学高中数学第四章实际问题的函数建模讲解与例题北师大版必修1

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高中数学第四章函数应用 2 实际问题的函数建模学案北师大版必修1

§2 实际问题的函数建模学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点)；2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)．预习教材P120－129完成下列问题：知识点一常见函数模型y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋bx <m ，cx ＋d x ≥m1．(1)斜率k 的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？ (2)在幂函数模型的解析式中，α的正负如何影响函数的单调性？提示 (1)k >0时直线必经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；k <0时直线必经过二、四象限，y 随x 的增大而减小．(2)当x >0，α>0时，函数的图像在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x >0，α<0时，函数的图像在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数．2．(1)依据散点图选择函数模型时主要依据函数的什么性质？ (2)数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？提示 (1)主要依据函数的单调性及函数值增长速度的快慢．(2)因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图选择我们比较熟悉的、最简单的函数进行拟合，但用得到的函数进行估计时，可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型．知识点二解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：【预习评价】1．某种放射性元素的原子数y 随时间x 的变化规律是y ＝1 024e －5x，则( )A ．该函数是增函数B ．该函数是减函数C ．x ＝－15lg y1 024D ．当x ＝0时，y ＝1解析显然该函数是减函数，B 正确，C ，D 变形或求值错误．答案 B2．某物体一天内的温度T 是时间t 的函数T (t )＝t 3－3t ＋60，时间单位是h ，温度单位为℃，t ＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为________℃．解析由于t ＝0时表示中午12：00，则上午8：00时t ＝－4，代入函数T (t )＝t 3－3t ＋60中，可得T (－4)＝8．答案 8题型一一次函数、二次函数模型【例1】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好解析设每天获得的利润为y 元，则y ＝(x －30)(162－3x )＝－3(x －42)2＋432，∴当x ＝42时，获得利润最大，应定价为42元．答案 B规律方法一次函数、二次函数均是重要的函数模型，特别是二次函数模型在函数建模中占有重要的地位．利用二次函数求最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．【训练1】某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A ．310元B ．300元C ．290元D ．280元解析由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b (a ≠0)，将(1,800)，(2,1 300)代入，得a ＝500，b ＝300.当销售量为x ＝0时，y ＝300．答案 B题型二指数型函数、对数型函数模型【例2】燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解 (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log 2Q10．解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/s ．规律方法指数型函数模型：y ＝ma x＋b (a >0且a ≠1，m ≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．对数型函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a >0且a ≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．【训练2】某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出经过x 年后，该城市人口总数y (万人)与x (年)的函数关系； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算经过多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301 0，lg 1.012≈0.005)．解 (1)2009年底人口总数为100万人，经过1年，2010年底人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，经过2年，2011年底人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，经过3年，2012年底人口总数为100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……所以经过x 年后，该城市人口总数为100×(1＋1.2%)x，所以y ＝100×(1＋1.2%)x． (2)10年后该城市人口总数为 100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)由题意得100×(1＋1.2%)x>120，两边取常用对数得lg[100×(1＋1.2%)x]>lg 120，整理得2＋x lg 1.012>2＋lg 1.2，得x ≥16，所以大约16年以后，该城市人口将达到120万人．题型三分段函数模型【例3】如图所示，等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2，BC ＝1，∠BAD ＝45°，直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y表示为x 的函数，并写出函数的定义域和值域．解如图，过B ，C 分别作AD 的垂线，垂足分别为H 和G ，则AH ＝12，AG ＝32，当M 位于H 左侧时，AM ＝x ，MN ＝x ， ∴y ＝S △AMN ＝12x 2,0≤x <12．当M 位于H ，G 之间时，y ＝12AH ·HB ＋HM ·MN ＝12×12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12×12＝12x －18，12≤x <32．当M 位于G ，D 之间时，y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝12×12×(2＋1)－12(2－x )(2－x )＝－12x 2＋2x－54，32≤x ≤2． ∴所求函数的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，0≤x <12，12x －18，12≤x <32，－12x 2＋2x －54，32≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34．规律方法 1.分段函数模型是日常生活中常见的函数模型．对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”．2．解决分段函数问题需注意几个问题：(1)所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域．(2)求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值．(3)一般地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段的自变量的取值范围．【训练3】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力(f (x )值越大，表示接受的能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0<x ≤10，59，10<x ≤16，－3x ＋107，16<x ≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解 (1)当0<x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9．故f (x )在(0,10]上单调递增，最大值为f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16<x ≤30时，f (x )单调递减，f (x )<－3×16＋107＝59．因此，开讲后10 min ，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min ． (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f (20)＝－3×20＋107＝47<53.5＝f (5)．因此，开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些． (3)当0<x ≤10时，令f (x )＝55，则－0.1×(x －13)2＝－4.9，(x －13)2＝49．所以x ＝20或x ＝6.但0<x ≤10，故x ＝6．当16<x ≤30时，令f (x )＝55，则－3x ＋107＝55．所以x ＝1713．因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为1713－6＝1113<13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.【探究1】图中一组函数图像，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：情境A ：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻)；情境B ：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好)；情境C ：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把水排掉这段时间浴缸里水的高度；情境D ：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润．其中情境A ，B ，C ，D 分别对应的图像是________．解析对于A ，加热时升温快，然后再变凉，易知为①；对于B ，这时的物品价值先下降，直到收藏后价值才会升值，因此显然为③；对于C ，由于洗澡一般是间歇性用水，所以易知水高度函数图像有多重折线，因此显然为④；对于D ，乘客人数越多，利润越大，显然是②．答案 ①③④②【探究2】环境污染已经严重危害人们的健康，某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度下表：污染度为0后，后第一个月开始工厂的污染模式：f (x )＝20|x －4|(x ≥1)，g (x )＝203(x －4)2(x ≥1)，h (x )＝30|log 2x －2|(x ≥1)，其中x表示月数，f (x )，g (x )，h (x )分别表示污染度．问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由．解用h (x )模拟比较．理由：因为f (2)＝40，g (2)≈26.7，h (2)＝30，f (3)＝20，g (3)≈6.7，h (3)≈12.5．由此可得h (x )更接近实际值，所以用h (x )模拟比较合理．【探究3】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm 与当年灌溉面积y hm 2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y ＝f (x )，并画出图像； (3)根据所建立的函数模型，求最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉的土地数量．解 (1)描点作图如图甲．(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 和最大积雪深度x 满足线性函数模型y ＝ax ＋b (a ≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24,0,45.8)，代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧21.1＝10.4a ＋b ，45.8＝24.0a ＋b ，用计算器可算得a ≈1.8，b ≈2.4．这样，我们得到一个函数模型y ＝1.8x ＋2.4．作出函数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由y ＝1.8×25＋2.4，求得y ＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.4 hm 2．规律方法对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤：(1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据．课堂达标1．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.A ．y ＝log 2xB ．y ＝2xC ．y ＝x 2D ．y ＝2x解析逐个检验可得答案为B ．答案 B2．一辆匀速行驶的汽车90 min 行驶的路为180 km ，则这辆汽车行驶的路程y (km)与时间t (h)之间的函数关系式是( )A ．y ＝2tB ．y ＝120tC ．y ＝2t (t ≥0)D ．y ＝120t (t ≥0)答案 D3．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中．测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg 1 000－lg 0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝(lg A 1－lg A 0)－(lg A 2－lg A 0)＝9－5＝4.所以A 1A 2＝104＝10 000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．答案 6 10 0004．用一根长为12 m 的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m 2．解析设矩形的一边长为x m ，则与这条边垂直的边长为12－2x 2m ，所以矩形面积S ＝x ·12－2x 2＝－x 2＋6x (0<x ≤6)，当x ＝3 m 时，S 最大＝9 m 2．答案 95．我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：(1) (2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．解 (1)画出函数图形，如图．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上．设所求的函数为y＝kx＋b(k≠0)，把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解方程组，可得k＝0.677 7，b＝8.206 7．因此，所求的函数关系式为y＝f(x)＝0.677 7x＋8.206 7．(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f(1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4，f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1．与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．课堂小结1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．。

高中数学第4章 §2 实际问题的函数建模优质课件北师大版必修1

解析: 将x=175代入y=2 1.02x，得
y=2 1.02175
用计算器得：y 63.98
由于
78 63.98 1.22>1.2,
第二十四页，共33页。
1.一家(yī jiā)旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践,旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
每间每天房价住房率
C.15（1+x）+15（1+x）2=95
D.15+15（1+x）+15（1+x）2=95
解析：二月份的产值(chǎnzhí)为：15（1+x），三月份的产
值(chǎnzhí)为：15（1+x）（1+x）=15（1+x）2，故由第一
季度总产值(chǎnzhí)为95，得15+15（1+x）+15（1+x）
2=95．
第二十七页，共33页。
4.某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2 万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或
已知四月份该产品y 的产a 量bx为1.c3(7a万, b件, c，为常数）,
第七页，共33页。
解：总成本C与产量(chǎnliàng)x的关系
C=200000+300x；
单位成本P与产量(chǎnliàng)x的关系
P=300+200000 /x；
销售收入R与产量(chǎnliàng)x的关系 R=500x ；
利润L与产量(chǎnliàng)x的关系 L=R-C=200x-

北师大版高中数学必修1课件4 用函数模型解决实际问题课件

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①总价等于单价与数量的积．
②面积等于边长的平方．
③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、…….
④列表画出函数图像．
⑤引导学生回忆学过的函数模型．
⑥结合函数表格与图像讨论它们的单调性．
小识 ⑦让学生自己比较并体会． [来源:学科网]
⑧另外还有与对数函数有关的函数模型．
解：借助计算器或计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(图9)．
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解：借助计算器或计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(图9)．
观察函数的图像，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图像，通过观察函数的图像，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．
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市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x＞0)，销售数量就减少kx%(其中k为正常数)．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个． (1)当k＝时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？ (2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围．解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为 y＝a(1＋x%)·b(1－kx%)＝[－kx 2＋100(1－k)x＋10 000]． (1)取k＝，y＝，所以x＝50，即商品价格上涨50%，y最大为ab. (2)因为y＝[－kx2＋100(1－k)x＋10 000]，此二次函数的开口向下，对称轴为x＝，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x＞0}的一个子集内增大时，y也增大．所以＞0，解得0＜k＜1. 点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.

