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第七讲组合综合问题本讲概述在前六讲我们对组合数学中的不少专题进行了研究，本讲不再进行具体某个专题的学习，而是通过一些综合性的问题的探讨来寻找组合数学“解题的感觉”.本讲的题目与前面相比，综合性更强，难度在二试与冬令营之间，可能需要综合应用前面所学的多种组合知识乃至其它学科的知识来解决.事实上，组合与几何学、数论相联系形成的组合几何、组合数论问题往往难度较大，又能同时考察多个学科，是命题人青睐的对象，而在组合问题的探索过程中，特别是组合极值问题中，常常用到代数知识特别是数列与不等式知识.教师备注：本讲主要研究两大方面问题：（1）组合与其它学科相结合（2）组合极值及其构造、论证；部分题目来自冬令营或相当冬令营难度的比赛，教师可自行选择适当问题讲述例题精讲【例1】设ABC为正三角形，E为线段BC，CA，AB上点的集合（包括A，B，C在内）。

将E分成两个子集，求证：总有一个子集中含有一个直角三角形的顶点。

【解析】将E中的点染成红、蓝二色，即证明必存在一个直角三角形，它们的顶点同色。

在三边上取三等分点P，Q，R，如图01—05。

易知RQ⊥BC，QP⊥AC，PR⊥AB。

这三点必至少有两点同色。

不妨设R，Q为红色。

（1）如果BC边上除Q点外还有红色的点X，则Rt△RQX三个顶点同为红色。

（2）如果BC边上除Q外不存在红色点，则B点是蓝色的。

如果AB上除B外还有蓝色点Y，作YM⊥BC，M为垂足，显然M不同于Q。

所以Rt△YBM三个顶点均为蓝色；如果AB上除B点外均为红色。

作QZ⊥AB，Z为垂足，则Rt△RQZ的三个顶点均为红色。

证毕。

【例2】某足球邀请赛有16个城市参加，每市派出甲乙两队.根据比赛规则，每两队之间至多赛一场，且同一城市两队之间不比赛.比赛进行若干天后统计，发现除A市甲队之外，其它各队已赛过场次互不相同.试问A市乙队已赛过多少场？.【解析】依比赛规则，每队至多赛30场，所以除A市甲队之外，其它各队已赛过场次依次为0,1,2,,29,30考场赛过30场和0场的队，经简单推理知此两队必为同城队；接下来依次配对（29,1），（28,2），…，（14,16）.只有15没有配对，这就是乙队. 于是乙队赛过15场.【例3】 20支足球队参加比赛，每两队至多赛一场.为了使任何三队中都有两队赛过，球赛组委会安排了m场比赛，试求m最小值.高一·联赛班·寒假第7讲·教师版2【解析】设A 队赛过k 场，是所有队中赛过场次最少的.与A 队赛过的k 个队，各至少赛过k 场，没有与A 赛过的19-k 个队中的任何两队B,C 必赛过（否则就出现A,B,C 三队两两未赛过，矛盾！）.于是比赛场数()22191(1)990902k m k k C k -≥++=-+≥, 于是至少要赛90场.下面给出一种比赛方案，使得恰赛90场：把20支队分成两组，每组10个队，同组两两都赛，不同组不比赛，共安排2102C 场比赛. 显然这个方案合要求.注本题为组合中最难的安排赛程表题型，也可以把它看成一个图论问题.比赛方案是受到论证过程的结果启发构造出来的.【例4】设k ，n 为给定的整数，2n k >≥. 对任意n 元的数集P ，作P 的所有k 元子集的元素和，记这些和组成的集合为Q ，集合Q 中元素个数是Q C ，求Q C 的最大值.【解析】 Q C 的最大值为knC . 因P 共有kn C 个k 元子集，故显然有kQ nC C ≤. 下面我们指出，对集合2{2, 2,, 2}n P =，相应的Q C 等于knC ，即P 的任意两个不同的k 元子集的元素之和不相等. 从而Q C 的最大值为kn C .事实上，若上述的集合P 有两个不同的k 元子集12{2,2,,2}k r r r A =， 12{2,2,,2}k s s s B =，使得A 与B 的元素之和相等，则1212222222k k r s r r s s M+++=+++=（设）. ①因①可视为正整数M 的二进制表示，由于i r 互不相同，i s 互不相同，故由正整数的二进制表示的唯一性，我们由①推出，集合12{,,,}k r r r 必须与12{,,,}k s s s 相同，从而子集A B =，矛盾.这就证明了我们的断言.注本题为2009江苏赛区复赛题. 这是一道典型的组合极值问题，难度并不太大. 这种问题一般分为两部分：构造与论证，分别考察不同的数学能力，因此是近年来的命题热点.【例5】 (1) 若 (n n ∈ N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的最小值, 并说明理由；(2) 若 (n n ∈ N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 20022005, 求 n 的最小值, 并说明理由.【解析】 (1) 因为 3333101000,111331,121728,132197====, 3312200513<<，故 1n ≠.因为 3333200517281251252712553=+++=+++，所以存在 4n =，使min 4n ≤． ……………… 6分高一·联赛班·寒假第7讲·教师版3若 2n =，因 3310102005+<, 则最大的正方体边长只能为 11 或 12，计算33200511674,200512277-=-=，而 674 与 277 均不是完全立方数, 所以2n = 不可能是 n 的最小值. ……………… 9分若 3n =，设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 328320053⨯>≥x , 知最大的正方体棱长只能为 9、10、11 或 12.由于 3932005⨯<, 5479220053=⨯-, 0829200533>⨯--, 所以 9x ≠.由于 510220053=⨯-, 332005109276--=, 332005108493--=,07210200533>⨯--, 所以10x ≠.由于 332005118162--=, 332005117331--=, 06211200533>⨯--, 所以 11x ≠.由于 33200512661--=, 33320051251525--=>, 所以 12x ≠. 因此 3n = 不可能是 n 的最小值.综上所述，4n = 才是 n 的最小值. ……………… 12分 (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 12,,,n x x x ，则3332005122002n x x x +++=．…………… ⑤由 20024(mod9)≡， 341(mod9)≡，得20052005668313668200244(4)44(mod9)⨯+≡≡≡⨯≡．…… ⑥ …… 15分又当 x ∈N* 时，30,1(mod9)x ≡±，所以31x ≡∕4(mod 9)， 3312x x + ≡∕4(mod9)， 333123x x x ++ ≡∕4(mod9). … ⑦ …………… 21分⑤ 式模 9, 由 ⑥、⑦ 可知, 4n ≥．而 33332002101011=+++，则2005200433336683333320022002(101011)(2002)(101011)=⨯+++=⨯+++6683668366836683(200210)(200210)(2002)(2002)=⨯+⨯++．…… 24分因此 4n = 为所求的最小值．注本题为2005年江苏预赛16题. 这类与数论相联系的极值问题往往兼具组合构造与数论证明两大特点但鉴于本题组合味道并不太浓，建议选讲.高一·联赛班·寒假第7讲·教师版4【例6】假定100个人中的每一个人都知道一个消息，而且这100个消息都不相同。

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动词不定式之 to do 用法小总结1．She is often heard _______ English loudly in the morning.A．to read B．sangC．to have sung D．to be reading2．Would you please ____ a little more room for me?A．to make B．make C．making D．made 3．He found it very difficult ______.A．sleeping B．sleeps C．slept D．to fall asleep1．It is difficult for a foreigner ____ Chinese.A．learning B．to learn C．learned D．to be learned 2．I’m hungry . Get me something ____.A．eating B．to eat C．to be eaten D．eaten1．The lady was watched ____ her room in silence.A．had left B．left C．leave D．to leave 2．We all hope ____ scientists.A．become B．to become C．becoming D．became1．The boy refused ____ for climbing the tall tree.A．to pay B．to be paid C．being paid D．paying 2．The question is ____ the answer .A．where find B．to findC．where to find D．where finding1．I wish to finish my task and ____ away.A．get B．getting C．to get D．to getting 2．He likes _________ , but he doesn’t like _______ today because it is too cold.A．to swim; to swim B．swimming; swimmingC．to swim; swimming D．swimming; to swim1．为什么不把这些生单词记在你的笔记本上?______________ write down the new words in your notebook?2．我一坐下，就发现她在忙着吃东西As soon as I sat down, I found she ________________________.3．Peter 每天用一小时大声朗读英语_____________Peter an hour _________________loudly every day.4．孩子们被告诫不要用太多的时间玩电脑游戏。

