近Leibniz流形的判定及应用

合集下载

莱布尼茨判别法证明

莱布尼茨判别法证明
摘要：
一、莱布尼茨判别法简介
二、莱布尼茨判别法的两个条件
三、莱布尼茨判别法的应用
四、莱布尼茨判别法的意义
正文：
一、莱布尼茨判别法简介
莱布尼茨判别法是一种用于判断交错级数是否收敛的数学方法，适用于形如(-1)^(n-1)*u(n) 的交错级数，其中u(n) 是单调递减的数列，且lim(n→∞) u(n) = 0。

该方法是由德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出的，因此得名。

二、莱布尼茨判别法的两个条件
根据莱布尼茨判别法，一个交错级数(-1)^(n-1)*u(n)（n>0）收敛的充分必要条件是：
1.数列u(n) 单调递减，即对于任意的n，有u(n+1) ≤u(n)；
2.极限lim(n→∞) u(n) = 0。

只有同时满足这两个条件，交错级数才收敛。

三、莱布尼茨判别法的应用
莱布尼茨判别法在数学分析中具有广泛的应用，尤其是在研究交错级数的收敛性方面。

它可以用来判断各种形式的交错级数是否收敛，从而帮助我们更
好地理解级数的性质和行为。

四、莱布尼茨判别法的意义
莱布尼茨判别法对于级数收敛性的判断具有重要意义，因为它为我们提供了一个简单而直观的方法来判断交错级数是否收敛。

同时，它也为数学分析领域的研究提供了有力的工具，对数学理论和应用的发展产生了深远的影响。

derivation 微分流形

【文章标题】：深度剖析微分流形上的derivation【正文】1. 引言微分流形是高等数学和几何学中的一个重要概念，也是数学中的一个重要分支。

在微分流形上，derivation是一个关键概念，它在微分几何和微分拓扑中具有重要作用。

本文将对微分流形上的derivation进行深入解析，帮助读者全面理解这一概念。

2. 微分流形的基本概念微分流形是一个具有局部欧几里德空间性质的拓扑空间。

它是一种广义的曲线和曲面的概念，可以用欧几里德空间的局部坐标系来描述。

微分流形的基本概念包括切空间、切丛、切丛上的derivation等。

3. derivation的定义和性质在微分流形上，derivation是切向量场上的一种特殊操作。

它可以通过对切向量场进行微分来定义，满足Leibniz法则和Jacobi恒等式。

具体来说，对于微分流形上的一个点，derivation是该点附近切向量场的线性映射。

4. derivation的几何意义在微分几何中，derivation可以理解为切向量场的方向导数。

它描述了切向量场在微分流形上的变化率，从而揭示了微分流形的局部性质和曲率。

在微分拓扑中，derivation也是切丛上的平行移动的生成元，具有重要的几何意义。

5. derivation的应用和意义在微分流形的研究中，derivation是一个非常重要的概念，它在微分方程、黎曼几何、泛函分析等领域都有广泛的应用。

通过对derivation的深入理解，可以更好地理解微分流形的曲率、流形上的矢量场、微分形式等重要概念，为数学建模和实际问题求解提供重要的数学工具。

6. 个人观点和总结从上述分析可以看出，derivation在微分流形的研究中具有重要的意义和应用。

它是微分流形的基本概念之一，对于理解微分几何和微分拓扑具有重要意义。

通过深入的学习和研究derivation，可以更好地理解微分流形的几何意义和数学结构，为解决实际问题提供重要的数学工具和方法。

流形的判别方法

流型的提出已有多年，因为其重要性也被人所重视，但是由于其研究较为复杂，至今研究还不够充分。在许多的设备事故分析中，最后常常会发现许多事故是由于流型的不明确而造成计算误差或者操作误差所导致的。因此对流型的研究需要更进一步，往更深更细的方面发展。
二、3种判别法
本文主要介绍了通用流型判别法、改进的Taitel-Dukler流型判别法及段塞流特征分析法。并总结了3种判别法的特点。
型认为在转化边界处分散气泡流将容纳最大的气体量；当气相标贯速度更小时，使用Barnea来预测转化边界。（2）段塞流向分层流或环状流转化。当从段塞流转变为分层流或环状流时，段塞流液膜区的膜长度LF变为无限大，膜区中液膜和气泡的动量交换为0.分层流及环状流的通用模型动量方程为：分别为
-
FSF H LF A
改进的Taitel-Dukler流型判别法时Barnea以Taitel-Dukler流型判别法为基础，对其算法进行改进得到的，该流型判断方法应用较广。
（1）分层流向非分层流的转化。分层流向非分层流的转化采用的是K-H判别法，该方法不考虑气相中液滴的存在。其表达式为：
F
2[
(1
1 h
L
)2
G2 dAL / AG
C SC (1 H LF
)A
1S1[
H
1
LF
A
1 （1 - H LF
)A ] (L
C ) g sin
0
-
F SF H LF A
1S1[
H
1
LF
A
（1-
1 H LF
)A] (L
C )g sin
0
式中：、、分别为液壁、气壁相间的剪切应力Pa,SF、SC、S1分别为液壁、气壁、相间的湿周，m；A为管道截面积，为管道倾角（°），g为重力

微分流形,第2章

第2章微分流形§2.1 微分流形2.1.A 拓扑流形定义. 拓扑空间M 称为m 维拓扑流形, 若（1）M 是Hausdorff 空间（即它满足分离公理2T ）；（2）M 是局部m 维欧氏空间：M 的每一点p 有一邻域U ，同胚于m的一个开子集：:()mU U ϕϕ→⊂。

