2014人教A版数学必修五 (2.2.2 等差数列通项公式)示范教案

2.2.2 等差数列通项公式
从容说课
本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题
在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，
激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果
教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
教具准备多媒体及课件
三维目标
一、知识与技能
1.明确等差中项的概念
2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数
列的性质
3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题
二、过程与方法
1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想
2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性
三、情感态度与价值观
1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点
2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣
教学过程
导入新课
师同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？
生我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n-a n-1=d(n≥2，n∈N*)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示
师对，我再找同学说一说等差数列{a n}的通项公式的内容是什么？
生1 等差数列{a n}的通项公式应是a n=a1+(n-1)d
生2 等差数列{a n}还有两种通项公式：a n=a m+(n-m)d或a n=p n+q(p、q是常数
师好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的
公式：①d =a n -a n -1；②11--=
n a a d n ；③m
n a a d m n --=.你能理解与记忆它们吗？ 生 3 公式②11--=n a a d n 与③m n a a d m n --=记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差 ［合作探究］
探究内容：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么
数A 应满足什么样的条件呢？
师 本题在这里要求的是什么
生 当然是要用a ，b 来表示数A
师 对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答
生 由定义可得A -a =b -A ，即2b a A +=
反之，若2
b a A +=，则A -a =b -A ,
由此可以得⇔+=2b a A a ,A ,b 成等差数列 推进新课
我们来给出等差中项的概念：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项 ［方法引导］
等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a ，A ，b 成等差数列A =a +b ，以促成将等差数
列转化为目标量间的等量关系或直接由a ，A ，b 间的关系证得a ，A ，b 成等差数列 ［合作探究］
师 在等差数列{a n }中，d 为公差，若m,n ,p,q∈N *且m+n =p+q ，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？
生 我得到了一种关系a m +a n =a p +a q
师 能把你的发现过程说一下吗？
生 受等差中项的启发，我发现a 2+a 4=a 1+a 5,a 4+a 6=a 3+a 7
从而可得在一等差数列中，若m+n =p+q ，则a m +a n =a p +a q
师 你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们
是否可以对这归纳的结论加以证明呢？
生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a 1，则
a m +a n =a 1+(m-1)d +a 1+(n -1)d =2a 1+(m+n -2)d
a p +a q =a 1+(p-1)d +a 1+(q-1)d =2a 1+(p+q-2)d
因为我们有m+n =p+q,所以上面两式的右边相等，所以a m +a n =a p +a q
师 好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{a n }的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n =p+q,则上面两式的右边
相等，所以a m +a n =a p +a q
同样地，我们还有：若m+n =2p,则a m +a n =2a p .这也是等差中项的内容
师 注意：由a m +a n =a p +a q 推不出m+n =p+q ，同学们可举例说明吗
生 我举常数列就可以说明了
师 举得好!这说明在等差数列中，a m +a n =a p +a q 是m+n =p+q 成立的必要不充分条件. ［例题剖析］
【例1】 在等差数列{a n }中，若a 1+a 6=9，a 4=7，求a 3，a 9
师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项？
生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项
生2 而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了
生3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手
师 好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？
生4 因为{a n }是等差数列，所以a 1+a 6=a 4+a 3a 3=9-a 4=9-
所以可得d =a 4-a 3=7-
又因为a 9=a 4+(9-4)d =7+5×5=32，所以我们求出了a 3=2，a 9
【例2】 (课本P 44的例2) 某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费
师 本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？
生 这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决
师 为什么？
生 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2
元.所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费
师 这个等差数列的首项和公差分别是多少
生 分别是11.2，
师 好，大家计算一下本题的结果是多少
生 需要支付车费23.2元
(教师按课本例题的解答示范格式
评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实
际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题
课堂练习
1.在等差数列{a n }中，
(1)若a 5=a ,a 10=b ,求a 15
解：由等差数列{a n }知2a 10=a 5+a 15,即2b =a +a 15,所以a 15=2b -a
(2)若a 3+a 8=m,求a 5+a 6
解：等差数列{a n }中，a 5+a 6=a 3+a 8
(3)若a 5=6,a 8=15,求a 14
解：由等差数列{a n }得a 8=a 5+(8-5)d ,即15=6+3d ,所以d
从而a 14=a 5+(14-5)d
(4)已知a 1+a 2+…+a 5=30,a 6+a 7+…+a 10=80，求a 11+a 12+…+a 15的值
解：等差数列{a n }中，因为6+6=11+1,7+7=12+2,……
所以2a 6=a 1+a 11,2a 7=a 2+a 12
从而(a
11+a 12a 15)+(a 1+a 2+…+a 5)=2(a 6+a 7+…+a 10
因此有(a
11+a 12+…+a 15)=2(a 6+a 7+…+a 10)-(a 1+a 2+…+a 5
=2×80-
2.让学生完成课本P 45练习。