小船渡河模型(含答案)
第13讲 小船渡河模型(解析版)
第13讲小船渡河模型
1．（2021·辽宁）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（）
A．75s B．95s C．100s D．300s
【解答】解：当静水速度与河岸垂直时，垂直于河岸方向上的分速度最大，则渡河时间最短，最短时间为：
t=d
v c
=3001s＝300s，故D正确，ABC错误；
故选：D。
一.知识回顾
1.模型构建
（1）常规简单模型：实际运动是匀速直线运动
在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。若其中一个分运动的速度大小和方向都不变，另一个分运动的速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看成“小船渡河模型”。
（2）较复杂模型：实际运动是曲线运动
水速不变，但船在静水中速度变化；或者船在静水中速度不变，但水速大小变化。
2．模型特点
(1)船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
(2)三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。
3．实际运动是匀速直线运动的两类问题、三种情景
渡河时间最短
当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间
t min＝
d
v船
渡河位移最短如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
(完整版)高中物理小船渡河模型典型例题(含答案)【经典】,推荐文档
考点四：小船渡河模型
1.(小船渡河问题)小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是2 m/s ，小船在静水中的航速是4 m/s.求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？
答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s.(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m.
解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin ＝＝ s ＝50 s.
d v 船2004(2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即最短航程为200 m ，应使v 合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，
与河岸成α角，有 cos α＝＝＝，解得α＝60°.
v 水v 船24122、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s ，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
答案 (1)船头垂直于河岸 36 s 90 m (2)船头向上游偏30° 24 s 180 m
533、已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m ，河水的流动速度为v2＝3 m/s ，方向与河岸平行.试分析：
(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？
(2)欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？
小船渡河模型(含答案)
运动的合成与分解实例——小船渡河模型
一、基础知识
（一）小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)． (3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d v 1
(d 为河宽)．
②过河路径最短(v 2
.
③过河路径最短(v 2>v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法 垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆
心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v 1v 2，最短航程：s 短＝d
cos α＝v 2
v 1
d .
（二）求解小船渡河问题的方法
求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移． 无论哪类都必须明确以下四点：
(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是 船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动， 一般情况下与船头指向不一致．
(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流 方向和船头指向分解．
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．
(4)求最短渡河位移时，根据船速v 船与水流速度v 水的大小情况用三角形法 则求极限的方法处理． 二、练习
1、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，则：
(1)欲使船在最短时间渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 解析 (1)欲使船在最短时间渡河，船头应朝垂直河岸方向．
人教高中物理 必修二 5.1 小船渡河模型(含答案)
运动的合成与分解实例——小船渡河模型
一、基础知识
（一）小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)． (3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d
v 1(d 为河宽)．
②过河路径最短(v 2<v 1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s 短＝d .船头指向上游
与河岸夹角为α，cos α＝v 2
v 1
.
③过河路径最短(v 2>v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法 垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆
心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v 1v 2，最短航程：s 短＝d
cos α＝v 2v 1d .
（二）求解小船渡河问题的方法
求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移． 无论哪类都必须明确以下四点：
(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是 船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动， 一般情况下与船头指向不一致．
(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流 方向和船头指向分解．
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．
(4)求最短渡河位移时，根据船速v 船与水流速度v 水的大小情况用三角形法 则求极限的方法处理． 二、练习
高中物理 小船渡河模型 典型例题(含答案)【经典】
考点四：小船渡河模型
1.(小船渡河问题)小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是2 m/s ，小船在静水中的航速是4 m/s.求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？
答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s.(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m.
解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin ＝d v 船＝2004 s ＝50 s. (2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即最短航程为200 m ，应使v 合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有 cos α＝v 水v 船＝24＝12
，解得α＝60°. 2、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s ，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
答案 (1)船头垂直于河岸 36 s 90 5 m (2)船头向上游偏30° 24 3 s 180 m
3、已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m ，河水的流动速度为v2＝3 m/s ，方向与河岸平行.试分析：
(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？
小船渡河模型（含答案）
⼩船渡河模型（含答案）
运动的合成与分解实例——⼩船渡河模型
⼀、基础知识
（⼀）⼩船渡河问题分析
(1)船的实际运动是⽔流的运动和船相对静⽔的运动的合运动．
(2)三种速度：v 1(船在静⽔中的速度)、v 2(⽔流速度)、v (船的实际速度)． (3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d
v 1
(d 为河宽)．
②过河路径最短(v 2
v 1
.
③过河路径最短(v 2>v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，⽆法垂直渡河．确定⽅法如下：如图所⽰，以v 2⽮量末端为圆
⼼，以v 1⽮量的⼤⼩为半径画弧，从v 2⽮量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线⽅向航程最短．由图可知：cos α＝v 1v 2，最短航程：s 短＝d
cos α＝v 2v 1d .
