数学奥林匹克初中训练三

合集下载

数学奥林匹克初中训练题(166)

中等数学
数蟹
中图分类号：Ｇ４２４．７９
藏渤删稼毽（１６６）
文献标识码：Ａ文章编号：１００５—６４１６（２０１３）０７— ００４０— ０４
第一试
一
线为 “ 好线” ．则共存在好线（）条．Ａ
２．Ｂ．
有一个相同的实根，方程
２＋＋口＝０和２＋ｃ＋ｂ＝０
也有一个相同的实根．求口、ｂ、ｃ的值．二、（２５分）如图４，已知点Ｐ在Ｌ＝ＹＡＢＣＤ的内部，且满足ＰＡＢ＝ＰＣＢ．设０１、０２、Ｄ，、Ｄ分别是
如图５，设ＡＢ中点为，联结ＣＭ．
由ＭＡ＝ＭＣ。
Ａ＝４０。．
（ｉ）当为实数时，其最小值为Ｏ，且
一
１）＝一一１）
成立；
知
ＣＭＤ
＝２×４０。＝８０。．
图５
Ｃ
（ｉｉ）当０＜＜５时，
△ 、△ Leabharlann ＢＣ、Ｄ由口２＋ｂ２＝１，ｂ２＋ｃ２＝２，口＋ｃ＝２
ｃ口ｃ，＝（ ± 譬， ± 譬， ± ）．
贝０ａｂ＋ｂｃ＋ｃ口
≥ ×
△ＰＣＤ、 △ ＰＤＡ的
譬＋譬 × （一）＋（一－：２６） × ２至
ｎ：
— — —
一
＋
＿
＿
３．已知点Ｄ在 △ ＡＢＣ的边Ａ上，Ａ

数学奥林匹克初中训练题(87)

６如图３Ｐ、Ａ与ＰＢＣ分别三点．，Ｄ、、、
共线，Ｂ交ＣＡＤ于Ｑ且，
ＰＱ平分ＡＣ．ＰＰ记Ａ＝
口，Ｂ＝ｂ，Ｃ＝ｃ，Ｄ＝ＰＰＰ
则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）．
（）９５（）ｏ５（）１５（）５５Ａ１．Ｂ２．Ｃ２．Ｄ２．
维普资讯
中等数学
圆
蟹
第一试
一
渤溯
ＡＢ—ＨＧ等于（
（）８７
）．
、
选择题（每小题７，４分）分共２
（４Ｂｈ（詈ＤＡｈ（７ｃ（））））
４如果关于的方程．
１
（）＋Ｔ＋１ｃ１＝
口ｏＣａ
中，ＭＮ是弦，方形正ＡＣ与正方形ＥＧＢＤＦＨ
的边ＡＧ也都是Ｂ、Ｈ
（＝Ｄ篇）
二、填空题（每小题７，２分）分共８
１已知、是正实数，ｘｚｘ＋ｙ＋．且ｙ（）．＋，（＋的最小值是— — ．＝１则（，，）），２已知０ ≤１不等式＋∞ ＋３一口． ≤ ，
‘
‘
ＡＡＰ・ＱＡＡＢ・Ｃ＋ＢＣＰ・Ｑ．
（０＞０．）
Ｑ
令＝ｌ得ｋ＝３，．
５Ｂ．．
‘
‘
图５
三、２分）（５已知二次三项式ａ＋ｃ，＋ｘ
依题意，根据相交弦定理易得此圜与坐标轴的另一交点的坐标是（，）０１．

数学奥林匹克初中训练题(54)

第二试
（０分）１１０这一百个自然数中，取２在～０任２１个．明：定存在四个数，中有两个数之和等证一其
一
、
于另两个数之和．
二、２（５分）图３如，ＣＤ是直角△ ＡＣ斜边ＢＡＢ上的高，、各在ＭＮ
在△ ＢＭＮ中，ＭＮ＞Ｂ则由Ｎ，
ＭＢＮ＞ＢＭ：７．
图６
的圆心角大于６。小于９。在内公切线上取一点，０、０．
所以，ＡＶＢ／Ｙ＝ＥＭＮ＋ＭＢ＞２，Ｎ）．
满足小于较大半径，于较小半径．大则只有两个圆的
）．
二、填空题（每小题７分，３共５分）１．＝２６一ｚ的最大值是— — ．ｘ＋
２如图２在口Ａ．，Ｂ—
（０Ａ）
（）（一２（一ｌＢｌＣ）Ｄ）
２设正整数ｎ， ”满足￣ｎ一４＝￣一．、 ”、／／厂
（锐角三角形Ａ）（）角三角形Ｂ直（）角三角形Ｃ钝
（无法确定Ｄ）
４设ｂ取２６之间的奇数，．～ｌｒ取任意自然数．则可以组成有两个不等实根的一元二次方程３＋ｘ
（＋１＋（ｂ）、＝０的个数为（）．（６（）６（１７（无穷多个Ａ）４Ｂ６Ｃ）０Ｄ）形ＡＮＭ是凸四边形．射线ＭＡ、Ｂ在ＮＢ、ＡＭ、ＮＢ

数学奥林匹克初中训练题(164)

（
ＡＥ、ＢＥ交于点Ｑ、Ｐ．若
四边形ＰＥＱＦ的面积为．ｓ，则（）．
（Ａ）２０１０
（Ｂ），／２０１１
图２
（Ｃ）／，２０１２（Ｄ）２０１３３．如图１，已知抛物线Ｃ：Ｙ＝一２ｘ＋４和直线Ｚ：Ｙ＝一２ｘ
第一试
一
（Ａ） ÷（Ｂ）一１（ｃ）（Ｄ）一１
５．若０６ｃ＝４，ａ＋ｂ＋ｃ＝２，且口 ≥６ ≥ｃ，贝０ａＩ＋ｌｂｌ＋ＩＣｌ的最小值为（
（Ａ）２（Ｂ）４（Ｃ）６
２０１３年第５期
ｒ — —“．一，．＾，－．，．～．＿、，．．一
数蟹滁蓖渤则镰遣（１６４）
中图分类号：Ｇ４２４．７９文献标识码：Ａ文章编号：１００５—６４１６（２０１３）０５—００３７— ０３
、
（ｋ＋２）：８
：＝
＝ “ ＝２．４．Ｄ．
二、（２５分）如
图４，以锐角 △ ＡＢＣ的边ＢＣ为直径作
ｏ０，ＡＤ是ｏ０的
过点Ａ作ＡＭ上轴，过点Ｂ作ＢＮ上轴，垂足分别为Ｍ、 Ⅳ ．由ＯＡ上ＯＢｊＡＯＢ＝９０。
Ｐ，分别过Ａ、Ｂ、Ｐ作轴的垂线，垂
足依次为／４、Ｂ、Ｐ。．

