2018届云南省师范大学附属中学高三12月高考适应性月考卷(五)数学(文)试题(解析版)

2018届云南省师范大学附属中学高三12月高考适应性月考卷（五）数学（文）试题一、单选题 1．已知集合509x A xx ⎧⎫-=⎨⎬-⎩⎭，集合()(){}|3100B x Z x x =∈--≤，则A B ⋂=（ ）A. ∅B. [)(]3,59,10⋃ C. {}3,4,10 D. R 【答案】C【解析】求解分式不等式可得： ()()59A =-∞⋃+∞，，，求解二次不等式可得： {}345678910B =，，，，，，，， 所以{}3410A B ⋂=，，，故选C ．2．复数1111i iz i i-+=-+-，则复数z 的虚部是（ ） A. 2- B. 2i - C. 2 D. i【答案】A【解析】由题意可得： ()()()()2211i 11i 4i211112i i z i i i i i --+-+-=-===-+-+-， 则复数z 的虚部是 2.-故选A ．3．为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（ ）A. 各月的平均最高气温都不高于25度B. 七月的平均温差比一月的平均温差小C. 平均最高气温低于20度的月份有5个D. 六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度 【答案】C【解析】由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，选项C 的说法是错误的. 故选C ．4．已知函数()()()3log ,0,{2,0,x x f x f x x -<=--≥则()2017f =（ ）A. 1B. 0C. 1-D. 3log 2 【答案】B【解析】()()()()()320172015201311log 10f f f f f =-===--=-= ,选B. 5．在等差数列{}n a 中，若59103a a a ++=，则数列{}n a 的前15项的和为（ ） A. 15 B. 25 C. 35 D. 45 【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，则： 59101832133a a a a d a ++=+==, 故1151581515152a a S a +=⨯==，故选A ． 6．已知抛物线C ： 24y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线交曲线C 于A ， B 两点，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A.163 B. 133 C. 83 D. 53【答案】D【解析】由题意知过点()1,0F 的直线方程为)1y x =-，联立方程)21{4y x y x =-=，，消去y 得： 231030x x -+=. 设()11A x y ，， ()22B x y ，，则12103x x +=， 所以弦AB 的中点的横坐标为12523x x +=，故到y 轴的距离为53，故选D ．7．若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（ ）A. 2B.C. 3D.【答案】B【解析】结合三视图可知几何体为如图所示三棱锥A−BCD，三棱锥在边长为2的正方体中，可知正方体体对角线AC即为三棱锥最长的棱，且AC=故选B．点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．8．规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”.如图，若输入的a=，则输出的n为（）891A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C【解析】由题意知：输入的891a =，则程序运行如下： 当1n =时， 981m =， 189t =， 792a =， 当2n =时， 972m =， 279t =， 693a =， 当3n =时， 963m =， 369t =， 594a =， 当4n =时， 954m =， 459t =， 495a =， 此时程序结束，输出4n =，故选C ．9．已知函数()cos xf x e x =+，若()()211f x f -≥，则x 的取值范围为（ ）A. ][(),01,-∞⋃+∞B. []0,1C. (],0-∞D. [)1,+∞ 【答案】A 【解析】因为()(),f x f x -= 且0x >时()()0cos sin 10x x f x e x f x e x e =+⇒=->-='所以函数()f x 为偶函数,且在[)0,+∞ 上单调递增 因此()()21f x -≥()()21121121121110f x f x x x x x ⇒-≥⇒-≥⇒-≥-≤-⇒≥≤或或选A.10．如图，函数()f x 的图象为折线ABC ，则不等式()21xf x ≥-的解集是（ ）A. []2,0-B. []2,1-C. []2,2-D. (],1-∞ 【答案】B【解析】结合21xy =- 图像知()21xf x =-有且仅有一个交点()1,1 ，所以不等式()21x f x ≥-的解集是[]2,1-，选B.11．已知半径为5的球O 被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（ ）A. B.C. 或D. ()25π或()25π 【答案】C【解析】分类讨论：（1）当两截面圆在球心的同侧时，如下图，则AB 为大截面圆的直径， CD 为小截面圆的直径，梯形ABDC 为圆台的轴截面，由题意知， 13OO =，24OO =，则圆台的高为121O O =， AC =，所以圆台的侧面积为()18π6π2S =+=侧.（2）当两截面圆在球心的异侧时，如下图，则AB 为大截面圆的直径， CD 为小截面圆的直径，梯形ABDC 为圆台的轴截面，由题意知， 13OO =，24OO =，则圆台的高为127O O =， AC =，所以圆台的侧面积为()18π6π32S =+=侧，综上所述，故选C ．12．