余弦定理第1课时余弦定理(2) 作业高中数学必修5 苏教版含答案

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1.1.2余弦定理(第1课时)

ABC
9
中，当 C 为锐角时，
a 2 b2 c 2 ; 当C 为钝角时，a 2 b2 c 2 .
3.挑战题：三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为多少？
七、归纳小结
活动6：说一说，结一结
1.我最大的三点收获是： 2.我最大的两点反思是： 3.我最大的一点困惑是：
10
11
问题3：联系三角形两边及其夹角的知识有哪些？
三、尝试理解
活动2：读一读，说一说
问题5：课本上用向量的方法证明余弦定理，主要用到什么知识？
5
问题6：请你用其他的方法证明余弦定理？
三、尝试理解
活动2：读一读，说一说
问题7：尝试用多种语言描述余弦定理？
6
四、深度理解
活动3：辨一辨，思一思
问题8：根据问题情境2、课本例题3，思考如下变式问题。
1.掌握余弦定理，理解余弦定理与勾股定理之间的关系； —— 学会
3
2.能证明余弦定理；
——会学 3.体会余弦定理的美学价值，体验合作学习的快乐，增强学习信心。 ——乐学
二、寻找联系
活动1：读一读，想一想
问题1：初中学习判断两个三角形全等判定定理有哪些？
4
问题2：正弦定理是从哪些判定定理来精确刻画边角之间的数量关系？
7
变式：如图2，A、B两地之间隔着一个水塘，先选择另一点C，测得 CA 182m, CB 126m, ACB 63 , 求AB两地之间的距离（精确到1m）
五、交流分享
活动4：用一用，展一展
8
讨论余弦定理与勾股定理之间的联系与区别
六、实践反馈
活动5：练一练，查一查
1.必做题：完成课本第8页练习1； 2.选做题：用余弦定理证明：在

高中数学必修5：正弦定理与余弦定理知识点及经典例题(含答案)

高中数学必修5：正弦定理与余弦定理知识点及经典例题(含答案)
正弦定理、余弦定理和射影定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度。

其中，正弦定理表达了三角形边长和角度之间的关系，余弦定理则是通过两条边和它们之间的夹角计算第三条边的长度。

射影定理则是利用三角形中某个角的正弦值或余弦值来计算三角形中某条边的长度。

二、面积公式可以用来计算三角形的面积，其中a、b、c 分别为三角形的三条边，而对应的角度则可以通过正弦定理或余弦定理来计算。

三、在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。

同时，需要注意计算过程中的精度和单位。

学前诊断】
1.在△ABC中，若C=90，a=6，B=30，则c-b等于1.
2.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于30或60.
3.在△ABC中，c-a=b-ba，且∠C=90.
经典例题】
例1.在△ABC中，若∠A=45°，a=2，c=6，则∠B=45°，b=4.
例2.已知△ABC满足条件acosA=bcosB，可以判断
△ABC是等腰三角形。

例3.在△ABC中，已知b+c=6，求a的值。

根据余弦定理可得a²=(b+c)²-4bc，代入数据得a=2.
本课总结】
本课介绍了三角形中的正弦定理、余弦定理、射影定理和面积公式，这些定理可以帮助我们计算三角形的边长、角度和面积。

在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。

苏教版高中数学必修5第1章1.2余弦定理导学案设计(部分答案)

余弦定理导学案一、知识回顾余弦定理：余弦定理变形形式：余弦定理的本质二、例题分析题型一：解三角形例1(1)在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝37，则最大角为________；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝3a，则cos A＝________.方法归纳：已知三边解三角形的策略(1)已知三角形三边求角时，直接利用余弦定理的变形形式求出所求角的余弦值。

(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．对题练习1：在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，求△ABC的最大内角的正弦值．例2（1）在△ABC中，已知b＝3，c＝23，A＝30°，解三角形（2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，解三角形．方法归纳：已知两边及一角解三角形的策略(1)利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，然后利用正弦定理和三角形内角和定理求出另外两个角．(2)直接用正弦定理，先求角再求边，但要注意解的取舍题型二：判断三角形形状例3（1）在△ABC 中，若2sin A cos B ＝sin C ，则△ABC 的形状为________．变式：在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．方法归纳：判断三角形形状的两条途径(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．对题练习2 在△ABC 中，已知cos 2A 2＝b ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC 的形状．题型三：解决实际问题例4.在长江某渡口处，江水以5km/h 速度向东流。

【精品学案】2018-2019学年高中数学苏教版必修5学案：1.2.1 余弦定理(1) Word版含解析

1.2 余弦定理第1课时余弦定理(1)1．掌握余弦定理的两种形式及证明余弦定理的向量方法．(重点) 2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 余弦定理阅读教材P 13“思考”以上部分，完成下列问题．三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，A ＝π6，则a ＝________. 【解析】 a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1. 【答案】 12．在△ABC 中，若a ＝5，c ＝4，cos A ＝916，则b ＝________. 【解析】由余弦定理可知 25＝b 2＋16－2×4b cos A ，即b 2－92b －9＝0，解得b＝6.【答案】 6教材整理2余弦定理的变形阅读教材P13“思考”以下内容～P14，完成下列问题．1．余弦定理的变形cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ca，cos C＝a2＋b2－c22ab.2．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C 为锐角．1．在△ABC中，a＝3，b＝7，c＝2，则B＝________.【解析】cos B＝a2＋c2－b22ac＝9＋4－712＝12，∴B＝60°.【答案】60°2．在△ABC中，若b2＋c2－a2<0，则△ABC必为________三角形.【导学号：91730008】【解析】∵cos A＝b2＋c2－a22bc<0，∴A∈(90°，180°)．∴△ABC必为钝角三角形．【答案】钝角[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，解此三角形．【精彩点拨】法一：直接利用余弦定理求边、求角；法二：先利用正弦定理求角，再利用余弦定理求边．【自主解答】法一：由余弦定理知 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴2＝3＋c 2－23·22c ，即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22.当c ＝6＋22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°.故c＝6＋22，A＝60°，C＝75°或c＝6－22，A＝120°，C＝15°.法二：由正弦定理asin A＝bsin B，得sin A＝a sin Bb＝3·sin 45°2＝32.又∵a>b，∴A>B，∴A＝60°或120°. 当A＝60°时，得C＝75°.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝3＋2－2×6×6－24＝2＋3，∴c＝2＋3＝6＋2 2.或用正弦定理求边c，由csin C＝bsin B得c＝b sin Csin B＝2·sin 75°sin 45°＝2×6＋2422＝6＋22.当A＝120°时，得C＝15°，同理可求c＝6－22，故A＝60°，C＝75°，c＝6＋22，或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.已知两边及一角，求第三边和其他角，存在两种情况：(1)已知两边及其中一边的对角，可利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用方程的思想求得第三边，再求出其他角，可免去判断取舍的麻烦．(2)已知两边及其夹角，直接利用余弦定理求出第三边，然后利用正弦定理求出另外两角．[再练一题]1．在△ABC 中，若b ＝3，c ＝33，B ＝30°，解此三角形.【导学号：91730009】【解】法一由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°， ∴C ＝120°；当a ＝6时，由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1，∴A ＝90°， ∴C ＝60°.法二由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°. 当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6；当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a ＝3.综上所述，当a ＝3时，A ＝30°，C ＝120°；当a ＝6时，A ＝90°，C ＝60°.【精彩点拨】设a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k ，代入cos A ，cos B ，cos C 求解．【自主解答】设a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k >0)，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋(3＋1)2k 2－4k 226(3＋1)k 2＝22，∴A ＝45°.同理可得cos B ＝12，B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝75°.1．已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．2．若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边解三角形．[再练一题]2．已知△ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角．【解】 ∵c >a ，c >b ，∴角C 最大．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12. ∵0°<C <180°，∴C ＝120°. ∴△ABC 的最大内角为120°.[探究共研型]探究1 【提示】若△ABC 是锐角三角形，则⎩⎨⎧cos A >0，cos B >0，cos C >0，即⎩⎨⎧a 2＋b 2>c 2，b 2＋c 2>a 2，a 2＋c 2>b 2.探究2 若a 2＋b 2<c 2，则△ABC 是什么三角形．反之呢？【提示】若a 2＋b 2<c 2，则△ABC 是钝角三角形，反之不成立．若钝角△ABC 的三边长分别为a ，a ＋1，a ＋2，求实数a 的取值范围．【精彩点拨】首先a ，a ＋1，a ＋2需满足构成三角形的条件，其次要满足a ＋2对应的角为钝角．【自主解答】由题意知，a ＋2是三角形的最大边，故⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋(a ＋1)>a ＋2，a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)<0，即⎩⎨⎧a >0，a >1，a 2－2a －3<0，解得1<a <3.用余弦定理判断三角形的形状1．在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则0°<A <90°；反之，若0°<A <90°，则a 2<b 2＋c 2.2．在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则A ＝90°；反之，若A ＝90°，则a 2＝b 2＋c 2.3．在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则90°<A <180°；反之，若90°<A <180°，则a 2>b 2＋c 2.提醒：①判断三角形形状时，要灵活选用公式，做到事半功倍．②注意题目中的隐含条件，防止增解或漏解．[再练一题]3．若2,3，x 是锐角三角形的三边，求实数x 的取值范围．【解】由题意可知⎩⎨⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，1<x <5，即⎩⎨⎧－13<x <13，x >5或x <－5，1<x <5，∴5<x <13.[构建·体系]1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝________.【解析】由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝25＋9－492×5×3＝－12.∵0<∠BAC <π，∴∠BAC ＝23π.【答案】 23π2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝________. 【解析】 ∵c 2＝1＋4－2×1×2cos 60° ＝1＋4－2 ＝3， ∴c ＝ 3. 【答案】33．若△ABC 的三边长为2,3,4，则该三角形是______三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”)【解析】 ∵22＋32－42＝4＋9－16<0，∴该三角形是钝角三角形．【答案】钝角4．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝______.【导学号：91730010】【答案】 15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＋c2＝a2＋3bc，求：(1)A的大小；(2)2sin B cos C－sin(B－C)的值．【解】(1)由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝b2＋c2－a22bc＝3bc2bc＝32，所以A＝π6.(2)2sin B cos C－sin(B－C)＝2sin B cos C－(sin B cos C－cos B sin C) ＝sin B cos C＋cos B sin C＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A＝1 2.我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为________．【解析】 ∵c <b <a ，∴角C 最小， ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32，又C ∈(0°，180°)． ∴C ＝30°. 【答案】 30°2．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B ＝________.【解析】 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a22a ·2a＝34.【答案】 343．三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.【解析】 ∵5x 2－7x －6＝0的两根为－35，2，设已知两边夹角为C ，则cos C ＝－35(∵cos C ＝2>1，舍去)．∴sin C ＝1－cos 2C ＝45，∴S △ABC ＝12×3×5×45＝6 cm 2.【答案】 64．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．【解析】设顶角为C ，∵l ＝5c ，∴a ＝b ＝2c ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝4c 2＋4c 2－c 22×2c ×2c ＝78. 【答案】 785．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是________．【解析】由题可知，边长为7的边所对角为中间角，设为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12， ∴θ＝60°，∴最大角＋最小角＝120°.【答案】 120°6．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.【解析】由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b 2＝22＋c 2－2ac ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，∴b 2＝4＋(7－b )2＋(7－b )， ∴b ＝4.【答案】 47．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝______，sin A ＝________.【解析】在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，把a ＝1，b ＝2，cos C ＝14代入可得c ＝2.因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154.再由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，解得sin A ＝158.【答案】 2 1588．(2016·南京高二检测)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.【导学号：91730011】【解析】 ∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，∴3c ＝7b ，∴a ∶b ∶c ＝5∶3∶7.设a ＝5x ，b ＝3x ，c ＝7x ，则cos C ＝25x 2＋9x 2－49x 22×(5x )×(3x )＝－12.又C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.【答案】 2π3二、解答题9．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的大小；(2)求AB 的长．【解】 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c ＝2，a cos B－b cos A ＝72.(1)求b cos A 的值；(2)若a ＝4，求△ABC 的面积．【解】 (1)∵a cos B －b cos A ＝72，根据余弦定理得，a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝72，∴2a 2－2b 2＝7c ，又∵c ＝2，∴a 2－b 2＝7，∴b cos A ＝b 2＋c 2－a 22c ＝－34.(2)由a cos B －b cos A ＝72及b cos A ＝－34，得a cos B ＝114.又∵a ＝4，∴cos B ＝1116，∴sin B ＝1－cos 2B ＝31516，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3154.[能力提升]1．(2016·无锡高二检测)在△ABC 中，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．【解析】由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得a 2＋c 2－b 22ac ＝32×cos B sin B ，即cos B ＝32×cos B sin B ，∴sin B ＝32，又∵B 为△ABC 的内角，∴B 为π3或2π3.【答案】 π3或2π32．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，cos C ＝34，则BC →·CA→＝________. 【解析】在 △ABC 中，由余弦定理得|A B →|2＝|CA →|2＋|CB →|2－2|CA →|·|CB →|cos C ，即2＝|CA →|2＋1－2|CA →|×34， ∴|CA →|2－32|CA →|－1＝0，∴|CA →|＝2， ∴BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos(180°－C )＝－|BC→||CA →|cos C ＝－1×2×34＝－32.【答案】－323．若△ABC 是钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是________．【解析】 ∵b >a ，∴A 不可能为钝角．当B 为钝角时，⎩⎨⎧ a ＋c >b ，b 2>a 2＋c 2，即⎩⎨⎧ 3＋x >4，x 2<7，解得1<x <7；当C 为钝角时，⎩⎨⎧ a ＋b >c ，c 2>a 2＋b 2，即⎩⎨⎧3＋4>x ，x 2>25，解得5<x <7. 综上，x 的取值范围是(1，7)∪(5,7)．【答案】 (1，7)∪(5,7)4．已知四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝4，AD ＝6，且D ＝60°，试求四边形ABCD 的面积．【解】连结AC ，在△ACD 中，由AD ＝6，CD ＝4，D ＝60°，可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D ＝62＋42－2×6×4cos 60°＝28，在△ABC 中，由AB ＝2，BC ＝4，AC 2＝28，可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝22＋42－282×2×4＝－12.又0°<B<180°，故B＝120°.所以四边形ABCD的面积S＝S△ACD＋S△ABC＝12AD·CD sin D＋12AB·BC sin B＝12×6×4sin 60°＋12×2×4sin 120°＝8 3.。

