分式的约分和通分

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分式的约分和通分

(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

(2)分式约分的依据：分式的基本性质．

(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因

式．

(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．

3．例题与练习：

例1：约分：()532164.1abc bc a - ()()()

x y a y x a --322.2 （1）①有没有公因式？②公因式是什么？解：23235324444164c

a abc c abc a abc bc a -=⋅⋅-=- 小结：分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因

式的最低次幂，注意系数也要约分

(2).请学生分析如何约分：由于()y x x y --=-，所以，分子和分母的公因式是：()y x a -，约分可得：

解：()()()()()()()()22

32322222y x a y x a y x y x a y x a y x a x y a y x a --=--⋅--=---=-- 小结：①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的

基本性质进行约分．②注意对分子、分母符号的处理．分子或分母的系数

是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边．

例2 .把下列各式约分：()x x x 525.122-- ()6

34.222-+++a a a a 解：()()()()x x x x x x x

x x 5555525.122+=--+=-- ()()()()()2

约分和通分是什么意思依据是什么

约分和通分的意思：把分数化成最简分数的过程就叫约分。约分是分式约分，把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变。约分的依据为分数的基本性质。约分时，如果能很快看出分子和分母的最大公因数，直接用它们的最大公约数去除比较简便。

约分和通分是什么意思

1、把分数化成最简分数的过程就叫约分。约分是分式约分，把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变。约分的依据为分数的基本性质。约分时，如果能很快看出分子和分母的最大公因数，直接用它们的最大公约数去除比较简便。

2、通分就是把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母的分数的过程。通常用来做分数的加减法和比较分数的大小。

约分和通分的依据是什么

约分和通分的依据是分数的基本性质。分数的基本性质是：分数的分子和分母同时乘以或除以一个相同的且不为零的数，大小不变。约分是分式约分，把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变，这个过程叫约分。如：4/6=2/3；44/10=22/5通分：根据分数（式）的基本性质，把几个异分母分数（式）化成与原来分数（式）相等的同分母的分数（式）的过程，叫做通分。

例如：

比较2/3和3/4的大小。

∵2/3=8/12

3/4=9/12

∴3/4＞2/3

约分和通分的相同点是什么

通分是把两个分数分母化在相同的。

约分是把分数和分子和分母约得最简。

通分和约分完全是两码事,

但是原理是一样的：都是利用分子和分母同乘以(或除以)同一个数,

分数的大小不变。

分式的通分

2
x 4 ( 3) 2 x 4x 4
2
2、通分：1 2
1 1 6 6 2 2 6 12
3 4
5 6
各分母的最小公倍数12
5 5 2 10 6 6 2 12
3 3 3 9 4 4 3 12
分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。
2
3
y 2x
3
y 21 21 y 2 x 21 42 x
3
3
2、试确定下列分式的最简公分母：
（分母中虽然有的因式是多项式，但仍然是积的形式。）
1 x( x y )
x y( x y)
2
y ( x y)(x y)
最简公分母是：xy(x-y)2(x+y)
归纳：
确定几个分式的最简公分母的方法：（1）系数：各分母系数的最小公倍数；（2）字母：凡分母中出现的所有的字母（或因式）都要取到；（3）字母的指数：指数取最高的。
分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
用公式表示为: A AM A A M , . B BM B B M (其中M是不等于零的整式)
做一做
1、约分：
2x y (1) 2 2 4x y
3

分式的约分和通分

3x2 x2
15 x 25
(3) 1 与 x x2 4 4 2x
解：（2）最简公分母是 2(x 2)(x 2)
1
1 2
2
x2 4 (x 2)( x 2) 2 2x2 8
x
x
x (x 2)
x2 2x

4 2x 2(x 2) 2(x 2)(x 2) 2x2 8
分式的约分和通分
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
C , C .(C 0) C C
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式。
分数是如何约分的? 1、约分：约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数。
理解应用分式的约分
例3 约分：
1
-25a2bc3 15ab2c
;

2
x2
x2 9 6x
9
;
3 6x2 12xy 6 y2 .
3x 3y
分析：当分子分母是多项式的时候，先进行因式分解，再约分.
解：
25a2bc3 (1) 15ab2c
5abc 5ac2
5abc 3b
15 21
=
35 5 37 7
理解应用
a 2bc a2bc ab ac

