高中数学必修四学案 1.1.2 弧度制
人教a版必修4学案：1.1.2弧度制(含答案)
1.1.2 弧度制
自主学习
知识梳理 1．角的单位制
(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______．
2
3.
我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)．
对点讲练
知识点一 角度制与弧度制的换算
例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π
12
化成角度．
回顾归纳 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°
即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°
π
即可．
变式训练1 将下列角按要求转化： (1)300°＝________rad ；(2)－22°30′＝________rad ； (3)8π
5＝________度．
知识点二 利用弧度制表示终边相同的角
例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：
(1)－1 500°； (2)23π
6
； (3)－4.
回顾归纳 在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用． 变式训练2 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．
学案3：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
学习目标
（1）理解弧度的概念，能正确进行弧度与角度的互化；
（2）熟记特殊角的弧度数；
（3）熟悉在弧度制下，终边相同的角，象限角，轴上角的表示方式及其应用；
（4）了解角的集合与实数集R之间可以建立一一对应的关系；
（5）掌握在弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式及应用．
学习过程
基础知识
（1）把长度等于半径长的弧所对的________叫做1弧度的角，用符号________表示，读作________．
（2）正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．
（3）如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|=________．
（4）换算公式
1 =________rad≈0.01745rad，1rad=（________）°≈57.30°=57°18′．
（5）弧长公式：l=________；扇形面积公式：S=________=________．其中α为圆心角的弧度数．
弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算．
1．注意弧度制与角度制与对应关系
我们已经知道，圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，所以弧又与圆心角有联系：弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角与弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角之分，弧也就有正弧、零弧、负弧之分；从“数”上讲，圆心角与弧的度数都有正数、0、负数之分．这样，圆心角、弧都被赋予了方向，每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反过来也对．这就是说，圆心角与弧是一一对应的．
1.1.2弧度制
1．1.2弧度制【预学案】
编制人：审核人：第课时使用班级：班
班别：姓名：学号：学习小组：
一、学习目标
1．理解并掌握弧度制的定义，理解1弧度的定义，能熟练进行弧度与角度的互化．
2．理解弧度制表示的弧长、扇形面积公式，能运用弧长、扇形面积公式计算．
二、自主学习
一、弧度制的概念
1．弧度制：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做的角．
2．正角、零角、负角的弧度数．
(1)正角的弧度数是一个；
(2)零角的弧度数是；
(3)负角的弧度数是一个．
二、角度制与弧度制的互化
角度制与弧度制的换算：因为周角所对的弧是整个圆周，其长为2π·r，所以周角的弧度数是2π，但周角又等于360°，所以360°＝2π，所以180°＝π，
故得：1°＝rad，1 rad＝°≈°＝°′.
附：完成常用角的弧度角度换算表：
度0°45°90°135°180°360°
弧度0π
6
π
3
2π
3
5π
6
3π
2
三、弧长公式与扇形面积公式
1．角度制：半径为R，圆心角为n°的扇形中，圆心角所对的弧长l和面积S分别为：弧长l＝，扇形的面积S＝．
2．弧度制：半径为R，圆心角为α rad的扇形中，圆心角所对的弧长l和面积S分别为：弧长l＝，扇形的面积S＝＝．
【课堂研讨】
1．一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？
2．如何理解在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系？
3．根据扇形的面积公式和弧长公式，在弧长，面积，圆心角，半径四个量中，可以知道几个量就可以求出其他的量？
【课后小结】
1．角度与弧度的互化．
(1)角度与弧度互化时，注意换算公式的应用．设一个角的弧度数为α，角度为n°，
2019-2020学年数学新人教A版必修4学案：1.1.2 弧度制
1.1.2弧度制
一、三维目标：
知识与技能：（1）理解弧度制的定义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；
（2）能够推导弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式并熟记；（3）能熟练的用
弧度制表示角的集合。
过程与方法：通过学习，认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解。
情感态度与价值观：通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的产生都有它存在的必要性，都会为我们解决现实问题带来方便，从而激发学生的
求知欲。
二、学习重点难点：
重点：1．弧度制的定义．2．用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式。
3．角度制与弧度制的换算4．角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系。
难点：对弧度制定义的理解；建立弧度制的意义。
三、学法指导：认真阅读教材的6-9页内容，理解弧度制的定义是基础，掌握角度与弧度的
换算关系是关键。理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性，运算时要
熟练使用弧度制。
四、知识链接：
1.角可以看成平面内一条绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
