如何只用直尺作矩形一边的中点
无刻度直尺作图(一)
中考数学试题研究之无刻度直尺作图（一）一、分割线段问题○1求作点P，使得AP:PB=1:2○2求作点P，使得AP○3作点P，使得AP：PB=15：8：S△PBC=1：2④如下图，在△ABC边上找一点P，使S△PAB：S△QBC=1：2⑤在△ABC内找一点Q，使S△QAB：S△GBC：S△GAC=1：2：3⑥在△ABC内找一点G，使S△GAB⑦AC交网格于点P，BC边上找一点Q，使PQ平分△ABC的面积二、垂直处理策略1、A ,B ,C 为边长为1的正方形网格的格点，○1过点C 作AB 的垂线○2作△ABC 的高AD ;○3作线段AB 的垂直平分线○4BC 边上找一点P ，使tan ∠CAP =252、如图在由边长为1的小正方形组成的网格图中，有一个格点三角形ABC ，若P 、Q 分别为线段AB 、BC 上的动点，当PC +PQ 取得最小值时，①在网格中用无刻度的直尺，画出线段PC 、PQ ．（请保留作图痕迹．）②直接写出PC +PQ 的最小值________：三、平行处理1、如图，边长为1的正方形网格中，格点△ABC ，BC 交网格线于D○1P 为△ABC 内一格点，M ,N 为AB ,BC 边上的点，使四边形PMBN 为平行四边形○2过点D 作AB 的平行线交AC 于E2、平行四边形ABCD ，E 为AB 中点○3求作CD 中点F ，○4作AD 边中点G3、已知边长为1的正七边形ABCDEFG○5画一个以AB 为边的平行四边形○6画一个以AF 为边的菱形○7画一条长为12的线段四、对称策略1、如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D○1P为边AB上一点，用无刻度直尺在AC上找一点P‘，使AP’=AP○2P为BD上任意一点，在CD上找一点P’，使CP’=BP2、正方形ABCD，M是边BC上一点○3AB边上找一点N，使CN=AM○4AD边上找一点Q，使CQ∥AM五、旋转策略○1请用无刻度的直尺将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得矩形'''AB C D,其中点C的对应点'C 落在AD的延长线上。
七上数学中点问题解题技巧和方法
七上数学中点问题解题技巧和方法一、认识中点1、什么是中点在平面几何中，中点指的是线段的中心点，也就是将一条直线段平均分成两段的点。
在坐标系中，中点的坐标可以通过相应线段的两个端点的坐标来求得。
2、中点的特点中点具有以下特点：- 与两端点距离相等- 与两端点连线构成的线段长度是全线段长度的一半- 坐标为两端点坐标的算术平均值二、中点问题解题技巧和方法1、求直线段中点的坐标求直线段中点的坐标，可以通过端点坐标的平均值来求得。
假设直线段的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标为：\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]2、中点问题解题步骤求解中点问题一般需要经过以下步骤：- 确定问题：明确问题中需要求解的中点的具体内容，确定问题中所给条件以及未知数。
- 分析问题：通过问题分析，理清思路，确定解题的方法和步骤。
- 求解过程：根据问题需求，使用公式或者坐标的求解方法求得中点坐标。
- 检验答案：求得中点坐标后，通过计算或者图示方法对答案进行检验，确保结果的准确性。
三、实例分析下面通过实例对中点问题的解题技巧和方法进行具体分析。
例题：已知直线段AB的端点坐标分别为A（2，3）和B（6，8），求直线段AB的中点坐标M。
分析解题步骤：1. 确定问题：根据题目要求，需要求解直线段AB的中点坐标M。
2. 分析问题：根据中点的定义和公式，可以通过端点坐标的平均值求得中点坐标。
3. 求解过程：根据公式\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]，带入端点坐标得到：\[M(\frac{2+6}{2},\frac{3+8}{2} )\]，计算得中点坐标M为：\[M(4,5)\]。
4. 检验答案：通过计算得到的中点坐标进行检验，发现满足与端点距离相等的特点，因此得出结论，中点坐标M为(4,5)。
四、总结与思考中点问题是数学中的基础问题，其求解过程涉及到坐标系的运用、平均值的计算等数学知识。
例谈中点问题的几种辅助线的作法
二、 作平行线 。 构造全等三角形 已知 三角形一边 的中点 ， 我们 可以经 过其 中一 个顶 点作对边 的平行线 ， 构造“ 型 图， ” 从而可 以得 到全等三角形 。 Ａ Ｄ 例 ２ 已知 ： 图 ２ Ａ Ｃ 如 ， Ｂ
＝
又 Ｅ 是△Ｂ Ｃ的 中位线 ， Ｍ Ａ Ｅ Ｍ∥Ａ 即 Ｅ Ｃ， ＭＢ＝ Ｃ 。
・ ． ． ‘ ． ‘
Ｍ Ｄ＝ Ｂ Ｄ一 Ｅ Ｄ＝ Ｂ一÷ Ｂ＝ Ｅ Ｅ Ｍ
二
忸 ＝９＊ Ａ ＋ Ｂ ＝ Ｃ ， ０， Ｄ Ｃ Ｄ
Ｃ，
’ ． ．
为佃 的中点 ， 求证 ： Ｄ Ｃ＝ Ｅ
９ 。
仍 ＝ Ｍ ＥＤ ，
证明 ： 长 Ｄ 交 Ｃ 延 Ｅ， Ｂ的延 长线 于点 Ｆ 。
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思路方法
３ ７
例 谈 中点 问题 的几 种 辅 助 线 的作 法
■ 娄
在研究几何图形时 ， 若有涉及 中点的问题 ， 我们 常需要添加一些适 当的辅助线来解 答 问题 ， 果能 如 够把这一类问题的一般 方法作 出全面 的归纳 ， 那将 对我们思考问题是很有益处的。 作等腰 三角形底边上的 中线 在等腰三角形中 ， 作它底边上的中线 ， 我们可利 用等腰三角形“ 三线合一” 的性质来解答 问题 。 例 １ 已知 ： 图 １点 Ｄ、 如 ， Ｅ
‘
．
．
的中点问题 ， 了构造 全 等 （ 除 即作 Ｂ Ｍ∥ Ｃ ， Ａ Ｆ交 Ｄ 的延 长线 于点 ） ， 外 也可 以过 中点 Ｄ作平 行线 ， 构
造中位线 。 证明 ： Ｄ 作 Ｇ∥ｃ 交 Ｂ Ｆ， Ｆ于 ｃ，
则 Ａ Ｅ Ｅ： Ｄ＝Ａ 彤 。 Ｆ：
又 ＢＤ＝Ａ ． Ｂ ０，‘ Ｄ：Ａ ． Ｇ。
人教版九年级数学下册专题复习：只用直尺的中考作图题赏析课件(16张ppt)
直尺作图题赏析
引申一： 已知线段BD的中点C及直线BD外一点P，只用直尺 过P作BD的平行线. 引申二：一道题的讨论 下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出 对称轴的是( )
A.菱形 B.矩形 C.等腰梯形 D.正五边形
思考1：正A五B边是形的其顶点中与对一边中个点所小在的长直线方为对形称轴的。 对角线，请在大长方形中完成下列画图，
拓展：矩形和正方形的结合，平行四边形和圆的结合。
功能，发要挥“求转化：”的1威、力。仅用无刻度直尺，2、保留必要的画图痕迹.
思考2：轴对称图形的对称线段（或延长线）相交，交点必在对
思考2：在已(作1出)在的图图1中，(1P点)中是三画角形一中什个么线4段5的°交点角？ ，使点A或点B是这个角的顶点，且AB
2、作图题的思考原则：假设图已作出，再分析图形应具备 的特征。
直尺作图题赏析
(2004,江西)如图，己知方格纸中的每个小方格都是相同 的正方形. AOB画在方格纸上，请在小方格的格点上 标出一个点P，使点P落在 AO的B平分线上.
思考：由于CA=CB，所以可考虑全等三角形、等腰三 角形三线合一、菱形。
就需要深入挖掘图形自身性质，用好直接的或潜在的固有
(1)在图(1)中画一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB （2015、南昌市）.