已知椭圆C ： 22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ， 2l ， 1l 与椭圆C 相交于点A ， B ， 2l 与椭圆C 相交于点C ， D ，则下列叙述不正确的是（ ）A. 存在直线1l ， 2l 使得AB CD +值为7B. 存在直线1l ， 2l 使得AB CD +值为487C. 弦长AB 存在最大值，且最大值为4D. 弦长AB 不存在最小值 【答案】D【解析】当直线1l ， 2l 一个斜率为零一个斜率不存在时，可得AB 即为长轴， CD 为通径，则7AB CD +=，则A 是正确的；当直线1l ， 2l 的斜率都存在时，不妨令直线1l 的斜率为()0k k ≠，由题意知1l 的直线方程为()1y k x =-，联立方程()221{ 431x y y k x +==-，，消去y 得()22223484120k xk x k +-+-=，设()11A x y ，， ()22B x y ，，由韦达定理知：2122834k x x k +=+， 2122412·34k x x k -=+，所以()212212134k AB x k+=-=+，同理()2212134k CD k +=+，特别地当21k=时， 247AB CD ==，即487AB CD +=，则B 正确 ；由()222121333434k AB k k+==+++，故当0k =时， AB 取到最大值4，则C 正确；由233334AB k =+>+，但当弦AB 的斜率不存在时， 3AB =，故AB存在最小值3，故D 选项不对，故选D ．点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.二、填空题13．若x ， y 满足约束条件11,{ 11,x y x y -≤+≤-≤-≤则34z x y =-的最小值为__________.【答案】4-【解析】由题意可知，线性区域是如图的阴影部分，由344z y x =-，则4z -为直线的截距，由图可知，当01x y ==，时， z 取到最小值4-.14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和， 11a =，当2n ≥时， 11n n S a -+=，则8a =__________.【答案】128【解析】由11a =，且11n n S a -+=，所以11n n S a ++=，两式做差可得： 12n n a a +=，所以{}n a 是以首项为1，公比为2的等比数列， 则12n n a -=，所以782128a ==.15．在边长为的等边ABC ∆中，点O 为ABC ∆外接圆的圆心，则()OA OB OC ⋅+=__________.【答案】4-【解析】如图，由O 是正ABC ∆外接圆的圆心（半径为2），则O 也是正ABC ∆的重心，设AO的延长线交BC 于点D ，故()224OB OC OD OA OA OB OC OA +==-∴⋅+=-=-点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.16．在ABC ∆中， D 为AC 上一点，且2AD =， 1DC =， BD 为ABC ∠的角平分线，则ABC ∆面积的最大值为__________.【答案】3【解析】如图，由于BD 为ABC ∠的角平分线，且2AD =， 1CD =，由角平分线定理知：2AB ADBC DC==， 令BC m =， 2AB m =，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知： 13m <<，在ABC 中，由余弦定理知： 2224959cos 2244m m ABC m m m +-∠==-⨯⨯，所以：1·2?·sin 2ABC S m m ABC m =∠=m ==3=，当且仅当2219m m -=-，即m 所以ABC 面积的最大值为3.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．三、解答题17．已知函数()22cos 1f x x x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中， A ∠， B ∠， C ∠所对的边分别是a ， b ，c ， ()3f B =，2b =， a c +=，求ABC ∆的面积.【答案】(1)最小正周期πT =，在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域为[]14，. (2) . 【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式()π2226f x sin x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，据此可得函数的最小正周期πT =，在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域为[]14，.(2)由题意结合(1)的结论和余弦定理可得ABC ∆. 试题解析：（1）()22212f x x cos x =+-+ 222x cos x ++π=2226sin x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， `所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==， πππ7π022666x x ≤≤∴≤+≤ ，，π12226sin x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭， π122246sin x ⎛⎫∴≤++≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域为[]14，.（2）由()3f B =得π22236sin B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，又ππ13π2666B <+<， π5π266B ∴+=， π3B ∴=， 由2b =及余弦定理得： 224260a c accos =+-︒， ∴ ()234a c ac +-=，又a c +=，代入上式解得83ac =，∴ ABC 的面积116022S acsinB acsin ==︒=. 