黑龙江省大庆市铁人中学2020-2021学年高二下学期期末数学(理)试题

黑龙江省大庆市铁人中学2020-2021学年高二下学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数12ii -（i 为虚数单位）的虚部是（ ）． A ．15 B ．15i C ．15i -D ．15-2．已知X ～1(5,)4B ，则(21)E X += ( )． A ．54B ．72C ．3D ．523．函数f(x)=x 3−12x +8在区间[−3,3]上的最大值为（ ）. A ．17B ．12C ．32D ．244．已知f(x)=2(x 2−x )lnx −x 2+2x ，则函数f(x)的单调递减区间为( )． A ．(0,12)B ．(12,1)C ．(1,+∞)D ．(0,+∞)5．设()[)[]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈，则()21f x dx -⎰的值为（ ）A ．423π+B ．32π+C ．443π+D ．34π+6．如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)g =（ ）．A ．－1B ．0C ．2D ．47．如图，,,A B C 表示三个开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9、0.8、0.7，那么该系统正常工作的概率是（ ）．A ．0.994B ．0.686C ．0.504D ．0.4968．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次，若抽到各球的机会均等，事件A =“三次抽到的号码之和为6”，事件B =“三次抽到的号码都是2”，则()|P B A =（ ） A ．17B ．27C ．16D ．7279．袋中有6个不同红球、4个不同白球，从袋中任取3个球，则至少有两个白球的概率是（ ）． A ．95B ．23C ．16D ．1310．甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为23，则甲获胜的概率为 ( )．A ．22213221333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．22232233C ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．22112221333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．21112221333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11．由曲线2(0)y x x =≥和直线0x =，1x =，2y t =（01t <<）所围成图形（阴影部分）的面积的最小值为( )．A ．12B ．23C ．14D ．1312．设函数()322ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．210,e e⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．21e ,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．2211e ,e e e⎛⎤--+ ⎥⎝⎦二、填空题 13．若()2~5,N ξσ，且(45)0.25P ξ<<=，(67)0.15P ξ<<=，则(3)P ξ<=_______.14．随机变量ξ的分布列如下：若()13E ξ=，则()D ξ=__________. 15．设点P 、Q 分别是曲线(x y xe e -=是自然对数的底数）和直线3y x上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为16．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导数1'()2f x <，则不等式221()22x f x <+的解集为________．三、解答题x y（Ⅰ）画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （Ⅲ）估计使用年限为10年，维修费用是多少万元？（附：线性回归方程中1122211()()()ˆˆˆn ni i i ii i nni ii i x x y y x y nxyb x x xnx ay bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑，其中11ni i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑）．18．已知函数2()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极大值．19．几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（Ⅱ）若对年龄在[15,20)，[20,25)的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望． 参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为221,,332且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.（Ⅰ）求随机变量ε分布列； (Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB ). 21．已知函数21()ln 1()2f x x a x a R =-+∈. （Ⅰ）若函数()f x 在[1,2]上是单调递增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若20a -≤<，对任意[]12,1,2x x ∈，不等式121211()()f x f x m x x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围.22．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1242x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为()14，，求MA MB +的值． 23． 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．参考答案1．A 【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部． 【详解】()()()12221121212555i i i i i i i i +-+===-+--+，因此，该复数的虚部为15，故选A ． 【点睛】本题考查复数的除法，考查复数的虚部，对于复数问题的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题． 2．B 【分析】利用二项分布的数学期望，计算出()E X ，再利用期望的性质求出()21E X +的值． 【详解】1~5,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，()15544E X ∴=⨯=，因此，()()5721212142E X E X +=+=⨯+=，故选B ． 【点睛】本题考查二项分布的数学期望与期望的性质，解题的关键就是利用二项分布的期望公式以及期望的性质，考查计算能力，属于基础题． 3．D 【解析】 【分析】对函数求导，求出函数y =f (x )的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数y =f (x )的最大值。

【详解】∵f (x )=x 3−12x +8，则f ′(x )=3x 2−12，令f ′(x )=±2，列表如下：所以，函数y =f (x )的极大值为f (−2)=24，极小值为f (2)=−8，又f (−3)=17，f (3)=−1，因此，函数y =f (x )在区间[−3,3]上的最大值为24， 故选：D 。

【点睛】本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题。

4．B 【解析】 【分析】求出函数y =f (x )的定义域，并对该函数求导，解不等式f ′(x )<0，将解集与定义域取交集得出函数y =f (x )的单调递减区间。