高中数学第四章函数应用 4.2 实际问题的函数建模学案(含解析)北师大版必修1-北师大版高一必修

§2实际问题的函数建模知识点一函数模型的建立[填一填]用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模，用图示表示数学建模的过程如图所示．[答一答]1．应用数学模型解决实际问题的步骤是什么？提示：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际问题的解．此四步用框图可表示为知识点二常见函数模型[填一填][答一答]2．常见函数模型有哪些？提示：(1)直线模型：一次函数模型y ＝kx ＋b (k ≠0)图像增长特点是直线式上升(x 的系数k >0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y ＝kx (k >0)．(2)反比例函数模型：y ＝kx(k >0)型，增长特点是y 随x 的增大而减小．(3)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (b >0，且b ≠1，a ≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b >1，a >0)，常形象地称为指数爆炸．(4)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (a >0，a ≠1，m ≠0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a >1，m >0)．(5)幂函数模型：y ＝a ·x n ＋b (a ≠0)型，其中最常见的是二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后增大(a >0)．在以上几种函数模型的建立和选择时，要注意灵活选取恰当的模型，分析自变量的范围，还要与实际问题相结合，如取整等．函数应用题常见类型可以分为两大类(1)函数关系已知的应用题解函数关系已知的应用题的一般步骤是：①确定函数关系式y＝f(x)中的参数，求出具体的函数解析式y＝f(x)；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．(2)函数关系未知的应用题其解题步骤可归纳为以下几步：①阅读理解题意摆脱对实际问题陌生的心理障碍，按题目的有关规定去领悟其中的数学本质，理顺题目中的数与形、形与形的数量关系和位置关系，看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型．②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型．③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解．④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．类型一一次函数模型应用【例1】某报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份．设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚得多少元？【思路探究】每月所赚得的钱＝卖报收入的总价－付给报社的总价，而收入的总数分为3部分：(1)在可卖出400份的20天里，收入为0.5x ·20；(2)在可卖出250份的10天里，在x 份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为0.5×250×10；(3)没有卖掉的(x －250)份报纸可退回报社，报社付出(x －250)×0.08×10的钱，注意写出函数式的定义域．【解】设每天应从报社买x 份，易知250≤x ≤400.设每月赚y 元，得y ＝0.5·x ·20＋0.5×250×10＋(x －250)×0.08×10－0.35·x ·30＝0.3x ＋1 050，x ∈[250,400]．因为y ＝0.3x ＋1 050是定义域上的增函数，所以当x ＝400时，y max ＝120＋1 050＝1 170(元)．可知每天应从报社买400份报纸，获得利润最大，每月可赚1 170元．规律方法 (1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．(2)这是一个一次函数在实际问题中的应用的题目，认真读题，审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．已知某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (副)的关系式为y ＝5x ＋4 000，手套的出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本日产手套量至少为( D )A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副解析：由10x －y ＝10x －(5x ＋4 000)≥0，得x ≥800.故选D. 类型二二次函数模型应用【例2】某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P (万元)和Q (万元)，它们与投入资金m (万元)的关系有经验公式P ＝13m ＋65，Q ＝76＋4m ，今投入150万元资金生产甲、乙两种产品，并要求对每种产品的投入资金不低于25万元．(1)设对乙种产品投入资金x 万元，求总利润y (万元)关于x 的函数关系式及其定义域； (2)如何分配投入的资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？【思路探究】 (1)对乙种产品投入资金x 万元，则对甲种产品投入资金(150－x )万元，代入经验公式即可求得总利润y (万元)关于x 的函数表达式；(2)利用(1)的结论，先换元，再利用配方法可求得总利润的最大值．【解】 (1)对乙种产品投入资金x 万元，则对甲种产品投入资金(150－x )万元(25≤x ≤125)．根据题意，得y ＝13(150－x )＋65＋76＋4x ＝－13x ＋4x ＋191，其定义域为[25,125]．(2)令t ＝x ，则y ＝－13(t －6)2＋203，因为x ∈[25,125]，所以t ∈[5，55]，当t ∈[5,6]时，函数单调递增；当t ∈[6,55]时，函数单调递减，所以当t ＝6，即x ＝36时，y max ＝203.答：当对甲种产品投入114万元，乙种产品投入36万元时，总利润最大，为203万元．规律方法 1.二次函数模型的特点是随着自变量的增加，函数值先增大后减小，有最大值，或先减小后增大，有最小值．2．解决此类问题的一般方法是根据实际问题建立函数模型，求得解析式后，利用配方法、判别式法、换元法或函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大或用料最省等问题．3．主要考查了数学运算、数学建模的核心素养．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x (件)与单价P (元)之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C (元)，其中C ＝500＋30x ，若要求每天获利不少于1 300元，则日销售量x 的取值范围是20≤x ≤45.解析：设该厂每天获得的利润为y 元，则y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500(0<x <80)．由题意，知－2x 2＋130x －500≥1 300，解得20≤x ≤45，所以日销量在20至45件(包括20和45)之间时，每天获得的利润不少于1 300元．类型三指数函数型模型的应用【例3】医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候，小白鼠将会死亡．如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.天数t 病毒细胞总数N1 12 23 448516632(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，已知：lg2＝0.301 0)【思路探究】根据题意，建立病毒细胞个数y与时间t的函数关系y＝2t－1，然后利用不等式求解．【解】(1)由题意知，病毒细胞的个数关于时间t的函数为y＝2t－1.则由2t－1≤108两边取对数得(t－1)lg2≤8，得t≤27.6.即第一次最迟应在第27天注射该种药物．(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞数为226×2%，再经过x天后小白鼠体内病毒细胞数为226×2%×2x.由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2＋lg2－2＋x lg2≤8，得x≤6.2，即再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．规律方法在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值y，可以用公式y＝N(1＋P)x表示．(1)已知某市2013年底人口约为130万人，如果今后将人口的年平均增长率控制在1%，那么经过10年此市的总人口约为(A)A ．130×(1＋0.01)10B ．130×(1＋0.01)11C ．130×(1＋10×0.01)D ．130×(1＋11×0.01)(2)工业城市空气污染对人的身体健康的危害日益严重，患呼吸道疾病的人数明显增多．据统计，某地从2004年到2013年的10年间平均每两年上升2%,2013年有1 100人患呼吸道疾病，则2003年患呼吸道疾病的人数约为1_000.(参考数据：1.023≈1.06,1.025≈1.1)解析：设2003年患呼吸道疾病的人数为a ，则2005年的人数为a (1＋0.02)，2007年的人数为a (1＋0.02)2,2009年的人数为a (1＋0.02)3,2011年的人数为a (1＋0.02)4,2013年的人数为a (1＋0.02)5，依题意，得a (1＋0.02)5＝1 100，即1.1a ＝1 100，解得a ＝1 000.类型四对数函数模型的应用【例4】有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln a a －x，x ≤6，x －4.4x －4，x >6描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)证明：当x ≥7时，掌握程度的增加量g (x )＝f (x ＋1)－f (x )总是下降的；(2)根据经验，学科甲，乙，丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]，当学习某学科知识5次时，掌握程度是70%，请确定相应的学科.⎝⎛⎭⎫参考数据：e 0.04≈2625，e 0.05≈4139，e 0.06≈5350 【思路探究】 (1)先表示出g (x )的解析式，再证明x ≥7时g (x )单调递减即可；(2)由题意可知0.1＋15ln a a －5＝0.7，解出a ，判断a 所在的区间，即可判定该学科为丙学科．【解】 (1)证明：当x ≥7时，g (x )＝f (x ＋1)－f (x )＝0.4(x －3)(x －4).任取x 1，x 2∈[7，＋∞)，不妨设x 1>x 2≥7，则 g (x 1)－g (x 2)＝0.4(x 1－3)(x 1－4)－0.4(x 2－3)(x 2－4)＝0.4(x 2－x 1)(x 1＋x 2－7)(x 1－3)(x 1－4)(x 2－3)(x 2－4)，因为x 1>x 2≥7，所以g (x 1)<g (x 2)．所以当x ≥7时，掌握程度的增加量g (x )＝f (x ＋1)－f (x )总是下降的．(2)由题意可知0.1＋15ln a a －5＝0.7，得ln a a －5＝0.04，所以a a －5＝e 0.04≈2625，得a ≈130∈(127,133]，因此，该学科为丙学科．规律方法 1.对数函数应用题的基本类型和求解策略：(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．2．主要考查数学建模与数学运算的核心素养．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系式为：y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年这种动物发展到300只．解析：把x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)得：a ＝100，故函数关系式为y ＝100log 2(x ＋1)，所以当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300. 所以到第7年这种动物发展到300只．——易错警示系列—— 对题意理解不透彻导致出错【例5】某公司生产一种产品的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R (x )＝5x －x 22(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百件)．(1)把利润表示为当年产量的函数f (x )；(2)年产量为多少时，当年公司所得到的利润最大？ (3)年产量为多少时，当年公司不亏本？(取21.562 5＝4.65) 【错解】 (1)设年产量为x 百件．∴f (x )＝5x －x 22－(0.5＋0.25x )．(2)f (x )＝－12(x －4.75)2＋21.562 52.∴当x ＝4.75(百件)时， f (x )max ＝21.562 52(万元)． (3)∵f (x )≥0，∴－12(x －4.75)2＋21.562 52≥0.∴－21.562 5≤x －4.75≤21.562 5. ∴0.1≤x ≤9.4.∴年产量在10件～940件之间不亏本．【正解】 (1)利润y 是生产数量x 的产品售出后的总收入R (x )与总成本C (x )之差．依题意，当x ≤5时，产品能全部售出；当x >5时，只能售出500件．所以y ＝⎩⎨⎧5x －12x 2－(0.5＋0.25x )， 0≤x ≤5，(5×5－12×52)－(0.5＋0.25x )， x >5＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋4.75x －0.5， 0≤x ≤5，12－0.25x ， x >5.(2)当0≤x ≤5时，y ＝－12x 2＋4.75x －0.5.当x ＝－ 4.752·(－12)＝4.75(百件)时，y max ＝10.781 25(万元)当x >5(百件)时，y <12－0.25×5＝10.75(万元)，所以当生产475件时，利润最大． (3)要使企业不亏本，即要求⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，－12x 2＋4.75x －0.5≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x >5，12－0.25x ≥0.解得5≥x ≥4.75－21.562 5＝0.1或5<x ≤48.∴企业年产量在10件到4 800件之间时，企业不亏本．【错因分析】解答忽视了条件“市场对产品的需求量为500件”．事实上，当产品生产量超过500件时，市场销售量最多只能是500件．因此这时不能用R (x )＝5x －x 22表示收入，而是R (5)．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是( B )A ．[5,6)B ．(5,6]C ．[6,7)D ．(6,7]解析：若按x 千米(x ∈Z )计价，则6＋(x －2)×3＋2×3＝24，得x ＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．一、选择题1．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图像表示为图中的( B )解析：由题意h ＝20－5t,0≤t ≤4.结合图像知应选B.2．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( C )A ．y ＝t 3B ．y ＝log 2tC ．y ＝2tD ．y ＝2t 2解析：符合指数函数模型．二、填空题3．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为14元．解析：设销售单价应涨x 元，则实际销售单价为(10＋x )元，此时日销售量为(100－10x )个，每个商品的利润为(10＋x )－8＝2＋x (元)，∴总利润y ＝(2＋x )(100－10x )＝－10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360(0<x <10，且x ∈N ＋)，∴当x ＝4时y 有最大值，此时单价为14元．4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000·ln(1＋M m)．当燃料质量是火箭质量的e 6－1倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：当v ＝12 000时，2 000·ln(1＋M m)＝12 000， ∴ln(1＋M m )＝6，∴M m＝e 6－1. 三、解答题5．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6 000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y 甲，y 乙与购买台数x 之间的函数关系式；(2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？解：(1)y 甲＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6 000x (0≤x ≤10)，60 000＋4 200(x －10) (x ≥11)，＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6 000x (0≤x ≤10)，4 200x ＋18 000 (x ≥11)，y 乙＝5 100x (x ∈N )．(2)当x ≤10时，显然y 甲>y 乙；当x >10时，令y 甲>y 乙，即4 200x ＋18 000>5 100x ，解得x <20.答：当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．。