2.按逆时针方向旋转形成的角叫做，按顺时针方向旋转形成的角叫做 .如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个。它的与重合.这样，我们就把角的概念推广到了，
包括、和。
3.我们常在内讨论角.为了讨论问题的方便，我们使角的与重合，角的与重合.那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角。
4.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个，即。
1.1.2弧度制学案
1.1.2 弧度制
一、【课前导学】 1．弧度角的定义：
思考：圆的半径为r ，圆弧长为r π、2r 、3r 的弧所对的圆心角分别为多少？
说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。 思考：弧度角π是什么？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？
2．弧度的推广及角的弧度数的计算： 规定：
说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的
度量。
3．角度与弧度的换算
3602π=rad 180π=rad
180
1π
=
︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180
(
π
5718'≈
5．在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？ 圆的半径为r ，圆心角为n 所对弧长为： 扇形面积为 ：
6．弧长公式：
在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？ 二、【典例示范】
例1 （1）'3067︒化成弧度．
（2）35
πrad 化成度。
例2 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。
（1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。 （2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。
O
A
B
例3 将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限。 （1）π3
19
； （2）o 315-； （3）o 1485-．
（练习）写出阴影部分的角的集合：
例4 （1）已知扇形OAB 的圆心角α为120，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积。
（2）已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？
_弧度制教案及教学设计 (2)
1.1.2弧度制
一、教材分析
1、本节内容在教材中的地位和作用：
2、教材地位与作用：本节课是普通高中实验教科书人教A版必修4第一章第一单元
第二节。本节课起着承上启下的作用：在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”?并
教学重点?：理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制的换算。
教学难点?：弧度制的概念与角度的换算。
二、教学设计思想
教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生熟悉的基本单位转换入手，体会不同的单位
制能给解决问题带来方便，引导学习去思考寻找另一种的单位制度量角。
通过类比引出弧度制，关键弄清1弧度的定义，然后通过探索得到弧度数绝对值公式并得出角度和弧度的换算方法。在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性。这样可以尽量自然的引入弧度制，并让学生在探索的过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础。
(完整版)_弧度制教案及教学设计
1.1.2 弧度制
一、教材分析
1、本节内容在教材中的地位和作用：
教材地位与作用：本节课是普通高中实验教科书人教A版必修4第一章第一单元
第二节。本节课起着承上启下的作用：在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体
会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识
还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着启下的作用。通
过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇
形面积公式有了更为简单形式。另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。
2、教学目标
3、教学中的重点和难点
教学重点：理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制的换算。
教学难点：弧度制的概念与角度的换算。
二、教学设计思想
教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生熟悉的基本单位转换入手，体会不同的单位制能给解决问题带来方便，引导学习去思考寻找另一种的单位制度量角。
通过类比引出弧度制，关键弄清1弧度的定义，然后通过探索得到弧度数绝对值公式并得出角度和弧度的换算方法。在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性。这样可以尽量自然的引入弧度制，并让学生在探索的过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础。
三、教法分析
本节课我采用引导发现式的教学方法。通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究来达到对知识的发现和接受。
学案4：1.1.2 弧度制
1.1.2弧度制【课标要求】
1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．
2．能进行弧度与角度的互化．
3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．
【核心扫描】
1．对弧度制概念的理解．(难点)
2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学1．度量角的单位制
(1)角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1
360.
(2)弧度制
①弧度制的定义
长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．
②任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个；负角的弧度数是一个；零角的弧度数是零．
③角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.
