恒成立,所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭,所以21m ->-,所以12m < 时,函数()f x 在定义域内是增函数.故选B .5.B解析:B 【解析】设底面边长为a ,依据题设可得棱锥的高2ah =,底面中心到顶点的距离2d =,由勾股定理可得2221()()22a a +=,解之得2a =,所以正四棱锥的体积21242323V =⨯⨯=,故应选答案B .6.B解析:B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点:此题主要考查定积分、比较大小,考查逻辑推理能力.7.A解析:A 【解析】 试题分析:()'323x x=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积()2238323S x dx =-=⎰.考点:1、切线方程;2、定积分.【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程;第二个错误是看成与y 轴围成的面积,()()22320328103232333S x dx x dx =--+-=+=⎰⎰;第三个是没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程;另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.8.A解析:A 【解析】试题分析:由1(1)1x f x x e ++=-+知()2x f x x e =-+,则()1(0)2x f x e f ''=+⇒=,而(0)1f =-,即切点坐标为()0,1-,切线斜率(0=2k f '=),则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-,切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-,则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点:函数在某点处的切线9.B解析:B 【解析】由定积分的物理意义,得,即力做的功为46.考点:定积分的物理意义.10.C解析:C 【分析】本题可以先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系,然后设abt ,则312t a b,再然后根据构造法得出a 、b 为方程23102t xx t 的根,最后根据判别式即可得出结果. 【详解】112(31)()(33)ax x b dx ax abx x b dx 1223331()02222abx x ab ax bx a b =+++=+++=,即3210ab a b,设ab t ,则312t a b,a 、b 为方程23102t xx t 的根,有231402t t ,解得19t 或1t ≥, 所以1,[1,)9a b ,故选C .【点睛】本题考查定积分的运算法则以及构造法,能否根据被积函数的解析式得出原函数的解析式是解决本题的关键,考查韦达定理的使用,是中档题.11.B解析:B 【解析】由31x x=,得1x =±,则图象的交点为(1,1)--,(1,1) ∵()31min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∴根据对称性可得函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积为143401141111|ln |ln 42ln 201444x dx dx x x x +=+=+=+⎰⎰ 故选B12.D解析:D 【分析】根据三视图可得到该几何体的直观图,进而可求出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥E ABCD -,四边形ABCD 是边长为1的正方形,BE ⊥平面ABCD ,2BE =,则四棱锥E ABCD -的体积为1233ABCD V S BE =⋅=. 故选D.【点睛】本题考查了三视图,考查了四锥体的体积的计算,考查了学生的空间想象能力,属于基础题.二、填空题13.【分析】利用数列的极限的运算法则转化求解即可【详解】解:当|t|≥2时可得可得t =﹣2当|t|<2时可得:综上可得:实数t 的取值范围是:﹣22)故答案为﹣22)【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的 解析:[)2,2-【分析】利用数列的极限的运算法则,转化求解即可. 【详解】解:当|t |≥2时,n+1nn n-1n 2-t lim =22+t→∞,可得2n 22()11t lim 2121n t t t→∞⨯--==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ,可得t =﹣2. 当|t |<2时,n+1nn n-1n 2-t lim =22+t→∞可得: 22()2lim 211?()2n n tt t →∞+=+ , 综上可得:实数t 的取值范围是:[﹣2,2). 故答案为[﹣2,2). 【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用,考查计算能力.14.【解析】【分析】先求出两曲线的交点再由面积与定积分的关系利用定积分即可求解【详解】由题意令解得交点坐标为所以曲线围成的图形的面积【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积其中解答中根据题设中的 解析:1【解析】 【分析】先求出两曲线,x y e y e ==的交点,再由面积与定积分的关系,利用定积分即可求解. 【详解】由题意,令x y ey e=⎧⎨=⎩,解得交点坐标为(1,)e , 所以曲线,,0xy e y e x ===围成的图形的面积110()()|1x xS e e dx ex e =-=-=⎰.【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积,其中解答中根据题设中的条件建立面积的积分表达式,利用定积分的计算准确求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.15.2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积故答案为2解析:2 【解析】sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积ππsin d cos cos πcos020S x x x==-=-+=⎰,故答案为2.16.【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填解析:90,8⎛⎫⎪⎝⎭【解析】2()32f x tx x -'=+,由题意可得()0f x '=在()0,+∞有两个不等根,即2320tx x -+=在()0,+∞有两个不等根,所以302980tt ⎧>⎪⎨⎪∆=->⎩,解得908t <<,填90,8⎛⎫⎪⎝⎭ 17.e 【解析】点睛:1求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图并将图形分割为若干个曲边梯形;(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围从而确定积分的上下限;(3)确定被积函数;(4)求出各曲边梯形的面积和即各积分解析:e 【解析】1212120(2)()|(1)(0)x x x e dx x e e e e +=+=+-+=⎰. 点睛:1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图,并将图形分割为若干个曲边梯形;(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分的上、下限; (3)确定被积函数;(4)求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和.2.利用定积分求曲边图形面积时,一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时,要分不同情况讨论.18.【解析】试题分析:联立交点所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域面积为考点:1定积分的应用---求曲边梯形的面积;2微积分基本定理【方法点晴】求曲边梯形的步骤:①画出草图在直角坐标系中画出直 解析:323【解析】 试题分析:联立2{230y x x y =--=,交点(1,1)A -,(9,3)B ,所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域,面积为322332111132(23)(3)|(399)(13)333S y y dy y y y --=+-=+-=+---+=⎰.考点:1.定积分的应用---求曲边梯形的面积;2.微积分基本定理.【方法点晴】求曲边梯形的步骤:①画出草图,在直角坐标系中画出直线或曲线的大致图象;②联立方程,求出交点坐标,确定积分的上、下限;③把曲边梯形的面积表示为若干个定积分的和;④计算定积分,写出答案.由于本题中,若对x 进行定积分,2,y x y x ==±,有些麻烦,这里就转化为对y 进行定积分,要容易很多.19.或【解析】试题分析:展开后第二项系数为时时考点:1定积分;2二项式定理解析:3或73【解析】试题分析:展开后第二项系数为233122a a -=-∴=±,1a =时3121|33x -==,1a =-时 31217|33x --== 考点:1.定积分;2.二项式定理20.2【解析】试题分析:∵易得故答案为考点:定积分的计算解析:2 【解析】 试题分析:∵,易得,故答案为.考点:定积分的计算.三、解答题21.(1)()2f x x x =+;(2){|0}λλ<【解析】分析:(1)设2()f x ax bx c =++,代入已知,由恒等式知识可求得,,a b c ; (2)由(1)得()g x ,题意说明()0<g x 在[0,1]x ∈上恒成立,由分离参数法得221x x x λ+<+,问题转化为求22([0,1])21x x x x +∈+的最小值. 详解:(1)设()()20f x ax bx c a =++≠,()00f =,0c ∴=. 于是()()()()22111f x f x a x b x ax bx +-=+++--222ax a b x =++=+.解得1a =,1b =.所以()2f x x x =+. (2)由已知得()()221g x x x x λ=+-+ 0>在[]0,1x ∈上恒成立. 即221x x x λ+<+在[]0,1x ∈上恒成立. 令()221x x h x x +=+,[]0,1x ∈ 可得()()()()()22222212221'02121x x x x x h x x x +-+++==>++. ∴函数()h x 在[]0,1单调递增,∴ ()()min 00h x h ==.∴ λ的取值范围是{|0}λλ<.点睛:本题考查用导数研究不等式恒成立问题,不等式恒成立问题通常伴随着考查转化与化归思想,例如常用分离参数法化为()()g h x λ≤,这样只要求得()h x 的最小值min ()h x ,然后再解min ()()g h x λ≤,即得λ范围.22.(1)800()4(010)25f x x x x =+≤≤+;(2)当隔热层修建7.5cm 厚时,总费用最小,最小费用70万元.【解析】试题分析:(I )根据c (0)=8计算k ,从而得出f (x )的解析式;(II )利用基本不等式得出f (x )的最小值及等号成立的条件.试题(1)当0x =时,()085k c ==,∴40k =. 由题意知,()4020425f x x x ⨯=++,即()()800401025f x x x x =+≤≤+. (2)∵()()800401025f x x x x =+≤≤+∴()()21600'425f x x -=++,令()'0f x =,即()242516000x +-=, ∴7.5x =. 当[)0,7.5x ∈时,()'0f x <,当(]7.5,10x ∈时,()'0f x >,当7.5x =时,()f x 取得最小值. ()min 80047.57027.55f x =⨯+=⨯+. 所以,当隔热层修建7.5cm 厚时,总费用最小,最小费用70万元. 23.(Ⅰ)3a=-,2b =-;(Ⅱ)[]4,16-;(Ⅲ)124t ≤≤ 【解析】试题分析:(Ⅰ)由导函数研究原函数切线的方法得到关于实数a,b 的方程组,求解方程组可得3a =-,2b =-;(Ⅱ)将不等式恒成立的问题分类讨论可得实数t的取值范围是124t ≤≤+ 试题(Ⅰ)()232f x x ax '=+ ∴()1323f a =+=-' ∴3a =- ∴()323f x x x =-因为()113f b =-= ∴2b =- (Ⅱ)由(Ⅰ)得()323f x x x =- ∴()236f x x x '=- 令()0f x '= 解得120,2x x ==()()()()14,00,24,416f f f f -=-==-=∴()f x 的值域是[]4,16- (Ⅲ)因为[]1,4x ∈时,不等式()()f x g x ≤恒成立∴()22160tx t x -++≥在[]1,4上恒成立,令()()2216h x tx t x =-++ 对称轴为1t x t +=因为0t >∴11t x t+=> ∴()21441240t t t t +⎧<⎪⎨⎪∆=+-≤⎩或()()144168160t t h t t +⎧≥⎪⎨⎪=-++≥⎩ 解得:t的取值范围为124t ≤≤+ 24.92. 【解析】【详解】试题分析:利用定积分计算曲线所围成面积,先画出图象,再找到图象交点的横坐标,然后写出定积分式子,注意被积函数为上方的图象对应的函数减图象在下方的函数. 试题由23{23y x y x x =+=-+解得03x x ==及.从而所求图形的面积332200[(3)(23)](3)S x x x dx x x dx =+--+=-+⎰⎰3230139=|322x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. 考点:定积分. 25.67 【分析】 先求()332x x -11展开式的通项公式,其中有2项有理项,确定概率1α6=,根据定积分的计算法则,先求出被积函数x α的原函数,再分别将积分上下限代入求差,即可求出结果.【详解】解:T r +1=11r C ·(3x )11-r ·()32x -r =11r C ·311-r ·(-2)r ·,r =0,1,…,11,共12项其中只有第4项和第10项是有理项,故所求概率为21α126==. 111716600066=|=77x dx x dx x α∴=⎰⎰ 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项式展开式的特定项问题、考查古典概型的概率公式,考查定积分的计算.解题关键是熟练应用二项式展开式的通项公式,找出符合条件的项数.26.(1)1m ≤-;(2)4a ≤.【解析】试题分析:(1)求导,利用导数对t 的范围进行分类讨论求最值.(2)本小题实质是22ln 3x x x ax ≥-+-在()0,x ∈+∞上恒成立,进一步转化为3 2ln a x x x ≤++在()0,x ∈+∞上恒成立,然后构造函数()32ln (0)h x x x x x=++>利用导数研究h(x)的最小值即可.注意不要忽略x>0的条件,导致求导数的方程时产生增根. 试题(1)()f x 定义域为()0,+∞,()()ln 1f x x m '=++,因为()f x 在()1,+∞上为单调函数,则方程()ln 10x m ++=在()1,+∞上无实根. 故10m +≥,则1m ≤-.(2)22ln 3x x x ax ≥-+-,则32ln a x x x ≤++,对一切()0,x ∈+∞恒成立. 设()32ln (0)h x x x x x =++>,则()()()231'x x h x x +-=, 当()()()0,1,'0,x h x h x ∈<单调递减,当()()()1,,'0,x h x h x ∈+∞>单调递增.()h x 在()0,+∞上,有唯一极小值()1h ,即为最小值.所以()()min 14h x h ==,因为对任意()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成成立,故4a ≤.点睛:利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的最值,根据要求得所求范围.一般地,f(x)≥a 恒成立,只需f(x)min≥a 即可;f(x)≤a 恒成立,只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的极值(最值),然后构建不等式求解.。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(有答案解析)

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(有答案解析)

