双等腰三角形教师版

合集下载

北师大版八年级数学等腰三角形(2) (1)教案

1.1等腰三角形〔第二课时〕教学设计一、教材的地位和作用“等腰三角形〔第一课时〕〞选自《义务教育课程标准实验教科书〔北师大版〕·数学》八年级下册第一章第二节。

从图形的观察到猜测再到严谨的证明进一步研究等腰三角形的特殊性质，丰富了学生实践探究的过程体验，为开展学生数学实践探究能力提供了平台.本节课主要研究等腰三角形的特殊性质，特殊的等腰三角形〔等边三角形〕的性质，这是在已经学习了等腰三角形的性质、轴对称图形、全等三角形的知识上进行的，它既是拓展前面所学的知识，又为后面的几何证明打下更牢固的根底。

本节课是继八上《平行线的证明》后再次让学生感受了证明的必要性，深刻体验了“探索——发现——猜测——证明〞的全过程。

学生通过学习本节课的知识掌握了用综合法证明相关命题，感受了数学的严谨性，对缜密思维、探究能力的培养有着举足轻重的作用.二、学情分析在七年级下册第四章《三角形》，学生经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些根本的证明方法和根本标准，积累了一定的证明经验；而上一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等腰三角形的判定定理都做了很好的铺垫。

八年级学生已经具备初步的演绎推理能力，但是完整标准的语言表达还是欠缺的。

所以在命题证明的过程中教师不仅要鼓励学生大胆表达自己的推理过程，而且要严格标准几何语言表述。

本节课需要创造时机给学生大胆做猜测，充分发挥学生的主体作用，重视知识的生成过程.三、教学目标1.进一步探究等腰三角形的特殊性质，掌握等边三角形的性质定理，并运用等边三角形的性质解决问题；2.探索——发现——猜测——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的根本步骤和书写格式，体会证明的必要性；3.在图形的观察中，揭示等腰三角形对称性的本质，开展几何直观，体验数学充满着探索与创造，感受数学的严谨性.四、教学重难点重点：等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质；难点：等边三角形的性质及应用.五、教学关键运用观察、演绎推理来证明猜测，以全等三角形为推理工具，在交流中突破难点.六、教学方法在猜测验证、合作交流的根底上，教师先用讲授法引导学生证明性质及推理，然后用启发式教学法启发学生用相关知识解决问题、分析问题.七、教具学具准备PPT演示课件、实物展台、三角尺八、教学过程1.新知导入同学们，在上一节课的学习中，探究了等腰三角形的性质，下面请同学们答复以下问题：等腰三角形都有哪些性质呢？【设计】通过回忆等腰三角形的性质，为其特殊性质及等边三角形的性质的探究做好铺垫.2.新知探究【探究1】等腰三角形的特殊性质画一画：在等腰三角形中作两底角的角平分线、两腰上的中线、两腰上的高.图1追问1：作出的这些线段有什么关系？答案：如图1，作图观察，可以猜测：等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰上的中线、两腰上的高相等.【学生活动】学生动手画图，并根据作图找出相等的线段，并得出猜测.【设计】通过动手操作、观察探究等活动得到猜测.追问2：你能证明猜测的结论吗？例1：证明：等腰三角形的两底角的角平分线相等.：如图2，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线.求证：BD=CE.证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB〔等边对等角〕.∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠1=21∠ABC ，∠2=21∠ACB. 在△BDC 和△CEB 中，∵∠ABC=∠ACB ，BC =BC ，∠1=∠2，图2∴△BDC ≌△CEB 〔ASA 〕∴BD =CE.即等腰三角形两底角的角平分线相等.【学生活动】在教师的引导下对猜测所得出的结论进行证明，证明完成后组内交流，并认真听教师讲评.变式1：证明：等腰三角形的两腰上的中线相等.：如图3，在△ABC 中，AB =AC ， BD 和CE 是△ABC 两腰上的中线.求证：BD =CE.证明：∵AB =AC ，∴∠ABC=∠ACB 〔等边对等角〕.∵BD ，CE 分别平分AC 和AB ，∴CD=21AC ，BE=21AB ，在△BDC 和△CEB 中，图3 ∵CD=BE ，∠ABC=∠ACB ，BC =BC ，∴△BDC ≌△CEB 〔SAS 〕∴BD =CE.即等腰三角形两腰上的中线相等.【学生活动】学生独立完成对猜测的证明，然后组内并派小组成员分享证明过程.【设计】通过猜测、证明的过程培养学生的几何推理能力和表达能力.议一议：如图4，在等腰三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 和AB 上.〔1〕如果∠ABD =31∠ABC ，∠ABE =31∠ACB ，那么BD =CE 吗？如果∠ABD =41∠ABC ，∠ABE =41∠ACB 呢？由此，你可以得到什么结论？〔2〕如果CD =31AC ，BE =31AB ，那么BD =CE 吗？如果CD =41AC ，BE =41AB 呢？由此，你可以得到什么结论？图4结论：〔1〕在△ABC 中，如果AB =AC ， ∠ABD =n 1∠ABC ，∠ABE =n 1∠ACB ，那么BD =CE.〔2〕在△ABC 中，如果AB =AC ， CD =n 1AC ，BE =n1AB ，那么BD =CE. 【学生活动】学生口述答复并作简要证明.追问：为什么等腰三角形有这样的特殊性质？答：因为等腰三角形是轴对称图形，所以具有这样的特殊性质.【设计】通过对等腰三角形特殊性质的拓展，引导学生在图形的观察和证明的过程中揭示等腰三角形对称性的本质.变式2：证明：等腰三角形的两腰上的高相等.：如图5，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的高.求证：BD=CE.证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB〔等边对等角〕.∵BD和CE是△ABC的高，∴∠CDB=∠BEC=90°.在△BDC和△CEB中，图5∵∠ABC=∠ACB，∠CDB=∠BEC=90°，BC=CB，∴△BDC≌△CEB〔AAS〕∴BD=CE.即等腰三角形两腰上的高相等.【学生活动】学生小组讨论得出结论，并对结论进行证明，然后组内交流，最后教师点评.【探究2】等边三角形的性质思考：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？猜测：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.例2：：如图6，在△ABC中，AB=AC=BC.求证：△A=△B=△C=60°.证明：△AB=AC，△△B=△C(等边对等角).又△AC=BC，△△A =△B (等边对等角).△△A =△B =△C .在△ABC 中，图6△△A +△B +△C ＝180°，△△A =△B =△C ＝60°.归纳：等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且每个角都等于60° 符号语言：△△ABC 是等边三角形〔或AB =AC =BC 〕，△△A =△B =△C =60°.【学生活动】学生根据等腰三角形的性质进行猜测，然后对所猜测的结论进行证明，完成后班内交流.【设计】通过猜测、验证活动让学生体会等边三角形的性质及几何语言的标准表达.3.双基稳固例1:如图7，在△ABC 中，AB =AC ，以下条件中，不能使BD =CE 的是〔〕A. BD ，CE 分别为AC ，AB 上的高B . BD ，CE 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线C. ∠ABD =31∠ABC ，∠ABE =31∠ACB D . ∠ABD =∠BCE【设计】考查学生对等腰三角形特殊性质的掌握情况. 图7例2:等边△ABC 的两条角平分线BD 和CE 相交所夹锐角的度数为___________.【设计】通过角度的计算题加强学生对等边三角形的性质运用.例3:如图8，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，假设BD=BC，则∠A=____________.图8【设计】考查学生对等腰三角形性质的综合应用，利用方程思想与三角形内角和求角的度数.例4：如图9，△ABC与△BDE是等边三角形，连接AE，CD，求证：AE=CD.证明：∵△ABC与△BDE是等边三角形，∴△1=△3＝60°，AB=BC，BE=BD∴△1+△2＝△2+△3.即△ABE=△CBD.在△ABE和△CBD中，AB=BC，△ABE=△CBD，BE=BD，图9∴△ABE≌△CBD〔SAS〕∴AE=CD.【学生活动】学生先自主完成双基稳固练习，然后小组对答案并进行班级交流，教师点评.【设计】借助手拉手模型引导学生稳固等边三角形的性质，进一步训练学生标准的几何语言表达，开展几何证明能力.4.课堂小结在课堂的最后，我们一起回忆总结本节课所学的知识，同学们答复以下问题：问题1：说说等腰三角形的特殊性质？答案：〔1〕等腰三角形两底角的角平分线相等；〔2〕等腰三角形两腰上的中线相等；〔3〕等腰三角形两腰上的高相等.问题2：说说等边三角形的性质？答案：等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60°.问题3：本节课学习了哪些数学方法与数学思想？答案：特殊到一般的思想、方程思想、逻辑推理.5.变式拓展变式1：如图10，在等边△ABC中，M是AC上一点，N是BC上一点，且AM ＝BN，△MBC＝25°，AN与BM交于点O，则△MON的度数为〔〕A．110°B．105°C．90°D．85° 图10变式2：〔20xx·玉林〕如图11，△AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是〔〕A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直图11 【设计】两道变式训练一方面为了检查学生对双基稳固知识的掌握情况，另一方面训练学生的发散思维，引导学生利用等腰三角形的特殊性质、等边三角形的性质解决问题，开展应用意识.6.作业布置必做作业：P7习题第2、3题，变式拓展1、2题选做作业：学案选做7.板书设计教学设计说明与反思逻辑推理是六大数学核心素养之一，逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性根本保证，是人们在数学活动中进行交流的思维品质。

