北京市东城区2014届下学期高三年级一模考试数学试卷(理科 有答案)
2014东城高三一模数学理科
C北京市东城区2013-2014学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科） 第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，则A =R ð（A ）{|1x x <-，或2}x > （B ）{|1x x ≤-，或2}x ≥ （C ）{|12}x x -<< （D ）{|12}x x -≤≤ 2．复数i 1i=- （A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22-- 3．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移3π个单位长度 （B ）向右平移3π个单位长度 （C ）向左平移6π个单位长度 （D ）向右平移6π个单位长度 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则789a a a ++=（A ）27（B ）36 （C ）45（D ）635．在极坐标系中，点)4π到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（A）2 （B（C）2（D ）2 6．如图，在△ABC 中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则AD BC ⋅=（A ）3（B ）4（C ）5 （D ）不能确定7．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则双曲线的离心率为（A ）2 （B（C（DDCBA8．已知符号函数1,0,sgn()0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年北京市各区高三一模试题汇编理科解析几何
2014年北京市各区高三一模试题汇编—解析几何(理科)1 (2014年东城一模理科)若双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）．A ．2 BCD答案：C2 (2014年西城一模理科)若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =___8__；C 的准线方程为__4x =-___．3 (2014年西城一模理科) “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（A ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4 (2014年海淀一模理科)已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则（ B ）．A ．0a =B ．1a =C ．2a =D ．2a >5 (2014年海淀一模理科)已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m ____34___．6 (2014年朝阳一模理科) 直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且MN ON ≥+uuu r r uuu r，其中O 是坐标原点，则实数m的取值范围是（D ）A．(-UB．(⎡--⎣UC ．[2,2]-D．[-7 (2014年朝阳一模理科)双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b =2此双曲线的离心率为8 (2014年丰台一模理科)已知点F,B 分别为双曲线C:的焦点和虚22221(0,0)x y a b a b -=>>轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是___________.9 (2014年石景山一模理科)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（D ） A ．2B ．8C D ．410 (2014年石景山一模理科) 已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（A ）A B ．3C ．125D ．111 (2014年顺义一模理科)已知抛物线（）的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为.如果是边长为的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为____(1,0)_,点的横坐标__3_.12 (2014年延庆一模理科)设m 是常数，若点)5,0(F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m=___16___1． 13 (2014年东城一模理科) （本小题共13分）已知椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1,A ⎛ ⎝⎭和点()0,1B -． （1）求椭圆G 的方程；（2）设过点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆G 交于,M N 两点，且||||BM BN =，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）因为椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1A ⎛ ⎝⎭和点()01B -，．所以1b =，由22111a ⎝⎭+=，得23a =． 所以椭圆G 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，且0k ≠．设直线l 的方程为32y kx =+．由22133.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并整理得22153034k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，由2219503k k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭△，2512k >．设()11M x y ，，()22N x y ，，MN 中点为()22Q x y ，， 得12229262x x k x k +==-+，12623262y y y k +==+． 由BM BN =，知BQ MN ⊥，所以6611y x k +=-，即2231162962k k k k ++=--+． 化简得223k =，满足0>△．所以k = 因此直线l的方程为32y =+． 14 (2014年西城一模理科)（本小题满分14分）已知椭圆2212x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1(0,)2D . …………… 1分则线段CD 的中点11(,)24，||CD ==， ………… 3分 即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为1||2CD =， 所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. …………… 5分（Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则 (,0)mC k-，(0,)D m ， ……… 6分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>， （*） …… 8分由韦达定理，得122412kmx x k -+=+, 21222212m x x k -=+. ………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k m k-+==+-， …………10分解得2k =±. …………… 11分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =.12|x x -= ………… 12分 即12||3||m x x k-==， 解得m =.……… 13分 验证知（*）成立.所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为y x =，或y x =. ……………… 14分 15 (2014年海淀一模理科)（本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0)．（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长； （Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形． 解：（Ⅰ）设00(,)A x y ，00(,)-B x y ，————————————————1分因为∆ABM为等边三角形，所以00|||1|=-y x ．————————2分 又点00(,)A x y 在椭圆上，所以002200||1|,239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去0y ，———————————3分 得到2003280--=x x ，解得02=x 或043=-x ，—————————4分 当02=x时，||=AB 当043=-x时，||=AB ．———————————————————5分 {说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB 斜率存在．设直线AB ：=+y kx m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)N x y ，联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ，————6分由0∆>得到222960--<m k ①————————————7分 所以122623+=-+km x x k ，121224()223+=++=+my y k x x m k ，——————8分 所以2232(,)2323-++km mN k k，又(1,0)M 如果∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ，————————————9分所以1MN k k ⨯=-，即2222313123mk k km k+⨯=---+，—————————————10分 化简2320k km ++=，②—————————————11分由②得232k m k+=-，代入①得2222(32)23(32)0k k k +-+<，化简得2340+<k ，不成立，————————————————13分{此步化简成42291880k k k++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故∆ABM 不能为等边三角形．——————————14分法2：设11(,)A x y ，则2211239x y +=，且1[3,3]x ∈-，所以||MA ==———8分 设22(,)B x y，同理可得||MB =2[3,3]x ∈-———————9分 因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调 所以，有12x x =⇔||||MA MB =，————————————11分 因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠．所以||||MA MB ≠，————————————————13分所以∆ABM 不可能为等边三角形．———————————————14分16 (2014年朝阳一模理科)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=．………………………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=u u u r u u u r恒成立． 又因为1012(,)2y PN x x =-uuu r ，2022(,)2y QN x x =-uuu r ， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----uuu r uuu r 恒成立．又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++22414k k =+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k -=+， 所以222221200021212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x = 故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(．………………………… 14分 17 (2014年丰台一模理科) 已知椭圆E:的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆E 于A,B 两点，线段AB的中点为M,直线：交椭圆E 于C,D 两点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：点M 在直线上；（Ⅲ）是否存在实数k,使得三角形BDM 的面积是三角形ACM 的3倍？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）由题意可知，，于是. 所以，椭圆的标准方程为程.------ ---------3分（Ⅱ）设，，，22221(0)x y a b a b +=>>(F k l 40x ky +=l c e a ==c =2,1a b ==2214x y +=11(,)A x y 22(,)B x y 00(,)M xy即.所以，，，， 于是.，所以在直线上----8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等，若∆BDM 的面积是∆ACM 面积的3倍，则|DM|=3|CM|，因为|OD|=|OC|，于是M 为OC 中点，；设点C 的坐标为，则.因为，解得. 于是，解得，所以.----------------14分 18 (2014年石景山一模理科) 给定椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>，称圆心在原点O ，半C的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，． （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值． 解：（Ⅰ）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=，………………………………2分准圆方程为224x y +=．………………………………3分22(14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2222(41)1240k x x k +++-=12x x +=1202x x x +==00(y k x =+=M ∴40k +=M l 33(,)x y 302y y =22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩3y =2|41k k =+218k =4k =±（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=． 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，………………………………6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，．………………………………7分 ，12l l ∴⊥．………………………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l：x =1l：x =与准圆交于点1)1)-， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l：x =12l l ，垂直．………………………………10分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=． 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=． 由0∆=化简整理得2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=．设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直．………………………………12分 综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直． 121l l k k ⋅=-1l所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值．………………………………14分 19 (2014年顺义一模理科)已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由已知————2分，椭圆的方程为；————4分，即————10分，对满足恒成立，，故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过定点.——14分20 (2014年延庆一模理科) 已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线4:=x l 分别交于N M ,两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值．解：（Ⅰ）．椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………3分（Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0>k ，故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ，………………4分 从而)6,4(k M ………………5分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得041616)41(2222=-+++k x k x k ，………………7分 设),(11y x S ，则22141416)2(k k x +-=⨯-，得2214182k k x +-=，………………8分 从而21414k k y +=，即)414,4182(222kkk k S ++-，………………9分 又)0,2(B ，故直线BS 的方程为)2(41--=x ky ………………10分 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=4)2(41x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 214∴)21,4(k N -，………………11分 故kk MN 216||+=，………………12分 又∵0>k ，∴322162216||=⨯≥+=kk k k MN ，………………13分 当且仅当k k 216=，即63=k 时等号成立， ∴63=k 时，线段MN 的长度取得最小值为32．……………………14分。
