高中数学 第二章 正余弦定理在解决三角形问题中的应用典例分析素材 北师大版必修5
新教材北师大版第2章6.1第2课时用余弦定理正弦定理解三角形课件(41张)
[解] (1)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， ∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10 3， ∴a<bsin A， ∴本题无解． (2)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°， ∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A， ∴bsin A<a<b， ∴本题有两解．
[探究问题] 1．在△ABC中，如何利用正弦定理进行边角转化？ 提示：(1)边转化为角：a＝2Rsin A；(2)角转化为边：sin A＝2aR.
2．在△ABC中，利用余弦定理解三角形时，有什么变形技巧？
提示：常用的变形技巧是整体代换，例如 (1)a2＋b2－c2＝2abcos C； (2)a2＝ (b±c) 2－2bc (±1＋cosA) ，此公式在已知b±c和bc的情况 下，可以在不求b，c的前提下，建立a，A的关系．
<0，S△ABC＝
15 4
，|
A→B
|＝3，|
A→C
|＝5，
则∠BAC＝( )
A．30°
B．120°
C．150°
D．30°或150°
C [由S△ABC＝145，得12×3×5sin∠BAC＝145， ∴sin∠BAC＝12， 又由A→B·A→C<0，得∠BAC>90°， ∴∠BAC＝150°.]
正、余弦定理的综合应用
[跟进训练] 3．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足 a＋b c＋a＋c b ≥1，求角A的范围．
[解] 由a＋b c＋a＋c b≥1 ， 得b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)， 整理得b2＋c2－a2≥bc， 所以cos A＝b2＋2cb2c－a2≥12， 所以A∈0，π3.
高中数学第二章解三角形第1节正弦定理与余弦定理1.2余弦定理课件北师大版必修5
语言 余
表述 弦 定 符号 理 表示
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a2＝ b2＋c2－2bccosA ； b2＝ a2＋c2－2accosB ；
c2＝ a2＋b2－2abcosC ．
[小组合作型] 已知两边及一角解三角形
在△ABC 中， (1)已知 a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，求 b 及 A； (2)已知 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a.
1．在△ABC 中，b2＋a2＝c2＋ab，则 C 为( )
A．30°
B．60°
பைடு நூலகம்
C．90°
D．120°
【解析】 由 b2＋a2＝c2＋ab 得 b2＋a2－c2＝ab，
所以 cos C＝b2＋2ab2a－c2＝12，
所以 C＝60°. 【答案】 B
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
阶
阶
段
段
一
三
1.2 余弦定理
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三 角形度量问题时的作用．(难点)
高中数学(北师大版)必修五教案：2.1 知识归纳：正余弦定理在解决三角形问题中的应用
- 1 - / 2正余弦定理在解决三角形问题中的应用知识点归纳：1．正弦定理： 形式一：R 2Csin c B sin b A sin a ===； 形式二：R 2a A sin ＝；R 2b B sin ＝；R 2c C sin ＝；（角到边的转换） 形式三：A sin R 2a ⋅=，B sin R 2b ⋅=，C sin R 2c ⋅=；（边到角的转换） 形式四：B sin ac 21A sin bc 21C sin ab 21S ===；（求三角形的面积） 解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
若给出A ,b a ，那么解的个数为：无解（A sin b a <）；一解（A sin b a A sin b a ≥=或者）；两解（b a A sin b <<）；2．余弦定理：形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3、角平分线定理：DCAD BC AB = ；其中BD 为角B 的角平分线。
规律方法总结：1、要正确区分两个定理的不同作用，围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问题的求解。
2、两个定理可以实现将“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式。
3、记住一些结论：1,,,sin 2A B C A B C S ab C π++==均为正角；等。
4、余弦定理的数量积表示式：cos ||||BA CA A BA CA ⋅=。
新教材高中数学第2章第4课时余弦定理与正弦定理的应用课件北师大版必修第二册ppt
3 a.
2
在△ADB 中，由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos ∠
ADB＝34a2＋(3＋4
3a)2－2·23a·3＋4
3a·23＝38a2，∴AB＝
6 4
km.
故蓝方这两支精锐部队间的距离为
6 4a
km.
测量距离的基本类型及方案
类 A，B 两点间不 A，B 两点间可视， 型 可通或不可视 但有一点不可达
(2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点 A，B，望对岸 的标记物 C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，AB＝120 m，则河 的宽度是________m.
