山东省威海市高二数学下学期期末考试 理(含解析)新人教A版
山东省威海市2021-2022学年高二下学期期末统考数学试题
山东省威海市2021-2022学年高二下学期期末统考数学试题一、单选题1．集合{}2{1},log (1)A xx B x y x ===-‖∣∣…，则()R A B =I ð（ ） A ．∅ B ．{1} C ．{11}x x -∣剟 D ．{1}xx ∣… 2．已知随机变量1~3,,~(10,,2)5X B Y H m ⎛⎫⎪⎝⎭，若()()E X E Y =，则m =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．已知函数133,1()log (3),1x x f x x x +⎧<=⎨+≥⎩，则()()3log 2f f =（ ）A ．3log 6B ．3log 8C ．2D ．34．40,1x a x x ∀>≤++成立的充分不必要条件是（ ） A ．2a ≤B ．3a ≤C ．4a ≤D ．5a ≤5．由样本数据点(),,1,2,3,,i i x y i n =L 的散点图可知，变量y 与x 线性相关，求得的回归直线方程为ˆ21yx =+，且2x =.若去除两个数据点(1.4,3.2)和(2.6,6.8)，则剩余样本数据点纵坐标的平均值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．已知6234560123456()x m a a x a x a x a x a x a x +=++++++，其中3160a =-，则12345623456a a a a a a +++++=（ ）A ．1B ．729C ．6D ．-67．已知红箱内有5个红球和3个白球，白箱内有3个红球和5个白球，所有小球形状大小完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第1k +次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去.记第n 次取出的球是白球的概率为n P ，则（ ） A ．11348n n P P +=+ B ．191164n n P P +=- C ．11548n nP P +=+& D ．11142n n P P +=+8．已知奇函数()y f x =对于ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭满足π()cos ()sin 0,(1,2,3)2i f x x f x x x i '+<<=，()()()()()()122123321331cos cos 0,cos cos 0,cos cos 0f x x f x x f x x f x x f x x f x x +>+>+>，则（ ）A ．1230x x x ++>B ．1230x x x ++<C ．1230x x x >D ．1230x x x <二、多选题9．设()()221122~,,~,X N Y N μσμσ，这两个正态曲线如图所示.则（ ）A ．12μμ>B ．12σσ<C ．()()21P X P X μμ≥>≥D ．()()12P Y P Y σσ≤<≤10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校计划在校本课程中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ）A ．课程“礼”不排在第一天和最后一天的不同排法共有480种B ．课程“射”必须排在课程“数”前面的不同排法共有360种C ．课程“乐”、“射”相邻的不同排法共有120种D ．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有144种11．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x -=，则（ ）A ．4是()f x 的一个周期B ．(6)0f =C ．(1)(3)f f =D ．(2)f x -为偶函数12．已知函数0()e ,x f x x x =是方程22e (ln )x x f x =-的实数根，则（ ）A ．002ln 0x x +=B ．002e ln 0xx +=C ．()022f x =D ．01ex >三、填空题13．曲线y =24y x =+平行的切线方程为. 14．()522x x +-的展开式中3x 的系数为(用数字作答).15．某军事小组进行射击训练，甲、乙、丙三位战士同时对空中飞行的无人靶机进行射击，每位战士击中靶机的概率为0.5.靶机在被一人击中的条件下坠落的概率为0.2，靶机在被二人击中的条件下坠落的概率为0.6，靶机在被三人击中的条件下坠落的概率为0.8，则靶机被击中坠落的概率为.16．如图，在河岸同侧有甲、乙两个工厂，甲工厂位于笔直河岸的岸边A 处，乙工厂位于离河岸40公里的B 处，BD 垂直于河岸，垂足为D 且与A 相距50公里.两个工厂要在此岸边A ，D 之间合建一所供水站C ，从供水站到甲工厂和乙工厂铺设水管的费用分别为每公里3a 元和5a 元，供水站建在与甲工厂相距公里，可使铺设水管的总费用最省.四、解答题17．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京和张家口同为主办城市.本届冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.为调查某地区青年人对本届冬季奥运会项目的了解情况，抽取该地区200名青年人进行问卷调查，得到部分数据如下表:(1)完成上述22⨯列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该地区青年人对本届冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；(2)用样本估计总体，将频率视为概率，从该地区男青年和女青年中各随机抽取5人，记“5名男青年中恰有3人了解本届冬季奥运会项目”的概率为1P ，“5名女青年中恰有3人了解本届冬季奥运会项目”的概率为2P ，试比较1P 与2P 的大小，并说明理由.参考公式:22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 参考数据:18．已知函数()e e x x f x -=+.(1)判断()f x 的奇偶性，并求()f x 的单调区间；(2)若[0,),()0x f x a f ∞∀∈+--≥，求实数a 的取值范围.19．某化学实验室在进行药品整理过程中，发现有6瓶无色无味的溶液标签遗失，但可以确定其中有2瓶溶液A ，4瓶溶液B .工作人员需要利用试剂逐一对它们进行检测，直到能鉴别出两种溶液，检测停止.(1)求在第一次检测出一瓶溶液A 的条件下，检测进行4次停止的概率； (2)求检测进行了5次停止的概率；(3)若检测前发现检测试剂只剩下4盒，每盒只能检测1瓶，求检测试剂够用，且至多能余一盒的概率.20．已知32()(0)f x x bx cx d =+++-∞在，上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程 ()0f x =有三个根，它们分别为2αβ，，． （1）求c 的值； （2）求证(1)2f ≥； （3）求||αβ-的取值范围21．某电池厂对新研发的一款电池使用情况进行了9次测试.每使用1小时测量一次剩余电量，得到剩余电量y (单位:库仑)与使用时间x (单位:小时)的数据如下:(1)现从9组数据中选出7组数据作分析，其中剩余电量不足0.8的数据组数记为X ，求出X 的分布列和数学期望；(2)由散点图发现y 关于x 的回归方程类型为e a bx y +=，设ln y ω=，利用表格中的9组数据回答下列问题:(i)计算ω与x 之间的相关系数r (精确到0.01)； (ii)求y 关于x 的回归方程(a ，b 精确到0.01). 参考数据 1.56≈.其中，ln i i y ω=.附:对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v L ，相关系数()()niiu u v v r --=∑线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为:()()()121ˆniii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 22．已知函数()()()11ln 11,e 222x f x x ax g x x -=+++=+-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当2a =时，若()f x 的零点为1,()x g x 的零点为2x . (i)证明:12101x x -<<<<； (ii)证明:()()210f x g x +>.。
山东省威海市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题含答案
高二数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.函数y =的定义域为 A.1{}2x x > B.{1}x x > C.1{1}2xx <≤ D.{1}x x ≥2.下列运算错误的是A.(sin 2)2cos 2x x'= B.21[log ]ln 2x x '=⋅C.2cos sin cos ()x x x xx x −'= D.65[(21)]12(21)x x '+=+3.现有5位代表参加疫情防控表彰大会，并排坐在一起，其中甲乙不相邻，则不同的坐法有A.24种 B.36种 C.48种 D.72种 4.已知随机变量(50.2)X B ，，随机变量510Y X =+，则A.()5E Y =B.()10E Y = C.()20D Y = D.()30D Y =5.将8本不同的课外书分别装到3个相同的手提袋中，其中一袋放2本，另两袋各放3本，则不同的装法有A.280种B.300种C.450种D.560种6.已知3log 1a a ⋅=，31b b ⋅=，21c c ⋅=，则a b c ，，的大小关系为 A.a b c<< B.c a b<< C.b c a<< D.b a c<<7.根据一组样本数据为11()x y ,，22()x y ,，，66()x y ,的散点图判断，变量y 关于变量x 的回归方程为213y bx =−，经计算6111i i x ==∑，6113i i y ==∑，62121i i x ==∑，则b 的值为A.56B.57C.1511D.901218.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()0f x f x −+=，且在1x =处的导数(1)2f '=−，则曲线()y f x =在点(7(7))f −−，处的切线方程为A.2140x y ++= B.2140x y −+=C.270x y −−= D.270x y ++=山东省威海市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9.若x y <，则下列各式成立的是 A.33x y<B.1()44x y −<C.2233x y x y −−−<−D.lg()0y x −>10.下列说法正确的是A.若随机变量X 服从两点分布，(1)2(0)P X P X ===，则1(0)3P X ==B.若随机变量1(4)3X B ，，则8(1)81P X ==C.若随机变量2(2)X N σ，，(4)0.8P X <=，则(02)0.3P X <<= D.若随机变量(835)X H ，，，则15(2)28P X ==11.若26280128(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x −+=+++++++，则A.01a =−B.3x 的系数为148−C.012780a a a a a +++++=D.60246845a a a a a ++++=⨯12.对于函数()ln xf x x=，下列说法正确的是 A.()f x 在(1)e ，上单调递增，在()e +∞，上单调递减 B.若方程(||)f x k =有4个不等的实根，则k e >C.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D.设2()g x x a =+，若对1x ∀∈R ，2(1)x ∃∈+∞，，使得12()()g x f x =成立，则a e ≥ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡上. 13.已知函数()2log 1a f x x =−（0a >且1a ≠），若(8)2f =，则a =__________. 14.一个盒子内装有大小相同的3个红球，5个白球，从盒子中任取2个球，已知一个球是白球，另一个球也是白球的概率为__________.15.设n 是正整数，化简1231242n nn n n n C C C C −++++=___________.16.已知函数ln 03()(6)36x x f x f x x <≤⎧=⎨−<<⎩，，，，若函数()()g x f x kx =+有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 .四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知函数2()log (2)f x x =+，函数()y g x =的图像与()y f x =的图像关于y 轴对称. （Ⅰ）求()g x 的解析式；（Ⅱ）解关于x 的不等式2()(23)f x g x x >−.2021年3月17日，中宣部办公厅印发《关于做好2021年全民阅读工作的通知》，提出了2021年全民阅读工作的总体要求，部署了重点工作及组织保障等措施. 某地为了了解市民的阅读情况，组织相关调查机构围绕“阅读量多少”与“幸福感强弱”进行问卷调查，得到部分调查数据如下：现从被调查的“阅读量多”的人群中任取1人，取到“幸福感强”的人的概率为34. （Ⅰ）完成上述22⨯列联表，并判断：在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关吗？（Ⅱ）从阅读量多且幸福感强的人群中抽取n 名男性，4名女性组成“阅读推广宣讲团”，在某次活动中，将从这4n +人中随机选取3人为宣讲员.（ⅰ）当8n =时，求男性宣讲员人数ξ的分布列； （ⅱ）若男性宣讲员人数的期望至少为2人，求n 的最小值. 参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ⨯−=++++,n a b c d =+++参考数据：19.（本小题满分12分）某企业为检验某种设备生产的零件质量，现随机选取20个零件进行检验，分出合格品和次品.设每个零件是次品的概率为(01)p p <<，且相互独立．（Ⅰ）若20个零件中恰有2个次品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； （Ⅱ）若合格品又分为一等品和二等品，每个零件是二等品的概率为是一等品概率的2倍. 已知生产一个一等品可获利100元，生产一个二等品可获利30元，生产一个次品会亏损40元，当每个零件平均获利低于20元时，需对设备进行技术升级. 当p 满足什么条件时，企业需对该设备进行技术升级？在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市A ，城市B 进行两场比赛. 根据两队之间的历史战绩统计，在城市A 比赛时，甲队胜乙队的概率为35，平乙队的概率为15；在城市B 比赛时，甲队胜乙队的概率为13，平乙队的概率为16，两场比赛结果互不影响. 规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.（Ⅰ）求两场比赛甲队恰好负一场的概率； （Ⅱ）求两场比赛甲队得分X 的分布列.21.（本小题满分12分）已知函数()ln 2()af x x x a x=+−∈R . （Ⅰ）若1x =是()f x 的极大值点，求a 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性.22.（本小题满分12分）已知函数()(2)2()xf x ax e x a =−++∈R .（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ,处的切线方程； （Ⅱ）当0x >时，()0f x >，求a 的取值范围.高二数学参考答案 2021.07一、单选题：每小题5分，共40分．二、多选题：每小题5分，共20分．三、填空题：每小题5分，共20分．13.4 14.25 15.312n − 16.1k e>−四、解答题：本大题共6小题，共70分．17.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设(,)P x y 为函数()y g x =的图像上任意一点，点P 关于y 轴的对称点为1(,)P x y −必在函数()y f x =的图像上，则2log (2)y x =−+，即2()log (2)g x x =−+.……………4分 （Ⅱ）由2()(23)f x g x x >−可得222log (2)log (223)x x x +>−+， ………………5分因为2log y x =是增函数，所以有222022302223x x x x x x +>⎧⎪−+>⎨⎪+>−+⎩， ………………7分解得1{|02x x −<<或12}x <<.……………10分18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）………………2分则22150(54421836)7278906067512.98152χ⨯⨯−⨯=⨯⨯⨯=≈. 查表可得2( 6.635)0.01P χ=≥，由于12.981 6.635>，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关. ………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）当8n =时，随机变量ξ的取值范围是{0,1,2,3}，343121(0)55C P C ξ===，128431212(1)55C C P C ξ===，218431228(2)55C C P C ξ===，3831214(3)55C P C ξ===， ………………8分 则ξ的分布列为………………9分（ⅱ）由题意(4,3,)H n n ξ+， ………………10分故3()24nE n ξ=+≥，解得8n ≥， ………………11分 所以n 的最小值为8. ………………12分19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设次品的个数为随机变量X ，由题意知(20,)XB p ， ………………1分所以221820()(1)f p C p p −=， ………………3分 2182172172020()[2(1)18(1)][2(1)(110)]f p C p p p p C p p p '−−−=−−= ………………5分当1010p <<时，()0f p '>，当1110p <<时，()0f p '<，所以()f p 在1(0)10，上单调递增，在1(1)10，上单调递减， ………………7分所以()f p 在110p =时，取得最大值，即0110p =. ………………8分（Ⅱ）设生产一个零件可获利Y 元，由题意知1(100)3p P Y −==，22(30)3p P Y −==，(40)P Y p =−=， 所以122()10030402033p pE Y p −−=⨯+⨯−⨯<. ………………10分解得514p >， ………………11分因为01p <<，所以5114p <<.因此，当5114p <<时企业需对该设备进行技术升级. ………………12分20.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设甲队在城市A 比赛负的事件为0A ，甲队在城市B 比赛负的事件为0B ，由题意可知0311()1555P A =−−=， ………………1分 0111()1362P B =−−=， ………………2分所以000011111()(1)(1)52522P A B A B +=⨯−+−⨯= . ………………4分 （Ⅱ）由题意可知，X 的取值范围是{0,1,2,3,4,6}， ………………5分111(0)2510P X ==⨯=， 11112(1)526515P X ==⨯+⨯=，111(2)5630P X ==⨯=， 311111(3)523530P X ==⨯+⨯=，11311(4)53566P X ==⨯+⨯=， 311(6)535P X ==⨯=，………………11分 则X 的分布列为………………12分21.（本小题满分12分）解：(Ⅰ)22212()2(0)a x x af x x x x x −+−'=−−=>. ………………1分若()f x 在1x =处取得极大值，则(1)210f a '=−+−=， 所以1a =−.………………2分当1a =−时，22221(1)(21)()x x x x f x x x−++−−+'==， 令()0f x '=，因为0x >，解得1x =，当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值， 因此1a =−满足题意.……………4分（Ⅱ）22212()2(0)a x x af x x x x x−+−'=−−=>所以18a ∆=−，（ⅰ）当0∆≤，即18a ≥时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；……………5分（ⅱ）当0∆>，即18a <时，令()0f x '=，解得两根为14，①当108a <<时，0<<……………6分 令()0f x '>，解得1144x +<<， 所以()f x在11(44−上单调递增；令()0f x '<，解得0x <<或x >所以()f x在11(0,),(,)44+∞上单调递减；……………9分 ②当0a ≤时，110,044≤>，……………10分令()0f x '>，解得104x <<，所以()f x 在1(0,4+上单调递增；令()0f x '<，解得x >()f x 在)+∞上单调递减.……11分综上，当18a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当10a <<时，()f x 在上单调递增，在11(0,)()44−++∞，上单调递减；当0a ≤时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减.…12分 22.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()(2)2xf x x e x =−++，()(1)1xf x x e '=−+， ………………1分所以(1)3f e =−，(1)1f '=， ………………2分 所以()f x 在点(1(1))f ,处的切线方程为31y e x −+=−，即2y x e =+−. …………3分 （Ⅱ）（法一）()(2)1x f x ax a e '=+−+，令()(2)1x g x ax a e =+−+，()(22)(0)x g x ax a e x '=+−>，令()22(0)h x ax a x =+−>， …………………4分（ⅰ）当0a ≤时，()0(0)h x x <>，则()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减， 所以()()010<−=<a g x g ，即()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以()()00=<f x f ，不满足题意； …………………6分 （ⅱ）当0a >时，()h x 在(0,)+∞上单调递增，①若01a <<，当22(0,)a x a −∈时，22()()0ah x h a −<=，即()0g x '<，所以()g x 在22(0,)a a −上单调递减，所以()(0)10g x g a <=−<，即()0f x '<，所以()f x 在22(0,)aa−上单调递减，所以当22(0,)ax a−∈时，()(0)0f x f <=，不满足题意； …………………9分②若1a ≥，())0(022)0(>≥−=>x a h x h ，则()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以01)0()(≥−=>a g x g ，即()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f >=，满足题意. …………………11分 综上可知，1a ≥. …………………12分（法二）由(2)20xax e x −++≥两边同除以x e 可变形为2(2)0xax x e −−++≥， …………4分令()2(2)xg x ax x e−=−++，易得(0)0g =，1()(1)(0)x xxae x g x a x e x e −−−'=−+=>， ………………5分 （ⅰ）当0a ≤时，显然10xae x −−<，即()0g x '<，则()g x 在(0,)+∞单调递减，所以()(0)0g x g <=，不满足题意； ………………6分 （ⅱ）当0a >时，令()1xh x ae x =−−，()1xh x ae '=−，令()0h x '=得ln x a =−， …………………7分 ①若01a <<，此时ln 0a −>，当(0,ln )x a ∈−时，()0h x '<，所以()h x 在(0,ln )a −上单调递减， 可知当(0,ln )x a ∈−时()(0)10h x h a <=−<， 所以()0g x '<，则()g x 在(0,ln )a −单调递减，所以当(0,ln )x a ∈−时，()(0)0g x g <=，不满足题意； ………………9分 ②若1a ≥，当(0,)x ∈+∞时，0()1110xxh x ae e e '=−≥−>−=， 所以()h x 在(0,)+∞单调递增，故()(0)10h x h a >=−≥， 所以()0g x '>，则()g x 在(0,)+∞单调递增，所以()(0)0g x g >=，满足题意. ………………11分 综上可知，1a ≥. ………………12分 （法三）因为0x >，所以(2)20xax e x −++>变形得，(2)102xax e x −+>+， ……………4分 令(2)()1(0)2xax g x e x x −=+>+，易得(0)0g =， 22(22)(22)()(0)(2)xax a x a g x e x x +−+−'=>+， ………………5分 令2()(22)(22)(0)h x ax a x a x =+−+−>，(0)22h a =−， （ⅰ）当0a >时，二次函数()h x 图像开口向上，对称轴1ax a−=， ………………6分 ①若01a <<，(0)220h a =−<，所以0(0)x ∃∈+∞,，使0(0)x x ∈,，()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 在0(0)x ,上单调递减，所以0(0)x x ∈,时，()(0)0g x g <=，不满足题意； ………………8分②若1a ≥，对称轴10ax a−=<，所以()h x 在(0)+∞,上单调递增， 所以()(0)220h x h a >=−≥，所以()0g x '>，即()g x 在(0)+∞,上单调递增，所以(0)x ∈+∞,，()(0)0g x g >=，满足题意； ………………9分 （ⅱ）当0a =时，()220h x x =−−<，所以()0g x '<，所以()g x 在(0)+∞,上单调递减，所以()(0)0g x g <=，不满足题意；………………10分（ⅲ）当0a <时，二次函数()h x 图像开口向下，对称轴10ax a−=<， 所以()h x 在(0)+∞,上单调递减，所以()(0)220h x h a <=−<，所以()0g x '<，即()g x 在(0)+∞,上单调递减，所以(0)x ∈+∞,，()(0)0g x g <=，不满足题意. ………………11分 综上可知，1a ≥.………………12分高一数学注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1.角619π为 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角2.已知向量(13)(1)m ==−,,,a b ，且a b ，则m =A.3B.3− C.13 D.13−3.已知tan 3α=，则3sin()cos 2ααπ+= A.110− B.110 C.14− D.144.如果函数cos(2)y x ϕ=+的图像关于点(0)6π,对称，那么||ϕ的最小值为A.12πB.6πC.3πD.32π5.在ABC ∆中，内角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,，已知a =，2b =，sin cos()6c A a C π=+，则c =A.1C.4D.136.已知m n ,是两条不同的直线，αβ,是两个不同的平面，则下列说法正确的是A.若m n αβαβ,,，则m nB.若m n m n αβ⊥,,，则αβ⊥C.若m n ααββ⊥⊥,,，则m n ⊥D.若m m n n αβ⊥⊥,,，则αβ7.球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线. 已知正三棱锥S ABC −，侧棱长为2，底面边长为3，设球O 为其外接球，则球O 对应的球面上经过S ,A 两点的测地线长为A.3π B.2 C.32π D.48.在正方体1111ABCD A B C D −中，E F G ,,分别为11DD AA AB ,,的中点，P 为底面ABCD 上一动点，且直线1D P 平面EFG ，则1D P 与平面ABCD 所成角的正切值的取值范围为A.[]32，B.[1]2,C.[1D.[23，山东省威海市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9.下列命题正确的是A.PA AC PB BC +−=B.若3AB CD =，则A ，B ，C ，D 四点共线C.任意向量a ，3()||⋅a a a =a D.若向量a ，b 满足||||⋅a b =a b ，则a ，b 共线 10.下列等式正确的是A.1sin15cos152=ooB.22tan 22.511tan 22.5=−ooC.44cos 15sin 152−=o oD.22cos 2013sin 502−=−o o 11.