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高二理科教师用书导数第1讲导数的运算与几何意义第2讲导数在研究函数中的综合应用第3讲利用导数处理恒成立、存在性问题第4讲利用导数处理不等式证明问题第4讲补充定积分与微积分基本定理复数与推理证明第1讲复数与推理证明简单运用第2讲数学归纳法满分晋级第1讲导数的运算与几何意义第18题13分【备选1】若函数()y f x =在区间()a b ，内可导，且0()x a b ∈，则000()()limh f x h f x h--→的值为（）．A ．0()f x 'B ．02()f x 'C ．0()f x '-D ．0【解析】 C新课标剖析导数2级导数在研究函数中的简单应用导数3级导数的运算与几何意义导数4级导数在研究函数中的综合应用1．基本初等函数的导数公式表：()0c '=（c 为常数）；1()()x x αααα-'=∈Q ； ()ln x x a a a '=；(log )a x '=；(sin )cos x x '=；(cos )sin x x '=-； 2()g x ，都是可导函数，C 为常数：(()())()()f x g x f x g x '''±=±；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；[()]()Cf x Cf x ''=；2()()()()()()()f x g x f x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥（()0g x ≠）． 3．复合函数的求导：对于可导函数()()y f u u u x ==，，x u x df df duf f u '''==⋅=．【例1】求下列函数的导数⑴2sin y x x =-；⑵3cos y x x =；⑶cos 1sin xy x =-；⑷1y x =；⑸ln y x x x =-；⑹e 11ex xy +=-；⑺()2(2)e x f x x ax =-；⑻2()2ln f x x x a x =++．【解析】 ⑴2cos y x x '=-⑵233cos sin y x x x x '=-⑶11sin y x'=-⑷32212y x x --'=-+⑸ln y x '= ⑹()22e 1e xx y '=-⑺2()e (222)x f x x ax x a '=-+-⑻()22af x x x'=++.考点2：复合函数求导考点1：导数的四则运算1.1导数的运算知识点睛经典精讲【例2】求下列函数的导数：⑴ ()ln 54y x =- ⑵35e x y += ⑶()2e cos 41x y x =-⑷()e ln 21xy x -=+ ⑸()23sin 6y x x =- ⑹()2335y x =-【解析】 ⑴ 554y x '=- ⑵353e x y +'= ⑶ ()()222e cos 414e sin 41xxy x x '=--- ⑷()2e e ln 2121xxy x x --'=-+++⑸ ()3sin 6623cos6y x x x '=-+- ⑹()13235y x -'=-【铺垫1】(2009湖北理14)已知函数()πcos sin 4f x f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为．【解析】 1【铺垫2】已知函数()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =---- ，则(1)f '=（）.A ．99!-B ．100!-C ．98!-D ．0【解析】 A【铺垫3】设函数()()()()f x x a x b x c =---，（a 、b 、c 是两两不等的常数），则='+'+')()()(c f cb f b a f a ．【解析】 0【例3】（2010宣武一模理14）有下列命题：①若()f x 存在导函数，则()()22f x f x ''=⎡⎤⎣⎦； ②若函数()44cos sin h x x x =-，则π112h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭；③若函数()()()()()1220092010g x x x x x =--⋅⋅⋅--，则()20102009!g '=.其中真命题的序号是 .【解析】 ③题型一曲线在某点的切线由于函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '几何意义是曲线()y f x =在点()(00xf x ，处的切线的斜率，因此，曲线()y f x =在点()()00x f x ，处的切线方程可如下求得：⑴ 求出函数()y f x =在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点()()00x f x ，处切线的斜率.1.2导数的几何意义知识点睛⑵ 在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为()()000y y f x x x '=+-. 注意：如果曲线()y f x =在点()()00x f x ，的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时,由切线的定义可知,切线的方程为0x x =.题型二曲线过某点的切线把握以下四点:①曲线的切线不一定和曲线只有一个公共点;②“在”某一点的切线和“过”某点的切线是两个不同的概念；④用导数求切线的斜率时，必须设出切点，即采用“待定切点法”.【例4】 ⑴ 如图，函数()()215F x f x x =+的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则()()55f f '+= ．⑵ 函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（） A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<- B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-< C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<- D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【解析】 ⑴ 5-⑵ B【拓展1】（2008江苏卷8）直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为．【解析】 ln21-【拓展2】（2008西城一模理7）设a ∈R ，函数()e e x x f x a -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数．若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为（）.A ．ln 22-B ．ln2-C ．ln 22D ． ln2 【解析】 D【拓展3】设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1(1))g ，处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1(1))f ，处切线的斜率为（）.考点3：导数的几何意义经典精讲A ．4B ．14-C ．2D ．12-【解析】 A【铺垫1】（2009全国II 卷理4）曲线21xy x =-在点()11，处的切线方程为（）.A ．20x y --= B ．20x y +-= C ．450x y +-= D ．450x y --=【解析】 B【铺垫2】曲线()313f x x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A ．19B ． 29C ．13D ．23【解析】 A【例5】 ⑴（2009安徽卷理9）已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程是（）. A ．21y x =- B ．y x = C ．32y x =- D ．23y x =-+ ⑵（2009全国Ⅰ卷理9）已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为( ).A ．1B ．2C ．1-D ．2-【解析】 ⑴ A⑵ B【拓展3】设a ∈R ，函数()e e x x f x a -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数．则曲线()y f x =的斜率是32的切线方程为 .【解析】 3253ln 20x y -+-=【拓展3】已知函数2(1)()a x f x x -=，其中0a >．若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求a 的值. 【解析】1a =.【例6】 ⑴ 已知曲线31433y x =+．①求曲线在点()24P ，处的切线方程； ②求曲线过点()24P ，的切线方程．考点5：曲线过某点的切线考点4：曲线在某点的切线⑵ 若存在过点(10)，的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，求a 的值. 【解析】 ⑴①440x y --=．②440x y --=或20x y -+=．⑵1-或2564-.【拓展2】设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．⑴ 求()y f x =的解析式；⑵ 证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解析】 ⑴3()f x x x=-．⑵6．【拓展3】设函数1()()f x ax a b x b=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y =．⑴ 求()y f x =的解析式；⑵ 证明：曲线()y f x =的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；⑶ 证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【解析】 ⑴1()1f x x x =+-．⑵ 法一：已知函数1y x =，21y x=都是奇函数．所以函数1()g x x x =+也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而1()111f x x x =-++-．∴函数()f x 的图象是以点(11)，为中心的中心对称图形．法二：∵()()112f x f x ++-=故函数()f x 的图象是以点(11)，为中心的中心对称图形． ⑶ 证明：在曲线上任取一点00011x x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，．由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为2000200111()1(1)x x y x x x x ⎡⎤-+-=--⎢⎥--⎣⎦．令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为00111x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，．令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(2121)x x --，．直线1x =与直线y x =的交点为(11)，．从而所围三角形的面积为00000111212112222121x x x x x +---=-=--．所以，所围三角形的面积为定值2．设函数32132af x x x bx c -++（）=，其中0a >，曲线()y f x =在点()()00P f ，处的切线方程为1y =.⑴ 确定b c 、的值.⑵ 设曲线()y f x =在点()()11x f x ，及()()22x f x ，处的切线都过点()02，.证明：当12x x ≠ 时，()()12f x f x ''≠.【解析】 ⑴0b =，1c =．⑵ ()321132af x x x =-+，()2f x x ax '=-．由于点()()t f t ，处的切线方程为()()()y f t f t x t '-=-，而点()02，在切线上，所以()()()2f t f t t '-=-，化简得3221032a t t -+=，即t 满足的方程为3221032at t -+=．下面用反证法证明．方法一：假设()()12f x f x ''=，由于曲线()y f x =在点()()11x f x ，及()()22x f x ，处的切线都过点()02，，则下列等式成立； 321132222211222103221032a x x a x x x ax x ax ⎧-+=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪-=-⎪⎩变形得:()()332212122032ax x x x ---=;()221212x x a x x -=-. 消a 得:()()()332212121221032x x x x x x --+-=. ()()()3322121212430x x x x x x --+-= ()()()22212112212430x x x x x x x x ⎡⎤-++-+=⎣⎦所以有()3120x x -=,即12x x =.与已知矛盾.所以假设不成立,故原命题成立. 方法二：假设12()()f x f x ''=，由于曲线()y f x =在点11(())x f x ，及22(())x f x ，处的切线都过点(02)，，则下列等式成立. 321132222211222103221032a x x a x x x ax x ax ⎧-+=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪-=-⎪⎩①②③由③得12x x a +=．由①-②得222112234x x x x a ++= ④又22221122121211()()x x x x x x x x a x a x ++=+-=-- 2222211133244≥a x ax a x a a ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭故由④得12a x =，此时22ax =与12x x ≠矛盾．所以12()()f x f x ''≠．【演练1】（2010全国卷2理10）若曲线12y x -=在点12a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =（）.A ．64B ．32C ．16D ．8【解析】 A【演练2】（2010辽宁理10）已知点P 在曲线4e 1x y =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）.A ．π04⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．ππ42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．π3π24⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．3ππ4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】 D【演练3】设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（）.A ．2B ．12C ．12- D ．2-【解析】 D【演练4】曲线3231y x x =-++过点(11)，的切线方程为（）.A ．32y x =-B ．32y x =-+C ．1y =D ．1x =实战演练【解析】 C【演练5】已知函数3()f x x x =-．①求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程； ②求曲线()y f x =过点(26)P --，的切线的方程．【解析】①23(31)2y t x t =--．②22y x =-与1116y x =+．（2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请试题高二第2试）设曲线1*()N n y x n +=∈在点(11)，处的切线与x 轴的交点的横坐标是n x ，则 201012010220102011log log log x x x +++ 的值为（） A ．2010log 2012- B ．1- C ．2010log 2012 D ．1【解析】 A新课标剖析满分晋级大千世界第2讲导数在研究函数中的综合应用导数5级与导数相关的综合问题探究导数3级导数的运算与几何意义导数4级导数在研究函数中的综合应用利用导数判断函数的单调性的方法如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数；如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有0<，则()f x 在这个区间上是减函数．已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数的一个极大值点．如果在0x 附近都有()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．求函数()y f x =在[]a b ，上的最大值与最小值的步骤如下：⑴ 求函数()y f x =在()a b ，内的极值； ⑵ 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，(f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2.1利用导数分析函数的单调性、极值与最值知识点睛经典精讲【铺垫1】已知函数()2ln f x x x =-．则函数的单调递增区间为（）．A ．()2-∞，B ．()0+∞，C ．()02，D ．()2+∞，【解析】 C【铺垫2】已知函数()21()a x f x x-=，其中0a >．求函数()f x 的单调区间．【解析】单调递减区间是(0)-∞，和(2)+∞，，单调递增区间是(02)，．【铺垫3】设函数()()e 0kx f x x k =≠．求函数()f x 的单调区间．【解析】当1x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．【例1】 (2008北京卷理18)已知函数()22()1x bf x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间．【解析】 ①当2b <时，函数()f x 在()1b -∞-，上单调递减，在()11b -，上单调递增，在()1+∞，上单调递减．②当2b >时，函数()f x 在()1-∞，上单调递减，在()11b -，上单调递增，在()1b -+∞，上单调递减．③当11b -=，即2b =时，2()1f x x =-，函数()f x 在()1-∞，上单调递减，在()1+∞，上单调递减．【例2】（2010北京理18）已知函数()()()2ln 102k f x x x x k =+-+≥． ⑴ 当2k =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程；⑵ 求()f x 的单调区间．【解析】 ⑴322ln 230x y -+-= ⑵①当0k =时，()f x 的单调递增区间是(10)-，和1k k -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是10k k -⎛⎫ ⎪⎝⎭，．②当1k =时，()f x 的单调递增区间是(1)-+∞，． ③当1k >时，()f x 的单调递增区间是11k k -⎛⎫- ⎪⎝⎭，和(0)+∞，，单调递减区间是10k k -⎛⎫⎪⎝⎭，．【拓展1】(2008北京卷文17)已知函数()32()30f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数．⑴ 求a ，c 的值；⑵ 求函数()f x 的单调区间．【解析】 ⑴0a =，2c =．⑵当0b <时，函数()f x 在(-∞，上单调递增，在(上单调递减，在)+∞上单调递增．