2014年北京市东城区高考数学一模试卷(理科)
2014年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.设集合A={x|1＜2x＜16}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩(∁R B)=( )A.(1，4)B.(3，4)C.(1，3)D.(1，2)【答案】B【解析】试题分析：通过解不等式分别求得集合A、B，再求出集合B的补集，然后进行交集运算可答案．解：解1＜2x＜16得0＜x＜4，∴A=(0，4)；解x2-2x-3≤0得-1≤x≤3，∴B=[-1，3]，∴C R B=(-∞，-1)∪(3，+∞)；∴A∩(C R B)=(3，4)．故选：B．2.已知i是虚数单位，则=()A.1-2iB.2-iC.2+iD.1+2i【答案】D【解析】试题分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案解：故选：D .3.设a∈R，则“a=-2”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当a=-2时，两直线方程分别为l1：-2x+2y-1=0与直线l2：x-y+4=0满足，两直线平行，充分性成立．当a=1时，满足直线l1：x+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0平行，∴必要性不成立，∴“a=-2”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件，故选：A．4.函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为()A. B. C.0 D.【答案】B【解析】试题分析：利用函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换可得函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解：令y=f(x)=sin(2x+φ)，则f(x+)=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ)，∵f(x+)为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选：B．5.设，是两个非零向量()A.若|+|=||-||，则⊥B.若⊥，则|+|=||-||C.若|+|=||-||，则存在实数λ，使得=λD.若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||-||【答案】C【解析】试题分析：通过向量特例，判断A的正误；利用向量的垂直判断矩形的对角线长度相等，判断B的正误；通过特例直接判断向量共线，判断正误；通过反例直接判断结果不正确即可．解：对于A，，，显然|+|=||-||，但是与不垂直，而是共线，所以A不正确；对于B，若⊥，则|+|=|-|，矩形的对角线长度相等，所以|+|=| |-||不正确；对于C，若|+|=||-||，则存在实数λ，使得=λ，例如，，显然=，所以正确．对于D，若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||-||，例如，显然=，但是|+|=||-||，不正确．故选：C．6.某几何体中的一条线段长为，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b 的最大值为()A. B. C.4 D.【答案】C【解析】试题分析：设棱长最长的线段是长方体的对角线，由题意所成长方体的三度，求出三度与面对角线的关系，利用基本不等式即可求出a+b的最大值解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．如图设长方体的长宽高分别为m，n，k，由题意得，⇒n=1，所以(a2-1)+(b2-1)=6⇒a2+b2=8，∴(a+b)2=a2+2ab+b2=8+2ab≤8+a2+b2=16⇒a+b≤4当且仅当a=b=2时取等号．故选：C．7.抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．解：由，得x2=2py(p＞0)，所以抛物线的焦点坐标为F()．由，得，．所以双曲线的右焦点为(2，0)．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M()，则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得，代入M点得M()把M点代入①得：．解得p=．故选：D．8.设a＞0，b＞0()A.若2a+2a=2b+3b，则a＞bB.若2a+2a=2b+3b，则a＜bC.若2a-2a=2b-3b，则a＞bD.若2a-2a=2b-3b，则a＜b【答案】A【解析】试题分析：对于2a+2a=2b+3b，若a≤b成立，经分析可排除B；对于2a-2a=2b-3b，若a≥b成立，经分析可排除C，D，从而可得答案．解：∵a≤b时，2a+2a≤2b+2b＜2b+3b，∴若2a+2a=2b+3b，则a＞b，故A正确，B错误；对于2a-2a=2b-3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a≥b，而不是a＞b排除C，也不是a＜b，排除D．故选：A．二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)9.记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．则a10= ．【答案】10【解析】试题分析：由已知条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．等差数列{a n}的前n项和为S n，解：∵a2+a4=6，S4=10，设公差为d，∴，解得a1=1，d=1，∴a10=1+9=10．故答案为：10．10.如图，PA与圆O相切于A，不过圆心O的割线PCB与直径AE相交于D点．已知∠BPA=30，AD=2，PC=1，则圆O的半径等于．【答案】7【解析】试题分析：由切线性质和勾股定理求出PA=2，由切割线定理求出PB=12，由相交弦定理求出AE=14，由此能求出圆O的半径等于7．解：∵PA与圆O相切于A，不过圆心O的割线PCB与直径AE相交于D点．∠BPA=30，AD=2，PC=1，∴∠PAD=90°，∴PO=4，PA==2，由切割线定理知(2)2=1×PB，解得PB=12，∴OC=3，BD=8，由相交弦定理知OC•BD=AD•DE，∴3×8=2DE，解得DE=12，∴AE=AD+DE=12+2=14，∴圆O的半径等于7．故答案为：7．11.若函数f(x)=kx-e x有零点，则k的取值范围为．【答案】k＞e或k＜0【解析】试题分析：原题等价于函数g(x)=，(x≠0)的值域，求导函数可得函数的单调性，可得值域，可得答案．解：当x=0时，可得f(0)=-1，故x=0不是函数的零点；当x≠0时，由函数f(x)=kx-e x有零点可得kx=e x有解，即k=，故k的取值范围为函数g(x)=，(x≠0)的值域，∵y′==，令y′＜0可得x＜1，故函数g(x)在(-∞，0)上单调递减，(0，1)上单调递减，(1，+∞)上单调递增，故当x＜0时，函数值g(x)＜0，当x＞0时，g(1)为函数的最小值，且g(1)=e，故g(x)＞e，综上可得g(x)的取值范围为g(x)＜0或g(x)＞e，故k的取值范围为：k＜0或k＞e．故答案为：k＞e或k＜0．12.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为．【答案】【解析】试题分析：化圆的方程为x2+y2-6x-8y=0为标准方程，求出圆心和半径，然后解出AC、BD，可求四边形ABCD的面积．解：圆的方程为x2+y2-6x-8y=0化为(x-3)2+(y-4)2=25．圆心坐标(3，4)，半径是5．最长弦AC是直径，最短弦BD的中点是E．S ABCD=故答案为：13.已知(1+x+x2)(x+)n的展开式中没有常数项，n∈N*，且2≤n≤7，则n= ．【答案】5【解析】试题分析：要想使已知展开式中没有常数项，需(x+)n(n∈N+)的展开式中无常数项、x-1项、x-2项，利用(x+)n的通项公式讨论即可．解：设(x+)n的通项公式为T r+1，则T r+1=•x n-4r，2≤n≤7，当n=2时，若r=1，(1+x+x2)(x+)n(n∈N+)的展开式中有常数项，故n≠2；当n=3时，若r=1，(1+x+x2)(x+)n(n∈N+)的展开式中有常数项，故n≠3；当n=4时，若r=1，(1+x+x2)(x+)n(n∈N+)的展开式中有常数项，故n≠4；当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，(1+x+x2)(x+)n(n∈N+)的展开式中都没有常数项，故n=5满足题意；当n=6时，若r=2，(1+x+x2)(x+)n(n∈N+)的展开式中有常数项，故n≠6；当n=7时，若r=2，(1+x+x2)(x+)n(n∈N+)的展开式中有常数项，故n≠7．综上所述，n=5时，满足题意．故答案为：5．14.设a∈R，若x＞0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，则a= ．【答案】【解析】试题分析：分类讨论，(1)a=1；(2)a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．解：(1)a=1时，代入题中不等式明显不成立．(2)a≠1，构造函数y1=(a-1)x-1，y2=x2-ax-1，它们都过定点P(0，-1)．考查函数y1=(a-1)x-1：令y=0，得M(，0)，∴a＞1；考查函数y2=x2-ax-1，显然过点M(，0)，代入得：，解之得：a=，或a=0(舍去)．故答案为：三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)15.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．( I)求的值；(II)求tan(A-B)的最大值．【答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，，由正弦定理得即sin A cos B=4cos A sin B，则；(Ⅱ)由得tan A=4tan B＞0当且仅当时，等号成立，故当时，tan(A-B)的最大值为．【解析】试题分析：(1)由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sin A cos B=4cos A sin B，再利用弦化切的方法即可求的值．(2)由(1)的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tan A=4tan B＞0，则tan(A-B)可化为，再结合基本不等式即可得到tan(A-B)的最大值．16.某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数；(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(Ⅲ)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的数学期望．【答案】解：(I)因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．(II)因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率(III)ξ的可能取值为0，1，2，3，，，故Eξ==．【解析】试题分析：(I)这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．(II)在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．(III)求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．17.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．(Ⅰ)求证：平面ABM⊥平面PCD；(Ⅱ)求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；(Ⅲ)求点N到平面ACM的距离．【答案】(Ⅰ)证明：依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC．又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，AM⊥PD，又PA=AD，则M是PD的中点可得AM=2，MC==2则=2，设D到平面ACM的距离为h，由V D-ACM=V M-ACD即2h=8，可求得h=，设所求角为θ，则sinθ==．(Ⅲ)可求得PC=6，因为AN⊥NC，由，得PN，所以NC：PC=5：9，故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的．又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由(Ⅱ)可知所求距离为．【解析】试题分析：(Ⅰ)要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；(Ⅱ)先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h，即可求直线PC与平面ABM所成的角；(Ⅲ)先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h，再利用第二问的结论即可得到答案．18.已知函数，其中a＞0．(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．【答案】解：(1)′，∵f′(x)在x=1处取得极值，f′(1)=0即a+a-2=0，解得a=1(2)′，∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0①当a≥2时，在区间(0，+∞)上f′(x)＞0．∴f(x)的单调增区间为(0，+∞)②当0＜a＜2时，由f′(x)＞0解得由′解得∴f(x)的单调减区间为，单调增区间为∞(3)当a≥2时，由(II)知，f(x)的最小值为f(0)=1当0＜a＜2时，由(II)②知，在处取得最小值，综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞)【解析】试题分析：(1)对函数求导，令f′(1)=0，即可解出a值．