U 称为M 的坐标邻域；(,)U ϕ称为M 的坐标卡(chart)。

由点p 的任意性，全体坐标邻域组成M 的开覆盖。

逻辑证明与计算是数学结论赖以成立的基础，必须高度重视。

另一种需要培养的是观察能力。

直观被告诫是靠不住的，因为通过直观得到的是表面现象，而且往往提供的是假象与错觉。

但是它更多提供的是思路和有价值的线索。

创造性思维应该是观察与逻辑推理的合理结合。

没有观察的逻辑推理常常陷入“无源之水”与“无本之木”的困境。

初等教程中我们熟悉的一些例子是拓扑流形。

我们更多的是观察与分析。

连证明也是通过观察与分析酝酿出来的。

例1。

平面解析几何中的椭圆、双曲线和抛物线都是一维拓扑流形。

运用初等方法不难证明，这些曲线在每一点附近的充分小的一段，都与一个实数开区间同胚。

例2。

自交的曲线不是一维拓扑流形。

问题出在自交点上。

无论怎样小邻域，都不能与一个实数开区间同胚。

用反证法。

如果同胚的话，挖去该点及其像点，剩下部分的连通分支数是不一样的。

自交曲线的例子有相交直线、双扭线、三叶玫瑰线等等，直角坐标或极坐标方程分别为：22220; cos 2; sin 3x y r a r a ϕϕ-===。

例3。

空间解析几何中的椭圆面、单叶双曲面、双叶双曲面、双曲抛物面等都是二维拓扑流形。

这些曲面在每一点附近的充分小的一块，都与平面上的一个开圆同胚。

例4。

锥面222z x y =+不是二维拓扑流形。

问题出在原点O 上。

锥面在原点O 附近无论怎样小的一块，都不可能与平面上的一个开圆同胚。

证明用反证法与连通性。

例5。

用两种不同方法粘接矩形的一对对边，得到柱面和M öbius 带。

leibniz定理

leibniz定理
LEIBNIZ（定理莱布尼茨定理）是判别交错级数敛散性的一种方法。

莱布尼茨定律的内容是这样的：
L：对于任何东西X和Y，X等同于Y若且唯若X和Y具有一样的性质。

把它表达得精确一点，我们可以这样说：
LX：对于任何东西X和Y，X等同于Y若且唯若对于任何的性质Z，如果X拥有Z则Y拥有Z，如果Y拥有Z则X拥有Z。

这样的一个定律是一个双条件句，我们可以把它拆成两个条件句：L1（同一的不可区分性定律）：对于任何东西X和Y，如果X和Y是同一的，那么X和Y就会具有一样的性质。

L2（不可区分的同一性定律）：对于任何东西X和Y，如果X和Y具有一样的性质，那么X和Y就会是同一的。

根据L1，当两个东西是同一的，这两个东西就会具有一样的性质，因此无法被区分，所以我们把L1叫做同一的不可区分性定律。

在逻辑上，L1等同于下面这个命题：
L1X︰对于任何东西X和Y，如果X和Y不具有一样的性质，那
么X不等同于Y。

根据L2，当两个东西具有一样的性质，无法被区分时，这两个
东西就会是等同的，所以我们把L2叫做不可区分的同一性定律。

在
逻辑上，L2等同于下面这个命题：
L2X：对于任何东西X和Y，如果X不等同于Y，那么X和Y就不会具有一样的性质。

Riemann几何和黎曼曲面的应用

B
C
测地完备性
若流形上的任意两点都可以通过测地线连接，则称该流形是测地完备的。