等腰三角形判定教案5篇

等腰三角形判定教案5篇等腰三角形判定教案5篇本节内容的重点是三角形三边关系定理及推论.这个定理与推论不仅给出了三角形的三边之间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准;下面是小编给大家整理的等腰三角形判定教案5篇，希望大家能有所收获!等腰三角形判定教案1一、教学目标：1.使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论;2.掌握等腰三角形判定定理的运用;3.通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;4.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;5.通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.二、教学重点：等腰三角形的判定定理三、教学难点性质与判定的区别四、教学流程1、新课背景知识复习(1)请同学们说出互逆命题和互逆定理的概念估计学生能用自己的语言说出，这里重点复习怎样分清题设和结论。

(2)等腰三角形的性质定理的内容是什么?并检验它的逆命题是否为真命题?启发学生用自己的语言叙述上述结论，教师稍加整理后给出规范叙述：1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简称“等角对等边”).由学生说出已知、求证，使学生进一步熟悉文字转化为数学语言的方法.已知：如图，△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.教师可引导学生分析：联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形.因为已知∠B=∠C，没有对应相等边，所以需添辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A点引起.再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线，学生可找出作∠BAC的平分线AD或作BC边上的高AD等证三角形全等的不同方法，从而推出AB=AC.注意：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆.(2)不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形.(3)判定定理得到的结论是三角形是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.2.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.要让学生自己推证这两条推论.小结：证明三角形是等腰三角形的方法：①等腰三角形定义;②等腰三角形判定定理.证明三角形是等边三角形的方法：①等边三角形定义;②推论1;③推论2.3.应用举例例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.分析:让学生画图，写出已知求证，启发学生遇到已知中有外角时，常常考虑应用外角的两个特性①它与相邻的内角互补;②它等于与它不相邻的两个内角的和.要证AB=AC，可先证明∠B=∠C，因为已知∠1=∠2，所以可以设法找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系.已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求证：AB=AC.证明：(略)由学生板演即可.补充例题：(投影展示)1.已知：如图，AB=AD，∠B=∠D.求证：CB=CD.分析：解具体问题时要突出边角转换环节，要证CB=CD，需构造一个以 CB、CD 为腰的等腰三角形，连结BD，需证∠CBD=∠CDB，但已知∠B=∠D，由AB=AD可证∠ABD=∠ADB，从而证得∠CDB=∠CBD，推出CB=CD.证明：连结BD，在中，(已知)(等边对等角)(已知)即(等角对等边)小结：求线段相等一般在三角形中求解，添加适当的辅助线构造三角形，找出边角关系.2.已知，在中，的平分线与的外角平分线交于D，过D作DE//BC交AC与F，交AB于E，求证：EF=BE-CF. 分析：对于三个线段间关系，尽量转化为等量关系，由于本题有两个角平分线和平行线，可以通过角找边的关系，BE=DE,DF=CF即可证明结论.证明： DE//BC(已知)，BE=DE,同理DF=CF. EF=DE-DF EF=BE-CF 小结：(1)等腰三角形判定定理及推论.(2)等腰三角形和等边三角形的证法.七.练习教材 P.75中1、2、3.八.作业教材 P.83 中 1.1)、2)、3);2、3、4、5.五、板书设计等腰三角形判定教案2§12.3.1.2 等腰三角形判定教学目标(一)教学知识点探索等腰三角形的判定定理.(二)能力训练要求通过探索等腰三角形的判定定理及其例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;(三)情感与价值观要求通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力.教学重点等腰三角形的判定定理的探索和应用。

双等腰三角形教师版

双等腰三角形等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？共腰双等腰首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。

共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。

模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。

A ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵AD=AE，∴设∠ADE=∠AED=β，E其中两个等腰三角形的一条腰AE与AC共线，那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角∠EDC=β-α，B CD那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角∠BAD=∠ADC-∠ABC=2β-2α，∴∠BAD=2∠EDC。

模型一变式、①如图，AB=AC，∠BAD=2∠EDC，求证：AD=AE。

②如图，AD=AE，∠BAD=2∠EDC，求证：AB=AC。

A AE EB CD B CD模型二、如图，AB=AC=A，D求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC。

∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α，A ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β，其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角∠DBC=β-α，那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角∠CAD=∠BAD-∠BAC=2β-2α，∴∠CAD=2∠CBD。

同理可证，∠∠。

BAC=2BDC模型二变式、①如图，，∠∠，求证：。

AB=AC CAD=2CBD AB=AD BCD②如图，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，求证：AB=AC。

模型二思考、等腰△ABC与等腰△ACD也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？模型三、如图，AB=AC=A，D求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC；（3）∠BAD=2∠BCD。

2023年暑假新八年级数学预习专题7：等腰三角形(精讲教师版)

四、等边三角形的判定等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．
五、含 30°的直角三角形的性质定理在直角三角形中，如果有一个锐角是 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
攻略 1 判定等腰三角形的方法： 1．定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
第 1页（共 15页）
三、等边三角形的性质 1．三边都相等的三角形叫等边三角形． 2．等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60°．注意：①每条边上的中线、高线、所对角的角平分线互相重合（三线合一） ②等边三角形也是轴对称图形，它有三条对称轴，三线合一所在的直线即为等边三角形的对称轴，对称轴的交点是等边三角形的中心点． 3．常见有关等边三角形的旋转题图形
第 2页（共 15页）
2．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．数学语言：在△ABC 中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．【注意】1．“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． 2．“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．攻略 2 判定等边三角形的方法： 1．定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． 2．三个角都相等的三角形是等边三角形． 3．有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．攻略 3 一在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【注意】1．该性质是含 30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． 2．这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． 3．该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． 4．在有些题目中，若给出的角是 15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将 15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．

等腰三角形教案

3．引导学生对性质1做出三种不同证明，三种方法添加的三条辅助线有什么关系？
学生充分讨论后，小组代表阐述猜想过程（教师刻意找教师参与过的小组的代表，他阐述的猜想过程又会引导启发其他同学）。
本次活动中，教师重点注重：
（1）学生数学语言的规范性；
（2）学生的归纳能否全面；
（3）学生在交流中表现出来的参与意识和发表个人见解的勇气。
培养学生语言转换水平，增强理性理解，体会证明的必要性，发展演绎推理水平。
14分钟
8分钟
[活动4]使用性质，解决问题
问题
（1）等腰三角形一个底角为75°,它另外两个角为___________；
等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为____________；
等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________。
教师评判并引导学生归纳性质1的两个作用：
1求角的度数；
②将线段间的相等关系转化为角之间的相等关系。
教师用ppt演例如题1。
学生独立思考后小组讨论。
教师参与讨论，认真听取学生分析，引导学生找出角之间的关系，为了分析解答的简捷明了，引导学生设∠A=x，板书解答过程。
教师用ppt演例如题2。
学生独立思考证明，他们可能还习惯于用全等三角形。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
性质2：三线合一．
使用格式：在△ABC中，
（1）∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=DC,∠BAD=∠CAD.
（2） ∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
（3） ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,
∴AD⊥BC,BD=DC.
三、例题1
解：∵AB=AC，
《等腰三角形》教学设计

专题21 双等腰旋转问题(教师版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)

