高中数学必修四学案 1.1.2 弧度制
学案3：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算学习目标（1）理解弧度的概念，能正确进行弧度与角度的互化；（2）熟记特殊角的弧度数；（3）熟悉在弧度制下，终边相同的角，象限角，轴上角的表示方式及其应用；（4）了解角的集合与实数集R之间可以建立一一对应的关系；（5）掌握在弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式及应用．学习过程基础知识（1）把长度等于半径长的弧所对的________叫做1弧度的角，用符号________表示，读作________．（2）正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．（3）如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|=________．（4）换算公式1 =________rad≈0.01745rad，1rad=（________）°≈57.30°=57°18′．（5）弧长公式：l=________；扇形面积公式：S=________=________．其中α为圆心角的弧度数．弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算．1．注意弧度制与角度制与对应关系我们已经知道，圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，所以弧又与圆心角有联系：弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角与弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角之分，弧也就有正弧、零弧、负弧之分；从“数”上讲，圆心角与弧的度数都有正数、0、负数之分．这样，圆心角、弧都被赋予了方向，每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反过来也对．这就是说，圆心角与弧是一一对应的．2．注意弧度制与实数的对应关系角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系．对于角度制：说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角可以取度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则不是唯一的；但是对于弧度制：说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数只可以取弧度数，即每一个角都有惟一的一个实数（弧度数）与之对应．反过来，不论是角度制，还是弧度制，每一个实数（可以弧度数，也可以是度数、分数、秒数）也都有惟一的一个角与它对应．3．注意角度制与弧度制之间的换算关系如果圆心角所对的弧长l =2πr （即弧是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数1r ＝2πr r＝2π，即一个周角的角度数为360︒＝2π弧度，即180︒=π弧度，由此可得角度制与弧度制之间的换算公式：1︒＝π180弧度≈0.0174，1弧度＝180︒π≈57.30︒＝57︒18'． 4．注意弧度制与角度制的单位区别弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；同时，不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．5．注意弧度制与角度制的进位制区别分析角度制和弧度制下度量角的方法，我们看出，在用角度制表示角的时候，人们总是十进制、六十进制，不便于计算，而在用弧度表示角的时候，人们只用十进制，所以弧度制更容易找出与角对应的实数．另外，在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单．6．注意弧度制与角度制在同一表达式混合使用由于有弧度制与角度制两种单位制，在表示与角时，若涉及到几项的和差形式，则要求所所有项选用的单位制必须一致，绝对不能出现k ·360°－π3（k ∈Z ）或者2k π－60°（k ∈Z ）一类的写法．例1．下列各命题中，假命题是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的3601，1弧度的角是周角的12π C ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径的长短有关例2．将下列各角化成2k π+α（k ∈Z ），且0≤α<2π的形式，并指出它们是第几象限角：（1）－1725°；（2）364π．课堂练习1．把－1125°化成α＋2k π（0≤α＜2π，k ∈Z ）的形式是（ ）A ．－π4 －6πB ．7π4 －6πC ．－π4 －8πD ．7π4－8π 2．角α的终边落在区间（－3π，－52π）内，则角α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ）A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4πcm 2D ．2πcm 24．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是________．5．在直径为10cm 的轮上有一长为6cm 的弦，P 是该弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，求经过5秒钟后点P 转过的弧长．参考答案学习过程基础知识（1）圆心角，rad ，弧度；（2）正数，负数，0；（3）rl ； （4）π180，180π；（5）αr ，21lr ，21αr 2. 例1．D 【解析】角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，又长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，∴360︒=2πrad ，∴180︒=πrad ，故选D ．例2．解：（1）∵－1725°=－5×360°+75°=－10π+125π， ∴－1725°与125π角的终边相同，又∵125π是第一象限角，∴－1725°是第一象限角； （2）∵364π=20π+34π，∴364π与34π角的终边相同， 又∵34π是第三象限角，∴364π是第三象限角． 课堂练习1．D【解析】－1125°=－1801125π=－425π=－π4 －6π=7π4 －8π； 2．C【解析】由于－3π=－4π+π，－52 π=－4π+23π，则区间（－3π，－52 π）表示的象限为第三象限，则角α所在象限是第三象限；3．A【解析】由于α=2，l =4，可得R =αl =2，则S =21αR 2=4. 4．1或4【解析】由扇形的弧长公式l ＝θ·r 和面积公式S ＝12θr 2知：2r ＋θr ＝6，12θr 2＝2，联立后解得：θ＝1或θ＝4.5．解：∵轮子以每秒5弧度的角速度旋转，∴P 点在以O 为圆心、半径为OP ＝4cm 的圆上以同样的角速度在旋转，5秒钟转的弧度数为5×5＝25 rad ，又r ＝4cm ，∴l ＝∣α∣·r ＝25×4＝100（cm ）．。
人教a版必修4学案：1.1.2弧度制(含答案)
1.1.2 弧度制自主学习知识梳理 1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______．23.我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)．对点讲练知识点一 角度制与弧度制的换算例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π12化成角度．回顾归纳 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可．变式训练1 将下列角按要求转化： (1)300°＝________rad ；(2)－22°30′＝________rad ； (3)8π5＝________度．知识点二 利用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.回顾归纳 在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用． 变式训练2 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．知识点三 弧长、扇形面积的有关问题例3 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？回顾归纳 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．变式训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.课时作业一、选择题 1．与30°角终边相同的角的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z } C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π6，k ∈Z 2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C.2sin 1D ．2sin 1 4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9二、填空题6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．7．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝________.8．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.三、解答题9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．10. 如右图，已知扇形OAB 的中心角为4，其面积为2 cm 2，求扇形的周长和弦AB 的长．1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad(3)|α|＝lr终边的旋转方向 正数 负数 0解 半径为r ，圆心角n °的扇形弧长公式为l ＝n πr180，扇形面积公式为S 扇＝n πr2360.∵l 2πr ＝|α|2π，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π，∴S 扇＝12|α|r 2.∴S 扇＝12|α|r 2＝12lr .对点讲练例1 解 (1)∵112°30′＝112.5°＝⎝⎛⎭⎫2252° ＝2252×π180＝5π8. (2)－7π12＝－7π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－105°.变式训练1 (1)5π3 (2)－π8(3)288例2 解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300° ＝－5×360°＋300°.∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．变式训练2 －10π＋7π4解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋7π4.例3 解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2. 变式训练3 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad. 课时作业 1．D 2.A3．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.]4．D [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．]5．B [设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsinπ6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.] 6．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝30π＝α·r ＝6π5r ，∴r ＝25.7.7π3或10π3解析 －7π6＋7π2＝14π6＝7π3，－7π6＋9π2＝20π6＝10π3. 8．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝7π3， π3－2π＝－5π3，π3－4π＝－11π3. 9．解 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－34π≤α≤2k π＋3π4，k ∈Z .(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z .10．解 设AB 的长为l ，半径OA ＝r ，则S 扇形＝12lr ＝2，∴lr ＝4， ①设扇形的中心角∠AOB 的弧度数为α，则|α|＝lr ＝4，∴l ＝4r ， ② 由①、②解得r ＝1，l ＝4.∴扇形的周长为l ＋2r ＝6 (cm)， 如图作OH ⊥AB 于H ，则AB ＝2AH ＝2r sin 2π－42＝2r sin(π－2)＝2r sin 2(cm)．。
【人教版】高中数学必修四《1.1.2弧度制》优秀学案及答案