约分和通分的依据是什么

约分和通分的依据都是分数的基本性质。分数的分子和分母同时乘以或除以一个相同的且不为零的数，分数的大小不变。

约分：约分是分式约分，把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变。

通分：根据分数（式）的基本性质，把几个异分母分数（式）化成与原来分数（式）相等的同分母的分数（式）的过程，叫做通分。

通分方法：

1.求出原来几个分数的分母的最小公倍数；

2.根据分数的基本性质，把原来分数化成以这个最小公倍数为分母的分数。

约分方法：

根据分数的基本性质：“分数的分子和分母同时除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变——分数的基本性质”来进行约分。

方法一：可以用分子和分母的公因数（1除外）去除；

方法二：直接用分数的分子和分母的最大公因数（1除外）去除。

人教版八年级数学上册《分式的基本性质应用约分、通分》评课稿

人教版八年级数学上册《分式的基本性质应用约分、通分》

评课稿

一、引言

《分式的基本性质应用约分、通分》是人教版八年级数学上册中的一节课，本评课稿旨在对这节课进行全面的评价和分析。本节课主要介绍了分式的基本性质，包括约分和通分的应用，并通过一些练习题来帮助学生掌握这些概念和技巧。

二、教学目标

本节课的教学目标主要包括以下几个方面：

1.理解分式的基本性质，包括分子、分母、约分和通

分的定义和意义；

2.学会应用约分的方法简化分式；

3.学会应用通分的方法将分式同分母；

4.锻炼学生的逻辑思维和解决问题的能力。

三、教学重点和难点

教学重点主要放在以下几个方面：

1.分式的基本性质，包括分子、分母、约分和通分的

定义和意义；

2.约分的方法和技巧；

3.通分的方法和技巧；

4.练习题的应用。

教学难点主要在于学生理解分式的基本性质和灵活运用约分和通分的方法。

四、教学过程

1. 导入新知识

通过提问题的形式，引导学生思考和回顾已学内容，例如：“你还记得什么是分式吗？分式有哪些基本概念和性质？”

2. 分析讲解

介绍分式的基本性质，包括分子、分母、约分和通分的定

义和意义。通过具体的例子讲解这些概念的应用方法，帮助学生理解清楚。

3. 约分的应用

讲解约分的方法和技巧，通过一些练习题来帮助学生掌握

约分的应用。可以选择一些具体的实际问题，让学生通过约分来简化计算，培养他们的数学思维能力。

4. 通分的应用

讲解通分的方法和技巧，通过一些练习题来帮助学生掌握

通分的应用。可以选择一些实际生活中的问题，让学生通过通分来解决问题，锻炼他们的逻辑思维和解决问题的能力。

分式的约分与通分技巧

在数学中，分式是由分子和分母组成的表达式，分式可以通过约分和通分来进行简化或合并。约分是指分式的分子与分母同时除以它们的公约数，使分子和分母尽可能小。通分则是将两个分式的分母统一为相同的数，以便进行比较或运算。在本文中，我们将介绍分式的约分与通分的一些技巧。

一、分式的约分技巧

当一个分式的分子和分母有公约数时，可以进行约分。约分的目的是使得分子和分母尽可能地简化，这样可以方便计算和比较。

1. 找出分子和分母的公约数：公约数是指能够同时整除两个或多个数的数。例如，对于分式4/8，公约数有1、2和4。

2. 除去公约数：将分子和分母分别除以它们的公约数。对于分式4/8，我们可以除以公约数2，得到最简分式1/2。

3. 化简分式：如果分式的分子和分母仍然有公约数，可以继续进行约分操作，直到无法再约分为止。

例如，对于分式12/24，我们可以先找出它们的最大公约数为12，然后进行除法操作，得到最简分式1/2。

二、分式的通分技巧

在进行分式的比较或运算时，往往需要将分式的分母统一为相同的数，这就是通分操作。

1. 找出分式的最小公倍数：最小公倍数是指两个或多个数的公倍数

中最小的一个数。例如，对于分式1/2和3/4，我们可以找出它们的最

小公倍数为4。

2. 乘以适当的倍数：将分子和分母同时乘以适当的倍数，使得分母

变为最小公倍数。对于分式1/2，我们乘以2/2得到2/4；对于分式3/4，我们乘以1/1得到3/4。

3. 进行比较或运算：通分后的分式可以进行比较或运算。例如，对

于分式1/2和3/4，通分后分别为2/4和3/4，可以直接比较它们的大小。

分式的通分和约分

今天我来跟大家聊聊分式的通分和约分。

第一节，什么是分式

分式也叫做分数，表示两个不同的大小的数，由分子和分母两部分组成，先定义一下分子分母的含义：分子：是分式的分子部分，表示两个数的比值；分母：是分式的分母部分，表示两个数的大小。