一、选择题1.已知函数2(1),10()01x x f x x ⎧+-≤≤⎪=<≤则11()d f x x -=⎰( ) A .3812π- B .4312π+ C .44π+ D .4312π-+ 2.已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩,则21()f x dx -=⎰( )A .ln 2B .ln 2-C .12-D .3cos 1-3.4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成,则每片叶子的面积为() A .16BC .13D .234.已知1a xdx =⎰, 12b x dx =⎰,c =,则a , b , c 的大小关系是( )A .a b c <<B .a c b <<C .b a c <<D .c a b <<5.已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A .8 B .6 C .4 D .26.函数()325f x x x x =+-的单调递增区间为( )A .5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,B .5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭1,C .(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D .(),1-∞-⋃5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7.曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 AB.2C .π23-Dπ38.设曲线e x y x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A .2e 2e 14e--B .2e 2e 4e -C .2e e 14e --D .2e 14e-9.已知402cos 2d t x x π=⎰,执行下面的程序框图,如果输入的,2a t b t ==,那么输出的n 的值为( )A .3B .4C .5D .610.由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为( ) A .3B .32ln 2+C .223e -D .e11.由曲线4y x =,1y x=,2x =围成的封闭图形的面积为( ) A .172ln 22- B .152ln 22- C .15+2ln 22D .17+2ln 2212.二维空间中圆的一维测度(周长)2l r π=,二维测度(面积)2S r π=,观察发现()S r l '=:三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=,三维测度(体积)343V r π=,观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=,猜想其四维测度W =( ). A .224r πB .283r πC .514r πD .42r π二、填空题13.02114edx x dx x-+-=⎰⎰______________.14.由曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为__________. 15.由3x π=-,3x π=,0y =,cos y x =四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________. 16.已知函数()323232t f x x x x t =-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值,则实数t 的取值范围是__________. 17.已知()12111,a x dx -=+-⎰则932a x x π⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的各项系数和为________18.定积分2sin cos t tdt π=⎰________.19.由直线0x =, 23x π=,0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于________.20.从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为__.三、解答题21.已知函数f (x )=x 3+32x 2+mx 在x=1处有极小值, g (x )=f (x )﹣23x 3﹣34x 2+x ﹣alnx . (1)求函数f (x )的单调区间;(2)是否存在实数a ,对任意的x 1、x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,有1212()()1g x g x x x ->-恒成立?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由. 22.函数()ln ,kf x x k R x=+∈.若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直,求()f x 的单调递减区间和极小值(其中e 为自然对数的底数).23.求曲线y x =,2y x =-,13y x =-所围成图形的面积.24.已知函数()221y f x x x ==-++和()1y g x x ==-,求:由()y f x =和()y g x =围成区域的面积.25.求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成图形的面积. 26.有一动点P 沿x 轴运动,在时刻t 的速度为v (t )=8t-2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致). (1)P 从原点出发,当t=6时,求点P 运动的路程; (2)P 从原点出发,经过时间t 后又返回原点,求t 的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B 解析:B 【分析】根据积分的性质将所求积分化为()211x dx -++⎰⎰,根据微积分基本定理和定积分的求法可求得结果. 【详解】()()0022321100011112100101111333x dx x x dx x x x --+=++=++=++-++=---⎰⎰,⎰表示以原点为圆心,1为半径的圆在第一象限中的部分的面积,4π∴=⎰,()()121114313412f x dx x dx ππ--+∴=++=+=⎰⎰⎰.故选:B . 【点睛】本题考查积分的求解问题,涉及到积分的性质、微积分基本定理和定积分的求解等知识,属于基础题.2.A解析:A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解,根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰故选:A 【点睛】本题考查积分的计算问题,关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.3.C解析:C 【分析】先计算图像交点,再利用定积分计算面积. 【详解】 如图所示:由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩, 根据图形的对称性,可得每片叶子的面积为()13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰-=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用,考查运算求解能力4.C解析:C【解析】因为11113212312000000111122,,|223333a xdx x b x dx x c xdx x =========⎰⎰⎰,所以b ac <<,故选C.5.C解析:C 【解析】 由函数的图像可知,需满足或,所以点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形,其面积为4.6.C解析:C 【解析】由题意得,2'()325f x x x =+- ,令5'()013f x x x >⇒><-或,故选C. 7.D解析:D 【解析】曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =的两个交点坐标分别为(π6,12),(5π6,12), 则封闭图形的面积为5π5π66ππ6611πsin cos |3223x dx x x ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰本题选择D 选项.点睛:(1)用微积分基本定理求定积分,关键是求出被积函数的原函数.此外,如果被积函数是绝对值函数或分段函数,那么可以利用定积分对积分区间的可加性,将积分区间分解,代入相应的解析式,分别求出积分值相加. (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分. (3)若y =f (x )为奇函数,则()()0aaf x dx a ->⎰ =0.8.D解析:D 【详解】曲线e x y x =-及直线0y =所围成封闭图形的面积()1211112xx S e x dx e x -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎰阴影=1e e --;而不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定区域的面积22 4.S =⨯=所以该点落在区域D 内的概率1S 4S e e P --==阴影=2e 14e-.故选D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何意义及“面积型”的几何概型,属于中档题.解决几何概型问题常见类型有:长度型、角度型、面积型、体积型,求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积;几何概型问题还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误;(2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误;(3)利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.9.B解析:B 【解析】由题意得4402cos2d sin 2|sin 12t x x x πππ====⎰.所以输入的1,2a b ==. 执行如图所示的程序,可得:①3,5,5,2a b S n ====,不满足条件,继续运行; ②8,13,18,3a b S n ====,不满足条件,继续运行;③21,33,51,4a b S n ====,满足条件,停止运行,输出4.选B .10.A解析:A 【解析】如图所示,曲边四边形OABC 的面积为11121212ln 12(ln ln1)1232eedx x e x ⨯⨯+=+=+-=+=⎰.故选A.点睛:本题考查了曲线围成的图形的面积,着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识,属于基础题;用定积分求平面图形的面积的步骤:(1)根据已知条件,作出平面图形的草图;根据图形特点,恰当选取计算公式;(2)解方程组求出每两条曲线的交点,以确定积分的上、下限;(3)具体计算定积分,求出图形的面积.11.B解析:B【解析】 【分析】联立方程组,确定被积区间和被积函数,得出曲边形的面积2121(4)S x dx x=-⎰,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩,解得12x =, 所以曲线4y x =,1y x=,2x =围成的封闭图形的面积为 22222112211115(4)(2ln )|(22ln 2)[2()ln ]2ln 2222S x dx x x x =-=-=⨯--⨯-=-⎰, 故选B . 【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积,其中解答中根据题意求解交点的坐标,确定被积分区间和被积函数,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.12.D解析:D 【解析】因为4328W r W r V ππ'=⇒==,所以42W r π=,应选答案D . 点睛:观察和类比题设中的函数关系,本题也可以这样解答:34418824W r dr r r πππ=⎰=⨯=,应选答案D . 二、填空题13.【分析】根据以及定积分的几何意义可得答案【详解】因为表示的是圆在x 轴及其上方的面积所以所以=故答案为:【点睛】本题考查了定积分的计算考查了定积分的几何意义属于基础题 解析:21π+【分析】根据1(ln )x x'=以及定积分的几何意义可得答案.【详解】11edx x⎰=ln 1e x ln ln1101e =-=-=,因为2224x dx --⎰表示的是圆224x y +=在x 轴及其上方的面积,所以2224x dx --⎰21222ππ=⨯⨯=,所以11edx x ⎰2224x dx -+-⎰=12π+. 故答案为:21π+.【点睛】本题考查了定积分的计算,考查了定积分的几何意义,属于基础题.14.【分析】转化为定积分求解【详解】如图:曲线与直线及所围成的封闭图形的为曲边形因为曲线与直线及的交点分别为且所以由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为【点睛】本题考查定积分的意义及计算 解析:12ln 22-【分析】 转化为定积分求解. 【详解】 如图:,曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的为曲边形ABC , 因为ABC ABCD ACD S S S =- , 曲线2y x=与直线1y =x -及1x =的交点分别为(1,2),(2,1) 且212ABCD S dx x =⎰,21(1)ACD S x dx =-⎰,所以,()22222111121(1)2ln 2ABCS dx x dx x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⎰⎰ ()221112ln 22ln122112ln 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由曲线2y x =与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为12ln 22-. 【点睛】本题考查定积分的意义及计算.15.【解析】【分析】根据分的几何意义得到直线y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为【详解】根据余弦函数的对称性可得直线y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为故答案为:【点睛】本题考查【解析】 【分析】根据分的几何意义得到直线3x π=-,3x π=,y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为3302cos 2sin |x d x ππ==⎰【详解】根据余弦函数的对称性可得,直线3x π=-,3x π=,y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为3302cos 2sin |x d x ππ==⎰【点睛】本题考查利用定积分求面积,解题的关键是确定被积区间与被积函数,属于中档题.16.【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填解析:90,8⎛⎫⎪⎝⎭【解析】2()32f x tx x -'=+,由题意可得()0f x '=在()0,+∞有两个不等根,即2320tx x -+=在()0,+∞有两个不等根,所以302980tt ⎧>⎪⎨⎪∆=->⎩,解得908t <<,填90,8⎛⎫⎪⎝⎭ 17.-1【解析】表示圆上半圆的面积所以那么原二项式为的展开式中各项系数和令那么故填:-1解析:-1【解析】11111a dx --=+⎰, 1111|21dx x -==-⎰ ,1- ,表示圆221x y += 上半圆的面积2π,所以22a π=+ ,那么原二项式为932x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中各项系数和,令1x = ,那么932111⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭ ,故填:-1.18.【解析】试题分析:因为所以考点:定积分的计算【方法点睛】本题主要考察利用换元法求定积分计算定积分首先要熟悉常见函数的导函数因题中恰好为的导函数所以可以考虑用换元法来求定积分;本题也可利用三角恒等变换 解析:12【解析】 试题分析:因为,所以2sin cos t tdt π=⎰.考点:定积分的计算.【方法点睛】本题主要考察利用换元法求定积分,计算定积分,首先要熟悉常见函数的导函数,因题中恰好为的导函数,所以可以考虑用换元法来求定积分;本题也可利用三角恒等变换来求,因为,所以有2sin cos t tdt π=⎰22000111sin2sin22sin 244tdt td t udu πππ===⎰⎰⎰ 011cos |42u π-=. 19.【解析】试题分析:由定积分的几何意义可知所求面积为考点:定积分的几何意义 解析:3【解析】试题分析:由定积分的几何意义可知所求面积为223302sin 2cos |123S xdx x ππ==-=+=⎰.考点:定积分的几何意义.20.【解析】试题分析:由题意可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型由图可知基本事件空间所对应的几何度量S (Ω)=1先将y2=x 化成:联立的:因为x≥0所以解得:x=0或x=1所以曲线y=x2与所围成解析:13【解析】试题分析:由题意可知,此题求解的概率类型为关于面积的几何概型,由图可知基本事件空间所对应的几何度量S(Ω)=1,先将y2=x化成:,联立的:因为x≥0,所以解得:x=0或x=1,所以曲线y=x2与所围成的图形的面积S,即满足所取的点落在阴影部分内部所对应的几何度量:S(A)==.则点M取自阴影部分的概率为P(A)=考点:几何概型;定积分在求面积中的应用点评:本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题三、解答题21.(1)单调增区间为(﹣∞,﹣2),(1,+∞),单调减区间为(﹣2,1);(2)7a≤-2【解析】试题分析:(1)由极值定义得f′(1)=6+m=0,解得m值,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,确定单调区间(2)先等价转化不等式:设0<x1<x2,g(x1)﹣x1<g (x2)﹣x2.再构造函数h(x)=g(x)﹣x,转化为h(x)在(0,+∞)为增函数,利用导数研究h(x)导函数恒非负的条件,即得a的取值范围试题解:(1)∵f(x)=x3+x2+mx,∴f′(x)=3x2+3x+m,∵f(x)=x3+x2+mx在x=1处有极小值,∴f′(1)=6+m=0,得m=﹣6.∴f(x)=x3+x2﹣6x,则f′(x)=3(x2+x﹣2)=3(x﹣1)(x+2).∴当x∈(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,当x∈(﹣2,1)时,f′(x)<0,则f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣2),(1,+∞),单调减区间为(﹣2,1);(2)g(x)=f(x)﹣x3﹣x2+x﹣alnx=x3+x2﹣6x﹣x3﹣x2+x﹣alnx=﹣5x﹣alnx.假设存在实数a 使得对任意的 x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,有>1恒成立,不妨设0<x 1<x 2,只要g (x 1)﹣g (x 2)<x 1﹣x 2, 即:g (x 1)﹣x 1<g (x 2)﹣x 2.令h (x )=g (x )﹣x ,只要 h (x )在(0,+∞)为增函数即可. 又函数h (x )=g (x )﹣x=, 则h′(x )==.要使h'(x )≥0在(0,+∞)上恒成立,则需2x 3+3x 2﹣12x ﹣2a≥0在(0,+∞)上恒成立, 即2a≤2x 3+3x 2﹣12x .令t (x )=2x 3+3x 2﹣12x ,则t′(x )=6x 2+6x ﹣12=6(x+2)(x ﹣1).∴当x ∈(0,1)时,t (x )单调递减,当x ∈(1,+∞)时,t (x )单调递增, 则t (x )min =t (1)=﹣7. ∴2a≤﹣7,得a .∴存在实数a ,对任意的x 1、x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,有>1恒成立.22. 故()f x 的单调递减区间为()0,e ,极小值为2. 【解析】试题分析:(1)由切线与20x -=垂直,可知切的斜率为0,对()f x 求导,()0f e '=,代入可求得k 。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)

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一、选择题1.一物体作变速直线运动,其v t -曲线如图所示,则该物体在1s~6s 2间的运动路程为( )m .A .1B .43C .494D .22.已知是i 虚数单位,复数()1a i z a R i -=∈-,若01||(sin )z x dx ππ=-⎰,则a =( )A .±1B .1C .1-D .12±3.曲线x y e =在点(0,1)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A .12B .1C .2D .3 4.如图,设D 是途中边长分别为1和2的矩形区域,E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的阴影部分区域,则阴影部分E 的面积为( )A .ln 2B .1ln 2-C .2ln 2-D .1ln 2+ 5.一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( ).A .44B .46C .48D .50 6.若在R 上可导,,则( )A .B .C .D .7.图中阴影部分的面积用定积分表示为( )A .12d xx ⎰B .()121d xx -⎰C .()1021d xx +⎰D .()112d xx -⎰8.已知幂函数a y x =图像的一部分如下图,且过点(2,4)P ,则图中阴影部分的面积等于( )A .163B .83C .43D .239.一物体在力F (x )=3x 2-2x +5(力单位:N ,位移单位:m)作用力下,沿与力F (x )相同的方向由x =5 m 直线运动到x =10 m 处做的功是( ). A .925 JB .850 JC .825 JD .800 J10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .4B .2C .43D .2311.定积分()22xex dx +⎰的值为( )A .1B .2eC .23e +D .24e +12.若函数f (x )=cos x +2xf ′π()6,则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A .f π()3-=f π()3B .f π()3->f π()3 C .f π()3-<f π()3D .不确定二、填空题13.232319x x dx -⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎰____________________. 14.已知曲线与直线所围图形的面积______.15.定积分211dx x⎰的值等于________. 16.由曲线2y x=,直线y =2x ,x =2所围成的封闭的图形面积为______. 17.由曲线x y e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于________. 18.曲线2yx 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.19.函数3y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______.20.从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为__.三、解答题21.求曲线y x =2y x =-及y 轴围成的封闭图形的面积.22.已知函数()221y f x x x ==-++和()1y g x x ==-,求:由()y f x =和()y g x =围成区域的面积.23.已知曲线C :322321y x x x =--+,点1(,0)2P ,求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.24.设()y f x =是二次函数,方程()0f x =有两个相等的实根,且()22f x x '=+. (1)求()y f x =的表达式;(2)若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t 的值.25.在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为112, 试求:(1)点A 的坐标; (2)过切点A 的切线方程. 26.计算由直线4,y x =-曲线y =x 轴所围图形的面积S 。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(有答案解析)(3)

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一、选择题1.12201x dx -=⎰( )A .12πB .3128π+ C .368π+ D .364π+2.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A .22B .42C .2D .43.如图所示的阴影部分是由x 轴,直线1x =及曲线1x y e =-围成,现向矩形区域OABC 内随机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率是( )A .1eB .11e - C .11e-D .21e e -- 4.已知是i 虚数单位,复数()1a i z a R i -=∈-,若01||(sin )z x dx ππ=-⎰,则a =( ) A .±1 B .1 C .1- D .12±5.曲线y =sin x ,y =cos x 与直线x =0,x =2π所围成的平面区域的面积为( ) A .π20⎰(sin x -cos x )d xB .2π40⎰(sin x -cos x )d xC .π20⎰(cos x -sin x )d xD .2π40⎰(cos x -sin x )d x6.3侧面与底面所成的角是45︒,则该正四棱锥的体积是( ) A .23B .43C .23D .237.设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是( ) A .240B .240-C .60-D .608.定积分2]x dx ⎰的值为( )A .24π- B .2π- C .22π- D .48π-9.曲线x y e =,x y e -=和直线1x =围成的图形面积是( ) A .1e e --B .1e e -+C .12e e ---D .12e e -+-10.11)x dx -=⎰( )A .1π+B .1π-C .πD .2π 11.由直线,1y x y x ==-+,及x轴所围成平面图形的面积为 ( ) A .()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B .()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C .()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D .()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰12.由直线y= x - 4,曲线y =x 轴所围成的图形面积为( )A .15B .13C .252D .403二、填空题13.设函数2y nx n =-+和1122y x n =-+(*n N ∈,2n ≥)的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ,则lim n n S →∞=________ 14.直线x =0、直线y =e +1与曲线y =e x +1围成的图形的面积为_____. 15.由直线2x y +=,曲线2y x =所围成的图形面积是________ 16.在下列命题中 ①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数; ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+,则()f x 一定为偶函数;③若()f x 为奇函数,则()2()(0)aaaf x dx f x dx a -=>⎰⎰;④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠,则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件;⑤已知函数()sin f x x x =-,若0a b +>,则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________(写出所有正确命题的序号).17.设函数2()f x ax b =+(0a ≠),若300()3()f x dx f x =⎰,00x >,则0x =__________.18.已知()12111,a x dx -=+-⎰则932a x x π⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的各项系数和为________19.由直线0x =, 23x π=,0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于________.20.如图,两曲线2y x =,2y x 围成图面积__________.三、解答题21.已知二次函数()f x 满足(0)0f =,且对任意x 恒有(1)()22f x f x x +-=+. (1)求()f x 的解析式;(2)设函数()()'()g x f x f x λ=-,其中'()f x 为()f x 的导函数.若对任意[0,1]x ∈,函数()y g x =的图象恒在x 轴上方,求实数λ的取值范围. 22.已知函数()ln 3mf x x x x=++. (1)求函数()f x 的单调区间;(2)若对任意的[]0,2m ∈,不等式()()1f x k x ≤+,对[]1,x e ∈恒成立,求实数k 的取值范围.23.如图:求曲线y =e x -1与直线x =-ln 2, y =e -1所围成的平面图形面积.24.现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘,在OA 、OB 上分别取点C 、D ,作DE OA 、CF OB 分别交弧AB 于点E 、F ,且BD AC =,现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的养殖区域.已知1km OA =,2AOB π∠=,EOF θ∠=(02πθ<<).(1)若区域Ⅱ的总面积为21km 4,求θ的值; (2)若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元,试问:当θ为多少时,年总收入最大?25.如图:已知2y ax bx =+通过点(1,2),与22y x x =-+有一个交点横坐标为1x ,且0,1a a <≠-.(1)求2y ax bx =+与22y x x =-+所围的面积S 与a 的函数关系; (2)当,a b 为何值时,S 取得最小值. 26.设函数()ln h x x x =,()()()h x a h x f x x a+-=+,其中a 为非零实数.(1)当1a =时,求()f x 的极值;(2)是否存在a 使得()f x a ≤恒成立?若存在,求a 的取值范围,若不存在请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】令21y x =-()2210x y y +=≥,点(),x y 的轨迹表示半圆,则该积分表示该半圆与y 轴,12x =,x 轴围成的曲边梯形的面积,求出面积即可. 【详解】解:令21y x =-,则()2210x y y +=≥,点(),x y 的轨迹表示半圆,12201x dx -⎰表示以原点为圆心,2为半径的圆的上半圆与y 轴,12x =,x 轴围成的曲边梯形的面积,如图:故12201131311222612OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯+⨯⨯=+⎰扇形. 故选:B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义,属基础题.2.D解析:D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8), 故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭.故选D .3.D解析:D 【解析】试题分析:由几何概型可知,所求概率为.考点:几何概型、定积分.4.A解析:A 【解析】 因为11122a i a a z i i -+-==+-,所以222111()()22222a a z a +-=+=+式0011(sin )[cos ]|1x dx x x ππππ-=--=⎰211a =⇒=,即1a =±,应选答案A 。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)(1)

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一、选择题1.已知71()x x +展开式中,5x 的系数为a ,则62axdx =⎰( )A .10B .11C .12D .132.给出以下命题: (1)若()0haf x dx >⎰,则()0f x >;(2)20|sin |4x dx π=⎰;(3)()f x 的原函数为()F x ,且()F x 是以T 为周期的函数,则:()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为( ). A .1B .2C .3D .43.计算211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为( )A .34B .3ln 22+ C .55ln 22+ D .3ln 2+4.已知1a xdx =⎰, 12b x dx =⎰, 0c =,则a , b , c 的大小关系是( )A .a b c <<B .a c b <<C .b a c <<D .c a b <<5.设函数()f x 是R 上的奇函数, ()()f x f x π+=-,当02x π≤≤时,()cos 1f x x =-,则22x ππ-≤≤时, ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为( )A .48π-B .24π-C .2π-D .36π-6.定积分2]x dx ⎰的值为( )A .24π- B .2π- C .22π- D .48π-7.曲线22y x x =-与直线11x x =-=,以及x 轴所围图形的面积为( ) A .2 B .83 C .43 D .238.一物体在力F (x )=3x 2-2x +5(力单位:N ,位移单位:m)作用力下,沿与力F (x )相同的方向由x =5 m 直线运动到x =10 m 处做的功是( ). A .925 JB .850 JC .825 JD .800 J9.定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积( )A .12ln 26+ B .12ln 24+ C .1ln 24+ D .1ln 26+ 10.已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于( )A .1B .2C .3D .411.1204x dx -=⎰( )A .4B .1C .4πD .332π+12.若函数31()log ()(01)(,0)3a f x x ax a a 且在区间=->≠-内单调递增,则实数a 的取值范围是( ). A .2[,1)3B .1[,1)3C .1[,1)(1,3]3D .(1,3]二、填空题13.设函数2y nx n =-+和1122y x n =-+(*n N ∈,2n ≥)的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ,则lim n n S →∞=________ 14.直线x =0、直线y =e +1与曲线y =e x +1围成的图形的面积为_____. 15.曲线,,0x y e y e x ===围成的图形的面积S =______ 16.定积分121(4sin )x x dx --+=⎰________.17.已知函数2()2ln f x x x =-,若方程()0f x m +=在1[,]e e内有两个不等的实数根,则实数m 的取值范围是__________. 18.定积分()12xx e dx +=⎰__________.19.若,则的值是__________.20.()402sin cos x a x dx π-=⎰,则实数a =____________. 三、解答题21. 求曲线2yx 和直线y x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.22.由定积分的性质和几何意义,求出下列各式的值: (1)22aa x dx --⎰;(2)()1201(1)x x dx --⎰.23.求曲线6y x =-和8y x =y =0围成图形的面积. 24.已知()1313d 26x ax a b x a -⎰++-=+,且()()33d tf t x ax a b x ⎰=++-为偶函数,求a ,b .25.已知21()3cos cos 2f x x x x =-+ . (Ⅰ)写出()f x 的最小正周期T ; (Ⅱ)求由555()(0),0(0),(10),666y f x x y x x y πππ=≤≤=≤≤=-≤≤ 以及10(0)2x y =-≤≤ 围成的平面图形的面积. 26.设函数()ln h x x x =,()()()h x a h x f x x a+-=+,其中a 为非零实数.(1)当1a =时,求()f x 的极值;(2)是否存在a 使得()f x a ≤恒成立?若存在,求a 的取值范围,若不存在请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =,从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中,得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭, 令725r -=,解得1r =,所以5x 的系数为177C =,即7a =.所以7267662213axdx xdx x ===⎰⎰.故选:D 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,求定积分的值,属于中档题.2.B解析:B 【分析】(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰;故()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰;(3)正确.所以正确命题的个数为2, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.3.B解析:B 【分析】根据牛顿莱布尼茨公式,即可代值求解. 【详解】根据牛顿莱布尼茨公式211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰2211()2x lnx =+1142122ln ln ⎛⎫=⨯+-+ ⎪⎝⎭ 322ln =+. 故选:B. 【点睛】本题考查牛顿莱布尼茨公式的直接应用,属基础题.4.C解析:C【解析】因为11113212312000000111122,,|223333a xdx x b x dx x c xdx x =========⎰⎰⎰,所以b ac <<,故选C.5.A解析:A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=,则函数()y f x =是周期为2π的奇函数,画出函数()[],0,2y f x x π=∈的图像,结合函数的图像可知:只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(有答案解析)(2)