已知正四棱台1111ABCD A B C D −，上底面1111A B C D 边长为2，下底面ABCD 边长为4，高为1，则A. B.二面角1A BC B −−的大小为4πC. D.1AA 与BC 所成角的余弦值为1312.将绘有函数())(0)4f x x ωωπ=−>一个周期图像的纸片沿x 轴折成直二面角，若原图像上的最高点和最低点此时的空间距离为 A.4为函数()f x 的一个周期B.函数()f x 的图像关于直线12x =对称C.函数()f x 在13()22−,上单调递增D.方程()1f x =−在(0)a ,上有两个实根，则47a <≤ 为单位正交基底，若12=−a e e ，若52CB CA ⋅=，则现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为30cm ，底面半径为围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到A 点，则所用金色彩线的最短长度为中，角均以x 轴正半轴为始边与角β的终边关于直线四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知四棱锥ABCD S −的底面是正方形，⊥SA 平面ABCD . （Ⅰ）设平面 SBC 平面l SAD =，求证：l BC ；（Ⅱ）求证：平面⊥SAC 平面SBD .18.（本小题满分12分）已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=−+，其中0>ω，1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12||x x −的最小值为2π. （Ⅰ）求ω的值及()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移12π个单位，得到函数()y g x =的图像，求)(x g 在[0]4π,上的值域.19.（本小题满分12分）某同学在三角函数的研究性学习中发现以下三个等式：①3sin=3sin 4sin 266πππ− ②3sin =3sin 4sin 4443πππ−③3sin(=3sin 4sin 33ππ−π)−+（Ⅰ）请根据上述三个等式归纳出一个三角恒等式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：sin 34sin()sin sin()33θθθθππ=−+.20. （本小题满分12分）已知菱形ABCD 的边长为2，P 为对角线BD （异于B D ，）上一点.（Ⅰ）如图1，若PD BP 3=，3AP BD ⋅=，设AB =a ，AD =b . 试用基底{},a b 表示AP ，并求||AP ；（Ⅱ）如图2，若0AB AD ⋅=，点P 在边BC ，CD 上的射影分别为E ，F ，求AP 与EF 的夹角.图1 图221.（本小题满分12分）在直三棱柱111C B A ABC −中，D ，E 分别是1AA ，11C B 的中点. （Ⅰ）求证：1A E平面BD C 1；（Ⅱ）若BD DC ⊥1，1==BC AC ，21=AA .（ⅰ）求二面角1B DC C −−的正切值； （ⅱ）求直线1A E 到平面BD C 1的距离.22.（本小题满分12分）如图，水平放置的圆柱形玻璃容器甲和圆台形玻璃容器乙的高均为32cm ，容器甲的底面直径AC 的长为107cm ，容器乙的两底面直径GH ，11G H 的长分别为14cm 和62cm. 分别往容器甲和容器乙中注入水，水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm.（容器壁厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（Ⅰ）将l 放在容器甲中，l 的一端置于点A 处，另一端置于母线1CC 上点B 处，求l 浸入水中部分的长度；（Ⅱ）将l 放在容器乙中，l 的一端置于点G 处，另一端置于母线1HH 上点M 处，求l 浸入水中部分的长度.DEB 1C 1A 1CABPDCBA容器甲容器乙高一数学参考答案 2021.07一、单项选择题：每小题5分，共40分．二、多项选择题：每小题5分，共20分．三、填空题：每小题5分，共20分．17.（本小题满分10分）证明：（Ⅰ）因为，平面，平面，所以平面， ………………3分而平面平面，平面，所以lBC . ………………5分 （Ⅱ）因为平面，BD ⊂平面ABCD ，所以， 因为四棱锥的底面是正方形，所以，而与相交，所以平面， ………………8分 又平面，所以平面SAC ⊥平面SBD . ………………10分17.（本小题满分10分）证明：（Ⅰ）因为，平面，平面，所以平面， ………………3分而平面平面，平面，所以lBC . ………………5分 （Ⅱ）因为平面，BD ⊂平面ABCD ，所以， 因为四棱锥的底面是正方形，所以，而与相交，所以平面， ………………8分 又平面，BC ⊄SAD AD ⊂SAD BC SAD SBC l SAD =BC ⊂SBC ⊥SA ABCD ⊥SA BD ABCD S −AC BD ⊥SA AC ⊥BD SAC BD ⊂SBD BC AD BC ⊄SAD AD ⊂SAD BC SAD SBC l SAD =BC ⊂SBC ⊥SA ABCD ⊥SA BD ABCD S −AC BD ⊥SA AC ⊥BD SAC BD ⊂SBD所以平面SAC ⊥平面SBD . ………………10分 18.（本小题满分12分)解：（Ⅰ）21()cos sin 2f x x x x ωωω=−+11sin 222221cos 2cos 222x x x x ωωωω=−+−+=sin(2+)6x ωπ=， ………………2分因为12x x −的最小值为2π，所以()f x 的最小正周期22T ωπ=π=，解得1ω=.…4分所以()sin(2+)6f x x π=，由23222+26k x k ππππ+π+≤≤， ……………5分得623k x k πππ+π+≤≤（k ∈Z ），所以()f x 的单调递减区间为[6]32k k πππ+π+，（k ∈Z ）. ……………6分（Ⅱ）将函数()f x 的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得2sin(2+)6y x π=，再向左平移12π个单位，得()π2sin(2)3g x x =+，………8分 设π23t x =+，因为[0]4x π∈,，所以[]36t π5π∈,， ………………10分由正弦函数图像可知]121[sin ,∈t ，所以]21[)(,∈x g . ………………12分18.（本小题满分12分)解：（Ⅰ）21()cos sin 2f x x x x ωωω=−+11sin 222221cos 2cos 222x x x x ωωωω=−+−+=sin(2+)6x ωπ=， ………………2分因为12x x −的最小值为2π，所以()f x 的最小正周期22T ωπ=π=，解得1ω=.…4分所以()sin(2+)6f x x π=，由23222+26k x k ππππ+π+≤≤， ……………5分得623k x k πππ+π+≤≤（k ∈Z ），所以()f x 的单调递减区间为[6]32k k πππ+π+，（k ∈Z ）. ……………6分（Ⅱ）将函数()f x 的图像上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得2sin(2+)6y x π=，再向左平移个单位，得，………8分 设，因为，所以， ………………10分212π()π2sin(2)3g x x =+π23t x =+[0]4x π∈,[]36t π5π∈,由正弦函数图像可知，所以. ………………12分 19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：结论：3sin3=3sin 4sin θθθ−（或3sin =3sin4sin 33θθθ−）.…2分证明如下：()sin3=sin 2sin 2cos cos 2sin θθθθθθθ+=+()222sin cos 12sin sin θθθθ=+− ……………4分()()222sin 1sin 12sin sin θθθθ=−+−3332sin 2sin sin 2sin 3sin 4sin θθθθθθ=−+−=−. ……………6分（Ⅱ）等式右边4sin()sin sin()33θθθππ=−+，114sin (cos sin )(sin )2222θθθθθ=−+ …………………7分22314sin (cos sin )44θθθ=− ……………8分22sin (33sin sin )θθθ=−− ……………10分23sin (34sin )3sin 4sin θθθθ=−=−，由（Ⅰ）可知，左边=右边，等式成立. ……………………12分 19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：结论：（或）.…2分证明如下：……………4分. ……………6分（Ⅱ）等式右边4sin()sin sin()33θθθππ=−+，114sin sin sin )22θθθθθ=−+ …………………7分22314sin (cos sin )44θθθ=− ……………8分22sin (33sin sin )θθθ=−− ……………10分23sin (34sin )3sin 4sin θθθθ=−=−，由（Ⅰ）可知，左边=右边，等式成立. ……………………12分 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由PD BP 3=可知，34BP BD =，从而 34AP AB BP AB BD =+=+……………………1分 3()4AB AD AB =+−， ………………………2分]121[sin ,∈t ]21[)(,∈x g 3sin3=3sin 4sin θθθ−3sin =3sin4sin 33θθθ−()sin3=sin 2sin 2cos cos 2sin θθθθθθθ+=+()222sin cos 12sin sin θθθθ=+−()()222sin 1sin 12sin sin θθθθ=−+−3332sin 2sin sin 2sin 3sin 4sin θθθθθθ=−+−=−13134444AB AD =+=+a b因为3AP BD ⋅=，所以13()()344+⋅−=a b b a ， 因为，22311||||3424−⋅−=b a b a ，解得2⋅=−a b ， …………4分所以222131937||()||||44161682AP =+=++⋅=a b a b a b . …………6分（Ⅱ）因为0AB AD ⋅=，所以AB AD ⊥，以A 为原点，以AB 所在直线为轴，以AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，………………7分 由P 为BD （异于B ，D ）上一点，从而设(2)P x x −,， 则(22)E x −,，(2)F x ，，………………9分 所以(2)AP x x =−,，(2)EF x x =−,，……………………10分因此(2)(2)(2)(2)0AP EF x x x x x x x x ⋅=−⋅−=−+−=,,， 因此，AP 与EF 的夹角为2π. ……………………12分21.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取1C B 中点F 并连接EF ，因为E 是11C B 的中点，所以121//BB EF ，…………1分 因为D 是1AA 的中点，所以1121//BB D A ，…………2分所以EF D A //1，所以四边形DFE A 1为平行四边形，所以DF E A //1，……………………3分因为1A E ⊄平面BD C 1，DF ⊂平面1C BD ， 所以1A E平面BD C 1.（也可取1BB 中点，利用面面平行证）…………………4分（Ⅱ）（ⅰ）连接CD ，因为1=AC ，21=AA ，D 是1AA 的中点，所以AC AD =，所以O 45=∠ACD ，所以O451=∠CD C ， 同理可得O451=∠D CC ，所以D C CD 1⊥，……………………5分因为BD D C ⊥1，所以二面角1B DC C −−的平面角为BDC ∠，……………6分 又CD BD D ⋂=，所以⊥D C 1平面CBD ， 因为BC ⊂平面CBD ，所以1C D BC ⊥，……………………7分因为直三棱柱111C B A ABC −，所以⊥1CC 平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1CC BC ⊥，又111C D C C C ⋂=，所以⊥BC 平面11A ACC ，因为CD ⊂平面11ACC A ，所以BC CD ⊥，………8分 易求CD =在BCD ∆Rt 中可求，tan 2CB BDC CD ∠==.……………9分（ⅱ）因为平面，||||2==a b x 1A EBD C 1FDEB 1C 1A 1CAB所以直线1A E 到平面BD C 1的距离等于点1A 到平面BD C 1的距离， ………10分设点1A 到平面BD C 1的距离为h ，因为111A C BD B A C −−=１ＤＶＶ，所以111C BD A C D h S BC S ∆∆⋅=⋅， ……………………11分即112311122h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得66h =， 所以直线1A E 到平面BD C 1的距离为66. ……………………12分22.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意可知，四边形11ACC A 为矩形,记AB 交水面EF 于点1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，垂足为1Q .在ACB ∆Rt 中，，所以2230BC AB AC =−=，所以3sin 4BAC ∠=,在11APQ ∆Rt 中，11112163sin 4PQ AP BAC ===∠，从而l 浸入水中部分的长度为16cm .……………………4分（Ⅱ）由题意可知，四边形11GHH G 为等腰梯形，过H 作11HK G H ⊥，K 为垂足. 在1HKH ∆Rt 中，32HK =，124H K =,所以221140HH HK H K =+=，所以1143sin ,cos 55KH H KH H ∠=∠=. ……………………6分在GMH ∆中，设GHM GMH αβ∠=∠=,，易知1180KH H α︒+∠=，所以4sin 5α=，3cos 5α=− ，由正弦定理可知，sin sin GH GM βα=，即14404sin 5β=， 所以7sin 25β=，……………………8分由于β为锐角，所以224cos 1sin 25ββ=−=，所以sin sin[180()]sin()MGH αβαβ︒∠=−+=+sin cos sin cos αββα=+4243735255255=⨯−⨯=， ……………10分 记GM 与PQ 交于2P ，过2P 作22P Q GH ⊥，垂足为2Q .在22GP Q ∆Rt 中，22212203sin 5P Q GP MGH ===∠,107,40AC AB ==2P 2Q 1P 1Q从而l浸入水中部分的长度为20cm. ……………………12分。
山东省威海市第四中学2012-2013学年高二数学下学期期中试题 理(无答案)新人教A版
威海市第四中学2012～2013学年第二学期 高二数学（理科）试题 （学分认定）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. i 是虚数单位，()=-+113i i i （ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i2. 4名学生参加3项不同的竞赛，每名学生必须参加其中的一项竞赛，有（ ）种不同的结果A ． 43 B.34A C. 34C D.34 3. 随机变量X 的概率分布列为)1()(+==n n a n X P ，(1,2,3,4n =) 其中a 为常数，则)2521(<<X P 的值为（ ）A.23 B.34 C.45 D.564．抛掷甲、乙两骰子，若事件A ：“甲骰子的点数小于3”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于6”，则P(B|A)的值等于（ ） A 、31 B 、181 C 、61 D 、91 5. 曲线2x y =在(1,1)处的切线方程是（ ） A. 230x y ++= B. 032=--y x C. 210x y ++= D. 012=--y x 6．13)1(x -的展开式中系数最小的项是（ ）A ．第6项 B.第7项 C. 第8项 D.第9项 7．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(1,4)--D.(1,0)和(1,4)--8．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）A ．96种B ．180种C ．240种D ．280种 9．随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξDE 则p 等于（ ）A 、32 B 、 31C 、 1D 、0 10．设()f x 、()g x 是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且//()()()()0f x g x f x g x -<， 则当a x b <<时有( )A. ()()()()f x g x f b g b >B. ()()()()f x g a f a g x >C. ()()()()f x g b f b g x >D.()()()()f x g x f a g a >11．用数学归纳法证明“(1)(2)...()2135...(21)()nn n n n n n N *+++=⋅⋅⋅-∈”时，从n k = 到1n k =+，给等式的左边需要增乘的代数式是（ ）A ．21k +B ．211k k ++ C ．(21)(22)1k k k +++ D ．231k k ++12．.如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数)(/x f y =的图象可能是（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设应该是 ； 14．设a ＞0,若曲线x y =与直线x ＝a ，y=0所围成封闭图形的面积为a ，则a=______；15．已知32()3f x x x a =++（a 为常数）在[33]-，上有最小值3，那么在[33]-，上()f x 的最大值是 ；16====， (a , b R ∈), 则a= , b= .三．解答题（本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）实数m 分别取什么数时，复数)156()25()1(2i m i m i z -+-++=是（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）对应点在第三象限.18．（本小题满分12分） （Ⅰ）求9(3x +的展开式常数项及中间两项;（Ⅱ）已知22)nx+的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求n .19．（本小题满分12分）某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试．甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是45和34.假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响．(1)求甲工人连续3个月参加技能测试至少有1次未通过的概率；(2)求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次的概率； (3)工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格．求乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格的概率．20.（本小题满分12分）（Ⅰ）设b a ,均为正数，且b a ≠，求证：2233ab b a b a +>+.（Ⅱ）已知,,,+∈R c b a 求证：33322cb ac b a ++≥++；21．（本小题满分12分）．袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个.已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.97（Ⅰ）求袋中各色球的个数；（Ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ和方差 D ξ；22．（本小题满分14分）已知ax x x x f -=ln )(，2)(2--=x x g ， （Ⅰ）对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当时，1-=a 求函数]3,[)(+m m x f 在(0m >)上的最小值.。
高二数学第二学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤34．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=15．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 76．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞18．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2} 11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 812．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°考点：直线的参数方程．专题：直线与圆．分析：设直线的倾斜角为α，则α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．可得直线的斜率，即可得出．解答：解：设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．∴直线的斜率，则直线的倾斜角α=150°．故选D．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：因为“x2﹣x＞0”可以求出x的X围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：∵x2﹣2x＜0⇔0＜x＜2，若0＜x＜2可得0＜x＜4，反之不成立．∴“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的充分非必要条件，故选B．点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，以及充分必要条件的定义，是一道基础题；3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3考点：特称命题．分析：根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．解答：解：∵命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是“任意实数x，使x2+ax+1≥0”命题否定是真命题，∴△=（a﹣1）2﹣4≤0，整理得出a2﹣2a﹣3≤0∴﹣1≤a≤3故选D．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况．4．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1考点：简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．解答：解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选B．点评：正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》5．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 7考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将x用y表示出来，代入3x+27y+1，化简整理后，再用基本不等式，即可求最小值．解答：解：由x+3y﹣2=0得x=2﹣3y代入3x+27y+1=32﹣3y+27y+1=+27y+1∵，27y＞0∴+27y+1≥7当=27y时，即y=，x=1时等号成立故3x+27y+1的最小值为7故选D．点评：本题的考点是基本不等式，解题的关键是将代数式等价变形，构造符合基本不等式的使用条件．6．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]考点：绝对值不等式的解法．专题：综合题．分析：本题为含有参数的分式不等式，若直接求解，比较复杂，可直接由条件2∉M出发求解．2∉M即2不满足不等式，从而得到关于a的不等关系即可求得a的取值X围．解答：解：依题意2∉M，即2不满足不等式，得：||≤a，解得a≥，则a的取值X围为[，+∞）．故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法和等价转化思想，属于基础题．7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞1考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：利用绝对值的意义求得|x﹣3|+|x﹣4|的最小值为1，再结合条件求得实数a的取值X围．解答：解：|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，故a＞1，故选：D．点评：本题主要考查绝对值的意义，属于基础题．8．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再与半径比较大小即可得出．解答：解：圆ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，∴圆心C （1，0），半径r=1．直线2ρcos（θ+）=﹣1展开为=﹣1，化为x﹣y+1=0．∴圆心C到直线的距离d==1=r．∴直线与圆相切．故选：B．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程的方法、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：由指数函数的单调性和命题的否命题，即可判断A；由含有一个量词的命题的否定，即可判断B；运用对数函数的单调性和充分必要条件的定义，即可判断C；由复合命题的真假，结合真值表，即可判断D．解答：解：A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题是“若x≤y，则2x≤2y”是真命题，故A错；B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1≥0”，故B错；C．设x，y为实数，x＞1可推出lgx＞lg1=0，反之，lgx＞0也可推出x＞1，“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件，故C正确；D．若“p∧q”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故D错．故选C．点评：本题主要考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系、命题的否定、充分必要条件和复合命题的真假，注意否命题与命题的否定的区别，是一道基础题．10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2}考点： Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；新定义．分析：利用函数的定义域、值域的思想确定出集合A，B是解决本题的关键．弄清新定义的集合与我们所学知识的联系：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．解答：解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义，借助数轴得：A#B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选D．点评：本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定．11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：平均值不等式．专题：计算题；转化思想．分析：利用题设中的等式，把n+的表达式转化成++后，利用平均值不等式求得最小值．解答：解：∵n+=++∴n+=++（当且仅当n=4时等号成立）故选C点评：本题主要考查了平均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．12．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，可得ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，可得SP ＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，可得S≥P，即可得出．解答：解：∵a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，∴ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，∴2（ac+bc+ab）＞c2+b2+a2，∴SP＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，∴S≥P＞0．