初一奥赛数学题大全（100道）

【导语】数学奥林匹克活动的蓬勃发展,极⼤地激发了⼴⼤少年⼉童学习数学的兴趣,成为引导少年积极向上,主动探索,健康成长的⼀项有益活动。

以下是为您整理的相关资料，希望对您有⽤。

1.甲、⼄、丙三⼈在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵.已知甲、⼄、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，⼄先在A地植树，然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束，⼄应在开始后第⼏天从A地转到B 地？2.有三块草地，⾯积分别是5，15，24亩.草地上的草⼀样厚，⽽且长得⼀样快.第⼀块草地可供10头⽜吃30天，第⼆块草地可供28头⽜吃45天，问第三块地可供多少头⽜吃80天？3. 某⼯程，由甲、⼄两队承包，2.4天可以完成，需⽀付1800元；由⼄、丙两队承包，3+3/4天可以完成，需⽀付1500元；由甲、丙两队承包，2+6/7天可以完成，需⽀付1600元.在保证⼀星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费⽤最少？4. ⼀个圆柱形容器内放有⼀个长⽅形铁块.现打开⽔龙头往容器中灌⽔.3分钟时⽔⾯恰好没过长⽅体的顶⾯.再过18分钟⽔已灌满容器.已知容器的⾼为50厘⽶，长⽅体的⾼为20厘⽶，求长⽅体的底⾯⾯积和容器底⾯⾯积之⽐.5. 甲、⼄两位⽼板分别以同样的价格购进⼀种时装，⼄购进的套数⽐甲多1/5，然后甲、⼄分别按获得80%和50%的利润定价出售.两⼈都全部售完后，甲仍⽐⼄多获得⼀部分利润，这部分利润⼜恰好够他再购进这种时装10套，甲原来购进这种时装多少套？6. 有甲、⼄两根⽔管，分别同时给A，B两个⼤⼩相同的⽔池注⽔，在相同的时间⾥甲、⼄两管注⽔量之⽐是7：5.经过2+1/3⼩时，A，B两池中注⼊的⽔之和恰好是⼀池.这时，甲管注⽔速度提⾼25%，⼄管的注⽔速度不变，那么，当甲管注满A池时，⼄管再经过多少⼩时注满B池？7. ⼩明早上从家步⾏去学校，⾛完⼀半路程时，爸爸发现⼩明的数学书丢在家⾥，随即骑车去给⼩明送书，追上时，⼩明还有3/10的路程未⾛完，⼩明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样⼩明⽐独⾃步⾏提早5分钟到校.⼩明从家到学校全部步⾏需要多少时间？8. 甲、⼄两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B两地的距离等于B，C两地的距离.⼄车的速度是甲车速度的80%.已知⼄车⽐甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C地.最后⼄车⽐甲车迟4分钟到C地.那么⼄车出发后⼏分钟时，甲车就超过⼄车.9. 甲、⼄两辆清洁车执⾏东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10⼩时，⼄车单独清扫需要15⼩时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车⽐⼄车多清扫12千⽶，问东、西两城相距多少千⽶？10. 今有重量为3吨的集装箱4个，重量为2.5吨的集装箱5个，重量为1.5吨的集装箱14个，重量为1吨的集装箱7个.那么最少需要⽤多少辆载重量为4.5吨的汽车可以⼀次全部运⾛集装箱？⼩学数学应⽤题综合训练(02)11. 师徒⼆⼈共同加⼯170个零件，师傅加⼯零件个数的1/3⽐徒弟加⼯零件个数的1/4还多10个，那么徒弟⼀共加⼯了⼏个零件？12. ⼀辆⼤轿车与⼀辆⼩轿车都从甲地驶往⼄地.⼤轿车的速度是⼩轿车速度的80%.已知⼤轿车⽐⼩轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟，才继续驶往⼄地；⽽⼩轿车出发后中途没有停，直接驶往⼄地，最后⼩轿车⽐⼤轿车早4分钟到达⼄地.⼜知⼤轿车是上午10时从甲地出发的.那么⼩轿车是在上午什么时候追上⼤轿车的.13. ⼀部书稿，甲单独打字要14⼩时完成，，⼄单独打字要20⼩时完成.如果甲先打1⼩时，然后由⼄接替甲打1⼩时，再由甲接替⼄打1⼩时.......两⼈如此交替⼯作.那么打完这部书稿时，甲⼄两⼈共⽤多少⼩时？14. 黄⽓球2元3个，花⽓球3元2个，学校共买了32个⽓球，其中花⽓球⽐黄⽓球少4个，学校买哪种⽓球⽤的钱多？15. ⼀只帆船的速度是60⽶/分，船在⽔流速度为20⽶/分的河中，从上游的⼀个港⼝到下游的某⼀地，再返回到原地，共⽤3⼩时30分，这条船从上游港⼝到下游某地共⾛了多少⽶？16. 甲粮仓装43吨⾯粉，⼄粮仓装37吨⾯粉，如果把⼄粮仓的⾯粉装⼊甲粮仓，那么甲粮仓装满后，⼄粮仓⾥剩下的⾯粉占⼄粮仓容量的1/2；如果把甲粮仓的⾯粉装⼊⼄粮仓，那么⼄粮仓装满后，甲粮仓⾥剩下的⾯粉占甲粮仓容量的1/3，每个粮仓各可以装⾯粉多少吨？17. 甲数除以⼄数，⼄数除以丙数，商相等，余数都是2，甲、⼄两数之和是478.那么甲、⼄丙三数之和是⼏？18. ⼀辆车从甲地开往⼄地.如果把车速减少10%，那么要⽐原定时间迟1⼩时到达，如果以原速⾏驶180千⽶，再把车速提⾼20%，那么可⽐原定时间早1⼩时到达.甲、⼄两地之间的距离是多少千⽶？19. 某校参加军训队列表演⽐赛，组织⼀个⽅阵队伍.如果每班60⼈，这个⽅阵⾄少要有4个班的同学参加，如果每班70⼈，这个⽅阵⾄少要有3个班的同学参加.那么组成这个⽅阵的⼈数应为⼏⼈？20. 甲、⼄、丙三台车床加⼯⽅形和圆形的两种零件，已知甲车床每加⼯3个零件中有2个是圆形的；⼄车床每加⼯4个零件中有3个是圆形的；丙车床每加⼯5个零件中有4个是圆形的.这天三台车床共加⼯了58个圆形零件，⽽加⼯的⽅形零件个数的⽐为4：3：3，那么这天三台车床共加⼯零件⼏个？⼩学数学应⽤题综合训练(03)21. 圈⾦属线长30⽶，截取长度为A的⾦属线3根，长度为B的⾦属线5根，剩下的⾦属线如果再截取2根长度为B的⾦属线还差0.4⽶，如果再截取2根长度为A的⾦属线则还差2⽶，长度为A的等于⼏⽶？22. 某公司要往⼯地运送甲、⼄两种建筑材料.甲种建筑材料每件重700千克，共有120件，⼄种建筑材料每件重900千克，共有80件，已知⼀辆汽车每次最多能运载4吨，那么5辆相同的汽车同时运送，⾄少要⼏次？23. 从王⼒家到学校的路程⽐到体育馆的路程长1/4，⼀天王⼒在体育馆看完球赛后⽤17分钟的时间⾛到家，稍稍休息后，他⼜⽤了25分钟⾛到学校，其速度⽐从体育馆回来时每分钟慢15⽶，王⼒家到学校的距离是多少⽶？24. 师徒两⼈合作完成⼀项⼯程，由于配合得好，师傅的⼯作效率⽐单独做时要提⾼1/10，徒弟的⼯作效率⽐单独做时提⾼1/5.两⼈合作6天，完成全部⼯程的2/5，接着徒弟⼜单独做6天，这时这项⼯程还有13/30未完成，如果这项⼯程由师傅⼀⼈做，⼏天完成？25. 六年级五个班的同学共植树100棵.已知每个班植树的棵数都不相同，且按数量从多到少的排名恰好是⼀、⼆、三、四、五班.⼜知⼀班植的棵数是⼆、三班植的棵数之和，⼆班植的棵数是四、五班植的棵数之和，那么三班最多植树多少棵？26. 甲每⼩时跑13千⽶，⼄每⼩时跑11千⽶，⼄⽐甲多跑了20分钟，结果⼄⽐甲多跑了2千⽶.⼄总共跑了多少千⽶？27. 有⾼度相等的A，B两个圆柱形容器，内⼝半径分别为6厘⽶和8厘⽶.容器A中装满⽔，容器B是空的，把容器A中的⽔全部倒⼊容器B中，测得容器B中的⽔深⽐容器⾼的7/8还低2厘⽶.容器的⾼度是多少厘⽶？28. 有104吨的货物，⽤载重为9吨的汽车运送.已知汽车每次往返需要1⼩时，实际上汽车每次多装了1吨，那么可提前⼏⼩时完成.29. 师、徒⼆⼈第⼀天共加⼯零件225个，第⼆天采⽤了新⼯艺，师傅加⼯的零件⽐第⼀天增加了24%，徒弟增加了45%，两⼈共加⼯零件300个，第⼆天师傅加⼯了多少个零件？徒弟加⼯了⼏个零件？30. 奋⽃⼩学组织六年级同学到百花⼭进⾏野营拉练，⾏程每天增加2千⽶.去时⽤了4天，回来时⽤了3天，问学校距离百花⼭多少千⽶？⼩学数学应⽤题综合训练(04)31. 某地收取电费的标准是：每⽉⽤电量不超过50度，每度收5⾓；如果超出50度，超出部分按每度8⾓收费.每⽉甲⽤户⽐⼄⽤户多交3元3⾓电费，这个⽉甲、⼄各⽤了多少度电？32. 王师傅计划⽤2⼩时加⼯⼀批零件，当还剩160个零件时，机器出现故障，效率⽐原来降低1/5，结果⽐原计划推迟20分钟完成任务，这批零件有多少个？33. 妈妈给了红红⼀些钱去买贺年卡，有甲、⼄、丙三种贺年卡，甲种卡每张1.20元.⽤这些钱买甲种卡要⽐买⼄种卡多8张，买⼄种卡要⽐买丙种卡多买6张.妈妈给了红红多少钱？⼄种卡每张多少钱？34. ⼀位⽼⼈有五个⼉⼦和三间房⼦，临终前⽴下遗嘱，将三间房⼦分给三个⼉⼦各⼀间.作为补偿，分到房⼦的三个⼉⼦每⼈拿出1200元，平分给没分到房⼦的两个⼉⼦.⼤家都说这样的分配公平合理，那么每间房⼦的价值是多少元？35. ⼩明和⼩燕的画册都不⾜20本，如果⼩明给⼩燕A本，则⼩明的画册就是⼩燕的2倍；如果⼩燕给⼩明A本，则⼩明的画册就是⼩燕的3倍.原来⼩明和⼩燕各有多少本画册？36. 有红、黄、⽩三种球共160个.如果取出红球的1/3，黄球的1/4，⽩球的1/5，则还剩120个；如果取出红球的1/5，黄球的1/4，⽩球的1/3，则剩116个，问（1）原有黄球⼏个？（2）原有红球、⽩球各⼏个？37. 爸爸、哥哥、妹妹三⼈现在的年龄和是64岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁.当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁.现在三⼈的年龄各是多少岁？38. B在A，C两地之间.甲从B地到A地去送信，出发10分钟后，⼄从B地出发去送另⼀封信.⼄出发后10分钟，丙发现甲⼄刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和⼄，以便把信调过来.已知甲、⼄的速度相等，丙的速度是甲、⼄速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地⾄少要⽤多少时间？39. 甲、⼄两个车间共有94个⼯⼈，每天共加⼯1998⽵椅.由于设备和技术的不同，甲车间平均每个⼯⼈每天只能⽣产15把⽵椅，⽽⼄车间平均每个⼯⼈每天可以⽣产43把⽵椅.甲车间每天⽵椅产量⽐⼄车间多⼏把？40. 甲放学回家需⾛10分钟，⼄放学回家需⾛14分钟.已知⼄回家的路程⽐甲回家的路程多1/6，甲每分钟⽐⼄多⾛12⽶，那么⼄回家的路程是⼏⽶？⼩学数学应⽤题综合训练(05)41. 某商品每件成本72元，原来按定价出售，每天可售出100件，每件利润为成本的25%，后来按定价的90%出售，每天销售量提⾼到原来的2.5倍，照这样计算，每天的利润⽐原来增加⼏元？42. 甲、⼄两列⽕车的速度⽐是5：4.⼄车先发，从B站开往A站，当⾛到离B站72千⽶的地⽅时，甲车从A站发车往B站，两列⽕车相遇的地⽅离A，B两站距离的⽐是3：4，那么A，B两站之间的距离为多少千⽶？43. ⼤、⼩猴⼦共35只，它们⼀起去采摘⽔蜜桃.猴王不在的时候，⼀只⼤猴⼦⼀⼩时可采摘15千克，⼀只⼩猴⼦⼀⼩时可采摘11千克.猴王在场监督的时候，每只猴⼦不论⼤⼩每⼩时都可以采摘12千克.⼀天，采摘了8⼩时，其中只有第⼀⼩时和最后⼀⼩时有猴王在场监督，结果共采摘4400千克⽔蜜桃.在这个猴群中，共有⼩猴⼦⼏只？44. 某次数学竞赛设⼀、⼆等奖.已知（1）甲、⼄两校获奖的⼈数⽐为6：5.（2）甲、⼄来年感校获⼆等奖的⼈数总和占两校获奖⼈数总和的60%.