青岛科技大学2012-2013-1复变函数A答案A

（答案要注明各个要点的评分标准）

一、选择题（3*5=15）

1．C 2．D 3．C 4．A 5．D

二、填空：（3*5=15）

1．sin)

244

i

ππ

+2．

2

3．

1

6

4．1

m-5．

32

21

(2)(2)

s s

+

--

三．判断题(2*5=10)

1．错2．错3．对4．对5．对

四．计算题（6*10=60）

1、解：2

()

f z x iy

=-，定义域为整个复平面

由已知2

(,),(,)

u x y x v x y y

==-（3分）而

2,1

0,0

u v

x

x y

u v

y x

∂∂

==-

∂∂

∂∂

==

∂∂

（5分）若函数可导须满足柯西黎曼方程,

u v u v

x y y x

∂∂∂∂

==-

∂∂∂∂

（7分）即21,

x=-所以函数在直线

1

2

x=-上可导。（8分）但在整个复平面不解析. （10分）

2、解：因为327

z i

=-，（2分）

所以

arg(27)2arg(27)2

sin)

33

i k i k

z i

ππ

-+-+

==+（6分）

22

22

3(cos sin),0,1,2

33

k k

i k

ππ

ππ

-+-+

=+=（10分）

3、解：因为

2111

()

(1)(2)12

z

f z

z z z z

+

==+

-+-+

（2分）在2z

<<+∞内，可知

1

<1

z

2

<1

z

（3分）

因为 10011111

11(1)n n n n z z z z

z z ∞∞

+=====--∑∑ （6分）

100111122(1)(1)221n n n n n n n n z z z z z z

∞∞

+===⋅=-=-++∑∑ （9分）

所以1100

2112()(1)(1)(2)n n n n n n z f z z z z z ∞∞

++==+==+--+∑∑ （10分）

4、解：被积函数的奇点0z =和1z =均为一级极点且都在C 内 ， （2分）

Re [(),0]s f z =201

lim (1)(4)16

z z e z z z z →⋅=--- （5分） Re [(),1]s f z =21lim(1)(1)(4)9

z z e e

z z z z →-⋅=-- （8分）

所以

2(Re [(),0]Re [(),1])I i s f z s f z π=+

2i π=（1169

e

-

+） （10分） 也可以用复合闭路定理结合柯西积分公式求解。

5、解：

2cos 25x

dx x x +∞-∞++⎰

2

1

()25

R z z z =++ 的孤立奇点为12z i =-±，其中位于上半平面的奇点是12z i =-+且为一级极点 （3分）

225

ix e dx x x +∞

-∞

++⎰

= 2Re [(),12]iz

i s R z e i π-+ =2122222iz i z i e e i z ππ--=-+=+ （6分）

=

2

(cos1sin1)2i e

π

-

（8分） 所以原积分 = 2

cos1

2e

π （10分）

6、解：

22u

x y x

∂=+∂ ，22u x y y ∂=-∂ 由C-R 方程：

,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 知 22v x y y

∂=+∂ （3分） 两边对y 求积分得2

(22)2()v x y dy xy y g x =+=++⎰

（5分）

又由

u v y x

∂∂=-∂∂得 2()22

y g x y x '+=- 所以2

()g x x C =-+ 222v xy y x C =+-+， 其中C 为实常数。 （8分）

所以解析函数2

2

2

2

()(,)(,)2(2)f z u x y iv x y x xy y i xy y x C =+=+-++-+

222(1)z iz iC i z iC =-+=-+ （10分）