高三复习函数的零点部分高考试题汇编
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题2：函数5(函数的零点)
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题2：函数（函数的零点）选择题1．（2014•北京文）已知函数26()log f x x x =-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是( C ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,4) D ．(4,)+∞2．（2014•重庆文）已知函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，且()()g x f x mx m =--在(1-，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( A )A ．9(4-，2](0-⋃，1]2B ．11(4-，2](0-⋃，1]2C ．9(4-，2](0-⋃，2]3D ．11(4-，2](0-⋃，2]3 3．（2015•天津文）已知函数22||,2()(2),2x x f x x x -⎧=⎨->⎩…，函数()3(2)g x f x =--，则函数()()y f x g x =-的零点个数为( A )A ．2B ．3C ．4D ．54．（2015•天津理）已知函数22||,2()(2),2x x f x x x -⎧=⎨->⎩…，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是( D )A ．7(4，)+∞B ．7(,)4-∞C ．7(0,)4D ．7(4，2) 5．（2017•新课标Ⅲ文理）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则(a = C )A ．12-B ．13C ．12D ．1填空题1．（2014•天津文）已知函数2|54|,0()2|2|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩…，若函数()||y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为 (1,2) ．2．（2014•福建文）函数22,0()26,0x x f x x lnx x ⎧-=⎨-+>⎩…的零点个数是 2 ． 3．（2014•江苏）已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[0x ∈，3)时，21()|2|2f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[3-，4]上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 1(0,)2 ． 4．（2014•天津理）已知函数2()|3|f x x x =+，x R ∈，若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 (0，1)(9⋃，)+∞ ．5．（2015•北京理）设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩…， ①若1a =，则()f x 的最小值为 1- ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 112a <…，或2a … ． 6．（2015•湖北文）()2sin f x =2sin()2x x x π+-的零点个数为 2 ． 7．（2015•湖北理）函数2()4cos cos()2sin |(1)|22x f x x x ln x π=---+的零点个数为 2 ． 8．（2015•湖南文）已知函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是 02b << ．9．（2015•湖南理）已知函数32,(),x x a f x x x a ⎧=⎨>⎩…若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 {|0a a <或1}a > ．10．（2016•山东文理）已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ⎧=⎨-+>⎩…，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是 (3,)+∞ ．11．（2017•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，2,(),x x D f x x x D ⎧∈=⎨∉⎩，其中集合1{|n D x x n-==，*}n N ∈，则方程()0f x lgx -=的解的个数是 8 ． 12．（2018•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则1001531003x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，当81z =时，x = 8 ，y = 11 ． 13．（2019江苏14）设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数．当(0x ∈，2]时，()f x (2),01,()1,12,2k x x g x x +<⎧⎪=⎨-<⎪⎩……其中0k >．若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 1[3．。
【高考数学二轮复习-经典微专题】第12讲 函数的零点问题-原卷及答案
第12讲 函数的零点问题知识与方法1确定函数()f x 零点所在区间的常用方法函数的零点、方程的根、函数图像与x 轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的3种不同表达形式.确定零点、方程根、函数图像与x 轴交点所在区间本质上是同一问题的不同表述形式,所以常用解法有3种.(1)解方程法;(2)利用函数零点的存在性定理;(3)数形结合法. 同样,判断函数零点个数也是这3种方法.2已知函数有零点(方程有根),求参数取值常用的方法(1)直接法.直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法.先将参数分离,转化为求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法.先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.典型例题【例1】已知:,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根,且2αβ<<,求m 的取值范围.(2)若220x ax ++=的两个根都小于1-,求a 的取值范围.【例2】(1)已知定义在R 上的奇函数()f x ,满足()()4f x f x -=-,且在区间[]0,2上是增函数,若方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有4个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=(2)设函数()()()20,20,x bx c x f x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩若()()()40,22f f f -=-=-,求关于x 的方程()f x x =的解的个数.【例3】设函数()()()2,1,42, 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩(1)若1a =,则()f x 的最小值为________.(2)若()f x 恰有2个零点,则实数a 的取值范围是________.【例4】设函数()222f x ax bx =+,若存在实数()00,x t ∈,使得对任意不为零的实数,a b 均有()0f x a b =+成立,则t 的取值范围是________.强化训练1.已知函数()2223f x ax x =+-,如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点,则实数a 的取值范围为________.2.设()22f x x ax b =++在区间[]1,2上有两个零点(可重合),则a b +的取值范围是________.3.已知函数()254,0,22,0,x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()y f x a x =-恰有4个零点,则实数a的取值范围为________.4.若在区间1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上存在两个不同的实数,a b ,使得2a b k a ++=和2b a k b ++=同时成立,求k 的取值范围.5.(1)若()(0xf x a x a a =-->且1a ≠有2个零点,则实数a 的取值范围是________.(2)函数()2ln f x x x=-的零点所在的区间是(). A.()1,2B.()2,3C.1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()e,36.若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,则()f x 可以是().A.()41f x x =-B.()()21f x x =- C.()e 1xf x =-D.()1ln 2f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭7.已知函数()42x xmf x +=是R 上的奇函数. (1)求m 的值. (2)设()12x g x a +=-,若函数()f x 与()g x 的图像至少有一个公共点,求实数a 的取值范围.第12讲 函数的零点问题知识与方法1确定函数()f x 零点所在区间的常用方法函数的零点、方程的根、函数图像与x 轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的3种不同表达形式.确定零点、方程根、函数图像与x 轴交点所在区间本质上是同一问题的不同表述形式,所以常用解法有3种.(1)解方程法;(2)利用函数零点的存在性定理;(3)数形结合法. 同样,判断函数零点个数也是这3种方法.2已知函数有零点(方程有根),求参数取值常用的方法(1)直接法.直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法.先将参数分离,转化为求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法.先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.典型例题【例1】已知:,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根,且2αβ<<,求m 的取值范围.(2)若220x ax ++=的两个根都小于1-,求a 的取值范围. 【解析】(1)【解法一】()()()2,220,240αβαβαβαβ<<∴--<∴-++<利用韦达定理1242,mm αβαβ+=-⎧⎨=-⎩代人(1)式得()4221240m m ---+<,解得3m <-.m ∴的取值范围为(),3∞--.【解法2】令()()22142f x x m x m =+-+-,拋物线开口向上.由实根分布2αβ<<,只要()20f <即可,即()()24212420f m m =+-⨯+-<,解得3m <-,即m 的取值范围为(,∞-,()3.-(2)【解法1】设()22f x x ax =++,当两根都小于1-时,函数()f x 的图像与x 轴的交点在一1的左侧,可得)()0,1,3,? .210a a a f ∆≥⎧⎪⎪⎡-<-⇒≤<⎨⎣⎪->⎪⎩即的取值范围为 【解法2】设12,x x 是方程的两个实根,有()()()()111212122212120,0,0,0,1,,10,1101011011020x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧⎧∆≥∆≥∆≥∆≥⎧⎪⎪⎪⎪<-+<⇒++>⇒+++>⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪<-+<+++<++<⎩⎩⎩⎩利用韦达定理,解不等式组得3a ≤<,即a的取值范围为)⎡⎣.【例2】(1)已知定义在R 上的奇函数()f x ,满足()()4f x f x -=-,且在区间[]0,2上是增函数,若方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有4个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=(2)设函数()()()20,20,x bx c x f x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩若()()()40,22f f f -=-=-,求关于x 的方程()f x x =的解的个数.【解析】(1)定义在R 上的奇函数,满足()()()()4,4f x f x f x f x -=-∴-=-.∴由()f x 为奇函数得函数图像关于直线2x =对称且()00f =;由()()4f x f x -=-知()()()()8444,f x f x f x f x -=--=--=∴函数是以8为周期的周期函数,又()f x 在区间[0,2上上是增函数，() f x ∴在区间[]2,0-上也是增函数,如图121-所示,则方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有4个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<.由对称性知1234123412,4,1248.x x x x x x x x +=-+=∴+++=-+=- (2)【解法1】由()()()40,22f f f -=-=-,可得164,4,2422,b c c b c b c -+=⎧∴==⎨-+=-⎩.()()()242020x x x f x x ⎧++≤⎪∴=⎨>⎪⎩∴方程()f x x =等价于()0,2,x x f x >⎧⎨==⎩或20,42x x x x≤⎧⎨++=⎩即2x =或20,2320,x x x x ≤⎧∴=⎨++=⎩或1x =-或2x =-,即()f x x =有3个解. 【解法2】同【解法1】可得()()()24204,2,20x x x b c f x x ⎧++≤⎪==∴=⎨>⎪⎩如图122-所示,方程()f x x =解的个数即函数()y f x =与y x =图像交点个数,由图知两图像有3A B C 、、个交点,故方程有3个解.【例3】设函数()()()2,1,42, 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩(1)若1a =,则()f x 的最小值为________.(2)若()f x 恰有2个零点,则实数a 的取值范围是________.【解析】()1当1a =时,()()()21,1412,1,xx f x x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩当1x <时,()11f x -<<,无最小值;当1x ≥时,()()()412f x x x =--=24128.x x -+由二次函数的性质知,32x =时,()f x 的最小值为()1,f x -∴的最小值为 1.- (2)当0a ≤时,20x a -=无解,()()420x a x a --=有两解,分别为a 与2a ,但均小于1,不合题意,故0a ≤时不成立;当0a >时,20xa -=有解()()2log ,420x a x a x a =--=有解x a =或2x a =,要使()f x 恰有2个零点,需3个根中有1个不合题意,只有22log 1,log 11,1,2121a a a a a a ⎧≥<⎧⎪⎪≥<⎨⎨⎪⎪≥≥⎩⎩或综上,实数a 的取值范围是[)1,12,2∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭.【例4】设函数()222f x ax bx =+,若存在实数()00,x t ∈,使得对任意不为零的实数,a b 均有()0f x a b =+成立,则t 的取值范围是________. 【解析】【解法1】(零点存在性定理)由题意222ax bx a b +=+在区间()0,x t ∈上对于任意的0,0a b ≠≠均有解. 故()()222g x ax bx a b =+-+在()0,x t ∈上对于任意的0,0a b ≠≠均有零点.()()()0,1.g a b g a b =-+=+故()()()2010g g a b =-+≤若0a b +=,则t 一定要大于1; 若1t >,则()()()2010g g a b =-+≤. 故()g x 在区间()0,t 上必有零点. 由零点存在性定理可得 1.t > 【解法2】(一“定”一“动”,数形结合)222ax bx a b +=+在区间()0,t 上对于任意的0,0a b ≠≠有解,即212122b x x a ⎛⎫⎛⎫-=--⎪⎪⎝⎭⎝⎭在区间()0,t 上对于任意0,0a b ≠≠均有解. 即2121y x =-与()2102y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭在 区间()0,t 上有交点,如图123-所示,故1t >强化训练1.已知函数()2223f x ax x =+-,如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点,则实数a 的取值范围为________.【解析】若,则得不合题意,故. (i)若时，在上至少有一个零点.有即解得(ii)当时，在上有零点的条件是 解得综上,实数的取值范围为.2.设()22f x x ax b =++在区间[]1,2上有两个零点(可重合),则a b +的取值范围是________. 【解析】0a =()()23,0f x x f x =-=[]31,1.2x =∉-0a ≠()()110f f -⋅()f x []1,1-()()2232230,a a --+-()()25210,a a --15.22a ()()110f f -⋅>()f x []1,1-()()()110,2111,2110,f f a a f f ⎧⎛⎫-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-⋅>⎪⎩5.2a >a 1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【解法1】易知,设, 则故即 【解法2】设的两根为,且.由韦达定理可得将(1)式看作关于的一次函数,又3.已知函数()254,0,22,0,x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()y f x a x =-恰有4个零点,则实数a的取值范围为________.【解析】画出函数的图像如答图所示.函数有4个零点,即函数的图像与函数的图像有4个交点根据图像知需.当时,函数的图像与函数的图像有3个交点,故.当与相切时,在整个定义域内,的图像与的图像有5个交点. 此时,由得. 由得,解得或(舍去).则当时,两个函数图像有4个交点,故实数的取值范围是.1124a b f ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()()()12f x x x x x =--121211111.22222f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭121113,,.2222x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦119,,244f ⎛⎫⎡⎤∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]0,2.a b +∈220x ax b ++=12,x x []12,1,2x x ∈()121212212122,111.,222x x a a b x x x x x x x x x b +=-⎧⎛⎫∴+=-++=--⎨⎪=⎝⎭⎩1x []2211321,2,,.22x x x a b --⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎣⎦][21,2,0,2.x a b ⎡⎤∈∴+∈⎣⎦()f x 121-()y f x a x =-1y a x =()f x (0a >2a =()f x 1y a x =2a <()0y a x x =254y x x =++()f x 1y a x =2,54y ax y x x =-⎧⎨=---⎩()2540x a x +-+=Δ0=2(5)160a --=1a =9a =12a <<a ()1,24.若在区间1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上存在两个不同的实数,a b ,使得2a b k a ++=和2b a k b ++=同时成立,求k 的取值范围. 【解析】【解法1】将式子和相减并整理,可得,即,故且.方程在区间上有两个不等实根.令结合图像可得解得即 【解法2】将和相减并整理,可得,即. 故且方程在区间上有两个不等实根.令即直线与抛物线有两个不同的交点，结合图像可得，即 5.(1)若()(0xf x a x a a =-->且1a ≠有2个零点,则实数a 的取值范围是________.2a b k a ++=2b a k b ++=2a b +=2b a =-2220a a k -++=2220b b k -++=∴2220x x k -++=1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222,f x x x k =-++111,22102x f ⎧⎛⎫>= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩对称轴在右边51,4k -<<-5,1.4k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭2a b k a ++=2b a k b ++=2a b +=2b a =-222k a a =-+-22 2.k b b =-+-∴222k x x =-+-1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222,f x x x =-+-y k =()222f x x x =-+-51,4k -<<-5,1.4k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【解析】 (1)函数的零点的个数就是函数与函数的交点的个数.如答图所示,由函数的图像可知时两函数图像有两个交点,时两函数图像有唯一交点,故.(2)函数()2ln f x x x =-的零点所在的区间是(). A.()1,2 B.()2,3 C.1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭ D.()e,3【解析】 函数在区间内存在零点， 【答案】B.6.若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,则()f x 可以是().A.()41f x x =-B.()()21f x x =- ()f x xy a =y x a =+122-1a >01a <<1a>()()()210220,2ln 210,3ln 30,3f f f =-=-<=-<=->()()()2110,120,230,f e f e f f e e ⎛⎫=->=--<∴< ⎪⎝⎭∴()2ln f x x x=-()2,3C.()e 1x f x =-D.()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】的零点为的零点为, 的零点为的零点为 接下来我们估算的零点， 的零点 又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过只有的零点符合此要求,【答案】A.7.已知函数()42x xm f x +=是R 上的奇函数. (1)求m 的值.(2)设()12x g x a +=-,若函数()f x 与()g x 的图像至少有一个公共点,求实数a 的取值范围.【解析】(1)由函数是上的奇函数可知,解得. (2)函数与的图像至少有一个公共点.则方程至少有一个实根， 即方程至少有一个实根.令则方程变为 令,由于, 只需解得实数的取值范围为()41f x x =-()21,(1)4x f x x ==-1x =()e 1x f x =-()10,ln 2x f x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭3.2x =()422x g x x =+-()101,1,2g g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()g x ∴10,.2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()422xg x x =+-0.25,∴()41f x x =-()f x R ()010f m =+=1m =-()f x ()g x 14122x x x a +-=-4210x x a -⋅+=20,xt =>210.t at -+=()21h t t at =-+()010h =>∴2Δ400,2a a ⎧=-⎪⎨>⎪⎩2,a ∴a [)2,∞+。
高考数学(简单版)-7函数零点 - 简单 - 习题 (2)