(1)D (2)30 3 [(1)如图所示，根据题意，在△ABC
中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理
利用方程的思想，设 AB＝h.表示出 BC＝h，BD＝tan 3h0°＝ 3h， 然后在△BCD 中利用余弦定理求解．
[解] 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝45°，若设 AB＝h，则 BC＝h. 在 Rt△ABD 中，∠ADB＝30°，则 BD＝ 3h.
在△BCD 中，由余弦定理可得 CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos ∠CBD，即 2002＝h2＋( 3h)2－
求 AB
定理求 AB
在△ABC 中用余弦定理求 AB
[跟进训练]
1．(1)海上 A，B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成
60°的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角，则 B，C 间的距
离是( )
A．10 3海里 C．5 2海里
B．103 6海里 D．5 6海里
§6 平面向量的应用 6.1 余弦定理与正弦定理 第4课时 余弦定理与正弦定理的应用
数学北师大版必修第二册2.6..1第3课时用余弦定理、正弦定理解三角形课件
探究一
探究二
当堂检测
1.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,则它的顶角的余弦值为 ()
答案B
探究一
探究二
当堂检测
2.若P在Q的北偏东44°50'方向上,则Q在P的( ) A.东偏北45°10'方向上 B.北偏东45°50'方向上 C.南偏西44°50'方向上 D.西偏南45°50'方向上 解析如图所示,点Q在点P的南偏西44°50'方向上.
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟 1.本题欲求方位角,先求边长,而要求边长,需先求时间.由 于舰艇与渔轮同时在移动,因此相遇点不确定,即舰艇的航向不确 定,解题时画图的关键是设出相遇点B,画出可以求解的三角形. 2.解决这类问题,第一明确题中所给各个角的含义,然后分析题意, 根据题意画出正确的示意图,将实际问题转化为数学问题,运用正 弦定理或余弦定理求解.
激趣诱思
知识点拨
(1)解题思路 (2)基本步骤 ①分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角 形); ②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集 中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型; ③求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解; ④检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解.
测得A处的俯角为β.若铁塔高为m米,则山高CD为
米.
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
因为AB=40 m,所以AB=PB,所以∠APB=∠PAB=30°,所以 ∠PBA=120°.因此测绘人员到达点B时,目标参照物P相对于该测绘 人员的方位角为180°-120°=60°,且目标参照物P与他的距离为40 m.
北师大高中数学必修第二册2.6.1.3用余弦定理、正弦定理解三角形【课件】
解析：(1)因为 m∥n，所以 asin B－ 3bcos A＝0， 由正弦定理，得 sin Asin B－ 3sin Bcos A＝0. 因为 sin B≠0，所以 tan A＝ 3.因为 0<A<π，所以 A＝3π. (2)由正弦定理得 3π＝sin1 B，
sin3 得：sin B＝12. 由 a>b 知 A>B，所以 B＝π6， 所以 C＝π－π3－6π＝π2， ∴S△ABC＝21ab＝ 23.
又山高为
a，则－
CF
＝
hcos αsin β sin β－α
－
a
＝
40×
23× 1
3 2 －35＝60－35＝25.故选
B.
＝192，∴CD＝8 3海里，即灯塔 C 与 D 处之间的距离为 8 3海里．
方法归纳 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个或几个 三角形中，可用余弦定理或正弦定理求解．
微点 2 测量高度问题 例 4 在学校每周一举行的升旗仪式上，从坡角为 15°的看台上， 同一列的第一排和最后一排分别测得旗杆顶部的仰角为 60°和 30°.若 同一列的第一排和最后一排之间的距离为 10 6米(如图所示)，则旗杆 的高度为________米．
解析：如图所示，假设缉私船用 t(t>0)小时在 D 处追上走私船，两船 所用时间相等，则有 CD＝10 3t，BD＝10t.
由题意知 AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°. 在△ABC 中，由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC＝ ( 3－1)2＋22－2×( 3－1)×2×cos 120°＝6，所以 BC＝ 6.
解析：如图所示，记看台上的一列为 BC，旗杆为 OP，
高中数学 第二章《解三角形》余弦定理课件 北师大必修5
千岛湖
C A
B
千岛湖
C
A
?
B
用正弦定理能否直接求出A , B两处的距离？
这是一个已知三角形两边a和b,和两边的 夹角C，求出第三边c的问题.