∴P≤S＜2P．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质、三角形三边大小关系，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为{x|﹣1＜x＜1} ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：首先分析题目求不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集，可以考虑平方去绝对的方法，先移向，平方，然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案．解答：解：|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0移向得：丨2x﹣1丨＜丨x﹣2丨两边同时平方得（2x﹣1）2＜（x﹣2）2即：4x2﹣4x+1＜x2﹣4x+4，整理得：x2＜1，即﹣1＜x＜1故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．点评：此题主要考查绝对值不等式的解法的问题，其中涉及到平方去绝对值的方法，对于绝对值不等式属于比较基础的知识点，需要同学们掌握．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 3 ．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．解答：解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1} ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据B⊆A，利用分类讨论思想求解即可．解答：解：当a=0时，B=∅，B⊆A；当a≠0时，B={﹣}⊆A，﹣=1或﹣=﹣1⇒a=1或﹣1，综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}．故答案是{﹣1，0，1}．点评：本题考查集合的包含关系及应用．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为[2，4] ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出命题p，q的等价条件，然后利用p是￢q的必要非充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．解答：解：∵log2|1﹣|＞1；∴：|x﹣3|≤2，即﹣2≤x﹣3≤2，∴1≤x≤5，设A=[1，5]，由：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，得m﹣1≤x≤m+1，设B=[m﹣1，m+1]，∵￢p是￢q的充分而不必要条件，∴q是p的充分而不必要条件，则B是A的真子集，即，∴，即2≤m≤4，故答案为：[2，4]．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，代入两个圆的极坐标方程，化简后可得⊙O1和⊙O2的直角坐标方程；（2）把两个圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程，再化为极坐标方程．解答：解：（1）∵圆O1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，∴化为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，∵圆O2的极坐标方程ρ=﹣sinθ，即ρ2=﹣ρsinθ，∴化为直角坐标方程为 x2+（y+）2=．（2）由（1）可得，圆O1：（x﹣2）2+y2=4，①圆O2：x2+（y+）2=，②①﹣②得，4x+y=0，∴公共弦所在的直线方程为4x+y=0，化为极坐标方程为：4ρcosθ+ρsinθ=0．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求直线的极坐标方程，属于基础题．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．考点：带绝对值的函数．专题：计算题；证明题；函数的性质及应用．分析：（I）利用绝对值不等式即可证得f（x）≥1；（II）利用基本不等式可求得≥2，要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2即可．解答：解：（Ⅰ）证明：由绝对值不等式得：f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）﹣（x﹣2）|=1 …（5分）（Ⅱ）∵==+≥2，∴要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2，即，或，或，解得x≤，或x≥．故x的取值X围是（﹣∞，]∪[，+∞）．…（10分）点评：本题考查带绝对值的函数，考查基本不等式的应用与绝对值不等式的解法，求得≥2是关键，属于中档题．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．解答：解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．考点：圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．解答：解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值．（2）由题意可得|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，构造函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，求得y的最小值，从而求得m的X围．解答：解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，∵y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，当n≤时，y=﹣3n+4≥，当≤n≤1时，y=n+2≥，当n≥1时，y=3n≥3，故函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2的最小值为，∴m≥，即m的X围是[，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．专题：坐标系和参数方程．分析：设出点M的极坐标（ρ，θ），表示出OP、PB，列出的极坐标方程，再化为普通方程，求出点M的轨迹长度即可．解答：解：设M（ρ，θ），θ∈（0，），则OP=2cosθ，PB=2sinθ；∴ρ=OP+PM=OP+PB=2cosθ+2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ；化为普通方程是x2+y2=2x+2y，∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2（x＞0，y＞0）；∴点M的轨迹长度是l=×2π×=π．点评：本题考查了极坐标的应用问题，解题时应根据题意，列出极坐标方程，再化为普通方程，从而求出解答来，是基础题．。
高中数学 学期综合测评(一)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若函数f (x )的导数为－2x 2＋1，则f (x )可以等于( ) A ．－2x 3＋1 B ．x ＋1 C ．－4x D ．－23x 3＋x答案 D解析 选项A 中函数的导数为f ′(x )＝－6x 2；选项B 中函数的导数为f ′(x )＝1；选项C 中函数的导数为f ′(x )＝－4；选项D 中函数的导数为f ′(x )＝－2x 2＋1.故选D.2．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题． 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x |＝| y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则P 是綈Q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， ∴P ⇒綈Q ，但綈Q ⇒/P ，∴P 是綈Q 的充分不必要条件，选A.4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 因为全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定綈p 是特称命题：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，所以綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，故选C.5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题 答案 C解析 对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg 10， 即8>1，故命题p 为真命题； 对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1， 此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题， 命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题， 故选C.6．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线C ：x 24－y 212＝1，则下列双曲线中与C 是“相近双曲线”的为( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1C ．y 2－2x 2＝1 D.y 29－x 272＝1 答案 B解析 双曲线C 的离心率为2，对于A ，其离心率为2，不符合题意；对于B ，其离心率为3，符合题意；对于C ，其离心率为62，不符合题意；对于D ，其离心率为3，不符合题意．故选B.7．从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T .延长F 1T交双曲线右支于P 点，若M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不确定 答案 B解析 ∵F 1T 是圆的切线， ∴OT ⊥TF 1，∵|OF 1|＝c ，|OT |＝a ，∴|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝c 2－a 2＝b . 设接双曲线的右焦点为F 2， 连接PF 2，则|OM |＝12|PF 2|，又∵|F 1M |＝|MP |，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴12|PF 1|－12|PF 2|＝a ， ∴|PM |－|OM |＝a ， ∴b ＋|TM |－|OM |＝a ， ∴|OM |－|TM |＝b －a ，故选B.8．函数y ＝x 2e x的单调递减区间是( ) A ．(－1,2)B ．(－∞，－1)与(1，＋∞)C ．(－∞，－2)与(0，＋∞)D ．(－2,0) 答案 D解析 y ′＝(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)．∵e x >0，∴x e x(x ＋2)<0，即－2<x <0，故函数y ＝x 2e x的单调递减区间是(－2,0)．故选D.9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析 因为f (x )在x ＝－2处取得极小值，所以在x ＝－2附近的左侧f ′(x )<0，当x <－2时，xf ′(x )>0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )>0，当－2<x <0时，xf ′(x )<0，故选C.10．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π答案 C解析 设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1，故选C.11．如图，F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A解析 延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，在等腰三角形APF 1中，|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝12|AF 2|＝a .12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 B解析 ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如右图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |， 又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“∃x ∈{正实数}，使x <x ”的否定为________，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∀x ∈{正实数}，使x ≥x 假解析 原命题的否定为“∀x ∈{正实数}，使x ≥x ”，是假命题．14．如图，椭圆的中心在坐标原点，当FB →⊥A B →时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.答案5－12解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝a ＋c ，∵B F →⊥B A →，∴|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2， ∴c 2＋ac －a 2＝0.∴e 2＋e －1＝0，又0<e <1， ∴e ＝5－12. 15．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1. 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a.又a >12，∴0<1a<2.当f ′(x )>0时，x <1a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增；当f ′(x )<0时，x >1a，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.16．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于________．答案223解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.∴x 1＋x 2＝42－k2k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2，代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴42－k2k 2＝5，∴k 2＝89，经检验Δ>0，又∵k >0，∴k ＝223.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，命题p ：A ∩B ＝∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，某某数a 的取值X 围； (2)若命题p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围． 解 ∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}． (1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3.(2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”， ∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值X 围为a ≤3.18．(本小题满分12分)已知命题p ：∃x 0∈[－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，命题q ：∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，若命题p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解 因为∃x 0∈ [－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，所以只需(x 20＋x 0－a ＋1)max ＞0，即3－a ＞0，所以命题p 真时，a ＜3.因为∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，所以t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＋1＞1，t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＞0，即(t －a )[t －(a ＋2)]＞0，对t ∈(0,1)恒成立，只需a ＋2≤0或a ≥1，得a ≤－2或a ≥1， 所以命题q 为真时，a ≤－2或a ≥1.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 两个命题一真一假． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，－2＜a ＜1，所以－2＜a ＜1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ≤－2或a ≥1，所以a ≥3.综上所述：a 的取值X 围是(－2,1)∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解 f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1. (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋23>0， ∴f (x )在R 上单调递增．(2)当k <0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴x ＝k3，且过点(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0， 即－3≤k <0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．∴m ＝f (x )min ＝f (k )＝k ，M ＝f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12>0，即k <－3时，令f ′(x )＝0 得x 1＝k ＋k 2－33，x 2＝k －k 2－33，且k <x 2<x 1<0.∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．又f (x 1)－f (k )＝x 31－kx 21＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 21＋1)>0， ∴m ＝f (k )＝k ，又f (x 2)－f (－k )＝x 32－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]<0， ∴M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上，当k <0时，f (x )的最小值m ＝k ， 最大值M ＝－2k 3－k .20．(本小题满分12分)设椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心及C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：(1)求曲线C 1，C 2(2)设直线l 过抛物线C 2的焦点F ，l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，当OM →·ON →＝0时，求直线l 的方程．解 (1)由题意，可知点(－2,0)是椭圆的左顶点，再根据椭圆上点的横、纵坐标的取值X 围，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22在椭圆上． 设椭圆C 1的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由此可得a ＝2，24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.由点(3，－23)，(4，－4)在抛物线C 2上，知抛物线开口向右． 设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴12＝6p ，∴p ＝2， ∴抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .(2)由(1)，知F (1,0)．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 2＝1，得l 与椭圆C 1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，∴OM →·ON →＝14≠0，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(1＋4k 2)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)·x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(1＋k 2)·4k 2－41＋4k 2－k 2·8k 21＋4k2＋k 2＝0，解得k ＝±2，∴直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值X 围．解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝0，即ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得1≤a ≤9，即a 的取值X 围是[1,9]．22．(本小题满分12分)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.word - 11 - / 11。
专题07 随机变量及其分布【专项训练】高二数学下学期期末专项复习(新人教A版2019)
专题07 随机变量及其分布【专项训练】一、单选题1．若随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，8()5D ξ=，则p =（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】A 【详解】解：因为随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，8()5D ξ=， 所以28(1)5np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1015n p =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选：A2．学校从高一､高二､高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5､6､7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为（ ） A ．718B ．730C ．915D ．13【答案】A 【详解】设事件A 为“30人中抽出一名女同学”，事件B 为“30人中抽出一名高三同学”， 则56718()3030P A ++==，7()30P AB =， 所以()()7()18P AB P B A P A ==，故选：A.3．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2.5D ．1.7【详解】()10.420.530.1 1.7E X=⨯+⨯+⨯=.故选：D.4．某次市教学质量检测，甲､乙､丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）A．三科总体的标准差相同B．甲､乙､丙三科的总体的平均数不相同C．丙科总体的平均数最小D．甲科总体的标准差最小【答案】D【详解】解：由图象知甲､乙､丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙.故选：D．5．已知P(B|A)=13，P(A)=25，则P(AB)等于（）A．56B．910C．215D．115【答案】C 【详解】由题意，知()()(122315 )5P AB P B A P A==⨯=故选：C6．随机变量X所有可能取值是－2，0，3，5，且P(X＝－2)＝14，P(X＝3)＝12，P(X＝5)＝112，则P(X＝0)的值为（）A．0 B．14C．16D．18【详解】由各个变量概率和为1可得：P (X ＝－2)＋P (X ＝0)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝1， 所以111(0)14212P X +=++=，解得1(0)6P X == 故选：C7．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X ，则X 的可能取值为（ ）A ．1，2，3，…，6B ．1，2，3，…，7C ．0，1，2，…，5D ．1，2，…，5 【答案】B 【详解】由于取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球； 最多次数是7次，即把所有的黑球取完之后再取到白球. 所以取球次数可以是1，2，3，…，7. 故选：B8．若离散型随机变量2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()E X 和()D X 分别为（ ） A ．83，169 B ．83，89C ．89，83D ．169，83【答案】B 【详解】因为离散型随机变量2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()28433E X =⨯=， ()22841339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.9．设随机变量()24,N ζδ，若()10.4P a ζ>+=，则()7P a ζ>-=（ ）A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.7【答案】C随机变量2~(4,8)N ζ，对称轴为：4μ= 因为(1)0.40.5P a ζ>+=<，所以14a +>， 根据对称性可得(1)(7)0.4P a P a ζζ>+=<-=， 则(7)0.6P a ζ>-=. 故选：C.10．设()()221122,,,X N Y N μσμσ~~，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）A ．()()21P Y P Y μμ≥≥≥B ．()()21P X P X σσ≤≤≤C ．函数()()F t P X t =>在R 上单调递增D ．()()111122222222P X P Y μσμσμσμσ-<<+=-<<+ 【答案】D 【详解】由正态分布密度曲线的性质得：X ，Y 的正态分布密度曲线分别关于直线12,x x μμ==对称， 对于A ：由图象得12μμ<，所以()()21P Y P Y μμ≥<≥，故A 不正确；对于B ：由图象得X 的正态分布密度曲线较Y 的正态分布密度曲线“廋高”，所以12σσ<，所以()()21>P X P X σσ≤≤，故B 不正确；对于C ：由图象得：当1>t μ时，函数()()F t P X t =>在()t +∞，上单调递减，故C 不正确； 对于D ：根据3σ原则：()111168.3%P X μσμσ-<<+=，()11112295.4%P X μσμσ-<<+=，()11113399.7%P X μσμσ-<<+=，无论σ 取何值时，有()()111122222222P X P Y μσμσμσμσ-<<+=-<<+，故D 正确，故选：D.二、多选题11．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布()2,30N μ和()2280,40N ，则下列选项正确的是（ ）附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈．A ．若红玫瑰日销售量范围在(30,280)μ-的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在()280,320的概率约为0.3413 【答案】ABD 【详解】对于A ，因为红玫瑰日销售量范围在(30,280)μ-的概率是0.6826， 故30280μ+≈即250μ≈，故A 正确.对于B ，因为3040<，故红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B 对，C 错. 白玫瑰日销售量范围在()280,320的概率约为0.68260.34132=，故D 正确. 故选：ABD.12．