2018年高考文科数学全国卷1(含详细答案)

数学试题 第1页（共22页）数学试题 第2页（共22页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =（ ）A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．设121iz i i-=++，则z =（ ） A ．0 B ．12C ．1 D3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为()2,0，则C 的离心率（ ） A ．13B ．12CD5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A．B ．12πC．D ．10π6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +8．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A．B．C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为（ ）A ．8B．C．D．11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a ，()2,B b ，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15BCD ．1-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试题 第3页（共22页）数学试题 第4页（共22页）12．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．14．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB = ________． 16．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为________．三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

） （一）必考题：共60分。

17．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． ⑴求123b b b ，，；⑵判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； ⑶求{}n a 的通项公式．18．（12分）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．⑴证明：平面ACD ⊥平面ABC ；⑵Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表⑴在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：⑵估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m 3的概率；⑶估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）20．（12分）-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试题 第5页（共22页）数学试题 第6页（共22页）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．⑴当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； ⑵证明：ABM ABN =∠∠．21．（12分）已知函数()ln 1x f x ae x =--．⑴设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；⑵证明：当1a e ≥，()0f x ≥．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．⑴求2C 的直角坐标方程；⑵若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知()11f x x ax =+--．⑴当1a =时，求不等式()1f x >的解集；⑵若()01x ∈，时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．数学试题 第7页（共22页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案解析一、选择题1.【答案】A【解析】}2,0{=B A ,选A . 2.【答案】C【解析】()()()i i 22i2i 2i 1i 1i 12=+-=+-+-=z ,则1=z,选C .3.【答案】A【解析】经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,所以建设前与建设后在比例相同的情况下,建设后的经济收入是原来的2倍,所以建设后种植收入为37%相当于建设前的74%,故选A .4.【答案】C【解析】844222=+=+=c b a ,所以离心率22222===a c e ,故选C . 5.【答案】B【解析】易得圆柱的母线长与底面圆的直径均为22,所以圆柱的表面积222⨯⨯=πS 2222⨯+ππ12=,故选B .6.【答案】D【解析】ax x a x ax x a x x f x f +-++--+-=+-2323)1()1()()(2)1(2xa -=0=,R x ∈,则1=a ,则x x x f +=3)(,13)(2+='x x f ,所以1)0(='f ,在点)0,0(处的切线方程为x y =,故选D .7.【答案】A【解析】1111113()()()2222444BE BA BD BA BC BA AC AB AC AB =+=+=+-=-, 则3144EB AB AC =-,故选A .5 / 118.【答案】B【解析】252cos 31cos 32)cos 1(cos 2)(222+=+=+--=x x x x x f ,最小正周期为π,最大值为4,故选B .9.【答案】B【解析】将三视图还原成直观图,并沿点A 所在的母线把圆柱侧面展开成如图所示的矩形,从点M 到点N 的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短,长度为52,故选B .10.【答案】C【解析】1AC 与平面C C BB 11所成的角的平面角为301=∠B AC ,因为2==BC AB ,所以3260tan 1==AB B C ,则221=BB ,长方体的体积282222=⨯⨯=V ,故选C .11.【答案】B【解析】321cos 22cos 2=-=αα ,65cos 2=∴α,51tan ,61sin 22==∴αα.又角α终边上有两点),2(),,1(b B a A ,则)0(2tan >==ab ba α.555525551422=-=-⇒==∴b a b a ,故选B .12.【答案】D【解析】方法1：函数)(x f y =的图像如图所示,则)2()1(x f x f <+即⎩⎨⎧+<<1202x x x ,解得0<x .故选D .方法2：将1-=x 代入)2()1(x f x f <+得)2()0(-<f f ,显然成立,所以排除B 、D ；将21-=x 代入)2()1(x f x f <+得)1()21(-<f f ,显然成立,所以排除A ；故选D .M (A数学试题 第11页（共22页）二、填空题13.【答案】7-【解析】71)9(log )3(2-=⇒=+=a a f . 14.【答案】6【解析】可行域为ABC ∆及其内部,当直线223zx y +-=经过点)0,2(B 时,6max =z .15.【答案】【解析】圆03222=-++y y x 的半径为2=r ,其圆心)1,0(-到直线1+=x y 的距离为222==d ,所以22222=-=d r AB .16.