温馨提示：圆心角α所对的弧长与半径的比值l
r与半径的大小无关，仅与角的大小有关．2．角度制与弧度制的换算
(1)
温馨提示：角度制与弧度制是两种不同的度量单位，两者之间可相互转化，并且角度与弧度是一一对应的关系．在表示角时，角度制与弧度制不能混用，在表达式中，要保持单位一致，防止出现π
3＋k ·180°或60°＋2k π等这类错误的写法．
3．扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则 温馨提示：扇形的面积公式S ＝1
2lR 与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底)，可以类
比记忆．在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但如果已知角是以“度”的单位，则必须先化成弧度后再计算．
互动探究
学案8： 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
|目标索引|
1．了解弧度制，明确1弧度的含义．
2．能进行弧度与角度的互化．
3．掌握弧度数的计算公式及应用.
基础知识
1．度量角的单位制
(1)角度制
用度作单位来度量角的制度叫做角度制，规定1度的角等于周角的
1
360；60分等于1度，
秒等于1分．
(2)弧度制①弧度制的定义
长度等于的圆弧所对的叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制．
②任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个；负角的弧度数是一个；零角的弧度数是.
③角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.
2．角度制与弧度制的换算
(1)
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则
预测练习
1.8π
5 弧度化为角度是( ) A ．278° B.280° C ．288°
D.318°
2．终边在第一、四象限的角的集合可表示为________．
3．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad.
题型探究
题型一 弧度与角度的互化
例1 (1)在半径不等的两圆内，1弧度的圆心角( ) A ．所对的弧长相等 B ．所对的弦长相等
C ．所对的弧长等于各自的半径
D ．所对的弦长等于各自的半径
(2)将下列各角度化成弧度：①－240°；②750°； (3)将下列各弧度化成角度：①2π5；②19π
4.
【知识点拨】 角度制与弧度制的互化实质是利用比例关系，π
1.1.2 弧度制 学案
1.1.2 弧度制
1．弧度制
(1)定义：以__ __为单位度量角的单位制叫做弧度制．
(2)度量方法：长度等于______的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图所示，圆O 的半径为r ，AB ︵
的长等于r ，∠AOB 就是1弧度的角．
(3)记法：弧度单位用符号 表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写． 2．弧度数
一般地，正角的弧度数是一个__ __数，负角的弧度数是一个__ __数，零角的弧度数是____． 如果半径为r 的圆的圆心角α 所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝ ． 3．弧度与角度的换算公式
(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2π rad ，即
弧度与角度的换算公式如下：
若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝(180απ)°，n °＝n ·π180 rad ．
(2)常用特殊角的弧度数
(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起_______ __关系：每一个角都有唯一的一个__ __(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个__ __(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
4．弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式
在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝l
r ，变形可得l ＝|α|r ，此公式称为弧长公式，其中
α的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
由圆心角为1 rad 的扇形面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为l r rad ，故其面积为S ＝l r ×r 22＝1
高中数学学案10：1.1.2 弧度制
1.1.2 弧度制
一、学习目标
1.弧度的角及弧度的定义；
2.掌握角度与弧度的换算公式；
3.熟练进行角度与弧度的换算；
4.理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
二、自主学习
1．度量角的单位制
(1)角度制;规定周角的为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制．
(2)弧度制;在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的称为1弧度的角，
它的单位符号是rad，读作．这种以作单位度量角的单位制，叫作弧度制．2．角度与弧度的互化
(1)角度制与弧度制的互化(换算)
180°＝；1°＝rad＝0.017 45 rad；
1 rad＝＝57°18′＝57.30°
(2)特殊角的度数与弧度数的对应表
任一正角的弧度数都是一个数；任一负角的弧度数都是一个数；零角的弧度数是．3．扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
1．半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？
2．2°与2弧度的角是否表示同一个角？
3．390°可以写成360°＋π6
吗？
三、合作探究
探究1：角度制与弧度制的互化
1．(1)把112°30′化为弧度； (2)－5π12
rad 化为度．
类题·通法
1．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，
再利用1°＝π180
rad 化为弧度便可． 2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．
跟踪训练1．将下列角度与弧度互化．
(1)20°；(2)11π12
；(3)8 rad
人教版数学高一B版必修4学案弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
式和面积公式解决相关问题．
1．度量角的两种单位制
名师点拨今后我们在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad 可以略去不写，而只写这个角对应的弧度数．
角α＝2 013°和α＝2 013一样吗？
答：不一样.2 013°表示2 013度，而2 013表示2 013 rad.弧度单位可以省略，但度这个单位不能省略．
【自主测试1】在半径不相等的圆中，1 rad 的圆心角所对的( ) A ．弦长相等 B ．弧长相等
C ．弦长等于所在圆的半径
D ．弧长等于所在圆的半径 答案：D
2．角度与弧度
(1)
角度 180° 210°
225° 240° 270° 300° 315°
330° 360° 弧度
π
7π6 5π4
4π3 3π2 5π3
7π4
11π
6
2π
【自主测试2－1】6
弧度化为角度是( )
A ．150° B．145° C ．135° D．235°
解析：∵1 rad ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫180π°， ∴5π6 rad ＝5π6×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6×180π°＝150°.