高中数学第四章函数应用第2节实际问题的函数建模课件北师大版必修1

【解】 (1)设药物释放过程中即 t∈(0,0.1)时，y 与 t 的函数关系式为 y＝kt，将(0.1,1)代入 y＝kt，得 1＝0.1k，所以 k＝10，y＝10t. t∈[0.1，＋∞)时，将(0.1,1)代入 y＝116t－a，得116110－a＝1，a＝110.
10t，t∈0，0.1，故所求函数关系式为：y＝116t－110，t∈[0.1，＋∞.
幂函数模型
y＝ axn＋b
a＞0 且 a≠1 ， b≠0 m≠0 ， a＞0 且 a≠1
a≠0
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2.数据拟合通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我所熟悉的哪一种函数图像(tú，xià选nɡ定) 函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
当 200＜t≤300 时， y＝f(t)－g(t)＝(2t－300)－[2010(t－150)2＋100]＝－2100t2＋72t－1 0225＝－2100 (t－350)2＋100. 当 t＝300 时取到最大，最大值为 87.5. 故从 2 月 1 日起第 50 天上市的西红柿纯收益最大．
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【精彩点拨】本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征，抓住关键点的坐标，确定函数关系式解题．
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【尝试解答】 (1)f(t)＝－ 2t－t＋330000，，200≤ 0＜t≤t＜20300， 0. 设 g(t)＝a(t－150)2＋100(a≠0)，将 t＝50，Q＝150 代入得 a＝2100. ∴g(t)＝2100(t－150)2＋100(0≤t≤300)．

北师大版高中数学必修一4.2 实际问题的函数建模(必修1).doc

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作4.2 实际问题的函数建模（北师大版必修1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共10分）1.在一定范围内，某种产品的购买量y （t ）与单价x （元）之间满足一次函数关系，如果购买1 000t ,每吨为800元；如果购买2 000t ，每吨为700元，一客户购买400t ,单价应该是（）A.560元B.660元C.760元D.860元 2.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是（）A.50台B.100台C.150台D.200台二、填空题（每小题8分，共40分）3.已知f (x )=,g (x )=,h (x )=，当x ∈(4,+∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是 .4.如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OA =1m ,水从喷头A 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点再落下，若最高点距水面2 m ，A 离抛物线对称轴 1 m ，则水池半径最合适是 .5.某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部客满，若每床每天收费每提高2元，则减少10张客床租出.这样为了减少投入多获利，每床每天收费应提高元.6.某商人购货，进价已按原价30元/件扣去25%,他希望对货物定一新价，以便按新价让利20％销售后，仍可获得售价25％的纯利，那么此商人经营这种货物时，按新价让利总额y 与货物数x 之间的函数关系式是 .7.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比例；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y =（a 为常数），如图.根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，则从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室. 三、解答题（共50分）8.（15分）某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.30元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸可以以每份0.10元的价格退回报社．在一个月（按30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚多少元．9．（20分）某皮鞋厂，从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好.为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程，厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？10．（15分）某商品进货单价为40元，若销售价为50元，则可卖出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？.4.2 实际问题的函数建模（北师大版必修1）答题纸一、选择题题号 1 2答案二、填空题3．4．5． 6． 7.三、解答题8.9.10.4.2 实际问题的函数建模（北师大版必修1）参考答案1.D解析：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.由x=800, y=1 000,及x=700,y=2 000,可得k=-10, b=9 000,即y＝－10x＋9 000.再将y=400代入,得x=860.2. C解析：当产量为x台时，总售价为25x万元.欲使生产者不亏本，必需满足总售价≥总成本，即25x≥3 000＋20x－0.1，0.1＋5x－3 000≥0，＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.3. g(x)> f(x) >h(x)解析：画出三个函数的草图可知，当x∈(4, +∞)时，指数函数图像位于二次函数图像上方，二次函数图像位于对数函数图像上方，故g(x)> f(x) >h(x).4. 2.5 m解析：建立如图所示的坐标系，设y轴右侧的抛物线方程为y=a+2.∵抛物线过点A(0,1),∴a=-1，∴y=－+2.令y=0,得x=1+,或x=1－(舍去），故落在水面上最远点B与点O的距离为(1+)m，因此最合适的水池半径为2.5 m.5.6 解析：设每床每天收费提高2x元（x∈）,则收入为y=(10+2x)(100－10x)=20(5+x)(10－x)，∴当x=2或3时，y取最大值，当x=2时, y=1 120，当x=3时，y=1 120.为了满足减少投入要求应在相同条件下多空出床位，故x=3.6.y=x解析：设每件货物的新价为a元，则销售价为a(1－20%)=a×80%(元/件)，而进价为30(1－25%)=30×75% (元/件)，因此，销售每件货物的利润为a×80%－30×75%（元/件）.由题意知a×80%－30×75%=a×80%×25%,解得a=.故y=a×20%×x=x，即y与x之间的函数关系式是y=x.7.（1）y=（2）0.6解析：（1）当0≤t≤0.1时，可设y=kt（k为待定系数），由于点(0.1,1)在直线上，∴k=10；同理，当t0.1时，可得1=0.1－a=0a=.（2）由题意得t≥0.6.故至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室.8.解：若设每天从报社买进x（250≤x≤400，x∈N）份，则每月共可销售（20x+10×250）份，每份可获利润0.20元，退回报社10（x-250）份，每份亏损0.20元，依题意，得f（x）=0.20（20x+10×250）-0.20×10（x-250）=2x+1 000，x∈[250，400]．∵函数f（x）在[250，400]上单调递增，∴x=400（份）时，f（x）max=1 800（元），即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为1 800元．9.解：作出图像如图.（1）（一次函数模拟）设模拟函数为y=ax+b,将B ,C 两点的坐标代入函数解析式，得解得所以y =0.1x +1.此法的结论是：在不再增加工人和设备的条件下，产量会每月增加1000双，这是不太可能的.（2）（二次函数模拟）设y =a +bx +c ，将A ,B ,C 三点的坐标代入，得解得所以y =－0.05+0.35x +0.7.由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降（图像开口向下，对称轴是x =3.5），这显然不符合实际情况. （3）（指数函数模拟）设y =a +c ，将A ,B ,C 三点的坐标代入，得解得所以y =－0.8×+1.4.把x =4代入，得y =－0.8×+1.4=1.35.比较上述三个模拟函数的优势，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性.经过筛选，以指数函数模拟为最佳.一是误差最小；二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而用指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此选用y =－0.8×+1.4模拟比较接近客观实际.10．解：设最佳售价为(50)x +元，最大利润为y 元，(50)(50)(50)40y x x x =+---⨯240500x x =-++.当20x =时，y 取得最大值，所以应定价为70元.。