测地线的存在性与唯一性
在给定初始条件和边界条件的情况下，测地线存在且唯一。
D
02 黎曼曲面基本理论
黎曼曲面定义与分类
定义
黎曼曲面是一种具有复结构的二维流形，即局部上同胚于复平面中的开集，并且满足一定的拓扑和几何条件。
黑洞理论中的奇点、事件视界等概念在Riemann几何中有严格的数学定义和描述。
近年来，基于Riemann几何的黑洞理论研究取得了重要进展，如黑洞热力学、黑洞信息悖论等方面的研究揭示了黑洞与量子物理之间的深刻联系。
04 黎曼曲面在复分析中应用
亚纯函数论基础知识点回顾
亚纯函数的定义和性质
亚纯函数是在其定义域内除去孤立奇点外处处解析的函数。它具有许多与解析函数类似的性质，如可微性、可积性等。
曲率张量
曲率张量是描述流形弯曲程度的一个重要几何量。在Riemann几何中，曲率张量可以通过联络来计算，它反映了流形在不同方向上的弯曲程度。
测地线及其性质
A
测地线定义
测地线是Riemann流形上的一类特殊曲线，它满足测地方程。在局部上，测地线是长度最短的曲线。
局部最短性
在足够小的邻域内，测地线是连接两点的最短曲线。
Riemann几何与计算机科学
随着计算机图形学、计算几何等学科的飞速发展，Riemann几何在计算机科学中的应用前景广阔，如曲面建模、形状分析、计算机视觉等领域。
对相关领域影响和意义评估
01
对数学领域的影响
02
对物理学领域的影响
03
对其他领域的影响
Riemann几何和黎曼曲面的研究推动了微分几何、复分析、代数几何等数学分支的发展，为现代数学提供了丰富的理论和方法。

流形的判别方法

1.通用流型判别法
2003年zhang等提出基于段塞流的通用流型判别法。在该判别法中，流型
判别算法与流动参数算法一致，根据动量方程和连续性方程计算各流型间转化的边界条件。
（1）分散气泡流向段塞流转化。当气象表观速度WSG大于0.1m/s时，分散气泡流到段塞流的转化边界采用zhang建立的机理模型预测，该机理模
L
)
X
2
4CL
( L SL D )n
2
L SL
X2
D 4CG
L ( GSG D )m
2
G
2 SG
D
G
2
Y
(L G )g sin
4CG
( G SG D )m
G
2 SG
D
G
2
式中：Y为无量纲重力参数；X为Lockhart-Martinelli参数；、分别为液相和气相的动力粘度，,为液相表观速度，m/s，CL、CG、n、m为常数，与气液相的流态有关。
dhL
]
1
d A L [1 ( 2 h 1) 2 ] 0.5 dh L
F
G
SG
L G Dgcos
式中：F为无因次数；WG为气相速度，m/s；AL、AG、分别为液相和气相所占的截面积的无量纲数；hL为管内液位高度的无量纲数；D为管径，m;为气相表观速度，m/s。
（2）环状流向段塞流的转化。环状流向段塞流的转换由两种机理决定，这两种机理导致液相阻塞气芯，流型向段塞流转换。
第一种机理：由于管壁附近液体向下流引起液膜不稳定。液膜不稳定判由同时求解式（6），（7）两个无量纲方程得到，其中，式（6）得到持液率HL的稳态解，式（7）得到满足液膜不稳定条件的持液率值，其表达式：