余弦定理作业高中数学必修5 苏教版含答案

第1章解三角形1.2 余弦定理A级基础巩固一、选择题1．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2－a2－b22ab>0，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形解析：由题意知a2＋b2－c22ab<0，即cos C<0，所以△ABC为钝角三角形．答案：C2．在△ABC中，a＝1，b＝3，c＝2，则B等于() A．30°B．45°C．60°D．120°解析：cos B＝c2＋a2－b22ac＝4＋1－34＝12，所以B＝60°.答案：C3．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是() A．90°B．120°C．135°D．150°解析：设边长为7的边所对的角为θ，则由余弦定理得：cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，所以θ＝60°.所以最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：因为a 2＝b 2－c 2＋2ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22，又0°<B <180°，所以B ＝45°.答案：A5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC→的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19解析：由余弦定理的推论知cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝1935，所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19. 答案：D二、填空题6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C ＝_____________________________.解析：由3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0得a 2＋b 2－c 2＝－23ab ，从而cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－13.答案：－137．(2014·福建卷)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．解析：由余弦定理可知：cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝4＋AB 2－32×2AB＝12，所以AB ＝1. 答案：18．设2a ＋1，a ，2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________．解析：由题意知2a ＋1是三角形的最大边，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋2a －1>2a ＋1，a 2＋（2a －1）2－（2a ＋1）22a （2a －1）<0，所以2<a <8.答案：(2，8)三、解答题9．在△ABC 中，B ＝120°，若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，即b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以ac ＝3.故S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝334. 10．在△ABC 中，∠C ＝90°，现以a ＋m ，b ＋m ，c ＋m (m ＞0)为边长作一个△A ′B ′C ′，试判断△A ′B ′C ′的形状．解：最大边长c ＋m 所对角为C ′，则cos C ′＝（a ＋m ）2＋（b ＋m ）2－（c ＋m ）22（a ＋m ）（b ＋m ）＝（a 2＋b 2－c 2）＋2m （a ＋b －c ）＋m 22（a ＋m ）（b ＋m ）＝2m （a ＋b －c ）＋m 22（a ＋m ）（b ＋m ）＞0，所以C ′为锐角，而C ′为△A ′B ′C ′的最大角，故△A ′B ′C ′为锐角三角形．B 级能力提升一、选择题11．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4解析：设夹角为α，所对的边长为m ，则由5x 2－7x －6＝0，得(5x ＋3)(x －2)＝0，故得x ＝－35或x ＝2，因此cos α＝－35，于是m 2＝52＋32－2×5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝52，所以m ＝213. 答案：B12．在不等边三角形中，a 为最大边，如果a 2<b 2＋c 2，则A 的取值范围是( )A ．90°<A <180°B ．45°<A <90°C ．60°<A <90°D ．0°<A <90°解析：由余弦定理可知，cos A >0，故知A 为锐角，又A 是不等边三角形的最大角，故A >60°，所以60°<A <90°.答案：C13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则B ＝( )A.π6B.π3或2π3C.π6或5π6D.π3解析：由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ，再由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B，即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3. 答案：B二、填空题 14．(2014·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．解析：由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c . 代入b －c ＝14a ，整理得a ＝2c .故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c ·c ＝－14. 答案：－1415．已知△ABC 的三边a ，b ，c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则C ＝________．。

苏教版必修五1.1余弦定理(习题+解析)

苏教版必修五1.1余弦定理（习题+解析）高中数学余弦定理1. △ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，则=B cos ___________。

2. 在ABC ∆中，1413cos ,8,7===C b a ，则该三角形最大角的余弦值为__________。

3. 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD ＝BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则bcc b +的取值范围是____________。

4. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。

若（a ＋b －c ）（a ＋b ＋c ）＝ab ，则角C ＝________。

5. 在△ABC 中，BC=2，AC=1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D∴cosB ＝。

3. 解：因为BC 边上的高AD=BC=a ，所以，则，又，所以，其中有tanA=2，又由基本不等式有所以的取值范围。

4. 解：所以5. 解：设，，则在三角形BCD 中，由余弦定理可知αsin 22222++=a CD ，在三角形ABC 中，由余弦定理可知，可得，所以1622422-+-++=a a a CD ，令，则95]8)5([)5(28)5(171022222=++--+-⋅≤+--+=-+-+=t t t t t t t CD ，当时等号成立，即CD 长的最大值为3。