直尺作图题赏析
(2012，江西)如图12，已知正五边形ABCDF，仅用无刻度的直 尺准确作出其一条对称轴.(保留作图痕迹)
思考1：正五边形的顶点与对边中点所在的直线为对称轴。 思考2：轴对称图形的对称线段（或延长线）相交，交点必在对 称轴上。 思考3：正多边形的对称轴都仅用直尺能作吗？
中考数学教学指导：聚焦“只用直尺”类作图题
聚焦“只用直尺”类作图题只用直尺(无刻度) 作图问题，具有趣味性、探索性、创造性，它注重数学思维的考查．由于少了圆规的相助，直尺只能用来画直线、射线或线段，以及由它们组合成的图形．解答此类问题时，在动手操作探索作图思路的过程中，我们会感受到数学创造的乐趣．下面举例说明．一、作三角形的高例1知AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外，图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺，(1) 在图1中，画出△ABC的三条高的交点：(2) 在图2中，画出△ABC中AB边上的高．分析(1) 画△ABC三条高的交点，实际上只要画出两条高即可．作高就是要画出90°角，已知AB是半圆的直径，容易联想到“直径所对的圆周角是直角”．记图1中AC与半圆交点为E，BC交半圆于点D，连结AD、BE交于点P，则点P即为所求．(2) 受第(1) 题的启发，先分别作出AC、BC边上的高得到它们的交点，再过这两条高的交点及点C作射线与AB相交即可．具体画法是：如图2，延长AC交半圆于点D，延长BC交半圆于点E，连结BD、AE并延长交于点P，作射线PC交AB于点F，则PF即为所求．解(1) 如图1，点P即为所求．(2) 如图2，线段PF即为所求．二、画对称轴例2已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确画出它的一条对称轴(保留画图痕迹)．分析正五边形是轴对称图形，它的每一条对称轴都经过一个顶点．考虑过点A画对称轴，此时BC、DE是一对对称线段．由于BC与DE不平行，因此它们的交点在过点A的对称轴上，如图3 (1)；或者点B、E及点C、D是两对对称点，连结BD、CE，它们的交点在过点A的对称轴上，如图3 (2)．解直线AF即为所求．例3如图4，△ABC与△DEF关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出直线l．分析成轴对称的两个图形中，不平行的对称线段的交点在对称轴上．图4中AB与DE、BC与EF、AC与DF是对称线段且都不平行，只要画出其中两对对称线段的交点即可画出对称轴．解直线l即为所求．三、画角平分线例4 如图5，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线(请保留画图痕迹)．分析因为OA=OB，连结AB，则△AOB是等腰三角形．因此要画∠AOB的角平分线，根据“三线合一”可知，只需画出底边AB上的高或AB的中点即可．注意到AB是矩形AEBF 的对角线，容易想到连结EF，EF与AB的交点就是AB的中点，记为点G，作射线OG即为∠AOB的平分线．解射线OG即为所求．四、画中点例5 已知矩形ABCD，请你只用无刻度的直尺画出BC边的中点．分析本题难度较大，让人有无从下手的感觉．注意到矩形ABCD的对边互相平行，考虑利用平行线分线段成比例定理来求解，这需要有较扎实的数学基础知识．如图6，在AD的上方任取一点O，连接OB、OC分别交AD于点E、F，连结BF、CE交于点G，连结OG并延长交BC于点H，则点H就是BC边的中点．证明如图6，记OH交AD于点M．∵四边形ABCD是矩形，∴A D∥BC，∴EMBH=OEOB，OEOB=EFBC，EFBC=EGGC，EGGC=EMHC，∴EMBH=EMHC∴BH=CH，即点H为BC为的中点．说明只用直尺作图，可作出矩形一边的4等分点、8等分点、16等分点…求解几何作图题的思维方式与求解几何证明题不同，它需要较强的构造和设计能力．由于同学们对此类问题接触较少，一开始可能会觉得比较困难．相信同学人多学习多训练，一定会积累经验，取得成功．。
中考数学压轴题之无刻度直尺作图技巧分类详解
中考数学压轴题之无刻度直尺作图、网格点作图技巧详解仅用无刻度直尺作图和网格点作图问题已成为各地中考热门考点，近年来在江西、武汉、天津等地中考中均以压轴题出现，其难度一般会超过单纯的证明题或计算题。
这类题型主要考察同学们对几何图形性质的熟悉程度，还有同学们平时方法和技巧的掌握。
常见的考察点有：特殊点问题、特殊角问题、垂直问题、平行问题、角平分线问题、与圆有关的问题等。
无刻度直尺的作用只有一个：将已知的两点连线。
我们要充分利用格点的作用：取点、平行等。
下面对各类常见题型的技巧进行了分类总结。
一、特殊点问题例1：在下面网格图中用无刻度直尺作出线段AB的中点。
分析与解：利用“8”字型平行线分线段成比例、平行四边形对角线互相平分等性质，图中不同颜色的线均可将AB平分。
例2：在下面网格图中用无刻度直尺作出线段AB的中点，其中A为格点，B为任意点。
分析与解：如图，取格点C，连接CB并延长交网格线于E,取AC、AE与网线的交点D、F（即中点），连接DF交AB于G，则G即为所求作点。
这儿我们利用了中位线和平行线分线段成比例等性质。
例3：在下面网格图中，在线段AB 上找一点C ，使AB AC 31=。
方法1方法2 方法3分析与解：方法1和方法2都利用了网格线平行的性质，通过“8”字型模型，构造1：2的相似比例，从而将线段AB 分为1：2两段。
方法3利用了重心的性质，AB 和EF 为BED ∆的两条中线，所以C 为BED ∆的重心。
二、特殊角问题例4：在下面网格图中找格点C ，使O BAC 45=∠。
分析与解：利用“12345”模型，即若βα、均为锐角，且31tan ,21tan ==βα，则O 45=+βα。
例5：如下图，利用无刻度直尺在线段MN 上找一点Q ，使O AQB 45=∠。
分析与解：O AQB 45=∠，典型定弦定角问题。
注意到O AMB 90=∠，所以点Q 在以M 为圆心，MA 长为半径的圆上，故2=MQ 。
仅用无刻度直尺创新作(画)图题的解题技巧
C C
答:△ABC为所求作的三角形；
当堂检测
——利用图形的性质画图
O
解:(1)AC为所作的线； 【点评】 (1)利用等腰三角形的性质及平行四边形 (2)EO为所作线． 的对边平行的性质进行推理；(2)由(1)可知 △AEC是等腰三角形，所以要找出AC的中点．
当堂检测
——在网格中画图
2、如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给的网格 中按下列要求画出图形。 (1)画一条线段AB,使它的另一个端点B落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为 (2)以(1)中的AB为边，画一个等腰△ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是 无理数； (3)以(1)中的AB为边，画一个平行四边形，使另外两个顶点都在格点上，各边长 都是无理数且画出所有符合条件的平行四边形。
当堂检测
——利用图形的性质画图
1、请你只用无刻度的直尺按要求作图. (1)如图1，AF、BE是△ABC的角平分线，且相交于点 O，请你作出∠C的平分线. (2)如图2，AC与BD相交于O，且 ∠DAO=∠BAO=∠CBO=∠ABO,请你作出∠AOB的平 分线.