（⼆）求解⼩船渡河问题的⽅法
求解⼩船渡河问题有两类：⼀是求最短渡河时间，⼆是求最短渡河位移．⽆论哪类都必须明确以下四点：
(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航⾏⽅向也就是船头指向，是分运动．船的运动⽅向也就是船的实际运动⽅向，是合运动，⼀般情况下与船头指向不⼀致．
(2)运动分解的基本⽅法，按实际效果分解，⼀般⽤平⾏四边形定则按⽔流⽅向和船头指向分解．
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与⽔流速度⽆关．
(4)求最短渡河位移时，根据船速v 船与⽔流速度v ⽔的⼤⼩情况⽤三⾓形法则求极限的⽅法处理．⼆、练习
1、⼀⼩船渡河，河宽d ＝180 m ，⽔流速度v 1＝2.5 m /s.若船在静⽔中的速度为v 2＝5 m/s ，则：
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运动的合成与分解实例——小船渡河模型
一、基础知识
（一）小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动． (2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)． (3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d
v 1
(d 为河宽)．
②过河路径最短(v 2<v 1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s 短
＝d .船头指向上游
与河岸夹角为α，cos α＝v 2
v 1
.
③过河路径最短(v 2>v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法 垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆
心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v 1v 2
，最短航程：s 短＝d cos α＝v 2
v 1
d .
（二）求解小船渡河问题的方法
求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移． 无论哪类都必须明确以下四点：
(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是 船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动， 一般情况下与船头指向不一致．
(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流 方向和船头指向分解．
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关． (4)求最短渡河位移时，根据船速v 船与水流速度v 水的大小情况用三角形法 则求极限的方法处理． 二、练习
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考点四：小船渡河模型
1.(小船渡河问题)小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是2 m/s ，小船在静水中的航速是4 m/s.求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？
答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s.(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m.
解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin ＝d v 船＝2004 s ＝50 s. (2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即最短航程为200 m ，应使v 合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有 cos α＝v 水v 船＝24＝12
，解得α＝60°. 2、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s ，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
答案 (1)船头垂直于河岸 36 s 90 5 m (2)船头向上游偏30° 24 3 s 180 m
3、已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m ，河水的流动速度为v2＝3 m/s ，方向与河岸平行.试分析：
(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？
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考点四：小船渡河模型
1.(小船渡河问题)小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是2 m/s ，小船在静水中的航速是4 m/s.求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？
答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s.(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m.
解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin ＝d v 船＝2004 s ＝50 s. (2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即最短航程为200 m ，应使v 合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有 cos α＝v 水v 船＝24＝12
，解得α＝60°. 2、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s ，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
答案 (1)船头垂直于河岸 36 s 90 5 m (2)船头向上游偏30° 24 3 s 180 m
3、已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m ，河水的流动速度为v2＝3 m/s ，方向与河岸平行.试分析：
(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？
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考点四：小船渡河模型
1.(小船渡河问题)小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是2 m/s ，小船在静水中的航速是4 m/s.求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？
答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s.(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m.
解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin ＝＝ s ＝50 s.
d v 船2004(2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即最短航程为200 m ，应使v 合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，
与河岸成α角，有 cos α＝＝＝，解得α＝60°.
v 水v 船24122、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s ，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
答案 (1)船头垂直于河岸 36 s 90 m (2)船头向上游偏30° 24 s 180 m
533、已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m ，河水的流动速度为v2＝3 m/s ，方向与河岸平行.试分析：
(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？
(2)欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？
高中物理 小船渡河模型 典型例题(含答案)【经典】
考点四：小船渡河模型
1.(小船渡河问题)小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是2 m/s ，小船在静水中的航速是4 m/s.求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？
答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s.(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m.
解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin ＝d v 船＝2004 s ＝50 s. (2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即最短航程为200 m ，应使v 合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有 cos α＝v 水v 船＝24＝12
，解得α＝60°. 2、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s ，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
答案 (1)船头垂直于河岸 36 s 90 5 m (2)船头向上游偏30° 24 3 s 180 m
3、已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m ，河水的流动速度为v2＝3 m/s ，方向与河岸平行.试分析：
(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？
人教高中物理 必修二 5.1 小船渡河模型(含答案)
人教高中物理必修二 5.1 小船渡河模型(含答案)
运动的合成与分解实例——小船渡河模型
一、基础知识
（一）小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝d v
(d为河宽)．
1
②过河路径最短(v2<v1时)：合速度垂直于
河岸时，航程最短，s短＝d.船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝v2v
.
1
船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，
一般情况下与船头指向不一致．
(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，
一般用平行四边形定则按水流
方向和船头指向分解．
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．
(4)求最短渡河位移时，根据船速v船与水流
的大小情况用三角形法
速度v
水
则求极限的方法处理．
二、练习
1、一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1
＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，则：
(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
解析(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．
当船头垂直河岸时，如图所示．
合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s.
t＝d
v2＝180
5s＝36 s
v＝v21＋v22＝5
2 5 m/s
x＝v t＝90 5 m
(2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直
高中物理 小船渡河模型 典型例题(含答案)【经典】
考点四：小船渡河模型
1.(小船渡河问题)小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是2 m/s ，小船在静水中的航速是4 m/s.求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？
答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s.(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m.