函数的零点习题一、选择题（共16小题；共80分）1. 函数的零点是A. B.C. ，D. ，2. 下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是A. B.C. D.3. 方程的根的个数是A. B. C. D.4. 函数的零点所在的一个区间是A. B. C. D.5. 函数的零点所在的大致区间是A. B.C. 和D.6. 的一个零点落在下列哪个区间A. B. C. D.7. 函数的零点所在的一个区间是A. B. C. D.8. 已知函数．在下列区间中，包含零点的区间是A. B. C. D.9. 函数的零点所在区间是A. B. C. D.10. 函数的零点所在的区间是A. B. C. D.11. 函数在区间上的图象是连续的，且方程在上仅有一个实根为，则的值A. 大于B. 小于C. 等于D. 无法确定12. 设函数，则其零点所在的区间为A. B. C. D.13. 函数的零点个数是A. 个B. 个C. 个D. 个14. 若成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数为A. B. C. D. 不能确定15. 已知函数，，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是A. B. C. D.16. 设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）17. 若函数有一个零点为，则函数的零点是．18. 用二分法求函数零点近似值的步骤：第一步，确定区间，验证⑬，给定精确度．第二步，求区间的中点．第三步，计算⑭：（i）若⑮，则就是函数的零点；（ii）若⑯，则令（此时零点）；（iii）若⑰，则令（此时零点）．第四步，判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则，重复第二、三、四步．19. 二次函数的图象与零点的关系20. 若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是．21. 方程的两根为，，则．22. 已知方程的一个根是，则它的另一个根是；的值是．三、解答题（共4小题；共52分）23. 求函数的零点．24. 列表，描点作图：25. 已知函数，．（1）当为何值时，轴为曲线的切线；（2）用表示，中的最小值，设函数，讨论零点的个数．26. 已知函数，，其中．设．（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；（2）若时，函数有两个不同的零点，．①求的取值范围；②求证：．。
高考数学复习选填题专项练习31---函数零点(解析版)
高考数学复习选填题专项练习30---函数零点第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2020·河北高三期末（文））函数131()2x f x x =-的零点所在的区间为（ ） A ．1(0,)4B ．11(,)43C ．11(,)32D ．1(,1)2【答案】C 【解析】【分析】先判断出函数的单调性,结合零点存在定理即可判断出零点所在区间. 【详解】函数131()2x f x x =-，所以函数在R 上单调递增，因为1113331311111033322f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1113321211111022222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数零点在11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭故选:C【点睛】本题考查了根据零点存在定理判断零点所在区间,注意需判断函数的单调性,说明零点的唯一性,属于基础题.2．（2020·江西高三（文））方程()3sin =f x x 零点的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】大致图形如图所示,接下来比较与在处的切线斜率,,时,,即在处的切线方程为轴,又,在,因此在轴右侧图象较缓,由图象可知,共有个交点,故选C ．【点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过点,而轴右侧的高低情况需要比较两个函数在处的切线斜率得到,为本题的易错点．3.（2019·四川高三月考（理））函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为（）A ．-1B ．1C ．-2D ．2【答案】A 【解析】【分析】由函数零点与方程的根的关系可得函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点即方程320x -=，3log 60x +=的根，解方程后再将两根相加即可得解.【详解】令320x -=，解得3log 2x =，令3log 60x +=，解得3log 6x =-，则函数()f x 的零点之和为3331log 2log 6log 13-==-，故选A. 【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题.4．（2020·河南高三期末（理））已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ）A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【答案】A 【解析】【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0ff x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93xf x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9xxx f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以令()()0f f x =，得()32log 93x f x x =+-=，因为()303f =<，3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=->⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以函数()()y ff x =的零点所在区间为73,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5．（2020·山东枣庄八中高三月考）已知()f x 是定义在[10,10]-上的奇函数，且()(4)f x f x =-，则函数()f x 的零点个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】【分析】由定义在[10,10]-上的奇函数可知(0)0f =且零点关于原点对称,利用(0)0f =,由()(4)f x f x =-可得到部分零点【详解】()f x Q 是定义在[10,10]-上的奇函数,(0)0f ∴=,且零点关于原点对称,∴零点个数为奇数,又()(4)f x f x =-Q ,(0)(4)0f f ∴==,(4)(4)0f f -=-=,(4)(44)(8)0f f f ∴-=+==,(8)(8)0f f -=-=,()f x ∴的零点至少有0,4,±8±这5个,【点睛】本题主要考查函数的零点、函数奇偶性的应用以及抽象函数的解析式,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.6. （2020·江西高三（理））已知函数()ln(||1)cos 2f x x a x =+++只有一个零点，则a =（ ）A ．2B ．4C ．3D ．2-【答案】D 【解析】【分析】判断函数为偶函数，根据偶函数的对称性即可求解.【详解】因为()ln(||1)cos()2()f x x a x f x -=-++-+=,所以函数()f x 为偶函数， 又函数()f x 只有一个零点， 故(0)0f =，所以2a =-.故答案为：2- 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的零点，属于容易题.7．（2020·湖北高三月考（理））已知函数23()123x x f x x =+-+，若()(2020)h x f x =-的零点都在(),a b 内，其中a ，b 均为整数，当b a -取最小值时，则b a +的值为（ ）A ．4038B ．2019C ．4037D ．4039【答案】D 【解析】【分析】求导分析23()123x x f x x =+-+的单调性,再根据零点存在定理与函数的平移分析即可.【详解】因为2'()10f x x x =-+>恒成立.故23()123x x f x x =+-+为增函数.所以()f x 有且仅有一个零点.又(0)10=>f ,115(1)110236f -=---=-<,故()f x 零点在区间()1,0-之间.又()(2020)h x f x =-为函数()f x 往右平移2020个单位,所以()(2020)h x f x =-的零点落在()2019,2020上.由题意可知, b a -取最小值时2020,2019b a ==,所以4039b a +=.故答案为：4039【点睛】本题主要考查了函数的零点存在性定理与函数平移的问题,属于基础题.8.（2020·河南南阳中学高三月考（理））已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>≤ ⎪⎝⎭，其图象与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】A【解析】由题意可得相邻最低点距离1个周期，T π=，2ω=，()1f x >，即()sin 20x ϕ+>，222,k x k k Z πϕππ≤+≤+∈，即,,222x k k k Z ϕϕπππ⎡⎤∈-+-++∈⎢⎥⎣⎦所以,123ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ⊆,,222k k k Z ϕϕπππ⎡⎤-+-++∈⎢⎥⎣⎦，包含0,所以k=0, ,,222k Z ϕϕπ⎡⎤--+∈⎢⎥⎣⎦,122223πϕϕππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩,63ππϕ≤≤． 【点睛】由于三角函数是周期周期函数，所以不等式解集一般是一系列区间并集，对于恒成立时，需要令k为几个特殊值，再与已知集合做运算．9．（2020·天津南开中学高三月考）已知函数22,2()(2),2⎧-≤=⎨->⎩x x f x x x ，函数()3(2)g x f x =--，则函数()()y f x g x =-的零点的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】由22,2()(2),2⎧-≤=⎨->⎩x x f x x x ，()3(2)g x f x =--，所以2222231,0()()231,0244155,2⎧+-+=+-≤⎪=-=--+=-<≤⎨⎪-+-+=-+>⎩x x x x x y f x g x x x x x x x x x x 所以当0x ≤时，零点为12x --=一个，当02x <≤时，无零点，当2x >时，零点为52+一个，所以零点个数为2个，故选A ． 考点：函数的零点个数的判断．【方法点睛】该题属于考查函数的零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定出函数解析式，根据题中所给的函数()f x 的解析式求得函数()g x 的解析式，从而得到()()f x g x -关于x 的分段函数，通过对每一段上的解析式进行分析，求得相应的函数的零点，注意结合自变量的取值范围进行相应的取舍，最后确定出该题的答案．10.（2020·河南鹤壁高中高三月考（文））已知函数2()cos2cos 1(0)222xxxf x ωωωω=+->的周期为π，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()f x m ＝恰有两个不同的实数解1x ，2x ，则()12f x x +=（ ） A ．2 B ．1C ．﹣1D ．﹣2【答案】B 【解析】【分析】对()f x 进行化简，利用周期为π，求出2ω=，根据()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象，得到12x x +的值，再求出()12f x x +的值.【详解】2()cos2cos 1222xxxf x ωωω=+-cos 2sin 6x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由2T ππω== ，得2ω=．()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．作出函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象如图：由图可知，123x x π+=，()1212sin 221362f x x ππ⎛⎫∴+=⨯+=⨯= ⎪⎝⎭．故选B 项． 【点睛】本题考查正弦型函数的化简及其图像与性质，属于简单题.11. （2020·河北工业大学附属红桥中学高三月考）已知函数32,0(),0x x x f x lnx x ⎧-=⎨->⎩…，若函数()()g x f x x a=--有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，2)B ．[0，1)C ．(-∞，2]D ．(-∞，1]【答案】A 【解析】【分析】本道题先绘制()f x 图像，然后将零点问题转化为交点问题，数形结合，计算a 的范围，即可． 【详解】绘制出()f x 的图像，()f x x a =+有3个零点，令()h x x a =+与()f x 有三个交点，则()h x 介于1号和2号之间，2号过原点，则0a =，1号与()f x 相切，则()2'321,1f x x x =-==-，1y =，代入()h x 中，计算出2a =，所以a 的范围为[)0,2，故选A ．【点睛】本道题考查了数形结合思想和函数与函数交点个数问题，难度中等．12．（2020·湖南长沙一中高三月考（理））已知偶函数()y f x =的定义域为R ，当0x ≥时，()23sin ,01221,1x x x f x x π-⎧≤≤⎪=⎨⎪+>⎩函数()()2221g x x ax a a R =-+-∈，若函数()()y g f x =有且仅有6个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]2,3D ．()2,3【答案】B 【解析】【分析】画出()f x 的图像,先求解()22210g x x ax a =-+-=,再数形结合列出关于a 的不等式求解即可.【详解】由题意画出()f x 的图像如图所示,由()22210g x x ax a =-+-=解得11x a =+,21x a =-,由函数()()y g f x =有且仅有6个零点知113011a a <+<⎧⎨<-≤⎩,解得12a <<,【点睛】本题主要考查了数形结合解决函数零点个数的问题,需要根据函数图像与带参数的方程交点的个数,列出对应的不等式进行求解.属于中等题型.第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
专题14 函数的零点——2021年高考数学专项复习训练含真题及解析
秒杀高考数学题型之函数的零点函数零点存在定理：若函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(),a b 内存在零点，即存在(),,c a b ∈使得()0f c =。
深层理解：1.若()f x 在(),a b 上内单调，且0)()(<⋅b f a f ，则()f x 在(),a b 上有且只有一个零点。
2.若0)()(>⋅b f a f ，则)(x f 在(),a b 上不一定有零点。
若()f x 在(),a b 上内单调，且0)()(>⋅b f a f ，则()f x 在(),a b 上一定没有零点。
【秒杀题型一】：函数零点所在区间确定（一般情况下只考查选择题）。
『秒杀策略』：一般情况下只需验证四个选项中给出区间两个端点函数值是否异号。
1.(高考题)函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是 ( )A.()2,1--B.()1,0-C.()0,1D.()1,22.(高考题)函数()f x =2x e x +-的零点所在的一个区间是 ( )A.()2,1--B.()1,0-C.()0,1D.()1,2【秒杀题型二】：函数零点个数确定。
【题型1】：单一函数分析法。
『秒杀策略』：若)(x f 在(),a b 上单调，且0)()(<⋅b f a f ，则)(x f 有且只有一个零点，若0)()(>⋅b f a f ，则)(x f 没有零点，逆过来亦成立。
1.(高考题)函数22)(3-+=x x f x 在区间()1,0内的零点个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.32.(高考题)函数x x x f )21()(21-=的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.33.(高考题)已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点，若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则 ( )A.12()0,()0f x f x <<B.12()0,()0f x f x <>C.12()0,()0f x f x ><D.12()0,()0f x f x >>【题型2】：分解函数分析法。
函数的零点问题2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)
3.8函数的零点问题——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）一、单选题(共16题；共80分)1．（5分）已知函数f(x)= cos2x+cosx，且x∈[0，2π]，则f(x)的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（5分）已知函数f(x)={x，x≥0−x2，x<0，若方程f(x)=ae x有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）A．(1e，+∞)B．(0，1e)C．(−∞，−1e)D．(−1e，0)3．（5分）已知函数f(x)为定义在R上的单调函数，且f(f(x)−2x−2x)=10．若函数g(x)={f(x)−2x−a，x≤0，|log2x|−a−1，x>0有3个零点，则a的取值范围为（）A．(2，3]B．(−1，3]C．(3，4]D．(−1，4]4．（5分）已知函数f(x)=ax3+bx+1，若f(x)存在零点x0<−1，且满足f′(x0)=f(x0)，则()A．1a+3b<0B．ab>0C．3a+b<0D．a+b>15．（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在[0，2π]上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是（）A．[2312，2912]B．[2312，2912)C．(1130，1124]D．[1130，1124)6．（5分）已知函数f(x)=sin(√ax3+bx+bx⋅π)−1，a≥0在(1，+∞)上有且仅有1个零点，则下列选项中b的可能取值为（）A．0B．18C．12D．47．（5分）已知f(x)是定义在[−10，10]上的奇函数，且f(x)=f(4−x)，则函数f(x)的零点个数至少为（）A．3B．4C．5D．68．（5分）设函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是R上的增函数”是“任意a>0，y=f(x+a)−f(x)无零点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示，则x1⋅x2等于（）A．2B．43C．23D．1210．（5分）设函数f(x)=|2x−1|，函数g(x)=f(f(x))−log a(x+1)，(a>0，a≠1)在[0，1]上有3个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．(1，32)B．（1，2）C．(32，2)D．(2，+∞)11．（5分）已知函数f(x)={1−|1−x|，0≤x≤22f(x−2)，x>2，当x∈[0，8]时，函数F(x)=f(x)−kx恰有六个零点，则实数k的取值范围是（）A．(45，1)B．(23，45)C．[23，45)D．[45，1)12．（5分）已知函数f(x)={10x−m，x≤12xe x−2mx+m，x>12（e是自然对数的底数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．(e，+∞)B．(e，5]C．(e，5)D．[e，5]13．（5分）已知函数f(x)=2ae x−e a x2至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（）．A．0B．1C．2D．e14．（5分）已知函数f(x)={exlnx，x>0x3−3x，x≤0，若函数y=[f(x)]2−1与y=af(x)的图象恰有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A．(0，32)B．(0，72)C．(1，72)D．(1，+∞)15．（5分）已知函数f(x)=|log2x|，g(x)={0，0<x≤1|x−2|−0.5，x>1，则方程|f(x)−g(x)|=1的实根个数为（）个．A．1B．2C．3D．416．（5分）定义在R上的偶函数f(x)满足f(2−x)=f(x+2)，当x∈[0，2]时f(x)=(√e)x，若在区间x∈[0，10]内，函数g(x)=f(x)−(x+1)m有个5零点，则实数m的取值范围是（）A．(0，log11e)B．(0，log11e)∪(12，log7e)C．(log11e，12)D．(log11e，12)∪(12，log7e)二、多选题(共2题；共10分)17．（5分）已知函数f(x)=a x−x a(a>1)的定义域为(0，+∞)，且f(x)仅有一个零点，则（）A．e是f(x)的零点B．f(x)在(1，e)上单调递增C．x=1是f(x)的极大值点D．f(e)是f(x)的最小值18．（5分）已知函数f(x)=2x−cosx的零点为x0，则（）A．x<12B．x0>13C．tanx0>√52D．x0−14<sinx0三、填空题(共10题；共65分)19．（10分）设a，b，c∈R，a≠0，若函数y=ax2+bx+c有且仅有一个零点，且2a2+3ab+ 8ac=1，则a+b的最小值为，a+b+ab的最小值为．20．（5分）已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)={(12)x，log16x，0≤x<2x≥2，若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0(a，b∈R)有且仅有7个不同实数根，则a+b=21．（10分）已知函数f(x)={e x−ax，x≥0，ax3−2x+1，x<0.当a=0时，f[f(−12)]=，若函数f(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是．22．（10分）设a∈R．函数f(x)={2e x−1，x≤0ax2+(a2−2)x−lnx，x>0，若f(f(0))=0，则a=，若f(x)只有一个零点，则a的取值范围是．23．（5分）函数f(x)={x3+2，x≤0x−3+e x，x>0的零点个数为.24．（5分）若函数f(x)={2x−b，x<0，√x，x≥0有且仅有两个零点，则实数b的一个取值为.25．（5分）已知函数f(x)=2|x|+x2+a.①对于任意实数a，f(x)为偶函数；②对于任意实数a，f(x)在(−∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；③存在实数a，使得f(x)有3个零点；④存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥2022的解集为(−∞，−1]∪[1，+∞).所有正确命题的序号为.26．（5分）已知函数f(x)满足f(x−2)=f(x+2)，0≤x<4时，f(x)=√4−(x−2)2，g(x)= f(x)−k n x(n∈N∗，k n>0)．若函数g(x)的图像与x轴恰好有2n+1个不同的交点，则k12+k22+⋅⋅⋅+k n2=．27．（5分）已知f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于点(2，0)对称，当x∈[0，2]时，f(x)=−√1−(x−1)2，若方程f(x)−k(x−2)=0的所有根的和为6，则实数k的取值范围是．28．（5分）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asinϖt.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+12sin2x.给出下列四个结论：①f(x)的最小正周期是π；②f(x)在[0，2π]上有3个零点；③f(x)在[0，π2]上是增函数；④f(x)的最大值为3√34.其中所有正确结论的序号是.四、解答题(共8题；共80分)29．（10分）设函数f(x)=−12x 2+(a −1)x +alnx +a2，a >0．（1）（5分）若a =1，求函数f(x)的单调区间和最值； （2）（5分）求函数f(x)的零点个数，并说明理由．30．（10分）已知a >0，设函数f(x)=(2x −a)lnx +x ，f ′(x)是f(x)的导函数．（1）（5分）若a =2，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（2）（5分）若f(x)在区间(1，+∞)上存在两个不同的零点x 1，x 2(x 1<x 2)， ①求实数a 范围；②证明：x 2f ′(x 2)x 1−1<(a−e)(a−2e)(a−3)2e ．注，其中e =2.71828⋅⋅⋅⋅⋅⋅是自然对数的底数．31．（15分）已知函数f(x)=xlnx +a ，(a ∈R)．（1）（5分）求函数f(x)的单调区间；（2）（5分）当0<a <1e时，证明：函数f(x)有两个零点；（3）（5分）若函数g(x)=f(x)−ax 2−x 有两个不同的极值点x 1，x 2（其中x 1<x 2），证明：x 1⋅x 22>e 3．32．（10分）已知函数f(x)=e x −xlnx −ax −1(a ∈R)有两个零点．（1）（5分）求a 的取值范围；（2）（5分）设x 1，x 2是f(x)的两个零点，证明：x 1+x 2>2．33．（10分）已知函数f(x)=mlnx −xe x +x ．（1）（5分）若m =1，求f(x)的最大值；（2）（5分）若f(x 1)+x 1e x 1+m =0，f(x 2)+x 2e x 2+m =0，其中x 1≠x 2，求实数m 的取值范围．34．（10分）已知函数f(x)=lnx +a x的极小值为1．（1）（5分）求实数a 的值；（2）（5分）设函数g(x)=f(x)−1x +m(1x2−1)．①证明：当0<m <12时，∀x ∈(0，m 1−m )，g(x)>0恒成立；②若函数g(x)有两个零点，求实数m 的取值范围．35．（5分）已知函数f(x)=x2⋅lnx.（Ⅰ）求函数y=f(x)−x的最小值；（Ⅱ）若方程f(x)=m(m∈R)有两实数解x1，x2，求证：1x12+1x22>e+11−|x1−x2|.（其中e=2.71828⋯为自然对数的底数）.36．（10分）已知函数f(x)=12(a−1)x2+ax−2lnx．（1）（5分）讨论f(x)的单调性；（2）（5分）当a=1时，g(x)=f(√x)，若m≤3−4ln2，求证：对于任意k>0，函数ℎ(x)= g(x)−mx−k有唯一零点．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由cos2x+cosx=2cos2x+cosx−1=(cosx+1)(2cosx−1)=0，可得cosx=−1或cosx=12，又因为x∈[0，2π]，则x=π，或x=π3，或x=5π3，则f(x)的零点个数为3。