（3）甲、⼄两校获⼆等奖的⼈数之⽐为5：6.问甲校获⼆等奖的⼈数占该校获奖总⼈数的百分数是⼏？45. 已知⼩明与⼩强步⾏的速度⽐是2：3，⼩强与⼩刚步⾏的速度⽐是4：5.已知⼩刚10分钟⽐⼩明多⾛420⽶，那么⼩明在20分钟⾥⽐⼩强少⾛⼏⽶？46. 加⼯⼀批零件，原计划每天加⼯15个，若⼲天可以完成.当完成加⼯任务的3/5时，采⽤新技术，效率提⾼20%.结果，完成任务的时间提前10天，这批零件共有⼏个？47. 甲、⼄⼆⼈在400⽶的圆形跑道上进⾏10000⽶⽐赛.两⼈从起点同时同向出发，开始时甲的速度为8⽶/秒，⼄的速度为6⽶/秒，当甲每次追上⼄以后，甲的速度每秒减少2⽶，⼄的速度每秒减少0.5⽶.这样下去，直到甲发现⼄第⼀次从后⾯追上⾃⼰开始，两⼈都把⾃⼰的速度每秒增加0.5⽶，直到终点.那么者到达终点时，另⼀⼈距离终点多少⽶？48. ⼩明从家去学校，如果他每⼩时⽐原来多⾛1.5千⽶，他⾛这段路只需原来时间的4/5；如果他每⼩时⽐原来少⾛1.5千⽶，那么他⾛这段路的时间就⽐原来时间多⼏分⼏之？49. 甲、⼄、丙、丁现在的年龄和是64岁.甲21岁时，⼄17岁；甲18岁时，丙的年龄是丁的3倍.丁现在的年龄是⼏岁？50. 加⼯⼀批零件，原计划每天加⼯30个.当加⼯完1/3时，由于改进了技术，⼯作效率提⾼了10%，结果提前了4天完成任务.问这批零件共有⼏个？⼩学数学应⽤题综合训练(06)51. ⾃动扶梯以均匀的速度向上⾏驶，⼀男孩与⼀⼥孩同时从⾃动扶梯向上⾛，男孩的速度是⼥孩的2倍，已知男孩⾛了27级到达扶梯的顶部，⽽⼥孩⾛了18级到达顶部.问扶梯露在外⾯的部分有多少级？52. 两堆苹果⼀样重，第⼀堆卖出2/3，第⼆堆卖出50千克，如果第⼀堆剩下的苹果⽐第⼆堆剩下的苹果少，那么两堆剩下的苹果⾄少有多少千克？53. 甲、⼄两车同时从A地出发，不停的往返⾏驶于A、B两地之间.已知甲车的速度⽐⼄车快，并且两车出发后第⼀次和第⼆次相遇都杂途中C地，甲车的速度是⼄车的⼏倍？54. ⼀只⼩船从甲地到⼄地往返⼀次共⽤2⼩时，回来时顺⽔，⽐去时的速度每⼩时多⾏8千⽶，因此第⼆⼩时⽐第⼀⼩时多⾏6千⽶.求甲、⼄两地的距离.55. 甲、⼄两车分别从A、B两地出发，并在A，B两地间不断往返⾏驶.已知甲车的速度是15千⽶/⼩时，甲、⼄两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千⽶.求A、B两地的距离.56. 某⼈沿着向上移动的⾃动扶梯从顶部朝底下⽤了7分30秒，⽽他沿着⾃动扶梯从底朝上⾛到顶部只⽤了1分30秒.如果此⼈不⾛，那么乘着扶梯从底到顶要多少时间？如果停电，那么此⼈沿扶梯从底⾛到顶要多少时间？57. 甲、⼄两个圆柱体容器，底⾯积⽐为5：3，甲容器⽔深20厘⽶，⼄容器⽔深10厘⽶.再往两个容器中注⼊同样多的⽔，使得两个容器中的⽔深相等.这时⽔深多少厘⽶？58. A、B两地相距207千⽶，甲、⼄两车8：00同时从A地出发到B地，速度分别为60千⽶/⼩时，54千⽶/⼩时，丙车8：30从B 地出发到A地，速度为48千⽶/⼩时.丙车与甲、⼄两车距离相等时是⼏点⼏分？59. ⼀个长⽅形的周长是130厘⽶，如果它的宽增加1/5，长减少1/8，就得到⼀个相同周长的新长⽅形.求原长⽅形的⾯积.60. 有⼀长⽅形，它的长与宽的⽐是5：2，对⾓线长29厘⽶，求这个长⽅形的⾯积.⼩学数学应⽤题综合训练(07)61. 有⼀个果园，去年结果的果树⽐不结果的果树的2倍还多60棵，今年⼜有160棵果树结了果，这时结果的果树正好是不结果的果树的5倍.果园⾥共有多少棵果树？62. ⼩明步⾏从甲地出发到⼄地，李刚骑摩托车同时从⼄地出发到甲地.48分钟后两⼈相遇，李刚到达甲地后马上返回⼄地，在第⼀次相遇后16分钟追上⼩明.如果李刚不停地往返于甲、⼄两地，那么当⼩明到达⼄地时，李刚共追上⼩明⼏次？63. 同样⾛100⽶，⼩明要⾛180步，⽗亲要⾛120步.⽗⼦同时同⽅向从同⼀地点出发，如果每⾛⼀步所⽤的时间相同，那么⽗亲⾛出450⽶后往回⾛，还要⾛多少步才能遇到⼩明？64. ⼀艘轮船在两个港⼝间航⾏，⽔速为6千⽶/⼩时，顺⽔航⾏需要4⼩时，逆⽔航⾏需要7⼩时，求两个港⼝之间的距离.65. 有甲、⼄、丙三辆汽车，各以⼀定的速度从A地开往B地，⼄⽐丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲⽐⼄⼜晚出发10分钟，出发后60分钟追上丙，问甲出发后⼏分钟追上⼄？66. 甲、⼄合作完成⼀项⼯作，由于配合的好，甲的⼯作效率⽐单独做时提⾼1/10，⼄的⼯作效率⽐单独做时提⾼1/5，甲、⼄合作6⼩时完成了这项⼯作，如果甲单独做需要11⼩时，那么⼄单独做需要⼏⼩时？67. A、B、C、D、E五名学⽣站成⼀横排，他们的⼿中共拿着20⾯⼩旗.现知道，站在C右边的学⽣共拿着11⾯⼩旗，站在B 左边的学⽣共拿着10⾯⼩旗，站在D左边的学⽣共拿着8⾯⼩旗，站在E左边的学⽣共拿着16⾯⼩旗.五名学⽣从左⾄右依次是谁？各拿⼏⾯⼩旗？68. ⼩明在360⽶长的环⾏的跑道上跑了⼀圈，已知他前⼀半时间每秒跑5⽶，后⼀半时间每秒跑4⽶，问他后⼀半路程⽤了多少时间？69. ⼩英和⼩明为了测量飞驶⽽过的⽕车的长度和速度，他们拿了两块秒表，⼩英⽤⼀块表记下⽕车从他⾯前通过所花的时间是15秒，⼩明⽤另⼀块表记下了从车头过第⼀根电线杆到车尾过第⼆根电线杆所花的时间是18秒，已知两根电线杆之间的距离是60⽶，求⽕车的全长和速度.70. ⼩明从家到学校时，前⼀半路程步⾏，后⼀半路程乘车；他从学校到家时，前1/3时间乘车，后2/3时间步⾏.结果去学校的时间⽐回家的时间多20分钟，已知⼩明从家到学校的路程是多少千⽶？⼩学数学应⽤题综合训练(08)71. 数学练习共举⾏了20次，共出试题374道，每次出的题数是16，21，24问出16，21，24题的分别有多少次？72. ⼀个整数除以2余1，⽤所得的商除以5余4，再⽤所得的商除以6余1.⽤这个整数除以60，余数是多少？73. 少先队员在校园⾥栽的苹果树苗是梨树苗的2倍.如果每⼈栽3棵梨树苗，则余2棵；如果每⼈栽7棵苹果树苗，则少6棵.问共有多少名少先队员？苹果和梨树苗共有多少棵？74. 某⼈开汽车从A城到B城要⾏200千⽶，开始时他以56千⽶/⼩时的速度⾏驶，但途中因汽车故障停车修理⽤去半⼩时，为了按时到达，他必须把速度增加14千⽶/⼩时，跑完以后的路程，他修车的地⽅距离A 城多少千⽶？75. 甲、⼄两⼈分别从A、B两地同时出发，相向⽽⾏，⼄的速度是甲的2/3，两⼈相遇后继续前进，甲到达B地，⼄到达A地⽴即返回，已知两⼈第⼆次相遇的地点距离第⼀次相遇的地点是3000⽶，求A、B两地的距离.76. ⼀条船往返于甲、⼄两港之间，已知船在静⽔中的速度为9千⽶/⼩时，平时逆⾏与顺⾏所⽤时间的⽐为2：1.⼀天因下⾬，⽔流速度为原来的2倍，这条船往返共⽤10⼩时，问甲、⼄两港相距多少千⽶？77. 某学校⼊学考试，确定了录取分数线，报考的学⽣中，只有1/3被录取，录取者平均分⽐录取分数线⾼6分，没有被录取的同学其平均分⽐录取分数线低15分，所有考⽣的平均分是80分，问录取分数线是多少分？78. ⼀群学⽣搬砖，如果有12⼈每⼈各搬7块，其余的每⼈搬5块，那么最后余下148块；如果有30⼈每⼈各搬8块，其余的每⼈搬7块，那么最后余下20块.问学⽣共有多少⼈？砖有多少块？79. 甲、⼄两车分别从A、B两地同时相向⽽⾏，已知甲车速度与⼄车速度之⽐为4：3，C地在A、B之间，甲、⼄两车到达C地的时间分别是上午8点和下午3点，问甲、⼄两车相遇是什么时间？80. ⼀次棋赛，记分⽅法是，胜者得2分，负者得0分，和棋两⼈各得1分，每位选⼿都与其他选⼿各对局⼀次，现知道选⼿中男⽣是⼥⽣的10倍，但其总得分只为⼥⽣得分的4.5倍，问共有⼏名⼥⽣参赛？⼥⽣共得⼏分？⼩学数学应⽤题综合训练(09)81. 有若⼲个⾃然数，它们的算术平均数是10，如果从这些数中去掉的⼀个，则余下的算术平均数为9；如果去掉最⼩的⼀个，则余下的算术平均数为11，这些数最多有多少个？这些数中的数值是⼏？82. 某班有少先队员35⼈，这个班有男⽣23⼈，这个班⼥⽣少先队员⽐男⽣⾮少先队员多⼏⼈？83. ⼩东计划到周⼝店参观猿⼈遗址.如果他坐汽车以40千⽶/⼩时的速度⾏驶，那么⽐骑车去早到3⼩时，如果他以8千⽶/⼩时的速度步⾏去，那么⽐骑车晚到5⼩时，⼩东的出发点到周⼝店有多少千⽶？84. 甲、⼄两船在相距90千⽶的河上航⾏，如果相向⽽⾏，3⼩时相遇，如果同向⽽⾏则15⼩时甲船追上⼄船.求在静⽔中甲、⼄两船的速度.85. ⼆年级两个班共有学⽣90⼈，其中少先队员有71⼈，⼀班少先队员占本班⼈数的75%，⼆班少先队员占本班⼈数的5/6.⼀班少先队员⼈数⽐⼆班少先队员⼈数多⼏⼈？86. ⼀个容器中已注满⽔，有⼤、中、⼩三个球.第⼀次把⼩球沉⼊⽔中，第⼆次把⼩球取出，把中球沉⼊⽔中，第三次把中球取出，把⼩球和⼤球⼀起沉⼊⽔中，现知道每次从容器中溢出⽔量的情况是：第⼀次是第⼆次的1/2，第三次是第⼆次的1.5倍.求三个球的体积之⽐.87. 某⼈翻越⼀座⼭⽤了2⼩时，返回⽤了2.5⼩时，他上⼭的速度是3000⽶/⼩时，下⼭的速度是4500⽶/⼩时.问翻越这座⼭要⾛多少⽶？88. 钢筋原材料每根长7.3⽶，每套钢筋架⼦⽤长2.4⽶、2.1⽶和1.5⽶的钢筋各⼀段.现需要绑好钢筋架⼦100套，⾄少要⽤去原材料多少根？89. 有⼀块铜锌合⾦，其中铜和锌的⽐2：3.现知道再加⼊6克锌，熔化后共得新合⾦36克，新合⾦中铜和锌的⽐是多少？90. ⼩明通常总是步⾏上学，有⼀天他想锻炼⾝体，前1/3路程快跑，速度是步⾏速度的4倍，后⼀段的路程慢跑，速度是步⾏速度的2倍.这样⼩明⽐平时早35分到校，⼩明步⾏上学需要多少分钟？⼩学数学应⽤题综合训练(10)91. 甲、⼄、丙三⼈，甲的年龄⽐⼄的年龄的2倍还⼤3岁，⼄的年龄⽐丙的年龄的2倍⼩2岁，三个⼈的年龄之和是109岁，分别求出甲、⼄、丙的年龄.92. 快车以60千⽶/⼩时的速度从甲站向⼄站开出，1.5⼩时后，慢车以40千⽶/⼩时的速度从⼄站⾏甲站开出，.两车相遇时，相遇点离两站的中点70千⽶.甲、⼄两站相距多少千⽶？93. 甲、⼄两车先后离开学校以相同的速度开往博物馆，已知8：32分甲车与学校的距离是⼄车与学校距离的3倍，8：39分甲车与学校的距离是⼄车与学校距离的2倍，求甲车离开学校的时间.94. 有⼀个⼯作⼩组，当每个⼯⼈在各⾃的⼯作岗位上⼯作时，7⼩时可⽣产⼀批零件，如果交换⼯⼈甲、⼄的岗位，其他⼈不变，那么可提前1⼩时，完成这批零件，如果交换⼯⼈丙、丁的岗位，其他⼈不变，也可提前1⼩时，问如果同时交换甲与⼄、丙与丁的岗位，其他⼈不变，那么完成这批零件需多长的时间.95. ⽤10块长7厘⽶、宽5厘⽶、⾼3厘⽶的长⽅体积⽊，拼成⼀个长⽅体，这个长⽅体的表⾯积最⼩是多少？96. 公圆只售两种门票：个⼈票每张5元，10⼈⼀张的团体票每张30元，购买10张以上的团体票的可优惠10%.（1）甲单位45⼈逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱？（2）⼄单位208⼈逛公园，按以上的规定买票，最少应付多少钱？97. 甲、⼄、丙三⼈，参加⼀次考试，共得260分，已知甲得分的1/3，⼄得分的1/4与丙得分的⼀半减去22分都相等，那么丙得分多少？98. ⼀项⼯程，甲、、⼄两⼈合作4天后，再由⼄单独做5天完成，已知甲⽐⼄每天多完成这项⼯程的1/30.甲、⼄单独做这项⼯程各需要⼏天？99. 有长短两⽀蜡烛，（相同时间中燃烧长度相同），它们的长度之和为56厘⽶，将它们同时点燃⼀段时间后，长蜡烛同短蜡烛点燃前⼀样长，这时短蜡烛的长度⼜恰好是长蜡烛的2/3.点燃前长蜡烛有多长？100. ⼀批苹果平均分装在20个筐中，如果每筐多装1/9，可省下⼏只筐？。