北师大版高中数学必修一教学案实际问题的函数建模

教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
实际问题的函数建模
授课时间
撰写人
学习重点
初步了解数学模型解决实际问题的过程
学习难点
实际问题抽象为数学问题的过程
学习目标
1.了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想
2.初步学会运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题
教学过程
一自主学习
1.写出我们已学习过的常见的函数模型
四课后反思
五课后巩固练习
1.某人2007年1月1日到银行存入一年存款a元，若按年利率为x的复利计算，则到2012年1月1日可取回款（）
A B C D
2.老师今年用7200元买了一台笔记本。由于电子技术的飞速发展，计算机的价格每隔一年降低三分之一。三年后老师这台笔记本价值元。
3.某商场经营一批进价为12元/个的小商品。在4天的试销中，对此商品的销售单价x（元）与相应的日销量y(个)作了统计，其数据如下：
例：（1）正比例函数模型： (R为常数)
2.总结解决实际应用题的基本步骤
二师生互动
例1有甲乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式：，，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润。对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？
例2某市实施“垃圾费用随袋征收”政策，垃圾袋的型号、规格及售价如表：
观察此表，
型号
特小型
小型
中型
大型
特大型
超大型
型号/(L/个)
5
14
33
45
76
92
规格/(个/包)
30

高中数学北师大必修1学案：第四章 2 实际问题的函数建模 ---精校解析 Word版

§2实际问题的函数建模预习课本P120～128，思考并完成以下问题1．正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数的模型各是什么？2．函数建模的过程是什么？[新知初探]1．几种常见函数模型(1)正比例函数模型：y＝kx(k≠0)；(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0)；(3)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)；(4)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(5)指数函数模型：y＝m·a x＋b(a>0，且a≠1，m≠0)；(6)对数函数模型：y＝m log a x＋c(m≠0，a>0，且a≠1)；(7)幂函数模型：y＝k·x n＋b(k≠0)．2．函数建模用数学眼光看问题，用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模，可以用图表示数学建模的过程．[小试身手]1．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的()答案：B2．一等腰三角形的周长为20，底边y是关于腰长x的函数，则它的解析式为()A．y＝20－2x(x≤10)B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10)解析：选D 依题意，得2x ＋y ＝20，∴y ＝20－2x .又y ＞0，∴20－2x ＞0，∴x ＜10.又2x ＞y ，∴2x ＞20－2x ，∴x ＞5，∴5＜x ＜10.3．某人从A 地出发，开汽车以60 km/h 的速度，经2 h 到达B 地，在B 地停留1 h ，则汽车离开A 地的距离y (单位：km)是时间t (单位：h)的函数，该函数的解析式是____________．解析：当0≤t ≤2时，y ＝60t ；当2＜t ≤3时，y ＝120.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2，120，2＜t ≤3 4．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．解析：当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 12k .∴k ＝2ln 2. ∴y ＝e 2t ln 2.∴当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.答案：2ln 2 1 024[典例] 2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示．(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P ＝f (t )；写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )．(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg ，时间单位：天)[解] (1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋300，0≤t ≤200，2t －300，200<t ≤300.设g (t )＝a (t －150)2＋100(a ≠0)，将t ＝50，Q ＝150代入得a ＝1200. ∴g (t )＝1200(t －150)2＋100(0≤t ≤300)． (2)设纯收益为y 元，当0≤t ≤200时，y ＝f (t )－g (t )＝(－t ＋300)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1200(t －150)2＋100 ＝－1200t 2＋12t ＋1752＝－1200(t －50)2＋100. 当t ＝50时，y 取到最大值，且最大值为100.当200<t ≤300时，y ＝f (t )－g (t )＝(2t －300)－1200(t －150)2＋100 ＝－1200t 2＋72t －1 0252＝－1200(t －350)2＋100. 当t ＝300时取到最大，最大值为87.5.故从2月1日起第50天上市的西红柿纯收益最大．处理此类问题的一般思路是：认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数．[活学活用]某地预计明年从年初开始的前x 个月内，某种商品的需求总量f (x )(万件)与月份x 的近似关系为f (x )＝1150x (x ＋1)(35－2x )(x ∈N ，且x ≤12)．(1)写出明年第x 个月的需求量g (x )(万件)与月份x 的函数关系式．(2)求哪个月份的需求量最大？最大值为多少？解：(1)由题意知：g (x )＝f (x )－f (x －1)＝1150·x (x ＋1)(35－2x )－1150(x －1)x [35－2(x －1)] ＝1150x [(x ＋1)(35－2x )－(x －1)(37－2x )] ＝1150x (72－6x )＝125x (12－x )． ∴g (x )＝125x (12－x )(x ∈N 且x ≤12)．(2)g (x )＝x 25(12－x )＝－125(x 2－12x ＋36－36) ＝－125(x －6)2＋3625，∴当x ＝6时，g (x )有最大值3625. 即第六个月需求量最大，为3625万件．指数(对数)函数模型[典例] 口平均增长率控制在1%，经过x 年后，我国人口为y (亿)．(1)求y 与x 的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数y ＝f (x )的定义域；(3)判断函数f (x )是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义． [解] (1)1999年底人口数：13亿．经过1年，2000年底人口数：13＋13×1%＝13×(1＋1%)(亿)．经过2年，2001年底人口数：13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13×(1＋1%)2(亿)．经过3年，2002年底人口数：13×(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%＝13×(1＋1%)3(亿)．……∴经过年数与(1＋1%)的指数相同．∴经过x 年后人口数：13×(1＋1%)x (亿)．∴y ＝f (x )＝13×(1＋1%)x .(2)∵此问题以年作为单位时间．∴x ∈N ＋是此函数的定义域．(3)y ＝f (x )＝13×(1＋1%)x .∵1＋1%>1,13>0，∴y ＝f (x )＝13×(1＋1%)x 是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．(1)指数函数模型：能用指数函数表示的函数模型叫作指数函数模型．指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a >1)，常形象地称之为指数爆炸．(2)对数函数模型：能用对数函数表示的函数模型叫对数函数模型．对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a >1)，函数值增大的速度越来越慢．注意：(1)增长率与减少率问题都应归结为指数函数模型．(2)平均增长(或减少)率问题的表示：y ＝a (1＋p %)x (或y ＝a (1－p %)x )．[活学活用]我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，可得0＝5log 2Q 10，解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入所给公式，得v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)． 15 m/s.建立模拟函数解应用题[典例] 投资A 种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40投资B 种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51A 、B 两种商品各多少才最合算．请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两个有效数字)[解] 设投资额为x 万元时，获得的利润为y 万元．在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示．观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A 种商品的利润y 万元与投资额x 万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B 种商品的利润y 万元与投资额x 万元之间的函数关系．设二次函数的解析式为y ＝－a (x －4)2＋2(a >0)；一次函数的解析式为y ＝bx .把x ＝1，y ＝0.65代入y ＝－a (x －4)2＋2(a >0)，得0.65＝－a (1－4)2＋2，解得a ＝0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A 种商品的金额的函数关系可近似地用y ＝－0.15(x －4)2＋2表示．把x ＝4，y ＝1代入y ＝bx ，得b ＝0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资B 种商品的金额的函数关系可近似地用y ＝0.25x 表示．令下月投入A ，B 两种商品的资金分别为x A 万元、x B 万元，总利润为W 万元，得W ＝y A ＋y B ＝－0.15(x A －4)2＋2＋0.25x B ，其中x A ＋x B ＝12.则W ＝－0.15⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －1962＋0.15·⎝ ⎛⎭⎪⎫1962＋2.6(0≤x A ≤12)．则当x A ＝196≈3.2万元时，W 取得最大值， 0．15·⎝ ⎛⎭⎪⎫1962＋2.6≈4.1万元，此时x B ＝536≈8.8万元．即投资A 商品3.2万元，投资B 商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润为4.1万元．建立模拟函数解应用题的一般步骤为：(1)作图：根据已知数据作出散点图；(2)选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型；(3)求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式；(4)利用所求得的函数模型解决问题．[活学活用]某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，(见下表)：x … 30 40 45 50 …y … 60 30 15 0 …(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x ，y )对应的点，并确定y 与x 的一个函数关系式y ＝f (x )；(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？解：(1)根据上表作图，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)近似在同一条直线上，设直线为：y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 50k ＋b ＝0，45k ＋b ＝15，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－3，b ＝150. ∴y ＝－3x ＋150(x ∈N)．经检验点(30,60)，(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋150(x ∈N)．(2)依题意有P ＝y (x －30)＝(－3x ＋150)(x －30)＝－3(x －40)2＋300，∴当x ＝40时，P 有最大值300.故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．层级一学业水平达标1．则x ，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a ，b 为待定系数)( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋b x解析：选B 在坐标系中描出各点，知模拟函数为y ＝a ＋b x .2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存了x 辆，存车费总收入为y 元，则y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝0.2x (0≤x ≤4 000)B ．y ＝0.5x (0≤x ≤4 000)C ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)D ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)解析：选C 由题意得y ＝0.3(4 000－x )＋0.2x ＝－0.1x ＋1 200.3．某厂日产手套的总成本y (元)与日产量x (双)之间的关系为y ＝5x ＋40 000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套( )A ．2 000双B ．4 000双C ．6 000双D ．8 000双解析：选D 由5x ＋40 000≤10x ，得x ≥8 000，即日产手套至少8 000双才不亏本．4．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )A ．此人可在7秒内追上汽车B ．此人可在10秒内追上汽车C ．此人追不上汽车，其间距最少为5米D ．此人追不上汽车，其间距最少为7米解析：选D 设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7.当t ＝6时，d 取得最小值7.5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．18万件B ．20万件C ．16万件D ．8万件解析：选A 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．6．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为________元．解析：设销售单价应涨x 元，则实际销售单价为(10＋x )元，此时日销售量为(100－10x )个，每个商品的利润为(10＋x )－8＝2＋x (元)，∴总利润y ＝(2＋x )(100－10x )＝－10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360(0＜x ＜10，且x ∈N *)∴当x ＝4时y 有最大值，此时单价为14元．答案：147．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2000·ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃烧质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：当v ＝12 000时，2 000·ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12 000， ∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝6，∴M m ＝e 6－1. 答案：e 6－18．某合资企业2011年的产值达200万美元，2016年的产值达6 400万美元，则平均每年增长的百分率为________．解析：设增长的百分率为x ，∵200(1＋x )5＝6 400，∴(1＋x )5＝32，∴x ＝1.答案：100%9．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6 000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y 甲，y 乙与购买台数x 之间的函数关系式；(2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？解：(1)由题意知，y 甲＝⎩⎪⎨⎪⎧6 000x ，0≤x ≤10，4 200x ＋18 000，x ≥11，y 乙＝5 100x (x ∈N)．(2)当x ≤10时，显然y 甲＞y 乙；当x ＞10时，令y 甲＞y 乙，即4 200x＋18 000＞5 100x ，解得x ＜20.所以当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．10.某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的计量服用，据监测：服药后每毫升血液中含药量y (μg )与时间t (h )之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解：(1)依题意得y ＝⎩⎨⎧6t ，0≤t ≤1，－23t ＋203，1<t ≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则－23t 1＋203＝4，解得t 1＝4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4，解得t 2＝9小时，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4，解得t 3＝13.5小时，故第四次服药应在20：30.层级二应试能力达标1．某工厂一年中12月份的产量是1月份产量的m 倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )A.m 11B.m 12C.12m －1D.11m －1解析：选D 设该厂1月份产量为a ，这一年中月平均增长率为x ，则a (1＋x )11＝ma ，解得x ＝11m －1.2．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂．已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面．当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天解析：选C 荷叶覆盖水面面积y 与生长时间x 的函数关系式为y ＝2x .当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半．3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606 万元B ．45.6 万元C ．45.56 万元D ．