高中数学函数及函数的零点专题练习题试卷(含答案)
高中数学函数及函数的零点专题练习题试卷姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
考试时间90分钟。
２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（每题3分，共48分）1．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+a有三个零点x1，x2，x3，则x12+x22+x32=（）A．13B．5C．a2D．2a2．已知函数f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]．定义：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，f n （x）=f（f n-1（x）），n=2，3，4，…满足f n（x）=x的点x∈[0，1]称为f（x）的n阶不动点．则f（x）的n阶不动点的个数是（）A．2n个B．2n2个C．2（2n-1）个D．2n个3．若x0是方程lgx+x=5的解，则x0属于区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）4．一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，那么，此人（）A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米5．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为G（x），当年产量不足80千克时，G（x）=x2+10x（万元）．当年产量不小于80千件时，G（x）=51x+-1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（）A．900万元B．950万元C．1000万元D．1150万元6．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A．（3，4）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）7．若关于x的方程asinx•cosx+sin2x-3=0在恒有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8．函数f（x）=x3+3x-1在以下哪个区间一定有零点（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）9．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A．7～9km B．9～11km C．5～7km D．3～5km10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）A．45.606B．45.6C．45.56D．45.5111．f（x）=x3-3x-3有零点的区间是（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）12．已知函数若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]13．如果函数f（x）=-（a＞0）没有零点，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（0，2）14．函数y=1+的零点是（）A．（-1，0）B．1C．-1D．015．已知方程x2-2x-3=0在区间[0，m]上只有一个根3，则m的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（0，3）C．（-∞，-1]D．[-1，3）16．函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，e）第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共52分）17．（3分）若不等式x2-bx+1＞0的解为x＜x1或x＞x2，且x1＜1，x2＞1，则b的取值范围是______．18．（3分）令f n（x）=-x n-2x+1（n≥2，n∈N），x∈（，1）则下列命题正确的有______．①f n（）＜0；②f n（x）在区间（，1）一定存在唯一零点；③若x n是f n（x）在（，1）上的零点，则数列{x n}（n≥2，n∈N）单调递减；④若x n是f n（x）在（，1）上的零点，则数列{x n}（n≥2，n∈N）单调递增；⑤以上③④两种情况都有可能．19．（5分）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额-800）×20%×（1-30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1-20%）×20%×（1-30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为______元．20、（5分）某电信公司推出手机两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差______元．21、的零点的个数为______．22．（4分）函数f（x）=kx+2在区间[-2，2]上存在零点，则实数k的取值范围______．23．（4分）方程lg2x+x-2=0的解在（k-1，k）内，则整数k的值为______．24．（4分）有甲、乙两城，甲城位于一直线河岸，乙城离岸40km，乙城到河岸的垂足B与甲城相距50km，两城要在此河边合舍一个水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和我700元，则水厂甲城的距离为______千米，才能使水管费用最省？25．（4分）已知函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）的零点有且只有一个，则a=______．26．（6分）对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[-0.25]=-1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[t t]=n同时成立，则正整数n的最大值为______．27．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），并且当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，则函数y=f（x）-log3|x|的零点个数是______．28．将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个．若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个．要使利润最大，商品的销售单价为______．29．（5分）甲地与乙地相距250公里．某天小袁从上午7：50由甲地出发开车前往乙地办事．在上午9：00，10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有______公里．30．（4分）函数f（x）=x+2x的零点所在区间为（n，n+1），n∈z，则n=______．参考答案一．单选题（共__小题）1．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+a有三个零点x1，x2，x3，则x12+x22+x32=（）A．13B．5C．a2D．2a答案：B解析：解：如右图为函数f（x）=的图象，函数g（x）=f（x）+a有三个零点可转化为方程f（x）=-a有三个不同的根，则由图象可知，a=-1，则x1，x2，x3分别为0，1，2；故x12+x22+x32=5，故选B．2．已知函数f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]．定义：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，f n （x）=f（f n-1（x）），n=2，3，4，…满足f n（x）=x的点x∈[0，1]称为f（x）的n阶不动点．则f（x）的n阶不动点的个数是（）A．2n个B．2n2个C．2（2n-1）个D．2n个答案：D解析：解：函数f（x）=1-|2x-1|=当x∈[0，]时，f1（x）=2x=x，解得x=0，当x∈（，1]时，f1（x）=2-2x=x，解得x=，∴f的1阶周期点的个数为2当x∈[0，]时，f1（x）=2x，f2（x）=4x=x，解得x=0当x∈（，]时，f1（x）=2x，f2（x）=2-4x=x，解得x=，当x∈（，]时，f1（x）=2-2x，f2（x）=4x-2=x，解得x=当x∈（，1]时，f1（x）=2-2x，f2（x）=4-4x=x，解得x=，∴f的2阶周期点的个数为22，依此类推：∴f的n阶周期点的个数为2n3．若x0是方程lgx+x=5的解，则x0属于区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）答案：D解析：解：令f（x）=lgx+x-5，由于f（4）=lg4-1＜0，f（5）=lg5＞0，即f（4）•f（5）＜0，且f（x）是连续函数，在（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在（4，5）上有唯一零点．若x0是方程lgx+x=5的解，则x0是函数f（x）的零点，故x0∈（4，5），故选D．4．一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，那么，此人（）A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米答案：D解析：解：∵汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒∴a==1M/S由此判断为匀加速运动再设人于x秒追上汽车，有6x-25=①∵x无解，因此不能追上汽车①为一元二次方程，求出最近距离为7米故选D5．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为G（x），当年产量不足80千克时，G（x）=x2+10x（万元）．当年产量不小于80千件时，G（x）=51x+-1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（）A．900万元B．950万元C．1000万元D．1150万元答案：C解析：解：由题意，每千件商品售价为50万元；设该厂生产了x千件商品并全部售完，则所获得的利润为y万元；则当x＜80时，y=50x-（x2+10x）-250=-x2+40x-250，则当x=60时，y max=950万元；当x≥80时，y=50x-（51x+-1450）-250=-（x+）+1200≤1000；（当且仅当x=100时，等号成立）；故该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是1000万元；故选C．6．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A．（3，4）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）答案：B解析：解：设f（x）=lnx+x-4，由于x0是方程lnx+x=4的解，则x0是函数f（x）的零点．再由f（2）=ln2-2＜0，f（3）=ln3-1＞0，f（2）f（3）＜0，可得x0属于区间（2，3），故选B．7．若关于x的方程asinx•cosx+sin2x-3=0在恒有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．答案：A解析：解：关于x的方程asinx•cosx+sin2x-3=0，化为a==2tanx+，因为，所以a≥2=2，当且仅当tanx=时a取得最小值，当x=时，a=3，x=时，a=5，又35，所以a∈，此时方程在时方程恒有解．故选A．8．（2015秋•包头校级期末）函数f（x）=x3+3x-1在以下哪个区间一定有零点（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）答案：B解析：解：∵f（x）=x3+3x-1∴f（-1）f（0）=（-1-3-1）（-1）＞0，排除A．f（1）f（2）=（1+3-1）（8+6-1）＞0，排除C．f（0）f（1）=（-1）（1+3-1）＜0，∴函数f（x）在区间（0，1）一定有零点．故选：B．9．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A．7～9km B．9～11km C．5～7km D．3～5km答案：C解析：解：设陈先生的行程为xkm根据题意可得，陈先生要付的车费为y=6+（x-2）×1.8+11.5×1.8=17∴x=6.19故选C．10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）A．45.606B．45.6C．45.56D．45.51答案：B解析：解析：依题意，可设甲销售x辆，则乙销售（15-x）辆，∴总利润S=5.06x-0.15x2+2（15-x）=-0.15x2+3.06x+30（x≥0）．∴当x=10.2时，S取最大值又x必须是整数，故x=10，此时S max=45.6（万元）．故选B．11．f（x）=x3-3x-3有零点的区间是（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）答案：D解析：解：由题意，知当x=-1，0，1，2，3时，y的值是-1，-3，-5，-1，15由零点判定定理知，f（x）=x3-3x-3有零点的区间是（2，3）故选D12．已知函数若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]答案：B解析：解：函数f（x）的图象如图：使得函数g（x）=f（x）-m有3个零点⇔f（x）-m=0有3个解，即函数y=f（x）与函数y=m有3个交点，故有0＜m＜1，故选B．13．如果函数f（x）=-（a＞0）没有零点，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（0，2）答案：D解析：解：若函数f（x）=-（a＞0）没有零点，则方程=（a＞0）没有实数根，即方程a-x2=2（a＞0）没有实数根，即方程x2=a-2（a＞0）没有实数根，故a-2＜0且a＞0，故a的取值范围为（0，2），故选：D14．函数y=1+的零点是（）A．（-1，0）B．1C．-1D．0答案：C解析：解：令函数y=1+=0，可得x=-1，故选：C．15．已知方程x2-2x-3=0在区间[0，m]上只有一个根3，则m的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（0，3）C．（-∞，-1]D．[-1，3）答案：A解析：解：由x2-2x-3=0，解得x=3，或-1．∵方程x2-2x-3=0在区间[0，m]上只有一个根3，因此3∈[0，m]．∴m≥3．∴m的取值范围是[3，+∞）．故选A．16．函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，e）答案：B解析：解：令f（x）=x+lnx=0，可得lnx=-x，再令g（x）=lnx，h（x）=-x，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（0，1），从而函数f（x）的零点在（0，1），故选B．二．填空题（共__小题）17．若不等式x2-bx+1＞0的解为x＜x1或x＞x2，且x1＜1，x2＞1，则b的取值范围是______．答案：（2，+∞）解析：解：不等式x2-bx+1＞0的解为x＜x1或x＞x2，且x1＜1，x2＞1，令f（x）=x2-bx+1，则有f（1）=2-b＜0，b＞2，故答案为（2，+∞）．18．令f n（x）=-x n-2x+1（n≥2，n∈N），x∈（，1）则下列命题正确的有______．①f n（）＜0；②f n（x）在区间（，1）一定存在唯一零点；③若x n是f n（x）在（，1）上的零点，则数列{x n}（n≥2，n∈N）单调递减；④若x n是f n（x）在（，1）上的零点，则数列{x n}（n≥2，n∈N）单调递增；⑤以上③④两种情况都有可能．答案：②④解析：解：由f n（x）=-x n-2x+1（n≥2，n∈N），x∈（，1），可得f n（）=--+1=-＞0，故①不正确．根据f n（）=--+1≥--+1＞0，f n（1）=-1-2+1=-2＜0，可得f n（）f n（1）＜0，故f n（x）在区间（，1）一定存在唯一零点，故②正确．③若x n是f n（x）在（，1）上的零点，则f n（x n）=0，即--2x n+1=0，即+2x n-1=0，同取导数可得n+2=0，即=，∴是增函数，故③不正确且④正确，故答案为：②④．19．稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额-800）×20%×（1-30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1-20%）×20%×（1-30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为______元．答案：2800解析：解：由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x元，则280=（x-800）×20%×（1-30%）所以x=2800，故答案为：2800．20、某电信公司推出手机两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差______元．答案：10解析：解：如题图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费差为线段BD的长度，根据相似三角形的性质可得：，∴BD=10．故答案为：10元．21、的零点的个数为______．答案：3解析：解：的零点的个数，即函数y=x2的图象和y=|x-|=的图象的交点的个数，如图所示：显然，函数y=x2的图象和射线y=-x+（x＜）有2个交点．再由可得x2-x+=0．由于判别式△=1-1=0，故y=x2y=x-（x≥）只有一个交点．综上可得，函数y=x2的图象和y=|x-|的图象的交点的个为3，故答案为：3．22．函数f（x）=kx+2在区间[-2，2]上存在零点，则实数k的取值范围______．答案：k≥1或k≤-1解析：解：由题意知k≠0，∴f（x）是单调函数，又在闭区间[-2，2]上存在零点，∴f（-2）f（2）≤0，即（-2k+2）（2k+2）≤0，解得k≤-1或k≥1．故答案为：k≥1或k≤-1．23．方程lg2x+x-2=0的解在（k-1，k）内，则整数k的值为______．答案：2解析：解：∵lg2x+x-2=0的解在（k-1，k）内，∴函数f（x）=lg2x+x-2在（k-1，k）内有零点．又函数f（x）在（k-1，k）内单调递增，又f（1）=lg2-1＜0，f（2）=lg4＞0，故f（1）f（2）＜0，故函数在（1，2）内有唯一的零点，∴k=2，故答案为2．24．有甲、乙两城，甲城位于一直线河岸，乙城离岸40km，乙城到河岸的垂足B与甲城相距50km，两城要在此河边合舍一个水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和我700元，则水厂甲城的距离为______千米，才能使水管费用最省？答案：50-解析：解：设甲在A处，乙在D处，供水站C，总的水管费用为y元，CB=x，BD=40，AC=50-x，∴DC=依题意有：y=500（50-x）+700（0＜x＜50）得y′=-500+，令y′=0，解得x=y在（0，）单调递减，在（，50）单调递增上，函数在x=（km）处取得最小值，此时AC=50-（km）故答案为：50-．25．已知函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）的零点有且只有一个，则a=______．答案：解析：解：函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）是一个偶函数，又函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）的零点有且只有一个所以函数的零点一定是x=0，（若不是零，则至少有两个，此可由偶函数的对称性得）故有f（0）=a2-3=0，解得a=±当a=-时，验证知函数有三个零点，不合题意舍∴a=故答案为26．对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[-0.25]=-1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[t t]=n同时成立，则正整数n的最大值为______．答案：4解析：解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4．故答案为：4．27．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），并且当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，则函数y=f（x）-log3|x|的零点个数是______．答案：4解析：解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），∴满足f（x+2）=f（x），故函数的周期为2．当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，故当x∈[-1，0]时，f（x）=-2x-1．函数y=f（x）-log3|x|的零点的个数等于函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：显然函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点，故答案为：4．28．将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个．若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个．要使利润最大，商品的销售单价为______．答案：14解析：解：假设商品的价格为x元/个，由题意可得获得利润f（x）=（x-8）[100-10（x-10）]=-10x2+280x-1600=-10（x-14）2+360，可知：当且仅当x=14时，获得最大利润360元．故答案为14．29．甲地与乙地相距250公里．某天小袁从上午7：50由甲地出发开车前往乙地办事．在上午9：00，10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有______公里．答案：60解析：解：设从出发到上午11时行了s公里，则从出发到现在的平均速度为公里/分钟，则，解得s=190公里，此时小袁距乙地还有250-190=60公里．故答案为：60．30．函数f（x）=x+2x的零点所在区间为（n，n+1），n∈z，则n=______．答案：-1解析：解：因为f（0）=1＞0，f（-1）=-1+=-＜0，由函数零点的存在性定理，函数f（x）=x+2x的零点所在的区间为（-1，0），∴n=-1．故答案为：-1．。
高考常考题- 函数的零点问题(含解析)