专题21 双等腰旋转问题【规律总结】“双等腰旋转”是旋转型全等的重要组成部分，也是初中阶段常考的重要题型.与平移、对称类似，利用全等将线段或角的位置转移，把分散的条件集中在一起，在选择题、填空题、解答题经常出现.解答这类问题的关键是掌握基本模型的结构.【基本模型】1.已知条件当中若存在两个等腰三角形其顶角顶点重合，则本身就存在双等腰旋转全等：共顶点双等腰直共顶点双等腰2.已知条件当中若只存在一个等腰三角形，可以利用“已知等腰、构造等腰”的思路构造双等腰旋转：【典例分析】例1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，△BEF的度数是（）A．45°B．60°C．62.5°D．67.5°【答案】D【分析】根据旋转的性质可得CD＝CE和∠DCE＝90°，结合∠ACB＝90°，AC＝BC，可证∠ACD∠∠BCE，依据全等三角形的性质即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰∠BEF，则可计算出∠BEF 的度数．【详解】解：由旋转性质可得：CD＝CE，∠DCE＝90°．∠∠ACB＝90°，AC＝BC，∠∠A＝45°．∠∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．∠∠ACD∠∠BCE．∠∠CBE＝∠A＝45°．∠AD＝BF，∠BE＝BF．∠∠BEF＝∠BFE＝67.5°．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质找出相等的线段和角，并能准确判定三角形全等，从而利用全等三角形性质解决相应的问题．例2．（2020·山西八年级期末）如图，ABC ∆和DCE ∆都是等腰直角三角形，90ACB ECD ∠=∠=︒，42EBD ∠=︒，则AEB ∠=___________度．【答案】132【分析】先证明∠BDC∠∠AEC ，进而得到角的关系，再由∠EBD 的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．【详解】解：∠90ACB ECD ∠=∠=︒，∠BCD ACE ∠=∠，在BDC ∆和AEC ∆中，AC BC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()BDC AEC SAS ∆∆≌，∠DBC EAC ∠=∠，∠42EBD DBC EBC ︒∠=∠+∠=，∠42EAC EBC ︒∠+∠=，∠904248ABE EAB ︒︒︒∠+∠=-=，∠180()18048132AEB ABE EAB ︒︒︒︒∠=-∠+∠=-=．故答案为132【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．例3．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=______度．（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图，当点D 在线段BC 上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．②如图，当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）90；（2）①180αβ+=︒，理由见解析；②αβ=，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证∠BAD∠∠CAE ，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE 的度数；（2）①由“SAS”可证∠ABD∠∠ACE 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论； ②由“SAS”可证∠ADB∠∠AEC 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】（1）∠AB=AC ，∠BAC=90°，∠∠ABC=∠ACB=45°，∠∠DAE=∠BAC ，∠∠BAD=∠CAE ，在∠BAD 和∠CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BAD∠∠CAE （SAS ）∠∠ABC=∠ACE=45°，∠∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；（2）①180αβ+=︒．理由：∠∠BAC=∠DAE ，∠∠BAC -∠DAC=∠DAE -∠DAC ．即∠BAD=∠CAE ．在∠ABD 与∠ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD∠∠ACE （SAS ），∠∠B=∠ACE ．∠∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB ．∠∠ACE+∠ACB=β，∠∠B+∠ACB=β，∠α+∠B+∠ACB=180°，∠α+β=180°；② 当点D 在射线BC 的反向延长线上时，αβ=．理由如下：∠DAE BAC ∠=∠，∠DAB EAC ∠=∠，在∠ABD 与∠ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠△≌△ADB AEC(SAS)， ∠ABD ACE ∠=∠，∠ABD BAC ACB ∠=∠+∠，ACE BCE ACB ∠=∠+∠，∠BAC ABD ACB ∠=∠-∠，BCE ACE ACB ∠=∠-∠，∠BAC BCE ∠=∠，即αβ=．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明∠ABD∠∠ACE 是解本题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·全国八年级单元测试）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，△BAF=△CAG=90°，AB=AF ，AC=AG ．连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ．则下列结论：①BG=CF ；②BG△CF ；③△EAF=△ABC ；④EF=EG ，其中正确的有（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】D【分析】由题意易得FAC BAG ≌，根据全等三角形的性质可进行分析排除．【详解】解：∠BAF=∠CAG=90°，∠BAG=∠BAC+∠GAC ，∠FAC=∠FAB+∠BAC ，∴∠BAG=∠FAC ，AB=AF ，AC=AG ，∴FAC BAG ≌，∴BG=FC ，∠AGB=∠ACF ，故①正确；∠AGC=∠AGB+∠BGC ，∠GCF=∠ACF+∠GCA ，∠GCA=∠AGC ，∴∠BGC+∠FCG=∠AGC -∠AGB+∠GCA+∠ACF=90°，∴BG∠CF ，故②正确；∠FAE+∠BAD=90°，AD∠BC ，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠FAE=∠ABD ，故③正确；如图，设GH 与FC 交于H 点，连接EH ，由①②③易得∠FHE=∠EHF ，所以EF=EH ，即EF=EH=EG ，故④正确；故选D ．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键．2．（2019·北京市八一中学）如图，//AB CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线相交于点G ，EG AC ⊥于点E ，F 为AC 中点，GH CD ⊥于H ，FGC FCG ∠=∠．下列说法正确的是( )①AG CG ⊥；②BAG CGE ∠=∠；③AFG GFC S S ∆∆=；④若:2:7EGH ECH ∠∠=，则150AFG ∠=︒．A ．①③④B ．②③C ．①②③D ．①②③④【答案】C【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到90GAC GCA ∠+∠=︒从而根据三角形的内角和定理得到90AGC ∠=︒，即可判断①正确性；根据等角的余角相等可知CGE GAC ∠=∠，再由角平分线的定义与等量代换可知BAG CGE ∠=∠，即可判断②正确性；通过面积的计算方法，由等底等高的三角形面积相等，即可判断③正确性；通过角度的和差计算先求出EGH ECH ∠∠，的度数，再求出50EGF ∠=︒，再由三角形内角和定理及补角关系即可判断④是否正确．【详解】①中，∠AB ∠CD ，∠180BAC ACD ∠+∠=︒，∠∠BAC 与∠DCA 的平分线相交于点G ， ∠11121809022GAC GCA BAC ACD ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∠180GAC GCA AGC ∠+∠+∠=︒，∠90AGC ∠=︒∠AG ∠CG ，则①正确；②中，由①得AG ∠CG ，∠EG AC ⊥，FGC FCG ∠=∠，∠根据等角的余角相等得CGE GAC ∠=∠，∠AG 平分BAC ∠，∠=BAG GAC ∠∠，∠BAG CGE ∠=∠，则②正确；③中，根据三角形的面积公式，∠F 为AC 中点，∠AF =CF ，∠AFG ∆与GFC ∆等底等高，∠AFG GFC S S ∆∆=，则③正确；④中，根据题意，得：在四边形GECH 中，180EGH ECH ∠+∠=︒，又∠:2:7EGH ECH ∠∠=， ∠271804018014099EGH ECH ∠=︒⨯=︒∠=︒⨯=︒，， ∠CG 平分∠ECH ， ∠1702FCG ECH ∠=∠=︒，根据直角三角形的两个锐角互余，得20EGC ∠=︒.∠FGC FCG ∠=∠，∠70FGC FCG ∠=∠=︒，∠50EGF FGC ECG ∠=∠-∠=︒，∠EG AC ⊥，∠9040GFE EGF ∠=︒-∠=︒，∠180********AFG GFE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，则④错误.故正确的有①②③，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，涉及到三角形面积求解，三角形的内角和定理，补角余角的计算，角平分线的定义，平行线的性质等相关知识点以及等量代换等数学思想，熟练掌握相关角度的和差倍分计算是解决本题的关键.二、填空题3．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则222,,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____．【答案】PA 2+PB 2=2PC 2【分析】把AP 2和PB 2都用PC 和CD 表示出来，结合Rt∠PCD 中，可找到PC 和PD 和CD 的关系，从而可找到PA 2，PB 2，PC 2三者之间的数量关系；【详解】解：过点C作CD∠AB，交AB于点D∠∠ACB为等腰直角三角形，CD∠AB，∠CD=AD=DB，∠PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，∠PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），在Rt∠PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，∠PA2+PB2=2PC2，故答案为PA2+PB2=2PC2.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.4．（2020·仪征市实验中学九年级三模）两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝13，CD＝7．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0<α<90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，则△ABC 的面积为____．【答案】30【分析】设AO 与BC 的交点为点G ，根据等腰直角三角形的性质证∠AOC∠∠BOD ，进而得出∠ABC 是直角三角形，设AC ＝x ，BC=x+7，由勾股定理求出x ，再计算∠ABC 的面积即可．【详解】解：设AO 与BC 的交点为点G ，∠∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠∠AOC ＝∠DOB ，在∠AOC 和∠BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠AOC∠∠BOD （SAS ），∠AC ＝BD ，∠CAO ＝∠DBO ，∠∠DBO ＋∠OGB ＝90°，∠∠OGB ＝∠AGC ，∠∠CAO ＋∠AGC ＝90°，∠∠ACG ＝90°，∠CG∠AC ，设AC＝x，则BD=AC=x，BC=x+7，∠BD、CD在同一直线上，BD∠AC，∠∠ABC是直角三角形，∠AC2＋BC2＝AB2，()222713x x++=,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S= 151230 2⨯⨯=，故答案为：30．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．三、解答题5．（2020·佳木斯市第十二中学九年级期中）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以BC为斜边作直角三角形BCP，连接OP．（1）如图所示，易证：CP BP=+；（2）当点P的位置变换到如第二幅图和第三幅图所示的位置时，线段CP、BP、OP之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对第二幅图加以证明．【答案】（1）见解析；（2）第二幅图：BP CP =，第三幅图：BP CP +=【分析】（1）在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，根据正方形的性质证明()OCE OBP SAS ≅，得到EOP △是等腰直角三角形，所以有PE =，从而证得CP CE PE BP =+=+；（2）第二幅图的证明过程类似（1）中的证明过程，在BP 上截取BE=CP ，连接OE ，记OC 与BP 交于点F ，证明()OBE OCP SAS ≅，得到OEP 是等腰直角三角形，可以证得BP CP =+；第三幅图的结论是BP CP +=，证明方法一样是构造三角形全等，由()OBE OCP SAS ≅可以证出结论．【详解】解：（1）如图，在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，∠四边形ABCD 是正方形，∠OB=OC ，90BOC ∠=°，∠BP CP ⊥，∠90BOC BPC ∠=∠=︒，∠OFC PFB ∠=∠，∠OCE OBP ∠=∠，在OCE △和OBP 中，OC OB OCE OBP CE BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()OCE OBP SAS ≅，∠OE OP =，COE BOP ∠=∠，∠BOC BOE COE ∠=∠+∠，EOP BOE BOP ∠=∠+∠，∠90EOP BOC ∠=∠=︒，∠EOP △是等腰直角三角形，∠PE =，∠CP CE PE BP =+=+；（2）第二幅图：BP CP =，第三幅图：BP CP +=，证明第二幅图的结论：如图，在BP 上截取BE=CP ，连接OE ，记OC 与BP 交于点F ，同（1）中证明()OCE OBP SAS ≅的过程证明()OBE OCP SAS ≅，同理OEP 是等腰直角三角形，∠EP =，∠BP BE EP CP =+=；第三幅图的证明过程是：如图，延长PB 至点E ，使BE=CP ，证明()OBE OCP SAS ≅，得到OEP 是等腰直角三角形，∠EP =，∠EP EB BP CP BP =+=+，CP BP =+．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和进行的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解，并且学会构成全等三角形的方法．6．（2020·台州市书生中学八年级期中）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，将OB绕O点顺时针转60°至OA．（1）如图1，试判定△ABO的形状，并说明理由．（2）如图1，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．（3）如图2，若BC△BO，BC＝BO，作BD△CO ，AC、DB交于E，补全图形，并证明：AE ＝BE+CE．【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）AP＝2AO，证明见解析；（3）见解析【分析】（1）在三角形AOB中，AB=BO，∠AOB=60°，含60°的等腰三角形一定为等边三角形；（2）可通过证明∠ABG与∠OBE全等，得到∠APO＝30°，再通过含30°的直角三角形的性质可以推导AP＝2AO；（3）做辅助线在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，再通过边角转换证明∠ABE与∠CBM 全等，即可得到∠BEM为等边三角形，从而可证AE＝AM+EM ＝CE+BE.【详解】解：（1）如图1，∠AOB 为等边三角形，理由是：∠将绕OB 绕O 点旋转至OA∠∠AOB=60°，∠AO ＝AB∠∠AOB 为等边三角形；（2）AP ＝2AO ，理由为：证明：∠∠AOB 与∠BGE 都为等边三角形，∠BE ＝BG ，AB ＝OB ，∠EBG ＝∠OBA ＝60°，∠∠EBG+∠EBA ＝∠OBA+∠EBA ，即∠ABG ＝∠OBE ，在∠ABG 和∠OBE 中，BE BG ABG OBE AB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABG∠∠OBE （SAS ），∠∠BAG ＝∠BOE ＝60°，∠∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°，∠∠GAO为∠AOP的外角，且∠AOP＝90°，∠∠APO＝30°在Rt∠AOP中，∠APO＝30°，则AP＝2AO．（3）补全图形，在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，∠∠AOB 为等边三角形，∠BOC为等腰直角三角形，∠∠OBC＝90°，∠ABO＝60°，∠D为CO的中点，∠BD平分∠OBC，即∠CBD＝∠OBD＝45°，∠∠ABD＝105°，∠ABC＝150°，∠∠BAC＝∠BCA＝15°，∠∠AEB＝15°+45°＝60°，在∠ABE和∠CBM 中，∠AB CBBAE BCMAE CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABE∠∠CBM （SAS），∠BM＝BE，∠∠BEM为等边三角形，∠BE＝EM，∠AE＝AM+EM＝CE+BE；【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，以及做辅助线证明全等的方法，解题的关键是熟练地掌握等腰三角形的性质以及做辅助线证明全等的技巧和方法.。