数学奥林匹克初中训练题(94)(含答案)-

数学奥林匹克初中训练题（94）第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1．已知a 、b 、c 是两两不相等的实数．则方程（x-a ）（x-b ）+（x-b ）（x-c ）+（x-c ）（x-a ）=0根的情况为（）．（A ）必有两个不相等的实根（B ）没有实根（C ）必有两个相等的实根（D ）方程的根有可能取值a 、b 、c2．在半径为1的圆内，自点A 出发的所有长度不小于该圆的内接正△ABC•的边长a 的弦，所组成的图形的面积为（）（A ）2π+3 （B ）3π+2 （C ）2π（D ）3π3．已知a 、b 为实数，设b-a=2 006，如果关于x 的一元二次方程x 2+ax+b=0的根都是整数，则该方程的根共有（）组．（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）104．如图是一个三角形数表，从上到下依次称作第一行、第二行、……．•已知该三角形数表中每个“”中的数均为正整数的倒数，且等于与其相连的两脚下数之和．如果第一行中的那个数是11，则第三行中的数从左至右的填法有（）．（A ）恰有一种（B ）恰有两种（C ）恰有三种（D ）有无数多种 5．在△ABC 中，AB<BC<CA ，且AC-AB=2，AD 为∠BAC 的平分线，E 为边AC 上的一点，•联结BE 交AD 于点G ，且2,AC AE AGCD BD GD===2 007，则边BC 的长为（）．（A ）2 008 （B ）2 007 （C ）2 006 （D ）2 0056．某次数学竞赛设选择题（含6个小题）、填空题（含4个小题）、解答题（含3个小题）分类，其中，选择题、填空题均每小题7分，解答题中第1小题20分、第2、3小题每小题25分，满分140分．评分标准是：选择题、填空题做对得7分，不做或做错得0分；解答题设0分，5分，10分，15分，20分，25分共6档．那么，这次考试所得的不同分数最多有（）种．（A ）141 （B ）129 （C ）105 （D ）117 二、填空题（每小题7分，共28分） 1．已知a 、b 、c 均为非零实数，满足：b c a c a b a b c a b c +-+-+-==，则()()()a b b c c a abc+++的值为_________． 2．点G 是△ABC 的重心，过点G 的直线与边AB 、AC 分别交于点M 、N ．已知,AM ANm AB AC==n ．则一次函数y=-nmx+n 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积的最小值为______．3．把n 个大小均不相同的正方形互不重叠地拼在一起，•所得的图形的面积恰为2006，则n 的最小值为______．4．如图，两个全等的边长为正整数的正△A 1B 1C 1和正△A 2B 2C 2的中心重合，•且满足A 1B 1⊥A 2C 2，若六边形ABCDEF 的面积为S=1m -m 、n 为有理数，则mn的值为_______．第二试一、（20分）求证：面积和周长分别对应相等的两个直角三角形全等．二、（25分）已知k、a都是正整数，2 004k+a、2 004（k+1）+a都是完全平方数．（1）请问这样的有序正整数（k，a）共有多少组？（2）试指出a的最小值，并说明理由．三、（25分）如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M•在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）AN AM CN CM．参考答案第一试一、1．A ．原方程可化为3x 2-2（a+b+c ）x+ab+bc+ca=0．其判别式为△=4（a+b+c ）2-4×3（ab+bc+ca ） =2[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2]．因为a 、b 、c 两两不相等，则△>0，所以，方程必有两个不相等的实根． 2．D ．由题给条件易知，这些弦组成的图形恰为正△ABC 及其所对的弓形．设△ABC 的中心为O ，则小扇形BOC 的面积为3π．而S △AOB =S △AOC =12×12×sin120°．故所求的图形的面积为2+3π． 3．B ．由韦达定理得x 1+x 2=-a ，x 1x 2=b ，则x 1+x 2+x 1x 2=2 006．所以，（x 1+1）（x 2+1）=2 007=9×223=-9×（-223）=3×669=-3×（-669）=1×2 007=（-1）×（-2 007）．易知方程有6组解． 4．C ．设第二行的两个数为m 、n ，则11m n+=1（m 、n ∈N +）．于是，m=1111n n n =+--，解得n-1=1．从而，n=2，且n=2，即第二行的数只能为12，12．设第三行中12脚下的两个数为12=11m n+（m 、n ∈N +）．则m=24222n n n =+--．故（n-2）│4，知n-2=1，2，4．于是，6,4,3,34, 6.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或或故第三行的数由左到右是13，16，13或16，13，16或14，14，14． 5．B ．如图，过点E 作EF ∥AD 交CD 于点F ，设AB=x ，则AC CD CDAE DF BD==．有BD=DF ．所以，DG 为△BEF 的中位线，则BG=GE ．又∠BAG=∠EAG ，所以，AB=AE=x ．得CE=AC-AE=AC-AB=2．又因EF ∥AD ，所以AE CE ACDF CF CD===2．故DF=2x，CF=1．而222EF CE AD AC AE CE x ===++ 及22220081EF GD AG AD AG GD GD===++，故x=2 006．因此，BC=2 007． 6．D（1）选择题及填空题的得分有0，7，14，…，70共11种可能，解答题得分有0，5，10，•…，70共有15种可能，故产生11×15=165种结果．（2）下列23个分数0，5，7，10，12，14，15，17，19，20，21，22，24，25，26，27，•28，•29，30，31，32，33，34可以得到且只有一种获得方法；又35=7×5=5×7，即35•分可表示为做对5个7分或7个5分的题，故前面23个分数相应分别加上35•所得的分数均有两种获得方法．于是，这新的23个分数各有两种获得方法，且均小于70．根据对称性，用140减去新的23个分数所得的数也均有两种表示方法，这些数恰为71到140之间的能够取到的分数．前后共计2×23=46个数．（3）由70=7×10=5×14=7×5+5×7，知共有三种获取方法．故满足不重复的要求的不同分数共165-46-2=117（种）．二、1．-1或8．令b c a c a b a b ca b c+-+-+-===k，则b+c=（k+1）a，c+a=（k+1）b，a+b=（k+1）c．于是，2（a+b+c）=（k+1）（a+b+c）．故a+b+c=0或b+c=2a，c+a=2b，a+b=2c．所以()()()a b b c c aabc+++=-1或8．2．29如图，在△ABD中，应用梅涅劳斯定理得AM BE DGMB ED GA=1，即12MB EDAM BE=．在△ADC中，应用梅涅劳斯定理得AG DE CNGD EC NA=1，即12DE CNEC NA=．则1122BM CN BE EC DEAM AN ED DE DE+=+==1．故BA CAAM AN+=3，即11m n+=3．所以，3mn=m+n≥mn≥49．而一次函数y=-nmx+n与x轴、y轴的交点坐标为（m，0），（0，n），故所求的三角形的面积S=12mn≥29，且当且仅当m=n时，等号成立．注：本题也可以用特殊值法求解．3．3．设n个正方形的边长分别为x1，x2，…x n，则x12+x22+…+x n=2006.由于x i2≡0或1（mod 4），而2 006≡2（mod 4），故x i中至少有两个奇数。

数学奥林匹克初中训练题(181)

２０１８年第５期
３７
第二试
（ｂ＋ｃ＋ｄ） ≥（＋ｃ＋ｄ）
＝》ｂ＋ｃ＋ｄ≥ ０＋ｃ＋ｄ：ｂ≥ ｎ．
一、（２０分）设ａ，ｂ为实数，关于的方程
于是，０＝ｂ．
１一
Ⅱ ＋
。
一
１。
一
一
一
无实棍求代数式８ａ＋４ｂ＋１８ａ＋４ｂ一５ｌ的值二、（２５分）已知ＡＤ为锐角△ ＡＢＣ的高，
２．支口图１，＝ｉ芏— 向
直角坐标系ｘＯｙ中，
Ａ（１，３），卟，·
ｃ（７１，４与ＢＣ
的延长线交于点Ｄ，
／ｖ分别为线段ＯＤ、
、
图１
ＢＤ上的点，且ＯＭ＝ＭＮ＝ＢＮ．则线段ＭＮ的
长为一
３．已知Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＢＣ延长

是，假币较轻．
（ｉｉ）若（ｃ）、（Ｄ）、（Ｅ）不全相等，
则Ａ组中至少含有一枚假币，Ｂ组中不含假
币．于是，假币较重．
６．Ａ．
如图３，联结ＥＦ、ＧＦ、胛，过点／４作ＥＧ
段ＡＢ在轴上移动，点在点Ｂ的左侧，
ｃ（４，４），Ｄ（０，１）．则四边形ＡＢＣＤ周长的最
小值为（）．
（Ａ）７＋３√３
（Ｂ）１３
（Ｃ）８＋ｖ／２６
（Ｄ）８＋３√３
３．方程组（ｚ＝（ｂ＋ｃ＋ｄ），
ｂ＝（Ⅱ＋Ｃ＋ｄ），
Ｃ＝（口＋ｂ＋ｄ）。，
（Ａ）２（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）多于４６．已知四边形ＡＢＣＤ的内切圆ｏ０与ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ分别切于点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ，ＡＦ、ＤＦ与ＥＧ分别交于点、Ⅳ＿若ＢＦ＝ＣＦ＝５，ＥＧ＝６，则ＭＮ的长为（）．（Ａ）３（Ｂ）４（Ｃ）５（Ｄ）不能确定的值二、填空题（每小题７分，共２８分）１．已知／２个正整数的和为２０１７．则这ｎ个正整数的乘积的最大值为— — ．

初中奥林匹克数学竞赛训练题(7套)