A
b
c
Ca
已知三角形两边分别为a和b, 这两边的夹角为C，角C满足什么 条件时较易求出第三边c？
c2a2b2 勾股定理
你能用向量证明勾股定理吗？
B
即证
2
2
它还有别的用途吗， 若已知a,b,c,可以求什么？
c oAs b2 c2 a2 2bc
a2b2c22bcco Asc oBs a2 c2 b2
b2c2a22cc ao Bs
2ac
c2a2b22acbo CscoCs a2b2c2
2ab
归纳：
利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角 ; （2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而 还可求其它两个角。
（3）由余弦定理可知：
A 9 0 a 2 b 2 c 2 A 9 0 a 2 b 2 c 2 A 9 0 a 2 b 2 c 2
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2b2c22bcco As b2c2a22cc ao Bs c2a2b22acbo Cs
勾股定理与余弦定理有何关系？
令C＝900 c2a2b2 勾股定理
公式的结构特征怎样？
这个定理有什么作用？
若已知b=8,c=3,A= 6 0 ,能求a吗？
12 3 73 2 0 2 8 1 0 3 7 3 c 0 1 8 o 0 .8 1 s B 0
17 4 99 0 1 0 28 0 4 7 0 4 0 .3 3 0 5 2
高中数学 第二章 正余弦定理在解决三角形问题中的应用典例分析素材 北师大版必修5
正余弦定理在解决三角形问题中的应用典型例题分析： 一、判定三角形的形状例1 根据下列条件判断三角形ABC 的形状： (1)若a 2tanB=b 2tanA ； 解：由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒ 2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. (2)b 2sin 2C + c 2sin 2B=2bccosBcosC; 解: 由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sinBsinC ≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC, 即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o, 故△ABC 是直角三角形.(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1. 解：(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1⇒ [2sin 2B A +cos 2B A -+ sin(A + B)] – [2cos 2B A +cos 2B A -+ 2cos 22C - 1]=0⇒ [2sin2B A +cos 2B A -+ sin(A + B)] – 2cos 2B A +cos 2BA - - 2sin22B A +=0 ⇒(sin 2B A +- cos 2B A +)(cos 2B A -- sin 2BA +)=0 ⇒sin(2B A + - 4π)sin 4B C A -+sin 4C B A --=0 ⇒△ABC 是Rt △。
二、三角形中的求角或求边长问题例2、△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB 、BC 、CA 上取点D 、E 、F ，使△DEF 是等边三角形（如图1）。
2021_2022学年高中数学第二章解三角形1.2余弦定理学案含解析北师大版必修
1.2 余弦定理导思1.余弦定理的内容是什么?2.余弦定理可以解决哪些问题?1.余弦定理公式表达语言描述a2=b2+c2-2bccos Ab2=a2+c2-2accos Bc2=a2+b2-2abcos C三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.【说明】对余弦定理的理解(1)适用范围:余弦定理对任意三角形都成立.(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.(3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.(4)主要功能:余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.(1)余弦定理和勾股定理有什么关系?提示:余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作是余弦定理的特例.(2)观察余弦定理的符号表示及推论,你认为余弦定理可用来解哪类三角形?提示:①已知两边及其夹角,解三角形;②已知三边,解三角形.2.余弦定理的变形cos A= __,cos B= __,cosC= __.在△ABC中,若c2=a2+b2,则该三角形是什么三角形?提示:因为c2=a2+b2,所以a2+b2-c2=0,故cos C==0,所以C=90°,从而△ABC为直角三角形.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)余弦定理仅适用于锐角三角形或钝角三角形. ( )(2)若已知两边和一边所对的角,不能用余弦定理解三角形. ( )(3)在△ABC中,若sin2C>sin2A+sin2B,则△ABC为钝角三角形. ( )(4)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题,则求解时都只有一个解. ( )提示:(1)×.余弦定理对任意三角形都成立.(2)×.如已知a,b和A可利用公式a2=b2+c2-2bccos A求c,进而可求角B和C.(3)√.根据正弦定理可得c2>a2+b2,故a2+b2-c2<0,所以cos C=<0,,故C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.(4)√.根据余弦定理可知第三边唯一,从而三角形确定,另外两角确定,故该三角形唯一.2.某同学用三条长度分别为3,5,7的线段画出一个三角形,则他将( )A.画不出任何满足要求的三角形B.画出一个锐角三角形C.画出一个直角三角形D.画出一个钝角三角形【解析】选D.令长度较长的边所对的角为θ,则cos θ=<0,所以他将画出一个钝角三角形.3.