45.51 万元解析：选B 设该公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，利润为L (x )＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －153152＋0.15×1532225＋30，由于x 为整数，所以当x ＝10时，L (x )取最大值L (10)＝45.6，即能获得的最大利润为45.6万元．4．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：选B 设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a ＜a ，故该股民这支股票略有亏损．5．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是________．解析：设新价为b ，则售价为b (1－20%)．因为原价为a ，所以进价为a (1－25%)．依题意，有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%，化简，得b ＝54a .∴y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ，即y ＝a 4x (x ∈N ＋)．答案：y ＝a 4x (x ∈N ＋) 6．为了预防甲流的发生，某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为y ＝⎩⎨⎧ 10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t ＞0.1.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习．那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．解析：由题意可得y ≤0.25＝14，即得⎩⎨⎧ 10t ≤14，0≤t ≤0.1或⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤14，t ＞0.1，得0≤t ≤140，或t ≥0.6.因为前0.1个小时药物浓度是逐渐增大的，故至少需要经过0.6小时后才可回教室．答案：0.67．2014年第17届亚运会在韩国仁川举行．某特许专营店销售运动会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向运动会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x (元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出这个最大值．解：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧[2 000＋400(20－x )](x －7)，0＜x ≤20，[2 000－100(x －20)](x －7)，20＜x ＜40. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400(25－x )(x －7)，0＜x ≤20，100(40－x )(x －7)，20＜x ＜40. 此函数的定义域为(0,40)．(2)y ＝⎩⎨⎧400[－(x －16)2＋81]，0＜x ≤20，100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4722＋1 0894，20＜x ＜40.当0＜x ≤20，则当x ＝16时，y max ＝32 400(元)．当20＜x ＜40，则当x ＝472时，y max ＝27 225(元) 综上可得当x ＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32 400元．8．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P (x )(百元)与时间x (天)的函数关系近似满足P (x )＝1＋k x (k 为正常数)，日销售量Q (x )(件)与时间x (天)的部分数据如下表所示：已知第10(1)求k 的值．(2)给出以下四种函数模型：①Q (x )＝ax ＋b ，②Q (x )＝a |x －25|＋b ，③Q (x )＝a ·b x ，④Q (x )＝a ·log b x .请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q (x )(件)与时间x (天)的变化关系，并求出该函数的解析式．(3)求该服装的日销售收入f (x )(1≤x ≤30，x ∈N *)(百元)的最小值．解：(1)依题意知第10天的日销售收入为P (10)·Q (10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k 10×110＝121，解得k ＝1.(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q (x )＝a |x －25|＋b .从表中任意取两组值代入可求得Q (x )＝125－|x －25|(1≤x ≤30，x ∈N *)．(3)由(2)知Q (x )＝125－|x －25|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 100＋x (1≤x ＜25，x ∈N *)，150－x (25≤x ≤30，x ∈N *)，∴f (x )＝P (x )·Q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋100x ＋101(1≤x ＜25，x ∈N *)，150x －x ＋149(25≤x ≤30，x ∈N *).当1≤x ＜25时，y ＝x ＋100x 在[1,10]上是减函数，在[10,25)上是增函数，所以当x ＝10时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝121；当25≤x≤30时，y ＝150x －x 为减函数，所以当x ＝30时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝124.综上所述，当x ＝10时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝121.从而，该服装的日销售收入的最小值为121百元．(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．函数y ＝(x －1)(x 2－2x －3)的零点为( )A ．1,2,3B ．1，－1,3C ．1，－1，－3D ．1，－1,2解析：选B 由(x －1)(x 2－2x －3)＝(x －1)(x ＋1)(x －3)＝0，得x ＝－1，或x ＝1，或x ＝3.2．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f －12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实根B ．可能有2个实根C ．有唯一实根D ．没有实根解析：选C 由于f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上有唯一零点，即方程f (x )＝0在[－1,1]上有唯一实根．故选C.3．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选B 显然f (x )在R 上是增函数，又f (－2)<0，f (－1)<0，f (0)>0，f (1)>0，f (2)>0，∴f (－1)·f (0)<0，∴函数f (x )在(－1,0)上有零点，故选B.4．若函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图像是连续不断的曲线，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．无法判断D ．等于零解析：选C 由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部，故f (－1)·f (1)的值无法判断．5．在物价飞速上涨的今天，某商品2016年零售价比2015年上涨25%，欲控制2017年比2015年只上涨10%，则2017年应比2016年降价( )A ．15%B ．12%C ．10%D ．8%解析：选B 设2017年应比2016年降价x %，则(1＋25%)(1－x %)＝1＋10%，解得x ＝12.6若函数f (x )唯一的变号零点同时在区间(0,4)，(0,2)，(1,2)，⎝⎛⎭⎪⎫1，32内，则与f (0)符号相同的是( )A ．f (4)B ．f (2)C ．f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 解析：选C 由函数零点的判断方法可知，f (2)，f (4)与f (0)符号相反，f (1)与f (2)符号相反，故f (1)与f (0)符号相同，故选C.7则体现这些数据关系的最佳函数模型是( )A ．u ＝log 2tB ．u ＝2t －2C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －2 解析：选C 把t ＝1.99，t ＝3.0代入A 、B 、C 、D 验证易知，C 最近似．8．储油30 m 3的油桶，每分钟流出34m 3的油，则桶内剩余油量Q (m 3)以流出时间t (min)为自变量的函数的定义域为( )A ．[0，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，452 C ．(－∞，40] D ．[0,40]解析：选D 由题意知Q ＝30－34t ，又0≤Q ≤30，即0≤30－34t ≤30，∴0≤t ≤40. 9．设函数f (x )的零点为x 1，函数g (x )＝4x ＋2x －2的零点为x 2，若|x 1－x 2|＞14，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝2x －12B ．f (x )＝－x 2＋x －14C ．f (x )＝1－10xD ．f (x )＝ln(8x －2)解析：选C 依题意得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2＋12－2＜0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＞0，∴x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.若f (x )＝1－10x ，则有x 1＝0，此时|x 1－x 2|＞14，验证其它三项，均不符合题意，因此选C.10．函数f (x )＝log 2x ＋1x －1的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 可将函数f (x )＝log 2x ＋1x －1的零点的个数看作函数y ＝log 2x 与y ＝－1x ＋1的图像的交点个数，作出函数图像可得到交点有2个．11．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费( )A ．1.00元B ．0.90元C ．1.20元D ．0.80元解析：选B y ＝0.2＋0.1×([x ]－3)，([x ]是大于x 的最小整数，x >0)，令x ＝55060，故[x ]＝10，则y ＝0.9. 12．设方程3x ＝|lg(－x )|的两个根为x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2＜0B ．x 1x 2＝1C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1解析：选D 函数y ＝3x 与函数y ＝|lg(－x )|的图像如图所示，由图示可设x 1＜－1＜x 2＜0，则0＜3x 1＜3x 2＜1，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＝lg (－x 1)，3x 2＝－lg (－x 2)，可得 3x 1－3x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg x 1x 2，∵3x 1－3x 2＜0，∴0＜x 1x 2＜1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是________．解析：设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)<0，f (3)>0，f (4)>0，有f (2)·f (3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．答案：(2,3)14．函数f (x )＝e x ＋2x －6(e ≈2.718)的零点属于区间(n ，n ＋1)(n ∈Z)，则n ＝________.解析：因为f (1)＝e －4＜0，f (2)＝e 2－2＞0，所以函数f (x )的零点属于区间(1,2)，故n ＝1. 答案：115．已知m ∈R 时，函数f (x )＝m (x 2－1)＋x －a 恒有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)当m ＝0时，由f (x )＝x －a ＝0，得x ＝a ，此时a ∈R.(2)当m ≠0时，令f (x )＝0，即mx 2＋x －m －a ＝0恒有解，Δ1＝1－4m (－m －a )≥0恒成立，即4m 2＋4am ＋1≥0恒成立，则Δ2＝(4a )2－4×4×1≤0，即－1≤a ≤1.所以对m ∈R ，函数f (x )恒有零点，有a ∈[－1,1]．答案：[－1,1]16.一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，b ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<b ≤32为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上的线段构成了丰富多彩的图形，如图所示，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．解析：由题意知实线部分的总长度为l ＝4(3－2b )＋2πb ＝(2π－8)b ＋12，l 是关于b 的一次函数，一次项系数2π－8<0，故l 关于b 的函数单调递减，因此，当b 取最大值时，l 取得最小值，结合图形知，b 的最大值为32，代入上式得l min ＝(2π－8)×32＋12＝3π. 答案：3π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1.(1)m 为何值时，函数的图像与x 轴有两个交点？(2)如果函数的一个零点在原点，求m 的值．解：(1)∵函数的图像与x 轴有两个交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≠0，Δ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠－1，(4m )2－4×2(m ＋1)·(2m －1)＞0. 整理得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1，m ＜1，即当m ＜1，且m ≠－1时，函数的图像与x 轴有两个交点．(2)∵函数的一个零点在原点，即点(0,0)在函数f (x )的图像上，∴f (0)＝0，即2m －1＝0.∴m ＝12. 18．(本小题满分12分)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )是二次函数，其图像与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)，与y 轴交于C (0,6)．(1)求y ＝f (x )，(x ∈R)的解析式；(2)若方程f (x )－2a ＋2＝0有四个不同的实数根，试求a 的取值范围．解：(1)依题意可设，当x ≥0时，f (x )＝a (x －1)(x －3)．由f (0)＝6得3a ＝6，∴a ＝2，此时f (x )＝2(x －1)(x －3)＝2x 2－8x ＋6(x ≥0)．当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝2x 2＋8x ＋6.又∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝2x 2＋8x ＋6(x ＜0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－8x ＋6，x ≥0，2x 2＋8x ＋6，x ＜0. (2)依题意f (x )＝2a －2有四个不同实数根，即y ＝f (x )与y ＝2a －2在同一坐标系中的图像有四个不同的交点．如图可知只需满足条件－2＜2a －2＜6，∴0＜a ＜4，即实数a 的取值范围是(0,4)．19．(本小题满分12分)判断方程2ln x ＋x －4＝0在(1，e)内是否存在实数解，若存在，有几个实数解？解：令f (x )＝2ln x ＋x －4.因为f (1)＝2ln 1＋1－4＝－3<0，f (e)＝2ln e ＋e －4＝e －2>0，所以f (1)·f (e)<0.又函数f (x )在(1，e)内的图像是连续不断的曲线，所以函数f (x )在(1，e)内存在零点，即方程f (x )＝0在(1，e)内存在实数解．由于函数f (x )＝2ln x ＋x －4在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以函数f (x )在(1，e)内只存在唯一的一个零点．故方程2ln x ＋x －4＝0在(1，e)内只存在唯一的实数解．20．(本小题满分12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M 万元和N 万元，它们与投入资金x 万元的关系可由经验公式给出：M ＝14x ，N ＝34x －1(x ≥1)．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应是多少？共能获得多大利润？解：设投入乙种商品的资金为x 万元，则投入甲种商品的资金为(8－x )万元，共获得利润y ＝M ＋N ＝14(8－x )＋34x －1(1≤x ≤8)．令x －1＝t (0≤t ≤7)，则x ＝t 2＋1， ∴y ＝14(7－t 2)＋34t ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋3716. 故当t ＝32时，可获最大利润3716万元．此时，投入乙种商品的资金为134万元，甲种商品的资金为194万元． 21.(本小题满分12分)如图所示，A ，B 两城相距100 km ，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D 给A ，B 两城供气．已知D 地距A 城x km ，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y (万元)与A ，B 两地的供气距离(km)的平方和成正比，当天然气站D 距A 城的距离为40 km 时，建设费用为1 300万元．(供气距离指天然气站到城市的距离)(1)把建设费用y (万元)表示成供气距离x (km)的函数，并求定义域；(2)天然气供气站建在距A 城多远，才能使建设供气费用最小，最小费用是多少？解：(1)由题意知D 地距B 地(100－x )km ，则⎩⎪⎨⎪⎧10≤100－x ，x ≥10，∴10≤x ≤90. 设比例系数为k ，则y ＝k [x 2＋(100－x )2](10≤x ≤90)．又x ＝40，y ＝1 300，所以1 300＝k (402＋602)，即k ＝14，所以y ＝14[x 2＋(100－x )2]＝12(x2－100x＋5 000)(10≤x≤90)．(2)由于y＝12(x2－100x＋5 000)＝12(x－50)2＋1 250，所以当x＝50时，y有最小值为1 250万元．所以当供气站建在距A城50 km，能使建设费用最小，最小费用是1 250万元．22.(本小题满分12分)据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图像可知：当0≤t≤10时，v＝3t，则当t＝4时，v＝3×4＝12，故s＝12×4×12＝24.(2)当0≤t≤10时，s＝12·t·3t＝32t2，当10＜t≤20时，s＝12×10×30＋30(t－10)＝30t－150；当20＜t≤35时，s＝12×10×30＋10×30＋(t－20)×30－12×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.综上，可知s＝错误!(3)∵t∈[0,10]时，s max＝32×102＝150＜650，t∈(10,20]时，s max＝30×20－150＝450＜650，∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.解得t1＝30，t2＝40.∵20＜t≤35，∴t＝30.即沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城．。