函数的零点问题一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为 例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，)则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．例3、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞例5、（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-例6、【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞例7、【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0例8、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数2(4),53()(2),3x x f x f x x ⎧+-≤<-=⎨-≥-⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有9个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1111,,4664⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1111,,3553⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,64⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭例9、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数()()2,22,2,x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为A ．23- B ．12-C ．34-D ．1-二、达标训练1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ） A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,22、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知,a b ∈R ，函数(),0(),0x x a e ax x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A ．1,0a b >>B ．1,0a b ><C ．1,0a b <>D ．1,0a b <<4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a=-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ） A ．12BC ．2e D5、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．6、【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．7、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数()222,01,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为__________.一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
2023届新高考数学复习：专项(函数零点问题之分段分析法模型)经典题提分练习(附答案)
2023届新高考数学复习：专项（函数零点问题之分段分析法模型）经典题提分练习一、单选题1．（2023ꞏ浙江宁波ꞏ高三统考期末）若函数322ln ()x ex mx xf x x -+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为（ ） A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e e ⎛⎤-∞+ ⎝⎦D ．1,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭2．（2023ꞏ黑龙江ꞏ高三大庆市东风中学校考期中）设函数21()2nxf x x ex a x=--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是 A ．21(0]e e，-B ．21(0]e e+，C ．21[)e e -+∞， D ．21(]e e-∞+，3．（2023ꞏ湖北ꞏ高三校联考期中）设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．210,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．210,e e ⎛⎤+ ⎝⎦D ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦4．（2023ꞏ福建厦门ꞏ厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个x ，使得方程2ln (2)x mx x x ex -=-成立．则实数m 的取值范围为（ ） A ．21m e e≥+B ．21m e e≤+C ．1m e e ≥+D ．1m e e≤+5．（2023ꞏ湖南长沙ꞏ高三长沙一中校考阶段练习）设函数()22xxf x x x a e =--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(0,1e+B ．1(0,e e +C ．1[,)e e ++∞D ．1(,1]e-∞+6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2ln ()2xf x x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦C ．21,e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭7．（2023ꞏ全国ꞏ高三校联考专题练习）已知函数1()24e xf x x =-+的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数2()(2)e x g x x x a =--+的图象上，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,3)-∞B ．(3,2e 2)-C ．(2e 2,)-+∞D ．(3,)+∞8．（2023ꞏ全国ꞏ高三假期作业）若存在两个正实数x 、y ，使得等式3(24)(ln ln )0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．()0-∞，B ．3(0)[)2e-∞⋃+∞，C ．3(0]2e ，D ．3[)2e+∞， 9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若存在正实数x ，y ，使得等式()()243e ln ln 0x a y x y x +--=成立，其中e为自然对数的底数，则a 的取值范围为（ ）A ．210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),0∞-D ．()21,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题10．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）若函数()11sin πx x f x e ea x --+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为______．11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()e ln xf x x a x x =-+(e 为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数a 的取值范围是___________.12．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()24eln eln x f x x mx x x =-+-存在4个零点，则实数m 的取值范围是__________．13．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()322e ln ,f x x x mx x =-+- 记()(),f x g x x=若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是________________________.参考答案一、单选题1．（2023ꞏ浙江宁波ꞏ高三统考期末）若函数322ln ()x ex mx xf x x -+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为（ ） A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e e ⎛⎤-∞+ ⎝⎦D ．1,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【答案解析】因为函数322ln ()x ex mx xf x x -+-=至少存在一个零点所以322ln 0x ex mx x x-+-=有解即2ln 2xm x ex x=-++有解 令()22ln h x x e xx x=+-+， 则()21ln 22xh x x e x -'=-++()()34244432ln 1ln 32ln 322ln 222x x x x x x x x x x x x h x x e x x x x '-----+--+⎛⎫''=-++=-+== ⎪⎝⎭因为0x >，且由图象可知3ln x x >，所以()0h x ''<所以()h x '在()0,∞+上单调递减，令()0h x '=得x e = 当0<<x e 时()0h x '>，()h x 单调递增 当>x e 时()0h x '<，()h x 单调递减 所以()()2max 1h x h e e e==+且当x →+∞时()h x →-∞所以m 的取值范围为函数()h x 的值域，即21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦故选：A2．（2023ꞏ黑龙江ꞏ高三大庆市东风中学校考期中）设函数21()2nxf x x ex a x=--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是 A ．21(0]e e，-B ．21(0]e e+，C ．21[)e e -+∞， D ．21(]e e-∞+，【答案】D【答案解析】令()2ln 20x f x x ex a x =--+=,则2ln 2(0)x a x ex x x =-++>，设()2ln 2x h x x ex x=-++，令()212h x x ex =-+， ()2ln x h x x =，则()'221ln x h x x -=，发现函数()()12,h x h x 在()0,e 上都是单调递增，在[),e +∞上都是单调递减，故函数()2ln 2xh x x ex x=-++在()0,e 上单调递增，在[),e +∞上单调递减，故当x e =时，得()2max 1h x e e=+，所以函数()f x 至少存在一个零点需满足()max a h x ≤，即21a e e ≤+．应选答案D ．3．（2023ꞏ湖北ꞏ高三校联考期中）设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 A ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．210,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．210,e e ⎛⎤+ ⎝⎦D ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【答案】D【答案解析】由题意得函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 又2()ln ()2f x xg x x ex m x x==-+-， ∵函数()g x 至少存在一个零点，∴方程2ln 20xx ex m x-+-=有解， 即2ln 2xm x ex x=-++有解． 令2ln ()2,0xx x ex x xϕ=-++>， 则221ln 1ln ()222()x xx x e e x x x ϕ--'=-++=-+， ∴当(0,)x e ∈时，()0,()x x ϕϕ'>单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0,()x x ϕϕ'<单调递减． ∴2max 1()()x e e eϕϕ==+．又当0x →时，()x ϕ→-∞；当x →+∞时，()x ϕ→-∞．要使方程2ln 2x m x ex x=-++有解，则需满足21m e e ≤+，∴实数m 的取值范围是21(,e e -∞+．故选D ．4．（2023ꞏ福建厦门ꞏ厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个x ，使得方程2ln (2)x mx x x ex -=-成立．则实数m 的取值范围为 A ．21m e e≥+B ．21m e e≤+C ．1m e e ≥+D ．1m e e≤+【答案】B【答案解析】原方程化简得:2ln 2,(0)xm x ex x x=-+>有解,令2ln ()2,(0)x f x x ex x x =-+>,21ln ()2()xf x e x x -=+'-,当>x e 时,()0f x '<,所以f(x)在(,)e +∞单调递减,当x<e 时, ()0f x '>,所以f(x)在(,)o e 单调递增.2max 1()()f x f e e e==+.所以21m e e ≤+.选B.5．（2023ꞏ湖南长沙ꞏ高三长沙一中校考阶段练习）设函数()22x xf x x x a e=--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(0,1e+B ．1(0,e e +C ．1[,)e e ++∞D ．1(,1]e-∞+【答案】D【答案解析】依题意得，函数()f x 至少存在一个零点，且()22x xf x x x a e=--+， 可构造函数22y x x =-和xx y e =-， 因为22y x x =-，开口向上，对称轴为1x =，所以(),1∞-为单调递减，()1,+∞为单调递增； 而x x y e=-，则1x x y e -'=，由于e 0x >，所以(),1∞-为单调递减，()1,+∞为单调递增； 可知函数22y x x =-及xxy e =-均在1x =处取最小值，所以()f x 在1x =处取最小值， 又因为函数()f x 至少存在一个零点，只需()10f ≤即可，即：()11120f a e=--+≤解得：11a e ≤+.故选：D.6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2ln ()2xf x x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦C ．21,e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【答案解析】令2ln ()20x f x x ex a x=-+-=，即2ln 2xx ex a x =-+ 令ln ()xg x x=，2()2h x x ex a =-+ 则函数ln ()xg x x=与函数2()2h x x ex a =-+的图象至少有一个交点 易知，函数2()2h x x ex a =-+表示开口向上，对称轴为x e =的二次函数221ln 1ln ()x xx x g x x x ⋅--'== ()00g x x e '>⇒<<，()0g x x e '<⇒>∴函数()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，max 1()()g x g e e ==作出函数()g x 与函数()h x 的草图，如下图所示由图可知，要使得函数()g x 与函数()h x 的图象至少有一个交点只需min max ()()h x g x …，即2212e e a e-+…解得：21a e e +…故选：B7．（2023ꞏ全国ꞏ高三校联考专题练习）已知函数1()24e xf x x =-+的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数2()(2)e x g x x x a =--+的图象上，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,3)-∞B ．(3,2e 2)-C ．(2e 2,)-+∞D ．(3,)+∞【答案】B【答案解析】令()()()()2222e e x x x x a h x g x x x a ---⎡⎤=--=-----+=⎣⎦，则由题意可得函数()f x 的图象与函数()h x 的图象有三个交点，即方程()()f x h x =有三个不同的实数根．由()()f x h x =可得21224e e x xx x a x ---+=，即()2224e 1x a x x x =----，令()()2224e 1xp x x x x =----，则直线y a =与函数()p x 的图象有三个交点，易得()()()211e xp x x =--'，当0x <或1x >时()0p x '<，当01x <<时()0p x '>，所以函数()p x 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以函数()p x 的极小值为()03p =，极大值为()12e 2p =-．又()()6121p p e-=+>，()()210p p =-<，所以当32e 2a <<-时，直线y a =与函数()p x 的图象有三个交点，故实数a 的取值范围为()3,2e 2-．故选B ．8．（2023ꞏ全国ꞏ高三假期作业）若存在两个正实数x 、y ，使得等式3(24)(ln ln )0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．()0-∞，B ．3(0)[)2e-∞⋃+∞， C ．3(0]2e ，D ．3[)2e+∞， 【答案】B【答案解析】由3(24)(ln ln )0x a y ex y x +--=得32(2)ln 0y ya e x x +-=，设y t x =，0t >，则3(24)ln 0a t e t +-=，则3(2)ln 2t e t a-=-有解，设()(2)ln g t t e t =-， 2()ln 1e g t t t =+-'为增函数，2()ln 10eg e e e+-'==， 当t e >时()0g t '>，()g t 递增，当0t e <<时()0g t '<，()g t 递减，所以当t e =时函数()g t 取极小值，()(2)ln g e e e e e =-=-，即()()g t g e e ≥=-， 若3(2)ln 2t e t a-=-有解，则32e a -≥-，即32e a ≤， 所以a<0或32a e≥， 故选：B ．9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若存在正实数x ，y ，使得等式()()243e ln ln 0x a y x y x +--=成立，其中e为自然对数的底数，则a 的取值范围为（ ）A ．210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),0∞-D ．()21,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【答案解析】依题意存在正实数x ，y ，使得等式()()243e ln ln 0x a y x y x +--=成立，243e ln 0y y a x x ⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭，当0a =时，40=，不符合题意，所以0a ≠ 令0yt x=>，()243e ln 0a t t +-⋅=，()243e ln t t a -=-⋅，构造函数()()23e ln ,0f t t t t =-⋅>，()22'3e 3e ln ln 1t f t t t t t-=+=-+，()2213e 0f t t t =+>＂，所以()'f t 在()0,∞+上递增，()2'2223e e ln e 10ef =-+=，所以在区间()()()2'0,e ,0,f x f x <递减；在区间()()()2'e ,,0,f x f x +∞>递增.所以()f t 的最小值为()()22222e e 3e ln e 4ef =-⋅=-.要使()243e ln t ta-=-⋅有解， 则22414e ,e a a-≥-≤①，当a<0时，①成立， 当0a >时，21e a ≥. 所以a 的取值范围是()21,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.故选：D 二、填空题10．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）若函数()11sin πx x f x e ea x --+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为______． 【答案】20,π⎛⎤⎥⎝⎦【答案解析】函数()11sin πx x f x e ea x --+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点等价于函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x e e --=-的图像只有一个交点．∵()10ϕ=，()10g =，∴函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x ee --=-的图像的唯一交点为()1,0．又∵()11xx g x e e --'=--，且10x e ->，10x e ->，∴()11xx g x ee --'=--在R 上恒小于零，即()11x x g x e e --=-在R 上为单调递减函数．又∵()1112xxg x ee--'=--≤-，当且仅当111x xe e--=，即1x =时等号成立，且()()sin π0x a x a ϕ=>是最小正周期为2．最大值为a 的正弦型函数， ∴可得函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x ee --=-的大致图像如图所示．∴要使函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x e e --=-的图像只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''≥．∵()πcos π1πa a ϕ'==-，()21g '=-， ∴π2a -≥-，解得2πa ≤． 对∵0a >，∴实数a 的取值范围为20,π⎛⎤⎥⎝⎦．故答案为：20,π⎛⎤⎥⎝⎦.11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()e ln xf x x a x x =-+(e 为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(,)e +∞【答案解析】由()e (ln )xf x x a x x =-+，得()()()11(1)1x xxe a f x x e a x x x-'=+-+=+⋅，且0x >由0x >，则100x x xe +>>，若0a ≤，则0x xe a ->，此时()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，至多有一个零点，不满足题意.若0a >，设()x h x xe a =-，则()()10xh x x e '=+>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增由()00h =，所以x xe a =有唯一实数根，设为0x ，即00x x ea =则当00x x <<时，x xe a <，()0f x '<，则()f x 在()00x ，单调递减，当0x x >时，x xe a >，()0f x ¢>，则()f x 在()0x +∞，单调递增， 所以当0x x =时，()()()00000min ln xf x f x x e a x x ==-+由00x x ea =可得()00ln ln x x e a =，即00ln ln ln x x e a +=，即00ln ln x x a +=所以()()0min ln f x f x a a a ==-，()0a > 又当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞，指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得()f x →+∞ 所以函数()e (ln )x f x x a x x =-+有两个不同零点，则()()0min ln 0f x f x a a a ==-< 设()ln g x x x x =-，则()ln g x x '=-当()0,1x ∈时，有()0g x '>，则()g x 在()0,1上单调递增. 当()1,x ∈+∞时，有()0g x '<，则()g x 在()1,+∞上单调递减. 又当0x →时，()0g x →，()0g e =所以当0<<x e 时，()0g x >，当>x e 时，()0g x <， 所以ln 0a a a -<的解集为a e > 故答案为：(,)e +∞12．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()24eln eln x f x x mx x x =-+-存在4个零点，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】(0,1)【答案解析】转化为()24eln =0eln x f x x mx x x =-+-有四个解，即24eln =0eln x x mx x x -+-在0x >范围内有四个解，即eln 4=0eln x xm x x x-+-在0x >范围内有四个解， 即eln 4=eln x xm x x x--在0x >范围内有四个解，即1eln 4=eln 1xmx x x--在0x >范围内有四个解，令eln ()x g x x =， 则2e(1ln )()x g x x -'=， 令()0g x '=得e x =，所以当0e x <<时，()0g x '>，当e x >时，()0g x '<， 所以eln ()x g x x=在(0,e)单调递增，在(e,+)∞单调递减， 所以max ()(e)1g x g ==，做出()g x 大致图像如下：令eln ()x t g x x==， 则原方程转化为14=(1)1t m t t -<-， 令1()41h t t t =--， ()21()41h t t '=--，令()0h t '=得1=2t ， 当12t <时，()0h t '<，当112t <<时，()0h t '>， 所以()h t 在1(,2-∞递减，在1(1)2，递增， 做出()h x 大致图像如下：所以(0,1)m ∈时，对应解出两个t 值，从而对应解出四个x 值，故答案为：(0,1)m ∈.13．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()322e ln ,f x x x mx x =-+- 记()(),f x g x x =若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是________________________. 【答案】21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦ 【答案解析】依题意，令()2ln 2e 0x g x x x m x =-+-=，即()2ln 2e 0x m x x x x=-++>， 设2ln ()2e x h x x x x =-++，求导得21ln ()22e x h x x x -'=-++， 当0e x <<时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，即函数()h x 在(0,e)上递增，在[e,)+∞上递减，因此当e x =时，2max 1()e eh x =+，因当0e x <≤时，22e y x x =-+的取值集合为2(0,e ]，ln x y x =的取值集合为1(,]e-∞， 则当0e x <≤时，()h x 的取值集合为21(,e ]e-∞+，当e x ≥时，22e y x x =-+的取值集合为2(,e ]-∞， ln x y x =的取值集合为1(0,]e，即当e x ≥时，()h x 的取值集合为21(,e ]e -∞+， 所以函数()g x 至少存在一个零点，实数m 的取值范围是21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦. 故答案为：21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦.。