6. 解：（1）∵S △ABC =21bcsinA=21×3×8×sinA=63，∴sinA=23，∵A 为锐角，∴A=3π。

（2）由余弦定理知a=Abc c b cos 222-+=21832649⨯⨯⨯-+=7。

7. 解：（1）因为角成等差数列，所以，因为，所以。

因为，，，所以，所以或（舍去）。

（2）因为，所以因为，所以，所以当，即时，有最大值。

高中数学必修五同步练习及答案03：余弦定理2苏教

高中数学必修五同步练习：余弦定理（2）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题（题型注释）1．在△ABC中，已知3AB=，o120A=，且ABC∆的面积为153，则BC边长为．2．如图，割线PBC经过圆心O，1==PBOB，OB绕点O逆时针旋120 转到OD，连PD 交圆O于点E，则=PE______________________3．已知三角形的一边长为4，所对角为60°，则另两边长之积的最大值等于 .4．在ABC∆中，BC=52，AC=2，ABC∆的面积为4，则AB的长为 .5．如图所示，在平面四边形OMPN中，2OMP ONPπ∠=∠=，23MONπ∠=，3,4PM PN==，则OP=____________.6．在ABC∆中，120A=，5AB=，7BC=，则sinsinBC的值为______________.7．在ABC∆中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若1=a，45B∠=，ABC∆的面积2S=，则b边长为 .8．设△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a,b,c，若△ABC的面积为22()S a b c=--，则sin1cosAA-= .C BOPEPD9．在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若2220a b c +-=，则角C 的大小为．10．在ABC ∆中，060A ∠= ，M 是AB 的中点，若2,AB BC ==D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为____________.二、解答题11．（本小题满分12分）在ABC ∆中, c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且1cos cos sin sin 2A C A C +=．（1;（2）若a c +=b =求ABC ∆的面积．12．（本小题满分12分）已知向量()sin ,cos a x x ωω=，()cos b x xωω=()0>ω函数()23-=b a x f 的最小正周期为π. （1）求函数()x f 的单调增区间；（2）如果△ABC 的三边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,，且满足bc a c b 3222+=+求()A f 的值.参考答案1．7【解析】试题分析：由1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅即13sin12042AC ︒=⨯得5AC =，再由余弦定理可得2222cos 9251549BC AB AC AB AC A =+-⋅=++=，所以7BC =.考点：三角形面积公式和余弦定理. 2．773 【解析】试题分析：由余弦定理得，，所以PE =考点：三角形中的几何计算．3．16【解析】试题分析：设三角形的边长为,,a b c 其中460b B ==，,则2222cos60b a c ac =+-，即2216a c ac =+-，所以22162a c ac ac ac ac =+-≥-=，即16ac ≤，当且仅当4a c ==时取等号，所以两边长之积的最大值等于16.考点：余弦定理的应用，基本不等式.4．4或【解析】试题分析：由已知1sin 42ABC S BC ACC ∆=⋅⋅⋅=，∴sin 5C =故cos 5C=±，在ABC ∆中，当AB =，当cos C=时，AB =4，当cos C =时AB =考点：1、三角形的面积；2、同角三角函数基本关系式；3、余弦定理.5．3．【解析】试题分析：由四边形内角和为2π知3MPNπ∠=，在MNP ∆中，由余弦定理可得MN =，又OM P N 、、、四点共圆，2sin 3MNOP R π===．考点：正弦定理和余弦定理．6．35. 【解析】试题分析：由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即249255AC AC =++，整理得25240AC AC +-=，由于0AC >，解得3AC =，由正弦定理得sin 3sin sin sin 5AC AB B AC B C C AB =⇒==. 考点：1.余弦定理；2.正弦定理7 【解析】试题分析：11sin 12222S ac B c ==⨯⨯⨯=，所以c =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-(22121252=+-⨯⨯=，因此5b =. 考点：1.三角形的面积公式；2.余弦定理8．4【解析】试题分析：∵22()S a b c =--，∴2221sin 22bc A a b c bc =--+，∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =-+， ∴1sin 2cos 22A A =-+，∴sin 4cos 4A A =-+，∴sin 4(1cos )A A =-，∴sin 41cos A A =-. 考点：1.余弦定理；2.三角形面积公式.9．34π 【解析】试题分析：利用余弦定理变形得到cos C 值.222cos 2a b c C ab+-=又因为2220a b c +-=所以222a b c +-=∴cos 2C =-所以34C π= 考点：余弦定理10．2316【解析】试题分析：在ABC ∆中，20412cos 604AC AC +-=，解得4AC =，因为222AB BC AC +=,故090ABC ∠=，如图所示建立平面直角坐标系,则(1,0)M ，设点))x -（0x 2≤≤），所以DB DM ⋅=241312x x -+，故当138x =时，最小值为2316.x yM B A CD考点：1、向量的坐标表示；2、向量的数量积运算；3、余弦定理.11．（1）3π；（2）1635 【解析】试题分析：（1）利用公式化简，要熟练掌握公式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确，得到需要的形式，（2）在三角形中，注意π=++C B A 这个隐含条件的使用，在求范围时，注意根据题中条件限制角的范围．（3）在解决三角形的问题中，面积公式B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．试题解析：（1）由1cos cos sin sin 2A C A C +=得： 1cos()2A C +=-， 2分 ∴1cos 2B =，又0B π<< 4分 3B π∴= 6分（2）由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-== 7分 22()2122a c acb ac +--∴=， 8分又a c +=，b =27234ac ac ∴--=，54ac = 10分 115sin 224ABC S ac B ∆∴==⨯=． 12分考点：三角恒等变换、正余弦定理及面积公式．12．（1）()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ12,125；（2）23 【解析】试题分析：（1）利用两角和、差的余弦公式和降幂公式化简，得到()ϕω+=x A y sin 的形式；根据2,4x k k Z ππ+=∈得出函数的对称轴,28k x k Z ππ=-∈；（3）把ϕω+x 看作一个整体代入x y sin =相应的单调范围即：πππππk x k 223222+≤+≤+-，注意首先应把ω化为正数,这也是容易出错的地方.试题解析：（1）()23cos 3cos sin 232-+=-⋅=x x x b a x f ωωω x x ωω2cos 232sin 21+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πωx 3分 ∵()x f 的最小正周期为π，且ω＞0 ∴,22πωπ=∴ 1=ω 4分 ∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 由ππk 22+-≤32π+x ≤Z k k ∈+,22ππ5分得()x f 的增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ12,125 6分（2）由,3222bc a c b +=+∴,3222bc a c b =-+ 又由bca cb A 2cos 222-+=2323==bc bc 8分 ∴在ABC ∆中，6π=A 9分 ∴()32sin 32sin ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==x A f 23= 12分考点：三角函数的化简及性质.。