预习课本P6～9，思考并完成以下问题(1)1弧度的角是如何定义的？(2)如何求角α的弧度数？(3)如何进行弧度与角度的换算？(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？[新知初探]1．角的单位制(1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写．(3)角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝.[点睛](1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3.5rad可写成α＝－3.5.而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．2．角度与弧度的换算3．弧度制下的弧长与扇形面积公式公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制l＝nπr180S＝nπr2360弧度制l＝S＝＝[点睛](1)在应用扇形面积公式S＝12|α|r2时，要注意α的单位是“弧度”．(2)在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入．(3)在弧度制下的扇形面积公式S＝12lr，与三角形面积公式S＝12ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆．(4)由α，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度＝1°.()(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．()(3)1弧度是长度等于半径的弧．()2．5弧度的角的终边所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的面积是()A.4π3B．π C.2π3D.π34．将－1125°表示成2kπ＋α，0≤α＜2π，k∈Z的形式为.角度与弧度的换算[典例]设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝4π5，β2＝－11π6.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．将下列角度与弧度进行互化：(1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.用弧度制表示终边相同的角[典例]已知角α＝－2018°.(1)将α改写成φ＋2kπ(k∈Z,0≤φ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)在区间[－2π，4π)上找出与α终边相同的角．用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．[活学活用]已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ－π2，π2扇形的弧长公式及面积公式题点一：利用公式求弧长和面积1．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3.求：(1)这个圆心角所对的弧长；(2)这个扇形的面积．题点二：利用公式求半径和弧度数2．扇形OAB的面积是4cm2，它的周长是8cm，求扇形的半径和圆心角．题点三：利用公式求扇形面积的最值3．已知扇形AOB的周长为10cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．1.1.2弧度制[新知初探]1．1360(2半径长圆心角弧度制弧度(3)正数负数0l r 2．2π_rad π_rad 180°3．|α|·r12lr ＝12|α|r 2[小试身手]1．答案：(1)×(2)√(3)×2．答案：D 3．答案：D 4．答案：－8π＋7π4角度与弧度的换算[典例][解](1)∵1°＝π180rad ，∴α1＝510°＝510×π180＝176π，α2＝－750°＝－750×π180＝－256π.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．(2)β1＝4π5＝4π5×180°π＝144°.设θ1＝k ·360°＋144°(k ∈Z)．∵－360°≤θ1＜360°，∴－360°≤k ·360°＋144°＜360°.∴k ＝－1或k ＝0.1β2＝－11π6＝－11π6×180°π＝－330°.设θ2＝k ·360°－330°(k ∈Z)．∵－360°≤θ2＜360°，∴－360°≤k ·360°－330°＜360°.∴k ＝0或k ＝1.∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°.[活学活用]解：(1)5116π＝5116×180°＝15330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°.(3)10°＝10×π180＝π18.(4)－855°＝－855×π180＝－19π4.用弧度制表示终边相同的角[解](1)因为α＝－2018°＝－6×360°＋142°，且142°＝142×π180＝71π90，所以α＝－12π＋71π90，故α是第二象限角．(2)与α终边相同的角可表示为θ＝2k π＋71π90，k ∈Z ，又－2π≤θ＜4π，所以k ＝－1,0,1，将k 的值分别代入θ＝2k π＋71π90，k ∈Z ，得θ＝－109π90，71π90，251π90.[活学活用]解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z.又γ－π2，，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.扇形的弧长公式及面积公式题点一：利用公式求弧长和面积1．解：(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3，所以半径r ＝1sinπ3＝233，所以这个圆心角所对的弧长l ＝233×2π3＝43π9.(2)由(1)得扇形的面积S ＝12×233×43π9＝4π9.题点二：利用公式求半径和弧度数2．解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为r cm ，2r ＝8，①·r ＝4，②由①②，得r ＝2，所以l ＝8－2r ＝4，θ＝lr ＝2.故所求扇形的半径为2、圆心角为2rad.题点三：利用公式求扇形面积的最值3．解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ，由l ＋2r ＝10得l ＝10－2r ，S ＝12lr ＝12(10－2r )·r ＝5r －r 2＋254，0＜r ＜5.当r ＝52时，S 取得最大值254，这时l ＝10－2×52＝5，∴θ＝l r ＝552＝2.故该扇形的面积的最大值为254cm 2，及取得最大值时圆心角为2rad ，弧长为5cm.。
1.1.2弧度制学案
1.1.2 弧度制一、【课前导学】 1．弧度角的定义：思考：圆的半径为r ，圆弧长为r π、2r 、3r 的弧所对的圆心角分别为多少？说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：弧度角π是什么？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？2．弧度的推广及角的弧度数的计算： 规定：说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
3．角度与弧度的换算3602π=rad 180π=rad1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈5．在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？ 圆的半径为r ，圆心角为n 所对弧长为： 扇形面积为 ：6．弧长公式：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？ 二、【典例示范】例1 （1）'3067︒化成弧度．（2）35πrad 化成度。
例2 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。
（1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。
（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。
OAB例3 将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限。
（1）π319； （2）o 315-； （3）o 1485-．（练习）写出阴影部分的角的集合：例4 （1）已知扇形OAB 的圆心角α为120，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积。
（2）已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？例5 如图，扇形OAB 的面积是24cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。
1502101.1.2 弧度制（作业）一、选择题 1．π43sin的值是（ ）． A ． 22-B ． 22C ． 21-D ． 212．一条弦长等于半径的21，则此弦所对圆心角（ ）． A ．等于6π弧度 B ．等于 3π弧度 C ．等于21弧度 D ．以上都不对 3．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形面积是（ ）．A ．B ．C ．16D ．324．集合|,,|2,22A k k Z B k k Z ππααπααπ⎧⎫⎧⎫==+∈==±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭的关系是（ ） （A ）A B = （B ）A B ⊆ （C ）A B ⊇ （D ）以上都不对5．已知集合{}{}|2(21),,|44A k k k Z B απαπαα=≤≤+∈=-≤≤，则A B ＝（ ）（A ）φ （B ）{}|44αα-≤≤（C ）{}|0ααπ≤≤ （D ）{|4ααπ-≤≤-或0}απ≤≤二、填空题6．把化为的形式是 . 7．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。
学案4：1.1.2 弧度制
1.1.2弧度制【课标要求】1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．2．能进行弧度与角度的互化．3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．【核心扫描】1．对弧度制概念的理解．(难点)2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)新知导学1．度量角的单位制(1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360.(2)弧度制①弧度制的定义长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．②任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个；负角的弧度数是一个；零角的弧度数是零．③角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.温馨提示：圆心角α所对的弧长与半径的比值lr与半径的大小无关，仅与角的大小有关．2．角度制与弧度制的换算(1)温馨提示：角度制与弧度制是两种不同的度量单位，两者之间可相互转化，并且角度与弧度是一一对应的关系．在表示角时，角度制与弧度制不能混用，在表达式中，要保持单位一致，防止出现π3＋k ·180°或60°＋2k π等这类错误的写法．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则 温馨提示：扇形的面积公式S ＝12lR 与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底)，可以类比记忆．在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但如果已知角是以“度”的单位，则必须先化成弧度后再计算．互动探究探究点1 角α＝2这种表达方式正确吗？探究点2 弧度制与角度制有何区别与联系？探究点3 如何用弧度制表示直角坐标系中的角？题型探究类型一 角度制与弧度制的换算 【例1】 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[规律方法] (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．【活学活用1】 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．类型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)将－1 500°表示成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角； (2)在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角．[规律方法] 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．【活学活用2】 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．类型三 扇形的弧长及面积公式的应用【例3】 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．[规律方法] (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数． 【活学活用3】 已知一个扇形的周长为8π9＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积．易错辨析 角的度量单位不统一及角的大小不清楚【示例】 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．[错解] (1)330°＋2k π<θ<75°＋2k π(k ∈Z )，(2)225°＋2k π<θ<135°＋2k π(k ∈Z )．[错因分析] 在用角度或弧度表示角时，不要混用；此外，对于区域角，要注意旋转方向，并注意把结果写成集合的形式．