高考常考题-函数的零点问题(含解析)
函数的零点问题一、题型选讲 题型一、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
作图与根分布综合的题目，英中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要 注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例1、(2019苏州三市、苏北四市二调)立义在R 上的奇函数金)满足Λx+4)=Λx),且在区间[2, 4)上例3、【2018年高考全国III 卷理数】函数/(x) = COS^3Λ + ^ ∣^[0,π]的零点个数为 ______ 题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范囤.(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法.它的本质就是将 函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便 地研究问题.(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画岀函数的图像，然后数形结合求解.1∏Λ∖X≥ 1例4. (2020届山东省枣庄.滕州市髙三上期末)已知/(X) = {…、f ,若函数y = ∕(x)-l 恰有f(2-x) + k,x<∖一个零点，则实数A ∙的取值范围是( )A. (l,4∙s) B ・ ILC. (YU)D ・(Y M]Z、21og^ x,x≥∖. Z 、例5、(2020全国高三专题练习(文))函数/(M = [f(w]) JI yl ，若方程f(x) = ~2x + m 有且只有两个不相等的实数根，则实数加的取值范围是()A. (-oo,4)B. (Y ,4]C. (-2,4)D. (-2,4]2-x,2≤x<3x-4,3≤x<4则函数y=∕ω-iog s H 的零点的个数为 ____________x<b例2、(2017苏锡常镇调研)若函数Λx)=≤ IInx<x>l, )则函数y=^χ)∣~∣的零点个数为 ______若函数F(X) =/(x)-g(x)在［0,2)上只有两个零点，则实数R 的值不可能为A.丄 3 3 C.——4例6、［2020年高考天津】已知函数f(x) = < Λ j'0,若函数g(γ) =γ,(j).∣AΛ^2点，则k 的取值范围是A. (→>,-∣)U(2√2,+oo)B ∙ U(0,2√Σ)c ・(Y,0)U(0,2√Σ) D ・ YO)U(2√Σ,S例7. ［2019年髙考浙江】已知t 函数f(x) = < 1x,x < O1 c ・若函数一F --(α + l)f +ax.x≥O 13 2y = f(x)-cιx -b 恰有3个零点，则A. Λ<-L b<0B. αv -l, b>0C. α>-l, XoD ・ α>-l, b>Q例8. (2020浙江学军中学髙三3月月考)已知函数/(X)=(A -÷4)V5≤X <-3J 若函数 /(x-2),x≥-3g(x) = ∕α)-W(X+ 1)1有9个零点，则实数M 的取值范围是()A.［科丿B.1 1)匕'FD.1 1 <55例9.(2020届浙江省杭州市第二中学髙三3月月考)已知函数/(X)=2/V 『心2'B- 4D ・-1-2彳伙WR)恰有4个零二、达标训练1、(2019 IlJ 东师范大学附中高三月考)函数/(x) = √-W 的零点所在区间为()A- (一 1'O)B- [θ,^j C - (Al D- (1'2)e 丫 X V 02、 【2018年髙考全国I 卷理数】已知函数/(X)=g(χ) = f(χ) + x + a •若g(x)存在2个lnx, x>O,零点，则α的取值范用是A. [一 1, 0)B. [0, +∞)C. [-1, +oo)D. [1, +∞)3、 (2020届浙江省“山水联盟"髙三下学期开学)已知αbwR,函数f(x) = <(A+(l)e +αr "≤°,若函x,x>0数y = f{x)-ax-b 恰有3个零点，则()A. a>∖J)>OB. d>l,D<0C. a<tb>OD. a<^b<O4. (2020届山东实验中学髙三上期中)设定义在/?上的函数/(X)满足/(→) + /(X) = X 2,K 当X WO 时,__________ ・若函数沧)恰有2个零点，则2的取值范圉是 _____________≥∕(1~x ))2}且★为函数 g(x) = e λ-y[ex-aZR 疋为自然对数的底数)的一个零点，则实数α的取值可能是()A. 1√E 2D ・√72√7(0<x≤l)5、(2020届山东师范大学附中髙三月考)已知函数fW = ∖2—(X > DIX若方程/(兀)=一力+ α有三个不同的实根，则实数α的取值范围是 _______6、［2018年髙考浙江】已知z∈R.函数沧)=<X - 4, % ≥ Λ X 2-4x + 3,x<2,当z=2时，不等式√(x)vθ的解集是广(X)Vx .己知存在如Λ 2+2ax + a,x ≤ O 74202O届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数f(x) = \e x_ex I ,,若存在实数+-a2,x>O X 3使得函数y = f(χ)-k有6个零点，则实数。
函数的图像 函数的零点(八大题型)(学生版)-2025年高考数学一轮复习
函数的图像 函数的零点(八大题型)目录：01画函数的变换图像02识别函数的图像03函数图像变换的应用04求函数的零点及个数05二分法求函数的零点06根据函数的零点求参数07函数零点的其他应用08补函数的应用(一)：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用01画函数的变换图像1(2024高三·全国·专题练习)作出下列函数的图象：(1)y=x3；x(2)y=x+2x-1；(3)y=|log2x-1|；02识别函数的图像2(2023·湖南岳阳·模拟预测)函数y =21-x的图象为()A. B.C.D.3(2024·湖北·模拟预测)函数f x =e x-e 1x-ln x 2的图象大致为()A. B.C. D.4(2024·宁夏固原·一模)已知函数f x 的部分图像如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -x4x -3 B.f x =e x -e -x3-4x C.f x =e x +e -x4x -3D.f x =x x -103函数图像变换的应用5(2024·四川南充·二模)已知函数f x =3x，则函数y =f x -1 +1的图象()A.关于点1,1 对称B.关于点-1,1 对称C.关于点-1,0 对称D.关于点1,0 对称6(22-23高二上·河南·阶段练习)直线2ax +by -2=0a >0,b >0 过函数f x =x +1x -1+1图象的对称中心，则4a +1b的最小值为()A.9B.8C.6D.57(2022高三·全国·专题练习)已知二次函数f x 的图象的顶点坐标是2,2 ，且截x 轴所得线段的长度是4，将函数f x 的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线y =g x ，则抛物线y =g x 与y 轴的交点是()A.0,-8B.0,-6C.0,-2D.0,08(23-24高一上·河南南阳·期末)已知函数f x 的定义域为1,+∞ ,且满足f 3x +1 =x ，x ∈R ，将f x 的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g x 的图象.(1)分别求f x 与g x 的解析式；(2)设函数h x =g x 2+mg x 2 ，若h x 在区间1,3 上有零点，求实数 m 的取值范围.04求函数的零点及个数9(2023高三·全国·专题练习)已知指数函数为f x =4x ，则函数y =f x -2x +1的零点为()A.-1B.0C.1D.210(2023·陕西西安·模拟预测)函数f x =1-lg 3x +2 的零点为()A.log 38B.2C.log 37D.log 2511(2024高三·全国·专题练习)函数f (x )=2x +x -2的零点个数是()A.0B.1C.2D.312(2019高三·山东·学业考试)函数f x =x 2+x -2，x ≤0-1+ln x ，x >0 零点个数为()A.3B.2C.1D.013(2024·广东湛江·二模)已知函数f x =2x -1 -a ，g x =x 2-4x +2-a ，则()A.当g x 有2个零点时，f x 只有1个零点B.当g x 有3个零点时，f x 有2个零点C.当f x 有2个零点时，g x 有2个零点D.当f x 有2个零点时，g x 有4个零点14(2024·全国·模拟预测)函数f x =2sin 2x +φ -π2<φ<π2 的图像关于点π3,0 中心对称，将函数f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数g x 的图像，则函数g x 在区间-π,π 内的零点个数为()A.1B.2C.3D.405二分法求函数的零点15(2023高三·全国·专题练习)用二分法求函数f x =ln x +1 +x -1在区间0,1 上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为()A.5B.6C.7D.816(2019高三·全国·专题练习)以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()A. B.C. D.06根据函数的零点求参数17(23-24高三上·浙江绍兴·期末)已知命题p ：函数f (x )=2x 3+x -a 在1,2 内有零点，则命题p 成立的一个必要不充分条件是()A.3≤a <18B.3<a <18C.a <18D.a ≥318(2023高三·全国·专题练习)函数f (x )=x ⋅2x -kx -2在区间1,2 内有零点，则实数k 的取值范围是.19(22-23高三·全国·课后作业)已知函数f x =20⋅3-x -x 的零点x 0∈k ,k +1 ，k ∈Z ，则k =．20(22-23高三·全国·对口高考)方程x 2+ax -2=0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为．21(2024·全国·模拟预测)若不等式f x >0或f x <0只有一个整数解，则称不等式为单元集不等式．已知不等式a (x +1)2-|log 2x |+1>0为单元集不等式，则实数a 的取值范围是．07函数零点的其他应用22(23-24高三上·山东威海·期末)已知函数y =f (x )的图象是连续不断的，且f (x )的两个相邻的零点是1，2，则“∃x0∈1,2 ，f (x 0)>0”是“∀x ∈1,2 ，f (x )>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件23(2020·江西赣州·模拟预测)设函数f x =e x+a x-1+b在区间0,1上存在零点，则a2+b2的最小值为()A.eB.12C.7D.3e24(2023·湖北武汉·模拟预测)已知x0是函数f x =11-x+ln x的一个零点，若x1∈1,x0，x2∈x0,+∞，则()A.f x1<0，f x2<0 B.f x1>0，f x2>0C.f x1>0，f x2<0 D.f x1<0，f x2>025(23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习)已知三个函数f x =x3+x-3，g x =22x+x-2，h x =ln x+x-5的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为()A.c>b>aB.a>c>bC.a>b>cD.c>a>b26(20-21高三上·辽宁大连·阶段练习)已知函数f x =lg x-a,0<x≤3lg6-x-a,3<x<6(其中a∈R)，若f(x)的四个零点从小到大依次为x1,x2,x3,x4，则4i=1x i的值是()A.16B.13C.12D.1008补函数的应用(一)：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用27(2024·宁夏吴忠·模拟预测)从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的下列数据：v0406080120Q0.000 6.6678.12510.00020.000为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是() A.Q=0.5v+a B.Q=av+b C.Q=av3+bv2+cv D.Q=k log a v+b28(23-24高三上·福建泉州·期末)函数f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如()x-2-101235f x 2.3 1.10.7 1.1 2.3 5.949.1A.f x =ka x +bB.f x =kxe x+bC.f x =k x +bD.f x =k(x-1)2+b29(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：x/月份23456⋯y/元 1.40 2.56 5.311121.30⋯请从模型y=x 12，模型y=2x3中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300元的月份为( )(参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301)A.8B.9C.10D.1130(2024·北京朝阳·二模)假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力f满足公式f=12ρCSv2，其中ρ是空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数(其大小取决于多种其他因素)，反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P=fv. 当ρ,S不变，v比原来提高10%时，下列说法正确的是()A.若C不变，则P比原来提高不超过30%B.若C不变，则P比原来提高超过40%C.为使P不变，则C比原来降低不超过30%D.为使P不变，则C比原来降低超过40%31(2024·全国·模拟预测)2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是(参考数据：ln2≈0.693，e0.462≈1.587)()A.1.587B.1.442C.0.587D.0.442()32(23-24高三下·陕西·阶段练习)某种生物群的数量Q与时间t的关系近似的符合：Q t =10e te t+9(其中e为自然对e≈2.71828⋯)，给出下列四个结论，根据上述关系，其中错误的结论是()A.该生物群的数量不超过10B.该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小C.该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比D.该生物群的数量的增长速度最大的时间t0∈2,333(23-24高三下·甘肃·阶段练习)北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃省临夏州积石山县发生里氏6.2级地震，震源深度10公里．面对突发灾情，社会各界和爱心人士发扬“一方有难、八方支援”的中华民族团结互助、无私奉献的大爱精神，帮助灾区群众渡过难关．震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级．能量E与里氏震级M的对应关系为lg E=4.8+1.5M，试估计里氏震级每上升两级，能量是原来的()A.100倍B.512倍C.1000倍D.1012倍34(2024·江苏·一模)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律--绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T=2πGM⋅a32，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的()A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍35(23-24高三上·宁夏银川·阶段练习)“开车不喝酒，喝酒不开车．”，饮酒驾驶和醉酒驾驶都是根据驾驶人员血液、呼气酒精含量来确定，经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值f x 随着时间x(小时)的变化规律，可以用函数模型f x =40sinπ3x+13,0≤x<290⋅e-0.5x+14,x≥2来拟合，则该人喝一瓶啤酒至少经过多少小时后才可以驾车？( )(参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40)驾驶行为类别酒精含量值(mg/100mL)饮酒驾驶≥20,<80醉酒驾驶≥80A.5B.6C.7D.836(2024·陕西咸阳·模拟预测)某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力(战斗单位数)随时间的变化遵循兰彻斯特模型：x t =X0cosh abt-b a Y0sinh abty t =Y0cosh abt-abX0sinh abt，其中正实数X0，Y0分别为红、蓝两方的初始兵力，t为战斗时间；x t ，y t 分别为红、蓝两方t时刻的兵力；正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；cosh x=e x+e-x2和sinh x=e x-e-x2分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定：当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．则下列结论不正确的是()A.若X0>Y0且a=b，则x t >y t 0≤t≤TB.若X0>Y0且a=b，则T=1aln X0+Y0X0-Y0C.若X0Y0>ba，则红方获得战斗演习胜利 D.若X0Y0>b a，则红方获得战斗演习胜利一、单选题1(2023·湖南岳阳·模拟预测)函数y=x-22x+1的零点是()A.2B.2,0C.-2D.2或-12(2023·陕西西安·模拟预测)函数f x =1-lg3x+2的零点为()A.log38B.2C.log37D.log253(2024·湖南·二模)已知函数f x 的部分图象如图所示，则函数f x 的解析式可能为()A.f x =-2x2x -1B.f x =-2x2x +1C.f x =-2xx -1D.f x =-2xx2-1 4(2024·山西长治·一模)研究人员用Gompertz数学模型表示治疗时长x(月)与肿瘤细胞含量f(x)的关系，其函数解析式为f(x)=ka-b-x，其中k>0,b>0,a为参数．经过测算，发现a=e(e为自然对数的底数)．记x=1表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的1e，那么b的值为()A.5+1B.5-1C.5+12D.5-125(2024·浙江杭州·模拟预测)若函数f x =x ln x -x +x -a 有且仅有两个零点，则a 的取值范围是()A.-1e,0 ∪0,eB.-2e,0 ∪0,eC.-2e,0 ∪0,3D.-1e,0 ∪0,36(2024·新疆乌鲁木齐·二模)设x >0，函数y =x 2+x -7,y =2x +x -7,y =log 2x +x -7的零点分别为a ,b ,c ，则()A.a <b <cB.b <a <cC.a <c <bD.c <a <b7(2024·陕西汉中·二模)已知函数f x =12 x ln 12 ,x ≤04ln 2x ,x >0，若函数g x =f x -mx 有4个零点，则m 的取值范围为()A.m m ≥16e 2B.m m ≥e ln 22C.m e ln 22<m <16e 2D.m m =e ln 22 或m =16e 28(2024·海南省直辖县级单位·模拟预测)已知函数f x =lg -x ,x <01-x -1 ,0≤x <2f x -2 ,x ≥2的图象在区间-t ,t(t >0)内恰好有5对关于y 轴对称的点，则t 的值可以是()A.4B.5C.6D.7二、多选题9(2024·全国·模拟预测)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm ，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm ．由检验知该地下车库一氧化碳浓度y (单位：ppm )与排气时间t (单位：分钟)之间满足函数关系y =ae Rt (a ,R 为常数，e 是自然对数的底数)．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm ，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是()A.a =128B.R =14ln2C.排气12分钟后浓度为16ppmD.排气32分钟后，人可以安全进入车库10(2024·黑龙江·二模)定义在R 上的偶函数f x 满足f x -3 =f 5-x ，当x ∈0,1 时，f x =x 2.设函数g x =log 5x -1 ，则下列结论正确的是()A.f x 的图象关于直线x =1对称B.f x 的图象在x =72处的切线方程为y =-x +174C.f 2021 +f 2022 +f 2023 +f 2024 =2D.f x 的图象与g x 的图象所有交点的横坐标之和为1011(2024·江西宜春·模拟预测)已知函数f x =2-log 12x ,0<x ≤2-x 2+8x -11,x >2,，g (x )=f (x )-a ，则()A.若g (x )有2个不同的零点，则2<a <5B.当a =2时，g f (x ) 有5个不同的零点C.若g (x )有4个不同的零点x 1,x 2,x 3,x 4x 1<x 2<x 3<x 4 ，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是(12,13)D.若g (x )有4个不同的零点x 1,x 2,x 3,x 4x 1<x 2<x 3<x 4 ，则ax 1x 2+x 3+x 4a的取值范围是(6,9)三、填空题12(2023·辽宁葫芦岛·一模)请估计函数f x =6x-log 2x 零点所在的一个区间.13(2024·河南·二模)已知函数f x 是偶函数，对任意x ∈R ，均有f x =f x +2 ，当x ∈0,1 时，f x =1-x ，则函数g x =f x -log 5x +1 的零点有个.14(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =4x-1 ,x ≤1x 2-6x +8,x >1，若方程2f x 2-a +2 ⋅f x +a =0有7个不同的实数根，则实数a 的取值范围是．四、解答题15(2024·山东聊城·二模)对于函数f (x )，若存在实数x 0，使f (x 0)f (x 0+λ)=1，其中λ≠0，则称f (x )为“可移λ倒数函数”，x 0为“f (x )的可移λ倒数点”．已知g (x )=e x ,h (x )=x +a (a >0)．(1)设φ(x )=g (x )h 2(x )，若2为“h (x )的可移-2倒数点”，求函数φ(x )的单调区间；(2)设ω(x )=g (x ),x >01h (x ),x <0 ，若函数ω(x )恰有3个“可移1倒数点”，求a 的取值范围．。
函数零点(07--11高考题)