数学奥林匹克初中训练题第一试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.已知33333a b c abc a b c++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为:(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)-( )3.在ΔABC 中,211a b c=+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么:(A)22S CP (B)22S CP = (C)22S CP (D)不确定( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有:(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过分钟,货车追上了客车.2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 .3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P ,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .4.已知二次函数2(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .第二试一.(20分)已知实数,,a b c 满足不等式,a b c b c a ≥+≥+,c a b ≥+,求a b c ++的值.二.(25分)如图2,点D 在ΔABC 的边B 小 C 上,且与B,C 不重合,过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F.又知BC=5.(1) 设ΔABC 的面积为S.若四边形AEFD 的面积为25S .求BD 长.(2) 若,AC =且DF 经过ΔABC 的重心G,求E,F 两点的距离.三.(25分)已知定理:”若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式25a b c +=,则a b c ++是整数n 的倍数.”试问:上述定理中整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论。

数学奥林匹克初中训练题(167)

ＣＣ＿Ａ．Ｂｆ３Ｃ≠ （２ｊ．
ｌｂ＝Ｃ（１＋ｔ＋ｔ）．
（１）证明：二次方程＋ｃ（ｂ一２ｃ）ｘ一（ｂ＋ｃ。）（ｂ— Ｃ）＝０ ‘ 必有实根；（２）当口＝１５，ｂ：７时，求ｃ、ｔ．１０．（２０分）已知抛物线＝２ｐｙ（ｐ＞０）与直线Ｙ＝ｂ（ｂ＜０），点Ｐ（ｔ，ｂ）在直线上移动，过Ｐ作抛物线的两条切线，切点分别为
９．（１６分）已知非零实数口、ｂ、ｃ、ｔ满足
ｆ口＝ｔｂ＋ｃ，
、
填空题（每小题８分，共６４分）
１．设ｍ、ｔ∈ Ｎ＋Ｉ，且ｒｎ＞／７，，集合Ａ、、ｃ满足Ａ＝｛１，２， …，ｍ｝，Ｂ＝｛１，２， …，ｔＩ｝，
再取口，＝２，即得到最小值詈＝．
综上，当＝１０９９时，取最小值．
Ｙ
２． ÷，ｌ（＋３ｎ＋５）．
Ｊｓ＝ ∑（＋Ｉｌ｝＋１）
：
（ ± ２ｆ ± ２＋（． ± ２＋凡
Ａ、，线段ＡＢ的中点为求（１）点的轨迹；
（２）ｌＡＢＩ的最小值．１１．（２０分）设口、ｂ、Ｃ为互不相等的正数．证明：
２
一
则０。的取值范围是— —－．４．已知是一个四位数，其各位数字之
和为ｙ・若要取最小值，则＝

专题三：不定方程的整数解问题(含答案)

初中奥林匹克竞赛培优：不定方程的整数解问题所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。

在本专题中我们一起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。

【基础知识】1．不定方程整数解的常见类型：（1）求不定方程的整数解；（2）判定不定方程是否有整数解；（3）判定不定方程整数解的个数（有限个还是无限个）。

2．解不定方程整数解问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等；（2）奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（3）构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；（4）枚举法：列举出所有可能的情况；（5）不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（6）无穷递推法。

【典型例题分析】一、代数恒等变形 1、因式分解法【例1】已知,x y 都是整数，且满足22()xy x y +=+，求22x y +的最大值. 分析：由22()xy x y +=+，得(2)(2)2x y --=因为(2),(2)x y --都是整数，所以2221x y -=⎧⎨-=⎩，或2122x y -=⎧⎨-=⎩，或2221x y -=-⎧⎨-=-⎩，或2122x y -=-⎧⎨-=-⎩解得43x y =⎧⎨=⎩，或34x y =⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，或10x y =⎧⎨=⎩故22x y +的最大值为25注：一般地，整系数,,,a b c d 的二次方程0axy bx cy d +++=，可变形为：20a xy abx acy ad +++= 分解，得 ()()ax c ay b bc ad ++=-.求整数解时，只需把整数()bc ad -分解成两个整数的积，转化为解几个方程组#ax c ay b +=∆⎧⎨+=⎩，（这#bc ad ∆⨯=-）来解，通过取舍求出符合题意的整数解。

初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解.pptx

于点.F.又知BC=5.
/A
(1) 设△ABC的面积为S.若四边形AEFD的面积为-£ .求
2
5 ED长.
⑵ 若AC = -J2AP,且DF经过△ ABC的重心G,求E, F两
点的距离，
=. （25分）已知定理："若三个大于3的庙教貞，成二满足关系式2a-\-5b = c ,贝LI a +占+二
是整数点的倍数试问：上述定理中整数推的最大可能值是峯少T并证明你的结论.
fj£,(«+ ft + f):^yr 队&异曲乂故("+ A + c):
s o.Mifti. n + t+ r=o. 二.如图7. W •:健:浦.网抓
，'-,2,稀#；s丄况4 s乙 ix：f.
记 S jtn = Si •
■ y .1.
①
,啓 HI) _ CD 一厅=商71 =此.
TH '/si g HD+IX： Bf：于也
值与最小值. 二. （共狷分）如图5,在厶ABC中，ZA=60：J 0,
LH分别是它的外心，内心，垂心.试比较厶 ABC 的外接圆与厶IOH的外接圆的大小，证明你的论断.
x+y+z = 3 三. （共25分■）求方程组f 5 % 的所有
X3+/+Z3 = 3 整数解.
6
学海无涯
参考答案：2 没购铅宅、炼习本個球笔各I件分别元寸
4.已知二汶函数y=aX2（a>V）的圏象上两点A, B的橫坐标分别为-1,丄。是坐标原点,
如SAA0B是直角三角形，则AAOB的周长为____. 第二试
—.（20分）已知实数淳&二满足不等式园乏杓+二，冋乏Z+刘|, m |a+占|,求a+占+二

数学奥林匹克初中训练题(147)

有两个实根．ｋ的取值范围是（则
（ｋ０Ａ）＞ｔ（）Ｃ０＜ｋ＜９
）．
则（
）．
（Ｍ＝Ｃ）Ｎ
（Ｏｃ９Ｂ） ≤ｊ＜（０＜ｋＤ） ≤９
（Ｍ＜Ｎ（）＞ＮＡ）ＢＭ
（、的大小关系不确定Ｄ） Ⅳ ６如图１在Ｒ △ ＡＣ中，．，ｔＢ已知０是斜边Ａ的中点，Ｂ
４．．Ａ
过点Ｐ的割线与
ｏＤ交于Ｃ、两Ｄ
点，Ｃ／Ｐ作Ｅ／Ａ与弦ＡＢ交于点Ｅ，Ｄ的延长线与Ｅ罔３ＰＡ交于点．明：Ｍ＝ＭＰ证Ａ．三、２分）求实数ｋｋ ±１，（５试（≠ ）使得
方程
＝（ｂｃ口３ｎ＋ｂ＋Ｃ一ａ —ｂ —ｃ）
＝
［０６＋６ｃ（一）］０（ — ）（一）ｃ口＞．＋
故、，ｙｚ中至少有一个大于０．
３．Ｃ．
第二试
一
由ａ＋Ｃｒ６得ｂ— ＝２＝，
口＋ｂ＝Ｃ＝（２ａ＋ｂ一６）．２
Ｃ＿Ａ于点ＤＪＢ
Ｄ，Ｅ上Ｏ于ＤＣ
ห้องสมุดไป่ตู้Ｃ
２设ａｂＣ是不全相等的非零实数．．、、若
＝
（ａ＋ｂ＋）９ｂｃ一ａ，
Ｙ＝（ａ＋ｂ＋）９ｃｃ一ｂ，ｚ＝（ａ＋ｂ）９ａ＋ｃ一ｃ，
则、、Ｊｚ（ｙ
）．
由Ｐ＋＝知方程不满足条件③、＋０ ④ 由ｑ知方程不满足条件②．＝。

数学奥林匹克初中训练题(57)

Ｂ、Ｋ０．
・
．・
在，一（一）＝上则 ‰ ２有‰ 导．＝．
得标（．点坐为），
７・点Ｃ坐标为（一２０，－．・，）
・．
．
Ａ是ｏＤ直Ｂ
上ＤＡ．ＣＫ．ＥｆＢ
径．
又Ｃ上Ａ．Ｄ，
一
２’
４
故ｐ２Ｐ．ｐ２尸２即Ｐ＝ＰＣ＝Ｆ・有Ｅ＝ｃ，ＥＣ．六、每所学校得款万元．设
＾，
２；
当 Ⅱ≥ １时
９
，ｙ
＝ Leabharlann 由题意，有：．又・第ｎ所学校得款：４，余为零，． ‘ ｎ剩
＋３＋２ｃｄ的值．二、２（５分） △ ＡＣ中，１ＢＣ的平分线在Ｂ，９是４Ａ
（２Ａ）
（２２Ｓ） √
（）Ｃ３
（）√ ０３２
且交Ｂ于Ｄ，别以ＢＣ为半径作 ④ ８、Ｃ．Ｃ分Ｄ、Ｄ ④ 两圆与直线
１已知ａ， … ，２均为正数，满足．。ａ，ａ咖且
＝
（）（Ａ｛Ｂ）
（５ｃ二）
（）Ｄ６二
（１２ Ⅱ ＋Ⅱ ＋… ＋ｎ ∞ｔ（２３２） Ⅱ ＋Ⅱ ＋… ＋￣２，１０）２０
Ⅳ ＝（ｌ２ ‘＋ａ咖）ａ＋ｎ＋… ＋ａ【）ａ＋ａ＋ ‘ ２（２３２１．Ｉ１
在弦ＡＡＢ、Ｃ上分别取点、使线段ＥＦ，Ｆ将ＡＣＢ