(2)f′(x)＞0，对a的取值范围进行讨论，分类解出单调区间．a≥2时，在区间(0，+∞)上是增函数，(3)由(2)的结论根据单调性确定出最小值，当a≥2时，由(II)知，f(x)的最小值为f(0)=1，恒成立；当0＜a＜2时，判断知最小值小于1，此时a无解．当0＜a＜2时，(x)的单调减区间为，单调增区间为∞19.椭圆C：+=1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【答案】解：(Ⅰ)∵左焦点(-c，0)到点P(2，1)的距离为，∴，解得c=1．又，解得a=2，∴b2=a2-c2=3．∴所求椭圆C的方程为：．(II)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0，△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)＞0，化为3+4k2＞m2．∴，．y1y2=(kx1+m)(kx2+m)==．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，k AD•k BD=-1，∴，∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0，∴．化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=-2k，．，且满足3+4k2-m2＞0．当m=-2k时，l：y=k(x-2)，直线过定点(2，0)与已知矛盾；当m=-时，l：y=k，直线过定点．综上可知，直线l过定点，定点坐标为．【解析】试题分析：(I)利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；(II)把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得k AD•k BD=-1，即可得出m与k的关系，从而得出答案．20.在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列(n∈N*)．(Ⅰ)求a2，a3，a4和b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)证明你的结论；(Ⅲ)证明：++…+＜．【答案】(Ⅰ)解：由已知得2b n=a n+a n+1，a n+12=b n•b n+1．又a1=2，b1=4，由此可得a2=6，a3=12，a4=20，b2=9，b3=16，b4=25．猜测a n=n(n+1)，b n(n+1)2．(Ⅱ)用数学归纳法证明：①当n=1时，由(Ⅰ)可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即a k=k(k+1)，b k=(k+1)2．那么当n=k+1时，a k+1=2b k-a k=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2)，b k+1==(k+2)2．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②可知a n=n(n+1)，b n=(n+1)2对一切正整数都成立．(Ⅲ)证明：=＜．n≥2时，由(Ⅰ)知a n+b n=(n+1)(2n+1)＞2(n+1)n．故++…+＜+[++…+]=+(-+-+…+-)=+(-)＜+=．【解析】试题分析：(Ⅰ)由a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列得关系式2b n=a n+a n+1，a n+12=b n•b n+1把a1=2，b1=4循环代入上面两个式子可求a2，a3，a4和b2，b3，b4，并由此猜测出{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)利用数学归纳法加以证明；(Ⅲ)当n=1时直接验证，当n大于等于2时放缩后利用裂项相消法证明．。
2014年北京市东城区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≥0}，则∁R A＝（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2}B．{x|x≤﹣1，或x≥2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣1≤x≤2}2．（5分）复数＝（）A．B．C．D．3．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝30，则a7+a8+a9＝（）A．27B．36C．42D．635．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0的距离等于（）A．B．C．D．26．（5分）如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝3，D是BC的中点，则＝（）A．3B．4C．5D．不能确定7．（5分）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，则函数f（x）＝sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（x﹣）6的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）10．（5分）如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使AB＝2BC，且BC＝2，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，则CD＝，∠DAB＝．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点P（x，y），则x+y＜3的概率为．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．当＜0时，f（x）＝x2﹣6，则x＞0时，f（x）的解析式为；不等式f（x）＜x的解集为．13．（5分）某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有种．（用数字作答）14．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC＝DC＝AB＝AD＝，BD＝2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP＝CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，＝．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）如果b＝2，求△ABC面积的最大值．16．（13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，AB＝P A＝1，AD＝，F是PB中点，E为BC上一点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；（Ⅱ）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°．18．（13分）已知函数f（x）＝ax2﹣4ln（x﹣1），a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）已知点P（1，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．19．（13分）已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．（1）求椭圆G的方程；（2）设过点P（0，）的直线l与椭圆G交于M，N两点，且|BM|＝|BN|，求直线l的方程．20．（14分）已知集合{1，2，3，4，…，n}（n≥3），若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T子集，记T子集的个数为a n．（1）当n＝5时，写出所有T子集；（2）求a10；（3）记S n＝+++…+，求证：S n＜2．2014年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≥0}，则∁R A＝（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2}B．{x|x≤﹣1，或x≥2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣1≤x≤2}【解答】解：由A中不等式解得：x≤﹣1或x≥2，∴A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，则∁R A＝{x|﹣1＜x＜2}，故选：C．2．（5分）复数＝（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝＝﹣．故选：C．3．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣）的图象，故选：D．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝30，则a7+a8+a9＝（）A．27B．36C．42D．63【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则S3＝3a1+3d＝9，S5＝5a1+10d＝30，联立解得a1＝0，d＝3，∴S n＝na1+d＝，∴a7+a8+a9＝S9﹣S6＝108﹣45＝63，故选：D．5．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0的距离等于（）A．B．C．D．2【解答】解：点A（，）的直角坐标为（1，1），直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0的直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0，利用点到直线的距离公式可得，点A（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0的距离为，故选：A．6．（5分）如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝3，D是BC的中点，则＝（）A．3B．4C．5D．不能确定【解答】解：∵D是BC边的中点，∴，由向量的运算法则可得＝，∴＝•＝＝（32﹣12）＝4．故选：B．7．（5分）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0．根据圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，可得，1＝，∴＝，，可得e＝．故此双曲线的离心率为：．故选：D．8．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，则函数f（x）＝sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：令sgn（lnx）﹣ln2x＝0得，当lnx＞0，即x＞1时，1﹣ln2x＝0，解得，x＝e；当lnx＜0，即x＜1时，﹣1﹣ln2x＝0，无解；当lnx＝0，即x＝1时，成立；故方程sgn（lnx）﹣ln2x＝0有两个根，故函数f（x）＝sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为2；故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（x﹣）6的二项展开式中的常数项为﹣20．（用数字作答）【解答】解：（x﹣）6的二项展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6的二项展开式中的常数项为＝20，故答案为：﹣20．10．（5分）如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使AB＝2BC，且BC＝2，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，则CD＝2，∠DAB＝．【解答】解：连结OD，DB，则OD⊥CD．由切割线定理得CD2＝CB•AC＝12，∴CD＝2，∵OB＝2，BC＝2，∴OC＝4，∴cos∠OCD＝＝，∴∠OCD＝，故∠DAB＝．故答案为：2，．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点P（x，y），则x+y＜3的概率为．【解答】解：由题意，本题是几何概型，区域D的面积为2×2＝4，满足x+y ＜3的P的区域如图阴影部分，其面积为2×2﹣＝，所以满足x+y＜3的概率为；故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．当＜0时，f（x）＝x2﹣6，则x＞0时，f（x）的解析式为﹣x2+6；不等式f（x）＜x的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0由于x＜0时，f（x）＝x2﹣6，所以：f（﹣x）＝（﹣x）2﹣6由于函数f（x）是定义在R上的奇函数．所以：﹣f（x）＝x2﹣6解得：f（x）＝﹣x2+6所以：则：①当x＜0时，x2﹣6＜x整理得：（x+2）（x﹣3）＜0，解得：﹣2＜x＜3所以：﹣2＜x＜0．②当x＞0时，﹣x2+6＜x整理得：（x+3）（x﹣2）＞0解得：x＞2或x＜﹣3所以：x＞2综合①②得：不等式的解集为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故答案为：①﹣x2+6②（﹣2，0）∪（2，+∞）13．（5分）某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有24种．（用数字作答）【解答】解：由题意，利用捆绑法，共有＝24种不同的分配方法．故答案为：24．14．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC＝DC＝AB＝AD＝，BD＝2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP＝CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．【解答】解：设AP＝x，∵O为BD中点，AD＝AB＝，∴AO⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AO⊥平面BCD．∴PO是三棱锥P﹣QCO的高．AO＝＝1．∴OP＝1﹣x，（0＜x＜1）．在△BCO中，BC＝，OB＝1，∴OC＝＝1，∠OCB＝45°．＝＝＝．∴S△OCQ＝＝∴V三棱锥P﹣OCQ＝＝．当且仅当x＝时取等号．∴三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．故答案为：．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，＝．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）如果b＝2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵＝∴由正弦定理知：＝＝∴sin B＝cos B，即有tan B＝∵0＜B＜π∴B＝．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）知，sin B＝，a＝sin A，A＝＝ab sin C＝sin（）×2×sin C＝sin（）×sin C ∴S△ABC＝sin2C+cos2C+＝sin（2C+）+≤．∴△ABC面积的最大值为．16．（13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2＝1，解得a＝0.0375，因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.0375×2＝3（人）．（2）乙班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.05×2＝4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间（10，12]的人数为3人，在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以随机变量ξ的分布列为：．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，AB＝P A＝1，AD＝，F是PB中点，E为BC上一点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；（Ⅱ）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°．