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(有答案解析)(2)

一、选择题1.已知71()x x +展开式中,5x 的系数为a ,则62axdx =⎰( )A .10B .11C .12D .132.已知函数2(1),10()01x x f x x ⎧+-≤≤⎪=<≤则11()d f x x -=⎰( ) A .3812π- B .4312π+ C .44π+ D .4312π-+ 3.若函数()31f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ) A .1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B .1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C .13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D .13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 4.已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A .8 B .6 C .4 D .25.曲线22,y x y x ==所围成图形的面积是( ) A .1B .13C .12D .236.20ln 1()231mx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰,,,且()()10f f e =,则m 的值为( ) A .1B .2C .1-D .2-7.由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为( ) A .3B .32ln 2+C .223e -D .e8.已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于( )A .1B .2C .3D .49.函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上( )A .有最大值0,无最小值B .有最大值0,最小值323-C .最小值323-,无最大值 D .既无最大值,也无最小值10.已知320n x dx =⎰,且21001210(2)(23)n x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+,则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为( )A .823B .845C .965-D .87711.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .4B .2C .43D .2312.1201(1))x x dx ⎰--=( ) A .22π+B .12π+ C .122π-D .142π- 二、填空题13.若()()122f x x f x dx =+⎰,则()1f x dx =⎰_______.14.若112lim 22n n n n n t t +-→+∞-=+ ,则实数t 的取值范围是_____________.15.计算:23lim 123n n nn→+∞-=++++________16.)12111x dx --=⎰__________.17.设函数2()f x ax b =+(0a ≠),若300()3()f x dx f x =⎰,00x >,则0x =__________.18.若定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x 都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+,则称函数()f x 为“z 函数”.给出下列四个定义在()0,+∞的函数:①31y x =-+;②2sinx-cosx y x =+;③,0{0,0ln x x y x ≠==;④224,0{,0x x x y x x x +≥=-+<,其中“z 函数”对应的序号为__________.19.曲线2yx 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.20.设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ,若2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上单调递减,则实数k 的取值范围是__________. 三、解答题21.已知函数32()f x x mx nx =++(,m n R ∈)(1)若()f x 在1x =处取得极大值,求实数m 的取值范围;(2)若'(1)0f =,且过点(0,1)P 有且只有两条直线与曲线()y f x =相切,求实数m 的值. 22.已知函数1ln(1)()x f x x++=(1)求函数的定义域;(2)判定函数()f x 在(1,0)-的单调性,并证明你的结论; (3)若当0x >时,()1kf x x >+恒成立,求正整数k 的最大值. 23.如图所示,抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地,现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地,其中A 、B 在抛物线上,C 、D 在x 轴上 已知工业用地每单位面积价值为3a 元()0a >,其它的三个边角地块每单位面积价值a 元.(Ⅰ)求等待开垦土地的面积;(Ⅱ)如何确定点C 的位置,才能使得整块土地总价值最大.24.已知函数1()ln f x a x x=-,a R ∈。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)(4)

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)(4)

一、选择题1.给出下列函数:①()()2ln 1f x x x =+-;②()3cos f x x x =;③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是( )A .①②B .①③C .②③D .①②③2.已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩,则21()f x dx -=⎰( )A .ln 2B .ln 2-C .12-D .3cos 1-3.若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =,则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x :①()2cos F x x x =+, ()2sin f x x x =-;②()3sin F x x x =+, ()23cos f x x x =+,则以下说法不正确...的是( ) A .奇函数的导函数一定是偶函数 B .偶函数的导函数一定是奇函数 C .奇函数的原函数一定是偶函数 D .偶函数的原函数一定是奇函数4.已知函数()f x 的图像如图所示, ()f x '就()f x 的导函数,则下列数值排序正确的是( )A .()()()()224224f f f f <-'<'B .()()()()242242f f f f '<<-'C .()()()()222442f f f f '<<-'D .()()()()422422f f f f '<'-<5.设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰,((1))1f f =,则a 的值是( ) A .-1 B .2 C .1 D .-26.等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为( )A .1-或12-B .1或12-C .12-D .17.曲线xy e =在点(0,1)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A .12B .1C .2D .3 8.3204x dx -=⎰( )A .213 B .223 C .233 D .2539.曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为( ) A .83B .73C .53D .4310.曲线与两坐标轴所围成图形的面积为( ) A .B .C .D .11.若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤,内投点,则该点落在由直线y x =与曲线y x =围成区域内的概率为( )A .18B .16C .13D .1212.已知t >0,若(2x ﹣2)dx=8,则t=( ) A .1B .﹣2C .﹣2或4D .4二、填空题13.已知0a >,6x x ⎫-⎪⎭展开式的常数项为15,则(0224a x x x dx -++-=⎰______.14.曲线2yx x 和2y x x 所围成的封闭图形的面积是_______.15.计算:23lim 123n n nn→+∞-=++++________16.定积分211(2)x dx x+⎰的值为_____ .17.1321(tan sin )x x x x dx -++⎰的值为______________________18.由直线0x =, 23x π=,0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于________.19.从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为__.20.曲线2y x 和曲线y x =围成一个叶形图(如图所示阴影部分),其面积是________.三、解答题21.已知函数31()ln 2f x x ax x =--()a R ∈.(1)若()f x 在(1,2)上存在极值,求(1)f 的取值范围; (2)当0x >时,()0f x <恒成立,比较a e 与232a e+的大小. 22.如图计算由直线y =6-x ,曲线8y x =以及x 轴所围图形的面积.23.已知函数1()ln 2f x x x =-,(0,)x ∈+∞. (1)求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程. (2)求函数()f x 的单调递增区间.24.如图,函数()sin()f x x ωϕ=+(其中π0,2ωϕ>≤)的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ,且π(,0)6P ,2π(,0)3Q ,M 为QR 的中点,且M 的纵坐标为3(1)求()f x 的解析式;(2)求线段QR 与函数()f x 图象围成的图中阴影部分的面积.25.已知函数()1x f x e ex =--,其中e 为自然对数的底数,函数()(2)g x e x =-. (1)求函数()()()h x f x g x =-的单调区间; (2)若函数(),,()(),f x x m F x g x x m≤⎧=⎨>⎩的值域为R ,求实数m 的取值范围.26.为了净化广州水系,拟在小清河建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16 m ,如果池外壁建造单价为400元/m 2,中间两条隔墙建造单价为248元/m 2,池底建造单价为80元/m 2(池壁厚度忽略不计,且池无盖).(1)写出总造价y (元)与x 的函数关系式,并指出定义域;(2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低,并求最低造价.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数,根据奇函数和定积分的性质,判断①②;利用反证法,结合定积分的性质,判断③. 【详解】对①,()f x 的定义域为R2212()ln(1)ln(1)ln(1)()f x x x x x x x f x --=+=+=-+=-即函数()f x 为奇函数,则0a ∃>使得()0aa f x dx -=⎰对②,()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-,即函数()f x 为奇函数,则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③,若0a ∃>,使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aax x a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰,解得0a =,与0a >矛盾,则③不满足 故选:A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用,属于中档题.2.A解析:A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解,根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选:A 【点睛】本题考查积分的计算问题,关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.3.D解析:D【解析】由①,()()()(),,F x F x f x f x -=-=-∴B,C正确; 由②,()(),F x F x -=- ()(),f x f x -=∴A 正确,D 项,偶函数的原函数不一定是奇函数,比如()()233cos sin 1f x x x F x x x =+=++的原函数可以为,此时F(x)为非奇非偶函数,所以D错误,故选D.4.A解析:A【解析】解:观察所给的函数图象可知: ()()()()42'2'442f f f f -<<- ,整理可得: ()()()()224224f f f f <-'<' . 本题选择A 选项.5.C解析:C 【详解】233003|aat dt t a ==⎰,33(1)lg10,(0),1, 1.f f a a a ===∴==故选:C6.B解析:B 【解析】试题分析:解:∵3304S xdx =⎰=18,,∴a 1+a 2=32a q (1+q)=12,⇒2q 2-q-1=0,⇒q=1或q=12-,故选B考点:等比数列的前n 项和, 定积分的基本运算点评:本题考查等比数列的前n 项和、定积分的基本运算,求定积分关键是找出被积函数的原函数,本题属于基础题.7.A解析:A 【解析】试题分析:'0x x y e y e x =∴=∴=时'11y k =∴=,直线方程为1y x =+,与两坐标轴交点为()()1,0,0,1-,所以三角形面积为12考点:导数的几何意义及直线方程8.C解析:C【解析】试题分析:画出函数图象如下图所示,可知()()323222002882344489128333x dx x dx x dx ⎛⎫-=-+-=-+--+=⎪⎝⎭⎰⎰⎰.考点:定积分的几何意义.9.A解析:A 【解析】 试题分析:()'323x x=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积()2238323S x dx =-=⎰.考点:1、切线方程;2、定积分.【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程;第二个错误是看成与y 轴围成的面积,()()22320328103232333S x dx x dx =--+-=+=⎰⎰;第三个是没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程;另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.10.C解析:C 【解析】 试题分析:,当时,,当时,,所以确定备积区间,备积函数是所以,根据定积分的公式,故选.考点:1.定积分的定义;2.定积分的应用.11.B解析:B 【解析】 区域(){},|01,01x y x y Ω=≤≤≤≤是正方形,面积为1,根据定积分定理可得直线y x =与曲线y x =)1321200211|326x x dx x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰,根据几何概型概率公式可得该点落在由直线y x =与曲线y x =16,故选B .12.D解析:D 【解析】∵(x 2﹣2x )′=2x ﹣2,∴若2(22)(2)tt x dx x x -=-⎰=t 2﹣2t=8,又t >0,解得t=4.选D.二、填空题13.【分析】利用二项式展开式的通项公式求出再利用定积分的运算性质和几何意义去求即得【详解】二项式展开式的通项为展开式的常数项为15令故答案为:【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式考查微积分基本定理136π- 【分析】利用二项式展开式的通项公式求出a ,再利用定积分的运算性质和几何意义去求即得. 【详解】二项式6x ⎫-⎪⎭展开式的通项为()()626136631r rrrrrr r x a C xT C --+---==.6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为15, ∴令330,22rr -=∴=,()262261=15a C -∴-,4=1a ∴,0,1aa >∴=.((0221a x x dx x x dx --∴+=++⎰⎰2322111001111121132226x dx xdx x x π---=++=++⨯⨯⨯--⎰⎰()()3232110101323π⎡⎤⎡⎤=--+--⎣⎦⎣⎦11132336ππ=-+=+-. 故答案为:1236π+-. 【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式,考查微积分基本定理.14.【解析】【分析】本题首先可以绘出曲线和的图像并找出两曲线图像围成的区域然后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案【详解】如图所示曲线和所围成的封闭图形的面积为:故答案为【点睛】本题考查几何中面积解析:13【解析】 【分析】本题首先可以绘出曲线2y x x 和2y x x 的图像,并找出两曲线图像围成的区域,然后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(包含答案解析)(5)

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(包含答案解析)(5)

一、选择题1.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A .22B .42C .2D .42.已知是i 虚数单位,复数()1a i z a R i -=∈-,若01||(sin )z x dx ππ=-⎰,则a =( )A .±1B .1C .1-D .12±3.曲线y =sin x ,y =cos x 与直线x =0,x =2π所围成的平面区域的面积为( ) A .π20⎰(sin x -cos x )d xB .2π40⎰(sin x -cos x )d xC .π20⎰(cos x -sin x )d xD .2π40⎰(cos x -sin x )d x4.若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =,则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x :①()2cos F x x x =+, ()2sin f x x x =-;②()3sin F x x x =+, ()23cos f x x x =+,则以下说法不正确...的是( ) A .奇函数的导函数一定是偶函数 B .偶函数的导函数一定是奇函数 C .奇函数的原函数一定是偶函数 D .偶函数的原函数一定是奇函数 5.若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =( ) A .2- B .1- C .0 D .16.设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是( )A .240B .240-C .60-D .607.曲线xy e =在点(0,1)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A .12B .1C .2D .3 8.已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ,则它与x 轴所围图形的面积为( )A .25π B .43C .32D .2π 9.由直线,1y x y x ==-+,及x轴所围成平面图形的面积为 ( )A .()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B .()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C .()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D .()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰10.已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于( )A .1B .2C .3D .411.若函数f (x )=cos x +2xf ′π()6,则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A .f π()3-=f π()3B .f π()3->f π()3 C .f π()3-<f π()3D .不确定12.已知t >0,若(2x ﹣2)dx=8,则t=( ) A .1B .﹣2C .﹣2或4D .4二、填空题13.02114edx x dx x-+-=⎰⎰______________.14.计算)2204(2)x x dx --⎰=_____.15.在平面直角坐标系中,角α的始边落在x 轴的非负半轴,终边上有一点是(3-,若[)0,2απ∈,则cos xdx αα-=⎰______.16.由直线2y x =+与曲线2y x 围成的封闭图形的面积是__________.17.已知曲线y x =2y x =-,与x 轴所围成的图形的面积为S ,则S =__________.18.已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e0f x dx =⎰_________.19.202x xdx -+=__________20.从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为__.三、解答题21.如图,四边形ABCD 为菱形,60DAB ∠=︒,ED ⊥面ABCD ,EF AB ∥,22ED AD EF ===,M 为BC 的中点.(1)求证:FM ∥平面BDE ;(2)若G 为线段BE 上一点,当三棱锥B GCD -23BG BE 的值.22.已知函数32()f x x mx nx =++(,m n R ∈)(1)若()f x 在1x =处取得极大值,求实数m 的取值范围;(2)若'(1)0f =,且过点(0,1)P 有且只有两条直线与曲线()y f x =相切,求实数m 的值.23.已知函数1()ln f x a x x=-,a R ∈。

(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)(1)

(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题1.已知71()x x +展开式中,5x 的系数为a ,则62axdx =⎰( )A .10B .11C .12D .132.=( )A .12πB.128π+C.6π+ D.6π+3.给出以下命题: (1)若()0haf x dx >⎰,则()0f x >;(2)20|sin |4x dx π=⎰;(3)()f x 的原函数为()F x ,且()F x 是以T 为周期的函数,则:()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为( ). A .1B .2C .3D .44.若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰,则实数a 等于( )A .1-B .1C.D5.已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间,则实数m 的取值范围是( ) A .12m ≥B .12m < C .1m ≥ D .1m < 6.设函数()f x 是R 上的奇函数, ()()f x f x π+=-,当02x π≤≤时,()cos 1f x x =-,则22x ππ-≤≤时, ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为( )A .48π-B .24π-C .2π-D .36π-7.22221231111,,,xS x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ,则s 1,s 2,s 3的大小关系为( )A .s 1<s 2<s 3B .s 2<s 1<s 3C .s 2<s 3<s 1D .s 3<s 2<s 18.设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是( )A .240B .240-C .60-D .609.已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A .8 B .6 C .4 D .210.等比数列{}n a 中,39a =,前3项和为3230S x dx =⎰,则公比q 的值是( )A .1B .12-C .1或12-D .1-或12-11.121(1)x x dx --+=⎰( )A .1π+B .1π-C .πD .2π 12.120(1(1))x x dx ⎰---=( ) A .22π+B .12π+ C .122π-D .142π- 二、填空题13.由函数()ln f x x x x =-的图像在点(,())P e f e 处的切线,l 直线1x e -=直线x e =(其中e 是自然对数的底数)及曲线ln y x =所围成的曲边四边形(如图中的阴影部分)的面积S =_________.14.由曲线2y x=,直线y =2x ,x =2所围成的封闭的图形面积为______. 15.曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______. 16.由3x π=-,3x π=,0y =,cos y x =四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________.17.计算()0cos 1x dx π⎰+=_________.18.曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________. 19.计算由曲线22,4y x y x ==-所围成的封闭图形的面积S =__________.20.若,则的值是__________.三、解答题21.设函数()32f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-.(1)求常数,a b 的值;(2)求曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积.22.已知二次函数()f x 满足(0)0f =,且对任意x 恒有(1)()22f x f x x +-=+. (1)求()f x 的解析式;(2)设函数()()'()g x f x f x λ=-,其中'()f x 为()f x 的导函数.若对任意[0,1]x ∈,函数()y g x =的图象恒在x 轴上方,求实数λ的取值范围.23.设函数()()3223168f x x a x ax =-+++,其中a R ∈,已知()f x 在3x =处取得极值. (1)求()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程; (2)求函数()f x 的单调区间. 24.设是二次函数,方程有两个相等的实根,且()22f x x =+'(1)求()y f x =的表达式;(2)求()y f x =的图像与两坐标轴所围成图形的面积25.已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图,直线0y =在原点处与函数图象相切,且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.(1)求()f x 的解析式;(2)若常数0m >,求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值. 26.求曲线6y x =-和8y x =y =0围成图形的面积.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D利用二项式的通项公式求得7a =,从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中,得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭, 令725r -=,解得1r =,所以5x 的系数为177C =,即7a =.所以7267662213axdx xdx x ===⎰⎰.故选:D 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,求定积分的值,属于中档题.2.B解析:B 【分析】令21y x =-,则()2210x y y +=≥,点(),x y 的轨迹表示半圆,则该积分表示该半圆与y 轴,12x =,x 轴围成的曲边梯形的面积,求出面积即可. 【详解】解:令21y x =-,则()2210x y y +=≥,点(),x y 的轨迹表示半圆,12201x dx -⎰表示以原点为圆心,2为半径的圆的上半圆与y 轴,12x =,x 轴围成的曲边梯形的面积,如图:故12201131311222612OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选:B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义,属基础题.3.B解析:B(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰;故()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰;(3)正确.所以正确命题的个数为2, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.4.A解析:A 【解析】试题分析:解:因为()()()2200sin cos cos sin |cossincos0sin 022x a x dx x a x a a ππππ-=--=-----⎰=()010a ----=1a -,所以12a -=,所以, 1.a =-故选A. 考点:定积分.5.B解析:B【解析】求导函数,可得()1'220f x mx x x=+->,,函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数,所以()'0f x < 成立,即1220(0)mx x x+-<>恒成立,所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭,所以21m ->-,所以12m < 时,函数()f x 在定义域内是增函数.故选B .6.A解析:A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=,则函数()y f x =是周期为2π的奇函数,画出函数()[],0,2y f x x π=∈的图像,结合函数的图像可知:只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。