潮流计算的基本算法及使用方法

分开来进行。快速分解法根据电力系统实际运行状态的物理特点，对牛
顿-拉夫逊法潮流计算的数学模型进行合理的简化。 2．2 基本公式
在交流高压电网中，输电线路的电抗要比电阻大得多，系统中母线
有功功率的变化主要受电压相位的影响，无功功率的变化主要受母线电
压幅值变化的影响。在修正方程式的系数矩阵中，偏导数和的数值相对
沿着该点的一阶偏导数——雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进
一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到
残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。因为越靠近解，偏导
数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。而所
谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范围，否则可能走向非线性
潮流计算的基本算法及使用方法
1、潮流计算的基本算法
1. 牛顿－拉夫逊法
1．1 概述
牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。这种方法
的特点就是把对非线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解
的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。
牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，
敛速度非常快，具有平方收敛特性。
1．3 潮流计算的修正方程
运用牛顿－拉夫逊法计算潮流分布时，首先要找出描述电力系统的
非线性方程。这里仍从节点电压方程入手，设电力系统导纳矩阵已知，
则系统中某节点（节点）电压方程为
从而得
进而有
（1－6）
式（1－6）中，左边第一项为给定的节点注入功率，第二项为由节
点电压求得的节点注入功率他们二者之差就是节点功率的不平衡量。
化的。因此，快速分解法潮流计算的第二个简化，也是最关键的一步简

纤维形态的表征讲课文档

B W WlW 1 0m l aW xldl
第3页，共50页。
（2）质量(重量 )加权长度
Lm = Lw=巴布（Barbe）长度B
B w(l)lm l awx(l)ldl W NSl 0
为单根纤维的平均截面积 γ为纤维密度；S B
Nl2 1 Nl Ln
0m l aN xl2dl
纤维形态的表征
第1页，共50页。
（优选）纤维形态的表征
第2页，共50页。
（1）根数加权长度
Ln
n(l)lm l anx(l)ldl 0
N为纤维的总根数； Ni为纤维频数分布函数； lmax为最长纤维长
度
CVL n
Ln
Ln
100
n(l)＝ Ni /N，表示纤维长度的频率密度函数
根数加权长度的变异系数
倍长纤维：指未切断的纤维其长度是LN的倍数（≥2）。
第22页，共50页。
第二节纤维的细度及其分布
一、纤维的细度表征
1．特数Nt (tex) 、分特数Ndt (dtex)
Ndt
1000G0k L
ND90L0k0G190Ndt
2．旦数ND
Nm
L Gk
10000 Ndt
第23页，共50页。
3．公制支数Nm
第32页，共50页。
（2）对纱线
卷曲增多、增大；形态一维→二维→三维
①②③④
l0
A0
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
S为可纺性，L为纤维长度，英吋（1in=25.4mm）；nc为纺纱加工中纱
截面中临界纤维根数； Cvd纤维自身的细度不匀
纤维细，纱截面中的纤维根数增加，有利于纤维间的相互接触和纱条均匀性的增加，使纤维的可纺性提高，但纱的结构膨松，有序性下降

lichnerowicz 公式

Lichnerowicz公式又称偏微分方程与微分几何之间的通信公式，是微分几何与偏微分方程领域的重要公式之一。

Lichnerowicz公式由法国数学家安德烈·利希纳罗维奇（André Lichnerowicz）于20世纪50年代提出，它描述了曲率与拉普拉斯算子之间的关系，为研究流形上的偏微分方程提供了重要工具。

Lichnerowicz公式在微分几何和相对论等领域有着广泛的应用，它是曲率与拉普拉斯算子间通信的本质。

通过Lichnerowicz公式，我们可以研究曲率与流形上的调和函数、本征值等之间的关系，从而深入理解流形结构与其上的偏微分方程。

为了全面地介绍Lichnerowicz公式，我们将从以下几个方面展开阐述：1. Lichnerowicz公式的基本概念Lichnerowicz公式是指曲率算子与拉普拉斯算子之间的通信。