当0b >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增．【铺垫1】已知函数()323f x x x a =++,则()f x 的极大值为，极小值为．【解析】 4a +，a ．【铺垫2】已知函数()323f x x x a =++在点0x 处取得极大值6，则0x 与a 的值分别为（）．A ．22-，B ．06，C ．22-，D ．60，【解析】 A【铺垫3】(2008广东卷理7)设a ∈R ，若函数e 3ax y x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．3a >- B ．3a <- C ．13a >- D ．13a <-【解析】 B【例3】（2009年宣武二模理15）设函数()()2ln 23f x x x =++．⑴ 讨论()f x 的单调性与极值；⑵ 求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．【解析】⑴()f x 在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；在112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，上单调递减．极大值为()11f -=，极小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．⑵最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【例4】已知a 是实数，函数()()2f x x x a =-．⑴ 若(1)3f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程；⑵ 求()f x 在区间[]02，上的最大值．【解析】 ⑴320x y --=．⑵max 84202a a f a -⎧=⎨>⎩≤．【拓展2】（2010全国卷2文21）已知函数()32331f x x ax x =-++．⑴ 设2a =，求()f x 的单调区间；⑵ 设()f x 在区间()23，中至少有一个极值点，求a 的取值范围．【解析】 ⑴单调增区间是(2-∞-，和()2+∞．单调减区间是(22-．⑵5543⎛⎫ ⎪⎝⎭，．函数图象交点情况实质是转化为方程根的情况⑴ 函数()f x 的图象与x 轴的交点（方程()0f x =根的情况）；⑵ 函数()f x 的图象与直线y m =的交点（方程()f x m =或()0f x m -=根的情况） ⑶ 函数()f x 的图象与直线y kx m =+的交点（方程()f x kx m -=或()0f x kx m --=根的情况）⑷ 函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的交点（方程()()0f x g x -=的根的情况）【例5】已知函数()323f x x x ax b =+++和函数()g x ax =的图象有三个交点．求实数b 的取值范围．【解析】40b -<<．【例6】已知函数2()8f x x x =-+，()6ln g x x m =+．是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．【解析】(7156ln3)-，．2.2函数图象的交点问题知识点睛经典精讲【拓展1】如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个交点”怎么解答呢？【解析】前面相同，只需把后面改为()6ln3150x m ϕ=+->极小值或()70x m ϕ=-<极大值，即156ln3m >-或7m <，函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有一个交点（分析草图见图2和图3）．图 3图 2【拓展2】如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？【解析】前面相同，只需把后面改为()6ln3150x m ϕ=+-=极小值或()70x m ϕ=-=极大值，即156ln3m =-或7m =时，函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有两个不同的交点（分析草图见图4和图5）图 5图 4【拓展3】（2010宣武二模理19）已知函数()ln xf x x=．⑴ 判断函数()f x 的单调性；⑵ 若y =()xf x +1x的图象总在直线y a =的上方，求实数a 的取值范围； ⑶ 若函数()f x 与()1263m g x x x =-+的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值．【解析】 ⑴当0x e <<时，()0f x '>，()f x 为增函数；当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数．⑵(),1-∞．⑶56．【拓展3】(2008四川卷理22)已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．⑴ 求a ；⑵求函数()f x 的单调区间；⑶ 若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围．【解析】 ⑴16a =；⑵()f x 的递增区间是(11)-，和(3)+∞，；递减区间是(13)，． ⑶(32ln 22116ln 29)--，．（2007全国2卷理22）已知函数()3f x x x =-．⑴ 求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；⑵ 设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．【解析】 ⑴()23312y t x t =--．⑵ 如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使()23312b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记()3223g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-()6t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则()00a b b f a +>⎧⎪⎨-<⎪⎩，即()a b f a -<<．【演练1】（2010丰台二模理7）设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别是()f x 、()g x 的导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a x b <<时，有（） A ．()()()()f x g x f b g b > B ．()()()()f x g a f a g x > C ．()()()()f x g b f b g x > D ．()()()()f x g x f a g a >【解析】 A【演练2】（2010宣武一模文14）有下列命题：①0x =是函数3y x =的极值点；实战演练②三次函数()32f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->； ③奇函数()()()321482f x mx m x m x n =+-+-+在区间()44-，上是单调减函数．其中假命题的序号是．【解析】 ① 【演练3】（2009年宣武二模理7、文8）设()f x 是一个三次函数，()f x '为其导函数，如图所示的是()y x f x '=⋅的图象的一部分，则()f x 的极大值与极小值分别是 ( ).A ．()1f 与()1f -B ．()1f -与()1fC ．()2f -与()2fD ．()2f 与()2f -【解析】 C【演练4】(2009湖南理8)设函数()y f x =在(-+)，∞∞内有定义．对于给定的正数K ，定义函数()()()().K f x f x K f x K f x K ⎧=⎨>⎩，≤，，取函数()2e x f x x -=--．若对任意的()x ∈-∞+∞，，恒有()()K f x f x =，则( )．A ．K 的最大值为2B ．K 的最小值为2C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1【解析】 D【演练5】已知函数()3310f x x ax a =--≠，⑴ 求()f x 的单调区间；⑵ 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y m =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．【解析】 ⑴单调增区间为(-∞，和)+∞；单调减区间为(．⑵ ()31-，．（2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请试题高二第2试）已知函数32()f x x bx cx d =+++的图像经过点()12A -，，且在点A 处的切线方程为310x y ++=，()y f x =的图像与y 轴的交点位于坐标原点的下方，()y f x =在1x x =与2x x =处取得极值，且12x x -=⑴ 函数()f x 的解析式；⑵ 函数()f x 的单调区间．【解析】 ⑴3()63f x x x =-- ⑵()f x 在区间(-∞-，和)+∞上单调递增，在区间(单调递减．大千世界一、解决恒成立、存在性问题的常见方法总结方法一：分离参数法含参数a 的关于x 的不等式通过分离参数a 后，可以得到下列充要条件（假设D 为闭区间）：（一）恒成立问题⑴ ()()g a f x ≤，对x D ∈恒成立min ()()g a f x ⇔≤，x D ∈； ⑵ ()()g a f x <，对x D ∈恒成立min ()()g a f x ⇔<，x D ∈； ⑶ ()()g a f x ≥，对x D ∈恒成立max ()()g a f x ⇔≥，x D ∈； ⑷ ()()g a f x >，对x D ∈恒成立max ()()g a f x ⇔>，x D ∈．（二）存在性问题⑴ 存在x D ∈，使得()()g a f x ≤成立max ()()g a f x ⇔≤，x D ∈； ⑵ 存在x D ∈，使得()()g a f x <成立max ()()g a f x ⇔<，x D ∈； ⑶ 存在x D ∈，使得()()g a f x ≥成立min ()()g a f x ⇔≥，x D ∈； ⑷ 存在x D ∈，使得()()g a f x >成立min ()()g a f x ⇔>，x D ∈．方法二：结合函数方程思想进行分类讨论二、利用导数解决恒成立、存在性问题时导数仍然是重要工具．利用导数分析函数的单调性或求函数的极值与最值．满分晋级第3讲利用导数处理恒成立、存在性问题导数4级导数在研究函数中的综合应用导数5级利用导数处理恒成立、存在性问题导数6级利用导数处理不等式证明问题知识点睛1．对于函数()f x ，若()()0()0f x f x ''><，则()f x 为增函数（减函数）；反之，若()f x 为增函数（减函数），则()()0()0f x f x ''≥≤恒成立，且()f x '不恒等于零．2．解决方案：转化为简单的不等式恒成立问题来处理，主要方法就是分离参数或利用函数方程的思想，适当时就参数进行分类讨论来解决．【铺垫1】若()3f x x ax =-在()0+∞，上是增函数，则a 的取值范围是（） A ．[0)+∞， B ．()0+∞， C ．()0-∞， D ． (0]-∞，【解析】 D【铺垫1】已知函数()323f x x x =+，若()f x 在区间[]1m m +，上单调递增，则实数m 的取值范围为（）A ．(]3-∞-，B ．[)0+∞，C ．(][)30-∞-+∞，∪，D ．()()30-∞-+∞，∪，【解析】 C【铺垫2】（2008湖北卷理7）若()()21ln 22f x x b x =-++在()1-+∞，上是减函数，则b 的取值范围是（）A ．[1)-+∞，B ．()1-+∞，C ．(1]-∞-，D ．()1-∞-，【解析】 C【铺垫3】已知函数()()1e x f x ax =-，若函数()f x 在区间()01，上是单调增函数，则实数a 的取值范围为．【解析】 1a ≥；【例1】设函数()()e 0kx f x x k =≠．若函数()f x 在区间()11-，内单调递增，求k 的取值范围．【解析】[)(]1001- ，，．【例2】已知函数()()22e ax f x ax x =-，其中a 为常数，且0a ≥．若函数()f x在区间)2上单调递减，求实数a 的取值范围．【解析】 01a ≤≤．经典精讲3.1已知一个含参函数单调性求参数的取值范围知识点睛【铺垫1】设函数329()62f x x x x a =-+-对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值．【解析】 34-．【铺垫1】已知函数2()ln 2(0)f x a x a x=+->．若对于任意(0)x ∈+∞，，都有()2(1)f x a >-成立．试求a 的取值范围．【解析】20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【铺垫2】（2008江苏卷14）设函数3()31f x ax x =-+（x ∈R ），若对于任意[]11x ∈-，，都有()0f x ≥ 成立，则实数a 的值为．【解析】 4．【例3】（2008西城一模理18）已知函数()ln f x x x =． ⑴ 求()f x 的最小值；⑵ 若对所有1x ≥都有()1f x ax -≥，求实数a 的取值范围．【解析】 ⑴1e-． ⑵ (]1-∞，．【例4】已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++．设1a <-．如果对任意12(0)x x ∈+∞，，且12x x ≥，均有()1221()()4f x f x x x --≤．求a 的取值范围．【解析】(]2-∞-，．【例5】已知函数()ln f x x a x =-，1()()ag x a x+=-∈R ．若在[1e](e=2.718) ，上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围．【解析】2e 1e 1a +>-或2a <-．【例6】（2010山东理22）已知函数()()1ln 1af x x ax a x-=-+-∈R ．经典精讲3.2利用导数处理不等式恒成立、存在性问题⑴ 当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；⑵ 设()224g x x bx =-+．当14a =时，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，求实数b 取值范围．【解析】 ⑴()f x 在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，在11a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减．⑵ 178⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．【拓展2】（2010湖南理20）已知函数()2()f x x bx c b c =++∈R ，对任意的x ∈R ，恒有()()f x f x '≤． ⑴ 证明：当0x ≥时，2()()f x x c +≤；⑵ 若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式()22()()f c f b M c b --≤恒成立，求M的最小值．【解析】 ⑴ 易知()2f x x b '=+．由题设，对任意的x ∈R ，22x b x bx c +++≤，即2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立，所以2(2)4()0b c b ---≤，从而214b c +≥．于是1c ≥，且c b =≥，因此2()0c b c c b -=+->．故当0x ≥时，有2()()(2)(1)0x c f x c b x c c +-=-+-≥．即当0x ≥时，2()()f x x c +≤． ⑵ 32．【拓展3】设函数1()(0ln f x x x x=>且1)x ≠． ⑴ 求函数()f x 的单调区间；⑵ 已知12a xx >对任意()01x ∈，成立，求实数a 的取值范围．【解析】 ⑴()f x 的单调增区间为10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调减区间为11e ⎛⎫⎪⎝⎭，和()1+∞，；⑵ eln 2a >-．【拓展3】已知函数()2ln pf x px x x=--． ⑴ 若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；⑵ 若函数()2eg x x=，且存在[]121e x x ∈，，，使得()()12f x g x >，求实数p 的取值范围．【解析】 ⑴[1)+∞，．⑵ 24e e 1⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭，．已知()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()2e x f x =． ⑴ 当0x <时，求()f x 的解析式；⑵ 当0m >时，比较(1)f m -与(3)f m -的大小；⑶ 求最小的整数(1)m m >，使得存在实数t ，对任意的[1]x m ∈，，都有()2e f x t x+≤．【解析】 ⑴ ()2e x f x -=⑵ ①当2m >时， (1)(3)f m f m ->-；②当2m =时， (1)(3)f m f m -=-；③02m <<时， (1)(3)f m f m -<-； ⑶ 2．【演练1】已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++．若()f x 在()11-，上是增函数，求a 的取值范围．【解析】4136⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．【演练2】设函数()()2e 1x f x x ax =--，若当0x ≥时，()0f x ≥．求a 的取值范围．【解析】 (]1-∞，．【演练3】已知函数()(0)a f x x b x x =++≠，其中a ，b ∈R ．若对于任意的122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，不等式()10f x ≤在114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求b 的取值范围．【解析】 74⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．【演练4】设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+．⑴ 求()f x 的单调区间；⑵ 若当11e 1e x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，时，不等式()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】 ⑴ 递增区间是(0)+∞，，递减区间是()10-，； ⑵ 2e 2m >-时．【演练5】（2009年海淀二模理18）已知：函数()e xf x x a=-（其中常数0a <）.实战演练⑴ 求函数()f x 的定义域及单调区间；⑵ 若存在实数(]0x a ∈，，使得不等式()12f x ≤成立，求a 的取值范围．【解析】 ⑴单调递增区间为()1a ++∞，，单调递减区间为()a -∞，，()1a a +，． ⑵ 1ln 12a -≤．（2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高二7）对于一切122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，不等式3210ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围为________．