第四讲等腰三角形和直角三角形(教师版本)

第四讲等腰三角形和直角三角形✧知识要点◆等腰三角形1.定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2.等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3.等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称4.等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴5.等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形◆线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：经过线段中点条线段且垂直这条线段的直线叫做线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等判定：到一条线段两端点距离相等的点在2、平分线：性质：角平分线上的点到得距离相等判定：到角两边距离相等的◆直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形2、勾股数，列举常见的勾股数三组、、3、直角三角形的性质：⑴直角三角形两锐角（2）在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它的对边是边的一半4、直角三角形的判定：勾股定理的逆定理外定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形✧ 基础过关1、 2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ C ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．16或202、（2012•江西）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ B ） A ．20° B ．50° C ．60° D ．80°3、直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为（ D ）（A ） 6 （B ） 8 （C ）1380 （D ） 1360✧ 典例剖析考点一：等腰三角形性质的运用例1 （2012•襄阳）在等腰△ABC 中，（1）当AB=AC 时，（2）当AB=BC 时，（3）当AC=BC 时，A ．45°B ．75°C ．45°或75°D ．60°分析：首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC 是顶角与∠BAC 是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案．考点二：线段垂直平分线例2（2012•毕节地区）如图．在Rt△ABC 中，∠A=30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 是垂足，连接CD ，若BD=1，则AC 的长是（） A ．．2 C ． D ．4考点三：等边三角形的判定与性质对应训练3．（2012•湘潭）如图，△AB C 是边长为3的等边三角形，将△ABC 沿直线BC 向右平移，使B 点与C 点重合，得到△DCE，连接BD ，交AC 于F ．（1）猜想AC 与BD 的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD 的长．考点四：角的平分线例4 （2012•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= 2 ．对应训练4．（2012•常德）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DC=2，则D 到AB 边的距离是 2 考点五：勾股定理课后练习A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对2、2012•本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（ A ）A．16 B．15 C．14 D．133、（2012•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长（ C ）A．2 B．C．D．3（2012•北京）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．DE=，，∴AC=2+1+=3+×2×（3++）。

双等腰三角形教师版

模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。

模型一变式、①如图，AB=AC，∠BAD=2∠EDC，求证：AD=AE。

②如图，AD=AE，∠BAD=2∠EDC，求证：AB=AC。

A AE EB CD B CD模型二、如图，AB=AC=A，D求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC。

同理可证，∠∠。

BAC=2BDC模型二变式、①如图，，∠∠，求证：。

AB=AC CAD=2CBD AB=AD BCD②如图，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，求证：AB=AC。

双等腰直角三角形中几个常见结论及其证明

• 12 •理科考试研究•数学版2020年7月10日根据BZ ) = S C 可以得出A fiD 'C 是等边三角形. 从而 B £»'=a r ,乙 BD ，C =60。

.因为 =/!C ,所以 A /W 'flm A /IZrC .所以= Z /1D T = 150。

.图5图6下面我们类似地思考一般情况下问题的解决.对于一般的乙=a ,此时可以求得/1/1SC =90。

- f a # = 120。

- a .我们类似地作出点/)关于4C 的对称点£>'，连接/!£>'，/»'(如图5).可以求得 ZDBO ' =2乙D &4 =60〇 -a ■我们发现，当 0° <a <60〇时是合适的，当60°<a <120°时，该角度值是负值.为什么呢？经过检查我们发现，当60° <«矣120°时,的边B D 在乙4B C 的内部.也就是该题可能要分0。

<a <60。

和60。

<〇名120。

两种情况讨论.解析由题中可得j B C =90。

-知.由 a +y 3 = 120。

,可得召=120。

-〇_当0° < a < 60°时，作点D 关于/1C 的对称点Z )'，连接/(£»'，BZT ，C /V (如图 5)，则有 = BD ',乙/1£出=/LAD 'B ,ADBD ' ^2/_DBA =2(/3- AABC ) =60°-a .所以Z D B C -Z _ZTBL » = (120o -a )—(60° - a ) =60。

.西为 BD = BC ，所以 BD '二 BC .所以A BD 'C 是等边三角形.所以乙 BZ)'C =60°, = C Z )，.因为 4e =/i c ，所以g A /iczr .所以乙Zt/TB = Z 4Z)，C = 360。

初中数学教师面试《等腰三角形》试讲逐字稿

初中数学教师面试《等腰三角形》试讲逐字稿题目：等腰三角形各位评委好，今天我给大家讲解一下初中数学的等腰三角形。

首先，让我们来回顾一下什么是等腰三角形。

等腰三角形是指至少有两条边长相等的三角形，也就是两个角度数相等的三角形。

我们可以借助图形来理解它的特点。

（画图）如图所示，三角形ABC满足AB=AC，那么角B和角C是相等的。

如果我们将三角形ABC翻转一下，那么我们还是可以得到同样的三角形，这就说明等腰三角形具有对称性。

接下来，让我们来看一下等腰三角形的性质。

我们可以将等腰三角形分成两个部分：底边和两条腰，分别讨论它们的性质。

首先，底边中线。

这里我画一个图，大家可以跟我一起看。

（画图）在等腰三角形ABC中，BD是底边AC的中线。

我们可以通过三角形重心定理来证明BD=AD，即底边中线等于底边中点到顶点的距离。

这是一个很重要的性质，在我们后面的计算中会经常用到。

接下来是等腰三角形的另一个重要性质：对称轴。

如图所示，三角形ABC的中线BD就是它的对称轴。

（画图）我们可以想象一下，如果我们将三角形ABC绕着BD翻转180度，那么它还是等腰三角形，这就是对称轴的概念。

最后，让我们来看一下等腰三角形的面积公式。

假设等腰三角形的底边长为b，腰长为a，那么它的面积为：S = ab/2这个公式非常容易理解，因为等腰三角形有对称轴，所以我们可以将它分割成两个完全相等的三角形，再用三角形面积公式计算出它们的面积之和，就得到了等腰三角形的面积。

好的，今天我给大家讲解了初中数学的等腰三角形，包括定义、性质和面积公式。

谢谢各位评委的聆听！。

北师大版八年级数学下册1.1.2《等腰三角形》教案

（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等腰三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如折叠等腰三角形纸片，观察性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“等腰三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解等腰三角形的基本概念。等腰三角形是两边长度相等的三角形，它具有独特的性质和应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了等腰三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等腰三角形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，比如性质推理和面积计算，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
-面积计算公式：学生应熟练掌握等腰三角形面积的计算方法，即底乘以高除以二。
-实际应用：能够将等腰三角形的知识应用于解决实际问题，如计算底边长度、面积等。
2.教学难点
-难点一：等腰三角形性质的推理过程。学生往往难以理解为什么等腰三角形的底角相等，为什么底边上的中线、高和角平分线会互相重合。需要通过直观教具或动态演示来帮助学生建立几何直观。
-举例：给出实际问题，如等腰三角形在直角坐标系中的位置，要求计算面积，指导学生如何确定底和高。
-难点四：等腰三角形在实际问题中的综合应用。学生需要将所学知识综合运用，解决更为复杂的几何问题。
-举例：设计一些综合性的问题，如等腰三角形与圆、正方形等图形的组合问题，让学生运用等腰三角形的性质和判定方法来解答。