已知三个正态分布密度函数()()()222,1,2,3i i x i f x x R i μσ--=∈=的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．123σσσ==B ．123σσσ=<C ．123μμμ=>D ．123μμμ<=【答案】BD 【详解】正态密度曲线关于直线x μ=对称，且μ越大图象越靠近右边，σ越小图象越瘦长. 因此，123μμμ<=，123σσσ=<.13．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）A ．目标恰好被命中一次的概率为1123+ B ．目标恰好被命中两次的概率为1123⨯C ．目标被命中的概率为12112323⨯+⨯D ．目标被命中的概率为12123-⨯【答案】BD 【详解】甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次， 在A 中，目标恰好被命中一次的概率为1112123232⨯+⨯=，故A 错误； 在B 中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为111236⨯=，故B 正确； 在CD 中，目标被命中的概率为112111233⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误，D 正确． 故选：BD ．14．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X ，则（ ） A ．2~4,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．8(2)81P X ==C ．X 的期望8()3E X =D ．X 的方差8()9D X =【答案】ACD 【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响， 并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分， 取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X 服从二项分布2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 正确；2X =，记其概率为22242124(2)3381P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；因为2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 的期望28()433E X =⨯=，故C 正确； 因为2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 的方差218()4339D X =⨯⨯=，故D 正确． 故选：ACD ． 15．已知()2~,X N μσ，22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，则（ ）A ．曲线()y f x =与x 轴围成的几何图形的面积小于1B ．函数()f x 图象关于直线=x μ对称C ．()2()()P X P X P X μσμμσμσ>-=<<++≥+D ．函数()()F x P X x =>在R 上单调递增 【答案】BC 【详解】选项A. 曲线()y f x =与x 轴围成的几何图形的面积等于1， 所以A 不正确.选项B. 222()x f x σμ-+=,222()x f x σμ--=所以()()f x f x μμ+=-，所以函数()f x 图象关于直线x μ=对称，所以选项B 正确.选项C. 因为()()P X P X μμσμμσ>>-=<>+所以()()()P X P X P X μσμσμσμσ>-=-<<++≥+2()()P X P X μμσμσ=<<++≥+ 所以选项C 正确.选项D. 由正态分布曲线可知，当x 越大时，其概率越小.即函数()()F x P X x =>随x 的增大而减小，是减函数，所以选项D 不正确. 故选：BC三、解答题16．设离散型随机变量X 的分布列为求：（1）21X +的分布列； （2）求(14)P X <≤的值. 【详解】由分布列的性质知：0.20.10.10.31m ++++=，解得0.3m = （1）由题意可知(211)(0)0.2P X P X +====，(213)(1)0.1P X P X +====，(215)(2)0.1P X P X +==== (217)(3)0.3P X P X +====，(219)(4)0.3P X P X +====所以21X +的分布列为：（2）(14)(2)(3)(4)0.10.30.30.7P X P X P X P X <≤==+=+==++=17．为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为16，第二种检测不合格的概率为110，两种检测是否合格相互独立．（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利80-元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量X 表示这3台产品的获利，求X 的分布列及数学期望． 【详解】（1）设事件A 表示“每台新型防雾霾产品不能销售” 事件A 表示“每台新型防雾霾产品能销售” 所以()113116104P A ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()()114P A P A =-= （2）根据（1）可知，“每台新型防雾霾产品能销售”的概率为34 “每台新型防雾霾产品不能销售”的概率为14X 所有的可能取值为：240-，120-，0，120则()30311240464P X C ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ ()2131391204464P X C ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1223132704464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()333327120464P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以X 的分布列为所以()()1927240120120646464EX =-⨯+-⨯+⨯ 则30EX =18．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是35. （1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；（2）若甲以3：1的比分领先时，记X 表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X 的分布列及期望. 【详解】解：（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为44153234865553125P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，恰好打了6局，乙获胜的概率为14125322965553125P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以比赛结束时恰好打了6局的概率为1248696582312531253125P P P =+=+=. （2）X 的可能取值为2，3，4，5，()2392525P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， ()12233363555125P X C ==⨯⨯⨯=，()2413323212445555625P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()331344323232965555555625P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列如下：故()936124961966234525125625625625E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.。
山东省烟台市2013-2014学年高二数学下学期期末_新人教A版(理科)
高二数学（理科）2014.4.22注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔．要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上． 1．已知i 是虚数单位，若()2i 34i m +=-，则实数m 的值为A ．2-B ．2±C ．D ．22．用反证法证明命题：“若 a b ∈N ，，ab 能被5整除，则 a b ，中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是A ． a b ，都能被5整除B ． a b ，都不能被5整除C ． a b ，有一个能被5整除D ． a b ，有一个不能被5整除 3．函数x y cos =错误！未找到引用源。
在点)23,6(π错误！未找到引用源。
处的切线斜率为 A.错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未4. 设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，i a （）等于 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 5．用数学归纳法证明不等式1111++++(2321n n n *<∈-N 且1)n >时，第一步应验证的不等式是 A ．11+22< B ．111++223< C ．111++323< D ．1111+++3234<6. 如图是函数()y f x =的导函数的图象，则下面四种说法正确的是A.()f x 在()3 1-，上是增函数 B .1x =-是()f x 的极大值点C .()f x 在()2 4，上是减函数，在()1 2-，上是增函数 D .2x =是()f x 的极小值点7．在平面直角坐标系中，直线0x y -=与曲线22y x x =-所围成的图形面积为A ．1 B.52 C. 92D ．9 8. 函数2()ln(2)f x x =+的图象大致是9. 设动直线x m =与函数()3f x x =、()lng x x =的图象分别交于点M N 、，则MN 的最小值为A.1(1ln 3)3+ B. 1ln 33 C ．1ln3+D ．ln31-10.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是 A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞二、填空题:本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.11.已知复数5i12iz =+(i 是虚数单位),则z 等于 12. 若2、a 、b 、c 、9成等差数列,则c a -=13.周长为20的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为414.若0 0a b >>，，且函数()32422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于 15. 观察下列等式:23(11)21(21)(22)213(31)(32)(33)2135+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯照此规律, 第n 个等式可为三、解答题:本大题共6个小题，共75分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤. 16. （本小题满分12分） 已知复数()262i 2(1i)1imz m =+----.当实数m 取什么值时，复数z 是 （1）纯虚数；（2）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.17. （本小题满分12分）已知ABC ∆的三边a b c 、、的倒数成等差数列，求证90B <.18．（本小题满分12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数： ①222sin 5sin 65sin 125++； ②222sin 10sin 70sin 130++； ③222sin 13sin 73sin 133++； ④222sin 20sin 80sin 140++.(1)试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）试比较n a 与n b 的大小.（可能用到的参考数值：ln 20.7≈）20. （本小题满分13分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，使得()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（1）已知二次函数2()4()f x ax x a a =+-∈R ，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若()2e xf x ax =-是定义域R 上的“局部奇函数”，求实数a 的取值范围.21．（本题满分14分）设函数()22ln f x x x =-．（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若关于x 的方程()20f x x x a +--=在区间[]1 3，内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．高二数学（理科）答案一．选择题ABDCB CCDAB 二．填空题72 13.400027π14.915.)12(5312)()3)(2)(1(-⋅⋅⋅⋅=++++nnnnnn n三．解答题16.解：()262i2(1i)1imz m=+----22=232)(32)im m m m--+-+（（1）当22232=0320m mm m⎧--⎪⎨-+≠⎪⎩，即12m=-时，z是纯虚数；…………6分（2）当2232=m m--2(32)m m--+，即0m=或2m=时，z是复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.……………12分17.证明：因为a b c、、的倒数成等差数列，所以211b a c=+. ………3分假设90B< 不成立，即90B≥ ，则B是ABC∆的最大内角，因此b a b c>>，，……………6分从而11a c+>. ……………9分这与211b a c=+矛盾，因此假设不成立，所以90B< .………12分18. 解：(1)222222sin10sin70sin130=sin(7060)sin70sin(7060)++-+++222 =sin70cos60cos70sin60)sin70sin70cos60+cos70sin60)-++（（22211=s i n7c o s70)s i n7070+c o s70) 22-++（（222221313=sin 70+cos 70sin 70sin 70+cos 704444++ 2233=sin 70+cos 7022 3=2. ………………6分(2)三角恒等式：2223s in 60)s i n2ααα-+++=（（. …………8分 证明如下：左边222=sin 60)sin sin 60)ααα-+++（（22=sin cos60cos sin 60)sin sin cos60cos sin 6ααααα-+++ （（22211=sin cos )sin sin cos )2222ααααα-+++（（222221313=sin cos sin sin cos 4444ααααα++++2233=sin cos 22αα+ 3==2右边， 所以恒等式成立. ………………12分19. 解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯，即28n a n =+． ……………2分因为等比数列{}n b 的首项为1，公比为2， 所以112n n b -=⨯，即12n n b -=． (4)分（2）因为110a =，212a =，314a =，416a =，518a =，620a =，11b =，22b =，34b =，48b =，516b =，632b =，易知当5n ≤时，n n a b >． ………………6分 下面证明当6n ≥时，不等式n n b a >成立． ………………7分 法1：①当6n =时，616232b -==620268a >=⨯+=，不等式显然成立．…8分②假设当n k=()6k ≥时，不等式成立，即1228k k ->+． …………9分则有()()()()122k k k k k k -=⨯>+=++++>++．这说明当1n k =+时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对6n ≥的所有整数都成立，……………11分所以当6n ≥时，n n b a >． ………………12分法2：因为当6n ≥时1228n n n b a n --=--. ………………8分构造函数()1=228(x fxx x ---≥. ………………9分 ()12l n 22x f x -'=-，显然()f x '在6x ≥时递增，所以()()632ln 2220.40f x f ''≥=-≈>， 所以()1=228(6)x fx x x ---≥是增函数，()()6120f x f ≥=>，…11分所以当6n ≥时，n n b a >． ……………12分20.解：()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x +-=有解．………2分（1）当2()4()f x ax x a a =+-∈R 时，方程()()0f x f x +-=即22(1)0a x -=有解1x =±， 所以()f x 为“局部奇函数”． ………5分 (2)当()2e xf x ax =-时，()()0f x f x +-=可化为2e =0xax -.………6分 所以方程2e =0x ax -在R 上有解， 即2exa x=（显然x ≠）在R上有解. …………8分设()2exg x x=，()g x 为偶函数，所以只需考虑0x >即可. 当0x >时，()24e (2)x x x g x x-'=， 当()0 2x ∈，时， ()0g x '<，故()g x 在()0 2，上为减函数，当() +x ∈∞2，时，()0g x '>，故()g x 在() +∞2，上为增函数， ………11分所以()()2e 24g x g ≥=，所以2e 4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，. …………13分21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，， ………………1分212(1)()2x f x x x x -⎡⎤'=-=⎢⎥⎣⎦， ……………4分∵0x >，则使()0f x '>的x 的取值范围为()0 1，， 故函数()f x 的单调递增区间为()0 1，． ………………5分 （2） 法1：∵()22ln f x x x =-，所以2()f x +-．…………7分令()2ln g x x a x =+-，∵22()1x g x x x-'=-=，且0x >， 由()0g x '>得2x >，()0g x '<得2x <． ∴()g x 在[1 2]，内单调递减，在[2 3]，内单调递增， ………10分故2()0f x x x a +--=在区间[]1 3，内恰有两个相异实根，须(1)(2)0,(3)0.g g g ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩即10,22ln 20,32ln 30.a a a +≥⎧⎪+-<⎨⎪+-≥⎩………13分 解得：2l a-≤<． ………14分法2：∵()22ln f x x x =-，∴2()02ln 0f x x x a x a x +--=⇔+-=． …………6分即2ln a x x =-， 令()2ln h x x x =-，∵22()1xh x x x-'=-=，且1x >， 由()02,()02h x x h x x ''><<<>得1得． ∴()h x 在区间[1 2]，内单调递增，在区间[2 3]，内单调递减．…………11分∵()11h =-，()22ln 22h =-，()32ln 33h =-， 又()()31h h >，故2()30f x x x a +--=在[]1 3，内恰有两个相异实根须()()32h a h ≤<．即2ln332ln 22a -≤<-． ………………………14分。
【新教材】高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题05 直线的倾斜角与斜率(学生版+解析版)
专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30B ．45C ．60D ．902．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0B ．3πC ．2π D ．π3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ）A ．4πB ．34π C ．54π D ．2π 4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6B ．-7C ．-8D ．-95．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3）B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ） A ．-1B ．-2C ．2D ．18．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ）A ．0B ．2π C ．56π D ．π10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．⎡⎢⎣⎦D．,⎛-∞ ⎝⎦⎫+∞⎪⎪⎣⎭二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角； D ．坐标平面上所有的直线都有斜率．13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____．15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限.16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________.17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒． 19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α. （1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α. （1）写出α关于m 的函数解析式； （2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围.22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围； （2）直线l 倾斜角α的范围；23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】D 【解析】直线x ∴其倾斜角为90. 故选：D .2．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0 B ．3πC ．2π D ．π【答案】C 【解析】直线1x =与x 轴垂直，故倾斜角为2π. 故选：C.3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ） A ．4π B ．34π C ．54π D ．2π 【答案】B 【解析】由题意，直线10x y ++=的斜率为1k =- 故3tan 14k παα==-∴= 故选:B4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6 B ．-7C ．-8D ．-9【答案】D 【解析】(3,1)A 、(2,)B k -、(8,11)C 三点在同一条直线上，∴直线AB 和直线AC 的斜率相等， ∴11112383k --=---，解得9k =-．故选：D ．5．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【解析】由题意知，直线的斜率k =即直线的倾斜角α满足tan α=， 又0180α︒︒≤<，120α︒∴=，故选：C6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3） B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）【答案】B 【解析】由直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan 451k ==，则过点()2,3-与点（1，2）的直线的斜率为321213-=---，显然点()2,3-不满足题意；过点()0,1与点（1，2）的直线的斜率为12101-=-，显然点()0,1满足题意； 过点()3,3与点（1，2）的直线的斜率为321312-=-，显然点()3,3不满足题意； 过点()3,2与点（1，2）的直线的斜率为22031-=-，显然点()2,3-不满足题意； 即点()0,1在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上， 故选：B.7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ）A ．-1B ．-2C ．2D ．1【答案】D 【解析】由直线斜率的定义知,tan1351AB k ==-, 由直线的斜率公式可得,542AB k a -=-， 所以5412a -=--,解得1a =. 故选:D8．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃ 【答案】B 【解析】直线xsinα+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sinα， ∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k ≤1 ∴倾斜角的取值范围是[0，4π]∪[34π，π） 故选：B ．9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ） A ．0 B ．2π C ．56π D ．π【答案】A 【解析】tan 3πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭tan 0α=，0απ≤<，0α∴=.故选:A10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．,33⎡-⎢⎣⎦D．,3⎛-∞-⎝⎦3⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B 【解析】因为直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,又直线的斜率tan k α=,,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦.故tan tan3πα≥=2tan tan3πα≤=故(,k ∈-∞)+∞. 故选：B 二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【解析】A. 若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤<,是正确的；B. 若k 是直线l 的斜率，则tan k α=∈R ，是正确的；C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率，是正确的；D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90°的直线没有斜率. 故选：ABC12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角；D ．坐标平面上所有的直线都有斜率． 【答案】BD 【解析】任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率 当倾斜角为90︒时，斜率不存在 故选：BD13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．【答案】AC 【解析】逐一考查所给的选项：A .存在0k =，使得2l 的方程为0x =，其倾斜角为90°，故选项不正确．B 直线1:10l x y --=过定点()0,1-，直线()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=过定点()0,1-，故B 是正确的．C .当12x =-时，直线2l 的方程为1110222x y --=，即10x y --=，1l 与2l 都重合，选项C 错误；D .两直线重合，则：()()1110k k ⨯++-⨯=，方程无解，故对任意的k ，1l 与2l 都不垂直，选项D 正确． 故选：AC. 三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____． 【答案】(0，－2) 【解析】因为Q 在y 轴上，所以可设Q 点坐标为()0,y ，又因为tan120︒==2y =-，因此()0,2Q -，故答案为()0,2-.15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限. 