四川省遂宁市2017届高三上学期零诊数学(理)试题分解

遂宁市高中2017届零诊考试
数学（理科）试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求的。

1．已知集合{}1,0,1-=A ，=B {}
x y y =，则A B =I
A ．{}0
B ．{}1
C ．{}1,0
D ．{1,,0,1}-
2．设R a ∈，则“1>a ”是“12
>a ”的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
3．已知角α终边与单位圆122=+y x 的交点为),21(y P ，则=+)22sin(απ
A ．23-
B ．21-
C ．2
1
D ．1 4. 已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧-<-≤≤->+=3),(33,3
),5()(x x f x ae x x f x f x
，若2)2017(e f =-，则a =
A ．2
B ．1
C ．－1
D ．－2
5．在等差数列{}n a 中，61-=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当6=n 时，n S 取得最小值，
则d 的取值范围为
A ．)87,1(--
B ．),0(+∞
C ．)0,(-∞
D ．)5
6,1( 6．执行如图的程序框图，若程序运行中 输出的一组数是),27(y ，则y 的值为 A.9- B.12- C.15- D.18-
7．已知变量,x y 满足约束条件
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤+1332y k y x y x （Z k ∈）
，且2z x y =+ 的最大值为6，则k 的值为
A ．3
B ．1
C ．3-
D ．1- 8．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若
1611161133,7a a a b b b π⋅⋅=-++=,则39
48
tan
1b b a a +-⋅的值是
A ．1
B ．
2
2
C ．22-
D ．3-
9．已知向量c b a ,,满足1=⋅=⋅c a b a ，且2
1
=
⋅c b ，1=b ， )2
2,22(
=c ，则=a A ．1 B ．
23 C ．3
32 D ．3 10．已知正数,,a b c 满足42250a b c -+=，则lg lg 2lg a c b +-的最大值为
A ．2-
B ．2
C ．1-
D ．1
11．已知函数)sin()(ϕω+=x x f ⎪⎭⎫
⎝
⎛<
∈2||,R πϕω，满足其最小正周期为π，2
1
)0(=f ，0)0(<'f ，则函数)cos(2)(ϕω+=x x g 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡4,0π上的最大值与最小值之和为
A ．31-
B ．1
C ．13-
D ．3 12．函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，
[](0,),()ln 1x f f x x e ∀∈+∞-=+（其中e 为自然对数的底数），方程0)(=-kx x f 有两个不同的零点，则k 取值范围是
A. (0,)e
B. ),0(1-e e
C. [1,)e
D. 1[1,)e e -
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．若1z
i =+，则
42i
z z ⋅+= ▲
14．某楼盘按国家去库存的要求，据市场调查预测，降价销售.今年110平方米套房的销售将以每月
10%的增长率增长；90平方米套房的销售将每月递增10套.已知该地区今年1 月份销售110平
方米套房和90平方米套房均为20套，据此推测该地区今年这两种套房的销售总量约为 ▲ 套（参考数据：111.1 2.9,≈121.1 3.1,≈ 131.1 3.5≈）
15. 如图，函数)(x f 的图象为折线
ACB ， 则不等式
)1(log )(2+≥x x f 的
解集是 ▲
16．对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)
2
x x f x f x x π⎧∈⎪
=⎨-∈+∞⎪⎩，对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k
的取值范围是 ▲ ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知a R ∈，命题0],1,2[:2≥---∈∀a x x p ，命题
0)2(2,:2=--+∈∃a ax x R x q 。

（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.
▲
18．（本小题满分12分）
已知ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若),(c b a m -=，),(c b b a n -+=，
n m ⊥
（1）求角A 的大小；
（2）若3a =，设=B θ，ABC ∆的周长为y ，求()y f θ=的最大值．
▲
19．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0>n a ，222
+=+n n n S a a )(*
∈N n 。

（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n n
n a b 2
=
，n T 12n b b b =+++L 。

证明：对一切正整数n ，有3n T <。

▲
20．（本题满分12分）
随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图。

（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据图（一）所示数据计算限定高度CD 的值．（精确到0.1m ）
（下列数据提供参考：sin 20°＝0.3420，cos 20°＝0.9397，tan 20°＝0.3640）
（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图（二）所示，设(rad)PAB θ∠=，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形，它的宽为1.8米，长为4.5米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？
图（一） 图（二）
▲
21．（本小题满分12分）
设函数=)(x f x x x ax sin 2
+-，)ln 2
()(2x x k x
e x g x +-= (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然
对数的底数)．
（1）若)(x f 在2
π
=
x 处的切线与直线1)2(+-=x y π平行，求实数a 的值；
（2）当e k <时，求函数)(x g 的单调区间；
（3）若2)1(-=e g ，则令
=)(x F )2sin ()()(2
x
x
e x x x g x
f x -+-+，又函数()F x 存在极值，且所有极值之和大于5ln 2+，求实数a 的取值范围。

▲
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：
θ
ρ2
2cos 212+=
，直线l ：3)6cos(2=-π
θρ. （1）写出直线l 的参数方程；
（2）设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A 、B ，求||AB 的值.
▲
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数42)(-++=x x x f 。

（1）求函数)(x f 的最小值；
（2）若{}{}2
()35x f x t t x x ≤--≤≤≠I
∅。

求实数t 的取值范围。

遂宁市高中2017届零诊考试
数学（理科）试题参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
A
B
B
D
A
C
D
C
A
D
B
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13． i 14. 1320 15. {x |－1＜x ≤1} 16. 4
5≥
k 三、解答题：本大题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）
解析：（1）因为命题0],1,2[:2
≥---∈∀a x x p 。

令()2
-f x x a =，
根据题意，只要]1,2[--∈x 时，()min 0f x ≥即可，也就是1-01a a ≥⇒≤……4分 （2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，1a ≤，
命题q 为真命题时，()2
4420a a ∆=--≥，解得2a ≤-或1a ≥ …………6分
因为命题“p q ∨”为真命题,命题“p q ∧”为假命题,所以命题p 与q 一真一假，……7分 当命题p 为真，命题q 为假时，1
2121
a a a ≤⎧⇒-<<⎨
-<<⎩, …………9分
当命题p 为假，命题q 为真时，1
121或a a a a >⎧⇒>⎨≤-≥⎩
. …………11分
综上：1a >或21a -<<. …………12分
18.（本小题满分12分）
解析：（1）∵),(c b a m -=，),(c b b a n -+=，n m ⊥，
∴在ABC ∆中，依题意有：222
b c a bc +=+， …………2分
∴2221
cos 22
b c a A bc +-=
=，又∵(0)A π∈，，∴3A π=； …………6分 （2）由3a =，3A π
=
及正弦定理得：
2sin sin sin b c a
B C A
===， …………7分
∴2sin 2sin b B θ==，222sin 2sin()2sin()33
c C B ππθ==-=-，……9分 故232sin 2sin(
)3
y a b c π
θθ=++=++-，即23sin()36y πθ=++， …………10分
由203πθ<<
得：5666πππθ<+<，∴当62
ππ
θ+
=，即3πθ=时，max 33y =. …………12分
19．（本小题满分12分）
解析：(1) 由a 2
n ＋a n ＝2S n ＋2，可知a 2n ＋1＋a n ＋1＝2S n ＋1＋2.
两式相减可得a 2n ＋1－a 2
n ＋(a n ＋1－a n )＝2a n ＋1， 即 (a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ).
由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝1.
又a 21＋a 1＝2a 1＋2， …………4分 解得a 1＝－1(舍去)，a 1＝2. …………5分 所以{a n }是首项为2，公差为1的等差数列，其通项公式为a n ＝n ＋1(n ∈N *) …6分 （2）由a n ＝n ＋1可知n
n n b 2
1
+=
，所以122323412222n n n n T b b b +=+++=++++L L 23411234122222n n n T ++=++++L ， 23111111122222
n n n n T ++∴=++++-L 1
1111111133
22122222212n n n n n n n T T +++-++⇒=+-⇒=--， …………10分
3
332
n n n T +⇒=-<
即对一切正整数n ，有3<n T …………12分
20.（本题满分12分）
解：(1) 在△ABE 中，∠ABE=90°，∠BAE=20°,
∴tan ∠BAE=
BE
AB
，又AB=10， ∴BE=AB•tan ∠BAE=10tan 20°≈3.6m ，∵BC=0.6∴CE=BE-BC=3m, …………3分 在△CED 中，∵CD ⊥AE ，∠EC D=∠BAE=20°, ∴cos ∠ECD=
CD
CE
,∴CD=CE•cos ∠ECD=3cos20°≈3×0.94≈2.8m ． 故答案为2.8m ． …………5分 （2）延长CD 与直角走廊的边相交于,E F 。