(教材二次开发:例题改编)为测出小区的面积,进行了一些测量工作,所得数据如图所示,则小区的面积为( )A. km2B. km2C. km2D. km2【解析】选D.如图,连接AC,AC==,则∠ACB=90°,∠BAC=30°,△ABC是直角三角形,所以S△ABC=.因为∠DAC=∠DCA=15°,∠ADC=150°,所以△ADC是等腰三角形,3=2×AD2-2AD2cos 150°,AD2=6-3,S△ADC=AD2sin 150°=.S四边形ABCD=+=(km2).关键能力·合作学习类型一余弦定理的应用(逻辑推理)1.在△ABC中,已知a2=b2+c2+bc,则A等于( )A. B.C.或D.2.在△ABC中,已知面积为S,且4S=a2+b2-c2,则角C的度数为( )A.135°B.45°C.60°D.120°3.在△ABC中,a∶b∶c=2∶∶,求△ABC中最大角的度数.【解析】1.选D.因为a2=b2+c2+bc,所以b2+c2-a2=-bc.由余弦定理的推论得cos A===-,又0<A<π,所以A=.2.选B.由cos C=,可得a2+b2-c2=2abcos C,故由4S=a2+b2-c2得4××absin C=2abcos C,整理可得tan C=1,又因为角C为△ABC的内角,所以C=45°.3.因为a∶b∶c=2∶∶,所以令a=2k,b=k,c=k(k>0),由b<a<c,知C为△ABC最大内角,cos C===-,又0°<C<180°,所以C= 150°.利用余弦定理解三角形的方法(1)已知两边及一角解三角形有以下两种情况:①若已知角是其中一边的对角,有两种解法,一种方法是利用正弦定理先求角,再求边;另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解.②若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出另外一边,然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求解.(2)已知三角形的三边或其比值解三角形:①已知三角形三边求角时,可先利用余弦定理求角,再用正弦定理求解,在用正弦定理求解时,要根据边的大小确定角的大小,防止产生增解或漏解.②若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边解三角形. 【补偿训练】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=________.【解析】依题意得2b×=a×+c×,即a2+c2-b2=ac,所以2accos B=ac>0,cos B=.又0<B<π,所以B=.答案:类型二三角形的形状判断(逻辑推理、数学运算)【典例】在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,确定△ABC的形状. 四步内容理解题意判断三角形的形状,即判断该三角形是怎样的特殊三角形.思路探求可利用余、正弦定理,将2cos Asin B=sin C化为三角形边或角之间的关系,进而得出结论.书写表达方法一:由正弦定理得=,由2cos Asin B=sin C,有cos A==. 又由余弦定理得cos A=,所以=,即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2,即b2=c2.所以b=c,所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形.方法二:因为A+B+C=180°,所以sin C=sin(A+B),又因为2cos Asin B=sin C,所以2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin(A-B)=0.又因为A与B均为△ABC的内角,所以A=B.又由(a+b+c)(a+b-c)=3ab得(a+b)2-c2=3ab,所以a2+b2-c2+2ab=3ab,即a2+b2-c2=ab.由余弦定理得cos C===,又0°<C<180°,所以C=60°.所以△ABC为等边三角形.题后本题求解的关键是正确应用正、余弦定理.反思判断三角形形状的两条途径(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系;(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.提醒:在上述两种途径的等式变形中,一般两边不要直接约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.在△ABC中,已知(a2+c2-b2)cos2=acsin Asin B(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.在△ABC中,因为(a2+c2-b2)cos2=acsin Asin B,所以·2cos2=sin Asin B,由余弦定理得cos B·2cos2=sin Asin B,所以cos B(cos A+1)=sin Asin B,即cos Bcos A-sin Bsin A+cos B=0,即cos(A+B)+cos B=0,即cos(π-C)+cos B=0,即cos C=cos B.即C=B.即△ABC是等腰三角形.类型三正、余弦定理的应用(数学运算)【典例】在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos ∠ADB;(2)若DC=2,求BC.【思路导引】(1)可利用正弦定理求出sin∠ADB,再求出cos∠ADB.(2)可利用诱导公式求出cos∠BDC,再利用余弦定理求BC.【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sin ∠ADB=.由题意知,∠ADB<90°,所以cos ∠ADB==.(2)由题意及(1)知,cos ∠BDC=sin ∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos ∠BDC=25+8-2×5×2×=25. 所以BC=5.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C=2A,a+c=10,cos A=.求:(1)的值;(2)b的值.【解析】(1)因为cos A=,所以由正弦定理得===2cos A=.(2)由(1)知=,又a+c=10,两式联立得a=4,c=6.由余弦定理得42=b2+62-12b×,即b2-9b+20=0,解得b=4或b=5.