【答案】0, 0，2，3【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为[)0,π，一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过0或2或3个象限． 故答案为：[)0,π，0或2或3．16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________. 【答案】[0°，45°)∪(135°，180°) 【解析】直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大由于斜率有正也有负，且直线的斜率为正时，斜率随着倾斜角的增大而增大，故α∈(0°，45°)；又直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大，故α∈(135°，180°)；斜率为0时，α＝0°.所以α∈[0°，45°)∪(135°，180°) 故答案为[0°，45°)∪(135°，180°) 17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 【答案】3[0,][,)44πππ 【解析】当直线l 过B 时，设直线l 的倾斜角为α，则3tan 14παα=-⇒=当直线l 过A 时，设直线l 的倾斜角为β，则tan 14πββ=⇒=综合：直线l 经过点()P 1,0且与以()A 2,1，()B 3,2-为端点的线段AB 有公共点时，直线l 的倾斜角的取值范围为][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒．【答案】(0,2P 【解析】设(0,)P y ，201PA y k -=-，tan120︒∴＝201y --，2y ∴=P ∴点坐标为(0,2.19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围. 【答案】15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】1(1)1(1)y y x x +--=+--的几何意义是过(,),(1,1)M x y N --两点的直线的斜率，点M 在线段28,[2,5]y x x =-+∈上运动，易知当2x =时，4y =，此时(2,4)M 与(1,1)N --两项连线的斜率最大，为53； 当5x =时，2y =-，此时(5,2)M -与(1,1)N --两点连线的斜率最小，为16-.115613y x +∴-+,即HF 的取值范围为15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α.（1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.【答案】（1）13-；（2）10；45 【解析】（1）因为直线320x y +-=的斜率为13-，且直线的倾斜角为角α， 所以1tan 3α=- （2）由（1）知1tan 3α=-， 22sin 1tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==-⎪∴⎨⎪+=⎩解得sin 10cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin 10cos αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩224cos 22cos 1215αα⎛∴=-=⨯-= ⎝⎭21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α.（1）写出α关于m 的函数解析式；（2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围. 【答案】（1）3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩；（2）3,3m .【解析】（1）直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α，当0m =时，2πα=当0m >时，则斜率3tan k m α==，3arctan m α=， 当0m <时，则斜率3tan k m α==，3arctan mαπ=+， 所以3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩； （2）当,32ππα时，33,,0,3k m m ，当2πα=时，0m =， 当3,24ππα时，3,1,3,0k m m ， 综上所述：3,3m .22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围；（2）直线l 倾斜角α的范围；【答案】（1）11k -≤≤（2）3044ππααπ≤≤≤<或 【解析】（1）2(1)110pA k --==-- 1(1)120pB k --==- l 与线段AB 相交pA pB k k k ∴≤≤11k ∴-≤≤（2）由（1）知0tan 11tan 0αα≤≤-≤<或由于tan 0,2y x π⎡⎫=⎪⎢⎣⎭在及(,0)2π-均为减函数3044ππααπ∴≤≤≤<或 23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.【答案】(1) 15t =；(2) k ∈(-∞.,-1]⋃[2,+∞]，3[arctan 2,]4πθ∈ 【解析】(1)由题意可得()42,30(6,3)AB =+-=，(6,3)AM t AB t t ==， ()12,30(3,3)AC =+--=-，所以(63,33)CM AM AC t t =-=-+， ∵CM AB ⊥，则CM AB ⊥，∴()()6633334590CM AB t t t ⋅=-++=-=， ∴解得15t =； (2)由01t ≤≤，AM t AB =，可得点M 在线段AB 上，由题中A 、B 、C 点坐标，可得经过A 、C 两点的直线的斜率11k =-，对应的倾斜角为34π，经过C 、B 两点的直线的斜率22k =，对应的倾斜角为2arctan ,则由图像可知(如图所示)，直线CM 的斜率k 的取值范围为：1k ≤-或2k ≥，倾斜角的范围为：3[arctan 2,]4πθ∈.。
山东省威海市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(教师版)
高二数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22{|log (2)}A x y x x ==--，则R ()N A = ð（）A.{1012}-,,,B.{1,1,2}-C.{0,1,2}D.{1,2}【答案】C 【解析】【分析】求对数函数的定义域求得A ，进而求得R ()N A ð.【详解】由()()22=210x x x x ---+>，解得1x <-或2x >，所以()()=,12,A -∞-⋃+∞，所以[]R =1,2A -ð，所以{}R ()N 0,1,2A = ð.故选：C2.若随机变量(,)X B n p ，且()6E X =，()5D X =，则p 的值为（）A.16B.13C.12D.56【答案】A 【解析】【分析】根据二项分布的期望、方差计算可得答案.【详解】因为()6E X np ==，()()15=-=D X np p ，所以516-=p ，解得16p =.故选：A .3.某杂交水稻种植研究所调查某水稻的株高，得出株高X （单位：cm ）服从正态分布，其概率分布密度函数为2(110)200()x f x --=，()x ∈-∞+∞,，若(130)P X p >=，则(90110)P X <<=（）A.pB.12p -C.12p - D.2p【答案】B 【解析】【分析】根据题干概率分布密度函数得出正态曲线的对称轴，然后由正态曲线的对称性求解.【详解】依题意得，该正态曲线的对称轴是110x =，根据正态曲线的对称性，故11(90110)(110130)(130)22P X P X P X p <<=<<=->=.故选：B4.函数23()x x f x x-+=在区间(0,)+∞的最小值为（）A.B.C.1-D.1【答案】D 【解析】【分析】利用导数求得()f x 在区间(0,)+∞的最小值.【详解】()()()(222222133==x x x x x x x f x x x x ----+-'，所以()f x在区间(()(),0,f x f x '<递减，在区间)()(),0,f x f x '+∞>递增，所以()f x 在区间(0,)+∞的最小值为1f -.故选：D5.某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第x 年的生产利润为y （单位：亿元），现统计前7年的数据为1(1,)y ，2(2,)y ，L ，7(7,)y ，根据该组数据可得y 关于x 的回归直线方程为 0.5y x a=+，且7130.1ii y==∑，预测改进后该企业第8年的生产利润为（）A.10.8亿元B.10.3亿元C.6.8亿元D.6.3亿元【答案】D 【解析】【分析】根据样本中心点求得 a，进而求得预测值.【详解】1234567==47x ++++++，30.1==4.37y ，所以 4.3=0.54,=2.3a a ⨯+，所以0.5 2.3y x =+$，当8x =时， 0.58 2.3=6.3y =⨯+亿元.故选：D6.从正六边形的六个顶点中任取三个顶点，则这三个顶点可以构成直角三角形的概率为（）A.15 B.25C.35D.45【答案】C 【解析】【分析】运用列举法根据古典概率公式可得答案.【详解】如图，在六个顶点中任取三个顶点，有,,,,,,,,,,,,,,ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ADE ADF AEF BCD BCE BCF B DE ,,,,,BDF BEF CDE CDF CEF DEF ，共20种情况，因为在正六边形中，过中心的对角线所对的角为直角，所以有,,,,,,,,,,,ABD ACD ADF ADE ABE BEF BDE BCE ACF BCF CEF CDF ，共12种情况，故所求概率123205P ==．故选：C.7.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，则“()f x 为奇函数”是“()f x '为偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由奇函数的定义并求导可判断充分性，反过来取特例即可.【详解】当()f x 为奇函数时，则()f x 与()f x '的定义域关于原点对称，且()()f x f x -=-，两边同时求导，即(())(())f x f x ''-=-，得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=，所以()f x '为偶函数；反之，当()f x '为偶函数时，取3()1f x x =+，则2()f x x '=，显然满足条件，但()f x 显然不是奇函数，所以“()f x 为奇函数”是“()f x '为偶函数”的充分不必要条件.故选：A.8.已知函数||()3x f x =，若5(log 2)a f =，1(lg )4b f =，25(log 10)c f =，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.b c a <<D.b a c <<【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的单调性和中间量比较出5250log 2lg 4log 10<<<，再由函数||()3x f x =的单调性得出结果.【详解】555510log 1log 2log log 2=<=，由于1lglg 4lg 44=-=，1lg 42=>，2lg 43=<，所以12lg 423<<，2525252log 10log log 3=，所以5250log 2lg 4log 10<<<，因为函数||()3x f x =在()0,∞+上为增函数，则525(log 2)(lg 4)log 10f f <<，所以5251(log 2)(lg )log 104f f <<.故选：A【点睛】比较大小的常用方法:（1）利用函数单调性，（2）利用中间量，（3）作差（商）法.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A.()cos sin x x'= B.()21tan cos x x'=C.()12(1)2x xx +'=+ D.()22e 2e'=xx【答案】BD 【解析】【分析】利用导函数四则运算和简单复合函数求导法则计算出答案.【详解】A 选项，()'cos sin x x =-，A 错误；B 选项，()()()22222sin cos sin cos sin cos sin 1tan cos cos cos cos x x x x x x x x x x x x ''''⋅-⋅+⎛⎫==== ⎪⎝⎭，B 正确；C 选项，()1122ln 2x x '++=⋅，C 错误；D 选项，()()222e e 22ex x xx ''=⋅=，D 正确.故选：BD10.在6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中（）A.常数项为60B.各项二项式系数的和为32C.各项系数的和为1D.各项系数的绝对值之和为729【答案】ACD 【解析】【分析】利用展开式通项可判断A 选项；利用二项式系数和可判断B 选项；令1x =代入二项式，可判断C。
山东省威海市高二下学期期末数学试卷(理科) Word版(含解析)
2015-2016学年山东省威海市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知复数z=1+i（i为虚数单位），则复数﹣z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=sinx（x∈R ）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=sinx（x∈R ）是周期函数．A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①3．已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.6826，则P（X＜2）=（）A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.15854．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为（）A．B．C．D．5．以下四个命题正确的个数（）①用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设．否定“自然数a，b，c 中恰有一个奇数”时正确的反设为“自然数a，b，c中至少有两个奇数或都是偶数”；②在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；③在回归直线方程=﹣0.3x+10中，当变量x每增加一个单位时，变量平均增加0.3个单位；④抛物线y=x2过点（，2）的切线方程为2x﹣y﹣1=0．A．1 B．2 C．3 D．46．曲线y=sinx与x轴在区间[﹣π，2π]上所围成阴影部分的面积为（）A．6 B．4 C．2 D．07．7个人排成一列，其中甲、乙两人相邻且与丙不相邻的方法种数是（）A．1200 B．960 C．720 D．480（参考公式与数据：X2=．当X2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当X2＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当X2＜3.841时认为事件A与B无关．）A．有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”．9．有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为p，录用到能力中等的人的概率为q，则（p，q）=（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）10．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在（1，2）内任取两个实数x1，x2（x1≠x2），若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（28，+∞）B．[15，+∞）C．[28，+∞）D．（15，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．设复数z满足z+|z|i=3+9i（i为虚数单位），则z=．12．函数y=x2﹣4lnx 的单调递减区间是．13．已知（1+x+ax3）（x+）5展开式的各项系数和为96，则该展开式的常数项是．14．如图所示三角形数阵中，a ij为第i行第j个数，若a mn=2017，则实数对（m，n）为．15．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给8位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于“萌娃”Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位“萌娃”在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的“萌娃”须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有种．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知（﹣）n的展开式中，第三项的系数为144．（Ⅰ）求该展开式中所有偶数项的二项式系数之和；（Ⅱ）求该展开式的所有有理项．17．某商场举行抽奖活动，规则如下：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次抽奖都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球个数不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）在一次游戏中，求获奖的概率；（Ⅱ）在三次游戏中，记获奖次数为随机变量X，求X的分布列及期望．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足++…+=a n﹣1（n∈N*），求数列{nb n}的前n项和T n．19．已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+3．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在[﹣1，2]上的最值；（Ⅱ）若f（x）在（﹣，1）上是减函数，求a的取值范围．20．已知数列{a n}满足（a n+1﹣1）（a n﹣1）=（a n﹣a n+1），a1=2，若b n=．（Ⅰ）证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）令c n=，{c n}的前n项和为T n，用数学归纳法证明T n≥（n∈N*）．21．已知函数f（x）=（x﹣a）2lnx（a为常数）．（Ⅰ）若f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+2y﹣3=0垂直．（ⅰ）求实数a的值；（ⅱ）若a非正，比较f（x）与x（x﹣1）的大小；（Ⅱ）如果0＜a＜1，判断f（x）在（a，1）上是否有极值，若有极值是极大值还是极小值？若无极值，请说明理由．2015-2016学年山东省威海市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知复数z=1+i（i为虚数单位），则复数﹣z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接把复数z=1+i代入复数﹣z，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数﹣z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z=1+i，∴﹣z===．则复数﹣z在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，），位于第三象限．故选：C．2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=sinx（x∈R ）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=sinx（x∈R ）是周期函数．A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①【考点】演绎推理的基本方法．【分析】根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析①y=sin x（x∈R ）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=sin x（x∈R ）是周期函数后，即可得到正确的次序．【解答】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y=sin x（x∈R ）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=sin x（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选B3．已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.6826，则P（X＜2）=（）A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量X服从正态分布N（3，1），根据对称性，由P（2≤X≤4）的概率可求出P（X＜2）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，1），P（2≤X≤4）=0.6826，∴P（2≤X≤3）=P（2≤X≤4）=0.3413，∴P（X＜2）=0.5﹣P（2≤X≤3）=0.5﹣0.3413=0.1587．故选：B．4．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设A表示“第一次抛出的是奇数点”，B表示“第二次抛出的是奇数点”，求出P（A）=，P（AB）=，由此利用P（B|A）=，能求出在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率．【解答】解：设A表示“第一次抛出的是奇数点”，B表示“第二次抛出的是奇数点”，P（A）=，P（AB）==，P（B|A）===．∴在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为．故选：D．5．以下四个命题正确的个数（）①用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设．否定“自然数a，b，c 中恰有一个奇数”时正确的反设为“自然数a，b，c中至少有两个奇数或都是偶数”；②在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；③在回归直线方程=﹣0.3x+10中，当变量x每增加一个单位时，变量平均增加0.3个单位；④抛物线y=x2过点（，2）的切线方程为2x﹣y﹣1=0．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用反证法的反射，共轭复数在复平面的位置关系，回归直线方程两个变量的关系，抛物线过某点切线的求法，即可求得答案．【解答】解：对命题进行一一判断：①用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设．否定“自然数a，b，c 中恰有一个奇数”时正确的反设为“自然数a，b，c中至少有两个奇数或都是偶数”，故①正确；②在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，故②正确；③在回归直线方程=﹣0.3x+10中，当变量x每增加一个单位时，变量平均减少0.3个单位，故③错误；④抛物线y=x2过点（，2）的切线方程为2x﹣y﹣1=0或4x﹣y﹣4=0．取抛物线上一点（x0，y0），∵y′=2x，∴抛物线y=x2上一点（x0，y0）的切线方程为y﹣=2x0（x﹣x0），∵切线过点（，2），将点（，2）代入切线方程，∴﹣3x0+2=0，∴x0=1或x0=2，故抛物线y=x2过点（，2）的切线方程为2x﹣y﹣1=0或4x﹣y﹣4=0．故④错误．综上，①②正确，故选：B．6．曲线y=sinx与x轴在区间[﹣π，2π]上所围成阴影部分的面积为（）A．6 B．4 C．2 D．0【考点】正弦函数的图象．【分析】由正弦函数的对称性，结合积分的几何意义，即可求出曲线y=sinx与x轴在区间[﹣π，2π]上所围成阴影部分的面积．【解答】解：由正弦函数的对称性，结合积分的几何意义得，S=3sinxdx=3（﹣cosx）=﹣3（cosπ﹣cos0）=6．即曲线y=sinx与x轴在区间[﹣π，2π]上所围成阴影部分的面积为6．故选：A．7．7个人排成一列，其中甲、乙两人相邻且与丙不相邻的方法种数是（）A．1200 B．960 C．720 D．480【考点】计数原理的应用．【分析】本题采用捆绑法和插空法进行排列，由分步计数原理可得结论．【解答】解：将甲乙看作一个复合元素，和丙插入到剩下四人全排列所形成的5个空中的2个，故有A22A44A52=960，故选：B．（参考公式与数据：X2=．当X2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当X2＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当X2＜3.841时认为事件A与B无关．）A．有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”．【考点】独立性检验的应用．【分析】根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．【解答】解：由题意知本题所给的观测值，X2=≈7.8∵7.8＞6.635，∴这个结论有0.010的机会说错，即有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关．故选：A．9．有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为p，录用到能力中等的人的概率为q，则（p，q）=（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】利用列举法列出基本事件总数和该公司录用到能力最强的人包含的基本事件个数和该公司录用到能力中等的人包含的基本事件个数，由此能求出结果．【解答】解：设三人能力分别为强，中，弱，则三人参加面试的次序为：（强，中，弱），（强，弱，中），（中，强，弱），（中，弱，强），（弱，中，强），（弱，强，中），即基本事件总数n=6，按“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”的规定，该公司录用到能力最强的人包含的基本事件有：（中，强，弱），（中，弱，强），（弱，强，中），共三种情况，∴该公司录用到能力最强的人的概率p==．该公司录用到能力中等的人包含的基本事件有：（强，弱，中），（弱，中，强），共二种情况，∴该公司录用到能力中等的人的概率q=．故选：D．10．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在（1，2）内任取两个实数x1，x2（x1≠x2），若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（28，+∞）B．[15，+∞）C．[28，+∞）D．（15，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得x1+1 和x2+1在区间（2，3）内，将原不等式移项，可得＞0，即有函数y=f（x）﹣x在（2，3）内递增．求得函数y的导数，可得y′≥0在（2，3）恒成立，即a≥2x2+3x+1在（2，3）内恒成立，求出函数y=2x2+3x+1在[2，3]上的最大值即可．【解答】解：因实数x1，x2在区间（1，2）内，故x1+1 和x2+1在区间（2，3）内．不等式＞1恒成立，即为＞0，即有函数y=f（x）﹣x在（2，3）内递增．函数y=f（x）﹣x=aln（x+1）﹣x2﹣x的导数为y′=﹣2x﹣1，即有y′≥0在（2，3）恒成立．即a≥（2x+1）（x+1）在（2，3）内恒成立．由于二次函数y=2x2+3x+1在[2，3]上是单调增函数，故x=3时，y=2x2+3x+1 在[2，3]上取最大值为28，即有a≥28，故答案为[28，+∞）．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．设复数z满足z+|z|i=3+9i（i为虚数单位），则z=3+4i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设复数z=x+yi，x、y∈R，代入z+|z|i=3+9i中，利用复数相等列出方程组求出x、y的值．【解答】解：设复数z=x+yi，x、y∈R，代入z+|z|i=3+9i，得：x+yi+i=3+9i，由复数相等得，解得x=3，y=4；所以z=3+4i．故答案为：3+4i．12．函数y=x2﹣4lnx 的单调递减区间是（0，）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令y′＜0，在定义域内解出即可．【解答】解：（x＞0），令y′＜0，解得．∴函数y=x2﹣4lnx 的单调递减区间是．故答案为．13．已知（1+x+ax3）（x+）5展开式的各项系数和为96，则该展开式的常数项是15．