初中数学竞赛奥数培优资料第三辑专题23 圆与圆的位置关系

专题23圆与圆的位置关系【阅读与思考】两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质.解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有：1.相交两圆作公共弦或连心线；2.相切两圆作过切点的公切线或连心线；3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形.熟悉以下基本图形和以上基本结论.【例题与求解】【例1】如图，大圆⊙O 的直径a AB cm ，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形3241O O O O 的面积为________cm 2.（全国初中数学竞赛试题）解题思路：易证四边形3241O O O O 为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长.【例2】如图，圆心为A ，B ，C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切.若⊙A ，⊙B ，⊙C 的半径分别为a ，b ，c （b a c <<<0），则a ，b ，c 一定满足的关系式为（）A .c a b +=2B .c a b +=2C .ba c 111+=D .ba c111+=（天津市竞赛试题）解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线.【例3】如图，已知两圆内切于点P ，大圆的弦AB 切小圆于点C ，PC 的延长线交大圆于点D .求证：（1）∠APD =∠BPD ；（2）CB AC PC PB P A ∙+=∙2.（天津市中考试题）解题思路：对于（1），作出相应辅助线；对于（2），应化简待证式的右边，不妨从AC ·BC =PC ·CD 入手.【例4】如图⊙O 1和⊙O 2相交于点A 及B 处，⊙O 1的圆心落在⊙O 2的圆周上，⊙O 1的弦AC 与⊙O 2交于点D .求证：O 1D ⊥BC .（全俄中学生九年级竞赛试题）解题思路：连接AB ，O 1B ，O 1C ，显然△O 1BC 为等腰三角形，若证O 1D ⊥BC ，只需证明O 1D 平分∠B O 1C .充分运用与圆相关的角.【例5】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =1,AB =2，DC =22，点P 在边BC 上运动（与B ，C 不重合）.设PC =x ，四边形ABPD 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若以D 为圆心，21为半径作⊙D ，以P 为圆心，以PC 的长为半径作⊙P ，当x 为何值时，⊙D 与⊙P 相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD 的面积.（河南省中考题）解题思路：对于（2），⊙P 与⊙D 既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆的性质建立关于x 的方程.【例6】如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，求NCBN的值.（全国初中数学联赛试题）解题思路：AB 为两圆的公切线，BC 为直径，怎样产生比例线段？丰富的知识，不同的视角激活想象，可生成解题策略与方法.【能力与训练】A 级1.如图，⊙A ，⊙B 的圆心A ，B 在直线l 上，两圆的半径都为1cm .开始时圆心距AB ＝4cm ，现⊙A ，⊙B 同时沿直线l 以每秒2cm 的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A 运动的时间为_______秒.（宁波市中考试题）2.如图，O 2是⊙O 1上任意一点，⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，E 为优弧AB 上的一点，EO 2及延长线交⊙O 2于C ，D ，交AB 于F ，且CF ＝1，EC ＝2，那么⊙O 2的半径为_______.（四川省中考试题）（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，半圆O 的直径AB ＝4,与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M .设⊙O 1的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是_________________.（要求写出自变量x 的取值范围）（昆明市中考试题）4.已知直径分别为151+和315-的两个圆，它们的圆心距为115-，这两圆的公切线的条数是__________.5.如图，⊙O 1和⊙O 2相交于点A ，B ，且⊙O 2的圆心O 2在圆⊙O 1的圆上，P 是⊙O 2上一点.已知∠A O 1B ＝60°，那么∠APB 的度数是（）A .60°B .65°C .70°D .75°（甘肃省中考试题）6.如图，两圆相交于A 、B 两点，过点B 的直线与两圆分别交于C ，D 两点.若⊙O 1半径为5，⊙O 2的半径为2，则AC ：AD 为（）A .52:3B .3:52C .1:52D .2:5（第5题图）（第6题图）（第7题图）7.如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点T ，它们的半径之比为3:2，AB 是它们的外公切线，A ，B 是切点，AB ＝64，那么⊙O 1和⊙O 2的圆心距是（）A .65B .10C .610D .1339208.已知两圆的半径分别为R 和r （r R >），圆心距为d .若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两相等的实数根，那么这两圆的位置关系是（）A .外切B .内切C .外离D .外切或内切（连云港市中考试题）9.如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，点O 1在⊙O 2上，点C 为⊙O 1中优弧AB ⌒上任意一点，直线CB 交⊙O 2于D ，连接O 1D .（1）证明：DO 1⊥AC ；（2）若点C 在劣弧AB ⌒上，（1）中的结论是否仍成立？请在图中画出图形，并证明你的结论.（大连市中考试题）图1图210.如图，已知⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AB 过点P 且分别交⊙O 1和⊙O 2于点A ，B ，BH 切⊙O 2于点B ，交⊙O 1于点C ，H .（1）求证：△BCP ∽△HAP ；（2）若AP :PB ＝3：2，且C 为HB 的中点，求HA :BC .（福州市中考试题）11.如图，已知⊙B ，⊙C 的半径不等，且外切于点A ，不过点A 的一条公切线切⊙B 于点D ，切⊙C 于点E ，直线AF ⊥DE ，且与BC 的垂直平分线交于点F .求证：BC ＝2AF .（英国数学奥林匹克试题）12.如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点.正方形DEFG 的一边DG 在直径AB 上，另一边DE 过△ABC 得内切圆圆心O ，且点E 在半圆弧上.（1）若正方形的顶点F 也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比；（2）若正方形DEFG 的面积为100，且△ABC 的内切圆半径4 r ，求半圆的直径AB .（杭州市中考试题）B 级1.相交两圆的半径分别为5cm 和4cm ，公共弦长为6cm ，这两圆的圆心距为_______.2.如图，⊙O 过M 点，⊙M 交⊙O 于A ，延长⊙O 的直径AB 交⊙M 于C .若AB ＝8，BC ＝1，则AM ＝_______.（黑龙江省中考试题）（第2题图）（第3题图）（第4题图）3.已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm .4.如图，已知PQ ＝10，以PQ 为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P .正方形ABCD 的顶点A ，B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q .若AB ＝n m +，其中m ，n 为整数，则=+n m ___________.（美国中学生数学邀请赛试题）5.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点M ，且分正方形为4个三角形，⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3，⊙O 4，分别为△AMB ，△BMC ，△CMD ，△DMA 的内切圆.已知AB ＝1.则⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3，⊙O 4所夹的中心（阴影）部分的面积为（）A .(4)(316π--B .(34π-C .(4)(34π--D .416π-（太原市竞赛试题）（第5题图）（第6题图）（第7题图）6.如图，⊙O 1与⊙O 2内切于点E ，⊙O 1的弦AB 过⊙O 2的圆心O 2，交⊙O 2于点C ，D .若AC ：CD :BD ＝2:4:3，则⊙O 2与⊙O 1的半径之比为（）A .2:3B .2:5C .1:3D .1:47.如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，两圆的一条外公切线与⊙O 1相切于点B ，若AB 与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O 1与⊙O 2的半径之比为（）A .2:5B .1:2C .1:3D .2:3（全国初中数学联赛试题）8.如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线，交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .（1）求证：PA PE PC PD∙=∙（2）当AD 与⊙O 2相切且PA ＝6，PC ＝2，PD ＝12时，求AD 的长.（黄冈市中考试题）9.如图，已知⊙O 1和⊙O 2外切于A ，BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线，切点为B ，C .连接BA 并延长交⊙O 1于D ，过D 点作CB 的平行线交⊙O 2于E ，F .（1）求证：CD 是⊙O 1的直径；（2）试判断线段BC ，BE ，BF 的大小关系，并证明你的结论.（四川省中考试题）10.如图，两个同心圆的圆心是O ，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD 是大圆的直径，大圆的弦AB ，BE 分别与小圆相切于点C ，F ，AD ，BE 相交于点G ，连接BD .（1）求BD 的长；（2）求2ABE D ∠+∠的度数；（3）求BGAG的值.（淄博市中考试题）11.如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙O 1与△BCH 的外接圆⊙O 2相交于点D ，延长AD 交CH 于点P .求证：P 为CH 的中点.（“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）12.如图，已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点，以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A与半圆O相交于点C，以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M.求证：MP分别与⊙A，⊙B相切.（“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）专题23圆与圆的位置关系例121a 6提示：连接14QP CP ==必过点O ，则34O O ⊥AB ，设⊙3O ，⊙4O 的半径为xcm ，在Rt △31O O O 中，有222a a a x =x 424⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得x=a 6.例2D提示：连接AB ，1AA ，1BB ，作2AB ⊥1BB ，则22222AB AB BB =+，即()()2222a b =b a AB ++-，得22211=A B 4ab AB =，同理，211A 4ac C =，2114bc C B =，由111111=A B A C C B +++例3提示：⑴过P 点作两圆的公切线.⑵即证PA PB PC PD ∙=∙.例412BO C BAC ∠=∠，1112BO D BAC BO C ∠=∠=∠，则1O D 为1BO C ∠的平分线，又11O B O C =，故1O D BC ⊥.例5⑴过D 作DQ ⊥BC 于Q ，则BQ=AD=1，AB=DQ=2，CQ=，故()1y=13x 2=4x 2+-⨯-（0<x<3）.⑵分两种情况讨论：①当⊙P 与⊙D 外切时，如图1，QC=2，PC=x ，QP=2x -，PD=x+12，DQ=2，在Rt △DQP 中，由()22212x 2=x+2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭得，31x=20，3149y=4=2020-.②当⊙P 与⊙D 内切时，如图2，PC=x ，QC=2，PQ=x-2，PD=x-12，DQ=2，在Rt △DPQ 中，由()2221x 22=x-2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭得，31x=12，3117y=4=1212-.例6就图1给出解答：连接CP 并延长交AB 于点Q ，连接BP ，得∠BPC90°，又22QA QP CQ QB =∙=，得AQ=QB=12AB ，在Rt △CQP 中，2214BQ QP CQ QP BC CP CQ CP ∙===∙.过Q 作QM ∥BC 交AN 于M ，则MQ=12BN .由△MQP ∽△NCP ，得14MQ QP CN CP ==，故BN NC ＝2142MQ MQ =.A 级1．12或32 2.23．y ＝214x -＋x (0＜x ＜4) 4.3条5．D 6．D 7．B 8．D9．提示：(1)连结AB ，A 1O ，并延长交⊙1O 于E ，连结CE ．(2)结论仍然成立．10．(1)略(2)提示：设AP ＝3t ，由BC ·BH ＝BP ·BA ，BH ＝2BC ，BC ＝5t .易证△HAP ∽△BAH ，得HA ＝15t ，故155HA t BC t =＝3.11．连结BD ，CE ，作BM ⊥CE 于M ，作HN ⊥CE 于N ，则BM ∥HN ．∵H 是BC 的中点，故N 是CM 的中点，∴CN ＝12CM ＝12（CE －EM ）＝12(CE －BD )，而AH ＝BH －AB ＝12BC －AB ＝12(AB ＋AC )–AB ＝12(AC －AB )，因此CN ＝AH ．由CE ⊥DE ，AF ⊥DE ，得CE //AF ，故∠NCH ＝∠HAF ，又∠CNH ＝∠AHF ＝90°，得△CNH ≌△AHF ，从而BC ＝2CH ＝2AF .12.(l )5:2提示：由题意，设正方形边长为l ，则22212R l l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得R :l ＝5:2．由2ED ＝AD ×DB ，DE＝10，得AD ×DB ＝l 00．设AC 与内切圆交点S ，CB 与内切圆交点H ，设AD ＝r ，DB ＝100x ．AB ＝x ＋100x，AS ＝AD ＝x ，BH ＝BD ＝100x ．又△ABC 为直角三角形。

数学奥林匹克初中训练题

’
则ｋ＝
．
２．若关于的方程
＋２（ｍ＋３）＋ｍ＋３＝０
若＇ｔＯ＝２ｘ一２ｙ＋Ｚ－，则Ｗ的最小值为
（）．
，，１
的两实数根分别为．、，则Ｉｘ一ｌｌ＋Ｉ２一ｌＩ的最小值为．
器ｊＢＣ＝．
所以， △ＡＢＣ的周长为５＋￣／／１０．
５．Ｂ．
当ｍ＝ｌ时，原方程为ｌＹ一１Ｉ＝３或１
故有五个不同的实根 ± ２， ± ，０．
６．Ｒ
如图６，延长ＣＡ、ＦＭ交于点Ｐ．则ＣＦ：ＣＰ．
（Ｄ）５＋１０
４．设表示数ｎ的个位数字．则
ｌ＋２＋ … ＋Ｘ２０１２＝
— —
・
５．若关于Ｙ的方程ｌｌＹ一１Ｉ一２Ｉ＝ｍ恰
有五个不同的实根，则ｒａ＝（）．
一
第二试
、
（２０分）如图２，在等腰Ｒｔ △ＡＢＣ
（Ａ）０（Ｂ）１（Ｃ）２（Ｄ）大于２
６．如图１，在△ ＡＢＣ中，ＡＢ：ＡＣ，ＣＭ平
中，Ｃ＝９０。，点Ｄ、Ｅ在边ＢＣ上，点在ＡＣ的延长线上，
且ＢＥ＝ＥＤ＝ＣＦ．求
分ＡＣＢ，与ＡＢ交于点Ｍ，ＡＤ＿ｌ－ＢＣ于点Ｄ，ＭＥ＿ｌ＿ＢＣ于点Ｅ，ＭＦ上ＭＣ与ＢＣ交于点