高中数学三维设计苏教版必修5讲义：第一章+1.2 余弦定理

余弦定理第一课时余弦定理[新知初探]1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C.[点睛]注意公式中边角的对应，注意公式中加减号．2．余弦定理的变形：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝c2＋a2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.[小试身手]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝3，B＝60°.则b＝________.解析：由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以b＝7.答案：72．在△ABC中，若a＝b＝1，c＝3，则角C＝________.解析：由cos C＝a2＋b2－c22ab得cos C＝－12，所以C＝2π3.答案：2π33．在△ABC中，已知23ab sin C＝a2＋b2－c2，则C＝________.解析：由23ab sin C＝a2＋b2－c2得23sin C＝a2＋b2－c2ab，由余弦定理cos C＝a2＋b2－c22ab，所以3sin C＝cos C，即tan C＝33，在△ABC中，0<C<π，所以C＝π6.答案：π64．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，b＝4，cos B＝1 4.则边c的长度为________．解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B得16＝a2＋4a2－4a2×14，所以a＝2，c＝4.答案：4[典例]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝7，b＝5，c＝3，求△ABC的内角中最大的角．[解]∵a>b>c，∴A最大．cos A＝b2＋c2－a22bc＝52＋32－722×5×3＝－12.又∵0°<A<180°，∴A＝120°.[活学活用]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c＝3，则B＝________.解析：由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝1＋3－72×1×3＝－32.又∵0°<B<180°，∴B＝150°.答案：150°2．在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，则A＝________. 解析：∵a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k>0)．由余弦定理的变形得，cos A＝b2＋c2－a22bc＝6k2＋(3＋1)2k2－4k22×6k×(3＋1)k＝22.∴A＝45°.答案：45°[典例][解]法一：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B．∴2＝3＋c2－23·22c. 即c2－6c＋1＝0.解得c＝6＋22或c＝6－22，当c＝6＋22时，由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.当c＝6－22时，由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝2＋⎝⎛⎭⎪⎫6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°<A <180°，∴A ＝120°，C ＝15°. 故c ＝6＋22，A ＝60°，C ＝75° 或c ＝6－22，A ＝120°，C ＝15°. 法二：由正弦定理a sin A ＝b sin B得， sin A ＝a sin B b ＝3·sin 45°2＝32.又∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，得C ＝75°. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3＋2－2×6×6－24＝2＋3， ∴c ＝2＋3＝6＋22. 或用正弦定理求边c ，由c sin C ＝bsin B 得c ＝b sin C sin B ＝2·sin 75°sin 45°＝2×6＋2422＝6＋22.当A ＝120°时，得C ＝15°，同理可求c ＝6－22，故A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22，或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.[活学活用]1．在△ABC 中，已知a ＝8，b ＝7，B ＝60°，则c ＝________. 解析：由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即72＝82＋c 2－16c cos 60°.即c 2－8c ＋15＝0. 解得c ＝3或c ＝5. 答案：3或52．在△ABC 中，B ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin A ＝________.解析：由余弦定理可得AC 2＝9＋2－2×3×2×22＝5，所以AC ＝ 5.再由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A，所以sin A ＝BC ·sin B AC ＝3×225＝31010.答案：31010题点一：利用余弦定理实现角化边1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________. 解析：由余弦定理得b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a ＝2b ，即ab＝2. 答案：2题点二：利用余弦定理实现边化角2．在△ABC 中，若lg(a ＋c )＋lg(a －c )＝lg b －lg 1b ＋c ，则A ＝________.解析：由题意可知lg(a ＋c )(a －c )＝lg b (b ＋c )，所以(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )．即b 2＋c 2－a 2＝－bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又0°<A <180°，所以A ＝120°. 答案：120°层级一学业水平达标1．在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝3ab ，则C ＝________.解析：由a 2－c 2＋b 2＝3ab ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，所以C ＝30°.答案：30°2．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 解析：由余弦定理 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得， 3＝a 2＋1－2a ×1×cos 2π3，即a 2＋a －2＝0.解得a ＝1或a ＝－2(舍去)． ∴a ＝1. 答案：13．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，整理得15b －60＝0，所以b ＝4. 答案：44．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角的大小为________．解析：∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32，∴C ＝π6. 答案：π65．已知在△ABC 中，b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B ＝________.解析：∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.答案：346．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC 的形状是________．解析：在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13， ∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，故令a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k 2＝－23110<0，又因为C ∈(0，π)，所以，C ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以△ABC 为钝角三角形．答案：钝角三角形7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.解析：由已知得3b cos A ＝a cos C ＋c cos A ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b .∴cos A ＝b 3b ＝33. 答案：338．在△ABC 中，下列结论：①若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为120°； ③若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的为________(填序号)．解析：①中，a 2>b 2＋c 2可推出cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，即A 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形；②中，由a 2＝b 2＋c 2＋bc 知，cos A ＝－bc 2bc ＝－12，∴A 为120°；③中a 2＋b 2>c 2可推出C 为锐角，但△ABC 不一定为锐角三角形；所以①②正确，③错误．答案：①②9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求边长a .解：由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac .又因为a ＋c ＝4，b ＝13，所以ac ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，ac ＝3，解得a ＝1，c ＝3，或a ＝3，c ＝1.所以a 等于1或3.10．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边长c .解：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.层级二应试能力达标1．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，则角C 的大小为________．解析：∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴cos C ＝12，∴C ＝60°.答案：60°2．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c 的长为________．解析：由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，∴c ＝19.答案：193．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是________．解析：设边长为7的边所对角为θ，根据大边对大角，可得cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，∴180°－60°＝120°， ∴最大角与最小角之和为120°. 答案：120°4．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为________．解析：由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－(13)22×3×4＝12，所以sin A ＝32.则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332. 答案：3325．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2－c 2＝4，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43. 答案：436．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.解析：由3sin A ＝5sin B 可得3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，所以可令a ＝5t (t >0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(5t )2＋(3t )2－(7t )22×5t ×3t＝－12，故C ＝2π3.答案：2π37．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c ＝2，a cos B －b cos A ＝72.(1)求b cos A 的值；(2)若a ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)∵a cos B －b cos A ＝72，根据余弦定理得，a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝72，∴2a 2－2b 2＝7c ，又∵c ＝2，∴a 2－b 2＝7， ∴b cos A ＝b 2＋c 2－a 22c ＝－34.(2)由a cos B －b cos A ＝72及b cos A ＝－34，得a cos B ＝114.又∵a ＝4，∴cos B ＝1116，∴sin B ＝1－cos 2B ＝31516， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3154.8．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求边AB 的长； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4的值．解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A，即AB ＝sin C ·BCsin A ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255.于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35.故sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.第二课时余弦定理的应用(习题课)[典例] 地平面上有一旗杆OP ，为了测量它的高度，在地平面上取一基线AB ＝40 m ，在A 处测得P 点的仰角∠OAP ＝30°，在B 处测得P 点的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度(精确到0.1 m)[解] 如图所示，设OP ＝x m ，在△AOP 中，∵∠POA ＝90°，∠OAP ＝30°，∴AO ＝3x . 在△BOP 中，∵∠POB ＝90°，∠OBP ＝45°，∴BO ＝x . 在△AOB 中，∠AOB ＝60°，AB ＝40， ∴AB 2＝AO 2＋BO 2－2AO ·BO cos ∠AOB ，即1 600＝3x 2＋x 2－23x ×x ×12，∴x 2＝1 6004－3，∴x ＝40 4＋313≈26.6(m)．因此旗杆高约为26.6 m.[活学活用]1．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船到达商船．解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A ，B ，C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°.在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°， ∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)．答案：4032．如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，与观测站A 距离202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处，且cos θ＝45.已知A ，C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．解析：因为 cos θ＝45，0°<θ<45°，所以sin θ＝35，cos(45°－θ)＝22×45＋22×35＝7210，在△ABC 中，BC 2＝800＋100－2×202×10×7210＝340，所以BC ＝285，该货船的船速为485海里/小时．答案：485[典例] 在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝3132，且AD ＝BD ，求△ABC 的面积．[解] 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝5－x ，在△CAD 中，由余弦定理，得 cos ∠CAD ＝(5－x )2＋42－x 22×4×(5－x )＝3132.解得x ＝1.在△CAD 中，由正弦定理，得AD sin C ＝CDsin ∠CAD ，∴sin C ＝ADCD·1－cos 2∠CAD ＝41－⎝⎛⎭⎫31322＝378，∴S △CAB ＝12AC ·BC ·sin C＝12×4×5×378＝1574. 故三角形ABC 的面积为1574.已知梯形ABCD 的上底AD 长为1 cm ，下底BC 长为4 cm ，对角线AC 长为4 cm ，BD 长为3 cm ，求cos ∠DBC 及梯形ABCD 的面积．解：过D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，则在△DBE 中，DE ＝AC＝4，BE ＝5，所以，由余弦定理得 cos ∠DBC ＝32＋52－422×3×5＝35.因为0°<∠DBC <180°，所以sin ∠DBC ＝45，sin ∠ADB ＝45，S 梯形ABCD ＝S △ABD ＋S △DBC ＝12AD ·BD ·sin ∠ADB ＋12DB ·BC ·sin ∠DBC ＝6.[典例] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2(B ＋C )>sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 的形状为________．[解析] 由题意得sin 2A >sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2>b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2<0. ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0，∴A 为钝角，即三角形为钝角三角形．[答案] 钝角三角形[一题多变]1．[变条件]本例的条件变为：若2sin A cos B ＝sin C ，则△ABC 的形状为________．解析：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin (A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，即△ABC 是等腰三角形．法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .即△ABC 是等腰三角形．答案：等腰三角形2．[变条件]本例的条件变为：若2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．且sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，所以cos A ＝－12，sin A ＝32，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，所以sin B ＝sin C ＝12.因为0<B <π2，0<C <π2，故B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰钝角三角形．层级一学业水平达标1．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a >b >c ，a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是________．解析：因为a 2<b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0，所以A 为锐角，又因为a >b >c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2.答案：⎝⎛⎭⎫π3，π2 2．在△ABC 中，abc a 2＋b 2＋c 2⎝⎛⎭⎫cos A a＋cos B b ＋cos C c ＝________. 解析：原式＝abca 2＋b 2＋c 2·bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C abc ＝bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ×a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ×a 2＋b 2－c 22ab a 2＋b 2＋c 2＝12. 答案：123．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，经测量，∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为______ km.解析：AC 2＝102＋202－2×10×20×cos 120°， ∴AC ＝107. 答案：1074．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________．解析：由题意，根据正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ⇒b 2＋c 2－a 2≥bc ⇒b 2＋c 2－a 2bc≥1⇒cosA ≥12⇒0<A ≤π3.答案：⎝⎛⎦⎤0，π3 5．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________.解析：用余弦定理求得：AB 2＝ BD 2＋AD 2－2AD ·BD cos 135°， AC 2＝CD 2＋AD 2－2AD ·CD cos 45°，即AB 2＝BD 2＋2＋2BD ， ① AC 2＝CD 2＋2－2CD ， ②又BC ＝3BD ，∴CD ＝2BD . ∴AC 2＝4BD 2＋2－4BD .③又AC ＝2AB ，∴由③得2AB 2＝4BD 2＋2－4BD . ④④－2×①得，BD 2－4BD －1＝0. ∴BD ＝2＋ 5. 答案：2＋ 56．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为________ km/h.解析：设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎫110v 2＝⎝⎛⎭⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.答案：6 27．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：∵cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12，∴B ＝60°.∴AD ＝AB sin B ＝ 3. 答案： 38．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB ＝10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为________小时．解析：如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处，则AC ＝6t .∵∠BAC ＝120°，∴DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos 120°＝28t 2－20t ＋100.当t ＝514时，DC 2最小，DC 最小，此时它们所航行的时间为514小时．答案：5149．要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度．解：如图，设电视塔AB 高为x m ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°得在Rt △ADB 中，∠ADB ＝30°，则BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理得， BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°，即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40米．10．在△ABC 中，已知cos 2A 2＝b ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC的形状．解：在△ABC 中，由已知cos 2A 2＝b ＋c 2c 得1＋cos A 2＝b ＋c2c ，∴cos A ＝bc .根据余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形．层级二应试能力达标1．在△ABC 中，若CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AB 边的中线长________．解析：如图所示，在△ABC 中，cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC＝81＋64－492×9×8＝23， ∴CD 2＝AD 2＋AC 2－2×AD ×AC cos A ＝⎝⎛⎭⎫922＋82－2×92×8×23＝1454. ∴中线CD 的长为1452. 答案：14522．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，且AC ＝2AB ＝2AD ＝4，则BD ＝________. 解析：如图所示，设BD ＝DC ＝x ，因为∠ADB ＋∠ADC ＝180°，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC ，又AC ＝2AD ＝2AB ＝4，由余弦定理得x 2＋4－42×2x ＝－4＋x 2－162×2x，解得x ＝6(x ＝－6舍去)．即BD ＝ 6.3．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．答案：10 34．在△ABC 中，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状是________．解析：∵b 2＝ac ，B ＝60°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形5．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________．解析：a 2＋b 2＝c 2，三边都增加x ，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形．答案：锐角三角形6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．解析：由c 2＝(a －b )2＋6可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6. ① 由余弦定理及C ＝π3可得a 2＋b 2－c 2＝ab .②所以由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.答案：3327.如图所示，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长．解：在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8xsin B，∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32. ∴C ＝60°(C ＝120°舍去，由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)．由余弦定理得(7x )2＝(8x )2＋152－2×8x ×15cos 60°， ∴x 2－8x ＋15＝0.∴x ＝3或x ＝5，∴AB ＝21或AB ＝35. 在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ， ∴AD ＝123或AD ＝20 3.8．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S .解：如图，连结BD ，则S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ， ∴S ＝12sin A (AB ·AD ＋BC ·CD )＝16sin A .在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，由余弦定理，得BD 2＝CD 2＋BC 2－2CD ·BC cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12，∴A ＝120°，∴S ＝16sin A ＝8 3.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.2 第1课时余弦定理及其直接应用