【详解】函数y =f (x )的定义域为(0,+∞)，f ′(x )=(4x −2)lnx +(2x −2)−2x +2=(4x −2)lnx ，令f ′(x )<0，得12<x <1，因此，函数y =f (x )的单调递减区间为(12,1)，故选：B 。

【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，除了解导数不等式之外，还要注意将解集与定义域取交集，考查计算能力，属于中等题。

5．A 【详解】解析：当2()1f x x =-时，2214(1)3x dx -=⎰；当()f x =12π-=，故()21f x dx -=⎰432π+，应选答案A ． 6．B 【分析】将点()3,1的坐标代入切线方程得出k 的值，得出()3f k '=以及()31f =，再对函数()y g x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，即可得出()3g '的值．【详解】将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13k =-，所以，()133f k '==-， 由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =， 对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，()()()133331303g f f ⎛⎫''∴=+=+⨯-= ⎪⎝⎭，故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点： （1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率； （2）切点是切线与函数图象的公共点． 7．B 【分析】由题中意思可知，当A 、B 元件至少有一个在工作，且C 元件在工作时，该系统正常公式，再利用独立事件的概率乘法公式可得出所求事件的概率． 【详解】由题意可知，该系统正常工作时，A 、B 元件至少有一个在工作，且C 元件在元件， 当A 、B 元件至少有一个在工作时，其概率为()()110.910.80.98--⨯-=， 由独立事件的概率乘法公式可知，该系统正常工作的概率为0.980.70.686⨯=， 故选B ． 【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，在处理至少等问题时，可利用对立事件的概率来计算，考查计算能力，属于中等题． 8．A 【详解】试题分析：由题意得，事件A =“三次抽到的号码之和为6”的概率为33317()327A P A +==，事件,A B 同时发生的概率为311()327P AB ==，所以根据条件概率的计算公式()1()127|7()727P AB P B A P A ===.考点：条件概率的计算. 9．D 【解析】 【分析】事件“至少有两个白球”包含“两个白球一个红球”和“三个都是白球”，然后利用古典概型的概率的计算公式可求出所求事件的概率． 【详解】事件“至少有两个白球”包含“两个白球一个红球”和“三个都是白球”，由古典概型的概率公式知，事件“两个白球一个红球”的概率为2146310310C C C =， 事件“三个都是白球”的概率为34310130C C =， 因此，事件“至少有两个球是白球”的概率为31110303+=，故选D ． 【点睛】本题考查古典概型的概率公式以及概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，结合概率的加法公式进行计算，考查分类讨论数学思想，属于中等题． 10．C 【分析】先确定事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，再利用独立重复试验的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率． 【详解】事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，若甲三局赢两局，则第三局必须是甲赢，前面两局甲赢一局，所求概率为2121233C ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭，若前两局都是甲赢，所求概率为223⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此，甲获胜的概率为22112221333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题考查独立重复事件的概率，考查概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中等题． 11．C 【分析】利用定积分求出阴影部分区域面积关于t 的函数，再利用导数求出该函数的最小值，可得出结果． 【详解】设阴影部分区域的面积为()f t ， 则()()()1222223321320011413333tt ttf t tx dx x t dx t x x x t x t t ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰， ()()242221f t t t t t '∴=-=-，其中01t <<，令()0f t '=，得12t =， 当102t <<时，()0f t '<；当112t <<时，()0f t '>. 所以，函数()y f t =在12t =处取得极小值，亦即最小值，且最小值为1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因此，阴影部分区域面积的最小值为14，故选C ． 【点睛】本题考查利用定积分计算曲边多边形的面积，考查利用导数求函数的最值，在利用定积分思想求曲边多边形的面积时，要确定被积函数和被积区间，结合定积分公式进行计算，考查计算能力，属于中等题． 12．