[正解] (1)∵330°的终边也可看作－30°的终边，∴－30°＝－π6，75°＝5π12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－π6＋2k π<θ<5π12＋2k π，k ∈Z . (2)∵225°的终边也可看作－135°的终边，∴－135°＝－3π4，135°＝3π4，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z . [防范措施] 一定要使用统一的角的度量单位，另外要弄清角的大小，不要出现矛盾不等式.课堂达标1．下列说法中，错误的说法是( )． A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2．α＝－2，则α的终边在( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．－2312π rad 化为角度应为________．4．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．5．已知集合A ＝{α|2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，求A ∩B .课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单 位取弧度.参考答案新知导学1．(2)①半径长②正数负数2．角度制与弧度制的换算(1) 2π 360° π 180°(2) 90° 180°3．α·R互动探究探究点1提示正确．用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，角α＝2就表示α是2 rad的角．探究点2提示(1)区别：①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．②1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指等于周角的1360的角，二者大小显然不同．③用弧度制表示角时，单位“弧度”两个字可以省略不写，但用角度制表示角时，单位“°”不能省略．(2)联系：无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．探究点3提示(1)利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.(2)类型一 角度制与弧度制的换算 【例1】 【解】(1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.【活学活用1】 【解】(1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 类型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 【解】(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－25π3＝－10π＋5π3.∵5π3是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵2π5＝25×180°＝72°，∴终边与角2π5相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°范围内，与2π5角终边相同的角为72°，432°.【活学活用2】 【解】(1)∵180°＝π rad ， ∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°，得k ＝－2，或k ＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用【例3】 【解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S . 由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r . ∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r＝－⎝⎛⎭⎫r －a 42＋a 216. ∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a 2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝lr＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，为a 216.【活学活用3】【解】设扇形的半径为r ，面积为S ，由已知，扇形的圆心角为80×π180＝4π9， ∴扇形的弧长为4π9r ，由已知，得4π9r ＋2r ＝8π9＋4，∴r ＝2， ∴S ＝12·4π9r 2＝8π9.故扇形的面积是8π9.课堂达标1．D【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误． 2．C【解析】1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限． 3．－345°【解析】－2312π＝－2312×180°＝－345°.4．34【解析】由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .5．【解】∵A ＝{α|2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }， 令k ＝1，有2π<α<3π，而2π>4；令k＝0，有0<α<π；令k＝－1，有－2π<α<－π.而－2π<－4<－π，故A∩B＝{α|－4≤α<－π或0<α<π}．。
高中数学 1.1.2 弧度制教案 新人教版必修4
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 1.1.2 弧度制教案 新人教版必修4教学目标：1．理解1弧度的角及弧度的定义；2．掌握角度与弧度的换算公式并熟练进行角度与弧度的换算；3．理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题．教学重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；熟练进行弧长和面积公式的应用． 教学难点：弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系．教学方法：问题链导学法．教学过程：一、问题情境探究：l 、α、r 三者之间关系. 二、学生活动1．改变α、r ,观察l 的变化 2．改变l ，r ，观察α的变化 3．分析原因 三、建构数学1．弧度角的定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2．记法：1rad ． 3．引入弧度制的概念4．通过问题构建弧长，半径，圆心角之间的关系：l = |α| r 5．通过问题引导学生进行角度制与弧度制的互换． 360°＝2πrad 180°= πrad1801π=︒rad ≈0.01745rad 1rad=︒)180(π≈57.30°A6．通过问题引导学生推导出弧度制下的扇形面积公式． 四、数学应用 1．例题．例1 把下列各角从度化为弧度．（1）135° （2）-75° （3）11°15′例2 把下列各角从弧度化为度． （1）53πrad （2）34πrad例3 已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad ，求该扇形的面积.2．练习． （1）填表说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算． （2）用弧度制写出终边落在y 轴上和x 轴上的角集合．（3）周长为20的扇形，当圆心角为多少弧度时，其面积最大？五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容： 1． 弧度制的定义； 2． 角度与弧度的换算公式； 3． 特殊角的弧度数．。
高中数学学案10：1.1.2 弧度制
1.1.2 弧度制一、学习目标1.弧度的角及弧度的定义；2.掌握角度与弧度的换算公式；3.熟练进行角度与弧度的换算；4.理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
二、自主学习1．度量角的单位制(1)角度制;规定周角的为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制．(2)弧度制;在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的称为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作．这种以作单位度量角的单位制，叫作弧度制．2．角度与弧度的互化(1)角度制与弧度制的互化(换算)180°＝；1°＝rad＝0.017 45 rad；1 rad＝＝57°18′＝57.30°(2)特殊角的度数与弧度数的对应表任一正角的弧度数都是一个数；任一负角的弧度数都是一个数；零角的弧度数是．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则1．半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？2．2°与2弧度的角是否表示同一个角？3．390°可以写成360°＋π6吗？三、合作探究探究1：角度制与弧度制的互化1．(1)把112°30′化为弧度； (2)－5π12rad 化为度．类题·通法1．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π180rad 化为弧度便可． 2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．跟踪训练1．将下列角度与弧度互化．(1)20°；(2)11π12；(3)8 rad探究2 用弧度制表示角的集合2．把下列角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－46π3； (2)－1 485°.类题·通法用弧度制表示角的集合时应注意：(1)利用弧度制与角度制之间的关系将有关角化为弧度数；(2)π的倍数是偶数，α的范围是[0，2π)(3)在表示角的集合时要使用统一的度量单位．跟踪训练2 (1)用弧度表示终边落在x轴的非正、非负半轴上，y轴的非正、非负半轴上，x轴上，y轴上的角的集合；(2)用弧度表示第一、二、三、四象限角的集合．探究3：弧长公式与面积公式的应用3．(1)已知扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，求扇形的弧长和面积．(2)已知扇形的周长为6 cm，面积为2 cm2，求扇形圆心角的弧度数．类题·通法1．涉及扇形的周长、弧长、圆心角和面积等的计算，关键是要弄清题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组解决．2．解题过程中，常常用到方程的思想及等价转化的思想．跟踪训练3 扇形的周长C一定时，它的圆心角θ取何值才能使该扇形的面积S最大，最大值是多少？四、自主小测1．下列说法不正确的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同制度B ．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角 C ．根据弧度的定义，180°一定等于π radD ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关2．若α＝1 920°，则该角的弧度数为( )A.163B.323C.16π3D.32π33．－29π12的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．已知半径为10 cm 的圆上，有一条弧的长是40 cm ，则该弧所对的圆心角的弧度数是________．5．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20 cm ，则扇形的面积是________．6．(1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.7．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2012°是不是这个集合的元素．参考答案二、自主学习1．(1)1360(2)圆心角 弧度 弧度2．(1)π rad π180180°π (2)0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 5π4 3π2 7π42π (3)正 负 03．|α|πr 180 |α|r |α|πr 2360 12 12|α|r 2 [问题思考]1．提示：相同．在公式|α|＝l r中，角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．2．提示：不是同一个角.2°是角度制，2是弧度制，2 rad 约为115°.3．提示：不可以，在同一表达式中角度与弧度不能混用．三、合作探究探究1：角度制与弧度制的互化1．解：(1)∵1°＝π180rad ， ∴112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8rad. (2)∵1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°，∴－5π12 rad ＝－5π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－75°. 跟踪训练1 解：(1)20°＝20×π180＝π9， (2)11π12＝1112×180°＝165°. (3)8 rad ＝8×⎝⎛⎭⎫180π°≈8×57.30°＝458.40°. 探究2 用弧度制表示角的集合2．解：(1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，与2π3终边相同的角 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z . (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π4，它是第四象限角，与7π4终边相同的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋7π4，k ∈Z . 