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据（1+x+ax3）（x+）5展开式的各项系数和为96求得a=1，再根据它的展开式的通项公式求得它的常数项．【解答】解：∵（1+x+ax3）（x+）5的展开式中各项系数的和为（a+2）×25=96，∴a=1，（x+）5的通项为T r+1=，令5﹣2r=0，无整数解；令5﹣2r=﹣1，r=3；令5﹣2r=﹣3，r=4；故常数项为=15．故答案为：15．14．如图所示三角形数阵中，a ij为第i行第j个数，若a mn=2017，则实数对（m，n）为（45，41）．【考点】归纳推理．【分析】观察图象找出每行数字的规律，即可使用数列知识解出．【解答】解：观察图象可发现以下规律：（1）第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有3个数字，…故可归纳得出第i行有i个数字；（2）每一行的数字从左到右都是等差为2的等差数列；（3）每一行的第一个数字都比上一行的最后一个数字大1；（4）每一行的最后一个数字都是该行数的平方．∵442=1936＜2017，452=2025＞2017，∴2017是第45行的数字，设第45行第n个数字为a n，则a1=1937，d=2，∴a n=1937+2（n﹣1）=2n+1935．令a n=2n+1935=2017，解得n=41．∴2015是第45行第41个数字，故答案为（45，41）．15．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给8位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于“萌娃”Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位“萌娃”在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的“萌娃”须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有175种．【考点】计数原理的应用．【分析】分两类，第一类，Grace参与该项任务，Grace不参与该项任务，根据分类计数原理即可得到答案．【解答】解：分两类，第一类，Grace参与该项任务，从不包含Grace的7位“萌娃”选3位去近处，剩下的4位“萌娃”去远处，故有C73=35种，第二类，Grace不参与该项任务，从不包含Grace的7位“萌娃”选1位在大本营陪同，剩下的6位“萌娃”，平均分配到两处，有C63=20种，故有7×20=140种根据分类计数原理，不同的搜寻安排方案共有35+140=175．故答案为：175三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知（﹣）n的展开式中，第三项的系数为144．（Ⅰ）求该展开式中所有偶数项的二项式系数之和；（Ⅱ）求该展开式的所有有理项．【考点】二项式系数的性质．【分析】（Ⅰ）依题意，利用二项式的通项公式可求得n的值；（Ⅱ）只需令∈Z，r=0，3，6，9，从而可求得展开式中的有理项．【解答】解：（Ⅰ）（﹣）n的展开式的通项为T r+1=C n r（﹣2）r，（0≤r≤n，且r∈N）．由题意可知：第三项的系数为C n2（﹣2）2=144，即n（n﹣1）=72，解得n=9．∴该展开式中所有偶数项的二项式系数之和为28=256．（Ⅱ）∵（﹣）9的展开式的通项为T r+1=C9r（﹣2）r，（0≤r≤9，且r∈N）．要求该展开式中的有理项，只需令∈Z，∴r=0，3，6，9，∴展开式中的有理项为：T1=C90（﹣2）0x3=x3；T4=C93（﹣2）3x﹣1=﹣672x﹣1；T7=C96（﹣2）6x﹣5=﹣5376x﹣5；T10=C99（﹣2）9x﹣9=﹣512x﹣9．17．某商场举行抽奖活动，规则如下：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次抽奖都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球个数不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）在一次游戏中，求获奖的概率；（Ⅱ）在三次游戏中，记获奖次数为随机变量X，求X的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设在一次游戏中获奖为事件A，利用互斥事件概率计算公式能求出获奖的概率．（Ⅱ）由题意可知：一次游戏中获奖的概率为，三次游戏，相当于进行三次独立重复试验，X可能取的值为0，1，2，3，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）设在一次游戏中获奖为事件A，则P（A）==．…（Ⅱ）由题意可知：一次游戏中获奖的概率为，三次游戏，相当于进行三次独立重复试验，X可能取的值为0，1，2，3．…P（X=0）=（1﹣）3=，…P（X=1）==，…P（X=2）==，…P（X=3）=（）3=．…∴E（X）==．…18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足++…+=a n﹣1（n∈N*），求数列{nb n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质列出方程组，求出a1、d的值，代入等差数列的通项公式即可求出a n；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简已知的式子，令n取n﹣1代入化简得到另外一个式子，两个式子相减后求出b n，代入nb n化简，利用错位相减法和等比数列前n项和公式求出T n．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，…解得，…∴a n=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1 …（Ⅱ）由（I）得，，当n≥2时，，两式相减得，，则b n=2•3n（n≥2）…当n=1时满足上式，所以b n=2•3n（n∈N*），∴nb n=2n•3n（n∈N*），T n=2•31+4•32+6•33+…+2n•3n，∴3T n=2•32+4•33+6•34+…+2n•3n+1，…两式相减得，﹣2T n=2•31+2•32+2•33+…+2•3n﹣2n•3n+1=2（31+32+33+…+3n）﹣2n•3n+1=﹣2n•3n+1=（1﹣2n）•3n+1﹣3，…∴T n=．…19．已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+3．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在[﹣1，2]上的最值；（Ⅱ）若f（x）在（﹣，1）上是减函数，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x3+2x2﹣4x+3，∴f′（x）=3x2+4x﹣4，令f′（x）=0，得x=﹣2 或x=．∵﹣2∉[﹣1，2]，∴f（x）在[﹣1，2]上的最值只可能在f（﹣1），f（），f（2）取得，而f（﹣1）=8，f（）=，f（2）=11，∴f（x）max=f（2）=11，f（x）min=f（）=．（Ⅱ）f′（x）=（3x﹣a）（x+a），①当a＞0时，由f′（x）＜0，得﹣a＜x＜，所以f（x）在（﹣a，）上单调递减，则必有，∴a≥3，②当a＜0时，由f′（x）＜0，得＜x＜﹣a，所以f（x）在（，﹣a）上单调递减，必有，∴a≤﹣，③当a=0时，函数f（x）在R上是单调递增函数，不满足f（x）在（﹣，1）上是减函数，∴综上，所求a 的取值范围为（﹣∞，]∪[3，+∞）．20．已知数列{a n}满足（a n+1﹣1）（a n﹣1）=（a n﹣a n+1），a1=2，若b n=．（Ⅰ）证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）令c n=，{c n}的前n项和为T n，用数学归纳法证明T n≥（n∈N*）．【考点】数学归纳法；等差关系的确定．【分析】（Ⅰ）由（a n+1﹣1）（a n﹣1）=（a n﹣a n+1）得﹣=2，继而得到{b n}是首项为b1==1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由数学归纳法和分析法即可证明．【解答】解：（Ⅰ）由（a n+1﹣1）（a n﹣1）=（a n﹣a n+1）得﹣=2，即b n+1﹣b n=2，∴{b n}是首项为b1==1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，c n==，①当n=1时，则有T1=1有T1≥=1成立；②假设当n=k时，不等式成立，即T k≥成立，则当n=k+1时，T k+1=T k+c k+1=≥+，欲证+≥，只须证+1≥k+1，即证≥k，即证≥，即证1≥0，而此式成立故当n=k+1时，不等式也成立．故有T n≥（n∈N*）．21．已知函数f（x）=（x﹣a）2lnx（a为常数）．（Ⅰ）若f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+2y﹣3=0垂直．（ⅰ）求实数a的值；（ⅱ）若a非正，比较f（x）与x（x﹣1）的大小；（Ⅱ）如果0＜a＜1，判断f（x）在（a，1）上是否有极值，若有极值是极大值还是极小值？若无极值，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）（i）求出f（x）的导数，根据切线的斜率是f′（1）=﹣=1，解出a的值即可；（ii）求出f（x）的表达式，作差，得到x2lnx﹣x（x﹣1）=x（xlnx﹣x+1），令g（x）=xlnx ﹣x+1，根据函数的单调性求出g（x）的最小值g（1）=0，得到g（x）≥0恒成立，从而求出f（x）与x（x﹣1）的大小即可；（Ⅱ）求出f′（x）=（x﹣a）（2lnx+），令F（x）=2lnx+1﹣，求出F（x）的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可．【解答】解：（Ⅰ）（ⅰ）f（x）定义域是（0，+∞），f′（x）=（x﹣a）（2lnx+），∵直线2x+2y﹣3=0的斜率为：k=﹣1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率﹣=1，即f′（1）=（1﹣a）（2ln1+）=（1﹣a）2=1，∴a=0或a=2；（ⅱ）由（ⅰ）知，a=0，∴f（x）=x2lnx，∵x2lnx﹣x（x﹣1）=x（xlnx﹣x+1），∴令g（x）=xlnx﹣x+1，g′（x）=lnx，当x＞1时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，g（x）min=g（1）=0，∴g（x）≥0恒成立，即f（x）≥x（x﹣1）；（Ⅱ）f′（x）=（x﹣a）（2lnx+），令F（x）=2lnx+1﹣，F′（x）=＞0，∴F（x）在（a，1）上单调递增，又F（1）=1﹣a＞0，F（a）=2lna＜0，所以在（a，1）上必存在x0，使F（x0）=0，又x﹣a＞0，∴当x∈（a，x0），f′（x）＜0，x∈（x0，1），f′（x）＞0，∴f（x）在（a，x0）单调递减，在（x0，1）单调递增，∴x=x0是f（x）的极值点，且为极小值．2016年7月31日。
山东省威海市高二下学期数学期末考试试卷
山东省威海市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·河北模拟) 已知命题：“ ”的否定是“ ”；命题：“ ”的一个必要不充分条件是“ ”，则下列命题为真命题的是（）A .B .C .D .3. （2分）已知关于x的不等式2x2﹣2mx+m＜0的解集为A，其中m＞0，若集合A中恰好有两个整数，则实数m的取值范围是（）A . （，）B . （， ]C . （，）D . （， ]4. （2分）若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（）A . （﹣∞，﹣1）B . （﹣1，0）C . （0，1）D . （1，+∞）二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2018高三上·连云港期中) 已知集合A={1,3},B={1,2,m}，若 A B，则实数 m＝________．6. （1分）(2018·南京模拟) 设复数为虚数单位），若为纯虚数，则的值为________．7. （1分） (2019高二下·上海期末) 已知集合，，则 ________．8. （1分）复数（1+2i）2的共轭复数是________9. （1分） (2019高二下·上海期末) 不等式的解集为________．10. （1分） (2016高二上·弋阳期中) 设关于x的一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则a ﹣b=________．11. （1分）已知x，y∈R，且（x+y）+i=3x+（x﹣y）i，则x=________，y=________．12. （1分） (2017高二下·长春期末) 函数，则 ________.13. （1分） (2016高一上·南京期末) 设函数f（x）= ﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x 取值范围为________．14. （1分） (2015高三上·务川期中) 若（a﹣2i）i=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a+b=________．15. （1分）(2018·泉州模拟) 若二次函数的最小值为，则的取值范围为________．16. （1分） (2019高二下·徐汇月考) 计算：所得的结果为________三、解答题 (共5题；共40分)17. （5分） (2017高二下·微山期中) 设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．18. （5分） (2018高一上·大石桥期末) 已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．19. （5分） (2017高二下·曲周期末) 复数，，若是实数，求实数的值.20. （10分） (2016高二上·船营期中) 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？21. （15分） (2016高二上·辽宁期中) 解答题。
山东省威海市2013-2014学年高二数学下学期期末考试 理(含解析)新人教A版
山东省威海市2013-2014学年高二数学下学期期末考试 理（含解析）新人教A 版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．复数1z i=-等于（ ） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2【答案】C 【解析】 试题分析：()()()()i ii i i i i i z +=+=+-+-=--=2224111313. 考点：复数的四则运算法则.2．如果复数)2)(1(i bi ++是纯虚数，则biib ++132的值为（ ）A ．2B ．5C ．5D ．15 【答案】B 【解析】试题分析：由于()()()()i b b i bi 1221++-=++，因为复数为纯虚数，02=-∴b ，即2=b55521342134222==++=++i i .考点：复数的概念和复数的模. 3．已知函数1-=x y ，则它的导函数是（ ）A ．121/-=x y B ．)1(21/--=x x y C ．112/--=x x y D ．)1(21/---=x x y【答案】B 【解析】试题分析：1-=x u ，()()12112121--=-=='⋅'='x x x u u u y 考点：复合函数的导数. 4．=+⎰-dx e x x )(cos 0π（ ）A ．1e π-- B ．1eπ-+ C ．eπ-- D ．1eππ--【答案】A 【解析】 试题分析：()()()πππππππ--------=-+-=+=+=+⎰⎰⎰e ee x dx e xdx dx e x x x x1100||sin cos cos 0000 考点：微积分基本定理的应用.5．如图，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对 【答案】D 【解析】试题分析：由于BC AD //，AED ∆∴与EBG ∆相似；AFD ∆与CFG ∆相似；由于CD AB //，所以ABE ∆与EFD ∆相似，GFC ∆与GAB ∆相似，ABD ∆与CDB ∆相似，由相似三角形的传递性当AFD ∆与GAB ∆相似. 考点：相似三角形.6．曲线221x y -=经过伸缩变换T 得到曲线'2'21169x y -=，那么直线210x y -+=经过伸缩变换T 得到的直线方程为（ ）A ．''2360x y -+= B ．''4610x y -+= C ．''38120x y -+= D ．''3810x y -+= 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得直线012=+-y x 经过伸缩变换T 得到的直线方程为01324=+'-'y x ，整理得01283=+'-'y x考点：图象的伸缩变换.7．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ） A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π-【答案】A【解析】试题分析：方程两边同时乘以ρ得θρθρρsin 35cos 52-=，即y x y x 35522-=+，圆心坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-235,25，因此5475425=+=ρ，325235tan -=-=θ，因此极坐标⎪⎭⎫⎝⎛32,5π，与之等价的是 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--34,5π考点：极坐标的应用.8．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ） A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3πρθ=+ D ．4sin()3πρθ=- 【答案】A【解析】试题分析：由题意知θρρsin 42=，化简得y y x 422=+，()4222=-+∴y x ，其中一条切线方程为2=x ， 极坐标方程2cos =θρ考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化.9．设随即变量ξ服从正态分布)1,0(N ，p P =>)1(ξ，则)01(<<-ξP 等于 （ ） A ．p 21B ．p -1C ．p 21-D ．p -21【答案】D【解析】试题分析：正态曲线关于直线0=x 对称，()()p P P =-<=>11ξξ，因此()()112101<<-=<<-ξξP P ()p p -=-=212121. 考点：正态分布下的概率.10．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C B ,实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 （ ） A ．24种 B ．96种 C ．120种 D ．144种 【答案】B 【解析】试题分析：先安排程序A ，从第一步或最后一步选一个，有12A 种，把C B ,看成一个整体和其余三个程序编排，最后C B ,换位置，共有96224412=⋅⋅A A A 种. 考点：排列的应用11．某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是7.0 则在这段时间内吊灯能照明的概率是（ ）A ．343.0B ．833.0C ．973.0D ．029.1 【答案】C 【解析】试题分析：这段时间内吊灯不能照明的概率()()()027.07.017.017.01=-⋅-⋅-，因此这段时间内吊灯能照明的概率973.0027.01=-=P 考点：独立事件的概率.12．已知)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足()0)(/≤+x f x xf ，对任意正数b a ,，若b a <，则必有（ ）A ．)()(a bf b af ≤B ．)()(b af a bf ≤C ．)()(b f a af ≤D ．)()(a f b bf ≤ 【答案】A 【解析】试题分析：设()()x f x x h ⋅=，则()()()0≤+'='x f x f x x h ，因此函数()x h 在区间()+∞,0上是减函数，()()b bf a af ≤∴，已知)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足()0)(/≤+x f x xf因此()0<'x f 所以()x f y =是减函数，()()b f a f ≥<0，()()()()a bf b bf a af b af ≤≤≤∴ 当()0=x f 等号成立.考点：函数的单调性与导数第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13．函数y =的最大值是 ． 【答案】5 【解析】 试题分析：由于()()16522=-+-xx ，可设x x -=-=6cos ,5sin αα，则ααcos 4sin 3+=y()ϕα+=sin 5，因此最大值为5考点：辅助角公式的应用.14．由曲线2x y =，x y =，x y 3=所围成的图形面积为 ． 【答案】313 【解析】试题分析：直线x y =与曲线2x y =的交点为()()1,1,0,0；直线x y 3=与曲线2x y =的交点()()3,3,0,0，因此面积为()()313|3123|33313210210312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-⎰⎰x x x dx x x dx x x考点：定积分的应用. 15．二项式10)211(x -的展开式中含51x的项的系数是 ． 【答案】863- 【解析】试题分析：由于krr x C T ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+21101，因此51x 的系数为863215510-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C 考点：二项展开式的通项公式.16．已知函数[]2,2,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示过原点的曲线，且在1±=x 处的切线的倾斜角均为π43，有以下命题： ①)(x f 的解析式为[]2,2,4)(3-∈-=x x x x f ；②)(x f 的极值点有且只有一个； ③)(x f 的最大值与最小值之和等于零； 其中正确命题的序号为_ ． 【答案】①③ 【解析】试题分析：由于函数过原点因此0=c ，由于()x f y =在1±=x 处的切线的倾斜角均为π43， ()b ax x x f ++='232,()1231-=++='∴b a f ,()1231-=+-=-'b a f ,解得4,0-==b a所以()[]2,2,43-∈-=x x x x f ，()0432=-='x x f ，得332±=x ，极值点有2个，由于()[]2,2,43-∈-=x x x x f 是奇函数，因此最大值和最小值之和为零. 考点：函数的导数与切线方程.三、解答题（题型注释）17．设函数=)(x f lg(|3||7|)x x ++-a -． （1）当1=a 时，解关于x 的不等式0)(>x f ； （2）如果R x ∈∀，0)(>x f ，求a 的取值范围． 【答案】(1){}7,3|>-<x x x 或;(2)1<a 【解析】试题分析：(1)理解绝对值的几何意义，x 表示的是数轴的上点x 到原点的距离；(2)对x 分类讨论，分7,73,3≥<<--≤x x x 三部分进行讨论；(3)掌握一般不等式的解法：()()a x a x a a x -≤≥⇔>≥或01，()()a x a a a x ≤≤-⇔>≤02.（4）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立，（2）()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立.试题解析：解：（1）当1a =时，原不等式可变为|3||7|10x x ++->， 可得其解集为{|3,7}.x x x <->或 4分 （2）因|3||7|3(7)|10x x x x ++-≥+--=｜对任意x R ∈都成立． ∴lg(|3||7|)lg101x x ++-≥=对任何x R ∈都成立． ∵lg(|3||7|)x x a ++->解集为R ．∴1a < 8分 考点：（1）含绝对值不等式的解法；（2）恒成立的问题.18．设()n n n f n-⎪⎭⎫⎝⎛+=11，其中n 为正整数．（1）求)1(f ，)2(f ，)3(f 的值；（2）猜想满足不等式0)(<n f 的正整数n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】（1）()()()27173,212,11-===f f f ；（2）3≥n 【解析】试题分析：（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题；（2）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值0n 是多少；（3)由k n =时等式成立，推出1+=k n 时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写. 试题解析：解：（1）2717)3(,21)2(,1)1(-===f f f 3分 （2）猜想：0)11()(,3<-+=≥n n n f n n4分 证明：①当3=n 时，02717)3(<-=f 成立 5分 ②假设当k n =),3(*N n n ∈≥时猜想正确，即()011<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k k k f k∴k k k<⎪⎭⎫⎝⎛+11 由于)111()11()111()111(1111+++<++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++k k k k k k k k11)111(+<++=++<k k k k k k 8分 ∴1)111(1+<+++k k k ，即()0)1(11111<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++k k k f k 成立由①②可知，对0)11()(,3<-+=≥n nn f n n成立 10分 考点：数学归纳法及其应用.19．经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,3A ，倾斜角为α的直线l ，与曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （θ为参数）相交于C B ,两点．（1）写出直线l 的参数方程，并求当6πα=时弦BC 的长；（2）当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程； （3）当8=BC 时，求直线BC 的方程； （4）当α变化时，求弦BC 的中点的轨迹方程． 【答案】(1)33633721+=BC ;(2)01524=++y x ;(3)3=x 或01543=++y x （4）1645432322=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x【解析】试题分析：(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程；掌握常见的将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程;(2)解决直线和曲线的综合问题：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与曲线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∇：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.（4）根据题意设点根据点到直线的距离公式.试题解析：解：（1）l 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ααsin 23cos 3t y t x （t 为参数）． 1分曲线C 化为：2522=+y x ，将直线参数方程的y x ,代入，得0455)sin cos 2(32=-+-t t αα ∵055)sin cos 2(92>++=∆αα恒成立， 3分 ∴方程必有相异两实根21,t t ，且)sin cos 2(321αα+=+t t ，45521-=t t ． ∴55)sin cos 2(94)(22122121++=--=-=ααt t t t t t BC∴当6πα=时，33633721+=BC ． 5分 （2）由A 为BC 中点，可知0)sin cos 2(321=+=+ααt t ， ∴2tan -=α，故直线BC 的方程为01524=++y x ． 7分 （3）∵8=BC ，得855)sin cos 2(92=++=ααBC∴0cos 3cos sin 42=+ααα, ∴0cos =α或43tan -=α 故直线BC 的方程为3=x 或01543=++y x 9分（4）∵BC 中点对应参数221t t t +=)sin cos 2(23αα+= ∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=ααααααsin )sin cos 2(2323cos )sin cos 2(233y x （ 参数α[)π,0∈ ），消去α，得弦BC 的中点的轨迹方程为1645)43()23(22=+++y x ；轨迹是以)43,23(--为圆心，453为半径的圆． 