1.1.2 余弦定理第1课时余弦定理及其直接应用学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.知识点一余弦定理思考1 根据勾股定理，在△ABC 中，C ＝90°，则c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？答案当a ＝b ＝c 时，C ＝60°，a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2＋c 2－2c ·c cos 60°＝c 2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC ，都有c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .思考2 在c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 中，ab cos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？答案 ab cos C ＝|CB →||CA→CB →，CA →＝CB →·CA →.∴a 2＋b 2－2ab cos C ＝CB →2＋CA →2－2CB →·CA →＝(CB →－CA →)2＝AB →2＝c 2. 猜想得证.梳理余弦定理的公式表达及语言叙述特别提醒：余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量. 知识点二适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考1 观察知识点一梳理表格第一行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形.思考2 观察知识点一梳理表格第三行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形.梳理余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形.1.勾股定理是余弦定理的特例.(√)2.余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素.(√)3.在△ABC 中，已知两边及夹角时，△ABC 不一定唯一.(×)类型一余弦定理的证明例1 已知△ABC ，BC ＝a ，AC ＝b 和角C ，求c 的值. 考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的理解解如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，由AB →＝CB →－CA →，知c ＝a －b ，则|c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b ) ＝a ·a ＋b ·b －2a ·b ＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C . 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c ＝a 2＋b 2－2ab cos C .反思与感悟所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方. 跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的理解解如图，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (c ,0)， C (b cos A ，b sin A )，∴BC 2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 类型二用余弦定理解三角形命题角度1 已知两边及其夹角例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c 等于( ) A.4 B.15 C.3D.17考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其夹角解三角形答案 D解析由三角形内角和定理可知 cos C ＝－cos(A ＋B )＝－13，又由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×⎝⎛⎭⎫－13＝17，所以c ＝17.反思与感悟已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角.跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A . 考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其夹角解三角形解由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－43，所以c ＝6－ 2.由正弦定理，得sin A ＝a sin C c ＝12，因为b >a ，所以B >A ，所以A 为锐角，所以A ＝30°. 命题角度2 已知三边例3 在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A ，B ，C . 考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三解形解根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝(6＋23)2＋(43)2－(26)22×(6＋23)×(43)＝32. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝(26)2＋(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23)＝22， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝7π12，∴A ＝π6，B ＝7π12，C ＝π4.反思与感悟已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝b 2＋a 2－c 22ba 先求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理.跟踪训练3 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，判断三角形的形状. 考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形解因为a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，所以可令a ＝2k ，b ＝4k ，c ＝5k (k >0). c 最大，cos C ＝(2k )2＋(4k )2－(5k )22×2k ×4k <0，所以C 为钝角，从而三角形为钝角三角形.1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的第三边长为( )A.52B.213C.16D.4 考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其夹角解三角形答案 B解析设第三边长为x ，则x 2＝52＋32－2×5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝52，∴x ＝213. 2.在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角且C 为锐角，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32. 又∵C 为锐角，∴C ＝π6.3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32 D.78 考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案 D解析设顶角为C ，周长为l ，因为l ＝5c ，所以a ＝b ＝2c ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4c 2＋4c 2－c 22×2c ×2c ＝78.4.在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则c 2＝ .考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其夹角解三角形答案 30－4 6解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(32)2＋(23)2－2×32×23×13＝30－4 6.5.在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ .考点余弦定理及其变形应用题点用余弦定理求边或角的取值范围答案 1解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0.∴a ＝1或a ＝－2(舍去).∴a ＝1.1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角，解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角.2.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.一、选择题1.在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ca ＝2a 22a ＝a ＝2.2.在△ABC 中，已知B ＝120°，a ＝3，c ＝5，则b 等于( ) A.4 3 B.7 C.7 D.5 考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其夹角解三角形答案 C解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，∴b ＝7. 3.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A.90° B.120° C.135° D.150° 考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案 B解析设中间角为θ，则θ为锐角，cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求.4.在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ×2a＝34.5.若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A.19 B.14 C.－18 D.－19 考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用答案 D解析设三角形的三边分别为a ，b ，c ，依题意得，a ＝5，b ＝6，c ＝7.∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝－ac ·cos B . 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，∴－ac ·cos B ＝12(b 2－a 2－c 2)＝12(62－52－72)＝－19，∴AB →·BC →＝－19.6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C 等于( )A.1B.2C.12D.34考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案 A解析由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a cos Ac＝4cos A3＝1.7.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从点O 沿OD 走到点D 用了2 min ，从点D 沿DC 走到点C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为( ) A.50 m B.45 m C.507 m D.47 m 考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其夹角解三角形答案 C解析依题意得OD ＝100 m ， CD ＝150 m ，连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°，因此由余弦定理，得OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ×CD ×cos ∠ODC ，即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12，解得OC ＝507(m).8.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B.8－4 3C.1D.23 考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用答案 A解析 (a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴3ab ＝4，∴ab ＝43.二、填空题9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2<c 2，且sin C ＝32，则C ＝ .考点余弦定理及其变形应用题点用余弦定理求边或角的取值范围答案2π3解析因为a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以三角形是钝角三角形，且C >π2.又因为sin C ＝32，所以C ＝2π3. 10.在△ABC 中，A ＝60°，最大边长与最小边长是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根，则边BC 的长为 .考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理与一元二次方程结合问题答案57解析设内角B ，C 所对的边分别为b ，c .∵A ＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b ，c .由条件可知b ＋c ＝9，bc ＝8，∴BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝92－2×8－2×8×cos 60°＝57，∴BC ＝57.11.在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是 . 考点余弦定理解三解形题点已知三边解三角形答案3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC＝22，∵C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝3. 三、解答题12.在△ABC 中，已知A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c . 考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用解由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，所以49＝64－2bc ⎝⎛⎭⎫1－12，即bc ＝15, 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝8，bc ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，c ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝5，c ＝3. 13.在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.考点用余弦定理解三角形题点余弦定理解三角形综合问题解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又0<B <π，所以B ＝π4. (2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A,0<A <3π4. 所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A＝2cos A ＋cos3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. ∵0<A <3π4，∴π4<A ＋π4<π，故当A ＋π4＝π2，即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1. 四、探究与拓展14.已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1无公共点，则△ABC 的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定考点判断三角形形状题点利用余弦定理判断三角形形状答案 B解析 ∵直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1无公共点，∴圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2>1，即a 2＋b 2－c 2<0，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，又C ∈(0，π)，∴C 为钝角.故△ABC 为钝角三角形.15.在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为 . 考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案 7解析由条件知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理，知x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2×AC 2×AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，所以x ＝7.所以AC 边上的中线长为7.。

高中数学必修五同步练习及答案：余弦定理苏教

高中数学必修五同步练习：余弦定理（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一.填空题1．在ABC ∆中，若()ac B b c a ⋅=⋅-+3tan 222，则角B= .2．ABC ∆中,三边之比4:3:2::=c b a ，则最大角的余弦值等于 .3．在△ABC 中，,10922cos 2=+=c c b A c=5, △ABC 的内切圆的面积是。

4．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为 .5．在△ABC 中,若222c b a <+,且sin C =23,则∠C = 6．在ABC ∆中，60,4,23A b a =︒==,则ABC ∆的面积等于___ __. 7．已知△ABC 外接圆半径是2 cm ，∠A ＝60°，则BC 边长为__________．8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin cos21A B B C B ++=．若23C π=，则ab= ． 9．ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，则三角形的形状为 .10．在ABC ∆中，已知22223sin ab C a b c =+-，则C ∠= . 二.解答题11．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且tan 22A = （Ⅰ）求sin2A ；（Ⅱ）若AB AC ⋅=4，且8b c +=，求a ．12．（本题满分12分）在△ABC 中，已知A=4π，255cos B =．（I ）求cosC 的值；（Ⅱ）若5D 为AB 的中点，求CD 的长．参考答案1．3π或23π【解析】试题分析：32cos tan 3sin 2ac B B ac B B ⨯=⇒=∴=3π或23π.考点：解三角形. 2．14-【解析】试题分析：在三角形中，由大边对大角可得。