【解答】解：（Ⅰ）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝P A＝1，AD＝，F是PB中点，∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（，1，0），，，F（0，，），＝（0，，），∵＝0，，∴AF⊥PB，AF⊥PC，∴AF⊥平面PBC．（Ⅱ）设BE＝a，∴E（a，1，0），，，设平面PDE的法向量，则，取x＝1，得＝（1，，），平面PCE的法向量为，∵二面角C﹣PE﹣D为45°，∴cos＜＞＝＝，解得a＝，∴当BE＝时，二面角C﹣PE﹣D为45°．AF⊥平面PBC．18．（13分）已知函数f（x）＝ax2﹣4ln（x﹣1），a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）已知点P（1，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣4ln（x﹣1），x∈（1，+∞），∴f（x）＝2x﹣＝＝，令f′（x）＝0，解得：x＝2，∴a＝1时，f（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．（2）∵对任意m∈[2，e+1]，直线PM的倾斜角都是钝角，∴对任意m∈[2，e+1]，直线PM的斜率小于0，即＜0，f（m）＜1，即f（x）在区间[2，e+1]上的最大值小于1，f′（x）＝，x∈（1，+∞），令g（x）＝ax2﹣ax﹣2①当a＝0时，f（x）＝﹣4ln（x﹣1）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max＝f（2）＝0＜1，显然成立，∴a＝0．②当a＜0时，二次函数g（x）的图象开口向下，且g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣2，∀x∈（1，+∞），g（x）＜0，故f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，故f（x）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max＝f（2）＝4a＜0，显然成立，∴a＜0．（3）当a＞0时，二次函数g（x）的图象开口向上，且g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣2．所以∃x0∈（1，+∞），当x∈（1，x0）时，g（x）＜0．当x∈（x0，+∞）时，g （x）＞0；所以f（x）在区间（1，+∞）内先递减再递增．故f（x）在区间[2，e+1]上的最大值只能是f（2）或f（e+1）．∴，即：，∴0＜a＜．综上：a＜．19．（13分）已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．（1）求椭圆G的方程；（2）设过点P（0，）的直线l与椭圆G交于M，N两点，且|BM|＝|BN|，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆G：+＝1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．∴b＝1，由，得a2＝3．∴椭圆G的方程为．…（4分）（2）由题意知直线l的斜率k存在，且k≠0．设直线l的方程为y＝kx+．由，消去y并整理得（k2+）x2+3kx+＝0，…（5分）由，…（7分）设，MN中点为Q（x 0，y0），得，，…（8分）由|BM|＝|BN|，知BQ⊥MN，∴，即．化简得，满足△＞0．∴k＝，…（12分）∴直线l的方程为y＝．…（14分）20．（14分）已知集合{1，2，3，4，…，n}（n≥3），若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T子集，记T子集的个数为a n．（1）当n＝5时，写出所有T子集；（2）求a10；（3）记S n＝+++…+，求证：S n＜2．【解答】解：（Ⅰ）当n＝5时，所有T子集：{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，4}，{2，5}，{3，5}，{1，3，5}．（Ⅱ）{1，2，3，4，…，k，k+1，k+2}的T子集可分为两类：第一类子集中不含有k+2，这类子集有a k+1个；第二类子集中含有k+2，这类子集成为{1，2，3，4，…，k}的T子集与{k+2}的并，或为{1，2，3，4，…，k}的单元素子集与{k+2}的并，共有a k+k个．所以a k+2＝a k+1+a k+k．因为a3＝1，a4＝3，所以a5＝7，a6＝14，a7＝26，a8＝46，a9＝79，a10＝133．（Ⅲ）∵，①＝，②①﹣②，得：﹣＝﹣＝＝﹣＝﹣﹣＜＜，∴S n＜2．。
北京市东城区普通校2014届高三3月联考(零模)理
北京市东城区普通校2014届高三3月联考（零模）数学（理科）本试卷共150分，考试用长120分钟。
第一部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合(){}ln 1A x y x ==-,集合{}2B y y x ==,则A B = A.[)0,1 B. []0,1 C . (],1-∞ D.(),1-∞2. 函数2()log f x x =与11()()2x g x +=在同一直角坐标系中的图象是A B C D 3. 已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象A. 关于点(,0)4π对称B. 关于直线8x π=对称 C . 关于点(,0)8π对称D. 关于直线4x π=对称 4. 若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是A.3B.13C. 3-D. 13-5. 某程序框图如图所示,若输出的S=57，则判断框内为 A. 6>k B. 5>k C. 4>k D. 3>k6. 设a ∈R ，函数32()(3)f x x ax a x =++-的导函数是()f x '，若()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为A.3y x =-B. 2y x =-C. 3y x =D. 2y x =7. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为 A.71 B.61 C.51 D.418. 从一个三棱柱的6个顶点中任取4个做为顶点，能构成三棱锥的个数设为m ；过三棱柱任意两个顶点的直线(15条)中，其中能构成异面直线有n 对，则m n ，的取值分别为 A. 15，45 B. 10, 30 C. 12, 36 D. 12 , 48第二部分二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分,把答案填在题中横线上。
北京市东城区2014届高三下学期综合练习(一)理科数学试卷(带解析)
北京市东城区2014届高三下学期综合练习（一）理科数学试卷（带解析）1）．AC【答案】C 【解析】C正确。
考点：1一元二次不等式；2集合的运算。
2）．AC【答案】C【解析】C正确。
考点：复数的运算。
3）．ABC D【答案】D【解析】试题分析：D正确。
考点：三角函数伸缩平移变换。
4）．A．27 B．36 C．42 D．63【答案】D【解析】故D正确。
考点：1等差数列的通项公式；23等差中项。
5）．A．2【答案】A【解析】A正确。
考点：1直角坐标和极坐标间的互化；2点到线的距离公式。
6）．A．3 B．4 C．5 D．不能确定【答案】B【解析】B正确。
考点：平面向量的加减法。
7率为（）．A．2 B【答案】C【解析】1。
依题意可因为，所。
所以C正确。
考点：1双曲线的简单几何性质；2点到线的距离；3直线和圆的位置关系。
8）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】2个。
故B正确。
考点：1函数解析式；2函数零点问题。
9的解析式为______________．(2+∞，【解析】，所以()f x -()2,+∞。
考点：1函数的奇偶性；2一元二次不等式；3分类讨论思想。
10________．（用数字作答）【解析】考点：二项式定理。
11．【解析】考点：直角三角形和等边三角形的简单性质。
12________．【解析】 试题分析：平面区域D表示的区域为区域D考点：1不等式表示平面区域；2几何概型概率。
13．某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）【答案】24 【解析】试题分析：此问题相当于将4分配方法共有24种。
考点：排列组合。
14________．【解析】试题分析：由面面垂直的性质定理可得D。
因为，即Q，所以为直角三角形，则，令，则2考点：1面面垂直的性质定理；2棱锥的体积；3基本不等式。
北京市东城区普通校2014届高三12月联考数学(理)试题-含答案
东城区普通校2013-2014学年第一学期联考试卷高三 数学（理科）命题校：65中 2013年12月本试卷共 10 页， 150 分，考试用长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
选出符合题目要求的一项填在机读卡上。
1. 已知集合{}30R <<∈=x x A ，{}4R 2≥∈=x x B ，则=B A ( ) （A ）{}32<<x x （B ）{}32<≤x x （C ）{}322<≤-≤x x x 或 （D ） R 2. 在复平面内，复数i(i 1)-对应的点在( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3. 等差数列}{n a 中，42a =，则7S 等于( ) （A ）28（B ）14（C ）3.5（D ）74. 已知α，β为不重合的两个平面，直线α⊂m ，那么“β⊥m ”是“βα⊥”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5. 若向量a ，b 满足1=a ，b ，且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角为( )（A ）2π （B ）23π （C ）34π （D ）56π 6. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A ）8（B ）83 （C ）4（D ）437. 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 ( )（A ） 22(1)(1)2x y +++= （B ）22(1)(1)4x y +++=（C ）22(1)(1)2x y -++= （D ）22(1)(1)4x y -++= 8. 已知函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>m ，对任意x ∈R ，有|()|||f x m x <，则称)(x f 为F 函数．给出下列函数：①2)(x x f =；②x x x f cos sin )(+=；③1)(2++=x x xx f ；④)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数21,x x 均有 21212)()(x x x f x f -≤-．其中是F 函数的序号为 ( )（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2014北京市东城区高三(一模)数 学(理)
2014北京市东城区高三（一模）数学（理）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≥0}，则∁R A=（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2} B．{x|x≤﹣1，或x≥2} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|﹣1≤x≤2}2．（5分）复数=（）A．B．C． D．3．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S5=30，则a7+a8+a9=（）A．27 B．36 C．42 D．635．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（）A．B．C．D．26．（5分）如图，在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则=（）A．3 B．4 C．5 D．不能确定7．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．8．（5分）已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（x﹣）6的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）10．（5分）如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使AB=2BC，且BC=2，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，则CD= ，∠DAB= ．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点P（x，y），则x+y＜3的概率为．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．当＜0时，f（x）=x2﹣6，则x＞0时，f（x）的解析式为；不等式f（x）＜x的解集为．13．（5分）某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有种．（用数字作答）14．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC=DC=AB=AD=，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，=．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）如果b=2，求△ABC面积的最大值．16．（13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=1，AD=，F是PB中点，E 为BC上一点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；（Ⅱ）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°．18．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣4ln（x﹣1），a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）已知点P（1，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．19．（13分）已知椭圆G：+=1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．（1）求椭圆G的方程；（2）设过点P（0，）的直线l与椭圆G交于M，N两点，且|BM|=|BN|，求直线l的方程．20．（14分）已知集合{1，2，3，4，…，n}（n≥3），若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T子集，记T子集的个数为a n．（1）当n=5时，写出所有T子集；（2）求a10；（3）记S n=+++…+，求证：S n＜2．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】由A中不等式解得：x≤﹣1或x≥2，∴A={x|x≤﹣1或x≥2}，则∁R A={x|﹣1＜x＜2}，故选：C．2．【解答】===﹣．故选：C．3．【解答】把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．4．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，则S3=3a1+3d=9，S5=5a1+10d=30，联立解得a1=0，d=3，∴S n=na1+d=，∴a7+a8+a9=S9﹣S6=108﹣45=63，故选：D．5．【解答】点A（，）的直角坐标为（1，1），直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的直角坐标方程为 x﹣y﹣1=0，利用点到直线的距离公式可得，点A（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离为，故选：A．6．【解答】∵D是BC边的中点，∴，由向量的运算法则可得=，∴=•==（32﹣12）=4．故选：B．7．