10分 考点：（1）求弦长问题；（2）求直线方程；（3）中点弦的轨迹方程.20．设在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片，标号分别记为y x ,，设随机变量x y x -+-=2ξ． （1）写出y x ,的可能取值，并求随机变量ξ的最大值； （2）求事件“ξ取得最大值”的概率； （3）求ξ的分布列和数学期望与方差．【答案】（1）y x ,的可能取值为1,2,3；ξ的最大值3；（2）92=P ；（3）()914=ξE ，()98=ξD 【解析】试题分析：(1)求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：解：（1）y x ,的可能取值都为1，2，3．2,12≤-≤-x y x ，∴3≤ξ，∴当3,1==y x 或1,3==y x 时，ξ取最大值3． 3分（2）有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数933=⨯=n ， ∴92)3(==ξP 4分 （3）ξ的所有取值为0，1，2，3，当0=ξ时，只有2,2==y x 这1种情况，∴91)0(==ξP ； 当1=ξ时，只有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x ，共4种情况，∴94)1(==ξP ； 当2=ξ时，只有2,32,1====y x y x 或这2种情况，∴92)2(==ξP ； 当3=ξ时，92)3(==ξP ； 7分 ∴ 随机变量ξ的分布列为：∴ 数学期望914923942921910=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 方差98)9143(92)9142(94)9141(92)9140(912222=-+-+-+-=ξD 9分 考点：求离散型随机变量的分布列、数学期望、方差. 21．如图，已知⊙1O 与⊙2O 外切于点P ，AB 是两圆的外公切线，A ，B 为切点，AB 与21O O 的延长线相交于点C ，延长AP 交⊙2O 于 点D ，点E 在AD 延长线上．（1）求证：ABP ∆是直角三角形；（2）若AE AP AC AB ⋅=⋅，试判断AC 与EC 能否一定垂直？并说明理由．（3）在（2）的条件下，若4=AP ，49=PD ，求AC EC 的值．【答案】(1)证明略；（2）EC AC ⊥；（3）43=AC EC 【解析】试题分析：（1）从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角；（2）判断三角形相似：一是平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；二是如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；三是如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似；四是如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；五是对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角；（3）切割线定理：切割线定理，是圆幂定理的一种，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.试题解析：解：（1）证明：过点P 作两圆公切线PN 交AB 于N ，由切线长定理得 NB NA NP ==，∴PAB ∆为直角三角形 3分（2）EC AC ⊥证明：∵AE AP AC AB ⋅=⋅，∴ACAE AP AB =，又EAC PAB ∠=∠， ∴PAB ∆∽CAE ∆ ∴,900=∠=∠APB ECA 即EC AC ⊥． 6分（3）由切割线定理，AD AP AB ⋅=2，∴,3,5==PB AB AC EC PA PB :4:3:==∴43=AC EC ． 9分 考点：（1）切线长定理；（2）相似三角形的应用；（3）切割线定理的应用.22．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（1）求b a ,的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式02)(2≥+c x f 恒成立，求c 的取值范围．【答案】(1)3,12-==b a(2)()x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞（3）23≥c 或1-≤c 【解析】试题分析：(1)利用函数的极值与导数的关系；(2)解决类似的问题时，函数在极值点处的导数为零，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数()x f y =在区间[]b a ,内使()0='x f 的点，再计算函数()x f y =在区间内所有使()0='x f 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(3)恒成立的问题关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最值问题.(4)若可导函数()x f 在指定的区间D 上单调递增（减），求参数问题，可转化为()0≥'x f ()()0≤'x f 或恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.试题解析：解：（1）)4ln 4()(3/b a x a x x f ++=，0)1(='f ，∴04=+b a ，又c f --=3)1(，∴3,12-==b a ； 5分（2）x x x f ln 48)(3/=（)0>x∴由0)(/=x f 得1=x ，当10<<x 时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减；当1>x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；∴)(x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞ 9分由（2）可知，1=x 时，)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(，依题意，只需0232≥+--c c ，解得23≥c 或1-≤c 10分 考点：（1）函数的导数与极值；（2）函数的导数与单调性；（3）函数恒成立的问题.。
2020-2021学年山东省青岛市高二(下)期末考试数学试卷人教A版(2019)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯202-2021学年山东省高二（下）期末考试数学试卷一、选择题1. 已知集合A，B，C满足：A∪B=B，B∩C=B，则下列关系一定正确的是( )A.A∩C=AB.A∩B=BC.A∪B=CD.A∪C=B2. “a>2”是“函数f(x)=a x+log a x(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递增”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件3. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S5=S2+a11，且a1=1，则S8=( )A.42B.56C.64D.824. 已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )A.f(x)=ln|x|2+cos x B.f(x)=2−ln|x|sin xC.f(x)=cos x⋅ln|x|D.f(x)=sin x⋅ln|x|5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lg E1E2，其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2).已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10−10.16. 函数f(x)=x3−2021x+1图象的对称中心为（）A.(0,0)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,1)7. 已知a=2−12，b=log1225，c=log283，则( )A.c<b<aB.a<c<bC.a<b<cD.b<a<c8. 已知函数f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，则曲线y=f(x)上的点到直线y=−2x+1的最小距离为（）A.1B.2√55C.3√55D.4√55二、多选题已知随机变量X∼N(3,22)，Y∼B(10,0.6)，则（）附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545.A.D(X)=2B.E(Y)=6C.P(X<5)=0.84135D.D(Y)=2.5设全集U=R，集合A={y|y=x−2+2}，集合B={x|x2−2x−3<0,x∈R}，则( )A.A∩B=(2,3)B.A∪B=[2,+∞)C.A∩(∁R B)=[3,+∞)D.A∪(∁R B)=R已知数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=3n，n∈N∗，则下列说法正确的是（）A.a6=8 B.{a2n}是等差数列C.S20=300D.a2n−a2n−1=3已知函数f(x)=e x−cos2x，则下列结论正确的是（）A.f(x)在(0,π2)上单调递增 B.f(x)在(π2,π)上单调递减C.∀x0≥0，f(x0)≥0D.∃x0<0，f(x0)<0三、填空题(√x−x2)4展开式中x3的系数为________.已知函数f(x)=−x2+ax+1−ln x，若f(x)在(0,12)上是减函数，则实数a的最大值为________.给出一个满足以下条件的函数f(x)=________.①f(x)的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0,+∞)不是单调函数；④f(x)有无数个零点．O为平面直角坐标系xOy的坐标原点，点W0(0,2)在x轴正半轴上依次取OW0中点W1，OW中点W2，OW2中点W3，⋯，OW n中点W n+1，⋯，记|OW|=a n，n∈N∗．则(1)数列{a n}的通项公式a n=________；(2)记c n=n2a n，数列{c n}的最大值为________.四、解答题在①a n+1>a n，a2a9=51，a4+a7=22；②S5=25a1，a2=3；③S n=n2三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且________，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．阿根廷球员马拉多纳曾经是上个世纪最伟大的足球运动员之一，其精湛的足球技术在几十年当中始终无人超越．科学家通过电脑计算发现：马拉多纳在高速运动、高强度对抗、视角受限的情况下，传球和助攻有高达90%与电脑计算的最佳路线一样！为纪念“球王”马拉多纳，某地区举行了系列足球运动推广活动．(1)受推广活动的影响，该地区球迷观看足球联赛的热情持续高涨，据统计相关轮次观看联赛的球迷人数y（单位：人）如下表：现建立该地区观看球赛的人数y与轮次x的线性回归模型：ŷ=b测第几轮次该地区观看球赛的人数y超过10000人？(2)为了参加该地区举行的“花式足球大赛”，某球队需要从甲、乙所在的6名运动员中选三名队员参赛，求在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率．附：回归方程ŷ=b̂x+a中斜率和截距的最小二乘估计公式和参考数据：b̂=∑x ini=1y i−nx¯⋅y¯∑x i2ni=1−nx¯2=∑(ni=1x i−x¯)(y i−y¯)∑(ni=1x i−x¯)2，a=y¯−b̂x¯，∑x ini=1y i=103000．已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+2=4(a n+1−a n)，a1=1，a2=4，n∈N∗．(1)证明：数列{a n+1−2a n}为等比数列；(2)记b n=a n2n，证明数列{b n}为等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．已知函数f(x)=ax33−x22，a≥0．(1)若a=1，求函数f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值；(2)求函数f(x)的极值点．为治疗病毒Y引发的疾病，某医药公司研发了一种新药W，为了解W的药效，进行“双盲”对比试验，统计得到如下数据列联表：(1)依据α=0.001的独立性检验，能否认为使用药W与治愈病毒Y引发的疾病有关联？(2)假设该药的治愈率为80%，该公司生产了一批该药共100份赠予某医院，该医院对于赠药有这样的接受规定：随机选择4份该药给4名患者试用，如果治愈患者数量少于3则拒绝接受整批药物．求该批药物被拒绝的概率；(3)已知该地区某医院收治的2k(k≥3，k∈N∗)名病毒Y感染者使用该药W治疗，需要通过被治疗者血液样本检测后确定是否治愈，若样本为阴性说明已经治愈，若样本为阳性说明未治愈．如果将样本混合后检测为阴性则说明每份样本为阴性，若检测为阳性则说明其中至少一份样本为阳性，样本之间是否呈阳性相互独立．假设该药治愈的概率p=0.91．现将2k份样本均分成两组进行检测，若任何一组为阳性则对该组每份逐一检测．当k=10时，预测检测次数是否小于15次？，n=a+b+c+d．附：参考公式及数据：①χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)②0.91已知函数f(x)=e x−a[ln(1+x)+ln a+1](a>0)．(1)当a=1时，证明：f(x)≥0．(2)若f(x)有且仅有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围，并证明x1x2<0．参考答案与试题解析202-2021学年山东省青岛市高二（下）期末考试数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】分析题意，对照选项—一验证各选项的正确性，具体分析选项可得答案．【解答】解：∵A∩B=B，∴A⊆B，∵B∩C=B，∴B⊆C，∴A⊆B⊆C，A，A∩C=A，故A正确；B，A∩B=A，故B错误；C，A∪B=B，故C错误；D，A∪C=C，故D错误．故选A．2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】当a>1时，函数f(x)单调递增．即可判断出．【解答】解：当a>2时，可以得出函数f(x)在(0,+∞)上单调递增．由函数f(x)=a x+log a x(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递增，可以得出a>1，无法得出a>2，∴ “a>2”是“函数f(x)=a x+logax(a>0，a≠1)在(0,+∞)上单调递增”的充分非必要条件．故选A．3. 【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S5=S2+a11，a1=1，∴5+5×42d=2+d+1+10d，解得：d=2，则S8=8+8×72×2=64．故选C．4.【答案】D【考点】函数的图象函数奇偶性的判断【解析】根据题意，依次分析选项中函数是否符合函数的图象，综合即可得答案．【解答】解：A，f(x)=ln|x|2+cos x，其定义域为x≠0，f(−x)=ln|−x|2+cos(−x)=ln|x|2+cos x=f(x)，不符合题意，排除A；B，f(x)=2−ln|x|sin x，其定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，不符合题意，排除B；C，f(x)=cos x⋅ln|x|，其定义域为x≠0，f(−x)=cos(−x)⋅ln|−x|=f(x)，不符合题意，排除C；D，f(x)=sin x⋅ln|x|，其定义域为x≠0，f(−x)=sin(−x)⋅ln|−x|=−sin x⋅ln|x|=−f(x)，符合题意．故选D．5.【答案】A【考点】对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，太阳的亮度为E1，天狼星的亮度为E2，所以m2−m1=52lg E1E2，且m2=−1.45，m1=−26.7，所以lg E1E2=10.1,即E1E2=1010.1，所以太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.故选A.6.【答案】C【考点】函数的对称性【解析】根据函数对称性的性质建立方程进行求解即可．【解答】解：设对称中心的坐标为(a,b)，则有2b=f(a+x)+f(a−x)对任意x均成立，代入函数解析式得，2b=(a+x)3−2021(a+x)+1+(a−x)3−2021(a−x)+1对任意x均成立，解得a=0，b=1，即对称中为(0,1)．故选C．7.【答案】C【考点】对数值大小的比较指数式、对数式的综合比较【解析】由已知结合对数函数的单调性即可比较大小．【解答】解：因为a=2−12=√22，b=log1225=log252，c=log283>log252=b>1，则a<b<c．故选C．8.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】由偶函数的定义，可得f(−x)=f(x)，即有x>0时，f(x)=ln x−3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：由f(x)为偶函数，可得f(−x)=f(x)，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，即有x>0时，f(x)=ln x−3x，则f′(x)=1x−3，可得f(1)=ln1−3=−3，f′(1)=1−3=−2，则曲线y=f(x)在点(1,−3)处的切线方程为：y−(−3)=−2(x−1)，即为2x+y+1=0，则曲线y=f(x)上的点到直线y=−2x+1的最小距离为：√22+12=2√55．故选B．二、多选题【答案】B,C【考点】正态分布的密度曲线【解析】根据对称性，由题意可求出答案．【解答】解：已知随机变量X∼N(3,22)，Y∼B(10,0.6)，∴D(X)=3，E(Y)=10×0.6=6，P(1<x<5)=0.6827，∴D(Y)=6×0.4=2.4，P(x<5)=0.5+12×0.6827=0.84135.故选BC．【答案】A,C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可以求出集合A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．【解答】解：由题意得，A={y|y>2}，B={x|−1<x<3}，∴A∩B=(2,3)，A∪B=(−1,+∞)，∁R B={x|x≤−1或x≥3}，∴A∩(∁R B)=[3,+∞)，A∪(∁R B)=(−∞,−1)∪(2,+∞)，故AC正确，BD错误．故选AC．【答案】A,B,C【考点】数列递推式等差数列数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵a1=1，a1+a2=3，∴a2=2，由题意得，a n+a n+1=3n，①则n≥2时，a n−1+a n=3(n−1)，②①−②，得a n+1−a n−1=3，则a2(n+1)−a2n=3.∴数列{a2n}是以2为首项，3为公差的等差数列，∴a2n=2+3(n−1)=3n−1，∴a6=8.同理可得，数列{a2n−1}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴a2n−1=1+3(n−1)=3n−2，∴S20=2+292×10+1+282×10=155+145=300，∵a2n=3n−1，a2n−1=3n−2，∴a2n−a2n−1=1.故选ABC.【答案】A,C,D【考点】利用导数研究函数的单调性函数恒成立问题【解析】通过对函数求导来解决单调性问题，判断单调区间。
2019-2020学年山东省威海市新高考高二数学下学期期末统考试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的单调减区间是( )A ．B ．C ．D ．2．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-83．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是( ) A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（1，5）5．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）A ．221x y x =--B ．2sin y x x =C ．ln x y x=D ．()22xy x x e -=6．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ） A ．1055010C C ⋅B ．10550102C C ⋅C ．105250102C C A ⋅⋅ D ．55250452C C A ⋅⋅7．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球数的标准差为0.3，下列说法中，正确的个数为（ ） ①甲队的进球技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定； ③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏. A ．1B ．2C ．3D ．48．在△ABC 中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC 的长为（ ） A ．19B ．13C ．3D ．79．已知0a ≥，函数()()22xf x x ax e =-，若()f x 在[]1,1-上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，以O 为圆心，12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P ，且直线OP 的斜率为3，则椭圆的离心率为A ．2B ．31- C ．3 D ．31-11．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中a 、b ，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为 A ．16B ．112C ．124D ．13212．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是( )A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题13．设()f x是()0,∞+上的单调函数，且对任意(0,)x∈+∞，都有[]2()log11f f x x-=，若x是方程()()8f x f x'-=的一个解，且()*(2,1),x a a a N∈--∈，则a的值为_____．14．已知正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M EFGH-的体积为__________.15．欧拉在1748年给出的著名公式cos sinie iθθθ=+(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中,底数e＝2.71828…，根据欧拉公式cos sinie iθθθ=+，任何一个复数()cos sinz r iθθ=+，都可以表示成iz reθ=的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数32122,i iz e z eππ==，则复数12zzz=在复平面内对应的点在第________象限．16．已知双曲线22221(,0)x ya ba b-=>的左顶点A和右焦点F到一条渐近线的距离之比为1:2，则该双曲线的渐近线方程为_______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
山东省威海市高二下学期数学期末考试试卷
山东省威海市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高三上·上虞期末) 设全集U=R，已知A={x|x＜0或x≥3}，B={x|x≥﹣2}，则A∩B的集合为（）A . [﹣2，3]B . [﹣2，0）C . [﹣2，0）∪[3，+∞）D . [3，+∞）2. （2分） (2018高一上·安庆期中) 函数的定义域是（）A .B .C .D .3. （2分）如果复数是实数，则实数（）A .B .C .D .4. （2分）已知实系数一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的两个实根为x1,x2 ，且0<x1<1,x2>1 ，则的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）(2016·陕西模拟) 曲线y= 在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A .B . 3e2C . 6e2D . 9e26. （2分）用反证法证明命题“若abc=0，则a，b，c中至少有一个为0”时，假设正确的是（）A . 假设a，b，c中只有一个为0B . 假设a，b，c都不为0C . 假设a，b，c都为0D . 假设a，b，c不都为07. （2分）(2020·淮南模拟) 已知的展开式中所有项的系数和等于，则展开式中项的系数的最大值是（）A .B .C . 7D . 708. （2分）已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，当时，f(x)=-x．若关于x的方程f(x)=kx-k+1（且）在区间[-3,1]内有四个不同的实根，则k的取值范围是（）A . (0,1)B .C .D .9. （2分）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（）A . 168B . 96C . 72D . 14410. （2分）已知集合M={x∈N|8﹣x∈N}，则M中元素的个数是（）A . 10B . 9C . 8D . 无数个二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）n∈N* ， +3 +…+（2n+1） =________．12. （1分） (2015高三上·安庆期末) 已知函数f（x）=ax﹣lnx，g（x）=ex﹣ax，其中a为正实数，若f （x）在（1，+∞）上无最小值，且g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数，则实数a的取值范围为________．13. （1分）已知函数f（x）= ，则f（f（10））的值为________ ．14. （1分）(2013·重庆理) 已知复数z= （i是虚数单位），则|z|=________．15. （1分）(2017·青岛模拟) 若函数f（x）对定义域内的任意x1 ， x2 ，当f（x1）=f（x2）时，总有x1=x2 ，则称函数f（x）为单纯函数，例如函数f（x）=x是单纯函数，但函数f（x）=x2不是单纯函数．若函数为单纯函数，则实数m的取值范围是________．16. （1分）已知函数f（x）= ，若方程f（x）﹣x=a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共65分)17. （15分） (2017高二下·南阳期末) 某兴趣小组有9名学生．若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是．（1）该小组中男女学生各多少人？（2） 9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）（3） 9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）18. （10分）已知函数f（x）=x2+2x+2a﹣a2 ．（1）当a= 时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．19. （15分） (2018高二下·河南期中) 已知的展开式中各项的二项式系数之和为 .（1）求的值；（2）求的展开式中项的系数；（3）求展开式中的常数项.20. （15分）(2020·新沂模拟) 数列，，满足：，，．（1）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列；（2）若数列，都是等差数列，求证：数列从第二项起为等差数列；（3）若数列是等差数列，试判断当时，数列是否成等差数列？证明你的结论．21. （10分） (2020高二上·黄陵期末) 已知函数，其中为自然对数的底数．（1）求函数的极值；（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共65分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、第11 页共11 页。
山东省威海市2022届新高考高二数学下学期期末统考试题
提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<= ( )A ．0.84B ．0.68C ．0.32D ．0.162．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45B ．55C ．120D ．1653．已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,5B ．[]2,4C ．(,1][1,)-∞-+∞D ．(],4-∞4．执行如图所示的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．35．设抛物线26y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，垂足为A ，如果APF 为正三角形，那么PF 等于（ ） A ．43B ．63C ．6D ．126．利用数学归纳法证明“1+a+a 2+…+a n+1=，（a ≠1，n N ）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（ ） A ．1B ．1+aC ．1+a+a 2D ．1+a+a 2+a 37．六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（ ） A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种8．已知随机变量X ~N(2,1)，则P(01)X <<=参考数据：若X ~N(,),P()0.6826X μσμσμσ-<<+=，P(22)0.9544,Xμσμσ-<<+=P(33)0.9974Xμαμα-<<+=A．0.0148 B．0.1359 C．0.1574 D．0.3148.9．已知二项式21naxx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中的常数项为327nC，则a=（）A．1B．2C．3D．410．如图，在长方体1111ABCD A B C D-中，若1AB BC==，12BB=，则异面直线1A B和1AD所成角的余弦值为（）A．1010B．35C．22D．4511．已知函数()(12),11log,13xaa xf xx x⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当12x x≠时，()()1212f x f xx x-<-，则a的取值范围是() A．10,3⎛⎤⎥⎝⎦B．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．8(2)x-展开式中不含4x项的系数的和为A．1-B．0C．1D．2二、填空题：本题共4小题13．一个袋中有形状、大小完全相同的100个小球，其中(292)n n≤≤个红球，其余为白球.从中一次性任取10个小球，将“恰好含有2个红球”的概率记为()f n，则当n=__________时，()f n取得最大值．14．在长方体1111ABCD A B C D-中，4AB BC==，12AA=，则直线1BC与平面11BB D D所成角的正弦值为__________．15．命题“2,3210x R x x∀∈-+>”的否定是__________.16．已知非零向量,a b满足3a b=，1cos,2a b<>=，且()a ta b⊥-，则实数t的值为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
山东省威海市高二下学期数学期末考试试卷
山东省威海市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高三上·四川月考) 已知集合 ,则 =（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·南宁月考) 已知是虚数单位，则复数（）A .B .C .D .3. （2分）椭圆的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，弦AB过F1 ，若△ABF2的内切圆周长为4，A、B两点的坐标分别为（x1 ， y1）和（x2 ， y2），则|y2﹣y1|的值为（）A .B .C .D .4. （2分）(2019·哈尔滨模拟) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）正视图侧视图俯视图A .B .C .D .5. （2分）(2017·诸城模拟) 二项式（x﹣）6的展开式中x﹣2的系数为（）A . 6B . 15C . 20D . 286. （2分）“是真命题”是“为假命题”的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）已知数列的前n项和，则的值为（）A . 80B . 40C . 20D . 108. （2分）(2018·荆州模拟) 实数，满足约束条件，则的最大值是（）A . 0B . -2C . 2D . 49. （2分） (2017高一下·株洲期中) 已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是，则函数g（x）=asinx+cosx的最大值是（）A .B .C .D .10. （2分）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）A . y=x+B . y=cosx+ （0＜x＜）C . y=D . y=二、填空题 (共7题；共8分)11. （1分） (2018高二上·万州月考) 如图，在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为________．12. （1分） (2019高三上·郑州期中) 设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为________．13. （2分）盒中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中随机摸出3个球，记摸到黑球的个数为X，则P（X=2）=________，EX=________．14. （1分） (2017高三上·浦东期中) 在一个圆周上有10个点，任取3个点作为顶点作三角形，一共可以作________个三角形（用数字作答）．15. （1分） (2016高二上·浦东期中) 向量 =（4，﹣3），则与同向的单位向量 =________．16. （1分） (2019高一上·琼海期中) 已知定义在R上的偶函数部分图象如图所示,那么不等式的解集为________ .17. （1分）在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．三、解答题 (共5题；共45分)18. （10分） (2019高二下·哈尔滨月考) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.19. （5分）(2017·盘山模拟) 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=60°，BC=AF=2AD=4DE=4．（Ⅰ）请在图中作出平面α，使得DE⊂α，且BF∥α，并说明理由；（Ⅱ）求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．20. （10分）(2016·江苏) 已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2,b= .①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．21. （10分） (2019高三上·宁波期末) 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于 .（1）求证：；（2）设，当时，求的面积的最小值.22. （10分） (2018高二下·中山月考) 已知函数，数列满足，．（1）求；（2）猜想数列的通项，并用数学归纳法予以证明．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共45分)18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
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山东省威海市2013-2014学年高二数学下学期期末考试 理（含解析）新人教A 版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．复数1z i=-等于（ ） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2【答案】C 【解析】 试题分析：()()()()i ii i i i i i z +=+=+-+-=--=2224111313. 考点：复数的四则运算法则.2．如果复数)2)(1(i bi ++是纯虚数，则biib ++132的值为（ ）A ．2B ．5C ．5D ．15 【答案】B 【解析】试题分析：由于()()()()i b b i bi 1221++-=++，因为复数为纯虚数，02=-∴b ，即2=b 55521342134222==++=++i i .考点：复数的概念和复数的模. 3．已知函数1-=x y ，则它的导函数是（ ）A ．121/-=x y B ．)1(21/--=x x y C ．112/--=x x y D ．)1(21/---=x x y【答案】B 【解析】试题分析：1-=x u ，()()12112121--=-=='⋅'='x x x u u u y 考点：复合函数的导数. 4．=+⎰-dx e x x )(cos 0π（ ）A ．1e π--B ．1e π-+C ．e π--D ．1e ππ-- 【答案】A 【解析】 试题分析：()()()πππππππ--------=-+-=+=+=+⎰⎰⎰e e ex dx e xdx dx e x x x x1100||sin cos cos 000考点：微积分基本定理的应用.5．如图，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对 【答案】D 【解析】试题分析：由于BC AD //，AED ∆∴与EBG ∆相似；AFD ∆与CFG ∆相似；由于CD AB //，所以ABE ∆与EFD ∆相似，GFC ∆与GAB ∆相似，ABD ∆与CDB ∆相似，由相似三角形的传递性当AFD ∆与GAB ∆相似. 考点：相似三角形.6．曲线221x y -=经过伸缩变换T 得到曲线'2'21169x y -=，那么直线210x y -+=经过伸缩变换T 得到的直线方程为（ ）A ．''2360x y -+= B ．''4610x y -+= C ．''38120x y -+= D ．''3810x y -+= 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得直线012=+-y x 经过伸缩变换T 得到的直线方程为01324=+'-'y x ，整理得01283=+'-'y x考点：图象的伸缩变换.7．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ） A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π-【答案】A【解析】试题分析：方程两边同时乘以ρ得θρθρρsin 35cos 52-=，即y x y x 35522-=+，圆心坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-235,25，因此5475425=+=ρ，325235tan -=-=θ，因此极坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛32,5π，与之等价的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--34,5π考点：极坐标的应用.8．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ） A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3πρθ=+ D ．4sin()3πρθ=- 【答案】A【解析】试题分析：由题意知θρρsin 42=，化简得y y x 422=+，()4222=-+∴y x ，其中一条切线方程为2=x ， 极坐标方程2cos =θρ考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化.9．设随即变量ξ服从正态分布)1,0(N ，p P =>)1(ξ，则)01(<<-ξP 等于 （ ） A ．p 21 B ．p -1 C ．p 21- D ．p -21【答案】D【解析】试题分析：正态曲线关于直线0=x 对称，()()p P P =-<=>11ξξ，因此()()112101<<-=<<-ξξP P ()p p -=-=212121. 考点：正态分布下的概率.10．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C B ,实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 （ ） A ．24种 B ．96种 C ．120种 D ．144种 【答案】B 【解析】试题分析：先安排程序A ，从第一步或最后一步选一个，有12A 种，把C B ,看成一个整体和其余三个程序编排，最后C B ,换位置，共有96224412=⋅⋅A A A 种.考点：排列的应用 11．某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是7.0 则在这段时间内吊灯能照明的概率是（ ）A ．343.0B ．833.0C ．973.0D ．029.1 【答案】C 【解析】试题分析：这段时间内吊灯不能照明的概率()()()027.07.017.017.01=-⋅-⋅-，因此这段时间内吊灯能照明的概率973.0027.01=-=P 考点：独立事件的概率.12．已知)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足()0)(/≤+x f x xf ，对任意正数b a ,，若b a <，则必有（ ）A ．)()(a bf b af ≤B ．)()(b af a bf ≤C ．)()(b f a af ≤D ．)()(a f b bf ≤ 【答案】A 【解析】试题分析：设()()x f x x h ⋅=，则()()()0≤+'='x f x f x x h ，因此函数()x h 在区间()+∞,0上是减函数，()()b bf a af ≤∴，已知)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足()0)(/≤+x f x xf因此()0<'x f 所以()x f y =是减函数，()()b f a f ≥<0，()()()()a bf b bf a af b af ≤≤≤∴ 当()0=x f 等号成立.考点：函数的单调性与导数第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13．函数y =的最大值是 ． 【答案】5 【解析】 试题分析：由于()()16522=-+-x x ，可设x x -=-=6c o s ,5s i nαα，则ααc o s 4s i n 3+=y()ϕα+=sin 5，因此最大值为5考点：辅助角公式的应用.14．由曲线2x y =，x y =，x y 3=所围成的图形面积为 ． 【答案】313【解析】试题分析：直线x y =与曲线2x y =的交点为()()1,1,0,0；直线x y 3=与曲线2x y =的交点()()3,3,0,0，因此面积为()()313|3123|33313210210312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-⎰⎰x x x dx x x dx x x考点：定积分的应用. 15．二项式10)211(x -的展开式中含51x的项的系数是 ． 【答案】863- 【解析】试题分析：由于krr x C T ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+21101，因此51x 的系数为863215510-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C 考点：二项展开式的通项公式.16．已知函数[]2,2,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示过原点的曲线，且在1±=x 处的切线的倾斜角均为π43，有以下命题： ①)(x f 的解析式为[]2,2,4)(3-∈-=x x x x f ；②)(x f 的极值点有且只有一个； ③)(x f 的最大值与最小值之和等于零； 其中正确命题的序号为_ ． 【答案】①③ 【解析】试题分析：由于函数过原点因此0=c ，由于()x f y =在1±=x 处的切线的倾斜角均为π43， ()b ax x x f ++='232,()1231-=++='∴b a f ,()1231-=+-=-'b a f ,解得4,0-==b a所以()[]2,2,43-∈-=x x x x f ，()0432=-='x x f ，得332±=x ，极值点有2个，由于()[]2,2,43-∈-=x x x x f 是奇函数，因此最大值和最小值之和为零. 考点：函数的导数与切线方程.三、解答题（题型注释）17．设函数=)(x f lg(|3||7|)x x ++-a -． （1）当1=a 时，解关于x 的不等式0)(>x f ； （2）如果R x ∈∀，0)(>x f ，求a 的取值范围． 【答案】(1){}7,3|>-<x x x 或;(2)1<a 【解析】试题分析：(1)理解绝对值的几何意义，x 表示的是数轴的上点x 到原点的距离；(2)对x 分类讨论，分7,73,3≥<<--≤x x x 三部分进行讨论；(3)掌握一般不等式的解法：()()a x a x a a x -≤≥⇔>≥或01，()()a x a a a x ≤≤-⇔>≤02.（4）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立，（2）()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立.试题解析：解：（1）当1a =时，原不等式可变为|3||7|10x x ++->， 可得其解集为{|3,7}.x x x <->或 4分（2）因|3||7|3(7)|10x x x x ++-≥+--=｜对任意x R ∈都成立． ∴lg(|3||7|)lg101x x ++-≥=对任何x R ∈都成立． ∵lg(|3||7|)x x a ++->解集为R ．∴1a < 8分 考点：（1）含绝对值不等式的解法；（2）恒成立的问题.18．设()n n n f n-⎪⎭⎫⎝⎛+=11，其中n 为正整数．（1）求)1(f ，)2(f ，)3(f 的值；（2）猜想满足不等式0)(<n f 的正整数n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】（1）()()()27173,212,11-===f f f ；（2）3≥n 【解析】试题分析：（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题；（2）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值0n 是多少；（3)由k n =时等式成立，推出1+=k n 时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写. 试题解析：解：（1）2717)3(,21)2(,1)1(-===f f f 3分 （2）猜想：0)11()(,3<-+=≥n n n f n n4分 证明：①当3=n 时，02717)3(<-=f 成立 5分②假设当k n =),3(*N n n ∈≥时猜想正确，即()011<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k k k f k∴k k k<⎪⎭⎫⎝⎛+11 由于)111()11()111()111(1111+++<++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++k k k k k k k k11)111(+<++=++<k k k k k k 8分 ∴1)111(1+<+++k k k ，即()0)1(11111<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++k k k f k 成立由①②可知，对0)11()(,3<-+=≥n nn f n n成立 10分 考点：数学归纳法及其应用.19．经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,3A ，倾斜角为α的直线l ，与曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （θ为参数）相交于C B ,两点．（1）写出直线l 的参数方程，并求当6πα=时弦BC 的长；（2）当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程； （3）当8=BC 时，求直线BC 的方程； （4）当α变化时，求弦BC 的中点的轨迹方程． 【答案】(1)33633721+=BC ;(2)01524=++y x ;(3)3=x 或01543=++y x （4）1645432322=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x【解析】试题分析：(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程；掌握常见的将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程;(2)解决直线和曲线的综合问题：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与曲线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∇：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.（4）根据题意设点根据点到直线的距离公式.试题解析：解：（1）l 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ααsin 23cos 3t y t x （t 为参数）． 1分曲线C 化为：2522=+y x ，将直线参数方程的y x ,代入，得0455)sin cos 2(32=-+-t t αα ∵055)sin cos 2(92>++=∆αα恒成立， 3分 ∴方程必有相异两实根21,t t ，且)sin cos 2(321αα+=+t t ，45521-=t t ． ∴55)sin cos 2(94)(22122121++=--=-=ααt t t t t t BC∴当6πα=时，33633721+=BC ． 5分 （2）由A 为BC 中点，可知0)sin cos 2(321=+=+ααt t ， ∴2tan -=α，故直线BC 的方程为01524=++y x ． 7分 （3）∵8=BC ，得855)sin cos 2(92=++=ααBC∴0cos 3cos sin 42=+ααα, ∴0cos =α或43tan -=α 故直线BC 的方程为3=x 或01543=++y x 9分（4）∵BC 中点对应参数221t t t +=)sin cos 2(23αα+= ∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=ααααααsin )sin cos 2(2323cos )sin cos 2(233y x （ 参数α[)π,0∈ ），消去α，得弦BC 的中点的轨迹方程为1645)43()23(22=+++y x ；轨迹是以)43,23(--为圆心，453为半径的圆． 10分 考点：（1）求弦长问题；（2）求直线方程；（3）中点弦的轨迹方程.20．设在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片，标号分别记为y x ,，设随机变量x y x -+-=2ξ． （1）写出y x ,的可能取值，并求随机变量ξ的最大值； （2）求事件“ξ取得最大值”的概率； （3）求ξ的分布列和数学期望与方差．【答案】（1）y x ,的可能取值为1,2,3；ξ的最大值3；（2）92=P ；（3）()914=ξE ，()98=ξD 【解析】试题分析：(1)求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：解：（1）y x ,的可能取值都为1，2，3．2,12≤-≤-x y x ，∴3≤ξ，∴当3,1==y x 或1,3==y x 时，ξ取最大值3． 3分（2）有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数933=⨯=n ， ∴92)3(==ξP 4分 （3）ξ的所有取值为0，1，2，3，当0=ξ时，只有2,2==y x 这1种情况，∴91)0(==ξP ； 当1=ξ时，只有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x ，共4种情况，∴94)1(==ξP ； 当2=ξ时，只有2,32,1====y x y x 或这2种情况，∴92)2(==ξP ； 当3=ξ时，92)3(==ξP ； 7分 ∴ 随机变量ξ的分布列为：∴ 数学期望914923942921910=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 方差98)9143(92)9142(94)9141(92)9140(912222=-+-+-+-=ξD 9分 考点：求离散型随机变量的分布列、数学期望、方差. 21．如图，已知⊙1O 与⊙2O 外切于点P ，AB 是两圆的外公切线，A ，B 为切点，AB 与21O O 的延长线相交于点C ，延长AP 交⊙2O 于 点D ，点E 在AD 延长线上．（1）求证：ABP ∆是直角三角形；（2）若AE AP AC AB ⋅=⋅，试判断AC 与EC 能否一定垂直？并说明理由．（3）在（2）的条件下，若4=AP ，49=PD ，求AC EC 的值．【答案】(1)证明略；（2）EC AC ⊥；（3）43=AC EC 【解析】试题分析：（1）从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角；（2）判断三角形相似：一是平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；二是如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；三是如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似；四是如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；五是对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角；（3）切割线定理：切割线定理，是圆幂定理的一种，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.试题解析：解：（1）证明：过点P 作两圆公切线PN 交AB 于N ，由切线长定理得 NB NA NP ==，∴PAB ∆为直角三角形 3分（2）EC AC ⊥证明：∵AE AP AC AB ⋅=⋅，∴ACAE AP AB =，又EAC PAB ∠=∠， ∴PAB ∆∽CAE ∆ ∴,900=∠=∠APB ECA 即EC AC ⊥． 6分（3）由切割线定理，AD AP AB ⋅=2，∴,3,5==PB AB AC EC PA PB :4:3:==∴43=AC EC ． 9分 考点：（1）切线长定理；（2）相似三角形的应用；（3）切割线定理的应用. 22．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（1）求b a ,的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式02)(2≥+c x f 恒成立，求c 的取值范围．【答案】(1)3,12-==b a(2)()x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞（3）23≥c 或1-≤c 【解析】试题分析：(1)利用函数的极值与导数的关系；(2)解决类似的问题时，函数在极值点处的导数为零，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数()x f y =在区间[]b a ,内使()0='x f 的点，再计算函数()x f y =在区间内所有使()0='x f 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(3)恒成立的问题关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最值问题.(4)若可导函数()x f 在指定的区间D 上单调递增（减），求参数问题，可转化为()0≥'x f ()()0≤'x f 或恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.试题解析：解：（1）)4ln 4()(3/b a x a x x f ++=，0)1(='f ，∴04=+b a ，又c f --=3)1(，∴3,12-==b a ； 5分（2）x x x f ln 48)(3/=（)0>x ∴由0)(/=x f 得1=x ，当10<<x 时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减；当1>x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；∴)(x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞ 9分由（2）可知，1=x 时，)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(，依题意，只需0232≥+--c c ，解得23≥c 或1-≤c 10分 考点：（1）函数的导数与极值；（2）函数的导数与单调性；（3）函数恒成立的问题.。