八年级数学上册 13.3 等腰三角形(第2课时)教案 (新版)新人教版

13.3 等腰三角形（第2课时）教学内容等腰三角形的性质．教学过程一、导入新课思考：我们知道，如果一个三角形中有两条边相等，那么它们所对的角相等．反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？二、探究新知1．等腰三角形的判定定理让学生思考如何证明刚才的猜想，并初步作答，教师及时点评，并规范作答步骤．证明：在△ABC中，∠B＝∠C（如图）．作∠BAC的平分线AD．在△BAD和△CAD中，∠1＝∠2，∠B＝∠C，AD＝AD，∴△BAD≌△CAD（AAS）．∴AB＝AC．由此，我们可以得到等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．2．判定定理的应用例2求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC（如图）．求证：AB＝AC．分析：要证明AB＝AC，可先证明∠B＝∠C．因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系．证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等），∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）．而已知∠1＝∠2，所以∠B＝∠C．∴AB＝AC（等角对等边）．3．作等腰三角形例3 已知等腰三角形底边边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．作法:（1）作线段AB＝a．（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于D．（3）在MN上取一点C，使DC＝h．（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．三、课堂小结1．探索等腰三角形判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．3．了解等腰三角形的尺规作图．四、课后作业习题13.3第2题．教学反思：。

2019-2020学年八年级数学下册 1.1 等腰三角形教案北师大版.doc

2019-2020学年八年级数学下册 1.1 等腰三角形教案北师大版1.1等腰三角形【教学内容】等腰三角形的两腰相等，两底角相等，三线合一。

【教学目标】知识与技能让学生在轴对称的基础上，认识等腰三角形；掌握运用等腰三角形的重要特征——两腰相等，两底角相等，三线合一，并能学以致用。

过程与方法让学生通过亲自动手操作，利用轴对称的变换，得出等腰三角形区别于一般三角形的重要特征。

情感、态度与价值观通过折叠观察归纳等方法，探索和发现等腰三角形的特征，并用适当的方式进行说理，让学生体现数学说理的必要性和应用性。

【教学重难点】重点：掌握等腰三角形三线合一的特征。

难点：运用等腰三角形的有关知识解决实际问题。

【导学过程】【知识回顾】三角形全等判定公理：1.三边对应相等的两个三角形全等（ＳＳＳ）。

2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

3.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。

性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。

【情景导入】多媒体展示生活中的等腰三角形，继而复习等腰三角形的定义及引出各部分的名称。

即：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

【新知探究】探究一、（出示导纲，学生自学）学生自学教材后完成填空：在△ABC中，AB、AC叫做这个三角形的（），BC叫做这个三角形的（），∠A是这个三角形的（），∠B、∠C是这个三角形的（）。

探究二、做一张等腰三角形的纸片，每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.通过动手操作，你能发现什么现象吗？（利用动画片演示对折前后的变化）折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕所在的直线就是它的对称轴．由于AB与AC重合，因此点B与点C重合，这样线段BD与CD也重合，所以∠B ＝∠C．结论：等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）（多媒体展示）用数学语言表示：∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角）探究三、例1：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝80°．求∠C和∠A的度数．（学生合作交流后，教师在板书解题过程）（1）.若把已知条件∠B=80°改为∠C =80°，求另外两个角的度数呢？（2）.那么改为∠A =80°，又怎样呢？（3）如果改为“有一个角等于80°”，应该怎么解答呢？回忆并操作：请画出等腰三角形底边上的中线、高线、角平分线，这三条线并比一比，能发现什么特征。

八年级数学上册 2.2 等腰三角形教案浙教版(2021年整理)

八年级数学上册2.2 等腰三角形教案（新版）浙教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册2.2 等腰三角形教案（新版）浙教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为八年级数学上册2.2 等腰三角形教案（新版）浙教版的全部内容。

2。

2 等腰三角形〖教学目标〗1．使学生了解等腰三角形的有关概念 .2．通过探索等腰三角形的性质，使学生掌握等腰三角形的轴对称性。

进一步经历观察、实验、推理、交流等活动。

〖教学重点与难点〗重点：等腰三角形轴对称性质。

难点：通过操作，如何观察、分析、归纳得出等腰三角形性质。

〖教学过程〗一、复习引入1．让学生在练习本上画一个等腰三角形，标出字母,问什么样的三角形是等腰三角形?△ABC中，如果有两边AB=AC，那么它是等腰三角形。

2．日常生活中，哪些物体具有等腰三角形的形象?二、新课1．指出△ABC的腰、顶角、底角。

相等的两边AB、AC都叫做腰，另外一边BC叫做底边，两腰的夹角∠B AC，叫做顶角,腰和底边的夹角∠ABC、∠ACB叫做底角。

2．实验。

现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样，画出它的顶角平分线AD所在直线把纸片对折,如图(2）所示，你能发现什么现象吗?请你尽可能多的写出结论。

可让学生有充分的时间观察、思考、交流，可能得到的结论: (1)等腰三角形是轴对称图形 (2)∠B ＝∠C(3)BD ＝CD ，AD 为底边上的中线。

（4）∠ADB ＝∠ADC ＝90°,AD 为底边上的高线。

3．结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

2020八年级数学上册 2.2 等腰三角形教案 (新版)浙教版

等腰三角形教学目标1.了解等腰三角形的有关概念。

2、掌握等腰三角形的轴对称性:等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

3.会运用等腰三角形的概念和轴对称性解决简单几何问题。

教学重点重点：等腰三角形轴对称性质。

教学难点难点：范例是以等腰三角形的轴对称性为依据来解决点与点，直线与直线的位置关系，这方面学生还缺乏经验。

设计亮点教学过程备注一、创设情境，引入新课欣赏图片，回答下列问题：1 你能在这些图片中找到熟悉的图形吗?2 你能发现这些三角形有什么共同的特点吗？（板书课题：2.1等腰三角形）二、合作交流，探求新知 1.等腰三角形的概念问题：什么样的三角形叫做等腰三角形呢？引导学生说出并板书概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

在黑板上用圆规画出一个△ABC ，问：这是等腰三角形？依据什么？（概念）几何语言：在△ABC 中，AB=AC 或∵AB=AC∴△ABC 是等腰三角形（渗透：图形的定义既是性质又是判定）2.等腰三角形的腰、底边、顶角与底角AB=AC ，它叫做——腰；另一条边BC 叫做——底边；两腰AB 、AC 的夹角∠A 叫做——顶角；∠B 、∠C 叫做底角，那么底角是哪两边的夹角？等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

3.找一找说一说如图，点D 在A C 上，AB=AC ，AD=BD 。

你能在图中找到几个等腰三角形？说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角。

ABC D4.火眼睛睛（我们的国旗五星红旗里有五个五角星，那五角星中有等腰三角形吗？ 5.画一画折一折（等腰三角形的轴对称性）（1）用直尺和圆规作等腰三角线ABC ，使AB=AC=10cm ，BC=8cm 。

（2）画出顶角平分线AP 所在的直线。

（3）沿着直线AP 将纸片对折，你发现了什么？B C A底边顶角腰等腰三角形A CPB（4）由此你得出等腰三角形具有什么特征。

等腰三角形的性质B(教师)

学科教师辅导讲义【说明】在此处设计3道练习，可以帮助学生复习巩固全等的证明（包括倍长中线法）.但是主要的目的是为后续讲解几何证明添加辅助线做铺垫。

讲解完以上题目需和学生共同归纳“已知一条线（可以是直线、射线、角平分线）是中线、高线、角平分线中的两者，则此线必为某等腰三角形的三线”【例10】已知：等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为30°.求该等腰三角形的顶角度数.【例11】已知：等腰三角形的顶角为150度，求该等腰三角形一腰上的高与底边夹角的度数.【借题发挥】1．已知等腰三角形的底角为40°，求该等腰三角形一腰上的高与底边夹角的度数.【答案】50°2．已知等腰三角形的一个内角的度数为40°，求该等腰三角形一腰上的高与底边夹角的度数.【答案】50°或20°2．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于( )A. 顶角B. 顶角的两倍C. 顶角的一半D. 底角的一半【答案】C【例12】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点M、N在BC上，且BM=CN。

求证：AM=AN。

【答案】略【提示】通过等边对等角得出角相等，然后根据边角边证明△AMB≌△ANC.【借题发挥】1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，BE、CD相交于点O，且BO=CO。

求证：BE=CD。

【答案】略【当堂检测】判断题：1、等腰三角形的顶角一定是锐角。

2、等腰三角形的底角是锐角或者直角、钝角都可以。

3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。

4、等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数一共能画出9条。

E D CABF5、等腰三角形底边上的中线一定垂直于底边。

【答案】× × √ × √ 填空题：1．根据等腰三角形性质填空，在△ABC 中（1）∵AB=AC ，AD ⊥BC ， ∴∠＿=∠＿，＿=＿；（2）∵AB=AC ，AD 是中线， ∴∠＿=∠＿，＿⊥＿；（3）∵AB=AC ，AD 是角平分线， ∴＿⊥＿，＿=＿。

浙教版八年级上册2.2等腰三角形练习课教案设计

《等腰三角形》练习课教学设计【设计者】主备黄璐烨。

【内容出处】浙江教育出版社八年级数学上册第2章第2课。

【教学目标】1.知道等腰三角形的概念。

2.掌握等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴。

3.能运用等腰三角形的概念和轴对称性解决简单的几何问题。

4.知道等边三角形的概念。

【时间预设】课内1课时。

【教学过程】一、先行学习学生自己梳理知识点。

二、交互学习段落一知识梳理1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

2.等腰三角形的轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴。

3.三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

段落二巩固练习1.已知等腰三角形的周长是16cm ．（1）若其中一边长为4cm ，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm ，求另外两边长.2.已知AB=AC ，BD=DC ，AE 平分∠FAB ，问：AE 与AD 是否垂直？为什么？3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 边上，将△CBD 沿CD 折叠，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处．若∠A ＝26°，则∠CDE ＝．(第3题图)4.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9cm 和15cm 两部分，求这个三角形的腰长和底边长。