【解答】双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，圆（x﹣2）2+y2=1的圆心为（2，0），半径为1，则由圆心到直线的距离为1，可得=1，解得a=b，c===a，则有e==．故选C．8．【解答】令sgn（lnx）﹣ln2x=0得，当lnx＞0，即x＞1时，1﹣ln2x=0，解得，x=e；当lnx＜0，即x＜1时，﹣1﹣ln2x=0，无解；当lnx=0，即x=1时，成立；故方程sgn（lnx）﹣ln2x=0有两个根，故函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为2；故选B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】（x﹣）6的二项展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r=0，求得r=3，可得（x﹣）6的二项展开式中的常数项为=20，故答案为：﹣20．10．【解答】连结OD，DB，则OD⊥CD．由切割线定理得CD2=CB•AC=12，∴CD=2，∵OB=2，BC=2，∴OC=4，∴cos∠OCD==，∴∠OCD=，故∠DAB=．故答案为：2，．11．【解答】由题意，本题是几何概型，区域D 的面积为2×2=4，满足x+y＜3的P的区域如图阴影部分，其面积为2×2﹣=，所以满足x+y＜3的概率为；故答案为：．12．【解答】当x＞0时，﹣x＜0由于x＜0时，f（x）=x2﹣6，所以：f（﹣x）=（﹣x）2﹣6由于函数f（x）是定义在R上的奇函数．所以：﹣f（x）=x2﹣6解得：f（x）=﹣x2+6所以：则：①当x＜0时，x2﹣6＜x整理得：（x+2）（x﹣3）＜0，解得：﹣2＜x＜3所以：﹣2＜x＜0．②当x＞0时，﹣x2+6＜x整理得：（x+3）（x﹣2）＞0解得：x＞2或x＜﹣3所以：x＞2综合①②得：不等式的解集为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故答案为：①﹣x2+6②（﹣2，0）∪（2，+∞）13．【解答】由题意，利用捆绑法，共有=24种不同的分配方法．故答案为：24．14．【解答】设AP=x，∵O为BD中点，AD=AB=，∴AO⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴AO⊥平面BCD．∴PO是三棱锥P﹣QCO的高．AO==1．∴OP=1﹣x，（0＜x＜1）．在△BCO中，BC=，OB=1，∴OC==1，∠OCB=45°．∴S△OCQ===．∴V三棱锥P﹣OCQ====．当且仅当x=时取等号．∴三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．故答案为：．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）∵=∴由正弦定理知：==∴sinB=cosB，即有 tanB=∵0＜B＜π∴B=．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）知，sinB=，a=sinA，A=∴S△ABC=absinC=sin（）×2×sinC=sin（）×sinC=sin2C+cos2C+=sin（2C+）+≤．∴△ABC面积的最大值为．16．【解答】（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，解得a=0.0375，因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．（2）乙班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间（10，12]的人数为3人，在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以随机变量ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P．17．【解答】（Ⅰ）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=PA=1，AD=，F是PB中点，∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（，1，0），，，F（0，，），=（0，，），∵=0，，∴AF⊥PB，AF⊥PC，∴AF⊥平面PBC．（Ⅱ）设BE=a，∴E（a，1，0），，，设平面PDE的法向量，则，取x=1，得=（1，，），平面PCE的法向量为，∵二面角C﹣PE﹣D为45°，∴cos＜＞==，解得a=，∴当BE=时，二面角C﹣PE﹣D为45°．AF⊥平面PBC．18．【解答】（1）当a=1时，f（x）=x2﹣4ln（x﹣1），x∈（1，+∞），∴f（x）=2x﹣==，令f′（x）=0，解得：x=2，∴a=1时，f（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．（2）∵对任意m∈[2，e+1]，直线PM的倾斜角都是钝角，∴对任意m∈[2，e+1]，直线PM的斜率小于0，即＜0，f（m）＜1，即f（x）在区间[2，e+1]上的最大值小于1，f′（x）=，x∈（1，+∞），令g（x）=ax2﹣ax﹣2①当a=0时，f（x）=﹣4ln（x﹣1）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max=f（2）=0＜1，显然成立，∴a=0．②当a＜0时，二次函数g（x）的图象开口向下，且g（0）=﹣2，g（1）=﹣2，∀x∈（1，+∞），g（x）＜0，故f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，故f（x）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max=f（2）=4a＜0，显然成立，∴a＜0．（3）当a＞0时，二次函数g（x）的图象开口向上，且g（0）=﹣2，g（1）=﹣2．所以∃x0∈（1，+∞），当x∈（1，x0）时，g（x）＜0．当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0；所以f（x）在区间（1，+∞）内先递减再递增．故f（x）在区间[2，e+1]上的最大值只能是f（2）或f（e+1）．∴，即：，∴0＜a＜．综上：a＜．19．【解答】（1）∵椭圆G：+=1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．∴b=1，由，得a2=3．∴椭圆G的方程为．…（4分）（2）由题意知直线l的斜率k存在，且k≠0．设直线l的方程为y=kx+．由，消去y并整理得（k2+）x2+3kx+=0，…（5分）由，…（7分）设，MN中点为Q（x0，y0），得，，…（8分）由|BM|=|BN|，知BQ⊥MN，∴，即．化简得，满足△＞0．∴k=，…（12分）∴直线l的方程为y=．…（14分）20．【解答】（Ⅰ）当n=5时，所有T子集：{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，4}，{2，5}，{3，5}，{1，3，5}．（Ⅱ）{1，2，3，4，…，k，k+1，k+2}的T子集可分为两类：第一类子集中不含有k+2，这类子集有a k+1个；第二类子集中含有k+2，这类子集成为{1，2，3，4，…，k}的T子集与{k+2}的并，或为{1，2，3，4，…，k}的单元素子集与{k+2}的并，共有a k+k个．所以a k+2=a k+1+a k+k．因为a3=1，a4=3，所以a5=7，a6=14，a7=26，a8=46，a9=79，a10=133．（Ⅲ）∵，①=，②①﹣②，得：﹣=﹣==﹣=﹣﹣＜＜，∴S n＜2．。
【恒心】(2014东城一模)北京市东城区2014届高三3月质量调研数学(理科)试题及参考答案
东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学 （理科）学校______________班级_________姓名____________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1621x<<}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2) 2．已知i 是虚数单位， 若),i 1(z i3-=+则z=A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i 3．设a ∈R ，则“a ＝-2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与 直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 A.34π B. 2π C. 4π D.4π- 5．设a ，b 是两个非零向量．则下列命题为真命题的是A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为A.B.C. 4D. 7．已知抛物线1C ：212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =8．设a ＞0，b ＞0．A ．若2223a ba b +=+，则a ＞bB ．若2223a ba b +=+，则a ＜bC ．若2223a ba b -=-，则a ＞bD ．若2223a ba b -=-，则a ＜b非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2446,10a a S +==.则_______a 10=．10．如图，PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O 的割线PCB 与直径AE 相交于D 点.已知∠BPA =030，2=AD ，1=PC ,则圆O 的半径等于 ．11. 若函数()x f x kx e =-有零点，则k 的取值范围为_______.12．已知圆的方程为08622=--+y x y x ,设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_______________.13．已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2 ≤ n ≤ 7， 则n =______．14．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0， 则a ＝______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，， 且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tanBtanA的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．16．(本小题满分13分)某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核.（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II ）求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率；（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望.17．(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .（Ⅰ）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值； （Ⅲ）求点N 到平面ACM 的距离.18．（本小题满分14分）已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > ()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值； ()II 求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围 .19．(本小题满分14分)椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定 点的坐标．20．（本题满分12分）在数列}b {},a {n n 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，， 成等比数列（n ∈*N ）（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此归纳出}b {},a {n n 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：.125b a 1b a 1b a 1b a 122n n 332211<++++++++东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学答案 （理科）一、选择题： 1．B ；2．D ；3．A ；4．C ； 5．C ；6．C ；7．D ；8．A ．（第8题的提示：若2223a b a b +=+，必有2222a ba b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22xf x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．）二、填空题： 9．10； 10．7； 11. 0.k e k ><或； 12 . 206；13．5； 14．23=a （第14题的提示: 函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，-1)． 函数y 1＝(a －1)x －1：过M (11a -，0)，可得：a ＞1； 函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，得：23a 0==或者a ，舍去0=a ，）三、解答题： 15．(本小题满分13分) （Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tanBtanA=4. --------6分（Ⅱ）由(Ⅰ)得tan 4tan 0A B =>,434tanB tanB13B4tan 13tanBtanAtanB 1tanB tanA )B A (tan 2≤+=+=+-=-当且仅当,2tanB ,4tanB tanB1==时，等号成立， 故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34. --------13分16．(本小题满分13分)（I ）从甲组抽取2人, 从乙组抽取1人. --------2分（II ）.从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率.32311C C 1P 21026=-=-=--------5分（III ）ξ的可能取值为0，1，2，31234211056(0)75C C P C C ξ==⋅=,1112146342212110510528(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=，21622110510(3)75C C P C C ξ==⋅=,31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==5E =ξ. --------13分17．(本小题满分14分)（Ⅰ）依题设知，AC 是所作球面的直径，则AM ⊥MC 。
2014东城高三检测数学理科3月