【解析】 101a --≤≤4.1利用导数求出函数单调性来证明不等式满分晋级大千世界第4讲利用导数处理不等式证明问题导数5级利用导数处理恒成立、存在性问题导数6级利用导数处理不等式证明问题导数7级定积分与微积分基本定理在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明函数的单调性，然后再用函数的单调性达到证明不等式的目的． 1．直接构造函数2．把不等式变形后再构造函数【铺垫1】当0x >时，求证：()ln 1x x >+．【解析】令()()ln 1f x x x =-+，则()111f x x '=-+，()00f =．当0x >时，()0f x '>∴()f x 在()0+∞，上单调递增． ∴()()0f x f > 即()ln 1x x >+．【铺垫2】已知a b ∈R ，，e b a >>，求证：b a a b >．【解析】要证b a a b >，只需证ln ln b a a b >，即ln ln 0b a a b ->（或ln ln a ba b >）．方法一：设()ln ln f x x a a x =-()e x a >>，则()ln af x a x'=-．∵e x a >>，∴ln 1a >，01ax<<．∴()0f x '>．∴()f x 在()e +∞，上单调递增．∵b a >，∴()()f b f a >，故ln ln ln ln 0b a a b a a a a ->-=，即ln ln b a a b >．所以b a a b >成立．方法二：设()()ln e x f x x x=>，则()21ln 0xf x x -'=<．∴()f x 有()e +∞，上单调递减． ∵e b a >>，∴()()f b f a <，即()ln ln e a bb a a b>>>．所以b a a b >成立．【铺垫3】已知函数1()ln(1)(1)nf x x x =+--，其中*n ∈N ．证明：对任意的正整数n ，当2x ≥时，有()1f x x -≤．【解析】 ()f x 的定义域为(1)+∞，，①当n 为偶数时，令()1()g x x f x =--，则12()1(1)n x ng x x x +-'=---．易知当2x ≥时，()0g x '>，()g x 在[2)+∞，上递增，()(2)0g x g =≥；知识点睛经典精讲②当n 为奇数时，注意到10(1)nx <-，所以要证()1f x x -≤，只需证l n (1)1x x --≤．令()1ln(1)h x x x =---，则2()01x h x x -'=-≥，()h x 在[2)+∞，单调递增，()(2)0h x h >≥．综上可知，对任意的正整数n ，当2x ≥时，有()1f x x -≤．【例1】（2010安徽理17）设a 为实数，函数()e 22x f x x a =-+，x ∈R ．⑴ 求()f x 的单调区间与极值；⑵ 求证：当ln 21a >-且0x >时，2e 21x x ax >-+．【解析】 ⑴单调递减区间是()ln 2-∞，，单调递增区间是()ln 2+∞，，极小值为()()ln 2ln 2e 2ln 2221ln 2f a a =-+=-+ ⑵ 设2()e 21x g x x ax =-+-()0x >，()00g =．于是()e 22x g x x a '=-+()0x >由⑴知当ln21a >-时，()g x '最小值为()ln 22(1ln 2)0g a '=-+>．于是对任意0x >，都有()0g x '>，所以()g x 在()0+∞，内单调递增，于是当ln 21a >-时，对任意()0x ∈+∞，，都有()()0g x g >．从而对任意()0x ∈+∞，，()0g x >．即2e 210x x ax -+->，故2e 21x x ax >-+．【例2】设函数()()2l n 1f x x a x=++有两个极值点12x x ，，且12x x <．证明：()212ln 24f x ->．【解析】由题设知，函数()f x 的定义域是()1-+∞，，()2221x x af x x++'=+．依题意()0f x '=有两个不同的实根12x x ，，即2220x x a ++=的判别式480a ∆=->，即12a <；且1x ，2x ． ①又11x >-，故0a >．因此a 的取值范围是102⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由题设和①知：2102x -<<，()2221a x x =-+．于是()()()22222221ln 1f x x x x x =-++．设函数()()()221ln 1g t t t t t =-++，则()()()122(1)2(21)ln(1)212ln 11g t t t t t t t t t'=-+⋅-++=-+++．当12t =-时，()0g t '=；当102t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0g t '>，故()g t 在区间102⎛⎫- ⎪⎝⎭，是增函数．于是，当102t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()112ln 224g t g -⎛⎫>-=⎪⎝⎭．因此()()2212ln 24f xg x -=>．【例3】（2010湖北理21）已知函数()(0)bf x ax c a x=++>的图象在点(1(1))f ，处的切线方程为1y x =-． ⑴ 用a 表示出b ，c ；⑵ 若()ln f x x ≥在[)1+∞，上恒成立，求a 的取值范围；⑶ 证明：11111ln(1)()232(1)n n n n n ++++>+++ ≥．【解析】 ⑴112b a c a =-⎧⎨=-⎩．⑵12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． ⑶ 由⑵知：当12a ≥时，有()ln (1)f x x x ≥≥．令12a =，有11()ln (1)2f x x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥≥，且当1x >时，11ln 2x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭．令1k x k +=，有111111ln 112121k k k k k k k k ++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即111ln(1)ln 21k k k k ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，1k =，2，3，…，n ．将上述n 个不等式依次相加得11111ln(1)2232(1)n n n ⎛⎫+<++++ ⎪+⎝⎭ ，整理得1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++ ．【拓展3】（2008西城二模理20）已知函数()e x f x x =-（e 为自然对数的底数）．⑴ 求()f x 的最小值；⑵ 设不等式()f x ax >的解集为P ，且{}|02x x P ⊆≤≤，求实数a 的取值范围； ⑶ 设*n ∈N ，证明：1e e 1nnk k n =⎛⎫< ⎪-⎝⎭∑．【解析】 ⑴1．⑵()e 1-∞-，． ⑶ 由⑴得，对于任意x ∈R ，都有e 1x x -≥，即 1e x x +≤．令* (121)i x n i n n=-∈=-N ，，，，，则 01e i ni n -<-<．∴1e e nnii n i n --⎛⎫⎛⎫-<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(121)i n =- ，，，，即e ni n i n --⎛⎫< ⎪⎝⎭，(121)i n =- ，，，． ∴(1)(2)11121ee e 1nnnnnnn n k k n n n n n n n -----=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ ． ∵(1)(2)1111e 1e e e e 11e 1e e 1n n n ---------++++=<=--- ， ∴1e e 1nnk k n =⎛⎫< ⎪-⎝⎭∑．在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值，由该函数取得最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立．从而证明不等式问题转化为函数求最值问题．1．利用导数求出函数的最值，再证明不等式 2．利用导数求出函数的值域，再证明不等式【铺垫1】设函数()1e x f x -=-．证明：当1x >-时，()1xf x x +≥．【解析】当1x >-时，()()()e 111e x xx x f x x x -+=++-．所以()1xf x x +≥当且仅当e 1x x +≥．令()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-．当0x ≥时，()0g x '≥，()g x 在[)0+∞，是增函数；当0x ≤时，()0g x '≤，()g x 在(]0-∞，是减函数．于是()g x 在0x =处取得最小值，因而当x ∈R 时，()()0g x g ≥，即e 1x x +≥；所以当1x >-时，()1xf x x +≥．【铺垫2】()313f x x x =-，求证：当[]1211x x ∈-，，时，()()1243f x f x -≤．【解析】 ()21f x x '=-，当[]11x ∈-，时，()0f x '≤． ∴()f x 在[]11-，上单调递减，故()()max 213f x f =-=，()()min 213f x f ==-，即()f x 在[]11-，上的值域为2233⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．所以1x 、[]211x ∈-，时，()123f x ≤，()223f x ≤ 4.2利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式经典精讲知识点睛即有()()()()121243f x f x f x f x -+≤≤，∴()()1243f x f x -≤．【例4】（2008东城一模文20）已知函数3()f x ax cx =-，[]11x ∈-，． ⑴ 若4a =，3c =，求证：对任意[]11x ∈-，，恒有|()|1f x ≤； ⑵ 若对任意[11]x ∈-，，恒有|()|1f x ≤，求证：4a ≤．【解析】 ⑴ 证明：由4a =，3c =，得3()43f x x x =-．于是2()123f x x '=-令()0f x '=，可得12x =±，所以当112x -<<-或112x <<时，()0f x '>，当1122x -<<时，()0f x '<．所以函数()f x 的增区间为112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，112⎛⎫ ⎪⎝⎭，，减区间1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，，又(1)1f -=-，112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，(1)1f =，112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故对任意[11]x ∈-，，恒有1()1f x -≤≤，即对任意[11]x ∈-，，恒有|()|1f x ≤．⑵ 证明：由3()f x ax cx =-可得：(1)f a c =-，1282a c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此13(1)224af f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（上面两式联立消c ）由311(1)2(1)2422a f f f f ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，又对任意[11]x ∈-，，恒有()1f x ≤，所以334a≤，可得4a ≤．【例5】（2011东城一模理18）已知函数()ln f x x x =，2()e ex x g x =-． ⑴ 求函数()f x 在区间[13]，上的最小值； ⑵ 证明：对任意m ，(0)n ∈+∞，，都有()()f m g n ≥成立．【解析】 ⑴0．⑵ 证明：由⑴可知()ln ((0))f x x x x =∈+∞，在1ex =时取得最小值，又11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可知1()e f m -≥．由2()e e x x g x =-，可得1()ex xg x -'=．所以当(01)()0()x g x g x '∈>，，，单调递增；当(1)()0()x g x g x '∈+∞<，，，单调递减．所以函数()(0)g x x >在1x =时取得最大值，又1(1)e g =-，可知1()eg n -≤，所以对任意(0)m n ∈+∞，，，都有()()f m g n ≥成立．【备选】（2009年朝阳二模理20）已知函数()e e x f x x =-．⑴ 求函数()f x 的最小值；⑵ 求证：11111231e1n nn +++⋅⋅⋅++->+()n *∈N ．【解析】 ⑴0．⑵ 证明：由⑴知函数()f x 在1x =取得最小值，所以()(1)f x f ≥，即e e x x ≥两端同时乘以1e得1e x x -≥，把x 换成1t +得e 1t t +≥，当且仅当0t =时等号成立．由e 1t t +≥得，1e 112>+=，1213e 122>+=， 1314e 133>+=，111e 111n n n n ->+=--，111e 1n n n n+>+=．将上式相乘得11111231341e 21231n nn n n n n+++⋅⋅⋅++-+>⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=+-．（2008朝阳一模理18）设函数2()ln f x x x ax =++．⑴ 若12x =时，()f x 取得极值，求a 的值；⑵ 若()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围；⑶ 设()()21g x f x x =-+，当1a =-时，证明()0g x ≤在其定义域内恒成立，并证明()2222222ln 2ln3ln 212321n n n n n --+++<+ （2n n ∈N ，≥）．【解析】⑴3a =-．⑵)⎡-+∞⎣． ⑶ 证明：()ln 1g x x ax =++，当1a =-时，()ln 1g x x x =-+，其定义域是()0+∞，，令1()10g x x'=-=，得1x =．则()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值．而(1)0g =．所以()0g x ≤在()0+∞，上恒成立．因此ln 1x x -≤．因为2n n ∈N ，≥，所以22ln 1n n -≤．则22222ln 111n n n n n-=-≤．所以222222222ln 2ln3ln 1111112323n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤222111(1)23n n ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭ 111(1)2334(1)n n n ⎛⎫<--+++ ⎪⨯⨯+⎝⎭21121(1)212(1)n n n n n --⎛⎫=---=⎪++⎝⎭．所以结论成立．【演练1】证明：对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n nn ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．【解析】设函数32()ln(1)f x x x x =-++，则32213(1)()3211x x f x x x x x +-'=-+=++． ∴当[)0x ∈+∞，时，()0f x '>，所以函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，又(0)0f =．∴当(0)x ∈+∞，时，恒有()(0)0f x f >=，即32ln(1)0x x x -++>恒成立．故当(0)x ∈+∞，时，有23ln(1)x x x +>-．对任意正整数n ，取(]101(0)x n =∈⊂+∞，，，则有23111ln 1n nn ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭．所以结论成立．【演练2】设0≥a ，2()1ln 2ln f x x x a x =--+(0)x >．⑴ 令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+∞，内的单调性并求极值；⑵ 求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．【解析】 ⑴()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+∞，内是增函数， 2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．⑵ 证明：由0≥a 知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>．于是由上表知，对一切(0)x ∈+∞，，恒有()()0F x xf x '=>．从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+∞，内单调增加．所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>．故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．【演练3】已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．求证：()()≥f x g x （0x >）．实战演练【解析】设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()，x y 处的切线相同．()2∵f x x a '=+，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）．设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->，则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>．故()F x 在()0a ，为减函数，在()a +∞，为增函数，于是函数()F x 在(0)+∞，上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=．故当0x >时，有()()0≥f x g x -，即当0x >时，()()f x g x ≥．【演练4】已知函数2()ln f x x x ax =+-．设11n a n=+（*n ∈N ），求证：22212123()ln(1)2n n a a a a a a n n +++----<++ ．【解析】令3a =，则2()ln 3f x x x x =+-．21231(21)(1)()23x x x x f x x x x x-+--'=+-==．当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上是增函数．所以11(1)2f f n ⎛⎫+>=- ⎪⎝⎭．所以2111ln 11312n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+>- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以21113112ln 1n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．即2132ln 1n n a a n ⎛⎫-<++ ⎪⎝⎭．所以21132ln(11)a a -<++，222132ln 12a a ⎛⎫-<++ ⎪⎝⎭，233132ln 13a a ⎛⎫-<++ ⎪⎝⎭，……2132l n 1n n a a n ⎛⎫-<++ ⎪⎝⎭．所以22212123()n n a a a a a a +++----。

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小说：情节梳理及情感变化姜波初一春季语文莎士比亚四大悲剧和四大戏剧是什么？《哈姆雷特》《奥赛罗》《李尔王》《麦克白》《仲夏夜之梦》《威尼斯商人》《第十二夜》《皆大欢喜》世界三大短篇小说巨匠⑴莫泊桑法国《羊脂球》、《项链》长篇小说《一生》、《俊友》⑵契诃夫俄国《变色龙》、《苦恼》、《万卡》、《第六病室》、《套中人》⑶欧.亨利美国《麦琪的礼物》《警察与赞美诗》《小公务员之死》《警察与赞美诗》梳理故事情节希望去监狱过冬就餐门口被拒绝强吃霸王餐被打抢伞不成反送伞听赞美诗获重生突然被捕狱过冬试题形式①一般概括请你概括文章主要内容。

②高度概括小说生动地描写了暴君穿越沙漠的心理过程，请用三个词或短语将这一过程概述完整。

一鼓作气→→→→癫狂失常用填空的形式概括小说的部分内容(包括指出开端、发展、高潮和结局四部分中的某一方面)。

解答技巧生死跳伞汤姆有一架自己的小型飞机。

一天，汤姆和库尔及另外五个人乘飞机飞过一个人迹罕至的海峡。

飞机已飞行了两个半小时，再有半个小时就可到达目的地了。

突然，汤姆发现仪表显示飞机上的油料不多了。

汤姆判断是漏油了，因为起飞前，他给油箱加满了油。

汤姆将这一条消息一传达，飞上的人一阵慌乱。

汤姆安慰他们：“没有关系的，我们有降落伞！”说着，他将操纵杆交给了库尔，走向机尾拿来了降落伞包。

汤姆给每个人发了一个降落伞包后，也在库尔身边放了一个降落伞包。

他说：“库尔，我的好兄弟。

我带领五个人先跳，你开好飞机，最后在适当的时候再跳吧。

”说着，带领了五个人跳了下去。

飞机上只剩下库尔一个人了。

这时，仪表上显示油料已尽，飞机在靠滑翔无声地向前飞，库尔决定也跳下去。

于是，他一手板紧操作杆，一手抓过降落伞包，他一掏，大惊：包里没有降落伞，是一包汤姆的旧衣服！库尔气得咬牙节齿，大骂汤姆！没伞可跳，没油料，靠滑翔飞机是飞不久的！库尔急得浑身冒汗，只好使尽浑身解数，往前能开多远是多远。