答案：A
【自主测试2－2】把－300°化为弧度是( )
A ．－4π3
B ．－5π3
C ．－7π4
D ．－7π6
解析：－300°＝－300×π180＝－5π
3.
答案：B
3．扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则
名师点拨使用弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有很多优越性，但是如果已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这样可避免繁琐的计算过程．
1.1.2 弧度制 学案(含答案)
1.1.2 弧度制学案（含答案）
11.2弧度制学习目标
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式知识点一角度制与弧度制1角度制和弧度制角度制规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制弧度制长度等于半径的圆弧所对的圆心角记作1弧度的角，记作1rad，读作1弧度用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制
2.角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是||.思考半径为2的圆中1弧度的角比半径为1的圆中1弧度的角大，这句话正确吗答案错误“1弧度的角”的大小与所在圆的半径大小无关，其大小是一个定值知识点二角度制与弧度制的换算1角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度3602rad2rad360180radrad1801rad0.01745rad1rad
57.302.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度01304560901xx5150180270360弧度02知识点三扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，为其圆心角的弧度数，则为度数为弧度数扇形的弧长ll||r扇形的面积SSlr||r
21.1rad的角和1的角大小相等提示1rad的角和1的角大小不相等，1rad.2用弧度来表示的角都是正角提示弧度也可表示负
角，负角的弧度数是一个负数3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关提示“1弧度的角”的大小等于长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关4半径为1的圆弧中，60角所对的圆弧长为
学案11：1.1.2 弧度制
1.1.2 弧度制
学习目标
1.了解弧度制的意义．
2.能正确的将弧度与角度互化．
3.掌握弧长公式和扇形面积公式．
新知初探
1．角度制
规定周角的 为1度的角，记作1°.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 2．弧度制
(1)长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作 ．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制． (2)弧度数
①正角的弧度数是 数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．
②角α的弧度数的绝对值|α|＝l
r (其中l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的弧长，r 为圆半径)．
3．角度与弧度之间的互化及关系
(1)度化弧度：360°＝ rad ，180°＝ rad ，1°＝ rad ≈0.017 45 rad. (2)弧度化度：2π rad ＝ ，π rad ＝ ，1 rad ＝ ≈57.30°. 4．扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式：l ＝|α|·r ，(r 为圆半径，|α|为圆心角的弧度数)，两个变形：|α|＝l r ，r ＝l
|α|.
(2)面积公式：S 扇形＝12l ·r (r 为扇形半径，l 为扇形的弧长)，两个变形：S 扇形＝1
2|α|·r 2，S 扇形
＝12l 2
|α|
(α为扇形圆心角的弧度数)． 自我尝试
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度指的是1度的角．( )
(2)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．( ) 2.8π
5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288°
D ．318°
3．半径为2，圆心角为π
3的扇形的面积是( )
数学必修4互动课堂学案：1.1.2弧度制 含解析 精品
互动课堂
疏导引导
1.度量角的单位制：角度制、弧度制 （1）角度制
初中学过角度制，它是一种重要的度量角的制度，规定周角的
360
1
为1度角，记作1°，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. （2）弧度制
规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad. （3）弧度数 如下图1，
的长等于半径r ，
所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即
r
l =1.