跟踪训练2 解：(1)终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合为{β|β＝2k π＋π，k ∈Z }； 终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为{β|β＝2k π，k ∈Z }；终边落在y 轴的非正半轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝2k π＋3π2，k ∈Z ；终边落在y 轴的非负半轴上的角的集合为{β|β＝2k π＋π2，k ∈Z }； 所以，终边落在x 轴上的角的集合为{β|β＝k π，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝k π＋π2，k ∈Z . (2)第一象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪2k π<β<2k π＋π2，k ∈Z ； 第二象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪2k π＋π2<β<2k π＋π，k ∈Z ； 第三象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪2k π＋π<β<2k π＋3π2，k ∈Z ； 第四象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪2k π＋3π2<β<2k π＋2π，k ∈Z . 探究3：弧长公式与面积公式的应用3．解：(1)∵α＝30°＝π6，∴l ＝|α|×r ＝π6×1＝π6(cm)S ＝12|α|×r 2＝12×π6×12＝π12(cm 2) 故扇形的弧长为π6 cm ，面积为π12cm 2. (2)设扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2， 消去l 并整理得，r 2－3r ＋2＝0，解得r ＝1或r ＝2.当r ＝1时，l ＝4，圆心角α＝l r ＝41＝4；当r ＝2时，l ＝2， 圆心角α＝l r ＝22＝1.故扇形的圆心角为1弧度或4弧度． 跟踪训练3 解：设扇形的半径为R ，则扇形的弧长为C －2R ，∵S ＝12(C －2R )×R ＝－R 2＋C 2R ＝－(R －C 4)2＋(C 4)2， ∴当R ＝C 4，即θ＝C －2R R ＝2时，扇形有最大面积C 216. 四、自主小测1．【答案】D【解析】根据角、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D 错误．2．【答案】D【解析】∵1°＝π180弧度，∴1 920°＝1 920×π180 rad ＝32π3rad. 3．【答案】D【解析】－29π12＝－2π－5π12，因为－5π12是第四象限角，所以－29π12是第四象限角．4．【答案】4【解析】由l ＝|α|×r ，得弧度数为4.5．【答案】80π cm 2【解析】设扇形的弧长为l .∵72°＝72×π180 rad ＝2π5rad ， ∴l ＝|α|×r ＝2π5×20＝8π(cm)，∴S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2)． 6．解：(1)∵－1 480°＝－1 480π180＝－74π9＝－10π＋16π9， 又0≤16π9<2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π. (2)由(1)可知α＝16π9.∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z . 又∵β∈[－4π，0]，令k ＝－1，则β＝－2π9，令k ＝－2，则β＝－20π9， ∴β的值是－2π9，－20π9. 7．解：∵150°＝5π6，∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }． ∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝⎛⎭⎫53π45＋10πrad ，又5π6＜53π45＜3π2.∴2012°＝503π45∈S .。
1.1.2 弧度制 学案
1.1.2 弧度制1．弧度制(1)定义：以__ __为单位度量角的单位制叫做弧度制．(2)度量方法：长度等于______的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图所示，圆O 的半径为r ，AB ︵的长等于r ，∠AOB 就是1弧度的角．(3)记法：弧度单位用符号 表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写． 2．弧度数一般地，正角的弧度数是一个__ __数，负角的弧度数是一个__ __数，零角的弧度数是____． 如果半径为r 的圆的圆心角α 所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝ ． 3．弧度与角度的换算公式(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2π rad ，即弧度与角度的换算公式如下：若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝(180απ)°，n °＝n ·π180 rad ．(2)常用特殊角的弧度数(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起_______ __关系：每一个角都有唯一的一个__ __(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个__ __(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．4．弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝lr ，变形可得l ＝|α|r ，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．(2)扇形面积公式由圆心角为1 rad 的扇形面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为l r rad ，故其面积为S ＝l r ×r 22＝12lr ，将l＝|α|r 代入上式可得S ＝12lr ＝12|α|r 2，此公式称为扇形面积公式．(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示Y 预习自测u xi zi ce1．下列表述中正确的是( ) A ．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B ．一弧度是长度为半径的弧 C ．一弧度是一度的弧与一度的角之和D ．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 2．－300°化为弧度是( )A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π63．已知半径为10 cm 的圆上，有一条弧的长是40 cm ，则该弧所对的圆心角的弧度数是____． 4．α＝－2 rad ，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限命题方向1 ⇨有关“角度”与“弧度”概念的理解典例1 下列命题中，正确的命题是____．①1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π；②1 rad 的角等于1度的角； ③180°的角一定等于π rad 的角；④“度”和“弧度”是度量角的两种单位．〔跟踪练习1〕在半径不等的圆中，半径长的弦所对的圆心角( ) A ．为1弧度 B ．各不相等，半径长则圆心角大 C ．各不相等，半径长则圆心角小 D ．都相等，为π3弧度命题方向2 ⇨角度制与弧度制的转化典例2 (1)将下列各角化为弧度：①112°30′；②－315°；(2)将下列各弧度化为角度：①－5π12 rad ；②193π．〔跟踪练习2〕设α1＝－570°、α2＝750°、β1＝3π5、β2＝－π3．(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； (2)将β1、β2用角度制表示出来，并指出它们各自所在象限．命题方向3 ⇨用弧度制表示区域角典例3 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图)．〔跟踪练习3〕用弧度制表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合 (不包括边界)，如图所示．X求扇形面积最值的函数思想典例4 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？〔跟踪练习4〕(1)已知扇形的周长为20 cm ，面积为9 cm 2，求扇形圆心角的弧度数；(2)一个扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi 角度和弧度混用致错典例5 求终边在如图所示阴影部分(不包括边界)内的角的集合．〔跟踪练习5〕把角－585°化为2k π＋α(0≤α<2π)的形式为( ) A ．－3π－34π B ．－4π＋135° C ．－3k π－45° D ．－4π＋34πK 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．在不等圆中1 rad 的圆心角所对的是( ) A ．弦长相等 B ．弧长相等C ．弦长等于所在圆的半径D ．弧长等于所在圆的半径2．－10π3转化为角度是( )A ．－300°B ．－600°C ．－900°D ．－1200°3．圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A ．π3 B ．23π C ． 3D ．2 4．(2018·沈阳铁路中学期末)已知扇形面积为38π，半径是1，则扇形的圆心角是( )A ．316πB ．38πC ．34πD ．32π5．与－133π终边相同的角的集合是( )A ．{－π3}B ．{5π3}C ．{α|a ＝2k π＋π3，k ∈Z }D ．{α|a ＝2k π＋53π，k ∈Z }A 级 基础巩固一、选择题1．下列各式正确的是( )A ．π2＝90B ．π18＝10°C ．3°＝60πD ．38°＝38π2．2145°转化为弧度数为( ) A ．163 B ．322 C ．16π3D ．143π123．下列各式不正确的是( )A ．－210°＝－7π6B ．405°＝9π4C ．335°＝23π12D ．705°＝47π124．在(0,2π)内，终边与－1035°相同的角是( ) A ．π3 B ．π4 C ．π6D ．2π35．(2016·青岛高一检测)将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A ．－π4－8π B ．74π－8π C ．π4－10π D ．74π－10π6．圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 二、填空题7．扇形AOB ，半径为2 cm ，|AB |＝2 2 cm ，则AB ︵所对的圆心角弧度数为 ． 8．(2016·山东潍坊高一检测)如图所示，图中公路弯道处AB ︵的弧长l ＝__ __.(精确到1m)．三、解答题9．一个半径为r 的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？10．(1)把310°化成弧度； (2)把5π12rad 化成角度； (3)已知α＝15°、β＝π10、γ＝1、θ＝105°、φ＝7π12，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．B 级 素养提升一、选择题1．若α3＝2k π＋π3(k ∈Z )，则α2的终边在( )A ．第一象限B ．第四象限C ．x 轴上D ．y 轴上2．下列表述中不正确的是( )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C ．终边在坐标轴上角的集合是{α|α＝k ·π2，k ∈Z }D ．终边在直线y ＝x 上角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所对的扇形面积是( ) A ．4 cm 2 B ．2 cm 2 C ．4π cm 2D ．2π cm 2 4．一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( ) A ．12(2－sin1cos1)R 2B ．12R 2sin1cos1C ．12R 2D ．R 2－R 2sin1cos1二、填空题5．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是 ___，______． 6．已知θ∈{α|α＝k π＋(－1)k ·π4，k ∈Z }，则θ的终边所在的象限是_________________ _．三、解答题7．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．8．如图，圆周上点A以逆时针方向做匀速圆周运动．已知点A经过1 min转过θ(0<θ<π)角，2 min到达第三象限，14 min后回到原来的位置，求θ．C级能力拔高集合A＝{α|α＝nπ2，n∈Z}∪{α|α＝2nπ±2π3，n∈Z}，B＝{β|β＝23nπ，n∈Z}∪{β|β＝nπ＋π2，n∈Z}，求A与B的关系．。
弧度制(吴新霞)
高中数学（ 必修四）第一章 三角函数 --- 1.1.2弧度制教案设计1.1.2弧度制临漳县第一中学 吴新霞1、考纲要求：了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。
2、教学目标 （1）知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集的一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数，为学习任意角的三角函数奠定基础。
（2）过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题。