33sin cos EF OE OF θθ
=+=
+，其中02θπ<<.
容易得到 1.8
tan tan DA DE θθ==，tan 1.8tan CF BC θθ=⋅=. 又()AB DC EF DE CF ==-+，
于是331
() 1.8(tan )cos sin tan f θθθθθ
=
+-+3(sin cos ) 1.8sin cos θθθθ+-=，
其中02
θπ
<< …………8分
设sin cos t θθ+=，则2sin()4
t π
θ=
+，于是12t <≤.
又21
sin cos 2
t θθ-=，
因此2
6 3.6
()()1
t f g t t θ-==
-． …………10分 因为222222
67.266(0.6) 3.84
()(1)(1)t t t g t t t -+-+'=-=-
--， 又12t <≤
，所以()0g t '<恒成立，
因此函数26 3.6
()1
t g t t -=
-在(1,2]t ∈是减函数，
所以min ()(2)62 3.6 4.5g t g ==->，
故能顺利通过此直角拐弯车道 …………12分
21.（本小题满分12分）
解析：（1）()2sin cos f x a x x x x '=-++，所以()12
f a π
π'=-+，
由题意121=⇒-=+-a a ππ
所以实数a 的值为1。

…………3分
（2）函数)(x g y =的定义域为),0(+∞，
242221()()x x x e xe g x k x x x -'=--+3
23)
)(2()2(2x kx e x x x k x e xe x x x --=---=
…………5分
∵ k e < ∴ x x
e kx e ex ->- (0)x >
令()()x x x e ex x e e ϕϕ'=-⇒=-，令()01x x ϕ'=⇒= ∴当(0,1)x ∈时()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减 当(1,)x ∈+∞时()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增 从而有()(1)0x ϕϕ≥= 所以0x
x
e kx e ex ->-≥
所以当)2,0(∈x 时，()0g x '<，函数)(x g y =单调递减； 当),2(+∞∈x 时，()0g x '> ，函数)(x g y =单调递增。

故此时，函数)(x g y =在)2,0(单调递减，在),2(+∞单调递增。

…………8分
（3）由2)1(-=e g 1=⇒k ，则)ln 2
()(2x x x
e x g x +-=， …………9分
所以=)(x F )2sin ()()(2
x
x
e x x x g x
f x -+-+x x ax ln 2--=， 所以()221
x a F x x
-+'=-。

因为()F x 存在极值，所以()221
0x a F x x
-+'=-
=在()0,+∞上有根， 即方程2210x ax -+=在()0,+∞上有根，则有2
80a ∆=-≥。

显然当0∆=时，()F x 无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正根。

记方程2210x ax -+=的两根12,x x ，则12121022
+=x x a x x ⎧=>⎪⎪⎨⎪⎪⎩， ()()()()()2222
1212121211ln ln 1ln 5ln 2422a a F x F x a x x x x x x +=+-+-+=-+->-， 解得216a >，满足0∆>，又1202
+=a x x >，即0a >， 故所求a 的取值范围是()4,+∞. …………12分
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解析：（1）直线l 的直角坐标方程为33x y +=，与y 轴相交于(0,3)
∴直线l 的参数方程为12332
x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）． …………4分
（2）直线l 的参数方程为12332
x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），
曲线C 的直角坐标方程为16
42
2=+y x ， …………6分 将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 有12)2
33(2)21
(322=++-t t ，∴08832=-+t t ， 设两根为12,t t ，3821-
=+t t ，3821-=t t . …………8分 ∴212214)(AB t t t t -+=
3
104)38(4)38(2=-⨯--=. …………10分 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解析：（1）42)(-++=x x x f 6)4()2(=--+≥x x ， 所以函数)(x f 的最小值为6. …………5分
（2）使{}{}2()35x f x t t x x ≤--≤≤≠∅I 成立，则存在[]5,30
-∈x ， 使得t t x f -≤20)(，即)(x f 在[]5,3-的最小值小于或等于t t -2，…………6分
因为⎪⎩⎪⎨⎧
>-≤≤--<-=4
,2242,62
,22)(x x x x x x f ，所以)(x f 在[]5
,3-的最小值为6，
…………8分 所以62≥-t t ，解得2-≤t 或3≥t .
…………10分。