【解析】由正弦定理得C B A B C C B sin sin sin 4sin sin sin sin =+,即21sin =A .由根据余弦定理可得8cos 2222==-+A bc a c b ,所以0cos >A ,得23sin 1cos 2=-=A A ,338=bc , 则ABC ∆的面积为3322133821sin 21=⨯⨯==∆A bc S ABC . 三、解答题(一)必考题：共60分.17.【答案】(1)11b =,22b =,34b =. (2)数列{}n b 是为等比数列,首项为1,公比为2.(3)12-⋅=n n n a7 / 11【解析】(1)由条件可得12(1)n n n a a n++=. 将1n =代入得,214a a =,而11a =,所以,24a =. 将2n =代入得,323a a =,所以,312a =. 从而11b =,22b =,34b =.(2){}n b 是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得121n na a n n+=+,即12n n b b +=,又11b =,所以{}n b 是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得12n na n-=,所以12n n a n -=⋅.18.【答案】(1)见解析. (2)1Q ABP V -=.【解析】(1)证明： 平行四边形ABCM 中90=∠ACM ,90=∠∴BAC ,即AC AB ⊥.又DA AB ⊥,A DA AC =⊥,⊥∴AB 平面ACD ,⊂AB 平面ABC ,∴平面⊥ACD 平面ABC .(2)DA DQ BP 32== , ∴ABC ABP S S ∆∆=32且点Q 到平面ABC 的距离是点D 到平面ABC 的距离的31. 3==AC AB 且 90=∠ACD ,∴13332127231929292=⨯⨯⨯⨯=⋅⨯===∆---AB S V V V ACD ACD B ABC D ABP Q .数学试题 第15页（共22页）19.【答案】(1)见解析. (2)0.48.(3)一年能节省347.45m 的水. 【解析】解：(1)(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.353m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=,因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.353m 的概率的估计值为0.48. (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48.50x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35.50x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 估计使用节水龙头后,一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=.20.【答案】(1)直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--.(2)见解析.【解析】解：(1)当l 与x 轴垂直时,M 为)2,2(或)2,2(-, 则直线BM 的斜率为21或21-, 直线BM 的方程为)2(21+=x y 或)2(21+-=x y . (2)方法1：易知直线l 的斜率不为0,9 / 11不妨设2:+=my x l 且直线BN BM ,的斜率分别为21,k k .由⎩⎨⎧=+=xy my x 222得0422=--my y ,则4,22121-==+y y m y y ,因为21k k +0)4)(4(88)4)(4()(4244222121212122112211=+++-=++++=+++=+++=my my mm my my y y y my my y my y x y x y , 所以直线BN BM ,的倾斜角互补,得ABN ABM ∠=∠. 方法2：设直线BN BM ,的斜率分别为21,k k .①当l 与x 轴垂直时,由(1)知21k k -=,即直线BN BM ,的倾斜角互补,所以ABN ABM ∠=∠；②当l 不与x 轴垂直时,设),2(:-=x k y l ),(),,(2211y x N y x M .由⎩⎨⎧=-=xy x k y 2)2(2得04)24(2222=++-k x k x k , 则0≠k 且4,24212221=+=+x x k k x x . 因为21k k +0)2)(2()82(2)2(2)2(22212122112211=++-=+-++-=+++=x x x x k x x k x x k x y x y , 所以直线BN BM ,的倾斜角互补,得ABN ABM ∠=∠. 综合①②所述,得ABN ABM ∠=∠.21.【答案】(1)221e a =,)(xf 的减区间为)2,0(,)(x f 的增区间为),2(+∞.. (2)见解析.【解析】解：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞,1()e x f x a x'=-. 由题设知,(2)0f '=,所以212e a =.从而21()e ln 12e x f x x =--,211()e 2e x f x x'=-. 当02x <<时,()0f x '<；当2x >时,()0f x '>.所以()f x 在(0,2)单调递减,在(2,)+∞单调递增.(2)当1e a ≥时,e ()ln 1e xf x x --≥.设e ()ln 1exg x x =--,则e 1()e x g x x '=-.数学试题 第19页（共22页）当01x <<时,()0g x '<；当1x >时,()0g x '>.所以1x =是()g x 的最小值点. 故当0x >时,()(1)0g x g =≥.因此,当1ea ≥时,()0f x ≥.(二)选考题：共10分.22.【答案】(1)22(1)4x y ++=. (2)4||23y x =-+.【解析】解：(1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=. (2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆.由题设知,1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ,y 轴左边的射线为2l . 由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点.当1l 与2C 只有一个公共点时,A 到1l 所在直线的距离为2,2=,故43k =-或0k =. 经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点；当43k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点.当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为2,2=,故0k =或43k =. 经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点；当43k =时,2l 与2C 没有公共点. 综上,所求1C 的方程为4||23y x =-+.11 / 1123.【答案】(1)),1[+∞.(2)20≤<a .【解析】(1)当1=a 时,11)(--+=x x x f ,则1-≤x 时,2)(-=x f ,则1)(>x f 无解；11<<-x 时,x x f 2)(=,则1)(>x f 的解集为)1,21(； 1≥x 时,2)(=x f ,则1)(>x f 的解集为),1[+∞.综上所述,所求解集为),21(+∞.(2))1,0(∈x 时不等式x x f >)(成立,即x ax x >--+11,则11<-ax 成立. 所以x a ax 20111<<⇒<-<-. 因为10<<x 时,有),2(2+∞∈x,所以20≤<a .。