2020版高考数学总复习 第十五章 第三节 离散型随机变量的均值与方差课时作业 苏教版

第三节 离散型随机变量的均值与方差课时作业练1.(2018常州教育学会学业水平检测)已知正四棱锥P-ABCD 的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量ξ的值:若这两条棱所在的直线相交,则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制); 若这两条棱所在的直线平行,则ξ=0;若这两条棱所在的直线异面,则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制). (1)求P(ξ=0)的值;(2)求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ).解析 根据题意知该四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,容易得到△PAC,△PBD 为等腰直角三角形.所以ξ的可能取值为0,π3,π2. 共C 82=28种取法,其中ξ=0时,有2种;ξ=π3时,有3×4+2×4=20种;ξ=π2时,有2+4=6种.(1)P(ξ=0)=228=114.(2)P (ξ=π3)=2028=57,P (ξ=π2)=628=314.再根据(1)的结论,随机变量ξ的分布列如下表:ξ 0 ξ3ξ2P11457 314所以E(ξ)=0×114+π3×57+π2×314=2984π.2.(2018扬州高三第三次调研)将4本不同的书随机放入如图所示的编号为1,2,3,4的四个抽屉中.(1)求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率;(2)随机变量X 表示放在2号抽屉中书的本数,求X 的分布列和数学期望E(X).1 2 3 4解析 (1)将4本不同的书放入编号为1,2,3,4的四个抽屉中,共有44=256种不同放法. 记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A, 事件A 共包含ξ44=24个基本事件, 所以P(A)=24256=332,所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为332.(2)记“每本书放入2号抽屉中”为事件B,则P(B)=14,P(ξ)=1-14=34. 根据题意X~B (4,14),所以P(X=k)=C 4ξ(14)ξ(34)4-ξ,k=0,1,2,3,4.所以X 的分布列为X 01234P81256 2764 27128 364 1256所以X 的数学期望E(X)=4×14=1.3.(2018江苏盐城中学高三检测)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流不放回地摸取1个球,甲先取,乙后取,然后甲再取,……,直到袋中的球取完为止,若摸出白球,则记2分,若摸出黑球,则记1分,每个球每一次被取出的机会是均等的,用ξ表示甲、乙最终得分差的绝对值. (1)求袋中原有白球的个数;(2)求随机变量ξ的分布列及期望Eξ. 解析 (1)设袋中原有n 个白球,由题意知17=C ξ2C 72=ξ(ξ-1)7×6,解得n=3(负值舍去),即袋中原有3个白球. (2)由(1)可知,袋中有3个白球,4个黑球.甲四次取球可能的情况:4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白, 相应的分数之和为4分、5分、6分、7分;与之对应的乙取球的情况:3个白球、1黑2白、2黑1白、3黑. 相应的分数之和为6分、5分、4分、3分. 故ξ的可能取值为0,2,4.P(ξ=0)=C 43C 31C 74=1235;P(ξ=2)=C 44+C 42C 32C 74=1935;P(ξ=4)=C 41C 33C 74=435.所以ξ的分布列为ξ 024P1235 1935 435所以Eξ=0×1235+2×1935+4×435=5435.4.(2018江苏泰州中学高三月考)一位网民在网上光顾某淘宝小店,经过一番浏览后,对该店铺中的A,B,C,D,E 五种商品有购买意向,已知该网民购买A,B 两种商品的概率均为34,购买C,D 两种商品的概率均为23,购买E 种商品的概率为12,假设该网民是否购买这五种商品相互独立. (1)求该网民至少购买4种商品的概率;(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数,求η的概率分布和数学期望. 解析 (1)记“该网民购买i 种商品”为事件A i ,i=4,5,则P(A 5)=34×34×23×23×12=18,P(A 4)=34×34×23×23×(1-12)+C 21·34×(1-34)×23×23×12+C 21·23×(1-23)×34×34×12=13. P(A 5)+P(A 4)=18+13=1124.所以该网民至少购买4种商品的概率为1124.(2)随机变量η的可能取值为0,1,2,3,4,5. P(η=0)=(1-34)×(1-34)×(1-23)×(1-23)×(1-12)=1288,P(η=1)=C 21×34×(1-34)×(1-23)×(1-23)×(1-12)+C 2123×(1-23)×(1-34)×(1-34)×(1-12)+12×(1-34)×(1-34)×(1-23)×(1-23)=11288, P(η=2)=34×34×(1-23)×(1-23)×(1-12)+23×23×(1-34)×(1-34)×(1-12)+C 21·34×(1-34)×C 21·23×(1-23)×(1-12)+C 21·34×(1-34)×(1-23)2×12+C 21·23×(1-13)×(1-34)2×12==47288, P(η=4)=P(A 4)=13,P(η=5)=P(A 5)=18,P(η=3)=1-P(η=0,1,2,4,5)=1-1288-11288-47288-13-18=97288. 所以随机变量η的概率分布为η 012345 P1288 11288 47288 97288 1318故E η=0×1288+1×11288+2×47288+3×97288+4×13+5×18=103.5.(2019南京、盐城高三模拟)甲,乙两人站在P 点处分别向A,B,C 三个目标进行射击,每人向三个目标各射击一次,每人每次射击每个目标均相互独立,且两人各自击中A,B,C 的概率均分别为12,13,14.(1)设X 表示甲击中目标的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望; (2)求甲、乙两人共击中目标数为2的概率. 解析 (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=0)=(1-12)×(1-13)×(1-14)=14,P(X=1)=12×(1-13)×(1-14)+(1-12)×13×(1-14)+(1-12)×(1-13)×14=1124, P(X=2)=(1-12)×13×14+12×(1-13)×14+12×13×(1-14)=14,P(X=3)=12×13×14=124.所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P141124 14124所以X 的数学期望E(X)=0×14+1×1124+2×14+3×124=1312. (2)设Y 表示乙击中目标的个数.