(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)

(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)

一、选择题1.12201x dx -=⎰( )A .12πB.3128π+ C .368π+ D .364π+2.已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩,则21()f x dx -=⎰( )A .ln 2B .ln 2-C .12-D .3cos 1-3.222024xdx x dx +-=⎰⎰( )A .2π B .12π+ C .4π D .π4.若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰,则实数a 等于( )A .1-B .1C .3-D .35.设函数()f x 是R 上的奇函数, ()()f x f x π+=-,当02x π≤≤时,()cos 1f x x =-,则22x ππ-≤≤时, ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为( )A .48π-B .24π-C .2π-D .36π-6.如图,矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--,正弦曲线f xsinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ,向矩形ABCD 区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是( )A .B .C .D .7.11)x dx -=⎰( )A .1π+B .1π-C .πD .2π 8.函数()325f x x x x =+-的单调递增区间为( ) A .5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,B .5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭1,C .(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D .(),1-∞-⋃5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤,内投点,则该点落在由直线y x =与曲线y = )A .18B .16C .13D .1210.20ln 1()231mx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰,,,且()()10f f e =,则m 的值为( ) A .1B .2C .1-D .2-11.计算()122x x dx -⎰的结果为( )A .0B .1C .23D .5312.下列积分值最大的是( ) A .222sin +1x x dx -⎰()B .()22cos x dx ππ--⎰C.-⎰D .11edx x二、填空题13.若2211S x dx =⎰,2211S dx x =⎰,231x S e dx =⎰,则1S ,2S ,3S 的大小关系为___.14.计算()0cos 1x dx π⎰+=_________.15.由直线2y x =+与曲线2y x 围成的封闭图形的面积是__________.16.若二项式261()5x x +的展开式中的常数项为m ,则21(2)d mx x x -=⎰_________.17.计算()2224x x dx -+-⎰得__________.18.定积分2sin cos t tdt π=⎰________.19.如图,两曲线2y x =,2y x 围成图面积__________.20.设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ,若2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上单调递减,则实数k 的取值范围是__________. 三、解答题21.已知函数f (x )=x 3-3ax+e ,g (x )=1-lnx ,其中e 为自然对数的底数.(I )若曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线l :x+2y=0垂直,求实数a 的值; (II )设函数F (x )=-x[g (x )+12x-2],若F (x )在区间(m,m+1)(m ∈Z )内存在唯一的极值点,求m 的值;(III )用max{m ,n}表示m ,n 中的较大者,记函数h (x )=max{f (x ),g (x )}(x>0). 若函数h (x )在(0,+∞)上恰有2个零点,求实数a 的取值范围.22.根据《山东省全民健身实施计划(2016-2020年)》,到2020年乡镇(街道)普遍建有“两个一”工程,即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、一个多功能运动场.某市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放.(1)在一次全民健身活动中,四个多功能运动场的使用场数如图,用分层抽样的方法从甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取a ,b ,c ,d 共25场,在a ,b ,c ,d 中随机取两数,求这两数和ξ的分布列和数学期望;(2)设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为x ,其相应维修费用为y 元,根据统计,得到如下表的y 与x 数据:x10 15 20 25 3035 40 y23022708 2996 3219 3401 3555 3689 10013102y z e =+ 2.49 2.993.554.004.494.995.49(i )用最小二乘法求z 与x 之间的回归直线方程; (ii )40yx +叫做运动场月惠值,根据(i )的结论,试估计这四个多功能运动场月惠值最大时x 的值.参考数据和公式:4z =,()721700ii x x =-=∑,()()7170i i i x x z z =--=∑,320e =,()()()71721ˆiii ii x x z z bx x ==--=-∑∑,a y bx =-.23.为了净化广州水系,拟在小清河建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16 m ,如果池外壁建造单价为400元/m 2,中间两条隔墙建造单价为248元/m 2,池底建造单价为80元/m 2(池壁厚度忽略不计,且池无盖).(1)写出总造价y (元)与x 的函数关系式,并指出定义域;(2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低,并求最低造价.24.已知函数2()ln 1a f x x x +=++,其中a ∈R. (1)当a =4时,求f (x )的极值点;(2)讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间. 25.计算下列定积分 (1) ()12xx e dx +⎰(2)2442cos tan 2x x dx ππ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ (3)214x dx --26.已知函数()sin cos ,f x x x a x =+且()f x 在3x π=处的切线的斜率为6π.(1)求a 的值,并讨论()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性; (2)设1()ln(1),0,01x g x mx x m x -=++≥>+,若对任意[)10,x ∈+∞,总存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得12()()g x f x ≥成立,求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】令21y x =-,则()2210x y y +=≥,点(),x y 的轨迹表示半圆,则该积分表示该半圆与y 轴,12x =,x 轴围成的曲边梯形的面积,求出面积即可. 【详解】解:令21y x =-,则()2210x y y +=≥,点(),x y 的轨迹表示半圆,12201x dx -⎰表示以原点为圆心,2为半径的圆的上半圆与y 轴,12x =,x 轴围成的曲边梯形的面积,如图:故12201131311222612OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选:B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义,属基础题.2.A解析:A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解,根据积分运算法则可求得结果.()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选:A 【点睛】本题考查积分的计算问题,关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.3.A解析:A 【分析】分别根据积分的运算法则和几何意义求得两个积分的值,进而得到结果. 【详解】22200112x == 2224x dx -⎰表示下图所示的阴影部分的面积S2OA =,2OC =4AOC π∴∠=12221422S ππ∴=⨯-=- 2220241122x dx ππ+-∴=+-=⎰故选:A 【点睛】本题考查积分的求解问题,涉及到积分的运算法则和几何意义的应用.4.A解析:A 【解析】试题分析:解:因为()()()2200sin cos cos sin |cossincos0sin 022x a x dx x a x a a ππππ-=--=-----⎰=()010a ----=1a -,所以12a -=,所以, 1.a =-故选A. 考点:定积分.5.A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=,则函数()y f x =是周期为2π的奇函数,画出函数()[],0,2y f x x π=∈的图像,结合函数的图像可知:只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。

(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(答案解析)(2)

(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(答案解析)(2)

一、选择题1.一物体作变速直线运动,其v t -曲线如图所示,则该物体在1s~6s 2间的运动路程为( )m .A .1B .43C .494D .22.由曲线22y x =和直线4y x =-所围成的图形的面积( ) A .18B .19C .20D .213.在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点,则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为( )A .5000B .6667C .7500D .78544.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A .22B .42C .2D .45.已知函数()f x 的图像如图所示, ()f x '就()f x 的导函数,则下列数值排序正确的是( )A .()()()()224224f f f f <-'<'B .()()()()242242f f f f '<<-'C .()()()()222442f f f f '<<-'D .()()()()422422f f f f '<'-<6.3侧面与底面所成的角是45︒,则该正四棱锥的体积是( ) A .23B .43C 22D 427.22221231111,,,xS x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ,则s 1,s 2,s 3的大小关系为( )A .s 1<s 2<s 3B .s 2<s 1<s 3C .s 2<s 3<s 1D .s 3<s 2<s 18.曲线x y e =在点(0,1)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A .12B .1C .2D .3 9.已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A .8 B .6 C .4 D .210.曲线x y e =,x y e -=和直线1x =围成的图形面积是( ) A .1e e -- B .1e e -+ C .12e e --- D .12e e -+-11.已知10(31)()0ax x b dx ,,a b ∈R ,则⋅a b 的取值范围为( )A .1,9B .1,1,9C .1,[1,)9D .()1,+∞12.已知402cos 2d t x x π=⎰,执行下面的程序框图,如果输入的,2a t b t ==,那么输出的n 的值为( )A .3B .4C .5D .6二、填空题13.定积分121x x dx -⎰-=______. 14.由曲线2y x=,直线y =2x ,x =2所围成的封闭的图形面积为______. 15.曲线y x =21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ____.16.在直线0x =,1x =,0y =,1y e =+围成的区域内撒一粒豆子,则落入0x =,1y e =+,e 1x y =+围成的区域内的概率为__________.17.2222(sin 4)x x x dx -+-⎰=______.18.若二项式2651()5x x +的展开式中的常数项为m ,则21(2)d mx x x -=⎰_________.19.曲线2y x 和曲线y x =围成一个叶形图(如图所示阴影部分),其面积是________.20.定积分120124x x dx π⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰的值______. 三、解答题21.已知函数32()f x x mx nx =++(,m n R ∈)(1)若()f x 在1x =处取得极大值,求实数m 的取值范围;(2)若'(1)0f =,且过点(0,1)P 有且只有两条直线与曲线()y f x =相切,求实数m 的值. 22.函数()ln ,kf x x k R x=+∈.若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直,求()f x 的单调递减区间和极小值(其中e 为自然对数的底数).23.梯形ABCD 顶点B 、C 在以AD 为直径的圆上,AD =2米,(1)如图1,若电热丝由AB ,BC ,CD 这三部分组成,在AB ,CD 上每米可辐射1单位热量,在BC 上每米可辐射2单位热量,请设计BC 的长度,使得电热丝辐射的总热量最大,并求总热量的最大值;(2)如图2,若电热丝由弧,AB CD 和弦BC 这三部分组成,在弧,AB CD 上每米可辐射1单位热量,在弦BC 上每米可辐射2单位热量,请设计BC 的长度,使得电热丝辐射的总热量最大.24.已知函数1211()(1)x f x adt x t+=++⎰()1x >-.(1)若()f x 在1x =处有极值,问是否存在实数m ,使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.()2.71828e =;(2)若1a =,设2()()(1)F x f x x x =-+-. ①求证:当0x >时,()0F x <; ②设*111()12(1)n a n N n n n n =++⋅⋅⋅+∈++++,求证:ln 2n a > 25.已知二次函数()21f x ax bx =+-在1x =-处取得极值,且在点()0,1-处的切线与直线20x y -=平行. (1)求()f x 的解析式;(2)求函数()()2g x xf x x =+的极值. 26.利用定积分的定义,计算221(2)d x x x -+⎰的值,并从几何意义上解释这个值表示什么.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】由图像用分段函数表示()v t ,该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示,计算即得解 【详解】由题中图像可得,2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式,可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭.所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4. 故选:C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用,考查了学生转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于中档题.2.A解析:A 【分析】画出两曲线的图像,求得交点坐标,由定积分求得图形的面积即可. 【详解】根据题意,画出量曲线的图像,设其交点为,A B ,如下所示:联立22y x =和4y x =-, 解得()()2,2,8,4A B -, 根据抛物线的对称性, 即可得两曲线围成的面积28222d (24)d S x x x x x =++⎰⎰2322021622d 2233x x x ⎛⎫⎰== ⎪⎝⎭ 82(24)d x x x +⎰83222212432x x x ⎫=-+⎪⎭322212884832⎛⎫=⨯⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭322213822242323⎛⎫-⨯⨯-⨯+⨯= ⎪⎝⎭故所求面积为28222d (24)d x x x x x +-+⎰⎰163833=+ 18=.故选:A. 【点睛】本题考查由定积分求解曲边梯形的面积,需要注意的是,本题中需要对曲边梯形的面积进行拆分求解,这是本题的难点.3.B解析:B 【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数,再由定积分定义求出空白区域面积,由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积,结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数 【详解】由微积分基本定理可求出2yx 的原函数为()313F x x =,空白区域面积为31101133S x ==,故阴影部分面积212133S =-=,由几何概型可知,落入阴影部分的点数估计值为21000066673⨯≈ 故选:B 【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理,几何概型,属于基础题4.D解析:D【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8), 故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭.故选D .5.A解析:A【解析】解:观察所给的函数图象可知: ()()()()42'2'442f f f f -<<- ,整理可得: ()()()()224224f f f f <-'<' . 本题选择A 选项.6.B解析:B 【解析】设底面边长为a ,依据题设可得棱锥的高2ah =,底面中心到顶点的距离2d =,由勾股定理可得2221()()22a a +=,解之得2a =,所以正四棱锥的体积21242323V =⨯⨯=,故应选答案B .7.B解析:B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点:此题主要考查定积分、比较大小,考查逻辑推理能力.8.A解析:A 【解析】试题分析:'0xxy e y e x =∴=∴=时'11y k =∴=,直线方程为1y x =+,与两坐标轴交点为()()1,0,0,1-,所以三角形面积为12考点:导数的几何意义及直线方程9.C解析:C 【解析】由函数的图像可知,需满足或,所以点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形,其面积为4.10.D解析:D 【解析】试题分析:根据题意画出区域,作图如下,由{x xy e y e-==解得交点为(0,1),∴所求面积为:()()1101|2x x x x S e e dx e e e e --=-=+=+-⎰ 考点:定积分及其应用11.C解析:C 【分析】本题可以先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系,然后设abt ,则312t a b,再然后根据构造法得出a 、b 为方程23102t xx t 的根,最后根据判别式即可得出结果. 【详解】1120(31)()(33)ax x b dx ax abx x b dx12230331()02222abx x ab ax bx a b =+++=+++=, 即3210ab a b ,设abt ,则312t a b,a 、b 为方程23102t xx t 的根,有231402t t ,解得19t 或1t ≥, 所以1,[1,)9a b ,故选C .【点睛】本题考查定积分的运算法则以及构造法,能否根据被积函数的解析式得出原函数的解析式是解决本题的关键,考查韦达定理的使用,是中档题.12.B解析:B 【解析】由题意得4402cos2d sin 2|sin 12t x x x πππ====⎰.所以输入的1,2a b ==. 执行如图所示的程序,可得:①3,5,5,2a b S n ====,不满足条件,继续运行; ②8,13,18,3a b S n ====,不满足条件,继续运行;③21,33,51,4a b S n ====,满足条件,停止运行,输出4.选B .二、填空题13.1【分析】将定积分根据绝对值里的正负分为两部分利用定积分公式计算得到答案【详解】故答案为:【点睛】本题考查了定积分的计算意在考查学生的计算能力和转化能力解析:1 【分析】将定积分根据绝对值里的正负分为两部分,利用定积分公式计算得到答案. 【详解】()()112223203211010111113232x x dx x x dx x x dx x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎰-=⎰--⎰-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51166⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 故答案为:1.【点睛】本题考查了定积分的计算,意在考查学生的计算能力和转化能力.14.3-2ln2【分析】求出曲线直线y=2x 的交点坐标根据定积分的几何意义列式即可求解【详解】依题意联立方程组解得所以封闭的图形面积为=(x2-2lnx )=3-2ln2故答案为:3-2n2【点睛】本题考解析:3-2ln2 【分析】 求出曲线2y x=,直线y=2x 的交点坐标,根据定积分的几何意义列式,即可求解. 【详解】依题意,联立方程组22y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩, 所以封闭的图形面积为212(2)x dx x -⎰=(x 2-2lnx )21=3-2ln2.故答案为:3-2n2.【点睛】本题考查了定积分的几何意义,定积分的求法,其中解答中确定定积分式,准确运算是解答的关键,着重考查数形结合思想,以及计算能力,属于基础题.15.【分析】根据定积分的几何意义先联立直线与曲线方程求出积分的上下限将面积转化为定积分从而可求出所围成的图形的面积【详解】由曲线与直线构成方程组解得由直线与构成方程组解得;曲线与直线及x 轴所围成的封闭图 解析:512【分析】根据定积分的几何意义,先联立直线与曲线方程,求出积分的上下限,将面积转化为定积分1102(21)xdx x dx --⎰,从而可求出所围成的图形的面积.【详解】由曲线y x =21y x =-构成方程组21y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,解得{11x y ==,由直线21y x =-与0y =构成方程组,解得120x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩;∴曲线y x =21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为:()131212011222215(21)||33412S xdx x dx x x x =--=--=-=⎰⎰. 故答案为512. 【点睛】本题主要考查定积分的几何意义,属于中档题.一般情况下,定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和 ,其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时,一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数;两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.16.【解析】由题意直线所围成的区域为一个长为高为的矩形所以其的面积为又由解得所以由所围成的区域的面积为所以概率为 解析:11e + 【解析】由题意,直线0,1,0,1x x y y e ====+所围成的区域为一个长为1,高为1e +的矩形,所以其的面积为1(1)1S e e =⨯+=+, 又由11xy e y e =+⎧⎨=+⎩,解得11x y e =⎧⎨=+⎩, 所以由0,1,1x x y e y e ==+=+所围成的区域的面积为111100(11)()()|1xx x S e e dx e e dx ex e =+--=-=-=⎰⎰,所以概率为111S P S e ==+. 17.;【解析】而函数是奇函数它在和的积分值大小相等符号相反故而表示圆与轴围成的半圆的面积即解析:2π; 【解析】22222222(sin x sinx dx x xdx ---=+⎰⎰ ,而函数2sin y x x =是奇函数,它在()2,0-和()0,2的积分值大小相等,符号相反,故222sin 0x xdx -=⎰,而2-⎰表示圆224x y += 与x轴围成的半圆的面积,2221222ππ-∴=⨯⨯=,即222(2x sinx dx π-==⎰18.【解析】解答:由Tr+1=⋅⋅()r=令12−3r=0得r=4∴m=()2⋅=3则==(x3−x2)=(×33−32)−(−1)=故答案为: 解析:23【解析】 解答:由T r +1=6rC⋅62x 5r-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⋅(1x)r =6123r 65x 5rrC --⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.令12−3r =0,得r =4. ∴m =(5)2⋅46C =3. 则()212d mxx x -⎰=()3212d x x x -⎰=(13x 3−x 2)31 =(13×33−32)−(1 3−1)=23.故答案为:23. 19.【分析】先求出两个曲线的交点坐标得所求阴影部分应该是曲线从0到1的一段投影到x 轴的面积减去曲线从0到1的一段投影到x 轴的面积最后根据定积分的几何意义用积分计算公式可以算出阴影部分面积【详解】设阴影部解析:13【分析】先求出两个曲线的交点坐标(1,1)C,得所求阴影部分应该是曲线y =0到1的一段投影到x 轴的面积减去曲线2y x 从0到1的一段投影到x 轴的面积,最后根据定积分的几何意义,用积分计算公式可以算出阴影部分面积.【详解】设阴影部分面积为S ,由题意得两个图象的交点为(1,1)C ,)132320121033S x dx x x ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭⎰33332221211110033333⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:13.【点睛】本题着重考查了定积分的几何意义和积分的计算公式等知识点,属于中档题.20.1【分析】等于以原点为圆心以1为半径的圆面积的四分之一为再利用微积分基本定理求出的值即可【详解】因为等于以原点为圆心以1为半径的圆面积的四分之一为所以故答案为:1【点睛】本题主要考查微积分基本定理的解析:1 【分析】⎰等于以原点为圆心,以1为半径的圆面积的四分之一,为4π,再利用微积分基本定理求出1024x π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值即可. 【详解】1024x dx π⎫-⎪⎭⎰10024x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎰⎰,因为⎰等于以原点为圆心,以1为半径的圆面积的四分之一,为4π,121002|1444x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰,所以100211444x πππ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭⎰⎰,故答案为:1 【点睛】本题主要考查微积分基本定理的应用,考查了定积分的几何意义,属于基础题.三、解答题21.(1)3m <-;(2)3m =-。