E
答:(1)CO为所求作的线；(2)EO为所求作的线．
仅用无刻度的直尺
——1、根据图形的性质画图
例1．（2012江西样卷）如图，四边形ABCD是 一个等腰梯形，请直接在图中仅用直，准确画 出它的对称轴．
F
【分析】要画等腰梯形的对称轴， 应找出两点，而直尺只能连线， 所以应尝试找出这两点。 ①线与线交于一点，连AC、BD得 点E； ②延长BA、CD交于点F； ③连结EF，即得对称轴．
专题讲座
仅用无刻度的直尺
创新作（画）图题 ——解题技巧
试题立意
矩形的中心点的定义-概述说明以及解释
矩形的中心点的定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述引言部分是文章开头的重要部分，它需要引起读者的兴趣并提供背景信息。
以下是关于矩形中心点定义的概述部分的示例内容：概述矩形是我们日常生活中最基本的几何形状之一，它有着广泛的应用，在建筑、工程、计算机图形学等领域都扮演着重要的角色。
矩形的中心点作为矩形的一个重要属性，对于矩形的定位和分析具有重要的意义。
本文旨在探讨矩形中心点的定义及其在不同领域中的应用。
首先，我们将介绍矩形的定义，明确矩形这一几何形状的特征和性质，为后续对矩形中心点的讨论奠定基础。
接着，我们会详细探讨矩形的中心点的重要性，包括在几何分析、图形计算和图像处理中的应用。
最后，我们将总结矩形中心点的定义，并强调其应用价值，并对未来研究方向进行展望。
通过对矩形中心点的定义和应用进行深入的研究，我们可以更好地理解和利用矩形这一几何形状，在各个领域中提供更加准确和高效的解决方案。
无论是在建筑设计中精确定位矩形的位置，还是在计算机图形学中进行图像处理和重构，矩形中心点的定义都具有重要的意义。
因此，研究和探索矩形中心点的定义和应用是一个具有挑战性并且具有广泛应用前景的课题。
在接下来的篇章中，我们将一步步地探索矩形中心点的定义和应用，希望读者通过本文的学习，对矩形的中心点有更加深入的理解，同时也为未来的研究工作提供一定的参考和借鉴。
让我们一起展开关于矩形中心点定义的精彩探索吧！1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分的主要目的是为读者提供对整篇文章的清晰概述，帮助读者更好地理解文章的内容与组织结构。
本部分将介绍本文的整体结构，包括各个章节的主要内容和目标。
具体来说，本文将包括以下几个部分：1. 引言部分：在引言部分中，将对矩形的中心点的定义进行简要介绍，并说明本文将讨论有关矩形中心点的重要概念和属性。
2. 正文部分：正文部分将详细探讨矩形的定义、属性以及中心点的重要性。
在2.1节中，将给出矩形的几种常见定义，并探讨它们的优缺点。
「初中数学」中点相关的几何解法探究
「初中数学」中点相关的几何解法探究中点是几何中的一个重要概念，体现了对称、和谐之美，是中考的核心考察对象之一，在命题中占着重要的一席之地.本文拟从与中点有关的基本定理、基本图形等入手，以学生检测中的一道中考真题为例，对中点问题展开解法探究.一、基本图形先谈谈与中点有关的基本定理与基本图形，如图1所示：1.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；2.等腰三角形底边上的中线、底边上的高线以及顶角的平分线重合，简称“三线合一”；3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；5.平行四边形的对角线互相平分；由这些基本定理及其相关逆定理衍生出的基本图形，是我们处理中点问题的常见策略，如倍长中线等方法.结合面积问题，还会有“三角形的中线平分其面积”等结论.二、例题呈现（2015年辽宁省抚顺市中考题）如图2，四边形ABCD为矩形，E为边BC的中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.(1)求证：CF与⊙O相切；(2)若AD=2，F为AE的中点，求AB的长.三、解法探究首先解决第(1)小问：思路一：如图3，要证CF与⊙O相切，必定要连接半径OF，只要证出OF⊥CF即可.由题易知OD⊥CD，连接OC，若能证明△OCD≌△OCF便可解决问题.要证△OCD≌△OCF，已经有OD=OF，OC=OC，还缺一个条件，如何寻找呢？注意到在矩形ABCD中，点O、E分别为AD、BC的中点，易证四边形AOCE为平行四边形，从而有OC∥AE.故∠COF=∠OFA=∠OAF=∠COD，即∠COF=∠COD.因此△OCD≌△OCF （SAS），问题得解.思路一构造平行四边形，通过导角，寻找到了所需的最后一组有关角的条件.除此之外，还可以考虑证明CD=CF，再利用“SSS”得到全等.下面提供“倍长中线”的思路来证明CD=CF.思路二：如图4，延长AE交DC的延长线于点G，由E为边BC 的中点，易证△ABE≌△GCE（ASA），从而有AB=GC=DC；由直径AD联想到连接DF，则∠AFD=∠DFG=90°；识别到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”基本型，可得FC=DC；至此，除了全等法之外，还可以简化过程如下：由OF=OD得∠OFD=∠ODF，再由FC=DC得∠CFD=∠CDF，从而有∠OFC=∠ODC=90°，则OF⊥CF，故CF与⊙O相切，问题得解.课堂上笔者介绍了这两种思路，学生直呼过瘾.就这样结束了吗？不！爱动脑筋，总会有意想不到的收获！下课铃声一响，班里一学生兴高采烈的堵住我：“老师，我还有一种解法，……”.思路三：如图5，连接OF、DF、OE、OC、DE，设OC与DE交于点M，再连接FM.易证四边形ODCE为矩形，且∠AFD=∠DFE=90°，则FM=1/2DE=1/2OC=OM=CM.由FM =OM=CM，可推出∠OFC=90°，则OF⊥CF，故CF与⊙O相切，问题得解.此解法看似复杂，但构图充满美感，不自觉间形成了一个极其有趣的“★”结构，让人不禁感叹几何构造之神奇！而解法来源于学生，又不禁让教者惊叹于学生无限的创造力!若用共圆的眼光来看，此解法将更有趣.如图6，易知O、D、C、E、F五点共圆，再借助圆中相关知识，此图中还会有非常多的等角.四、解后反思“学而不思则罔，思而不学则殆”，解题后反思是是一种意识，一种习惯，更是一种能力.几何的学习重在基本图形的识别与构造，学会联想，将残缺的图形补成已学过或已解决的基本图形，这就是所谓常见辅助线的构造.反思解题过程，重在反思基本图形.1.“铁三角结构”思路一中可抽离一个基本图形：如图6，由OA=OF及OC∥AF可推出∠1=∠2，即“等腰三角形＋平行角平分线”.事实上，对于条件①：OA=OF；条件②：OC∥AF；条件③：∠1=∠2，其中任意两个成立，第三个一定成立，两两组合，共三个真命题.笔者称其为“铁三角结构”，它经常会出现在中考题里，应予以广泛的关注.2.“倍长中线法”思路二中，由中点E联想到倍长AE至点G，如图7，构造出一组“平行8字型”全等，此法即为“倍长中线法”，是解决与中点相关问题的重要方法，需引起高度重视.此外，倍长中线之后，思路二还结合了一个重要的定理，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，如图8所示.这条中线了不得，它将直角三角形分割成了两个等腰三角形，实现了两种特殊三角形之间的相互转化.值得一提的是，该定理还有一些重要的逆定理，比如“若FC=CD=CG，则∠DFG=90°”，再比如“若∠DFG=90°且FC=CD，则CD=CG”，也经常会在中考题里出现.3.几个有趣的结论(1)如图9，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，DF⊥AE，则CF=CD.简析：该结论就是从例题图中抽离出来的，其中圆被隐去了.其证明，从例题来看，至少有两种证法：一是取AD的中点，采取全等法；二是延长AE，采取倍长中线法.此外，还可以建立平面直角坐标系，设出点坐标，利用解析法，经过一番“惨无人道”的计算，验证出CF=CD成立.这既是解析法的优势，也是其劣势之所在.它不需要联想到几何构造的“天马行空”，仅仅只要实施暴力计算的“脚踏实地”.几何法是证明，而解析法就是验算.通过证明不难发现，矩形条件实属多余，只需要四边形ABCD为平行四边形，其余条件不变，如图10所示，依然有CF=CD成立.(2)如图11，在正方形ABCD中，E、M分别为边BC、AB的中点，则CF=CD.简析：易证Rt△ADM≌Rt△BAE（SAS），导角可得DM⊥AE，转化为结论(1)，下略.图11中，两个中点可导出：DM⊥AE，DM=AE，CF=CD.这是一个极其有趣的结构，可称为正方形中“十字架”模型，借助相似，该模型也可以推广到矩形中，是一个经典的几何图形，常出现在考题中.