第二节，什么是分式的通分

所谓的分式的通分就是将两个分式的分子和分母都变成同一个数，让它们具有相同的大小，这样就可以比较它们之间的大小，从而挑出最大的和最小的。

第三节，分式的通分怎么做

要想将两个分式通分，首先需要先确定它们的最大公约数（LCD）。最大公约数就是能够同时整除两个数的最大数。最后，将分子分别乘以分母与最大公约数的商，将分母分别乘以分子与最大公约数的商，这样两个分式的分子和分母就都变成同一个数，完成了分式的通分。

第四节，什么是分式的约分

所谓的分式的约分，就是通过求出一个分式中分子和分母的最大公约数，并将它们各自化简为最小公分数，以达到求出分式的最简形式，也就是约分的过程。

第五节，分式的约分怎么做

首先计算两个分式的最大公约数，然后将分子各自化简为最小公分数，再将分母也各自化简为最小分数，最后将两个分式的也可以变成最小公分数的形式，完成了分式的约分。

综上所述，分式的通分和约分经常被广泛使用，两个分式的通分可以让它们具有相同的大小，从而比较它们之间的大小；而分式的约分则可以求出这个分式的最简形式。也希望通过本文，人们能够对分式的通分和约分有更深刻的理解。

分数的通分和约分

在数学的学习中，分数是一个重要的概念。分数由分子和分母组成，分子代表被分成的部分，分母代表总共的部分。在做分数的运算时，

需要进行通分和约分。本文将会详细介绍分数的通分和约分。

一、分数的基本概念

分数是表示一个数与其分母的比值的算式，通常用“分子/分母”的形

式表示。其中，分子是被分的部分，分母是总共的部分。例如，1/2就

表示一个物品被分成了2份，其中取了1份。

二、通分

通分是指将两个或多个分母不相同的分数，化为公分母后进行运算

的方法。通分的方法是将各个分数的分母变为它们的公倍数，然后将

各分数的分子按相应的倍数进行扩大，从而得到它们的等价分数，这

些等价分数的分母就是它们的公分母。通分的结果是使各个分数具有

相同的分母，从而可以进行简便的运算。

例如，对于两个分数1/3和3/4，我们可以将它们的公倍数12作为

它们的分母，然后将它们的分子按比例扩大，得到等价分数4/12和

9/12。这样，它们就具有了相同的分母，可以进行加减运算。

三、约分

约分是指将一个分数的分子和分母同时除以一个数，使分子和分母

的最大公约数等于1。这样，就可以得到最简分数，即分子和分母没有共同因数的分数。

例如，对于分数12/24，分子和分母的最大公约数是12，因此，我

们可以将分子和分母都除以12，得到最简分数1/2。这样的好处是可以简化分数比较和运算的过程。

四、通分和约分的应用

通分和约分在求解分数的加减乘除和简化分式等问题中都有应用。

在分数加减法中，需要先进行通分，使各个分数具有相同的分母，

然后再将分子相加或相减，得到最终结果，最后进行约分，得到最简

分式通分

同学甲和同学乙在化简时出现了分谁做的对？歧，谁做的对？
5 xy 5x = 同学甲 2 2 20 x y 20 x 5 xy 5 xy 1 同学乙 = = 2 20 x y 4 x ⋅ 5 xy 4 x
下列分式中，例3 下列分式中，
12b c （x + y） a + b 4a − b a − b 5 、、、、 4a y + x 3(a + b) 2a − b b − a
6、下列分式中最简分式是、下列分式中,最简分式是
(B )
a −b x +y A B b−a x+ y
2
2
x −4 2+a C D 2 x−2 a + 4a + 4
2
a b c 7、分式 2b , 3a 2 , 4ab
的最wk.baidu.com公分母是 12a2b
1 1 1 1 1 , , 2 , 2 8、分式 , x x + 1 x − 1 x − 1 x + 2 x +的最简公分母是 1
2、下列分式中最简分式是、下列分式中,最简分式是
( B)
a −b x +y A B b−a x+ y
2
2
x −4 2+a C D 2 x−2 a + 4a + 4

分式的约分与通分技巧

分式是数学中常见的一种表达形式，它由分子和分母组成。在进行数学运算或问题解答时，需要对分式进行约分或通分，以便更方便地进行计算或分析。本文将介绍分式的约分与通分技巧，并提供一些实例进行说明。

一、分式的约分技巧

分式的约分是指将分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数，使得分子和分母的比值保持不变，但分式的表示形式更简洁。下面是一些常见的约分技巧：