在Riemannian流形上，曲率算子描述了流形上的几何性质，而拉普拉斯算子则是用来描述函数在该流形上的调和性质。

Lichnerowicz公式揭示了这两者之间的内在通信，通过分析曲率与拉普拉斯算子之间的关系，可以深入理解流形上的几何与微分方程之间的通信。

2. Lichnerowicz公式的数学表达Lichnerowicz公式的数学表达是一个重要的核心内容。

通常情况下，Lichnerowicz公式可以表示为△f + A(f) = 0，其中△为拉普拉斯算子，A为一个与曲率算子有关的算子，f为流形上的调和函数。

这个公式的重要性在于它将曲率算子与拉普拉斯算子之间的关系通过一个简洁而优美的数学形式展现出来。

3. Lichnerowicz公式的应用Lichnerowicz公式在微分几何、相对论等领域有着广泛的应用。

在微分几何领域，Lichnerowicz公式被广泛运用于研究流形上的调和函数、本征值等问题；在相对论领域，Lichnerowicz公式则为广义相对论方程的研究提供了重要的工具。

李群和李代数的基本概念和运算

李群和李代数的基本概念和运算李群和李代数是两个基本的概念，在许多领域中都有着广泛的应用。

本文将简要介绍李群和李代数的基本概念和运算。

一、李群的基本概念李群是一种数学结构，它是一个群以及一个连续流形的结合体。

其中，群是指一个集合，其上定义了一种二元运算，满足封闭性、结合律、单位元、逆元等性质；流形是指一个具有良好的拓扑结构的空间，可用于研究曲线、曲面等几何对象。

李群是一个具有连续性质的群，通过与流形的结合，可以得到一些有用的性质。

李群可表示成G=(M,*)的形式，其中M是一个流形，*是一个满足结合律的二元操作，且存在一个单位元e∈G使得a*e=e*a=a对于任何a∈G成立。

对于这样的李群，还存在一个映射φ，使得φ：M->M是一个光滑的双射，且φ(a*b)=φ(a)*φ(b)，其中a、b∈G。

这个映射φ被称为李变换（Lie transformation），是通过李群对流形上的点进行变换而得到的。

在李群中，还有一些重要的概念，如李子群、李代数等，下面将分别进行介绍。

二、李子群的定义李子群是指一个李群G的一个子集H，其中H也是一个李群，且G与H同构。

即，如果u∈G，则uH={uh∣h∈H}是G的一个李子群。

这里的同构是指存在一个双射f：G->H，使得f是一个连续的双射，且f(a*b)=f(a)*f(b)，其中a、b∈G。

三、李代数的定义李代数是李群的切空间上的代数结构，它由切空间在李括号下的运算所构成，可用于描述李群的局部性质。

在李代数中，我们定义李括号[ , ]作为切向量场的对应关系，即[x,y]代表切向量场x 和y的李括号。

李代数的基本性质包括结合律、反交换律等。

在李代数中，还有一些常用的概念，如生成元、流形等，下面将进行简单介绍。

四、李代数的运算李代数中的基本运算有加法、数乘、李括号等。

其中，加法和数乘的定义类似于向量空间，也就是说，对于任意x、y∈g，以及任意实数k，都有：x+y=y+xkx∈g李括号运算是李代数中最为基本的运算，其定义如下：[x,y]=xy-yx其中，x、y∈g，xy是指切向量场x和y在某点上的Leibniz乘积。