(3)如图12，在正方形ABCD中，F为边AB的中点，CF与以AB 为直径的半圆交于点G，连接AG并延长交BC于点E，则E必为边BC的一个黄金分割点.简析：如图13，由直径AB联想到连接BG，则BG⊥AE；联想到正方形中“十字架”模型，延长BG交边CD于点M，则易得Rt△ABE≌Rt△BCM（AAS）；又由边AB的中点F知，GF=AF=BF，导角易得∠1=∠3=∠4=∠2，∠5=∠8=∠7=∠6；由∠1=∠2知△CGE∽CBG，从而易得CG2=CE×CB；又由∠5=∠6，易得CG=CM=BE，因此有BE2=CE×CB，即点E必为边BC的一个黄金分割点，问题得解.此结论脱胎于2017年安徽省中考压轴题，是一个极其有趣的结果，它提供了一种用尺规作图寻找线段黄金分割点的趣法，值得大家用心揣摩.五、类题巩固（2017年黑龙江省鹤岗市中考题）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．(1)如图14所示，求证：OH＝1/2AD且OH⊥AD；(2)将△COD绕点O旋转到图15，图16所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．简析：(1)如图17，易证Rt△AOD≌Rt△BOC（SAS），则AD=BC，∠1=∠2；又由H为BC的中点，易得OH=1/2BC=BH，从而∠1=∠3；故OH＝1/2AD，再由∠2=∠3导角可得OH⊥AD；对于第(2)小问，下面给出几种方法，供大家参考：方法一：如图18，延长BO至点B′，使OB′=BO，连接B′C.由点H为BC中点，得OH∥B′C且OH=1/2B′C.又易证△AOD≌△B′OC （SAS），则有AD=B′C，于是有OH＝1/2AD.另外，由△AOD≌△B′OC还可得∠OAD=∠OB′C，导角易得B′C⊥AD，从而有OH⊥AD，问题得解.方法一通过倍长BO的手段，将目标线段OH变为中位线，从而转化为B′C，只要证明B′C与AD的关系即可.既然可以倍长BO，同理可以倍长CO，如图19所示，“它们是一伙的”，不再赘述.方法二：如图20，延长AO至点E，使OE=AO，连接DE，再取DE的中点F，连接OF，则OF∥AD且OF=1/2AD.又易证△BOC≌△EOD（SAS），其中△EOD可看成由△BOC绕着点O按逆时针方向旋转90°而来.由点H为BC中点，易知点H与点F是对应点，再结合旋转的性质，可得OF=OH且OF⊥OH，从而有OH=1/2AD且OH⊥AD，问题得解.方法二通过倍长AO的手段，再取一个中点，将目标线段AD转化为中位线OF，只要证明OF与OH的关系即可.既然可以倍长AO，同理可以倍长DO，如图21所示，“它们也是一伙的”，不再赘述.上面两种方法都用到了一个重要的基本图形，如图22及图23所示，可直观地称其为“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”.在该模型中，易得△BOD≌△AOC（SAS），这个全等往往是解题的关键之所在，还可以用旋转的眼光来看待，从而易得AC=BD且AC⊥BD.方法三：如图24，延长中线OH至点E，使HE=OH，连接BE，则有△COH≌△BEH（SAS），从而易知BE=CO=DO，且易得BE∥CO，故∠EBO+∠COB=180°.又因为∠AOD+∠COB=（∠AOB+∠DOB）+∠COB=∠AOB +(∠DOB +∠COB）=∠AOB+∠DOC=180°，所以有∠EBO=∠AOD.于是有△EBO≌△DOA（SAS），则OE=AD且∠EOB=∠DAO.再导角可得OE⊥AD，因此有OH=1/2AD且OH⊥AD，问题得解.该解法巧施“倍长中线”策略，通过全等，结合导角等方法解决问题.如图25，倍长中线OH至点E，再连接CE，也可解决问题。
“仅用无刻度直尺作图”课堂实践例展与分析
２０２３年９月下半月㊀案例赏析㊀㊀㊀㊀仅用无刻度直尺作图 课堂实践例展与分析◉甘肃省庆阳市正宁县第四中学㊀李志明㊀㊀摘要:无刻度直尺作图一直是中考命题的热点,也是初中生数学活动实践中的一大薄弱点．从学生的作图情况来看,利用无刻度直尺作图仍存在着诸多问题,如错误地直接取中点㊁错画垂直或平行等．本文中通过一节课堂教学片段,呈现如何帮助学生学会仅用无刻度直尺作图的方法．关键词:无刻度直尺;作图;实例㊀㊀无刻度直尺作图是尺规作图中的一种,有些省市的中考命题者对此十分青睐．然而,这一内容恰巧是学生的薄弱项,表现出了诸多不足,导致利用无刻度直尺作图题的得分率整体偏低．为此,本文中首先呈现例题及其错误画法,并在分析之后简要说明无刻度直尺的工具属性,最后通过呈现课堂教学片段的方式,和学生探究无刻度直尺作图的方法．１例题及其错误画法呈现例题呈现如下:图１如图１所示,四边形A O C B 是☉O 内一菱形,且A ,B ,C 都在圆上,请仅用无刻度直尺作出线段O A的中点．本题图形简单,条件不多,要求也比较明确,难度较小,笔者预估学生完成的质量较高．但从学生的作图来看,存在很多错误之处,下面展示几种错误画法(如图２):图２２错解分析图２中的四种错解具有代表性．下面对这四种错解进行分析．图２(１)虽关注到了可用无刻度直尺连接菱形A O C B 的对角线构造出点D ,但之后直接取O A 的中点并连接D E ,这正是错误之处．因为仅用无刻度直尺作图时,无法直接且准确地取一条线段的中点,所以违背了无刻度直尺的工具属性．图２(２)的画法虽然简单,但同样违背了无刻度直尺的工具属性．体现在两个方面:首先,直接取B C 的中点;其次,直接取O A 的中点．图２(３)连接B O 并延长与☉O 相交于点D ,连接D A ,作øB D A 的角平分线D E ,与O A 交于点F ,与☉O 相交于点E ．这种作法虽部分尊重了无刻度直尺的工具属性,如 连接O B 并延长与☉O 相交于点D连接D A ,但仅用无刻度直尺难以直接㊁准确地画出一个角的角平分线．图２(４)延长C O 与☉O 相交于点D ,连接D A ,连接B D ,与O A 相交于点E ．这种作法虽然准确找到了O A 的中点E ,每一步操作也符合无刻度直尺的工具属性,但存在多余的线段,应将D A 删除．３仅用无刻度直尺作图的工具属性说明从上述四种错解分析中可以看出,违反无刻度直尺的工具属性最常见．那么,无刻度直尺的工具属性有哪些呢?首先,用无刻度直尺可连接点,如图２(１)中连接C A ,O B 和图２(４)中连接B D 的操作步骤都利用了这一点．９４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.案例赏析２０２３年９月下半月㊀㊀㊀其次,用无刻度直尺可将线段延长,如图２(３)中 连接B O 并延长与☉O 相交于点D 和图２(４)中 延长C O 与☉O 相交于点D 的操作步骤都利用了这一点．也就是说,在仅用无刻度直尺作图的情况下,只能进行连接点㊁延长等操作,不能直接利用无刻度直尺取线段中点㊁作角平分线㊁作平行线㊁作垂线等[１]．４仅用无刻度直尺作图课堂实践虽然当前的尺规作图题无需写出作图步骤及证明过程,但这类题处处体现着数学学科特有的逻辑思维[２]．那么,该如何引导学生去解决这类问题?下面,展示教学片段:师:请同学们取出一张白纸,将之折叠再折叠使之成为一把 无刻度直尺 ．学生折纸．设计意图:长期以来,有刻度的直尺作图给学生留下了极其深刻的印象．用白纸折出 无刻度直尺 ,帮助学生脱离有刻度直尺的束缚,是正确利用无刻度直尺作图的关键．师:请问这样的 直尺 有刻度吗?生:没有．师:利用它能否画出一条直线或线段呢?请和同桌交流．学生交流并分享．生１:可以画出直线,也可以画出线段,还可以画出射线．师:请用你的 无刻度直尺 给所画线段找出中点,可以吗?学生寻找并讨论．教师巡视并收集错解,在白板上展示．师:请看白板上展示的两种作法,你认为它们正确吗学生观察并思考．生２:我认为图３的作法不正确．因为仅用无刻度直尺 找 不到它的中点．线段是由无数个点组成的,你怎么知道点O 正好就是线段A B 的中点呢?所以,我认为这种画法不正确．图３㊀㊀㊀图４生３:我觉得图４的作法也有问题．因为用无刻度直尺画中间直线时,如何知道该直线恰好与线段A B 互相垂直呢?设计意图:收集错解并向学生展示,有利于学生发现问题㊁分析问题．借助错解让学生反思,更有利于学生形成批判性思维,甚至创造性思维．师:分析得非常有道理．那么仅用无刻度直尺作图时,到底能做什么呢?生４:我认为可以连接点．生５:我认为可以把线段向两端延长．师:非常好．那么对于图１,应如何利用无刻度直尺作图呢请思考．生:(思考)生６:首先可以把能连接的点用无刻度直尺连接起来,还可以延长线段．如图２(１)中连接O B ,C A ,如图２(３)中连接O B 后延长B O 与☉O 交于点D ．生７:线段延长后会产生新的点,这些新的点又可以连接．如图２(４),延长C O ,与☉O 交于点D ,这个点D 就是新产生的点,可以将这个点与其他点连接起来．生８:我认为还有非常重要的一点,就是把多余的线段去掉,如图２(４)中应该去掉线段A D．图５师:大家说得非常好,生８补充得更好．所以,图１中O A 的中点可如图５所示作图．综上所述,在仅用无刻度直尺作图时,一定要摒弃习惯思维对学生的影响,在明确无刻度直尺的工具属性后,才能正确作图．否则,极易出现文中展示的几种错误．参考文献:[１]张洁．造境 串问 灵动:从中考题谈情境教学 以 直尺作图 为演示案例[J ]．中学数学研究(华南师范大学版),２０２０(２２):１６Ｇ１７,１５．[２]吕科利,郑旭常．浅析 无刻度直尺 作图的作法探讨与应用[J ]．理科考试研究,２０１８,２５(８):２１Ｇ２４．Z０５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