当b=4时,a=b,所以B=A,又A+B+C=180°,且C=2A,所以A=B=45°,所以cos A=cos 45°=≠,不符合题意,舍去;当b=5时,经检验符合题意,所以b=5.综上知b的值为5.正、余弦定理的综合应用(1)边、角互化是处理三角形边、角混合关系的常用手段.(2)在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理,还是余弦定理,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能利用某个定理的信息.(3)解题时注意三角恒等变换的应用.1.如图,在△ABC中,D是BC上的点,且AC=CD,2AC=AD,AB=2AD,则sin B=( )A. B. C. D.【解析】选C.根据题意设AD=2x,则AC=CD=x,AB=4x,在△ADC中,由余弦定理可得cos∠ADC==,所以sin∠ADB=sin∠ADC==,所以在△ADB中,由正弦定理得sin B===.2.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选C.由于sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,根据正弦定理可知a2≤b2+c2-bc,故cos A=≥.又A∈(0,π),所以A的范围为.3.(2020·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.(1)若a=c,b=2,求△ABC的面积;(2)若sin A+sin C=,求C.【解析】(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2×c2×cos 150°,解得c=-2(舍去),c=2,从而a=2.△ABC的面积为×2×2×sin 150°=;(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,所以sin A+sin C=sin(30°-C)+sin C=sin(30°+C),故sin(30°+C)=.而0<C<30°,所以30°+C=45°,故C=15°.课堂检测·素养达标1.若三条线段的长分别为5,6,7,则用这三条线段( )A.能组成直角三角形B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形D.不能组成三角形【解析】选B.因为三角形最大边对应的角的余弦值cos θ==>0,所以能组成锐角三角形.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则= ( )A.6B.5C.4D.3【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得-=cos A=,所以=-,所以=,即=×4=6.3.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若<0,则△ABC( )A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形【解析】选C.因为=cos C<0,精品文档欢迎下载所以C为钝角,故△ABC为钝角三角形.4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=,a=7,若△ABC的面积为,则其周长是________.【解析】根据余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc=49.根据面积公式:S=bcsin A=bc=,故bc=15.故(b+c)2=b2+c2+bc+bc=64,故b+c=8,故周长为15.答案:155.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且2asin B= b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.【解析】(1)由2asin B=b及正弦定理=,得sin A=.因为A为锐角,所以A=.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以bc=,所以S△ABC=bcsin A=××=.。
北师版高中数学必修第二册精品课件 第2章 第4课时 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用 (2)
).
A.12 m
B.8 m
C.3 m
D.4 m
解析:由题意知,∠A=∠B=30°,
所以∠C=180°-30°-30°=120°.
由正弦定理,得
答案:D
=
,即
·
AB=
图2-6-3
=
°
在△AMC 中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°.
由正弦定理得,
°
所以 AM=500 ×
=
,
°
=500 (m).
在 Rt△MNA 中,AM=500 m,∠MAN=60°.
由 =sin
60°,得 MN=500 ×
=750(m).
∴乙船应沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,
∴∠D=30°,
∴BD=BC,即 10t=
,∴t=
h≈15 min.
∴乙船应沿北偏东60°的方向行驶才能最快追上甲船,大约需
要15 min.
反思感悟 求解实际应用中的角度问题时,一般把求角的问题
转化为解三角形的问题,基本方法是:(1)明确各个角的含义;(2)
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时甲行走了
(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理,得
2
2
d =(100+50t) +(130t)
-2×130t×(100+50t)× =200(37t2-70t+50).
北师版高中数学必修第二册精品课件 第2章 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形 (2)
在△ADE
∠
中,由正弦定理可得
×
∴sin∠ADE=
=
<
,
∴∠ADE<30°,∴∠ADC<∠ABC.
=
∠
,
= .
反思感悟 求线段的长度与角度的方法:
(1)求线段的长度往往归结为求三角形的边长,解决此类问题
所以
A= .
反思感悟 三角函数式的化简方法:(1)利用诱导公式,将任意
角的三角函数转化为锐角的三角函数.(2)常用“切化弦”法,即
表达式中的切函数通常化为弦函数.