函数的零点部分高考试题汇编1、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（B ） A.4 B.3 C.2 D.1 2、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ C ）A.⎪⎭⎫⎝⎛41,81B.⎪⎭⎫⎝⎛21,41C.⎪⎭⎫⎝⎛1,21D.(1,2)3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ A ）A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D.)21ln()(-=x x f 4．（10上海理）若0x 是方程31)21(x x=的解，则0x 属于区间（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛1,32 . B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 . C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31 D ．⎪⎭⎫⎝⎛31,05．（10上海文）若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）A ．（0，1）.B ．（1，1.25）.C ．（1.25，1.75）D ．（1.75，2） 6．（10天津理）函数()x x f x32+=的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,17．（10天津文）函数()2-+=x e x f x的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,1 8．（10浙江理）设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函数)(x f 不存在零点的是（ ）A ．[]2,4--B ．[]0,2-C ．[]2,0D ．[]4,2 9．（10浙江文）已知0x 是函数()xx f x-+=112的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（ ）A ．()01<x f ，()02<x fB ．()01<x f ，()02>x fC ．()01>x f ，()02<x fD ．()01>x f ，()02>x f10．（07湖南文理）函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．（09福建文）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ）A .()41f x x =-B .()2(1)f x x =-C .()1x f x e =-D .()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21ln x x f 12．（09重庆理）已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。
2025届高考数学复习：压轴好题专项(数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题)练习(附答案)
2025届高考数学复习：压轴好题专项(数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题)练习1．（2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测）已知函数()2sin f x ax x =-. (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)当0x >时，()cos f x ax x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.2．（2023届四川省高三诊断性检测）已知函数()22ln f x x x =-.(1)求()f x 的单调区间；(2)令()()2g x f x x ax =-+（a 为常数），若()g x 有两个零点()1212,x x x x <，求实数a 的取值范围.3．（2024届广东省揭阳市高三上学期开学考试）已知函数()()212ln 1R 2f x x mx m =-+∈.(1)当1m =时，证明：()1f x <；(2)若关于x 的不等式()()2f x m x <-恒成立，求整数m 的最小值. 4．（2023届黑龙江省哈尔滨市高三月考）设函数322()33f x x ax b x =-+ (1)若1a =，0b =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若0a b <<，不等式1ln 1x k f f x x +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对任意()1,x ∈+∞恒成立，求整数k 的最大值．5．（2023届江苏省连云港市高三学情检测）已知函数21()e xf x x=-. (1)判断函数()f x 零点的个数，并证明； (2)证明：2e ln 2cos 0x x x x x --->.6．（2024届广东省深圳市罗湖区部分学校高三上学期开学模拟）已知函数()(e xf x mx m =-∈R).(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，若关于x 的不等式()()ln 110f x x ++-≥恒成立，求实数m 的取值范围. 7．（2024届山西省朔州市怀仁市第一中学校等学校2高三上学期摸底）已知函数1()(1)ln(1)e 21f x a x ax x =--++++-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数）. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有且仅有3个零点，求实数a 的取值范围.8．（2023届云南省高三“云教金榜”N 1冲刺测试）设函数()()e ln xf x x a =-+，a ∈R .(1)当1a =时，求()f x 的单调区间； (2)若()f x a ≥，求实数a 的取值范围.9．（2024届云南省三校高三高考备考实用性联考）已知()23(1)e ,3x a f x x x ax a =--+∈R . (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间； (2)当0a =时，证明：函数()()21ln 2g x f x x x =+-有且仅有一个零点. 10.（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研摸底）已知函数()()e 1ln xf x a ax a =--+,其中2e a >-,且0a ≠.(1)当1a =时,求()f x 的单调区间； (2)若()f x 只有一个零点,求a 的取值范围.11.（2023届三省三校高三第一次联考）已知函数()(1)ln f x m x x =--. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若0m =,设()()()2e xg x f x x =+-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最小值为n ,求证：(3)(4)0n n --< .12．2()ln 3f x x x x =+-． （1）求()f x 的零点个数；（2）使不等式2()(2)ln 1f x x k x x x b ≥+----对任意[1,e]x ∈恒成立时最大的k 记为c ,求当[1,2]b ∈时,b c +的取值范围．参考答案1．（2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测）已知函数()2sin f x ax x =-. (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)当0x >时，()cos f x ax x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【过程详解】（1）当1a =时，()()2sin ,2cos f x x x f x x -=-'=， 切线的斜率为()01k f '==，又切点为()0,0，所以切线方程为y x =.（2）令()()cos g x f x ax x =-，即()2cos sin g x ax ax x x =--，①若1a ≥，则当0x >时，()2cos sin g x x x x x ≥--，令()2cos sin hx x x x x =--，()22cos sin h x x x x =-+'，当(]0,πx ∈时，()0h x '≥，所以()h x 在(]0,π上单调递增，()()00h x h >=， 当()π,x ∈+∞时，()()()1cos sin 0h x x x x x =-+->， 所以()()0g x h x ≥≥恒成立，符合题意；②若0a ≤，则当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2cos sin 1cos sin 0g x ax ax x x ax x ax x =--=-+-<，不合题意； ③若01a <<，注意到()()()()00,2cos sin cos ,01gg x a a x x x x g a -''==--=-，令()()()2cos sin cos x g x a a x x x x ϕ=---'=，则()()21sin cos x a x ax x ϕ=++'，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，所以()g x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为()ππ010,2022g a g a ⎛⎫⎛⎫=-<=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()00,x 上单调递减，()()00g x g <=，不合题意. 综上，a 的取值范围为[)1,+∞.2．（2023届四川省高三诊断性检测）已知函数()22ln f x x x =-.(1)求()f x 的单调区间；(2)令()()2g x f x x ax =-+（a 为常数），若()g x 有两个零点()1212,x x x x <，求实数a 的取值范围.【过程详解】（1）由题意可知：()f x 的定义域为()0,∞+， ()()()21122x x f x x xx+-'=-=，令()0f x '<，解得01x <<；令()0f x ¢>，解得1x >； 所以()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞.（2）由题意可知：()()22ln g x f x x ax ax x =-+=-，其定义域为()0,∞+，则()g x 有两个零点12,x x ，即()0g x =有两解，即ln 2a x x=有两解， 令()()ln 0x x x x ϕ=>，则()()21ln 0xx x xϕ='->. 令()0x ϕ'>，解得0e x <<；令()0x ϕ'<，解得e x >； 则()x ϕ的单调递减区间是()e,+∞，单调递增区间是()0,e ， 可知()()lne 1e e ex ϕϕ≤==， 又因为()10ϕ=，且当x 趋近于+∞，()x ϕ趋近于0， 要使得ln 2a x x =有两解，只需102ea <<，所以20e a <<，故实数a 的取值范围为20,e ⎛⎫⎪⎝⎭.3．（2024届广东省揭阳市高三上学期开学考试）已知函数()()212ln 1R 2f x x mx m =-+∈.(1)当1m =时，证明：()1f x <；(2)若关于x 的不等式()()2f x m x <-恒成立，求整数m 的最小值.【过程详解】（1）当1m =时，()212ln 1(0)2f x x x x =-+>，()222(0)x f x x x x x -'∴=-=>， 令()0f x '=，得x ，当(x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增；当)x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，所以()f x在x 处取得唯一的极大值，即为最大值，所以max 1()21ln22f x f==-⨯+=，所以()ln2f x ≤， 而ln2lne 1<=， 所以()1f x <.（2）令()()()()2122ln 212G x f x m x x mx m x =--=-+-+.则()()()22222mx m x G x mx m x x-+-+=-+-='. 当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>，所以()G x 在()0,∞+上单调递增，又因为()31302G m =-+>.所以关于x 的不等式()0G x <不能恒成立；当0m >时，()()21m x x m G x x⎛⎫-+ ⎪'⎝⎭=-. 令()0G x '=，得2x m =，所以当20,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0G x '>； 当2,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0G x '<.因此函数()G x 在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 故函数()G x 的最大值为222ln 2ln21G m m m⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.令()22ln 2ln21h m m m=-+-， 因为()()()1112ln20,20,32ln22ln303h h h =+>==--<，又因为()h m 在()0,∞+上单调递减，所以当3m ≥时，()0h m <. 所以整数m 的最小值为3.4．（2023届黑龙江省哈尔滨市高三月考）设函数322()33f x x ax b x =-+ (1)若1a =，0b =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若0a b <<，不等式1ln 1x k f f x x +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对任意()1,x ∈+∞恒成立，求整数k 的最大值．【过程详解】（1）当1a =，0b =时，32()3f x x x =-，所以(1)2f =-，即切点为()1,2P - 因为2()36f x x x '=-，所以(1)363f '=-=-， 所以切线方程为()231y x +=--，即31y x =-+，（2）22()363f x x ax b '=-+，由0a b <<，所以22363636()()0a b a b a b ∆=-=+-<， 所以函数()f x 在R 上单调递增不等式1ln 1x k f f x x -⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1ln (1ln )11x k x x k x x x --⇔>⇔>--，对()1,x ∈+∞恒成立， 构造(1ln )()1x xh x x -=-，22(2ln )(1)(ln )ln 2()(1)(1)x x x x x x x h x x x +--+--'==--，构造()ln 2g x x x =--，11()1x g x x x-'=-=，对()1,x ∈+∞有()0g x '>， 所以()ln 2g x x x =--在()1,x ∈+∞递增，()31ln 30g =-<，()42ln 40g =->， 所以0(3,4)x ∃∈，()000ln 20g x x x =--=，所以()01,x x ∈，()0g x <，即()0h x '<，()h x 在()01,x 递减，()0,x x ∈+∞，()0g x >，即()0h x '>，()h x 在()0,x +∞递增，所以()()00min 001ln ()1x x h x h x x +==-，结合00ln 2x x =-，故min 0()(3,4)h x x =∈，所以(1ln )1x xk x +<-对(1,)x ∈+∞恒成立min ()k h x ⇔<，故3k ≤， 所以整数k 的最大值为3；5．（2023届江苏省连云港市高三学情检测）已知函数21()e xf x x=-. (1)判断函数()f x 零点的个数，并证明； (2)证明：2e ln 2cos 0x x x x x --->.【过程详解】（1）函数的定义域{|0}x x ≠，当时0x <时，21()e 0xf x x=->，函数()f x 无零点， 当0x >时，221()2e 0xf x x '=+>，()f x 单调递增，又1()404f =<，2(1)e 10f =->且()f x 图象在0+∞（,）上连续不断，所以由零点存在定理得()f x 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点，综上，()f x 有且只有一个零点.（2）要证2e ln 2cos 0x x x x x --->，即证2e ln 2cos x x x x x -->， 令2()e ln 2x g x x x x =--，其中0x >，则有2222()e ln ln e e ln e x x x x g x x x x x =--=-（），令2e x t x =，则()g x 可化为()ln h t t t =-，因为()212e 0xt x '=+>，所以函数2e x t x =在0+∞（,）单调递增，则0t >，由()ln h t t t =-，0t >，1()1h t t =-'1t t-=，令()0h t '=得1t =，列表如下：t()0,11()1,+∞()h t ' - 0 +()h t1 ↗由表可知：min ()(1)1h t h ==，即2()e ln 21x g x x x x =--≥，仅当2e 1x x =，等号成立，由（1）可知，存在唯一的01,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0201e xx =，即仅有唯一的01,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得02000e ln 21xx x x --=，而cos 1≤x ，当()*2πN x k k =∈，等号成立，综上，2()e ln 21x g x x x x =--≥与cos 1≤x ，等号不能同时成立， 故2e ln 2cos x x x x x -->，即2e ln 2cos 0x x x x x --->.6．（2024届广东省深圳市罗湖区部分学校高三上学期开学模拟）已知函数()(e xf x mx m =-∈R).(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，若关于x 的不等式()()ln 110f x x ++-≥恒成立，求实数m 的取值范围. 【过程详解】（1）函数()f x 的定义域为R , ()e x f x m '=-，当0m ≤时，由()0f x ¢>，()f x 在R 上单调递增，当0m >时，令()0f x ¢>，可得ln x m >，令()0f x '<，可得ln x m <，∴()f x 单调递减区间为(),ln m -∞，()f x 单调递增区间为()ln ,m +∞，∴当0m ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0m >时，()f x 在区间(),ln m -∞上单调递减，在区间()ln ,m +∞上单调递增.（2）设()()()e ln 110x g x mx x x =-++-≥，则()1e 1x g x m x '=+-+， （i ）当2m ≤时，()1e 1xg x m x '=+-+， 令()1e 1xh x m x =+-+，则()()21e 1x h x x '=-+，令()()21e 1xk x x =-+，则()()32e 01xk x x +'=+>，∴()k x 在区间[)0,∞+上单调递增，则()()00k x k ≥=， ∴()h x 在区间[)0,∞+上单调递增，则()()02h x h m ≥=-，∴()20g x m '=-≥， ∴()g x 在区间[)0,∞+上单调递增，则()()00g x g ≥=恒成立，（ii ）若m>2时，则(0)0g '<，1(ln 1)(e 1)02ln g m m m'+=-+>+，∴()00,ln 1x m ∃∈+，使得()00g x '=，∴()g x 在区间[)00,x 上单调递减，则()()000g x g <=，与条件矛盾，综上所述，实数m 的取值范围为(],2-∞.7．（2024届山西省朔州市怀仁市第一中学校等学校2高三上学期摸底）已知函数1()(1)ln(1)e 21f x a x ax x =--++++-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数）. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有且仅有3个零点，求实数a 的取值范围. 【过程详解】（1）函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()2111111111a f x a a x x x x +⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪⎪+++⎝⎭⎝'⎭+()()()()2211111x a x x ax a x x ⎡⎤⎡⎤+---⎣⎦⎣⎦==++. ①当0a ≤时，由10x +>，有()110a x +-<，令()0f x '<，可得0x >，可得函数()f x 的减区间为()0,∞+， 令()0f x ¢>，函数()f x 的增区间为()1,0-；②当1a =时，()()2201x f x x +'=≥，可得函数()f x 在区间()1,-+∞上单调递增，无单调减区间；③当01a <<时，10aa ->，令()0f x '<，可得10a x a-<<， 可得函数()f x 的减区间为10,a a -⎛⎫⎪⎝⎭，令()0f x ¢>，可得10x -<<，或1a x a ->，所以函数()f x 的增区间为()1,0-，1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭； ④当1a >时，10aa -<，令()0f x '<，可得10a x a-<<， 令()0f x ¢>，可得11ax a--<<，或0x >，可得函数()f x 的减区间为1,0a a -⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为11,a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,∞+；综上，当0a ≤时，由函数()f x 的减区间为()0,∞+，增区间为()1,0-； 当1a =时，函数()f x 在区间()1,-+∞上单调递增；当01a <<时，函数()f x 的减区间为10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为()1,0-，1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当1a >时，函数()f x 的减区间为1,0a a -⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为11,a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,∞+.（2）()0e 30f =-<. 由（1）可知：①当0a ≤时，由函数()f x 的减区间为()0,∞+，增区间为()1,0-，有()()00f x f ≤<，函数()f x 没有零点，不合题意；②当1a =时，函数()f x 单调递增，函数()f x 最多只有一个零点，不合题意； ③当01a <<时，函数()f x 的减区间为10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为()1,0-，1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 由()00f <，函数()f x 最多只有一个零点，不合题意；④当1a >时，函数()f x 的减区间为1,0a a -⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为11,a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,∞+.由()00f <，若函数()f x 有且仅有3个零点，必需()11ln 2e 10a f a a a a -⎛⎫=+-+-> ⎪⎝⎭，令()()()1ln 2e 11g x x x x x =+-+-≥，有()1ln 1g x x x+'=-， 令()()1ln 11h x x x x =+-≥，有()221110x h x x x x-'=-=≥， 可得函数()h x 单调递增，有()()10h x h ≥=， 可得函数()g x 单调递增，又由()e 0g =，故满足不等式()1ln 2e 10a a a +-+->的a 的取值范围为e a >. 又由()()()()111ln 1e 21a x x f x ax x ++++=-++-+，可得当1x →-时，()f x →-∞，又由10a f a -⎛⎫> ⎪⎝⎭，(0)0f <，()()2221e 12(1)e 1e 2e f a a -=--++-+-()232211e 3e 4e 2e 40e e a =-+-->--->，可得函数()f x 有且仅有3个零点. 由上知，若函数()f x 有且仅有3个零点，实数a 的取值范围为()e,+∞.8．（2023届云南省高三“云教金榜”N 1冲刺测试）设函数()()e ln xf x x a =-+，a ∈R .(1)当1a =时，求()f x 的单调区间； (2)若()f x a ≥，求实数a 的取值范围.【过程详解】（1）1a =时，函数()e ln(1)x f x x =-+的定义域为(1,)-+∞，因为1()e 1x f x x '=-+，所以，当0x >时，()0f x '>，当10x -<<时，()0f x '<， 所以()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，单调递减区间是(1,0)-.