1. 找出分子和分母的公共因子，计算它们的最大公约数。然后将分子和分母同时除以最大公约数。

例如，对于分式6/12，我们可以找到分子6和分母12的最大公约数为6。将分子和分母同时除以6，得到约分后的分式1/2。

2. 利用质数进行约分。如果分子分母都可以被同一个质数整除，那么可以直接将分子和分母同时除以这个质数。

例如，对于分式18/24，我们可以发现分子18和分母24都可以被2整除。将分子和分母同时除以2，得到约分后的分式9/12。继续约分，我们可以得到3/4。

二、分式的通分技巧

通分是指将两个或多个分式的分母统一为相同的数值。通分可以使

得分式之间的比较和运算更加便利。下面是一些常见的通分技巧：

1. 找出两个分式分母的最小公倍数，将两个分式的分母都改为最小

公倍数，并使得分子保持不变。

例如，对于分式1/2和2/3，它们的分母分别为2和3。2和3的最

小公倍数为6，因此我们可以将1/2乘以3/3，2/3乘以2/2，得到通分

后的分式3/6和4/6。

2. 利用分母之间的因数关系进行通分。如果两个分数的分母之间存

在因数关系，可以根据这个关系进行通分。

分式的约分与通分及其运算规则

分式的约分与通分及其运算规则分式是数学中常见的一种数形式，由分子和分母组成，表示为a/b

的形式。分式的约分与通分是分式运算的基础，它们在分式的运算过

程中起到了重要的作用。本文将介绍分式的约分与通分的概念和运算

规则。

一、分式的约分与通分的概念

1. 约分：约分是指将分式中的分子和分母同时除以它们的公因数，

使得分式的值保持不变且分子与分母互素（即它们的最大公约数为1）。约分后的分式与原式等值，但其分子与分母通常会更小。

2. 通分：通分是指将两个或多个分式的分母进行相同的乘积操作，

使它们拥有相同的分母。通分后的分式可以方便地进行相加、相减、

相乘、相除等运算。

二、约分与通分的运算规则

1. 约分运算规则：

a) 分式的分子与分母可以同时除以一个相同的非零整数，得到等

值的分式。

b) 分式的分子与分母可以同时乘以一个相同的非零整数，得到等

值的分式。

2. 通分运算规则：

a) 对于两个分式a/b和c/d，若它们的分母相等，则可以直接相加、相减、相乘、相除等运算。

b) 对于两个分式a/b和c/d，若它们的分母不等，则需要进行通分

操作，即将它们的分母相乘，并将分子按相应倍数扩大，使得它们的

分母相等，然后再进行相加、相减、相乘、相除等运算。

三、约分与通分的实例演示

1. 约分实例：

分式4/8可以约分为1/2，因为它们的最大公约数是4。

分式6/15可以约分为2/5，因为它们的最大公约数是3。

分式12/18可以约分为2/3，因为它们的最大公约数是6。

2. 通分实例：

分式1/3和2/5需要进行通分操作才能相加。

首先，它们的分母分别为3和5，所以它们的最小公倍数为15。

专题7 分式的通分和约分（含答案）

专题7 分式的通分和约分

知识解读

一、约分

1.约分步骤

（1）分子、分母是单项式

第1步：判断结果的符号，整个分式、分子和分母的负号个数之和，奇数个为负，偶数个为正；第2步：约去公因式，系数与系数约分，相同字母与相同字母分别约分。

（2）分子、分母是多项式

第1步：分别将分子、分母因式分解；

第2步：分子、分母约去公因式；

注意：最高次项系数为负数的，可应用分式性质将最高次项系数化为正数后再因式分解。

2.寻找最大公因式的方法

寻找分子、分母最大公因式的步骤：①系数，找最大公约数；②相同式子，找最低次幂。如果分子或分母是多项式，要先进行分解因式，再找公因式.

二、通分

1.通分的步骤

（1）确定几个分式的最简公分母；

（2）将几个分式的分子、分母同时乘同一个整式，使得所有分式的分母都化成最简公分母.

2.寻找最简公分母的方法

（1）分母为单项式：①系数取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

②取单项式中每个字母出现的最高次幂作为最简公分母中该字母出现的次数.

（2）分母为多项式：①将每个分母因式分解；②找出每个出现的因式的最高次幂，它们的积为最简公分母的因式；③若有系数，方法同上。

培优学案典例示范

一、约分

例1计算：

1、（1）

m n

-；（2）4

xy y

x xy y

；（3）

y x

x xy y

-+-

【提示】先将分子、分母化成乘积的形式，然后约分.

【解答】

【技巧点评】

约分的前提条件是分子、分母有公因式，判断分子、分母是否有公因式，需要将分子、分母化成乘积的形式.