leibniz 法则

leibniz 法则Leibniz法则是微积分中一个非常重要的原理，它是由德国数学家莱布尼茨于17世纪提出的。

Leibniz法则主要是用来求导数的，它可以帮助我们简化复杂函数的求导过程，提高计算效率。

Leibniz法则可以分为两个部分，分别是链式法则和乘积法则。

首先我们来看链式法则。

链式法则是用来求复合函数的导数的。

复合函数是由两个或多个函数复合而成的函数，例如f(g(x))。

链式法则告诉我们，对于复合函数f(g(x))，它的导数等于外层函数f'(g(x))乘以内层函数g'(x)。

换句话说，导数的求导过程是从内到外的。

举个例子来说明链式法则的应用。

假设我们要求函数f(x)=sin(x^2)的导数。

我们可以将它分解成两个函数的复合：f(x)=sin(u)，其中u=x^2。

根据链式法则，f'(x)=cos(u)*2x，其中cos(u)是外层函数的导数，2x是内层函数的导数。

所以f'(x)=cos(x^2)*2x。

接下来我们来看乘积法则。

乘积法则是用来求两个函数的乘积的导数的。

它告诉我们，对于两个函数f(x)和g(x)的乘积h(x)=f(x)*g(x)，它的导数等于f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。

换句话说，导数的求导过程是将两个函数的导数相乘再相加。

举个例子来说明乘积法则的应用。

假设我们要求函数h(x)=x^2*sin(x)的导数。

根据乘积法则，h'(x)=2x*sin(x)+x^2*cos(x)，其中2x是x^2的导数，sin(x)是sin(x)的导数，x^2是sin(x)的导数，cos(x)是x^2的导数。

所以h'(x)=2x*sin(x)+x^2*cos(x)。

Leibniz法则的应用不仅限于链式法则和乘积法则，还可以推广到更多的函数组合形式。

无论是多层复合函数还是多个函数的乘积，Leibniz法则都可以帮助我们求出它们的导数。

判断流体流动形态的参数

判断流体流动形态的参数一、雷诺数（Reynolds number）雷诺数是流体力学中常用的一个无量纲参数，用来描述流体在流动过程中惯性力与黏性力之间的相对作用大小。

它的计算公式为Re = ρvL/μ，其中ρ为流体密度，v为流体流速，L为特征长度，μ为流体动力粘度。

当雷诺数小于一定阈值时，流动形态会呈现层流状态；当雷诺数超过一定阈值时，流动形态会由层流转变为湍流。

通过测量流体的密度、流速、特征长度和动力粘度，可以判断流体流动形态的转变。

二、马赫数（Mach number）马赫数是流体力学中用来描述流体流动速度与声速之比的无量纲参数。

它的计算公式为Ma = v/c，其中v为流体流速，c为流体中的声速。

当马赫数小于一时，流动形态为亚音速流动；当马赫数接近或超过一时，流动形态为超音速流动。

通过测量流体的流速和流体中的声速，可以判断流体流动形态的变化。

三、流动的压力梯度（Pressure gradient）流动的压力梯度是指单位长度内流体压力的变化率。

在层流状态下，流体的压力梯度会导致流体流速的变化，但不会引起流动形态的改变；而在湍流状态下，流体的压力梯度会导致流动形态的剧烈扰动，使流体呈现无规则的涡旋结构。

通过测量流体压力的变化，可以判断流体流动形态的转变。

四、雷诺剪切应力（Reynolds shear stress）雷诺剪切应力是指在湍流状态下流体流动时，由于流体的不规则运动而引起的剪切应力。

该剪切应力会使流体流动形态变得复杂，产生各种涡旋结构和湍流尺度。

通过测量流体中的雷诺剪切应力，可以判断流体流动形态是否为湍流。

五、流动的能量损失（Energy loss）流动的能量损失是指流体在流动过程中由于黏性耗散等因素而损失的能量。

在层流状态下，由于黏性耗散较小，流动的能量损失也相对较小；而在湍流状态下，由于湍流的剧烈扰动，流动的能量损失较大。

通过测量流体流动过程中的能量损失，可以判断流体流动形态的转变。

六、流动的噪声特性（Noise characteristics）流动的噪声特性是指流体在流动过程中产生的噪声。

流形(Manifold)

流形球面(球的表面)为二维的流形，由于它能够由一群二维的图形来表示。

流形（Manifold），是局部具有欧几里得空间性质的空间。

欧几里得空间就是最简单的流形的实例。

地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。

一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。

流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的自然的舞台。

物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。

他们也用于位形空间（configuration space）。

环面（torus）就是双摆的位形空间。

我们可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的，因为所有变形（同胚）会保持拓扑结构不变；而把解析簇看作是“硬”的，因为整体的结构都是固定的。