5.等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是_______________________________．6.等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为．A BCD E F7.如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=16m ，则DE 的长为（）．A 、8 mB 、4 mC 、2 mD 、6 m8.如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（）．A 、90°B 、 75°C 、70°D 、 60°【教学反思】第7题图第8题图F ED C BA。

第02讲等腰三角形(1个知识点+5大题型+18道强化训练)(教师版) 24-25学年八年级数学上册

第02讲等腰三角形（1个知识点+5大题型+18道强化训练）知识点01：等腰三角形概念定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

【即学即练1】（2023秋·浙江·八年级专题练习）等腰三角形的周长为20cm ，一边为8cm ，则腰长为（）A ．4cmB ．8cmC ．4cm 或8cmD ．6cm 或8cm【答案】D【分析】分类讨论：当8cm 是腰长时和当8cm 是底边长时，结合三角形的周长，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的周长为20cm ，题型01 等腰三角形的定义1．有5根小棒，长度分别为3、3、4、6、6，用其中的3根做等腰三角形的边，可以搭出（）种不同的等腰三角形．A．5B．4C．3D．2【答案】C【分析】此题考查了三角形的特性中的三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．【详解】解：根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边；可以组成的三角形有：①3、3、4；②3、6、6③4、6、6所以，搭出3种不同的等腰三角形．故选：C．2．（比例的应用）一个等腰三角形的一条腰长是20厘米，其中有两条边的长度比是2:5，这个等腰三角形的周长是（）厘米．A．90B．120C．48D．48或120【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，构成等腰三角形的条件，根据题意，分类讨论，当腰长与底边的比是2:5时，根据构成等腰三角形的条件判定，不符合题意；当底边与腰长的比是2:5时，符合题意，由此即可求解．【详解】解：当腰长与底边的比是2:5时，∵等腰三角形一条腰长为20厘米，∴等腰三角形的另一条腰长也为20厘米，则底边长为50厘米，+<，∵202050∴不能构成等腰三角形，不符合题意；当底边与腰长的比是2:5时，∴底边长为8厘米，∴等腰三角形的三边长为20厘米，20厘米，8厘米，能构成等腰三角形，符合题意；++=（厘米），∴这个等腰三角形的周长为2020848故选：C ．3．等腰三角形的一个底角和顶角的比是1:4，则它的顶角是度．【答案】120【分析】首先要知道三角形的内角和是180°，根据等腰三角形的特点，两底角相等，所以三个角的比是++=份，先求出一份的度数，再求顶角的度数即可．此题考查了1:1:4，把这个三角形的内角和看作1146有关三角形内角和的知识，以及按比例分配应用题的解法．¸++´，【详解】解：180(114)4=¸´，18064=（度)．120答：它的顶角是120度．故答案为：120．4|2|0b -=，则以a b ，为边长的等腰三角形的周长为．(1)有两边长分别为4cm ，6cm ；(2)有两边长分别为4cm ，8cm ．【答案】(1)三角形的周长为14cm 或16cm(2)三角形的周长为20cm【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；（1）根据等腰三角形的定义，分情况并利用三角形的三边关系求解即可．（2）根据等腰三角形的定义，分情况并利用三角形的三边关系求解即可．【详解】（1）解：若三角形的腰长为4cm ，则底边长为6cm ，能组成三角形，此三角形的周长为()44614cm ++=，若三角形的腰长为6cm ，则底边长为4cm ，能组成三角形，此三角形的周长为()66416cm ++=．综上可知，三角形的周长为14cm 或16cm ．（2）若三角形的腰长为4cm ，则底边长为8cm ，不能组成三角形；若三角形的腰长为8cm ，则底边长为4cm ，能组成三角形，此三角形的周长为()88420cm ++=．题型02 等边对等角1．等腰ABC V 中，AB AC =，若70A Ð=°，则B Ð=（）A ．40°B ．55°C ．65°D ．60°【答案】B【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理，根据等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得出答案．【详解】解：∵AB AC =，∴B C Ð=Ð，∵70A Ð=°，∴()18070255B Ð=°-°¸=°．故选：B ．2．在ABC V 中，AB AC =，点D 在BC 上，AD CD =，若120BAC Ð=°，则BDA Ð的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．80°，则它的一个底角是．当20°的角为等腰三角形的底角时，其底角为20°，故它的底角的度数是80°或20°．故答案为：80°或20°．4．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该等腰三角形的顶角度数为．【答案】40°或140°【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，AB AC =，50ACD Ð=°，CD 为高，即90ADC Ð=°，此时180A ACD ADC Ð+Ð+Ð=°，∴180905040A Ð=°-°-°=°，若三角形为钝角三角形时，如图，AB AC =，50ACD Ð=°，CD 为高，即90ADC Ð=°，此时9050140BAC D ACD Ð=Ð+Ð=°+°=°，综上，等腰三角形的顶角的度数为40°或140°．故答案为：40°或140°．5．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD BC ^于点D ，E 为AD 上一点，连接CE ，使CE AE =，65B Ð=°，求ECD Ð的度数．【答案】40°【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用．根据等边对等角得出65ACB B Ð=Ð=°，根据三角形内角和定理得出180656550BAC Ð=°-°-°=°，根据等腰三角形三线合一的性质得出题型03 根据等边对等角证明1．如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作AOB Ð的平分线的图示，对于三人不同的作法，其中正确的个数是（）A ．0个B ．1 个C ．2个D ．3个【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的尺规作图，线段的尺规作图，等边对等角等等，根据对应的作图痕迹结合全等三角形的性质与判定条件证明即可．【详解】解：小明的作图中OD OC DE CE OE OE ===，，，∴()SSS ODE OCE △≌△，∴DOE COE Ð=Ð，∴OE 平分AOB Ð，故小明的作法正确；小颖的作图中OD OC OF OG DOF COG ===，，∠，∴()SAS DOF COG △≌△，∴OGE OFE Ð=Ð，∵OF OC OG OD -=-，∴DG CF =，又∵DEG CEF Ð=Ð，∴DEG CEF △≌△，∴=GE FE又∵OE OE =，∴FOE GOE △≌△，DOE COE Ð=Ð，∴OE 平分AOB Ð，故小颖的作法正确；小亮的作图中，EF BD OF EF =∥，，∴FOE FEO BOE ==∠∠∠，∴OE 平分AOB Ð，故小亮的作法正确；故选：D ．2．如图，甲、乙两艘船同时从海上点P 处出发，甲船沿点P 的正南方向匀速航行，乙船沿点P 的北偏东70°方向匀速航行，甲、乙两船的速度相同，则乙船在甲船的（）A ．北偏东10°B ．北偏东30°C ．北偏东35°D ．北偏东40°3．如图，在ABC V 中，AB AC =，50A Ð=°，点D 是ABC V 内的一点，连接BD ，CD ．若12Ð=Ð，则D Ð的度数为．DAE Ð= ．【答案】80°/80度【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据DM 、EN 分别垂直平分AB 和AC 得到AD BD =，AE CE =，从而得到C BCAE Ð=Ð，B BAD Ð=Ð，结合130BAC Ð=°与三角形内角和定理即可得到答案；【详解】解：∵DM 、EN 分别垂直平分AB 和AC ，∴AD BD =，AE CE =，∴C CAE Ð=Ð，B BAD Ð=Ð，∵130BAC Ð=°，∴130BAD CAE DAE Ð+Ð+Ð=°，∵180B C BAC Ð+Ð+Ð=°，∴50B C Ð+Ð=°，∴50BAD CAE Ð+Ð+=°，∴80DAE Ð=°．故答案为：80°．5．如图，已知,,C E AC AE CAD EAB Ð=Ð=Ð=Ð．求证：ABD ADB Ð=Ð．【答案】见解析【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等边对等角”等知识．由CAD EAB Ð=Ð，推导出CAB EAD Ð=Ð，即可根据“ASA ”证明CAB EAD ≌V V ，可得AB AD =，即可求证．【详解】证明：∵CAD EAB Ð=Ð，∴CAD BAD EAB BAD Ð-Ð=Ð-Ð，∴CAB EAD Ð=Ð，在CAB △和EAD V 中，∵,,CAB EAD AC AE C E =ÐÐ==ÐÐ，∴()ASA CAB EAD ≌V V ，∴AB AD =，∴ABD ADB Ð=Ð．题型04 等腰三角形的三线合一1．如图，在ABC V 中，AB AC =．在AB ，AC 上分别截取AP ，AQ ，使AP AQ =．再分别以点P ，Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧在BAC Ð内交于点R ，作射线AR ，交BC 于点D ．若6BD =，则BC 的长为（）A ．12B ．3C ．8D ．10【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质，根据作图过程可得，AD 平分BAC Ð，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可.解题的关键在于能够准确判断出AD 平分BAC Ð．【详解】解：根据作图过程可得，AD 平分BAC Ð，又∵AB AC =，∴212BC BD ==,故选：A ．2．如图：ABC V 中，D 点在BC 上，现有下列四个命题：①若AB AC =，则B C Ð=Ð．②若AB AC =，BAD CAD Ð=Ð，则AD BC ^，BD DC =．③若AB AC =，BD DC =，则AD BC ^，BAD CAD Ð=Ð．④若AB AC =，AD BC ^，则BD DC =，BAD CAD Ð=Ð．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．也考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质对①进行判断；根据等腰三角形的“三线合一”对②③④进行判断．【详解】解：若AB AC =，则B C Ð=Ð，所以①正确；若AB AC =，BAD CAD Ð=Ð，即AD 为顶角的平分线，则AD BC ^，BD DC =，所以②正确；若AB AC =，BD DC =，即AD 为底边上的中线，则AD BC ^，BAD CAD Ð=Ð，所以③正确；若AB AC =，AD BC ^，即AD 为底边上的高，则BD DC =，BAD CAD Ð=Ð，所以④正确．故选：D ．3．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 平分BAC Ð，点E 在边AB 上，且BD BE =．若100BAC Ð=°，则ADE Ð的大小为．Ð=°．BDE题型05 根据三线合一证明．最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡．如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形,,=是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是ABCABC AB AC DV的角平分线的是（）A ．ADB ADCÐ=ÐB ．BD CD =C ．2BC AD=D ．ABD ACDS S =V V 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、ADB ADC Ð=ÐQ ，180ADB ADC Ð+Ð=°，90ADB ADC \Ð=Ð=°，即AD 是ABC V 的高线，ABC QV 是等腰三角形，AB AC =，AD \是ABC V 的角平分线，故A 选项不符合题意；B 、ABC QV 是等腰三角形，BD CD =，AD \是ABC V 的角平分线，故B 选项不符合题意；C 、若2BC AD =，不能说明AD 是ABC V 的角平分线，故C 选项符合题意；D 、ABD ACD S S =Q △△，BD CD \=，∴AD 是ABC V 的角平分线，故D 选项不符合题意；故选：C ．2．如图，在ABC V 中，AB AC =，D 是BC 的中点，下列结论不一定正确的是（）A ．B CÐ=ÐB ．12AD AB =C ．BAD CAD Ð=ÐD ．AD BC^90,6cm EDF BE Ð=°=，则AF = ．【答案】6cm /6厘米【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．利用等腰直角三角形的性质和已知条件证明AFD BED ≌△△即可得到BE AF =．【详解】解：∵,90AB AC BAC =Ð=°，点D 是BC 的中点，∴,45AD CD BD FAD B ==Ð=Ð=°，∴AD BD =，90EDF Ð=°Q ，∴90ADF ADE Ð+Ð=°，90ADE EDB Ð+Ð=°Q ，∴ADF EDB Ð=Ð，在AFD △和BED V 中，，∵45FAD B Ð=Ð=°，AD BD =，ADF EDB Ð=Ð，∴()ASA AFD BED V V ≌BE AF \=，∵6cm BE =，∴6cm AF =．故答案为：6cm4．如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 为BC 边的中点，127Ð=°，则C Ð= °．【答案】63【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．由等腰三角形的三线合一性质可知70BAC Ð=°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．