东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学 （理科）学校______________班级_________姓名____________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1621x <<}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2) 2．已知i 是虚数单位， 若),i 1(z i 3-=+则z=A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i 3．设a ∈R ，则“a ＝-2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与 直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为A. 34πB. 2πC. 4πD.4π-5．设a ，b 是两个非零向量．则下列命题为真命题的是A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |6．在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为A.B.C.4D. 7 已知抛物线1C ：212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =8．设a ＞0，b ＞0．[A ．若2223a b a b +=+，则a ＞bB ．若2223a b a b +=+，则a ＜bC ．若2223a b a b -=-，则a ＞bD ．若2223a b a b -=-，则a ＜b非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2446,10a a S +==.则_______a 10=．10．如图，PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O 的割线PCB 与直径AE 相交于D 点.已知∠BPA =030，2=AD ，1=PC ,则圆O 的半径等于 ．11. 若函数()xf x kx e =-有零点，则k 的取值范围为_______.12．已知圆的方程为08622=--+y x y x ,设该圆过点（3，5）的最长弦和最短 弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_______________.13．已知231(1)n x x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2 ≤ n ≤ 7，则n =______．14．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0， 则a ＝______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tanB tanA的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 16．(本小题满分13分)某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核.（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II ）求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率；（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望. 17．(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .（Ⅰ）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值； （Ⅲ）求点N 到平面ACM 的距离.18.（本小题满分14分）已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > ()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值； ()II 求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围 .19．(本小题满分14分)椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定 点的坐标．20.（本题满分12分）在数列}b {},a {n n 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，， 成等比数列（n ∈*N ）（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此归纳出}b {},a {n n 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：.125b a 1b a 1b a 1b a 122n n 332211<++++++++参考答案东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学答案 （理科）一、选择题：1．B ；2．D ；3．A ；4．C ； 5．C ；6．C ；7．D ；8．A ．（第8题的提示：若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则()2l n 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22xf x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．）二、填空题：9．10； 10．7； 11. 0.k e k ><或； 12 . 206；13．5； 14． 23=a （第14题的提示: 函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，-1)．函数y 1＝(a －1)x －1：过M (11a -，0)，可得：a ＞1；函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，得：23a 0==或者a ，舍去0=a ，）三、解答题： 15．(本小题满分13分)（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tanBtanA=4. --------6分（Ⅱ）由(Ⅰ)得tan 4tan 0A B =>,434tanB tanB13B4tan 13tanBtanAtanB 1tanB tanA )B A (tan 2≤+=+=+-=-当且仅当,2tanB ,4tanB tanB1==时，等号成立， 故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34. --------13分16．(本小题满分13分)（I ）从甲组抽取2人, 从乙组抽取1人. --------2分（II ）.从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率.32311C C 1P 21026=-=-= --------5分（III ）ξ的可能取值为0，1，2，31234211056(0)75C C P C C ξ==⋅=,1112146342212110510528(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=，21622110510(3)75C C P C C ξ==⋅=, 31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==5E =ξ. --------13分17．(本小题满分14分)（Ⅰ）依题设知，AC 是所作球面的直径，则AM ⊥MC。
2014年北京市东城区高三一模数学(理)试题Word版带解析
北京市东城区2014届高三第二学期综合练习（一）数学（理科）2014．4第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题3分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． 已知集合()(){|120}A x x x =+-≥，则R A =ð（ ）．A ．{}|12x x x <->，或 B ．{|1x x -≤或}2x ≥ C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x -≤≤解析：()(){|120}A x x x =+-≥={2A x x =≥≤或x -1}，所以R A =ð{}|12x x -<<2． 复数i1i=-（ ）． A ．11i 22+B ．11i 22-C ．11i 22-+D ．11i 22--解析：(1)11(1)(1)2ii i i i i i +-+==--+，答案C. 3． 为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ）．A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：函数平移满足左加右减，但是要在x 的基础上变换，所以答案为D 。
4． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则789a a a ++=（ ）．A ．27B ．36C ．42D ．63解析：因为数列是等差数列，利用等差中项的性质3229,393S a a ==∴= ，53330,5306S a a ==∴= ，d=3，789a a a ++=83a ，83521a a d =+=，789a a a ++=83a =63.5．在极坐标系中，点π4⎫⎪⎭，到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（ ）．ABCD ．2解析：把极坐标方程转化为标准方程cos ,sin x y ρθρθ==，所以点π4⎫⎪⎭，对应平面直角坐标系的点为（1,1），c o s s i n 10ρθρθ--=，直线方程为x-y-1=0，利用点到直线的距离答案为A 。
北京市东城区示范校2014届高三12月教学质量调研数学(理)试题Word版含答案
北京市东城区普通高中示范校2014届高三年12月教学质量调研数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设全集R U =，集合{}0322<--=x x x A ，{}1>=x x B ，则⋂A B C U 等于（A ）{}11<<-x x （B ）{}11≤<-x x（C ）{}21<<-x x（D ）{}1≤x x2. 设向量()x a -=1,1，()x b +=1,3，则“2=x ”是“b a ⊥”的（A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）ππ32+（B ）π38（C ）ππ332+（D ）ππ3324+4. 执行如图所示的程序框图，输出的结果S 等于（A ）3（B ）7（C ）11（D ）135. 动点A （x ，y ）在圆x 2+y 2=l 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。
已知时间t=0时，点A 的坐标是（2321，），则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（A ）[0，1]（B ）[1，7]（C ）[7，12]（D ）[0，1]和[7，12]6. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品。
甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元。
甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱7. 设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0=++，则的值为（A ）3（B ）4（C ）6（D ）98. 对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ），若存在函数h （x ）=kx+b （k ，b 为常数），对任给的正数学科网m ，存在相应的x 0，使得当x ∈D 且x >x 0时，总有()()()()⎩⎨⎧<-<<-<mx g x h mx h x f 00，则称直线l ：y =kx +b 为曲线y =f （x ）和y =g （x ）的“分渐近线”。
2014北京东城区高三期末数学理试题
东城区期末教学统一检测 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合()(){}{02},110A x x B x x x =<<=-+>，则A B =A.()0,1 B.()1,2 C.()(),10,-∞-+∞ D.()(),11,-∞-+∞（2）在复平面内，复数2ii+对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限（3）设a R ∈，则“1a =-”是直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的a 的值为A.3B.5C.7D.9（5）在ABC ∆中，15,10,60a b A ===，则cos B = A.13B.3C.3D.3（6）已知直线3y kx =+与圆()()22234x y -+-=相交于点,M N 两点，若MN ≥ 则k 的取值范围为A.⎡⎢⎣⎦B.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.,3⎛-∞- ⎝⎦ D.3⎫+∞⎪⎪⎣⎭（7）在直角三角形ABCD 中，点E 在线段CD 上，若AE AD AB μ=+，则μ的取值范围是A.[]01，B.0⎡⎣C.102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（8）定义{},max ,,a ab a b b a b≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则{}max 4,3z x y x y =+-的取值范围是 A.[]6,10- B.[]7,10- C.[]6,8- D.[]7,8-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()2f x x x =+，则()2f -的值为_____（10）一个几何图的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____（11）若点()4,4P 为抛物线22y px =上一点，则抛物线焦点坐标为_____，点P 到抛物 线的准线的距离为_____（12）函数y=_____俯视图侧视图主视图1112（13）如图，已知点10,4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,点()()000,,0P x y x > 在曲线2yx=上，若阴影部分面积与OAP ∆面积相等，则0_____x =（14）设等差数列{}n a 满足：公差d ∈*N ，对任意n ∈*N ，有n a ∈*N ，且{}n a 中任意两项之和也是该数列中的一项．①若11a =，则_____d =；②若512a =，则d 的所有可能取值之和为_____．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
(2014东城一模)北京市东城区2014届高三3月质量调研数学(理科)试题及参考答案-推荐下载
东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学（理科）学校______________班级_________姓名____________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1621x<<}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2)2．已知i 是虚数单位， 若),i 1(z i3-=+则z=A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i3．设a ∈R ，则“a ＝-2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为A. 34πB. 2πC. 4πD.4π-5．设a ，b 是两个非零向量．则下列命题为真命题的是A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为A.B. C. 4D. 7．已知抛物线1C ：212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =8．设a ＞0，b ＞0．A ．若2223a ba b +=+，则a ＞bB ．若2223aba b +=+，则a ＜bC ．若2223a b a b -=-，则a ＞bD ．若2223a ba b -=-，则a ＜b非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2446,10a a S +==.则_______a 10=．10．如图，PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O 的割线PCB 与直径AE 相交于D 点.已知∠BPA =030，2=AD ，1=PC ,则圆O 的半径等于 ．11. 若函数()x f x kx e =-有零点，则k 的取值范围为_______.12．已知圆的方程为08622=--+y x y x ,设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_______________. 13．已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且2 ≤ n ≤ 7，则n =______．14．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tanBtanA的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．