解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin ＝d v 船＝2004 s ＝50 s. (2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即最短航程为200 m ，应使v 合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有 cos α＝v 水v 船＝24＝12
，解得α＝60°. 2、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s ，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
答案 (1)船头垂直于河岸 36 s 90 5 m (2)船头向上游偏30° 24 3 s 180 m
3、已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m ，河水的流动速度为v2＝3 m/s ，方向与河岸平行.试分析：
(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？
小船渡河模型(含答案)
运动的合成与分解实例——小船渡河模型
一、基础知识
（一）小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)三种情景
①过河时刻最短：船头正对河岸时，渡河时刻最短，t短＝d v
1
(d为河宽)．
②过河途径最短(v2<v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d.船头指向上游与河岸夹角为α，cos α
＝v2v
1
.
③过河途径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法
垂直渡河．确信方式如下：如下图，以v2矢量结尾为圆
心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，那么合速度沿此切线方向航程最短．由
图可知：cos α＝v1v
2，最短航程：s短＝d
cos α
＝v2v
1
d.
（二）求解小船渡河问题的方式
求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时刻，二是求最短渡河位移．
不管哪类都必需明确以下四点：
(1)解决这种问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也确实是
船头指向，是分运动．船的运动方向也确实是船的实际运动方向，是合运动，
一样情形下与船头指向不一致．
(2)运动分解的大体方式，按实际成效分解，一样用平行四边形定那么按水流
方向和船头指向分解．
(3)渡河时刻只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．
(4)求最短渡河位移时，依照船速v船与水流速度v水的大小情形用三角形法
那么求极限的方式处置．
二、练习
一、一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.假设船在静水中的速度为v2＝5 m/s，那么：
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运动的合成与分解实例——小船渡河模型
一、基础知识
（一）小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝d v
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(d为河宽)．
②过河路径最短(v2 与河岸夹角为α，cos α＝v2v 1 . ③过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法 垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆 心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方 向航程最短．由图可知：cos α＝v1v 2，最短航程：s短＝d cos α ＝v2v 1 d. （二）求解小船渡河问题的方法 求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移． 无论哪类都必须明确以下四点： (1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是 船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致． (2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流 方向和船头指向分解． (3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关． (4)求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形法 则求极限的方法处理． 二、练习 1、一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s， 则： (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 解析(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向． 当船头垂直河岸时，如图所示． 合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s. t＝d v2 ＝180 5s＝36 s v＝v21＋v22＝5 2 5 m/s x＝v t＝90 5 m (2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α，如图所示． 有v2sin α＝v1， 得α＝30° 所以当船头向上游偏30°时航程最短． x′＝d＝180 m. t′＝ d v2cos 30° ＝180 5 23 s＝24 3 s 答案(1)垂直河岸方向36 s90 5 m (2)向上游偏30°24 3 s180 m 2、一条船要在最短时间内渡过宽为100 m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变 化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是() A．船渡河的最短时间是25 s B．船运动的轨迹可能是直线 C ．船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2 D ．船在河水中的最大速度是5 m/s 答案 C 解析 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t ＝100 5 s ＝20 s ，A 错 误；由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线，B 错误；船在最短时间内渡河t ＝20 s ，则船运动到河的中央时所用时间为10 s ，水的流速在x ＝0到x ＝50 m 之间均匀增加，则a 1＝4－0 10 m /s 2＝0.4 m/s 2，同理x ＝50 m 到x ＝100 m 之间a 2＝0－4 10 m /s 2＝－0.4 m/s 2，则船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2， C 正确；船在河水中的最大速度为v ＝ 52＋42 m/s ＝41 m/s ，D 错误． 3、如5所示，河水流速与距出发点垂直距离的关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则 ( ) A ．船渡河的最短时间是60 s B ．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C ．船航行的轨迹是一条直线 D ．船的最大速度是5 m/s 答案 BD 解析 当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t ＝d v 2＝300 3 s ＝100 s ，A 错，B 对．因河水流速不均匀，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v ＝ 42＋32 m /s ＝5 m/s ，C 错，D 对． 4、(2011·江苏·3)如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原路线返回到O 点，OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA ＝OB .若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为 ( ) A ．t 甲 C ．t 甲>t 乙 D ．无法确定 答案 C 解析 设两人在静水中游速为v 0，水速为v ，则 t 甲＝ x OA v 0＋v ＋x OA v 0－v ＝2v 0x OA v 20－v 2 t 乙＝2x OB v 20－v 2 ＝ 2x OA v 20－v 2<2v 0x OA v 20－v 2 故A 、B 、D 错，C 对．