（3）情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的“简洁美”。
3、学习重点、难点重点：弧度的概念，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明。
难点：弧度的概念，“角度制”与“弧度制”的区别与联系。
4、教学知识基本流程附：导学案（见下页）临漳县第一中学高一年级（数学）导学案 2013年 月 日1.1.2弧度制执笔：吴新霞 审核：王光青学习目标：1.理解弧度制的意义，正确进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数； 2.了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应关系；3.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制、弧长公式解决某些简单的实际问题。
学习重点：弧度的概念，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明。
学习难点：弧度的概念，“角度制”与“弧度制”的区别与联系。
学习过程： 一、情境设置中国篮球史上里程碑式人物姚明的身高用公制为226厘米，NBA 官方用英制登记为32.7英尺；他的体重我们可以用千克、磅不同的单位制。
那么角的度量是否也能用不同的单位制呢？ 二、探研究问题1：过去我们是如何定义1度角的？它的单位是什么？新知（一）：1弧度的角的定义问题2：这个弧度数是否与圆半径的大小有关？引导学生完成教材6P 的探究并归纳： 新知（二）:弧度制的性质 ①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=rr③正角的弧度数是一个正数。
高中数学必修四1.1.2弧度制学案新人教A版必修4
度制．
2．弄清 1 弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．
3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的
联系与区别 .
1． 1 弧度的角：把长度等于
的弧所对的圆心角叫做
读作
．
2．弧度制：用
作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．
3．角的弧度数的规定：
最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为 θ，半径为 r ，弧长为 l ，面积为 S，
1 ∴ S＝ 2lr
＝
1 2×
(40
－
2r
)
r
＝
20r
－
r
2＝－
(
r
－
10)
2＋ 100.
∴当半径 r ＝ 10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为 100 cm 2，
l 40－2×10 此时 θ ＝r ＝ 10 rad ＝2 rad.
l 径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l ，那么，角 α 的弧度数的绝对值是 | α | ＝ r . 这里， α
的正负由角 α 的终边的旋转方向决定．
问题 4 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整
.
角度化弧度
弧度化角度
360°＝ rad
2π rad ＝
180°＝ rad
180
12
180 π °即可化为角度．
225
225 π 5π
所以， (1)112 °30′＝ 112.5 °＝ 2 °＝ 2 × 180＝ 8 .
7π 7π 180 (2) － 12 ＝－ 12 × π °＝－ 105°．
小结 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记
学案11：1.1.2 弧度制
1.1.2 弧度制学习目标1.了解弧度制的意义．2.能正确的将弧度与角度互化．3.掌握弧长公式和扇形面积公式．新知初探1．角度制规定周角的 为1度的角，记作1°.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 2．弧度制(1)长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作 ．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制． (2)弧度数①正角的弧度数是 数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．②角α的弧度数的绝对值|α|＝lr (其中l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的弧长，r 为圆半径)．3．角度与弧度之间的互化及关系(1)度化弧度：360°＝ rad ，180°＝ rad ，1°＝ rad ≈0.017 45 rad. (2)弧度化度：2π rad ＝ ，π rad ＝ ，1 rad ＝ ≈57.30°. 4．扇形的弧长及面积公式(1)弧长公式：l ＝|α|·r ，(r 为圆半径，|α|为圆心角的弧度数)，两个变形：|α|＝l r ，r ＝l|α|.(2)面积公式：S 扇形＝12l ·r (r 为扇形半径，l 为扇形的弧长)，两个变形：S 扇形＝12|α|·r 2，S 扇形＝12l 2|α|(α为扇形圆心角的弧度数)． 自我尝试1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度指的是1度的角．( )(2)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．( ) 2.8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288°D ．318°3．半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( )A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π34．(1)18°＝________rad ；(2)310π＝________．题型探究题型一 角度与弧度的互化 例1 (1)将下列各角度化成弧度： ①1 080°，②－750°； (2)将下列各弧度化成角度： ①－7π9，②512.方法归纳角度制与弧度制的互化原则(1)角度与弧度的换算关系式是角度与弧度互化的重要依据，其中应记住关系式：π＝180°，它能够帮助我们更快、更准确地进行运算．(2)如果角度以度、分、秒的形式给出时，应先将它化为度，再转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如2弧度，化为度应是2×180°π＝360°π.跟踪训练 1.将下列角度与弧度进行互化． ①20°＝________； ②－15°＝________； ③－115π＝________．题型二 终边相同的角和区域角的弧度制表示例2 (1)设角α1＝－570°，α2＝750°，将α1，α2用弧度制表示出来 ，并指出它们各自所在的象限；(2)用弧度制表示第二象限角的集合，并判断－10π3 是不是第二象限角．规律方法熟练掌握角度与弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功．若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角时，通常转化为解不等式去求对应的k 值． [注意] 用弧度制表示角时，不能与角度制混用，如β＝2k π－60°(k ∈Z )这种写法是不正确的．跟踪训练 2.(1)在区间(0，2π)内，与－34π5终边相同的角是( )A ．π5B ．2π5C ．4π5D ．6π5(2)①把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π；②在[0，4π]中找出与2π5角终边相同的角．题型三 弧长与扇形面积公式的应用 例3 已知一扇形的圆心角是α，半径是r .(1)若α＝60°，r ＝10 cm ，求扇形的弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，则当α为多少弧度时，该扇形的面积最大？ 方法归纳(1)求扇形的弧长和面积①记公式：弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12αr 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．②找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． (2)扇形周长及面积的最值问题①当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值．其求法是把面积S 转化为关于r 的二次函数，但要注意r的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.②当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值，其求法是把周长C转化为关于r的函数，用基本不等式可求得扇形周长的最小值．特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.跟踪训练 3.(1)在半径为12 cm的圆上，有一条弧的长是18 cm，求该弧所对的圆心角的弧度数和该扇形的面积．(2)已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？课堂小结“度”与“弧度”的区别与联系区别(1)定义不同(2)单位不同．弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略，而角度制是以“度”为单位，单位不能省略(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．有关扇形的弧长l ，圆心角α，面积S 的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用l ＝|α|r ，S ＝12lr ＝12|α|r 2两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决．当堂小结1．1 920°转化为弧度数为( ) A ．163B ．323C ．163πD ．323π2．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( ) A ．403π cmB ．203π cmC ．2003π cmD ．4003π cm3．一钟表的分针长为5 cm ，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm.参考答案新知初探1．13602． (1)半径 1 rad (2)①正 负 0． 3．(1) 2π ππ180 (2) 360° 180°180°π自我尝试1．(1)× (2)√【解析】(1)错误.1弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2) C 3．C4．(1)π10(2)54°题型探究例1 【解】 (1)①1 080°＝1 080×π180 rad ＝6π rad ，②－750°＝－750×π180 rad ＝－25π6 rad.(2)①－7π9 rad ＝－7π9×180°π＝－140°，②512 rad ＝512×180°π＝75°π. 跟踪训练 1. π9 －π12 －396°【解析】①20°＝20×π180＝π9.②－15°＝－15×π180＝－π12.③－115π＝－115π×180°π＝－396°.例2 【解】 (1)因为－570°＝－19π6＝－4π＋5π6，750°＝25π6＝4π＋π6.所以α1在第二象限，α2在第一象限．(2)在[0，2π)范围内，第二象限角α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.所以终边落在第二象限的所有角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ， 而－10π3＝－4π＋2π3∈⎝⎛⎭⎫－4π＋π2，－4π＋π，所以－10π3是第二象限角． 跟踪训练 2. 解：(1)选D ．因为－34π5＝－8π＋6π5，则－34π5与6π5终边相同，选D ．(2)①因为－1 480°＝－1 480×π180 rad ＝－749π rad ，又－749π＝－10π＋169π，其中α＝169π，所以－1 480°＝169π－10π.②终边与2π5角相同的角为θ＝2π5＋2k π(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝2π5；当k ＝1时，θ＝12π5，所以在[0，4π]中与2π5角终边相同的角为2π5，12π5.例3 【解】 (1)设弧长为l ，弓形的面积为S 弓． 因为α＝60°＝π3，r ＝10 cm ，所以l ＝αr ＝103π(cm)，所以S 弓＝S 扇－S △＝12×103π×10－34×102＝50⎝⎛⎭⎫π3－32(cm 2)．(2)由已知2r ＋l ＝c ，所以r ＝c －l2(l <c )， 所以S ＝12rl ＝12·c －l 2·l ＝14(cl －l 2)＝－14⎝⎛⎭⎫l －c 22＋c 216，所以当l ＝c 2时，S max ＝c 216，此时α＝lr ＝c2c －c22＝2，所以当扇形圆心角为2弧度时，扇形的面积有最大值c 216.跟踪训练 3. 解：(1)设该弧所对的圆心角为α，则α＝l r ＝1812＝32(rad)，该扇形面积为S ＝12lr ＝12×18×12＝108(cm 2)． (2)设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝－(r －10)2＋100.所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.【解】 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，①12lr ＝4，②①代入②得r 2－5r ＋4＝0，解得r 1＝1，r 2＝4. 当r ＝1 cm 时，l ＝8 cm ，此时θ＝8 rad>2π rad(舍去)； 当r ＝4 cm 时，l ＝2 cm ，此时θ＝24＝12(rad)．当堂小结1．D【解析】因为1°＝π180，所以1 920°＝1 920·π180＝32π3.2．A【解析】根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3 (cm)．3．203π【解析】经过40分钟，分针转过的角是α＝－4×π3＝－43π，则l ＝|α|r ＝5×43π＝203π(cm)．。
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案
1.1.2 弧度制学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.知识点一 角度制与弧度制思考1 在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ 答案 周角的1360等于1度.思考2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？答案 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad 表示. 思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？答案 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关.梳理 (1)角度制和弧度制 角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制(2)角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 知识点二 角度制与弧度制的换算思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ 答案 利用1°＝π180rad 和1 rad ＝(180π)°进行弧度与角度的换算.梳理 (1)角度与弧度的互化角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π rad π rad＝180° 1°＝π180rad≈0.017 45 rad1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0° 1° 30° 45° 60° 90°120°135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0π180π6π4π3π22π33π45π6π3π22π知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？答案 设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则：α为度数 α为弧度数 扇形的弧长l ＝απR 180°l ＝αR 扇形的面积S ＝απR 2360°S ＝12lR ＝12αR 2类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化. (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°.(4)－11π5＝－115×180°＝－396°.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°即可.跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度.解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎪⎫2252°＝2252×π180＝5π8.(2)－5π12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12×180π°＝－75°.类型二 用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角. (1)－1 500°；(2)23π6；(3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角. (2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角. (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角. 解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9，而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α≤2π，∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵2π5＝2π5×(180π)°＝72°，∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°.∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A.π B.5π4 C.3π3 D.23π9(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A.2 B.2sin 1 C.2sin 1 D.4sin 1答案 (1)A (2)D解析 (1)扇形的中心角为120°＝2π3，半径为3，所以S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π3×(3)2＝π.(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为2sin 1.这个圆心角所对的弧长为2×2sin 1＝4sin 1. 反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为弧度，再计算. 跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.1.下列说法中，错误的是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC.1 rad 的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 答案 D解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D 是错误的，故选D. 2.时针经过一小时，转过了( ) A.π6 rad B.－π6 radC.π12 rad D.－π12rad答案 B解析 时针经过一小时，转过－30°， 又－30°＝－π6 rad ，故选B.3.若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限答案 D解析 2π－5与－5的终边相同， ∵2π－5∈(0，π2)，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.4.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是( ) A.1 B.4 C.1或4 D.2或4答案 C解析 设扇形半径为r ，圆心角的弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1.5.已知⊙O 的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是 . 答案 － 3解析 设⊙O 的半径为r ，其内接正三角形为△ABC .如图所示，D 为AB 边中点， AO ＝r ，∠OAD ＝30°， AD ＝r ·cos 30°＝32r ， ∴边长AB ＝2AD ＝3r . ∴的弧长l ＝AB ＝3r . 又∵α是负角， ∴α＝－l r＝－3rr＝－ 3.1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式. 易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数. 3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.课时作业一、选择题1.－300°化为弧度是( ) A.－43πB.－53πC.－74πD.－76π答案 B解析 －300°＝－300×π180＝－53π.2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z )C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 A ，B 中弧度与角度混用，不正确. 9π4＝2π＋π4，所以9π4与π4的终边相同. －315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°的终边相同.故选C. 3.下列转化结果错误的是( ) A.60°化成弧度是π3B.－103π化成度是－600°C.－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 答案 C解析 C 项中－150°＝－150×π180＝－56π.4.设角α＝－2弧度，则α所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 ∵－π<－2<－π2，∴2π－π<2π－2<2π－π2，即π<2π－2<32π，∴2π－2为第三象限角， ∴α为第三象限角.5.把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A.－34πB.－2πC.πD.－π答案 A解析 ∵－114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，∴θ＝－34π.6.若扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( )A.1∶3B.2∶3C.4∶3D.4∶9答案 B解析 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ， 则R ＝r ＋rsinπ6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切圆＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切圆∶S 扇形＝2∶3.7.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6 m 2B.9 m 2C.12 m 2D.15 m 2答案 B解析 根据题设，弦＝2×4sin π3＝43(m)，矢＝4－2＝2(m)，故弧田面积＝12×(弦×矢＋矢2)＝12(43×2＋22)＝43＋2≈9(m 2). 二、填空题8.在直径长为20 cm 的圆中，圆心角为165°时所对的弧长为 cm. 答案55π6解析 ∵165°＝π180×165＝11π12(rad)，∴l ＝11π12×10＝55π6(cm).9.已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝ . 答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π].10.若2π<α<4π，且α与－76π角的终边垂直，则α＝ .答案 73π或103π解析 α＝－76π－π2＋2k π＝2k π－53π，k ∈Z ，∵2π<α<4π，∴k ＝2，α＝73π；或者α＝－76π＋π2＋2k π＝2k π－23π，k ∈Z ，∵2π<α<4π，∴k ＝2，α＝103π.综上，α＝73π或103π.11.如果圆心角为2π3的扇形所对的弦长为23，则扇形的面积为 .答案4π3解析 如图，作BF ⊥AC .已知AC ＝23，∠ABC ＝2π3，则AF ＝3，∠ABF ＝π3.∴AB ＝AFsin ∠ABF ＝2，即R ＝2.∴弧长l ＝|α|R ＝4π3，∴S ＝12lR ＝4π3.三、解答题12.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是30，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10(cm)，∴l ＝αR ＝10π3(cm).S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－2×12×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 (cm 2). (2)∵l ＋2R ＝30，∴l ＝30－2R ，从而S ＝12·l ·R ＝12(30－2R )·R ＝－R 2＋15R ＝－⎝⎛⎭⎪⎫R －1522＋2254. ∴当半径R ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15(cm)， 扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝l R＝2(rad). ∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，为2254cm 2. 13.已知角α＝1 200°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角.解 (1)∵α＝1 200°＝1 200×π180＝20π3＝3×2π＋2π3， 又π2<2π3<π， ∴角α与2π3的终边相同，∴角α是第二象限的角. (2)∵与角α终边相同的角(含角α在内)为2k π＋2π3，k ∈Z ， ∴由－4π≤2k π＋2π3≤π，得－73≤k ≤16. ∵k ∈Z ，∴k ＝－2或k ＝－1或k ＝0.故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－10π3，－4π3，2π3.。
人教版必修四学案：1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算(无答案)
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
一〖自学指引〗
1.用度作单位来度量角的制度叫做__Байду номын сангаас______,规定：周角的_________为1度的角，__________分等于1度，_________秒等于1分.