图1 图2
在图2中，圆心角∠AOC 所对的
的长l=2r ，那么∠AOC 的弧度数就是
22==r
r r l 如果圆心角所对的弧长l=2πr （即弧长是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数是
r
r
r l π2==2π. 如果圆心角表示一个负数，且它所对的弧的长l=4πr ，那么这个角的弧度数的绝对值是
r
r r l π4==4π,即这个角的弧度数是-4π. 一般地，正确的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零. 2.弧长公式与 扇形面积公式
（1）设l 是以角α作为圆心角时所对的弧的长，r 是圆的半径，则有l=|α|·r ，其中α是角的弧度数.
（2）扇形面积公式 S=
21lr=2
1
α·r 2. 3.角度与弧度之间的互化 (1)将角度化为弧度 360°=2π rad,180°=π rad. 1°=
180
π
rad≈0.017 45 rad.
(2)将弧度化为角度 2π rad=360°,π rad=180°. 1 rad=(
π
180
)°≈57.30°=57°18′.
(3)弧度制与角度制的换算公式
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1．1.2 弧度制
学习目标
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．
知识点一角度制与弧度制
思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？
[答案]周角的1
360等于1度．
思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？
[答案]把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示．
思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
[答案]“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
梳理(1)角度制和弧度制
(2)角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l
r.
知识点二角度制与弧度制的换算
思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
[答案]利用1°＝
π
180rad和1 rad＝⎝
⎛
⎭
⎫
180
π°进行弧度与角度的换算．
梳理(1)角度与弧度的互化
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
知识点三扇形的弧长及面积公式
思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
[答案]设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则：
1．1 rad的角和1°的角大小相等．(×)
提示 1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝π
180rad.
2．用弧度来表示的角都是正角．( × )
提示 弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数． 3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．( √ )
提示 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π
5.
[考点] 弧度制
[题点] 角度与弧度的互化 解 (1)20°＝20π180＝π
9.
(2)－15°＝－15π180＝－π
12.
(3)7π12＝7
12×180°＝105°. (4)－11π5＝－11
5
×180°＝－396°.
反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝⎛⎭⎫180π°即可． 跟踪训练1 (1)把下列角度化成弧度：
①－150°＝________；②2 100°＝________； ③11°15′＝________；④112°30′＝________. (2)把下列弧度化成角度：
①π6＝________；②－5π
3＝________； ③9π20＝________；④－5π
12＝________. [考点] 弧度制
[题点] 角度与弧度的互化
[答案] (1)①－5π6 ②353π ③π16 ④5π8
(2)①30° ②－300° ③81° ④－75° 类型二 用弧度制表示终边相同的角
例2 把下列各角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 500°；(2)23π
6；(3)－4.
[考点] 弧度制的应用 [题点] 弧度制的应用
解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．
(2)∵23π6＝2π＋11π6，
∴
23π6与11π
6
终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π
2＜2π－4＜π.
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π
5角终边相同的角．
[考点] 弧度制的应用 [题点] 弧度制的应用
解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π
9
，
而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α≤2π，∴α＝16π9.
∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.
(2)∵2π5＝2π5×⎝⎛⎭
⎫180π°＝72°，
∴终边与2π
5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，
当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与2π
5角终边相同的角为72°，432°.
类型三 扇形的弧长及面积公式的应用
例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．π B.5π4 C.3π3 D.23π9
(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A ．2 B.2sin 1 C ．2sin 1 D.4
sin 1
[考点] 扇形的弧长与面积公式
[题点] 扇形的弧长与面积公式的综合应用 [答案] (1)A (2)D
[解析] (1)扇形的中心角为120°＝2π
3，半径为3，
所以S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π
3
×(3)2＝π.
(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为2sin 1.这个圆心角所对的弧长为2×
2
sin 1＝4
sin 1
.
反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝1
2|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如
果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算． 跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． [考点] 扇形的弧长与面积公式
[题点] 扇形的弧长与面积公式的综合应用