导数在经济上的简单应用
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
边际成本,利润函数,边际利润为零时的产量.
解 C( x) 0.01x2 10x 1000
C( x) 0.02x2 10
R( x) px 30x
L( x) R( x) C( x) 0.01x2 20x 1000
L( x) 0.02x 20
令 L( x) 0 得 x 1000 含义:当月产量为1000时,再多生产
解
Q
900 p2
EQ Ep
Q
p Q
(
900 p2 )
p 900
6
900 900 6 p
p
EQ 1.15 Ep
P 20
EQ 1.25 Ep
P 30
含义:
3.供给弹性 设供给函数Q f ( p) 可导, 则称
EQ Q p 为供给弹性.
Ep
Q
注 (1)供给函数是增函数.
(2)经济含义: EQ
第七节 导数在经济学上的简单应用
一.边际函数
定义3.4 设函数 f ( x) 可导,则导函数 f ( x)
称为 f ( x)的边际函数.
f ( x0 )称为 f ( x) 在 x x0处的边
函数值.
际
y dy f ( x)x x x0 x 1 f ( x0 )
y dy f ( x)x x x0 x 1 f ( x0 )
EQ Q p 为需求弹性.
Ep
Q
注 (1)因需求函数是减函数,故 EQ 0,
Ep
为确保 EQ 0,定义中人为加一负号.
Ep
(2) 经济含义: EQ
Ep
表示在 P P0 处
P P0
当
P
增加1%时
Q
将减少(
EQ Ep
) %.
P P0
例7 已知某商品的需求函数为Q 900 6
p
求 p=20,30时的弹性,并给予经济解释.
边际函数值的意义: f ( x0 ) 表示在x x0处
当 x 增加一个单位时 y 的改变量.
注 正数表示增加,负数表示减少.
例1
设函数 y x3 , 求 y ? x10
解 y 3 x2 y 3102 300 x10
当 x 增加一个单位时 y 增加300个单位.
1.边际成本
边际成本的经济含义: C(Q0 )表示当产量 达到Q0 时,再增加一个单位的产量所引起
Ep
表示在 P P0 处
P P0
当 P 增加1%时 Q 将增加 ( EQ )%.
Ep P P0
p
例 8 已知某商品的供给函数为Q e 5 ,
求 (1)供给弹性函数
百度文库
(2)p=5时的供给弹性,并给予经济解释.
解
Q
1
e
p 5
5
EQ
Q
p
1
e
p 5
Ep
Q5
p
p
p 5
e5
EQ 1
Ep P5
含义: 在 P 5 时,价格上涨1%,供应量 增加1%将.
y y0
x x0
称为
f ( x) 在点
x0
与
x0 x
两点之间的弧弹性.
若函数 y f ( x)在 (a,b) 内可导,
则称 Ey f (x) x ( f (x) 0)
Ex
f (x)
为 f ( x) 的弹性函数.
弹性函数值的意义:
Ey
Ex
表示在
x x0
x
x0
处, 自变量改变
百分之一时, 函数值改变的百分数.
函数的相对改变量 y f (x0 x) f (x0 )
y0
f ( x0 )
x
与自变量的相对改变量 x0 之比
y y0
x x0
的极限
y lim ( y x0
0
/
x )
x0
lim
x0
y x
x0 y0
f (x0 )
f
x0 (x0 )
称为
f ( x) 在点
x0
处的弹性.
记作:
Ey Ex
x x0
而
一个单位产品不会增加利润.
二.函数的弹性
若 y f (x)
x: 2 4 x 2
x x
2 2
100 0 0
y: 3 5 y 2
y 2
y
3
67
0 0
问:自变量改变百分之一时,函数值改变
百分之几? y
y 67 00 0.67 x 100 00 x
定义3.5 设函数y f ( x) 在点 x0 处可导,
的总成本的变化量. 例2 已知某商品的成本函数是C 100 Q Q2
2
求 Q=10时的总成本、平均成本、边际成本.
解 C(Q) 100 1 Q
Q
2
C(Q) 1 Q
C(10) 160 C(10) 16 C(10) 11.
2.边际收益 边际收益的经济含义:R(Q0 )表示当销售量 达到Q0 时, 再增加一个单位的销售量所引 起的总收益的变化量. 例3 已知某商品的收益函数是R(Q) 100Q Q2 求 Q=50时的总收益、平均收益、边际收益. 解 R(Q) 100 Q R(Q) 100 2Q
例5 求 y x (为常数)的弹性函数. 解 y x 1
Ey Ex
y
x y
x 1
x x
.
例6 求 y 4x 5在 x 3处的弹性.
解 y 4
Ey y x 4 x 4x Ey 12 .
Ex
y 4x 5 4 x 5 Ex x3 17
2.需求弹性 设需求函数Q f ( p) 可导, 则称
R(50) 2500 R(50) 50 R(50) 0.