数学奥林匹克初中训练题(182)

２０１８年第１０期
４１
数奥滁蓖渤删蓬（１８２）
中图分类号：Ｃ４２４．７９文献标识码：Ａ文章编号：１００５—６４１６（２０１８）１０—００４１—０３
第一试
一、选择题（每小题７分，共４２分）１．若一ｘｙ＋＝２０１８，ｙ２一ｘｙ—ｙ：５２，则一Ｙ的所有可能值之和为（）．（Ａ）一１（Ｂ）ｏ（Ｃ）１（Ｄ）２０１８２．已知正整数，，… ，。互不相等，满
由ｘ－，ｙ、两两互素，知＝１，Ｙ＝２，：３．因此，：５．
６．Ｃ．
由塞瓦定理得
ＢＤＥＡＦＢ．
一
ＤＣ ‘
ｊＤ为边ＢＣ的中点
＝ＡＢ＝ＡＣ．
易知，ＡＢＰ＝ＡＣＰ，ＢＰ＝ＣＰ．由Ｇ＝ＡＢＰ＝ＡＣＰ
△ ＰＣＥ∽ △ ＰＧＣ曰Ｐ２＝ＰＣ＝ＰＥ．ＰＧ：３
但Ｐ¨ 十ｍ．对于任意的正整数ｎ，满足２ｌｌ（３＋１）中正整数的最大值为．
第二试
一、（２０分）在锐角△ ＡＢＣ中，ＡＢ＞ＡＣ，ＡＣＢ一ＡＢＣ＝３０。，０、Ｈ分别为 △ ＡＢＣ的外心、垂心，△ ＤＯＨ为等边三角形．求／ＤＡＯ＋ＡＯＨ的值．
故当＝一１０Ｉ时，所求函数值取得最小，
此时，原式为一．
Ｓ．Ｒ
由条件，知、、均为正整数．
Ｙ
则１＜＜２ｚ：２ｊ＋ｙ：
．
由ＹＩ（＋）＝ＹＩ（２＋Ｙ）＝Ｙｌ２．
故１≤ ＜：２Ｙ：２ｊ：３．

数学奥林匹克初中训练题(190)

38中等数学缴t 奥I 逛酬錄龜（19〇)中图分类号:G 424.79文献标识码：A文章编号：1005 - 6416(2021)03 - 0038 - 06第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1.在A 从C 中，1 i +丄•则Z ： 4a b c )•(A )必为锐角（B )必为直角(C )必为钝角（D )以上答案都不对则Z Z 寧+ Z ：= \S0° -Z B T C = 90°^点X 在以为直径的圆上.又/L QXP =1k -乙 TXQ - A T X P= Z Q E T + Z P F T = k -Z A ,于是，点;f 在厶/!/^的外接圆厂。

上.过点X 作以为直径的圆的切线X K故 Z KXP = Z P X F - Z KXF=Z P T F - Z X E F = Z P T F - Z XQT =Z PQT - Z XQT = Z XQP.这表明，^也为圆厂。

的切线.因此，以为直径的圆与圆厂。

相切.四、设最小值为歛下面证明A =3.(1)若A ： = 1，考虑其中任意一种颜色S ，记4为连出边的颜色中含有S 的点的集合.一方面，由于每个点所对应的颜色集相同，于是，M l = 2 023.另一方面，由于公共点的任意两条边颜色不同，M l 为偶数，矛盾.(2) 若A =2,设其中一个颜色集所对应的点为A ，〇i 2，…，〜，另一个颜色集所对应的2.记[*]表示不超过实数$的最大整数.则方程[2*]+ [3*] = h - 6的所有实数解的个数为（）.(A)l (B )2 (C )3(D )43•在中，已知/lfi=ylC，Z 4=40。

，P 为仙上一点，Z M C />=20。

•贝 l j |^ = ().点为卜，卜，…，h f d m .考虑ai、\两点间的颜色7\则r 同时出现在两个颜色集中，记为连出边的颜色为r 的点的集合，同（1)知矛盾.(3)给出A ； =3的构造•记2 023个点为〇丨，a2，…，ai oil，，办2，*** >^i on >c-令a;a;(i#y)颜色为尤 i+_/•( mod 1 011)，以 i色为 y;+Amodl011>，a;C 颜色为％(n i o d l 011)»/ (i</)颜色为 2w(inodl()11)，颜色为Z 2i(mod 1 Oil)'对于任意的a,(l 矣i矣1 011)，其所对颜色集为I ^1 fx 2' ^Xl 0U iJ\ »^2 » "*' >7l Oil ! •对于任意的6,(1名；<1 011)，其所对颜色集为U l ，:2，…，21 Oil，7l，；K2，…011 丨•对于C ，其所对颜色集为 { ,x2,xx 01I ,Z[ ,z2 » J Z1 o n l •综上A =3.(命题组提供）2021年第3期39(A)及（B)在（C)f(D)^4•已知实数《:、y满足x23+y2 = 1•记x4 +砂+ /的最大值、最小值分别为.则Smax + *^m i n -（)*(A)~j(B)0 (C)l (D)|5. 在 Rt A/lfiC 中，Z C = 90°，4C = 1，fiC =在，£>为边/I S的中点，五为边5C上一点.将A A M；沿抓翻折得到A/l'Z)£，使得A I M与泌重叠部分的面积占△A M面积的|.则6£的长为（).(A)f(D)|■或早6. 已知关于％的方程\f~x~~—'2x+1 —\[~x~—A%+4 +2 \J~x~—6x+9=t +4恰有两个实数解.则i的取值范围是（）.(A)-3 <t<0(B)f>-3且 ¥-1(C)t^ -1 (D)W〇且#-1二、填空题（每小题7分，共28分）1.若关于x的不等式组|U的U>〇所有整数解之和为12,则f的取值范围是2.已知整数n >2 020,= 了2 020为完全2 12U - n平方数.则n的值为_3.如图1，A仙C 的内切圆为©〇,过〇作B C的平行线，分别与仙d C交于点D、£.若的三边5C、的长分别为8、A7、5，则£>£的长为______.4.在直角坐标系中，4为抛物线在第二象限上的点，过点〇作〇/?丄似，与抛物线交于点fi，以为边构造矩形40S C.如图2,当点4的横坐标为-^■时，经过点C的反比例函数曲线的解析式为.图2第二试一、（20分）求满足方程x2 +y2 = 2(x y)+ xy的所有正整数x、y.二、（25分）如图3，45为©0的直径，弦C£>与仙交于点£，过点4作圆的切线，与C D的延长线交于点R若C E ：DE ：DF = 4： 3： 3,/^=24，求弦/1(：的长及sin 的值•CF图3三、（25分）已知直线；r = +3与戈轴交于点C，与y轴交于点抛物线y =c w c2 ++ c经过两点，且与％轴的第二个交点为A.(1)如图4，£为直线5C右上方抛物线上的一动点，当A f i五c的面积最大时，求过点£的切线/的方程和A f i£C面积的最大值.(2)在（1)的结论®4下，过点£作y轴的平行线，与直线fiC交于40中等数学点M，联结4M,为抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由.(3)如图5,点#(1，〇)，将线段 0/V绕点〇逆时针方向旋转得到O N'，旋转角为 a(0°<a<90°)，求/Vf C+|~/V'fi 的最小值.参考答案第一试—、1. A.图53 3无整数解;=> 12(3)若 <y,则y2.t+ 1 + 3i+ 1= S(t + r) -6>\=> t-8 8=———r3 38 4A,5^13〇N=> t-1\\*1>r~8(4)若|■心<1，则2t+ 1 + 3i+ 2 = 8(^ + r)—6=> t= 3 -, 3 — 7=>t = l,r = —=>x=—.4 4由=冬 +」一=> 26c = a(6 + c)•a b c又 6 + e > a，贝!J26c > a2.由（fc-c)2彡0 => 62.+ c2彡26c => b2 +c2 > a24必为锐角.2. C.当％为整数时，2x -\-3x = Sx -6 => x =2.当％不为整数时，设尤+r(i 为整数，0 <r<l).⑴若〇<厂<+，则2t+3/ = 8(^ + r) —6…=2-爭#f<t=2-f<2=> t无整数解；(2)若士&<士，则2 艺+ 3f + l = 8(尤+ r) —6综上,符合条件的实数解有3个.3. B.如图6，作丄fiC于点/)，则仙= CZ).在A仙c外作Z C A E=20°, W\Z B A E=60°.作（^丄狀于点E，P F丄A E于点F.易证△A C E笤A/ICZ).于是，C E= C D=*B C.由= /Msin ZP F= C E,故蔻=万.4. D.注意到，(x -y)2 =x2 -2xy +y2^0==>2 I a c y l^x2 + y2 = 1A图62021年第3期41令S =尤4 +尤y + y4.贝|JS=(^；2 +y2)2 -2x2y2+xy=-2x2y2+ xy + 1由函数增减性知：当 = |时，S_ =|;当 xy = -^■时，Sm i n =0•因此，>S m a x + Sm i n = y.5.C.如图7,当之厦>90。

数学奥林匹克初中版提高篇

数学奥林匹克初中版提高篇好啦，今天咱们聊聊数学，嗯，对，就是那个看起来有点吓人的“数学”，但其实它并没有那么可怕，甚至可以说它比你想象的要有趣得多。

你看啊，很多人一听到数学，脑袋里就像响起了警报：“哎呀，要动脑了，要思考了，怎么办？”其实呢，这完全是个误会。

数学，尤其是奥林匹克数学，给人感觉像是一场智力的冒险，就像破解一个个谜团，发现那些隐藏的宝藏一样。

我们不妨抛开对数学的偏见，用轻松一点的眼光来看待它。

数学奥林匹克，听起来是不是有点高大上？嗯，其实它并没有想象中那么复杂。

你要知道，数学奥林匹克并不是让你去解那些你根本看不懂的公式，而是让你在一个个看似简单的小问题中，找到有趣的规律和巧妙的解法。

就像是你在大街上走着走着，突然发现一个不起眼的角落藏着个小店，里面全是你没见过的奇怪玩意儿，你忍不住要进去一探究竟。

这种感觉是不是就像破解数学题目一样，既充满了挑战，又能给你带来意外的收获呢？说到这里，或许你会有点疑问：“那数学到底能给我带来什么呢？”你看啊，数学就像是那把钥匙，帮你打开生活中无数的门。