图2-6-2
∠ADE,∠EBC的大小.
解:(1)在 Rt△BEC 中,CE=1,∠EBC=30°,故 BE= .
在△ADE 中,AE=BE= ,DE=CE=1,∠AED=150°,
由余弦定理可得 AD= + - × × × (-
)
(2)∵∠ADC=∠ADE+60°,∠ABC=∠EBC+60°,
【例1】 如图2-6-2,在Rt△BEC中,∠EBC=30°,
∠BEC=90°,CE=1,分别以BE,CE为边向Rt△BEC外作等边三
角形EBA和等边三角形CED.
(1)求线段AD的长;
(2)比较∠ADC和∠ABC的大小.
分析:(1)解Rt△BEC求得BE,在△ADE中用
余弦定理求得AD;(2)将问题转化为比较
2
C=8×
×
×
+
= +1.
(2)解法一:由
高中数学第二章解三角形第1节正弦定理与余弦定理1.2余弦定理课件北师大版必修5
【尝试解答】
由余弦定理得
cos
A
＝
b2＋c2－a2 2bc
＝
6＋2 32＋4 32－2 62 2×6＋2 3×4 3
＝36＋24483＋31＋2＋ 4848－24＝ 23，
∴A＝30°.
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
32
第十八页，共39页。
∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.
第十页，共39页。
(2)由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由正弦定理，得 sin A＝asibn B＝63×12＝1， 所以 A＝90°，C＝60°，当 a＝3 时，A＝30°，C＝120°.
第二十七页，共39页。
判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条 途径：1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方 等得出边的相应关系；2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数 间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用 A＋B＋ C＝π 这个结论.
6－ 2
2，
当 c＝
6＋ 2
2时，由余弦定理，
得 cos A＝b2＋2cb2c－a2
第十四页，共39页。
＝2＋ 2×
6＋ 2
2×
62＋2－23＝12. 2
∵0°＜A＜180°，∴A＝60°，∴C＝75°.
当 c＝
6－ 2
2时，由余弦定理，得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋ 2×
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正余弦定理在解决三角形问题中的应用典型例题分析： 一、判定三角形的形状例1 根据下列条件判断三角形ABC 的形状： (1)若a 2tanB=b 2tanA ； 解：由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒ 2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. (2)b 2sin 2C + c 2sin 2B=2bccosBcosC; 解: 由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sinBsinC ≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC, 即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o, 故△ABC 是直角三角形.(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1. 解：(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1⇒ [2sin 2B A +cos 2B A -+ sin(A + B)] – [2cos 2B A +cos 2B A -+ 2cos 22C - 1]=0⇒ [2sin2B A +cos 2B A -+ sin(A + B)] – 2cos 2B A +cos 2BA - - 2sin22B A +=0 ⇒(sin 2B A +- cos 2B A +)(cos 2B A -- sin 2BA +)=0 ⇒sin(2B A + - 4π)sin 4B C A -+sin 4C B A --=0 ⇒△ABC 是Rt △。
二、三角形中的求角或求边长问题例2、△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB 、BC 、CA 上取点D 、E 、F ，使△DEF 是等边三角形（如图1）。
设∠FEC=α，问sin α为何值时，△DEF 的边长最短？并求出最短边的长。
图 1分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。
解：设△DEF 的边长为x ，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x ·cos α。
因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B ，所以∠EDB=α。
在△BDE 中，由正弦定理得，所以，因为BE+EC=BC ，所以，所以当，。
注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。
例2 在△ABC 中，已知sinB=53, cosA=135, 试求cosC 的值。
解：由cosA=135，得sinA=1312, ∵ sinB<sinA, ∴ B 中能是锐角 ∴ cosB=54, 又 cosC= - cos(A + B)=sinAsinB – cosAcosB=6516. 例3 (98年高考题)已知△ABC 中, a 、b 、c 为角A 、B 、C 的对边，且a + c=2b, A –B=60o, 求sinB 的值.解：由a + c=2b, 得sinA + sinC=2sinB即 2sin2C A +cos 2CA -=2sinB 由 A + B + C=180o得 sin 2C A +=cos 2B .又 A – C= 60o, 得2Bcos 23=sinB 所以2Bcos 23=2sin 2B cos 2B又 ∵ 0o<2B <90o, cos 2B ≠0， 所以 sin2B =43. 从而 cos2B =413. 所以 sinB=839. 例4．（2005年湖北卷第18题） 在△ABC 中，已知AC B AB ,66cos ,364==边上的中线BD=5，求sinA 的值. 