（2）函数()e ln()x f x x a =-+的定义域为(,),()a f x a -+∞≥，等价于e ln()0x x a a -+-≥，设()e ln()x g x x a a =-+-，则1()e x g x x a'=-+， 设()()h x g x '=，则21()e 0()x h x x a '=+>+恒成立， 所以()h x 在(,)a -+∞上单调递增，即()g x '在(,)a -+∞上单调递增，当,()x a g x '→-→-∞，当,()x g x '→+∞→+∞，所以0(,)x a ∃∈-+∞，使得()00g x '=，即001e x x a =+，所以001ex a x =-， 当()0,x a x ∈-时，()0g x '<，所以()g x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，所以()()000min 0001()e ln e 20ex x x g x g x x a a x ==-+-=-+≥， 设1()e 2e x x p x x =-+，则(0)0p =，而1()e 20ex x p x '=++>恒成立， 所以1()e 2e x x p x x =-+为增函数， 由()00(0)p x p ≥=，所以00x ≥. 因为1,e x y y x ==-均为减函数，所以001ex a x =-在[)0,∞+上为减函数， 所以，当00x ≥时，1a ≤，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞9．（2024届云南省三校高三高考备考实用性联考）已知()23(1)e ,3x a f x x x ax a =--+∈R . (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当0a =时，证明：函数()()21ln 2g x f x x x =+-有且仅有一个零点. 【过程详解】（1）当1a =时，()231(1)e 3x f x x x x =--+， ()()222()2(1)e (11e 11e )x x x f x x x x x '=-+--+=--，由()0f x ¢>得210e 10x x ⎧->⎨->⎩或210e 10x x ⎧-<⎨-<⎩，解得10x -<<或1x >由()0f x '<得210e 10x x ⎧->⎨-<⎩或210e 10x x ⎧-<⎨->⎩，解得1x <-或01x <<， 故函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-,(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞-,(0,1).（2）当0a =时，()221ln (1)e 2x g x x x x =-+-，定义域为()0,∞+， ()212(1)e (1)e x x g x x x x x ∴=-++-'-()()()2111e 11e x x x x x x x x ⎛⎫=-+-=+-- ⎪⎝⎭， 设()1e (0)x h x x x=->， ()21e 0x h x x =+'∴>，所以()h x 在区间()0,∞+上是增函数，()120,1e 102h h ⎛⎫=<=-> ⎪⎝⎭， ∴存在唯一01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00h x =，即00000011e 0,e ,ln x x x x x x -==-=， 当00x x <<时，()0h x <，即()0g x '>；当01x x <<时，()0h x >，即()0g x '<；当1x >时，()0h x >，即()0g x '>，()g x ∴在区间()00,x 上是增函数，在区间()0,1x 上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数，∴当0x x =时，()g x 取极大值为()()02200001ln 1e 2x g x x x x =-+- 22000011(1)2x x x x =--+-⋅ 2001122x x =-+-， 设()21112122F x x x x ⎛⎫=-+-<< ⎪⎝⎭，21()0F x x x '=--<， 所以()F x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数. ()()01111220,2248g x g g x ⎛⎫∴<=-⨯+-=-<∴ ⎪⎝⎭在()0,1内无零点， ()()2110,2e 2ln202g g =-<=-+> ， ()g x ∴在()1,+∞内有且只有一个零点，综上所述，()g x 有且只有一个零点.10.（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研摸底）已知函数()()e 1ln x f x a ax a =--+,其中2e a >-,且0a ≠.(1)当1a =时,求()f x 的单调区间；(2)若()f x 只有一个零点,求a 的取值范围.【过程详解】 (1)当1a =时,()()()e 1ln 1,1x f x x x =--+>-,()()1e ,11x f x x x '=->-+, 易知()f x '在()1,-+∞上单调递增,且()00f '=,所以当()1,0x ∈-时,()0f x '<,此时()f x 单调递减；当()0,x ∈+∞时,()0f x '>,此时()f x 单调递增；所以()f x 的单调递增区间是()0,∞+,单调递减区间是()1,0-；(2)()()e 1111e 1x xa f x a x x x '=-=+-++, 令()()e 11x g a x x +=-,（1）当2e 0a -<<时,则(),1x ∈-∞-,()()e 2x x a x g =+',当(),2x ∞∈--时,()0g x '>,此时()g x 单调递增；当()2,1x ∈--时,()0g x '<,此时()g x 单调递减；故()()2210e a g x g ≤-=-<-, 则()()e 1101x f x a x x +-'=>+,()f x 在(),1-∞-单调递增, 又1x →-时,()f x →+∞；x →-∞时,()f x →-∞；所以此时()f x 在(),1-∞-只有一个零点；（2）当0a >时,则()1,x ∈--∞,()()e 20x g x a x '=+>恒成立,()g x 在()1,--∞单调递增,且()110g -=-<,()111111e 11e a a g a a a a ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎛⎫== ⎪⎭⎭⎝, 又11,11e a a >+>,则()1111e 1e 1110a a g a a a a ⎛⎛⎫==> ⎪⎫+-+⎪⎭-⎭⎝ ⎝, 故存在011,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,使得()00g x =, 当()01,x x ∈-时,()0g x <,当()0,x x ∈+∞时,()0g x >,因为当1x >-时,101x >+, 所以当()01,x x ∈-时,()0f x '<,()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增；当0x x =时,()f x 取得极小值,由()00g x =得001e 1x a x =+,则001ln 1ln a x x =++, ()()0200000011e ln 1ln 11011x x f x a x a x x x -=-+--=+-=≥++ 当00x =时,等号成立,由()00f =,可得()0e 1ln 1ln 00f a a a a =--=--=,解得1a =,综合第一问可知,当1a =时,()f x 只有一个零点；综上,若()f x 只有一个零点,则a 的取值范围是(){}2e ,01-⋃11.（2023届三省三校高三第一次联考）已知函数()(1)ln f x m x x =--.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若0m =,设()()()2e x g x f x x =+-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最小值为n ,求证：(3)(4)0n n --< . 【过程详解】 (1)定义域：,()0x ∈+∞.1(1)1()1m x f x m x x--'=--=. ①当10m -≤,即m 1≥时：()0f x '<恒成立.故()f x 在(0,)+∞上单调递减.②当10m ->,即1m <时：令()0f x '<,即(1)10m x x --<,解得：101x m<<-; 所以()f x 在1(0,1m -上单调递减,在1(,)1m+∞-上单调递增. 综上所述：当m 1≥时：()f x 在(0,)+∞上单调递减；当1m <时：()f x 在1(0,1m -上单调递减,在1(,)1m+∞-上单调递增. (2)当0m =时,()()1ln 2e ,,12x g x x x x x ⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭. ()()()()1111e 2e 1e 1e x x x x x g x x x x x x x -⎛⎫=--+-=+-=-- ⎪⎝⎭'. 因为()1e x m x x =-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,且1202m ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,()1e 10m =->. 所以必存在点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使00()g x '=,即00001e ln x x x x =⇒=- 且当01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0g x '<,当()0,1x x ∈时()0g x '>, 所以()g x 在区间01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在区间()0,1x 上单调递减. 所以()()()00000000min 0022ln 2e 221x x n g x g x x x x x x x x -===-+-=+=+-.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 又因00221n x x =+-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 所以12212221342n n +-<<⨯+⨯-⇒<<. 故(3)(4)0n n --<恒成立.12．2()ln 3f x x x x =+-．（1）求()f x 的零点个数；（2）使不等式2()(2)ln 1f x x k x x x b ≥+----对任意[1,e]x ∈恒成立时最大的k 记为c ,求当[1,2]b ∈时,b c +的取值范围．【过程详解】（1）函数定义域是(0,)+∞, 由题意21231(21)(1)()23x x x x f x x x x x '-+--=+-==, 当102x <<或1x >时,()0f x '>,112x <<时,()0f x '<, 所以()f x 在1(0,)2和(1,)+∞上递增,在1(,1)2上递减, 0x →时,()f x →-∞,x →+∞时,()f x →+∞,()f x 极大值11135()ln ln 2022424f ==+-=--<,()f x 极小值(1)20f ==-<, 所以()f x 只在区间(1,)+∞上有一个零点；（2）因为0x >,所以原不等式可变为2()ln 1ln ln 121f x x x x b x x x b k x x-++++++≤+=-,令ln ln 1()1x x x b g x x +++=-,2ln ()x x b g x x --'=, 令()ln p x x x b =--,则11()1x p x x x -'=-=,[1,e]x ∈时,()0p x '≥,()p x 递增,min ()(1)1p x p b ==-,max ()(e)e 1p x p b ==--,①当(1)0p ≥,即1b =时,在[1,e]上()0g x '≥,()g x 是增函数, min ()(1)c g x g b ===,22c b b +==,②当(e)0p ≤,即[e 1,2]b ∈-时,()0g x '≤,()g x 递减,min 2()(e)e b c g x g +===,214[e,2]e e e b b c b ++=+∈++； ③当(1)(e)0p p <时,()p x 在(1,e)上递增, 存在唯一的实数0(1,e)x ∈,使得0()0p x =,00ln 0x x b --=,00ln b x x =-, 则当0(1,)x x ∈时,()0p x <,()0g x '<,()g x 递减, 0(,e)x x ∈时,()0p x >,()0g x '>,()g x 递增, 000min 0000ln ln 11()()1ln x x x b c g x g x x x x +++===-=+, 00000011ln ln b c x x x x x x +=-++=+, 00ln b x x =-,令()ln h x x x =-,1()1h x x'=-,(1,e)x ∈时,()0h x '>,()h x 递增, 所以(1,e 1)b ∈-时,0(1,e)x ∈,所以0011(2,e )eb c x x +=+∈+, 综上,4[2,2]e b c +∈+．。
高三复习函数的零点部分高考试题汇编
函数的零点部分高考试题汇编1、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 2、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B.⎪⎭⎫⎝⎛21,41C.⎪⎭⎫⎝⎛1,21D.(1,2)3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ）A. ()41f x x =- B. ()2(1)f x x =- C. ()1x f x e =- D.)21ln()(-=x x f 4．（10上海理）若0x 是方程31)21(x x=的解，则0x 属于区间（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛1,32 . B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 . C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0 5．（10上海文）若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）A ．（0，1）.B ．（1，1.25）.C ．（1.25，1.75）D ．（1.75，2） 6．（10天津理）函数()x x f x32+=的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,17．（10天津文）函数()2-+=x e x f x的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,1 8．（10浙江理）设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函数)(x f 不存在零点的是（ ）A ．[]2,4-- B ．[]0,2- C ．[]2,0 D ．[]4,2 9．（10浙江文）已知0x 是函数()xx f x-+=112的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（ ）A ．()01<x f ，()02<x fB ．()01<x f ，()02>x fC ．()01>x f ，()02<x fD ．()01>x f ，()02>x f10．（07湖南文理）函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．111．（09福建文）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ）A .()41f x x =-B .()2(1)f x x =-C .()1x f x e =-D .()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21ln x x f 12．（09重庆理）已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]m x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。
2021届高考数学复习压轴题训练函数的零点3含解析
函数零点 一、单项选择题1．函数2|2|,0(),0x x x f x lnx x ⎧+=⎨>⎩，如此函数()2(()1)1g x f f x =--的零点个数为() A ．7B ．8C ．10D ．11解：令()0g x =，得1(()1)2f f x -=， 令()1f x t -=，如此1()2f t =， 作出函数()f x 的大致图象如图示：如此1()2f t =有4个实数根1t ，2t ，3t ，4t ，其中1(3,2)t ∈--，2(2,1)t ∈--，3(1,0)t ∈-，4(1,2)t ∈， 假如(3,2)t ∈--，如此()1f x t -=有1个实数根，假如(2,1)t ∈--，如此()1f x t -=有1个实数根，假如(1,0)t ∈-，如此()1f x t -=有4个实数根，假如(1,2)t ∈，如此()1f x t -=有2个实数根，故()1f x t -=共有8个实数根，即函数()g x 有8个零点，应当选：B ．2．函数,0(),0x x x e x f x x e x ⎧⋅=⎨-⋅<⎩，如果关于x 的方程2[()]()10()f x t f x t R +⋅+=∈有四个不等的实数根，如此t 的取值X 围()A ．1(,)e e -∞--B ．1(e e --，2)-C ．1(2,)e e+D ．1(e e +，)+∞解：函数,0(),0x x x e x f x x e x ⎧⋅=⎨-⋅<⎩， 当0x 时，()x f x xe =，如此()(1)0x f x e x '=+>，故()f x 在[0，)+∞上单调递增，当0x <时，()x f x xe =-，所以()(1)x f x e x '=-+，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减，且1(1)f e-=， 作出函数()f x 的图象如下列图，令()f x m =，由图象可知， 当1m e=时，()f x 与y m =有两个交点， 当1m e>或0m =时，()f x 与y m =有1个交点， 当10m e<<时，()f x 与y m =有3个交点， 当0m <时，()f x 与y m =没有交点，因为2[()]()10()f x t f x t R +⋅+=∈有四个不等的实数根， 如此方程210m tm ++=有两个不同的实数根，12m m <， 因为121m m =，12m m t +=-，所以10m ≠， 所以1211(0,),(,)m m e e∈∈+∞，且211m m =， 所以12111m m m m +=+，11(0,)m e∈， 设1()g x x x =+，1(0,)x e ∈，如此21()10g x x'=-<， 所以()g x 在1(0,)e上单调递减， 如此11()()g x g e e e >=+，故1t e e ->+，所以1t e e<--． 应当选：A ．3．函数2()(23)x f x x x e =-，如此函数23[()]2()1y f x f x =+-零点的个数是()A ．6B ．5C ．4D ．3解：函数2()(23)x f x x x e =-，如此2()(23)(1)(23)x x f x x x e x x e '=+-=-+，当32x <-时，()0f x '>，如此()f x 单调递增， 当312x -<<，()0f x '<，如此()f x 单调递减， 当1x >时，()0f x '>，如此()f x 单调递增，所以当32x =-时，()f x 取得极大值323()92f e --=， 当1x =时，()f x 取得极小值f 〔1〕e =-，作出函数()f x 的图象如下列图，令()f x t =，因为函数223[()]2()1321y f x f x t t =+-=+-， 令23210t t +-=，解得1t =-，13t =， 故函数2321y t t =+-的零点为1-和13， 所以()1f x =-，1()3f x =， 由图象可知()y f x =与1y =的图象有2个交点，()y f x =与13y =的图象有3个交点， 故函数23[()]2()1y f x f x =+-零点的个数是5个．应当选：B ．4．关于x 的方程1x lnx k e x+-=在(0,)+∞上只有一个实根，如此实数(k =) A ．1e -B ．1C ．0D ．e解：关于x 的方程1x lnx k e x+-=在(0,)+∞上只有一个实根， 即(1)x x e lnx k --=有且仅有一个正根，令()(1)x f x x e lnx =--，0x >如此11()(1)1(1)()x x f x x e x e x x '=+--=+-， 令1()x g x e x=-，0x >， 如此21()0x g x e x '=+>， 记0010x e x -=，即0()0g x =， 0(0,)x ∴上()0g x <，0(x ，)+∞上()0g x >，又因为0x >，故0(0,)x 上()0f x '<，0(x ，)+∞上()0f x '>，当x →+∞时，()f x →+∞，0x →时，()f x →+∞， 故当0x x =时，0()f x k =且001x e x =， 00000(1)11x k x e lnx x lnx ∴=--=--=，应当选：B ． 5．x R ∈，符号表示不超过x 的最大整数，假如函数[]()(0)x f x a x x=-≠有且仅有4个零点，如此实数a 的取值X 围是() A ．45(,]56B ．4554(,][,)5643C ．34(,]45D ．3443(,][,)4532解：由[]()0x f x a x =-=得[]x a x =， 设[]()x g x x=， 如此当01x <<，[]0x =，此时()0g x =，当12x <，[]1x =，此时1()g x x =，此时1()12g x <， 当23x <，[]2x =，此时2()g x x =，此时2()13g x <， 当34x <，[]3x =，此时3()g x x =，此时3()14g x <， 当45x <，[]4x =，此时4()g x x =，此时4()15g x <， 当56x <，[]5x =，此时5()g x x =，此时5()16g x <， 当67x <，[]6x =，此时6()g x x =，此时6()17g x <， 作出函数()g x 的图象，要使[]()x f x a x =-有且仅有4个零点， 即函数()g x a =有且仅有4个零点，如此由图象可知4556a <或5443a <， 应当选：B ．6．函数2()x x x m f x e ++=的图象过点1(1,)e ，假如关于x 的方程()0()f x a a R +=∈有3个不同的实数根，如此a 的取值X 围是()A ．(,0)e -B ．(0,)eC ．25(e -，0)D ．25(e -，)e 解：f 〔1〕21m e e +==，1m ∴=-，故21()xx x f x e +-=． 22(21)(1)(2)(1)()x x x xx e x x e x x f x e e +⋅-+-⋅-+'==-， 当(1,2)x ∈-时，()0f x '>，当(,1)x ∈-∞-或(2,)+∞时，()0f x '<， ()f x ∴在(1,2)-上单调递增，在(,1)-∞-，(2,)+∞上单调递减， ()f x ∴的极大值为f 〔2〕25e=，极小值为(1)f e -=-． 且当x →-∞时，()f x →+∞，当x →+∞时，()0f x →， 关于x 的方程()0()f x a a R +=∈有3个不同的实数根，21()xx x f x e +-∴=的图象与y a =-有3个不同交点，如此250a e <-<，得250a e -<<． 即a 的取值X 围是25(e-，0)． 应当选：C ．7．关于x 的方程2||||2||x a x a a b ++--=有三个不同的实根，如此2a b +的最小值为()A ．4916-B ．3-C ．116-D ．0 解：由条件知0b ，方程可化为2|||2|x a x a a b ++-=+或2|||2|x a x a a b ++-=-，当0a <时，3,|||2|2,23,2x x a a x a x a x a x a a x x ⎧⎪-⎪⎪++-=-<<-⎨⎪⎪-⎪⎩，如下列图，假如方程有三个不同的实数根，如此|||2|y x a x a =++-与直线2y a b =+和直线2y a b =-共有3个交点，当2a x =时，32y a =-，所以232a a b -=-，可得2302b a a =+，解得32a -或0a 〔舍)， 如此22774932(),24162a b a a a a +=+=+--， 当74a =-时，2a b +取得最小值为4916-． 又当0a >，0b >时，492016a b +>>-． 综上所述，2a b +的最小值为4916-． 应当选：A ．8．函数2()x x x e f x e e-=-与函数3()121g x x x =-++的图象交点分别为：11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，⋯，(k k P x ，*)()k y k N ∈，如此1212()()(k k x x x y y y ++⋯++++⋯+=)A ．2-B ．0C ．2D ．4解：由题意化简，()1x x x x e e f x e e--+=+-， 设1()x x x x e e h x e e --+=-，如此11()()x x x xe e h x h x e e --+-==--，如此1()h x 关于坐标原点对称，1()()1f x h x =+关于点(0,1)对称，设32()12h x x x =-+，如此322()12()h x x x h x -=-=-，如此2()h x 关于坐标原点对称，2()()1g x h x =+关于点(0,1)对称，故()f x 的图象与()g x 的图象都关于点(0,1)对称，又2224()0(1)xx e f x e -'=<-，所以()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上单调递减， 由2()3(4)g x x '=--可知，()g x 在(,2)-∞-，(2,)+∞上单调递减，在(2,2)-上单调递增，绘制函数图像如下列图，可得，()f x 与()g x 的图象有四个交点，且都关于点(0,1)对称，所以所求和为4， 应当选：D ．