2.（1）1弧度角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做________的角，与所有圆的半径_____.用符号_________表示，读作_________.
（2）弧度制：以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做___________.圆心角不变，则弧长与半径的比值不变，这表示____________________,只与角 的大小有关，当 为定值时，这个______也是定值。
3.1800=______rad ,10=____
4.完成下列表格
度
弧度
5.扇形弧长公式： =_________；面积公式： =_________ = _________.
（其中 为半径， 为圆心角的弧度数， 为弧长， 为面积）
二〖典型例题〗
。
班级：姓名：学号：
三〖随堂训练〗
2．
3.用弧度制表示：
（1）终边在 轴上的角的集合（2）终边在 轴上的角的集合
5.已知度数为2的圆心角所对弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）
并说明当圆心角为多少时，面积最大
2018学年高中数学必修4学案：1.1.2 弧度制 含解析
1.1.2弧度制1．了解弧度制．2．会进行弧度与角度的互化．(重点、难点)3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1弧度制的概念阅读教材P7的有关内容，完成下列问题．1．角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2．弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．()(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．()(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．()【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2角度制与弧度制的换算阅读教材P8的全部内容，完成下列问题．1．角度制与弧度制的换算2.3.正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(1)3π5＝________；(2)－π6＝________； (3)－120°＝________rad ；(4)210°＝________rad. 【解析】 (1)3π5＝35×180°＝108°； (2)－π6＝－16×180°＝－30°； (3)－120°＝－120×π180＝－23π； (4)210°＝210×π180＝7π6.【答案】 (1)108° (2)－30° (3)－2π3 (4)7π6 教材整理3 扇形的弧长公式及面积公式 阅读教材P 9的全部内容，完成下列问题． 1．弧度制下的弧长公式：如图1-1-7，l 是圆心角α所对的弧长，r 是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr ，弧长l ＝|α|r .特别地，当r ＝1时，弧长l ＝|α|.图1-1-72．扇形面积公式：在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r ，圆心角为α的扇形的面积为S ＝|α|2π·πr 2＝12lr .若扇形的圆心角为π6，半径r ＝1，则该扇形的弧长为________，面积为________．【解析】 ∵α＝π6，r ＝1， ∴弧长l ＝α·r ＝π6×1＝π6，面积S ＝12lr ＝12×π6×1＝π12. 【答案】 π6 π12[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.【精彩点拨】利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化．【自主解答】(1)－450°＝－450×π180rad＝－5π2rad；(2)π10rad＝π10×180°π＝18°；(3)－4π3rad＝－4π3×180°π＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180rad＝5π8rad.角度制与弧度制换算的要点：一抓抓住“正对正，负对负，零对0”这个要点二记记住常见角对应的弧度数三应用应用1°＝π180rad，1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π两个基本关系[再练一题]1．把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.【解】(1)72°＝72×π180rad＝2π5rad；(2)－300°＝－300×π180rad＝－5π3rad；(3)2 rad＝2×180°π＝360°π≈114.60°；(4)－2π9 rad ＝－2π9×180°π＝－40°.阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图1-1-8所示). 【导学号：06460003】图1-1-8【精彩点拨】 先写出边界角的集合，再借助图形写区间角的集合． 【自主解答】 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－π6＋2k π<α<512π＋2k π，k ∈Z ， (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ －3π4＋2k π<α<3π4＋2k π，k ∈Z ，(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ π6＋k π<α<π2＋k π，k ∈Z .表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2k π(k ∈Z )”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k ·360°，(k ∈Z )”中，α必须是用角度制表示的角.[再练一题]2．如图1-1-9，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．① ②图1-1-9【解】 (1)如题图①，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )，所以阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－2π3＋2k π＜α＜π6＋2k π，k ∈Z. (2)如题图②，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为2π3＋2k π(k ∈Z )．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2， 则M 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ 2k π＜α＜π3＋2k π，k ∈Z ，M 2＝α⎪⎪⎪ 2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .所以阴影部分内的角的集合为M 1∪M 2＝α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π或2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .[探究共研型]探究1 【提示】 公式l ＝|α|r 中，“α”必须为弧度制角．探究2 在扇形的弧长l ，半径r ，圆心角α，面积S 中，已知其中几个量可求其余量？举例说明．【提示】 已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r ，可利用l ＝|α|r ，求l ，进而求S ＝12lr ；又如已知S ，α，可利用S ＝12|α|r 2，求r ，进而求l ＝|α|r .一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？【精彩点拨】设出扇形的圆心角、半径、弧长→用半径表示圆心角→求扇形面积→转化为二次函数求最值【自主解答】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝20－2rr.由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，∴S扇形＝12αr2＝12·20－2rr·r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0<r<10)．∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.[再练一题]3．已知扇形OAB的圆心角为120°，半径为6，求扇形的弧长和面积．【解】∵α＝120×π180＝2π3.又r＝6，∴弧长l＝αr＝2π3×6＝4π.面积S＝12lr＝12×4π×6＝12π.[构建·体系]1．将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)：(1)2π15＝________；(2)－6π5＝________；(3)920°＝________；(4)－72°＝________.【解析】(1)2π15＝215×180°＝24°.(2)－6π5＝－65×180°＝－216°.(3)920°＝920×π180＝469π rad.(4)－72°＝－72×π180＝－2π5rad.【答案】(1)24°(2)－216°(3)469π rad(4)－2π5rad2．(2016·北京高一检测)半径长为2的圆中，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的面积为________．【解析】S＝12lr＝12r2·α＝12×4×2＝4.【答案】 43．圆的半径变为原来的3倍，而所对的弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．【解析】设圆最初半径为r1，圆心角为α1，弧长为l，圆变化后的半径为r2，圆心角为α2，则α1＝l r 1，α2＝l r 2.又r 2＝3r 1， ∴α2α1＝r 1r 2＝r 13r 1＝13.【答案】 134．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________． 【解析】 若角α的终边落在x 轴的上方， 则2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z . 【答案】{}α| 2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z5．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角．【导学号：06460004】【解】 (1)∵180°＝π rad ， ∴α1＝－570°＝－570×π180＝－19π6 ＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750×π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝3π5×180°π＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ＜0°， 即－720°≤108°＋k ·360°＜0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°＜0°，得k ＝－1，或k＝0.故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二)弧度制(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列命题中，是假命题的序号为________．①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12π；③1 rad的角比1°的角要大；④用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．【解析】①②③正确，④错误，角的大小与圆的半径无关．【答案】④2．下列各式正确的是________．①－270°＝－3π2；②405°＝9π4；③335°＝23π12；④705°＝47π12.【解析】 －270°＝－270×π180＝－3π2； 405°＝405×π180＝9π4； 335°＝335×π180＝67π36；705°＝705×π180＝47π12.故①②④正确． 【答案】 ①②④3．下列表示中不正确的是________．①终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }；②终边在y轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π2＋k π，k ∈Z ； ③终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k π2，k ∈Z ； ④终边在直线y ＝x 上的角的集合是α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z .【解析】 ④错误，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z. 【答案】 ④4．(2016·南通高一检测)如图1-1-10所示，图中公路弯道处AB 的弧长l ＝________(精确到1 m)．图1-1-10【解析】 根据弧长公式，l ＝αr ＝π3×45≈47(m)． 【答案】 47 m5．(2016·泰州高一检测)已知扇形的周长是6 cm ，面积为2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．【解析】 设圆心角为α，半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得r ＝1，l ＝4或r ＝2，l ＝2，∴α＝lr ＝1或4. 【答案】 1或46．已知角α的终边与π3的终边相同，在[0,2π)内终边与α3角的终边相同的角为________. 