2018年苏教版数学必修5 第1章 1.2 余弦定理第1课时余弦定理(2)

第2课时余弦定理(2)1．理解余弦定理，能用余弦定理确定三角形的形状．2．熟练边角互化．(重点)[基础·初探]教材整理射影定理和平行四边形的性质定理阅读教材P16～P17，完成下列问题．1．射影定理在△ABC中，(1)b cos C＋c cos B＝a；(2)c cos A＋a cos C＝b；(3)a cos B＋b cos A＝c.2．平行四边形性质定理平行四边形两条对角线平方的和等于四边平方的和．特别地，若AM是△ABC中BC边上的中线，则AM21．在△ABC中，若BC＝3，则c cos B＋b cos C＝.【解析】c cos B＋b cos C＝BC＝3.【答案】 32．若△ABC中，AB＝1，AC＝3，A＝60°，则BC边上的中线AD＝. 【解析】在△ABC中，由余弦定理可知BC＝7.∴AD＝122(AB2＋AC2)－BC2＝122(1＋9)－7＝132. 【答案】132[小组合作型]正沿南偏东75°的方向以10 n mile/h 的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14 n mile/h 的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？⎝ ⎛⎭⎪⎫已知sin 38°13′＝5314【精彩点拨】先画出示意图，再借助正、余弦定理求解．【自主解答】如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x h 后在B 处追上走私船，则CB ＝10x ，AB ＝14x ，AC ＝9，∠ACB ＝75°＋45°＝120°，由余弦定理，得(14x )2＝92＋(10x )2－2×9×10x cos 120°，化简得32x 2－30x －27＝0，即x ＝32或x ＝－916(舍去)，∴巡逻艇需要1.5 h 才追赶上该走私船． ∴BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21. 在△ABC 中，由正弦定理，得 sin ∠BAC ＝BC sin 120°AB ＝1521×32＝5314.∴∠BAC ＝38°13′，或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)， ∴38°13′＋45°＝83°13′.答巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5 h 才追赶上该走私船．准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、方位角等，将要求解的问题归纳到一个或几个三角形中，通过合理运用余弦定理等解三角形的有关知识，建立数学模型，然后正确求解.[再练一题]1．两船同时从A 港出发，甲船以20 n mile/h 的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以12 n mile/h 的速度向北偏西40°方向航行，求一小时后，两船相距多少n mile.【解】一小时后甲船到B 处，乙船到C 处，如图，△ABC 中，AB ＝20，AC ＝12，∠CAB ＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC 2＝202＋122－2×20×12·cos 120°＝784，∴BC ＝28(n mile)．即一小时后，两船相距28 n mile.试确定△ABC 的形状.【导学号：92862015】【精彩点拨】 (a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ―――→余弦定理求C ； 2cos A sin B ＝sin C ――――――→法一：恒等变换法二：正、余弦定理求A 与B 的关系．【自主解答】 ∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴2ab cos C ＝ab ， ∴cos C ＝12，∴C ＝π3.法一：又2cos A sin B ＝sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， ∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B ， ∴A ＝B ＝C ＝π3， ∴△ABC 为等边三角形．法二：由2cos A sin B ＝sin C 可知 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝c ，即b 2＝a 2，∴a ＝b ， ∴A ＝B ＝C ＝π3， ∴△ABC 为等边三角形．利用正、余弦定理判定三角形形状的策略[再练一题]2．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．【解】法一根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c . 又∵2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2a ，即b ＝a . ∴△ABC 是正三角形．法二根据正弦定理， 2b ＝a ＋c 可转化为 2sin B ＝sin A ＋sin C .又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，∴C ＝120°－A ， ∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A )，整理得sin(A ＋30°)＝1，∴A ＝60°， C ＝60°，∴△ABC 是正三角形．[探究共研型]【提示】如图，易知AB cos B ＝BD ，AC cos C ＝CD ，又BD ＋CD ＝BC ，故AB cos B ＋AC cos C ＝BC .探究2 在△ABC 中，若AD 是∠BAC 的平分线，则BD 与DC 有什么关系？【提示】 BD ∶DC ＝AB ∶AC .探究3 在△ABC 中，若AD 是BC 边上的中线，则AD 与AB ，AC ，BC 间存在怎样的等量关系？【提示】 4AD 2＝2(AB 2＋AC 2)－BC 2.△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【精彩点拨】 (1)利用正弦定理和三角形的面积公式求解即可．(2)利用余弦定理和(1)中得到的结论求解．【自主解答】 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD . 因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.1．平面几何中的面积、长度问题常借助正、余弦定理求解，合理转化已知条件是求解此类问题的关键．2．求解此类问题要特别注意隐含条件的挖掘，如(1)中隐含角平分线的性质定理；(2)中隐含着∠ADB ＋∠ADC ＝180°.[再练一题]3.如图1-2-1，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，求AD 的长度．图1-2-1【解】在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝32， ∴sin C ＝12.在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝ACsin ∠ADC ，∴AD ＝222×12＝ 2.1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝4b sin A ，则cos B ＝ .【解析】 ∵a ＝4b sin A ，由正弦定理知sin A ＝4sin B sin A ，∴sin B ＝14，cosB ＝1－sin 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 【答案】1542．若平行四边形两邻边的长分别是3和6，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是．【解析】两条对角线的长分别为(3)2＋(6)2－2×3×6×cos 45°＝3和 (3)2＋(6)2－2×3×6×cos 135°＝15. 【答案】3153．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，经测量，∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为 km.【导学号：92862016】【解析】 AC 2＝102＋202－2×10×20×cos 120°， ∴AC ＝107. 【答案】 1074．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状为．【解析】 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－ac ＝ac ， ∴a 2－2ac ＋c 2＝0，∴a ＝c .又∵B ＝60°，∴△ABC 为正三角形．【答案】正三角形5．如图1-2-2所示，在四边形ABCD 中，BC ＝20，DC ＝40，图1-2-2B ＝105°，C ＝60°，D ＝150°，求： (1)AB 的长；(2)四边形ABCD 的面积．【解】 (1)连结BD ，因为∠ABC ＝105°，C ＝60°，∠ADC ＝150°，所以A ＝360°－105°－60°－150°＝45°. 在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝202＋402－2×20×40×12＝1 200，于是BD ＝20 3.因为BD 2＋BC 2＝CD 2，所以∠CBD ＝90°.所以∠ABD ＝105°－90°＝15°，∠ADB ＝180°－45°－15°＝120°. 在△ABD 中，AB sin ∠ADB ＝BD sin A ，所以AB ＝BD sin ∠ADB sin A＝203sin 120°sin 45°＝30 2.(2)因为sin 15°＝sin(45°－30°)＝6－24，所以四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD ＝S △DBC ＋S △DBA＝12×20×203＋12×203×302×6－24＝50(9＋3)．。