由(1)亦可知,P(Y=0)=14,P(Y=1)=1124,P(Y=2)=14. 则P(X=0,Y=2)=14×14=116,P(X=1,Y=1)=1124×1124=121576,P(X=2,Y=0)=14×14=116,所以P(X+Y=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=0)=193576.所以甲、乙两人共击中目标数为2的概率为193576.基础滚动练 (滚动循环 夯实基础)1.已知集合A={1,2,3},那么A 的非空真子集的个数是 .答案 6解析 集合A 的非空真子集有23-2=6个. 2.“2a>2b”是“log 2a>log 2b”的 条件. 答案 必要不充分3.从1、2、3、6这4个数中一次性随机取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 .答案 13解析 从1、2、3、6中随机取2个数,共有6种不同的取法,其中所取2个数的乘积是6的有1、6和2、3两种,故所求概率是26=13.4.已知f(x)为奇函数,且f (ξ+π2)=f(x)+cos x(x∈R),则f (3π4)= .答案 3√24解析 f(x)为奇函数,在f (ξ+π2)=f(x)+cos x 中, 令x=-π4得f (π4)=f (-π4)+cos (-π4),则2f (π4)=√22,f (π4)=√24. 令x=π4得f (3π4)=f (π4)+cos π4=√24+√22=3√24. 5.若正四棱锥的底面边长为2√2 cm,体积为8 cm 3,则它的侧面积为 . 答案 4√22 cm 2解析 设正四棱锥的高为h cm,则由题意得13×(2√2)2h=8,∴h=3,∴正四棱锥的侧面上的高为√32+(√2)2=√11cm,则此四棱锥的侧面积为4×12×2√2×√11=4√22 cm 2.6.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n,则数列{1ξξξξ+1}的前6项和为 .答案215解析 由S n =n 2+2n 得a 1=S 1=3,当n≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1,n=1时也成立,则a n =2n+1.1ξξξξ+1=1(2ξ+1)(2ξ+3)=12(12ξ+1-12ξ+3), 数列{1ξξξξ+1}的前6项和为1ξ1ξ2+1ξ2ξ3+…+1ξ6ξ7=12(13-15+15-17+…+113-115)=12(13-115)=215. 7.已知函数f(x)=4sin ξξ2cosξξ2(ω>0)在区间[-π2,2π3]上是增函数,且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值,则ω的取值范围是 . 答案 [12,34]解析 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[-π2,2π3]上是增函数,则{-π2ω≥-π2,2π3ω≤π2,解得0<ω≤34.又f(x)在x∈[0,π]上恰好取得一次最大值,则π2≤πω<5π2,即12≤ω<52,故ω的取值范围是[12,34].8.(2017江苏天一中学高三质量检测)设F 1,F 2分别是双曲线ξ2ξ2-ξ2ξ2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若过双曲线左焦点F 1引圆x 2+y 2=a 2的切线l 交双曲线右支于一点P,且(ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ξξ2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·ξ2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0(O 为坐标原点),则该双曲线的离心率为 . 答案 √5解析 因为ξξ2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ξ1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ξξ2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·ξ2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ξ1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·ξ2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ξ1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ξ2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以F 1P⊥F 2P.又O 是F 1F 2的中点,则|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ξξ2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=c.易知|ξξ2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a,则|ξξ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4a,由勾股定理得(4a)2+(2a)2=(2c)2,所以c=√5a,则该双曲线的离心率为e=ξξ=√5.9.已知函数f(x)=mx 3+nx 2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线3x+y=0平行,若f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数t 的取值范围是 . 答案 [-2,-1]解析 由题意知,点(-1,2)在函数f(x)的图象上,故-m+n=2.①又f '(x)=3mx 2+2nx,f '(-1)=-3,故3m-2n=-3.②联立①②解得m=1,n=3,即f(x)=x 3+3x 2, 令f '(x)=3x 2+6x≤0,解得-2≤x≤0,则[t,t+1]⊆[-2,0],故t≥-2且t+1≤0,所以t∈[-2,-1].10.(2019江苏南通中学高三段考)已知α,β为钝角,且sin α=35,cos 2β=-35.(1)求tan β的值; (2)求cos(2α+β)的值.解析 (1)因为cos 2β=2cos 2B-1=-35,所以cos 2β=15.因为β为钝角,所以cos β=-√55.从而sin β=√1-cos 2β=√1-15=2√55.所以tan β=sin ξcos ξ=2√55-√55=-2.(2)因为α为钝角,sin α=35,所以cos α=-√1-sin 2α=-√1-(35)2=-45. 所以 sin 2α=2sin αcos α=2×35×(-45)=-2425,cos 2α=1-2sin 2α=1-2×(35)2=725.从而cos(2α+β)=cos 2αcos β- sin 2αsin β=725×(-√55)-(-2425)×2√55=41√5125.。