(典型题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)(1)

(典型题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)(1)

一、选择题1.已知71()x x +展开式中,5x 的系数为a ,则62axdx =⎰( )A .10B .11C .12D .132.一物体作变速直线运动,其v t -曲线如图所示,则该物体在1s~6s 2间的运动路程为( )m .A .1B .43C .494D .23.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A .22B .42C .2D .44.定积分= A .B .C .D .5.等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为( )A .1-或12-B .1或12-C .12-D .16.由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是( ) A .23.923-.323 D .3537.等比数列{}n a 中,39a =,前3项和为3230S x dx =⎰,则公比q 的值是( )A .1B .12-C .1或12-D .1-或12-8.设函数2e ,10()1,01x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩,计算11()d f x x -⎰的值为( )A.1eπe4 -+B.e1πe4-+C.e12πe-+D.e1πe2-+9.由直线0,,2y x e y x===及曲线2yx=所围成的封闭图形的面积为()A.3 B.32ln2+C.223e-D.e10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.4B.2 C.43D.2311.设21,[0,1]()1,[1,0)x xf xx x⎧⎪-∈=⎨+∈-⎪⎩,则11()f x dx-⎰等于()A.12π+B.122π+C.124π+D.14π+12.二维空间中圆的一维测度(周长)2l rπ=,二维测度(面积)2S rπ=,观察发现()S r l'=:三维空间中球的二维测度(表面积)24S rπ=,三维测度(体积)343V rπ=,观察发现()V r S'=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V rπ=,猜想其四维测度W=().A.224rπB.283rπC.514rπD.42rπ二、填空题13.质点运动的速度()2183/v t t m s=-,则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是______.14.120021sinx dx xdxπ--=⎰⎰______15.1321(tan sin)x x x x dx-++⎰的值为______________________16.)12111x dx--=⎰__________.17.已知函数2()2lnf x x x=-,若方程()0f x m+=在1[,]ee内有两个不等的实数根,则实数m 的取值范围是__________.18.已知等差数列{}n a 中, 225701a a x dx +=-⎰,则468a a a ++=__________.19.ππ(sin )d x x x -+=⎰________.20.已知平面区域(){}2,|04x y y x Ω=≤≤-,直线:2l y mx m =+和曲线2:4C y x =-有两个不同的交点,直线l 与曲线C 围成的平面区域为M ,向区域Ω内随机投一点A ,点A 落在区域M 内的概率为()P M ,若2(),12P M ππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则实数m 的取值范围是___________.三、解答题21.已知函数()ln 3mf x x x x=++. (1)求函数()f x 的单调区间;(2)若对任意的[]0,2m ∈,不等式()()1f x k x ≤+,对[]1,x e ∈恒成立,求实数k 的取值范围.22.已知抛物线2:2C y x x =-+,在点(0,0)A ,(2,0)B 分别作抛物线的切线12,l l .(1)求切线1l 和2l 的方程;(2)求抛物线C 与切线1l 和2l 所围成的面积S . 23.已知函数1()ln 2f x x x =-,(0,)x ∈+∞. (1)求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程. (2)求函数()f x 的单调递增区间.24.现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘,在OA 、OB 上分别取点C 、D ,作DE OA 、CF OB 分别交弧AB 于点E 、F ,且BD AC =,现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的养殖区域.已知1km OA =,2AOB π∠=,EOF θ∠=(02πθ<<).(1)若区域Ⅱ的总面积为21km 4,求θ的值; (2)若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元,试问:当θ为多少时,年总收入最大?25.已知函数()xf x xea -=-有两个零点1x , 2x .(1)求实数a 的取值范围; (2)求证: 122x x +>.26.如图,阴影部分区域是由函数cos y x =图象,直线1,y x π==围成,求这阴影部分区域面积。

(典型题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(答案解析)

(典型题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(答案解析)

一、选择题1.已知函数sin(11) ()1(12)x xf xxx-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩,则21()f x dx-=⎰( )A.ln2B.ln2-C.12-D.3cos1-2.如图,由曲线21y x=-直线0,2x x==和x轴围成的封闭图形的面积是()A.1B.23C.43D.23.22221231111,,,xS x dx S dx S e dxx===⎰⎰⎰若,则s1,s2,s3的大小关系为()A.s1<s2<s3B.s2<s1<s3C.s2<s3<s1D.s3<s2<s1 4.由23y x=-和2y x=围成的封闭图形的面积是()A.23.923-.323D.3535.定积分22[4(2)]x x dx--⎰的值为()A.24π-B.2π- C.22π- D.48π-6.曲线3y x=在点()1,1处的切线与x轴、直线2x=所围成的三角形的面积为()A.83B.73C.53D.437.等比数列{}n a中,39a=,前3项和为3230S x dx=⎰,则公比q的值是()A .1B.12-C.1或12-D.1-或12-8.已知1(31)()0ax x b dx,,a b∈R,则⋅a b的取值范围为()A.1,9B.1,1,9C .1,[1,)9D .()1,+∞9.定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积( ) A .12ln 26+ B .12ln 24+ C .1ln 24+ D .1ln 26+ 10.由直线y= x - 4,曲线y =x 轴所围成的图形面积为( )A .15B .13C .252D .40311.函数()2,02x x f x x -<⎧=≤≤,则22()f x dx -⎰的值为( )A .6π+B .2π-C .2πD .812.已知11em dx x=⎰,函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++,若()f x 在x a =-处取得极大值,则a 的取值范围是( ) A .1a < B .10a -<< C .1a >或0a <D .01a <<或0a <二、填空题13.在平面直角坐标系中,角α的始边落在x 轴的非负半轴,终边上有一点是(-,若[)0,2απ∈,则cos xdx αα-=⎰______.14.若二项式6215x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ,则21mx dx =⎰__________. 15.由直线2y x =+与曲线2y x 围成的封闭图形的面积是__________.16.已知函数()323232t f x x x x t =-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值,则实数t 的取值范围是__________.17.已知()[](]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩,则()21f x dx -=⎰______.18.定积分()12xx e dx +=⎰__________.19.若()()4112ax x -+的展开式中2x 项的系数为4,则21ae dx x=⎰________________20.曲线2yx 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.三、解答题21.已知函数f (x )=x 3+32x 2+mx 在x=1处有极小值, g (x )=f (x )﹣23x 3﹣34x 2+x ﹣alnx . (1)求函数f (x )的单调区间;(2)是否存在实数a ,对任意的x 1、x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,有1212()()1g x g x x x ->-恒成立?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.22.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到有关部门的关注,据有关统计数据显示,从上午6点到中午12点,车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出:3221362936,69844159{,91084366345,1012t t t t y t t t t t --+-≤<=+≤≤-+-<≤ 求从上午6点到中午12点,通过该路段用时最多的时刻. 23.已知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为0S . (1)求0S .(2)求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积. 24.由定积分的性质和几何意义,求出下列各式的值: (1)a-⎰;(2))10x dx ⎰.25.已知二次函数()21f x ax bx =+-在1x =-处取得极值,且在点()0,1-处的切线与直线20x y -=平行. (1)求()f x 的解析式;(2)求函数()()2g x xf x x =+的极值. 26.计算:(1)2132d x x -⎰;(2)2πsin d x x ⎰.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解,根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选:A 【点睛】本题考查积分的计算问题,关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.2.D解析:D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 3.B解析:B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点:此题主要考查定积分、比较大小,考查逻辑推理能力.4.C解析:C 【解析】试题分析:画出函数图象如下图所示,所以围成的面积为()13122333232333x x x dx x x --⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭⎰.考点:定积分. 5.B解析:B【解析】试题分析:由定积分的几何意义有22 04(2)x dx--⎰表示的是以(2,0)为圆心,半径为2的圆的14部分,而2xdx⎰表示的是直线y x=,0,2,x x x==轴所围成的面积,故22[4(2)]x x dx---⎰表示的图形如下图的阴影部分,面积为221122242ππ⨯-⨯=-.故选B.考点:1.定积分的几何意义;2.方程的化简.6.A解析:A【解析】试题分析:()'323x x=,所以切线方程为13(1),32y x y x-=-=-,所以切线与x轴、直线2x=所围成的三角形的面积()2238323S x dx=-=⎰.考点:1、切线方程;2、定积分.【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程;第二个错误是看成与y 轴围成的面积,()()22320328103232333S x dx x dx =--+-=+=⎰⎰;第三个是没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程;另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.7.C解析:C 【分析】先由微积分基本定理得到327S =,再由等比数列的求和公式以及通项公式,即可求出结果. 【详解】23312333133|2727003S x dx x a a a =⎰=⋅=∴++=,,即333227a a a q q ++=,解得1q =或1-2q =. 【点睛】本题主要考查定积分的就算,以及等比数列的公比,熟记微积分基本定理,以及等比数列的通项公式及前n 项和公式即可,属于常考题型.8.C解析:C 【分析】本题可以先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系,然后设abt ,则312t a b,再然后根据构造法得出a 、b 为方程23102t xx t 的根,最后根据判别式即可得出结果. 【详解】112(31)()(33)ax x b dx ax abx x b dx 1223331()02222abx x ab ax bx a b =+++=+++=,即3210ab a b ,设abt ,则312t a b,a 、b 为方程23102t xx t 的根,有231402t t ,解得19t 或1t ≥, 所以1,[1,)9a b,故选C .【点睛】本题考查定积分的运算法则以及构造法,能否根据被积函数的解析式得出原函数的解析式是解决本题的关键,考查韦达定理的使用,是中档题.9.B解析:B 【解析】由31x x=,得1x =±,则图象的交点为(1,1)--,(1,1) ∵()31min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∴根据对称性可得函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积为143401141111|ln |ln 42ln 201444x dx dx x x x +=+=+=+⎰⎰ 故选B10.D解析:D 【详解】根据题意,画出如图所示:由直线4y x =-,,曲线2y x =x 轴所围成的面积为:4288221402(24)(4)42322xdx x x dx x x x x +⎰+=+-+=.故选D.11.A解析:A 【分析】 先求出22()f x dx -=⎰2064x dx +-⎰,再求出204x dx π-=⎰即得解.【详解】由题得20222202222001()(2)4(2)|42f x dx x dx x dx x x x dx---=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰2264x dx=+-⎰,设24(02,0)y x x y=-<≤≥,所以22+4x y=,所以24(02,0)y x x y=-<≤≥表示圆22+4x y=在第一象限的部分(包含与坐标轴的交点),其面积为14=4ππ⨯⨯.所以24x dxπ-=⎰.所以22()6f x dxπ-=+⎰.故选:A【点睛】本题主要考查定积分的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.C解析:C【分析】利用积分求解出1m=;根据a的符号和a-与1-之间的大小关系,结合二次函数确定导函数的符号,得到()f x的单调性,符合在x a=-处()f x左增右减时的a的取值范围是满足题意的,从而得到所求范围.【详解】11ln ln ln111e edx x ex==-=⎰,即1m=则()()()1f x a x x a'=++当0a =或1a =时,()f x 不存在极值,不合题意 当0a <时(),1x ∈-∞-或(),x a ∈-+∞时,()0f x '<,此时()f x 单调递减()1,x a ∈--时,()0f x '>,此时()f x 单调递增则()f x 在x a =-处取得极大值,满足题意 当01a <<时(),1x ∈-∞-或(),x a ∈-+∞时,()0f x '>,此时()f x 单调递增 ()1,x a ∈--时,()0f x '<,此时()f x 单调递减则()f x 在x a =-处取得极小值,不满足题意 当1a >时(),x a ∈-∞-或()1,x ∈-+∞时,()0f x '>,此时()f x 单调递增(),1x a ∈--时,()0f x '<,此时()f x 单调递减则()f x 在x a =-处取得极大值,满足题意 综上所述:1a >或0a < 【点睛】本题考查根据函数的极值点和极值求解参数的取值范围问题,关键是能够根据二次函数根的分布情况确定二次函数的图象,从而得到导函数的符号,确定原函数的单调性.二、填空题13.【解析】【分析】可得再利用微积分基本定理即可得出【详解】则故答案为【点睛】本题考查了微积分基本定理三角函数求值考查了推理能力与计算能力属于基础题【解析】 【分析】tan α=[)0,2απ∈,可得2.3πα=再利用微积分基本定理即可得出. 【详解】tan α=[)0,2απ∈,23πα∴=. 则()232322cos sin |sinsin 3322xdx x αππαππ--⎛⎫⎛⎫==--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.【点睛】本题考查了微积分基本定理、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.14.【详解】二项式的展开式的通项为令所以常数项为二项式的展开式中的常数项为则故答案为【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数属于简单题二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一关于二项式定理的命 解析:263【详解】二项式6251x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式的通项为6161235r rrr T C x -+-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭,令1234r r -⇒= 所以常数项为26424511153,55C x x ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二项式62515x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3m =,则32233111126|33mx dx x dx x ===⎰⎰,故答案为263. 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数,属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展开式的通项公式1C rn r rr n T ab -+=;(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项展开式定理的应用.15.【解析】作出两条曲线所对应的封闭区域如图所示由得解得或则根据定积分的几何意义可知所示的封闭区域的面积故答案为解析:92【解析】作出两条曲线所对应的封闭区域,如图所示,由22y x y x=+⎧⎨=⎩,得22x x =+,解得1x =-或2x =,则根据定积分的几何意义可知所示的封闭区域的面积223212119(2)d 21322S x x x x x x -⎛⎫=+-=-++= ⎪-⎝⎭⎰,故答案为92.16.【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填解析:90,8⎛⎫⎪⎝⎭【解析】2()32f x tx x -'=+,由题意可得()0f x '=在()0,+∞有两个不等根,即2320tx x -+=在()0,+∞有两个不等根,所以302980tt ⎧>⎪⎨⎪∆=->⎩,解得908t <<,填90,8⎛⎫⎪⎝⎭ 17.【解析】由题意可得答案:【点睛】求定积分的题型一种是:几何方法求面积一般是圆第二种是:求用被积函数的原函数用积分公式第三种是:利用奇函数关于原点对称区间的积分为0本题考查了第一种和第二种 解析:π423+ 【解析】由题意可得()222111(1)f x dx x dx --=+-=⎰⎰2214()|2323x x ππ+-=+,答案:423π+. 【点睛】求定积分的题型,一种是:几何方法求面积,一般是圆.第二种是:求用被积函数的原函数,用积分公式,第三种是:利用奇函数关于原点对称区间的积分为0.本题考查了第一种和第二种.18.e 【解析】点睛:1求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图并将图形分割为若干个曲边梯形;(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围从而确定积分的上下限;(3)确定被积函数;(4)求出各曲边梯形的面积和即各积分解析:e 【解析】121212000(2)()|(1)(0)x x x e dx x e e e e +=+=+-+=⎰.点睛:1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图,并将图形分割为若干个曲边梯形;(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分的上、下限; (3)确定被积函数;(4)求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和.2.利用定积分求曲边图形面积时,一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时,要分不同情况讨论.19.【解析】由题意得项的系数为所以点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知展开式的某项求特定项的系数可由某项得出参数项 解析:ln51-【解析】由题意得2x项的系数为221445224,2C aC a ⋅-⨯==,所以5225152ln |ln ln ln5 1.222e e dx x e x ==-=-⎰ 点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项,再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第1r +项,由特定项得出r 值,最后求出其参数.20.【解析】由解得或∴曲线及直线的交点为和因此曲线及直线所围成的封闭图形的面积是故答案为点睛:本题考查了曲线围成的图形的面积着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识属于基础题;用定积分求平面图形解析:43【解析】由2 2y x y x⎧=⎨=⎩,解得0 0x y =⎧⎨=⎩或2 4x y =⎧⎨=⎩,∴曲线2y x =及直线2y x =的交点为()0,0O 和()2,4A 因此,曲线2y x =及直线2y x =所围成的封闭图形的面积是()222320014233S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰,故答案为43.点睛:本题考查了曲线围成的图形的面积,着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识,属于基础题;用定积分求平面图形的面积的步骤:(1)根据已知条件,作出平面图形的草图;根据图形特点,恰当选取计算公式;(2)解方程组求出每两条曲线的交点,以确定积分的上、下限;(3)具体计算定积分,求出图形的面积.三、解答题21.(1)单调增区间为(﹣∞,﹣2),(1,+∞),单调减区间为(﹣2,1);(2)72a ≤-【解析】试题分析:(1)由极值定义得f′(1)=6+m=0,解得m 值,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,确定单调区间(2)先等价转化不等式:设0<x 1<x 2,g (x 1)﹣x 1<g (x 2)﹣x 2.再构造函数h (x )=g (x )﹣x ,转化为h (x )在(0,+∞)为增函数,利用导数研究h(x)导函数恒非负的条件,即得a的取值范围试题解:(1)∵f(x)=x3+x2+mx,∴f′(x)=3x2+3x+m,∵f(x)=x3+x2+mx在x=1处有极小值,∴f′(1)=6+m=0,得m=﹣6.∴f(x)=x3+x2﹣6x,则f′(x)=3(x2+x﹣2)=3(x﹣1)(x+2).∴当x∈(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,当x∈(﹣2,1)时,f′(x)<0,则f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣2),(1,+∞),单调减区间为(﹣2,1);(2)g(x)=f(x)﹣x3﹣x2+x﹣alnx=x3+x2﹣6x﹣x3﹣x2+x﹣alnx=﹣5x﹣alnx.假设存在实数a使得对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有>1恒成立,不妨设0<x1<x2,只要g(x1)﹣g(x2)<x1﹣x2,即:g(x1)﹣x1<g(x2)﹣x2.令h(x)=g(x)﹣x,只要 h(x)在(0,+∞)为增函数即可.又函数h(x)=g(x)﹣x=,则h′(x)==.要使h'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,则需2x3+3x2﹣12x﹣2a≥0在(0,+∞)上恒成立,即2a≤2x3+3x2﹣12x.令t(x)=2x3+3x2﹣12x,则t′(x)=6x2+6x﹣12=6(x+2)(x﹣1).∴当x∈(0,1)时,t(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,t(x)单调递增,则t(x)min=t(1)=﹣7.∴2a≤﹣7,得a.∴存在实数a,对任意的x1、x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有>1恒成立.22.上午8点【解析】试题分析:分别求三段对应函数最大值,最后取三个最大值的最大值.三段分别对应三次函数、一次函数、二次函数,对应求最值方法为导数法,单调性法以及对称轴与定义区间位置关系数形结合法.试题解:①当6≤t <9时,y′=-t 2-t +36=- (t +12)(t -8). 令y′=0,得t =-12(舍去)或t =8. 当6≤t <8时,y′>0,当8<t<9时,y′<0, 故t =8时,y 有最大值,y max =18.75. ②当9≤t≤10时,y =t +是增函数,故t =10时,y max =16. ③当10<t≤12时,y =-3(t -11)2+18, 故t =11时,y max =18.综上可知,通过该路段用时最多的时刻为上午8点.23.(1)2,;(2)22π.【分析】(1)根据题意可知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为00sin S xdx π=⎰,解之即可;(2)所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为20sin V xdx ππ=⎰,根据定积分的定义解之即可.【详解】 (1)000sin cos |(cos )(cos0)112S xdx x πππ==-=---=+=⎰;(2)220011sin sin 2|(0)24242x V xdx x πππππππ⎛⎫==-=-⨯= ⎪⎝⎭⎰.【点睛】本题主要考查定积分的几何意义,意在考查灵活利用所学知识解答问题的能力,属于中档题. 24.(1)22a π;(2)142π-. 【分析】 (1)由定积分22a aa x dx 的几何意义可知,该定积分表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积,则根据圆的面积公式即可求值;(2)在同一直角坐标系内画出圆22(1)1x y -+=和直线y x =的图像,由定积分)1201(1)x x dx --⎰的几何意义可知,该定积分表示表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形的面积,【详解】 解:(1)22a aa x dx 表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积,因此2222a aa ax dxπ;(2)()1201(1)x x dx ---⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形(如图所示)的面积,因此2121111(1)=114242x x dx ππ. 【方法点睛】定积分的几何意义为曲边梯形的面积,故求定积分()d baf x x ⎰时,可考虑为函数()y f x =的图像与x 轴,以及直线x a =和x b =所围成的图形的面积.若求的是()()b af xg x dx ,则可考虑为()y f x =为上边界,()y g x =为下边界的图形位于直线x a =和x b =之间的部分的面积.25.(1)()221f x x x =+-;(2)极大值为0,极小值为427-. 【解析】 【分析】(1)先对函数()f x 求导,令()()10,02f f ''-== 可得,a b 的值,进而求出()f x 的解析式;(2)由(1)可知()()3222g x xf x x x x x =+=++,求()'g x ,通过导函数求函数()()2g x xf x x =+的极值。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(含答案解析)(3)