苏教版高中数学必修五余弦定理同步练习

余弦定理（1）●作业导航掌握余弦定理，理解余弦定理与勾股定理的关系，知道利用余弦定理的变形式求边与角，会解已知两边和它们的夹角或三边的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC中，已知b＝43，c＝23，∠A＝120°，则a等于()A．221B．6C．221或6 D．23615+2．在△ABC中，已知三边a、b、c满足(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，则∠C等于()A．15°B．30°C．45°D．60°3．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是()A．135°B．90°C．120°D．150°4．在△ABC中，若c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，则∠C等于()A．90°B．120°C．60°D．120°或60°5．已知A、B、C是△ABC的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为()A．sin2A＝sin2B＋sin2C＋2sin B sin C cos(B＋C)B．sin2B＝sin2A＋sin2C＋2sin A sin C cos(A＋C)C．sin2C＝sin2A＋sin2B-2sin A sin B cos CD．sin2(A＋B)＝sin2A＋sin2B-2sin B sin C cos(A＋B)二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC中，A＝60°，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是________．2．在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝1413，则最大角的余弦值是________．3．若△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝1，则面积S的取值范围是________．4．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则cabcba+++＝________．5．在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cos C＝109，则BC＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．已知a＝33，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．2．a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝123，bc＝48，b-c＝2，求a．3．在△ABC中，a，b，c分别是三内角A、B、C的对边，且ccaBC-=2cotcot，a2＋b2＝c2＋2ab，求A．4．已知△ABC的三边长a、b、c和面积S满足S＝a2-(b-c)2，且b＋c＝8，求S的最大值．5．已知a、b、c为△ABC的三边，且a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0，求这个三角形的最大内角．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．A 分析：由余弦定理得:a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A ＝48＋12-2×43×23×(-21)＝84，∴ a ＝221．2．D 分析：由(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，得a 2＋2ab ＋b 2-c 2＝3ab∴ 212222=-+ab c b a ，∴cos C ＝60°3．C 分析：由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7知三角形的三边之比为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，最大的边为c ，∴ 最大的角为∠C ．由余弦定理得cos C ＝21532)7()5()3(222-=⨯⨯-+k k k k k ， ∴ ∠C ＝120°．4．D 分析：由c 4-2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，得(a 2＋b 2)2-2(a 2＋b 2)c 2＋c 4＝a 2b 2， ∴ (a 2＋b 2-c 2)2＝a 2b 2，∴ a 2＋b 2-c 2＝±ab ，∴cos C ＝212222±=-+ab c b a ， ∴ ∠C ＝120°或∠C ＝60°．5．D 分析：∵sin 2A ＝(R a 2)2，sin 2B ＝(R b 2)2，sin 2C ＝(R c 2)2∴ 四个选项分别可化为:a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A b 2＝a 2＋c 2-2ac cos B c 2＝a 2＋b 2-2ab cos C c 2＝a 2＋b 2＋2ab cos C显然c 2＝a 2＋b 2＋2ab cos C 不对．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．57 分析：∵ A ＝60°，∴ 最大边和最小边所夹的角为A ，AB 、AC 为x 2-9x ＋8＝0的两个正实数根，则AB ＋AC ＝9，AB ×AC ＝8 ∴ BC 2＝AB 2＋AC 2-2×AC ×AB ×cos A＝(AB ＋AC )2-2×AC ×AB ×(1＋cos A )＝92-2×8×23＝572．-71分析：先由c 2＝a 2＋b 2-2ab cos C 求出c ＝3，∴最大边为b ，最大角为B ，∴cos B ＝712222-=-+ac b c a ． 3．(0，163]分析：S △ABC ＝21ab sin C ＝43ab ＝16341434)(432=⋅=+⋅≤b a(0<a <1)可得0<S △ABC ≤163．4．1 分析：∵ ∠C ＝60°，∴ cos C ＝21，∴ a 2＋b 2＝c 2＋ab ，∴ a 2＋ac ＋b 2＋bc ＝c 2＋ab ＋ac ＋bc ∴ a (a ＋c )＋b (b ＋c )＝c (c ＋a )＋b (a ＋c ) ∴ a (a ＋c )＋b (b ＋c )＝(c ＋a )(b ＋c )∴c a bc b a +++＝15．4或5分析：设BC ＝x ，则5＝x 2＋25-2·5·x ·109，即x 2-9x ＋20＝0，解得x ＝4或x ＝5．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：b 2＝a 2＋c 2-2ac cos B ＝(33)2＋22-2·23·2·(-23)＝49．∴ b ＝7，S △＝21ac sin B ＝21×33×2×21＝233．2．解：由S △ABC ＝21bc sin A ，得123＝21×48×sin A∴ sin A ＝23∴ A ＝60°或A ＝120° a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A ＝(b -c )2＋2bc (1-cos A ) ＝4＋2×48×(1-cos A )当A ＝60°时，a 2＝52，a ＝213 当A ＝120°时，a 2＝148，a ＝2373．解：∵ a 2＋b 2＝c 2＋2ab∴222222=-+ab c b a∴ cos C ＝22 ∴ C ＝45° 由正弦定理可得C CA B B C CC CA c c aBC sin sin sin 2sin cos sin cos sin sin sin 22cot cot -=∴-=-=∴ sin B cos C ＝2sin A cos B -sin C cos B ∴ sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ∴ sin(B ＋C )＝2sin A cos B ∴ sin A ＝2sin A cos B∵sin A ≠0∴ cos B ＝21∴ B ＝60°，∴ A ＝180°-45°-60°＝75°4．解：∵ S ＝a 2-(b -c )2又S ＝21bc sin A∴ 21bc sin A ＝a 2-(b -c )2∴412222=-+bc a c b (4-sin A ) ∴cos A ＝41(4-sin A )∴ sin A ＝4(1-cos A )∴ 2sin 2sin 82cos 22A A A =∴ tan 2A 41=∴ sin A ＝178)41(14122tan 12tan 222=+⨯=+A A17644)(174174sin 212=+⋅≤==c b S bcA bC S Θ∴ c ＝b ＝4时，S 最大为17645．解：∵ a 2-a -2b -2c ＝0，a ＋2b -2c ＋3＝0 由上述两式相加，相减可得c ＝41(a 2＋3)，b ＝41(a -3)(a ＋1)∴ c -b ＝21(a ＋3) ∵ a ＋3＞0，∴ c ＞bc -a ＝41(a 2＋3)-a ＝41(a 2-4a ＋3)＝41(a -3)(a -1)∵b ＝41(a -3)(a ＋1)＞0，∴ a ＞3 ∴41(a -3)(a -1)＞0∴ c ＞a∴ c 边最大，C 为最大角∴ cos C ＝ab c b a 2222-+21)1)(3(412)3(161)1()3(16122222-=+-⋅+-+-+=a a a a a a a∴△ABC的最大角C为120°。

1.2.1余弦定理

（以SAS为例）
sin A sin B sin C
问题情境
1 在ABC中,已知c=15,b=10,A=600 , 求a; 2在ABC中,已知c=15,b=10,a 5 7,求A.
C
A
B
一般的，在ABC中，已知b,c,A,如何表示a?理
符号：
文字：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边及夹角，求第三边和其他两个角；（3）已知两边及其一边对角，
追问：常见可解三角形类型及其方法？
例2.用余弦定理证明：当C锐角时， a2 b2 c2;当C钝角时，a2 b2 c2.
小结：设 a 是最长的边，则
课堂小结
一个定理，两种证法；一个推论，两种应用
追问1：观察余弦定理三个公式，他们有何结构特征？追问2：两边及其夹角余弦的乘积，与哪个知识有关？
问题2：试用向量数量积证明
C
A
B
请用余弦定理求解：
1 在ABC中,已知c=15,b=10,A=600 , 求c； 2在ABC中,已知c=15,b=10,a 5 7,求A.
小结：余弦定理可以解决哪些类型三角形？
余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。 2、已知三边求三个角； 3、判断三角形的形状
苏教版必修5（高一数学）
1.2.1 余弦定理
江苏省奔牛高级中学蒋亦
引入：用正弦定理可以解两类三角形
（1）已知两角一边
AAS,ASA 唯一
（2）已知两边及其一边对角 SSA
不确定
问题1：根据三角形全等的知识，还有哪些类型的三角形也是确定的？

苏教版高中数学必修五第一章第课时——余弦定理配套作业

让学生学会学习第4课时余弦定理（1）分层训练1．在△ABC 中，若bc c b a ++=222，则∠A=（）A 030 B 060 C 0120 D 0150 2．三角形三边的比为4:3:2，则三角形的形状为（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 都有可能 3．在△ABC 中，31cos =A ，3=a ，则bc 的最大值为（）A 2B 3C 3 D49 4．在△ABC 的三内角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，当ac b c a +≥+222时，角B 的取值范围为 5．△ABC 中，若（6:5:4)(:)(:)=+++b a a c c b ，则△ABC 的最小内角为（精确到10）6．在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC=2∶3∶4，则B 的余弦值为。

7．△ABC 中，BC=10，周长为25，则cosA 的最小值是。

8．在△ABC 中，已知A>B>C ，且C A 2=，b=4，a +c =8,求a ，c 的长。

9．如图：在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD=10，AB=14，∠BDA=060，∠BCD=0135，求BC 的长。

拓展延伸10．在△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角。

（1）求最大角；（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。

11．已知△ABC 中，C A B +=2，ac b =2，证明：△ABC 为等边三角形。

本节学习疑点：学生质疑教师释疑。

高中数学 1.2余弦定理(二)课时作业苏教版必修5

1.2 余弦定理(二)课时目标1.熟练掌握正弦定理、余弦定理；2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝______. (2)a ＝__________，b ＝__________，c ＝__________.(3)sin A ＝__________，sin B ＝__________，sin C ＝__________. (4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝________. 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝________________. (2)cos A ＝________________. (3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为______；c 2>a 2＋b 2⇔C 为______；c 2<a 2＋b 2⇔C 为______． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝______，A ＋B2＝____________.(2)sin(A ＋B )＝________，cos(A ＋B )＝________，tan(A ＋B )＝________.(3)sin A ＋B 2＝__________，cos A ＋B2＝__________.一、填空题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为________．2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是________．3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为________． 4．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________.5．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形的形状是________． 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a 与b 的大小关系是______．7．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________． 8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．二、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin A －Bsin C.12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cos B=35，且·AB→·BC→＝－21.(1)求△ABC的面积；(2)若a＝7，求角C.能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是________．14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．1．解斜三角形的常见类型及解法(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．§1.2 余弦定理(二)答案知识梳理1．(1)2R (2)2R sin A 2R sin B 2R sin C (3)a 2R b 2R c2R(4)a∶b∶c 2.(1)b 2＋c 2－2bc cos A (2)b 2＋c 2－a 22bc(3)直角钝角锐角3.(1)π π2－C 2 (2)sin C －cos C －tan C(3)cos C 2 sin C2作业设计 1．120°解析 ∵(a＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C＝120°.2．等腰三角形解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin (A ＋B)，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin (A －B)＝0，∴A＝B. 3.60°解析 ∵a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C＝120°.∴最小外角为60°. 4.19解析由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c＝19. 5．等边三角形解析 ∵2b＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c)2，又b 2＝ac ，即(a －c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a ＋c ＝2a.∴b＝a ，即a ＝b ＝c. 6．a>b解析在△ABC 中，由余弦定理得， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab.∵c＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab. ∴a 2－b 2＝ab>0，∴a 2>b 2，∴a>b. 7．锐角三角形解析设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b)x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c)x ＋x 2>0，∴c＋x 所对的最大角变为锐角． 8．2<a<8解析 ∵2a－1>0，∴a>12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2化简得：0<a<8.又∵a＋2a －1>2a ＋1， ∴a>2，∴2<a<8. 9．12解析 S △ABC ＝12AB·AC·sin A ＝12AB·AC·sin 60°＝23，∴AB·AC＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB·AC＝(AB ＋AC)2－3AB·AC，∴(AB＋AC)2＝BC 2＋3AB·A C ＝49，∴AB＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12. 10.13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a＝13.∴2R＝a sin A ＝1332＝2393，∴R＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 11．证明右边＝sin A cos B －cos A sin Bsin C＝sin A sin C ·cos B －sin B sin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝sin A －B sin C .12．∵AB →·BC →＝－21，·BA →·BC →＝21. ·BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝ac cos B ＝21.∴ac＝35，∵cos B ＝35，∴sin B ＝45.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×35×45＝14.(2)ac ＝35，a ＝7，∴c＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B .∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c<b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角．∴C＝45°. 13．0<C≤π6解析方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A≤1，∴0<sin C≤12.∵AB<BC，∴C<A，∴C 为锐角，∴0<C≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC⊥AB，∴C＝π6，∴0<C≤π6.14．解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C.于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin A ＋C sin 2 B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca·cos B ＝32，由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac·cos B ＝5，∴(a＋c)2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a＋c ＝3.。