飞机无声无息地朝前滑翔着，往下降着，与海面距离越来越近......就在库尔彻底绝望时，奇迹出现了——一片海岸出现在眼前。

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清代文学家、史学家赵翼在《论诗》一首诗中写到：“李杜诗篇万口传，至今已觉不新鲜。

江山代有才人出，各领风骚数百年。

”赵翼以此诗提倡创新，诗歌应随着时代不断发展，在创作上不断求新求变。

如果一味抱残守缺，厚古薄今，那么永远将裹足而前。

在本讲中，我们会说到近几年作文命题趋时性加强，这也为了引导同学们关注社会、关注当下生活、关注自身成长。

新材的重要性参选标准：真实、典型、丰富、新颖新材——趋时性素材作文命题的趋时性加强2011、2010作文试题选录一、2011年全国旧大纲卷作文题阅读下面材料，根据要求写一篇不少于800字的文章：2010年9月12日，北京一家体育彩票专卖店的业主为某彩民垫资购买了一张1024元的复式足球彩票，第二天他得知这张彩票中了533万元大奖，在第一时间给购买者打电话，并把中奖彩票交给买主。

他成为又一位彩票销售“最诚信的业主”。

有人据此在互联网上设计了一项调查：“假如你垫资代买的中了500万元大奖的彩票在你手里，你怎么做？”调查引来16万人次的点击，结果显示，有29.9%的人选择“通过协商协议两家对半分”；有28.1%“把500万元留给自己”；有22.1%的人选择“把500万元给对方”；还有19.9% 的人没做选择。

要求选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要脱离材料内容及含义的范围作文，不要套作，不得抄袭。

二、2011年新课标卷作文题据美国全球语言研究所公布全球二十一世纪十大新闻，其中有关中国作为经济和政治大国崛起的新闻名列首位，成为全球最大的新闻。

该所跟踪了全球75万家纸媒体、电子媒体及互联网信息，发现其中报道中国崛起的信息有3亿多条。

那么，中国的崛起主要有什么值得称道的和关注的特点呢？《中国青年报》和新浪网在中国网民中进行了调查，结果排在前六名的分别是：经济发展、国际影响、民生改善、科技水平、城市新进程和开放程度。

请根据以上材料，谈自己的所思、所想。

选择一个恰当的角度，题目自拟，文体不限（除诗歌外）;不要脱离材料的含义，不要套作，不得抄袭。

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12011年·高二秋季·目标清华北大班·学生版·第5讲1．2010高考江西卷下列各句中，加点的成语使用恰当的一项是（） A ．想当初，慈禧太后的陵寝造得多么坚固，曾几何时．．．．，还是禁不住军阀孙殿英的火药爆破，落了个一片狼藉。

B ．导演冯小刚把《集结号》中最重要的角色给了谷志鑫，其他演员几乎成了举重若轻．．．．的人物。

C ．上届冠军挪威队以全胜战绩出线，表现十分出色，其卫冕雄心及雄厚实力令人刮目相看．．．．。

D ．露卡在美国算是穷人，经常得到政府机构的接济和帮助，但她并不总是拾人牙慧．．．．，而是主动为社会做些好事。

2．2010高考湖北卷下列各项中，没有语病的一项是（）A ．当今的环境保护技术不仅做到了生产过程不浪费资源，不污染环境，保证产品使用的清洁高效，而且产品使用后废弃物的有效回收和循环利用。

B ．一旦确定了某个特定节日的纪念物，商家、企业就可以设计、生产、经营相关的物品，电视、报纸、杂志等媒体就有了重点宣传的目标。

C ．虽然现在所学的一些专业课，对我们很陌生，学起来比较吃力，不过我相信，在老师的帮助下，只要下苦功，就一定能够学好。

D ．某院医护人员在不知情的情况下，将携带有艾滋病病毒的血液输入到患者体内，致使这些患者旧病未除，又染新疾，造成了严重的后果。

阅读下面文言文，完成题目。

《范文正公文集》序苏轼庆历三年，轼始总角，入乡校。

士有自京师来者，以．鲁人石守道所作《庆历圣德诗》示乡先生。

轼从旁窃观，则能诵习其辞。

问先生以所颂十一人者何人也？先生曰：“童子何用知之？”轼曰：“此天人也耶，则不敢知；若亦人耳，何为其不可!”先生奇轼言，尽以告之，且曰：“韩、范、富、欧阳，此四人者，人杰也。

”时虽未尽了，则已私识之矣。

嘉祐二年，始举进士至京师，则范公殁。

既葬，而墓碑出，读之．至流涕，曰：“吾得其为人。

盖十有五年而不一见其面，岂非命也欤？”是岁登第，始见知于欧阳公，因公以识韩、富。

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2012山东高考数学卷（文科）概念版胶州实验中学刘红升 2012.3.61．灵感来自“李欣芮”，赠于德强老师（二次不等式、复数运算及复数的模）不等式为虚数单位）（i i ix x 1222-+<-的解集为：C .A ()2,1 .B ()3,1- .C ()2,1- .D ()1,2- 2．灵感来自模仿（分段函数）[)][) 11D. 11C. 10B. 10. 0...., (30)),213(log )(2，，（，），（的值域设函数--⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=-A x x x f x x3灵感来自“故事”及模仿（统计问题）山东师范大学98级数学系4班与3班各选5名女同学，将她们的身高数据如下面茎叶图所记录，比较两班女生身高的均值与方差4班3班A,4班均值大于3班，4班方差大于3班；B, 3班均值大于4班，3班方差大于4班；C,3班均值大于4班，4班方差大于3班； D, 4班均值大于3班，3班方差大于4班6, 6, 3,2, 16 6,7，7 0 17 0，1 3 194．灵感来自“雷锋”及模仿，赠庄志刚老师（数列）已知数列{n a }中，21=a ，且对任意正整数n m ,，nm mn a a =，求数列{122log log 1+∙n n a a }的前1998项和为.A19981995 .B 19981997 .C 19981999 .D 199919985．灵感来自“停不住的爱人”，赠罗大佑（函数图像）对于函数,sin )(=x x e x f x6．灵感来自模仿（向量三角形）在ABC ∆中，=”是“CB AB AC AB ∙=∙”的A,充要条件 B,充分不必要条件 C,必要不充分条件 D,即不充分也不必要条件 7. 灵感来自模仿（函数性质综合：单调、周期、奇偶等）),D.(1 )1,C.(-1 ,1)B.(- A.(0,1) )1()().(,cos sin )(2+∞∞<∈++=）的解集（则不等式函数f x f R x x x x x x f8．灵感来自“宝马”汽车标志，赠马拉多纳。

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_____班解说词看！_____班的运动员们走过来了！他们个个精神饱满，英姿飒爽，准备在本次运动会上大显身手。

_____班素有团结拼搏的优良作风，永争第一是他们永不放弃的口号!你看！他们的步伐多么的豪迈整齐！你听！他们的声音多么的嘹亮铿锵有力！他们愿将更高、更快更强的体育精神实现于运动场上的每一刻，愿将永攀高峰的意志带给每个人！来吧！祝愿他们在本次运动会中实现自我，胜不骄、败不馁；让我们为他们每一次拼搏加油，让我们为他们的每一次努力喝采！_____班解说词瞧！一群意气风发、精神抖擞的年青人正向我们走来。

整齐的步伐踏着他们的坚定，灿烂的微笑写着他们的热情，嘹亮的口号体现着他们的实力。

就是这样一个由41人组成的团体，他们团结友爱，勤奋好学。

他们用拼搏的汗水挥洒赛场，用晶莹的泪水拥抱胜利的辉煌。

这就是他们，这就是永远的、激情飞扬的99022！_____班解说词各位老师、同学们，现在朝主席台走来的，是由_____班健儿们组成的方阵。

这是一只顽强拼搏的队伍，一个团结向上的集体。

在去年的运动会上，虽有几名运动健儿因故未参加，但在所有人的奋力拼搏下，依然取得了团体第八名的好成绩。

今年，他们凝聚实力，决心向更好的成绩发起冲击、发动挑战。

他们的口号依然是："团结进取、奋力拼搏、齐心协力、共铸辉煌。

" 请拭目以待吧！_____班解说词现在走来的是_____班，天空闪烁绿松石的光芒，年轻的春天充满希望；我们带着崭新的力量随春天而至，鲜花将为我们开放；我们有缘才能相聚，有心才会珍惜，我们的心朝着同一方向眺望，我们心相连，手牵手。

团结成就我们旧日的辉煌，今天年轻的心萌动新的希望。

我们青春飞扬，我们团结向上，我们相信有梦的地方就会有飞翔。

_____班解说词放飞理想、放飞激情、勇往直前、永不言败，_____班正踏着朝阳，激情豪迈地走过来；这，是一个奋发向上、充满朝气的班级，他们步伐矫健、精神抖擞，在向你我庄严的宣告：_____班，本界运动会上最亮丽的风景线！我们同欢乐、我们共追求，我们驰骋赛场、挥洒豪迈，让我们的热血无悔地沸腾吧！加油吧！运动健儿们！胜利，将与我们_____班同在！_____班解说词迎面走来的是_____班,朝气与活力在每一个人身上洋溢,友爱与鼓励在每一个人心中传递,稳中求进,挑战自我是他们的起点.不懈努力,不倦追求是他们的历程,突破自我,争创第一是他们的目标,奋斗造就辉煌!昨日的汗水必能成就今朝的辉煌,加油, _____班,你将成为成功的代名词！_____班解说词"造化钟神秀，大地青未了。

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第十四讲现代文阅读初级篇2：训练从原文中搜索答案的能力授课目标例题解析如何区分难度培养学生的总结习惯鳖曰：这次鳖哥没有废话，大家高兴吧？直接上题。