用尺量出中点推荐精选PPT
基準線
用尺量出中點
用三角板作垂直線
用尺量出兩個中點
將尾巴裝上，把上下兩層黏起來 用美工刀將切口割開，並且把硬幣放進去 用美工刀將切口割開，並且把硬幣放進去 將尾巴裝上，把上下兩層黏起來 用美工刀將切口割開，並且把硬幣放進去 用美工刀將切口割開，並且把硬幣放進去 將尾巴裝上，把上下兩層黏起來 用美工刀將切口割開，並且把硬幣放進去 將尾巴裝上，把上下兩層黏起來 將尾巴裝上，把上下兩層黏起來 將尾巴裝上，把上下兩層黏起來 將尾巴裝上，把上下兩層黏起來 將尾巴裝上，把上下兩層黏起來
用尺在上下各 0.5公分的地分
作記號
沿 著 外 框 用 剪 刀 剪 下 來
用 美 工 刀 將 切 口 割 開 ， 並 且 把 硬 幣 放 進 去
將 尾 巴 裝 上 ， 把 上 下 兩 層 黏 起 來
剛 才 找 出 來 的 六 個 洞 口 割割 開 ， 並 且 把
用三角板作平行線
用美工刀將切口割開，並且把硬幣放進去 將尾巴裝上，把上下兩層黏起來 將尾巴裝上，把上下兩層黏起來 將尾巴裝上，把上下兩層黏起來 用美工刀將切口割開，並且把硬幣放進去 用美工刀將切口割開，並且把硬幣放進去 將尾巴裝上，把上下兩層黏起來 將尾巴裝上，把上下兩層黏起來 用美工刀將切口割開，並且把硬幣放進去 用美工刀將切口割開，並且把硬幣放進去 用美工刀將切口割開，並且把硬幣放進去 將尾巴裝上，把上下兩層黏起來 用美工刀將切口割開，並且把硬幣放進去 用美工刀將切口割開，並且把硬幣放進去 用美工刀將切口割開，並且把硬幣放進去 將尾巴裝上，把上下兩層黏起來
將線綁上去，完成。
无刻度直尺作图技巧
解：(1)如图①， 以A为端点， 过DE与BC的交点 作射线，与圆交于
点F，线段AF即为所求 ；
图Z2－13
28
5．【2017·吉安模拟】请仅用无刻度的直尺画图：
(2)如图②，AB，CD是圆的两条弦，AB＝CD且不相互平行
，画出圆的一条直径．
解：(2)如图②，延长BA，DC交于一 点，连接BC，AD交于一点，过这两 点作直线， 与圆交于点M，N， 线段MN即为所求．
直尺完成以下作图．
(1)在图①中作线段BC的中点P；
(2)在图②中，在OB，OC上分别
图Z2－3
取点E，F，使EF∥BC.
解：(1)如图①所示．
解： (2)如图②所示．
8
3．【2016·抚州模拟】由三个形状大小完全相同的菱形组
成一个正六边形．只用无刻度的直尺按下列要求画图．
(1)在图①中画一个直角三角形；
(1)在图①中，画出一个以AB为边的平行四边形； (2)在图②中，画出一个以AF为边的菱形． 解：(1)如下图．(画法有多种，正确画出 一种即可，以下几种画法供参考)
图Z2－5
10
4．【 2017·江西】如图Z2－5，已知正七边形ABCDEFG， 请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
(2)在图②中，画出一个以AF为边的菱形． 解：(2)如下图．(画法有两种， 正确画出其中一种即可)
(1)在图①中，画出△ABC的三条高的交点； (2)在图②中，画出△ABC中AB边上的高． 解：(1)如图①，点P就是所求作的点．
图Z2－9
21
|针对训练| 1．【2013·江西】如图Z2－9，AB是半圆的直径，图①中
，点C在半圆外；图②中，点C在半圆内．请仅用无刻度的直 尺按要求画图．
2021年中考数学复习专题二 无刻度直尺作图(精讲课件)
典重例点题精型讲
题组训练
类型2 以四边形为背景
例3.在图1，图2中，点E是矩形ABCD边AD的中点，请用无 刻度的直尺按下列要求画图(保留画图痕迹，不写画法).
(1)在图1中，以AE为一边在矩形外部画△AEP，使△AEP的
面积等于矩形ABCD的面积的
1 4
.
(2)在图2中，以AE为对角线画一个平行四边形．
的中点，即可画出线
典重例点题精型讲
题组训练
类型5 网格作图 例9.(2020·江西赣州模拟)规定：每个顶点都在格点的四边形 叫做格点四边形．在8×10的正方形网格中画出符合要求的格点 四边形(设每个小正方形的边长为1). (1)在图甲中画出一个以AB为边的平行四边形ABCD，且它的 面积为16； (2)在图乙中画出一个以AB为对角线的菱形AEBF，且它的周 长为整数．
(2)如图2，△ABC内接于⊙O，AB≠AC，D，E分别为 的中点，画出线段BC的垂直平分线．
典重例点题精型讲
解：(1)如图1，直线AO即为所求作的直线； (2)如图2，直线OF即为所求作的直线．
题组训练
【思路分析】(1)根据垂径定理即可画出线段BC的垂直平分 线；
(2)根据垂径定理，D，E分别为 段BC的垂直平分线．
题组训练
例4.如图，在菱形ABCD中，BE是AD边上的高，请用无刻度 的直尺按下列要求画图(保留画图痕迹，不写画法).
(1)在图1中，当BD＝AB时，作△BCD的边BC上的中线DF； (2)在图2中，当BD≠AB时，作△ABD的边AB上的高DG.
典重例点题精型讲
解：(1)如图，线段DF即为所求． (2)如图，线段DG即为所求．
的中
点 ， 进 而 得 出 CF 平 分 ∠ACB ， AG 平 分 ∠BAC ， 则 交 点 I 即 为
尺规作图法简介
一、尺规作图在中学就知道，几何作图所使用的工具是严格限制的，只准用圆规和直尺，直尺不能有刻度，不能使用量角器及其他任何工具．其实，这种限制自古希腊就有而且沿用至今．为什么要加以这样的限制呢？比如说，要找出一个线段的中点来，就不可以先用(有刻度的)尺去量，看它的长度是多少，然后取这个长的一半，再用这一半去量就找出中点来了．何必一定要用无刻度的直尺和圆规去寻求呢？是自己跟自己过不去吗？古希腊认为，所有的几何图形是由直线段和圆弧构成的，圆是最完美的，他们确信仅靠直尺和圆规就可绘出图形来．古希腊人十分讲究理性思维，讲究精确、严谨．他们认为依据从少数假定出发的、经由逻辑把握的东西最可靠．例如前面所说的寻求一已知线段AB的中点问题，作图的步骤是：1．以A为圆心，以一适当长度为半径画弧；2．又以B为圆心，以同样的长度为半径画弧；3．这两弧相交于两点，作两点连线，此连线与已知直线之交点即为所求之中点．然后，要根据已知几何命题来证明这个点必是中点．人们认为，这不仅是最可靠地找到了中点，而且体现了一种完美的思路和做法．正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的．人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年．17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如F i＝22i＋1的数．费马的一个著名猜想是，当n≥3时，不定方程x n＋y n＝z n没有正整数解．现在他又猜测F i都是素数，对于i＝0，1，2，3，4时，容易算出来相应的F i：F0＝3，F1＝5，F2＝17，F3=257，F4=65 537验证一下，这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：F5＝641×6 700 417．当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道．至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数．由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i＋1的素数只有有限个．但对此也未能加以证明．当然，形如F i=22i+1的素数被称为费马素数．由于素数分解的艰难，不仅对形如F i=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个F i也不是一件简单的事．