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一、选择题1.给出以下命题: (1)若()0haf x dx >⎰,则()0f x >;(2)20|sin |4x dx π=⎰;(3)()f x 的原函数为()F x ,且()F x 是以T 为周期的函数,则:()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为( ). A .1B .2C .3D .42.若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =,则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x :①()2cos F x x x =+, ()2sin f x x x =-;②()3sin F x x x =+, ()23cos f x x x =+,则以下说法不正确...的是( ) A .奇函数的导函数一定是偶函数 B .偶函数的导函数一定是奇函数 C .奇函数的原函数一定是偶函数 D .偶函数的原函数一定是奇函数 3.若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =( ) A .2- B .1- C .0 D .14.设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰,((1))1f f =,则a 的值是( ) A .-1 B .2 C .1 D .-25.曲线22y x x =-与直线11x x =-=,以及x 轴所围图形的面积为( ) A .2 B .83 C .43 D .236.曲线与两坐标轴所围成图形的面积为( ) A . B .C .D .7.若在R 上可导,,则( )A .B .C .D .8.121(1)x x dx --=⎰( )A .1π+B .1π-C .πD .2π9.已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于( )A .1B .2C .3D .410.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .4B .2C .43D .2311.设21,[0,1]()1,[1,0)x x f x x x ⎧⎪-∈=⎨+∈-⎪⎩,则11()f x dx -⎰等于( ) A .12π+B .122π+ C .124π+ D .14π+12.二维空间中圆的一维测度(周长)2l r π=,二维测度(面积)2S r π=,观察发现()S r l '=:三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=,三维测度(体积)343V r π=,观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=,猜想其四维测度W =( ). A .224r πB .283r πC .514r πD .42r π二、填空题13.由直线2x y +=,曲线2y x =所围成的图形面积是________14.由曲线x y e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于________. 15.由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.16.(1||214x ex dx --=⎰__________________17.已知()[](]221,1,11,1,2x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩,则()21f x dx -=⎰______. 18.已知(12111,a x dx -=-⎰则932a x x π⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的各项系数和为________19.曲线2y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积为________.20.已知平面区域(){,|0x y y Ω=≤≤,直线:2l y mx m =+和曲线:C y =有两个不同的交点,直线l 与曲线C 围成的平面区域为M ,向区域Ω内随机投一点A ,点A 落在区域M 内的概率为()P M ,若2(),12P M ππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则实数m 的取值范围是___________.三、解答题21.已知函数f (x )=x 3+32x 2+mx 在x=1处有极小值, g (x )=f (x )﹣23x 3﹣34x 2+x ﹣alnx . (1)求函数f (x )的单调区间;(2)是否存在实数a ,对任意的x 1、x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,有1212()()1g x g x x x ->-恒成立?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.22.为了降低能源消耗,某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为4万元,又知该冷库每年的能源消耗费用c (单位:万元)与隔热层厚度x (单位:cm )满足关系()(010)25kc x x x =≤≤+,若不建隔热层,每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k 的值及()f x 的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用()f x 达到最小?并求最小值.23.已知321()2f x x x ax =+-. (Ⅰ)当4a =时,求()f x 的极值;(Ⅱ)若()f x 在()1,3上不单调,求实数a 的取值范围.24.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到有关部门的关注,据有关统计数据显示,从上午6点到中午12点,车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出:3221362936,69844159{,91084366345,1012t t t t y t t t t t --+-≤<=+≤≤-+-<≤ 求从上午6点到中午12点,通过该路段用时最多的时刻.25.计算由直线4,y x =-曲线y =x 轴所围图形的面积S 。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(包含答案解析)(1)

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1.222024xdx x dx +-=⎰⎰( )A .2π B .12π+ C .4π D .π2.324xdx -=⎰( )A .213 B .223 C .233 D .2533.已知10(31)()0ax x b dx ,,a b ∈R ,则⋅a b 的取值范围为( )A .1,9B .1,1,9C .1,[1,)9D .()1,+∞4.曲线22,y x y x ==所围成图形的面积是( ) A .1B .13C .12D .235.设曲线e xy x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A .2e 2e 14e --B .2e 2e 4e -C .2e e 14e --D .2e 14e-6.等比数列{}n a 中,39a =前三项和为32303S x dx =⎰,则公比的值是( )A .1B .12-C .1或12-D .-1或12-7.一物体在力F (x )=3x 2-2x +5(力单位:N ,位移单位:m)作用力下,沿与力F (x )相同的方向由x =5 m 直线运动到x =10 m 处做的功是( ). A .925 JB .850 JC .825 JD .800 J8.已知函数()[](]2sin ,,01,0,1x x f x x x π⎧∈-=⎨-∈⎪⎩,则()1f x dx π-=⎰( ) A .2π+ B .2πC .22π-+D .24π-9.函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上( )A .有最大值0,无最小值B .有最大值0,最小值323-C .最小值323-,无最大值 D .既无最大值,也无最小值10.定积分()22x ex dx +⎰的值为( )A .1B .2eC .23e +D .24e +11.由曲线4y x =,1y x=,2x =围成的封闭图形的面积为( ) A .172ln 22- B .152ln 22- C .15+2ln 22D .17+2ln 2212.若函数f (x )=cos x +2xf ′π()6,则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A .f π()3-=f π()3B .f π()3->f π()3 C .f π()3-<f π()3D .不确定二、填空题13.由函数()ln f x x x x =-的图像在点(,())P e f e 处的切线,l 直线1x e -=直线x e =(其中e 是自然对数的底数)及曲线ln y x =所围成的曲边四边形(如图中的阴影部分)的面积S =_________.14.若2211S x dx =⎰,2211S dx x=⎰,231x S e dx =⎰,则1S ,2S ,3S 的大小关系为___. 15.计算)2204(2)x x dx --⎰=_____.16.曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______.17.设函数2()f x ax b =+(0a ≠),若300()3()f x dx f x =⎰,00x >,则0x =__________.18.若定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x 都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+,则称函数()f x 为“z 函数”.给出下列四个定义在()0,+∞的函数:①31y x =-+;②2sinx-cosx y x =+;③,0{0,0ln x x y x ≠==;④224,0{,0x x x y x x x +≥=-+<,其中“z 函数”对应的序号为__________.19.由直线0x =, 23x π=,0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于________. 20.()402sin cos 2x a x dx π-=-⎰,则实数a =____________. 三、解答题21.函数()ln ,kf x x k R x=+∈.若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直,求()f x 的单调递减区间和极小值(其中e 为自然对数的底数).22.求曲线y x =,2y x =-,13y x =-所围成图形的面积.23.(2015秋•钦州校级期末)求曲线y=sinx 与直线,,y=0所围成的平面图形的面积.24.已知抛物线2:2C y x x =-+,在点(0,0)A ,(2,0)B 分别作抛物线的切线12,l l .(1)求切线1l 和2l 的方程;(2)求抛物线C 与切线1l 和2l 所围成的面积S . 25.设是二次函数,方程有两个相等的实根,且()22f x x =+'(1)求()y f x =的表达式;(2)求()y f x =的图像与两坐标轴所围成图形的面积26.已知二次函数()21f x ax bx =+-在1x =-处取得极值,且在点()0,1-处的切线与直线20x y -=平行. (1)求()f x 的解析式;(2)求函数()()2g x xf x x =+的极值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】分别根据积分的运算法则和几何意义求得两个积分的值,进而得到结果. 【详解】22200112xdx x ==⎰ 2224x dx -⎰表示下图所示的阴影部分的面积S2OA =,2OC =4AOC π∴∠=12221422S ππ∴=⨯-=- 2220241122x dx ππ+-∴=+-=⎰故选:A 【点睛】本题考查积分的求解问题,涉及到积分的运算法则和几何意义的应用.2.C解析:C【解析】试题分析:画出函数图象如下图所示,可知()()323222002882344489128333x dx x dx x dx ⎛⎫-=-+-=-+--+=⎪⎝⎭⎰⎰⎰.考点:定积分的几何意义.3.C解析:C 【分析】本题可以先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系,然后设abt ,则312t a b,再然后根据构造法得出a 、b 为方程23102t xx t 的根,最后根据判别式即可得出结果. 【详解】112(31)()(33)ax x b dx ax abx x b dx 12230331()02222abx x ab ax bx a b =+++=+++=, 即3210ab a b ,设abt ,则312t a b,a 、b 为方程23102t xx t 的根,有231402t t ,解得19t 或1t ≥, 所以1,[1,)9a b ,故选C .【点睛】本题考查定积分的运算法则以及构造法,能否根据被积函数的解析式得出原函数的解析式是解决本题的关键,考查韦达定理的使用,是中档题.4.B解析:B 【分析】由题意,可作出两个函数y x =2yx 的图象,先求出两函数图象交点A 的坐标,根据图象确定出被积函数2 x x -与积分区间[0,1],计算出定积分的值即可. 【详解】 作出如图的图象联立22y x y x⎧=⎨=⎩ 解得0 0x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩,即点()11A ,, 所求面积为()13231202121133333S x x dx x x ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰, 故选B. 【点睛】本题考点是定积分在求面积中的应用,考查了作图的能力及利用积分求面积,解题的关键是确定出被积函数与积分区间,熟练掌握积分的运算.5.D解析:D 【详解】曲线e x y x =-及直线0y =所围成封闭图形的面积()1211112xx S e x dx e x -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎰阴影=1e e --;而不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定区域的面积22 4.S =⨯=所以该点落在区域D 内的概率1S 4S e e P --==阴影=2e 14e-.故选D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何意义及“面积型”的几何概型,属于中档题.解决几何概型问题常见类型有:长度型、角度型、面积型、体积型,求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积;几何概型问题还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误;(2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误;(3)利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.6.C解析:C 【解析】由题意得3330|27S x ==. ①当q ≠1时,则有313231(1)2719a q S q a a q ⎧-==⎪-⎨⎪==⎩,解得12q =-或1q =(舍去).②当q =1时,a 3=a 2=a 1=9,故S 3=27,符合题意. 综上12q =-或1q =.选C . 点睛:在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对1q =与1q ≠分类讨论,防止因忽略1q = 这一特殊情况而导致解题失误.7.C解析:C 【解析】W =105⎰F (x )d x =105⎰(3x 2-2x +5)d x =(x 3-x 2+5x )105=(1 000-100+50)-(125-25+25)=825(J).选C.8.D解析:D 【解析】()10sin f x dx xdx ππ--=+⎰⎰⎰,0sin cos |2xd x ππ--=-=-⎰,⎰的几何意义是以原点为圆心,半径为1的圆的面积的14,故()11,244f x dx πππ-=∴=-⎰,故选D.9.B解析:B 【分析】根据定积分的运算,可得321()23f x x x =-,再利用导数求得()f x 的单调性和极值,检验端点值,即可得答案.【详解】由题意,函数3232011()(4)2233xxf x t t dt t t x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰,则2()4(4)f x x x x x '=-=-,当[1,0)x ∈-时,()0f x '>,()f x 单调递增; 当(0,4)x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减; 当(4,5]x ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增; 又由7(1)3f -=-,(0)0f =,32(4)3f =-,25(5)3f =-, 所以函数()f x 的最大值为0,最小值为323-. 故选:B . 【点睛】本题考查定积分的运算,利用导数求函数的最值问题,考查分析理解,求值化简的能力,属中档题.10.C解析:C 【解析】 【分析】根据微积分基本定理,计算出定积分. 【详解】()222020222430x xe x dx e x e e e +=+=-+=+⎰.故选C.【点睛】本小题主要考查利用微积分基本定理,计算定积分.11.B解析:B 【解析】 【分析】联立方程组,确定被积区间和被积函数,得出曲边形的面积2121(4)S x dx x=-⎰,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩,解得12x =,所以曲线4y x =,1y x=,2x =围成的封闭图形的面积为 22222112211115(4)(2ln )|(22ln 2)[2()ln ]2ln 2222S x dx x x x =-=-=⨯--⨯-=-⎰, 故选B . 【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积,其中解答中根据题意求解交点的坐标,确定被积分区间和被积函数,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.12.C解析:C 【解析】依题意得f′(x)=-sin x +2f′π()6 ,所以f′π()6=-sin π()6+2f′π()6,f′π()6=,f′(x)=-sin x +1,因为当x ∈ππ(,)22-时,f′(x)>0,所以f(x)=cos x +x 在ππ(,)22-上是增函数,所以f π3⎛⎫-⎪⎝⎭<f π3⎛⎫⎪⎝⎭,选C. 二、填空题13.【分析】利用导数求得切线的方程利用定积分计算出阴影部分的面积【详解】所以切线的方程为:故阴影部分面积为故答案为:【点睛】本小题主要考查切线方程的计算考查定积分计算面积属于中档题解析:2221122e e e++-【分析】利用导数求得切线l 的方程,利用定积分计算出阴影部分的面积. 【详解】()()()''ln ,ln 1,0f x x f e e f e e e ====-=,所以切线l 的方程为:y x e =-.故阴影部分面积为()2111ln ln |2eeeex x e dx x x x x ex ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭⎰2221111111ln ln 22e e e e e e e e e e e ⎡⎤⎛⎫=--⋅+---+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦22121122e e e ⎡⎤=⋅---+⎢⎥⎣⎦2221122e e e++-=.故答案为:2221122e e e++-【点睛】本小题主要考查切线方程的计算,考查定积分计算面积,属于中档题.14.【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分再比较它们的大小即可【详解】故答案为:【点睛】本小题主要考查定积分的计算不等式的大小比较等基础知识考查运算求解能力属于中档题 解析:213S S S <<【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分,再比较它们的大小即可. 【详解】22321111733S x dx x ===⎰ 2221112S dx lnx ln x===⎰222311|x x S e dx e e e ===-⎰2723ln e e <<- 213S S S ∴<<故答案为:213S S S << 【点睛】本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.15.【分析】根据定积分的几何意义求得由定积分的计算公式求得再根据定积分的性质即可求解【详解】由定积分的性质可得根据定积分的几何意义可知表示的面积即半径为的一个个圆的面积所以又由所以【点睛】本题主要考查了 解析:2π-【分析】根据定积分的几何意义求得π=⎰,由定积分的计算公式,求得22xdx =⎰,再根据定积分的性质,即可求解.【详解】由定积分的性质可得)22x dx xdx =-⎰⎰⎰,根据定积分的几何意义,可知⎰表示22(2)4(02,0)x y x y -+=<<≥的面积,即半径为2的一个14个圆的面积,所以222014(2)24x dx ππ--=⨯=⎰, 又由222001|22xdx x ==⎰,所以()2204(2)2x x dx π---=-⎰,【点睛】本题主要考查了定积分的计算,以及定积分的几何意义的应用,其中熟记定积分的计算和定积分的几何意义是解答本题的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.16.【分析】首先求得两个函数交点的坐标然后利用定积分求得封闭图形的面积【详解】根据解得画出图像如下图所示封闭图像的面积为【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积考查运算求解能力属于基础题解题过程解析:16【分析】首先求得两个函数交点的坐标,然后利用定积分求得封闭图形的面积. 【详解】根据2y x y x ⎧=⎨=⎩解得()()0,01,1,.画出图像如下图所示,封闭图像的面积为()12x x dx -⎰2310111|23236x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积,考查运算求解能力,属于基础题.解题过程中首先求得两个函数图像的交点坐标,然后画出图像,判断出所要求面积的区域,然后利用微积分基本定理求得封闭图形的面积.17.【解析】=9a+3b 则9a+3b=3a+3b ∴=3解得:=故答案为【解析】()2f x ax b =+,()()3003f x dx f x =⎰,()323031dx bx 03ax b ax ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰=9a +3b ,则9a +3b =3a 2x ︒+3b , ∴2x ︒=3,解得:0x18.②④【解析】函数在上单调递增①②③为单调递减④单调递增;单调递增;且所以为单调递增选②④解析:②④【解析】()()()()()()()()1122122112120x f x x f x x f x x f x x x f x f x +>+⇔-->⇔函数()f x 在R 上单调递增.①230y x =-'≤,②π2cos sin 204y x x x ⎛⎫=++=++> ⎪⎝⎭',③()0,ln x y x <=-为单调递减, ④20,4x y x x ≥=+单调递增; 20,x y x x <=-+单调递增;且220,4x y x x x x ==+=-+,所以224,0{,0x x x y x x x +≥=-+<为单调递增,选②④ 19.【解析】试题分析:由定积分的几何意义可知所求面积为考点:定积分的几何意义 解析:3【解析】试题分析:由定积分的几何意义可知所求面积为223302sin 2cos |123S xdx x ππ==-=+=⎰.考点:定积分的几何意义.20.【分析】直接根据定积分的运算法则再分别计算定积分解得的值【详解】根据定积分的运算法则所以解得故答案为【点睛】本题主要考查了定积分的求解涉及正弦函数和余弦函数的定积分和积分运算法则的应用属于基础题【分析】直接根据定积分的运算法则,()4440sin cos sin cos πππx a x dx xdx a xdx -=-⎰⎰⎰,再分别计算定积分,解得a 的值. 【详解】根据定积分的运算法则,()4440sin cos sin cos πππx a x dx xdx a xdx -=-⎰⎰⎰440sin 1cosxa xππ=--⋅==所以102a -=,解得a =【点睛】本题主要考查了定积分的求解,涉及正弦函数和余弦函数的定积分和积分运算法则的应用,属于基础题.三、解答题21. 故()f x 的单调递减区间为()0,e ,极小值为2. 【解析】试题分析:(1)由切线与20x -=垂直,可知切的斜率为0,对()f x 求导,()0f e '=,代入可求得k 。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(答案解析)(1)