18．随着我国经济的快速发展，民用汽车的保有量也迅速增长.机动车保有量的发展影响到环境质量、交通安全、道路建设等诸多方面.在我国，尤其是大中型城市，机动车已成为城市空气污染的重要来源.因此，合理预测机动车保有量是未来进行机动车污染防治规划、道路发展规划等的重要前提.从2012年到2016年，根据“云南省某市国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，该市机动车保有量数据如表所示.（1）在图所给的坐标系中作出数据对应的散点图； （2）建立机动车保有量y 关于年份代码x 的回归方程； （3）按照当前的变化趋势，预测2017年该市机动车保有量.附注：回归直线方程ˆˆˆya bx =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1221ˆni i i ni i x y nxy b x nx ==-=-∑∑， ˆˆa y bx =-. 【答案】(1)答案见解析；(2) 15.6514ˆ1.yx =+.(3)245万辆. 【解析】试题分析：(1)结合所给的数据绘制散点图即可；(2)结合所给的数据计算可得回归方程为15.6514ˆ1.yx =+. (3)结合线性回归方程的预测作用可得2017年该市机动车保有量是245万辆.试题解析：（1）数据对应的散点图如图所示.（2）3198.2x y ==，， 515221515615.610ˆ5i i i i i x y x y b x x==-===-∑∑， ˆ151.ˆ4a y bx =-=， 所以回归直线方程为15.6514ˆ1.yx =+. （3）代入2017年的年份代码6x =，得15.661512ˆ.445y=⨯+=，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ， 2AB AC ==， 13AA =.（1）证明： 1AB CC ⊥；（2）若点P 为11B C 的中点，求三棱锥1P ABA -的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】试题分析：（1）由射影得线面垂直1A A M BC ⊥平面，再由线面垂直性质定理得线线垂直1A M AB ⊥，结合条件可由线面垂直判定定理得AB ⊥平面11A ACC ，即得结论（2）求体积关键在于确定高线：先根据等体积法将所求锥转化求112B AAC V -，再根据AB ⊥平面11A ACC ，以及锥体体积公式得体积试题解析：（1）证明：因为顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ， 所以1A M ABC ⊥平面，又AB ABC ⊂平面，所以1A M AB ⊥， 又因为AB AC ⊥，而11A MA A C C ⊂平面， 11AC A ACC ⊂平面且1A M AC M ⋂=，所以AB ⊥平面11A ACC ，又因为111CC A ACC ⊂平面， 所以1AB CC ⊥.（2）解：如图，因为P 是11B C 的中点，所以11111111111122222232P ABA C ABA B AA C B AA C V V V V ----====⨯⨯⨯⨯=20．椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，过其右焦点F 与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M ， 12MF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆上的动点，且点P 与点A ， B 不重合，直线PA 与直线3x =相交于点S ，直线PB 与直线3x =相交于点T ，求证：以线段ST 为直径的圆恒过定点.【答案】(1) 22141x y +=. (2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)由题意可得21a b ==，，则椭圆C 的标准方程为22141x y +=. (2)由题意可得()35S k ，，结合题意可得圆的方程为()222515132828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则以线段ST 为直径的圆恒过定点30⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 试题解析：（1）解： 2c e a ==因为，又212b MF a ==，联立解得： 21a b ==，， 所以椭圆C 的标准方程为22141x y +=. （2）证明：设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为()2y k x =+， 联立3x =得()35S k ，.()00P x y 设，，代入椭圆的方程有： ()220001241x y x +=≠±， 整理得： ()2200144y x =--，故2020144y x =--，又002y k x =+， 002yk x ='- (k k '，分别为直线PA ，PB 的斜率)， 所以2020144y kk x ==--'，所以直线PB 的方程为： ()124y x k=--， 联立3x =得134T k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，所以以ST 为直径的圆的方程为： ()222515132828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令0y =，解得：3x = 所以以线段ST为直径的圆恒过定点30⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.21．