更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k或2k×p1×p2×…×p s，其中，p1，p2，…，p s是费马素数．正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数，但不是费马素数．倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形．根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形．就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连．正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看．高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案．高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数(3=F0，5＝F1)；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数；对于正257边形、正65 537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为4＝22，因为6= 2· 3而3=F0．从古希腊流传下来的几何作图还有三大难题，一个是化圆为方问题，即求作一正方形，使其面积等于已知圆的面积；二是倍立方体问题，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的体积；三是将一任意角三等分．某些特殊角的三等分并不困难，例如将90°的角、135°的角三等分并不难，但是任意角就不一样了．例如，60°的角，你试试看，能否将它三等分？现在已有了结论，告诉你不要再试了，否则是白费时间了．可以取单位圆作代表，其面积即为π．那么，化圆为方的问题相当能吗？古希腊人对化圆为方的问题有极大兴趣，许多人进行研究．这一研究推动了圆面积的近似计算，促进了极限思想的萌生，但是并没有解决化圆为方的问题．另外两大难题虽也没解决，但也促进了对另一些数学问题的研究．尺规作图的实质在于限制只使用两种工具的条件下通过有限步骤完成作图．长度为任一有理数平方根的线段来．当然还可通过有限步骤作出长度为一有理数平方根的平方根的线段来．我们把凡能用尺规经有限次步骤作出的线段或量叫做“可作几何量”．可以证明，“可作几何量”就是那些有理数经有限次+、－、×、÷和开方这类运算得到的量．否则叫“不可作几何量”．化圆为方的问题直至19世纪才得到答案：它是不可能的．因为可作几何量”．这一悬而未决、延宕两千多年的古老问题，最终得以解决．属“不可作几何量”，所以，倍立方体问题的答案也明确了：不可能！再以60°角为例来分析任意角的三等分问题．为把60°三等分，必然要用尺规作出量cos 20°或sin 20°．以下三角恒等式是我们熟知的：cos 3x＝4cos3x－3cos x，将x＝20°代入，得将cos 20°换写为y，即是三次代数方程：这个三次方程的一个正实根当为其所需之解，然而，它必会有有理数的立方根表示．因而y＝cos 20°也是一个“不可作几何量”．故三等分问题亦属不可能．难怪古希腊人对这三个问题久久未找到答案，难怪这是真正的难题．不是古希腊人不智，确实是当时的数学水平还难以使他们得出三大几何作图难题均以“不可能”为结局的结论来．二、解析几何与微积分数学以两千多年的历史伴随人类文明．从公元前到公元16世纪，几何与代数各自平行发展着，几何则以更大的魅力影响着人类文明．但几何似乎仅是关于形的科学而与数无关；代数则似乎与形无关而仅是关于数的科学．代数与几何难以被联系起来的原因是，人们心目中的数是一个个孤立的定数，因而难以从数想到由无穷多个点连成的线条等图形；而对于形，例如，线段和封闭图形，它们与数的联系似乎仅有由数刻画的长度和面积，因而难以从图形想到数的其他表现能力．把数与形密切联系起来的关键是变量概念的形成；另一个同等重要的问题是把图形如线条视为是由动点形成的．只有变动的数与变动的点联系起来，才使数与形的密切关系被深刻地揭示出来了．这里，决定性的工具是坐标，有了坐标，数就是点，点就是数，变动的点就是变动的数，变动的数就是变动的点，于是变数与图形结合在一块了．真正的困难还在于，任何一个具体的图形都不带有一个坐标在身上，亦即，人们在现实生活中是不能直接看到坐标的．当然，稍稍想一想，生活中也有根本感受不到的坐标存在着．例如，在我们说东、南、西、北的时候，一般是确定的站在某一点来说，比如说“北京在东面”，这对站在兰州的人来讲是对的，对站在济南的人来讲是不对的．同样，站在郑州应当说“武汉在南面”，而站在广州，则只能说“武汉在北面”．这实际上就是有了坐标原点的概念，有了坐标的思想．可是，问题还没有那样简单，还需要有运动的观念，还需要有更精确的描述，才能借以刻画几何图形，才能实现数与形的有效融合．数与形的充分结合才产生解析几何．解析几何的主要创始人笛卡儿的有关工作也经历了一个发展过程，所以解析几何并不是瞬间的、偶然出现的产物．让我们看一个实例．首先，我们回顾一下已知两线段而由尺规作出比例中项的办法，如果两线段一样长，那它们本身就是比例中项．如果不一样，那么，可在较长的线段AC上取一点B，使AB等于较短线段的长．再以AC为直径画圆，然后过B作AC的垂线交圆于D，连接AD，AD即为所求之比例中项．在右图中，我们按以上方式作出了AB与AC的比例中项，即接着，我们容易作出E、F、G、H、…使得如果设AB＝1，AD＝x，上式就变成了从线段看，AD=x时AF=x3，AF＝AD＋DF，若记DF=a，我们得到x3=x+a．反过来看，a作为已知数，容易作出一长度为a的线段DF，根据由以上分析所得之启示可作出AD，那么，AD实际上便是三次方程式x3=x＋a的根．这就是笛卡儿在正式形成其明确的解析几何思想之前的一例，把代数方程与几何结合起来的一例．他还曾利用几何方法探寻四次代数方程求根的方法．这是把几何与代数问题结合的一个方面．另一方面，笛卡儿对几何问题又运用了代数方法，例如，研究几何轨迹的问题．解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表达，同时又利用代数的研究方法来研究几何．从进一步的分析还可发现，这种方法其所以十分强有力，是因为形与数的联系比人们想象的要紧密得多，许多复杂的几何现象是通过解析的方法发现的，许多复杂的几何问题是通过解析方法解决的．这不仅是一个手段问题，也是对世界本质的看法问题．所以，笛卡儿的解析几何具有深远的意义．我们从所熟知的内容来看看解析几何的意义．例如，我们知道椭圆、双曲线、抛物线的标准方程是：y2＝2px我们并不需要画出图形来而只要一看式子就知道它是个什么样子．所谓标准方程，是从代数表达形式来看的，而从几何上看，则是其图形摆得方方正正，例如，标准椭圆方程实际上是其圆心摆在原点，其长短半轴分别与平面的两条坐标轴重合．但是，实际的情况并不总是以标准的形式呈现在我们面前的．直线也有其标准形式，但一般形式是ax＋by＋c＝0；二次曲线的一般方程式是ax2＋2bxy＋cy2＋dx＋ey＋f＝0．然后，我们可以通过解析的方法、代数的方法把它们化为标准形式，例如，对二次方程，我们可以通过以下的变换来做这件事情：通过这样的变换，就可以把一般方程化为标准方程．这一过程，这种工作，从表面看来似与几何毫无关系，我们只是在做着代数的工作．通过上面的变换，原来的方程就变为一个新的形式了，现在把它们并列写下来：ax2＋2bxy＋cy2＋dx+ey＋f＝0a′x′2+2b′x′y′+c′y′2+d′x′+e′y′+f′=0这成了两个不同的式子，却有3个相等的式子：a+c=a′+c′，换句话说，在前述变换之下，有两个东西不变(对此，我们前面曾提到过)．至此，我们对一般二次代数方程所作的叙述全是代数的，对方程进行代数变换(两种线性变换)，以及这种变换之下的不变量．接下去我们还可以说明，一般二次方程能在变换之下化为标准方程．下面将用全套的几何语言来叙述与以上相关的全套代数涵义，或说明全套代数语言的几何涵义：在给出了一般二次曲线之后，我们总可以通过平移和旋转，把它摆在标准位置上．以椭圆为例，即把它的圆心移到原点来，把它的长短轴移至坐标轴上来，而二次曲线的原形是不变的．可见，用几何的语言来说，也是很简单的．那么，代数的讨论有什么实际的意义呢？在一般地给出了一个二次代数方程后，你很难看出它会是怎样一条曲线，如果一点一点地描绘也不是件简单的事．然而，代数的讨论告诉我们有几个不变式在那里，我们甚至不必最终化成标准表达式，就能由几个不变式看出曲线的类型和性质．