【导学号：06460005】【解析】 由题意得α＝2k π＋π3(k ∈Z )， 故α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )，又∵0≤α3<2π，所以当k ＝0,1,2时， 有α3＝π9，79π，139π满足题意． 【答案】 π9，79π，139π7．(2016·扬州高一检测)如图1-1-11，已知圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是________．图1-1-11【解析】 ∵40°＝40×π180＝2π9，30°＝30×π180＝π6， ∴S ＝12r 2·2π9＋12r 2·π6＝175π36. 【答案】175π368．(2016·镇江高一检测)圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为________．【解析】 设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，弧长等于3R 的圆心角的弧度数为α＝3RR ＝ 3. 【答案】 3二、解答题 9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式． (2)θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．求θ. 【解】 (1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝469π.10．如图1-1-12所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．图1-1-12【解】 (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成．故满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪3π4＋2k π＜α＜4π3＋2k π，k ∈Z. (2)若将终边为OA 的一个角改写为－π6，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为α⎪⎪⎪－π6＋2k π＜α≤5π12＋2k π，k∈Z .(3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad 而得到，所以满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π≤α≤π2＋k π，k ∈Z. (4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2π3＋k π＜α＜5π6＋k π，k ∈Z . [能力提升]1．(2016·泰州高一检测)已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是________．【解析】 8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即π6，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是π6×4＝2π3.【答案】 2π32．若角α的终边与π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.【解析】 与α终边相同的角的集合为α⎪⎪⎪α＝2k π＋π3，k ∈Z .∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2k π＋π3＜4π，化简得：－136＜k ＜116，∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1， ∴α＝－113π，－53π，π3，73π. 【答案】 －113π，－53π，π3，73π3．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________.【解析】 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．【答案】 [－4，－π]∪[0，π]4．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【解】 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r ＝－r 2＋15r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254.又∵r ＞0，且l ＝30－2r ＞0，∴0＜r ＜15，∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15(cm)，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr ＝2 rad ，∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，最大面积为2254 cm 2.。
高中数学必修四1.1.2弧度制学案
1.1.2弧度制课前练习1. 下列说法正确的是 （ ）A. 1弧度是1度的圆心角所对的弧B. 1弧度是长度为半径的弧C. 1弧度是1度的弧1度角之和D. 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小2. 与60︒终边相同的角的集合可以表示为 （ ） A. {360,}3k k Z παα=+⋅︒∈ B. {602,}k k Z ααπ=︒+∈ C. {60360,}k k Z αα=︒+⋅︒∈ D. {,}3k k Z πααπ=+∈3. 时钟经过1小时，时针转过了 （ ） A. 6rad π B. 6rad π- C. 12rad π D. 12rad π-4. 30-︒化成弧度为 。
5. 512π化成角度为 。
6. 扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数。
课后作业 1. 94π化成角度为 ( ) A ．910︒ B. 405︒ C. 45︒ D. 315︒2. 若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为 ( )A ．240cm π B. 280cm π C. 280cm D. 240cm3. 若18045()k k Z α︒︒=⋅+∈，则α在 ( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限 4. sin 6π=_______________.5．给出下列命题：①第二象限的角大于第一象限的角；②三角形的内角是第一象限角或者第二象限角；③无论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关。
其中正确命题的序号是 。
6. 已知扇形的圆心角是(0)αα>，半径为R ．（1）若60,10R cm α︒==，求扇形的弧长l ；（2）若扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大?。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．1.2 弧度制学习目标1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？[答案]周角的1360等于1度．思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？[答案]把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示．思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？[答案]“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．梳理(1)角度制和弧度制(2)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？[答案]利用1°＝π180rad和1 rad＝⎝⎛⎭⎫180π°进行弧度与角度的换算．梳理(1)角度与弧度的互化(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系知识点三扇形的弧长及面积公式思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？[答案]设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则：1．1 rad的角和1°的角大小相等．(×)提示 1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝π180rad.2．用弧度来表示的角都是正角．( × )提示 弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数． 3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．( √ )提示 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[考点] 弧度制[题点] 角度与弧度的互化 解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝⎛⎭⎫180π°即可． 跟踪训练1 (1)把下列角度化成弧度：①－150°＝________；②2 100°＝________； ③11°15′＝________；④112°30′＝________. (2)把下列弧度化成角度：①π6＝________；②－5π3＝________； ③9π20＝________；④－5π12＝________. [考点] 弧度制[题点] 角度与弧度的互化[答案] (1)①－5π6 ②353π ③π16 ④5π8(2)①30° ②－300° ③81° ④－75° 类型二 用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 500°；(2)23π6；(3)－4.[考点] 弧度制的应用 [题点] 弧度制的应用解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角．[考点] 弧度制的应用 [题点] 弧度制的应用解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9，而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α≤2π，∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵2π5＝2π5×⎝⎛⎭⎫180π°＝72°，∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．π B.5π4 C.3π3 D.23π9(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A ．2 B.2sin 1 C ．2sin 1 D.4sin 1[考点] 扇形的弧长与面积公式[题点] 扇形的弧长与面积公式的综合应用 [答案] (1)A (2)D[解析] (1)扇形的中心角为120°＝2π3，半径为3，所以S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π3×(3)2＝π.(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为2sin 1.这个圆心角所对的弧长为2×2sin 1＝4sin 1.反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算． 跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． [考点] 扇形的弧长与面积公式[题点] 扇形的弧长与面积公式的综合应用解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.1．下列说法正确的是( )A ．1弧度就是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小 [考点] 弧度制 [题点] 弧度制的定义 [答案] D[解析] 由弧度的定义可知D 正确． 2．把8π5化为角度是( )A ．270°B ．280°C ．288°D ．318° [考点] 弧度制[题点] 角度与弧度的互化 [答案] C[解析]8π5＝8π5×⎝⎛⎭⎫180π°＝288°. 3．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限[考点] 弧度制的应用 [题点] 弧度制的应用 [答案] D[解析] 2π－5与－5的终边相同， ∵2π－5∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角．4．已知半径为1的扇形面积为3π8，则扇形的圆心角为( )A.3π16B.3π8C.3π4D.3π2 [考点] 扇形的弧长与面积公式 [题点] 扇形的面积公式 [答案] C[解析] 由S ＝12|α|r 2得3π8＝12×α×12，所以α＝3π4.5．已知扇形AOB 的圆心角α为2π3，半径长R 为6，求：(1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积． [考点] 扇形的弧长与面积公式[题点] 扇形的弧长与面积公式的综合应用 解 (1)l ＝α·R ＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.(2)S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π.如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，于是有S△OAB＝12×AB×OD＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9 3.所以弓形的面积是12π－9 3.1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．。