【详解】解：AB AC =Q ，D 为BC 中点，∴AD 是BAC Ð的平分线，B C Ð=Ð，∵127Ð=°，∴2154BAC Ð=Ð=°，连接DE ，DF ．(1)求证：ADE ADF V V ≌；(2)若80BAC Ð=°，求BDE Ð的度数．1．等腰三角形中有一内角等于80°，那么这个三角形的最小内角的度数为（）度A ．50B ．20C ．40或50D ．20或50A ．42°B ．84°C ．90°D ．96°【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到AD CD =，根据等腰三角形的性质得到DCA A Ð=Ð，再根据三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：Q 线段AC 的垂直平分线交AB 于点D ，AD CD \=，Q 42A Ð=°，42DCA A Ð=°\Ð=，\84A BDC DCA Ð=°Ð=Ð+．故选：B ．3．如图，直线a b ∥，点A 在直线a 上，点B 在直线b 上，AC BC =，120C Ð=°，144Ð=°，则2Ð的度数为（）A ．64°B ．74°C ．56°D ．66°∴(12ABC BAC Ð=Ð=´∵144Ð=°，∴1ABD ABC Ð=Ð+Ð=∵a b ∥，A ．67°B ．135°C ．67.5°D ．67.5°或22.5°【答案】D【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，分高在等腰三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：当三角形的高线在三角形的内部时，如图：,AB AC BD AC =^，45ABD Ð=°，则：45A Ð=°∴(11802ABC ACB Ð=Ð=当三角形的高线在三角形的外部时，如图：∵,45ABC ACB DAB ABC ACB Ð=ÐÐ=Ð+Ð=∴22.5ABC ACB Ð=Ð=°；故选D ．5．如图，在ABC V 中，DM EN 、分别垂直平分20DAE Ð=°，则BAC Ð的度数为（）A ．100°B ．105°C ．110°D ．120°【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得,DB DA EA EC ==，再由等腰三角形的性质，可得,B DAB C EAC Ð=ÐÐ=Ð，再由三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：∵DM EN 、分别垂直平分AB 和AC ，∴,DB DA EA EC ==，∴,B DAB C EAC Ð=ÐÐ=Ð，∵20,180DAE B C BAC Ð=°Ð+Ð+Ð=°，∵18020160B BAD C EAC Ð+Ð+Ð+Ð=°-°=°，∴22160BAD EAC Ð+Ð=°，∴80BAD CAE Ð+Ð=°，∴8020100BAC BAD CAE DAE Ð=Ð+Ð+Ð=°+°=°．故选：A ．6．如图，ABF △中，60A Ð=°，40F Ð=°；点C ，D ，E 在AB 的延长线上，且BC BG =，CD CH =，DE DP =，则E Ð等于（）A ．30°B ．20°C ．15°D ．10°，则它的周长为．【答案】22cm 或26cm【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分情况讨论即可．【详解】解：①当6cm 为腰，10cm 为底时，6610+>Q ，6106+>，\能构成三角形，\等腰三角形的周长661022cm =++=；②当10cm 为腰，6cm 为底时，10106+>Q ，10610+>，\能构成三角形，\等腰三角形的周长1010626cm =++=；故答案为：22cm 或26cm ．8．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O 旋转了80°，小孩的位置从A 点运动到了B 点，则OAB Ð的度数为．【答案】50°/50度【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．先根据题意得到OA OB =，80AOB Ð=°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行解答即可．【详解】解：由题意可知：OA OB =，80AOB Ð=°，OA OB =Q ，OAB OBA \Ð=Ð，180OAB OBA AOB Ð+Ð+Ð=°Q ，18080100OAB OBA \Ð+Ð=°-°=°，50OAB OBA \Ð=Ð=°，故答案为：50°．9．如图，80AOB Ð=°，在OA 上取点C ，以点C 为圆心，CO 长为半径画弧交OB 于点D ，连接CD ；以点D 为圆心，DC 长为半径画弧交OB 于点E ，连接CE ，DCE Ð的度数为．【答案】40°/40度【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质．由作图可知，CO CD =，DC DE =，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可求解．【详解】解：由作图可知，CO CD =，DC DE =．CO CD =Q ，80ODC COD \Ð=Ð=°，80DCE CED ODC \Ð+Ð=Ð=°，DC DE =Q ，40DCE CED \Ð=Ð=°．故答案为：40°．10．如图，点E 在AB 上，AC 与DE 相交于点F ，ABC DEC ≌△△，30A Ð=°，70B Ð=°，则DFA Ð的度数为．【答案】70°/70度【分析】本题主要考查全等三角形的性质、等边对等角和三角形内角和定理，根据题意得ACB Ð，结合全等三角形的性质有CED B Ð=Ð和CB CE =，利用等边对等角和三角形内角和定理可求得ECB Ð和ACE Ð，即可求得答案．【详解】解：∵30A Ð=°，70B Ð=°，∴80ACB Ð=°，∵ABC DEC ≌△△，∴70CED B Ð=Ð=°，CB CE =，∴70CEB B Ð=Ð=°，∴18040ECB B CEB Ð=°-Ð-Ð=°，则40ACE ACB ECB Ð=Ð-Ð=°，那么，18070DFA CFE CED ACE Ð=Ð=°-Ð-Ð=°．故答案为：70°．11．如图，100BAC Ð=°，若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，则PAQ Ð=【答案】20°/20度【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，可得B BAP Ð=Ð，C CAQ Ð=Ð，结合三角形内角和即可得到80BAP CAQ B C Ð+Ð=Ð+Ð=°，从而可求得PAQ Ð的值．【详解】解：PM Q 垂直平分AB ，PA PB \=，B BAP \Ð=Ð，同理：QC QA ＝，C CAQ \Ð=Ð，100BAC Ð=°Q ，18080B C BAC \Ð+Ð=°-Ð=°，80BAP CAQ \Ð+Ð=°，20PAQ BAC BAP CAQ \Ð=Ð-Ð-Ð=°．故答案为：20°．12．如图，在五边形ABCDE 中，12590BAE B E Ð=°Ð=Ð=°，，AB BC AE DE ==，，在BC DE 、上分别找一点M 、N ，使得AMN V 周长最小时，AMN ANM Ð+Ð的度数为．【答案】110°/110度【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短等知识点，正确找出AMN V 的周长最小时，点M 、N 的位置是解题关键．先根据轴对称的性质可得,A M A A N AM N ¢¢¢==，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短可得当点,,,A M N A ¢¢¢在同一条直线上时，AMN V 的周长最小，然后利用等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可得．【详解】如图，作点A 关于BC 的对称点A ¢，关于DE 的对称点A ¢¢，连接A M ¢、A N ¢¢，则,A M A A N AM N ¢¢¢==，AMN \V 的周长为AM MN AN A M MN A N ¢¢¢++=++，由两点之间线段最短可知，当点,,,A M N A ¢¢¢在同一条直线上时，AMN V 的周长最小，125BAE Ð=°Q ，18055A A BAE ¢¢¢\Ð+Ð=°-Ð=°，,AM A M AN A N ¢¢¢==Q ，,A A AM A A AN ¢¢¢¢¢¢\Ð=ÐÐ=Ð，AMN ANM A A AM A A AN ¢¢¢¢¢¢\Ð+Ð=Ð+Ð+Ð+Ð，22A A ¢¢¢=Ð+Ð，()2A A =Ð+Ð¢¢¢，110=°，故答案为：110°．13．在ABC V 中，7,2AB BC ==．(1)求AC 长度的取值范围；(2)若ABC V 的周长为偶数，求ABC V 的周长，并判断此时ABC V 的形状．【答案】(1)59AC <<(2)ABC V 的周长为16，是等腰三角形【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类：（1）根据三角形的三边关系进行求解即可；（2）根据（1）中的范围，结合ABC V 的周长为偶数，得到7AC =，即可得出结论．【详解】（1）解：∵在ABC V 中，7,2AB BC ==∴AB BC AC AB BC -<<+，∴59AC <<；（2）∵ABC V 的周长为偶数，9AB BC +=为奇数，∴AC 的长为奇数，∵59AC <<，∴7AC AB ==，∴ABC V 的周长为9716+=，是等腰三角形．14．如图，在ABC V 中，AB AC =，D 是AC 上一点，连接BD ，75BDA Ð=°，11ABD Ð=°，求DCB Ð的度数．【答案】43°【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质两个知识点，掌握这两个知识点是解题的关键；(1)若40A Ð=°，求DBC Ð的度数；(2)若3AE =，CBD △的周长为10，求BC 的长．点F ．(1)若5AB =，则CMN V 的周长为 ___________；(2)若70MFN Ð=°，求MCN Ð的度数．【答案】(1)5；(2)40°【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关结论即可．（1）由题意得,CM AM CN BN ==，据此即可求解；（2）根据()MCN ACB ACM BCN Ð=Ð-Ð+Ð，()180ACB A B Ð=°-Ð+Ð即可求解；【详解】（1）解：∵DM EN ，分别垂直平分边AC 和边BC ，∴,CM AM CN BN==∴CMN V 的周长5CM MN CN AM MN BN AB =++=++==故答案为：5（2）解：∵,CM AM CN BN ==，∴,A ACM B BCNÐ=ÐÐ=Ð∵70MFN Ð=°，∴180110FMN FNM MFN Ð+Ð=°-Ð=°∴110AMD BNE Ð+Ð=°∵90ADM BEN Ð=Ð=°∴70A B ACM BCN Ð+Ð=Ð+Ð=°∵()MCN ACB ACM BCN Ð=Ð-Ð+Ð，()180ACB A B Ð=°-Ð+Ð∴()()18040MCN A B ACM BCN Ð=°-Ð+Ð-Ð+Ð=°17．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC =，90BAC Ð=°，点D 在BC 边上，连接AD ，AE AD ^，AE AD =，连接CE ，DE ．(1)45ACE B Ð=Ð=°，请你说明理由．(2)求BCE Ð的度数．(3)点A 关于直线CE 的对称点为1A ，连接1CA ，1EA ．补全图形，判断1EA C Ð与BAD Ð之间的数量关系并说明理由．【答案】(1)理由见解析(2)90BCE Ð=°(3)补全图形见解析，1EA C BAD Ð=Ð，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．（1）首先根据等腰直角三角形的性质可得45B ACB Ð=Ð=°，再证明ABD ACE △△≌，由全等三角形的性质即可证明结论；（2）由（1）可知，45ACE Ð=°，45ACB Ð=°，然后由BCE ACE ACB Ð=Ð+Ð求解即可；（3）根据题意补画图形，结合轴对称的性质可得1EA EA =，1CA CA =，CE CE =，进而证明1ACE A CE ≌△△，易得1EA C EAC Ð=Ð，结合ABD ACE △△≌可知CAE BAD Ð=Ð，即可获得答案．【详解】（1）证明：∵AB AC =，90BAC Ð=°，∴45B ACB Ð=Ð=°，∵90BAC DAE Ð=Ð=°，∴BAD DAC CAE DAC Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，又∵AB AC =，AD AE =，∴()SAS ABD ACE V V ≌，∴45ACE B Ð=Ð=°；（2）解：由（1）可知，45ACE Ð=°，45ACB Ð=°，∴454590BCE ACE ACB Ð=Ð+Ð=°+°=°；（3）如图，1EA C BAD Ð=Ð，理由如下：∵点A 与1A 关于CE 对称，∴1EA EA =，1CA CA =，CE CE =，∴()1SSS ACE ACE V V ≌，∴1EA C EAC Ð=Ð，∵ABD ACE △△≌，∴CAE BAD Ð=Ð，∴1EA C BAD Ð=Ð．18．（1）如图1，在ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°，CD 平分ACB Ð，BE CD ^，垂足为E ，试探究线段BE 和CD 之间的数量关系，并写出你的理由．（2）如图2，把条件改为：“在ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°，点D 在BC 上，12EDB C Ð=Ð，BE ED ^，DE 与AB 相交于F 点，则线段BE 和FD 之间的数量关系如何?并证明你的结论．”【答案】（1）2CD BE =，理由见解析；（2）2DF BE =，理由见解析【分析】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．（1）如图，延长BE，CA 交于点F ，证明ADC AFB V V ≌，得到DC BF =；再证明EFC EBC ≌△△，得到EF BE =，即可解决问题；（2）如图，作DG AC ∥，交BE 的延长线于点G ，则BDG C Ð=Ð，证明HFD HGB △≌△，得到DF BG =；证明EGD EBD △≌△，得到BE GE =，即可解决问题．【详解】解：（1）2CD BE =，理由如下：如图，延长BE ，CA 交于点F ，∵90BAC Ð=°，BE CD ^，则90BEC FEC Ð=Ð=°，∴180FED FAD Ð+Ð=°，∴180ADE F Ð+Ð=°，∵180ADE ADC Ð+Ð=°，∴ADC F Ð=Ð，在ADC △与AFB △中，DAC FAB ADC F AC AB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∵12EDB C Ð=Ð，则EDB Ð∴DE 平分BDG Ð；∵DG AC ∥，∴90BHD A Ð=Ð=°，=，∴EG BE∴2=．DF BE。