苏教版必修五1.1正弦定理、余弦定理的应用(习题+解析)

苏教版必修五1.1正弦定理、余弦定理的应用（习题+解析）高中数学正弦定理、余弦定理的应用1. 三角形的三边长为连续自然数，且最大角是钝角，那么这个三角形的最小边为。

2. （广东高考）在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=b a。

3. 已知△ABC 中，3（CA ＋CB ）·AB ＝4AB 2，则BA tan tan ＝。

4. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2＋b 2）sin （A －B ）＝（a 2－b 2）sin （A ＋B ），试判断该三角形的形状。

5. 在△ABC 中，a 2+c 2=2b 2，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长。

（1）求证：B ≤3π；（2）若4B π=，且A 为钝角，－b 2）sin （A ＋B ）⇔a 2[sin （A －B ）－sin （A ＋B ）]＝b 2[－sin （A ＋B ）－sin （A －B ）]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦定理，得：sin 2A cos A sin B ＝sin 2B cos B sin A ，∴sin A sin B （sin A cos A －sin B cos B ）＝0， ∴sin 2A ＝sin 2B ，由0<2A <2π，0<2B <2π，得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形。

方法二：同方法一可得2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正、余弦定理，即得a 2b ×bc a c b 2222-+＝b 2a ×ac b c a 2222-+ ，∴a 2（b 2＋c 2－a 2）＝b 2（a 2＋c 2－b 2），即（a 2－b 2）（c 2－a 2－b 2）＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴三角形为等腰三角形或直角三角形。

苏教版必修五1.1正弦定理、余弦定理的应用(学案含答案)

苏教版必修五1.1正弦定理、余弦定理的应用（学案含答案）高中数学正弦定理、余弦定理的应用知识点课标要求题型说明正弦定理、余弦定理的应用1. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法，解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

填空题解答题高考必考运用正、余弦定理可以实现边角的互化，不同的转化方向考查了思维的灵活性；解三角形问题经常与三角恒等变换结合，体现了考查的综合性；实际问题需要数学化，体现了数学的应用价值。

重点：正弦定理及余弦定理的灵活运用。

难点：运用三角函数及正、余弦定理解决生活中的实际问题。

立即以21 n mile ／h 的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间。

思路分析：本题中的自变量是时间x ，有了时间就有了距离，求舰艇的航向就是当舰艇与渔船同时到达点B 时舰艇的方位角，其大小为45oCAB +∠。

在ABC ∆中，ACB ∠可求，其它三边可表示或已知，用余弦定理列出一个方程即可求出x 。

求BAC ∠既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，通常用正弦定理运算量稍小些。

答案：解：设舰艇在B 处靠近渔船所用的时间为舰艇x h ，则AB=21x ，BC=9x ，又AC=10，在ABC ∆中，由余弦定理得222(21)10(9)2109cos120x x x =+-⨯⨯，解得23x =h ，（负值已舍）。

由正弦定理得9sin12033sin 21o x BAC x ∠==，又21.8,o BAC ∠≈BAC∠为锐角，故方位角约为4521.866.8ooo+=。

答：舰艇应按照方位角66.8o的航向前进，靠近渔船所用的时间为23h 。

例题2 （江苏高考）在锐角三角形ABC中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b aC a b+=，则tan tan tan tan C C A B+= 。

2022-2021学年高二数学苏教版必修5学案：第1章习题课正弦定理与余弦定理 Word版含答案

明目标、知重点 1.进一步娴熟把握正、余弦定理在解各类三角形中的应用.2.提高对正、余弦定理应用范围的生疏.3.初步应用正、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．1．三角形内角的三角函数关系在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有 (1)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C ，(2)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.2．正弦定理及其变形 (1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C . 3．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc. (2)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角，c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．题型一利用正、余弦定理解三角形例1 在△ABC 中，若c ·cos B ＝b ·cos C ，且cos A ＝23，求sin B 的值．解由c ·cos B ＝b ·cos C ，结合正弦定理得， sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，易知B ＝C ，故b ＝c .由于cos A ＝23，所以由余弦定理得3a 2＝2b 2，再由余弦定理得cos B ＝66，故sin B ＝306.反思与感悟正、余弦定理的变形形式比较多，解题时应依据题目条件的不同，机敏选择．跟踪训练1 在△ABC 中，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc .(1)求A 的大小；(2)求b sin B c 的值．解 (1)由题意知，b 2＝ac ⇒cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ac ＋bc －ac 2bc ＝12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)由b 2＝ac ，得b c ＝ab，∴b sin B c ＝sin B ·a b ＝sin B ·sin A sin B ＝sin A ＝32.题型二正、余弦定理与三角变换的综合应用例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72. (1)求A 的度数．(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 和c 的值．解 (1)由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72及A ＋B ＋C ＝180°，得2[1－cos(B ＋C )]－2cos 2 A ＋1＝72，4(1＋cos A )－4cos 2 A ＝5，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0， ∴(2cos A －1)2＝0，解得cos A ＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .∵cos A ＝12，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝12，化简并整理，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，将a ＝3，b ＋c ＝3代入上式，得bc ＝2.则由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3，bc ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.反思与感悟本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A ＋B ＋C ＝180°，求出A ，并利用余弦定理列出关于b 、c 的方程组．跟踪训练2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝65ac .求2sin 2A ＋C 2＋sin 2B 的值．解由已知得a 2＋c 2－b 22ac ＝35，所以cos B ＝35，sin B ＝1－cos 2B ＝45，所以2sin 2A ＋C 2＋sin 2B ＝2cos 2B2＋sin 2B＝1＋cos B ＋2sin B cos B＝1＋35＋2×45×35＝6425.题型三正、余弦定理与平面对量的综合应用例3 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos B ＝35，且AB →·BC →＝－21.(1)求△ABC 的面积；(2)若a ＝7，求角C .解 (1)∵AB →·BC →＝－21，∴BA →·BC →＝21. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝ac cos B ＝21.∴ac ＝35，∵cos B ＝35，∴sin B ＝45.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×35×45＝14.(2)∵ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b ＝4 2.由正弦定理c sin C ＝bsin B.∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 确定是锐角． ∴C ＝45°.反思与感悟这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系．跟踪训练3 已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________．答案 150° 解析 ∵m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，由正弦定理有(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )，即a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，再由余弦定理，得cos B ＝－32，∴B ＝150°.1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则A ＝________.答案 π3解析在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.2．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的外形是______三角形．答案等腰解析 ∵c ＝2a cos B ，由正弦定理得2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则BA →·AC →＝________.答案－32解析由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－1012＝14.∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝3×2×14＝32.∴BA →·AC →＝－AB →·AC →＝－32.4．在△ABC 中，cos B ＝12，b 2－ac ＝0，则△ABC 的外形为________三角形．答案等边解析 ∵cos B ＝12，∴B ＝60°.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，∴(a －c )2＝0. ∴a ＝c .∴△ABC 为等边三角形． [呈重点、现规律]1．推断三角形的外形是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)． 2．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关学问，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．3．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应留意依据具体状况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面对量与解三角形的交汇问题，应留意精确运用向量学问转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解．一、基础过关1．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是________．答案5<c <3解析由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0得c 2>a 2＋b 2＝5.∴c >5，又c <a ＋b ，∴5<c <3.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.答案 30°解析 ∵sin C ＝23sin B ，∴c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，∵A 为△ABC 的内角，∴A ＝30°.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的外形为________三角形．答案直角解析由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是________．答案－17解析c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，c ＝3，B为最大角，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝49＋9－642×7×3＝－17.5．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c ，则△ABC 的外形是________三角形．答案直角解析 ∵cos 2B 2＝a ＋c2c，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ，∴cos B ＝ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．6．已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是________．答案 (5，13)解析x 满足：⎩⎨⎧1<x <522＋32－x 2>022＋x 2－32>0，解得5<x <13.7．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求A 的值．解 ∵b ＝2a ，∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 二、力气提升8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B 的度数为______．答案 π6解析由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a >b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.9．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________.答案 31010解析在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sinπ45＝3×225＝31010.10．在△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin A ＝－lg 2，并且A 为锐角，则△ABC 的外形为________三角形．答案等腰直角解析 ∵lg a －lg c ＝lg sin A ＝－lg 2， ∴a c ＝sin A ＝22， ∵A 为锐角，∴A ＝45°，∵sin C ＝ca sin A ＝2×sin 45°＝1，又∵0°<C <180°，∴C ＝90°.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解 (1)由正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ．因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A＝2，得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．解 (1)由题设并由正弦定理，得a ＋c ＝pb ，所以a ＋c ＝54.得⎩⎨⎧a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B .由于0<cos B <1，所以p 2∈⎝⎛⎭⎫32，2，由题设知p >0，所以62<p < 2.三、探究与拓展13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca ·cos B ＝32，由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。