16．(本小题满分13分)某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核.（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II ）求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率；（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望. 17．(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .（Ⅰ）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值；（Ⅲ）求点N 到平面ACM 的距离.18．（本小题满分14分）已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a >()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值；()II 求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围 .19．(本小题满分14分)椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．20．（本题满分12分）在数列}b {},a {n n 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此归纳出}b {},a {n n 的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：.125b a 1b a 1b a 1b a 122n n 332211<++++++++东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学答案（理科）一、选择题： 1．B ；2．D ；3．A ；4．C ； 5．C ；6．C ；7．D ；8．A ．（第8题的提示：若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．）二、填空题： 9．10； 10．7； 11. 0.k e k ><或； 12 . 206；13．5； 14．23=a （第14题的提示: 函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，-1)．函数y 1＝(a －1)x －1：过M (11a -，0)，可得：a ＞1；函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，得：23a 0==或者a ，舍去0=a ，） 三、解答题：15．(本小题满分13分)（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B-==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tanBtanA=4. --------6分（Ⅱ）由(Ⅰ)得tan 4tan 0A B =>,434tanB tanB13B4tan 13tanBtanAtanB 1tanB tanA )B A (tan 2≤+=+=+-=-当且仅当,2tanB ,4tanB tanB1==时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.--------13分16．(本小题满分13分)（I ）从甲组抽取2人, 从乙组抽取1人.--------2分（II ）.从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率.32311C C 1P 21026=-=-=--------5分（III ）ξ的可能取值为0，1，2，31234211056(0)75C C P C C ξ==⋅=,1112146342212110510528(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=，21622110510(3)75C C P C C ξ==⋅=, 31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==ξ123P75675287531751058E =ξ. --------13分17．(本小题满分14分)（Ⅰ）依题设知，AC 是所作球面的直径，则AM ⊥MC 。
北京市东城区重点高中2014届下学期高三一模试数学试卷(理科)
北京市东城区重点高中2014届下学期高三一模考试数学试卷（理科，有答案）本试卷共150分，考试用长120分钟。
第一部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合(){}ln 1A x y x ==-,集合{}2B y y x ==,则A B = A.[)0,1 B.[]0,1 C . (],1-∞ D.(),1-∞2. 函数2()log f x x =与11()()2x g x +=在同一直角坐标系中的图象是A B C D 3. 已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象A. 关于点(,0)4π对称 B. 关于直线8x π=对称C . 关于点(,0)8π对称D. 关于直线4x π=对称4. 若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是A.3B.13C. 3-D. 13-5. 某程序框图如图所示,若输出的S=57，则判断框内为 A. 6>k B. 5>k C. 4>k D. 3>k6. 设a ∈R ，函数32()(3)f x x ax a x =++-的导函数是()f x '，若()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为 A.3y x =- B. 2y x =- C. 3y x = D. 2y x =7. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为 A.71 B.61 C.51 D.418. 从一个三棱柱的6个顶点中任取4个做为顶点，能构成三棱锥的个数设为m ；过三棱柱任意两个顶点的直线(15条)中，其中能构成异面直线有n 对，则m n ，的取值分别为 A. 15，45 B. 10, 30 C. 12, 36 D. 12 , 48第二部分二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分,把答案填在题中横线上。
2014一模(理)-02概率
1 (2014年东城一模理科)2 (2014年东城一模理科)3 (2014年东城一模理科)4 (2014年西城一模理科)科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______. （用数字作答）5 (2014年海淀一模理科)小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（ ）． A ． 4种 B ．5种 C ．6种D ．9种6 (2014年朝阳一模理科)如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤， 向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为（ ） A ．14 B ．13C ．25D ．27 7 (2014年朝阳一模理科)有标号分别为1，2，3的红色卡片3张， 标号分别为1，2，3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放 在2行3列的格内（如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则 不同的放法种数为____8 (2014年丰台一模理科)某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛.经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示.若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是( ) （A ）x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 （B ）x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 （C ）x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛（D ）x x<甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 9 (2014年丰台一模理科)如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（ ）（A ）24个 （B ）21个 （C ）19个 （D ）18个7 10 (2014年石景山一模理科)各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有个专业中，选择____ __种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）11(2014年顺义一模理科)将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有（）A. 12种 B 24种 C. 36种 D. 48种12 (2014年延庆一模理科)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_______16 (2014年西城一模理科)（本小题满分13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b 的值； （Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级．．分层抽样．．．．所得的结果相同，求n 的最小值； （Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望.17 (2014年海淀一模理科) 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4．5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．18 (2014年朝阳一模理科)某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：运动协调能力例如，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25． （I ）求a ，b 的值；（II ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（III ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．19 (2014年丰台一模理科)年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，-1表示“生活不能自理”。
高考数学 东城区2014-2015一模理答案2.0
北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（一）高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）D （3）A （4）D （5）B （6）D （7）A （8）B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）1- （10）2（11）2 （12 （13）12 （14）1(,1]2 5(1,]4注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为3cos 4C =，且0C <<π，所以sin 4C =． 因为1sin 2S a b C =⋅⋅， 得1a =． …………………6分 （Ⅱ）由余弦定理，2222cos c b a b a C =+-⋅⋅所以c =由正弦定理，sin sin c aC A=，得sin 8A =．所以cos A =．所以sin 22sin cos A A A =⋅=． …………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由直方图知，(0.010.020.060.07)51a ++++⨯=，解得0.04a =． …………3分 （Ⅱ）设事件A “某名学员交通法规考试合格” ．由直方图知，()(0.060.02)50.4P A =+⨯=. …………6分 （Ⅲ）依题意，X 的取值为012,3，，.3(0)(10.4)0.216P X ==-=，123(1)C 0.4(10.4)0.432P X ==⋅⋅-=， 223(2)C 0.4(10.4)0.288P X ==⋅⋅-=，3(3)0.40.064P X ===.所以X 的分布列为00.21610.43220.28830.064 1.2EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………13分（17）（共14分）（Ⅰ）证明：因为,D E 分别为,AB AC 的中点，所以DE ∥BC .因为BC ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ， 所以DE ∥平面PBC .因为平面DENM I 平面PBC MN =， 所以DE ∥MN .所以MN ∥BC . …………………5分（Ⅱ）解：如图，在平面PAB 内，作BZ ∥AP ，则,,BA BC BZ 两两互相垂直，建立空间直角坐标系B xyz -.则(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，(0,2,0)A ，(0,2,2)P .最新整理(2,0,0)BC =u u u r ，(0,2,2)BP =u u u r ，(2,2,0)AC =-u u u r设平面BPC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.BC BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 所以0,220.x y z =⎧⎨+=⎩令1z =-，得1y =，0x =，(0,1,1)=-n .设直线AC 与平面PBC 所成角为α，则1sin |cos ,|||2||||AC AC AC α⋅=<>==u u u ru u u r u u u r n n n .又[0,]2απ∈， 所以直线AC 与平面PBC 所成角为6π. …………………10分 （Ⅲ）解：设点M 的坐标为(,,)u v w .因为点M 在棱PB 上，所以可设(01)BM BP λλ=<<u u u u r u u u r.因为(,,)(0,2,2)u v w λ=，所以(0,2,2)M λλ.(1,21,2)EM λλ=--u u u u r ，(0,0,2)AP =u u u r.因为直线EM 与直线AP所成角的余弦值为14， 设直线EM 与直线AP 所成角为θ，所以cos ||14||||EM AP EM AP θ⋅==u u u u r u u u r u u u u r u u u r所以281890λλ-+=. 所以34λ=或32λ=. 因为01λ<<， 所以34λ=. 所以33(0,,)22M .因为(2,0,0)C，所以2MC =. …………………14分 （18）（共13分）解：（Ⅰ）因为22211)('xax x x x a x f -+=+-=， 由已知()f x 在1x =处取得极值， 所以'(1)0f =.解得2a =，经检验2a =时，()f x 在1x =处取得极小值.所以2a =. ……3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，22211)('xax x x x a x f -+=+-=，0x >. 因为)(x f 在区间)2,1(上单调递增，所以0)('≥x f 在区间)2,1(上恒成立. 即x x a +≤2在区间)2,1(上恒成立.所以2≤a . ……8分（Ⅱ）因为x x f x g -'=)()(， 所以21()1a g x x x x=-+-，0>x . 令0)(=x g 得x x x a ++-=23， 令x x x x h ++-=23)(，0>x .)1)(13(123)(2-+-=++-='x x x x x h .当)1,0(∈x 时，0)(>'x h ，)(x h 在)1,0(上单调递增， ),1(+∞∈x 时，0)(<'x h ，)(x h 在),1(+∞上单调递减. 所以max ()(1)1h x h ==.