北师大版高中数学必修一第四章第2节实际问题的函数建模

§2 实际问题的函数建模1．初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．2．了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用______的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．【做一做1－1】一辆匀速行驶的火车90 min 行驶了180 km ，则这辆火车行驶的路程y (km)与时间t (h)之间的函数关系式为( )．A ．y ＝2tB ．y ＝120tC ．y ＝2t (t ≥0)D ．y ＝120t (t ≥0)【做一做1－2】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年的冬季冰雪覆盖面积为m ，从2000年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是( )．A ．y ＝500.95x m ⋅B ．y ＝50(10.05)x m -⋅C ．y ＝0.9550－x ·mD ．y ＝(1－0.0550－x )·m2．用函数模型解决实际问题函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦认定是函数关系，就可以通过研究函数的____________把握问题，使问题得到解决．通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的___________，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的____________，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过__________，得到__________，再通过数据__________得到的．【做一做2－1】某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( )．A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数【做一做2－2】一个水池每小时注入水量是全池的110，水池还没有注水部分的总量y 随时间x 变化的关系式为__________．3．函数建模(1)定义：用数学思想、_________、_________解决实际问题的过程叫作数学建模．。

高中数学第四章函数应用 4.2 实际问题的函数建模学案北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学

4.2 实际问题的函数建模[核心必知]1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题(1)数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．(2)常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)，图像增长特点是直线式上升(x的系数k＞0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx(k＞0)．②反比例函数模型：y＝kx(k＞0)型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a·b x＋c(b＞0，且b≠1，a≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b ＞1，a＞0)，常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝m log a x＋n(a＞0，a≠1，m≠0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢(底数a＞1，m ＞0)．⑤幂函数模型，即y＝a·x n＋b(a≠0)型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大(a＞0)．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，分析图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模(1)定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．(2)过程：如下图所示．[问题思考]1．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x)．试规定f(0)的值，并解释f(0)的实际意义．提示：f(0)＝1，表示没用清水清洗时，蔬菜上的农药将保持原样．2．某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用常用五种函数模型中的哪种？提示：对数型函数．3．今有一组实验数据如下表所示：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.047.51218.01 则最佳体现这些数据关系的函数模型是下列四个函数中的哪个？①u＝log2t；②u＝2t－2；③u＝t2－12；④u＝2t－2.提示：③可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示，由散点图可知，图像不是直线，排除④项；图像不符合对数函数的图像特征，排除①项；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，t2－12＝32－12＝4，由表格知当t＝3时，u＝4.04，模型u ＝t2－12能较好地体现这些数据关系．讲一讲 1.某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (t ∈N ＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (t ∈N ＋)(天)之间的关系如下表：第t 天5 15 20 30 Q 件35252010(1)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式；(2)根据表中提供的数据，确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．[尝试解答] (1)由已知可得：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0＜t ＜25，t ∈N ＋，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N ＋.(2)日销售量Q 与时间t 的一个函数式为Q ＝－t ＋40(0＜t ≤30，t ∈N ＋)．(3)由题意y ＝错误!＝错误!当0＜t ＜25，t ＝10时，y max ＝900，当25≤t ≤30，t ＝25时，y max ＝(25－70)2－900＝1 125，故当t ＝25时，日销售金额最大且最大值为1 125元．在用函数刻画实际问题的过程中，除了用函数解析式刻画外，函数图像也能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本例题涉及到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型．练一练1．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？解：(1)由图可知，直线y 甲＝kx ＋b 经过(1,1)和(6,2)，可求得k ＝0.2，b ＝0.8.∴y 甲＝0.2(x ＋4)．同理可得y 乙＝4⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋172. 故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)；(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只；(3)设第x 年规模最大，即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)·4⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋172＝－0.8x 2＋3.6x ＋27.2的最大值．函数图像对称轴为x ＝－ 3.62×－0.8＝214，因为x ∈N ＋，∴当x ＝2时，y 甲·y 乙＝31.2，即第二年规模最大，为31.2万只．讲一讲2．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[尝试解答] (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入所给公式，得v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：(1)解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y ＝f (x )中的参数，求出具体的函数解析式y ＝f (x )；②讨论x 与y 的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．(2)解函数关系未知的应用题 ①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．练一练2．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售量就增加10个．为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？解：设此商品每个售价为x元时，每日利润为y元，当18<x<30(当提价12元时销售量为零，故x＜30)时，有y＝[60－5(x－18)](x－10)＝－5(x－20)2＋500.即在商品提价时，当x＝20时，每日利润y最大，最大利润是500元．当10<x≤18时，有y＝[60＋10(18－x)](x－10)＝－10(x－17)2＋490，即在商品降价时，当x＝17时，每日利润y最大，最大利润是 490元．∵500>490，∴此商品的售价应定为每个20元．讲一讲3．18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？[尝试解答] 由数值对应表作散点图如图．由图采用指数型函数作模型，设f(x)＝a·b x＋c.代入(1,0.7)，(2,1.0)，(3,1.6)得：⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝0.7， ①ab 2＋c ＝1.0， ②ab 3＋c ＝1.6， ③(③－②)÷(②－①)得b ＝2，代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝0.7，4a ＋c ＝1.0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝320，c ＝25，∴f (x )＝320·2x＋25.∵f (5)＝265＝5.2，f (6)＝10，∴符合对应表值，∴f (4)＝2.8，f (7)＝19.6，所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处．在土星外面是天王星，它与太阳的距离大约是19.6天文单位．对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．练一练3．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x 元与日销售量y 件之间有如下关系(见下表)：销售单价x (元)… 30 40 45 50 …日销售量y (件)… 60 30 15…(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x ，y )对应的点，并确定y 与x 的一个函数关系式y ＝f (x )；(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？解：(1)根据题干中所给表作图，如图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)在同一条直线上，设此直线为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝0，45k ＋b ＝15⇔⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝150.∴y ＝－3x ＋150(x ∈N )，经检验点(30,60)、(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋150(x ∈N )．(2)依题意有P ＝y (x －30) ＝(－3x ＋150)(x －30) ＝－3(x －40)2＋300，∴当x ＝40时，P 有最大值300. 故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．某林区2015年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.(1)若经过x 年后，该林区的木材蓄积量为y 万立方米，求y ＝f (x )的表达式，并求此函数的定义域；(2)作出函数y ＝f (x )的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．[错解] (1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%×2)；经过x 年后木材蓄积量为200(1＋5%·x )．所以y ＝f (x )＝200(1＋5%·x )(x ∈N ＋)；(2)函数图像如图所示．设x 年后木材蓄积量为300万立方米．则200·(1＋5%x )＝300，所以x ·5%＝32－1，x ＝125100＝12×1005＝10.所以，经过10年，木材蓄积量达到300万立方米．[错因] 第x 年的木材蓄积量不是200(1＋5%·x )，而是200(1＋5%)x，是指数型函数关系，而不是倍数关系．[正解] (1)现有木材蓄积量为200万立方米．经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2；所以经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.所以y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N＋)．(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图像，如图所示：x 0123…y 200210220.5231.5…作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x 的图像交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．因为8＜x0＜9，则取x0＝9，所以经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是( )A．分段函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数解析：选 A 根据图像知，在不同的时间段内，行驶路程关于时间变化的图像不同，故对应函数模型应为分段函数．2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2000年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( ) A．y＝0.95x50·m B．y＝(1－0.05x50)·mC．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m解析：选 A 根据已知得：y ＝m (1－5%)x50. 3.(江西高考)如右图，|OA |＝2(单位：m)，|OB |＝1(单位：m)，OA 与OB 的夹角为π6，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧BDC 与线段OA 延长线交于点C .甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB 行至点B ，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧BDC 行至点C 后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA 行至点A 后停止．设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S (t )(S (0)＝0)，则函数y ＝S (t )的图像大致是( )解析：选A 由余弦定理知，cos ∠AOB＝OA 2＋OB 2－AB 22OA ·OB ＝32，求得AB ＝5－2 3.