一、【2010年海淀期末】放松和力度王安忆①学琴时，最大最致命的毛病是，力度上不去。

因此，声音立不起来。

拉的是大提琴，发出的声音却与大提琴相去甚远，是一种什么也不是的声音，这实在有点可悲。

我怨自己身体太弱，力气太小，而老师却说：没有力量是因为——不放松。

②老师说，要将全身的力全蓄聚到肩膀，由肩膀传到大臂，由大臂传到小臂，由小臂传到手腕，再由手腕传到握弓的手指，最终，力量落在了弦上。

要使力量顺利地传达到终点，必须要放松，任何一个部位任何细微的紧张，都会抵消这力量，妨碍这力量直达目的地。

这放松的感觉很不好找，老师教也教不会，看也看不见，只能靠自己去琢磨，去体会，去悟。

有时候，自以为放松了，实则却紧张得要命；有时候，正糊里糊涂，忽然拉出一个真正的大提琴声音，老师说：“放松了。

”而一得意，一注意，那放松的感觉却溜走了，再也找不着。

来无影，去无踪，真正成了仙踪。

③我苦苦地寻了几年，也未找到它并留住它，因此那力度始终也上不去。

声音始终立不起来。

我的大提琴，到底也没有奏响。

看来，这把琴命定不属于我。

我在那弦上费了偌大的心血，算是竹篮子打水——一场空，到头来只懂了一个可望而不可即的道理——力度来自放松。

④写了几年小说，渐渐发现，这个拉琴的道理似乎可运用在我的创作上。

⑤要将这宏大的世界和生活所给的感受，蓄聚到心里，由心里传到笔尖，最终变成小说，这从生活到心，再从心到笔的路途，应该是通畅的，少障碍的。

我以为，也不能紧张，要放松。

⑥生活中，切莫牢记自己是作家，端起作家的姿态，皱紧眉头，瞪大眼睛，牢牢地看定生活，一心想看出什么奥秘，什么真谛。

恰在专心一致看生活时，生活从身边湍湍地流了过去，连些水声都没在耳边留住。

莫记自己是作家，莫以写小说为己任，只是像一个常人似的认真地、放松地、热情地生活；吃喝、工作、劳动、恋爱、交朋结友等等。

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2012年普通高等学校招生全国统一测试（山东卷）文综本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

满分240分。

测试用时150分钟。

答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座位号、考生号、县区和科类填写在试卷和答题卡规定的位置。

测试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（必做，共100分）注意事项：1．第I卷共25小题，每小题4分，共100分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。

图1为青藏高原及我国温带若干自然带的关系图式。

读图回答1—2题。

图11．R所代表的自然带可能是A．苔原带B．温带草原带C．亚寒带针叶林带D．温带落叶阔叶林带2．导致自然带沿OF方向发生变化的主导因素是A．热量B．水分C．风力D．光照3．图2为某区域地质剖面示意图。

图中甲地层褶皱后，该区域先后发生了A．沉积作用、侵蚀作用、岩浆侵入B．岩浆侵入、侵蚀作用、沉积作用C．岩浆侵入、沉积作用、侵蚀作用D．侵蚀作用、沉积作用、岩浆侵入某科考队结束了两个月的海上考察。

于4月21日返回到P地。

图3为P地所在区域当日某时地面形势图。

读图回答4—6题。

图34．此时可能出现连续性降水的地方是A．①B．②C．③D．④5．在科学考察中，利用遥感技术可以A．获取卫星云图B．查询地理数据C．选择考察路线D．对科考船实时导航6．科考队出发日P地昼长为11小时，返回到P地时，P地当日的昼长约为A．10小时B．11小时C．13小时D．14小时图4为1982年和2009年我国人口年龄结构统计图。

读图回答7—8题。

图47．图中信息反映出A．1982—2009年人口出生率呈上升趋势B．1982年的人口平均年龄比2009年的低C．1982年的40岁及以上人口比重比2009年的高D．1982年的20—24岁年龄组人口数量比2009年的多8．和1982年相比，2009年我国人口年龄结构的变化A．显示人口的增长速度加快B．意味着社会养老负担加重C．不影响劳动人口的职业构成D．表明25—59岁劳动力资源数量下降9．有学者评论战国时期某学派说：“他们都是些注重实践的政治家……他们认为贵族的存在已不合时宜……他们把商人和学者看作是可有可无或多余的人。

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中考议论文考点大串烧课程目标：1．了解中考议论文阅读的具体考点，并通过考点把握考题形式。

2．运用规律来判断题目，从而找到最准确的答案。

3．做到运筹帷幄，熟练、准确、精准做题。

语文的实质是什么？有人认为语文的实质是工具性。

我认为，这种观点是片面的，它忽视了语文功能的多样性。

在日常生活中，每一个正常人都能熟练地进行语言交流，甚至有明显语法错误的表达也不影响双方的交流。

我认为，语文的产生、发展决定了语文的浅层次表达是生活实践，具有工具性；高层次表达则是精神万象，具有精神性。

《语文诗话》例1这是中国政府坚持以人为本、防灾减灾的艰辛探索。

……青海玉树地震发生后，军队12分钟后就到达灾区，所有转诊伤员无一死亡，7天后灾后重建规划即启动，15天后灾区172所学校全部复课……玉树抗震救灾工作有序、有力、有效，再次见证了中国政府应对重大自然灾害的能力不断增强。

安徽《科学不怕挑战》选段说说画线句子在文中的表达作用。

文：科学不怕挑战，怕挑战的不是科学。

至今为止，仍不断有人为躲避挑战而打出“科学”旗号，把它当作挡箭牌。

其实，这些人趁早收旗为好，否则，等到发现挡箭牌其实是箭靶子时，悔之晚矣。

大浪淘沙，沙不除金不现。

直面挑战，意在求真求是。

科学不断受到挑战，直面挑战，意在求真求是。

运用了比喻论证的方法，将科学不断受到挑战比作了大浪淘沙，证明了科学是不怕挑战的，从而把抽象深奥的道理阐述得生动形象、浅显易懂。

1．举例论证但当今是鼓励冒险、创新，让世界“跟着自己走”的时代。

比尔•盖茨、GOOGLE的创建人，都是因为敢于让世界跟着自己走而出头的。

目前美国30%的劳动力属于“创造阶级”，不是他们追工作，而是工作追他们：各种高技术公司，都要跑到这些人聚居的昂贵城市安营扎寨。

因为离开了这些人的异想天开，企业就失去了动力，而这些人，是一定要阅读的。

答题模式举例论证法，举……(概括事例)证明了……(如果有分论点，则写出它证明的分论点，否则写中心论点)，从而使论证更具体更有说服力。

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情感类作文作文写作锁定几个点：结构完整性：开篇点题，结尾扣题，文中呼应文题情节画面性：不要叙述，要描写，符合文题要求中心明确性：结构完整性做到了，情节画面性做到了，中心自然就明确了语言有美感：适当的引用、改编、借鉴，提升语言表达。

3性＋1感：“性感”的作文谁不爱？！作文讲解思路：情感分类：亲人间的情感感悟师生间的酸甜苦辣朋友间的深情厚谊陌生人间的人情美好例文分析＋选材拓展亲人间的情感感悟黑板上的记忆1．“慈母手中线，游子身上衣。

临行密密缝，意恐迟迟归。

谁言寸草心，报得三春晖。

”教室里响起了朗朗的读书声，可我怎么?进入不了角色。

清晨妈妈喊我起床时，我却莫名地生起气来。

“这么迟才叫我，是存心不让人吃饭吧！”说完我把门一摔，冲出了房门。

家里，只留下妈妈满脸的惊愕与委屈。

2．“慈母手中线，游子身上衣。

”老师的手在黑板上轻轻一点，我顿时感到一股暖流涌来，有些感动，也有些燥热。

是啊，怎么能够忘得了“慈母手中线”呢！3．那年，天气特别寒冷。

屋外，片片雪花被寒风扭着卷着，不分方向地乱飞。

屋里冷得像地窖一样，冷气不断从裤管往上钻。

“好冷啊！”我被冻得直打哆嗦，手被冻得僵了，还时不时感到一丝疼痛。

妈妈看到我那副模样，疼得眼泪都差点流出来了。

几天后，妈妈把我叫到身边，笑着说：“这颜色可是你最喜欢的。

”说着，拿出了一件花毛衣。

看着妈妈熬红的双眼，我顿时明白了是怎么一回事，鼻子陡然一酸，不由扑进了妈妈温暖的怀抱。

可早上，明明是自己的错，却硬要将气撒到妈妈身上。

渐渐地，一丝内疚涌上心头。

4．“临行密密缝，意恐迟迟归。

”老师那动听的声音宛如一条潺潺的小溪娓娓而来，那富含诗意的文字，再次推开了记忆的大门。

5．在我印象中，妈妈是位唠叨女神，也是一位可爱的思想家。

小的时候，妈妈见我不讲礼貌，便经常嘱咐我，“好话一句三?暖，冷言半句六月寒”。

有时，懒得做作业，想偷偷跑出去玩一会，妈妈便会丢来一句“光阴一去难再见，水流东海不复回”。

进入初中后，住校了，妈妈怕我与同学处理不好关系，第一个电话便再三说，“好胜逞强是祸胎，谦和谨慎一身安”……试想，没有妈妈的时时叮嘱，没有妈妈的殷殷期盼，错误会溜得远远的吗？6．“谁言寸草心，报得三春晖。

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高一·联赛班·第1讲·教师版1第一讲集合的概念与运算例题精讲板块一元素与子集元素与子集是集合中最基本的概念.其基本题型如下：1、根据给定的集合性质确定某元素是否属于某集合或确定某待定元数值；2、对数集中的元素按某种规律排序并找出其中某个特定元素；3、对某集合中元素按特定运算规则进行计算4、确定满足某条件的子集个数基本解题思路有：利用集合的互异性；分类讨论或枚举；对数集的元素排序；反证法等【例1】已知{1,3}A x =，, 2B {1,}x =,且A B {1,3,}x = . 求x 的所有可能值个数【例2】已知数集()1212|}12n n A a a a a a a n =<<< ，，，≤，≥具有性质P ：对任意的i ，()1j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A ．（Ⅰ）分别判断数集{134}，，与{1236}，，，是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）证明：11a =，且1211112nn n a a a a a a a ---+++=+++ ；【例3】已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N = ，则整数对()b a ,的个数为（）A. 20B. 25C. 30D. 42【例4】已知任意的记集合}6,5,4,3,2,1,0{=T ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈+++=4,3,2,1,77774433221i T a a a a a M i ，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是A .43273767575+++ B . 43272767575+++ C . 43274707171+++ D . 43273707171+++【例5】设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（） A ．[0,3) B ．[0,3] C ．[1,2)- D ．[1,2]-【例6】已知a 为给定的实数，那么集合M ＝{x|x 2－3x －a 2＋2＝0，x ∈R}的子集的个数为( )A.1B.2C.4D.不确定高一·联赛班·第1讲·教师版2【变式】一个n 元集的子集个数有多少个？非空子集个数有多少个？【例7】对于集合{1,2,...,}n 和它的每一个非空子集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数. 例如：{1,2,4,6,9}的交替和为964216-+-+=，{5}的交替和为5. 对于n=7,求所有这些交替和之和.板块二集合的运算集合的基本运算包括交并补运算，.其基本题型如下：1、给定两个或多个集合对其做复杂的复合运算，只要先利用函数或解析几何等相关知识确定原始集合，就可以按部就班地计算出最后结果.2、题目中对集合定义某种新运算，要求按新运算来进行计算.但第一类题型往往要用到很多高中的知识作为基础，因此放在以后的章节中逐渐渗透.【例8】集合A= 2{|[]2}x x x -=，B= {|||2}x x <，求A B , A B【例9】定义集合运算：{|,,}A B z z xy x A y B ⊗==∈∈，设A={2,0},B={0,8}，则集合A B ⊗的所有元素之和为（）A.16B.18C.20D.22【例10】已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差和距离分别为1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…1(,)()ni i i d A B d a b ==-∑（Ⅰ）当n=5时，设(0,1,0,0,1),(1,1,1,0,0)A B ==，求A B -，(,)d A B ；（Ⅱ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; (Ⅲ) 证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数板块三有限集的阶定义：有限集A 的元素数目叫做这个集合的阶，记作|A|. 注：高考中常记作card(A),本讲义中一律写作|A|.求集合的阶的问题通常与组合相关，特别是求满足某给定条件的子集的阶的最大值问题通常难度很大.这类问题在竞赛中变化极多，难以掌握.此处仅举数例说明，更深层次的问题将在学完组合基础之后再来学习.高一·联赛班·第1讲·教师版3【例11】设集合,30001|{},,14,20001|{≤≤=∈+=≤≤=y y B Z k k x x x A 集合31,},||y k k Z A B =-∈ 求.【例12】 S 是{1,2,...,1989}的一个子集，且S 中任两数之差不能为4或7,（1）证明：原集合中任11个连续整数中最多有5个能是S 中元素.（2）试求max s【例13】已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A ∩B 为空集。

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第十五讲土鳖出题你来做授课目标检测学生语文水平展示土鳖教学实力激发学生学习兴趣普及高中奋斗常识写在前面土鳖怀着兴奋和忐忑的心情写下这段文字。

兴奋的是，这是突破班的最后一讲，历经千辛万苦我们终于迎来了大结局。

从去年秋天开始，土鳖每天脑海里思考的都是如何讲好下一个专题，怎样更快的帮助同学们实现语文的突破，如何激发学习的信心，又如何提升同学们学习的兴趣。

每一次讲台上的谈笑风生，都有背后长期单调的伏案思索。

好在，土鳖以此为乐。

每有所得，常常会在电脑前不由自主地发笑；每有同学们感慨突破班的带来的“突破”之效，土鳖心中更增斗志。

突破班一二的录制持续八个月。

八个月里，我们相濡以沫，互相鼓舞。

同学们看得到土鳖的努力，土鳖也从同学们的反馈中看到了学习的认真、进步的喜悦。

同志们，为了我们共同的不懈奋斗，干杯！当来到最后一讲的时候，土鳖开始犹豫和忐忑。

这最后一讲如何能够给同学们留下久久难忘的印象，如何长久荡漾在人生的长河，如何鼓舞同学们在人生的道路上，时刻铭记文学对我们心灵的滋养，不忘记灵魂的家园……又在想如何传授好多老师不太关注的知识，如何在最后一堂课传授同学们更多，高中生活并不纯粹是由学习组成的，学习，是生活的一部分。

《土鳖出题你来做》，去年大纲敲定的时候，土鳖就下定决心，拟出一份让同学们震撼的试题，终生难忘。

但选择别人出的题，毕竟不能算自己的命题。

于是，就有了今天的土生土长的“土鳖杯”。

这份试题土鳖年前就已经命制完毕，并且在多个场合进行过测试，征求了不少同学的修改建议，关注了大家的做题体验，现在已比之前完善了许多。

科学无国界。

如果说这份试题让我们耳目一新，那么土鳖建议大家和周围的朋友分享。

如果我们学会了分享，未来就会懂得合作。

合作，是我们成就大业的基本品质。

合作的前提，则是每个成员都懂得分享。

祝土鳖的朋友们成长为参天栋梁！蟑螂才尽2012年4月24日“土鳖杯”高中语文学习能力测试（全国通用版）考试时间：150分钟总分：150分命题：蟑螂才尽说明：本试卷涵盖土鳖简介、学习方法、教学原理、文理分科、志愿填报、自主招生、评价教师、爱情观、人际交往等高中学生需要学习的各个方面，除了享受做题的乐趣外，更要体会其中的智慧奥妙。

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B = ·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为 (A) －7 (B) －4(C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③(D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A ,B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D)(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . (10) 6x⎛⎝的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE = , 则AB 的长为 . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为6, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

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作文：半命题作文审题法
魔法大本营
《也美丽》
1．审题
画出题目中的关键词，找出题目的隐含信息。

①美丽：外表美丽的事物或人
具有独特精神的事物或心灵美好的人
②也：相比较而言，能够从他（它）的身上发现美丽。

最：超越其他一切事物，就他（它）是最美的。

真：发现他（它）身上的美丽，这种美丽带给你惊喜。

③写作角度
⑴事物本身不美，但是事物中包含着一些特殊的意义，所以美丽。

黑发VS白发
鲜花VS杨树
⑵平时我们忽略了它的美丽，一件事情，让我发现了它的美。

主角VS配角
肌肤VS皱纹
⑶本身很美，相比之下，我能够发现美丽的其他角度。

朝阳VS夕阳
春花VS冬雪
2．补题
力求“陌生化”，并选取自己熟悉的材料。

力求“切口小”，抓住生活中的某个点来写。

魔法试验田
《感谢》
爸爸、妈妈、朋友、老师、努努、书籍、挫折
《我快乐，因为》
我坚强、我付出、我很棒、我幸福、我自信
魔法秘笈
半命题作文审题
1．审题：找出题目中的关键词，弄清题目要求
2．审题：思考作文思路
3．补题：力求“陌生化”
4．补题：力求“切口小”
1
2
采蜜集
坎坷、挫折、失误、不幸常常冷不丁就给你一击，叫你痛苦、流泪、不堪、倦怠。

你可以苟延残踹，但绝不能从此风平浪静。

激流跌落险滩，潮汐遭遇暗礁，雄鹰卷进长风……从来造化注定生命以劫难，谁个六头三臂能躲开？唯一的唯一的就是让人充满希望。

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备战中考说明文阅读之说明对象题梳理说明对象说明对象，就是一篇说明文作者到底要向我们介绍什么，这个被介绍的事物或事理就是说明对象。

如何找准说明对象题目段首中心句内容的筛选、提炼、概括例题一：高山上的守望者——岳桦1．巍峨的长白山上，大森林垂直绵延2000多米。

1100米以下是针阔混交林，金秋时节，绚烂缤纷；1100米-1800米之间是针叶林，树木挺拔参天，气势磅礴；过了1800米，森林放慢了脚步。

这里恶劣的自然条件，使大部分树木没有胆量穿越，即使是傲风斗雪的青松也望而却步。

然而岳桦却以勇敢和坚毅不屈的精神，顽强地在这里扎下了根，成为在蓝天白雪之间悄悄结语、静静展开的高山上的守望者。

2．岳桦在植物分类上属于桦木科，桦木属，为落叶森林植物。

树皮呈灰黄白色，枝暗红色，幼枝暗绿色。

冬芽呈矩圆形或卵球形，叶片薄，较硬，边缘呈不规则的锯齿状。

花期为每年的5-6月，果期在8-9月。

岳桦生长在寒湿地带的半阳坡山脊上，在我国分布于大小兴安岭、长白山等地，在俄罗斯东部、朝鲜、日本也有分布。

3．岳桦生长地属于湿润性亚高山气候。

冬季寒冷多风，夏季湿润多雨，降水量大而蒸发量小；年平均气温低，无霜期不足70天，生长季节短；风力强劲，每年有200多天的风力超过六级。

这里土壤贫瘠，虽然土壤表层有机质含量较高，但10厘米以下土质疏松，腐殖质较少，角砾较多。

4．在低海拔地区，尽管条件优越，但岳桦竞争不过云杉、冷杉等，只呈零星分布。

随着海拔的升高，云桦越来越占据优势地位，并在海拔1700-2100米处形成东亚地区保护最为完整的岳桦林带，几乎为纯林。

当海拔高于2100米，由于受风、雪等因素的影响，岳桦以斑块状分布于高山苔原带。

5．岳桦一年之内只有两个多月的生长期，生长期内又常常遭遇8级以上大风，因此，岳桦生长得十分谨慎也十分缓慢。

一棵看起来只有手腕粗的岳桦，往往已有十几岁甚至几十岁。

岳桦的兄弟姐妹(红桦、硕桦、黑桦等)高大笔直，在人们面前一直是美丽而又充满灵性的精灵。