你去超市买东西，怎么算便宜又划算？去旅行，怎么安排最省钱又不浪费时间？这些，都是数学帮你解决的。

而数学奥林匹克，就是让你在更高层次上，训练思维，锻炼你的逻辑和分析能力，啥时候遇到复杂的问题，不慌，能很快找到思路，一步步把问题化繁为简，解决掉。

要说奥林匹克数学的魅力，很多人一开始看到那些问题，可能会想：“天啊，这也太难了吧！”你别急，先停一下，回想一下小时候玩过的那些数独、拼图游戏。

你不会一开始就能把拼图完美拼好吧？对吧？那是因为你需要先学会找规律，学会动脑筋。

而数学题，其实也是如此。

你可能第一次做的时候，觉得哪里都不对，乱七八糟的。

但你只要冷静下来，仔细观察，慢慢发现其中的规律，你会觉得，这个问题似乎也没有那么复杂。

而且说实话，数学奥林匹克不仅仅是为了考高分。

别光想着“我要成为数学天才”，更多的是它能让你拥有一种思维方式，学会如何冷静面对问题，找到问题的核心。

中等数学

2007 年第 1 期
3
有 45 条粘缝 ( 两个结点之间的线段算是一条粘缝 ,如图 3 所示) . 试求该矩形台板所碎裂成的各种类型图3 ( 指三角形、四边形、五边形等) 的块数 . 说明 : 若凸多边形的周界上有 n 个点 , 就将其看成 n 边形 , 例如 , 图 3 中的多边形 ABCDE 要看成五边形 .
(1) 若 a - b = 1 ,则 a + b 为奇数 ,且 3 ≤a + b ≤ 99. 于是 , a + b 可取 3 ,5 ,7 , …,99 , 共 49 个值 ,这时 ,
相应的 x 也可取这 49 个值 .
(2) 若 a - b = 2 ,则 a + b 为偶数 ,且 4 ≤a + b ≤ 50. 于是 , a + b 可取 4 ,6 ,8 , …,50 , 共 24 个值 ,这时 ,
a6 = a7 = …= ak = 0 , a4 + 2 a5 = 2.
故点 C 与点 C1 重合 . 而 S △ABD = 48 a , S △CBD = 24 a , S △ACD = 24 ( a - 7) , 则 S △ABC = S △ABD - S △CBD - S △ACD = 168.
2
中等数学
模拟训练
数学奥林匹克初中训练题 ( 1)
第一试
一、选择题 ( 每小题 7 分 ,共 42 分)
3+ 2+ 3+ 6 = x + y + z, ). 且 x、 y、 z 为有理数 . 则 xyz = ( 3 5 7 13 (A) (B) ( C) (D) 4 6 12 18 2 2. 设二次函数 f ( x ) = ax + ax + 1 的图像开口向下 , 且满足 f ( f ( 1 ) ) = f ( 3 ) . 则 2 a ). 的值为 ( (A) - 3 (B) - 5 ( C) - 7 (D) - 9 3. 方程| xy | + | x + y | = 1 的整数解的组 ). 数为 ( (A) 2 (B) 4 ( C) 6 (D) 8 2 4. a 、 b 是方程 x + ( m - 5 ) x + 7 = 0 的 2 2 两个根 . 则 ( a + ma + 7 ) ( b + mb + 7 ) = ( ). (A) 365 (B) 245 ( C) 210 (D) 175 5. 如图 1 , Rt △ABC 的斜边 BC = 4 , ∠ABC = 30° ,以 AB 、 AC 为直径分别作圆 . 则这两圆的公共 ) 部分面积为 ( 图1 1. 设

数学奥林匹克初中训练题(189)

38中等数学中图分类号:G424.79文献标识码：A文章编号:1005-6416(2020)10-0038-04第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.已知函数y= 4x2-4kx+(^-1)(-1VA：V1).记该函数图像在%轴上截得的线段长的最大值为m、最小值为"•贝IJ m+n=().(A)攀(B)l(C)2#(D)A+|5.在Rt△AOB 中,ZO=90。

,分别以直线04、OB为坐标轴建立直角坐标系，如图3.以AB为边向形外作正方形ABCD,对角线4C、BD交于点P,已知2^-677i-15nmn2m-5n哮,则分式A(0,3),OP=4Q.当反比例函数y=-的图Xth2-2nm+9,4zn2-5mn+6n2).53 (A)|(B)l(C)|4 (D)|3.如图1,在中,D为边仙的中点，E在边AC上，且ZAED=图1像经过点D时仏的值为()■(A)6(B)12(C)24(D)12Q6.已知0W/n-nWl,2Wzn+nW4.当m-2n取得最大值时,2019m+2020n的值等于()•(A)2019(B)2020(C)0(D)-l二、填空题(每小题7分，共28分)1.已知关于％的方程x2-4l%l+3=t只有三个实数根•则t=_____•90°+yZ C.若BC=4,4C=10,则AE的长2.设厶+4Jx_4+』％_4_4=x-4.为()•(A)2(B)34.如图2,以半圆©0的一条弦BC(非直径)为对称轴将弧BC折叠与直径交于点D.若AD=4,BD=6,则tan B=().12(A)|(B)|(C)4(D)5则/苗的立方根为_____.3.如图4,在中,ZC=90°,D为边BC上一点,ZADC=3Z BAD,BD=9,DC=5.则AB=______.4.在一个口袋中有六个大小和形状完全相同的小球，分别标有数字-5、-4、-3、-2、2、1.现从口袋中抽出一个小球,记上面的数字为a.则使得抛物线r=x2+2x+a+2的顶点落在第三象限，且使关于％的方程x-2护+22-x①2020年第10期39有整数解的概率为_____•第二试—、(20分)如图5,在厶ABC中，ZABC=60o,O、H分别为443(7的外心、d「垂心•点D、E分别在边BC、AB上，且BD=BH,BE=BO,BO=a.求△BDE的面积.二、(25分)如图6,顶点为M的抛物线y=ax+bx+3与乂轴交于4(_],0)、B两点，与y轴交于yl点C.过点C作CD丄y轴，与m\抛物线的第二c KA d个交点为D,作/DE丄％轴，垂/|\足为E,双曲线/°|；y=^(x>0)经图6过点D,联结MD、BD.(1)直接写岀抛物线的解析式；(2)设W、F分别为%轴、y轴上的两点,当以M、D、N、F为顶点的四边形周长最小时,求岀点N、F的坐标及周长的最小值；(3)动点P从点0出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t 秒，当t为何值时,ZBPD的度数最大？三、(25分)求所有四位数m,满足mW 2025,且存在正整数口,使得m-n为素数, mn为完全平方数.参考答案第一试—、1・A.设该函数图像与X轴的交点坐标分别为(衍,0),(衍,0)，交点间的距离为d.L-1由韦达定理，得％1+先2=k,X x X2=-^-则d2=(兀1一算2)2=3+x2)2-4x^2注意到，卜-*）MO,-1WX1.故当k=y时,□=弓;当％=-1时,m=^.因此,m+n=^-^-.2.D.注意到,2m+nM0.由分式的基本性质及等比性质得n2m n+2m1---------——~-------------------]2m-5n6n2m-5n+6n=>m=3n・故所求分式=翳=4・Z/n3.B,过点B作BF//DE,与AC交于点F.于是,ZBFC=ZDEF.由D为AB的中点，知EF=AE.而Z DEF=z BFC=180°-Z AED=180°-（90°+yZC）=90°-yZC.贝！JZ FBC=Z BFC n BC=FC.又BC+2AE=AC,因此,4E=3.4.A.延长AC至点E,使得EC=AC；联结EB,与弧辰交于点F.由AB为直径=>AC±BC=>AC=EC,AB=EB=10.由对称性，知EF=AD=4.由割线定理得EC・EA=EF・EB=>2AC2=40=>AC=2圧.由勾股定理，得BC=4点.40中等数学士I o AC1故tanS=BC=2*5.C.如图7,作PE丄OB于点E,PF丄OA于点F,PG丄04于点G.易证，Rt AAFP也Rt^BEP=FP=EP=＞四边形PFOE为正方形=>BE=AF=4-3=1,03=4+1=5.注意到，Rt AAGO^Rt AB0ADG=0A=3,AG=OB=5=>x D=3,y°=8k=24.6.A.构造等式x(7n-n)4-y(/n+n)=7n-2n,艮卩(兀+y)m+(y-%)孔=m-2n・比较系数并解方程组得31X=2^=~2-依题设得33100空(尬-几)0亍-2W-㊁(m+zi)W-1=>一2Wm—2nWl・于是，m-2n的最大值为1,此时，几= 乎•代入条件不等式得0VmWl,lWmW3.从而,m=1,n=0.故2019m+2020n=2019.二、1.3.原方程等价于(lxl-2)2=t+l.当z<-1时，方程没有实数根.当t=-1时,方程为1%1=2,只有两个实数根.当t>-1时,方程为1x1=2+J+1,①或1x1=2-/+1.②显然，方程①总有两个实数根，于是，方程②必为2--//+1=0=>z=3.2".令厶-4=y(y》0).贝！］%=y2+4.原方程可化为J(y+2)2+y(y-2)2=y=>y2=2y或y?=4n=°』2=2.当y=0时,％=4；当y=2时,％=8.经检验,％=&故/百的立方根为=Q・3.21.作Z ABC的平分线BE,与AD交于点E.则Z ABE=Z DBE=Z DAB=>AE=BE=>△DBE s/\DABdb=de=beDA=DB=AB9令佃=m,AE-BE=x^AD=y,DE=y-x.=>y=y%4-81=9m=>y2=9m+81.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2=TH2-142=9m+81-52=>m2-9m-252=0=>m=21=>AB=21.41*3•由题意，得抛物线顶点坐标(-1,a+1),且Q V-1.则符合条件的a=-5,-4,-3,-2.方程①可化简为a+1经检验，只有a=-3,—2符合题意.2020年第10期4171故所求概率为P=^=~-第二试一、作AABC的外接圆直径4F,联结CO、CF、BF、CH.因为BH丄AC,FC丄AC,所以,BH//FC.类似地,于是，四边形BHCF为平行四边形.由FO=CO,Z AFC=Z ABC=600=>^FOC为等边三角形.贝\\BD=BH=CF=CO=BO=BE=a=>△BDE也为等边三角形.二、(i)y=-/+2%+3.(2)易知,M(l,4),D(2,3),3(3,0).如图8,作点M关于y轴的对称点作点D关于％轴的对称点”；联结MD,与％轴、y轴分别交于点N、F.则以M、图*D、N、F为顶点的四边形周长最小，即为 M'D'+MD的长.由对称性，知W(-1,4),"(2,-3).则直线WD的解析式为75厂-罗+亍于是，叫壬,0)』(0,計.由两点间的距离公式得M'D'+MD=v^8+Q.(3)设P(0,t),N(r,t).如图9,作的外接圆©N,当O7V 与y轴相切时，圆心N到BD的距离最小，圆心角Z DNB最大，即Z BPD的度数最大.注意到,=则r2=(2-r)2+(3-Z)2=>i2-6z-4r+13=0.①易求BD的中点为(壬,計，宜线BD的解析式为y= -3%+9.12故BD的中垂线的解析式为y=12又点N在中垂线匕则t=jr+y•代入式①得『一⑻+21=0=>t=9土2/15".又ON与y轴相切，从而，圆心N在点D 下方.因此,0<t<3.故t=9-2/B\三、令zn-n=p(p为素数)•贝!]?n=n+p.设mn=n{n+p)=t2(t为正整数)=>4zi2+4pn=4/2=>(2n+p)2-p2=(2/)2=>(2n-2z+/>)(2n+2z+p)=p2.由于P为素数，于是，2n-2t+p=1,2n+2t+p=p2.两式相加消去/得结合1000WmW2025,得64Wp+1W90.从而，素数p=67,71,73,79,83,89.故m=1156,1296,1369,1600,1764,2025.(陈迁赵亭志王祥湖北省黄冈市希水县余堰中学,438200)。