初中数学教师面试《等腰三角形》试讲逐字稿全文

精选全文完整版（可编辑修改）篇目八1.题目：《等腰三角形》2.内容：3.基本要求：（1）请在10分钟内完成试讲内容；（2）条理清晰，内容准确；（2）讲清证明思路和证明过程；（4）要求配合教学内容有板书和作图。

谢谢各位评委老师，我试讲的题目是《等腰三角形》，下面开始我的试讲。

上课！同学们好，请坐。

【导入】请同学们来看大屏幕，海上有B,C两处救生船接到了A处遇险船只的求救信号，测得∠B= ∠C,若两船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点呢？请同学们思考这个问题如何解决。

【新授】老师看同学们都思考的差不多了，找一个同学来分享一下你的想法。

举手最快的那位同学你来说。

哦，你说，要想让B、C两处的救生船同时到达出事地点，AB必须等于AC才行。

因此需要证明，AB 等于AC。

想法很不错，那我们怎么来证明三角形的两条边相等呢？回忆一下，我们前面可以用什么知识证明？对，我们刚刚学习了等腰三角形，它的两条边是相等的。

但这里我们不知道它是否为等腰三角形，因此无法证明。

再往前回忆，我们还学过什么样的方法来证明三角形的两条边相等呢？最后那位同学你来说，恩，我们前面还学过，通过证明三角形全等来证明两条边相等，因此我们要想解决这个题目就需要构造全等三角形，思路很清楚。

那我们应该如何来构造全等三角形呢？请同学们独立思考两分钟，好，时间到，我看有些同学无从下手，老师在这里给大家一个提示，我们可以借助上节课学习的等腰三角形中三条特殊的线:角平分线、中线和高线。

下面，请大家用5分钟的时间进行小组讨论，试着通过做辅助线来构造全等三角形。

好，老师在巡视的过程中，对几个小组进行了指导。

现在有请5组派代表来黑板上写出你们组的讨论结果。

我们发现5组的同学通过做高线构造出了两个三角形，并且通过用AAS的方法证明两个三角形全等，进而得到两个全等三角形的对应边AB和AC相等。

他的思路非常清晰，步骤也很规范！还有其他做法吗？噢，7组同学说还可以做角平分线来构造全等三角形，那你来说，我们一起来写一下步骤。

双等腰三角形教师版

北师大版八年级数学等腰三角形(2) (1)教案

等腰三角形判定教案5篇

双等腰三角形教师版

2023年暑假新八年级数学预习专题7：等腰三角形(精讲教师版)

等腰三角形教案

专题21 双等腰旋转问题(教师版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)

第四讲 等腰三角形和直角三角形(教师版本)

双等腰三角形教师版

双等腰直角三角形中几个常见结论及其证明

初中数学教师面试《等腰三角形》试讲逐字稿

北师大版八年级数学下册1.1.2《等腰三角形》教案

八年级数学上册 13.3 等腰三角形(第2课时)教案 (新版)新人教版

2019-2020学年八年级数学下册 1.1 等腰三角形教案 北师大版.doc

八年级数学上册 2.2 等腰三角形教案 浙教版(2021年整理)

2020八年级数学上册 2.2 等腰三角形教案 (新版)浙教版

等腰三角形的性质B(教师)

浙教版八年级上册2.2等腰三角形练习课教案设计

第02讲 等腰三角形(1个知识点+5大题型+18道强化训练)(教师版) 24-25学年八年级数学上册

初中数学教师面试《等腰三角形》试讲逐字稿全文

第四讲等腰三角形和直角三角形(教师版本)

2019-2020学年八年级数学下册 1.1 等腰三角形教案北师大版.doc

八年级数学上册 2.2 等腰三角形教案浙教版(2021年整理)

第02讲等腰三角形(1个知识点+5大题型+18道强化训练)(教师版) 24-25学年八年级数学上册