二、多项选择题9．定义在R 上的奇函数，满足(2)()0f x f x -+=，当(0x ∈，1]时，2()log f x x =-，假如函数()()tan()F x f x n π=-在区间[1-，]m 上有10个零点，如此m 的取值可以是() 解：()f x 为R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-， (2)()()f x f x f x ∴-=-=-，(2)()f x f x ∴+=，∴函数()f x 是周期为2的奇函数，函数tan()y n π=是周期1T ππ==的奇函数， 画出函数()y f x =与函数tan()y n π=的图像，如下列图：注意到(0)0f =，(0)f f ∴=〔2〕f =〔4〕0=， 由图像可知在区间[1-，4]上有11个交点，其中1x =-时是第1个交点，4x =时是第11个交点，在1(0,)2上，2111()2tan()1444f log π=-=>⋅=， ∴在1(0,)2上的交点的横坐标大于14， ∴同理在1(2-，0)上的交点的横坐标小于14-， ∴第10个交点的横坐标小于1154 3.7544-==， 3.754m ∴<符合题意， m ∴可取3.8，3.9，应当选：AB ． 10．函数2()()ln x f x x -=，22()3x m g x x -=，假如函数1()(())h x g f x m =+有3个不同的零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，如此123()()2()f x f x f x ++的取值可以是()A ．2e -B ．2eC ．1eD ．1e - 解：222()()ln x f x x--'=， 令()0f x '=，解得x e =-，当x e <-时，函数()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当0e x -<<时，函数()0f x '>，函数()f x 单调递增，()f x ∴的极小值为2()f e e-=-，1()(())0h x g f x m=+=， 令()t f x =，1()0g t m ∴+=，如此22103t m t m-+=， 即22320t mt m +-=，解得方程两根为m -和23m ， 函数()h x 的零点即方程()f x m =-和2()3f x m =的根， ∴函数()h x 有3个不同的零点需满足：当0m <时，1222()()(3f x f x m e==∈-，0)且3()(0f x m =-∈，)+∞， 1232222()()2()2()(0,)333m m f x f x f x m m e∴++=++⨯-=-∈； 当0m >时，122()()(f x f x m e ==-∈-，0)且3()(0,)2m f x =∈+∞， 123224()()2()()()2(333f x f x f x m m m m e∴++=-+-+⨯=-∈-，0)， 综上：123()()2()f x f x f x ++的X 围为4(3e -，0)(0⋃，2)e ． 结合选项可得，123()()2()f x f x f x ++的取值可以是CD ． 应当选：CD ． (2e x 仅有四个不同的解，如此实数m 的值不可能为()A ．eB ．2eC ．6D ．3e解：设()()()F x f x f x =+-，可得()()F x F x -=，即有()F x 为偶函数， 由题意考虑0x >时，()F x 有两个零点， 当0x >时，0x -<，()2x m f x e mx -=-+， 即有0x >时，()22x x x x m m F x xe e e mx xe mx =-+-+=-+， 由()0F x =，可得02x m xe mx -+=，由x y xe =，1()2y m x =-相切，设切点为(,)t t te ， x y xe =的导数为(1)x y x e '=+，可得切线的斜率为(1)t t e +， 可得切线的方程为(1)()t t y te t e x t -=+-，由切线经过点1(2，0)，可得1(1)()2t t te t e t -=+-， 解得1t =或12-〔舍去〕， 即有切线的斜率为2e ，由图象可得2m e >时，直线与曲线有两个交点，综上可得m 的X 围是(2,)e +∞，不可能是e ，2e ，应当选：AB ．12．设函数1||,0()(1),0x lnx x f x e x x +>⎧=⎨+⎩，假如函数()()g x f x b =-恰有两个零点，如此实数b 的值可以是()A ．1e -B ．21e-C ．2D ．3 解：当01x <<时，()||f x lnx lnx ==-，单调递减，当1x >时，()||f x lnx lnx ==，单调递增，当1x =时，()0f x =，且0x +→时，()f x →+∞，当0x 时，1()(1)x f x x e +=+，111()(1)(2)x x x f x e x e x e +++'=++=+，当2x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当20x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当2x =-时，1()f x e =-， 当1x =-时，()0f x =；当0x =时，()f x e =，当x →-∞时，()0f x →；当0x -→时，()f x →+∞， 作出函数()f x 的图像如下：假如函数()()g x f x b =-恰有两个零点，如此()y f x =与y b =有两个交点，所以b e >或10b e-<<， 应当选：BD ．三、填空题13．关于x 的不等式20x e ax -<有且只有一个正整数解，如此实数a 的取值X 围是． 解：当0x =时，不符合题意，当0x ≠时，不等式20x e ax -<可变形为2x e a x>， 故2x e a x>有且只有一个正整数解， 令2()x e f x x =，如此4(2)()x x x e f x x -'=， 如此()f x 在(,0)-∞，(2,)+∞上单调递增，在(0,2)上单调递减，如此()f x 在(0,)+∞上的最小值为f 〔2〕24e =， 又f 〔1〕e =，f 〔3〕39e =， 作出函数()f x 的图象如下列图，因为2x e a x>有且只有一个正整数解， 所以a 的取值X 围为2349e e a <<， 故答案为：(24e ，3)9e ． 14．设函数3()||f x x a a x=--+，假如关于x 的方程()1f x =有且仅有两个不同的实数根，如此实数a 的取值构成的集合为．解：由方程()1f x =，得3||1x a a x-+=+有两个不同的解，令()||h x x a a =-+，3()1g x x=+， 如此()||h x x a a =-+的顶点(,)a a 在y x =上，而y x =与3()1g x x=+的交点坐标为113(+113)+，113(-113-，联立231y x a y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩得2(12)30x a x +-+=， 由△2(12)120a =--=，解得1232a +=或1232-， 作出图象，数形结合，要使得3||1x a a x -+=+有两个不同的解， 如此实数a 的取值X 围是1232a +=或1232-或1132+， 故答案为：123{2+，1232-，113}2+． 15．()y f x =是奇函数，定义域为[1-，1]．当0x >时，211()|()|1(0,)4x f x x Q ααα-=-->∈，当函数()()g x f x t =-有3个零点，实数t 的取值X 围是．解：易知，函数211()4x y x α-=-在(0，1]上单调递减， 且0x →时，4y →；1x =时，34y =-．如此函数211|()|14x y x α-=--，(0x ∈，1]的图象如图〔1〕〔草图〕:结合函数()f x 是[1-，1]上的奇函数，所以函数()f x 的图象如图〔2〕〔草图〕: 而函数()()g x f x t =-有3个零点，即y t =的图象与()y f x =的图象有三个交点时，符合题意．结合图〔2〕可知，当11[,1)(1,]{0}44t ∈-⋃时，函数()g x 有三个零点． 故答案为：11[,1)(1,]{0}44--⋃．16．113k <，函数()|31|1x k f x k =--+的零点分别为1x ，212()x x x <，函数()|31|21x k g x k =--+的零点分别为3x ，434()x x x <，如此4231x x x x +--的最小值为．解：因为函数()|31|1x k f x k =--+的零点分别为1x ，212()x x x <， 所以113111x k k k =-=++，2213111x k k k k +=+=++， 如此221133213x x x x k -==+， 因为函数()|31|21x k g x k =--+的零点分别为3x ，434()x x x <， 所以31312121x k k k k +=-=++，431312121x k k k k +=+=++， 如此4433331313x x x x k k -+==+， 所以43212316513(21)11x x x x k k k k k k -+-+++=⨯+=++， 令2651()1k k g k k ++=+，113k <， 所以226124()0(1)k k g k k ++'=>+在1[3，1)上恒成立，如此()g k 的最小值为15()32g =， 所以4231x x x x +--的最小值为352log ． 故答案为：352log ．。
高三教学总结复习计划函数零点部分高考教学习题汇编
函数的零点局部高考试题汇编1、函数fx4x4,x1log2x的图象的交点个数是〔24x3,x的图象和函数gx12、函数f(x)log2x2x1的零点必落在区间〔〕A.1,1 B.1,1C.,1D.(1,2)844223、数fx的零点与gx4x22的零点之差的绝对值不超过，那么fx可以是〔〕A.fx4x1B.f x(x1)2C.fxe x1D.f(x)ln(x124．〔10上海理〕假设x0是方程(1)x3的解，那么x0属于区间〔〕2A．2,1.B．1,2.C．1,1D．0,1 3233235．〔10上海文〕假设x0是方程式lgx2的解，那么x0属于区间〔〕A．〔0，1〕. B ．〔1，〕. C ．〔，〕D．〔，2〕6．〔10天津理〕函数f x 2x3x的零点所在的一个区间是〔〕A ．2,1B．1,0．0,1．1,27．〔10天津文〕函数f x ex 的零点所在的一个区间是〔〕A ．2,1B．1,0．0,1．1,28．〔10浙江理〕设函数f(x)4sin(2x1)x,那么在以下区间中函数f(x)不存在零点的是〔〕A．4,2．2,0C．0,2D．2,49．〔10浙江文〕x0是函数fx2x1的一个零点，假设x11,x0，x2x0, 1x那么〔〕A．fx10，fx20B．fx10，fx20C．fx10，fx20D．fx10，fx204 x ，≤，10．〔07湖南文理〕函数f(x)4的图象和函数g(x)log2x的图象的24x，3交点个数是〔〕A ．4B ．3C ．2D．111．〔09福建文〕假设函数的零点与x2的零点之差的绝对值不超过，2那么fx可以是〔A.fx4x1B.fx(x1)2C.fxexD.fxlnx1212．〔09重庆理〕以4为周期的函数f(x)1x2,x(1,1]，其中m0。
1x2,x(1,3]假设方程3f(x)x恰有5个实数解，那么m的取值范围为〔〕1 5815．(4,8)D．(4,7)A．(,)B．(,7)C3333313．〔10福建理〕函数fx22x3,x的零点个数为〔〕2lnx,x0A．0B．1C．2D．314.〔11天津〕．对实数a和b，定义运算“〞：a ba,a1,b ,a设函数1.f(x)x22x x2,xR.假设函数f(x)c的图像与x轴恰有两个公共点，那么实数c的取值范围是〔A．,21,3 2C ．1,11,44B．,21,34D．1,31,4415〔11陕西〕函数f(x)= x—cosx在[0，+∞〕内〔〕A.没有零点B. 有且仅有一个零点C. 有且仅有两个零点D. 有无穷多个零点16.〔11重庆〕设m，k为整数，方程mx2kx 2 0在区间〔0,1〕内有两个不同的根，那么m+k的最小值为17、假设函数f(x) a x x a(a 0且a 1)有两个零点，那么实数a的取值范围是18、方程9x 6?3x7 0的解是．.19、函数y f(x)和y g(x)在[ 2,2]的图象如下所示：给出以下四个命题：①方程f[g(x)]0有且仅有6个根②方程g[f(x)]0有且仅有3个根③方程f[f(x)]0有且仅有5个根④方程g[g(x)]0有且仅有4个根其中正确的命题是．20、〔09山东理〕定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x),且在区间[0,2]上是增函数,假设方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,那么x1x23x4_________.北京〕函数f(x)2,x221、〔11x1)3,x 假设关于x的方程f(x)=k有两个不同的实(x2根，那么数k的取值范围是_______22．〔08湖北文〕方程2x23的实数解的个数为．23．〔09山东理〕假设函数xax x a1有两个零点，那么实数a的取值范围是。
高三文理科第一轮总复习讲义：10.函数零点(讲义习题)
【一轮复习】 10. 函数的零点【知识要点归纳】1.定义：对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点。
2. 求零点的方法：【经典例题】1,0 x 9,例 1：函数x 2 那么 f ( x) 的零点是_____；f ( x)x, 2 x0. x 2f (x) 的值域是 _____．例 2：函数 f 〔 x 〕 = xx 2e的零点所在的一个区间是(A) 〔 -2,-1 〕 (B)〔 -1,0 〕 (C) 〔 0,1 〕(D)〔 1,2 〕例 3：函数 f ( x)2x2a 的一个零点在区间 (1,2) 内，那么实数 a 的x取值范围是〔〕 A ． (1,3)B． (1,2)C． (0,3)D． (0,2)例 4： x 是函数 f(x)=2x +1 的一个零点 .假设 x 1 ∈〔 1，x 0〕，1 xx 2 ∈〔 x 0 ， + 〕，那么〔 A 〕 f( x 1 ) ＜ 0， f( x 2 ) ＜ 0 〔 B 〕 f( x 1 ) ＜ 0， f( x 2 ) ＞ 0 〔 C 〕 f( x 1 ) ＞ 0， f( x 2 ) ＜ 0 〔 D 〕 f( x 1 ) ＞ 0， f( x 2 ) ＞ 0例 5：函数( 1) x3 ,x 2,f ( x)24那么 f ( f (2)) 的值为 ；函数log 2 x,x 2，第 1 页 共 4 页g (x)f ( x) k 恰有两个零点，那么实数 k 的取值范围是 .例 6 ： 已 知 函 数 f 〔x 〕= logax( ＞0，且 a 1). 当 2 ＜ a ＜ 3 ＜ b ＜ 4 时 ， 函 数 f 〔 〕的 零 点x b ax x(n, n 1),n N * , 那么 n=.例 7 ： 已 知 函 数 f ( x) ( x a)( x b) 2(a b )， ()是 方 程 f (x ) 0的 两 个 根 ， 那么 实数， 假设a ，b ， ， 之间的大小关系是〔〕Ａ． a bＢ． a bＣ． abＤ．ab例 8：函数f (x) ( x a) 2 〔 x-b 〕 (a,b R, a <b)。
3.8函数的零点问题——2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)(教师版)
3.8函数的零点问题——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）一、单选题1．（2022·延庆模拟）已知函数f(x)= cos2x+cosx，且x∈[0，2π]，则f(x)的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【知识点】二倍角的余弦公式；函数的零点【解析】【解答】由cos2x+cosx=2cos2x+cosx−1=(cosx+1)(2cosx−1)=0，可得cosx=−1或cosx=12，又因为x∈[0，2π]，则x=π，或x=π3，或x=5π3，则f(x)的零点个数为3。
故答案为：C【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式，从而解一元二次方程求出角x的余弦值，再利用角x的取值范围，进而得出角x的值，再利用函数的零点的求解方法，进而得出函数f(x)的零点个数。
2．（2022·昆明模拟）已知函数f(x)={x，x≥0−x2，x<0，若方程f(x)=ae x有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）A．(1e，+∞)B．(0，1 e)C．(−∞，−1e)D．(−1e，0)【答案】B【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】f(x)=ae x⇔a={xe x，x≥0−x2e x，x<0设g(x)={xe x，x≥0−x2e x，x<0当x≥0时，g′(x)=1−xe x所以当0≤x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减x=1时，g(x)取得极大值1e当x 趋向于+∞，g(x)趋向于0 当x <0时，g ′(x)=x(x−2)e x>0，g(x)单调递增 依题意可知，直线x =a 与g(x)的图象有两个不同的交点如图所示，a 的取值范围为(0，1e)故答案为：B【分析】由题意问题可转换成a ={x e x ，x ≥0−x 2e x ，x <0，构造函数g(x)={x e x，x ≥0−x2e x，x <0，通过求导，确定函数单调性及极值，画出函数图象，如图，即可求解。
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函数的零点部分高考试题汇编
1、函数()⎩⎨
⎧>+-≤-=1
,341
,442
x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） 2、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ）
A.⎪⎭
⎫ ⎝⎛41,81
B.⎪⎭
⎫
⎝⎛21,41
C.⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21
D.(1,2)
3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过， 则()f x 可以是（ ）A. ()41f x x =- B. ()2(1)f x x =- C. ()1x f x e =- D.)2
1ln()(-
=x x f 4．（10上海理）若0x 是方程31
)2
1(x x
=的解，则0x 属于区间（ ）
A ．⎪⎭⎫
⎝⎛1,32 . B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 . C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31 D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛31,0 5．（10上海文）若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）
A ．（0，1）.
B ．（1，）.
C ．（，）
D ．（，2）
…
6．（10天津理）函数()x x f x
32+=的零点所在的一个区间是（ ）
A ．()1,2--
B ．()0,1-
C ．()1,0
D ．()2,1
7．（10天津文）函数()2-+=x e x f x
的零点所在的一个区间是（ ）
A ．()1,2--
B ．()0,1-
C ．()1,0
D ．()2,1 8．（10浙江理）设函数,
)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函数)(x f 不存在零点的
是（ ）A ．[]2,4-- B ．[]0,2- C ．[]2,0 D ．[]4,2 9．（10浙江文）已知0x 是函数()x
x f x
-+
=11
2的一个零点，若()01,1x x ∈，
()+∞∈,02x x ，则（ ）
A ．()01<x f ，()02<x f
B ．()01<x f ，()02>x f
C ．()01>x f ，()02<x f
D ．()01>x f ，()02>x f
10．（07湖南文理）函数2
441()431
x x f x x x x -⎧=⎨
-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的
交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
11．（09福建文）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过，则()f x 可以是（ ）
…
A.()41f x x =-
B.()2(1)f x x =-
C.()1x f x e =-
D.()⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-
=21ln x x f 12．（09重庆理）已知以4T =
为周期的函数(1,1]
()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩
，其中0m >。
若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）
A
．8)3 B
． C ．48(,)33 D
．4
(3
13．（10福建理）函数()⎩⎨⎧>+-≤-+=0
,ln 20,322x x x x x x f 的零点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
14.（11天津）．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,
, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨
->⎩
设函数
()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共
点，则实数c 的取值范围是（ ）
A ．(]3,21,
2⎛
⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛
⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭
C ．111,
,44⎛
⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
15（11陕西）函数
cosx 在[0，+∞）内 （ ）
A.没有零点
B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点
D.有无穷多个零点
(
16.（11重庆）设m ，k 为整数，方程2
20mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为
17、若函数a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围
是
18、方程96370
x x
-•-=的解是．.
19、已知函数)
(x
f
y=和)
(x
g
y=在]2,2
[-的图象如下所示：给出下列四个命题：
①方程0
)]
(
[=
x
g
f有且仅有6个根②方程0
)]
(
[=
x
f
g有且仅有3个根③方程0
)]
(
[=
x
f
f有且仅有5个根④方程0
)]
(
[=
x
g
g有且仅有4个根其中正确的命题是．
20、（09山东理）已知定义在R上的奇函数)
(x
f，满足(4)()
f x f x
-=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程)0
(
)
(>
=m
m
x
f在区间[]8,8-上有四个不同的根1234
,,,
x x x x,则1234
_________.
x x x x
+++=
21、（11北京）已知函数
3
2
,2
()
(1),2
x
f x x
x x
⎧
≥
⎪
=⎨
⎪-<
⎩
若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______
！
22．（08湖北文）方程2
23
x x
-+=的实数解的个数为．
23．（09山东理）若函数()a
x
a
x
f x-
-
=()1
.0≠
>a
a有两个零点，则实数a的取值范围是。
24．（10全国I理）直线y＝1与曲线2
y x x a
=-+有四个交点，则a的取值范围是。
25．（08四川理）已知3
x=是函数2
()ln(1)10
f x a x x x
=++-的一个极值点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数()
f x的单调区间；
（Ⅲ）若直线y b
=与函数()
y f x
=的图像有3个交点，求b的取值范围．
26．（09江西文）设函数3
2
9()62
f x x x x a =-
+- （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；
（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围 27．（09天津文）设函数0),(,)1(3
1)(223
>∈-++-
=m R x x m x x x f 其中 }
（Ⅰ）当时，1=m 曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <。
若对任意的
],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立，求m 的取值范围。
28.(全国卷Ⅱ)设a 为实数,函数
.)(2
3a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值.(Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点。