由已知可知：当t ≤1时，所围成的图形为与三角形ABO 相似的三角形，S (t )＝12t ·2t sinπ6＝12t 2，对应的函数图像为开口向上的抛物线的一部分；存在t 0，使得当1<t ≤t 0时，所围成的图形为三角形ABO 与一部分扇形，扇形的弧长为3(t －1)，此时所围成图形面积S (t )＝12＋12×3(t －1)×AB ＝12－35－232＋35－232t ，对应的函数图像为过一、三、四象限的直线的一部分；当t >t 0时，甲乙两质点停止运动，S (t )的值恒定不变，对应图像为平行于x 轴的直线．4.如图表示某人的体重与年龄的关系： ①体重随年龄的增长而增加； ②25岁之后体重不变；③体重增加最快的是15岁至25岁； ④体重增加最快的是15岁之前．上述判断正确的是________(填序号)．解析：由图像易知①在50岁之后体重在减轻；②25岁之后体重变化不大，但也有改变；在0至15间的线段斜率明显大于在15至25间的线段斜率，故体重增加最快的是15岁之前，④正确．答案：④5．某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)(a 为初始量)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只．解析：由题意知，x ＝1时，y ＝100，即a log 22＝100，∴a＝100，∴y＝100log2(x＋1)，∴当x＝7时，y＝100×log28＝300.答案：3006．某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；……，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y2元．(1)分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？解：(1)对甲茶具店而言：茶社购买这种茶壶x个时，每个售价为80－2x元，则y1与x之间的函数关系式为：y1＝错误!对乙茶具店而言：茶社购买这种茶壶x 个时，每个售价为80×75%＝60元，则y2与x之间的函数关系式为：y2＝60x(x≥0，x∈N＋)．(2)y1－y2＝－2x2＋80x－60x＝－2x2＋20x≥0⇒0≤x≤10.答：茶社购买这种茶壶的数量小于10个时，到乙茶具店购买茶壶花费较少，茶社购买这种茶壶的数量等于10个时，到甲、乙两家茶具店购买茶壶花费一样多，茶社购买这种茶壶的数量大于10个时，到甲茶具店购买茶壶花费较少．一、选择题1．某产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数关系式为y＝3x＋4，则当产量为4时，利润y等于( )A．4元B．16元C．85元 D．不确定解析：选C 当x＝4时，y＝34＋4＝85.2．某中学的研究性学习小组为考察珠江口某小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t为出发后的某一时刻，s为汽艇与码头在时刻t时的距离，下列图像中能大致表示s＝f(t)的函数关系的为( )解析：选C 由题中所述，只有C符合3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则x，y的函数关系与下列哪类函数最接x －2.0－1.00 1.00 2.00 3.00 y 0.240.511 2.02 3.988.02近？(其中a ，b 为待定系数)( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋bx解析：选B 在坐标系中描出表中各点，知拟合函数为y ＝a ＋b x.4．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t (小时)的函数表达式是( )A ．x ＝60t ＋50t (0≤t ≤6.5)B ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t 0≤t ≤2.5，150 2.5＜t ≤3.5，150－50t 3.5＜t ≤6.5C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t 0≤t ≤2.5，150－50t t ＞3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t 0≤t ≤2.5，150 2.5＜t ≤3.5，150－50t －3.53.5＜t ≤6.5解析：选 D 根据题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可．二、填空题5．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t (单位：天)的函数．日销售量为f (t )＝2t ＋100，价格为g (t )＝t ＋4，则该种商品的日销售额S (单位：元)与时间t 的函数关系式为S (t )＝________.解析：日销售额S ＝f (t )g (t )＝(2t ＋100)(t ＋4)．答案：(2t ＋100)(t ＋4)6．一个高中研究性学习小组对本地区2013年至2015年快餐公司发展情况进行了调查，制成该地区快餐公司个数的函数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均情况条形图(如下图)．根据图中提供的信息，可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒．解析：根据题意知，三年内共销售盒饭为：30＋45×1.5＋90×2＝277.5，∴平均每年销售盒饭92.5万盒．答案：92.57．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10 m 处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6 m 时，球到达最高点，此时球高3 m ，已知球门高2.44 m ，________踢进球门(填“能”或“否”)．解析：建立如图所示的坐标系，拋物线经过点(0,0)，顶点为(6,3)．设拋物线解析式为y ＝a (x －6)2＋3，把x ＝0，y ＝0代入得a ＝－112，∴y＝－112(x－6)2＋3.当x＝10时，y＝－112(10－6)2＋3＝53＜2.44.∴球能射进球门．答案：能8．某工厂生产某种产品固定成本为 2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________．解析：总利润L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2 000＝－120(Q－300)2＋2 500，故当Q＝300时，总利润最大值为2 500万元．答案：2 500万元三、解答题9．某企业根据企业现状实行裁员增效，已知现有员工200人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人(被裁的员工)0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的34.设该企业裁员x人后纯收益为y万元．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？解：(1)裁员x人后，企业员工数为(200－x)人，每人每年创纯利润(1＋0.01x)万元，企业每年需付给下岗工人0.4x万元，则y＝(200－x)(1＋0.01x)－0.4x＝－0.01x2＋0.6x＋200.∵200－x≥34×200⇒x≤50，∴x的取值范围为0＜x≤50，且x∈N；(2)y＝－0.01(x－30)2＋209，∵0＜x≤50，且x∈N，∴当x＝30时，y取得最大值209.∴该企业应裁员30人，可获得年最大纯收益209万元．溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示.(1)描点画出灌溉面积y随最大积雪深度x变化的图像；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图像；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？解：(1)描点作图如下：(2)从图①中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得⎩⎪⎨⎪⎧21.1＝a＋10.4b，45.8＝a＋24.0b.用计算器可算得a≈2.4，b≈1.8.这样，我们得到一个函数模型：y＝2.4＋1.8x.作出函数图像如图②，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公倾．1.函数的零点(1)函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)确定函数y＝f(x)的零点，就是求方程f(x)＝0的实数根．(3)一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0，这个x0也就是方程f(x)＝0的根．(4)一般地，对于不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．(5)判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程f(x)＝0与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的图像和性质找零点，从而求出方程的根．对于如何判断函数在某区间内是否有零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图像在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0.2．实际问题的函数建模解决应用问题的一般程序是： (1)审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；(3)求模：求解数学模型，得到数学结论； (4)还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为实际问题――→分析、联想抽象、转化建立函数模型――→数学推演数学结果――→ 反译实际结果――→答[典例1] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [解析] 法一：当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋2x －3＝0，得x 1＝1(舍去)，x 2＝－3；当x ＞0时，由f (x )＝－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2，所以函数f (x )的零点个数为2.法二：在坐标系中作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12－4，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0的图像，由图像知，有两个零点．[答案] C[借题发挥] 函数的零点问题常见的有：求零点大小、判断零点个数及零点所在大致区间三类问题．常用的解法有解方程法，判定定理法及数形结合法．[对点训练]1．在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析：选C 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1>0，所以f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.2．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0解析：选B 函数f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上是增函数．又∵x 0是f (x )的一个零点，且x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，∴f (x 1)＜0，f (x 2)＞0.[典例2] 已知二次函数f (x )＝x 2－(m －1)x ＋2，在[0,1]上有且只有一个零点，求实数m 的取值范围．[解] (1)当方程x 2－(m －1)x ＋2＝0，在[0,1]上有两个相等的实根时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －12－8＝0，0≤m －12≤1，解得m ＝1±22，1≤m ≤3，∴此种情况不存在．(2)当方程x 2－(m －1)x ＋2＝0有两个不相等实根时，有且只有一根在[0,1]上，有⎩⎪⎨⎪⎧f 0·f 1≤0，Δ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧24－m ≤0，m －12－8＞0，∴m ≥4.综上所述，实数m 的取值范围m ≥4. [借题发挥] (1)解决此类问题，通常是结合图像，从判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值、图像的开口方向等方面去考虑使结论成立的条件．(2)函数问题与方程问题可以相互转化，结合使用数形结合的方法解决问题．[对点训练]3．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋1(a ＜b )，且m ，n 是方程f (x )＝0的两个根(m ＜n )，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系可能是________．解析：由函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋1，我们可以看到a ，b 为g (x )＝(x －a )(x －b )的零点，且f (a )＝f (b )＝1，f (m )＝f (n )＝0，如图，则应有a ＜m ＜n ＜b .答案：a ＜m ＜n ＜b4．已知函数f (x )＝x 2－x ＋m 的两个零点都在区间(0,2)内，求实数m 的取值范围．解：函数f (x )＝x 2－x ＋m 的对称轴为直线x ＝12.若使两个零点都在区间(0,2)内，需满足⎩⎪⎨⎪⎧f0＞0，f12＜0，f2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，122－12＋m ＜0，2＋m ＞0，解得0＜m ＜14，故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.[典例3] 某租赁公司出租同一型号的设备40套，当每套月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，每套月租金每增加10元，就少租出1套设备，而未租出的设备每月需支付各种费用每套20元．设每套设备实际月租金为x 元(x ≥270元)，月收益为y元(总收益＝设备租金收入－未租出设备费用)．(1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)当x 为何值时，月收益最大？最大值是多少？[解] (1)设每套设备实际月租金为x 元(x ≥270元)时，未租出的设备为x －27010套，则未租出的设备费用为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27010×20元；租出的设备为⎝⎛⎭⎪⎫40－x －27010套，则月租金总额为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫40－x －27010x 元．所以y ＝⎝⎛⎭⎪⎫40－x －27010x －x －27010×20 ＝－0.1x 2＋65x ＋540.(2)由(1)得y ＝－0.1x 2＋65x ＋540＝－0.1(x －325)2＋11 102.5.则当x ＝325时，y 取最大值为11 102.5，即当每套设备实际月租金为325元时，月收益达到最大值11 102.5元．[借题发挥] 解决这类问题需要根据题中量与量之间的关系，选取恰当的变量作为自变量，利用已知的等量关系或隐含的等量关系建立函数模型，然后利用函数知识求解．[对点训练]5．医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的记录如下表. 天数1 2 3 4 5 6 病毒细胞个数 12481632已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，lg 2≈0.301 0)解：(1)由题意知病毒细胞个数y 关于天数n (n ∈N ＋)的函数关系式为y ＝2n －1(n ∈N＋)．为了使小白鼠在实验过程中不死亡，则2n －1≤108，两边取对数，解得n ≤27.6，即第一次最迟应在第27天注射该种药物；(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%，再经过x 天后小白鼠体内病毒细胞个数为226×2%×2x.由题意226×2%×2x ≤108，两边取对数得26lg 2＋lg 2－2＋x lg 2≤8，解得x ≤6.2，即再经过6天必须注射药物，即第二次最迟。