综上：当1>a 时，函数)(x g 无零点，当1=a 或0≤a 时，函数)(x g 有一个零点，当10<<a 时，函数)(x g 有两个零点. ……13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y ．由抛物线定义知，动点E 的轨迹为以(1,0)为焦点，1x =-为准线抛物线．所以动点E 的轨迹C 的方程为：24y x =． ……………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx b =+．（显然0k ≠）由 24,,y x y kx b ⎧=⎨=+⎩得2440ky y b -+=．因为直线l 与抛物线相切， 所以16160kb ∆=-=，1b k =． 所以直线l 的方程为1y kx k=+． 令1x =-，得1y k k=-+， 所以1(1,)Q k k--+．设切点坐标00(,)P x y ，则200440ky y k -+=，解得212(,)P k k． 设(,0)M m ，则2121()(1)()MQ MP m m k k k k⋅=---+-+u u u u r u u u r2222122m m m k k k=-+-++-． 21(1)(2)m m k=---． 当1m =时，0MQ MP ⋅=u u u u r u u u r ． 所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ． ……………13分（20）（共14分） 解：(Ⅰ)1,1,1,2,3．………………4分(Ⅱ)由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m ≤+∈N所以当*12,m m ≤≤∈N 时，121b b ==．当*38,m m ≤≤∈N 时，3482b b b ====L ． 当*920,m m ≤≤∈N 时，910203b b b ====L ．所以1220122631250b b b +++=⨯+⨯+⨯=L ． …………9分 （Ⅲ）由32n a n m =-≤，得*2()3m n m +≤∈N ． 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*123456323131,2,,()t t t b b b b b b b b b t t --======⋅⋅⋅===∈N ．当*32()n t t =-∈N 时，21(1)313(1)(1)(2)226n t t t S t t n n +--=⨯-+==++．当*31()n t t =-∈N 时，21(1)313(1)2(1)(2)226n t t t S t t n n +-+=⨯-+==++．当*3()n t t =∈N 时，213()13(3)226n t t t S t n n ++=⨯⨯==+．所以(1)(2)(3231,*),6(3)(3,*).6n n n n t n t t S n n n t t ++⎧=-=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩N N 或…………14分。
高考数学 东城区2014-2015一模理3.0
北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）已知全集U =R ，集合{|12}A x x =-≤≤，{|3B x x =<-，或4}x >，那么()U A B =I ð（A ）{|14}x x -≤≤ （B ）{|32}x x -≤≤ （C ）{|12}x x -≤≤ （D ）{|34}x x -≤≤ （2）已知复数i2ia +-为纯虚数，那么实数a = （A ）2-（B ）12-（C ）2（D ）12（3）在区间[0,2]上随机取一个实数x ，若事件“30x m -<”发生的概率为16，则实数m = （A ）1（B ）12 （C ）13（D ）16（4）已知点M 的极坐标为2(5,)3π，那么将点M 的极坐标化成直角坐标为（A ）5()22-- （B ）5()22-（C ）5(,22 （D ）5(,22-（5）“1x <”是“12log 0x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（A ）2465A A ⨯种 （B ）246A 5⨯种 （C ）2465C A ⨯种 （D ）246C 5⨯种（7）一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为 （A ）16 （B）6（C（D ）12（8）已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 （A ）(0,2) （B ）(0,8) （C ）(2,8) （D ）(,0)-∞D第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28S =，412S =，则{}n a 的公差d = ． （10）曲线sin (0y x x =≤≤π)与x 轴围成的封闭区域的面积为 ．（11）如图，在△ABC 中，60A ∠=o，28AB AC ==，过C 作△ABC 外接圆的切线CD ，BD CD ⊥于D ，BD 与外接圆交于点E ，则DE = ．（12）已知12,F F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴．若122||2||F F PF =，则该椭圆的离心率为 ．（13）已知函数)(x f 是R 上的减函数，且(2)y f x =-的图象关于点(2,0)成中心对称．若,u v 满足不等式组()(1)0,(1)0,f u f v f u v +-≤⎧⎨--≥⎩则22u v +的最小值为 ． （14）已知x ∈R ，定义：()Ax 表示不小于x 的最小整数．如2A =，( 1.2)1A -=-．若(2+1)3A x =，则x 的取值范围是 ；若0x >且(2())5A x A x ⋅=，则x 的取值范围是 ．频率组距a三、解答题（共6小题，共80分。
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北京市东城区2014届下学期高三年级一模考试数学试卷（理科） 有答案本试卷共150分。
考试时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，则R C A ＝ A. {|1,2}x x x <->或 B. {|1,2}x x x ≤-≥或 C. {|12}x x -<<D. {|12}x x -≤≤2. 复数1i i-＝ A.1122i + B.1122i - C. 1122i -+ D. 1122i -- 3. 为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象A. 向左平移3π个单位长度B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移6π个单位长度 4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若359,30S S ==，则789a a a ++＝ A. 27B. 36C. 45D. 635. 在极坐标系中，点)4π到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于A.2B.C.2D. 26. 如图，在△ABC 中，1,3,AB AC D ==是BC 的中点，则AD BC ⋅＝A. 3B. 4C. 5D. 不能确定7. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则双曲线的离心率为A. 2B.C.D.8. 已知符号函数1,0,sgn()0,01,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为A. 1B. 2C. 3D. 4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
9. 61()x x-的二项展开式中常数项为_________。
（用数字作答）10. 如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使AB ＝2BC ，且BC ＝2，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，则CD ＝_________，∠DAB ＝_________。
11. 设不等式组02,02x y <<⎧⎨<<⎩表示的平面区域为D 。
在区域D 内随机取一个点(,)P x y ，则3x y +<的概率为_________。
12. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()6f x x =-，则0x >时，()f x 的解析式为_________，不等式()f x x <的解集为_________。
13. 某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有_________种。
（用数字作答）14. 如图，在三棱锥A －BCD中，2BC DC AB AD BD =====，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD 中点，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为_________。
三、解答题：共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15. （本小题共13分）在△ABC 中，sin A a =。
（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）如果b=2，求△ABC 面积的最大值。
16. （本小题共13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）。
已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人。
（Ⅰ）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数； （Ⅱ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB=PA=1，AD =F 是PB 中点，E 为BC 上一点。
（Ⅰ）求证：AF ⊥平面PBC ；（Ⅱ）当BE 为何值时，二面角C PE D --为45°。
18. （本小题共13分）已知函数2()4ln(1),f x ax x a R =--∈。
（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知点P （1，1）和函数()f x 图象上动点(,())M m f m ，对任意[2,1]m e ∈+，直线PM 倾斜角都是钝角，求a 的取值范围。
19. （本小题共13分）已知椭圆G ：22221(0)x y a b a b +=>>过点A 和点B （0，－1）。
（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）设过点3(0,)2P 的直线l 与椭圆G 交于M ，N 两点，且||||BM BN =，求直线l 的方程。
20. （本小题共14分）已知集合{1,2,3,4,,}(3)n n ≥ ，若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T 子集，记T 子集的个数为n a 。
（Ⅰ）当5n =时，写出所有T 子集； （Ⅱ）求10a ； （Ⅲ）记3543452222nn n a a a a S =++++ ，求证：2n S <。
【试题答案】一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. C2. C3. D4. D5. A6. B7. C8. B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. －2010. 30°11.7812. 2()6(2,0)(2,)f x x =-+-+∞13. 2414.注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分。
三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15. （共13分）解：（Ⅰ）因为sin sin a b A B =，sin A a =，所以sin ,tan B B B 因为(0,)B π∈， 所以3B π=。
6分（Ⅱ）因为3B π=，所以2221cos 22a cb B ac +-==。
因为2b =，所以2242a c ac ac +=+≥。
所以4ac ≤（当且仅当a c =时，等号成立）。
所以1sin 2ABC S ac B ∆=≤所以△ABC13分16. （共13分）解：（Ⅰ）由直方图知，(0.1500.1250.1000.0875)21a ++++⨯=， 解得0.0375a =。
因为甲班学习时间在区间[2,4]的有8人， 所以甲班的学生人数为8400.2=。
所以甲、乙两班人数均为40人。
所以甲班学习时间在区间(10,12]的人数为400.037523⨯⨯=（人）。
6分（Ⅱ）乙班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）。
由（Ⅰ）知甲班学习时间在区间（10，12]的人数为3人。
在两班中学习时间大于10小时的同学共7人。
ξ的所有可能取值为0，1，2，3。
0434471(0)35C C P C ξ===。
13344712(1)35C C P C ξ===。
22344718(2)35C C P C ξ===。
3134474(3)35C C P C ξ===。
所以随机变量ξ的分布列为：0123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=。
13分17.（共14分）证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ， BC ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥BC 。
因为ABCD 是矩形， 所以BC ⊥AB 。
因为PA AB A = ， 所以BC ⊥平面PAB 。
因为AF ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥AF 。
因为AB ＝PA ，F 是PB 中点， 所以AF ⊥PB 。
因为PB BC B = ， 所以AF ⊥平面PBC 。
6分（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以以A 为坐标原点，AD ，AB ，AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设BE a =，则(0,0,1),(,1,0)P D E a ，11(0,,)22F 。
所以(,0),1)DE a PD ==-。
设平面PDE 的法向量为(,,)m x y z =，则0,0.m DE m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以(0,0.a x y z ⎧-+=⎪-=令1x =，得,y a z =所以(1m a =。
平面PCE 的法向量为11(0,,)22n AF == 。
所以1cos ,||||2a m nm n m n ⋅<>===。
所以6a =。
所以当BE =P DE A --为45°。
14分18. （共13分）解：（Ⅰ）当1a =时，2()4ln(1)f x x x =--，定义域为(1,)+∞，242242(1)(2)()2111x x x x f x x x x x --+-'=-==---（Ⅱ）因为对任意[2,1]m e ∈+，直线PM 的倾斜角都是钝角， 所以对任意[2,1]m e ∈+，直线PM 的斜率小于0， 即()10,()11f m f m m -<<-，即()f x 在区间[2,1]e +上的最大值小于1。
242(2)()2,(1,)11ax ax f x ax x x x --'=-=∈+∞--。
令2()2g x ax ax =--（1）当0a =时，()4ln(1)f x x =--在[2,1]e +上单调递减，max ()(2)01f x f ==<，显然成立，所以0a =。
（2）当0a <时，二次函数()g x 的图象开口向下， 且(0)2,(1)2g g =-=-，(1,),()0x g x ∀∈+∞<，故()0,()f x f x '<在(1,)+∞上单调递减，故()f x 在[2,1]e +上单调递减，max ()(2)41f x f a ==<，显然成立，所以0a <。
（3）当0a >时，二次函数()g x 的图象开口向上， 且(0)2,(1)2g g =-=-，所以0(1,)x ∃∈+∞，当0(1,)x x ∈时，()0g x <， 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >。
所以()f x 在区间(1,)+∞内先递减再递增，故()f x 在区间[2,1]e +上的最大值只能是(2)f 或(1)f e +。