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(答案解析)(1)

一、选择题1.设113a x dx -=⎰,1121b x dx =-⎰,130c x dx =⎰则a ,b ,c 的大小关系( )A .a>b>cB .b>a>cC .a>c>bD .b>c>a2.如图,矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--,正弦曲线f xsinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ,向矩形ABCD 区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是( )A .B .C .D .3.已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A .8 B .6 C .4 D .24.由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为( ) A .52 B .4 C .2 D .925.曲线22y x x =-与直线11x x =-=,以及x 轴所围图形的面积为( ) A .2 B .83 C .43 D .236.121(1)x x dx --=⎰( )A .1π+B .1π-C .πD .2π7.曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 A 3B .23C .π23-D π338.=( )A .4B .1C .4πD .3π9.20sin xdx π=⎰( )A .4B .2C .-2D .010.已知11em dx x=⎰,函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++,若()f x 在x a =-处取得极大值,则a 的取值范围是( ) A .1a < B .10a -<< C .1a >或0a < D .01a <<或0a <11.由曲线4y x =,1y x=,2x =围成的封闭图形的面积为( ) A .172ln 22- B .152ln 22- C .15+2ln 22D .17+2ln 2212.若函数f (x )=cos x +2xf ′π()6,则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A .f π()3-=f π()3B .f π()3->f π()3 C .f π()3-<f π()3D .不确定二、填空题13.设函数2y nx n =-+和1122y x n =-+(*n N ∈,2n ≥)的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ,则lim n n S →∞=________ 14.由曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为__________. 15.由曲线x y e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于________.16.)102x dx =⎰__________.17.由3x π=-,3x π=,0y =,cos y x =四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________. 18.定积分211(2)x dx x+⎰的值为_____ .19.函数()xf x e x =-在[-1,1]上的最小值__________.20.()40sin cos 2x a x dx π-=⎰,则实数a =____________. 三、解答题21.已知函数2()ln f x x a x =-(a R ∈),()F x bx =(b R ∈). (1)讨论()f x 的单调性;(2)设2a =,()()()g x f x F x =+,若12,x x (120x x <<)是()g x 的两个零点,且1202x x x +=, 试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行?请说明理由. 22.已知函数()3812f x x x =+-. (1)求()f x 的单调区间;(2)求函数()y f x =的极大值和极小值. 23.(1)求曲线2y x和曲线y =(2︒.24.有一动点P 沿x 轴运动,在时刻t 的速度为v (t )=8t-2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致). (1)P 从原点出发,当t=6时,求点P 运动的路程; (2)P 从原点出发,经过时间t 后又返回原点,求t 的值. 25.已知()()21ln 12f x x a x ax =-++,a ∈R . (1)若1a =,求()f x 在()()22f ,处的切线方程; (2)讨论()f x 的单调性;(3)设1x ,()212x x x <是()f x 的两个极值点,若2a ≥,求()()12f x f x -的最小值. 26.已知函数()ln mf x x x=+()m R ∈. (1)若函数()f x 的图象与直线240x y +-=相切,求m 的值; (2)求()f x 在区间[]1,2上的最小值;(3)若函数()f x 有两个不同的零点1x , 2x ,试求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【解析】借助定积分的计算公式可算得1121330033|22a x dx x -===⎰,1131220022111|1333b x dx x =-=-=-=⎰,13410011|44c x dx x ===⎰,所以a b c >>,应选答案A 。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)(5)

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)(5)

一、选择题1.给出下列函数:①())ln f x x =;②()3cos f x x x =;③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是( )A .①②B .①③C .②③D .①②③2.已知71()x x +展开式中,5x 的系数为a ,则62axdx =⎰( )A .10B .11C .12D .133.=( )A .12πB.128π+C.68π+ D.64π+4.已知函数2(1),10()01x x f x x ⎧+-≤≤⎪=<≤则11()d f x x -=⎰( ) A .3812π- B .4312π+ C .44π+ D .4312π-+ 5.给出以下命题: (1)若()0haf x dx >⎰,则()0f x >;(2)20|sin |4x dx π=⎰;(3)()f x 的原函数为()F x ,且()F x 是以T 为周期的函数,则:()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为( ). A .1B .2C .3D .46.若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+,则n 的值是( ) A .1 B .2 C .4 D .37.若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =,则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x :①()2cos F x x x =+, ()2sin f x x x =-;②()3sin F x x x =+, ()23cos f x x x =+,则以下说法不正确...的是( ) A .奇函数的导函数一定是偶函数 B .偶函数的导函数一定是奇函数 C .奇函数的原函数一定是偶函数 D .偶函数的原函数一定是奇函数 8.已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为:A .2π5B .32C .43D .π29.如图,矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--,正弦曲线f xsinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ,向矩形ABCD 区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是( )A .B .C .D .10.如图,设D 是途中边长分别为1和2的矩形区域,E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的阴影部分区域,则阴影部分E 的面积为( )A .ln 2B .1ln 2-C .2ln 2-D .1ln 2+11.设函数2e ,10()1,01x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩,计算11()d f x x -⎰的值为( ) A .1e πe 4-+ B .e 1πe 4-+ C .e 12πe - D .e 1πe 2-+ 12.()211x dx --=⎰( )A .1B .4πC .2π D .π二、填空题13.021214edx x dx x-+-=⎰⎰______________.14.由曲线2y x=,直线y =2x ,x =2所围成的封闭的图形面积为______. 15.若二项式62515x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ,则21mx dx =⎰__________. 16.由直线2y x =+与曲线2yx 围成的封闭图形的面积是__________.17.1202x xdx -+=⎰__________18.设函数2()f x ax b =+(0a ≠),若300()3()f x dx f x =⎰,00x >,则0x =__________.19.计算()2224x x dx -+-⎰得__________.20.ππ(sin )d x x x -+=⎰________.三、解答题21.计算曲线223y x x =-+与直线3yx所围图形的面积.22.如图所示,抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地,现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地,其中A 、B 在抛物线上,C 、D 在x 轴上 已知工业用地每单位面积价值为3a 元()0a >,其它的三个边角地块每单位面积价值a 元.(Ⅰ)求等待开垦土地的面积;(Ⅱ)如何确定点C 的位置,才能使得整块土地总价值最大. 23.计算: (1)781010C C +; (2)222(24)x x dx --⎰.24.设()y f x =是二次函数,方程()0f x =有两个相等的实根,且()22f x x '=+. (1)求()y f x =的表达式;(2)若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t 的值.25.已知函数f (x )=3sin2x cos 2x +cos 22x +m 的图象过点(56π,0). (1)求实数m 值以及函数f (x )的单调递减区间; (2)设y=f (x )的图象与x 轴、y 轴及直线x=t (0<t <23π)所围成的曲边四边形面积为S ,求S 关于t 的函数S (t )的解析式.26.设函数()ln h x x x =,()()()h x a h x f x x a+-=+,其中a 为非零实数.(1)当1a =时,求()f x 的极值;(2)是否存在a 使得()f x a ≤恒成立?若存在,求a 的取值范围,若不存在请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数,根据奇函数和定积分的性质,判断①②;利用反证法,结合定积分的性质,判断③. 【详解】对①,()f x 的定义域为R2212()ln(1)ln(1)ln(1)()f x x x x x x x f x --=+=+=-+=-即函数()f x 为奇函数,则0a ∃>使得()0aa f x dx -=⎰对②,()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-,即函数()f x 为奇函数,则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③,若0a ∃>,使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aax x a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰,解得0a =,与0a >矛盾,则③不满足 故选:A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用,属于中档题.2.D解析:D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =,从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中,得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令725r -=,解得1r =,所以5x 的系数为177C =,即7a =.所以7267662213axdx xdx x===⎰⎰.故选:D 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,求定积分的值,属于中档题.3.B解析:B 【分析】令y =()2210x y y +=≥,点(),x y 的轨迹表示半圆,则该积分表示该半圆与y 轴,12x =,x 轴围成的曲边梯形的面积,求出面积即可. 【详解】解:令y =()2210x y y +=≥,点(),x y 的轨迹表示半圆,表示以原点为圆心,2为半径的圆的上半圆与y 轴,12x =,x 轴围成的曲边梯形的面积,如图:故12201131311222612OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选:B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义,属基础题.4.B解析:B 【分析】根据积分的性质将所求积分化为()22111x dx x dx -++-⎰⎰,根据微积分基本定理和定积分的求法可求得结果. 【详解】()()0022321100011112100101111333x dx x x dx x x x --+=++=++=++-++=---⎰⎰, 201x dx -⎰表示以原点为圆心,1为半径的圆在第一象限中的部分的面积,214x dx π∴-=⎰,()()12211143113412f x dx x dx x dx ππ--+∴=++-=+=⎰⎰⎰.故选:B . 【点睛】本题考查积分的求解问题,涉及到积分的性质、微积分基本定理和定积分的求解等知识,属于基础题.5.B解析:B 【分析】(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰;故()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰;(3)正确.所以正确命题的个数为2, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.6.A解析:A【解析】由题意,得()13ln32n x f x nx-=++', ()13ln3233ln3f n =++=+',所以1n =;故选A.7.D解析:D【解析】由①,()()()(),,F x F x f x f x -=-=-∴B,C正确; 由②,()(),F x F x -=- ()(),f x f x -=∴A 正确,D 项,偶函数的原函数不一定是奇函数,比如()()233cos sin 1f x x x F x x x =+=++的原函数可以为,此时F(x)为非奇非偶函数,所以D错误,故选D.8.C解析:C 【解析】试题分析:由图像可知函数解析式为()21f x x =-+∴由定积分的几何意义可知面积()12311111141|113333S x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 考点:定积分及其几何意义9.B解析:B 【解析】试题分析:阴影部分的面积()044sin cos (cos sin )|1S x x dx x x ππππ=-=--=+⎰由几何概型可知:向矩形ABCD 区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是0=2ABCDS P S π=矩形 ,故选B . 考点:几何概型.10.D解析:D 【解析】试题分析:由题意,阴影部分E 由两部分组成,因为函数1(0),y x x=>当2y =时,1,2x =所以阴影部分E 的面积为1111221121ln |1ln 2,2dx x x ⨯+=+=+⎰故选D . 考点:利用定积分在曲边形的面积.11.B解析:B 【解析】因为函数e ,10()1x x f x x ⎧-≤≤⎪=<≤,所以10110()d e d x f x x x x --=+⎰⎰,其中01101e 1e d e e e 11e e xxx ---==-=-=-⎰,0x 表示圆221x y +=在第一象限的面积,即π4x =,所以11e 1π()d e 4f x x --=+⎰,故选B .12.B解析:B 【分析】令0)y y =≥,它表示以(1,0)为圆心,以1为半径的圆的上半圆,再利用定积分的几何意义求解即可. 【详解】令21(1),0y x y =--∴≥, 所以22(1)1x y -+=,(0)y ≥,它表示以(1,0)为圆心,以1为半径的圆的上半圆,如图所示,()211x dx --⎰表示由0,10x x y ===,和半圆围成的曲边梯形的面积,即14个圆的面积. 由题得14个圆的面积为211=44ππ⨯⨯.由定积分的几何意义得()211x dx --=⎰4π.故选:B. 【点睛】本题主要考查定积分的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13.【分析】根据以及定积分的几何意义可得答案【详解】因为表示的是圆在x 轴及其上方的面积所以所以=故答案为:【点睛】本题考查了定积分的计算考查了定积分的几何意义属于基础题 解析:21π+【分析】根据1(ln )x x'=以及定积分的几何意义可得答案. 【详解】11edx x⎰=ln 1e x ln ln1101e =-=-=,因为224x dx --⎰表示的是圆224x y +=在x 轴及其上方的面积,所以224x dx --⎰21222ππ=⨯⨯=,所以11edx x ⎰2224x dx -+-⎰=12π+. 故答案为:21π+.【点睛】本题考查了定积分的计算,考查了定积分的几何意义,属于基础题.14.3-2ln2【分析】求出曲线直线y=2x 的交点坐标根据定积分的几何意义列式即可求解【详解】依题意联立方程组解得所以封闭的图形面积为=(x2-2lnx )=3-2ln2故答案为:3-2n2【点睛】本题考解析:3-2ln2 【分析】 求出曲线2y x=,直线y=2x 的交点坐标,根据定积分的几何意义列式,即可求解. 【详解】依题意,联立方程组22y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩, 所以封闭的图形面积为212(2)x dx x -⎰=(x 2-2lnx )21=3-2ln2.故答案为:3-2n2.【点睛】本题考查了定积分的几何意义,定积分的求法,其中解答中确定定积分式,准确运算是解答的关键,着重考查数形结合思想,以及计算能力,属于基础题.15.【详解】二项式的展开式的通项为令所以常数项为二项式的展开式中的常数项为则故答案为【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数属于简单题二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一关于二项式定理的命 解析:263【详解】二项式62515x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式的通项为61612355r rrr T C x -+-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭,令1234r r -⇒= 所以常数项为26424511153,55C x x ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二项式62515x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3m =,则32233111126|33mx dx x dx x ===⎰⎰,故答案为263. 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数,属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展开式的通项公式1C rn r rr n T ab -+=;(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项展开式定理的应用.16.【解析】作出两条曲线所对应的封闭区域如图所示由得解得或则根据定积分的几何意义可知所示的封闭区域的面积故答案为解析:92【解析】作出两条曲线所对应的封闭区域,如图所示,由22y x y x=+⎧⎨=⎩,得22x x =+,解得1x =-或2x =,则根据定积分的几何意义可知所示的封闭区域的面积223212119(2)d 21322S x x x x x x -⎛⎫=+-=-++= ⎪-⎝⎭⎰,故答案为92.17.【解析】表示以(10)为圆心1为半径的圆的个圆的面积所以π×12=;故答案为:解析:4π【解析】202x xdx -+⎰表示以(1,0)为圆心,1为半径的圆的14个圆的面积,所以14π×12=4π;故答案为:4π 18.【解析】=9a+3b 则9a+3b=3a+3b ∴=3解得:=故答案为【解析】()2f x ax b =+,()()3003f x dx f x =⎰,()323031dx bx 03ax b ax ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰=9a +3b ,则9a +3b =3a 2x ︒+3b , ∴2x ︒=3,解得:0x19.【解析】分析:根据定积分的定义分别和求和即可详解:表示以(00)为圆心以2为半径的半径故故答案为点睛:求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)可操作性不强(2)利用微积分基本定理求定积分(解析:2π. 【解析】分析:根据定积分的定义分别221dx -⎰和2-⎰,求和即可.详解:2-⎰表示以(0,0)为圆心,以2为半径的半径.故22π-=⎰∴(2222222211|242dx dx x ππ----=+=+=+⎰⎰.故答案为42π+. 点睛:求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强. (2)利用微积分基本定理求定积分.(3)利用定积分的几何意义求定积分.当曲边梯形面积易求时,可通过求曲边梯形的面积求定积分.20.0【解析】试题分析:方法一:故填方法二:由于定积分性质可知对于奇函数若积分对应的区间关于原点对称那么积分的结果一定为(通过图像也可以判别)故填考点:定积分运算解析:0 【解析】试题分析:方法一:()()()222sin cos |cos cos 0222x x x x x dx x ππππππππ==-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪+=-=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰,故填0. 方法二:由于定积分性质可知,对于奇函数,若积分对应的区间关于原点对称,那么积分的结果一定为0(通过图像也可以判别),故填0. 考点:定积分运算.三、解答题21.92. 【解析】 【详解】试题分析:利用定积分计算曲线所围成面积,先画出图象,再找到图象交点的横坐标,然后写出定积分式子,注意被积函数为上方的图象对应的函数减图象在下方的函数. 试题 由23{23y x y x x =+=-+解得03x x ==及.从而所求图形的面积332200[(3)(23)](3)S x x x dx x x dx =+--+=-+⎰⎰3230139=|322x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. 考点:定积分. 22.(1)43;(2)点C 的坐标为.【详解】试题分析:(1)由于等待开垦土地是由曲线21y x =-与x 轴围成的,求出曲线与x 轴的交点坐标,再用定积分就可求出此块土地的面积;(2)既然要确定点C 的位置,使得整块土地总价值最大,那我们只需先设出点C 的坐标为(x ,0),然后含x 的代数式表示出矩形地块ABCD ,进而结合(1)的结果就可表示出其它的三个边角地块的面积,从而就能将整块土地总价值表示成为x 的函数,再利用导数求此函数的最大值即可. 试题(1)由于曲线21y x =-与x 轴的交点坐标为(-1,0)和(1,0),所以所求面积S=1231114(1)()|133x dx x x --=-=-⎰,故等待开垦土地的面积为43(2)设点C 的坐标为(,0)x ,则点B 2(,1)x x -其中01x <<, ∴22(1)ABCD S x x =- ∴土地总价值由2'4(13y a x =-)=0得33(33x x ==-或者舍去)并且当303x <<时,3'0,1'03y x y ><<<当时,故当33x =时,y 取得最大值. 答:当点C 的坐标为时,整个地块的总价值最大.考点:1.定积分;2.函数的最值. 23.(1)165(2)2π 【分析】(1)直接根据组合数公式计算即可;(2)直接利用牛顿—莱布尼茨公式,定积分的几何意义计算即可. 【详解】(1)78831010111111109165321C C C C ⨯⨯===⨯⨯+=.(2)(22222222424x x dx xdx x dx ----=+-⎰⎰⎰,其中222222|440xdx x --==-=⎰,224x dx --⎰表示的是半径为2的圆的面积的12,即2242x dx π--=⎰,所以(22224022x x dx ππ--=+=⎰.【点睛】本题考查组合数公式的计算,定积分的计算,解题的关键是理解定积分的几何意义,考查学生的运算能力,属于基础题.24.(1)2(1)2f x x x =++;(2)1312t -=-. 【分析】(1)由已知设2()(0)f x ax bx c a =++≠,由'()22f x x =+,求出,a b 的值,由()0f x =有两个相等实根有0∆=,求出c 的值,得出()y f x =的表达式;(2)由题意有()()2212121ttxx dx x x dx ---++=++⎰⎰,解方程求出t 的值.【详解】(1)设()()20f x ax bx c a =++≠,则()2f x ax b '=+.由已知()22f x x '=+,得1a =,2b =.()22f x x x c ∴=++.又方程220x x c ++=有两个相等的实数根,440c ∴∆=-=,即1c =.故()221f x x x =++;(2)依题意,得()()2212121tt xx dx x x dx ---++=++⎰⎰,3232011133t tx x x x x x ---⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,整理,得3226610t t t -+-=,即()32110t -+=,1t ∴= 25.(1)12m =-,单调递减区间是42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z ;(2)2()sin())33s t t t ππ=-<<.【分析】(1)利用二倍角的正弦和余弦公式降幂,化为y=162sin x m π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的形式,把点(56π,0)代入函数解析式求得m 的值,再代入函数解析式后利用复合函数的单调性求得函数f (x )的单调递减区间;(2)对(1)中所求函数f (x )求0到t 上的积分,即求被积函数f (x )的原函数,代入积分上限和下限后作差得答案. 【详解】(1)f (x )2x cos 2x +cos 22x +m=1122cosx m +++ =162sin x m π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭.∵f (x )的图象过点(56π,0), ∴510662sin m ππ⎛⎫+++=⎪⎝⎭,解得12m =-.∴f (x )=6sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 由322262k x k πππππ+≤+≤+,得42233k x k ππππ+≤≤+,k ∈Z . 故f (x )的单调递减区间是42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z ;(2)由(1)得,f (x )=122sinx cosx +.∴012t S cosx dx ⎫=⎰+⎪⎪⎝⎭=01|2t sinx ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=110022sint sin ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=3sin t π⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴()3S t sin t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(203t π<<). 【点睛】本题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.26.(1)()f x 有极大值(1)ln 2f =,无极小值;(2)见解析. 【解析】试题分析:(1)由题意,利用导数法进行求解,通过导数研究函数()f x 的单调性,从而求出该函数的极值,问题得于解决;(2)由题意,可将问题转化为()max f x a ≤,利用导数法,对参数a 进行分段讨论()f x '的符号,经过逐层深入研究,由此求出函数()f x 的最大值,从而问题得于解决. 试题(1)∵()()ln ln x f x x a x x a =+-+ ()ln 1ln a x a x x a=+--+, ∴()()21'ln 1a f x x x a x a =--++ ()21ln a ax x a x x a -=-++, 当1a =时,()()2ln '01xf x x =->+ 01x ⇔<<,()'01f x x ⇔,∴()f x 有极大值()1ln2f =,无极小值;(2)当0a >时,()'001f x x >⇔<<,()'01f x x ⇔, ∴()()()1ln 1f x f a ≤=+,设()()()ln 10u a a a a =+->,则()1'1011a u a a a=-=-<++, ∴()()00u a u <=,故()f x a ≤恒成立, 当0a <时,()()ln 1a a xf x ln x a x x a⎛⎫=++>- ⎪+⎝⎭, 由于2ln 112a a a a e x x ⎛⎫+>⇔+> ⎪⎝⎭ 21a a x e ⇔>-,ln ln 22a x a x a x x a +>⇔<+,()*设()ln x v x x e =-,则()'e xv x ex-=, ()'00v x x e >⇔<<,()'0v x x e ⇔,∴()()0v x v e ≤=,即ln xx e≤, 则只需2x x a e +<,()*⇒成立, 而22x x a ea x e e +-⇔-,∴2ea x e ->-时,ln 2a x ax a >+, 故取02max ,21a a ea x e e ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪-⎩⎭,显然0x a >-, 由上知当0x x >时,ln 12a a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭,ln 2a x ax a >+,∴()f x a >, 综上可知,当0a >时,()f x a ≤恒成立.。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)(2)