高中数学第四章函数应用 4.2 实际问题的函数建模 4.2.1 实际问题的函数刻画教案1 北师大版必修1

4.2.1 实际问题的函数刻画【教学目标】１．知识技能：（１）培养学生由实际问题转化为教学问题的建模能力。

（２）使学生会利用函数图象的和性质，对函数进行处理，得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题。

（３）通过学习函数基本模型的应用，初步向学生渗透理论与实践的辨证关系。

2．过程与方法：（１）通过实际问题情境，使学生了解实际问题中量与量之间的变化规律，可以用函数来刻画，研究函数的性质就等价于研究实际问题中量与量之间的函数关系。

（２）通过学生的讨论、探究，使学生会将实际问题抽象、概括，化归为函数问题，进而逐步培养学生解决实际问题的能力。

３．情感、态度与价值观：（１）体会事物发展变化的“对立统一”规律，培养学生辨证唯物主义思想。

（２）教育学生爱护环境，维护生态平衡。

（３）体会研究函数问题的一般方法，体验由具体到抽象的思维过程，感受常用的简单重要函数模型在实际问题中的作用，领悟方程与数形结合的数学思想，培养学生的合作意识，概括归纳能力和科学的思维方式。

【教学重点】常用简单函数模型的应用。

【教学难点】实际问题的函数刻画化归。

【教学方法】利用多媒体教学手段，教师引导启发，学生交流合作、讨论、观察、分析、概括、归纳、总结，达到教学目标的要求。

【课前准备】①多媒体课件；②坐标纸【教学设计】【课前预习】阅读教科书P137~P139，尝试完成以下两题：1．商店的一种商品每个进价80元，零售价100元．为了促进销售，开展购一件商品赠送一个小礼品的活动，在一定的范围内，礼品价格每增加l元，销售量增加10％．求利润与礼品价格”之间的函数关系．2．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到al，a2，…，an，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”“是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据差的平方和最小．依此规定，请用a1，a2，…，an表示出a．[课堂引入]有一大群兔子在喝水嬉戏，但这群兔子曾使澳大利亚人伤透了脑筋？为什么？还是从头说起：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且兔子没有天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了澳大利亚，数量达75亿只，兔子太多，为了生存，变得可恶起来，75亿只兔子，吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲畜，这些使澳大利亚人头痛不已，他们采用了各种方法，消灭兔子，直至20世纪50年代，科学家采用载液病毒杀死了90%的兔子，澳大利亚人才算松了一口气。

数学北师大版高中必修1北师大版高中数学必修1第四章2.3节函数建模案例

第 2 节实际问题的函数模型第3课时函数建模案例编制：刘江审核：刘建华学习目标：1.掌握常见的函数模型。

2.会通过建立函数模型解决实际问题。

重点：用函数模型求解实际问题。

难点：拟合函数预习案使用说明&学法指导（紧扣教材）1.用15分钟左右的时间，阅读探究课本的基础知识，从中了解…，通过自主高效预习，提升自己的阅读理解能力. 2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题. 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”І.相关知识1.中学阶段我们学习过的函数类型有一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、分段函数，它们的图像和性质。

II.教材助读III.预习自测某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km/h远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地。

把汽车离开A地的路程x（km）表示为时间t(h)(从A地出发时开始)的函数，并画出函数图像;再把车速v km/h表示为时间t(h)函数，并画出函数图像。

我的疑惑请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂解决.探究案I.学始于疑——我思考、我收获1.常用的函数模型有哪些？如何用他们来解决实际生活中的问题？2.如何根据所给数据来拟合函数？II.质疑探究——质疑解疑、合作探究（一）基础知识探究探究点一中学阶段所学的函数有哪些？它们的性质？针对训练一类产品按质量共分为10个档次，最低档次产品每件利润8元，每提高一个档次每件利润增加2元，一天的工时可以生产最低档次唱片60件，提高一个档次将减少3件，求生产何种档次的产品获利最大？归纳总结（二）知识综合应用探究探究点一如何用二次函数模型解决实际问题？规律方法总结探究点二如何根据所给数据来拟合函数？规律方法总结III.我的知识网络图1.常用的几种函数模型.2.根据数据拟合函数.IV.当堂检测1.为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价a 与其前三个月的市场收购价格有关，且使a与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小。

高一数学北师大版必修1教学教案第四章2-3函数建模案例(1)

《函数建模案例》教学设计【教材分析】本节课来自于北师大版高中数学必修一的第四章第二节，是在学习了指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数之后，通过实例让学生感受到函数在实际中的应用。

通过本节课的学习，使学生能从实际情境中抽象出数学模型，培养了学生数学抽象，数学建模的核心素养，在学生收集数据，选择模型的过程中体现了数据分析，直观想象的核心素养，在学生求解模型、完善模型的过程中，渗透数学运算、逻辑推理的核心素养，总之通过建模过程，使学生体验数学建模的思想，培养学生数学核心素养，又强化学生应用数学的意识，也提高了学生的创新精神和应用数学的能力。

同时，本节课的内容为以后学生学习线性相关关系和回归分析做了很好的铺垫．【学情分析】学生通过前面的学习，已经理解了函数的概念，掌握基本初等函数的图象和性质，对函数知识有初步的应用能力．学生能用数学知识描述问题，能用数学模型解决实际问题，这为本节课的学习奠定了知识基础．而高一的学生数学建模能力较弱，不善于将实际问题抽象为数学问题来解决．因此，在教学中要引导学生进行数据分析，建立适当的模型并对模型进行简单的分析，在运用数学知识解决实际问题中，培养学生的数学建模和数学探究能力，渗透数学核心素养。

【设计理念】“加强数学应用，形成和发展学生的数学应用意识”是高中数学课程标准的基本理念之一。

为了践行该教学理念，在安排学生学习了基本初等函数后，学习本节内容，让学生经历把数学知识应用于生活实际的建模过程，目的是巩固函数概念，体现函数价值，强化学生应用数学的意识，提高学生应用数学的能力，增强学生的数学核心素养。

【教学目标】1.会从实际情境抽象出数学问题，建立恰当的函数模型并求解。

2.经历建立函数模型解决实际问题的过程，体会数形结合的思想、函数与方程的思想、从特殊到一般的数学思想.3.通过运用信息技术画散点图，求拟合函数等，了解信息技术在解决数学问题中的辅助作用。

3.通过建立数学模型的过程，培养学生数学抽象、直观想象、数据分析、数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养。