例如一个1维多项式，如果你知道 (0,1) 区间的取值，则整个实数范围的值都是固定的，局部的扰动会导致全局的变化。

我们还可以把光滑流形看作是介于两者之间的形体：其无穷小的结构是“硬”的，而整体结构则是“柔软”的。

这也许是中文译名流形的原因（整体的形态可以流动）。

该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。

这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。

流形可以视为近看起来象欧几里得空间或其他相对简单的空间的物体。

例如，人们曾经以为地球是平坦的，因为我们相对于地球很小，这是一个可以理解的假象。

所以，一个理想的数学上的球在足够小的区域也像一个平面，这使它成为一个流形。

但是球和平面有很不相同的整体结构:如果你在球面上沿一个固定方向走，你最终回到起点，而在一个平面上，你可以一直走下去。

一个曲面是二维的。

但是，流形可以有任意维数。

其他例子有：一根线的圈（一维的）以及三维空间中的所有旋转（三维的）。

旋转所组成的空间的例子表明，设M是豪斯多夫空间，若对任意一点，则有x在M中的一个邻域U同胚于m维欧几里得空间R m的一个开集，称M是一个m维流形。

流动相似原理

相似的流动。
5.2 动力相似准则
在几何相似的条件下，两种物理现象保证相似的条件或准则。
动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持固定不变的比例关系。
流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。
根据：可得：
'l'3 v'
几何条件边界条件（进口、出口的速度分布等）物性条件（密度、粘度等）初始条件（初瞬时速度分布等）
由单值条件中的物理量所组成的相似准则称为“定性准则”，而将包含被决定量的相似准则称为“非定性准则”。
1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模型，选择流动介质；在什么条件下进行实验？在相似的条件下进行实验
CλF 1 Cλρ Cλl2l2Cλv22
Cλll 1 λCvv Cλtt
l' l v't' vt
St 称为斯特劳哈
l Srt vt
尔数，它是当地惯性力与迁移惯性力
的比值。
t
弹性力相似准则
弹性力比： λF
λ CFCc2CCl2
2 c
λρ λl2
若流场中的流体为气体，则
K c2
（ c为声速）
几何现状不完全相似的近似模化
正态模型
形状相同，维数相同，比例一致，大小不同。
变态模型
比例变化形状变化维数变化
长径比长宽比三改二
输水渠道的模拟实验
自模化
在一定条件下自行相似的现象
在圆管流动中，当 Re ≤2320 时，管内流动的速度分布都是一轴对称的旋转抛物面。当 Re>4×105管内流动状态为紊流状态，其速度分布基本不随 Re 变化而变化，故在这一模拟区域内，不必考虑模型的 Re 与原型的 Re 相等否，只要与原型所处同一模化区即可。

潮流计算的基本算法及使用方法之欧阳历创编

潮流计算的基本算法及使用方法一、二、潮流计算的基本算法1.牛顿－拉夫逊法1．1 概述牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。

这种方法的特点就是把对非线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。

牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏导数——雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。

因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。

而所谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1)启动即在此邻域内。

1．2一般概念对于非线性代数方程组即 ()0,,,21=n i x x x f ()n i ,2,1= (1－1) 在待求量x 的某一个初始计算值()0x 附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的线性化的方程组()()()()()0000=∆'+x x f x f (1－2)上式称之为牛顿法的修正方程式。

由此可以求得第一次迭代的修正量()()()[]()()0100x f x f x -'-=∆ (1－3)将()0x ∆和()0x 相加，得到变量的第一次改进值()1x 。

接着再从()1x 出发，重复上述计算过程。

因此从一定的初值()0x 出发，应用牛顿法求解的迭代格式为()()()()()k k k x f x x f -=∆' (1－4)()()()k k k x x x ∆+=+1 (1－5)上两式中：()x f '是函数()x f 对于变量x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J ；k 为迭代次数。

由式（1－4）和式子（1－5）可见，牛顿法的核心便是反复形成求解修正方程式。