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)(2)

一、选择题1.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A .22B .42C .2D .42.若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰,则实数a 等于( )A .1-B .1C .3-D .33.设11130,,a xdx b xdx c x dx ===⎰⎰⎰,则,,a b c 的大小关系为( )A .b c a >>B .b a c >>C .a c b >>D .a b c >>4.若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+,则n 的值是( ) A .1 B .2 C .4 D .35.已知函数()f x 的图像如图所示, ()f x '就()f x 的导函数,则下列数值排序正确的是( )A .()()()()224224f f f f <-'<'B .()()()()242242f f f f '<<-'C .()()()()222442f f f f '<<-'D .()()()()422422f f f f '<'-< 6.定积分220[4(2)]x x dx ---⎰的值为( )A .24π- B .2π- C .22π- D .48π-7.3204x dx -=⎰( )A .213 B .223 C .233 D .2538.由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为( ) A .52 B .4 C .2 D .929.曲线与两坐标轴所围成图形的面积为( ) A .B .C .D .10.使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点,则实数a 可能的取值为( ) A .8B .6C .4D .211.20ln 1()231mx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰,,,且()()10f f e =,则m 的值为( ) A .1B .2C .1-D .2-12.已知125113,log ,log3,a a x dx m a n p a-====⎰,则 ( ) A .m n p << B .m p n <<C .p m n <<D .p n m <<二、填空题13.计算 121dx x--⎰=_____________. 14.由直线2x y +=,曲线2y x =所围成的图形面积是________ 15.()222sin 4x x dx -+-=⎰______.16.定积分2211x dx x +=⎰ __________.17.曲线2yx 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.18.定积分2sin cos t tdt π=⎰________.19.函数3y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______. 20.曲线2y x 和曲线y x =围成一个叶形图(如图所示阴影部分),其面积是________.三、解答题21.设函数()32f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-.(1)求常数,a b 的值;(2)求曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积.22.已知函数2()ln f x x a x =-(a R ∈),()F x bx =(b R ∈).(1)讨论()f x 的单调性;(2)设2a =,()()()g x f x F x =+,若12,x x (120x x <<)是()g x 的两个零点,且1202x x x +=, 试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行?请说明理由.23.已知函数()221y f x x x ==-++和()1y g x x ==-,求:由()y f x =和()y g x =围成区域的面积.24.设函数()32,0{,0x x x x f x axe x ->=≤,其中0a >.(1)若直线y m =与函数()f x 的图象在(]0,2上只有一个交点,求m 的取值范围; (2)若()f x a ≥-对x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围. 25.设函数()()1xf x aex =+(其中 2.71828e =⋅⋅⋅),()22g x x bx =++,已知它们在0x =处有相同的切线.(1)求函数()f x ,()g x 的解析式; (2)若函数()f x 在[],1t t +上的最小值为22e -,求实数t 的取值范围. 26.已知函数()xae f x x x=+.(1)若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-,求a 的值;(2)是否存在负整数a ,使函数()f x 的极大值为正值?若存在,求出所有负整数a 的值;若不存在,请说明理由;(3)设0a >,求证:函数()f x 既有极大值,又有极小值【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8), 故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭.故选D .2.A解析:A 【解析】试题分析:解:因为()()()2200sin cos cos sin |cossincos0sin 022x a x dx x a x a a ππππ-=--=-----⎰=()010a ----=1a -,所以12a -=,所以, 1.a =-故选A. 考点:定积分.3.D解析:D 【解析】根据微积分定理,3120022|33a x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,1210011|22b xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰,13410011|44c x dx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰,所以a b c >>,故选择D 。

(典型题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(包含答案解析)

(典型题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(包含答案解析)

一、选择题1.已知函数22(1),10 ()1,01x xf xx x⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则11()df x x-=⎰()A.3812π-B.4312π+C.44π+D.4312π-+2.222024xdx x dx+-=⎰⎰( )A.2πB.12π+C.4πD.π3.三棱锥D ABC-及其正视图和侧视图如图所示,且顶点,,,A B C D均在球O的表面上,则球O的表面积为()A.32πB.36πC.128πD.144π4.由23y x=-和2y x=围成的封闭图形的面积是()A.23.923-.323D.3535.曲线22,y x y x==所围成图形的面积是()A.1 B.13C.12D.236.定积分()1e2x x dx-⎰的值为()A.e2-B.e1-C.e D.e1+7.使函数()322912f x x x x a=-+-图象与x轴恰有两个不同的交点,则实数a可能的取值为()A.8 B.6 C.4 D.28.已知42cos2dt x xπ=⎰,执行下面的程序框图,如果输入的,2a tb t==,那么输出的n的值为()A .3B .4C .5D .6 9.曲线2y x 与直线y x =所围成的封闭图形的面积为( ) A .16 B .13 C .12 D .5610.函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上( )A .有最大值0,无最小值B .有最大值0,最小值323-C .最小值323-,无最大值 D .既无最大值,也无最小值 11.20sin xdx π=⎰( )A .4B .2C .-2D .0 12.设21,[0,1]()1,[1,0)x x f x x x ⎧⎪-∈=⎨+∈-⎪⎩,则11()f x dx -⎰等于( ) A .12π+ B .122π+ C .124π+ D .14π+ 二、填空题13.02114edx x dx x-+-=⎰⎰______________. 14.定积分2211x dx x +=⎰ __________. 15.计算:23lim 123n n n n→+∞-=++++________ 16.已知曲线y x =2y x =-,与x 轴所围成的图形的面积为S ,则S =__________.17.计算 ()302sin x x dx π+⎰=_________________.18.设函数2()f x ax b =+(0a ≠),若300()3()f x dx f x =⎰,00x >,则0x =__________.19.计算()2224x x dx -+-⎰得__________. 20.ππ(sin )d x x x -+=⎰________.三、解答题21.如图,四边形ABCD 为菱形,60DAB ∠=︒,ED ⊥面ABCD ,EF AB ∥,22ED AD EF ===,M 为BC 的中点.(1)求证:FM ∥平面BDE ;(2)若G 为线段BE 上一点,当三棱锥B GCD -23BG BE 的值. 22.已知函数()21ln ,2f x x ax a R =-∈. (1)求函数()f x 的单调区间;(2)若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立,求整数a 的最小值.23.已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+,其中0a >,设()g x 是()f x 的导函数,讨论()g x 的单调性和极值。

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定积分高考试题精选
1、(2013江西卷(理))若2
2
22
1231
1
11
,,,x S x dx S dx S e dx x
=
==⎰

⎰则123S S S 的大小关系为 ( )
A .123S S S <<
B .213S S S <<
C .231S S S <<
D .321S S S <<
【答案】B
2、(2013北京卷(理))直线l 过抛物线C: x 2
=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于
( )
A .
4
3
B .2
C .
83
D 【答案】C 3、(2013湖南卷(理))若
20
9,T
x dx T =⎰
则常数的值为_________.
【答案】3
4、(2013湖北卷(理))一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25
731v t t t
=-+
+(t 的单位:s ,v 的单位:/m s )行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m )是( )
A .125ln 5+
B .11
825ln
3
+ C .425ln 5+ D .450ln 2+ 【解析】令 ()257301v t t t =-+=+,则4t =。

汽车刹车的距离是402573425ln51t dt t ⎛⎫
-+=+ ⎪+⎝⎭
⎰,故选C 。

【相关知识点】定积分在实际问题中的应用
5、【2012湖北理3】已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与
x 轴所围图形的面积为
A .
2π5 B .43 C .32 D .π
2
【答案】B
【解析】根据图像可得: 2()1y f x x ==-+,再由定积分的几何意义,可求得面积为
1
231
1114(1)()33
S x dx x x --=-+=-+=⎰.
6、【2012江西理11】计算定积分
=+⎰
-dx x x 1
1
2)sin (___________。

【答案】
3
2
【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用。

【解析】
3
2)cos 31()sin (1
131
1
2=-=+--⎰x x dx x x 。

7、【2012山东理15】设0a >.
若曲线y =
与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ,则
a =______.
【答案】9
4
=
a 【解析】由已知得2230230
32|32a a x x S a
a
====

,所以3
221
=a ,所以94=a 。

8、【2012上海理13】已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ,其中)0,0(A 、)5,2
1(B 、)0,1(C ,函数
)(x xf y =(10≤≤x )的图象与x 轴围成的图形的面积为 。

【答案】
4
5 【解析】当2
1
0≤
≤x ,线段AB 的方程为x y 10=, 当121≤<x 时。

线段BC 方程为12
1
1050--=--x y ,整理得1010+-=x y , 即函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤<+-≤≤==121,10102
10,10)(x x x x x f y ,
所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==1
21,10102
10,10)(22x x x x x x xf y ,
函数与x 轴围成的图形面积为
dx x x dx x )1010(102
1
2
121
2
+-=+⎰⎰
12
123
21
3
)5310(310
x x x +-
+=45=。

9、【2012福建理6】如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P , 则点P 恰好取自阴影部分的概率为
A.
14 B. 15 C. 1
6
D. 17 【答案】C.
【解析】根据定积分的几何意义可知阴影部分的面积6
1
|)2132()(10223
1
0=-=-=⎰x x dx x x S ,而正
方形的面积为1,所以点P恰好取自阴影部分的概率为6
1
.故选C. 10、(2011新课标卷理科9)
由曲线y =
,直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为
(A )
103 (B )4 (C )163
(D )6 【答案】C 解析:因为⎩⎨
⎧-==2
x y x y 的解为⎩⎨
⎧==2
4
y x ,所以两图像交点为)2,4(,
于是面积⎰⎰
=--=
4
04
)2(dx x dx x S 31604)22
1(04322
23
=--x x x 故选C
点评:本题考查定积分的概念、几何意义、运算及解决问题的能力。

求曲线围成的图形的面积,就是要求函数在某个区间内的定积分。

11、(2011湖南卷理科6)由直线0,3
,3
==
-
=y x x π
π
与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为
A.
21 B. 1 C. 2
3
D. 3 答案:D
解析:由定积分的几何意义和微积分基本定理可知S=3)023
(20
3sin 2cos 2
3
=-⋅==⎰
π
π
x xdx 。


选D 评析:本小题主要考查定积分的几何意义和微积分基本定理等知识. 12、(2011陕西卷理科11)设2
0lg ,0
()3,0
a x x f x x t dx x >⎧=⎨
+⎰≤⎩,若((1))1f f =,则a = 【答案】1
【解析】((1))(lg1)(0)f f f f ==2330003|a a
t dt t a =+⎰==11a =⇒=
13、(2010山东卷理科7)由曲线y=2x ,y=3
x 围成的封闭图形面积为
(A )
1
12
(B)
14
(C)
13
(D)
712
【答案】A
【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为1
2
3
0x -x )dx=
⎰(111
1-1=3412
⨯⨯,故选A 。

【命题意图】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积。

14、(2010湖南卷理科5)
4
2
1
dx x

等于( )
A 、2ln 2-
B 、2ln 2
C 、ln 2-
D 、ln 2 【解析】因为()
/
1ln x x
=,所以44
221ln ln 4ln 2dx x x ==-⎰,故选D
15、(2010宁夏卷13)设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数,且恒有0()1f x ≤≤,可以用随机模拟方法近似计算积分
1
()f x dx ⎰

先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …,由此得到N 个点11(,)(1,2,)x y i N =…,,再数出其中满足11()(1,2,)y f x i N ≤=…,的点数1N ,那么由随机模拟方案可得积分
1
()f x dx ⎰
的近似值为 。

【答案】1
N N
解析:
10
()f x dx ⎰
的几何意义是函数()(0()1)f x f x ≤≤其中的图像与轴、直线0x =和直线1x =所
围成图形的面积,根据几何概型易知
1
1
()N f x dx N


. 16、(2010陕西卷理科13)从如图所示的长方形区域内任取一个点
()y x M ,,则点M 取自阴影部分的概率为____________.
【解析】本题属于几何概型求概率,∵131031
2===

x dx x S 阴影
331=⨯=长方形S ,∴所求概率为3
1
==
长方形
阴影S S P . 17、(09福建理4)
22
(1cos )x dx π
π-+⎰等于
A .π B. 2 C. π-2 D. π+2 答案:D
解析:∵2
2
sin (
sin )[sin()]22222
x
x x x
π
πππ
π-
=+=+--+-=+原式.故选D。

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