分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且DE=,,36221x BE AB ==设 在△BDE 中利用余弦定理可得：BD 2=BE 2+ED 2－2BE ·EDcosBED ，,6636223852x x ⨯⨯++=,328cos 2,2),(37,1222=⋅-+==-==B BC AB BC AB AC BC x x 从而故舍去解得.1470sin ,6303212sin 2,630sin ,3212====A AB AC 故又即 解法2：以B 为坐标原点，x 轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A 位于第一象限.).(314,2.5)352()634(||).352,634(),0,(),354,34()sin 364,cos 364(,630sin 22舍去从而由条件得则设则由-===++=+=====x x x x BD x BC B B B ),354,32(-=CA 故.1470cos 1sin ,141439809498091698098cos 2=-=∴=+++-==A A A 于是 解法3：过A 作AH ⊥BC 交BC 于H ，延长BD 到P 使BD=DP ，连接AP 、PC ，过P 作PN ⊥BC 交BC 的延长线于N ，则HB=ABcosB=,354,34=AH.1470sin ,6303212sin 2.3212,32,2,34,310)354()52(22222222=∴==+===-=∴===-=-=-=A A HC AH AC HC CN BN BC HB CN AH BP PN BP BN 故由正弦定理得而例5、(2005年天津卷第17题)在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值分析：本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力..解法一：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，︒=∠60A 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理B B B C b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=B B B B解得,2cot =B 从而.21tan =B解法二：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，︒=∠60A ，由222a bc cb =-+，得.41532133411)(1)(22=--+++=-+=b c b c ba所以.215=b a ①由正弦定理5123152sin sin =⋅==A a bB .由①式知,b a >故∠B<∠A ，因此∠B 为锐角，于是152sin 1cos 2=-=B B ，从而.21cos sin tan ==B B B例6、（2005年全国高考数学试卷三（四川理））ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，已知a b c 、、成等比数列，且3cos 4B =（Ⅰ）求cot cot A C +的值（Ⅱ）设32BA BC ⋅= ，求a c +的值。
解：（Ⅰ）由3cos 4B =得sin B ==由2b ac =及正弦定理得2sin sin sin B A C =于是11cot cot tan tan A C A C +=+ cos cos sin sin A CA C=+ cos sin cos sin sin sin A C C AA C+=()2sin sin A C B+= 2sin sin BB =1sin B ==（Ⅱ）由32BA BC ⋅= 得3cos 2ca B ⋅=，由3cos 4B =可得2ca =，即22b =由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-⋅得2222cos 5a c b ac B +=+⋅=()2222549a c a c ac +=++=+=∴ 3a c +=例7．（2004年浙江高考数学·理工第17题，文史第18题，） 在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . （Ⅰ）求A CB 2cos 2sin2++的值； （Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值.解: (Ⅰ)A CB 2cos 2sin2++ =)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B=)1cos 2()cos 1(212-++A A=)192()311(21-++= 91-(Ⅱ) ∵31cos 2222==-+A bc a c b ∴2222232a bc a cb bc -≥-+=, 又∵3=a∴.49≤bc 当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc 的最大值是49. 三、解平面几何问题例8（2002年全国高考题）已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积。
分析：如图2，连结对角线BD，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出∠A、∠C，这可由余弦定理列方程求得。
解：因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以A+C=180°，所以sinA=sinC。
连结BD，则四边形ABCD的面积。
由余弦定理，在△ABD中，。
在△CDB中，。
所以20�16cosA=52�48cosC, 又因为cosC = �cosA，所以64cosA= �32，cosA=, 所以A=120°。
所以S=16×sin120°=.注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运用。
四、解实际应用问题例9 某观测站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路定向是南偏东40°，由C处测得距C为31km的公路上B处有1人沿公路向A城以v=5km/h的速度走了4h后到达D 处，此时测得C、D间距离为21km。
问这人以v的速度至少还要走多少h才能到达A城。
解：如图6，由已知得CD=21，BD=20，CB=31，∠CAD=60°。
设AD=x，AC=y。
在△ACB和△ACD中，分别由余弦定理得，（1）�（2）得2x�y=6，将y=2x�6代入（2）得，所以x=15，x=�9（舍去）。
所以。
故此人以v的速度至少还要走3h才能到达A城。