小船渡河模型(含答案)

运动的合成与分解实例——小船渡河模型

一、基础知识

（一）小船渡河问题分析

(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．

(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．

(3)三种情景

①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝d v

1

(d为河宽)．

②过河路径最短(v2

与河岸夹角为α，cos α＝v2v

1

.

③过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法

垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆

心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方

向航程最短．由图可知：cos α＝v1v

2，最短航程：s短＝d

cos α

＝v2v

1

d.

（二）求解小船渡河问题的方法

求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移．

无论哪类都必须明确以下四点：

(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是

船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致．

(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流

方向和船头指向分解．

(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．

(4)求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形法

则求极限的方法处理．

二、练习

1、一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，

则：

(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

解析(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．

当船头垂直河岸时，如图所示．

合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s.

t＝d

v2

＝180

5s＝36 s

v＝v21＋v22＝5

2 5 m/s

x＝v t＝90 5 m

(2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α，如图所示．

有v2sin α＝v1，

得α＝30°

所以当船头向上游偏30°时航程最短．

x′＝d＝180 m.

t′＝

d

v2cos 30°

＝180

5

23

s＝24 3 s

答案(1)垂直河岸方向36 s90 5 m (2)向上游偏30°24 3 s180 m

2、一条船要在最短时间内渡过宽为100 m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变

化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是()

A．船渡河的最短时间是25 s B．船运动的轨迹可能是直线

C ．船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2

D ．船在河水中的最大速度是5 m/s 答案 C 解析 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t ＝100

5 s ＝20 s ，A 错

误；由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线，B 错误；船在最短时间内渡河t ＝20 s ，则船运动到河的中央时所用时间为10 s ，水的流速在x ＝0到x ＝50 m 之间均匀增加，则a 1＝4－0

10 m /s 2＝0.4 m/s 2，同理x ＝50 m

到x ＝100 m 之间a 2＝0－4

10 m /s 2＝－0.4 m/s 2，则船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2，

C 正确；船在河水中的最大速度为v ＝

52＋42 m/s ＝41 m/s ，D 错误．

3、如5所示，河水流速与距出发点垂直距离的关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则

( )

A ．船渡河的最短时间是60 s

B ．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直

C ．船航行的轨迹是一条直线

D ．船的最大速度是5 m/s 答案 BD

解析 当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t ＝d v 2＝300

3 s ＝100 s ，A

错，B 对．因河水流速不均匀，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v ＝

42＋32 m /s ＝5 m/s ，C 错，D 对．

4、(2011·江苏·3)如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原路线返回到O 点，OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA ＝OB .若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为 ( ) A ．t 甲

C ．t 甲>t 乙

D ．无法确定 答案 C

解析 设两人在静水中游速为v 0，水速为v ，则 t 甲＝

x OA v 0＋v ＋x OA

v 0－v ＝2v 0x OA v 20－v

2 t 乙＝2x OB

v 20－v

2

＝

2x OA

v 20－v 2<2v 0x OA

v 20－v 2 故A 、B 、D 错，C 对．