A 【解析】试题分析：函数()g x 定义域是(0,)+∞，2ln ()2xg x x ex m x=-+-，21ln '()22x g x x e x -=--，设221ln ()22xh x x e x x=--+，则3333212ln 232ln '()2x x x h x x x x -+-=++=，设3()232ln q x x x =+-，则32262'()6x q x xx x-=-=，'()0q x x =⇒=，易知()q x =极小值233q =+-0>，即()0q x >也即'()0h x >在(0,)+∞上恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，又()0h e =，因此e 是()h x 的唯一零点，当0x e <<时，()0h x <，当x e >时，()0h x >，所以()g x 在(0,)e 上递减，在(,)e +∞上递增，()g x 极小值()g e =，函数()g x 至少有一个零点，则221()20g e e e m e =-+-≤，21m e e≤+．故选B ． 考点：函数的零点，用导数研究函数的性质．【名师点睛】本题考查函数的零点的知识，考查导数的综合应用，题意只要函数()g x 的最小值不大于0，因此要确定'()g x 的正负与零点，又要对'()g x 求导，得3333212ln 232ln "()2x x x g x x x x-+-=++=，此时再研究其分子3()232ln q x x x =+-，于是又一次求导，最终确定出函数()f x 的最小值，本题解题时多次求导，考查了学生的分析问题与解决问题的能力，难度较大． 13．0.1 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出()()34670.15P P ξξ<<=<<=，可求出()35P ξ<<的值，再利用()()30.535P P ξξ<=-<<可得出答案．【详解】 由于()2~5,N ξσ，由正态密度曲线的对称性可得()()34670.15P P ξξ<<=<<=，所以()()()3534450.150.250.4P P P ξξξ<<=<<+<<=+=， 因此，()()30.5350.50.40.1P P ξξ<=-<<=-=，故答案为0.1． 【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，解题的关键就是充分利用正态密度曲线的对称性，利用已知区间上的概率来进行计算，考查计算能力，属于中等题． 14．59【分析】利用概率之和为1以及数学期望列方程组解出a 和c 的值，最后利用方差的计算公式可求出()D ξ的值．【详解】由题意可得()11313a c E a c ξ⎧++=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，解得1612a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，()22211111151013633329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为59．【点睛】本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算，解题时要注意概率之和为1这个隐含条件，其次就是熟悉随机变量数学期望和方差的公式，考查计算能力，属于中等题． 15．2【详解】 试题分析：()'1xx x y exe x e ---=-=-，令()11x x e --=，即1x e x =-，10x e x +-=，令()1xh x e x =+-，显然()h x 是增函数，且()00h =，即方程10x e x +-=只有一解0x =，曲线xy xe -=在0x =处的切线方程为y x =，两平行线0x y -=和30x y -+=间的距离为2d ==. 考点：导数与切线，方程的解，平行线间的距离. 16．(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：设()()12F x f x x =-根据题意可得函数F x （）在R 上单调递减，然后根据()22122x f x<+可得221122x f x f -<-（）（），最后根据单调性可求出x 的取值范围． 设()()12F x f x x =-，()111,0222F x f x f x F x f x ∴'='-'<∴'='-<（）（）（）（），即函数F （x ）在R 上单调递减，()()()2222211,112222x x f xf x f F x F <+∴-<-∴<（）（）， 而函数F （x ）在R 上单调递减，21x ∴>，即11x ∴∈-∞-⋃+∞（，）（，）， 故答案为11-∞-⋃+∞（，）（，） 考点：导数的运算；其它不等式的解法17．(1)详见解析;(2) ˆ0.70.35yx =+;(3) 当10x =时，ˆ7.35y =万元. 【解析】（1）直接将四个点在平面直角坐标系中描出；（2）先计算4i 1x i i y =∑，42i 1x i =∑，再借助()()()1122211ˆˆˆn ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx ====⎧---⎪==⎪--⎨⎪=-⎪⎩∑∑∑∑计算出ˆ,b a ，求出回归方程；（3）依据线性回归方程0.70.5ˆ3yx =+求出当10x =时，ˆy 的值： 【试题分析】（1）按数学归纳法证明命题的步骤：先验证1n =时成立，再假设当()*n k k N =∈时，不等式成立，分析推证1n k =+时也成立：(1)(2)4i 1x 66.5ii y==∑； ¯ 4.5,= ¯ 3.5=422222i1x345686i ==+++=∑0.7,0.5ˆ3ba == 所求的线性回归方程：0.70.5ˆ3yx =+ (3)当10x =时，ˆ7.35y=万元 18．（Ⅰ）1,3a b =-=；（Ⅱ）333ln24-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）将点()()1,1f 代入切线方程得出()10f =，利用导数的几何意义得出()12f '=，于此列方程组求解出实数a 、b 的值；（Ⅱ）求出函数()y f x =的定义域，然后对函数()y f x =求导，利用导数求出函数()y f x =的单调区间，分析出该函数的极大值点并求出该函数的极大值。