3.边际利润 边际利润的经济含义:L(Q0 )表示当销售量 达到Q0 时, 再增加一个单位的销售量所引 起的总利润的变化量. 例4 设某厂每月生产产品的固定成本为1000 元,生产 x 单位产品的可变成本为 0.01x2 10x (元).如果每单位产品的售价为30元,试求:
解 C( x) 0.01x2 10x 1000
C( x) 0.02x2 10
R( x) px 30x
L( x) R( x) C( x) 0.01x2 20x 1000
L( x) 0.02x 20
令 L( x) 0 得 x 1000 含义:当月产量为1000时,再多生产
解
Q
900 p2
EQ Ep
Q
p Q
(
900 p2 )
p 900
6
900 900 6 p
p
EQ 1.15 Ep
P 20
EQ 1.25 Ep
P 30
含义:
3.供给弹性 设供给函数Q f ( p) 可导, 则称
EQ Q p 为供给弹性.
Ep
Q
注 (1)供给函数是增函数.
(2)经济含义: EQ
第七节 导数在经济学上的简单应用
一.边际函数
定义3.4 设函数 f ( x) 可导,则导函数 f ( x)
称为 f ( x)的边际函数.
f ( x0 )称为 f ( x) 在 x x0处的边
函数值.
际
y dy f ( x)x x x0 x 1 f ( x0 )
y dy f ( x)x x x0 x 1 f ( x0 )
EQ Q p 为需求弹性.
Ep
Q
注 (1)因需求函数是减函数,故 EQ 0,
Ep
为确保 EQ 0,定义中人为加一负号.
Ep
(2) 经济含义: EQ
Ep
表示在 P P0 处
P P0
当
P
增加1%时
Q
将减少(
EQ Ep
) %.
P P0
例7 已知某商品的需求函数为Q 900 6
p
求 p=20,30时的弹性,并给予经济解释.
边际函数值的意义: f ( x0 ) 表示在x x0处
当 x 增加一个单位时 y 的改变量.
注 正数表示增加,负数表示减少.
例1
设函数 y x3 , 求 y ? x10
解 y 3 x2 y 3102 300 x10
当 x 增加一个单位时 y 增加300个单位.
1.边际成本
边际成本的经济含义: C(Q0 )表示当产量 达到Q0 时,再增加一个单位的产量所引起
Ep
表示在 P P0 处
P P0
当 P 增加1%时 Q 将增加 ( EQ )%.
Ep P P0
p
例 8 已知某商品的供给函数为Q e 5 ,
求 (1)供给弹性函数
百度文库
(2)p=5时的供给弹性,并给予经济解释.
解
Q
1
e
p 5
5
EQ
Q
p
1
e
p 5
Ep
Q5
p
p
p 5
e5
EQ 1
Ep P5
含义: 在 P 5 时,价格上涨1%,供应量 增加1%将.
y y0
x x0
称为
f ( x) 在点
x0
与
x0 x
两点之间的弧弹性.
若函数 y f ( x)在 (a,b) 内可导,
则称 Ey f (x) x ( f (x) 0)
Ex
f (x)
为 f ( x) 的弹性函数.
弹性函数值的意义:
Ey
Ex
表示在
x x0
x
x0
处, 自变量改变
百分之一时, 函数值改变的百分数.
函数的相对改变量 y f (x0 x) f (x0 )
y0
f ( x0 )
x
与自变量的相对改变量 x0 之比
y y0
x x0
的极限
y lim ( y x0
0
/
x )
x0
lim
x0
y x
x0 y0
f (x0 )
f
x0 (x0 )
称为
f ( x) 在点
x0
处的弹性.
记作:
Ey Ex
x x0
而
一个单位产品不会增加利润.
二.函数的弹性
若 y f (x)
x: 2 4 x 2
x x
2 2
100 0 0
y: 3 5 y 2
y 2
y
3
67
0 0
问:自变量改变百分之一时,函数值改变
百分之几? y
y 67 00 0.67 x 100 00 x
定义3.5 设函数y f ( x) 在点 x0 处可导,
的总成本的变化量. 例2 已知某商品的成本函数是C 100 Q Q2
2
求 Q=10时的总成本、平均成本、边际成本.
解 C(Q) 100 1 Q
Q
2
C(Q) 1 Q
C(10) 160 C(10) 16 C(10) 11.
2.边际收益 边际收益的经济含义:R(Q0 )表示当销售量 达到Q0 时, 再增加一个单位的销售量所引 起的总收益的变化量. 例3 已知某商品的收益函数是R(Q) 100Q Q2 求 Q=50时的总收益、平均收益、边际收益. 解 R(Q) 100 Q R(Q) 100 2Q
例5 求 y x (为常数)的弹性函数. 解 y x 1
Ey Ex
y
x y
x 1
x x
.
例6 求 y 4x 5在 x 3处的弹性.
解 y 4
Ey y x 4 x 4x Ey 12 .
Ex
y 4x 5 4 x 5 Ex x3 17
2.需求弹性 设需求函数Q f ( p) 可导, 则称
R(50) 2500 R(50) 50 R(50) 0.
3.边际利润 边际利润的经济含义:L(Q0 )表示当销售量 达到Q0 时, 再增加一个单位的销售量所引 起的总利润的变化量. 例4 设某厂每月生产产品的固定成本为1000 元,生产 x 单位产品的可变成本为 0.01x2 10x (元).如果每单位产品的售价为30元,试求: