2014全国新课标1高考试卷数学(理)

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1一、选择题：(共12小题，每小题5分，共60分.)1.已知集合}22{},032{2<≤-=≥--=x x B x x x A ，则A B ⋂=（ ）.A .[]2,1--B .[)1,2-C .[]1,1-D .[)1,2 2.32(1)(1)i i +=-（ ）. A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）. A .()()f x g x 是偶函数 B .()()f x g x 是奇函数C .()()g x f x 是奇函数D .()()f x g x 是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）.A .3B .3C .3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ )A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）.7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（ ）.A .203 B . 72 C . 165 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ）.A .32παβ-=B . 32παβ+=C .22παβ-=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-， 2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是（ ）.A .2p ，3PB .1p ，2pC .1p ，4pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =（ ）.A .72B . 3C .52D .2 11.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围为（ ）.A .()2,+∞B .()1,+∞C .(),2-∞-D .(),1-∞-12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）.A .62B .6C .42D .4二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分.)13.8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 .（用数字填写答案） 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+ ，则AB 与AC的夹角为 .16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.（Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由.18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间()187.8,212.2的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .附：15012.2≈，若Z ～2(,)N μδ，则()0.6826P Z μδμδ-<<+=，(22)0.9544P Z μδμδ-<<+=.19.（本小题满分12分）如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. （Ⅰ）证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB BC =，求二面角111A A B C --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点.（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.21.（本小题满分12分）设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为(1)2y e x =-+.（Ⅰ）求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE = （Ⅰ）证明：D E ∠=∠；（Ⅱ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE ∆为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0,0a b >>，且11ab a b+=. （Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.参考答案一、选择题ADCAD CDCBB CB 二、填空题13. 20- 14. A 15. π216. 3三、解答题17.（1）证明：由题意得112111n n n n n n a a S a a S λλ++++=-⎧⎨=-⎩所以1211n n n n n a a a a a λ++++-= 又因为0n a ≠ 所以10n a +≠ 所以2n n a a λ+-=（2）解：假设存在λ，使得{}n a 为等差数列. 由（1）知121311a a a a a λλ=-⎧⎨-=⎩因为11a = 所以2311a a λλ=-⎧⎨=+⎩因为1322a a a += 所以()221λλ+=- 所以4λ=故24,n n a a +-=所以{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143;n a n -=-{}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，24 1.n a n =-所以121, 2.n n n a n a a +=--=因此存在4λ=，使得{}n a 为等差数列.18.解：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数1700.021800.091900.222000.33x =⨯+⨯+⨯+⨯ 2100.242200.082300.02+⨯+⨯+⨯ 200=()()()2222300.02200.09100.22s =-⨯+-⨯+-⨯ 22200.33100.24200.08300.02+⨯+⨯+⨯+⨯ 150=（2）（1）由（1）知，()~200,150Z ，从而()()187.8212.220012.220012.20.6826P Z P Z <<=-<<+=（2）由（1）知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6826 依题意知()~100,0.6826X B ，所以1000.682668.26EX =⨯=19.解：（1）连结1BC ，交1BC 于O ，连结AO .因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1BC 与1BC 的中点.又1B O CO =，故1AC AB =（2）因为1AC AB ⊥且O 为1BC 的中点，所以AO CO = 又因为AB BC =，所以BOA BOC ≅故OA OB ⊥，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直.以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -.因为160CBB ∠= ，所以1CBB 为等边三角形.又AB BC =，则30,0,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，130,,03B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，30,,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 1330,,33AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，1131,0,3A B AB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，1131,,03B C BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭设(),,n x y z =是平面11AA B 的法向量，11100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即33033303y z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩所以可取()1,3,3n =设m 是平面111A B C 的法向量，则111100m B C m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩同理可取()1,3,3m =-则1cos ,7n m n m n m ⋅==所以二面角111A A B C --的余弦值为17.20.解：（1）设(),0F c ，由条件知，2233c =，得3c = 又32c a =，所以2a =，222b ac =-1= 故E 的方程为2214x y +=. （2）依题意设直线l ：2y kx =-将2y kx =-代入2214x y +=得 ()221416120k x kx +-+=当()216430k ∆=->，即234k >时，21,22824341k k x k ±-=+从而2221224143141k k PQ k x x k +-=+-=+又点O 到直线PQ 的距离221d k =+，所以OPQ 的面积221443241OPQk S d PQ k -=⋅=+ 设243k t -=，则0t >，24444OPQ t S t t t==++ 因为44t t +≥，当且仅当2t =，即72k =±时等号成立，且满足0∆>所以当OPQ 的面积最大时，l 的方程为722y x =±-.21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()112ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--'=+-+, 由题意可得()12f =,()1f e '= 故1, 2.a b ==（2）由（1）知，()12ln xx f x e x e x -=+从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-. 设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+.所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<;当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0g x '>. 故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设函数()2xh x xe e-=-，则()()1x h x e x -'=-.所以当()0,1x ∈时，()0h x '>;当()1,x ∈+∞时，()0h x '<.故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x 在()0,+∞的最大值为()11h e=-. 综上，当0x >时，()()g x h x >,即()1f x >.23.（1）曲线C 的参数方程为2cos ()3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数 直线l 的普通方程为260x y +-=（2）在曲线C 上任意取一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为5d 4cos 3sin 65θθ=+- 则0255sin()6sin 305d PA θα==+-其中α为锐角。