这是重要的定性分析．此外，这种分析也使我们能把所有的二次曲线准确无误地详尽无遗地予以归类了．从哲学上说，笛卡儿的解析几何可说是他理性主义的产物．上面以二次曲线为例，表明代数方法与几何问题的结合，产生了最充分的理论说明．笛卡儿们认为世界是十分有秩序有条理的，是可以用方程来表达的．奇异就出在这种有序的世界和有序的运动里面．在解析几何出现后不久，微积分被发现了．微积分与解析几何不仅是伟大的数学发现，而且为近代科学开辟了道路；它们不仅是17世纪的伟大发现，而且在人类文明史上写下了极其灿烂的一页；它们不仅为近代科学开辟了道路，而且它们本身就是划时代的成果．在微积分产生之前，人们已比较普遍地接触这样几类问题：物理方面，求速度、求距离的问题；几何方面，求切线、求长度、求面积、求体积、求物体重心的问题；在各种实际问题中，求极大、极小的问题等．因此，在微积分正式诞生之前，关于极限的思想，关于微分的思想，关于积分的思想，已经零星可见．关于极限的思想在我国古代早已出现．求速度，求切线，这就会接近微分；求距离，求长度和面积、体积，这就会接近积分．古代中国的祖暅原理与近代西方的卡瓦列里原理说的是同一原理，前者先于后者约1100年左右．这一原理当为一般大学生所熟悉：当两立体介入两平行平面之间，又为平行于这两平面的任何一平行平面所截得之截面面积相等时，那么两立体之体积相等．用符号来表达，用同一平面截得两立体之截面面积分别表示为f(x)dx和g(x)dx，原理说的是：当对于所有的x有f(x)dx=g(x)dx时，便有：作为一个著名例子，我们看看半球体积的计算．这一计算，现在看来似乎是轻而易举的，但在没有微积分之前是十分困难的．所以下面的计算方式在当时是很有意义的，它利用了祖暅——卡瓦列里原理．设半球的半径为r．以半球的大圆为底面，球顶朝上．作一平面与底面平行并与底面之距离为h．这个平面截半球所得之截面为一圆，该π(r2－h2)．再看看一个截面半径为r的圆柱，其高度也为r．其下底与上面所说的半球底面摆在一个平面．现在将以此圆柱的上底为底、以下底圆的圆心为顶点作一圆锥．这一圆锥完全含于圆柱，现在把这一圆锥挖去，并考虑被挖去一圆锥的圆柱所形成的立体．当用一平行于底面的平面去截它时，其截面为一圆环，设这一平行于底面的平面距底面h，那么，这一圆环的面积也等于πr2－πh2=π(r2－h2)．可见，这一立体与半球被任何同一平行平面所截之截面面积相等．根据祖暅原理，半球体积应与被挖去一圆锥的圆柱体积相等．而被挖去一圆锥的圆柱体积是：尽管在牛顿和莱布尼茨之前，人们从不同的角度接触到了微分和积分，但是对于微分与积分的关系并没有真正弄清楚．而真正的困难亦在此．很容易明白，加法与减法是互逆的运算，也不难明白，乘法与除法是互逆的运算．开方作为乘方的逆运算，在技术上更困难了；作为指数运算逆运算的对数运算的产生并不容易．逆运算常常带来一些新问题，程序性问题，多值性问题．对于微分与积分之间的联系，认识上更有特殊的困难，这样两个似乎十分不同的两种运算竟然是互逆的，这正是使人惊讶不已的地方，也是使人感到其发现之特别不易的地方．以具体问题来说，求一曲线所围成图形的面积运算怎么会与求这一曲线的切线的运算是互逆的运算呢？微积分的创立正是以发现微分与积分的互逆关系为标志的．如今我们所说的牛顿—莱布尼茨定理即微积分基本定理，讲的就是两者关系．微积分基本定理可主要以微分的形式出现，亦可主要以积分的形式出现．我们分别叙述如下：微分形式．(x)在[a，b]上可微，且积分形式．可微，且发现f(x)的积分的微分正是它自己(在一定条件下即可保证)．只有在这一发现得到之后，才能说微积分产生了，因为这一定理奠定了微积分的理论基础．牛顿的发现在莱布尼茨之前，但发表的时间在莱布尼茨之后，他们两人又确系各自独立的发现，而且背景也有所不同．因此，虽然后来也曾出现过关于发现的优先权的争议，最终的看法却达成一致：牛顿和莱布尼茨共同创立了微积分的基本定理．微积分的伟大意义可以从4个方面去看．1．对数学自身的作用．自从有了解析几何和微积分，就开辟了变量数学的时代，因而数学开始描述变化，描述运动．微积分改变了整个数学世界的面貌．牛顿、莱布尼茨17世纪创立的微积分还存在着明显的逻辑缺陷，但是这种缺陷并未抑制它旺盛的生命力．18世纪的数学家们在微积分提供的思维和工具的基础上阔步前进，迅速创立了许多数学分支，诸如微分方程，无穷级数，变分法等．在进入19世纪之后，还有诸多与微积分直接相关的数学分支产生，原有的一些数学分支也开始利用微积分的方法，前者包括复变函数，微分几何等，后者包括数论，概率论等．可以说，在有了微积分之后的两、三百年期间，数学获得了极大的发展，获得了空前的繁荣．微积分的严密逻辑基础也在19世纪完善地建立起来．微积分基本定理的表现形式在多维空间和一般拓扑空间中也获得了拓广，在更广阔的领域中延伸，进一步显示了它在数学领域里的普遍意义．2．对其他自然科学和工程技术的作用．有了微积分，整个力学、物理学都得以它为工具来加以改造，微积分成了物理学的基本语言，而且，许多物理学问题要依靠微积分来寻求解答．“数理不分家”，这句话在有了微积分之后就具有了真实的意义，离开了微积分不可能有现代物理，无论是力学、电学还是光学、热学．微积分的创立得到了天文学的启示，此后，天文学再也离不开微积分．19世纪上半叶可能还认为化学只需要简单的代数知识，而生物学基本上与数学没有联系．现在，化学、生物学、地理学等都必须深入地同微积分打交道．3．对人类物质文明的影响工程技术是最直接影响人类物质生活的，然而工程技术的基础即数理科学，也可以说，现代工程技术少不了微积分的支撑．从机械到材料力学，从大坝到电站的建设，都要利用微积分的思想和方法．如果说在落后的生产方式之下，只需要少量的几何、三角知识就可以工作的话，如今，任何一个未学过微积分的人都不可能从事科学技术工作．在有了微积分和万有引力原理之后，人们就预见了人造卫星及宇宙飞行的可能，并且早已利用微积分计算出了宇宙速度．今日满天飞行的人造卫星早在微积分产生之初就已在学者们的预料之中．在今天人类广泛的经济活动、金融活动中，微积分也成了必不可少的工具．微积分诞生之初的主要背景是物理学和几何学，而今，它几乎为一切领域所运用．它对人类物质生活的影响是越来越大．4．对人类文化的影响只要研究变化规律就要用上微积分，在人文、社会科学领域亦如此，因而微积分也渗透于人文、社会科学，用它来描述和研究规律性的东西．哲学尤其关注微积分，那是因为微积分给了哲学许多的启示，它不仅影响到哲学方法，也影响到世界观．辩证唯物主义更关注微积分．马克思十分关心数学，何止是关心，他对数学还曾有过广泛而深入的研究，特别对微积分有专门的研究．马克思在1863年7月6日致恩格斯的信中说：“有空时我研究微积分．顺便说说，我有许多关于这方面的书籍，如果您愿意研究，我准备寄给您一本．”①1865年5月20日，马克思又在给恩格斯的一封信中说到：“在工作之余——西，任何其他读物总是把我赶回写字台来．”②马克思不只研究牛顿、莱布尼茨，而且研究了牛顿、莱布尼茨之后一个多世纪内的一批著名数学家，如达朗贝尔，欧拉，拉格朗日等人．1882年11月22日，马克思在致恩格斯的一封信中还说到：“我未尝不可用同样的态度去对待所谓微分方法的全部发展——这种方法始于牛顿和莱布尼茨的神秘方法，继之以达朗贝尔和欧拉的唯理论的方法，终于拉格朗日的严格的代数方法(但始终是从牛顿—莱布尼茨的原始的基本原理出发的)，——我未尝不可以用这样的话去对待分析的这一整个发展过程，说它在利用几何方法于微分学方面，也就是使之几何形象化方面，实际上并未引起任何实质性的改变．”③马克思那个时代写到了“终于拉格朗日”表明马克思已站在前沿，他可能还未看到柯西、魏尔斯特拉斯的分析方法、极限方法，但也是从“牛顿—莱布尼茨”那里出发的．从1863年的信到1882年的信，从信中表现出来的对微积分越来越深入的分析，可以看出，马克思是多么认真、多么深入又在多么漫长的时间里关注和研究着微积分！我们可以想一想，马克思作为一位哲学家、思想家、经济学家、政治家为何如此深切地关心和深入地研究数学尤其是微积分？再看看恩格斯本人．恩格斯在《自然辩证法》中有一段许多人熟悉的话：“数学中的转折点是笛卡儿的变数．有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的．”①当然，应当说大体上是由他们发现的，另一位可以说接近这一发现的是牛顿的老师——巴罗．恩格斯还在《反杜林论》这部著作中说到：“因为辩证法突破了形式逻辑的狭隘界限，所以它包含着更广的世界观的萌芽．在数学中也存在着同样的关系．初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样，而变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的运用．”