已知函数()ln 1xf x x =-. （1）确定函数()f x 在定义域上的单调性，并写出详细过程； （2）若()xf x ke ≤在()1,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2) 1k e≥. 【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调性（2）调整不等式为()()ln 10xh x x k x e =--≤在()1+∞，上恒成立.再利用导数研究函数单调性：当0k ≤时，函数()h x 单调递增，最大值趋于正无穷 ，不符题意；当1k e ≥时，函数()h x 先增再减，最大值为()10h =，满足题意；当10k e<<时，最大值大于()10h =，不符题意试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()()()()211ln 0111x x f x x --⋃+∞='-，，，，令()11ln g x x x =--，则有()21x g x x ='-， 令()210xg x x-'==，解得1x =，所以在()01，上， ()0g x '>， ()g x 单调递增，在()1+∞，上， ()0g x '<， ()g x 单调递减.又()10g =，所以()0g x ≤在定义域上恒成立. 即()0f x '<在定义域上恒成立，所以()f x 在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递减. （2）由()xf x ke ≤在()1+∞，上恒成立得：ln 1x xke x ≤-在()1+∞，上恒成立. 整理得： ()ln 10xx k x e --≤在()1+∞，上恒成立.令()()ln 1x h x x k x e =--，易知，当0k ≤时， ()0h x ≤在()1+∞，上恒成立不可能，0k ∴>，又()1x h x kxe x-'=， ()11h ke '=-， 1°当1k e ≥时， ()110h ke =-≤'，又()1xh x kxe x-'=在()1+∞，上单调递减，所以()0h x '≤在()1+∞，上恒成立，则()h x 在()1+∞，上单调递减，又()10h =，所以()0h x ≤在()1+∞，上恒成立.2°当10k e <<时， ()110h ke =->'， 11e 0k h k k ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，又()1xh x kxe x -'=在()1+∞，上单调递减， 所以存在()01x ∈+∞，，使得()00h x '=，所以在()01x ，上()0h x '>，在()0x +∞，上()0h x '<， 所以()h x 在()01x ，上单调递增，在()0x +∞，上单调递减， 又()10h =，所以()0h x >在()01x ，上恒成立， 所以()0h x ≤在()1+∞，上恒成立不可能. 综上所述， 1k e≥. 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22．已知抛物线C 的方程为28y x =，以抛物线C 的焦点F 为极点，以x 轴在点F 右侧部分为极轴建立极坐标系. （1）求抛物线C 的极坐标方程；（2）P ， Q 是曲线C 上的两个点，若FP FQ ⊥，求11FP FQ+的最大值. 【答案】(1) 4(0)1cos ρρθ=>-.(2)24.【解析】试题分析：(1)结合抛物线的直角坐标方程转化为极坐标方程可得抛物线C 的极坐标方程是4(0)1cos ρρθ=>-； (2)结合(1)中的结论和三角函数的性质可得11FP FQ +的最大值为24. 试题解析：（1）由抛物线的定义得： 1(0)4cos ρρρθ=>+，即： 4(0)1cos ρρθ=>-.（2）由（1）得：12ππ1121111224444cos cos sin cos FP FQ θθθθθρρ⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭+=+===24≤， 当且仅当3π4θ=时等号成立，故11FP FQ +.23．已知函数()()ln 2123f x x x =+--. （1）求不等式()0f x ≤的解集； （2）当m 取何值时， ()f x m <恒成立. 【答案】(1) 13|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.(2) ln4m >. 【解析】试题分析：(1)由题意分类讨论可得不等式的解集为13| 24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；(2)原问题等价于()max f x m <，将函数的解析式整理为()()134222{ 342ln x x f x ln x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭=⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，，可得4m ln >.试题解析：（1）由()0f x ≤有： ()21231ln x x ln +--≤， 所以021231x x <+--≤，即1{ 2021231x x x ≤-<--+-≤，或13{ 22021231x x x -<<<++-≤，或3{ 2021231x x x ≥<+-+≤，，解得不等式的解集为13| 24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭. （2）由()f x m <恒成立得()max f x m <即可.由（1）02123x x <+--得函数()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，所以有()()134222{ 342ln x x f x ln x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭=⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，，所以()4max f x ln =，即4m ln >.。