②事实上，恩格斯不只是注意深入研究微积分，研究数学，他还令人敬佩地广泛地研究了他所处时代的数十个自然科学领域的最新成果．也许，恩格斯是一个杰出的榜样，是从社会文化的角度深刻分析过自然科学的榜样．顺便说说，列宁对于数学，尤其是物理学，也有过浓厚的兴趣．似乎在马克思、恩格斯、列宁之后的马克思主义者很少有这种兴趣，更少有这样深刻的见解．这是不是一种遗憾呢？也许，不一定每位马克思主义者都需要有如此广博而深刻的自然科学见解，也许学识与智慧及其表现形式也不一样．然而，有一点似乎应当是共同的，任何一位真正的马克思主义者必然是对自然科学的各种进步寄予深切关注和满腔热情的支持，并且特别关注它们对社会进步的巨大影响．邓小平具有这样的品质，邓小平亦可算这一方面的典范，虽然他没有可能熟悉现代意义下的微积分，但他把社会文化与自然文化也联系在一起．三、非欧几何直到现在，知道非欧几何的大学生还少得可怜，甚至大学数学专业本科毕业了，学习了大约15年以上的数学，不少人还是不知道非欧几何．这一事实，让人在赞美非欧几何之时多少有些遗憾．为了使我们的叙述更实在些，不能不以尽可能简洁的方式介绍一下有关背景．欧几里得几何在公元前300年就产生了，现在简称欧氏几何．中学生所学的几何基本上是欧氏几何，这种几何已流传两千多年，至今每个学生仍然学习它，多多少少要学习；它的影响遍及世界各国．欧氏几何的主要特征是首开公理方法，不仅是在数学领域，而且是在整个科学领域开创了公理方法．公理方法的基本要点是，从少数几个概念(原始概念)和少数几个命题(原始命题，又称公理)出发；演绎出本学科其他所有概念和命题，从而构成这一学科的全貌．运用这种方法的学科因而自然地被认为具有最严密的演绎体系，做到了这一点的学科就被认为是严谨的科学，也被认为是十分成熟的学科门类．所以，几何被认为是最早成熟的自然科学分支．由于几何在数学领域长期作为主要的代表，。
画中点的依据
画中点的依据
画中点是绘画中的一个重要概念，它是一种构图技巧，通常指的是画
面中的重要元素或主体物体所处的位置。
画中点的选择与位置可以使
画面更加和谐、平衡，同时也能够吸引人们的眼球，引起观者的共鸣。
画中点的依据主要有以下几点：
一、画面构成要素之间的关系
画面中的构成要素包括线条、颜色、形状等，这些要素之间的关系直
接决定了画面的整体效果。
通过对要素之间的对比和对齐，可以找到
画中点的位置。
比如通过线条的对比找到画中点的位置，或者通过颜
色的对比来选择画中点的位置。
二、主体物体的位置
画面中的主体物体通常是吸引人们注意力的部分，如果主体物体的位
置恰好位于画中点处，就能够起到引领视线的作用。
因此，在选择画
中点的位置时，考虑到主体物体的位置也是很重要的一个因素。
三、画面的平衡感
画面的平衡感是画中点的依据之一，如果画中点的位置能够使画面更加平衡、稳定，则可以起到增强画面韵律美的作用。
一般来说，画中点的位置应该稍微偏上，这样可以使画面更加平衡。
四、主题表达的需要
画中点的位置还要根据主题表达的需要来选择，如果想表达画面中某种情感，如忧郁、孤独等，就应该选择比较偏离中心的位置。
总之，画中点的依据不是单一的因素，而是需要综合考虑多个因素的影响。
画中点的选择应该根据画面的整体效果、主体物体的位置、画面的平衡感以及主题表达的需要等多种因素来进行综合考虑。
只有这样，才能够选择到最合适的画中点位置，达到画面构成的最佳状态。
找出形的中心点
找出形的中心点在几何学中，形的中心点是指该形状的几何中心或重心。
这个中心点在很多几何问题中都是十分重要的，它有助于我们理解形状的性质和特征。
本文将讨论不同形状的中心点，并介绍如何找出它们。
一、圆的中心点圆是非常常见和基本的几何形状。
它的中心点是圆心，也是圆的对称中心。
圆的中心点距离圆上任意一点的距离都相等，这是圆的特点之一。
我们可以通过以下步骤来找出圆的中心点：1. 选取圆上三个不共线的点A、B、C。
2. 通过AB和BC两条线段的中垂线，分别记为m1和m2。
中垂线是指与线段AB和BC垂直且通过中点的直线。
3. 圆心O即为m1和m2的交点。
二、长方形的中心点长方形是一种常见的四边形，它有两对相等且平行的边。
长方形的中心点是它的对角线的交点的中点。
具体找出长方形的中心点的方法如下：1. 连接长方形的对角线AC和BD。
其中A、C为长方形的对边的端点，B、D为另一对对边的端点。
2. 对角线AC和BD的交点E即为长方形的中心点。
三、三角形的中心点三角形是由三条线段连接成的多边形。
它有多个不同的中心点，包括重心、外心、内心和垂心。
下面分别介绍这些中心点的求解方法：1. 重心是三角形三条中线的交点，记为G。
中线是指连接三角形的顶点与对边中点的线段。
通过以下步骤来找出重心：a. 连接顶点A与对边BC的中点M1，连接顶点B与对边AC的中点M2，连接顶点C与对边AB的中点M3。
b. 中线AM1、BM2和CM3的交点G即为三角形的重心。
2. 外心是三角形三条外接圆的交点，记为O。
外接圆是通过三角形三个顶点的圆。
找出外心的步骤如下：a. 连接三角形的任意两边的垂直平分线。
b. 两条垂直平分线的交点即为三角形的外心。
3. 内心是三角形三条角分线的交点，记为I。
角分线是指从三角形的顶点到对边的等分点之间的线段。
内心的求解方法如下：a. 连接三角形的任意两个角的角平分线，得到两条角平分线的交点。
b. 两条角平分线的交点即为三角形的内心。
几何图形中的中点问题课件
3. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，F是CD边的中点，且AE＝DC＋CE. 求证：AF平分∠DAE.
证明：如图①，延长AF交BC的延长
线于点G，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠BCD＝∠GCF＝90°，
AD＝DC.
ADF GCF
在△ADF和△GCF中， DF CF
∴△ADF≌△GCF(ASA)，AFD GFC
如图，当遇见中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形，证明线段间 的数量关系．
模型六 遇到三角形一边上的中点，联想倍长中线法构造全等三角形
例6 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于点F， AF＝EF，求证：AC＝BE.
例6题图
证明：延长AD到点G，使DG＝AD，
连接BG.
CD BD
在△ADC和△GDB中， CDA BDG
AD GD
∴△ADC≌△GDB(SAS)．
∴AC＝GB，∠G＝∠EAF.
又∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF.
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠G＝∠BED.
∴BE＝BG.
∴BE＝AC.
模 型 小 结：
模型一 见三角形一边的中点，联想中位线 模型二 已知直角三角形斜边中点，联想斜边中线 模型三 等腰三角形中遇到底边上的中点，联想“三线合一”性质 模型四 遇到三角形一边垂线过这边中点时，联想线段垂直平分线的性质 模型五 圆中弦（弧）的中点，联想垂径定理及圆周角定理 模型六 遇到三角形一边上的中点，联想倍长中线法构造全等三角形
图②
在△DGF和△CEF中，
FDG FCE
DF CF
DFG CFE
∴△DGF≌△CEF(ASA)，
如何运用好几何画板中的点工具
1.绘制自由点 这个比较简单，先选中点工具，然后在绘图 区内单击空白处就可以了，每单击依次就绘制一 个点。
2.绘制对象上的点
先选中点工具，把鼠标移动到想加点的对象上时，对 象会高亮显示出来，然后在对象上单击鼠标就可以在对象
上绘制一个点了。
例如绘制线段上的一点，如下图所示。
绘制线段上的一点时显示高亮示例
绘制直线和圆的交点时显示高亮示例
温馨提示：当拖动对象改变位置时，交点仍然是存在的。
以上通过从绘制自由点、绘制对用功能，方便大家对于几何画板有更多的了解。
3.绘制对象的交点
例如绘制直线和圆的交点，具体操作步骤如下： （1）利用直线工具和圆工具绘制一条直线和一个圆，让它们相交。 （2）选中点工具，把鼠标移动到直线上时，直线会高亮显示出来。 若把鼠标移动到圆上时，圆会高亮显示出来。当鼠标移动到直线和圆 的交点处时，直线和圆都会高亮显示出来。此时单击鼠标就可以绘制 交点，如下图所示。
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如何运用好几何画板中的点工具
几何画板工具箱上的点工具的主要功能是 画点，利用它可以绘制自由点、交点和多边形等 对象上的点，下面就和分享下如何运用好几何画 板中的点工具？